11/8/2018

1

Gjeostatistikë

Th.Korini, 2018

Fakulteti i Gjeologjisë dhe i Minierave

Ku

rsi

I M

as

ter

Gje

oin

form

ati

kë

Leksioni 1

GJEOSTATISTIKA

Fjala gjeostatistikë formohet nga dy pjesë gjeodhe statistikë (në mënyrë të ngjajshme me gjeofizikë apo gjeokimi) dhe përdoret në dy kuptime të ndryshme:

Si tërësia e gjithë metodave statistikore dhe probabilitare të aplikuara në gjeoshkenca;

Si një emërtim për teorinë e variablave rregjionalë.

Gjeostatistika studjon fenomenet që ndryshojnë në hapësirë dhe/ose në kohë (Deutsch, 2002)

11/8/2018

2

Hipotezat dhe objektivi i gjeostatistikës

Kërkimi

Në këtë etapë, kemi të bëjmë me lokalizimin e një trupi të mineralizuar. Procedohet nëpërmjet punimeve të kërkim-zbulimit (shpime, transhe etj.), vendosja e të cilave udhëhiqet nga konsiderata të tipit gjeologjik. Kërkohet të verifikohet prania e mineralizimit dhe të vlerësohet cilësisht (mineralogji, tektonikë etj..).

Fezabiliteti

Studimi i fezabilitetit duhet të lejojë, me ndihmën e një serie shpimesh me rrjet të rrallë, të merret vendimi ose i pritjes së një konjukture ekonomike më të favorshme, ose i vazhdimit të series së shpimeve me synimin për të shfrytëzuar vendburimin. Kjo seri shpimesh duhet të lejojë të përcaktohet tonazhi dhe përmbajtja e vendburimit, pra sasia e metalit Q.Ky është vlerësimi global që realizohet me ndihmën e gjeostatistikës.

Projekti minerar

Në qoftë se sasia Q është e mjaftueshme, kalohet në fazën tjetër, pra në llogaritjen e projektit.

Duhet të përcaktohen:

• Metoda e shfrytëzimit;

• Mënyra e marrjes (seleksionimi);

të cilat do të lejojnë llogaritjen e projektit.

11/8/2018

3

Llogaritja e rezervave të rekuperueshme është një objektiv kryesor i gjeostatistikës.

Ky objektiv është i dyfishtë: duke u nisur nga shpimet duhet vlerësuar përmbajtja e blloqeve (kemi të bëjmë me kriging-un) dhe nga ana tjetër rezervat që mund të paraqiten nëpërmjet dy kurbave:

maxT

T zc

zc

100%

Përqindja e tonazhit total të rekuperuar në funksion të zc

Duke e ndarë vendburimin në blloqe, me z(v) përmbajtjen në bllok, do të shfrytëzohet një bllok në qoftë se z(v) është më e lartë se përmbajtja kufi zc.

zc

mzc

Evolucioni i mesatares së përmbajtjeve në funksion të përmbajtjes kufi

11/8/2018

4

Programi i shfrytëzimit

Shtrohet problemi i shfrytëzimit të vendburimit.

Shumë pyetje kërkojnë përgjigje: p.sh. dimensionimi dhe numri i fronteve që do të shfrytëzohen, materiali që do të përdoret etj...

Nga ana tjetër, një kufizim i rëndësishëm parashtrohet nga fabrika e pasurimit e cila kërkon një përmbajtje uniforme të mineralit të dërguar në të. Pra, kërkohet një harmonizim ndërmjet fabrikës së pasurimit dhe minierës, që sigurohet ose nëpërmjet krijimit të një stoku, ose nëpërmjet një “elasticiteti” të përdorimit të fabrikës së pasurimit.

Gjeostatistika mund të parashikojë përmbajtjen e mineralit dhe lejon kështu një program më optimal të shfrytëzimit.

Disa elementë të statistikësVariabël i rastit X (vr): një funksion, që i ve në

korrespodencë çdo rezultati matjesh një numër real. N.q.s. vlerat e mundshme të X shpërndahen në mënyrë

të vazhdueshme në një interval, X konsiderohet si një vr i vazhduar. Në këtë rast nuk shqyrtohet probabiliteti që vr të marrë një vlerë të caktuar, por që vlera e tij të përfshihet në një interval të caktuar.

Shembull:

përmbajtja e Cu në një karotë me gjatësi 1m

Trashësia e një trupi minerar

Përqëndrimi i një ndotësi në ujin nëntoksor

pH i ujit të shiut.

Le të jetë X një variabël i rastit (vr). X (madhësia fizike) është matur në n pika dhe x1, x2, x3, …, xn përbëjnë një mostër të këtij variabli të rastit.

11/8/2018

5

Paraqitja e variacionitHistogramaÇdo grup matjesh mund të ndahet në një numër klasash. Për një variabël i cili matet në një shkallë të vazhduar, ndajmë zonën ku shtrihen matjet në klasa me gjerësi të njejtë dhe numërojmë matjet që i takojnë çdo klase.

Bashkësia e frekuencave që përftojmë përfaqëson shpërndarjen e frekuencave.

Grafiku përkatës (me frekuencën në ordinatë dhe vlerat e parametrit të matur sipas klasave) quhet histogramë.

Numri i klasave përgjithësisht merret në intervalin 5 deri 20 (numri më i vogël merret kur kemi më pak të dhëna)

Shpërndarja kumulative:

Histograma kumulative është paraqitja në trajtë histograme në të cilën çdo klasë përfaqëson numrin progresiv (të kumuluar) të matjeve në gjithë klasat deri në klasën në fjalë.

11/8/2018

6

Treguesit statistikorë:

Mesatarja:

Në qoftë se kemi n matje x1, x2, x3, …, xn atëherë mesatarja artimetike do të jetë:

1

1 n

ii

x xn

Mediana, M, është pika e mesit e madhësive të vëzhguara, kur ato janë të renditura në rendin rritës. Gjysma e vlerave janë nën medianë dhe gjysma mbi medianë. Me të dhënat e vendosura në rendin rritës mediana mund të llogaritet me formulën:

1

2

12 2

n.q.s. është tek

n.q.s. është çift

n

n2

n

n n

x

M x x

Moda: është vlera e cila takohet më dendur. Praktikisht moda identifikohet me brezin më të gjatë të histogramës.

Varianca e një serie të dhënash jepet nga:

dhe është mesatarja e katrorit të diferencës së vlerave të matura me mesataren e tyre.

Devijimi mesatar kuadratik: është rrënja katrore e variancës.

1n

2

22

1

1 n

ii

m x xn

2

2

1

1 n

ii

x xn

11/8/2018

7

Koeficienti i variacionit: është tregues relativ, i cili shpreh madhësinë relative të raportit ndërmjet dispersionit dhe mesatares aritmetike të matjeve që studjohen:

vKx

shprehur si koeficient

% 100vKx

shprehur në përqindje

Sa më i vogël të jetë koeficienti i variacionit, aq më homogjene janë të dhënat e serisë së matjeve të kryera.

Koeficienti i disimetrisë: i korrespodon masës së asimetrisë të të dhënave të matjes. Përfaqëson parametrin e parë të formës. Llogaritet duke u nisur nga momenti i tretë statistikor:

3

31

1 n

ii

m x xn

Koeficienti i disimetrisë do të jetë:

31 3

mg

11/8/2018

8

Në se m3=0, atëherë seria e matjeve është plotësisht simetrike

Në se m3>0, atëherë seria e matjeve ka asimetri të majtë

Në se m3<0, atëherë seria e matjeve ka asimetri të djathtë

Koeficienti i kulmimit: shpreh shkallën e kulmimit të të dhënave të matjeve. Përfaqëson parametrin e dytë të formës. Llogaritet duke u nisur nga momenti i katërt statistikor:

4

41

1 n

ii

m x xn

Koeficienti i kulmimit do të jetë: 4

2 22

3m

g

Për g2=0 kemi të bëjmë me një shpërndarje normale. Për g2>0 shpërndarja është me kulm më të theksuar, ndërsa për g2<0, shpërndarja është më e shtruar.

11/8/2018

9

Shembull:

Nga shpimet e kryera ka rezultuar trashësia e trupit xeheror dhe përmbajtja e bakrit si vijon:

Trashësia Cu %

17 0.984

18 0.85

17.5 0.957

19 1.26

22 1.709

24 0.9

27 0.952

23 0.982

23.5 1.773

15 0.829

23.5 1.723

25 1.422

16.5 1.264

19.5 1.58

12 1.511

18.5 1.367

18 1.757

14 0.602

19 1.261

13.5 1.859

18 1.401

19.4 1.565

13 0.798

14 0.971

19.5 1.66

16 1.654

16 1.014

19 1.171

19 0.835

21.5 2.477

22 1.917

20.5 1.403

11 1.089

26 1.117

22 0.628

26 0.877

16 0.642

16 0.23

Të llogariten treguesit statistikorë.

Trashësia Cu %

Shuma= 720.400 46.991

Mes= 18.958 1.237

Të dhënat e renditura:

Nr Trashësia (m) Cu %

1 11 0.23

2 12 0.602

3 13 0.628

4 13.5 0.642

5 14 0.798

6 14 0.829

7 15 0.835

8 16 0.85

9 16 0.877

10 16 0.9

11 16 0.952

12 16.5 0.957

13 17 0.971

14 17.5 0.982

15 18 0.984

16 18 1.014

17 18 1.089

18 18.5 1.117

19 19 1.171

20 19 1.26

21 19 1.261

22 19 1.264

23 19.4 1.367

24 19.5 1.401

25 19.5 1.403

26 20.5 1.422

27 21.5 1.511

28 22 1.565

29 22 1.58

30 22 1.654

31 23 1.66

32 23.5 1.709

33 23.5 1.723

34 24 1.757

35 25 1.773

36 26 1.859

37 26 1.917

38 27 2.477

1

2 2 n.q.s. ësht n2

ë çiftn nx x

M

19 20 19 19

= 192 2

x x

M m

Për trashësinë:

Për përmbajtjen e Cu%:

19 20 1.171 1.26

= 1.2155%2

2

x xM

11/8/2018

10

Llogaritja e treguesve statistikore (trashësia e trupit xeheror)

xi xi-mes (xi-mes)^2 (xi-mes)^3 (xi-mes)^4

17.0 -1.96 3.83 -7.505 14.695

18.0 -0.96 0.92 -0.879 0.842

17.5 -1.46 2.13 -3.099 4.518

19.0 0.04 0.00 0.000 0.000

22.0 3.04 9.25 28.153 85.644

24.0 5.04 25.42 128.185 646.320

27.0 8.04 64.68 520.127 4182.915

23.0 4.04 16.34 66.042 266.950

23.5 4.54 20.63 93.707 425.627

15.0 -3.96 15.66 -62.000 245.390

23.5 4.54 20.63 93.707 425.627

25.0 6.04 36.51 220.579 1332.764

16.5 -2.46 6.04 -14.849 36.497

19.5 0.54 0.29 0.159 0.086

12.0 -6.96 48.41 -336.848 2343.751

18.5 -0.46 0.21 -0.096 0.044

18.0 -0.96 0.92 -0.879 0.842

14.0 -4.96 24.58 -121.869 604.212

19.0 0.04 0.00 0.000 0.000

13.5 -5.46 29.79 -162.583 887.362

18.0 -0.96 0.92 -0.879 0.842

19.4 0.44 0.20 0.086 0.038

13.0 -5.96 35.50 -211.484 1260.002

14.0 -4.96 24.58 -121.869 604.212

19.5 0.54 0.29 0.159 0.086

16.0 -2.96 8.75 -25.879 76.547

16.0 -2.96 8.75 -25.879 76.547

19.0 0.04 0.00 0.000 0.000

19.0 0.04 0.00 0.000 0.000

21.5 2.54 6.46 16.428 41.761

22.0 3.04 9.25 28.153 85.644

20.5 1.54 2.38 3.667 5.655

11.0 -7.96 63.33 -503.958 4010.447

26.0 7.04 49.59 349.227 2459.292

22.0 3.04 9.25 28.153 85.644

26.0 7.04 49.59 349.227 2459.292

16.0 -2.96 8.75 -25.879 76.547

16.0 -2.96 8.75 -25.879 76.547

Shumat 720.40 612.59 273.447 22823.188

mes= 18.96 var= 16.12

sigma= 4.02

m3= 7.196

Koeficienti i disimetrisë g1= 0.111

m4= 600.610

Koeficienti i kulmimit g2= -0.689

Asimetri e lehtë majtas

Shpërndarja është më e shtruar se ajo normale

Trashësia e trupit xeheror:

Klasat Qendra Nr. Frekuenca Fr.Kumul

11-12.5 11.75 2 0.053 0.05312.5-14 13.25 2 0.053 0.10514-15.5 14.75 3 0.079 0.18415.5-17 16.25 5 0.132 0.31617-18.5 17.75 5 0.132 0.44718.5-20 19.25 8 0.211 0.65820-21.5 20.75 1 0.026 0.68421.5-23 22.25 4 0.105 0.78923-24.5 23.75 4 0.105 0.89524.5-26 25.25 1 0.026 0.92126-27.5 26.75 3 0.079 1

Ndërtimi i histogramave:

0.000

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120

0.140

0.160

0.180

0.200

11.75 13.25 14.75 16.25 17.75 19.25 20.75 22.25 23.75 25.25 26.75

Fre

kue

nca

Trashësia (m)

Trashësia e trupit xeheror (m)

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

11.75 13.25 14.75 16.25 17.75 19.25 20.75 22.25 23.75 25.25 26.75

Fre

kue

nca

ku

mu

lati

ve

Trashësia (m)

Trashësia e trupit xeheror (m)

11/8/2018

11

Përdorimi i Matlab ose Freemat ose Octave:

% Ndërtimi i histogramës dhe llogaritja e parametrave statistikoreclear allclose allclc

% Vektori x përfaqëson të dhënat% Vektori z përfaqëson qëndrat e klasave

x = [ 17 18 17.5 19 22 24 27 23 23.5 15 23.5 25 16.5 19.5 12 18.5 18 ...14 19 13.5 18 19.4 13 14 19.5 16 16 19 19 21.5 22 20.5 11 26 22 26 16 16 ];

z=[11.75 13.25 14.75 16.25 17.75 19.25 20.75 22.25 23.75 25.25 26.75];

mes=mean(x);varianca=var(x);devmes=std(x);printf('Mesatarja është: %.3f\n',mes);printf('Varianca është: %.3f\n',varianca);printf('Dev.Mes.Kuadratik është: %.3f\n',devmes);figure(1);hist(x,8); title('Histograma e trashësisë (8 klasa)'); xlabel('Trashësia (m)'); ylabel('Frekuenca');figure(2);hist(x,z); title('Histograma (klasat e përcaktuara)'); xlabel('Trashësia (m)'); ylabel('Frekuenca');

histfit(x,8);

x – vektori i të dhënave

11/8/2018

12

histfit(x,z);

x – vektori i të dhënavez – klasat

Llogaritja e percentileve:

Percentilja e p-të përcaktohet si madhësia në bashkësinë e të dhënaveqë i ndan ato në dy pjesë: pjesa e poshtme përmban p përqind të tëdhënave dhe pjesa e sipërme përmban të dhënat që mbeten (të cilatjanë [100-p]%, sepse totali është 100%).

Mediana është percentilja e 50-të: madhësia nga bashkësia e tëdhënave për të cilën 50% e të dhënave ndodhen nën të dhe 50% mbitë.Si llogariten:1- Renditen N të dhënat nga vlera më e vogël te më e madhja (nërendin rritës). Numri rendor përcakton rankun;2- Llogaritet ranku (R) i percentiles përkatëse nëpërmjet formulës: Në qoftë se R është një numër i plotë, percentilja e p-të është numri qëi korrespodon rankut R. Kur R nuk është një numër i plotë, atëherëpercentilja e p-të llogaritet me interpolim si vijon:- Përcaktohet IR si pjesa e plotë e R (numri në të majtë të presjes

dhjetore).- Përcaktohet FR si pjesa dhjetore e R (pjesa pas presjes dhjetore)- Gjenden vlerat që i korrespodojnë rankut IR dhe IR+1- Interpolohet duke shumëzuar diferencën ndërmjet vlerave (të IR+1 me

atë të IR) me FR dhe duke ja shtuar vlerës së IR

1100

pR N

11/8/2018

13

Shembull:Jepen vlerat e matura: 3, 5, 7, 11, 8, 9, 15, 13Të llogaritet percentilja e 25%1- renditen vlerat dhe përcaktohet ranku

Vlerat Ranku

3 1

5 2

7 3

8 4

9 5

11 6

13 7

15 8

2- llogaritet ranku i percentiles 25:

25

1 8 1 2.25100 100

pR N

3- llogariten IR dhe FR: IR=2, FR=0.25

4- gjenden në tabelën e renditur vlera që i korrespodojnë rankut IR dhe IR+1, të cilat janë 5 dhe 7.

5- Interpolohet duke shumëzuar diferencën ndërmjet vlerave (të IR+1 me atë të IR) me FR dhe duke ja shtuar vlerës së IR, pra (7 - 5)(0.25) + 5 = 5.5

Në këtë mënyrë percentilja e 25% është e barabartë me 5.5

IR

IR+1

Kuartilet:

Ndajnë bashkësinë e të dhënave në 4 pjesë:

25% 25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3min max

Q1 – kuartilja e parë – percentilja 25%

Q2 – kuartilja e dytë – percentilja 50%

Q3 – kuartilja e tretë – percentilja 75%

Diapazoni interquantil IQR (interquartile range): IQR = Q3 - Q1

Jep një ide mbi shpërndarjen e 50% të të dhënave të pjesës qëndrore.

Llogaritja e Q1, Q2 dhe Q3 kryhet duke ju referuar llogaritjes së percentileve përkatëse (25%, 50% dhe 75%).

=QUARTILE.EXC(Range,1)

=QUARTILE.EXC(Range,3)

Në Excel

11/8/2018

14

0 kuartile = 0 kuantile = 0 percentile

1 kuartile = 0.25 kuantile = 25 percentile

2 kuartile = .5 kuantile = 50 percentile (mediana)

3 kuartile = .75 kuantile = 75 percentile

4 kuartile = 1 kuantile = 100 percentile

Përdoret edhe nocioni kuantile:

Outliers: janë vlera tepër të vogla ose tepër të mëdha në bashkësinë e të dhënave

Vlerat jashtë intervalit [Q1-1.5(IRQ), Q3+1.5(IQR)] janë outliers

P.sh: për të dhënat 4, 6, 11, 13, 16, 17, 19, 22, 51

Llogarisim Q3 dhe Q1

Q1=8.5

Q3=20.5

IQR=Q3-Q1=12

1.5*12=18

Q1-18=-9.5

Q3+18=38.5

Çdo vlerë jashtë intervalit -9.5,38.5 është një outlier

51 është më e madhe se 38.5, pra është një outlier.

Paraqitja e shpërndarjes së të dhënave nëpërmjet BoxPlot:

BoxPlot është një paraqitje grafike e shpërndarjes së vlerave të vrojtuara me anë të zonave IQR (interkuantile).

IQR

Q1-1.5(IQR) Q3+1.5(IQR)Q3Q1

Mediana

Outlier

Outlier

11/8/2018

15

BoxPlot në raport me shpërndarjen normale: