La Hiprbola
La HiprbolaDefinicin:Hiprboladeriva de la palabragriega
(exceso), y escognadode hiprbole(la figura literaria que equivale
aexageracin).Segn la tradicin, las secciones cnicas fueron
descubiertas porMenecmo, en su estudio del problema de laduplicacin
del cubo,donde demuestra la existencia de una solucin mediante el
corte de una parbola con una hiprbola, lo cual es confirmado
posteriormente porProcloyEratstenes.es unaseccin cnica,
unacurvaabierta de dos ramas obtenida cortando unconorecto por un
plano oblicuo al eje de simetra, y con ngulo menor que el de
lageneratriz respecto del eje de revolucin. es el lugar geomtrico
de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamadosfocos, es
igual a la distancia entre los vrtices, la cual es una constante
positiva.Debido a la inclinacin del corte, el plano de la hiprbola
interseca ambas ramas del cono.
Lahiprbolaes el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya
diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es
constante.
GrficoElementos de la hiprbola1. Eje mayorEl eje mayor es la
recta de la hiprbola donde pertenecen los focos y los vrtices de la
misma. Su valor es 2a y es perpendicular al eje imaginario2. Eje
menor o imaginario.El eje menor o imaginario no tiene puntos en
comn con la hiprbola. Sin embargo, siempre se cumple que las
perpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con las
perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4 puntos
que pueden servir para trazar las asntotas.3. AsntotasSon las
rectas r y r' que pasan por el centro de la hiprbola y verifican
que se acercan ramas de la misma tanto ms cuanto ms nos alejamos
del centro de la hiprbola.Las ecuaciones de las asntotas son: r: y=
b/a x r': y = -b/a x4. FocosSon los puntos fijos F y F.
5. Eje focalEs la recta que pasa por los focos.6. VrticesLos
puntos A y A son los puntos de interseccin de la hiprbola con el
eje principal o real.7. Eje TransversalEs el segmentode longitud
2a.8. CentroEs el punto de interseccin de los ejes.9. Distancia
FocalEs el segmentode longitud 2c.10. Eje ConjugadoEs el segmentode
longitud 2b.11. 8.- Radios FocalSon los segmentos que van desde un
punto de la hiprbola a los focos: PF
5) El eje principal de una hiprbola mide 12, y la curva pasa por
el punto P(8, 14). Hallar su ecuacin.Eje Principal:
Tomando P(8,14):
Ecuacin de la hiprbola: 6) El eje principal de una hiprbola mide
12 y la excentricidad es 4/3. Calcular la ecuacin de la
hiprbola.Eje Principal: Excentricidad: Relacin entre los semi ejes:
Ecuacin de la hiperbola:
HiperboloideElhiperboloidees la superficie de revolucin generada
por la rotacin de unahiprbolaalrededor de uno de sus dos ejes de
simetra. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de
una o dos hojas.Para entenderlo mejor, se considera a continuacin
el caso de la hiprbola de referencia, cuya ecuacin esLa revolucin
alrededor del eje de simetrarojogenera un hiperboloideconexo,
mientras que la rotacin alrededor del ejeazul, que atraviesa dos
veces la hiprbola, da un hiperboloide de dos hojas.Hiperboloide de
una hoja
Hiperboloide de dos hojas
Estructuras HiperboloidesEstructuras Hiperboloide sonestructuras
arquitectnicasdiseadas con la geometra hiperblica. A menudo se
trata de las estructuras altas como torres donde se utiliza la
resistencia estructural de la geometra hiperblica para apoyar un
objeto alto de la tierra, pero la geometra hiperblica tambin se
utiliza a menudo para efecto decorativo, as como la economa
estructural. Las primeras estructuras hiperboloides fueron
construidos por el ingeniero ruso Vladimir Shjov. Primera torre
hiperboloide del mundo se encuentra en Polibino, Dankovsky
Distrito, Lipetsk Oblast, Rusia.Las formas son doblemente
superficies regladas, que pueden ser clasificados como:
Hiperboloide de una hoja, comolas torresde refrigeracin
Paraboloides hiperblicos, como techos de silla de montar
Propiedades de las estructuras hiperboloidesEstructuras
hiperblicas tienen una curvatura gaussiana negativa, lo que
significa que la curva hacia adentro en lugar de hacia afuera o ser
heterosexual. Como doblemente gobernado superficies, que se pueden
hacer con un entramado de vigas rectas, por lo tanto, son ms fciles
de construir y, todo lo dems igual,ms fuerteque las superficies
curvas que no tienen un fallo y en su lugar debe ser construido con
vigas curvadas.
Estructuras Hiperboloide son superiores en la estabilidadfrente
alas fuerzas externas que los edificios "rectos", pero tienen
formas creando a menudo una gran cantidad de volumen utilizable y
por lo tanto se utilizan con mayor frecuencia en las estructuras,
dirigidas a objetivos, tales como torres de agua, torres de
enfriamiento, y caractersticas estticas, pero suseccin
transversalse ve con mucha ms frecuencia en los puentes
hiperblicas.Con las torres de refrigeracin, se prefiere una
estructura hiperblica. En laparte inferior, el ensanchamiento de la
torre proporciona unrea grandepara la instalacin de llenar para
promover la refrigeracin por evaporacin de pelcula delgada del agua
circulada.A medidaque el primero se evapora y el agua sube, el
efecto de estrechamiento ayuda a acelerar elflujo laminary, a
continuacin, ya que se ensancha hacia fuera, el contacto entre el
aire caliente y el aire atmosfrico apoya mezcla turbulenta.Vladimir
ShukhovVladimir Shjov naci en un pueblo de Graivoron, Belgorod
uezd, Kursk gobernacin (en la actual Belgorod Oblast) en una
familia noble mezquino. Su padre Grigori Ivnovich Shjov era un
funcionario del gobierno de menor importancia, promovido por sus
esfuerzos en la guerra de Crimea. Durante un tiempo, Grigory
desempe como alcalde de Graivoron y ms tarde como administrador en
Varsovia. En 1864 Vladimir entr al San Petersburgo Gymnasium donde
se gradu con honores en 1871.Durante sus aos de escuela secundaria
mostr talentos matemticos, una vez que demuestra a sus compaeros de
clase y maestros una prueba original del teorema de Pitgoras. El
profesor elogi sus habilidades, pero no logr la calificacin debido
a que viola las directrices del libro de texto. Despus de graduarse
en el gimnasio, Shjov ingres en la Escuela Tcnica Imperial de Mosc,
en el que inclua como profesores a Pafnuty Chebyshev, Aleksi
Ltnikov, y Nikolay Zhukovsky. En el comienzo del ao 1876 Shjov se
gradu de la escuela con distincin y una medalla de oro. Chebyshev
le ofreci un trabajo como profesor de matemticas en la Escuela
Tcnica Imperial de Mosc, pero Shjov decidi buscar un trabajo en la
industria de la ingeniera en su lugar. En mayo de 1876 Shjov fue a
Filadelfia, para trabajar en el pabelln de Rusia en la Exposicin
del Centenario, la primera Feria Mundial de oficial en los Estados
Unidos, y para estudiar el funcionamiento interno de las industrias
de la construccin y de ingeniera de Amrica. Durante su estancia en
los EE.UU., Shjov lleg a conocer a un empresario
ruso-estadounidense, Alexander Veniaminovich Bari ( ) quien tambin
trabaj en la organizacin de la Feria. En 1877 Shjov regres a Rusia
y se uni a la oficina de redaccin de la va frrea Varsovia-Viena.
Luego de varios meses, la frustracin de Shjov sobre el estndar de
ingeniera y la rutina le hizo abandonar la oficina y unirse a una
academia mdica militar. En su llegada a Rusia en 1877, convenci a
Bari Shjov a renunciar a su educacin mdica y de asumir el cargo de
Ingeniero Jefe en una nueva empresa especializada en la ingeniera
innovadora. Shjov trabaj con Bari en esta empresa hasta que la
Revolucin de Octubre. Sus obras revolucionaron muchas reas de la
ingeniera civil, la ingeniera de la nave, y la industria del
petrleo. El mtodo de craqueo trmico, el Craqueo, fue patentado por
Vladimir Shjov en 1891. Shjov siempre encontr tiempo para una
aficin apasionada - fotografa Las obras fotogrficas de Shjov
abrieron nuevas tendencias por delante de su florecimiento de la
fotografa artstica.. Hizo fotografas en varios gneros: la
presentacin de informes, el paisaje de la ciudad, el retrato, el
constructivismo. Alrededor de dos mil fotos y negativos realizados
por Shjov han sobrevivido hasta el da de hoy. Despus de la
Revolucin de Octubre Shjov decidi quedarse en la Unin Sovitica a
pesar de tener trabajos seductores recibiendo ofertas de todo el
mundo. Muchas seales Sovitica proyectos de ingeniera de la dcada de
1920 se asociaron con su nombre. En 1919 se enmarc su lema: Debemos
trabajar de forma independiente de la poltica. Se necesitaran Los
edificios, calderas, vigas y as haramos. En la dcada de 1930 despus
durante la Gran Purga se retir de trabajo de ingeniera, pero no fue
detenido ni perseguido. Shukov muri el 2 de febrero de 1939 en Mosc
y fue enterrado en el Cementerio Novodevichy. Sus muchos honores
incluyen el Premio Lenin (1929) y el ttulo de Hroe del Trabajo
(1932).
Obra de ShjovEn la dcada de 1880, Shjov comenz a trabajar en el
problema del diseo de sistemas de techo de utilizar un mnimo de
materiales, tiempo y mano de obra. Sus clculos fueron muy
probablemente derivan del trabajo del matemtico Pafnuty Chebyshev
en la teora de las mejores aproximaciones de funciones.
Las exploraciones matemticas de Shjov de estructuras eficientes
techo lo llevaron a su invencin de un nuevo sistema que fue
innovador tanto estructural como espacialmente. Mediante la
aplicacin de sus habilidades analticas para las superficies de
doble curvatura Nikolai Lobachevsky llamado "hiperblica", Shjov
deriva una familia de ecuaciones que dieron lugar a nuevos sistemas
estructurales y constructivos, conocidos como hiperboloides de
revolucin y paraboloides hiperblicos.
Los gridshells de acero de los pabellones de exposiciones del
1896 toda Rusia Industrial y Artesana Exposicin en Nizhny Novgorod
fueron los primeros ejemplos prominentes pblicamente de nuevo
sistema de Shjov. Dos pabellones de este tipo fueron construidos
para la exposicin de Nizhni Novgorod, una ovalada en planta y una
circular. Los techos de los pabellones fueron doblemente curvada
gridshells formadas enteramente por un entramado de barras de
hierro ngulo de hierro y planos rectos. Mismo Shjov ellos azhurnaia
Bashnya llama. La patente de este sistema, para lo cual Shjov
aplicado en 1895, fue galardonado en 1899.Shjov tambin centr su
atencin en el desarrollo de un sistema estructural eficiente y fcil
de construir para una torre que lleva una gran carga de gravedad en
la parte superior - el problema de la torre de agua. Su solucin fue
inspirada por la observacin de la accin de una cesta tejida hasta
la celebracin de un peso pesado. Una vez ms, tom la forma de una
superficie doblemente curvado, de una red de luz de barras de
hierro rectas y ngulo de hierro. Durante los prximos veinte aos,
dise y construy cerca de doscientas de estas torres, no hay dos
exactamente iguales, la mayora con una altura del orden de 12m a
68m.
Al menos desde 1911, Shjov comenz a experimentar con la idea de
formar una torre de secciones apiladas de hiperboloides. El
apilamiento de las secciones permite la forma de la torre a
disminuir ms en la parte superior, con una "cintura" menos
pronunciada entre los anillos de definicin de forma en la parte
inferior y la parte superior. Aumentar el nmero de secciones
aumentara el ahusamiento de la forma general, hasta el punto de que
empez a parecerse a los de un cono.
En 1918 Shjov haba desarrollado este concepto en el diseo de una
de nueve secciones apiladas torre de transmisin de radio
hiperboloide de Mosc. Shjov diseado una torre de 350 metros, lo que
habra superado la Torre Eiffel en altura por 50 metros, mientras
que con menos de una cuarta parte de la cantidad de material. Su
diseo, as como el conjunto de clculos justificativos que analizan
la geometra hiperblica y el dimensionamiento de la red de miembros,
se complet en febrero de 1919 sin embargo, las 2.200 toneladas de
acero necesarias para construir la torre de 350 metros no estaban
disponibles. En julio de 1919, Lenin decret que la torre debe ser
construido a una altura de 150 metros, y el acero fue necesario
poner a disposicin de los suministros del ejrcito. La construccin
de la torre ms pequea con seis hiperboloides apilados comenz a los
pocos meses, y Shjov torre se complet en marzo de 1922.
Otros arquitectosAntoni Gaud y Shjov llevaron a cabo
experimentos con estructuras hiperboloides prcticamente de forma
simultnea, pero independiente, en 1880-1895 - Antoni Gaud utiliz
estructuras en forma de paraboloide hiperblico y el hiperboloide de
revolucin en la Sagrada Famlia en 1910. En la Sagrada Famlia, hay
algunos lugares en la fachada de la Natividad - un diseo no se
equipara con el diseo descartado de la superficie de Gaud, donde
los cultivos hiperboloides arriba. Alrededor de la escena con el
pelcano, hay numerosos ejemplos. Hay un hiperboloide aadir
estabilidad estructural al rbol de ciprs. Los "mitra del obispo"
agujas se tapan con hiperboloides.
En el Palau Gell, hay un conjunto de columnas interiores a lo
largo de la fachada principal con capiteles hiperblicos. La corona
de la famosa bveda parablica es un hiperboloide. La bveda de uno de
los establos en la Iglesia de Colnia Gell es un hiperboloide. Hay
una columna nica en el Parque Gell que es un hiperboloide. El
famoso ingeniero y arquitecto espaol Eduardo Torroja dise una torre
de agua fina concha en Fedala y el techo del hipdromo "Zarzuela" en
forma de hiperboloide de revolucin. Le Corbusier y Candela Flix
utilizan estructuras hiperboloides.Una torre de enfriamiento
hiperboloide fue patentado por Frederik van Iterson y Gerard
Kuypers en 1918.
Torre de Control Aeropuerto de BarcelonaPlanetario de
McDonnellPuente hiperblico de ManchesterCatedral de Brasilia
Obras Ms relevantes de ShjovEn esta imagen, la primera torre es
la "Torre del Agua" o la "Torre Polibino". Esta es la primera
estructura paraboloide del mundo, diseado y construido por Shjov
como una torre de agua para la Exposicin de 1896. Panrussian (La
altura se dice que es alrededor de 36 o 27 metros, dependiendo de
la fuente). Las torres gemelas en la parte derecha de la imagen son
las "torres Shjov de Oka", Rusia. Estas torres fueron los primeros
y nicos, torres de transmisin hiperblicas en el mundo.
La Radio Tower Shjov, en Mosc, a 160 metros de altura; la
segunda fotografa muestra la misma torre, desde abajo. Esta torre
ha estado en peligro de demolicin, tambin. Pero hay un inters
internacional en su restauracin. La otra torre, en el lado derecho
de la imagen fue el mayor proyecto de la torre de Shjov. Se supona
que iba a ser de 350 metros de altura, que es aproximadamente 1.148
pies. Esto era para Shjov el proyecto que l nunca construy.
La Torre Portuaria de KobeTorre Portuaria de Kobe ( Kbe Poto
Tawa), una estructura hiperboloide, es una torre de 108 m de alto
enrejado en la ciudad portuaria de Kobe, Japn. La Torre Portuaria
de Kobe cuenta con una plataforma de observacin a una altura de
90,28 metros. La torre ofrece una espectacular vista de la zona de
la baha y sus alrededores. Localizada en la isla de Honshu. Kobe es
la capital de la prefectura de Hyogo y es uno de los puertos de
mayor importancia. Se encuentra en la regin de Kansai de Japn, al
sudoeste de Osaka. Para acceder a ella hay que atravesar el puente
Akashi Kaikyo que es considerado el puente colgante ms largo del
mundo. Est ubicado prximo al museo martimo, uno de los mejores
lugares para conocer los orgenes de esta ciudad marinera.
Se concluy la construccin de la Torre del puerto de Kobe en
1963. El inusual diseo con cubierta de andamios en la parte
superior es del agrado de los turistas de todo el mundo. Su diseo
est inspirado en el tambor tradicional japons Okedo-daiko. La
enorme torre decorada con luces por todas partes presenta un
espectculo visual nico en la noche, gracias a su iluminacin que
cambia de color segn la poca o para determinadas celebraciones. En
su interior alberga varios restaurantes y el famoso mirador de
visita obligada para todos los turistas. En los das claros se puede
ver incluso la Torre de Osaka, el Monte Rokko y el Aeropuerto de
Kansai.Los turistas pueden visitar la Torre de Kobe desde las 9 de
la maana a 8 de la tarde hasta agosto. Las horas de la torre de
puerto en el mes de diciembre se extienden a 9 pm. Sin embargo, en
el mes de febrero, cuando el lugar sufre sus inviernos, la hora de
cierre se redujo a 6 de la tarde. La torre de puerto est abierta
todos los das de la semana y todos los das del ao. Una cuota de
entrada de 600 se cobra por entrar en la torre.La Torre de Kobe es
uno de los atractivos ms destacados de la ciudad.
PROBLEMAS PROPUESTOS1Representa grficamente y determina las
coordenadas de los focos, de los vrtices y la excentricidad de las
siguientes hiprbolas.12342Representa grficamente y determina las
coordenadas del centro, de los focos, de los vrtices y la
excentricidad de las siguientes hiprbolas:123Hallar la ecuacin de
una hiprbola de eje focal 8 y distancia focal 10.4El eje principal
de una hiprbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8, 14).
Hallar su ecuacin.5Calcular la ecuacin reducida de la hiprbola cuya
distancia focal es 34 y la distancia de un foco al vrtice ms prximo
es 2.6Determina la ecuacin reducida de una hiprbola que pasa por
los puntos.7Determina la ecuacin reducida de una hiprbola que pasa
por el puntoy su excentricidad es.8Determina la ecuacin reducida de
una hiprbola sabiendo que un foco dista de los vrtices de la
hiprbola 50 y 2.9Determina la posicin relativa de la recta x + y 1
=0 con respecto a la hiprbola x2 2y2= 1.10Una hiprbola equiltera
pasa por el punto (4, 1/2). Haya su ecuacin referida a sus asntotas
como ejes, y las coordenadas de los vrtices y los focos.
Respuestas:11
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