Laplasova transformacija

OSNOVE TEORIJE AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

2.3 Definicija Laplasove transformacije

Primena Furijeove transformacije u analizi i sintezi sistema automatskog upravljanja

nailazi na ograničenja uslovljena činjenicom da većina funkcija u praksi ne ispunjava

uslov konvergencije integrala (2.45). U tom slučaju neophodno je uvesti faktor

konvergencije , gde je σ realan, pozitivan, dovoljno veliki broj koji obezbedjuje da

integral

te σ−

( ) tI f t e dtσ∞

−

−∞

= ∫

konvergira. Na osnovu jednačina (2.43) i (2.46) dobija se

0

1( ) ( ) ,2

t t j t j tf t e f t e e dt e dσ σ ω ωπ

∞ ∞− − −

−∞

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ω

odnosno

( ) ( )

0

1( ) ( ) .2

j t j tf t f t e dt eσ ω σ ω ωπ

∞ ∞− + +

−∞

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ d (2.47)

Ukoliko se uvede smena s = σ +jω i usvoji da σ ima konstantnu vrednost (σ = γ) na

celom opsegu integracije u jednačini (2.47) deriviranjem se dobija

ds = jdω

tako da jednačinu (2.47) možemo pisati u obliku

0

1( ) ( ) ,2

jst st

j

f t f t e dt e ds t>0.j

γ

γπ

+ ∞ ∞−

− ∞

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ (2.48)

Poslednja jednačina omogućava da se definišu Laplasova i inverzna laplasova

transformacija

0

( ) [ ( )] ( ) , ,staF s L f t f t e dt <σ σ

∞−= = ∫ (2.49)

1 1( ) [ ( )] ( ) ,2

jst

j

f t L F s F s e ds t>0.j

γ

γπ

+ ∞−

− ∞

= = ∫ (2.50)

Istaknimo na kraju opisanih razmatranja da Laplasovu transformaciju možemo razumeti

kao matematičku interpretaciju bilo koje neperiodične funkcije zbirom (integralom)


beskonačnog broja prigušenih kvaziperiodičnih oscilacija, istog faktora prigušenja σ,

beskonačno malih amplituda i beskonačno malih razlika u frekvencijama svaka dva

susedna člana zbira.

2.4 Laplasova transformacija elementarnih funkcija

Sledeći primeri ilustruju postupak nalaženja Laplasove transformacije

PRIMER 2.1 Odredite Laplasovu transformaciju odskočne funkcije.

Sl. 2.13 Odskočna funkcija u trenutku t = 0

t 0

1

REŠENJE:

Ova funkcija je od posebnog interesa u analizi sistema automatskog upravljanja.

Analitički je definisana izrazom ( ) ( )f t ah t= pri čemu je a njena amplituda, a

h(t) predstavlja jediničnu odskočnu funkciju

0( )

1 0 za t<0

h t za t

⎧⎪⎪=⎨⎪ ≥⎪⎩

Po definiciji je

00

( ) 0st

st ae a aF s aes s

∞∞ −− − −

= = = − =∫ s

PRIMER 2.2 Odredite Laplasovu transformaciju nagibne funkcije.

Sl. 2.14 Nagibna funkcija

t 0

bt


REŠENJE:

Analitički je ova funkcija opisana izrazom ( )f t b= t

e dt−=

. Da bi se odredio

komplekcnsi lik ove funkcije u konkretnom slučaju je potrebno primeniti

parcijalnu integraciju

udv uv vdu= −∫ ∫

Ukoliko se usvoji i dv dobija se u bt= st

2 20 0

( )st st

st bte be bF s bte dts s

∞∞ − −−

⎡ ⎤⎢ ⎥= = − −⎢ ⎥ s

=⎣ ⎦

∫

PRIMER 2.3 Odredite Laplasovu transformaciju jedinične impulsne funkcije δ 0( )t t−

Sl. 2.15 Impulsna funkcija (a) i postupak njenog generisanja (b)

t 0

1/ ε

0t 0t ε+

t 0

1/ ε

0t 0t ε+

(a)

(b)

REŠENJE:

Ova funkcija je takođe od posebnog interesa u teoriji sistema automatskog

upravljanja. Analitički je definisana izrazom 0( ) ( )f t t tδ= − . Pretpostavimo da

ova funkcija ima vrednost samo na intervalu pri čemu

teži nuli. U tom slučaju važi integral

1ε− 0 0(t t t ε≤ ≤ + )

1

ε

0( )t t dtδ∞

−∞

− =∫


odnosno ovu funkciju možemo prikazati pravougaonim impulsom (sl. 2.15-a)

čija površina ima jediničnu vrednost, beskonačnu amplitudu i beskonačno malo

vreme trajanja

0 00 0

( ) (( ) lim h t t h t tt tε

εδ

ε→

− − − −− =

)

)

)

.

Slika 2.15-b prikazue postupak modeliranja funkcije pomoću odskočnih

fukcija i . Jasno je da se željeni oblik pravougaonog

impulsa dobija kao razlika odskočnoh funkcija čiji prekidi nastaju u trenucima

i .

0(t tδ −

0( )h t t− 0(h t t ε− −

0t t= 0t t ε= +

Prema definiciji Laplasove transformacije dobija se 0

0

00 0

0

0

0

( )

1( ) ( )

1

tst st

t

t st s tst

t

F s t t e dt e dt

e e es s

ε

ε

ε

δε

ε ε

−

+∞− −

− − +−

+

= − =

−= =

∫ ∫

S obzirom daε teži nuli dobija se razlomak oblika nula kroz nula. Za njegovo

izračunavanje primenjuje se Lopitalovo pravilo (potrebno je derivirati odvojeno

brojilac i imenilac po ) nakon čega se dobija ε

0 0

0

1( ) lims s

st ste sF s e es s

ε ε

εε

− −− −

→

−= =

e

odnosno

0( ) 1 stF s e−= ⋅ .

Očigledno, u slučaju dobija se , odnosno Laplasova

transformacija jedinične impulsne funkcije ima vrednost 1. U primeru se jasno

uočava da u slučaju kašnjenja, odnosno kada je t

0 0t = ( ) 1F s =

0 ≠ 0 Laplasova transformacija

generiše isti kompleksni lik ali pomnožen sa vrednošću 0ste− . Ovo je

univerzalno svojstvo Laplasove transformacije, odnosno važi i u slučaju drugih

funkcija. Proverite na primer za slučaj odskočne funkcije i dobićete da je

( ) 00

1( ) stL h t t es

−− =


PRIMER 2.4 Odredite Laplasovu transformaciju prostoperiodične funkcije

( ) sin( )f t tω=

REŠENJE:

0 0

( ) ( )

0

0 0( ) ( )

2 2

( ) sin( )2

1 ( )2

12 ( ) ( )

j t j tst st

s j t s j t

s j t s j t

e eF s t e dt e dtj

e e dtj

e e j s j s j

s

ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω ω

ωω

∞ ∞ −− −

∞− − − +

− − − +

∞ ∞

−= =

= −

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪− +⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

=+

∫ ∫

∫

Analognim postupkom se dobija Laplasova transformacija funkcije ( ) cos( )f t tω=

( ) 2 2cos( ) sL ts

ωω

=+


2.5 Teoreme Laplasove transformacije

Svojstva laplasove transformacije

1. Superpozicija

{ }1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )L f t f t F s F sα β α β+ = +

{ }( ) ( )L f t F sα α=

2. Vremensko kašnjenje

1

0

( ) ( ) ( )st sF s f t e dt e F sλλ−

∞− −= − =∫

3. Skaliranje vremena

10

1( ) ( ) st sF s f at e dt Fa a

∞− ⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫

4. Pomak u kompleksnom domenu

10

( ) ( ) ( )at stF s e f t e dt F s a∞

− −= =∫ +

5. Diferenciranje

0

(0 ) ( )stdf dfL e dt fdt dt−

∞− −⎧ ⎫ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎟⎜= =− +⎟⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎜⎪ ⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ sF s

22

2

(0 )( ) (0 )d f dfL s F s sfdt dt

−−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= − −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

1

11

21 2 3

2

( ) (0 )( )

(0 ) (0 )( ) (0 ) ...

m kmm m k

m kk

m m m m

d f t d fL s F s sdt dt

df d f s F s s f s sdt dt

− −−

−=

− −− − − −

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

= − − −

∑

−

6. Integraljenje


0

1( ) ( )t

L f d F ss

ξ ξ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭∫

7. Konvolucija u vremenskom domenu

{ } ( )1 2 1 2 1 20

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )stL f t f t f t f t e dt F s F s∞

−∗ = ∗ = ∗∫

8. Množenje funkcija u vremenskom domenu

{ }1 2 1 21( ) ( ) ( ) ( )

2L f t f t F s F s

jπ= ∗

9. Množenje sa vremenskom promenljivom

{ }( ) ( )dL tf t F sds

=−

2.6 Inverzna Laplasova transformacija

Primenom Laplasove transformacije problem rešavanja složenih integrodiferencijalnih

jednačina je olakšan ali se opisi promenljivih dobijaju u kompleksnom obliku. S

obzirom na način posmatranja pojava oko nas logično je da smo više zainteresovani za

njihov opis u vremenskom domenu. Inverzna Laplasova transformacija, kao što je već

istaknuto, omogućava da se lik neke promenljive dobijen u vidu realne racionalne

funkcije kompleksne promenljive (racionalna funkcija kompleksne promenljive sa

realnim koeficijentima) prevede iz kompleksnog u vremenski domen. Ovo je najlakše

učiniti ukoliko se realna racionalna funkcija kompleksne promenljive prvo rastavi u

sumu parcijalnih razlomaka. Polinomi u imeniocima ovih razlomaka su nižeg reda u

odnosu na polinom funkcije koja se rastavlja. Usled toga parcijalni razlomci imaju

standardne oblike koji omogućavaju da se u odgovarajućim tablicama lako pronađu

njihove inverzne Laplasove transformacije, a samim tim i oblik konkretne promenljive u

vremeskom domenu.

Neka je realna racionalna funkcija definisana količnikom polinoma N(s), D(s) 1 2

1 2 11 2

1 2 1

...( )( )( ) ...

m m mm m m

n n nn n n

b s b s b s b s bN sF sD s a s a s a s a s a

− −− −

− −− −

+ + + + += =

+ + + + +0

0

(2.51)


pri čemu su koeficijenti ak i bk za k = 0, 1 , 2, ..., n realni brojevi. Pored toga

ograničimo se na slučajeve kada je red polinoma u imeniocu veći ili jednak redu

polinoma u brojiocu ( . U slučaju kada je pogodno je da se prvo izvrši

normalizacija deljenjem oba polinoma sa ovim koeficijentom

)n m≥ 1na ≠

1 21 2 1

1 21 2 1

1 ( ... )( )( )( ) ...

m m mm m m

n

n n nn n

n n n

b s b s b s b s baN sF s a a aaD s s s s s

a a a a

− −− −

− −− −

+ + + + += =

+ + + + +

0

0

n

(2.52)

Koreni polinoma u brojiocu predstavljaju nule funkcije F(s) i određuju se kao rešenja

jednačine N(s) = 0. Koreni polinoma u imeniocu predstavljaju polove funkcije F(s) i

određuju se kao rešenja jednačine D(s) = 0. Nule i polovi se mogu pojaviti kao realni, u

konjugovano kompleksnim parovima ili u kombinaciji jednih i drugih, a mogu biti

prosti (jednostruki) i/ili višestruki. Za određivanje inverzne Laplasove transformacije

zanima nas priroda polova odnosno koreni jednačine

1 21 2 01... 0n n nn n

n n n n

a a aas s s sa a a a

− −− −+ + + + + = (2.53)

U tekstu koji sledi razmatra se rastavljanje funkcije u sumu parcijalnih razlomaka za tri

osnovna slučaja: kada su svi polovi realni i različiti, slučaj jednostrukih konjugovano

kompleksnih polova i situacija kada se pojavljuju višestruki polovi. Svi ostali slučajevi

predstavljaju njihovu kombinaciju.

1. SLUČAJ: SVI POLOVI SU REALNI I RAZLIČITI

Neka su odgovarajući polovi označeni kao p1, p2, p3, ... pn tada polinom u imeninocu

funkcije F(s) možemo prikazati u faktorizovanom obliku

1 2 3

( )( )( ) ( ) ( ) ... ( )n

N sF ss p s p s p s p

=− ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −

(2.54)

a odgovarajuća suma parcijalnih razlomaka ima oblik

31 2

1 2 3

( ) ...( ) ( ) ( ) (

n

n

rr rF ss p s p s p s p

= + + + +− − − − )

r (2.55)

Za određivanje vrednsoti koeficijenata r1, r2, r3, ... rn treba pomnožiti obe strane

jednačine polinomom pri čemu je . Tada se svaki koeficijent

izračunava na osnovu jednačine

( )ks p− k 1, 2, 3, ...,n=


lim ( ) ( ) ( ) ( )

kkk k k s ps p

r s p F s s p F s=→

= − = − (2.56)

PRIMER 2.5 Razvijte funkciju prenosa F(s) u sumu parcijalnih razlomaka.

2

3 2( )3 2

sF ss s

+=

+ +

REŠENJE: Lako se uočava da je polinom u imeniocu moguće napisati u

faktorizovanom obliku nakon čega sledi razvoj funkcije u sumu parcijalnih

razlomaka

2

1 2

3 2 3 2( )3 2 ( 1)( 2

( 1) ( 2)

s sF ss s s s

r r s s

+ += =

+ + + +

= ++ +

)

Koeficijenti r1 i r2 se računaj na već opisan način

1 11

3 2lim ( 1) ( ) 1( 2)s

s

sr s F ss→−

=−

+= + = =

+−

2 22

3 2lim ( 2) ( ) 4( 2)s

s

sr s F ss→−

=−

+= + = =

+

Primenom dobijenih rešenja dobija se konačan rezultat

2

3 2 1 4( )3 2 ( 1) ( 2

sF ss s s s

+ −= = +

+ + + + )

PRIMER 2.6 Razvijte funkciju prenosa F2(s) u sumu parcijalnih razlomaka. 2

2 3 2

3 2 5( )12 44 48s sF s

s s s+ +

=+ + +

REŠENJE: Funkcija u ovom slučaju ima tri različita realna pola ,

i .

1 2p =−

2 4p =− 3 6p =−

2 2

2 3 2

31 2

3 2 5 3 2 5( )12 44 48 ( 2)( 4)( 6)

( 2) ( 4) ( 6)

s s s sF ss s s s s s

rr r s s s

+ + + += =

+ + + + + +

= + ++ + +

Određivanjem koeficijenata


2

12

3 2 5 1( 4)( 6) 8s

s srs s

=−

+ += =

+ +3

2

24

3 2 5 4( 2)( 6) 4s

s srs s

=−

+ += =

+ +5

−

2

26

3 2 5 101( 2)( 4) 8s

s srs s

=−

+ += =

+ +

funkcija F2(s) se zapisuje kao suma parcijalnih razlomaka 2

2 3 2

3 2 5 13 / 8 45 / 4 101/ 8( )12 44 48 ( 2) ( 4) ( 6)s sF s

s s s s s s+ + −

= = ++ + + + + +

+

2. SLUČAJ: POLOVI SU KOMPLEKSNI

Često se dešava da su polovi odgovarajuće racionalne funkcije F(s) kompleksni. S

obziorm da se oni pojavljuju u vidu konjugovano kompleksnih parova broj kompleksnih

polova je paran. Konjugovana vrednost kompleksnog pola pk, u ovom tekstu, označava

se zvezdicom, odnosno kao pk*. Razvoj funkcije u sumu parcijalnih razlomaka

ostvaruje se na isti način kao i u slučaju realnih različitih polova. Jedina razlika je u

tome što koeficijenti rk koji odgovaraju kompleksnim polovima takođe imaju

kompleksni oblik. Sledeći primer jasno ilustruje ovu tvrdnju.

PRIMER 2.7 Razvite funkciju F3(s) u sumu parcijalnih razlomaka.

3 2

3( )( 1)[( 2) 4]

sF ss s

+=

+ + +

REŠENJE: Očigledno, funkcija sadrži jedan realan i par kojugovanih kompleksnih

polova. Odgovarajući razvoj u sumu parcijalnih razlomaka ima oblik

3 2

31 2

3 3( )( 1)[( 2) 4] ( 1)( 2 2)( 2 2

( 1) ( 2 2) ( 2 2)

s sF ss s s s j s j

rr r s s j s j

+ += =

+ + + + + + + −

= + ++ + + + −

)

Koeficijenti r1, r2 i r3 se računaj na istovetan način kao i u slučaju realnih

različitih polova


1 21

3 2( 4 8) s

srs s =−

+= =

+ + 5

22 2

3 1 2( 1)( 2 2) ( 1 2)( 4) 8 4

(1 2) ( 8 4) 16 12 1 3( 8 4) ( 8 4) 80 5 20

s j

s jrs s j j j j

j j j jj j

=− −

+ −= =

+ + − − − − − +

− − − − += = =− +

− + − −

1 2j−=

32 2

3 1 2( 1)( 2 2) ( 1 2)( 4) 8 4

(1 2) ( 8 4) 16 12 1 3( 8 4) ( 8 4) 80 5 20

s j

s jrs s j j j j

j j j jj j

=− +

+ −= =

+ + + − + − −

− − + − −= = =− −

− − − +

1 2j−=

Naravno, poslednji razvoj nije neophodan jer su u pitanju konjugovano

kompleksni polovi pa je r3 = r2*, odnosno

*

31 3 15 20 5 2

r j⎛ ⎞⎟⎜= − + =− −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

30

j

Dobijena rešenja omogućavaju da se nakon supstitucije koeficijenata funkcija

prenosa F3(s) napiše kao suma parcijalnih razlomaka 2

3 3 2

3 2 5 2 / 5 1/ 5 3 / 20 1/ 5 3 / 20( )12 44 48 ( 2) ( 2 2) ( 2 2)s s j jF s

s s s s s j s j+ + − + − −

= = + ++ + + + + + + −

Prisustvo kompleksnih brojeva u konačnom zapisu može se izbeći ukoliko se

saberu poslednja dva člana u sumi parcijalnih razlomaka. Tada će se dobiti

3 2

2 / 5 1 (2 1)( )( 2) 5 ( 4 8

sF ss s s

+= −

+ + )+

3. SLUČAJ: POSTOJE VIŠESTRUKI POLOVI

Neka fukcija F(s) ima trostruki pol p1 pri čemu su svi ostali polovi realni i različiti.

Tada se izraz za F(s)

31 2 3

( )( )( ) ( ) ( ) ... ( )n

N sF ss p s p s p s p

=− ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −

(2.57)

razvija u sumu parcijalnih razlomaka

13 311 12 23 2

1 1 1 2 3

( ) ...( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

n

n

r rr r rF ss p s p s p s p s p s p

= + + + + + +− − − − − − )

r (2.58)

Koeficijenti r2, r3,...,rn računaj se na već poznati način


lim ( ) ( ) ( ) ( )

kkk k k s ps p

r s p F s s p F s=→

= − = −

Za određivanje koeficijenta r11 treba pomnožiti obe strane jednačine polinomom

. Tako se dobija 31(s p− )

3 21 11 1 12 1 13

3 321

2 3

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ...( ) ( ) (

n

n

s p F s r s p r s p r

r rr s ps p s p s p

− = + − + −

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − − −⎝ ⎠) (2.59)

Ukoliko odredimo graničnu vrednost ove jednačine kada 1s p→

1 1

1

3 21 11 1 12 1 13

3 321

2 3

lim( ) ( ) lim[( ) ( ) ]

lim ( ) ...( ) ( ) (

s p s p

n

s pn

s p F s r s p r s p r

r rr s ps p s p s p

→ →

→

− = + − + −

⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥⎟+ − + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ − − −⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦)

s

)

dobija se vrednost koeficijenta r11

1

311 1lim( ) ( )

s pr s p F

→= − . (2.60)

Ukoliko proizvod prvo deriviramo po s, a zatim odredimo vrednost kada

dobijamo vrednost koeficijenta r

31( ) (s p F s−

1s p→ 12

1

312 1lim ( ) ( )

s p

dr s pds→

⎡= −⎢⎣ F s ⎤⎥⎦

)

. (2.61)

Za određivanje koeficijenta r13 potrebno je da još jednom deriviramo proizvod

pre nego što potražimo graničnu vrednost kada 31( ) (s p F s− 1s p→

1

23

13 12

1 lim ( ) ( )2 s p

dr s pds→

⎡= −⎢⎣ F s ⎤⎥⎦ . (2.62)

U slučaju da postoji pol m-tog reda analognim postupkom bi se odredile vrednosti svih

koeficijenata. Tako bi se za derivaciju reda k-1 dobilo

1

1

1 1( 1)! lim ( ) ( )k

mk ks p

dk r s p F sds

−

−→ 1⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.63)

odnosno

1

1

1 1

1 lim ( ) ( )( 1)!

km

k ks p

dr sk ds

−

−→ 1p F s⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦−. (2.64)

Opisani postupak je prikazan u primerima koji slede.


PRIMER 2.8 Razvijte funkciju F4(s) u sumu parcijalnih razlomaka.

4 2

3( )( 2)( 1)

sF ss s

+=

+ +

REŠENJE:

1 21 24 2 2

3( )( 2)( 1) ( 2) ( 1) ( 1

r r rsF ss s s s s

+= = + +

+ + + + +2

)

1 22

3 1( 1) s

srs =−

+= =

+

211

3 2( 2) s

srs =−

+= =

+

22 21 1

3 ( 2) ( 3) 12 ( 2)s s

d s s srds s s=− =−

⎛ ⎞+ + − +⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ +=−

4 2 2

3 1 2( )( 2)( 1) ( 2) ( 1) ( 1

sF ss s s s s

+ −= = + +

+ + + + +1

)

Primetimo da je poslednji koeficijent, residuum r22, mogao da se izračuna ne

koristeći deriviranje, jednostavnim uvođenjem već poznatih vrednosti za r1 i r21

uz pretpostavku da je s = 0. Tako se dobija jednačina

222 2

0 0 0

3 1 2( 2)( 1) ( 2) ( 1) ( 1)s s s

rss s s s s= = =

+= + +

+ + + + + 0s=

223 1 22 2

r= + +

koja daje isti rezultat . 22 1r =−

PRIMER 2.9 Odredite sumu parcijalnih razlomaka za funkciju F5(s). 2

5 3 2

3 1( )( 1) ( 2)

s sF ss s

+ +=

+ +

REŠENJE: Očigledno, postoje dva višestruka pola zbog čega odgovarajuća suma

parcijalnih razlomaka ima oblik


1311 12 21 22

5 3 2 2( )( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2

rr r r rF ss s s s s

= + + + ++ + + + + )

)

(2.65)

Nakon množenja obe strane jednačine sa i uvrštavanja dobija

se vrednost koeficijenta r

31(s p− 1s =−

11

2

11 21

3 1 1( 2) s

s srs

=−

+ += =

+−

)

.

Za određivanje koeficijenta r12 pored množenja jednačine (65) sa treba

izvršiti i deriviranje po s kako bi se nakon supstitucije dobilo

31(s p−

1s =−

2

12 21

2 2

41

31

3 1( 2)

( 2) (2 3) 2( 2)( 3 1)( 2)

4 3.( 2)

s

s

s

d s srds s

s s s s s s

s s

=−

=−

=−

⎛ ⎞+ + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠

+ + − + + +=

+

+= =

+

(2.66)

Dodatno deriviranje jednačine (66) omogućava da se odredi i vrednost

koeficijenta r13

2 2 2

13 2 2 21 1

3 2

3 61 1

41

1 3 1 1 3 12! ( 2) 2 ( 2)

1 4 1 ( 2) 3( 2) ( 4)2 ( 2) 2 ( 2)

1 ( 2) 3( 4) 52 ( 2)

s s

s s

s

d s s d d s srds s ds ds s

d s s s s ds s s

s s s s

=− =−

=− =−

=−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟= =⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤+ + − + +⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − −⎢ ⎥= =⎢ ⎥+⎣ ⎦4

1

4( 2) ss =−

=−+

(2.67)

Primenom analognog postupka određuju se koeficijenti r21 i r22

2

21 32

3 1 1( 1) s

s srs

=−

+ += =

+−


2

22 32

3 2 2

62

2 2

4 42 2

3 1( 1)

( 1) (2 3) 3( 1) ( 3 1)( 1)

( 1)(2 3) 3( 3 1) 4 4( 1) ( 1)

s

s

s s

d s srds s

d s s s s s ds s

s s s s s s s s

=−

=−

=− =−

⎛ ⎞+ + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + − + + + ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠

+ + − + + − −= =

+ +=

Supstitucijom izračunatih vrednosti u jednačinu (65) konačno se dobija razvoj

funkcije F5(s) u sumu parcijalnih razlomaka

5 3 2 2

1 3 4 1 4( )( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2

F ss s s s s− −

= + + + ++ + + + + )

.

2.7 Funkcija prenosa

U prvoj tački ovog poglavlja već je pomenuta funkcija prenosa u operatorskom obliku.

Pri tome je napomenuto da se ona definiše za slučaj kada su svi početni uslovi jednaki

nuli i u odsustvu poremećaja. Pod istim uslovima definiše se i funkcija prenosa u

kompleksnom domenu, odnosno kada se primeni Laplasova transformacija na

integrodiferencijalnu jednačinu. Razmotrimo, kao primer, jednačinu (2.5) 2

0 1 02

( ) ( )( ) ( )d x t dx tb F t a a x tdt dt

= − − .

Prepišimo je tako da najpre razdvojimo promenljive na suprotne strane jednčaine. 2

1 0 02

( ) ( ) ( ) ( )d x t dx ta a x t b Fdt dt

+ + = t .

Pretpostavimo da su svi početni uslovi jednaki nuli, odnosno da je

(0 )(0 ) 0dxxdt

−− = = .

Integrodiferencijalna jednačina se, u tom slučaju, lako prevodi iz vremenskog u

kompleksni domen. Primenom teoreme o Laplasovoj transformaciji derivacije dobija se 2

1 0 0( ) ( ) ( ) ( )s X s sa X s a X s b F s+ + = ,

odnosno 2

1 0 0[ ] ( )s sa a X s b F s+ + = ( ) .


Na osnovu poslednje jednačine direktno se određuje funkcija prenosa kao odnos

kompleksnih likova izlazne i ulazne promenljive

02

1 0

( )( )

bX sF s s sa a

=+ +

PRIMER 2.10: Odredite konturne struje Ik1 i Ik2 za električno kolo prema slici 2.16.

Sl. 2.16 Električno kolo sa dva izvora elektromotorne sile

REŠENJE: U cilju skraćenja zapisa odgovarajućih jednačina prvo definišimo

impedanse

1 1z R= ; 22

2 1Rz

R Cs=

+; ; 3 3z R= 4

44 1

RzR Cs

=+

.

Očigledno, impedanse z2 i z4 su određene kao ekvivalentne vrednosti paralelne

veze kondenzatora C i odgovarajućeg otpornika. Zatim oderdimo vrednosti

konturnih struja Ik1 i Ik2. Na osnovu drugog Kirhofovog zakona dobijamo

za konturu K1: 1 1 2 1 2 1( )k k kz I z I I E+ + =

za konturu K2: 2 1 2 3 4 2( ) ( )k k kz I I z z I E+ + + = 2

⎤

Уколико прегрупишемо одговарајуће чланове добијамо систем једначина

записан у матричном облику

1 2 2 1 1

2 2 3 4 2 2

k

k

z z z I Ez z z z I E

⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Vrednosti konturnih struja Ik1 i Ik2 izračunavamo primenom Kramerovog pravila

1

2

0

I3

E 2E1

R3

R1

C

C R2

Ik2

Ik1

I1

R4


1

1kDID

= , 22k

DID

=

Pri čemu su D1, D2, i D determinante

1 21

2 2 3 4

detE z

DE z z z⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

, 1 2 12

2 2

detz z E

Dz E

⎡ ⎤+⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦

i

. 1 2 2

2 2 3 4

detz z z

Dz z z z

⎡ ⎤+⎢ ⎥= ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

Nakon izračunavanja navedenih determinanti dobija se

[ ]1 2 3 4 1 2 21 ( ) ( ) ( )kI z z z E s z E sD

= + + −

[ ]2 2 1 1 2 21 ( ) ( ) ( )kI z E s z z E sD

= − + + .

Prikazano električno kolo možemo da posmatramo kao sistem sa dva ulaza i dva

izlaza. Ukoliko grupišemo rešenja u matričnu formu dobijamo

1 11 12 1

2 21 22 2

k

k

I G G EI G G E⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎤⎥⎥⎦

Pri tome su

2 3 411

( )z z zGD

+ += ; 2

12zG

D−

=

221

zGD

−= ; 1 2

22( )z zG

D+

= .

Prikazani elementi matrice zapravo predstavljaju funkcije prenosa između

pojedinih ulaza i izlaza sistema. Ovo je zapravo primer multivarijabilnog

sistema, odnosno sistema sa više ulaza i više izlaza. Primetimo da se u tom

slučaju svaka od funkcija prenosa dobija jednostavno ukoliko se pretpostavi da

su svi drugi ulazi jednaki nuli. U konkretnom slučaju G11 predstavlja odnos

kompleksnih likova konturne struje Ik1 i izvora elektromotorne sile E1

111

1

( )( )( )

kI sG sE s

= .

Primetimo, takodje, da se u imeniocu svake funkcije prenosa, za konkretni

sistem, pojavljuje isti polinom definisan matricom D. Upravo zbog toga ovaj

polinom se naziva karakteristični polinom sistema.


PRIMER 2.11: Одредити функцију преноса )()(

)(1

2

sVsV

sG = за електрично коло

приказано на слици 2.17.

Sl. 2.17 Električno kolo u obliku paralelnog T četvorokrajnika

РЕШЕЊЕ: Уколико усвојимо да су потенцијали чворова 1, 2, 3 и 4 у односу

на нулти чвор означени са V1, V2, V3 и V4 могуће је дефинисати струје кроз

сваку грану електричног кола.

RGVVG

RVVI 1 );( 31

311 =−=

−= (2.68)

);( 2323

21 VVGR

VVI −=−

= (2.69)

sCXVVsC

XVVI C

C

1 );( 4242

22 =−=−

= (2.70)

)( 4141

3 VVsCX

VVIC

−=−

= (2.71)

44

4 2

2

0 GVRVI =

−= (2.72)

32

35 20 CVs

XVI

C

=−

= (2.73)

Уколико се затим напишу једначине за чворове 2, 3 и 4 добијамо

02221 =− II (2.74)

05211 =−− III (2.75)


04223 =−+ III (2.76)

Имајући у виду једначине (2.68) – (2.76) добија се систем једначина

0)( 432 =−−+ sCVGVVsCG (2.77)

02)( 32331 =−−−− CVsGVGVGVGV (2.78)

02 44241 =−−+− GVsCVsCVsCVsCV (2.79)

При томе је позната само вредност улазног напона и параметара R и C.

Уколико прегрупишемо одговарајуће чланове добијамо систем једначина

записан у матричном облику

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−

−−+

1

1

4

3

2 0

)(200)(2

sCVGV

VVV

sCGsCsCGG

sCGsCG (2.80)

Непознати напон V2 се сада лако може израчунати применом Крамеровог

правила

DDV 2

2 = (2.81)

При чему су D2 и D детерминанте

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+−−

−−=

)(200)(2

0det

1

12

sCGsCVsCGGV

sCGD (2.82)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−

−−+=

)(200)(2det

sCGsCsCGG

sCGsCGD (2.83)

Након њиховог израчунавања и увођења смене

R

G 1 = (2.84)

добија се

122

22

2 14)(1)( V

RCssRCsRCV

+++

= (2.85)

односно функција преноса

14)(1)(

)()(

22

22

1

2

+++

=RCssRC

sRCsVsV . (2.86)

Documents

Laplasova transformacija