Lecture 4 3 장 : 계측기기의 성능 특성 : 정적 특성 I

Jeong Wan Lee

계측기기론

학습 내용 계측기기의 정적 특성

– Static Calibration– Accuracy, Precision, Bias– Component Errors in Overall Acuracy– Significant Figures ( 유효숫자 계산 )– Static Sensitivity– Linearity– Threshold, Hysteresis, Dead Space

계측기기의 성능 평가 방법

정적 특성 (Static characteristics) 느리게 변화하는 양을 측정하는 경우 중요한 기준 입출력간의 동적 절단함수는 고려치 않는다 . 건마찰 , 백래시 , hysterisis, static scatter 는 정적

성능으로 해석 동적 특성 (Dynamic characteristics)

빠르게 변화하는 양을 측정하는 경우 중요한 기준 측정기기의 입출력간의 동적 전달함수가 중요

측정기기의 성능 평가 두가지 성능을 동시에 고려하여 해석 .

정적특성 :Static Calibration 정적 성능을 평가할 때 기준이 되는 양을 정하는 과정

계측기를 검토하여 모든 가능한 input 들을 정의한다 . 특정한 calibration 에서 어떤 input 이 중요한지를 결정한다 . 계측기의 모든 interfering, modifying, desired input 중 결정된 input

을 제외한 나머지 input 은 일정한 상태를 유지시킨다 . 고려한 input 을 특정한 범위에서 변화 시킨 다음 , 그 특정한 값에

대한 output 의 변화의 관계를 구한다 . 예 ) 압력계의 압력 대 눈금 : 온도 , 대기압 진동 등의 제어

calibration 을 통하여 , 전체적인 계측기의 거동을 여러 input 과 output 의 결합의 관계로 표현할 수 있다 .

calibration 의 정밀도 : calibration 의 기준이 되는 계측기의 정밀도 보다 더 좋게 할 수는 없다 .

Accuracy, Precision, Bias

동일한 조건에서 반복 측정했을떄 , true 값과 measure 값의 오차

mean+3

-3측정량

accu

rac

y

-3 +3

precision

bias

Resolution ( 분해능 )계측기로 읽을수 있는 최소량

Accuracy ( 정밀도 )최대의 불확실성의 양

Precision ( 반복능 )치유 불가능한 random error

Bias (off-set) systematic error ( 치유 가능 )

동일 조건의 반복 측정

99.7% 평평 평평평평 평평

68%

95%

f(x)

22 2/)(

2

1)(

xexf

Probability density function

의미가 있으려면 random sequence 이어야 한다– Gaussian distribution 에 가까워야 한다 .

실제 측정이 사용되는 조건과 동일한 조건이어야 한다 .

– 예 : 압력계를 10kPa 에서의 반복 측정한 경우

Gaussian Distribution

Gaussian Distribution, cont...

F(x)

0.5

1dxxfxF

x

)()(

Comulative Probability

sample mean , standard deviation Sx

1

)(,

2

N

xxS

N

xx ii

2 Test (chi-square test): goodness-of-fit to Gaussian ftn– 기본 개념 : 만약 어떤 data 가 Gaussian 이면 ,

68% 의 data 가 평균과 +/- 평평평평평평평평평 95% 의 data 가 평균과 +/- 2 평평평평평평평평평 99.7% 의 data 가 평균과 +/- 3 평평평평평평평평평

이러한 생각의 정량적인 시험 방법

2 Test (chi-square test)

20

1

20 )(

i e

e

n

nn no : 어떤 group 의 표본 갯수 ,ne : Gaussian 분포일 때 , 이론적으로 그 group의 범위에 있어야 할 표본의 갯수

Group # 측정값의 범위 n_o n_e (n_o-n_e)^2/n_e1 -infinite ~ 10.03 5 5.66 0.0772 10.03 ~10.115 5 4.62 0.0313 10.115 ~ 10.215 6 5.18 0.1304 10.215 ~ +infinite 4 4.532 0.062

2=0.300

전제– 표본의 크기는 20 개보다 커야 하고 , 20<N<40 개의 크기인

경우에는 한 group 은 5 개 이상으로 한다 .예 ) 표본의 갯수가 20 개인경우 , 4 개의 group (5 개의 표본씩 )

2 값평 2 =

– 예 ) 평균이 10.11 이고 표준 편차가 0.14 인 다음과 같은 data

* P: data 가 Gaussian 일 확률* degree of freedom: group 의 수 -3* 위의 예의 경우 : chi-square 의 값이 0.300 이므로 , Gaussian 일 확률은 75% 와 95% 사이이다 .

Regression ( 회귀법 ): Curve Fitting

압력계의 calibration 의 예 : – true 압력과 눈금으로 표시된

압력의 plot

이 계측기의 특성은 1 차 함수이다 .

1 차 함수의 식

q_o: output quantityq_i: input quantity

m,b 를 구하는 식

true value

indicated value

bmqq io

22

2

22

)(

))(())((

,)(

))((

ii

ioiio

ii

oioi

qqN

qqqqqb

qqN

qqqqNm

Combination of Component Error in Overall Accuracy

여러 개의 component 가 결합하여 구성된 계측기의 경우 ,각각의 component 의 정밀도를 알고 있는 경우 전체의 정밀도는 어떻게 되는가 ?

측정량의 수학적 모델 ;– N: 측정량 , u_i: i 번째 component

전체 측정 오차 (By Taylor Series)

Absolute Error:

RMS Error: second order norm of component error– 일반적으로 Absolute Error > RMS Error

),,,( 21 nuuufN

)(),,,(

),,,(

2

22

1121

2211

Ou

fu

u

fu

u

fuuuuf

uuuuuufNN

nnn

nn

nna u

fu

u

fu

u

fuNE

2

21

1

Significant Figures (Rounding):유효 숫자

덧셈과 뺄셈 :– 연산의 결과는 가장 정밀도가 낮은 숫자의 단위보다 더 정확한

단위일 수 없다 .– 예

곱셈과 나눗셈– 연산의 결과는 가장 적은 유효 숫자의 개수보다 더 많을 수 없다 .

2.635 2.640.9 --------> 0.9 -----------> 5.79 -----> 5.81.52 1.520.7345 0.73

(1.2)(6.335)(0.0072)------------------------- ---> 0.174xxxx ---> 0.017 3.14159

Static Sensitivity

입력의 변화에 대하여 검출할 수 있는 능력의 정도– I/O calibration 을 했을때 , 1 차

함수인 경우에는 기울기에 해당– 1 차함수가 아닌 경우에는

입력의 값에 따라 다르다 .

Sensitivity 는 interfering input 에 의하여 변화 할수 있다 .– 예 ) 압력계의 경우 대기 온도의 변화

1) 눈금의 영점을 변화 시킬 수 있다 : zero drift2) 스프링 상수를 변화시킨다 : sensitivity drift

Linearity: 계측기 calibration curve 가 직선에 가까운 정도– 계산이 용이하고 , 제어시스템에연결되었을때 해석이 쉽다 .

inputoutput

Threshold, Hysteresis

Threshold: 출력의 변화를 감지할 수 있는 입력의 최소값

– 분해능과 밀접한 관계를 갖는다 .

Hysteresis: 입력의 변화하는 방향에 따라 출력이 다르게 나타나는 현상

– 가역적이지 않은 현상– 입력의 크기에 따라 특성이 다르다 .– 예 ) 건마찰 , 기어의 백래시 등

deadband