ЭЛЕКТРОТЕХНИКАlib.madi.ru/fel/fel1/fel19M663.pdfдимость источника), уравнение (13) можно представить в виде: I = (Е −

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА ТЕОРИЯ, ЗАДАЧИ И ПРИМЕРЫ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Часть I. Электрические цепи

постоянного тока

ПРАКТИКУМ

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(МАДИ)

Кафедра «Электротехника и электрооборудование» Утверждаю Проректор по учебной работе доцент _____________ Л.Л. Зиманов «____» __________ 2019 г.



Часть I. Электрические цепи

постоянного тока

ПРАКТИКУМ

Под редакцией д-ра техн. наук, профессора В.Е. Ютта

МОСКВА МАДИ 2019

УДК 621.3:621.38 ББК 39.2:32.85

Э455

Авторский коллектив: Ютт В.Е., Морозов В.В., Логачев В.Н., Лайко Е.М., Сидоров К.М., Соколов Л.А.

Э455 Электротехника. Теория, задачи и примеры решения задач.

Ч. I. Электрические цепи постоянного тока: практикум / В.Е. Ютт [и др.]; под ред. д-ра техн. наук, проф. В.Е. Ютта. – М.: МАДИ, 2019. – 60 с.

Теоретический материал, изложенный в практикуме, приближен к практиче-ским задачам, которые выполняются в рамках расчетно-графических заданий са-мостоятельно. Примеры решения задач помогут легко усвоить материал, особен-но студентам заочной формы обучения.

Практикум предназначен для студентов очной и заочной форм обучения по неэлектрическим специальностям и является дополнением курса лекций «Элек-тротехника и электроника» по направлениям подготовки бакалавров 23501, 23502, 230302, 430301, 080301, 150301, 230301, 130303, 150302 и специалистов 230303, 090301, 150304.

УДК 621.3:621.38 ББК 39.2:32.85

© МАДИ, 2019

3

ВВЕДЕНИЕ

Настоящий практикум является дополнением к учебному посо-бию к лабораторно-практическим работам по курсу «Основы теории электрических цепей и электроники» (М., 2004), предназначенного для очной и заочной форм обучения.

Авторы стремились каждую задачу по электротехнике снабдить подробным решением и пояснением, что облегчает самостоятельную работу студентов, особенно заочной формы обучения.

В первой главе учебного пособия дается расчет электрических цепей постоянного тока, изложены основные определения и законы.

Для лучшего усвоения материала приведены примеры эквива-лентных схем источников электрической энергии, представлены при-меры расчета простейших электрических цепей, преобразования тре-угольника сопротивлений в эквивалентную звезду и наоборот.

Подробно, с приведением примеров решения задач, дается расчет сложных электрических цепей с помощью законов Кирхгофа, методом контурных токов, расчет баланса мощностей источников и приемников электрической энергии.

Особое внимание уделяется методам наложения, узлового на-пряжения (метод двух узлов), эквивалентного генератора (МЭГ).

В разделе «Нелинейные электрические цепи постоянного тока» приведены примеры нелинейных элементов электрических цепей и их вольт-амперные характеристики и сопротивления.

Изучение и усвоение приемов решения задач практикума требует от студентов необходимого уровня знания математики в объеме чи-таемых курсов этой дисциплины в вузе.

Практикум поможет усваивать приемы решения задач по элек-тротехнике не только студентам, изучающим эти науки, но инженерам и специалистам, работающим в разных отраслях промышленного производства.

4

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЗАКОНЫ

Электрическим током называется упорядоченное направленное движение электрических зарядов.

Сила тока (i) численно равна заряду (dq),проходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени. I = dq/dt, А; (1)

1 А = 1 Кл/1 с. Если сила тока не изменяется с течением времени, то такой ток

называется постоянным. Сила тока в таком случае обозначается I:

I = Q/t, А. (2) За положительное направление силы тока принимается на-

правление движения положительных зарядов.

Закон Ома

На участке проводника длиной Lав, ограниченном сечениями «а» и «в», величина силы тока L, направленная от сечения с большим по-тенциалом (ϕа) к сечению с меньшим потенциалом (ϕв), прямо про-порциональна разности потенциалов (ϕа − ϕв) и обратно пропорцио-нальна сопротивлению (R) этого участка: I = (ϕа − ϕв)/R = Uaв/R, (3) где R – сопротивление проводника, Ом; (ϕа − ϕв) = Uaв – разность по-тенциалов, которая называется напряжением, В.

В сопротивлениях направление напряжения совпадает с на-правлением тока.

Сопротивление однородного проводника постоянного сечения определяется по формуле: R = р·L/s, (4) где р – удельное сопротивление материала проводника, Ом·м; I – длина проводника, м; s – площадь поперечного сечения, м2.

5

Часто при электротехнических расчётах пользуются понятием проводимости (g), которая определяется величиной, обратной сопро-тивлению: g = 1/R, См. (5)

Проводимость измеряется в сименсах, См. С использованием проводимости закон Ома запишется:

I = U·g. (6) Согласно закону Джоуля-Ленца, при протекании электрического

тока (I) по сопротивлению (R) в последнем за время (t) выделяется энергия в виде тепла (А): А = I2·R·t, Дж. (7)

Мощность (Р), выделяющаяся в сопротивлении (R): Р = UI = l2R = U2g. (8)

Мощность электрического тока измеряется в Ваттах (Вт), работа в Джоулях [Дж].

Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

1

0.n

kk

I=

=∑ (9)

Этот закон является следствием того факта, что в узлах элек-трической цепи не происходит накапливание зарядов. Для того чтобы написать уравнение по первому закону Кирхгофа для какого- либо узла (рис. 1), необходимо выбрать направление токов в ветвях, сходящихся в этом узле. Токи, направленные к узлу, записываются в уравнении со знаком «+», а направленные от узла – со знаком «−».

Рис. 1

I3

6

Для узла, показанного на рис. 1, по первому закону Кирхгофа уравнение выглядит: −I1 + I2 + I3 − I4 + I5 = 0. (10)

Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма на-пряжений и падений напряжений на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил (ЭДС) источников этого контура.

В общем виде для произвольного контура уравнение по второму закону Кирхгофа:

1 1

.pn

k k mk m

I R E= =

⋅ =∑ ∑ (11)

Для того чтобы записать уравнение по второму закону Кирхгофа для выбранного контура (рис. 2), необходимо задаться направлениями токов в ветвях этого контура, а также выбрать направление обхода этого контура.

Рис. 2

После этого в левой части уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа, со знаком «+» записываются произведения токов, направление которых совпадает с направлением обхода контура, на сопротивление тех же ветвей, т.е. падения напряжения

Uk = Ik·Rk, а со знаком «−» – падения напряжения, не совпадающие с направле-нием обхода контура. В правой части уравнения записывается алгеб-раическая сумма ЭДС, входящих в этот контур, причём ЭДС, совпа-дающие с направлением обхода, входят в уравнение со знаком «+», а направленные против выбранного направления обхода контура – со знаком «−».

7

Для контура, приведённого на рис. 2, уравнение по 2-му закону Кирхгофа запишется следующим образом: I1R1 + I2R2 − I3R3 − I4R4 = Е1 + Е2 − Е3 + Е4. (12)

Рассмотренные три закона – закон Ома и законы Кирхгофа – являются основными законами, на основе которых построены все ме-тоды расчёта линейных электрических цепей.

2. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ИСТОЧНИКОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Реальные источники электрической энергии обладают вполне определённой зависимостью между напряжением и силой тока (вольт-амперная характеристика).

Вольт-амперная характеристика является основной характери-стикой любого источника электрической энергии и в общем случае представляет собой некоторую кривую в координатах U–I (рис. 3).

Однако довольно часто вольт-амперная характеристика источ-ника практически прямолинейна, т.е. имеет вид, показанный на рис. 4 (линия 1).

Рис. 3 Рис. 4

Такая характеристика пересекает координатные оси в двух точ-ках (Е, 0) и (0, Iкз), и её уравнение имеет вид: U = Е − Rвн·I, (13) где Rвн – внутреннее сопротивление источника.

Если источник энергии работает в режиме, при котором его сила тока равна нулю (такой режим называется режимом холостого хода), то напряжение на его зажимах будет численно равно ЭДС (Uxx = E).

Режим, при котором напряжение на зажимах источника равно нулю, называется режимом короткого замыкания. Из уравнения (13) следует, что в этом случае сила тока источника приобретает макси-мальное значение и равна:

8

I = Imax = Iкз = E/Rвн. (14) Используя понятие проводимости gвн = 1/Rвн (внутренняя прово-

димость источника), уравнение (13) можно представить в виде: I = (Е − U)/Rвн = (Е − U)·gвн = Iкз − U·gвн. (15)

В соответствии с уравнениями (13) и (15) можно составить экви-валентные схемы реального источника энергии, используя понятия источника ЭДС и источника тока.

Величина напряжения идеального источника ЭДС не зависит от силы тока, т.е. его вольт-амперная характеристика представляет собой прямую линию, проходящую параллельно оси тока (рис. 4, линия 2).

Схема замещения реального источника энергии, согласно урав-нению (13), имеет вид, приведенный на рис. 5.

В соответствии с уравнениями (15) можно составить другую схему замещения реального источника, показанную на рис. 6. В этой схеме применяется идеализированный источник тока, сила тока кото-рого не зависит от напряжения.

Рис. 5 Рис. 6

Вольт-амперная характеристика источника тока представляет собой линию, параллельную оси напряжения (рис. 4, линия 3). Для того чтобы вольт-амперные характеристики источников энергии, собранных по схемам (рис. 5 и 6),были одинаковы, параметры этих источников должны удовлетворять условиям: Rвн = 1/gвн; Iкз = E/Rвн = E·gвн; Е = Iкз·Rвн = Iкз/gвн. (16)

При соблюдении этих условий источники энергии (рис. 5 и 6) бу-дут эквивалентны в расчётном смысле относительно внешней цепи.

Мощность, отдаваемая источником ЭДС, равна: Рe = Е·I. (17)

Мощность источника тока определяется по формуле: Pi = U·Iкз. (18)

U

9

Поэтому мощности, выделяемые источником тока и источником ЭДС при работе источников электрической энергии, собранных по схемам (рис. 5 и 6) в одном и том же режиме, не будут одинаковы.

3. РАСЧЁТ ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

При решении многих задач, в которых известны сопротивления всех резисторов и ЭДС всех источников, а также их схема соединения, целесообразно для определения токов во всех элементах производить упрощение схемы соединений. Упрощение заключается в замене за-данной схемы на эквивалентную путём уменьшения количества вхо-дящих в неё элементов.

Последовательным называется такое соединение, когда конец предыдущего элемента соединяется с началом последующего, и сила тока во всех последовательно соединённых элементах одна и та же (рис. 7).

Рис. 7

Входящие в электрическую цепь резисторы R1, R2, ..., Rn можно заменить на один Rэкв, причём полученная цепь будет эквивалентна предыдущей, если сопротивление Rэкв определяется по формуле:

Rэкв = R1 + R2 + R3 + … + Rn = 1

.n

ii

R=∑ (19)

То есть общее сопротивление последовательно соединённых резисторов равно сумме сопротивлений отдельных элементов.

Параллельным соединением резисторов называется соедине-ние, при котором начала всех резисторов соединены в одном узле, а концы – в другом (рис. 8).

Параллельное соединение «n» резисторов также может быть заменено одним эквивалентным при условии, что величина эквива-лентного сопротивления Rэкв определяется по формуле:

10

экв 1 2

1 1 1 1

nR R R R= + +…+ (20)

или, переходя к проводимостям элементов, получим:

gэкв = g1 + g2 + … + gn = 1

.n

ii

g=∑ (21)

Рис. 8

То есть общая проводимость параллельно соединённых резисто-ров равна сумме проводимостей каждой из ветвей электрической цепи.

Большое практическое значение имеет случай параллельного соединения двух резисторов с сопротивлением R1 и R2. Эквивалентное сопротивление такого соединения определяется по формуле:

1 2экв

1 2

.R RRR R

⋅=

+ (22)

4. РАСЧЁТ СМЕШАННОГО СОЕДИНЕНИЯ РЕЗИСТОРОВ

В электрических схемах наиболее часто приходится иметь дело со смешанным соединением резисторов, т.е. когда два параллельно соединённых резистора последовательно соединяются с третьим. Схема такого соединения приведена на рис. 9.

Для определения общего сопротивления этого соединения сна-чала находим общее сопротивление параллельно соединённых рези-сторов R2 и R3 (согласно формуле (22)):

2 323

2 3

,R RRR R

⋅+

=

а так как оно последовательно соединено с резистором R1 (рис. 10), то общее сопротивление всей схемы

Rэкв

Iu

11

2 3общ 1

2 3

.R RR RR R

⋅= +

+

Если известно напряжение на входе схемы и требуется найти токи в ветвях I1, l2, I3, то, зная общее сопротивление, по закону Ома находим ток (рис. 11):

I = U/Rобщ.

Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11

Возвращаясь от схемы (рис. 11) к схеме (рис. 10), отмечаем, что общее сопротивление (Roбщ) эквивалентно двум последовательным резисторам R1 и R23, а следовательно: I = I1 = I23.

Зная ток I23, падение напряжения на сопротивлении R23 будет (рис. 10)

U23 = I23·R23 или U23 = 2 31

2 3

,R R IR R

⋅⋅

+

а переходя от схемы (рис. 10) к исходной (рис. 9), нетрудно найти токи I2 и I3:

23 3 32 23

2 2 3 2 3

;U R RI I IR R R R R

= = = ⋅+ +

23 3 23 23

3 2 3 2 3

.U R RI I IR R R R R

= = = ⋅+ +

Проверка правильности выполненного расчёта может быть про-изведена на основании уравнений, записанных по первому и второму законам Кирхгофа:

I1 = I2 + I3; U = R1·I1 + R2·I2 = R1·I1 + R3·I3.

Rобщ

12

5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА СОПРОТИВЛЕНИЙ

В ЭКВИВАЛЕНТНУЮ ЗВЕЗДУ И НАОБОРОТ

Решение некоторых задач значительно упрощается, если ис-пользовать эквивалентное преобразование треугольника сопротив-лений в звезду или наоборот – звезды сопротивлений в треугольник.

Часть электрической цепи, состоящая из трёх сопротивлений и образующая замкнутый контур, называется соединением треугольни-ком (рис. 12).

Три сопротивления, сходящиеся в одной точке, называются со-единёнными звездой (рис. 13).

I3 I2Y

Рис. 12 Рис. 13

Как звезда, так и треугольник включаются в электрическую цепь тремя точками (1, 2, 3) и могут замещать друг друга (на рис. 12 и 13 показано пунктиром).

Эквивалентность преобразования звезды в треугольник и на-оборот предполагает, что токи в узлах 1, 2, 3 и напряжения между ними до и после преобразования должны остаться неизменными, т.е.

I1Y = I1Δ; I2Y = I2Δ; I3Y = I3Δ; U12Y = U12Δ; U23Y = U23Δ; U31Y = U31Δ.

Эти условия выполняются, если использовать известные фор-мулы преобразования:

12 31

12 23 311 ;R R

R RR

R+ +=

13

23 12

12 23 311 ;R R

R R RR =

31 23

12 23 311 .R R

R R RR = (23)

12 1 21 2

3

;RR

R R RR= + +

23 2 32 3

1

;RR

R R RR= + +

31 3 13 1

2

.RR

R R RR= + + (24)

Если треугольник симметричный, т.е. R12 = R23 = R31, то сопро-тивление будет

;3YR RΔ= (25)

RΔ = 3·RY, (26) где RY – сопротивление луча симметричной звезды; RΔ – сопротивле-ние стороны симметричного треугольника.

Задача 1. Определить токи в сопротивлениях схемы (рис. 14) и показания вольтметра.

R1 = R2 = 5 Ом; R3 = R5 = 10 Ом; R4 = R6 = R7 = 5 Ом. Напряжение на входе U = 240 В.

Рис. 14

+

−

U

14

Решение. Непосредственно определить токи в ветвях схемы невозможно, так как неизвестно распределение напряжения на её от-дельных участках. Поэтому путём постепенного упрощения схемы (с учётом того, что сопротивление вольтметра RV = ∞) найдём эквива-лентное сопротивление схемы.

Сопротивления R6 и R7 соединены последовательно, следова-тельно, согласно (18), их можно заменить на эквивалентное R67.

R67 = R6 + R7 = 5 + 5 = 10 Ом. Вместо исходной схемы (рис. 14) получаем эквивалентную (рис. 15).

Рис. 15

В полученной схеме (рис. 15) сопротивления R5 и R67 включены параллельно, следовательно, согласно формуле (19) или в данном случае формуле (21), их эквивалентное сопротивление R567 опреде-ляется как

5 67567

5 67

10 10 5 Ом,10 10

R RRR R+

⋅= = =

+

а схема (рис. 15) может быть заменена на схему (рис. 16).

Рис. 16

Анализируя получающиеся схемы, аналогичным образом опре-деляем эквивалентное сопротивление исходной схемы.

R67

15

R567 и R4 соединены последовательно (рис. 16): R4-7 = R4 + R567 = 5 + 5 = 10 Ом.

R4-7 и R3 соединены последовательно (рис. 17): 3 4-7

3-73 4-7

.R RRR R

⋅=

+

R1, R3-7 и R2 соединены последовательно (рис. 18), поэтому: Rэкв = R1 + R2 + R3-7 = 0,5 + 0,5 + 5 = 6 Ом.

Ток источника электрической энергии, потребляемый схемой, определяем по закону Ома:

экв

240 40 А.6

UIR

= = =

Последовательно осуществляя переход от конечной схемы (рис. 19) к первоначальной схеме (рис. 14), определяем токи во всех сопротивлениях.

Так, например, анализируя схемы (рис. 19 и 18), приходим к вы-воду, что токи I1 = I2 = I3-7 = I, поскольку сопротивления R1, R2 и R3-7 со-единены последовательно.

Сопротивление R3-7, согласно рис. 17, представляет два парал-лельно соединённых R3 и R4-7.

Рис. 17


Поэтому определим напряжение 3 4-7

ав 3-7 3-7 3-73 4-7

.R RU I R IR R

⋅= ⋅ =

+

R4-7

16

Токи в параллельных ветвях R3 и R4-7: ав 3 4-7 4-7

3 3-7 3-73 3 4-7 3 3 4-7

1 1040 20 A;20

U R R RI I IR R R R R R

⋅= = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

+ +

ав 3 4-7 3-74-7 3-7 3-7

4-7 3 4-7 4-7 3 4-7

1 1040 20 A.20

U R R RI I IR R R R R R

⋅= = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

+ +

Сопротивление R4-7 (рис. 17) – эквивалентно двум последова-тельно соединённым R4 и R567 (рис. 16), следовательно,

I4-7 = I567 = I4 = 20 А. Из рис. 16 и 15 следует, что R567 – эквивалентное сопротивление

параллельно соединённых R5 и R67. Поэтому 67

5 5675 67

1020 10 А;10 10

RI IR R

= = ⋅ =+ +

567 567

3 67

1020 10 А.10 10

RI IR R

= = ⋅ =+ +

Из рис. 15 и 14: R67 – последовательное соединение R6 и R7. Следовательно, l6 = l7 = I67 = 10 А.

Показания вольтметра определим из решения уравнения, со-ставленного по второму закону Кирхгофа для любого контура, вклю-чающего вольтметр.

Например, для контура 1-2-3-V: l7·R7 + U·R − UV = 0;

UV = l7·R7 + l4·R4 = 10·5 + 20·5 = 150 B. В качестве проверки правильности решения задачи составим

уравнение для контура, включающего источник питания U: I1·R1 + l6·R6 + UV + I2·R2 − U = 0;

UV = U − I1·R1 − l6·R6 − l2·R2 = 240 − 40·0,5 − 10·5 − 40·0,5 = 150 В. Показания вольтметра в обоих случаях одинаковые, следова-

тельно, задача решена верно. Задача 2. В схеме неуравновешенного моста (рис. 20) опреде-

лить токи во всех ветвях схемы, если R1 = 20 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = 5 Ом; R4 = 30 Ом; R5 = 50 Ом; U = 1,6 В.

Решение. В этой цепи можно различить два треугольника(R1R5R4 и R2R3R5) и две звезды (R1, R5, R2 и R4, R5, R3).

Для решения этой цепи по законам Кирхгофа пришлось бы со-ставлять и решать систему из шести уравнений с шестью неизвест-

17

ными. В то же время решение значительно упрощается, если тре-угольник АВД заменить эквивалентной звездой (пунктир на рис. 20).

При этом получится цепь со смешанным соединением сопро-тивлений, которая легко решается с помощью закона Ома (рис. 21).


Сопротивления эквивалентной звезды RA, RB, RД, согласно фор-муле (22), равны

1 4A

1 4 5

20 30 6 Ом;20 30 50

R RRR R R

⋅ ⋅= = =

+ + + +

1 5B

1 4 5

20 50 10 Ом;20 30 50

R RRR R R

⋅ ⋅= = =

+ + + +

5 4Д

1 4 5

50 30 15 Ом.20 30 50

R RRR R R

⋅ ⋅= = =

+ + + +

Сопротивления RB и R2 соединены последовательно, поэтому R2B = R2 + RB = 10 + 10 = 20 Ом.

Аналогично R3Д = R3 + RС = 5 + 15 = 20 Ом.

Сопротивления R2B и R3Д соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление ROC:

2B 3СOC

2В 3С

20 20 10 Ом.20 20

R RR

R R⋅ ⋅

= = =+ +

Сопротивление всей цепи

экв АС A ОСR R R R= = + = 6 + 10 = 16 Ом.

А С

В

Д

В

С

18

Ток цепи

экв

1,6 0,1 А.16

UIR

= = =

Напряжение ОС ОС 0,1 10 1В.U I R= ⋅ = ⋅ =

Токи

ОС ОС2 3

зд зд

1 10,05 А; 0,05 А.20 20

U UI IR R

= = = = = =

Для определения токов I1, I4, l5 необходимо вернуться к исходной схеме (рис. 20) и по второму закону Кирхгофа записать уравнение для контура ВСД:

I2·R2 − I3·R3 − I5·R5 = 0; 0,05·10 − 0,05·5 = 50·I5.

Откуда

50,5 0,25 0,005 А.

50I −= =

По первому закону Кирхгофа для узлов: B: I1 = I2 + I5 = 0,05 + 0,005 = 0,055 А;

C: I5 + I4 = I3; I4 = I3 − I5 = 0,05 − 0,005 = 0,045 А.

6. РАСЧЁТ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

В данном параграфе рассматриваются некоторые, наиболее часто применяемые методы расчёта сложных электрических цепей, которые не могут быть сведены простыми преобразованиями к сме-шанным соединениям.

Обычно задача формулируется следующим образом: известна схема соединения элементов цепи, содержащей «В» – ветвей, «У» – узлов и «К» – независимых контуров, известны сопротивления всех резисторов и ЭДС всех источников энергии. Требуется найти силу тока во всех цепях.

6.1. Расчёт с помощью законов Кирхгофа

Пусть задана электрическая цепь, схема которой показана на рис. 22.

19

Рис. 22

В общем случае, если имеется «В» неизвестных токов в ветвях, необходимо составить систему из «В» независимых уравнений и ре-шить её.

По первому закону Кирхгофа можно составить «У − 1» незави-симых уравнений, остальные недостающие В − (У + 1) = К уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для любых линейно неза-висимых контуров.

Последовательность составления уравнений, как уже отмеча-лось выше, следующая:

а) назначаем (произвольно) положительные направления токов во всех ветвях схемы и указываем их стрелками;

б) выбираем систему линейно независимых контуров и положи-тельные направления их обхода;

в) составляем систему уравнений по законам Кирхгофа. Для схемы (рис. 22) получим У − 1 = 2 − 1 = 1 – количество неза-

висимых уравнений, которые могут быть записаны по первому закону Кирхгофа.

К = В − (У − 1) = 3 − 2 + 1 = 2 – количество уравнений, которые необходимо записать по второму закону Кирхгофа:

1 2 3

1 1 2 2 1 2

2 2 3 3 2 3

0 (для узла ); ;.

I I I aR I R I E ER I R I E E

+ + =⎧⎪ − = −⎨⎪ − = −⎩

Для внутренних контуров схемы (типа «ячеек») направления об-хода обозначены стрелками на рис. 22.

Решив полученную систему линейных уравнений относительно I1, I2, I3, найдём искомые токи в ветвях.

20

Если какие-либо токи получатся отрицательными, то это озна-чает, что действительное направление токов в этих ветвях противо-положно выбранному первоначально (обратное направление стрелки).

6.2. Метод контурных токов

Для упрощения решения задачи путём сокращения количества уравнений, входящих в полученную систему, целесообразно исполь-зовать метод контурных токов.

Этот метод основан на предположении, что в каждом линейно независимом контуре течёт свой «контурный» ток (рис. 23).

Рис. 23

Ток первого контура обозначим I11, а второго I22. Анализ схемы (рис. 23) показывает, что в контурах имеются два типа ветвей: ветви «1» и «3» принадлежат только первому и второму контурам соот-ветственно (собственные ветви), а ветвь «2» принадлежит и перво-му, и второму контурам одновременно (совместная ветвь). Поэтому I11 = I2, l22 = −l3, a l2 = I11 + I22. Знаки контурных токов выбираются из сопоставления их направлений с выбранными направлениями токов в ветвях. Если направление контурного тока (например, I11) совпа-дает с направлением тока в первой ветви I1, то I1 = I11; если не сов-падают (I3 и I22), то l3 = −I22.

Таким образом, для того чтобы определить неизвестные токи в ветвях, достаточно определить контурные токи.

Для нахождения контурных токов составим уравнения по второму закону Кирхгофа:

– для первого контура R1I11 + R2l11 − R2I22 = E1 − Е2; l11(R1 + R2) − R2I22 = E1 − E2;

R1

E1

R3

E3

I1 I3

21

– для второго контура l22R3 + l22R2 − I11R2 = −Е3 + E2; −I11R2 + l22(R3 + R2) = E2 − E3.

Обозначив E1 − E2 = Е11 и E2 − E3 = E22 (контурные ЭДС), R1 + R2 = R11 и R2 + R3 = R22 (собственные сопротивления контуров), получим

11 11 2 22 11

2 11 22 22 22

;.

R I R I ER I R l E

− =⎧⎨− + =⎩

(27)

Если совместное сопротивление R2 обозначить в первом урав-нении системы (26) – R2 = R12, а во втором – R2 = R21, то система уравнений (26) получит вид:

11 1 12 22 11

21 11 2 22 22

;.

R I R I ЕR I R l E

+ =⎧⎨ + =⎩

(28)

Следует отметить, что знак совместного сопротивления в сис-теме (28) зависит от выбранных направлений контурных токов. Если контурные токи направлены в одну сторону (как в нашем примере – по часовой стрелке), то берётся знак минус (R12 = −R2; R21 = −R2), если в разные – то знак плюс.

В общем случае для схемы, содержащей «n» независимых кон-туров, система уравнений метода контурных токов запишется сле-дующим образом:

11 11 12 12 1 11

21 11 22 22 2 22

П1 11 П2 22

;;

n nn

n nn

nn nn nn

R I R I R I ER I R I R I E

R I R I R I E

+ +…+ =⎧⎪ + +…+ =⎪⎨……………………………………⎪⎪ + +…+ =⎩

(29)

Используя метод определителей, общее решение системы уравнений (29) относительно контурного тока lкк будет иметь вид:

к1 к2 ккк 11 22 ,n

nnI E E EΔ Δ Δ= ⋅ + ⋅ +…+ ⋅

Δ Δ Δ (30)

где к = 1...n; Δ – главный определитель системы (29).

∆ =

11 12 1

21 22 2

1 2

,

n

n

n n nn

R R RR R R

R R R

……

… … … ……

(31)

22

Δкm – алгебраическое дополнение (минор) определителя Δ, который получается из (29) путём вычёркивания к-й строки и m-го столбца и умножения полученного на (−1)(к+m).

Пример. Определить токи в ветвях схемы (рис. 24) методом контурных токов, если

Е1 = 100 В, Е2 = 80 В, R1 = 1 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 3 Ом, R4 = R5 = R6 = 5 Ом.

В исследуемой цепи – шесть ветвей и три независимых контура (типа ячеек).

Произвольно выбираем направления токов (рис. 24). Уравнения метода контурных токов при трёх неизвестных имеют вид:

11 11 12 22 13 33 11

21 11 22 22 23 33 22

31 11 32 22 33 33 33

;;.

R I R I R I ER I R I R I ER I R I R I E

⋅ + ⋅ + ⋅ =⎧⎪ ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎨⎪ ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎩

(32)

Рис. 24

Подставляя числовые значения, находим: 1. Собственные сопротивления контуров:

R11 = R1 + R3 + R4 = 9 Ом; R22 = R3 + R2 + R5 = 10 Ом; R33 = R4 + R5 + R6 = 15 Ом.

2. Совместные сопротивления контуров: R12 = R21 = −R3 = −3 Ом; R13 = R31 = −R4 = −5 Ом; R23 = R32 = −R5 = −5 Ом.

R2

E2

I1 I2

23

Совместное сопротивление двух контуров входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных токов, проходящих по этому сопротивлению, встречны, и со знаком плюс, если направления этих токов согласны.

3. Контурные ЭДС: Е11 = Е1 = 100 В; Е22 = −Е2 = −80 В;

Е33 = 0. С учётом найденных значений система уравнений (31) примет вид:

11 22 33

11 22 33

11 22 33

9 3 5 100;3 10 5 80;5 5 15 0.

I I II I II I I

− − =⎧⎪− + − = −⎨⎪− − + =⎩

∆ = 9 3 5

3 10 55 5 15

− −− −− −

= (9·10·15 + (−3)·(−5)·(−5) + (−3)·(−5)·(−5)) −

− ((−5)·(10)·(−5) + (−3)·(−3)·(15) + (−5)·(−5)·(9)) = 590;

Δ11 = 10 5

5 15

−−

= 10·15 − (5)·(−5) = 125;

∆12 = 3 5

5 15− −−

= (-3)·15 − (5)·(−5) = −70;

∆13 = 3 10

5 5−− −

= (−3)·(−5) − (−5)·10 = 65;

1311 1212 11 22 12

125 70 35100 ( 80) 0 11,6 А;590 590 590

I E E EΔΔ Δ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Δ Δ Δ

= + ⋅ =

=

⋅ + ⋅ −

∆21 = 3 5

5 15− −−

= (−3)·15 − (−5)·(−5) = −70;

∆22 = 9 5

5 15

−−

= 9·15 − (−5)·(−5) = 110;

∆23 = 9 5

5 5

−− −

= 9·(−5) − (−5)·(−5) = −60;

24

2321 2222 11 22 33

70 110 60100 ( 80) 0 3,05 А;590 590 590

I E E EΔΔ Δ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Δ Δ Δ−

= ⋅ + ⋅ − + ⋅ = −

=

∆31 = 10 5− = (−3)·(−5) − (−5)·10 = 65;

∆32 = 9 5

3 5

−− −

= 9·(−5) − (−3)·(−5) = −60;

∆33 = 9 3

3 10

−−

= 9·10 − (−3)·(−3) = 81;

3 1 3 2 2 331 32 23

33 11 22 22( 1) ( 1) ( 1)

65 60 81100 ( 80) 0 2,88 .590 590 590

I E E E

A

+ + +Δ ⋅ − Δ ⋅ − Δ ⋅ −= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Δ Δ Δ

= ⋅ + ⋅ − + ⋅ =

Найденные контурные токи позволяют определить искомые токи в ветвях:

I1 = I11 = 11,6 A; l2 = I22 = −3,05 А; l6 = I33 = 2,88 А;

l3 = I11 − I22 = 11,6 − (−3,05) = 14,65 А; I4 = I11 − I33 = 11,6 − 2,88 = 8,72 А;

l5 = I33 − I22 = 2,88 − (−3,05) = 5,93 А. Ток I2 получился отрицательным. Это значит, что его действи-

тельное направление в ветви противоположно выбранному.

6.3. Баланс мощностей источников и приёмников электрической энергии

При протекании электрического тока по сопротивлениям в них по закону Джоуля-Ленца выделяется энергия в виде тепла. Мощность выделяемой энергии может быть вычислена по формуле: Р = R·I2 = g·U2. (33)

В тепло преобразуется энергия, выделяемая источниками элек-трической энергии. Мощность источника ЭДС вычисляется по формуле Рист = Е·I. (34)

Согласно закону сохранения энергии, алгебраическая сумма мощностей, выделяемых всеми источниками энергии в цепи, равна

25

сумме мощностей, потребляемых сопротивлениями цепи (поскольку рассматривается один и тот же промежуток времени): 2 .E I IR∑ ⋅ = ⋅∑ (35)

Равенство (35) называется мощностным балансом электриче-ской цепи. Это уравнение применяют для проверки правильности расчёта распределения токов в электрических цепях.

При составлении уравнения мощностного баланса электрической цепи следует учитывать, что мощность источника ЭДС положительна, если его ток совпадает по направлению с ЭДС, и отрицательна, если направления противоположны.

Пример. Составить баланс мощностей для предыдущего при-мера (рис. 24).

Определяем мощность источников ΣЕ·I = E1·I1 + Е2·I2 = 11,6·100 + 3,05·80 = 1404 Вт.

В состав суммы произведение Eк·Iк входит со знаком плюс, если направления ЭДС источника и тока совпадают (как в рассматриваемом примере), и со знаком минус, если направления не совпадают.

Мощность приёмников: 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6I R I R I R I R I R I R I R∑ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= 11,62·1 + 3,052·2 + 14,652·3 + 8,722·5 + 5,932·5 + 2,882·5 = 1400 Вт. Баланс мощностей:

ист потр;P P∑ = ∑

1404 = 1400. В расчётах допускается погрешность 5%.

1404 1400 0,00286, т.е. 0,286% 5%.1404−

δ = = δ = <

Задача решена верно.

6.4. Метод наложения

Принцип наложения в линейных электрических цепях заключа-ется в том, что ток в любой ветви электрической цепи, содержащей несколько источников ЭДС, можно рассматривать как алгебраическую сумму токов, протекающих в этой ветви под действием каждой ЭДС в отдельности.

26

Справедливость этого принципа вытекает из уравнения для контурного тока – см. формулу (30).

Расчёт сложной электрической цепи, содержащей несколько ис-точников электрической энергии, методом наложения сводится к расчёту нескольких цепей с одним источником питания, т.е. из исходной элек-трической цепи поочерёдно удаляются все источники ЭДС, кроме одно-го, причём внутренние сопротивления удалённых источников оставляют в схеме. Затем определяются токи в ветвях полученных таким образом схем. После этого токи в ветвях исходной схемы определяют как алгеб-раические суммы токов в соответствующих ветвях упрощённых схем.

Пример. Определить токи в ветвях цепи (рис. 25), если: E1 = 126 В; Е2 = 106 В; rвн1 = 1 Ом; rвн2 = 5 Ом; R1 = 2 Ом; R3 = 20 Ом.

Рис. 25

Решение. Составим схему замещения исходной электрической цепи (рис. 25), заменив реальные источники электрической энергии на идеальные источники ЭДС и их внутренние сопротивления (рис. 26).

Рис. 26

1. Удалим из полученной схемы Е2 (т.е. примем, что Е2 = 0), тогда схема (рис. 26) примет вид, показанный на рис. 27.

rвн2

E2

rвн2

E2

27

Нетрудно увидеть, что мы получили обычное смешанное соеди-нение, т.е. R3 и rвн2 – соединены параллельно, a R и rвн1 – последова-тельно. Таким образом, эквивалентное сопротивление (Rэкв) всей цепи определяем как:

3 вн2экв 1 вн1

3 вн2

20 5 2 1 7 Ом.20 5

R rR R rR r

⋅′ = + + = + + =+ +

Ток в первой ветви (рис. 28) 1

1экв

126 18 А.7

EIR

′ = = =′


Учитывая, что R3 и rвн1 соединены параллельно, определим токи в остальных ветвях:

32 1

3 2

2018 14,4 А;20 5вн

RI IR r

′ ′= ⋅ = ⋅ =+ +

вн23 1

3 вн3

518 3,6 А.20 5

rI IR r

′ ′= ⋅ = ⋅ =+ +

Примечание. Направление токов (l1, l2, I3) в исходной схеме (рис. 26) можно выбирать произвольно (это справедливо для схем, имеющих два и более источников электрической энергии), но в схе-мах, имеющих только один источник ЭДС (например, рис. 27), на-правления токов в ветвях 1 2 3( , , )I I I′ ′ ′ определяются направлением действия этой ЭДС, т.е. внутри источника ЭДС ток совпадает с на-правлением действия ЭДС (протекает от минуса к плюсу, например ток I'), а во внешней цепи от плюса к его минусу (токи 2 3, ).I I′ ′

2. Полагая E1 = 0, исходная схема (рис. 26) примет вид, пока-занный на рис. 29.

rвн1

R1

rвн1

1I′

28

Полученная схема (рис. 29) также представляет собой обычное смешанное соединение, но только теперь R3 соединено параллельно с сопротивлением (R1 + rвн1). Определим токи в ветвях 1 2 3( , , )I I I′′ ′′ ′′ анало-гично решению схемы (рис. 27). Эквивалентное сопротивление цепи:

3 1 вн1экв вн2

3 1 вн1

( 20 (2 1) 5 7,61 Ом;20 2 1

)R R rR rR R r

⋅ + ⋅ +′′ = + = + =+ + + +

ток во второй ветви (рис. 30): 2

2экв

106 13,95 A;7,61

EIR

′′ = = =′′

1 вн13 2

1 вн1 3

2 113,95 1,82 A;2 1 20

R rI IR r R

+ +′ ′= ⋅ = ⋅ =+ + + +

31 2

1 вн1 3

2013,95 12,13 A.20 1 20

RI IR r R

′′ ′′= ⋅ = ⋅ =+ + + +


3. Определив токи в ветвях от каждого из источников ЭДС в от-дельности, определяем токи в ветвях исходной схемы (рис. 26).

При составлении уравнения для определения токов в исходной схеме необходимо учитывать направления токов, т.е. сопоставлять направление тока в ветви исходной схемы (рис. 26) и направление тока в этой ветви от каждого из источников (рис. 27 и 29).

1 1 1

2 2 2

3 3 3

18 12,13 5,87 А;13,95 14,4 0,45 А;

3,6 1,82 5,42 А.

I I II I I

I I I

′ ′′= − = − =′′ ′= − = − = −′ ′′= − = + =

Знак минус у найденного значения тока I2 свидетельствует о том, что действительный ток I2 течёт не в том направлении, как это показано на рис. 26, а в противоположную сторону.

Метод наложения довольно прост и нагляден; его целесообразно применять, если в схеме имеется 2...3 источника. Однако при его

rвн2

−

+R1

rвн1

29

применении нужно все вычисления выполнять с достаточно высокой точностью, так как некоторые токи определяются как разности токов и в результате расчётов можно неправильно определить направление тока в исходной схеме.

Следует отметить, что метод наложения нельзя применять для нелинейных цепей.

6.5. Метод узлового напряжения (метод двух узлов)

Метод узлового напряжения целесообразно применять для ре-шения сложных цепей, содержащих только два узла (т.е. все ветви схемы соединены параллельно), или исходная схема может быть приведена к такому виду.

При этом решение оказывается более простым, чем решение системы уравнений со многими неизвестными, составленными по за-конам Кирхгофа.

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 31.

Рис. 31

Эту сложную цепь с двумя узловыми точками А и В, напряжение между которыми UAB, и называют узловым напряжением.

За положительное направление токов в ветвях примем направ-ление от узла A к узлу B, а направление напряжения UAB противопо-ложно, что свидетельствует предположению, что потенциал узла А (ϕА) выше потенциала узла В (ϕВ), т.е. ϕА > ϕВ.

Зная узловое напряжение UAB, легко найти все токи.

UAB

A В

30

По второму закону Кирхгофа для контура, включающего узловое напряжение UAB, ток, проходящий по первой ветви:

1 1 1.ABI R U E⋅ + = Откуда

11 1 1

1

( ) ,ABAB

E UI E U gR−

= = − ⋅ (36)

где 11

1gR

= – проводимость первой ветви.

Аналогично можно определить токи в остальных ветвях:

2 2 2;ABI R U E⋅ + =

22 2 2

2

( ) ;ABAB

E UI E U gR−

= − ⋅ (37)

3 3 3;ABI R U E+ = −⋅

33 3 3

3

( ) ;ABAB

E UI E U gR

− −= = − − ⋅

4 4 0;ABI R U⋅ + =

4 44

,ABAB

UI U gR−

= = − ⋅

где 2 3 42 3 4

1 1 1; ;g g gR R R

= = = – проводимости соответствующих ветвей.

По первому закону Кирхгофа для узла B: I1 + I2 + I3 + I4 = 0. (38)

Используя полученные для токов выражения (36), (37), получим: E1·g1·− UAB·g1 + E2·g2 − UAB·g2 − E3·g3 − UAB·g3 − UAB·g4 = 0

или UAB·(g1 + g2 + g3 + g4) = E1·g1 + E2·g2 − E3·g3, (39) откуда

1 1 2 2 3 3

1 2 3 4

.ABE g E g E gU

g g g g⋅ + ⋅ − ⋅

+ + += (40)

Произведения Ej·gj в формуле (39) берутся со знаком плюс, когда направление ЭДС Еk противоположно выбранному положительному направлению напряжения UAB (Е1 и Е2), и со знаком минус, когда эти направления совпадают (Е3).

31

Определив значение UAB пo уравнениям (39) и (40), находят ис-ходные токи в ветвях.

Пример. Определить токи в ветвях электрической схемы (рис. 32), если Е1 = 62 В, Е3 = 80 В, R1 = 2 Ом, R2 = 0,5 Ом, R3 = 4 Ом.

Решение. В заданной схеме имеется только два узла, поэтому целесообразно использовать метод узлового напряжения.

Зададимся направлениями токов в ветвях схемы и напряжениями между узлами «а» и «в», как показано на рис. 33.


Определяем узловое напряжение UAB по формуле (40) 1 1 3 3

1 2 3

.ABE g E gU

g g g⋅ − ⋅

=+ +

Проводимости ветвей:

1 2 31 2 3

1 1 1 1 1 10,5 Cм; 2 Cм; 0,25 Cм.2 0,5 4

g g gR R R

= = = = = = = = =

С учётом найденных значений: 62 0,5 80 0,25 .

0,5 2 0,25ABU ⋅ − ⋅=

+ +

Токи в ветвях I1 = (E1 − UAB)·g1 = (62 − 4)·0,5 = 29 A;

I2 = −UAB·g2 = −4·2 = −8 A; I3 = (E3 − UAB)·g3 = (−80 − 4)·0,25 = −21 A.

Полученные отрицательные значения для токов I2 и I3 означают, что действительные направления токов в этих ветвях противоположны выбранным на рис. 33, т.е. токи текут от узла «а» к узлу «в».

Правильность решения проверяем по первому закону Кирхгофа для узла а:

I1 − I2 − I3 = 29 − 8 − 21 = 0.

R2

R3 R1

Е1 Е3

R2

R3 R1

Е1 Е3

I3

I2 I1

а

в

UAB

32

6.6. Метод эквивалентного генератора (МЭГ)

Метод эквивалентного генератора целесообразно применять в тех случаях, когда требуется найти силу тока в какой-либо одной ветви схемы. Этот метод основан на том, что относительно любой ветви всю остальную часть схемы можно рассматривать как источник энергии, обладающей некоторой ЭДС Ег и внутренним сопротивлением Rвн.

Часть сложной электрической схемы, содержащей один или не-сколько источников электрической энергии и имеющей два вывода, называется активным двухполюсником, а не содержащая источников – пассивным.

На рис. 34 прямоугольником обозначен активный двухполюсник, имеющий два вывода (а, в) и заменяющий часть некоторой сложной электрической цепи с источниками энергии.

Активный двухполюсник соединён с резистором R, в котором требуется определить силу тока.

Рис. 34

Если последовательно с резистором R включить источник ЭДС Е, действующий против тока (рис. 35), и выбрать величину ЭДС такой, чтобы ток в резисторе R был равен нулю, то между точками «а» и «в» схемы будет действовать некоторое напряжение Uав0 (напряжение холостого хода).

Включим теперь вторую ЭДС (рис. 36), равную по величине первой и направленную согласно с током. Сила тока в резисторе R в этом случае будет равна

ав0 ав0

вх вх

,U Е Е UIR R R R+ −

= =+ +

где Rвх – входное сопротивление активного двухполюсника относи-тельно выводов «а», «в».

R а

в

А I

33


Этому уравнению соответствует схема, показанная на рис. 37.

Рис. 37

То есть активный двухполюсник можно рассматривать как экви-валентный генератор с ЭДС Ег, равной Uав0, и внутренним сопротив-лением Rвн, равным Rвх.

Входное сопротивление активного двухполюсника можно опре-делить двумя способами.

Можно вычислить его, рассчитав эквивалентное сопротивление всей схемы без резистора R, относительно выводов «а» и «в», при разомкнутых источниках тока.

Можно также найти ток короткого замыкания Iкз между точками «а» и «в», приняв сопротивление резистора R, равным нулю. После чего внутреннее сопротивление генератора, эквивалентного активному двухполюснику, определить по формуле

ав0вн

кз

.URI

=

Следует отметить, что ЭДС эквивалентного генератора Ег и его внутреннее сопротивление легко определить опытным путём. ЭДС Ег можно определить, измеряя напряжение на зажимах двухполюсника при отключенном сопротивлении R (т.е. при холостом ходе двухполюсника).

a E

Rвн = Rвх Eг = Uав0

E

a

a R

I

34

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора R0н мож-но найти, измеряя ток короткого замыкания двухполюсника (рис. 40).

ав0 ав0кз вн

вг кз

, откуда .U UI RR I

= =

Iкз можно измерить, подсоединяя к двухполюснику вместо со-противления R амперметр с ничтожно малым сопротивлением.

Пример 1. Определить ток в сопротивлении R5 схемы (рис. 38), если Е1 = 50 В, Е2 = 100 В, Е4 = 100 В, R1 = R6 = 10 Ом, R2 = R3 = 20 Ом, R5 = 3,3 Ом.

Рис. 38

Решение. Изобразим схему (рис. 38) в более удобном виде, по-зволяющем выделить активный двухполюсник (рис. 39).

Рис. 39

Активный двухполюсник заменим эквивалентным генератором, имеющим ЭДС Ег и внутреннее сопротивление Rвн (pиc. 40).

При этом искомый ток I5 можно найти из уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа (рис. 40).

5 5 вн 55 вн

( ) или .EI R R E IR R

⋅ + = =+

35

Рис. 40

1. Определение ЭДС эквивалентного генератора Ег. Разомкнём ветвь «ав» и определим напряжение холостого хода

активного двухполюсника Uав0 (рис. 41).

Рис. 41

Напряжение холостого хода Uaa0 можно определить из урав-нения, записанного по второму закону Кирхгофа, составленному, например, для контура «асв» (рис. 41), если направление тока в R6 выбрано:

I6·R6 − Uaв0 = E4; Uaв0 = I6·R6 − E4.

Неизвестный ток I6 определяется любым известным методом для схемы (рис. 41).

Воспользуемся методом контурных токов:

22 3 2 11 2 2 4

22 2 11 2 6 1 2 1

( ) ;( ) ;

I R R I R E EI R I R R R E E

+ − = −⎧⎨− + + + = − −⎩

22 11

22 11

40 20 100 100;20 40 50 100.

I II I

− = −⎧⎨− + = − +⎩

E1

R1

в

36

Решив систему, находим ток I6: I6 = −I11 = 5 А.

Следовательно, Eг = Uав0 = 5·10 − 100 = −50 В.

2. Определение внутреннего сопротивления эквивалентного генератора Rвн.

Входное сопротивление активного двухполюсника относительно зажимов «ав» определяем по схеме на рис. 42, полученной из схемы на рис. 41 путём закорачивания источников ЭДС.

3 21 6

3 2вн вхав

3 21 6

3 2

20 20 10 1020 20 6,7 B.20 20 10 1020 20

R R R RR R

R R R R R RR R

⎛ ⎞⋅ ⋅⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = =⋅ ⋅ + ++ +

++

Рис. 42

Все необходимые значения для определения тока I5 найдены. г

5вн 5

50 5 A.6,7 3,3

EIR R

=−

= = −+ +

Знак минус у тока показывает, что его истинное направление противоположно выбранному.

Пример 2. Используя метод эквивалентного генератора, опре-делить ток I3 (рис. 43), если Е1 = 62 В, Е3 = 80 В, R1 = 2 Ом, R2 = 0,5 Ом, R3 = 4 Ом.

1. Определить ЭДС эквивалентного генератора – Ег. ЭДС Ег = Uав0 определяем из решения схемы, полученной при

разомкнутой ветви «ав» (рис. 44). В схеме (рис. 44) имеется два узла, поэтому Uав0 целесообразно

определить, используя метод межузлового напряжения.

R1

37

11 1 1

ав01 2

1 2

1 1622 12,4 B.1 1 1 1

2 0,5

EE g RUg g

R R

⋅ ⋅⋅= = = =

+ + +


2. Определение Rвн эквивалентного генератора. Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора Raн оп-

ределяется общим сопротивлением цепи (рис. 45) и получается из схемы (рис. 44) закорачиванием источника ЭДС Е1

1 2экв ав

1 2

2 0,5 0,4 Oм.2 0,5

R RRR R

⋅ ⋅= = =

+ +

Рис. 45

Определив параметры эквивалентного генератора, возвращаемся к исходной схеме (рис. 43) и заменяем активный двухполюсник (рис. 46).

Определяем I3 из уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа для схемы на рис. 47.

I3·(R3 + Rвн) = Eг + E3; г 3

33 вн

12,4 80 21 А.4 0,4

E EIR R

+ += = =

+ +

Полученное значение тока I3 согласуется с результатами расчёта схемы (рис. 32), проведённого в примере параграфа 6.5.

I3

Uав0

a

в

38


7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.1. Нелинейные элементы электрических цепей, их вольт-амперные характеристики и сопротивления

Нелинейным элементом электрической цепи считается элемент, значение сопротивления которого зависит от значения тока данного элемента или напряжения на его выводах.

К нелинейным элементам электрических цепей относятся раз-нообразные электронные, полупроводниковые и ионные приборы, устройства, содержащие намагничивающие обмотки с ферромагнит-ными магнитопроводами (при переменном токе), лампы накаливания, электрическая дуга и др.

Нелинейные элементы получают в настоящее время всё более широкое распространение, так как они дают возможность решать многие технические задачи. Так, с помощью нелинейных элементов можно осуществить преобразование переменного тока в постоянный, усиление электрических сигналов, генерирование электрических сиг-налов различной формы, стабилизацию тока и напряжения, изменение формы сигналов, вычислительные операции и т.д. Нелинейные эле-менты широко используются в радиотехнических устройствах, в уст-ройствах промышленной электроники, автоматики, измерительной и вычислительной техники.

Важнейшей характеристикой нелинейных элементов является вольт-амперная характеристика (ВАХ), представляющая собой зави-симость между током нелинейного элемента и напряжением на его выводах: l(U) или U(l).

a

в в

a

39

Зависимость между током I и напряжением U любого пассивного элемента электрической цепи подчиняется закону Ома, согласно ко-торому I = U/R. Поскольку у линейных элементов с изменением R тока или напряжения сопротивление остаётся постоянным, их ВАХ не от-личается от прямой (рис. 48, а).

Рис. 48. Примеры вольт-амперных характеристик: а – линейного элемента; б – лампы накаливания; в – полупроводникового диода; г – транзистора

(при различных токах базы); д – терморезистора; е – стабилитрона

У нелинейных элементов ВАХ весьма разнообразна, и для не-которых из них она дана на рис. 48, б, в, г, д, е. Там же приведены ус-ловные графические обозначения соответствующих элементов. Об-щее условное обозначение любого нелинейного резистивного эле-мента показано на рис. 49, а.

Имея ВАХ нелинейного элемента, можно определить его сопро-тивления при любых значениях тока или напряжения. Различают два вида сопротивлений нелинейных элементов: статическое и диффе-ренциальное.

40

Рис. 49. К расчёту электрической цепи с нелинейным элементом графоаналитическим методом

Статическое сопротивление даёт представление о соотношении конечных значений напряжения и тока нелинейного элемента и опре-деляется в соответствии с законом Ома. Например, для точки А ВАХ (рис. 48) имеет статическое сопротивление

1

1

tga,us

i

mUrI m

= = ⋅

где mu и mi – масштабы напряжения и тока. Дифференциальное сопротивление позволяет судить о соотноше-

нии приращений напряжения и тока и определяется следующим образом 1

1

tgв.ud

i

mdUrdI m

= = ⋅

К нелинейным электрическим цепям применимы основные за-коны электрических цепей, т.е. закон Ома и законы Кирхгофа. Однако расчёт нелинейных цепей значительно труднее, чем линейных. Объ-ясняется это тем, что кроме токов и напряжений, подлежащих обычно определению, неизвестными также являются зависящие от них со-противления нелинейных элементов.

Для расчёта нелинейных электрических цепей применяется в большинстве случаев графоаналитический метод. Однако, если в предполагаемом диапазоне изменения тока или напряжения нели-нейного элемента его ВАХ заменить прямой линией, то расчёт можно производить и аналитическим методом.

Следует отметить, что к той части электрической цепи, которая содержит линейные элементы, применимы все методы расчёта и преобразования электрических цепей, рассмотренные ранее.

I

в)

41

7.2. Графоаналитический метод расчёта

нелинейных электрических цепей

Предположим, что имеется электрическая цепь, схема которой приведена на рис. 49, а. В этой цепи нелинейный резистивный элемент r соединён с активным линейным двухполюсником А, который может быть любой сложности.

Расчёт данной электрической цепи следует начать с замены активного двухполюсника эквивалентным генератором с параметрами Еэ = Uх и rоэ (рис. 49, б) согласно методу эквивалентного генератора. Для дальнейшего расчёта целесообразно воспользоваться методом графического решения двух уравнений с двумя неизвестными. Одним из уравнений следует считать зависимость l(U) нелинейного эле-мента, который соответствует его ВАХ, приведённой на рис. 49, в. Другое уравнение, связывающее те же ток I и напряжение U, нетрудно получить по второму закону Кирхгофа. Применив его к цепи с экви-валентным генератором (рис. 49), получим

э

оэ

( ).E UI I Ur−

=

Поскольку зависимость I = f(U) линейная, график I = f(U) может быть построен по двум точкам (рис. 49, в). Например: в режиме холо-стого хода эквивалентного генератора I = 0 и U = Ux = Еэ; в режиме ко-роткого замыкания U = 0 и I = Iк = Еэ/rоэ.

Очевидно, что искомые ток I и напряжение U определяются точ-кой A пересечения ВАХ I(U) нелинейного элемента и графика I = f(U) эквивалентного генератора.

Если к двухполюснику будут подключены два нелинейных эле-мента r1 и r2, соединенные последовательно (рис. 50, а), то перед расчётом согласно методике, изложенной выше, необходимо заменить их эквивалентным нелинейным элементом (рис. 50, в). Построение эквивалентной ВАХ I(U) производится на основании следующего изо-бражения: при любом значении тока I напряжение U равно сумме на-пряжений U1 и U2 нелинейных элементов (рис. 50), т.е.

U = U1 + U2. (41)

42

Задавшись несколькими значениями тока I, по ВАХ I(U1) и l(U2) нелинейных элементов r1 и r2 находят соответствующие напряжения U1 и U2,после чего согласно выражению (41) определяют напряжение U и строят ВАХ I(U).

На рис. 50, в показано в качестве примера определение при токе I напряжения U одной из точек (А) ВАХ I(U).

а) б) в)

Рис. 50. К построению ВАХ электрической цепи при последовательном соединении нелинейных элементов

Когда двухполюсник представляет собой источник с заданным на-пряжением, после построения ВАХ I(U) можно при любом напряжении U найти ток I, а затем с помощью ВАХ l(U1) и l(U2) – напряжения U1 и U2.

При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 51) для построения ВАХ I(U) эквивалентного нелинейного элемента rэ (рис. 52) необходимо воспользоваться тем, что при лю-бом значении напряжения U токи связаны соотношением I = I1 + I2. (42)

Рис. 51. Параллельное соединение нелинейных элементов

43

Задавшись несколькими значениями напряжения U1 по ВАХ l1(U) и l2(U) (рис. 52) нелинейных элементов r1 и r2, находят соответствующие токи I1 и I2, после чего, согласно формуле (42), определяют ток I и строят ВАХ I(U).

Рис. 52. К построению ВАХ электрической цепи при параллельном соединении нелинейных элементов

При смешанном соединении нелинейных элементов следует сначала построить ВАХ участка с параллельным соединением эле-ментов. После этого можно перейти к построению ВАХ всей цепи. Имея в распоряжении все ВАХ, нетрудно определить токи и напряжения всех элементов цепи.

44

ПРИЛОЖЕНИЯ

Задания для самостоятельных расчетно-графических работ

В приложениях даны задания для самостоятельных расчет-но-графических работ по цепям постоянного тока, однофазным цепям синусоидального переменного тока, трехфазным цепям переменного тока и электронике.

В таблицах по вышеперечисленным темам номер варианта со-ответствует порядковому номеру в карточке или ведомости с фами-лиями студентов-заочников, зачисленных в соответствующую группу. Номер варианта соответствует номеру рисунка по этой теме. Далее в таблицах даны значения параметров элементов электрической схемы.

Оформление домашнего задания происходит на листе формата А4 с расчетами, вычерчиванием нужной по номеру варианта электри-ческой схемы по ГОСТу и вычерчиванием на миллиметровой бумаге формата А4 векторной топографической диаграммы.

Обложка или титульный лист выполненного домашнего задания оформляется по стандарту высшей школы с указанием вуза, кафедры, фамилии студента и преподавателя, города и года обучения.

Выполненная домашняя самостоятельная работа сдается пре-подавателю на проверку, отмечается преподавателем в карточке и после окончания сессии вместе с экзаменационной или зачетной ве-домостью по соответствующему акту, подписанному представителем деканата, сдается в архив института.

45

ПРИЛОЖНИЕ 1 Задача 1.1. Заданы все сопротивления и напряжения Uab (табл. 1). Требуется: 1) найти общее сопротивление схемы относительно зажимов а-b; 2) определить токи во всех ветвях.

Таблица 1 Исходные данные задачи 1.1

№ варианта

№ рисунка

Uab r1 r2 r3 r4 r5 r6 В Ом

1 1 20 10 8 10 4 10 5 2 2 50 5 10 8 10 7 10 3 3 10 5 3 3 4 4 6 4 4 100 20 15 20 30 15 10 5 5 80 4 5 3 2 6 6 6 6 200 50 20 30 40 40 10 7 7 120 20 100 80 20 40 30 8 8 40 6 8 5 10 3 6 9 9 60 30 40 20 30 10 50 10 10 12 8 3 2 5 4 6 11 11 75 10 15 20 25 30 40 12 12 30 5 10 10 30 25 50 13 13 15 6 12 15 25 30 50 14 14 45 15 10 20 40 50 20 15 15 150 25 35 40 50 100 60 16 16 20 10 8 10 4 10 5 17 17 50 5 10 8 10 7 10 18 18 10 5 3 3 4 4 6 19 19 100 20 15 20 30 15 10 20 20 80 4 5 3 2 6 6 21 21 200 50 20 30 40 40 10 22 22 120 20 100 80 20 40 30 23 23 40 6 8 5 10 3 6 24 24 60 30 40 20 30 10 50 25 25 12 8 3 2 5 4 6 26 26 75 10 15 20 25 30 40 27 27 30 5 10 10 30 25 50 28 28 20 5 4 5 2 5 2 29 29 150 10 50 40 10 20 15 30 30 100 10 15 20 15 10 5

46

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 2 Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7 Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

47



Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18


48


Рис. 23

Рис. 24




49

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Задача 2.1. В соответствии с заданным номером варианта в табл. 2 заданы

величины напряжения на входных зажимах электрической схемы и все сопротивления (рис. 1–10). Определить:

1) токи во всех ветвях схемы; 2) показания вольтметров.



№ рисунка

U r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9

В Ом1 1 12 3 4 6 2 4 4 10 2 82 2 100 30 10 40 60 60 60 200 150 503 3 220 10 20 30 70 40 40 100 30 64 4 200 20 30 50 50 50 50 200 110 905 5 180 30 40 10 50 60 60 180 90 906 6 150 40 20 30 60 40 40 80 50 307 7 130 60 50 40 30 40 40 70 30 408 8 120 52 48 48 34 60 60 60 40 209 9 80 50 10 60 40 60 60 60 50 1010 10 70 20 60 80 20 80 80 20 15 511 1 24 6 8 8 4 8 8 10 8 212 2 105 10 30 40 50 50 50 140 70 7013 3 210 30 20 10 40 60 60 100 75 2514 4 205 10 40 30 50 50 50 120 70 5015 5 190 40 20 30 60 50 52 140 10 4016 6 160 63 20 40 30 40 40 80 35 4517 7 140 40 50 60 40 30 30 70 20 5018 8 135 44 56 50 30 60 60 50 32 1819 9 90 61 50 10 60 40 40 60 28 3220 10 80 70 30 20 40 60 60 30 21 921 2 12 3 4 6 2 4 4 10 2 822 4 100 30 10 40 60 60 60 200 150 5023 6 220 10 20 30 70 40 40 100 32 6824 8 200 21 30 50 50 50 50 200 110 9025 10 180 32 40 10 50 60 60 180 93 8726 1 150 40 20 30 60 40 40 80 50 3027 3 130 63 50 40 30 40 40 70 32 3828 5 120 52 48 48 34 60 60 60 40 2029 7 80 50 10 60 40 60 60 60 42 1830 9 70 28 60 80 29 80 80 20 15 5

50

Продолжение табл. 2


№ рисунка

U r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9

В Ом 31 2 24 6 8 8 4 8 8 10 8 2 32 4 105 10 30 40 55 50 50 140 70 70 33 6 210 30 20 10 40 60 60 100 75 25 34 8 205 10 40 30 50 50 50 120 70 50 35 10 190 40 20 30 60 50 52 140 100 40 36 1 160 63 20 40 30 40 40 80 35 45 37 3 140 40 50 60 40 30 30 70 20 50 38 5 135 44 56 50 30 60 60 50 32 18 39 7 90 61 50 10 60 40 40 60 28 32 40 9 80 70 30 20 40 60 60 30 21 9 41 1 12 3 4 6 2 4 4 10 2 8 42 3 100 30 10 40 60 60 60 200 150 50 43 5 220 10 20 30 70 40 40 100 32 68 44 7 200 21 30 50 50 50 50 200 110 90 45 9 180 32 40 10 50 60 60 180 93 87 46 2 150 40 20 30 60 40 40 80 50 30 47 4 130 63 50 40 30 40 40 70 32 38 48 6 120 52 48 48 34 60 60 60 40 20 49 8 80 50 10 60 40 60 60 60 42 18 50 10 70 28 60 80 20 80 80 20 15 5 51 1 24 6 8 8 4 8 8 10 8 2 52 3 105 10 30 40 55 50 50 140 70 70 53 5 210 30 20 10 40 60 60 100 75 25 54 7 205 10 40 30 50 50 50 120 70 50 55 9 190 40 20 30 60 50 52 140 100 40 56 2 160 3 4 6 2 4 4 10 2 8 57 4 140 30 10 40 60 60 60 200 150 50 58 6 135 10 20 30 70 40 40 100 30 70 59 8 90 20 30 50 50 50 50 200 110 90 60 10 80 30 40 10 50 60 60 180 90 90 61 10 12 40 20 30 60 40 40 80 50 30 62 9 100 60 50 40 30 40 40 70 30 40 63 8 220 52 48 48 34 60 60 60 40 20 64 7 200 50 10 60 40 60 60 60 50 10 65 6 180 32 40 10 50 60 60 180 93 87 66 5 150 40 20 30 60 44 40 80 50 30 67 4 130 63 50 40 30 40 40 70 32 38

51

Окончание табл. 2


№ рисунка

U r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9

В Ом 68 3 120 52 48 48 34 60 60 60 40 20 69 2 80 50 10 60 40 60 60 60 42 18 70 1 70 28 60 80 20 80 80 20 15 5 71 10 24 6 8 8 4 8 8 10 8 2 72 9 105 10 30 40 55 50 50 140 70 70 73 8 210 30 20 10 40 60 60 100 75 25 74 7 205 10 40 30 50 50 50 120 70 50 75 6 190 40 20 30 60 50 52 140 100 40 76 5 160 63 20 40 30 40 40 80 35 45 77 4 140 40 50 60 40 30 30 70 20 50 78 3 135 44 56 50 30 60 60 50 32 18 79 2 90 61 50 10 60 40 40 60 28 32 80 1 80 70 30 20 40 60 60 30 21 9 81 1 15 3 4 6 2 4 8 10 7 3 82 2 100 10 30 40 55 50 50 140 70 70 83 3 220 30 20 10 40 60 60 100 75 25 84 4 200 10 40 30 50 50 50 120 70 50 85 5 180 40 20 30 60 50 52 140 100 40 86 6 150 63 20 40 30 40 40 80 35 45 87 7 130 40 50 60 40 30 30 70 20 50 88 8 120 44 56 50 30 60 60 50 32 18 89 9 80 61 50 10 60 40 40 60 28 32 90 10 70 70 30 20 40 60 60 30 21 9 91 1 24 3 6 4 2 4 6 10 8 2 92 2 105 30 10 40 60 60 60 200 150 50 93 3 210 10 20 30 70 40 40 100 32 68 94 4 205 21 30 50 50 50 50 200 110 90 95 5 190 32 40 10 50 60 60 180 93 87 96 6 160 40 20 30 60 40 40 80 50 30 97 7 140 63 50 40 30 40 40 70 32 38 98 8 135 52 48 48 34 60 60 60 40 20 99 9 90 50 10 60 40 60 60 60 42 18 100 10 80 28 60 80 20 80 80 20 15 5

52

Рис. 1 Рис. 6

Рис. 2 Рис. 7

Рис. 3 Рис. 8

Рис. 4 Рис. 9


53

Задача 2.2. В соответствии с номером варианта в табл. 3 заданы все ЭДС и

сопротивления в схеме (рис. 11–20). Определить: 1) найти токи в схеме методом двух узлов (МДУ) или методом

наложения (МН); 2) найти ток в одной из ветвей схемы методом эквивалентного

генератора (МЭГ); 3) составить уравнения баланса мощностей.



№ рисунка

Е1 Е2 r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 Метод решенияВ Ом

1 11 120 100 120 100 180 140 120 120 120 МДУ 2 12 200 200 180 110 120 160 40 40 40 МН 3 13 140 120 130 140 150 120 90 90 90 МДУ 4 14 24 12 10 5 16 20 4 4 4 МЭГ /I1/ 5 15 16 20 6 8 12 14 24 24 24 МДУ 6 16 36 24 6 4 16 18 6 6 6 МН 7 17 20 28 8 10 12 16 30 30 30 МДУ 8 18 60 40 5 9 14 20 11 11 11 МЭГ /I1/ 9 19 24 48 10 18 20 30 9 9 9 МН 10 20 16 6 6 10 8 12 9 9 9 МЭГ /I1/ 11 11 100 120 100 80 160 160 99 99 99 МДУ 12 12 150 180 60 100 120 140 50 50 50 МЭГ /I1/ 13 13 100 115 80 60 100 120 93 93 93 МДУ 14 14 18 12 10 15 20 24 10 10 10 МН. 15 15 26 36 8 8 10 16 27 27 27 МДУ 16 16 30 38 12 8 16 14 5 5 5 МЭГ /I1/ 17 17 30 50 12 12 8 12 21 21 21 МДУ 18 18 60 30 10 16 12 28 10 10 10 МН 19 19 10 20 10 12 18 24 11 11 11 МЭГ /I1/ 20 20 120 100 40 60 40 88 20 20 20 МН 21 12 200 180 120 100 180 140 40 40 40 МЭГ /I2/ 22 14 140 120 110 120 160 130 40 40 40 МН 23 16 24 12 13 14 15 12 3 3 3 МЭГ /I2/ 24 18 16 20 10 15 16 20 4 4 4 МН 25 20 36 24 6 8 12 14 8 8 8 МЭГ /I2/ 26 11 20 28 4 6 16 18 18 18 18 МДУ 27 13 60 40 8 10 12 16 30 30 30 МДУ

54

Продолжение табл. 3


№ рисунка


28 15 24 48 5 9 14 20 33 33 33 МДУ 29 17 16 6 10 18 20 30 27 27 27 МДУ 30 19 100 120 6 10 8 12 3 3 3 МН 31 12 150 180 100 80 160 160 33 33 33 МН 32 14 100 115 60 100 120 140 50 50 50 МЭГ /I2/ 33 16 12 18 80 60 100 120 31 31 31 МН 34 18 18 12 10 15 20 24 10 10 10 МЭГ /I2/ 35 20 26 36 8 8 10 16 9 9 9 МН 36 11 30 38 12 8 16 14 15 15 15 МДУ 37 13 30 50 12 12 8 12 21 21 21 МДУ 38 15 60 30 10 16 12 28 30 30 30 МДУ 39 17 10 20 10 12 18 24 33 33 33 МДУ 40 19 120 100 4 6 4 8 2 2 2 МЭГ /I2/ 41 11 200 180 120 100 180 140 120 120 120 МДУ 42 13 140 120 110 120 160 130 120 120 120 МДУ 43 15 240 120 130 140 150 120 90 90 90 МДУ 44 17 16 20 10 15 16 20 12 12 12 МДУ 45 19 24 32 6 8 12 14 8 8 8 МЭГ /I3/ 46 12 36 24 4 6 16 18 6 6 6 МН 47 14 20 28 8 10 12 16 10 10 10 МЭГ /I3/ 48 16 60 40 5 9 14 20 11 11 11 МН 49 18 24 48 10 18 20 30 9 9 9 МЭГ /I3/ 50 20 16 6 6 10 8 12 3 3 3 МН 51 11 100 120 100 160 80 140 99 99 99 МДУ 52 13 150 180 60 100 120 140 150 150 150 МДУ 53 15 100 115 80 60 100 120 93 93 93 МДУ 54 17 12 18 10 15 20 24 30 30 30 МДУ 55 19 18 10 8 8 10 16 9 9 9 МЭГ /I3/ 56 12 26 36 12 8 16 14 5 5 5 МН 57 14 30 42 12 12 8 12 9 9 9 МЭГ /I1/ 58 16 30 50 10 15 12 28 10 10 10 МН 59 18 60 30 10 12 18 24 11 11 11 МЭГ /I1/ 60 20 10 20 4 6 4 8 2 2 2 МН 61 20 120 100 120 100 180 120 40 40 40 МЭГ /I1/ 62 19 200 180 110 120 160 130 40 40 40 МН 63 18 140 120 130 140 150 120 30 30 30 МЭГ /I1/ 64 17 24 12 10 15 17 20 12 12 12 МДУ

55

Окончание табл. 3


№ рисунка


65 16 16 40 6 8 12 14 8 8 8 МЭГ /I1/ 66 15 36 24 4 6 16 18 18 18 18 МДУ 67 14 20 28 8 10 12 16 10 10 10 МН 68 13 60 40 5 9 14 20 33 33 33 МДУ 69 12 24 48 10 18 20 30 9 9 9 МЭГ /I1/ 70 11 16 6 6 10 8 12 9 9 9 МДУ 71 20 100 120 100 80 160 160 33 33 33 МН 72 19 150 180 60 100 120 140 50 50 50 МЭГ /I1/ 73 18 100 115 80 60 100 120 31 31 31 МН 74 17 12 18 10 15 20 24 30 30 30 МДУ 75 16 18 10 8 8 10 16 9 9 9 МЭГ /I1/ 76 15 26 36 12 8 16 14 15 15 15 МДУ 77 14 30 45 12 12 8 12 9 9 9 МН 78 13 30 50 10 16 12 28 30 30 30 МДУ 79 12 60 30 10 12 18 24 11 11 11 МЭГ /I2/ 80 11 10 20 4 6 4 8 6 6 6 МДУ 81 11 120 100 100 80 160 160 99 99 99 МДУ 82 12 200 180 60 100 120 140 50 50 50 МН 83 13 140 120 80 60 100 120 93 93 93 МДУ 84 14 24 12 10 15 20 24 10 10 10 МЭГ /I2/ 85 15 16 20 8 8 10 16 27 27 27 МН 86 16 36 24 12 8 16 14 5 5 5 МЭГ /I2/ 87 17 20 28 12 12 8 12 21 21 21 МДУ 88 18 60 40 10 16 12 28 10 10 10 МН 89 19 24 48 10 12 18 24 11 11 11 МЭГ /I2/ 90 20 16 6 4 6 4 8 2 2 2 МН 91 11 100 120 120 100 180 140 120 120 120 МДУ 92 12 150 180 110 120 160 130 40 40 40 МЭГ /I3/ 93 13 100 115 130 140 150 120 90 90 90 МДУ 94 14 12 18 10 15 16 20 4 4 4 МН 95 15 18 10 6 8 12 14 24 24 24 МДУ 96 16 26 36 4 6 16 18 6 6 6 МЭГ /I3/ 97 17 30 42 8 10 12 16 30 30 30 МДУ 98 18 30 50 5 9 14 20 11 11 11 МН 99 19 60 30 10 18 20 26 9 9 9 МЭГ /I3/

100 20 10 20 6 10 8 12 3 3 3 МН

56

Рис. 20


Рис. 18

Рис. 13



Рис. 15

57

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Электротехника / под ред. В.Г. Герасимова. – 3-е изд. – М.: Высшая школа, 1985.

2. Сборник задач по электротехнике и основам электроники: учеб. пособие для неэлектрических специальностей вузов / В.Г. Герасимов, Х.Э. Зайдель, В.В. Коген-Далин; под ред. В.Г. Герасимова. – 4-е изд. – М.: Высшая школа, 1987.

3. Михеев, Ю.А. Общая электротехника с основами электроники / Ю.А. Михеев, М.И. Григоровский. – М.: Высшая школа, 1982.

4. Учебное пособие к лабораторно-практическим работам по курсу «Теория электрических цепей и электроника» / В.Е. Ютт, В.В. Морозов, В.Н. Логачев [и др.]. – М.: МАДИ (ГТУ), 2004.

58

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ......................................................................................................................... 3

1. Основные определения и законы .............................................................................. 4 2. Эквивалентные схемы источников электрической энергии .................................... 7 3. Расчет простейших электрических цепей ................................................................. 9 4. Расчет смешанного соединения резисторов .......................................................... 10 5. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и наоборот ........................................................................ 12

6. Расчет сложных электрических цепей ..................................................................... 18 6.1. Расчет с помощью законов Кирхгофа .............................................................. 18 6.2. Метод контурных токов ...................................................................................... 20 6.3. Баланс мощностей источников и приемников

электрической энергии ...................................................................................... 24 6.4. Метод наложения ............................................................................................... 25 6.5. Метод узлового напряжения (метод двух узлов) ............................................ 29 6.6. Метод эквивалентного генератора (МЭГ) ........................................................ 32

7. Нелинейные электрические цепи постоянного тока .............................................. 38 7.1. Нелинейные элементы электрических цепей,

их вольт-амперные характеристики и сопротивления ................................... 38 7.2. Графоаналитический метод расчета

нелинейных электрических цепей .................................................................... 41

Приложения .................................................................................................................. 44

Список литературы ..................................................................................................... 57

59

Для заметок

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................................

Учебное издание

Авторский коллектив: ЮТТ Владимир Евсеевич

МОРОЗОВ Виталий Вениаминович ЛОГАЧЕВ Вячеслав Николаевич ЛАЙКО Елена Михайловна

СИДОРОВ Кирилл Михайлович СОКОЛОВ Леонид Александрович



Часть I. Электрические цепи постоянного тока

ПРАКТИКУМ

Под редакцией д-ра техн. наук, профессора В.Е. Ютта

Редактор Н.В. Шашина

Редакционно-издательский отдел МАДИ. E-mail: [email protected]

Подписано в печать 11.03.2019 г. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 3,75. Тираж 256 экз. Заказ . Цена 110 руб.

МАДИ, Москва, 125319, Ленинградский пр-т, 64.

Documents

ЭЛЕКТРОТЕХНИКАlib.madi.ru/fel/fel1/fel19M663.pdfдимость источника), уравнение (13) можно представить в виде: I = (Е −