LA MATEMÁTICA NÁHUATL: ESTUDIO DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN NÁHUATL

7/17/2019 LA MATEMÁTICA NÁHUATL: ESTUDIO DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN NÁHUATL

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LA MATEMÁTICA NÁHUATL: ESTUDIO DEL SISTEMA

DE NUMERACIÓN NÁHUATL

Tesis que para obtener el grado de

Maestro en Ciencias en Matemática Educativa

Presenta:

Pedro Marcelino Espinoza Ocotlán

Director de Tesis:

Dr. Javier ezama !ndal"n

M#$ico% D. &.% ma'o de ())*.



I tokayo

Nauatlapoual ixtlamachilistli: Ixtlamachtili nechikol naua tlapoualisltli

Nechikol tlamachilistli

On ixtlamachtili nechikol nauatla poualistli, on nechikol tlapoualistli mo ij kuiloua kej moijtoua uan kuika –se pouali- o kek tlalijkej, oki setilijkej uan o ki nechikojke on toteixmatkauan ixtlamatkej naulatlajtokej chanejkej nikan se manauak –yauejka i tokaMexico- pan on kaltlamachtilmej Kalmekak, Telpochkali uan Kuikakali, miyek xijmejkuan xa o yejkoya on Kaxtilmej ne pan yeyi tsontli uan kaxtoli pouali uan se pouali uan se.

Satepaj pan on tonali, on tlamachilistli sa o otlapoual temachiltiyayaj –o kan taya to tlajtlo-ka miyekej maseualtekiyomej, tech to ya uejka to tajueuentsitsiuan otemachiltijtiue astaamanin in tonali. On nechikoltlapoualistli nemij pa in tonalmej, panpa nochtin kanaj mostla pan miyek maseualtekiyojmej.

Se nechikol tlapoualistli tlamachil ixtlamachtili, iak miyek maseual tekiyojmej on oyitokayouan on naua tlapoualmej uan kanaj to –teixmatkauan- te ititiyaj kej mo ijtouaj, koxsan kuikatok itokayo on tlapouali, noijki tech machiltiyaj kenon kanon mo ijkuiloua ka ontlapouali se pouali uan kenon mo setiliyaj on nechikol tlapoualismej. Pan on tlajtolnechikol tlapoualistli ka to tlajtol nauatl, noijki mo nextiyaj on nechikol tlasesetilistli,nechikol tlapiuilistli, nechikol tlaxexelolistli, nechikol tlaueyitilistli uan on tlanechikoltlasetilisyotl. Nochi uejua in, tech melauak ititiyaj, panpa pan on yauejka itoka mexico, yajo mo machtiyayaj on Naua tlapoual ixtlamachilis kauayaj.

Tla ti kin te i titiskej in maseual ixtlamatilismej, uan kajxiliyan ika on tekiyojme, pan onmaseualkaltlamachtilistli, xuelis ka on Transposición i!"ctica Tra!icional, panpa yej ua in

san kana on tlamachtijketl, on mo machtijketl uan on tlamachtilistli- kox kana onmaseuatlamachilistli, kan pa melauak mo yektlalia nochi tlamachilistli# ka ye on te, mo nekiokse yankuik tlamachtilistli, uan tlen tejuamej tik tokayotiya $Transposición i!"ctica no%on&encional', kej okse yankuik tlamachtilisyotl pan in Matem"tica (!ucati&a uan oksetlakanalistli, uan tech tomilis keno nesi on ixtlamachiltilistli ka on sekimej maseualixtlamachil tekiyolistli uan tech paleuiyaj tik majsikamatiskej uan ti kin axiliskej onixtlamachilisyotl kan pa ti nemij uan ti chantij uan kenon ti kin te i titiskej pan on maseualkaltlamachtilistla.

)xkon tej, aman on maseual tekiyolistli, yej on ueliskej yankuikej ixtlamachilistli kanontejuamej ti kin nextiskej pan on tekuiyolislti, kan pa on ti tlaketsalislti, tla se tilistli,tlamachilistli, ueyi panolistli, maseual tlamachili, teokuepalislti, uan on temikimej, nochtin

san sekan monamikij pan se ixtlamachilistla uan kenon majxiliyaj on ixtlamachilistli pan sekalpaj setitok.

Título

Matemática Náhuatl: Estudio del Sistema de Numeración Náhuatl



RESUMEN

(l Sistema !e Numeración N"huatl, es un sistema posicional &i*esimal –+ase - crea!o,estructura!o y sistematia!o en el i!ioma N"huatl por los maestros !el conocimiento !el%em /n"huac –M0xico anti*uo- en el %almecac, Telpochcalli y %uicacalli, miles !e a1osantes !e la lle*a!a !e los espa1oles en 232.

espu0s !e esta 4echa, los conocimientos sólo se transmiten !e manera oral –usan!o eli!ioma-y a tra&0s !e !i&ersas pr"cticas sociales, !e *eneración en *eneración, hasta hoy en!5a. (l uso coti!iano !e los conocimientos !el sistema !e numeración N"huatl, en !i&ersas pr"cticas sociales, es lo 6ue ha permiti!o su trascen!encia en nuestros tiempos.

(l estu!io !etalla!o !e este sistema !e numeración, a tra&0s !e las pr"cticas socialescoti!ianas !e nom+res !e los n7meros en N"huatl por $nuestros conoci!os !e rostro' – Teixmatkauan- !emuestra 6ue la estructura 4on0tica en N"huatl, presenta a!em"s !e la!e4inición conceptual !el nom+re !el n7mero, una !e4inición posicional &i*esimal y

operacional !el sistema !e numeración N"huatl. (n la misma estructura 4on0tica !e losn7meros en N"huatl, resaltan los principios !e a!i&iti!a! pro*resi&a, multiplici!a! pro*resi&a, !i&isi+ili!a! pro*resi&a, exponencia+ili!a! pro*resi&a y complementarie!a!.Sien!o 0stas, prue+as 4ehacientes, 6ue en el M0xico anti*uo, hu+o una intensa acti&i!a!matem"tica.

8a repro!ucción !e este tipo !e sa+eres socioculturales, transmiti!os a tra&0s !e las pr"cticas sociales, en contextos escolares, no ser" posi+le a tra&0s !e la Transposicióni!"ctica Tra!icional, -por6ue 0sta sólo toma en cuenta el !ocente, el alumno y sa+er- sinconsi!erar lo $sociocultural' !on!e realmente existe la construcción !e conocimientos# por tanto, se re6uiere una nue&a 4orma !e Transposición !e conocimientos , a lo 6ue nosotros le!enominamos la $Transposición i!"ctica no %on&encional', como un nue&o concepto en

Matem"tica (!ucati&a y un re4erente teórico, 6ue explica la *0nesis !el conocimientome!iante la repro!ucción !e las pr"cticas sociales selectas 6ue 4a&orecen la construcción !econocimientos situa!os en contextos socioculturales en contextos escolares.

e esta manera, las pr"cticas sociales, constituyen los nue&os escenarios para laconstrucción !e conocimientos matem"ticos !e manera pr"ctica, !on!e la comunicación,socialiación, i!eolo*5a, el !esarrollo histórico, cultural, espiritual y las acti&i!a!es, 4orman parte !el mismo proceso !e apren!iaje y construcción !e conocimientos !e la socie!a!or*ania!a.

Title

Mathematical Náhuatl: Study o the System o Náhuatl Numeration!"STR!#T

The System o4 N"huatl Numeration, is a &i*esimal positional system – +ases- create!,structure! an! systematie! in the N"huatl lan*ua*e +y the teachers o4 the kno9le!*e o4



the %em /n"huac - ol! Mexico- in the %almecac, Telpochcalli an! %uicacalli, thousan!s o4 years +e4ore the arri&al o4 the Spaniar!s in 232.

/4ter this !ate, the kno9le!*e are only transmitte! o4 oral 9ay - usin* the lan*ua*e-an!throu*h !i&erse social practices, o4 *eneration in *eneration, until no9a!ays. The !aily useo4 the kno9le!*e o4 the system o4 N"huatl numeration, in !i&erse social practices, is 9hat it

has allo9e! his importance in our times.The !etaile! stu!y o4 this system o4 numeration, throu*h the !aily social practices o4 nameso4 the num+ers in N"huatl +y :our kno9in* 4ace: - Teixmatkauan- !emonstrates that the phonetic structure in N"huatl, presents in a!!ition the conceptual !e4inition o4 the name o4 the num+er, a &i*esimal an! operational positional !e4inition o4 the system o4 N"huatlnumeration. )n the same phonetic structure o4 the num+ers in N"huatl, the principles o4 pro*ressi&e a!iti&ity, pro*ressi&e multiplicity, pro*ressi&e !i&isi+ility, pro*ressi&eexponencia+ility an! complementariness stan! out. ;ein* these, 4orce4ul tests, that in ol!Mexico, there 9as an intense mathematical acti&ity.

The sociocultural repro!uction o4 this type o4 kno9le!*e, transmitte! throu*h the social

practices, in scholastic contexts, 9ill not +e possi+le throu*h the Tra!itional i!acticTransposition, - +ecause this only takes into account the e!ucational, the stu!ent an!kno9le!*e 9ithout consi!erin* the :sociocultural thin*: 9here really the construction o4 kno9le!*e exists# there4ore, a ne9 4orm o4 Transposition o4 kno9le!*e is re6uire!, to9hich 9e !enominate! the :non %on&entional i!actic Transposition to him:, like a ne9(!ucati&e Mathematical concept in an! a re4errin* theoretician, 9hom the ori*in o4 thekno9le!*e +y means o4 the repro!uction o4 the social practices explains selections thatallo9 the construction o4 kno9le!*e locate! in sociocultural contexts in scholasticcontexts.

This 9ay, the social practices, constitute the ne9 scenes 4or the construction o4

mathematical kno9le!*e o4 practical 9ay, 9here the communication, socialiation,i!eolo*y, the historical, cultural, spiritual !e&elopment an! the acti&ities, comprise o4 thesame process o4 learnin* an! construction o4 kno9le!*e o4 the or*anie! society.



$ndice

P"*ina

)ntro!ucción 2

%ap5tulo 2< Marco teórico, meto!oló*ico y pro+lema !e in&esti*ación =

2.2 (timolo*5a !el t0rmino N"huatl 2>

8a matem"tica en el %em /n"huac antes y !espu0s !e2. 2=

%olón

2.? (l cero y el sistema !e numeración posicional 2@

2.A 8a cultura Maya 2

2.3 8a cultura ateca 3

2.> Sistema !e Numeración N"huatl >

2.B 8a escritura y representación !e los n7meros en N"huatl =

2.= Sistema posicional ?

2.@ (l !ualismo como +ase !e la existencia !e to!o el cosmos ?2

2.2 Operaciones aritm0ticas ?2

2.22 8a cultura )nca ??

%ap5tulo < elimitación !el pro+lema, justi4icación y o+jeti&os ?A



.2 C%u"l es el esta!o !el pro+lemaD ?A

. Eusti4icación ?>

.? Principales hipótesis !e in&esti*ación ?@

.A O+jeti&o Feneral A

.A.2 O+jeti&o espec54ico

%ap5tulo ?< Marco teórico y Meto!oló*ico A?

?.2 Marco teórico A?

?. Meto!olo*5a A=

%ap5tulo A< Sistema !e Numeración N"huatl A@

A.2 el contar a las canti!a!es A@

A. 8os n7meros $Tlapoualmej' 32

A.? (scritura !e los n7meros 3?

A.A 8as canti!a!es y los N7meros en N"huatl 3A

%ap5tulo A< /n"lisis !el Sistema !e Numeración N"huatl 3@

3.2 N7meros 4un!amentales< 2 y 2 3@

(l principio !e a!iti&i!a! pro*resi&a en la construcción !e3. > los n7meros



3.? Gni!a!es !e a!iti&i!a! >

3.A Gni!a!es y su+uni!a!es +ase >2

3.3 8ey !e la !istri+ución pro*resi&a >

3.> %onstrucción a!iti&a pro*resi&a !e los n7meros > al 2 >

3.B %onstrucción a!iti&a pro*resi&a !e los n7meros 22 al 23 >A

3.B.2 /n"lisis etimoló*ico HNeluayotlajtoltlatomilistliI>A !e la pala+ra $Kaxtoli'.

3.= %onstrucción a!iti&a pro*resi&a !e los n7meros 2> al >3

3.=.2 /n"lisis etimoló*ico HNeluayotlajtoltlatomilistliI>3 !e se poali

3.@ 8os &einte N7meros 5*itos >>

3.2 Jormación !e los n7meros al A >>

3.22 Jormación !e los n7meros mayores 6ue A >=

(l n7mero como uni!a! +ase para 4ormar los n7meros3.2 B3 al A

Feneraliación para la construcción mental !e los3.2? B3 n7meros compren!i!os entre y A.

3.2A (l principio !e /!iti&i!a! Pro*resi&a B>

3.23 (l principio !e $Multiplici!a! pro*resi&a' B>

3.2> (l principio !e i&isi+ili!a! =

3.2B (l principio !e %omplementarie!a! =

3.2= (l principio !e exponencia+ili!a! =@



3.2@ (l cero en el Sistema !e Numeración N"huatl @

3. 8as ór!enes en el Sistema !e Numeración N"huatl @2

8a numeración N"huatl< Gn Sistema !e Numeración3.2 @2

%omplejo

3. 8os n7meros enteros $Tlapoualsejsentemej' @

3.? 8os n7meros racionales $Tlapoualtlajtlapankej' @A

3.A 8os n7meros impares $Tlapoualxixnamikyejkej' @A

8os n7meros impares como +ase para los n7meros pares

3.3 @>$Tlapoualixnamikyejkej'

3.> 8os n7meros ne*ati&os @=

%ap5tulo >< Sistema !e Numeración posicional @@

>.2 Sistema Numeración N"huatl posicional y !e +ase @@

%ap5tulo B< 8a transposición i!"ctica no %on&encional HTN%I para la2 construcción social !el conocimiento

B.2 8a tranposición i!"ctica no %on&encional 2

B. O+jeti&o Feneral !e las acti&i!a!es sociales propuestas 23

B..2 O+jeti&os espec54icos !e las acti&i!a!es sociales 23

B.? esarrollo !e las acti&i!a!es sociales propuestas 2B

B.?.2 %onstrucción social !e conocimientos a tra&0s !el



2=culti&o !e ma5.

B.?. %onstrucción social !e conocimientos a tra&0s !el22

pastoreo.

B.?.? %ontemplación y &isualiación< la reali!a! e222

ima*en !e la reali!a!.

B.?.A %ontemplación y &isualiación 22

B.?.3 e la &isualiación a la simulación 22?

B.A /n"lisis !e las acti&i!a!es sociales 22A

%onclusión Feneral 22>



$ndice de i%uras

Ji*ura 2

Ji*ura

Ji*ura ?

Ji*ura A ?

Ji*ura 3 ?

Ji*ura > ?

Ji*ura B A

Ji*ura = 3

Ji*ura @ > Ji*ura 2 @

Ji*ura 22 ?

Ji*ura 2 @>

Ji*ura 2? @B

$ndice de ta&las

Ta+la 2 2B

Ta+la >

Ta+la ? >2

Ta+la A >

Ta+la 3 >?

Ta+la > >A



Ta+la B >3

Ta+la = >B

Ta+la @ >=

Ta+la 2 BB

Ta+la 22 B=

Ta+la 2 B@

Ta+la 2? =2

Ta+la 2A =

Ta+la 23 @

Ta+la 2> @?

Ta+la 2B @A

Ta+la 2= @B

Ta+la 2@ @=

Ta+la 2 '()S!RI)

/cu1ar< %rear, !ar 4orma a expresiones o t0rminos, especialmente cuan!o lo*ran !i4usióno permanencia.

;inario< %ompuesto !e !os elementos, uni!a!es o *uarismos

%on&encional: ue resulta o se esta+lece por con&enio o acuer!o *eneral.

)nherentes< ue por su naturalea est" insepara+lemente uni!o a al*o.



Leestructuración< Mo!i4icación !e la estructura !e la*o

Sistematiar. Or*aniar, clasi4icar, re!ucir a sistema.

Tan*i+le< ue se perci+e !e manera precisa

Transposición< %olocar al*o en un lu*ar !i4erente, Ocultarse a la &ista.

Templana< irtu! car!inal 6ue consiste en la mo!eración en los placeres y paciones.



Introducción

(n la +7s6ue!a !e soluciones pertinentes, creati&as e inno&a!oras a la pro+lem"tica

4un!amental, 6ue la Matem"tica (!ucati&a se ha plantea!o para impactar al sistema

e!ucati&o nacional, sur*e la necesi!a! !e in!a*ar en las culturas !e mayor esplen!or

6ue !esarrollaron !i&ersos constructos matem"ticos, y 6ue sin !u!a al*una, crearon y

emplearon !i4erentes sistemas para *enerar y promo&er tales conocimientos, para

satis4acer las necesi!a!es 4un!amentales !e la socie!a!.

(n este tra+ajo !e in&esti*ación, consi!eramos la tesis teórica 6ue to!os los constructos

matem"ticos institucionalia!os 6ue se ense1an en to!os los sistemas e!ucati&os, se han

construi!o socialmente en "m+itos no escolares. 8a transposición !e este tipo !e sa+eres y

conocimientos, al sistema !i!"ctico, ine&ita+lemente su4re una serie !e mo!i4icaciones 6ue

a4ectan no solo su contexto, su estructura, su si*ni4ica!o y su 4uncionamiento, sino la 4orma

en 6ue se construyen !ichos conocimientos a tra&0s !e las pr"cticas sociales inherentes, en

los 6ue las acti&i!a!es, la comunicación y la socialiación en to!o el proceso !e

apren!iaje, jue*an un papel prepon!erante. 8a transposición !e estos sa+eres matem"ticos

a m7ltiples contextos escolares, carece !e la 4uente, !el proceso y los elementos 6ue

inter&ienen en una construcción social !el conocimiento matem"tico# esto plantea una serie

!e pro+lemas teóricos, pr"cticos, intenciona!os y contextua!os no tri&iales. (l estu!io !e la

construcción social !e conocimientos matem"ticos, re6uiere !el !esarrollo !e !i&ersas

aproximaciones meto!oló*icas y teóricas pertinentes para ca!a contexto sociocultural, y

articular en un en4o6ue coherente la *ran &arie!a! !e elementos 6ue con4orman el ori*en y

la construcción sociocultural !el conocimiento para re!ise1ar la pr"ctica !ocente.

- 2 -



/!entrarse en esta nue&a a&entura, nos con!uce a a4ectar a la transposición !i!"ctica, y

acu1ar en este tra+ajo !e in&esti*ación el t0rmino $transposición didáctica no

con*encional' para !i4erenciarla !e la anterior. %on este t0rmino, !eseamos llamar la

atención, para transponer la 4orma en 6ue se construyen socialmente los conocimientos e

iniciar la ruptura !e los con&encionalismos !e la transposición !i!"ctica, al incorporar el

papel principal !e la socie!a!, la acti&i!a!, la contemplación, la &isualiación, la

comunicación y la socialiación, como partes inte*rales !el proceso !e construcción social

!el conocimiento, y 6ue 0stas, no 4orman parte !e la !i!"ctica 4un!amental.

8a transposición didáctica no con*encional +T,N#-, a !i4erencia !e la transposición

!i!"ctica, incluye las acciones, el es4uero, los moti&os, el o+jeti&o, los procesos, las

secuencias, los ciclos, las ten!encias, las !istri+uciones, los o+jetos, las 4ormas, las

intenciones, los mo&imientos, las situaciones, los i!eales, los ritos culturales, las

pro+a+ili!a!es, las pre!icciones, las a+stracciones, los sa+eres, los conocimientos y

pensamientos matem"ticos a&ana!os !esarrolla!os en los contextos socioculturales. (n la

transposición didáctica no con*encional. est" el uni&erso !e las construcciones

sensoriales H&isuales, t"ctiles, au!iti&as, ol4ati&as, *ustati&as, etcI !el ser humano !entro !e

un contexto sociocultural, incluyen!o los mecanismos complejos !e contemplación como el

m0to!o 4un!amental para la apropiación !e sa+eres, si*ni4ica!os y conocimientos

si*ni4icati&os. 8a transposición didáctica no con*encional. es una !i!"ctica 4uncional, !e

la cual emer*en apren!iajes con aplicaciones a pro+lemas reales !e la &i!a, y 6ue es

posi+le transponerlos a contextos escolares para promo&er la construcción !e

conocimientos y apren!iajes si*ni4icati&os.

8a transposición didáctica no convencional , inicia con la construcción !e conocimientos

!es!e la casa en to!as las culturas, y 4unciona para la apropiación !e !i4erentes sa+eres,

- -



si*ni4ica!os y conocimientos, 6ue son la +ase para los ni&eles !e a+stracción superior. (n

la +7s6ue!a !e soluciones pertinentes al pro+lema 4un!amental !el apren!iaje !e las

matem"ticas si*ni4icati&as para la &i!a, ser" un nue&o reto la aceptación !e la

transposición didáctica no convencional para 4ortalecer la construcción social !el

conocimiento, as5 como el cam+io !e para!i*mas mentales !e los propios !ocentes e

in&esti*a!ores en matem"tica e!ucati&a.

Para lo*rar tal 4in, es necesaria la re&isión histórica !e las culturas m"s anti*uas y

so+resalientes 6ue han existi!o en la historia !e la humani!a!. (l reconocimiento !e seis

*ran!es culturas anti*uas, !e las cuales cuatro pertenecen al !enomina!o $&iejo mun!o' o

$culturas !el oriente' H(*ipto, Mesopotamia, %hina y %al!eaI, en tanto 6ue las culturas

an!ina y !el /n"huac, son !os !e las > ci&iliaciones m"s anti*uas !el mun!o con un ori*en

autónomo, 6ue no reci+ieron $prestamos culturales' HMar5n, I.

(n este tra+ajo, nos centraremos en la cultura n"huatl, 6ue antes !e 232 Hse coatl !el a1o

yeyi coatlI, era la len*ua !e to!a una nación, el i!ioma he*emónico, !e los campesinos, !e

los comerciantes, !e los maestros, !e los poetas, !e los cantantes, !e los sacer!otes, !e los

*uerreros, !e los *o+ernantes y el i!ioma !e los ioses. a+la!o !es!e el esta!o !e

acatecas hasta a Lep7+lica !el Sal&a!or, aun6ue se han encontra!o al*unos &esti*ios hasta

en Panam".

/ntes !e 232, el proceso !e construcción y uso !e los conocimientos matem"ticos

construi!os a tra&0s !e !i4erentes pr"cticas sociales, eran reconstrui!os y sistematia!os en

las escuelas !el Kalmekak , Telpochkali y Kuikakali . Posterior a la 4echa, 0stos

conocimientos ya esta+leci!os tanto en el contexto social y escolar, 4ueron !esconoci!os y

trunca!os parcialmente, y continua sólo el proceso !e transmisión oral, $tra&0s !e las

acti&i!a!es sociales coti!ianas' como la mejor t0cnica !e ense1ana para la apropiación !e

- ? -



conocimientos, sa+eres, ha+ili!a!es, *uia!os por los pa!res, !e *eneración en *eneración,

hasta en nuestros !5as. (n 0sta transmisión oral !e conocimientos, se pri&ile*ia la

comunicación, como el me!io y recurso principal para la construcción social !el

conocimiento, re4ora!o por las !i&ersas pr"cticas socioculturales.

(l n"huatl, nauatl o naoatl, 6ue si*ni4ica $6ue suena +ien, 6ue pro!uce un +uen soni!o, es

!ecir, len*ua armoniosa, 6ue a*ra!a al o5!o', clara, precisa, sonora, ele*ante y matia!a,

hasta el *ra!o 6ue nin*una !e las len*uas conoci!as hoy !5a, tiene la !elica!ea !e

expresión y 4inura !e ella# ni $el espa1ol, el in*l0s, el 4ranc0s, el italiano, el alem"n, el ruso

y !em"s, ha+la!os por los pue+los m"s ci&ilia!os y po!erosos !e la tierra, pue!en

compararse con la len*ua N"huatl HEoseph, 2@>3I 6ue a7n ha+lan miles !e nati&os en

M0xico.

(l estu!io !el sistema !e numeración n"huatl, no sólo constituye un tesoro in&alua+le a los

o5!os, sino una 4uente ina*ota+le !e conocimientos en to!os los campos cient54icos,

incluyen!o las respuestas a las *ran!es interro*antes 6ue la humani!a! se ha plantea!o

concerniente a la &i!a, la muerte, la e&olución y la trascen!encia !el ser humano.

(n este tra+ajo, consi!eramos 6ue los conocimientos matem"ticos institucionalia!os

o+jetos !e ense1ana en contextos escolares, son pro!uctos !e !i&ersas pr"cticas

socioculturales. Pre&alecien!o a6uellos conocimientos 6ue pro&ienen !e culturas

!ominantes. Sin em+ar*o, los conocimientos matem"ticos !e nuestra &er!a!era i!enti!a!

como mexicanos y !e otras culturas, no 4i*uran en la matem"tica institucionalia!a. 8os

pue+los m"s ci&ilia!os !e %em /n"huac, ahora /m0rica, tales como el /teca, Maya, e

)nca, alcanaron un consi!era+le !esarrollo en las ciencias matem"ticas, como po!emos &er

a tra&0s !e su sistema !e numeración H;al!or, I. (l lo*ro m"s importante !e ca!a una

- A -



!e ellas, 4ue el conce+ir y representar el cero, en contraste con las culturas !el &iejo mun!o,

!on!e sólo los hin!7es H;al!or, I, !escu+rieron el cero.

Si las culturas !el %em /n"huac lo*raron conce+ir el cero, CNo crearon y construyeron m"s

conocimientos matem"ticosD Cu0 conocimientos matem"ticos ha aporta!o la cultura

espa1ola a la humani!a!, la 6ue supuestamente con6uistó a las culturas !el %em /n"huacD

Sin !u!a al*una, el presente tra+ajo, encontrar" resistencia con lo 6ue ya est" esta+leci!o,

por6ue lo inespera!o nos sorpren!e, por6ue nos hemos instala!o con *ran se*uri!a! en

nuestras teor5as, en nuestras i!eas, 0stas no tienen nin*una estructura para aco*er lo nue&o.

Sin em+ar*o, lo nue&o +rota sin cesar, nunca po!emos pre!ecir cómo se presentar", pero

!e+emos contar con su lle*a!a, y una &e 6ue so+re&en*a lo inespera!o, ha+r" 6ue ser

capa !e re&isar nuestras teor5as e i!eas, en &e !e !ejar entrar por la 4uera el hecho nue&o

en la teor5a, la cual es incapa !e aco*erlo &er!a!eramente HMor5n, 2@@@I

e acuer!o con %ornejo H2@@BI, la e!ucación or*ania!a est" cumplien!o sus primeros mil

a1os !e existir +ajo el sistema escolaria!o y masi&o, las primeras uni&ersi!a!es se

4un!aron en el me!ie&o en (uropa, y por supuesto, ahora poseen un sinn7mero !e

mo!i4icaciones, pero en esencia si*uen 4uncionan!o +ajo el mismo es6uema.

/nteriormente, la e!ucación se impart5a a tra&0s !e institutrices y tutores a ni&el in!i&i!ual,

a los 6ue por supuesto solamente po!5an aspirar las 4amilias no+les y ricas, sal&o por los

monasterios y las ór!enes reli*iosas 6ue eran las otras opciones 4acti+les para 6ui0n aspirara

a un ni&el e!ucati&o superior, con la con!ición !e o4recer el resto !e su &i!a entre*a!o a la

reli*ión. / 4inales !el si*lo , la crisis e!ucati&a ha lle*a!o al 4on!o y los &alores se

hacen m"s e&i!entes 6ue nunca, es in7til la e!ucación si no se nos hace m"s humanos, el ser

humano es por !ecisión y para ello, es necesario !ar a conocer con pro4un!i!a! los &alores

y principios uni&ersales y transmitirlos con un po!eroso proceso pe!a*ó*ico para 6ue el

- 3 -



alumno !eci!a por ellos. 8a e!ucación +"sica en los ni1os !e+e ser la plata4orma !e

lanamiento y por supuesto, es in!ispensa+le lo*rar una recon&ersión mental !el ma*isterio

en 4orma inte*ral, tarea ur*ente e importante !e alta priori!a!. Si !eseamos cam+iar nuestra

reali!a! para estar en posi+ili!a!es !e !ise1ar nuestro 4uturo, tenemos 6ue rein&entar

ur*entemente nuestro sistema e!ucati&o y po!r5amos es6uematiarlo en !os *ran!es temas<

4ormación tecnoló*ica 6ue nos permita alcanar el +ienestar y el ni&el !e ri6uea 6ue ca!a

6ui0n am+iciona en la &i!a y la 4ormación humana 6ue nos ense1e cómo &i&ir, lo*rar el

bien ser 6ue, al i*ual 6ue la tecnolo*5a 6ue e&oluciona permanentemente, tam+i0n en el

la!o humano nos impulse !5a a !5a a ser m"s humanos, y por supuesto en la 4ormación

inte*ral, esta se*un!a "rea ser5a la primera y 4un!amental en transmitir. 8os &alores !e+en

ser el n7cleo !e to!o el sistema, !e lo contrario nos &ol&er5amos nue&amente a extra&iar

!e!ic"n!onos 7nicamente a transmitir 4ormas y ol&i!"n!onos !el 4on!o 6ue es la esencia !e

!on!e pro&iene to!o lo 6ue somos. HQI humanismo y tecnolo*5a !e+er5an na&e*ar juntos

HMill"n, I

(sta in&esti*ación tiene como o+jeti&o principal< 4un!amentar cient54icamente el sistema !e

numeración n"huatl, para 6ue posteriormente sir&a !e plata4orma, para la +7s6ue!a !e

soluciones pertinentes a la pro+lem"tica !e la apropiación !e sa+eres, si*ni4ica!os y

conocimientos matem"ticos.

Gna e!ucación 6ue no sólo 4omenten apren!er a conocer, apren!er a hacer, apren!er a &i&ir

juntos, y apren!er a ser Helors, 2@@BI, sino tam+i0n, apren!er a e&olucionar y trascen!er la

personali!a! !el ser humano, tal como lo 4ue en las culturas !el %em /n"huac..

%on esta i!ea en mente, se realia la presente in&esti*ación, para la cual, se tomó como

en4o6ue central a la Matem"tica (!ucati&a y la aproximación socioepistemoló*ica como

meto!olo*5a !e la in&esti*ación.

- > -



8os nom+res !e los n7meros en n"huatl 6ue a6u5 propon*o, 4orman parte !e una reali!a!

aparte en el M0xico !e hoy, 6ue no han si!o in&enta!os ni tampoco es un punto !e &ista !e

una persona, sino es la reestructuración y sistematiación !e unos conocimientos, 6ue se

han &eni!o transmitien!o !e manera oral a pesar !e la con6uista !es!e 232, a las

exi*encias !el para!i*ma actual !e uso pre!ominante. %onocimientos milenarios 6ue nunca

han si!o re*istra!os, ni si6uiera hechas conscientes, !e+i!o a las ce*ueras !el

conocimiento, error e ilusión, 6ue parasitan la mente humana por no reconocer 6ue to!o

para!i*ma pue!e al mismo tiempo !iluci!ar y ce*ar, re&elar y ocultar HMor5n, 2@@@I.

- B -



!ntecedentes

Amo el canto del Cenzontle, pájaro de 400 voces

Amo el color del jade y el enervante perfume de las flores,

- = -

#!/$TU() 0

1Se



ero amo más a mi hermano !l hom"re

8a len*ua n"huatl, es una !e las len*uas m"s +ellas !el mun!o 6ue existen, no sólo por6ue

es una len*ua milenaria, sino por6ue es una !e las pocas len*uas, 6ue han so+re&i&i!o la

!ominación espa1ola. / pesar !e to!os los es4ueros 6ue hicieron los misioneros !e !estruir

totalmente el i!ioma o4icial !el M0xico anti*uo, nunca lo*raron ni lo*rar"n apa*ar la llama

!el 4ue*o !e la len*ua m"s mara&illosa 6ue existe so+re el planeta tierra. /ntes !e 232 era

la len*ua !e to!a una nación, el i!ioma he*emónico, !e los campesinos, !e los

comerciantes, !e los maestros, !e los poetas, !e los cantantes, !e los sacer!otes, !e los

*uerreros, !e los *o+ernantes y el i!ioma !e los ioses. /+arcan!o !es!e el Norte en lo 6ue

hoy es el esta!o !e acatecas hasta el Sur en lo 6ue hoy con4orma la Lep7+lica !el

Sal&a!or# aun6ue se han encontra!o al*unos &esti*ios !e esta cultura en Panam" HMar5n,

3I. (sto implica 6ue, tal como !ice Eóseph H2@>3I $la historia !el mun!o esta+lece 6ue

la per4ección !e una len*ua sólo se alcana con muchos si*los !e ha+larla y

4un!amentalmente, por el re4inamiento espiritual 6ue !a la cultura'.

(l precio 6ue pa*aron nuestros ancestros para 6ue el i!ioma n"huatl permaneca &i&a,

nunca se po!r" escri+ir con !octas pala+ras en los li+ros !e historia, por6ue 0sta en su

momento, no se escri+ió con tinta o en papel, sino con l"*rimas, su!or, san*re, y con la

&i!a !e las personas 6ue pa!ecieron# 6ui0nes so+re&i&ieron, eli*ieron 6ue en el coraón, en

la san*re y en la mente !el ser humano como el lu*ar i!eal para escri+irlo.

8a permanencia !e la len*ua N"huatl, es una clara muestra !el 4racaso !el proyecto *lo+al

!e la !ominación espa1ola en la nue&a cultura.

%uan!o arri+aron los espa1oles en 232 al mun!o !el /n"huac, las huestes !e ern"n

%ort0s, 6ue!aron asom+ra!os 4rente a la incre5+le +ellea !e la ciu!a! !e

- @ -



M0xicotenochtitlan# y se a+ismaron ante la limpiea !e sus calles pa&imenta!as con

+ru1i!os mosaicos, y la !istri+ución !e sus e!i4icios, 6ue se*7n la propia !e4inición !e los

peninsulares, $+rilla+an al sol como si 4ueran !e plata'# y enmu!ecieron antes sus plaas

majestuosas, sus ricos jar!ines, sus merca!os y sus canales, surca!os por canoas y

atra&esa!os por puentes# es !ecir, hallaron una ci&iliación tan a&ana!a, 6ue causó pasmo

a los expe!icionarios, pero el !esor+ita!o a4"n al enri6uecimiento !e to!os, suma!o a su

i*norancia y 4anatismo, los hio !estruir lo 6ue su escaso enten!er consi!era+a her0tico,

sat"nico y pro!ucto !e hechicer5a HEoseph, 2@>3I.

8a e!ucación en el mun!o !el /n"huac, inicia+a en casa, los pa!res sa+5an y consi!era+an

6ue ellos son cria!ores y 4orma!ores !e los hijos, 6ue es un !on !el cielo para ayu!ar a

crecer a un hijo, ayu!ar a ser reclama !e cui!a!o y amor. 8os pa!res ense1a+an a sus hijos

templana y humil!a!, casti!a! y amor al tra+ajo, les persua!5an el respeto a sus mayores,

la honesti!a! y el recato en to!o su comportamiento. (l có!i*o moral, +asa!o en la

4ortalea y austeri!a!, se manten5a en la socie!a! *racias a una justicia in4lexi+le y pro+a, y

al ejemplo !e una no+lea recta y &irtuosa, capa !e presentarse como mo!elo a to!o el

pue+lo Hilloro, 2@@@I. 8os maestros !el conocimiento, sa+5an per4ectamente, 6ue !es!e el

nacimiento hasta los seis a1os !e &i!a, constituye !entro !el !esarrollo !el ser humano la

etapa m"s importante, pues en ella comiena a 4ormarse la personali!a! !el ni1o y la ni1a.

Precisamente, por ser la 4amilia el "m+ito m"s importante !on!e transcurre el !esarrollo

inte*ral !e sus hijos< !e sus mo&imientos, !e sus emociones y sentimientos, !e sus

relaciones con los !em"s, !e la posi+ili!a! !e conocer el mun!o y actuar en 0l. 8os pa!res

como los primeros 4orma!ores tienen el car"cter, la ener*5a su4iciente y llena !e amor para

sa+er encauar un criterio recto para las elecciones 6ue se les presentar"n en ca!a momento

!e la &i!a. (n el ho*ar, como en nin*7n otro lu*ar, se transmiten los &alores# es ah5 en

- 2 -



!on!e se apren!er" a &i&ir, a ser&ir, y a ser soli!arios, ah5 se sem+rar" en su coraón la

semilla !e &er!a! y !e +on!a! 6ue sus pa!res le han prepara!o y 6ue m"s tar!e 0l mismo

har" crecer Ha&i!, 2@@=I.

8a e!ucación para la &i!a continua+a !espu0s !e la imparti!a por los pa!res, con la 6ue

impart5an los hom+res !el conocimiento Hsacer!otesI 6uienes eran los encar*a!os !e la

e!ucación en las tres escuelas 6ue exist5an< el Calmecac, Telpochcalli y el Cuicacalli 2

a!a la importancia 6ue conce!5an a la e!ucación !e los hijos, pre&iamente, se*7n

;ernar!ino !e Saha*7n H2@@@I, nacien!o una criatura, lue*o los pa!res y ma!res hac5an

&oto y o4rec5an la criatura a la casa 6ue se llama Calm#cac o Telpochcalli para 6ue lle*a!a

la e!a! per4ecta asistiesen en ella# si la intención !e los pa!res era 6ue su hijo 4uese

ministro !e los 5!olos, lo o4rec5an al Calmecac HSaha*7n, 2@@@I, la escuela sacer!otal

!on!e se e!uca+an los hijos !e los *rupos !ominantes HOutram, 2@@@I, para 6ue apren!iera

la pro4esión sacer!otal, as5 como 6uienes sólo reci+5an la e!ucación reli*iosa y ci&il. Se*7n

8eón Portilla H2@@3I, para po!er ocupar ciertos puestos, como el !e los jueces, se re6uer5a

ha+er asisti!o al calmecac, escuela sólo a+ierta a los !escen!ientes !e la clase alta, para

a!6uirir un rostro sa+io y coraón recio. 8a e!a! para entrar a estu!iar al Calmecac era

sumamente &aria+le. Se*7n las 4uentes históricas po!5a ser entre los @ y 2= a1os# sin

em+ar*o, Sol5s HI especi4ica 6ue al cumplir los 6uince a1os, los &arones a!olescentes

eran o+li*atoriamente en&ia!os por sus pa!res al Calmecac o al telpochcalli , mientras 6ue

las jo&encitas continua+an instruy0n!ose en casa, junto a sus ma!res, en las la+ores

ancestrales 6ue las capacitar5an, cuan!o lle*are el momento, para ser esposas. (l in*reso se

hac5a con rituales m5sticos y reli*iosos, o4rec5an copal# reci+5an al mance+o con m7sica y

cantares, lue*o le te15an el rostro y cuerpo !e ne*ro con el ulli HhuleI.

- 22 -



/ los alumnos se les ense1a+a a ha+lar +ien y a comportarse !e acuer!o a su ran*o social, a

tratar a las personas !e acuer!o a su posición social# les transmit5an los cantares sa*ra!os y

las leyen!as 6ue *uar!a+an la historia conten!i!os en los /matl , o li+ros pinta!os Hhoy

conoci!os como có!icesI HSol5s, I los a!iestra+an en aritm0tica, cronolo*5a y astrolo*5a

ju!iciaria Ho+ser&ar el curso !e los astros, a me!ir el tiempoI, el manejo !e las armas y en la

participación !irecta en las *uerras para 6ue apren!ieran a :pelear por un ios y por su

patria', a ha+lar y recitar +ien, a ser +uenos narra!ores, a ser :artistas !el la+io y +oca:,

para 6ue !e ella :+roten 4lores'. (l e!ucan!o 6ue se !e!icar5a al sacer!ocio !e+5a pasar por

los *ra!os !e tlamakasto, tlamakaski y, 4inalmente, tlanamakak, cuan!o termina+a como

sacer!ote. Se*7n 8arroyo, ca!a *ra!o ten5a una !uración !e 3 a1os. Sol5s HI !escri+e

6ue en el %almecac, apren!er5an el !i45cil manejo !e la a!ministración p7+lica y en el

4uturo maestros, jueces e inclusi&e *o+erna!ores, para lo cual !e+er5an conocer los có!i*os

le*ales 6ue re*ulan la &i!a en comuni!a!. 8os alumnos 6ue no ser5an sacer!otes sal5an !el

kalmekak a los a1os !e e!a!, po!5an entonces casarse y ocupar los altos puestos

a!ministrati&os.

%uan!o la intención !e los pa!res era 6ue su hijo se criase y 4ormase para el ser&icio !el

pue+lo y para las cosas !e la *uerra, !eci!5an o4recer la criatura a la casa !el Telpochcalli

$8a casa !e los jó&enes'.

8a &i!a en el Telpochcalli era !ura, ya no ha+5a !ulces pala+ras. on!e se e!uca+a la

mayor5a !e los jó&enes HOutram, 2@@@I, para el apren!iaje !e la *uerra H8eón Portilla,

2@@3I, el apren!iaje !el uso !e las armas como el "tlatl, el arco, la 4lecha y el mau"huitl, la

curiosa espa!a !e ma!era con 4ilos !e o+si!iana HSol5s, I. Se trasmit5a a los alumnos

los elementos 4un!amentales !e la reli*ión, la moral y se les a!iestra+a en el arte !e la

- 2 -



*uerra. 8es ense1a+an a cantar, a !anar, a ser +ien cria!os, a tener re&erencia y amor por

los mayores, a ser&ir, a o+e!ecer# a cómo tirar y manejar con punter5a las 4lechas, las

ro!elas, la espa!a. 8es pre!ica+an a &i&ir castamente, a ayunar, a +e+er y comer

templa!amente, con reposo y mensura, no apresura!amente. 8os 6ue ten5an inclinación

hacia el arte !e la *uerra, po!5an con&ertirse en sol!a!os o capitanes# 6uienes se interesa+an

por la reli*ión los aparta+an H+ien al iniciar o posteriormenteI !e los sol!a!os y los pasa+an

a otras casas !e ceremonias y cultos, llama!as tlamacazcalli H:casa !e los mance+os, ya en

la per4ecta e!a! !e su ju&entu!:I2 8a instrucción *eneral en el Telpochkali consta+a !e ?

especies !e *ra!os< el alumno !e reci0n in*reso reci+5a cursos para

T)/K/T(/K/% :instructor:, el se*un!o era !e T(8PO%T8/ETO :Ee4e !e

instructores: y el tercero !e T8/K/T(K/T8 :!irector !e un telpochcalli:. Sol5s HI

a*re*a, 6ue los jó&enes nunca !e+er5an a&er*onar con sus actitu!es a sus ancestros.

8os pa!res, antes !e internar a su hijo en cual6uiera !e estas !os escuelas, primero hac5an y

*uisa+an muy +uena comi!a, y con&i!a+an a los maestros !e los mance+os 6ue ten5an car*o

!e criarlos y mostrarles las costum+res 6ue en a6uella casa usa+an, hecho el con&ite en casa

!e los pa!res !el muchacho, hac5an una pl"tica a los maestros 6ue los cria+an, !ici0n!oles<

os hacemos sa+er 6ue nuestro se1or, crea!or !el cielo y !e la tierra, 4ue ser&i!o !e hacernos

merce! !e !arnos una criatura, como una joya o pluma rica, 6ue nos 4ue naci!o, por &entura

se criar" y &i&ir", y es &arón, no con&iene 6ue le mostremos o4icio !e mujer, teni0n!ole en

casa. Por tanto, os le !amos por &uestro hijo, y os le encar*amos por6ue ten0is car*o !e

criar a los muchachos y mance+os, mostr"n!oles las costum+res, para 6ue sean hom+res

&alientes, y para 6ue sir&an a los !ioses Tlaltecutli y Tonatiuh y para 6ue sir&a en la pelea.

8os maestros respon!en< $Tenemos en mucha merce! ha+er o5!o su pl"tica o raonamiento.

No somos nosotros a 6ui0n hac0is esta pl"tica o petición, m"s la hac0is al se1or !ios Raotl,

- 2? -



en cuya persona la o5mos# 0l es a 6ui0n ha+l"is y a 0l !ais y o4rec0is &uestro hijo, o &uestra

pie!ra preciosa y pluma rica, y nosotros en su nom+re le reci+imos# 0l sa+e lo 6ue tiene por

+ien !e hacer !e 0l. Nosotros in!i*nos sier&os ca!ucos, con !u!osa esperana, esperamos lo

6ue ser" y lo 6ue ten!r" por +ien hacer a &uestro hijo, se*7n 6ue 0l tiene ya or!ena!o !e

hacerle merce!es, con4orme a su !isposición y !eterminación, 6ue antes !el principio !el

mun!o !eterminó !e hacer. %ierto, i*noramos los !ones 6ue le 4ueron !a!os y la propie!a!

y con!ición 6ue entonces le 4ue !a!a. Na!ie !e los 6ue nacen reci+e su 4ortuna ac" en el

mun!o# cierta cosa es 6ue nuestra 4ortuna con nosotros la traemos cuan!o nacemos.

Leci+imos &uestro ni1o para 6ue sir&a en +arrer y en los otros tra+ajos +ajos, en la casa !e

nuestro se1or. eseamos y ro*amos 6ue le sean !a!as las ri6ueas !e nuestro se1or !ios#

!eseamos 6ue en esta casa se mani4iesten y sal*an a la lu los !ones y merce!es con 6ue

nuestro se1or le a!ornó y hermoseó antes !el principio !el mun!o. O por &entura, nuestro

se1or le lle&ar" para s5 y le 6uitar" la &i!a en su ni1e# por &entura no mereceremos 6ue

&i&a lar*o tiempo en este mun!o# no sa+emos cosa cierta 6ue os !ecir, para 6ue os po!amos

consolar# no os po!0is !ecir certi!um+re esto ser", o esto har", o esto acontecer", o ser"

estima!o, ser" ensala!o, &i&ir" so+re la tierra. Nosotros haremos lo 6ue es nuestro !e+er

6ue es criarle y !octrinarle como pa!res y ma!res# no po!remos por cierto entrar en 0l,

!entro !e 0l, y ponerle nuestro coraón# tampoco &osotros po!r0is hacer esto, aun6ue sois

pa!res. 8o 6ue resta es 6ue no os !escui!0is, en encomen!arle a !ios con oraciones y

l"*rimas, para 6ue nos !eclare su &olunta!.

(ntra!o en la casa !el Telpochcalli el muchacho, le !a+an car*o !e +arrer y limpiar la casa,

poner lum+re y hacer los ser&icios !e penitencia a 6ue se o+li*a+a. (ra costum+re 6ue a la

puesta !el sol, to!os los mance+os i+an a +ailar y !anar a la casa 6ue se llama cuicacalco,

ca!a noche y el muchacho tam+i0n +aila+a con los otros mance+os# lle*an!o a los 6uince

- 2A -



a1os y sien!o ya mance+illo, le lle&a+an consi*o los muchachos al monte a traer le1a, 6ue

era necesaria para la casa !el Telpochcalli y cuicalco, y le car*a+an al mance+o uno o !os

le1os *ruesos para pro+ar y &er si ya ten5a ha+ili!a! HSaha*7n, 2@@@I. el Telpochcalli ,

e*resa+an los *uerreros con &istosos penachos !e plumas, expresan!o en su &esti!o las

ór!enes militares# sien!o las ór!enes *uerreras m"s altas eran las !e los /chcautin o

ca+alleros pumas# los cuahtin o ca+alleros "*uilas, y los Oc0lotl o ca+alleros ti*res, ca!a

uno con la insi*nia tot0mica animal H8eón Portilla, 2@@3I.

No est" preciso si las Kuikakali eran escuelas autónomas o eran anexas a los Kalmekak .

8ópe /ustin, re4iere 6ue el Kalkamekak y el Telpochkali eran las escuelas m"s comunes

pero no las 7nicas y 6ue la Kuikakali era el lu*ar !on!e se ense1a+an los cantos, a la 6ue

acu!5an los estu!iantes a reci+ir instrucciones para el tra+ajo comunal, y en la noche

acu!5an para cantar y +ailar. %ha&ero, en cam+io, esta+lece la i!ea !e 6ue las Kuikakali

4orma+an parte !el Kalmekak , al a4irmar 6ue los estu!iantes Hhom+res y mujeresI apren!5an

a cantar y !anar en 0sta< :/s5 mance+os y moas hijos !e los se1ores principales reci+5an

la e!ucación sacer!otal, y 0stas a!6uir5an ah5 tam+i0n las *alas !e su sexo apren!ien!o a

cantar y a !anar' 8eón-Portilla H2@@3I se re4iere a ellas como los centros !on!e se

ense1a+a to!o lo relaciona!o al canto, la !ana, la m7sica, los himnos y otras artes, pero no

hace re4erencia si eran autónomas o 4orma+an parte !e al*unas !e las m"s comunes, o si

eran !e las !i&ersas escuelas m"s especialia!as y !e m"s corta !uración. (n cam+io, Jray

ie*o ur"n, en cam+io, hace una amplia !escripción !e las Kuikakali y las u+ica como

escuelas in!epen!ientes !e las otras, 6ue exist5an en los !i&ersos lu*ares H0l ha+la !e las !e

Tenochtitlan, Texcoco y Tacu+aI a las 6ue los y las jó&enes eran o+li*a!os a asistir para

apren!er el canto y el +aile# !e no asistir se hac5an acree!ores a penas pues se o4en!5a al

!ios !el +aile. a+5a ancianos y ancianas responsa+les !e &i*ilar 6ue los jó&enes asistieran

- 23 -



a las clases !e canto y +aile. (n el %uicacalla o cuicacalco HSaha*7n, 2@@@I, se aten!5a el

!esarrollo corporal, !"n!ole atención sin*ular tal como !escri+e )+arra H?I, nuestro

cuerpo !esempe1a un papel important5simo en ca!a proceso intelectual< a lo lar*o !e

nuestro !esarrollo como seres humanos, !es!e el seno materno hasta la e!a! a!ulta, es 0l

6uien proporciona al cere+ro la &aliosa in4ormación 6ue 0ste necesita !el me!io am+iente

6ue nos ro!ea. %a!a mo&imiento, !es!e la in4ancia, es !ecisi&o en la creación !e re!es

neuronales, 6ue !e hecho 4ormar"n la esencia !el apren!iaje. / tra&0s !e nuestros ojos,

o5!os, nari, len*ua y piel reci+imos las sensaciones. stas se con&ierten as5 en el

4un!amento !el conocimiento. Nos expresamos a tra&0s !e nuestro cuerpo, los m7sculos se

mue&en cuan!o ha+lamos, cuan!o ejecutamos al*7n instrumento musical, cuan!o cantamos

o +ailamos, cuan!o escri+imos o simplemente caminamos. 8os mo&imientos acti&an las

re!es neuronales a tra&0s !el cuerpo hacien!o 6ue 0ste se con4orme como instrumento !el

apren!iaje, es !ecir, 6ue el apren!iaje se !a inte*ralmente. 8os ni1os apren!en mejor

$mo&i0n!ose' 6ue $&ien!o', y so+re to!o interactuan!o con otras personas# a!em"s,

apren!en mejor ju*an!o, !esarrollan!o su ima*inación y procesan!o sus experiencias a su

propio ritmo y tiempo. Seamos impulsores !e su ima*inación, !e su creati&i!a!, !e sus

in&entos, !e sus jue*os, a 4in !e 6ue sean capaces !e crecer emocionalmente y a!6uieran

ma!ure perceptual para as5 !is4rutar !e esta hermosa &i!a H)+arra, ?I. 8a e!ucación 6ue

se necesita para trascen!er la personali!a! !e las personas, exi*e !ecisión, es4uero y

!e!icación, tanto para el tra+ajo intelectual para *enerar i!eas como la moti&ación y el

!eseo para el ejercicio !e la &olunta!a para !esple*ar la creati&i!a!.

(l 4in !e la e!ucación en estas tres escuelas, era para ser *uerrero o sacer!ote, es !ecir,

trascen!er la personali!a! !e la persona. (n estas escuelas, los maestros !el conocimiento

lo*raron 4ormaliar y sistematiar !i&ersos conocimientos, entre las 6ue !estacan los !e tipo

- 2> -



matem"tico, y 6ue una m5nima porción se retomar" en este tra+ajo, transmiti!os !e manera

oral !e *eneración en *eneración, a tra&0s !el i!ioma N"huatl, 6ue se*7n la comisión

Nacional para el !esarrollo !e los pue+los in!5*enas, si*ue sien!o la primera len*ua

in!5*ena en M0xico Hillela, AI.

020 Etimolo%ía del t3rmino Náhuatl

Náhuatl pro&iene !el &er+o nahuatl, a su &e, !e nauati 6ue literalmente si*ni4ica $6ue se

escucha, sonoro o au!i+le' pero en el len*uaje meta4órico, si*ni4ica 6ue se escucha claro y

4uerte, es !ecir, $6ue suena +ien, 6ue pro!uce un +uen soni!o, es !ecir, len*ua armoniosa,

6ue a*ra!a al o5!o' HSim0on, 2@@AI, clara, precisa HFari+ay, 2@@A, sonora, ele*ante y

matia!a, hasta el *ra!o 6ue nin*una !e las len*uas conoci!as hoy !5a, tiene la !elica!ea

!e expresión y 4inura !e ella# ni $el espa1ol, el in*l0s, el 4ranc0s, el italiano, el alem"n, el

ruso y !em"s, ha+la!os por los pue+los m"s ci&ilia!os y po!erosos !e la tierra, pue!en

compararse con la len*ua N"huatl 6ue a7n ha+lan miles !e nati&os Q HEoseph, 2@>3I# en

esta len*ua H8eón, 2@@3I se expresaron los sa+ios y artistas !e Tula y !e otros muchos en

lu*ares como %holula, ochicalco, culhuacan, /capotalco, Texcoco, Tlaxcala, y por

supuesto en M0xico-Tenochtitlan H8eón Portilla, 2@@@I# sien!o el i!ioma !e !i&ersas

culturas como la tolteca, ateca, etc. )!ioma 4orja!a a tra&0s !e miles !e a1os, una len*ua

&i&a !el M0xico anti*uo. No sólo constituye para los 4ines !e este estu!io, un tesoro

in&alua+le a los o5!os, sino una 4uente ina*ota+le !e conocimientos en to!os los campos

cient54icos, incluyen!o las respuestas a las *ran!es interro*antes 6ue la humani!a! se ha

plantea!o concerniente a la &i!a, la muerte, la e&olución y la trascen!encia !el ser humano.

/ctualmente, no existe una uni4ormi!a! en el empleo !e un solo al4a+eto, 6ue satis4a*a la

escritura correcta !e $el i!ioma n"huatl'. (n este tra+ajo, emplearemos el al4a+eto

- 2B -



HNauatlajkuilolpamitlI acepta!o por la irección Feneral !e (!ucación )n!5*ena y

apro+a!o por la S(P en M0xico H8ópe, et al, 2@=?I, para escri+ir los nom+res !e los

n7meros en n"huatl, clasi4ica!os !e la si*uiente manera<

Ta+la 2< N/G/T8/EKG)8O8P/M)T8< /8J/;(TO OLTOFLJ)%O N/G/T8

ocales HAI a , e, i, o

%onsonantes H2AI Simples H22I j, k, l, m, n, p, s, t, u, x, y

%ompuestas H?I ch, tl, ts

8as letras compuestas ch, tl, y ts, son soni!os sui *0neris !el i!ioma nauatl# a !i4erencia !el

al4a+eto 6ue empleamos, la letra u es toma!o como consonante.

024 (a matemática en el #em !náhuac antes y despu3s de #olón

(n el mun!o %em /n"huac, se !esarrollaron !i&ersas culturas !es!e muchos milenios antes

!e la era cristiana, a los 6ue históricamente, se les !enomina $culturas precolom+inas'. 8as

culturas precolom+inas !el continente americano aportaron una enorme canti!a! !e

conocimientos al mun!o mo!erno# actualmente son conoci!as sus aportaciones a la

- 2= -



her+olaria, 4iloso45a, a*ronom5a, astronom5a o matem"ticas H%antoral, ?I. (sto si*ni4ica,

6ue nuestros &iejos a+uelos ancestrales, !es!e 0pocas remotas, tu&ieron la necesi!a! !e

construir conocimientos, a tra&0s !e !i4erentes pr"cticas coti!ianas, lo cual ha permiti!o a la

humani!a! acumular &aliosas y &aria!as experiencias a lo lar*o !e su historia HLojas,

I. (n nuestro si*lo, ha lle*a!o a reconocerse 6ue las culturas !e Mesoam0rica ten5an

sapiencia astronómica, calen!"rica y matem"tica HLam5re, 2@@3I# al respecto, 8arios

HI a*re*a< la mayor aportación matem"tica al parecer est" li*a!a estrechamente con

cuestiones astronómicas, principalmente el calen!ario, y en menor *ra!o con la esta!5stica.

Por tanto, no sólo las culturas (*ipcia, Frie*a, Sumeria, cal!ea, %hina, !esarrollaron

conocimientos matem"ticos. (n /m0rica, son reconoci!as por lo menos cuatro culturas 6ue

ha+5an alcana!o mayor esplen!or antes !e 232. stas son la cultura maya, ateca, Olmeca

e inca, a los 6ue se les reconoce 6ue tu&ieron un *ra!o !e !esarrollo !e conocimientos

matem"ticos.

025 El cero y el sistema de numeración posicional

8as culturas mesoamericanas, como mayas, atecas, Olmecas e incas, presentan un ras*o en

com7n en la construcción !e conocimientos matem"ticos con la cultura hin!7# ca!a una !e

ellas, por separa!o, !esarrolló la noción, el s5m+olo, el concepto, y uso !el cero.

Para &isualiar la notación posicional en la cultura hin!7, primero recor!aremos 6ue en 0sta

no se presentó al inicio !el !esarrollo !e sus numerales, sino 6ue apareció posteriormente.

8os numerales m"s anti*uos 6ue se han encontra!o usan!o el &alor !e posición y el cero

proce!e !el a1o =B> !.%., aun6ue existen inscripciones "ra+es !el a1o =B? !.%. y una

inscripción in!ochina !el a1o >A !.%. HFarc0s, 2@=, cita!o en 8arios, I. (n am+os

- 2@ -



casos, se tiene la certea !e 6ue existe *ran in4luencia hin!7. Por otro la!o, los monumentos

!el S0ptimo ;akt7n ya utilia la posición !e los numerales, sien!o por tanto, los m"s

anti*uos en /m0rica con esta caracter5stica. (ntre estos monumentos existen la estela !e

%hiapas !e %oro y la estela % !e Tres apotes 6ue, al ser 4echa!as en los a1os ?3 a.%. y ?2

a.%., respecti&amente, antece!en por m"s !e no&ecientos a1os las m"s anti*uas

inscripciones hin!7es 6ue usan numerales con &alor posicional, y por m"s !e seiscientos a

las m"s anti*uas !e )n!ochina. Si, consecuentemente, consi!eramos 6ue en (uropa este tipo

!e numerales son intro!uci!os hasta el a1o @B> !.%. HUiller!in*, 2@B2# cita!o en 8arios,

I, tenemos entonces una !i4erencia !e un milenio con la inscripción posicional m"s

anti*ua mesoamericana.

%ontinuan!o con lo anterior, 8arios HI explica< to!os los conoce!ores !e la aritm0tica

sa+en 6ue sin el s5m+olo !el cero, un sistema !e notación posicional no pue!e so+re&i&ir

correctamente, para lo cual, hay 6ue anotar 6ue los ceros m"s anti*uos escritos !e los 6ue

se tiene conocimiento son los ceros esculpi!os en la estela 2= !e Gaxact7n Hperteneciente al

*rupo !e inscripciones !e el PeténI, 4echa!a en ?3B !.c., 6ue antece!en por 32@ y AB a1os

a los ceros m"s anti*uos hin!7 e in!ochino, respecti&amente. Otra !i4erencia existente, m"s

conceptual, es 6ue mientras el cero hin!7 es un punto !e menor !imensión 6ue los !em"s

numerales, !enomina!o Surya, 6ue si*ni4ica $na!a' y el cero maya re&iste una importancia

especial, lo 6ue se !etermina &ien!o sus representaciones HJi*ura 2I. (n los có!ices el cero

se representa como una concha o un caracol, am+os s5m+olos asocia!os con la muerte, la

ausencia !e &i!a y el 4in !e un ciclo# otras &ariantes, como la llama!a $4orma humana',

presentan caracter5sticas !e la muerte y a!ornos re4erentes a los !ioses !el in4ramun!o,

mientras 6ue la mano atra&esa!a en la man!5+ula si*ni4ica complementamiento o la mano

6ue ata los !5as y los a1os en haces completos# por otro la!o, la &ariante monumental tiene

- -



la 4orma !e una 4lor calen!"rica, 6ue &iene sien!o el s5m+olo !el calen!ario sa*ra!o, el

em+lema !e la eterni!a!, !el tiempo y !e la re*ulari!a! cósmica.

FIGURA 1. Algunas representaciones el cero maya. !n la "ila superior tal como se

presenta en los c#ices y en la "ila in"erior en los monumentos $Garcés, 1%&', citao en

(arios, ')))*.

(l cero en las culturas maya, ateca e inca H8aurencich, AI, no !e+e sorpren!ernos 6ue

no represente la na!a como el cero hin!oar"+i*o, sino al*o concreto. e esta manera, el

cero es representa!o como un col*ante sin nu!o para los incas, un caracol para los mayas y

una maorca para los atecas HLomano, 2@@@# ar&ey y Uilliams, 2@==, cita!os en

8aurencich, AI, o un elote HOrti, AI.

Sin em+ar*o, !es!e el &oca+ulario !e Molina se e&i!encia 6ue, a7n si en el i!ioma n"huatl

no ha+5a una pala+ra para !ecir cero, por lo menos ha+5a un $lu*ar' para el cero, por6ue !e

acuer!o a la manera !e contar los !5as pasa!os presenta!os por Molina H2@B, cita!o en

8aurencich, AI, los nahua !el si*lo ) conta+an los !5as !e la semana partien!o !e

cero, como e&i!encia %hamoux H?<@I< es !ecir, el cero es el primer n7mero, lo 6ue

*enera los otros n7meros.

- 2 -



(l concepto !e cero tan*i+le H8aurencich, AI, es propio !e las culturas +asa!as en la

atenta o+ser&ación !e la naturalea y sus mani4estaciones concretas, 6ue como los mayas,

atecas e incas, han !esarrolla!o una matem"tica concreta, en la cual el tiempo se proyecta

en el espacio cósmico.

026 (a cultura Maya

8a cultura 6ue tu&o el !esarrollo m"s sustenta+le en el aspecto matem"tico-astronómico y

se asentó en el actual territorio !e M0xico 4ue la maya. (n esta cultura, se !esarrollaron y

consoli!aron los numerales, en una notación &i*esimal y posicional. 8os numerales mayasten5an !os &ariantes HJi*ura I< los numerales *eom0tricos o normales, y los numerales en

4orma humana 6ue, por lo *eneral, se representa+an como caras antropomor4as, aun6ue

existen casos especiales !on!e se representa to!o el cuerpo HFarc0s, 2@=, cita!o en 8arios,

I.

FIGURA '. +umerales mayas $Garcés, 1%&' y 1%&, tomao e (arios, '))), p. -)*.

- -



8a notación *eom0trica, est" constitui!a por puntos, rayas y el s5m+olo !e la concha. (sta

es la 6ue com7nmente se conoce y se !i4un!e como la notación maya. Su utiliación es

simple< los puntos representan uni!a!es y las rayas cinco uni!a!es# se pue!en 4ormar

a*rupaciones !e puntos con un n7mero m"ximo !e cuatro y las rayas tienen como m"ximo

el !e tres por ca!a a*rupación, to!o esto utilian!o un principio !e a!ición. Se manejan !e

este mo!o representaciones !e cero al !iecinue&e, pues ca!a posición en el sistema es !e

&eintenas. Sin em+ar*o, en el %ó!ice Ma!ri! el numeral se expresa tam+i0n con el

s5m+olo !e la 8una, el cual se pue!e apreciar en la 4i*ura ? H8arios, I.

FIGURA -. os representaciones el numeral '). A la iz/uiera, tal como aparece en la

p0gina '& el #ice 2ari $Sotelo, 1%%3*. A la erec4a seg5n 64omson $1%%7*, citaos

en (arios '))), p. -1.

(l sistema !e numeración maya, es muy similar al sistema +a+ilónico, sólo 6ue los s5m+olos

+"sicos representan el 2 y el 3, y las posiciones representan potencias !e o &i*esimales

HOteya, ?I. / partir !e , se usa el sistema posicional con +ase .

Figura 78 Representaci#n e los numerales ), 1 y .

6omao e8 4ttp899icarito.latercera.cl9icarito9')))93319paga.4tm

- ? -

http://icarito.latercera.cl/icarito/2000/771/pag5a.htm

http://icarito.latercera.cl/icarito/2000/771/pag5a.htm



Figura 8 Representaci#n e los numerales ) al 1%.

6omao e8 4ttp899t4ales.cica.es9r9Recursos9r%39:tros9SIS6+U2.4tml

Figura ;8 Representaci#n e los numerales comerciales.

6omao e 4ttp899t4ales.cica.es9r9Recursos9r%39:tros92'.<PG

8a notación !e cara, es una colección !e *li4os 6ue representan caras mostra!as en

per4il. sta se utilia+a para me!ir el tiempo HOteya, ?I. %on esta notación los

numerales mayas alcana+an la ma!ure !e los numerales hin!7es, ya 6ue no se utilia+a el

principio !e a!ición sino 6ue ca!a n7mero esta+a representa!o por un *uarismo, aun6ue

con el pe6ue1o pro+lema !e su compleji!a!. 8as &ariantes !e caras se utilia+an casi

exclusi&amente en los 4echamientos y numerales monumentales, en los cuales i+an

acompa1a!os, por lo *eneral por los mismo numerales pero en la notación *eom0trica

H8arios, I.

- A -

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/M2.JPG


http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/M2.JPG



Para !enotar un canti!a! en este sistema, las posiciones se colocan &erticalmente

aumentan!o !e a+ajo hacia arri+a, !e 4orma 6ue los *uarismos 6ue representan las uni!a!es

se localian en la parte in4erior y &a aumenta!o pro*resi&amente en potencias !e al

ascen!er H8arios, , p. ?I, es !ecir, , A, =, etc.

Figura 38 Representaci#n e los numerales astron#micos.

6omao e8 4ttp899t4ales.cica.es9r9Recursos9r%39:tros9SIS6+U2.4tml

%on su sistema !e numeración, los mayas po!5an ejecutar las cuatro operaciones +"sicas<

suma, resta, multiplicación y !i&isión, y al*unas otras, como la o+tención !e ra5ces.

Figura &8 Representaci#n e una suma

Tanto el sistema +a+ilónico como el maya tienen la propie!a! !e ser posicionales, pero el

hecho !e tener pocos s5m+olos para representar los primeros n7meros elementales hace 6ue

sea !i45cil operar con ellos HOteya, ?I.

- 3 -





027 (a cultura a8teca

Otra cultura muy importante es la !e los /tecas. stas reci+ieron como un le*a!o, parte !e

la cultura !esarrolla!a en las costas !el Fol4o !e M0xico y %entroam0rica, por me!io !e

intercam+ios comerciales y *uerreras H8arios, I.

(n esta cultura, 8arios HI in4orma, la numeración tomó tres &ertientes< los numerales !e

puntos y rayas, los numerales con &alores astronómicos y los numerales !e uso com7n.

(stas tres &ertientes estu&ieron presentes en la cultura ateca en mayor o menor me!i!a.

8a &ertiente !e puntos y rayas no alcanó mucha !i4usión, aun6ue s5 utilió y prue+a !e ello

son los có!ices =aticano A -3-&, 6elleriano Remensis HPar5sI y Aub>n HPar5sI HFarc0s, 2@=,

cita!o en 8arios, ,I.

8os numerales con &alores astronómicos, como las 6ue se muestran en la 4i*ura A, se

!esarrollaron en unos centros ceremoniales !el /ltiplano %entral, y los atecas los

utiliaron para transmitir sus conocimientos astronómicos. No cual6uiera los po!5a manejar

o enten!er, eran numerales 6ue sólo las personas con conocimientos al respecto po!5an

!esci4rar. %a!a uno !e los s5m+olos utilia!os tiene su interpretación astronómica, por

ejemplo, el s5m+olo 6ue se 4orma con un cua!ro con cinco puntos, representa el =, por6ue

cinco a1os sinó!icos !e enus e6ui&alen a ocho a1os !e ?>3 !5as terrestres. (sta &ertiente

no tiene +ase num0rica al*una, sino 6ue est" +asa!a en las o+ser&aciones astronómicas#

tampoco tiene la caracter5stica !e ser posicional, aun6ue los numerales ten5an 6ue colocarse

en un or!en !etermina!o para expresar una serie num0rica en particular H8arios, I.

- > -



Figura %. +umerales astron#micos con su ?alor astron#mico $Garcés, 1%&'* citao en

(arios '))), p. -.

/simismo, existen en ocasiones &arios s5m+olos para un mismo n7mero y tam+i0n ya

aparecen s5m+olos para representar mita!es.

8a tercera &ertiente, es la 6ue se utilió en las cuestiones mercantiles, comerciales,

esta!5sticas o !e la &i!a coti!iana. 8a lectura !e estos numerales esta+a al alcance !e to!os,

por su simplici!a! H8arios, I

029 Sistema de Numeración Náhuatl

(n el mun!o cem /n"huac, nuestros ancestros han usa!o la noción !e n7meros !es!e

0pocas muy remotas y contin7a sien!o una !e sus m"s 7tiles concepciones, 6ue lo mismo le

permiten manejar y resol&er pro+lemas rutinarios, 6ue plantear y a+or!ar pro+lemas !e

extrema !i4iculta! y +ellea, !esconoci0n!ose as5 so+re la manera !e cómo se a!6uieren las

i!eas !e n7mero y !e me!i!a, 6ue siempre &an a la par. Para estructurar y manejar esa

noción, in&entó lo 6ue llamamos los sistemas !e numeración. %a!a uno !e ellos le permite

tener una 4orma sim+ólica !istinta !e la escritura or!inaria, para representar los n7meros.

/l s5m+olo 6ue se le asocia a un n7mero se le llama numeral. (l sistema !e numeración

n"huatl, al i*ual 6ue otros sistemas !e numeración conoci!os actualmente, es el 4ruto !e la

- B -



acti&i!a! humana, per4ecciona!a a tra&0s !e miles !e a1os, enmarca!os en un para!i*ma

espec54ico, en una 0poca y cultura particulares, !entro !e una socie!a! 6ue le con4iere

pertinencia y pertenencia.

(ste sistema, al i*ual 6ue la mayor5a !e los sistemas V!e numeraciónW mesoamericanos,

tiene una +ase &i*esimal H8arios, I o +ase # lo 6ue si*ni4ica 6ue &einte uni!a!es !e

un or!en cual6uiera, constituyen una uni!a! !el or!en inme!iato superior y &ice&ersa.

8a principal raón !el empleo !e la +ase , es el hecho !e 6ue to!o ser humano posee

&einte !e!os, !ie en las manos y !ie en los pies. Para nuestros antepasa!os era

completamente natural el conteo !e en , ya 6ue el uso !e huaraches les permit5a

utiliar tam+i0n los !e!os !e los pies para sus c"lculos. e esta manera, la cuenta !e

si*ni4ica as5 mismo un ser completo.

Gn sistema !e numeración sencillo, en el 6ue se com+inan las ha+ili!a!es !el pensamiento

matem"tico a&ana!o, creati&o, cultural y espiritual. (l sistema !e numeración n"huatl,

!emuestra 6ue las culturas !el M0xico anti*uo, contaron con un !esarrollo consoli!a!o en

la estructura matem"tica, como sa+eres &ali!a!os social y culturalmente. (l sistema !e

numeración N"huatl, cuenta con pro*resiones aritm0ticas y *eom0tricas, 6ue pue!en

emplearse para el !ise1o !e situaciones y secuencias !i!"cticas !e al*unos temas en

matem"ticas. 8a relación entre las pro*resiones aritm0ticas y *eom0tricas, es un elemento

6ue pue!e resultar 7til en la *ra4icación !e ecuaciones, etc. 8a construcción *eom0trica !e

se*mentos con las pro*resiones aritm0tica y *eom0trica HJar4"n y Jerrari, 2I.

- = -



02 (a escritura y representación de los n;meros en Náhuatl

8os n7meros, su representación y su !esarrollo sim+ólico, se ha pro!uci!o pr"cticamente a

la par con el !esarrollo !el ser humano, encontr"n!ose presente, en las correspon!encias

entre canti!a!es tra+aja!as en la anti*Xe!a!, hasta su uso y presencia en la actuali!a! en los

pue+los 6ue han resisti!o m"s !e 6uinientos !e la in&asión espa1ola.

Se*7n las in&esti*aciones 6ue se han realia!o so+re el calen!ario ateca, en ella, se han

encontra!o por lo menos cinco !i4erentes 4ormas !e len*uaje, 6ue se autocomprue+an< el

num0rico a+soluto, cromato*r"4ico, posicional, i!eo*r"4ico, icónico HFon"le, 2I y

&er+al. (l calen!ario ateca, ori*inalmente lució los colores rojo, amarillo, +lanco, aul, ymora!o HEoseph, 2@>3I. Sien!o esto as5, si*ni4ica 6ue emplea+an m"s len*uajes 6ue las

reporta!as en la matem"tica escolaria!a, ya 6ue sólo se mencionan el al*e+raico,

*eom0trico, num0rico, icónico y &er+al H%antoral y Jar4"n, 2@@3I.

e la representación !e los numerales !e la tercera &ertiente !e los atecas H8arios, I,

en el si*lo ), los espa1oles encontraron jero*l54icos 6ue son numerales en la llama!a

Tira !e los Tri+utos y en el có!ice Men!oa, !on!e el 2 era representa!o con un !e!ito

HMea, 3I o !e!o, utilia!o principalmente en cuestiones esta!5sticas H8arios, I, o

un punto, utilia!o por lo *eneral en cuestiones relaciona!as con 4echamientos y nom+res#

el HMea, 3I o &eintenas se utilia+a una +an!era llama!a cempoalli Hse poaliI

H8arios, I# para los A HxI una pluma HMea, 3I, tam+i0n se utilia+a un

s5m+olo 6ue al*unos interpretan como una rama !e pino y otros como un a+eto,utili"n!ose 0ste por ser $numeroso como el ca+ello' y se llama tzontli# para los =

HxxI se utilia+a un morralito HMea, 3I o una +olsa !e incienso o costal

!enomina!o @i/uipilli Haillant, 2@>, cita!o en 8arios, I, canti!a! usa!a para el

- @ -



manejo !e la mone!a en los merca!os, al*o similar a los millones o miles !e pesos actuales

HJi*ura 3I.

FIGURA 1). +umerales e la tercera ?ertiente utilizaos por los aztecas $=aillant, 1%;)*,

citao en (arios, '))), p.-;.

8os atecas escri+5an los s5m+olos !e los numerales usan!o la escritura pictórica, ca!a uno

!e los s5m+olos eran !i+ujos e i!eo*ramas, 6ue expresan tanto a la canti!a!es, los

numerales, la naturalea !el o+jeto conta!o, as5 como i!eas relaciona!as y su+yacentes.

(xisten &arios manuscritos posteriores a la con6uista en los 6ue se representan otros

s5m+olos y !i&ersos arti4icios para expresar numerales y 4racciones. Gno !e estos s5m+olos

lo menciona aillant H2@>, cita!o en 8arios, I en su o+ra e incluye expresiones !e

4racciones por me!io !el oscurecimiento !e mita!es o cuartas partes !e punto# !enotación

!el 3, el 2 y el 23 ponien!o partes !e un cempoalli Hse poaliI# y la representación !e

centenas menores al A me!iante la presentación incompleta !el tzontli HJi*ura 22I. Sin

em+ar*o, no es consi!era!o nati&o, sino 6ue posee a!aptaciones europeas.

- ? -



FIGURA 11. Representaci#n e numerales y "racciones

02< Sistema posicional

Para 8arios HI como los atecas no presentan, o no se ha encontra!o, un s5m+olo 6ue

represente el cero, el sistema no presenta &alor posicional, sino 6ue se utilia el principio !e

a!ición y, al parecer no existe un or!en espec54ico en el se !e+en poner. (n este tra+ajo !e

in&esti*ación, sostenemos la hipótesis $el sistema !e numeración n"huatl' es un sistema

&i*esimal posicional, tal como se analiar" y !emostrar" m"s a!elante en el cap5tulo >.

- ?2 -



02= El dualismo como &ase de la existencia de todo el cosmos

8a !uali!a! representa para el mun!o mesoamericano un &er!a!ero lati!o 6ue re+asa los

l5mites espacio-temporales &itales HPatrick, 2@@=I. Teotihuacan 4ue la &er!a!era cuna !e los

!ioses mesoamericanos< en ella co+raron 4orma el pensamiento !ual5stico, la concepción

car!inal !el uni&erso y muchas !e la 4i*uras !e !ei!a!es 6ue permanecieron hasta la lle*a!a

!e los espa1oles HSerra, 2@==I. 8os mexicas compartieron con sus contempor"neos el

pensamiento m"s pro4un!o y estructurante. 8a +ase era el !ualismo 6ue conce+5a to!o lo

existente como compuesto por !os sustancias opuestas. stas se mani4esta+an en m7ltiples

oposiciones +inarias 6ue 4orma+an !os campos. Gno a*rupa+a la &i!a, el calor, la lu, la

se6ue!a!, lo alto, lo masculino, la 4uera, el !5a, etc0tera# otro, la muerte, la oscuri!a!, la

hume!a!, lo +ajo, lo 4emenino, la !e+ili!a!, la noche y otras correspon!encias. /l

com+inarse am+as sustancias, la proporción y el pre!ominio !e una u otra, !etermina+an la

naturalea !e ca!a ser, otor*"n!ole sus propie!a!es inherentes. e esta ley no escapan los

!ioses, pertenecientes en mayor o menor *ra!o a uno !e los campos opuestos !el cosmos,

pero to!os ellos pro&istos !e una !o+le naturalea, suscepti+le !e expresarse como el

!es!o+lamiento en una pareja !i&ina H8ópe, ?I.

020> )peraciones aritm3ticas

(xiste poca in4ormación so+re las operaciones aritm0ticas y al*e+raicas 6ue !esarrolla+an

los atecas# para resol&er este !etalle, en este tra+ajo, iniciamos con el an"lisis !e nom+res

!e los n7meros, para in4erir so+re al*unas !e las operaciones +"sicas 6ue realia+an.

ay e&i!encias 6ue !emuestran !el uso !e un computa!or manual semejante al "+aco entre

los atecas H8arios, I, llama!o nepo4ualtzitzin, el cual esta+a constitui!o por un

- ? -



mecanismo mó&il !e siete hileras con 2? elementos ca!a una, !i&i!i!as por una re*leta

central, !e ma!era, con ?@ elementos en la parte superior Hparte !erecha, resulta!o !e

?Y2?Z?@ cuentasI y 3 en la parte in4erior Hparte i6uier!a, resulta!o !e AY2?Z3I, 6ue

esta+an hechos !e ja!e, oro o ma!era. (n la parte !e la i6uier!a se tienen cuatro cuentas,

6ue en la primera hilera tiene &alores unitarios H2, , ?, AI, y !el la!o !erecho hay tres

cuentas con &alores !e 3, 2, 23 respecti&amente. (l nepohualtitin es una computa!ota

prehisp"nica, cuya concepción en*lo+a no sólo el c"lculo matem"tico, sino tam+i0n

interpretaciones astronómicas y !e *estación. Su uso era ense1a!o en el %almecac a los

tonalpouhkeh HtonalpojkejI, !e!ica!os a lle&ar las cuentas !e los cielos, !es!e ni1os.

es*racia!amente, el nepo4ualtzitzin y su ense1ana estu&ieron entre las &5ctimas !e la

!estrucción con6uista!ora, al atri+uirle ori*en !el !ia+lo !espu0s !e o+ser&ar sus tremen!as

propie!a!es !e representación, precisión y &eloci!a! !e c"lculo. Pero sa+emos con

certi!um+re 6ue no sólo 4ue un instrumento in!uci!o por el !emonio en la mente !e

nuestros ancestros, sino 6ue es una muestra palpa+le !el *ran !esarrollo cient54ico y

tecnoló*ico 6ue ya ten5an en esos tiempos la mayor5a !e las culturas autóctonas H(spara,

2@B=, cita!o en 8arios, I.

%on la matem"tica ateca, maya, olmeca, incas, etc, es posi+le realiar c"lculos sólo con

tres s5m+olos, el punto, la raya y el cero !e ca!a cultura. on respecto al cero, en la cultura

ateca es representa!o con una maorca# una concha, caracol o un ojo a+ierto, para los

mayas y olmecas, y un col*ante sin nu!os para los incas. 8os n7meros se representa+an

unien!o estos s5m+olos !e tal manera 6ue no se po!5an poner m"s !e una &eintena !e un

mismo tipo juntos H8arios, I.

- ?? -



/ !i4erencia !e lo 6ue com7nmente se cree, los numerales escritos con puntos y rayas, no

4ueron in&enta!os por los mayas, tal como creyó el antropólo*o Kirko4 H Mea, 3I, pues

hay e&i!encias !e su uso, en por lo menos !os monumentos !e 8a enta Hen el esta!o !e

ta+ascoI, 6ue se !esarrolló entre el = a.%. y el A a.%. Ha+erlan!, 2@BA, cita!o por

8arios, I, antes !el perio!o en 6ue se !esarrolló la cultura maya. (stos &esti*ios

anti*uos son olmecas, la e&i!encia !e esto es la l"pi!a !e Tres apotes ahora llama!a la

placa !e 8ei!en, 6ue es completamente Olmeca y 4a+rica!a en ja!e. (n ella se encuentra

una 4echa !e la cronolo*5a Olmeca. Su anti*Xe!a! se !eterminó con car+ono 2A, 6ue

actualmente se encuentra en 8ei!en olan!a. 8a 4echa est" 4orma!a por n7meros 6ue se

leen !e a+ajo hacia arri+a, calculan!o su &alor num0rico con potencias !e en ca!a ni&el.

(n estos numerales, el punto representa al sol 6ue es una uni!a! y la raya es el horionte

HMea, 3I.

0200 (a cultura Inca

8os incas, es una !e las tres culturas 6ue alcanaron un ele&a!o ni&el !e cultura,

practica+an la suma hacien!o nu!os en unas cuer!as !e &i&os colores 6ue i+an juntan!o

hasta 4ormar el llama!o 6uipo H;al!or, I.

- ?A -



#!/$TU() 4

11

)me

,elimitación del pro&lema. ?ustiicación y o&?eti*os

(n este cap5tulo, analiaremos la raón !el por6u0 en la actuali!a!, la ense1ana !e las

matem"ticas es !e poco inter0s por el estu!iante# la justi4icación as5 como los o+jeti&os 6ue

se preten!emos alcanar con esta in&esti*ación.

420 @#uál es el estado del pro&lemaA

C%ómo los seres humanos apren!en a construir conocimientos matem"ticos en contextos

socioculturalesD Cón!e y cómo se ori*inan los conocimientos matem"ticos 6ue se ense1an

en los contextos escolaresD stas son las interro*antes centrales 6ue *uiar"n este tra+ajo !e

in&esti*ación.

/ pesar !e los numerosos intentos 6ue se realian en el mun!o por tratar !e 6ue el

apren!iaje sea e4ecti&o, en muchos casos, se o+ser&a poca soli!e !e los conocimientos y

- ?3 -



re!uci!as las posi+ili!a!es !e aplicación por parte !e los alumnos a la &i!a coti!iana,

insu4iciente !esarrollo !e ha+ili!a!es e insu4iciencias en la 4ormación !e los &alores 6ue

re6uiere la socie!a! Hil+erstein, I. a!a la compleji!a! 6ue representa el estu!io !el

pro+lema e!ucati&o en la ense1ana apren!iaje !e los conocimientos matem"ticos, tanto

!e los 6ue ense1an como !e los 6ue apren!en, resultan insu4icientes las pr"cticas arrai*a!as

!e $capacitar' o $entrenar' a los !ocentes y la 4ormación !e pro4esores. Gna mejor5a

sustancial en la ense1ana !e los conocimientos matem"ticos, no ocurrir" si no articulamos

los sa+eres actuales con la 4orma !e la construcción social !e conocimientos a tra&0s !e

pr"cticas sencillas por las culturas !e mayor esplen!or.

/l estu!iar la e4ecti&i!a! !el proceso !e ense1ana apren!iaje !e las matem"ticas, se

aprecia 6ue los propios !ocentes lo !escri+en como poco pro!ucti&o, mec"nico y repetiti&o,

en el cual el alumno tien!e a realiar poco es4uero mental, participa muy poco, poco

in!epen!iente, 6ue se a+urre y muchas &eces, !esea 6ue pronto termine el turno !e clases

Hil+erstein I. (l 4racaso en la ense1ana apren!iaje !e las matem"ticas en nuestros

!5as, es un 4enómeno 6ue llama mucho la atención. (ste 4racaso en la mayor5a !e los casos,

constituye un pro+lema potencial en el 4racaso !e la escuela y en la &i!a. 8os pro+lemas !e

e!ucación son pro+lemas !e la &i!a, 6ue sur*en !e necesi!a!es &aria+les, mo!os y

caprichos !e una socie!a! en trans4ormación HJreu!enthal, 2@=2I, por tanto C%ómo, 6u0 y

para 6u0 apren!e matem"ticas un estu!ianteD Son las pre*untas cla&es 6ue !e+en *uiar

cual6uier in&esti*ación 6ue !esea contri+uir a la solución !e este pro+lema.

CPara 6u0 apren!er matem"ticasD Para respon!er esta pre*unta, re&isaremos las acti&i!a!es

sociales como los nue&os escenarios para la construcción !e conocimientos matem"ticos.

- ?> -



424 Bustiicación

(n nuestro pa5s, el art5culo tercero constitucional se1ala $la e!ucación !e+er" ser inte*ral',

6ue !e+er" consi!erar el !esarrollo armónico !e to!os los aspectos !el ser humano. (sto

compromete a consi!erar al estu!iante en su totali!a!, como un ser emocional, co*niti&o,

est0tico, social, corporal y espiritual, nin*una !e estas seis !imensiones pue!e ser sustra5!a

!el proceso e!ucati&o sin a4ectar seriamente la 4ormación inte*ral !el estu!iante HFalle*os,

I.

8a e!ucación constituye un instrumento in!ispensa+le para 6ue la humani!a! pue!a

pro*resar hacia los i!eales !e pa, li+erta! y justicia social, Q, recalcar la 4unción esencial

!e la e!ucación en el !esarrollo continuo !e la persona y las socie!a!es, al ser&icio !e un

!esarrollo humano m"s armonioso, m"s *enuino, para hacer retroce!er la po+rea, la

exclusión, las incomprensiones, las opresiones, las *uerras, etc. H elors, 2@@BI# para 6ue

na!ie piense por nosotros, ni &ea por nosotros, ni ha+le por nosotros ni -4inalmente- act7e

por nosotros HJreire, 2@B2I. ar &alor a la ense1ana pr"ctica para el estu!iante, tal como lo

expresó (nri6ue Eos0 arona< $(nse1ar a tra+ajar es la tarea !el maestro, a tra+ajar con las

manos, con los o5!os, con los ojos, y !espu0s, y so+re to!o, con la inteli*encia'

Hil+erstein, I. %uan!o las cosas carecen !e si*ni4ica!o, !e senti!o para nosotros, es

imposi+le recor!arlas HMichelle, I. HQI el proceso !e ense1ana nunca es una mera

transmisión !e conocimiento, o+jeti&os o !e !estreas pr"cticas, sino 6ue se acompa1a !e

una i!ea !e &i!a y un proyecto !e socie!a! HQI HSa&ater, J. 2@@@I# HQI si un alumnoapren!e cosas en los li+ros !e texto simplemente en conexión con las lecciones escolares y

para repetir lo apren!i!o, cuan!o se le pi!a, entonces el conocimiento no ten!r" e4ecto

so+re al*una con!ucta, a sa+er, repetir a4irmaciones a petición !e los !em"s. No es na!a

- ?B -



sorpren!ente 6ue tal conocimiento no ten*a mucha in4luencia en la &i!a 4uera !e la escuela

HQI. (l apren!er en la escuela !e+er5a continuarse 4uera !e ella He9ey, 2@@3I. Se re6uiere

una e!ucación 6ue no sólo 4omenten apren!er a &i&ir, apren!er a conocer, apren!er a hacer

y apren!er a ser Helors, E, 2@@BI, sino tam+i0n apren!er a &alorar la e!ucación , apren!er a

e&olucionar y trascen!er la personali!a! !el ser humano, tal como lo 4ue en las culturas !el

/n"huac.

(l estu!io estructural, conceptual y aritm0tico !e los nom+res !e los n7meros !e la cultura

N"huatl Hsistema !e numeraciónI, as5 como el !esarrollo !e o+jetos y conocimientos

matem"ticos, hasta el momento ha si!o su+estima!o, no por su inutili!a! e inaplica+ili!a!,sino sencillamente por su !esconocimiento. (l apren!iaje !e los nom+res !e los n7meros

en n"huatl, emer*e me!iante acti&i!a!es sociales 6ue se realia en "m+itos no escolares, un

sistema !e apren!iaje 6ue no re6uiere *ran!es es4ueros !e+i!o a la utili!a! 6ue 0stas

presentan en las acti&i!a!es sociales coti!ianas.

8a acti&i!a! social es el mo!o me!iante el cual, el ser humano se relaciona con el mun!o

externo. (s un proceso *uia!o por una necesi!a! 4un!amental !el ser humano, 6ui0n

trans4orma crea!oramente la naturalea, en ca!a una !e ellas, 0l mismo trans4orma y se

autotrans4orma, construyen!o !i4erentes tipos !e conocimientos. (n las acti&i!a!es

sociales, est" presente la a+stracción teórica !e to!a la pr"ctica humana uni&ersal, !es!e el

mo!o !e existencia, cam+io, trans4ormación y !esarrollo !e la reali!a! social.

/ctualmente, se ha reconoci!o 6ue las culturas !el mun!o !el /n"huac, aportaron una

enorme canti!a! !e conocimientos al mun!o mo!erno, como la her+olaria, 4iloso45a,

a*ronom5a, astronom5a y matem"ticas, entre otros. 8a e!i4icación !e templos, *ran!es

e!i4icaciones, los monumentos, palacios, esculturas y pinturas H8eón, I, contó con

- ?= -



+uen n7mero !e especialistas, !es!e ar6uitectos 6ue !iri*5an hasta al+a1iles, peones,

escultores y pintores, asesora!os se*uramente por sacer!otes HMatos, I# en el caso !el

templo mayor, realia!a por Mocteuma okoyotin, impactó a los espa1oles por su

majestuosi!a! y altura HMatos, ?I. (xisten prue+as irre4uta+les !el !esarrollo co*niti&o

matem"tico en la ar6uitectura, la astronom5a, los calen!arios, las 4i*uras *eom0tricas, la

in*enier5a +io*en0tica Hculti&o !el ma5I, los n7meros astronómicos, los m0to!os !e conteo

y c"lculos, entre otros.

Por otra parte, el c"lculo es un pro!ucto cultural y no sólo una colección !e teoremas y

al*oritmos. (s un 4ruto !e la acti&i!a! humana H%antoral, 2@@BI. Sien!o esto una &er!a!irre4uta+le, los conocimientos !e tipo matem"tico !esarrolla!os por las culturas !el mun!o

!el /n"huac, !e+en ser analia!os para !etectar al*unos elementos 6ue resuel&an en parte

el pro+lema plantea!o por la matem"tica e!ucati&a# para promo&er una ense1ana 6ue no

sólo cumpla las 4unciones instructi&a, e!ucati&a y !esarrolla!ora, sino un apren!iaje 6ue

ten*a en cuenta el &alor !el ser humano, apren!er a trascen!er como ser humano, 6ue

permita 4ormar una *eneración !e hom+res 6ue contri+uyan a la trans4ormación crea!ora !e

la humani!a! y el mun!o# 6ue sean m"s sa+ios no sólo por6ue ten*an m"s conocimientos,

sino tam+i0n por6ue amen y respeten a sus semejantes, 6ue protejan el me!io am+iente y

trans4ormen creati&amente la naturalea. Le4orar el o+jeti&o !e la e!ucación para la &i!a,

para la trascen!encia !el ser humano, es !ecir, el CPara 6u0 ense1ar y para 6u0 apren!er

matem"ticasD como cate*or5as rectoras !el proceso !e ense1aa apren!iaje Hil+erstein,

I.

- ?@ -



425 /rincipales hipótesis de in*esti%ación

8a hipótesis 6ue asumimos en esta in&esti*ación< la ansie!a! matem"tica se *enera en los

"m+itos escolares por la 4orma !e la ense1ana !e la matem"tica, sien!o una ense1ana

totalmente !escontextualia!a !e las ciencias, !es&incula!a con la pr"ctica y con la

naturalea, con la &i!a y la trascen!encia !el ser humano. (s una e!ucación 6ue pri&ile*ia

el !esarrollo instruccional, 4ormati&o y cient54ico 6ue el !esarrollo espiritual y la

trascen!encia !el ser humano, tal como lo practicaron las culturas !el /n"huac.

(n este senti!o, sostenemos 6ue el estu!io !e las pr"cticas sociales en el contexto !e las

acti&i!a!es coti!ianas, nos permitir" orientar estu!ios so+re la construcción social !el

conocimiento matem"tico a&ana!o, 6ue por su naturalea pr"ctica y 4uncional en los

!i4erentes contextos socioculturales, presentar"n una utili!a! para la &i!a la ense1ana !e

este tipo !e conocimientos matem"ticos# !e esta manera, estaremos inician!o un &iraje a los

contextos socioculturales como los nue&os escenarios !on!e emer*en conocimientos

matem"ticos 4uncionales, pr"cticos, 7tiles y &ali!a!os por la socie!a! a tra&0s !e las

!i4erentes acti&i!a!es 6ue realian coti!ianamente. %onsi!eramos 6ue los escenarios

socioculturales, son los nue&os am+ientes 6ue incorpora la matem"tica e!ucati&a para 6ue

realmente sea una matem"tica e!ucati&a y para retomar al*unos !e los esla+ones per!i!os

en la e!ucación, tales como el reencuentro con las pr"cticas sociales como la 4uente !on!e

se *eneran los conocimientos matem"ticos 7tiles y 4uncionales, 6ue permiten no sólo el

!esarrollo intelectual, sino un !esarrollo armónico !el ser humano con la naturalea.

8a imitación proce!imental !e la 4orma !e la construcción social !e los conocimientos

matem"ticos altamente especialia!os 6ue emer*en !e las pr"cticas sociales, nos permitir"

mejorar nuestras acciones !ocentes, al i!enti4icar los elementos no pre&istos por la !i!"ctica

- A -



4un!amental, pero 6ue !ichos elementos son parte inte*ral !e los procesos !e construcción

social !e conocimientos, 6ue sin !u!a al*uno, 0stos 4a&orecer"n la construcción social !e

conocimientos matem"ticos en contextos escolares.

(n el proceso !e construcción !e conocimientos matem"ticos, las acti&i!a!es y la

comunicación emplean!o el i!ioma 6ue !omina la socie!a!, son !os !e los procesos

insepara+les e in!ispensa+les 6ue permiten una construcción e4ecti&a !e los conocimientos

en socie!a!.

426 )&?eti*o 'eneral

/spiramos pro4un!iar el an"lisis !e la construcción conceptual y aritm0tica los nom+res !e

los n7meros en n"huatl, para 4un!amentar cient54icamente el sistema !e numeración y

!i&ul*ar entre sectores amplios !e la po+lación, la otra 4aceta !e la matem"tica e!ucati&a y

trascen!ente, !esarrolla!os y 4orja!os en !i4erentes contextos socioculturales miles !e a1os

en el M0xico anti*uo, 6ue a pesar !e la con6uista y !e lo 6ue a ella si*uió !urante cerca !e

3 a1os, per!uran a7n entre los nahuas !e hoy en cerca !e !os millones !e ciu!a!anos en

nuestro pa5s.

emostrar 6ue los conocimientos !el sistema !e numeración N"huatl, son tanto constructos

sociales como culturales, emer*entes !e las !i4erentes pr"cticas sociales. Por tanto, los

sa+eres matem"ticos institucionalia!os, no sólo son sujetos !e una transposición !i!"ctica

sino tam+i0n !e una transposición cultural y transcultural H%antoral, ?I. (l estu!io !el

sistema !e numeración N"huatl nos permitir" +uscar las relaciones constructi&as !e los

mismos y transponerlos al sistema !i!"ctico tra!icional para la ense1ana !e la matem"tica.

- A2 -



No es o+jeti&o ni es inter0s !e este tra+ajo, analiar la cronolo*5a !el !esarrollo !el sistema

!e numeración n"huatl, sino 7nicamente apro&echar la 4orma en 6ue se apren!en los

nom+res !e los n7meros 6ue se usan actualmente por las personas 6ue !ominan y ha+lan el

n"huatl# 6ue !esa4ortuna!amente, no existe nin*una escuela 6ue ense1e la construcción

aritm0tica y conceptual los nom+res !e los n7meros en N"huatl, pero 6ue sin !u!a al*una,

en tiempos anti6u5simos, 4ueron construi!os con mucha sapiencia y 6ue 0stas se

4ormalia+an en las escuelas !e conocimiento 6ue exist5an en 0pocas remotas, y 6ue ahora

7nicamente se transmiten !e manera oral por las personas 6ue a7n conser&an su i!enti!a!

cultural en nuestro pa5s.

42620 )&?eti*o especíico

/naliar los nom+res !e los n7meros en N"huatl !es!e su estructura conceptual y

aritm0tica, para !emostrar y 4un!amentar cient54icamente, 6ue !ichos nom+res est"n

constitui!os por !i&ersas operaciones, 6ue !epen!ien!o !e la sencille o compleji!a! !el

n7mero, es el tipo !e operaciones mentales 6ue se realian para estructurar el nom+re !el

n7mero correspon!iente. (n ca!a uno !e los procesos mentales implica!os en la

construcción !e los n7meros en n"huatl, re6uieren ele&a!os ni&eles !e !esarrollo cere+ral,

as5 como el !esarrollo !e los conocimientos y capaci!a!es !iscursi&as, !eclarati&as,

co*niti&as, proce!imentales, actitu!inales-&alorales y metaco*niti&as, es !ecir, hasta la

acción so+re los procesos !el pensamiento complejo y trans&ersal.

emostrar 6ue los nom+res !e los n7meros en n"huatl, se apren!en en contexto 4amiliar

me!iante las acti&i!a!es 6ue !esempe1an con los pa!res, y 4amiliares cercanos,

posteriormente, el proceso !e apren!iaje !e nom+res !e los n7meros en N"huatl, se ampl5a

- A -



a !i&ersos contextos a tra&0s !e la socialiación, sin per!er !e &ista nunca, 6ue la

construcción !e to!o tipo !e conocimientos ocurre siempre a tra&0s !e m7ltiples acti&i!a!es

socioculturales. Por tanto, las acti&i!a!es 6ue se !esarrollan en ca!a una !e las pr"cticas

sociales, constituyen la 4uente !e nue&os sa+eres altamente especialia!os, como a6uellos

6ue conciernen a la matem"tica a&ana!a.

#!/$TU() 5

111Ceyi

- A? -



Marco Teórico y Metodoló%ico

(n este cap5tulo, exponemos el marco teórico as5 como la meto!olo*5a emplea!a en el

tra+ajo !e in&esti*ación.

520 Marco Teórico

8a postura teórica 6ue asumimos en esta in&esti*ación, es la consi!eración !e 6ue la

Matem"tica (!ucati&a es una !isciplina !el conocimiento cuyo ori*en se remonta a la

se*un!a mita! !el si*lo &einte, preocupa!a por !iscernir los pro+lemas !e la 4ormación !elos conocimientos matem"ticos, tanto !e los 6ue ense1an como !e los 6ue apren!en

matem"ticas. Se*7n %antoral HI, se ocupa !el estu!io !e los 4enómenos !i!"cticos

li*a!os al sa+er matem"tico, como el pro!ucto !e una !e re4lexión pro4un!a, 6ue trata !e

impactar al sistema e!ucati&a nacional, me!iante la +7s6ue!a !e !i4erentes estrate*ias para

una mejor ense1ana !e las matem"ticas, y 6ue !emuestren resulta!os 4ruct54eros notorios

en el aumento !e apro&echamiento, as5 como la re!ucción !e los altos 5n!ices !e repitencia

y repro+ación escolar en to!os los ni&eles e!ucati&os.

8a !i!"ctica !e las matem"ticas o Matem"tica (!ucati&a como se le conoce en M0xico, es

un campo !e conocimiento relati&amente jo&en, 6ue ha su4ri!o importantes cam+ios tanto

en su o+jeto !e estu!io como los m0to!os con 6ue lo a+or!a HFascón, 2@==# %antoral y

Jar4"n, ?, cita!o en 8eama, 3I.

(l nom+re !e matem"tica e!ucati&a, !a a la !isciplina una u+icación *eo*r"4ica y

conceptual# !i*amos 6ue *eo-social. (n el mun!o an*losajón, el nom+re 6ue le han !a!o a

la pr"ctica social asocia!a es el !e Mathematics e!ucation, mientras 6ue en la (uropa

- AA -



continental le han llama!o !i!acti6ue !es mathemati6ues o !i!aktil !er mathematik, por

citar al*unos !e los *rupos mas !in"micos. (n esta 0poca, se acepta como premisa

4uncional, la matem"tica e!ucati&a estu!ia los procesos !e transmisión y a!6uisición !e los

!i4erentes conteni!os matem"ticos en situación escolar, !escri+e y explica los 4enómenos

relati&os a la ense1ana y apren!iaje H%antoral y Jar4"n, ?I, el estu!io !el sistema

!i!"ctico Hlos sa+eres, la institución-pro4esor y el alumnoI y a los 4enómenos H!i!"cticosI

6ue en 0l suce!en HMart5ne, I# 6ue aco*e en su seno, al i*ual 6ue suce!e en otras

!isciplinas, !istintas escuelas !e pensamiento y matices en la construcción !e si*ni4ica!os

respecto a cómo compren!er, aprehen!er y apren!er un concepto matem"tico HJar4"n y

Jerrari, 2I, e i!enti4icar una con4rontación entre la o+ra matem"tica y la matem"tica

escolar H%or!ero, 2I.

8a Matem"tica (!ucati&a como teor5a reciente, se apoya en la tesis !e la aproximación

Socioepistemoló*ica para explicar el ori*en y la 4orma en 6ue se construye el conocimiento

matem"tico# la socioepistemolo*5a, como meto!olo*5a !e in&esti*ación, reci+e !i4erentes

nom+res, !estac"n!ose los si*uientes< socioepistemolo*5a H%antoral, # %or!ero, 2,

# %antoral y Jar4"n, # /rrieta, ?I, acercamiento socioepistemoló*ico H%antoral

y Jar4"n, 2@@=I, aproximación socioepistemoló*ica H%antoral y Jerrari, ?I y

epistemolo*5a !e las pr"cticas sociales. (l acercamiento socioepistemoló*ico atien!e to!os

los aspectos inherentes a la construcción !el conocimiento y al sujeto 6ue apren!e,

pro4un!ian!o el an"lisis !el sa+er incorporan!o no sólo el ori*en conceptual o

proce!imental, sino su ori*en social, al examinar las pr"cticas !e re4erencia y las 4ormas !e

su aproximación en una cultura HJar4"n y Jerrari, 2I# con esto, se 4un!amenta, 6ue to!o

conocimiento matem"tico cuentan con un componente socio-cultural, 6ue contempla una

serie !e pr"cticas sociales !e re4erencia comparti!as por un *rupo social H8eama, 3I#

- A3 -



a!em"s, incluye y estu!ia los !i4erentes planos !e lo co*niti&o !es!e la perspecti&a !e la

psicolo*5a social, tra+ajan!o las i!eas !e i*ostky, ;runner, entre otros, en tanto se

consi!era 6ue el conocimiento matem"tico se construye interactuan!o con una reali!a!

HJar4"n y Jerrari, 2I, a tra&0s !e !i4erentes pr"cticas sociales relati&as al sa+er.

8a socioepistemolo*5a H%antoral y Jar4"n, AI es una aproximación teórica !e naturalea

sist0mica 6ue permite tratar en 4orma articula!a con las cuatro componentes 4un!amentales

!e la construcción social !el conocimiento, a sa+er< la naturalea epistemoló*ica, al

incorporar el estu!io !e las interacciones entre la epistemolo*5a !el conocimiento# los

procesos co*niti&os 6ue le son asocia!os, los mecanismos !e institucionaliación &5a laense1ana y la !imensión sociocultural !el sa+er HJerrari, 2# %or!ero, 2# Jerrari,

?I sien!o 0sta 7ltima, la +ase 4un!amental para el !esarrollo !el presente tra+ajo !e

in&esti*ación.

Tra!icionalmente, las aproximaciones epistemoló*icas asumen 6ue el conocimiento es

resulta!o !e la a!aptación !e las experiencias teóricas con las e&i!encias emp5ricas,

i*noran!o, so+remanera, el papel 6ue los escenarios históricos, culturales e institucionales

!esempe1an en la acti&i!a!. 8a socioepistemolo*5a, por su parte, plantea el examen !el

conocimiento social, histórica y culturalmente situa!o, pro+lemati"n!olo a la lu !e las !e

las circunstancias !e su construcción y !i4usión H%antoral y Jar4"n, A, cita!o por

8eama, 3I. Gno !e los supuestos +"sicos !e la socioepistemolo*5a< el conocimiento se

construye, sien!o tal construcción !e car"cter social, !on!e las pr"cticas sociales, como

acción con intencionali!a!, co+ran un papel rele&ante HJerrari, ?I.

entro !e la perspecti&a !e la socioepistemolo*5a !e la matem"tica e!ucati&a, se consi!era

la !imensión co*niti&a, con relación a las interacciones 6ue !a lu*ar el proceso !e

- A> -



apren!iaje, las interacciones entre los actores y las interacciones con el mun!o. 8a

!imensión social, !a priori!a! al ser humano y su acti&i!a! $hacien!o matem"ticas', en

lu*ar !e consi!erar la pro!ucción matem"tica hecha por el humano# por tanto, el ser

humano y su acti&i!a!, se con&ierten en elementos primarios en las teoriaciones !e la

matem"tica e!ucati&a, constituyen!o una nue&a plata4orma para la or*aniación,

construcción, reconstrucción y reor*aniación social, una 4uente !on!e se construye

conocimiento y 6ue tiene si*ni4ica!os propios, contextos, historia e intención, H%or!ero,

2I# el conocimiento matem"tico es consi!era!o como una acti&i!a! propia !e los

intereses !el estu!iante y el pro4esor, cuyo &alor principal en 6ue or*ania y !a senti!o a

una serie !e pr"cticas 7tiles, a cuyo !ominio hay !e!icar es4uero in!i&i!ual y colecti&o

H Lico, 2@@=I, es a tra&0s !e la acti&i!a! 6ue los seres humanos mo!i4icamos la naturalea,

las con!iciones !e &i!a, se autotrans4orman, expresan la s5ntesis !e lo i!eal y espiritual !el

hom+re. (n la acti&i!a! humana tiene lu*ar la transición !el o+jeto a su 4orma su+jeti&a, a

la ima*en,Q, la acti&i!a! tiene una estructura propia< necesi!a!es, moti&os, con!iciones en

las 6ue se !esarrollan, me!ios, acciones y operaciones# en la acti&i!a! humana, 6ue se

mani4iesta en procesos !e comunicación y socialiación HSil&estre y il+erstein I. (s

en la !imensión social, !on!e se !e+e retomar la !imensión cultural, como la nue&a

plata4orma para la construcción, mo!i4icación y reconstrucción !e si*ni4ica!os. Para no

per!er !e &ista, 6ue to!os los conocimientos matem"ticos son constructos socioculturales y

las pr"cticas !e re4erencia 6ue le !an ori*en HJar4"n y Jerrari, 2I# a!em"s, la cultura

crea 4ormas especiales !e con!ucta, cam+ia el tipo !e acti&i!a! !e las 4unciones ps56uicas

HSil&estre y il+erstein I. (!ucar es crear una reali!a! a 4uturo. irectamente !e la

canti!a! y cali!a! !e la e!ucación 6ue impartimos en nuestras aulas, !epen!er" !e la clase

!e personas 6ue manejar"n al pa5s. 8o 6ue hoy nos acontece es un claro resulta!o !el tipo

- AB -



!e e!ucación y 4ormación moral 6ue reci+imos en el pasa!o, en lo positi&o y en lo ne*ati&o

H%ornejo, 2@@>I.

(sta nue&a l5nea !e in&esti*ación 6ue iniciamos en este tra+ajo, consiste en retomar los

conocimientos matem"ticos 6ue son emplea!as en expresiones por parte !e !i&ersas

personas 6ue !ominan la len*ua n"huatl, como parte !e la construcción social !el

conocimiento matem"tico a&ana!o y 6ue %antoral H?I !e4ine como al conjunto !e las

interacciones expl5citas o impl5citas, 6ue se esta+lecen entre los si*uientes aspectos< 8os

procesos a&ana!os !el pensamiento, la epistemolo*5a !e la matem"tica a&ana!a y las

pr"cticas humanas altamente especialia!as.

524 Metodolo%ía

8a meto!olo*5a 6ue empleamos en esta in&esti*ación, es una com+inación !e los m0to!os

histórico, etno*r"4ico y el acercamiento socioepistemoló*ico !e la matem"tica e!ucati&a.

Pre!ominan!o la in&esti*ación etno*r"4ica, realia!o por el autor en su propia len*ua

HN"huatlI, al recurrir y tomar en cuenta las 4uentes !irectas, me!iante la comunicación con

las personas !e e!a! a&ana!a y el autor !e esta tesis para tener m"s in4ormación so+re este

tema.

(l primer paso, consistió anotar los nom+res !e los n7meros tal como lo ha+lan las personas

6ue !ominan esta len*ua, posteriormente, analiamos la estructura conceptualaritm0tica, es

!ecir, la 4orma 6ue est" constitui!o el nom+re !e los n7meros en N"huatl. e este an"lisis,

!e!ucimos las propie!a!es *eneralia!as, 6ue en ca!a nom+re !e los n7meros pre!ominan.

- A= -



#!/$TU() 6

1111

Naui

Sistema de numeración náhuatl

(n este cap5tulo nos en4ocamos a escri+ir y a analiar la estructura aritm0tica-conceptual los

nom+res !e los n7meros en n"huatl, as5 como las propie!a!es 6ue emer*en !e 0stos.

620 ,el contar a las cantidades

ace unos !oscientos a1os, 8acroix H2=3I escri+ió< VQW con4ieso mi i*norancia so+re la

manera como se a!6uieren las i!eas !e n7mero y !e me!i!a# y me propon*o a6u5 examinar

cómo estos materiales ya ela+ora!os VQW Hcita!o en %antoral, 2@@BI

No ca+e !u!a, 6ue to!os los seres humanos, construimos !i4erentes tipos !e conocimientos

cuan!o entramos en contacto con los ór*anos !e los senti!os con la naturalea HLojas,

- A@ -



I, !e esta manera, nos 4amiliariamos con los n7meros, con las 4ormas y 4i*uras, hasta

constituirse en conocimientos !e ciertas ramas !e la matem"tica, como la aritm0tica, la

*eometr5a, el "l*e+ra, y otras. /l principio en 4orma !e i!eas, y las i!eas &an toma!o 4orma,

consistencia, reali!a! a partir !e 4antasmas 4orma!os por nuestros sue1os y nuestras

ima*inaciones, hasta lle*ar a sim+oliar los pensamientos !e nuestra inteli*encia. /l

respecto, Marx !ec5a justamente< los pro!uctos !el cere+ro humano tienen el aspecto !e

seres in!epen!ientes !ota!os con cuerpos particulares en comunicación con los humanos y

entre ellos, Hcita!o en Morin, 2@@@I.

(ntre las !i&ersas aportaciones 6ue se ponen !e mani4iesto !e las culturas !el mun!o !el/n"huac, es la parte 4ilosó4ica.

8a primera operación re&olucionaria 6ue resol&ió el ser humano, 4ue sin !u!a, la operación

!e contar con los senti!os, espec54icamente con la &ista y apoy"n!ose !el !e!o 5n!ice.

espu0s, a tra&0s !e los a1os, la otra operación 6ue re&olucionó la socie!a!, 4ue el ha+la,

con esto, ya empeó a contar las cosas, o+jetos y seres con pala+ras. Sin em+ar*o, la

primera operación aritm0tica 6ue se conoció, se*7n !escri+e ;al!or HI 4ue la suma.

Para resol&er esta operación siempre se recurr5a a elementos concretos, puesto 6ue no se

ha+5a lle*a!o a un *ra!o su4iciente !e a+stracción matem"tica.

Posteriormente, sur*e la necesi!a! !e representar lo 6ue ha conta!o, tanto con la mente, la

&ista y con pala+ras. (n esta representación !e las cosas, o+jetos y seres conta!os, me!iante

im"*enes, emer*e el concepto a+stracto !e canti!a! y n7mero.

(l concepto a+stracto !e n7mero, emer*e en la comunicación en ausencia !e las cosas,

o+jetos y seres, !on!e sólo se menciona la canti!a!, y las personas hacen uso !e

conocimientos pre&ios !e manera mental. (n to!o el proceso, 6ue inicia !es!e el acto !e

- 3 -



contar &isual Hnumeración &isualI, &er+al Hnumeración &er+al o ha+la!aI, y mentalmente

Hnumeración mentalI, hay una 4uerte construcción !e conocimientos 4uncionales y ele&a!os

ni&eles !e a+stracción. (s !ecir, 6ue en el proceso !e construcción !e conocimientos

matem"ticos, est" 4uertemente li*a!o a ele&a!os ni&eles !e a+stracción.

8a sim+oliación !e las acti&i!a!es sociales, !el proceso !e contar las cosas, o+jetos y

seres, emer*e otro concepto, 6ue parecer5a 6ue son sinónimos !e contar, pero 6ue son

totalmente !i4erentes, aun6ue !escri+en coherentemente al mismo proceso. %ontar y me!ir

4ueron las primeras acti&i!a!es matem"ticas !el hom+re primiti&o H;al!or, # ;al!or,

2@@BI, posteriormente, emer*e la necesi!a! !e me!ir.

CKexkich, kexkichmej, %u"nto, %u"ntosD CKexkich ka ueyi, !e 6u0 tama1oD y CKenon ka

uejka kajki, / 6u0 !istanciaD, es !ecir, contar, me!ir y calcular, son las operaciones m"s

importantes !el ser humano 6ue lo*ró resol&er !es!e 0pocas anti6u5simas.

624 (os n;meros DTlapoualme?

8os n7meros han sur*i!o a lo lar*o !e la historia, como herramienta para resol&er

pro+lemas !e conteo, me!ición, or!enación, etc. /ctualmente, los &emos como al*o ya

termina!o y ten!emos a creer 6ue siempre existieron as5# sin em+ar*o, en ca!a 0poca,

cuan!o se intro!ujo al*7n n7mero o *rupo !e n7meros nue&os, a menu!o se suscita+an

pol0micas muy 4uertes y estos n7meros tar!a+an muchos a1os en ser acepta!os por la

comuni!a! en *eneral. Tales son los casos !el cero, !e los n7meros ne*ati&os, los n7meros

irracionales, etc. HOteya, ?I. 8a mayor5a sur*ió para cuanti4icar cosas, seres y

4enómenos !e la naturalea.

- 32 -



8os n7meros son conceptos emer*entes !el proceso intelectual, me!iante el cual, separamos

mentalmente las cuali!a!es particulares !e las cosas, o+jetos o seres !e una situación

concreta, al plano !e las i!eas me!iante la socialiación !el conocimiento. Por tanto, los

n7meros son conceptos a+stractos.

Se*7n el !iccionario !e matem"tica H2@BBI, n7mero es la $in!icación !e la cuant5a !e una

multiplici!a!# !icho !e pala+ra, como numeral , y escrito, como cifra'.

(n n"huatl, se emplean los &oca+los $Tlapoali' y $Tlapoalmej' para re4erirse a n7mero y

n7meros, respecti&amente. (l si*ni4ica!o !e estos &oca+los $6ue est" conta!o' y $6ue est"n

conta!os', es !ecir, si*ni4ica sencillamente Dlo Fue una persona cuenta de las cosas

contadas. (n el acto !e contar est" impl5cita la construcción sociocultural !e los

conocimientos matem"ticos y la a+stracción como procesos ele&a!os !el !esarrollo !el

pensamiento.

8a !e4inición !e n7mero en el sistema !e numeración n"huatl, es una !escripción !e la

canti!a! existencial !e un o+jeto conoci!o a tra&0s !e los senti!os. 8a interpretación o

4iloso45a !e la numeración n"huatl, re&ela lo pro4un!o !e su conocimiento, si*ni4ica!o y la

i!enti4icación con la naturalea HPar!i1a, J., et al, 2@@>I.

8os primeros n7meros 6ue sur*ieron históricamente, 4ueron los n7meros naturales 2, , ?, A,

3,Q 6ue nos sir&en para contar HOteya, ?I, principalmente, las cosas !e la

naturalea.

8os n7meros han sur*i!o a lo lar*o !e la historia, como herramienta para resol&er

pro+lemas !e conteo, me!ición, or!enación, etc. /ctualmente, los &emos como al*o ya

termina!o y ten!emos a creer 6ue siempre existieron as5# sin em+ar*o, en ca!a 0poca,

cuan!o se intro!ujo al*7n n7mero o *rupo !e n7meros nue&os, a menu!o se suscita+an

- 3 -



pol0micas muy 4uertes y estos n7meros tar!a+an muchos a1os en ser acepta!os por la

comuni!a! en *eneral. Tales son los casos !el cero, !e los n7meros ne*ati&os, los n7meros

irracionales, etc. HOteya, ?I. 8a mayor5a sur*ió para cuanti4icar cosas, seres y

4enómenos !e la naturalea.

8os n7meros son conceptos emer*entes !el proceso intelectual, me!iante el cual, separamos

mentalmente las cuali!a!es particulares !e las cosas, o+jetos o seres !e una situación

concreta, al plano !e las i!eas me!iante la socialiación !el conocimiento. Por tanto, los

n7meros son conceptos a+stractos.

Se*7n el !iccionario !e matem"tica H2@BBI, n7mero es la $in!icación !e la cuant5a !e una

multiplici!a!# !icho !e pala+ra, como numeral , y escrito, como cifra'.

(n n"huatl, se emplean los &oca+los $Tlapoali' y $Tlapoalmej' para re4erirse a n7mero y

n7meros, respecti&amente. (l si*ni4ica!o !e estos &oca+los $6ue est" conta!o' y $6ue est"n

conta!os', es !ecir, si*ni4ica sencillamente Dlo Fue una persona cuenta de las cosas

contadas. (n el acto !e contar est" impl5cita la construcción sociocultural !e los

conocimientos matem"ticos y la a+stracción como procesos ele&a!os !el !esarrollo !el

pensamiento. 8a !e4inición !e n7mero en el sistema !e numeración n"huatl, es una

!escripción !e la canti!a! existencial !e un o+jeto conoci!o a tra&0s !e los senti!os. 8a

interpretación o 4iloso45a !e la numeración n"huatl, re&ela lo pro4un!o !e su conocimiento,

si*ni4ica!o y la i!enti4icación con la naturalea HPar!i1a, J., et al, 2@@>I.

8os primeros n7meros 6ue sur*ieron históricamente, 4ueron los n7meros naturales 2, , ?, A,

3,Q 6ue nos sir&en para contar HOteya, ?I, principalmente, las cosas !e la

naturalea.

- 3? -



625 Escritura de los n;meros

8os hom+res han emplea!o los s5m+olos num0ricos escritos !es!e hace siete mil a1os,

aproxima!amente. %on el transcurso !el tiempo, in&entaron nue&os y mejores m0to!os !e

escri+ir los n7meros. /l principio, hacien!o marcas en los troncos !e los "r+oles lo*ra+an,

estos primeros pue+los, la me!ición !el tiempo y el conteo !el n7mero !e animales 6ue

pose5an H;al!or, 2@@BI# los representa+an tam+i0n por me!io !e incisiones en pe!aos !e

ma!era, o !e l5neas !i+uja!os en el suelo, este es el caso !e los pue+los mesopot"micos 6ue

representa+an los n7meros con marcas en 4orma !e cu1a !e acuer!o con su escritura

cunei4orme# as5, una marca para el uno# !os para el !os, hasta el nue&e. Para el !ie, cien,etc., usa+an si*nos con&encionales H;al!or, ?I. espu0s, empearon a usarse como

conjuntos !e rayitas separa!as. Posteriormente, al escri+irse las rayitas r"pi!amente, se

unieron en !i4erentes s5m+olos HQI. Pasaron cientos !e si*los para 6ue el hom+re alcanara

el concepto a+stracto !el n7mero, +ase in!ispensa+le para la 4ormación !e la ciencia

al*e+raica H;al!or, 2@@BI. (n el caso !e la cultura N"huatl, tal como ya se !escri+ió

anteriormente, los n7meros se representa+an me!iante im"*enes y s5m+olos especiales.

626 (as cantidades y los N;meros en Náhuatl

Para ha+lar !e los n7meros en n"huatl, nos +asaremos en los nom+res !e los n7meros, 6ue

representan a una canti!a!, y no simplemente en un s5m+olo. (n N"huatl, no se ha+la !e

canti!a!es, sino !e canti!a!es concretas, es !ecir, la canti!a! !e cosas, o+jetos y seres

reales tan*i+les e intan*i+les. /s5, cuan!o persona menciona una !etermina!a canti!a!, no

se est" re4irien!o a un n7mero o al s5m+olo !el n7mero, sino a una canti!a! !e cosas,

- 3A -



o+jetos, seres o cual6uier sustancia real, concreta, capa !e perci+irse por cual6uiera !e los

senti!os or!inarios y no or!inarios con caracter5sticas propias.

%on el constructo $canti!a! concreta' nos re4erimos a las canti!a!es !e cosas, o+jetos y

seres 6ue existen, ya sean tan*i+les e intan*i+les, 6ue se expresan a tra&0s !e un conjunto

!e len*uajes, !es!e el len*uaje )cónico, len*uaje real concreta, len*uaje i!eo*r"4ico, y

len*uaje cromato*r"4ico.

(n el concepto !e Tlapoali $lo 6ue est" conta!o HaI n7mero' y Tlapoalmej $los 6ue est"n

conta!os HasI N7meros', implican un ni&el !e a+stracción ele&a!o. (n el mismo acto !e

contar, est"n com+ina!os los procesos mentales y &isuales, 6ue in!ican las &eces 6ue se

a*re*a !e uno en uno la uni!a! +ase o especie.

/s5, cuan!o un campesino menciona tres &ena!os, tiene en la memoria *ra+a!o la ima*en

!e lo 6ue son los &ena!os y lo asocia con la canti!a!. Pero !e nin*una manera, sa+e la

representación !el n7mero.

(n las pr"cticas sociales !e comunicación y socialiación, se usan coti!ianamente los

n7meros 6ue a continuación se !escri+en<

2. Se B. %hikome

. Ome =. %hikueyi

?. Reyi @. %hiknaui

A. Naui 2. Majtlaktli

3. Makuili 22. Majtlaktli uan se

>. %hikuase 2. Majtlaktli uan ome

2?. Majtlaktli uan yeyi 2A. Majtlaktli uan naui

- 33 -



23. Kaxtoli

2>. Kaxtoli uan se

2B. Kaxtoli uan ome

2=. Kaxtoli uan yeyi

2@. Kaxtoli uan naui

. Se poali Hsempoali, cempoaliI

2. Se poali uan se

. Se poali uan ome

?. Se poali uan yeyi

A. Se poali uan naui

3. Se poali uan makuili

>. Se poali chikuase

B. Se poali uan chikome

=. Se poali uan chikueyi

@. Se poali uan chiknaui

?. Se poali uan majtlaktli

?2. Se poali uan majtlaktli uan se?. Se poali uan majtlaktli uan ome

??. Se poali uan majtlaktli uan yeyi

?A. Se poali uan Majtlaktli uan naui

?3. Se poali uan kaxtoli

?>. Se poali uan kaxtoli uan se

?B. Se poali uan kaxtoli uan ome

?=. Se poali uan kaxtoli uan yeyi

?@. Se poali uan kaxtoli uan naui

A. Ome poali

A2. Ome poali uan se

A. Ome poali uan ome

A?. Ome poali uan yeyi

AA. Ome poali uan naui

A3. Ome poali uan makuili

A>. Ome poali uan chikuase

AB. Ome poali uan chikome

A=. Ome poali uan chikueyi

A@. Ome poali uan chiknaui

3. Ome poali uan majtlaktli

32. Ome poali uan majtlaktli uan se

3. Ome poali uan majtlaktli uan ome

3?. Ome poali uan majtlaktli uan yeyi

3A. Ome poali uan majtlaktli uan naui

- 3> -



33. Ome poali uan kaxtoli

3>. Ome poali uan kaxtoli uan se

3B. Ome poali uan kaxtoli uan ome

3=. Ome poali uan kaxtoli uan yeyi

3@. Ome poali uan kaxtoli uan naui

>. Reyi poali

>2. Reyi poali uan se

>. Reyi poali uan ome

>?. Reyi poali uan yeyi

>A. Reyi poali uan naui

>3. Reyi poali uan makuili

>>. Reyi poali uan chikuase

>B. Reyi poali uan chikome

>=. Reyi poali uan chikueyi

>@. yeyi poali uan chiknaui

B. Reyi poali uan majtlaktli

B2. Reyi poali uan majtlaktli uan se

B. Reyi poali uan majtlaktli uan ome

B?. Reyi poali uan majtlaktli uan yeyi

BA. Reyi poali uan majtlaktli uan naui

B3. Reyi poali uan kaxtoli

B>. Reyi poali uan kaxtoli uan se

BB. Reyi poali uan kaxtoli uan ome

B=. Reyi poali uan kaxtoli uan yeyi

B@. Reyi poali uan kaxtoli uan naui

=. Naui poali

@. Naui poali uan majtlaktli 2.

Makuili poali

22. Makuilpoali uan majtlaktli

2. %hikuase poali

23. %hikome poali uan majtlaktli

. Majtlaktli poali

2. Majtlaktli poali uan majtlaktli

?. Kaxtoli poali

- 3B -



A. Se tsontli 3. Majtlaktli uan ome tsontli uan

2. Ome tsontli uan majtlaktli poalimajtlaktli poali

. Makuili poali tsontli =. Se xikipili

?, , . Se tsontli xikipili



#!/$TU() 7

G

Makuili

!nálisis del Sistema de Numeración Náhuatl

%entramos nuestra atención en la estructura aritm0tica-conceptual !el sistema !e

numeración N"huatl, +as"n!onos en los nom+res !e los n7meros en n"huatl.

720 N;meros undamentales: 0 y 0

8os n7meros 4un!amentales en n"huatl la constituyen los n7meros 2 y 2, 0stas representan

la +ase !e la !uali!a! !e &i!a en el cosmos# en el caso !el ser humano, representan al &arón

y a la mujer, al macho y la hem+ra, en los animales, como !os seres complementarios 6ue

pue!en !ar ori*en a otro ser u otros seres, es !ecir, el 2 o m"s impares. 8os n7meros

4un!amentales representan el ori*en !e los seres &i&os H!ioses, seres humanos, animales y

&e*etalesI y !e las cosas y representan las uni!a!es pilares para la construcción !e n7meros



concretos y a+stractos. %ompren!er los n7meros 4un!amentales constituye la cla&e para

enten!er claramente el sistema !e numeración n"huatl as5 como *ran parte !e las

operaciones 6ue se emplean en la matem"tica institucionalia!a en contextos escolares. (s

!ecir, la +ase !e cual6uier operación aritm0tica o al*e+raica, es +inaria, es !ecir, se

re6uieren !os t0rminos para operar matem"ticamente, la +ase y lo 6ue se !e+e operar, ya sea

a*re*ar HsumaI, multiplicar HmultiplicaciónI, !i&i!ir, etc.

724 El principio de aditi*idad pro%resi*a en la construcción de los n;meros

(l n7mero uno HseI 6ue se usa como la uni!a! !e a!iti&i!a! +ase, emer*e !e los !os

n7meros 4un!amentales 2 y 2. (n la naturalea, apren!emos 6ue !e los mismos n7meros

4un!amentales se o+tienen los n7meros !os, tres, cuatro o cinco.

Ra en los ni&eles !e a+stracción, los n7meros uno HseI, !os HomeI, tres HyeyiI, cuatro HnauiI

y cinco Hmakuili- se o+tienen por a!iciones pro*resi&as. %on estos cinco n7meros, se

4orman to!os los n7meros 6ue el ser humano pue!a ima*inarse.

725 Unidades de aditi*idad

8as uni!a!es !e a!iti&i!a!, son los n7meros ya construi!os en un primer ni&el, y 6ue sea!icionan pro*resi&amente para 4ormar otros m"s complejos. (n el cua!ro si*uiente seanotan las cinco uni!a!es !e a!iti&i!a!.

Ta+la < Gni!a!es !e a!iti&i!a! N7meros (n (spa1ol 2 ? A 3

(n N"huatl Se Ome Reyi Naui Makuili

(timolo*5a !el constructo numeral $Makuili' cinco



Ma !e Maitl $mano' emplea!o como uni!a! !e me!i!a, a su &e, !e matli $mano' como

extremi!a! superior.

Makui. es una or!en 6ue si*ni4ica $reci+e con la mano'# Hui: &er+o usar y makuili: es una

4rase imperati&a $6ue le reci+e con la mano'. (ste si*ni4ica!o concuer!a parcialmente, con

lo 6ue !ice Sim0on en HA, p. 8)I, macuilli pro&iene !e maitl , mano, y cui , tomar, los

cinco !e!os !e la mano toma!os como cuenta.

726 Unidades y Su&unidades &ase

(n este sistema !e numeración, las uni!a!es +ase son los n7meros 6ue se emplean para4ormar otros n7meros 6ue son !i4erentes !e . (n el cua!ro ? se muestran las uni!a!es ysu+uni!a!es 6ue se emplean como +ase en el sistema !e numeración N"huatl.

Ta&la 5: Unidades y su&unidades &ase en el sistema de numeración Náhuatl

Tipo de unidad N;meros en espaol N;meros en náhuatl

Gni!a! 4un!amental 2HunoI Uno

Su+uni!a! 3 HcincoI Makuili

Su+uni!a! 2 H!ieI Ma?tlaktliSu+uni!a! 23 H6uinceI Haxtoli

Gni!a! 4un!amental H&einteI Se poali

Gni!a! 4un!amental A HcuatrocientosI Se tsontli

Gni!a! 4un!amental = Hocho milI Se xikipili



727 (ey de la distri&ución pro%resi*a

8a ley !e la !istri+ución 6ue se emplea en este tra+ajo, se &uel&e notorio cuan!o analiamos

!eteni!amente, la 4orma en 6ue se construyen los n7meros !el 2 al 3, !el > al 2, !el 2 al

23, !el 23 al , etc. on!e ca!a su+uni!a! se le a*re*a los n7meros en or!en creciente los

n7meros 2, , ?, A y 3. Tal como mostramos en el cua!ro A.

Ta+la A< 8ey !e la !istri+ución pro*resi&a

[3 23[3 2[3 3[3 3 3

[A 23[A 2[A 3[A A A

[? 23[? 2[? 3[? ? ?

[ 23[ 2[ 3[

[2 23[2 2[2 3[2 2 2

23 2 3

729 #onstrucción aditi*a pro%resi*a de los n;meros 9 al 0>

/un6ue makuili correspon!e al n7mero cinco, no se usa como su+uni!a! para la

construcción !e los n7meros seis al !ie, sino 6ue se sustituye por $chika' $en &er!a!' 6ue

no es e6ui&alente a cinco, sino a !os, re4iri0n!ose a las !os manos, a este su+uni!a! se le

a*re*a 2, , ?, A y 3, para 4ormar los nom+res !e los n7meros > al 2. %uan!o se a*re*a la

uni!a! a!iti&a 3, se 4orma otra uni!a! !i4erente.

Ta+la 3< %onstrucción a!iti&a y pro*resi&a !e los n7meros > al 2



N7meros e4inición

(n espa1ol en n"huatl %onceptual en n"huatl /ritm0tica en n"huatl

> HseisI #hik uase #hik uan se 7J0

B HsieteI #hik ome #hik uan ome 7J4 = HochoI #hik ueyi #hik uan yeyi 7J5

@ Hnue&eI %hik naui #hik uan naui 7J6

0> +die8- Ma?tlaktli 7J7K 0>

(timolo*5a !el t0rmino $ajtlaktli HNeluayotlajtoltomilistliI

Sim0on HA, p. 8)I, explica, matlactli, pro&iene !e maitl , mano, en comparación ma, y

!e tlactli , +usto, torso !el hom+re, es !ecir, las !os manos.

Sin em+ar*o, $aj tlaktli est" 4orma!a !e las pala+ras Ma?pilme?< !e!os, Mame?< manos, el

plural !e matli $mano', y Tlaktli< torso# a su &e, Majpilmej, est" constitui!o por pilmej

$hijos' plural !e pili $hijo'. (s !ecir, !e!os !e la mano !e los hijos.

e esto po!emos !e!ucir, 6ue la construcción !e conocimientos matem"ticos, inicia+an con

un estu!io completo !el ser humano, es !ecir, tal como lo !ijo !e manera escueta el 4ilóso4o

Sócrates $hom+re, conócete a ti mismo'. To!os sa+emos 6ue las manos contienen !ie

!e!os, por eso est"n 4orman!o parte !e la numeración n"huatl. /un6ue en otros sistemas !e

numeración se !esi*nan con el nom+re *en0rico $n7meros !5*itos' a los !ie primeros

n7meros# esto 4orma parte !e las ce*ueras, error e ilusión !el conocimiento !el para!i*ma

6ue se ha a!opta!o actualmente HMorin, 2@@@, pp. 3-@I, por6ue to!os sa+emos 6ue el ser

humano contiene !e!os, 6ue los *ran!es maestros !el /n"huac, s5 lo notaron.

%on esto concluimos, 6ue los n7meros !5*itos no son !ie sino .



72 #onstrucción aditi*a pro%resi*a de los n;meros 00 al 07

Majtlaktli como su+uni!a! com+ina!o con las uni!a!es !e a!ición.

Ta&la 9: #onstrucción aditi*a pro%resi*a de los n;meros 00 al 07

N;meros ,einición

En espaol En náhuatl #onceptual de los n;meros !ritm3tica

22 HonceI Majtlaktli uan se 2[0 2[0

2 H!oceI Majtlaktli uan ome 2[4 2[4

2? HtreceI Majtlaktli uan yeyi 2[5 2[5

2A HcatorceI Majtlaktli uan naui 2[6 2[6

07 +Fuince- Haxtoli 0>J7 0>J7

7220 !nálisis etimoló%ico +Neluayotla?toltlatomilistli- de la pala&ra DHaxtoli

(sta pala+ra est" 4orma!a por la contracción !e las pala+ras< Ka< no, toliui< ar6uea H!e

ar6uearI, 6ue no cierra. Por tanto, kaxtoli, si*ni4ica $cuenta incompleta'. 8a cuenta es

incompleta por6ue hace 4alta contar los !e!os !e uno !e los pies. Kaxtoli es la tercera

uni!a! para 4ormar los n7meros !el !iecis0is al .

72< #onstrucción aditi*a pro%resi*a de los n;meros 09 al 4>

Ta&la : #onstrucción aditi*a pro%resi*a de los n;meros 00 al 07

N;meros ,einición



En espaol En náhuatl conceptual de los n;meros !ritm3tica

2> Kaxtoli uan se 23 [ 2 23[2

2B Kaxtoli uan ome 23 [ 23[

2= Kaxtoli uan yeyi 23 [ ? 23[?

2@ Kaxtoli uan naui 23 [ A 23[A

4> Se poali 0+4>- 07J7

72<20 !nálisis etimoló%ico +Neluayotla?toltlatomilistli- de se poali

Sim0on HA, p. 8)I explica, poa, contar# !e !on!e se !eri&an las pala+ras tlapoalli ,

conta!o# tlapoaliztli , acción !e contar, enumeración# tlacempoaliztli , suma, total, etc.

(l t0rmino $se poali ' y sus &ariantes $cempoalli o sempoali ', es el 6ue se emplea para

!esi*nar al n7mero &einte, constitui!a por las pala+ras< Se< uno, una, un# poua< &er+o

re*ular en n"huatl, contar, cuenta, conta!a# li< re4erente a.

8iteralmente si*ni4ica $una cuenta o una conta!a', pero 0sta pala+ra tiene un si*ni4ica!o

m"s pro4un!o, en el 6ue est"n conteni!os los &einte !e!os !e las manos y !e los pies. Por

tanto, cuan!o se cuenta hasta el &einte, in!ica 6ue se realió una cuenta completa.

/ me!i!a 6ue a&anamos en el estu!io !el sistema !e numeración n"huatl, notamos 6ue la

cuenta !e &einte, 4orma parte !e unos conocimientos al 6ue le po!remos llamar la

matem"tica humana, como un sistema entero !e tres su+uni!a!es +ase, 6ue representan las

!os manos H!ie !e!osI y los !os pies Hotros !ie !e!osI !el ser humano# ca!a +ase cuenta

con cinco conta!as, es !ecir, cinco nom+res !e n7meros.



72= (os *einte N;meros ,í%itos

(n el mun!o !el /n"huac, se conoc5an &einte n7meros !5*itos, contrario a lo 6ue

com7nmente se conoce en otras culturas, 6ue consi!eran sólo !ie. 8os &einte !5*itos est"n

+asa!os en los &einte !e!os !e las manos y !e los pies, menciona!os anteriormente. 8o

&alioso !el sistema !e numeración n"huatl estri+a en la 4ormación !e constructos numerales

a partir !e un autoconocimiento !el ser humano, sien!o esto una muestra !el tipo !e

conocimientos practica+an, en el 6ue no sólo se e!uca+a para apren!er a apren!er, para

&i&ir, sino para e&olucionar y trascen!er, y esto est" totalmente exclui!o en to!os los

sistemas e!ucati&os.

(n los constructos numerales, se o+ser&a tanto la construcción a!iti&a-pro*resi&a as5 como

un proceso !e re4inación y exaltación !e la len*ua n"huatl, tal como lo !escri+e Eóseph

H2@>3I $la historia !el mun!o esta+lece 6ue la per4ección !e una len*ua sólo se alcana con

muchos si*los !e ha+larla y 4un!amentalmente, por el re4inamiento espiritual 6ue !a la

cultura'.

720> Lormación de los n;meros 4> al 6>

(n los nom+res !e estos n7meros, se poali es com7n en to!os los nom+res,

mani4est"n!ose el principio !e a!iti&i!a! pro*resi&a, tal como se muestra en el cua!ro

si*uiente<

Ta&la <: #onstrucción pro%resi*a de los n;meros 40 al 6>

N;meros en ,einiciónconceptual

,einiciónoperacional

espaol Náhuatl

2 Se poali uan se 2HI [ 2 [ 2



Se poali uan ome 2HI [ [

? Se poali uan yeyi 2HI [ ? [ ?

A Se poali uan naui 2HI [ A [ A

3 Se poali uan makuili 2HI [ 3 [ 3> Se poali uan chikuase 2HI [ 3[2 [ >

B Se poali uan chikome 2HI [ 3[ [ B

= Se poali uan chikueyi 2HI [ 3 [ ? [ =

@ Se poali uan chiknaui 2HI [ 3 [ A [ @

? Se poali uan majtlaktli 2HI [ 2 [2

?2 Se poali uan majtlaktli uan se 2HI [ 2 [ 2 [ 22

? Se poali uan majtlaktli uan ome 2HI [ 2 [ [ 2

?? Se poali uan majtlaktli uan yeyi 2HI [ 2 [ ? [ 2?

?A Se poali uan majtlaktli uan naui 2HI [ 2 [ A [ 2A

?3 Se poali uan kaxtoli 2HI [ 23 [ 23

?> Se poali uan kaxtoli uan se 2HI [ 23 [ 2 [ 2>

?B Se poali uan kaxtoli uan ome 2HI [ 23 [ [ 2B

?= Se poali uan kaxtoli uan yeyi 2HI [ 23 [ ? [ 2=?@ Se poali uan kaxtoli uan naui 2HI [ 23 [ A [2@

A Ome poali HI Y

7200 Lormación de los n;meros mayores Fue 6>

(n la 4ormación !e estos n7meros, es notoria la construcción pro*resi&a !e los n7meros,!espu0s !e una cuenta completa !e , si*ue en or!en creciente !el n7mero si*uiente,hasta completarse otra cuenta completa !e , continua con otro n7mero !el or!encreciente, tal como mostramos en el cua!ro si*uiente<



Ta+la @< %onstrucción pro*resi&a !e los n7meros A2 al A

N7meros e4inición

(n

espa1ol

(n n"huatl %onceptual pro&eniente

!el n"huatl

operacional

A2 Ome poali uan se HI [2 A[2

A Ome poali uan ome HI [ A[

A? Ome poali uan yeyi HI [ ? A[?

AA Ome poali uan naui HI [ A A[A

A3 Ome poali uan makuili HI [ 3 A[3

A> Ome poali uan chikuase HI [ 3 [2 A[>

AB Ome poali uan chikome HI [ 3 [ A[B

A= Ome poali uan chikueyi HI [ 3 [ ? A[=

A@ Ome poali uan chiknaui HI [ 3 [ A A[@

3 Ome poali uan majtlaktli HI [ 2 A[2

32 Ome poali uan majtlaktli uan se HI [ 2 [ 2 3[2

3 Ome poali uan majtlaktli uan ome HI [ 2 [ 3[

3? Ome poali uan majtlaktli uan yeyi HI [ 2 [ ? 3[?

3A Ome poali uan majtlaktli uan naui HI [ 2 [ A 3[A

33 Ome poali uan kaxtoli HI [ 23 3[33> Ome poali uan kaxtoli uan se HI [ 23 [ 2 3[>

3B Ome poali uan kaxtoli uan ome HI [ 23 [ 3[B

3= Ome poali uan kaxtoli uan yeyi HI [ 23 [? 3[=

3@ Ome poali uan kaxtoli uan naui HI [ 23 [A 3[@

> Reyi poali ?HI >

>2 Reyi poali uan se ?HI [2 >[2

> Reyi poali uan ome ?HI [ >[

>? Reyi poali uan yeyi ?HI [ ? > [ ?

>A Reyi poali uan naui ?HI [ A > [ A

>3 Reyi poali uan makuili ?HI [ 3 > [ 3

>> Reyi poali uan chikuase ?HI [ 3 [ 2 > [ >



>B Reyi poali uan chikome ?HI [ 3 [2 >[ B

>= Reyi poali uan chikueyi ?HI [ 3[ ? > [ =

>@ Reyi poali uan chiknaui ?HI [ 3 [ A > [ @

B Reyi poali uan majtlaktli ?HI [ 2 > [ 2

B2 Reyi poali uan majtlaktli uan se ?HI [ 2 [ 2 > [22

B Reyi poali uan majtlaktli uan ome ?HI 2 [ > [ 2

B? Reyi poali uan majtlaktli uan yeyi ?HI [ 2 [ ? > [ 2?

BA Reyi poali uan majtlaktli uan naui ?HI [ 2 [ A > [ 2A

B3 Reyi poali uan kaxtoli ?HI [ 23 > [ 23

B> Reyi poali uan kaxtoli uan se ?HI [ 23 [ 2 > [ 2>

BB Reyi poali uan kaxtoli uan ome ?HI [ 23 [ > [ 2B

B= Reyi poali uan kaxtoli uan yeyi ?HI [ 23 [ ? > [ 2=

B@ Reyi poali uan kaxtoli uan naui ?HI [ 23 [ A > [ 2@

= Naui poali AHI AY

=2 Naui poali uan se AHI [ 2 = [2

= Naui poali uan ome AHI [ = [

=? Naui poali uan yeyi AHI [ ? = [ ?

=A Naui poali uan naui AHI [ A = [ A

=3 Naui poali uan makuili AHI [ 3 = [ 3

=> Naui poali uan chikuase AHI [ 3[2 = [ >

=B Naui poali uan chikome AHI [ 3 [ = [ B

== Naui poali uan chikueyi AHI [ 3 [ ? = [=

=@ Naui poali uan chiknaui AHI [ 3 [ A = [ @@ Naui poali uan majtlaktli AHI [ 2 = [ 2

@2 Naui poali uan majtlaktli uan se AHI [ 2 [ 2 = [ 22

@ Naui poali uan majtlaktli uan ome AHI [ 2 [ = [ 2

@? Naui poali uan majtlaktli uan yeyi AHI [ 2 [ ? = [ 2?



@A Naui poali uan majtlaktli uan naui AHI [ 2 [ A = [2A

@3 Naui poali uan kaxtoli AHI [ 23 = [ 23

@> Naui poali uan kaxtoli uan se AHI [ 23 [ 2 = [ 2>

@B Naui poali uan kaxtoli uan ome AHI [ 23 [ = [ 2B

@= Naui poali uan kaxtoli uan yeyi AHI [ 23 [ ? = [ 2=

@@ Naui poali uan kaxtoli uan naui AHI [ 23 [ A = [ 2@

2 Makuili poali 3HI 3Y

22 Makuili poali uan se 3HI [ 2 2 [ 2

2 Makuili poali uan ome 3HI [ 2 [

2? Makuili poali uan yeyi 3HI [ ? 2 [ ?

2A Makuili poali uan naui 3HI [ A 2 [ A

23 Makuili poali uan makuili 3HI [ 3 2 [ 3

2> Makuili poali uan chikuase 3HI [ 3[ 2 2 [ >

2B Makuili poali uan chikome 3HI [ 3 [ 2 [ B

2= Makuili poali uan chikueyi 3HI [ 3 [ ? 2 [ =

2@ Makuili poali uan chiknaui 3HI [ 3 [ A 2 [ @

22 Makuili poali uan majtlaktli 3HI [ 2 2[ 2

222 Makuili poali uan majtlaktli uan se 3HI [ 2 [ 2 2 [ 22

22 Makuili poali uan majtlaktli uan ome 3HI [ 2 [ 2 [ 2

22? Makuili poali uan majtlaktli uan yeyi 3HI [ 2 [ ? 2 [ 2?

22A Makuili poali uan majtlaktli uan naui 3HI [ 2 [ A 2[ 2A

223 Makuili poali uan kaxtoli 3HI [ 23 2 [ 23

22> Makuili poali uan kaxtoli uan se 3HI [ 23 [ 2 2 [ 2>

22B Makuili poali uan kaxtoli uan ome 3HI [ 23 [ 2 [ 2B

22= Makuili poali uan kaxtoli uan yeyi 3HI [ 23 [ ? 2 [ 2=

22@ Makuili poali uan kaxtoli uan naui 3HI [ 23 [ A 2 [ 2@

2 %hikuase poali H3[2IHI 2



22 %hikuase poali uan se H3[2IHI [ 2 2 [ 2

2 %hikuase poali uan ome H3[2IHI [ 2 [

2? %hikuase poali uan yeyi H3[2IHI [ ? 2 [?

2A %hikuase poali uan naui H3[2IHI [ A 2 [ A

23 %hikuase poali uan makuili H3[2IHI [ 3 2 [ 3

2> %hikuase poali uan chikuase H3[2IHI [ 3 [ 2 2 [ >

2B %hikuase poali uan chikome H3[2IHI [ 3 [ 2[B

2= %hikuase poali uan chikueyi H3[2IHI [ 3[? 2[=

2@ %hikuase poali uan chiknaui H3[2IHI [ 3[ A 2[ @

2? %hikuase poali uan majtlaktli H3[2I HI [ 2 2 [2

2?2 %hikuase poali uan majtlaktli uan se H3[2IHI [ 2 [2 2[22

2? %hikuase poali uan majtlaktli uan ome H3[2I HI [ 2 [ 2 [ 2

2?? %hikuase poali uan majtlaktli uan yeyi H3[2I HI [2 [ ? 2 [2?

2?A %hikuase poali uan majtlaktli uan naui H3[2I HI [ 2 [2A 2 [ 2A

2?3 %hikuase poali uan kaxtoli H3[2I HI [ 23 2 [ 23

2?> %hikuase poali uan kaxtoli uan se H3[2I HI [ 23 [2 2[ 2>

2?B %hikuase poali uan kaxtoli uan ome H3[2IHI [ 23 [ 2 [ 2B

2?= %hikuase poali uan kaxtoli uan yeyi H3[2I HI [ 23 [ ? 2 [ 2=

2?@ %hikuase poali uan kaxtoli uan naui H3[2I HI [ 23 [ A 2 [ 2@

2A %hikome poali H3[I HI 2A

2A2 %hikome poali uan se H3[I HI [ 2 2A [2

2A %hikome poali uan ome H3[IHI [ 2A[

2A? %hikome poali uan yeyi H3[I HI [ ? 2A [?

2AA %hikome poali uan naui H3[IHI [ A 2A [A

2A3 %hikome poali uan makuili H3[IHI [ 3 2A [ 3

2A> %hikome poali uan chikuase H3[IHI [ 3 [ 2 2A [ >

2AB %hikome poali uan chikome H3[IHI [ 3 [ 2A [ B



2A= %hikome poali uan chikueyi H3[IHI [ 3 [ ? 2A [ =

2A@ %hikome poali uan chiknaui H3[IHI [ 3 [ A 2A [ @

23 %hikome poali uan majtlaktli H3[IHI [ 2 2A [ 2

232 %hikome poali uan majtlaktli uan se H3[IHI [ 2 [ 2 2A [ 22

23 %hikome poali uan majtlaktli uan ome H3[IHI [ 2 [ 2A [ 2

23? %hikome poali uan Majtlaktli uan yeyi H3[IHI [ 2 [ ? 2A [ 2?

23A %hikome poali uan majtlaktli uan naui H3[IHI [ 2 [ A 2A [ 2A

233 %hikome poali uan kaxtoli H3[IHI [ 23 2A [ 23

23> %hikome poali uan kaxtoli uan se H3[IHI [ 23 [ 2 2A [ 2>

23B %hikome poali uan kaxtoli uan ome H3[IHI [ 23 [ 2A [ 2B

23= %hikome poali uan kaxtoli uan yeyi H3[IHI [ 23 [ ? 2A [ 2=

23@ %hikome poali uan kaxtoli uan naui H3[IHI [ 23 [ A 2A [ 2@

2> %hikueyi poali H3[?IHI =Y

2>2 %hikueyi poali uan se H3[?IHI [ 2 2>[ 2

2> %hikueyi poali uan ome H3[?IHI [ 2> [

2>? %hikueyi poali uan yeyi H3[?IHI [ ? 2> [ ?

2>A %hikueyi poali uan naui H3[?IHI [ A 2> [ A

2>3 %hikueyi poali uan makuili H3[?IHI [ 3 2>[ 3

2>> %hikueyi poali uan chikuase H3[?IHI [ 3[2 2> [ >

2>B %hikueyi poali uan chikome H3[?IHI [ 3 [ 2> [ B

2>= %hikueyi poali uan chikueyi H3[?IHI [ 3 [ ? 2> [ =

2>@ %hikueyi poali uan chiknaui H3[?IHI [ 3[ A 2> [ @

2B %hikueyi poali uan majtlaktli H3[?IHI [ 2 2>[ 2

2B2 %hikueyi poali uan majtlaktli uan se H3[?IHI [ 2 [ 2 2> [ 22

2B %hikueyi poali uan majtlaktli uan ome H3[?IHI [ 2 [ 2> [ 2

2B? %hikueyi poali uan majtlaktli uan yeyi H3[?IHI [ 2 [ ? 2> [ 2?

2BA %hikueyi poali uan majtlaktli uan naui H3[?IHI [ 2 [ A 2>[ 2A



2B3 %hikueyi poali uan kaxtoli H3[?IHI [ 23 2> [23

2B> %hikueyi poali uan kaxtoli uan se H3[?IHI [ 23 [ 2 2> [ 2>

2BB %hikueyi poali uan kaxtoli uan ome H3[?IHI [ 23 [ 2> [ 2B

2B= %hikueyi poali uan kaxtoli uan yeyi H3[?IHI [ 23 [ ? 2> [ 2=

2B@ %hikueyi poali uan kaxtoli uan naui H3[?IHI [ 23 [ A 2> [ 2@

2= %hiknaui poali H3[AIHI [ 23 [ A 2=

2=2 %hiknaui poali uan se H3[AIHI [ 2 2=[ 2

2= %hiknaui poali uan ome H3[AIHI [ 2= [

2=? %hiknaui poali uan yeyi H3[AIHI [ ? 2= [ ?

2=A %hiknaui poali uan naui H3[AIHI [ A 2=[ A

2=3 %hiknaui poali uan makuili H3[AIHI [ 3 2= [ 3

2=> %hiknaui poali uan chikuase H3[AIHI [ 3 [ 2 2= [ >

2=B %hiknaui poali uan chikome H3[AIHI [ 3[ 2= [ B

2== %hiknaui poali uan chikueyi H3[AIHI [ 3 [ ? 2= [ =

2=@ %hiknaui poali uan chiknaui H3[AIHI [ 3[ A 2= [ @

2@ %hiknaui poali uan majtlaktli H3[AIHI [ 2 2= [ 2

2@2 %hiknaui poali uan majtlaktli uan se H3[AIHI [ 2 [ 2 2= [ 22

2@ %hiknaui poali uan majtlaktli uan ome H3[AIHI [ 2 [ 2= [ 2

2@? %hiknaui poali uan majtlaktli uan yeyi H3[AIHI [ 2 [ ? 2= [ 2?

2@A %hiknaui poali uan majtlaktli uan naui H3[AIHI [ 2 [ A 2= [ 2A

2@3 %hiknaui poali uan kaxtoli H3[AIHI [ 23 2= [ 23

2@> %hiknaui poali uan kaxtoli uan se H3[AIHI [ 23 [ 2 2=[ 2>

2@B %hiknaui poali uan kaxtoli uan ome H3[AIHI [ 23 [ 2= [ 2B

2@= %hiknaui poali uan kaxtoli uan yeyi H3[AIHI [ 23 [ ? 2=[ 2=

2@@ %hiknaui poali uan kaxtoli uan naui H3[AIHI [ 23 [ A 2= [ 2@

Majtlaktli poali 2HI 2Y

2 Majtlaktli poali uan se 2HI [ 2 [ 2



Majtlaktli poali uan ome 2HI [ [

? Majtlaktli poali uan yeyi 2HI [ ? [ ?

A Majtlaktli poali uan naui 2HI [ A [ A

3 Majtlaktli poali uan makuili 2HI [ 3 [ 3

> Majtlaktli poali uan chikuase 2HI [ 3 [ 2 [ >

B Majtlaktli poali uan chikome 2HI [ 3 [ [ B

= Majtlaktli poali uan chikueyi 2HI [ 3 [ ? [ =

@ Majtlaktli poali uan chiknaui 2HI [ 3 [ A [ @

2 Majtlaktli poali uan majtlaktli 2HI [ 2 [ 2

22 Majtlaktli poali uan majtlaktli uan se 2HI [ 2 [ 2 [ 22

2 Majtlaktli poali uan majtlaktli uan ome 2HI [ 2 [ [ 2

2? Majtlaktli poali uan majtlaktli uan yeyi 2HI [ 2 [ ? [ 2?

2A Majtlaktli poali uan majtlaktli uan naui 2HI [ 2 [ A [ 2A

23 Majtlaktli poali uan kaxtoli 2HI [ 23 [ 23

2> Majtlaktli poali uan kaxtoli uan se 2HI [ 23 [ 2 [ 2>

2B Majtlaktli poali uan kaxtoli uan ome 2HI [ 23 [ [ 2B

2= Majtlaktli poali uan kaxtoli uan yeyi 2HI [ 23 [ ? [ 2=

2@ Majtlaktli poali uan kaxtoli uan naui 2HI [ 23 [ A [ 2@

Majtlaktli uan se poali H2[2IHI 22YZ

2 Majtlaktli uan se poali uan se H2[2IHI [ 2 [ 2

Majtlaktli uan se poali uan ome H2[2IHI [ [

? Majtlaktli uan se poali uan yeyi H2[2IHI [ ? [ ?

A Majtlaktli uan se poali uan naui H2[2IHI [ A [ A

3 Majtlaktli uan se poali uan makuili H2[2IHI [ 3 [ 3

> Majtlaktli uan se poali uan chikuase H2[2IHI [ 3 [ 2 [ >

B Majtlaktli uan se poali uan chikome H2[2IHI [ 3 [ [ B

= Majtlaktli uan se poali uan chikueyi H2[2IHI [ 3 [ ? [ =

@ Majtlaktli uan se poali uan chiknaui H2[2IHI [ 3 [A [ @



? Majtlaktli uan se poali uan majtlaktli H2[2IHI [ 2 [ 2

?2 Majtlaktli uan se poali uan majtlaktliuan se

H2[2IHI [ 2 [ 2 [ 22

? Majtlaktli uan se poali uan majtlaktli

uan ome

H2[2IHI [ 2 [ [ 2

7204 El n;mero 4> como unidad &ase para ormar los n;meros 4> al 6>>

Se*7n Sim0on HA, p. 8)I, $cempoalli %se poali&, es !ecir, una cuenta, la cuenta

completa, se toma como una nue&a especie !e uni!a!es y se cuenta por &eintenas como por

uni!a!es simples, a partir !e cempoalli %se poali&, un &einte, hasta ca'tolli onnauhpoalli

%ka'toli uan naui poali&, ?= o !iecinue&e &eintes, hacien!o prece!er a la pala+ra poalli !e

los nom+res !e los !iecinue&e primeros n7meros'.

(n este estu!io, tal como analiamos en 3.2, se poali o en una !e las &ariantes, sempoali o

cempoalli , es el n7mero 6ue sir&e !e +ase para la construcción !e los n7meros &eintiuno al

cuatrocientos, !e lo 6ue se !e!ucir" posteriormente, es el n7mero 6ue sir&e !e +ase para el

Sistema !e Numeración 6ue estamos estu!ian!o.

7205 'enerali8ación para la construcción mental de los n;meros comprendidos entre

4> y 6>>2

Se*7n Sim0on HA, p. 8I, para enunciar los n7meros superiores a &einte 6ue no pasen

!e las !iecinue&e &eintenas y !iecinue&e uni!a!es, +asta con poner a continuación !e los

a!jeti&os cempoalli, ompoalli, eipoalli, etc., los nom+res !e los !iecinue&e primeros

n7meros.



(n esta in&esti*ación, a!optamos la 4orma &i*ente 6ue emplean las personas en la re*ión !e

la Monta1a !el esta!o !e Fuerrero, para ello escri+iremos tal como se pronuncia, si*uien!o

el or!en si*uiente< mencionamos los primeros !iecinue&e n7meros se*ui!os !e la pala+ra

poali, a continuación el conector uan y 4inalmente, cual6uiera !e los primeros !iecinue&e

n7meros naturales. Tal como se ha mostra!o en p"rra4os anteriores.

7206 El principio de !diti*idad /ro%resi*a

(l principio !e a!iti&i!a!, emer*e !e la a!ición pro*resi&a, 6ue al completarse una cuenta

completa, se &uel&e a repetir el proceso para !ar ori*en a otro n7mero mayor. 8a

a!iti&i!a! pro*resi&a, est" compuesto !e la 8ey !e la istri+ución a!iti&a y la

construcción a!iti&a pro*resi&a. (ste principio muestra cómo se clasi4ican las ór!enes en

el Sistema !e Numeración N"huatl 6ue se analia en 3.2@

7207 El principio de DMultiplicidad pro%resi*a

(n esta in&esti*ación, emer*e el principio !e multiplici!a! pro*resi&a, para resaltar la

construcción !e los n7meros m7ltiplos !e , es !ecir, n7meros !el tipo n2, n, n? ,

nA, etc. !on!e n pue!e a!6uirir &alores !es!e 2 hasta

(n el principio !e la multiplici!a! pro*resi&a, los &einte n7meros !5*itos, aparecen

multiplican!o en or!en pro*resi&a a $PO/8)', es !ecir, la cuenta !e &einte.

Ta+la 2< (l principio !e multiplici!a!

N7meros enespa1ol

N7meros en n"huatl %onstrucción conceptual pro&eniente !el n"huatl

e4iniciónoperacional



se poali 2HI 2Y

A Ome poali HI Y

> Reyi poali ?HI ?Y

= Naui poali AHI AY2 Makuili poali 3HI 3Y

2 %hikuase poali H3[2IHI >Y

2A %hikome poali H3[ IHI BY

2> %hikueyi poali H3 [ ?IHI =Y

2= %hiknaui poali H3 [ AIHI @Y

Majtlaktli poali H2IHI 2Y

Majtlaktli uan se poali H2 [2IHI 22Y

A Majtlaktli uan ome poali H2 [ IHI 2Y

> Majtlaktli uan yeyi poali H2 [ ?IHI 2?Y

= Majtlaktli uan naui poali H2 [ AI HI 2AY

? Kaxtoli poali 23HI 23Y

? Kaxtoli uan se poali H23[2I HI 2>Y

?A Kaxtoli uan ome poali H23 [I HI 2BY

?> kaxtoli uan yeyi poali H23 [ ?I HI 2=Y

?= Kaxtoli uan naui poali H23 [ AIHI 2@Y

A Se tsontli 2HIIZ 2HAI Y

(l t0rmino A se !esi*na con la pala+ra se tsontli, 6ue si*ni4ica $un ca+ello', $al*o 6ue se

llena hasta el tope'. Tam+i0n es el nom+re !el a&e !enomina!o $cenontle', 6ue

Netahualkoyotl menciona en uno !e sus +ellos poemas $el a&e !e A &oces' 6ue aparece

en los +illetes !e 2. (xiste otra pala+ra en n"huatl 6ue se usa 4recuentemente !urante la

cosecha !el ma5, $sentsontli' $ca+ello !e maorca', 6ue pro&iene !e sentli $Maorca'y

tsontli $ca+ello'.



Para continuar con la 4ormación !e otros n7meros, analicemos los m7ltiplos !e A, !on!ese &uel&e ca!a m"s notorio el principio $multiplici!a! pro*resi&a'.

Ta+la 22< %onstrucción !e los m7ltiplos !e A

N7meros en

espa1ol

N7meros en n"huatl e4inición conceptual

en n"huatl

e4inición

operacional

A Se tsontli 2HAI 2YA

= Ome tsontli HAI YA

2, Reyi tsontli ?HAI ?YA

2, > Naui tsontli AHAI AYA

, Makuili tsontli 3HAI 3YA

, A %hikuase tsontli >HAI >YA

, = %hikome BHAI BYA

?, %hikueyi tsontli =HAI =YA

?, > %hiknaui tsontli @HAI @YA

A, Majtlaktli tsontli 2HAI 2YA

A, A Majtlaktli uan se tsontli H2[2IHAI 22YA

A, = Majtlaktli uan ome tsontli H2[IHAI 2YA

3, Majtlaktli uan yeyi tsontli H2[?IHAI 2?YA

3, > Majtlaktli uan naui tsontli H2[AIHAI 2AYA

>, Kaxtoli tsontli 23HAI 23YA

>, A Kaxtoli uan se tsontli H23[2I HAI 2>YA

>, = Kaxtoli uan ome tsontli H23[IHAI 2BYA

B, Kaxtoli uan yeyi tsontli H23[?IHAI 2=YA

B,> Kaxtoli uan naui tsontli H23[AIHAI 2@YA

=, Se xikipili HAI Z 2H=I YASe xikipili e6ui&ale a ocho mil. 8a pala+ra xikipili es la misma 6ue ayatl HayateI, ela+ora!o

!e ixtle, una 4i+ra natural 6ue se o+ten5a !e !i4erentes tipos !e la 4amilia !el ma*uey. (l

ayate presenta !i4erentes nom+res se*7n el uso 6ue se le !0. %uan!o se ata !e sus cuatro

puntas para lle&ar car*a en los hom+ros se le !enomina $xikipili'.



Ta+la 2< %onstrucción conceptual y operacional !e los M7ltiplos !e =

N7meros enespa1ol

N7meros en n"huatl %onstrucciónconceptual

e4iniciónoperacional

=, Se xikipili 2H=, I 2Y=

2>, Ome xikipili H=, I Y=

A, Reyi xikipili ?H=, I ?Y=

?, Naui xikipili AH=, I AY=

A, Makuili xikipili 3H=, I 3Y=

A=, %hikuase xikipili H3[2IH=, I >Y=

3>, %hikome xikipili H3[IH=, I BY=

>A, %hikueyi xikipili H3[?IH=, I =Y=

B, %hiknaui xikipili H3[AIH=, I @Y=

=, Majtlaktli xikipili 2H=, I 2Y=

==, Majtlaktli uan se xikipili H2[2IH=, I 22Y=

@>, Majtlaktli uan ome xikipili H2[IH=, I 2Y=

2A, Majtlaktli uan yeyi xikipili H2[?IH=, I 2?Y=

22, Majtlaktli uan naui xikipili H2[AIH=, I 2AY=

2, Kaxtoli xikipili 23H=, I 23Y=

2=, Kaxtoli uan se xikipili H23[2IH=, I 2>Y=

2?>, Kaxtoli uan ome xikipili H23[IH=, I 2BY=

2AA, Kaxtoli uan yeyi xikipili H23[?IH=, I 2=Y=

23, Kaxtoli uan naui xikipili H23[AIH=, I 2@Y=

?, , Se tsontli xikipili 2HAIH=, I AY=

>,A, Ome tsontli xikipili HAIH=, I =Y=

@, >, Reyi tsontli xikipili ?HAIH=, I 2Y=

2, =, Naui tsontli xikipili AHAIH=, I 2>Y=

2>, , Makuili tsontli xikipili 3HAIH=, I Y=

2@, , %hikuase tsontli xikipili >HAIH=, I AY=

, A, %hikome tsontli xikipili BHAIH=, I =Y=



3, >, %hikueyi tsontli xikipili =HAIH=, I ?Y=

=, =, %hiknaui tsontli xikipili @HAIH=, I ?>Y=

?, , Majtlaktli tsontli xikipili 2HAIH=, I AY=

?3, , Majtlaktli uan se tsontli xikipili H2[2IHAIH=, I AAY=

?=, A, Majtlaktli uan ome tsontli xikipili H2[IHAIH=, I A=Y=

A2, >, Majtlaktli uan yeyi tsontli xikipili H2[?IHAIH=, I 3Y=

AA, =, Majtlaktli uan naui tsontli xikipili H2[AIHAIH=, I 3>Y=

A=, , Kaxtoli tsontli xikipili H23IHAIH=, I >Y=

32, , Kaxtoli uan se tsontli xikipili H23[2IHAIH=, I >AY=

3A, A, Kaxtoli uan ome tsontli xikipili H23[IHAIH=, I >=Y=

3B, >, Kaxtoli uan yeyi tsontli xikipili H23[?IHAIH=, I BY=

>, =, Kaxtoli uan naui tsontli xikipili H23[AIHAIH=, I B>Y=

7209 El principio de ,i*isi&ilidad

%omo la +ase !el sistema !e numeración posicional N"huatl, es &i*esimal, es 4"cil !e!ucir,

6ue los maestros !el /n"huac, maneja+an a la per4ección la !i&isili!a!. e los n7meros

m7ltiplos !e y sus nom+res correspon!ientes, es notorio el uso com7n !e la !i&isión

para asi*nar los nom+res !e los n7meros en N"huatl.

Para una mejor comprensión !e este tema, es necesario realiar uno c"lculos pre&ios.

Ta+la 2?< (l principio !e !i&isi+ili!a!

i&i!en!o i&isor cociente Lesi!uo %ociente

mas resi!uo

Nom+re en n"huatl !el

cociente

2 2HI[ Se poali< 2HI

A HI[ Ome poali< HI

> ? ?HI [ Reyi poali< ?HI



>3 ? 3 ?HI[3 Reyi poali uan makuili<?HI[3

22 3 2 3HI[2 Makuili poali uan majtlaktli<3HI[2

B3 2? 23 2?HI[23 Majtlaktli uan yeyi poali uankaxtoli< 2?HI[23

A AZ 2 2HAI[ Se tsontli< 2HAI

A3> A 2 3> 2HAI[3> Se tsontli uan ome poali uankaxtoli uan se<2HAI[HI[23[2

(n este 7ltimo ejercicio,A3> = HI+ +23 2, el cociente HI, es e6ui&alente a

H[IHIZ HI[HI, el pro!ucto HIZA reci+e un nom+re especial, !e esto se

!e!uce 6ue A3> !e+e ser primero !i&i!i!o entre A y al resi!uo !i&i!irlo entre .

/l !i&i!ir el resi!uo entre , o+tenemos 3> = HI+ +23 2.

/l usar los !os cocientes m"s el resi!uo, o+tenemos el nom+re correspon!iente !e n7mero

en N"huatl.

e estos ejemplos !e!ucimos, 6ue los nom+res correspon!ientes !e los n7meros en

N"huatl, representan el cociente m"s el resi!uo, !e una !i&isión !e n7meros *eneralia!os.

720 El principio de #omplementariedad

(n la construcción !e los nom+res !e los n7meros ca!a &e m"s complejos, los *ran!esmaestros !el /n"huac, com+inaron a la per4ección los principios !e a!iti&i!a!,multiplici!a! y !i&isi+ili!a!, para 4ormar el principio !e complementarie!a!, con el cual,lo*raron 4ormar una in4ini!a! !e n7meros y sus nom+res correspon!ientes.

Ta+la 2A< Principio !e complementarie!a!



N7meros e4inición

(nespa1ol

(n n"huatl %onceptual /ritm0tica

A2 Ome poali uan se HI [2 A[2

A Ome poali uan ome HI [ A[

A? Ome poali uan yeyi HI [ ? A[?

AA Ome poali uan naui HI [ A A[A

A3 Ome poali uan makuili HI [ 3 A[3

A> Ome poali uan chikuase HI [ 3 [2 A[>

AB Ome poali uan chikome HI [ 3 [ A[B

A= Ome poali uan chikueyi HI [ 3 [ ? A[=

A@ Ome poali uan chiknaui HI [ 3 [ A A[@

3 Ome poali uan majtlaktli HI [ 2 A[2

32 Ome poali uan majtlaktli uan se HI [ 2 [ 2 3[2

3 Ome poali uan majtlaktli uan ome HI [ 2 [ 3[

3? Ome poali uan majtlaktli uan yeyi HI [ 2 [ ? 3[?

3A Ome poali uan majtlaktli uan naui HI [ 2 [ A 3[A

33 Ome poali uan kaxtoli HI [ 23 3[3

3> Ome poali uan kaxtoli uan se HI [ 23 [ 2 3[>

3B Ome poali uan kaxtoli uan ome HI [ 23 [ 3[B

3= Ome poali uan kaxtoli uan yeyi HI [ 23 [? 3[=

3@ Ome poali uan kaxtoli uan naui HI [ 23 [A 3[@

> Reyi poali ?HI >

>2 Reyi poali uan se ?HI [2 >[2

> Reyi poali uan ome ?HI [ >[

>? Reyi poali uan yeyi ?HI [ ? > [ ?>A Reyi poali uan naui ?HI [ A > [ A

>3 Reyi poali uan makuili ?HI [ 3 > [ 3

>> Reyi poali uan chikuase ?HI [ 3 [ 2 > [ >

>B Reyi poali uan chikome ?HI [ 3 [2 >[ B



>= Reyi poali uan chikueyi ?HI [ 3[ ? > [ =

>@ Reyi poali uan chiknaui ?HI [ 3 [ A > [ @

B Reyi poali uan majtlaktli ?HI [ 2 > [ 2

B2 Reyi poali uan majtlaktli uan se ?HI [ 2 [ 2 > [22

B Reyi poali uan majtlaktli uan ome ?HI 2 [ > [ 2

B? Reyi poali uan majtlaktli uan yeyi ?HI [ 2 [ ? > [ 2?

BA Reyi poali uan majtlaktli uan naui ?HI [ 2 [ A > [ 2A

B3 Reyi poali uan kaxtoli ?HI [ 23 > [ 23

B> Reyi poali uan kaxtoli uan se ?HI [ 23 [ 2 > [ 2>

BB Reyi poali uan kaxtoli uan ome ?HI [ 23 [ > [ 2B

B= Reyi poali uan kaxtoli uan yeyi ?HI [ 23 [ ? > [ 2=

B@ Reyi poali uan kaxtoli uan naui ?HI [ 23 [ A > [ 2@

= Naui poali AHI AY

=2 Naui poali uan se AHI [ 2 = [2

= Naui poali uan ome AHI [ = [

=? Naui poali uan yeyi AHI [ ? = [ ?

=A Naui poali uan naui AHI [ A = [ A

=3 Naui poali uan makuili AHI [ 3 = [ 3

=> Naui poali uan chikuase AHI [ 3[2 = [ >

=B Naui poali uan chikome AHI [ 3 [ = [ B

== Naui poali uan chikueyi AHI [ 3 [ ? = [=

=@ Naui poali uan chiknaui AHI [ 3 [ A = [ @

@ Naui poali uan majtlaktli AHI [ 2 = [ 2@2 Naui poali uan majtlaktli uan se AHI [ 2 [ 2 = [ 22

@ Naui poali uan majtlaktli uan ome AHI [ 2 [ = [ 2

@? Naui poali uan majtlaktli uan yeyi AHI [ 2 [ ? = [ 2?

@A Naui poali uan majtlaktli uan naui AHI [ 2 [ A = [2A



@3 Naui poali uan kaxtoli AHI [ 23 = [ 23

@> Naui poali uan kaxtoli uan se AHI [ 23 [ 2 = [ 2>

@B Naui poali uan kaxtoli uan ome AHI [ 23 [ = [ 2B

@= Naui poali uan kaxtoli uan yeyi AHI [ 23 [ ? = [ 2=

@@ Naui poali uan kaxtoli uan naui AHI [ 23 [ A = [ 2@

2 Makuili poali 3HI 3Y

22 Makuili poali uan se 3HI [ 2 2 [ 2

2 Makuili poali uan ome 3HI [ 2 [

2? Makuili poali uan yeyi 3HI [ ? 2 [ ?

2A Makuili poali uan naui 3HI [ A 2 [ A

23 Makuili poali uan makuili 3HI [ 3 2 [ 3

2> Makuili poali uan chikuase 3HI [ 3[ 2 2 [ >

2B Makuili poali uan chikome 3HI [ 3 [ 2 [ B

2= Makuili poali uan chikueyi 3HI [ 3 [ ? 2 [ =

2@ Makuili poali uan chiknaui 3HI [ 3 [ A 2 [ @

22 Makuili poali uan majtlaktli 3HI [ 2 2[ 2

222 Makuili poali uan majtlaktli uan se 3HI [ 2 [ 2 2 [ 22

22 Makuili poali uan majtlaktli uan ome 3HI [ 2 [ 2 [ 2

22? Makuili poali uan majtlaktli uan yeyi 3HI [ 2 [ ? 2 [ 2?

22A Makuili poali uan majtlaktli uan naui 3HI [ 2 [ A 2[ 2A

223 Makuili poali uan kaxtoli 3HI [ 23 2 [ 23

22> Makuili poali uan kaxtoli uan se 3HI [ 23 [ 2 2 [ 2>

22B Makuili poali uan kaxtoli uan ome 3HI [ 23 [ 2 [ 2B22= Makuili poali uan kaxtoli uan yeyi 3HI [ 23 [ ? 2 [ 2=

22@ Makuili poali uan kaxtoli uan naui 3HI [ 23 [ A 2 [ 2@

2 %hikuase poali H3[2IHI 2

22 %hikuase poali uan se H3[2IHI [ 2 2 [ 2



2 %hikuase poali uan ome H3[2IHI [ 2 [

2? %hikuase poali uan yeyi H3[2IHI [ ? 2 [?

2A %hikuase poali uan naui H3[2IHI [ A 2 [ A

23 %hikuase poali uan makuili H3[2IHI [ 3 2 [ 3

2> %hikuase poali uan chikuase H3[2IHI [ 3 [ 2 2 [ >

2B %hikuase poali uan chikome H3[2IHI [ 3 [ 2[B

2= %hikuase poali uan chikueyi H3[2IHI [ 3[? 2[=

2@ %hikuase poali uan chiknaui H3[2IHI [ 3[ A 2[ @

2? %hikuase poali uan majtlaktli H3[2I HI [ 2 2 [2

2?2 %hikuase poali uan majtlaktli uan se H3[2IHI [ 2 [2 2[22

2? %hikuase poali uan majtlaktli uan ome H3[2I HI [ 2 [ 2 [ 2

2?? %hikuase poali uan majtlaktli uan yeyi H3[2I HI [2 [ ? 2 [2?

2?A %hikuase poali uan majtlaktli uan naui H3[2I HI [ 2 [2A 2 [ 2A

2?3 %hikuase poali uan kaxtoli H3[2I HI [ 23 2 [ 23

2?> %hikuase poali uan kaxtoli uan se H3[2I HI [ 23 [2 2[ 2>

2?B %hikuase poali uan kaxtoli uan ome H3[2IHI [ 23 [ 2 [ 2B

2?= %hikuase poali uan kaxtoli uan yeyi H3[2I HI [ 23 [ ? 2 [ 2=

2?@ %hikuase poali uan kaxtoli uan naui H3[2I HI [ 23 [ A 2 [ 2@

2A %hikome poali H3[I HI 2A

2A2 %hikome poali uan se H3[I HI [ 2 2A [2

2A %hikome poali uan ome H3[IHI [ 2A[

2A? %hikome poali uan yeyi H3[I HI [ ? 2A [?

2AA %hikome poali uan naui H3[IHI [ A 2A [A

2A3 %hikome poali uan makuili H3[IHI [ 3 2A [ 3

2A> %hikome poali uan chikuase H3[IHI [ 3 [ 2 2A [ >

2AB %hikome poali uan chikome H3[IHI [ 3 [ 2A [ B

2A= %hikome poali uan chikueyi H3[IHI [ 3 [ ? 2A [ =



2A@ %hikome poali uan chiknaui H3[IHI [ 3 [ A 2A [ @

23 %hikome poali uan majtlaktli H3[IHI [ 2 2A [ 2

232 %hikome poali uan majtlaktli uan se H3[IHI [ 2 [ 2 2A [ 22

23 %hikome poali uan majtlaktli uan ome H3[IHI [ 2 [ 2A [ 2

23? %hikome poali uan majtlaktli uan yeyi H3[IHI [ 2 [ ? 2A [ 2?

23A %hikome poali uan majtlaktli uan naui H3[IHI [ 2 [ A 2A [ 2A

233 %hikome poali uan kaxtoli H3[IHI [ 23 2A [ 23

23> %hikome poali uan kaxtoli uan se H3[IHI [ 23 [ 2 2A [ 2>

23B %hikome poali uan kaxtoli uan ome H3[IHI [ 23 [ 2A [ 2B

23= %hikome poali uan kaxtoli uan yeyi H3[IHI [ 23 [ ? 2A [ 2=

23@ %hikome poali uan kaxtoli uan naui H3[IHI [ 23 [ A 2A [ 2@

2> %hikueyi poali H3[?IHI =Y

2>2 %hikueyi poali uan se H3[?IHI [ 2 2>[ 2

2> %hikueyi poali uan ome H3[?IHI [ 2> [

2>? %hikueyi poali uan yeyi H3[?IHI [ ? 2> [ ?

2>A %hikueyi poali uan naui H3[?IHI [ A 2> [ A

2>3 %hikueyi poali uan makuili H3[?IHI [ 3 2>[ 3

2>> %hikueyi poali uan chikuase H3[?IHI [ 3[2 2> [ >

2>B %hikueyi poali uan chikome H3[?IHI [ 3 [ 2> [ B

2>= %hikueyi poali uan chikueyi H3[?IHI [ 3 [ ? 2> [ =

2>@ %hikueyi poali uan chiknaui H3[?IHI [ 3[ A 2> [ @

2B %hikueyi poali uan majtlaktli H3[?IHI [ 2 2>[ 2

2B2 %hikueyi poali uan majtlaktli uan se H3[?IHI [ 2 [ 2 2> [ 22

2B %hikueyi poali uan majtlaktli uan ome H3[?IHI [ 2 [ 2> [ 2

2B? %hikueyi poali uan majtlaktli uan yeyi H3[?IHI [ 2 [ ? 2> [ 2?

2BA %hikueyi poali uan majtlaktli uan naui H3[?IHI [ 2 [ A 2>[ 2A

2B3 %hikueyi poali uan kaxtoli H3[?IHI [ 23 2> [23



2B> %hikueyi poali uan kaxtoli uan se H3[?IHI [ 23 [ 2 2> [ 2>

2BB %hikueyi poali uan kaxtoli uan ome H3[?IHI [ 23 [ 2> [ 2B

2B= %hikueyi poali uan kaxtoli uan yeyi H3[?IHI [ 23 [ ? 2> [ 2=

2B@ %hikueyi poali uan kaxtoli uan naui H3[?IHI [ 23 [ A 2> [ 2@

2= %hiknaui poali H3[AIHI [ 23 [ A 2=

2=2 %hiknaui poali uan se H3[AIHI [ 2 2=[ 2

2= %hiknaui poali uan ome H3[AIHI [ 2= [

2=? %hiknaui poali uan yeyi H3[AIHI [ ? 2= [ ?

2=A %hiknaui poali uan naui H3[AIHI [ A 2=[ A

2=3 %hiknaui poali uan makuili H3[AIHI [ 3 2= [ 3

2=> %hiknaui poali uan chikuase H3[AIHI [ 3 [ 2 2= [ >

2=B %hiknaui poali uan chikome H3[AIHI [ 3[ 2= [ B

2== %hiknaui poali uan chikueyi H3[AIHI [ 3 [ ? 2= [ =

2=@ %hiknaui poali uan chiknaui H3[AIHI [ 3[ A 2= [ @

2@ %hiknaui poali uan majtlaktli H3[AIHI [ 2 2= [ 2

2@2 %hiknaui poali uan majtlaktli uan se H3[AIHI [ 2 [ 2 2= [ 22

2@ %hiknaui poali uan majtlaktli uan ome H3[AIHI [ 2 [ 2= [ 2

2@? %hiknaui poali uan majtlaktli uan yeyi H3[AIHI [ 2 [ ? 2= [ 2?

2@A %hiknaui poali uan majtlaktli uan naui H3[AIHI [ 2 [ A 2= [ 2A

2@3 %hiknaui poali uan kaxtoli H3[AIHI [ 23 2= [ 23

2@> %hiknaui poali uan kaxtoli uan se H3[AIHI [ 23 [ 2 2=[ 2>

2@B %hiknaui poali uan kaxtoli uan ome H3[AIHI [ 23 [ 2= [ 2B

2@= %hiknaui poali uan kaxtoli uan yeyi H3[AIHI [ 23 [ ? 2=[ 2=

2@@ %hiknaui poali uan kaxtoli uan naui H3[AIHI [ 23 [ A 2= [ 2@

Majtlaktli poali 2HI 2Y

2 Majtlaktli poali uan se 2HI [ 2 [ 2

Majtlaktli poali uan ome 2HI [ [



? Majtlaktli poali uan yeyi 2HI [ ? [ ?

A Majtlaktli poali uan naui 2HI [ A [ A

3 Majtlaktli poali uan makuili 2HI [ 3 [ 3

> Majtlaktli poali uan chikuase 2HI [ 3 [ 2 [ >

B Majtlaktli poali uan chikome 2HI [ 3 [ [ B

= Majtlaktli poali uan chikueyi 2HI [ 3 [ ? [ =

@ Majtlaktli poali uan chiknaui 2HI [ 3 [ A [ @

2 Majtlaktli poali uan majtlaktli 2HI [ 2 [ 2

22 Majtlaktli poali uan majtlaktli uan se 2HI [ 2 [ 2 [ 22

2 Majtlaktli poali uan majtlaktli uan ome 2HI [ 2 [ [ 2

2? Majtlaktli poali uan majtlaktli uan yeyi 2HI [ 2 [ ? [ 2?

2A Majtlaktli poali uan majtlaktli uan naui 2HI [ 2 [ A [ 2A

23 Majtlaktli poali uan kaxtoli 2HI [ 23 [ 23

2> Majtlaktli poali uan kaxtoli uan se 2HI [ 23 [ 2 [ 2>

2B Majtlaktli poali uan kaxtoli uan ome 2HI [ 23 [ [ 2B

2= Majtlaktli poali uan kaxtoli uan yeyi 2HI [ 23 [ ? [ 2=

2@ Majtlaktli poali uan kaxtoli uan naui 2HI [ 23 [ A [ 2@

Majtlaktli uan se poali H2[2IHI 22YZ

2 Majtlaktli uan se poali uan se H2[2IHI [ 2 [ 2

Majtlaktli uan se poali uan ome H2[2IHI [ [

? Majtlaktli uan se poali uan yeyi H2[2IHI [ ? [ ?

A Majtlaktli uan se poali uan naui H2[2IHI [ A [ A

3 Majtlaktli uan se poali uan makuili H2[2IHI [ 3 [ 3

> Majtlaktli uan se poali uan chikuase H2[2IHI [ 3 [ 2 [ >

B Majtlaktli uan se poali uan chikome H2[2IHI [ 3 [ [ B

= Majtlaktli uan se poali uan chikueyi H2[2IHI [ 3 [ ? [ =

@ Majtlaktli uan se poali uan chiknaui H2[2IHI [ 3 [A [ @

? Majtlaktli uan se poali uan majtlaktli H2[2IHI [ 2 [ 2



?2 Majtlaktli uan se poali uan majtlaktli uan se H2[2IHI [ 2 [ 2 [ 22

? Majtlaktli uan se poali uan majtlaktli uanome

H2[2IHI [ 2 [ [ 2

A Se tsontli 2HIIZ 2HAI Y

A Se tsontli uan se poali 2HIHI [ 2HI 2Y

AA Se tsontli uan ome poali 2HIHI [ HI Y

A> Se tsontli uan yeyi poali 2HIHI [ ?HI ?Y

A= Se tsontli uan naui poali 2HIHI [ AHI AY

3 Se tsontli uan makuili poali 2HIHI [ 3HI 3Y

720< El principio de exponencia&ilidad

(n p"rra4os anteriores, se han menciona!o los n7meros como uni!a!es !e a!iti&i!a!, como

uni!a!es +ase, y 6ue me!iante la com+inación !e los principios !e a!iti&i!a! pro*resi&a, se

construyen to!os los nom+res !e los n7meros# sin em+ar*o, una o+ser&ación importante,

consiste en el n7mero !e &eces 6ue se repiten los n7meros +ase para *enerar otro. e esta

manera, los n7meros +ase 2, 3, 2 y 23, se repiten hasta cinco &eces, !espu0s, 4orman otro

n7mero +ase# pero esta o+ser&ación, no cumple con el n7mero +ase $poali', sino 6ue se

repite hasta &eces# cuan!o nue&amente aparece otro nom+re nue&o n7mero +ase, el se

tsontli HAI, 0sta, se repite hasta A &eces, cuan!o aparece el nom+re !e otro n7mero

+ase, el se xikipili H=I y as5 sucesi&amente. (s !ecir, la construcción !e los n7meros 2,

, A, =, etc., 6ue 4orman la pro*resión n, !on!e n representa cual6uier n7mero

incluyen!o el cero !el sistema !ecimal.

Gn an"lisis minucioso, !e lo 6ue lo*raron los *ran!es maestros !el /n"huac, y 6ue nore6uiere m"s explicación, es 6ue ellos no solo com+inaron los principios !e a!iti&i!a! ymultiplici!a! pro*resi&as, sino tam+i0n, incluyeron en los nom+res !e los n7meros enn"huatl, otro principio al 6ue en este tra+ajo la !enominamos $Principio !e



exponencia+ili!a!'. (ste principio se o+ser&a en el or!en !e los nom+res asi*na!os enn"huatl para ca!a uno !e los n7meros +ase, tal como se muestra en el si*uiente cua!ro.

Ta+la 23< Principio !e exponencia+ili!a! pro*resi&a

Or!en !e los

n7meros +ase

N7meros

en espa1ol

N7meros en

n"huatl

%onstrucción conceptual

pro&eniente !el n"huatl

e4inición

aritm0tica

2 2 Se 2H2IZ2 2

Se poali 2HIZ 2Y

? A Se tsontli 2HAIZY 2YA

A = Se xikipili 2H=IZYY 2Y=

(n estos nom+res $se' &a prece!i!o a los nom+res asi*na!os para los n7meros +ase

720= El cero en el Sistema de Numeración Náhuatl

(s un hecho conoci!o 6ue no to!as las culturas !esarrollaron la noción !el cero.

Particularmente, el cero 4ue in&enta!o en a6uellos escenarios socio culturales en los 6ue el

ima*inario colecti&o y el tratamiento 6ue 0ste hac5a !e las representaciones !e ausencia

como la muerte, el &ac5o como complementarie!a! !el espacio in4inito- o la transición !e

esta!o conti*uos y continuos, permitió la ela+oración teórica !el cero como una

representación !in"mica particular H%antoral, L. ?, p. 3I.

(n las culturas !el mun!o !el /n"huac, se sa+e 6ue sólo las culturas maya, inca y la ateca,

son tres !e las culturas 6ue !esarrollaron el s5m+olo !el cero. (n estas culturas, el cero es uno+jeto, al*o concreto, es !ecir, un n7mero m"s. (n la cultura N"huatl, se representa+a con

la maorcaH o un elote HOrti, AI, 6ue representa el sustento !e la &i!a.

el principio !e exponencia+ili!a! trata!o en 3.2>, se so+reentien!e 6ue la cultura



N"huatl, si emplearon el cero como un n7mero m"s.

724> (as órdenes en el Sistema de Numeración Náhuatl

8a numeración n"huatl cuenta con ór!enes, 6ue &ienen !etermina!os por los nom+res a los

n7meros construi!os por el principio !e exponencia+ili!a!.

(l $se, uno' como se ha menciona!o anteriormente, es la uni!a! !e primer or!en y por

a!iciones sucesi&as !e la uni!a! 4ormamos los n7meros , ?, A,Q, . (l n7mero 4orma

una &eintena, 6ue es la uni!a! !e se*un!o or!en. (l A es la !e tercer or!en, el =, es el

!e cuarto or!en creciente, y as5 sucesi&amente. /l*o similar con las !ecenas, centenas,

mil0simas, etc. en el sistema !ecimal.

7240 (a numeración Náhuatl: Un Sistema de Numeración #omple?o

Gn an"lisis cui!a!oso !el sistema !e numeración n"huatl, !emuestra cate*óricamente, 6ue

los maestros !el conocimiento !e /n"huac, 4ueron excelentes constructores !e

conocimientos matem"ticos. Sien!o los nom+res !e los n7meros, una prue+a irre4uta+le !e

ello, 6ue como lo estamos analian!o en esta in&esti*ación, me!iante una ele*ante

com+inación !e las operaciones +"sicas !e la a!ición, multiplicación, !i&isión, y

exponenciación, lo*raron complementar para 4ormar to!os los nom+res !e los n7meros as5

como su relación con la teor5a !e los exponentes !on!e aparece impl5cito otro n7mero m"s,

el cero como al*o concreto. (ste !esarrollo sapiencial num0rico, es 7nico en su *0nero.



7244 (os n;meros enteros DTlapoualse?senteme?

Neluayotlajtoltomilistli Hetimolo*5a I

Tla< art5culo !e4ini!o, $el 6ue, la 6ue'# Poua< cuenta, numera, contar# Sejsentemej< t0rmino

plural 6ue !enota los enteros !e uno en uno# Sentemej< plural !e sentetl, 6ue si*ni4ica

al*una cosa u o+jeto entero, completo, plenitu!, to!o.

Sen< una &ariante !e se $uno'# tetl< pie!ra# la pala+ra sentetl, si*ni4ica una pie!ra completa.

(n esta pala+ra se intuye 6ue los primeros seres humanos primero apren!ieron a contar a

partir !e las !os manos y los !os pies, 6ue en conjunto contienen &einte !e!os.

Posteriormente, el apren!iaje !el conteo, las cuentas o conteos, continuó usan!o otro

recurso, en este caso, las pie!ras, a tra&0s !e un jue*o !i&erti!o y emocionante, !enomina!o

en n"huatl $mo tlatlanij' y 6ue este jue*o es conoci!o en espa1ol como Matatena.

Por tanto, $tlapoualsejsentemej' si*ni4ica $el HlaI 6ue cuenta cosas o seres completos o

enteros', con to!as sus caracter5sticas. Gna !escripción total.

8os n7meros enteros se !i4erencian !e los n7meros or!inarios, al mencionar el n7mero

or!inario correspon!iente m"s un a!jeti&o a!ecua!o. Se emplea el a!jeti&o $sentetl' entero

HcompletoI, sólo para in!icar un entero, en tanto 6ue el a!jeti&o Dsenteme? se usa para el

resto !e los n7meros enteros. (n la ta+la xxxxx, se muestra en 4orma sintetia!a la 4orma

en 6ue se expresan los n7meros enteros en n"huatl as5 como el uso correcto !e los a!jeti&os

$sentetl o sentemej'.

Ta+la 2>< N7meros enteros en n"huatl

N7meros enteros N7meros enteros en n"huatl

Gno entero Se sentetl



os enteros Ome sejsentemej

Tres enteros Reyi sejsentemej

%uatro enteros Naui sentemej

%inco enteros Makuili sejsentemejseis enteros %hikuase sejsentemej

Siete enteros %hikome sejsentemej

Ocho enteros %hikueyi sejsentemej

Nue&e enteros %hiknaui sejsentemej

ie enteros Majtlaktli sejsentemej

Once enteros Majtlaktli una se sentetl

oce enteros Majtlaktli una ome sejsentemej

Trece enteros Majtlaktli una yeyi sejsentemej

%atorce enteros Majtlaktli una naui sejsentemej

uince enteros Kaxtoli sejsentemej

iecis0is enteros Kaxtoli una se sentetl

iecisiete enteros Kaxtoli una ome sejsentemej

ieciocho enteros Kaxtoli una yeyi sejsentemej

iecinue&e enteros Kaxtoli una naui sejsentemej

einte enteros Se poali sejsentemej

%uarenta enteros Ome poali sejsentemej

7245 (os n;meros racionales DTlapoualtla?tlapanke?

8os n7meros 4raccionarios en n"huatl, se 4orman al partir una cosa u o+jeto en las partes

6ue se !esea, as5 cuan!o una 4ruta se !i&i!e para compartir entre !os personas, las personas!icen< xi ome kixti, cuyo si*ni4ica!o $!i&i!e en !os partes i*uales o saca en !os partesi*uales'. / ca!a una !e las partes o+teni!as, se le llama $tlajko, mita!'

Ta+la 2B< N7meros 4raccionarios

N7meros 4raccionarios Tlapoualtlapankej Si*ni4ica!o en espa1ol

\ Se tlajkokixtili, se tlajkotika 8a mita! !e uno



] Ome tlajkokixtili os me!ios

?] Reyi tlajkokixtili Tres me!ios

B] %hikomej tlajkokixtili Siete me!ios

2]? Se yeyikixtili Gn tercio !e uno]? Ome yeyitikixtili os tercios

3]A Makuili nauitikixtili %inco cuartos

]22 Ome majtlaktli uan se kixtili os oncea&os

8a 4ormación !e nom+res !e los n7meros 4raccionarios, se menciona el numera!or junto

con la parte en 6ue se !i&i!e el entero a*re*"n!ole kixtili, 6ue si*ni4ica las partes en 6ue se

!i&i!e un entero.

7246 (os n;meros impares DTlapoualxixnamikye?ke?

$Tlapoalxixnamikyejkej' es el t0rmino 6ue se emplea para !esi*nar a los n7meros impares.

(timolo*5a

Tla< el 6ue, la 6ue, los 6ue, las 6ue# Poua< contar tanto !e conteo como !e cuenteo# )x !e

ixtli< rostro, ima*en, cara# Namik< pareja, i*uales, su semejante# Rejkej< plurali!a!

8a x antepuesta a sustanti&os, mo!i4ica el senti!o !e la 4rase, trans4orm"n!olo a un

si*ni4ica!o opuesto, as5 xix< 6ue no son !e la misma cara o rostro, es !ecir, 6ue no tienen

pareja.

8os n7meros !e manera natural, se o+ser&an en los seres !e sexo opuesto, se !ice 6ue una

persona no tiene pareja o es impar, cuan!o no est" casa!o HaI. (n este caso particular,

aparecen los primeros n7meros impares, 2 y 2, es !ecir, 6ue se trata !e !os n7meros



impares !i4erentes, uno 6ue le correspon!e al &arón soltero, y otro, a la &arona soltera,

aun6ue matem"ticamente sólo se reconoca al 2 como el n7mero impar. 8os otros n7meros

impares, se o+tienen !e manera *eneral, cuan!o se ha+la !e &arios &arones HasI solteros

HasI. e esto, se o+tiene 6ue !e la suma !e !os n7meros impares, se o+ten*a un n7mero par.

(n +ase a esto, tlapoalxixnamiyejkej si*ni4ica cosas o seres conta!os 6ue no tienen pareja o

ima*en. (n la ense1ana 4ormal !e los n7meros impares en el Kalmekak', emplea+an un

recurso !i!"ctico en el 6ue se o+ser&a+a claramente la posición !e los n7meros pares

impares. Para 4un!amentar en lo 6ue concierne a ese recurso !i!"ctico, es necesario retomar

el nom+re !e una !e las escuelas 6ue exist5an en la cultura ateca el $Kalmekak'

(n el kalmekak, emplea+an una especie !e re! 6ue ser&5a para hacer c"lculos, y para la

ense1ana !el sistema !e numeración. (sta especie !e re!, en la era mo!erna correspon!e a

las hojas cua!ricula!as o milim0tricas.

(xisten !os tipos !e n7meros impares, los n7meros impares 6ue se aplica a las cosas y

o+jetos y a a6uellos 6ue se aplica a los seres &i&os. 8os n7meros impares 6ue se aplican a

las cosas y o+jetos, concuer!a con lo 6ue se ense1a en la matem"tica escolaria!a# pero los

impares 6ue se aplica a los seres &i&os, es !i4erente. 8a !i4erencia estri+a en 6ue !os

jó&enes &arones solteros, no 4orman un n7mero par, sino 6ue el !os es un n7mero impar,

por6ue am+os no tienen a su ima*en o pareja, es !ecir, sus esposas respecti&as. (ste mismo

4enómeno se o+ser&a con el , A, >,Q, son n7meros pares, en las pr"cticas sólo son pares

cuan!o un ser cuenta con su pareja, hasta entonces es un n7mero par.

(n el si*uiente cua!ro aparecen los n7meros impares tanto para las cosas y o+jetos como

para los seres &i&os.



2

?

3

3[

3[A

2[2

2[?

23

23[

23[?

Figura 1'8 +5meros impares para las cosas, obetos y seres ?i?os

7247 (os n;meros impares como &ase para los n;meros pares



DTlapoualixnamikye?ke?

el mismo recurso anterior, usaremos para mostrar 6ue la suma !e !os impares es siempre

otro n7mero par, !el tipo n.

e este es6uema o+ser&amos 6ue la suma !e los n7meros impares tanto !e las cosas,

o+jetos y seres &i&os, siempre es par.

Ji*ura 2?. Suma !e los n7meros impares

/l sumar pro*resi&amente los n7meros impares !el la!o !erecha, o+tenemos los n7meros 2,A, @, 2>, 3, ?>, A^ etc. Si reor!enamos, los n7meros impares y la canti!a! !e n7merosimpares 6ue sumamos, o+tenemos

%ua!ro 2=< Suma !e los n7meros impares

Or!en !el n7mero impar 2 ? A 3 > B = @ 2 22

N7meros impares 2 ? 3 B @ 22 2? 23 2B 2@ 2

Suma pro*resi&a 2 A @ 2> 3 ?> A@ >A =2 2 22



Notación especial 2 ? A 3 > B = @ 2 22

Notación cl"sica en la matem"tica institucionalia!a !e la suma pro*resi&a !e los n7meros

impares !e los seres humanos !e los !os la!os !e la 4i*ura 2?, o+tenemos

%ua!ro 2@< Suma pro*resi&a !e los n7meros impares

N7meros impares 2 ? 3 B @ 22 2? 23

Suma !e impares homólo*os > 2 2A 2= > ?

Suma pro*resi&a acumula!a = 2= ? 3 ?> A@ >A

Notación especial H2I HI H?I HAI H3I H>I HBI H=I

e la cual !e!ucimos n, !on!e nZ2, , ?, A,Qcomo la suma pro*resi&a !e los n7meros

impares para los seres humanos.

7249 (os n;meros ne%ati*os

;as"n!ose en el recurso !i!"ctico emplea!o por los e!uca!ores !el M0xico anti*uo en el

%almecak, se so+reentien!e 6ue no conoc5an los n7meros ne*ati&os. (n este sistema !e

numeración se maneja+an los n7meros 6ue est"n a la !erecha, a la i6uier!a, hacia arri+a,

hacia a+ajo y en !ia*onal. (s pro+a+le, 6ue ellos resol&ieron este pro+lema al emplear un

len*uaje crom"tico, es !ecir, 6ue representa+an con un color !i4erente para ca!a n7mero

se*7n su posición.



#!/$TU() 9 1

#hikuase

Sistema de numeración posicional

(n el presente cap5tulo, !emostramos 6ue el sistema !e Numeración N"huatl es un sistema

posicional !e +ase H&i*esimalI.

920 Sistema Numeración Náhuatl posicional y de &ase 4>

(n el cap5tulo anterior analiamos los principios !e a!iti&i!a! pro*resi&a, multiplici!a!

pro*resi&a, la !e la !i&isi+ili!a! y el !e exponencia+ili!a! como parte estructurales !el

sistema !e numeración ha+la!o en N"huatl.



8a estructura conceptual y a!iti&a Hha+la!aI !el sistema !e numeración N"huatl, presenta

una estructura posicional. Para esclarecer m"s esta i!ea, usaremos la propie!a! !e

exponencia+ili!a!, analia!o en 3.2B, si*uien!o el or!en ascen!ente si*uiente<

%ua!ro < Gni!a!es !e Or!en en el sistema !e Numeración N"huatl

Notación compleja Notación com7n )N)%/OL ( OL(N

2HI? =, Gni!a! !e millares

2HI A Gni!a! !e centenas

2HI2 Gni!a! !e eintenas

2HI

2 Gni!a! !e Gni!a!es

/ partir !e la notación compleja !e las uni!a!es !e or!en, iniciaremos con al*unos

ejemplos sencillos, para !emostrar 6ue el sistema !e Numeración N"huatl es un sistema 6ue

a!em"s !e &i*esimal es posicional.

(n n"huatl 2, tal como ya analiamos en el cap5tulo A y 3, respecti&amente, se !ice

(e poali uan se

/l tra!ucirlo al mo!elo en len*uaje matem"tico usual, es e6ui&alente a

[ 2

Sin em+ar*o, usan!o la notación &i*esimal compleja !el sistema !e numeración N"huatl,

esta notación se escri+ir"<

2HI2[ 2HIZ [ 2Z 2

(l si*uiente ejemplo es A3



(n n"huatl !ecimos se tsontli una se poali uan makuili

e la misma manera, al usar la notación &i*esimal compleja !el sistema !e numeración,

ten!remos<

0+4>-4 [ 0H4>I0 [ 7H4>I Z A [ [ 3Z A3

Otro n7mero a analiar es el =3=, 6ue en N"huatl se !ice se 'ikipili uan se tsontli uan

makuili uan se poali uan chikueyi

8a notación &i*esimal compleja es

2HI? [ 2HI [ 3HI2 [ 2HI2 [ H3[?IHIZ=[A[2[[=Z=3=

%on estos ejemplos sencillos, se !e!uce 4"cilmente 6ue la estructura conceptual y

aritm0tica, correspon!e a un sistema !e numeración posicional !e +ase .

Leconocemos 6ue el sistema !e Numeración N"huatl, es un sistema complejo, en 6ue

hacen 4alta muchos estu!ios m"s para !emostrar su compleji!a! y su utili!a! en los

contextos escolares.



#!/$TU() 11

#hikome

(a transposición didáctica no con*encional +T,N#-para la construcción social del conocimiento

(n este cap5tulo, analiaremos cómo los seres humanos construyen to!o tipo conocimiento

a tra&0s !e las pr"cticas sociales, y 6ue la repro!uci+ili!a! !e 0stas, en contextos escolares,

no ser" posi+le me!iante la transposición !i!"ctica, sino a tra&0s !e lo 6ue he !enomina!o

la $TR!NS/)SI#IN ,I,#TI#! N) #)MOEN#I)N!( +T,N#- t0rmino 6ue he

acu1a!o en esta Tesis.

20 (a transposición ,idáctica no #on*encional

8a Transposición i!"ctica No %on&encional HT,N#I es un nue&o concepto en



Matem"tica (!ucati&a y un re4erente teórico, 6ue explica la *0nesis !el conocimiento

me!iante la repro!ucción !e las pr"cticas sociales selectas 6ue 4a&orecen la construcción !e

conocimientos situa!os en contextos socioculturales en contextos escolares.

e esta manera, consi!eramos 6ue la T,N#, centra su atención en el sujeto 6ue apren!e a

tra&0s !e las acti&i!a!es sociales 6ue !esarrolla y situa!os en contextos socioculturales, y

!e *rupos homo*0neos !e in!i&i!uos espec54icos# toman!o en cuenta, los in!i&i!uos

6uienes construyen sus conocimientos en socie!a!, !on!e el len*uaje Hi!iomaI, la

comunicación, la acti&i!a!, la i!eolo*5a, la cultura, la espirituali!a!, y los !i4erentes tipos

!e re*istros !e los hechos y 4enómenos, son 4actores !eterminantes para la construcciónsocial !e conocimientos. %onstrucción social !e conocimientos 6ue se pro!uce !e manera

natural, sin tanto es4uero, como el 6ue se re6uiere para la construcción !e conocimientos

matem"ticos institucionalia!os. Por tanto, el tratar !e repro!ucir este mecanismo !e

apren!iaje para la construcción !e conocimientos &ali!a!os socialmente, ser" posi+le

me!iante la TN%.

8a TN% es el re4erente Teórico-pr"ctico !e la *0nesis !el conocimiento humano, situa!a

en contextos socioculturales, incluyen!o el conocimiento cient54ico.

8as !es&entajas 6ue presentan las teor5as !el conocimiento, con respecto a la T)*C ,

estri+an principalmente en la consi!eración nula o parcial !e los elementos 6ue inter&ienen

en la construcción social !el conocimiento matem"tico !e manera pr"ctica, !on!e la

comunicación, socialiación, i!eolo*5a, el !esarrollo histórico, cultural, espiritual y las

acti&i!a!es, 4orman parte !el mismo proceso !e apren!iaje y construcción !e

conocimientos !e la socie!a! or*ania!a# !ichos elementos, tampoco 4orman parte !el

tri"n*ulo !i!"ctico !e la !i!"ctica 4un!amental. /un6ue este pro+lema se ha trata!o !e



resol&er !es!e !i4erentes perspecti&as, como la eliminación !e los elementos ne*ati&os !e

una ense1ana tra!icional, la 4orma mec"nica y repetiti&a en 6ue se or*ania la ense1ana,

la 4alta !e la+oratorios !e tra+ajo pr"ctico con los estu!iantes Hil+erstein, I, y a7n con

el uso !e las nue&as tecnolo*5as !e la comunicación e in4ormación, las clases si*uen

imparti0n!ose sólo !entro !el salón !e clases, sin &5nculo con la naturalea, con el entorno,

con las pr"cticas sociales, con el !esarrollo trascen!ente !el ser humano, uni!a a la

insu4iciente preparación !e al*unos !ocentes, hacen 6ue en la escuela, la mayor5a !e los

conteni!os matem"ticos est0n !es&incula!os !e la pr"ctica y !e la &i!a coti!iana. Gna total

4ra*mentación !e los conocimientos matem"ticos con la construcción social !e los

conocimientos en la reali!a!.

8a tesis 6ue sostenemos en este tra+ajo, es la posi+ili!a! !e repro!ucir los procesos !e

apren!iaje y construcción !e conocimientos matem"ticos 6ue emer*en a tra&0s !e las

acti&i!a!es sociales.

(l reconocimiento !el papel !e la acti&i!a! social, la comunicación y la socialiación como

partes inte*rales !e un mismo proceso, la uni!a! entre lo co*niti&o, lo a4ecti&o y lo

&oliti&o, !otan al ser humano !e un +a*aje intelectual su4iciente para a4rontar los retos !e la

&i!a real y !e la e!a! a!ulta.

%uan!o los in!i&i!uos apren!en a realiar las acti&i!a!es, 0stos construyen conocimientos

+as"n!ose en la historia personal, en el !iscurso y sa+eres 4rente a la reali!a! social. /

tra&0s !e las !i4erentes acti&i!a!es emer*e la soli!e !e la asimilación !e los

conocimientos, ha+ili!a!es, normas !e relación emocional, !e comportamiento y &alores,

le*a!os por la humani!a!. (s en la acti&i!a!, en la comunicación con el a!ulto y los

procesos !e socialiación, el ser humano construye conocimientos, !e esta manera, pasan !e



lo externo Hmaterial, con o+jetosI, a lo &er+al Hlen*uaje interno y externoI y posteriormente

al plano interno HmentalI, es entonces cuan!o el ser humano lle*a a apropiarse !el

conocimiento aut0ntico.

(sta propuesta !i!"ctica, emer*e !el an"lisis !e la 4orma sencilla en 6ue los seres humanos

apren!en los nom+res !e los n7meros en n"huatl, a tra&0s !e acti&i!a!es 6ue los seres

humanos !esarrollan para construir sus conocimientos 7tiles en la &i!a coti!iana. Gn

apren!iaje 6ue se pro!uce !e manera natural, a la par 6ue el apren!iaje !e la len*ua

materna me!iante las acti&i!a!es 6ue los ni1os, jó&enes y a!ultos realian coti!ianamente

con o+jetos reales.

24 )&?eti*o 'eneral de las acti*idades sociales propuestas

(n los cap5tulos anteriores, mencionamos cómo !e las pr"cticas sociales emer*en !i&ersos

conocimientos matem"ticos, as5 como la 4orma en 6ue se construyen !ichos conocimientos.

/hora !escri+imos y proponemos la repro!ucción !e la construcción social !e

conocimientos altamente especialia!os, 6ue emer*en !e las acti&i!a!es sociales coti!ianos

y retomar los elementos 6ue no 4orman parte !e la !i!"ctica 4un!amental, para promo&er la

construcción si*ni4icati&a !e conocimientos en contextos escolares, conocimientos 6ue

pue!an ser aplica!os para resol&er pro+lemas !e la &i!a coti!iana.

2420 )&?eti*os especíicos de las acti*idades sociales propuestas

emostrar 6ue en las pr"cticas sociales, se !esarrollan acti&i!a!es concretas, !on!e existe

una sóli!a construcción !e conocimientos altamente especialia!os, suscepti+les !e ser



transpuestos a contextos escolares, retomar los elementos y procesos impl5citos para 6ue

sean consi!era!os en la transposición !i!"ctica no con&encional.

)niciar estrate*ias inno&a!oras para realiar exploraciones en los Nue&os (scenarios, para la

construcción, a!6uisición, resi*ni4icación y apren!iaje !e conocimientos matem"ticos, y la

creación !e situaciones !e apren!iaje !e las matem"ticas con acti&i!a!es concretas, 6ue

tienen senti!o y una utili!a! 4uncional en la &i!a, es !ecir, &incula!os con la pr"ctica y la

&i!a, para el !esarrollo !el ser humano.

Promo&er el uso !e las pr"cticas sociales, especialmente a6uellas acti&i!a!es !on!e se

construyen conocimientos matem"ticos si*ni4icati&os con un uso pr"ctico para la &i!a

coti!iana

/naliar y compren!er 6ue los conocimientos matem"ticos, en esencia son pro!uctos

socioculturales, emer*entes !e acti&i!a!es sociales, !e las cuales se o+tienen satis4actores

sociales +"sicas# a!em"s, los conocimientos matem"ticos 6ue se construyen socialmente,

son conocimientos y le*a!os uni&ersales, 4uncionales, &ali!a!os e institucionalia!os

socialmente a tra&0s !e las aplicaciones pr"cticas y 7tiles en !i4erentes contextos, tanto

sociales como culturales.

)n&olucrar a la contemplación 6ue 4orma parte !e las acti&i!a!es sociales, como un

elemento potencial 6ue 4a&orece la construcción !e conocimientos matem"ticos pr"cticos,

7tiles y 4uncionales.



25 ,esarrollo de las acti*idades sociales propuestas

/ continuación, presentamos una !escripción parcial !e al*unas !e las acti&i!a!es sociales

!e uso 4recuente, !on!e emer*en conocimientos matem"ticos.

(l ser humano, es por excelencia un ser social !es!e el nacimiento. e esta manera, !es!e

los primeros !5as, ni1os y las ni1as, reci+en !e sus pa!res, una serie !e ense1anas 6ue son

+"sicas para la &i!a# entre 0stas, !estacan los h"+itos, costum+res, la len*ua o i!ioma, la

comunicación, la socialiación, la o+ser&ación, contemplación y realiación !e las

acti&i!a!es, los proce!imientos y las 4ormas !e tra+ajar, apren!er con la &ista y el resto !e

los senti!os, apren!en a conocer, a hacer, a &i&ir, a con&i&ir y cooperar en la 4amilia, a ser

7tiles, a respetar a los pa!res, 4amiliares y a la socie!a! en *eneral, y maneras para resol&er

situaciones coti!ianas, es !ecir, reci+en una e!ucación inte*ral para la &i!a.

es!e la ni1e, a tra&0s !e las acti&i!a!es, comunicación y socialiación, sin !arse cuenta,

uno apren!e la aritm0tica y la naturalea !el ser humano. es!e la ni1e, to!o ser humano

apren!e 6ue posee un cuerpo Hse nakayotlI con una ca+ea Hse tsontekomatlI, un cere+ro

Hse kuatetextliI, un coraón Hse yoltsinI, un rostro Hse ixtliI, una nari Hse yekajtsoli- con

dos 4osas nasales Home kojkoyonkejI, una +oca Hse kamaktliI, un cuello Hse kechkojyoktliI.

un om+li*o Hse xiktliI# dos la+ios Home tenxipaliI constitui!o por un la+io superior Hse

tlakpak tenxipaliI y un la+io in4erior Hse tlatsintla tenxipaliI# dos ojos Home ixtololojmejI,

!os cejas Home ixkuate?moli-. dos manos Home matliI, dos pies Home? ikxitliI, y 6ue ca!a

mano y pie, posee cinco !e!os Hmakuili majpilliI, con total !e &einte !e!os Hse pouali

majpilmejI 6ue le son 7tiles para realiar las acti&i!a!es# dos hom+ros Home ajkoliI, dos

mu1ecas Home matlapostektliI, dos piernas Home metskojyotliI, etc.



Tam+i0n !es!e la e!ucación 4amiliar, el ni1o apren!e la simetr5a corporal, toman!o como

re4erencia una l5nea ima*inaria 6ue inicia en la ca+ea y pasa por el om+li*o# cuan!o

apren!e 6ue posee dos manos Home matlijI, uno a la !erecha Hse yekmatliI y uno a la

i6uier!a Hse opochmatliI, 6ue al juntarles al 4rente, ca!a uno !e ellos es la ima*en

especular !e la otra# !e esta manera, el ser humano, es completamente sim0trico en sus !os

manos, !os hom+ros, !os ojos, cejas, !os 4osas nasales, !os tetas, !os costa!os, !os pies,

los la+ios son sim0tricos, tanto horiontal como &ertical, to!os los !e!os son sim0tricos,

etc.

/ partir !e los seis a1os, inicia una atención y un proceso !e apren!iaje !i4erencia!o paralos ni1os y las ni1as. (l pa!re es el responsa+le !e la e!ucación !el ni1o, 6ui0n lo lle&a al

campo, para 6ue apren!a las la+ores !el campo para escar!ar, la+rar y culti&ar la tierra. (l

ni1o le entra la curiosi!a! por se*uir los pasos !el pa!re, !urante el cual, el pa!re

apro&echa la ocasión para instruir al ni1o, so+re la importancia !e realiar ca!a una !e las

acti&i!a!es 6ue le correspon!e como &arón para tener el sustento coti!iano !e la 4amilia.

(l ni1o inicia su acti&i!a! en el campo con !os acti&i!a!es cl"sicas< la siem+ra y el

pastoreo 6ue consiste en cui!ar, ya sea el *ana!o caprino, o&ino o +o&ino.

2520 #onstrucción social de conocimientos a tra*3s del culti*o de maí8

Para sem+rar se re6uiere !e 6 ma5 HNaui tlayoli, literalmente si*ni4ica cuatro ma5I, 6ue

se !e+e sem+rar, a una !istancia !e un pie !e a&ance, es !ecir, por ca!a a&ance, se repite el

proceso !e sem+rar 6 ma5.

/l ni1o se le instruye 6ue !e+e empear por el primer surco HHachtopa apantliI, se*uir

hasta 6ue termine, al t0rmino !e este surco, !e+e iniciar !es!e ah5 para el se*un!o surco.



8a me!i!a 6ue se emplea para el culti&o !el ma5, es una uni!a! con&encional pero muy

pr"ctica, llama!a un pie de a*ance2 Por ca!a a&ance !e un pie, se !e+en sem+rar A ma5

Hno cuatro ma5cesI, en la casa !e tierra HtlalkaliI, 6ue es el !on!e se !eposita el ma5, y

cu+rir super4icialmente con tierra !os &eces Hopa, !os &ecesI con el pie !erecho, y a&anar

con el otro pie. %a!a &e 6ue a&ana, se repite el proceso.

/l t0rmino !e la acti&i!a!, el ni1o ya sa+e per4ectamente 6ue tiene emplear cuatro ma5 por

ca!a casa !e tierra HtlalkaliI. (ste proceso se repite perió!icamente una &e al a1o. /l pasar

!e la in4ancia a la ju&entu!, 0ste a!6uiere nue&as o+li*aciones, 6ue aun6ue no sepa leer y]o

escri+ir, sa+e per4ectamente contar las cosas reales y 6ue tienen senti!o para 0l. ste jo&enno sa+e si los conocimientos 6ue posee, son !e tipo matem"tico, sino 6ue, lo m"s &alioso es

su uso pr"ctico y utili!a! en la &i!a.

Tam+i0n apren!e 6ue existen cuatro tipos !e ma5, clasi4ic"n!olos se*7n el color, a sa+er<

el ma5 +lanco Histak tlayoliI, el ma5 rojo Hchichiltek tlayoliI, el ma5 amarillo Hkoskostik

tlayoliI y el ma5 aul Hayauitl tlayoliI.

(l jo&en, apren!e Hconstruye sus conocimientos, !esarrollo intelectualI y sa+e H!esarrollo !e

la capaci!a! sensiti&a y co*niti&oI per4ectamente, 6ue se*7n la canti!a! !e ma5 sem+ra!a

H!esarrollo !e la capaci!a! para contarI, y !e los cui!a!os intensi&os H!esarrollo &aloral<

!e!icación, tolerancia, pacienciaI 6ue se le !e+en !ar, es la canti!a! y cali!a! !el ma5 6ue

o+ten!r" H!esarrollo !e la capaci!a! !e pre!icción real y concretaI. %on el !esarrollo !e

estas acti&i!a!es, el jo&en apren!e y &i&e los &alores Hresponsa+ili!a!, la tolerancia, la

!e!icación, la templana, paciencia, etc.I



2524 #onstrucción social de conocimientos a tra*3s del pastoreo

Gn campesino jo&en, apren!e a contar me!iante la pr"ctica !iaria con su *ana!o caprino,

+o&ino u o&ino, es !ecir, con seres reales, y 6ue siempre cuenta las cosas y los seres, por su

naturalea. %uan!o cuenta su *ana!o, siempre empiea con uno !e ellos, y &a a*re*an!o,

!e uno en uno H!esarrollo !e la capaci!a! a!iti&aI. (n el acto !e contar, siempre &a li*a!o

con la &ista H!esarrollo !e la capaci!a! &isualI y el se1alamiento H!esarrollo !e la capaci!a!

concretaI !e ca!a *ana!o con el !e!o 5n!ice. %uan!o termina la acti&i!a!, es !ecir, el

proceso !e conteo concreto, se !a cuenta si est"n completos o no su *ana!o H!esarrollo !e la

memoriaI. (n el mismo proceso, nunca mecla una especie !e *ana!o con otra. Para uncampesino, no tiene senti!o al !ecir, 2, , ?, etc., por6ue hace 4alta lo 6ue se cuenta.

e esta acti&i!a! social, un campesino apren!e 6ue ca!a *ana!o se multiplica

Hrepro!ucciónI !e manera natural en un perio!o !etermina!o Hpre!icción y perio!ici!a!I en

una canti!a! 4ija. e esta manera, sa+e 6ue cuan!o se multiplica el *ana!o caprino,

siempre lo hace con una HseI cr5a, o a lo m"s dos HomeI cr5as H!esarrollo !e la capaci!a! !e

pre!icción acota!aI. e la o+ser&ación !e este 4enómeno natural, jam"s esperar" tener !e

manera natural Hl5miteI, 6ue una ca+ra 6ue en*en!re ? chi&itos.

8a o+ser&ación !e la perio!ici!a! en la canti!a! !e multiplicación !e la especie +o&ina,

caprina u o&ina, as5 como la repro!uci+ili!a! natural !e este 4enómeno, el jo&en !esarrolla

las capaci!a!es !e la contemplación !e la pre!icción, o+ser&ación !e la perio!ici!a!,

multiplicación y repro!ucción !e las cosas reales y concretas. /!em"s, !esarrolla la

capaci!a! !el senti!o a la &i!a, el !esarrollo !e la &i!a !el *ana!o con el !esarrollo !e la

&i!a !el ser humano. (l mismo u otro jo&en, pue!e pre!ecir 6ue !e su *ana!o &acuno, una

&aca en*en!rar" un +ecerro o una +ecerra, en !os a1os, pero nunca pre!ecir" 6ue una &aca



en*en!re tres +ecerros a la &e, por6ue la experiencia !esarrolla!a a tra&0s !e la

contemplación !el mismo 4enómeno, sólo le !ice 6ue !e+e tener a lo m"s en un perio!o !e

*estación un +ecerro o una +ecerra. +as predicciones emerentes de las actividades

sociales, están acotadas naturalmente-

8as pre!icciones !e repro!uci+ili!a!, perio!ici!a! y multiplicación !e los 4enómenos

emer*entes !e las acti&i!a!es sociales, siempre son reales y concretas. Nunca esperan

trans4ormar una reali!a! 4uera !e lo normal, ya 6ue estas pre!icciones est"n sujetas a las

experiencias !e &arias *eneraciones, transmiti!os !e manera oral, a tra&0s !el !esarrollo !e

las acti&i!a!es o a tra&0s !e la o+ser&ación !e la repro!uci+ili!a! !e los 4enómenos !emanera natural. (n ca!a una !e las acti&i!a!es, el ser humano a!6uiere y !esarrolla

apren!iajes, tanto por el !esarrollo en s5 !e las acti&i!a!es como por la experiencia, 6ue se

!a *eneralmente por la repetición !e las acti&i!a!es sociales. (l jo&en !esarrollo una

capaci!a! para &alorar las acti&i!a!es, ya 6ue !epen!ien!o !e la cali!a! !e las acti&i!a!es,

ser" canti!a! !e cosecha 6ue ten!r".

e esto se !e!uce, 6ue las acti&i!a!es 6ue !esarrolla el ser humano en socie!a!, siempre

tienen al*una utili!a!, !e i*ual manera, los conocimientos 6ue emer*en !e estas

acti&i!a!es, tienen un &alor pr"ctico, 4uncional y una utili!a! para la socie!a! en *eneral.

2525 #ontemplación y *isuali8ación: la realidad e ima%en de la realidad

Gna !e las caracter5sticas principales !e la construcción social !el conocimiento, es la

contemplación !e los hechos y 4enómenos en ca!a una !e las acti&i!a!es 6ue realia el ser

humano



2526 #ontemplación y *isuali8ación

8a contemplación es la o+ser&ación !e las cosas reales, en tanto 6ue la &isualiación, es la

repro!ucción mental !e las acti&i!a!es o 4enómenos !e lo 6ue en la contemplación se

o+ser&ó, es !ecir, la reali!a! !e los hechos y 4enómenos. Por tanto, la contemplación es una

pr"ctica social m"s compleja 6ue la &isualiación. 8a contemplación est" limita!a por la

naturalea !e la reali!a!, en tanto 6ue la &isualiación est" limita!a por la naturalea i!eal.

8a contemplación exi*e !eman!as co*niti&as y sensiti&as superiores a la &isualiación. (n

la contemplación, se precisa !e atención, concentración y an"lisis !el hecho o 4enómeno, lo

6ue 4a&orece el !esarrollo !e las inteli*encias intrapersonal Hplano internoI, interpersonal

HsocialiaciónI, la capaci!a! &er+al y lin*X5stica, es !ecir, la comunicación, ar*umentación,

la socialiación y pre!icción, acciones, operaciones, an"lisis, participación, entre otros, es

!ecir, una construcción social !e conocimientos matem"ticos me!ia!os por las pr"cticas

sociales# lo 6ue no se lo*ra en la &isualiación.

8as acti&i!a!es sociales se realian siempre con o+jetos reales, !e las cuales emer*e la

ima*en 6ue se usa en la &isualiación.

(n las acti&i!a!es sociales, se pri&ile*ia la contemplación y posteriormente la &isualiación,

a tra&0s !e recuer!os# por tanto, en la construcción social !e conocimientos matem"ticos

6ue emer*en !e las acti&i!a!es sociales, 4a&orecen el !esarrollo !e las acti&i!a!es

cere+rales superiores y 6uinest0sicas so+re los procesos &isuales y al*or5tmicos. 8a

&isualiación y al*oritmia en este caso, se !esarrollan a tra&0s !e la experiencia, la

o+ser&ación !e la perio!ici!a! y repro!uci+ili!a! !e las acti&i!a!es o 4enómenos.

(n la reali!a! est" el o+jeto !e estu!io, lo 6ue no se ense1a en matem"tica, !e la reali!a!

sur*e la ima*en !e la reali!a!. (n la escuela se ense1an im"*enes 6ue no correspon!en a la



reali!a!, sino a la i!eali!a!, es !ecir, al*o 6ue no existe en la naturalea, ni tampoco

correspon!e a lo 6ue existe en la naturalea. Gna ima*en por m"s &5&i!a 6ue se ten*a,

nunca representar" la reali!a!, por6ue una ima*en e&oca!a en la &isualiación, siempre

ten!r" !e4iciencias en su interpretación. (n la &isualiación se promue&en al*oritmias

mentales, 6ue no resuel&e el pro+lema !e la ense1ana !e los conocimientos matem"ticos.

2527 ,e la *isuali8ación a la simulación

8a simulación !e un o+jeto, 4enómeno o un proceso, ocurre cuan!o es imposi+le repro!ucir

la acti&i!a! en la reali!a! concreta. 8a !es&entaja 6ue presenta un proceso !e simulación,

es 6ue 0ste est" m"s controla!o. / !i4erencia !e los 4enómenos 6ue ocurren en la reali!a!

concreta, nunca est"n controla!os por el ser humano, sino por la propia naturalea !e la

reali!a! concreta.

(l uso !e la tecnolo*5a en la ense1ana !el len*uaje &isual, en cierto punto, mejora la

ense1ana, pero presenta un *ra&e pro+lema. (l pro+lema consiste en 6ue sustituye la

acti&i!a! 6ue el estu!iante !e+e realiar para compren!er el concepto. (n este proceso, el

estu!iante permanece inacti&o 45sicamente, a !i4erencia !e las acti&i!a!es sociales, !on!e el

estu!iante es el actor principal !e sus propios conocimientos.



26 !nálisis de las acti*idades sociales

8a construcción social !e conocimientos, !escritos en p"rra4os anteriores, inician con el

autoconocimiento !el ser humano, y !espu0s, apren!e a conocer el mun!o exterior. es!e

la in4ancia, ca!a ser humano apren!e a contar en su idioma con los o+jetos y seres reales, es

!ecir, empiea a emplear las canti!a!es me!iante la comunicación, posteriormente

aparecen las representaciones mentales !e los o+jetos y seres reales, a tra&0s !e la narración

y !escripción !e hechos y 4enómenos reales, !on!e por primera &e, aparece la

representación mental concreta para la persona 6ue !escri+e el hecho o 4enómeno, es !ecir,

repro!uce mentalmente los hechos y 4enómenos, 6ue para 0l tienen un senti!o real. Sinem+ar*o, para la persona 6ue escucha la repro!ucción pero 6ue no participó en la acti&i!a!,

aparece la representación mental i!eal, es !ecir, sólo se ima*ina cómo pro+a+lemente es el

hecho o 4enómeno. (ntre estas !os personas, hay una construcción !e conocimientos pero

!e !i4erente manera, con senti!os y aplicaciones !i4erentes. Sólo hasta cuan!o la persona

participa en la repro!ucción !e los hechos o 4enómenos, entonces la persona compren!er" y

construir" conocimientos sóli!os, es !ecir, hasta 6ue la persona act7e so+re el o+jeto !e

conocimiento, entonces realmente apren!er" y construir" conocimientos nue&os, 7tiles,

4uncionales y pr"cticos en la &i!a. Para la persona 6ue !escri+e el hecho o 4enómeno,

!espu0s 6ue participa en el mismo, !esarrollo otros ni&eles !e conocimiento, tales como la

especialiación, la &isualiación, la capaci!a! &er+al y lin*X5stica, la socialiación y

!i&ul*ación !e la construcción !el conocimiento, el conocimiento !e la perio!ici!a! Hno

intencionalI y repetición Hintencionali!a!I, y la capaci!a! !e pre!icción, entre otros.

%uan!o el ser humano !esarrolla la capaci!a! pre!icti&a, sur*en los ni&eles !e a+stracción

co*niti&a, as5 como la propuesta para trans4ormar la naturalea.



Sólo me!iante las pr"cticas sociales, existe la construcción !e conocimientos,

mani4est"n!ose en ellas, elementos y procesos .ue no forman parte de la didáctica

fundamental para la construcción de conocimientos matemáticos. +a construcción social

del conocimiento, se produce siempre en sociedad y en un determinado conte'to cultural ,

es !ecir, a tra&0s !e una socialización, !on!e la comunicación, la actividad , y los

procesos de socialización, son parte intr/nsecos del proceso.

/ tra&0s !e las acti&i!a!es sociales, los seres humanos construyen conocimientos altamente

especialia!os, y !esarrollan !i&ersas ha+ili!a!es, h"+itos, !esarrollo !e la capaci!a!

co*niti&a, 4ormati&a, instructi&a, pre!icti&a, repro!ucti&a, a+stracti&a, &oliti&a, sensiti&a, ye!ucati&a.



#)N#(USIN 'ENER!(

To!as las estrate*ias 6ue se han propuesto actualmente para resol&er el pro+lema !e la

ense1ana !e los conocimientos matem"ticos, presentan una enorme !es&entaja al

pri&ile*iar los conocimientos y al*oritmias matem"ticos. %on la in&esti*ación realia!a !el

sistema !e Numeración N"huatl, !e!ucimos 6ue la mejor 4orma 6ue el ser humano apren!e

a construir sus conocimientos, es a tra&0s !e las acti&i!a!es sociales, !on!e el contexto

sociocultural y el len*uaje, es !ecir, el i!ioma, son 4actores !eterminantes para la

construcción !e conocimientos.

To!o tipo !e conocimiento, emer*e a tra&0s !e las acti&i!a!es !e una socie!a! or*ania!a,

en interacción !el sujeto con la trans4ormación !e la reali!a! a tra&0s !e la acti&i!a!

humana, mani4est"n!ose en ellas, procesos !e comunicación y !e socialiación. (s

me!iante la acti&i!a! 6ue los seres humanos mo!i4ican la naturalea, las con!iciones !e

&i!a y su propio autotrans4ormación.

(n el !esarrollo !e las acti&i!a!es sociales, el ser humano nunca est" inmo&ilia!o, siempre

est" acti&o, y es el inme!iato responsa+le para conse*uir el satis4actor social.

(stos conocimientos son suscepti+les !e ser mo&ilia!os a otros contextos culturales, lo

6ue no suce!e con los conocimientos matem"ticos apren!i!os en contextos escolares, y

tampoco se aplican a la &i!a real.

8a ausencia !e este tipo !e acti&i!a!es sociales en el 6uehacer e!ucati&o, marcan y

constituyen un o+st"culo !i!"ctico para el apren!iaje.

8as pr"cticas sociales situa!os en los contextos socioculturales, actualmente !e+en

constituir los nue&os escenarios para el apren!iaje !e conteni!os !eclarati&os,



proce!imentales y actitu!inales-&alorales, en el 6ue se articulan las pr"cticas, las

acti&i!a!es, la comunicación, y la socialiación !e las personas 6ue inter&ienen en to!o

proceso !e apren!iaje &i&encial, y 6ue *racias a estos 4enómenos, se !a la soli!e !e la

asimilación !e los conocimientos, ha+ili!a!es y h"+itos, el car"cter consciente y acti&o !e

los seres humanos.

/ tra&0s !e las acti&i!a!es sociales, se !emuestra 6ue el apren!er es mucho m"s 6ue sa+er.

/pren!er es un complejo proceso !e trans4ormación e incorporación !e no&e!a!es, por el

6ue ca!a sujeto se apropia !e o+jetos y conocimientos con los 6ue constituye su reali!a! y

ampl5a el campo !e sus conocimientos.

(n *eneral, para contri+uir en la solución !e los 4enómenos !i!"cticos e impactar el sistema

e!ucati&o, es imprescin!i+le incluir los 4enómenos in&olucra!os en el proceso !e

construcción social !e conocimientos, y 6ue est"n ausentes en la !i!"ctica tra!icional. (sta,

carece !e la parte sociocultural, es !ecir, 6ue la construcción !e conocimientos se !a

principalmente en la socie!a! y para la socie!a!, en tanto 6ue la transposición !i!"ctica,

pri&ile*ia los sa+eres sa+ios !e un *rupo, y su transposición a contextos escolares, no se

transmite tal como 4ue construi!o, ni el 4in para lo 6ue 4ue conce+i!o. Sin em+ar*o, los

sa+eres sa+ios construi!os por la socie!a! y para la socie!a!, son construi!os para la

su+sistencia !e la socie!a! as5 como su e&olución. 8a transposición !e estos sa+eres sa+ios

construi!os y situa!os en contextos socioculturales, a contextos escolares, re6uiere

necesariamente una nue&a 4orma !e transposición, a lo 6ue le !enominamos en este tra+ajo

$8a transposición i!"ctica no %on&encional'.

8a $Transposición )idáctica no Convencional HT,N#I' es la transposición !e las 4ormas,

los procesos y los elementos inherentes en la construcción !e conocimientos altamente

especialia!os situa!os en los contextos socioculturales, me!ia!os por las pr"cticas



sociales. (n 0stas, el sujeto 6ue apren!e, participa acti&amente en el !esarrollo !e las

acti&i!a!es para construir sus propios conocimientos, sien!o 0stos 7tiles y pr"cticos, para

resol&er pro+lemas !e la &i!a coti!iana.

Gna alternati&a para resol&er el pro+lema 4un!amental en la construcción !e conocimientos

matem"ticos, es la exploración !e nue&os escenarios +asa!os en las pr"cticas sociales, y

seleccionar a a6uellas acti&i!a!es sociales suscepti+les !e ser transpuestas a contextos

escolares. ichas acti&i!a!es sociales !e+en contar con los elementos 4un!amentales 6ue

permitan el !esarrollo inte*ral !e la personali!a! !el ser humano HalumnoI, en el 6ue se

exprese la uni!a! entre la acti&i!a!, contemplación, comunicación, &isualiación,socialiación, instrucción, ense1ana, apren!iaje y e!ucación para la autotrans4ormación y

trascen!encia !el mismo en un contexto !a!o, y no solamente para la trans4ormación !el

mun!o exterior a tra&0s !e la construcción, a!6uisición, resi*ni4icación y aprehensión

sóli!a !e conocimientos.

e esta manera, las pr"cticas sociales correspon!en a los nue&os centros !e atención, no

solo como los Nue&os (scenarios !e si*ni4icación y construcción !e conocimientos

matem"ticos altamente especialia!os, sino 6ue constituyen tam+i0n los Nue&os Me!ios y

Lecursos !i!"cticos con esperanas promete!oras, !on!e el estu!iante encuentra una

utili!a! en la &i!a !el por6u0 !e+e apren!er matem"ticas con o+jeti&os re!ise1a!os. Gn

proceso !e construcción !e conocimientos 6ue permita el !esarrollo potencial !el ser

humano para apren!er a apren!er, apren!er a actuar so+re lo 6ue se !esea apren!er,

apren!er a !esapren!er, apren!er a e!ucar, apren!er a ser, apren!er a hacer, apren!er a

&alorar, apren!er a tener, apren!er a !esarrollar la personali!a! y a trascen!er.



(s !ecir, una e!ucación 6ue promue&a a tra&0s !el ejemplo, el respeto y el !esarrollo !e la

plenitu! !e la inteli*encia, !e los senti!os, los intereses, las acti&i!a!es sociales, la

i!eolo*5a, la len*ua, la cultura !e un pue+lo, las trascen!encia !el ser humano, en 4in, una

e!ucación para la &i!a, 6ue inicie con la e!ucación patriarcal y complementa!a por la

e!ucación escolar, &i&encial y utilitaria. (se el 4in 7ltimo !e los nue&os escenarios para la

construcción !e conocimientos y a+rir un nue&o camino hacia apren!iaje si*ni4icati&o para

el estu!iante y la socie!a! en *eneral.

(l sistema !e numeración N"huatl 6ue permanece &i*ente hoy en !5a, pre&alece

principalmente, por las acti&i!a!es sociales 6ue !esarrollan !i&ersas comuni!a!es, 6ue!ominan la len*ua N"huatl, posee!ores !e una !e las mejores t0cnicas !e apren!iaje $ la

construcción de conocimientos milenarios a trav#s de las prácticas sociales' -

(l sistema !e Numeración N"huatl, es un sistema posicional !e +ase o &i*esimal. Gn

sistema +asa!o en los &einte !e!os !el ser humano y !esconoci!o hasta hoy, tal como

mostramos en este tra+ajo, cuenta con to!as las caracter5sticas !e una matem"tica a&ana!a.

(l an"lisis !e la construcción conceptual y aritm0tica !el nom+re !e los n7meros,

!emuestra cate*óricamente, 6ue para la construcción !e los nom+res !e los n7meros,

incluyeron no solo las operaciones +"sicas como la suma, multiplicación, !i&isión, sino 6ue

est"n impl5citas !i&ersas leyes /!iti&i!a! y multiplici!a! pro*resi&as, respecti&amenteI,

propie!a!es Ha!iti&i!a!, multiplici!a!, !i&isi+ili!a!, potencia+ili!a!I y operaciones !e

potenciación a!iti&a. 8a presencia !e estos opera!ores conceptuales en el Sistema !e

Numeración N"huatl, !emuestra una construcción acti&a !e !i4erentes conocimientos

matem"ticos. (ste sistema !e numeración, cuenta con !os uni!a!es 4un!amentales< el 2 y



, y tres su+uni!a!es< el 3, 2 y 23, con estas uni!a!es y su+uni!a!es, se construye la

in4initu! !el Sistema !e Numeración N"huatl.

8as ór!enes !el sistema !e numeración N"huatl, est"n !etermina!os por los nom+res

especiales< se H2I, se poali HI, se tsontli HAI, se xikipili H=I, etc., es !ecir, 6ue las

ór!enes !e este sistema !e numeración, presentan un crecimiento exponencial !e tipo n.

%on el estu!io !el Sistema !e Numeración N"huatl, !emostramos 6ue la construcción !e

conocimientos a tra&0s !e las pr"cticas sociales, se promue&e una matem"tica &incula!a con

la &i!a, con la pr"ctica y con la naturalea, !on!e los pa!res, la 4amilia, los maestros !el

conocimiento, la acti&i!a!, la socie!a!, la comunicación y el me!io son los constituyentes

principales !e la e!ucación para la &i!a# es !ecir, una ense1ana 6ue cumpla las 4unciones

instructi&a, comunicati&a, *noseoló*ica, &alorati&a, 4ilantrópica, 4ormati&a, e!ucati&a,

!esarrolla!ora y trascen!ente, en cuyo proceso !e+e mani4estarse la uni!a! entre la

instrucción, e!ucación, !esarrollo y trascen!encia !el ser humano.

(n esta l5nea !e in&esti*ación, proponemos 6ue +as"n!ose en los conocimientos

matem"ticos !e nuestro pasa!o, nos permitir"n !ise1ar y re!ise1ar nue&as estrate*ias para

la ense1ana !e los mismos. (s un reto iniciar la +7s6ue!a !e estrate*ias !i!"cticas

naturales 6ue 4unciona para el apren!iaje en socie!a!.

$Rejkos tonali, kuak oksepa ni kin mo nextilis uan ni kin notsas on to ikniuan, uan kuak on

ni kin mititis miek tlamachilistli, ixtlamachilistli, iuan nemilistli'$8le*ar" el !5a, cuan!o nue&amente me aparecer0 y ha+lar0 a nuestros hermanos, yentonces les ense1ar0 a+un!ante sa+i!ur5a, enten!imiento y &i!a'

Pe!ro Marcelino (spinoa Ocotl"n



Le4erencias ;i+lio*r"4icas

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LA MATEMÁTICA NÁHUATL: ESTUDIO DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN NÁHUATL