LEGGE di POISEUILLE

modello matematico per il flusso sanguigno

Lucia Pusillo

Dipartimento di Matematica dell Universita` di Genova,via Dodecaneso 35, 16146 Genova

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La legge di Poiseuille e` usata per descrivere un flusso di sangue

in un vaso sanguigno. Consideriamo un modello semplificato con le

seguenti ipotesi:

1) una porzione di arteria o di vena e` un cilindro perfetto di lunghezza

l e con sezione trasversale circolare di raggio R.

2) Il sangue scorre allinterno del vaso spinto da una differenza di

pressione P

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3) Come qualsiasi liquido, il sangue produce un attrito: la viscosita`,

che si oppone allo scorrimento, la indicheremo con e si misura in

poise = cm1gs1 (in onore di Poiseuille).

In questo modello si suppone la viscosita` e la densita` del sangue

costanti allinterno dellarteria o della vena.

Le pareti del vaso sanguigno esercitano una naturale pressione sul

fluido. In particolare la velocita` del sangue e` nulla vicino alle pareti,

mentre raggiunge il massimo al centro, lungo lasse del cilindro.

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4) La velocita` del fluido e` ovunque sufficientemente bassa, in modo

da mantenere il cosidetto flusso laminare, in cui tutte le particelle

si muovono nella stessa direzione, parallelamente allasse, con una

velocita` che diminuisce gradualmente, o in modo regolare, dal centro

verso le pareti della vena.

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Se e` violata lultima ipotesi, cioe` se la velocita` supera un certo valorecritico che dipende dalla viscosita` e dalle altre variabili del problema,il flusso diventa turbolento e il presente modello non vale piu`.Sotto queste ipotesi, Poiseuille provo` sperimentalmente la validita`della seguente relazione quadratica tra la velocita` v di una particelladi fluido e la distanza r dallasse del cilindro:

v(r) =P

4l(R2 r2).

dove r e la variabile indipendente, v e` la variabile dipendente,R, l,P

sono le costanti del modello.

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La funzione quadratica v(r) ha come dominio lintervallo [0, R] e come

immagine lintervallo [0, vmax] con vmax =P.R2

4gl . Che funzione rap-

presenta v?

Descrive bene il modello? cioe` descrive il fatto che la velocita` e` mas-

sima al centro del vaso sanguigno (r = 0) mentre la velocita` e` minima

e uguale a 0 lungo le pareti della vena?

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Studiamo ora un caso realistico: il flusso sanguigno allinterno di unavena di lunghezza l = 1cm. Supponiamo inoltre che R = 2mme P = 90dinecm2. Per quanto riguarda la viscosita`, il sanguearterioso ha una alta concentrazione di ossigeno O2 combinato conlemoglobina e, per questo, a una viscosita molto piu bassa del sanguevenoso, possiamo allora supporre = 0, 03. Lequazione data diventaallora:

v(r) =90

4 0.03 1(4.102 r2) = 30 750r2

Se r = 0.1 dal centro, il sangue scorre con velocita` v(r) = 22.5cms1

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Domande:

quale velocita` ha il sangue al centro dellarteria?

a quale distanza dal centro la velocita ha un valore di 5.7cms1.

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