Libromecanica

MECANICA CLASICA

Luis Rodr¶³guez Valencia1

Departamento de F¶³sicaUniversidad de Santiago de Chile

28 de julio de 2000

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ii

Contenidos

Introducci¶on. xiii

1 Sistema de Part¶³culas. 11.1 Ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Sistema Inercial de referencia. . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Torque en punto arbitrario. . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Teorema Energ¶³a Trabajo. . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.5 Sistema de dos part¶³culas. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Campo Central de Fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Ecuaci¶on diferencial para la ¶orbita. . . . . . . . . . . . 101.2.2 Relaci¶on entre energ¶³a y excentricidad. . . . . . . . . . 131.2.3 Expresi¶on integral para la trayectoria. . . . . . . . . . 14

1.3 Sistemas de masa variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Sistema de referencia no inercial. 192.1 Ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Movimiento relativo a la tierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Vertical y aceleraci¶on de gravedad del lugar. . . . . . . 212.2.2 Ecuaci¶on de movimiento aproximada. . . . . . . . . . . 242.2.3 P¶endulo de Foucault. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.4 P¶endulo esf¶erico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Teorema de Larmor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Scattering. 333.1 ¶Angulo de scattering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 Expresi¶on en t¶erminos del par¶ametro de impacto. . . . 34

iv CONTENIDOS

3.1.2 Scattering de Rutherford. . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.3 Secci¶on diferencial de Scattering. . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Coordenadas de Laboratorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1 Coordenadas y ¶angulo de scattering en el Laboratorio. 37

3.2.2 P¶erdida de energ¶³a del proyectil. . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.3 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Rotaciones. 41

4.1 Rotaciones de un sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.1 Rotaciones de un sistema de coordenadas. . . . . . . . 41

4.1.2 ¶Angulos de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1.3 Par¶ametros de Cayley Klein. . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.4 Transformaciones de similaridad. . . . . . . . . . . . . 50

4.1.5 Relaciones entre matrices de Pauli. . . . . . . . . . . . 52

4.1.6 Par¶ametros de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Velocidad angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.1 Descomposici¶on del movimiento. . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.2 Teorema de adici¶on de velocidades angulares. . . . . . 55

4.3 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Sistema r¶³gido de part¶³culas. 59

5.1 Cantidades cinem¶aticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1.1 Energ¶³a cin¶etica y momentum angular. . . . . . . . . . 61

5.1.2 Algunas propiedades de la matriz de inercia. . . . . . . 61

5.1.3 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1.4 El elipsoide de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2 Ecuaciones din¶amicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.1 Movimiento Plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.2 Un ejemplo en m¶as dimensiones, la bola de billar. . . . 73

5.3 Movimiento en tres dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3.1 Ecuaciones de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3.2 Torque nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3.3 Cuerpo sim¶etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3.4 Trompo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.4 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

CONTENIDOS v

6 Ecuaciones de Lagrange. 936.1 Introducci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2 Restricciones o v¶³nculos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2.1 V¶³nculos holon¶omicos y coordenadas generalizadas. . . 946.2.2 Fuerzas de v¶³nculos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2.3 Desplazamientos virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.3 Ecuaciones de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3.1 V¶³nculos no holon¶omicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.3.2 Condici¶on de integrabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.4 Sistemas Conservativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4.1 Momentos can¶onicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4.2 El hamiltoniano del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . 1006.4.3 Teoremas de conservaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4.4 Hamiltoniano y energ¶³a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.4.5 Fuerzas dependientes de la velocidad. . . . . . . . . . . 1046.4.6 Teorema de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.5 Ejemplos y aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.5.1 Trompo sim¶etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.5.2 Bola que rueda sobre un plano, sometida en su centro

a una fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7 Oscilaciones peque~nas. 1237.1 La energ¶³a cin¶etica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.2 La energ¶³a potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.2.1 Posici¶on de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.2.2 Estabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.3 Linealizaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.4 El lagrangiano aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.5 Soluci¶on de las ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . 126

7.5.1 Diagonalizaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.5.2 Soluci¶on del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.6 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8 Ecuaciones de Hamilton. 1378.1 Variables can¶onicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.2 Espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.2.1 Sistemas aut¶onomos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

vi CONTENIDOS

8.2.2 Puntos cr¶³ticos o de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . 138

8.3 Sistemas de un grado de libertad. . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.4 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.4.1 Oscilador arm¶onico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.4.2 P¶endulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9 Principio variacional de Hamilton. 149

9.1 La Acci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.1.1 Principio variacional de Hamilton. . . . . . . . . . . . . 150

9.1.2 Naturaleza del extremo en el principio variacional. . . . 152

9.1.3 Curva C discriminante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.2 Forma hamiltoniana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.2.1 Variaci¶on de los extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . 155

9.2.2 Naturaleza del extremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

9.3 Teorema de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

9.3.1 Variaci¶on unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . 162

9.3.2 Variaci¶on en n dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . 163

9.3.3 Formas del teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

10 Transformaciones Can¶onicas. 167

10.1 De¯nici¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

10.1.1 Formas de la transformaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . 169

10.1.2 Condici¶on de existencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

10.2 Notaci¶on Simpl¶ectica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.3 Par¶entesis de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

10.3.1 Propiedades de los Par¶entesis de Poisson. . . . . . . . . 172

10.4 Par¶entesis de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

10.5 Ecuaciones de Movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

10.6 Condici¶on necesaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

10.7 Invariancia de los par¶entesis de Poisson y de Lagrange. . . . . 176

10.8 Transformaci¶on dependiente del tiempo. . . . . . . . . . . . . 176

10.9 Caso general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

10.10Existencia de la funci¶on generadora. . . . . . . . . . . . . . . . 180

10.11Forma bilineal invariante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

10.12Problemas y Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

CONTENIDOS vii

11 M¶etodo de Hamilton Jacobi. 18711.1 Soluci¶on de un problema din¶amico. . . . . . . . . . . . . . . . 187

11.1.1 Funci¶on principal de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . 18811.1.2 Relaci¶on con la acci¶on S. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19011.1.3 Funci¶on caracter¶³stica de Hamilton. . . . . . . . . . . . 19111.1.4 El oscilador arm¶onico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

11.2 Variables de Acci¶on Angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19511.2.1 Sistemas peri¶odicos con un grado de libertad. . . . . . 195

11.3 Teor¶³a de perturbaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19711.3.1 Introducci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19711.3.2 El m¶etodo de transformaciones can¶onicas. . . . . . . . 197

11.4 El p¶endulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19811.4.1 Teor¶³a de perturbaci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11.5 Invariantes Adiab¶aticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

12 Sistemas continuos. 20512.1 Introducci¶on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20512.2 Oscilaciones longitudinales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

12.2.1 Extremos ¯jos (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20612.2.2 Condiciones peri¶odicas (b). . . . . . . . . . . . . . . . . 20912.2.3 Soluci¶on alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

12.3 Oscilaciones transversales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21112.4 L¶³mite continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21312.5 Soluciones de la ecuaci¶on de onda. . . . . . . . . . . . . . . . . 213

12.5.1 Condiciones de frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21512.5.2 Condiciones iniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

12.6 M¶etodo de las series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21812.7 Consideraciones adicionales. Soluci¶on de D'Alembert. . . . . . 219

12.7.1 Condiciones iniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21912.8 Caso general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22212.9 Caso general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

12.10Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22312.11Consideraciones energ¶eticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

12.11.1Potencia en ondas arm¶onicas. . . . . . . . . . . . . . . 22712.12Elementos de mec¶anica de Fluidos. . . . . . . . . . . . . . . . 228

12.12.1Cambio del volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22912.13Ecuaci¶on de movimiento de un °uido ideal. . . . . . . . . . . . 231

viii CONTENIDOS

12.13.1Onda sonoras en un °uido. . . . . . . . . . . . . . . . . 23212.13.2Algunas soluciones de la ecuaci¶on de onda. . . . . . . . 23512.13.3A) Ondas planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23512.13.4B) Ondas esf¶ericas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23612.13.5Velocidad de grupo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23912.13.6Efecto Doppler cl¶asico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24112.13.7Efecto Doppler relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . 24112.13.8Efecto Doppler para ondas luminosas. . . . . . . . . . . 242

12.14Ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

13 Problemas complementarios. 245

14 Problemas resueltos. 253

15 Ap¶endice 28115.1 Una ecuaci¶on diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28115.2 Las funciones el¶³ptica Jacobianas. . . . . . . . . . . . . . . . . 28315.3 El p¶endulo esf¶erico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28415.4 Operador r: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

15.4.1 Gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28915.4.2 Divergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29015.4.3 Rotor de un campo vectorial. . . . . . . . . . . . . . . 29115.4.4 Algunas propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29215.4.5 El Laplaciano r2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

¶Indice de Figuras

1.1 Transformaci¶on de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Sistema de part¶³culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Secci¶on c¶onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Tipos de c¶onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1 Sistema de referencia no inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Sistema de referencia ¯jo a la Tierra . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Gravedad local, tierra esf¶erica (a) y real (b) . . . . . . . . . . 24

3.1 ¶Angulo de scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Secci¶on diferencial de scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Scattering en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Adici¶on de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1 Rotaci¶on de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Rotaci¶on en torno de un eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Rotaci¶on activa de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4 Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5 Adici¶on de velocidades angulares . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1 Velocidades de un r¶³gido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2 Elipsoide de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 P¶endulo cuyo punto de suspensi¶on oscila . . . . . . . . . . . . 675.4 P¶endulo forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.5 Problema de barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.6 Disco que rueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.7 Rueda tirada con una fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.8 Rueda sobre cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.9 Rueda sobre plataforma m¶ovil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

x ¶INDICE DE FIGURAS

5.10 Esfera sobre un plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.11 Cuerpo r¶³gido sim¶etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.12 Trompo sim¶etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.13 Raices de f(u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.14 Precesi¶on uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.15 Trompo dormido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.16 Precesi¶on positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.17 Movimiento cuspidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.18 Movimiento con loops. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.19 Conos del espacio y del cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.20 Cono ¯jo y del espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.21 Choque de cuerpos r¶³gidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.1 Transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.2 Trompo sim¶etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.3 Esfera atra¶³da hacia el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.4 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.5 De un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.6 De un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.7 De un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.8 Disco que rueda sobre otro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.9 Part¶³cula sobre hemisferio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.1 Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2 Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.1 Autovalores reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2 Autovalores complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.3 Curvas de H constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.4 Oscilador arm ¶onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.5 Punto inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.1 Campo de extremales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

12.1 Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20612.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21112.3 Soluci¶on de D'Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22612.4 Onda en una cuerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22712.5 Potencia en una onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

¶INDICE DE FIGURAS xi

12.6 Cambio de volumen debido a la velocidad. . . . . . . . . . . . 23012.7 Onda plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

13.1 Cable °exible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24713.2 Un p¶endulo con extremo oscilando . . . . . . . . . . . . . . . . 24813.3 Trompo dormido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24913.4 Precesi¶on uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24913.5 M¶inimo de una acci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

14.1 De un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25314.2 Scattering en pozo rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26214.3 Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26514.4 Colisi¶on de dos cuerpos r¶³gidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26814.5 Precesi¶on uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27014.6 Barra sobre un cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27114.7 Coordenadas el¶³pticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27214.8 Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

15.1 Tipo de soluci¶on de una ecuaci¶on diferencial . . . . . . . . . . 28215.2 P¶endulo esf¶erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28415.3 Signi¯cado de rotor no nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

xii ¶INDICE DE FIGURAS

Introducci¶on.

Estos apuntes, en versi¶on preliminar, son un esfuerzo para ordenar los conte-nidos que han formado parte de cursos ofrecidos a los alumnos del Magister deF¶³sica y la Ingenier¶³a F¶³sica, en la Universidad de Santiago de Chile, duran-te algunos a~nos. Existen innumerables buenos textos de Mec¶anica Cl¶asica,que se citan al ¯nal de los apuntes, pero ocurre muchas veces que ellos nose ajustan exactamente a lo que uno desea, o se tratan los t¶opicos en otroorden, o en las clases se introducen problemas o ejemplos que se resuelven yque casi nunca quedan escritos. Adem¶as creo que estos apuntes pueden serde alguna utilidad para los alumnos.

En algunos t¶opicos, he tratado de poner mi personal punto de vista oenfoque, al tratarlo como en las clases, o al resolver alg¶un problema. Ob-viamente, en muchas partes me he inspirado en alguno de los cl¶asicos, loshabr¶e reordenado, resumido o ampliado, en ¯n, as¶i lo he hecho. Esta primeraversi¶on, espero que no tenga demasiados errores. Mi intenci¶on es tratar demejorarla con la experiencia que se acumule, con los errores que se detecten,y con las sugerencias que reciba de parte de los alumnos o de los profesores.La parte m¶as dif¶icil es probablemente lo que viene, mantener estos apun-tes vigentes, escribiendo sobre t¶opicos de actualidad, din¶amica de sistemasca¶oticos por ejemplo, incorporando problemas o t¶opicos de an¶alisis num¶ericoy otras cosas, seg¶un resulte posible y seg¶un sea tambi¶en su aceptaci¶on.

Buena parte de los resultados se establecen sin demostraci¶on dejandocomo trabajo para el alumno la demostraci¶on de diversos teoremas a la vezque se plantean problemas en el estudio de cada t¶opico y un conjunto deproblemas al ¯nal, como recapitulaci¶on.

Para hacer m¶as f¶acil el uso y difusi¶on de estos apuntes se acompa~naun CD con la versi¶on de estos en formato PDF de Adobe que l¶ogicamentepermitir¶³a hacer m¶as copias impresas de ellos. No hay problema siempre

xiv Introducci¶on.

y cuando se mantenga el debido respeto a la autor¶³a de estos apuntes yno se hagan actividades lucrativas con ello. El uso m¶as inmediato del CDser¶³a simplemente para poder leer estos en un PC para lo cual se incluye ellector de archivos formato PDF, Acrobat Reader de Adobe 1 que debe serinstalado en su PC de acuerdo a las instrucciones de ese programa. La versi¶onen CD de estos apuntes, contiene explicaciones m¶as detalladas de algunosaspectos, demostraciones no contempladas en el texto impreso y adem¶as deotras soluciones de algunos ejercicios. Para ello existen hiperv¶³nculos quepermiten navegar en el CD.Se solicita enviar comentarios, sugerencias o correcciones al autor, Luis

Rodr¶³guez Valencia, Departamento de F¶³sica Universidad de Santiago, [email protected]., o por correo a la direcci¶on postal, Avda. Ecuador3493, Correo 2, Santiago

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Cap¶³tulo 1

Sistema de Part¶³culas.

1.1 Ecuaciones de movimiento.

Esta parte de la Mec¶anica, se presenta en forma bastante resumida. Sepresentan las principales de¯niciones y relaciones cinem¶aticas as¶³ como lasecuaciones cl¶asicas de movimiento para un sistema de part¶³culas puntualessuponiendo interacciones que cumplan el principio de acci¶on y reacci¶on. Lasde¯niciones de cantidades F¶³sicas cinem¶aticas, que involucran las masas, lasposiciones, las velocidades, tales como la energ¶³a cin¶etica, momentum lineal,momentum angular, son naturalmente relativas al sistema de referencia quese escoja. Entre esos diversos sistemas de referencia, las relaciones que exis-tan entre esas cantidades f¶³sicas, se desprender¶an de las transformaciones deGalileo para sistemas, ¯gura (1.1), que se trasladan unos respecto de otroscon velocidad constante ~v

~r 0 = ~r ¡ ~vt:M¶as en general para sistemas de referencia arbitrarios, admitiendo acele-raciones y rotaciones de ellos respecto a uno supuesto ¯jo, las relaciones entrevelocidades y aceleraciones de part¶³culas son m¶as complicadas. Podemosadelantar que las relaciones entre velocidades y aceleraciones son

~v = ~vA + ~! £ ~r 0 + ~v rel;

~a = ~aA + ~®£ ~r 0 + 2~! £ ~v rel + ~! £ (~! £ ~r 0) + ~a rel;

siendo ~® = d~!=dt. Debe notarse que la velocidad y aceleraci¶on relativas sonlas derivadas de los vectores posici¶on y velocidad relativos manteniendo ¯jas

2 Sistema de Part¶³culas.

X

Y

Z

O

X'

Y'

Z'

O'

rr '

Figura 1.1: Transformaci¶on de Galileo

las direcciones de los ejes m¶oviles, lo cual en algunos textos se indica por

~v rel =@~r 0

@t; ~a rel =

@~v rel

@t:

1.1.1 Sistema Inercial de referencia.

En la formulaci¶on de la din¶amica cl¶asica, se supone la existencia de al menosun sistema privilegiado de referencia, un Sistema inercial de referencia. Porde¯nici¶on, un sistema inercial de referencia es aquel (hipot¶etico) sistemarelativo al cual una part¶³cula libre tiene velocidad constante o en particularnula (vea p¶agina 5 de referencia [16]) . Como consecuencia de la transforma-ci¶on de Galileo, todo sistema que se traslade con velocidad constante respectoa uno inercial de referencia, es tambi¶en sistema inercial de referencia. La e-xistencia de uno por lo menos, ser¶³a materia de validaci¶on experimental, conlas obvias di¯cultades que ello presenta. Se acepta que al menos aproxima-damente, el marco de las estrellas ¯jas, lo es. Esta es una materia hoy end¶³a de acuerdo internacional. En efecto en Agosto de 1997, la Uni¶on As-tron¶omica Internacional (IAU) decidi¶o que a partir del primero de Enero de1998, el IAU sistema de referencia celestial sea el sistema (ICRS), en reem-plazo del sistema FK5. Hay abundantes referencias en la WEB, por ejemploen http://hpiers.obspm.fr/webiers/general/syframes/icrsf/ICRS.html.

De¯niciones y notaci¶on

1.1 Ecuaciones de movimiento. 3

m ifi j

X

Y

Z

O

sistema

r i

iF

r j

m j

Figura 1.2: Sistema de part¶³culas

Respecto a un determinado sistema de referencia, ver ¯g.(1.2) (no necesaria-mente inercial), sean

~ri . . . . . . . . . . . . . . . . los vectores posici¶on de las N part¶³culasmi . . . . . . . . . . . . . . . las masas de la part¶³culas~vi = d~ri=dt . . . . . . la velocidad de la part¶³cula i.~ai = d~vi=dt . . . . . . la aceleraci¶on de la part¶³cula i.~Fi . . . . . . . . . . . . . . . la fuerza que act¶ua sobre la part¶³cula i producida por

agentes exteriores al sistema.~fij . . . . . . . . . . . . . . . la fuerza que la part¶³cula j ejerce sobre la part¶³cula i.~P =

Pmi~vi . . . . . el momentum lineal o cantidad de movimiento lineal

del sistema.~LO =

Pmi~ri £ ~vi el momentum angular o cantidad de movimiento an-

gular del sistema respecto al origen O.~rG =

Pmi~ri=M . la posici¶on del centro de masas del sistema.

M =Pmi . . . . . . masa total del sistema

~F ext . . . . . . . . . . . . . la fuerza externa resultante.~¡extO . . . . . . . . . . . . . el torque o momento de las fuerzas externas resultan-

te, respecto al origen O.

En este resumen no se pretende discutir los fundamentos de la formulaci¶onNewtoniana, cuya mayor di¯cultad radica en las de¯niciones (independien-tes) de Fuerza, masa y aceleraci¶on, as¶³ como en los conceptos de espacio ytiempo, que supondremos materias conocidas.


1.1.2 Ecuaciones de movimiento.

Con respecto a un sistema inercial de referencia, cada una de las N part¶³culascumple con la llamada segunda ley de Newton

mi~ai = ~Fi +Xj 6=i

~fij: (1.1)

Si las fuerzas de interacci¶on ~fij satisfacen la llamada ley de acci¶on y reacci¶on,es decir

~fij + ~fji = 0; y ~fij £ (~ri ¡ ~rj) = 0;puede demostrarse a partir de las N ecuaciones de movimiento, las siguientesdos importantes ecuaciones

d~P

dt= ~F ext; (1.2)

d ~LOdt

= ~¡extO : (1.3)

La primera de ellas es bastante evidente. Para demostrar la segunda, bastaconsiderar queX

j 6=i

X~ri £ ~fij =

Xj 6=i

X~rj £ ~fji =

1

2

Xj 6=i

X(~ri ¡ ~rj)£ ~fij = 0:

Las ecuaciones (1.2) y (1.3) son, en general, insu¯cientes para determinar lasposiciones de las part¶³culas siendo la excepci¶on m¶as notable un sistema r¶³gidode part¶³culas, que tiene justamente 6 grados de libertad, o en otras palabras,que su posici¶on puede especi¯carse con solo 6 coordenadas o par¶ametros. Lasegunda de las ecuaciones anteriores, toma la misma forma en un sistemaespecial, no necesariamente inercial, con origen en el centro de masas G ytal que sus ejes no roten. Es decir, puede probarse que

d~LGdt

= ~¡extG : (1.4)

Entre el sistema inercial y ese otro mencionado con origen en G, puedendemostrarse las siguientes relaciones (relaciones de Koenig), consecuenciassimples de la transformaci¶on de Galileo

~LO = M~rG £ ~vG + ~LGK =

1

2Mv2G +KG


siendo KG y ~LG la energ¶³a cin¶etica y momentum angular relativos al sistemacon origen en G.

1.1.3 Torque en punto arbitrario.

En general, si se considera otro sistema con origen en un punto A, cuyos ejesno roten, de¯nimos

~LA =X

mi(~ri ¡ ~rA)£ d

dt(~ri ¡ ~rA)

entonces considere el siguiente desarrollo

d~LAdt

=X

mi(~ri ¡ ~rA)£ d2

dt2(~ri ¡ ~rA)

=X

mi(~ri ¡ ~rA)£ (~ai ¡ ~aA)=

Xmi~ri £ (~ai ¡ ~aA)¡

Xmi~rA £ (~ai ¡ ~aA)

=d~L0dt

¡M~rG £ ~aA ¡ ~rA £X

~F exti +M~rA £ ~aA=

X(~ri ¡ ~rA)£ ~F exti +M(~rA ¡ ~rG)£ ~aA:

es decird~LAdt

= ~¡extA ¡M¡!AG£ ~aA; (1.5)

y de modo que, la relaci¶on entre derivada del momentum angular y torque,es v¶alida para puntos (A) que cumplan una de las siguientes condiciones:

A = G; ~aA = 0; ~aA paralela a¡!AG:

La tercera condici¶on es de utilidad en algunos problemas de la din¶amica delcuerpo r¶³gido, como se ilustra en ese cap¶³tulo, cuando se tiene informaci¶onsobre el movimiento de un punto determinado.Demostraremos adem¶as que adem¶as se tiene en general

~LO =M~rA £ ~vG +M¡!AG£ ~vA + ~LA:

En efecto


~LO =X

mi(~ri0 + ~rA)£ (~vi0 + ~vA)

=X

mi( ~ri0 £ ~vi0 + ~rA £ ~vi0 + ~ri0 £ ~vA + ~rA £ ~vA);

=X

mi( ~ri0 £ ~vi0 + ~rA £ ~vi0 + ~ri0 £ ~vA + ~rA £ ~vA);

siendo ahora Xmi ~ri

0 = M¡!AG;X

mi ~vi0 = M(~vG ¡ ~vA);

de modo que

~LO = ~LA +M~rA £ ~vG +X

mi(~rA £ ~vi0 + ~ri0 £ ~vA)= ~LA +M~rA £ ~vA +M~rA £ (~vG ¡ ~vA) +M¡!AG£ ~vA= ~LA +M~rA £ ~vG +M¡!AG£ ~vA:

Ejercicio 1.1.1 Discuta la posible aplicaci¶on del tercer caso (~a paralela a¡!AG), cuando se trata de un cuerpo r¶³gido que rueda sin deslizar, conside-rando el punto A como el punto de contacto. Es un error com¶un considerarcomo argumento para el uso de lo anterior que dicho punto tiene velocidadinstant¶anea cero, pues en general tiene aceleraci¶on no nula.

1.1.4 Teorema Energ¶³a Trabajo.

De las ecuaciones de movimiento es posible escribir una primera integral deellas en la forma que sigue, donde, sin perder generalidad, se separan las fuer-zas externas en sus posibles partes conservativa y no conservativa. Adem¶asse supone que las fuerzas de interacci¶on son derivables de un potencial de in-teracci¶on dependiente de la distancia entre las dos part¶³culas y posiblementede par¶ametros propios de ellas dos (masas, cargas, etc.). En el caso de unsistema r¶³gido de part¶³culas, la ¶ultima suposici¶on no es necesaria, por cuan-to el trabajo que realizan las fuerzas de interacci¶on es nulo, al mantenerseconstantes las distancias entre part¶³culas. Este teorema es

¢(K + V + V int) = Wnc1!2; (1.6)


donde el trabajo no conservativo (nc) externo (ext) es la integral de l¶³nea

Wnc1!2 =

2Z1

~F ext;nc ¢ d~r;

V es la energ¶³a potencial asociada a la posible parte conservativa de lafuerza externa y V int la energ¶³a potencial de interacci¶on. Si el lado derecho,el trabajo realizado por la posible parte no conservativa de la fuerza exteriores cero, entonces se conserva la energ¶³a mec¶anica total del sistema. En el casoimportante de un sistema r¶³gido de part¶³culas, al no variar las distancias entrelas part¶³culas, puede tomarse V int = 0:

Ejercicio 1.1.2 Demuestre que la suma de los trabajos internos es cero silas distancias entre las part¶³culas son invariables.

Ejercicio 1.1.3 Demuestre el teorema 1.6.

1.1.5 Sistema de dos part¶³culas.

El problema de¯nido por el conjunto de ecuaciones (1.1), es en general nosolucionable anal¶³ticamente, si N ¸ 3: La principal di¯cultad consiste enla imposibilidad de separar variables. El sistema de dos part¶³culas interac-tuando a trav¶es de una fuerza conservativa es un caso soluble de sistemas depart¶³culas. Tomando en cuenta la validez del principio de acci¶on y reacci¶on,las dos ecuaciones para ese caso son

m1~a1 = ~f(~r1 ¡ ~r2)m2~a2 = ¡~f(~r1 ¡ ~r2):

Esas ecuaciones son f¶acilmente desacoplables utilizando como nuevas varia-bles las posici¶on del centro de masa ~rG y la posici¶on relativa ~r = ~r1 ¡ ~r2resultando

M~aG = 0;

¹~a = ~f(~r);

siendo ¹ la masa reducida del sistema de dos part¶³culas, es decir

¹ =m1m2

m1 +m2:


Entonces, el problema se ha reducido a resolver el problema de una part¶³culade masa reducida ¹ en presencia de una fuerza central, con centro de fuerzaen una de las part¶³culas. Este resultado es sorprendentemente simple consi-derando que el origen (la posici¶on de una de las part¶³culas) est¶a acelerado.

Energ¶³a cin¶etica.

La energ¶³a cin¶etica de un sistema de dos part¶³culas tiene una expresi¶on quesepara el movimiento del centro de masas del movimiento relativo, esta es

K =1

2Mv2G +

1

2¹v2:

En efecto, partiendo de

~r1 = ~rG +m2

M~r;

~r2 = ~rG ¡ m1

M~r;

si derivamos respecto al tiempo, obtenemos las velocidades de las part¶³culas

~v1 = ~vG +m2

M~v;

~v2 = ~vG ¡ m1

M~v;

por lo cual la energ¶³a cin¶etica ser¶a

K =1

2m1v

21 +

1

2m2v

22

=1

2m1

µv2G + 2

m2

M~vG ¢ ~v +

³m2

Mv´2¶

+

1

2m2

µv2G ¡ 2

m1

M~vG ¢ ~v +

³m1

Mv´2¶

=1

2Mv2G +

1

2

µm1

³m2

Mv´2+m2

³m1

Mv´2¶

=1

2Mv2G +

1

2

m1m2

M

³m2

Mv2 +

m1

Mv2´;

que prueba el resultado.

1.2 Campo Central de Fuerza. 9

Ejercicio 1.1.4 Demuestre que las relaciones de transformaci¶on de varia-bles pueden escribirse:

~r1 = ~rG +m2

M~r;

~r2 = ~rG ¡ m1

M~r:

Ejercicio 1.1.5 Analice las di¯cultades que se presentan al tratar de sepa-rar variables en el sistema de dos part¶³culas en el caso relativista, es decircuando las masas dependen de la velocidad en la formam = m0=

p1¡ (v=c)2:

Ejercicio 1.1.6 En el choque de dos part¶³culas, compruebe la equivalenciaentre conservaci¶on de energ¶³a y coe¯ciente de restituci¶on unidad.

Ejercicio 1.1.7 Suponga un asteroide esf¶erico de 1 Km de di¶ametro quetiene una rapidez de 60 [Km/s], con una densidad (como el agua) de 1[gm/cc]. Determine la energ¶³a que deber¶³a liberar una explosi¶on interna paradividir al asteroide en dos trozos iguales, cada uno formando un ¶angulo deun grado respecto a la direcci¶on de la velocidad original.

1.2 Campo Central de Fuerza.

Consideraremos una part¶³cula de masa ¹ sobre la cual act¶ua una fuerza cen-tral conservativa cuya direcci¶on es paralela al vector posici¶on ~r:M¶as adelante,al estudiar scattering entre dos part¶³culas consideraremos m¶as en detalle lapresencia de los dos cuerpos y la transformaci¶on entre coordenadas relativasy coordenadas del laboratorio Por ahora, el vector posici¶on ~r representar¶ael vector posici¶on relativo entre las dos part¶³culas. Si escribimos la fuerzacentral como

~f(~r) = ¡dV (r)dr

r;

de la ecuaci¶on de movimiento anterior, se tiene

¹~a = ~f(~r) = ¡dV (r)dr

r;

y se deducen de aqu¶³, (demu¶estrelo)


I Teorema 1.1Se conserva el momentum angular ~lO = ¹~r £ ~v:I Teorema 1.2La trayectoria est¶a sobre un plano ¯jo, perpendicular al vector constante ~lO.

Por lo tanto, es su¯ciente utilizar coordenadas polares (r; µ) en el plano delmovimiento. En esas coordenadas, las ecuaciones de movimiento ser¶an

¹

µd2r

dt2¡ r _µ2

¶= ¡dV (r)

dr(1.7)

ylO = ¹r

2 _µ = constante: (1.8)

Eliminando _µ es posible escribir una ecuaci¶on radial para r(t) y su primeraintegral que corresponde a la conservaci¶on de la energ¶³a E: Es decir

¹

µd2r

dt2¡ l2O¹r3

¶= ¡dV (r)

dr

y1

2¹ _r2 +

l2O2¹r2

+ V (r) = E = constante.

Si llamamos potencial efectivo para la coordenada radial a

Uef =l2O2¹r2

+ V (r);

este es diferente de cero para una part¶³cula libre. El efecto del primer t¶erminoes siempre repulsivo lo cual se puede entender, para el caso de una part¶³culalibre que se mueve en l¶³nea recta, simplemente porque la distancia r al origenpasa siempre por un m¶³nimo. Para potenciales V (r) atractivos (negativos),en general pueden haber m¶aximos y m¶³nimos de la distancia r, los llamadospuntos de retorno.

1.2 .1 Campo Central de Fuerza.

La dependencia de las variables polares en el tiempo es compleja. Es m¶assimple encontrar la dependencia de la distancia con el ¶angulo, es decir en-contrar la ¶orbita. En efecto, haciendo uso de la conservaci¶on del momentum


angular, es posible eliminar el tiempo de la ecuaci¶on radial (1.7) mediante

d

dt=dµ

dt

d

dµ=l2O¹r2

d

dµ;

resultando para s = 1=r la siguiente ecuaci¶on diferencial (ecuaci¶on de Binet):

d2s

dµ2+ s = ¡ ¹

l2O

dV (1=s)

ds:

Para un campo de fuerza inverso al cuadrado de la distancia, la integraci¶onde la ¶ultima ecuaci¶on es simple. Es decir si

V (r) = ¡Kr;

siendo K > 0 para el caso atractivo y repulsivo en caso contrario, entoncesla ecuaci¶on se reduce a

d2s

dµ2+ s =

¹

l2OK;

cuya soluci¶on general, en t¶erminos de dos constantes e y ® es

s =¹K

l2O(1¡ e cos(µ ¡ ®));

o bien

r =l2O¹K

1

1¡ e cos(µ ¡ ®) ;

con e la excentricidad de la ¶orbita y ® la orientaci¶on del semieje mayorde la c¶onica resultante, que son constantes por determinar en t¶erminos decondiciones f¶³sicas conocidas, inicialmente o en un punto de la trayectoria. Sise considera la de¯nici¶on de una c¶onica en t¶erminos de un foco y su distanciaa la directriz p, como el lugar geom¶etrico de los puntos del plano tales quela raz¶on de las distancias al foco y a la directriz es una constante e, laexcentricidad de la c¶onica, se obtiene una ecuaci¶on de la misma forma. Enefecto, con respecto a la ¯gura (1.3), puede obtenerse

r

p+ r cos µ= e =) r =

pe

1¡ e cos µ :

En el caso atractivo, K > 0, la trayectoria es entonces una elipse si 0 · e < 1;


eje polar

directriz

O

foco

r

p!

p + r cos !

Figura 1.3: Secci¶on c¶onica

O

"

O O" "

parábolaelipse hipérbola

Figura 1.4: Tipos de c¶onicas

una par¶abola si e = 1 y una hip¶erbola si e > 1. Valores de e negativos noson necesarios de considerar, pues ellos corresponder¶³a simplemente a rotarla ¶orbita en 180 grados, lo cual es preferible hacer con un valor adecuado de®, ver ¯g.(1.4).

En el caso repulsivo, K < 0, la soluci¶on deber¶³a escribirse

r =l2O¹ jKj

1

e cos(µ ¡ ®)¡ 1 ;

es decir, en este caso, las trayectorias son hip¶erbolas.


1.2.2 Relaci¶on entre energ¶³a y excentricidad.

Como veremos, la en erg¶³a de l s ist e ma , det e r mina la exc ent r i cida d. E n e f ect oconsidere

1

2¹ _r2 +

l2O2¹r2

¡ Kr= E;

y

r =l2O¹K

1

1¡ e cos(µ ¡ ®) :

Evaluemos la energ¶³a constante en el punto m¶as pr¶oximo al centro de fuerza,el cual existe en todos los casos y corresponde a µ ¡ ® = ¼ siendo adem¶asah¶³ _r = 0. As¶³ resulta

l2O2¹r21

¡ Kr1= E;

y

r1 =l2O¹K

1

1 + e:

Si se reemplaza r1 en la primera resulta

E =l2O2¹

µ¹K(1 + e)

l2O

¶2¡K¹K(1 + e)

l2O

=1

2K2¹

e2 ¡ 1l2O

;

de donde sigue el resultado

e2 = 1 +2El2O¹K2

:

Ejercicio 1.2.1 A pesar que la energ¶³a E es negativa para ¶orbitas cerradas,demuestre que el lado derecho en el problema anterior es no negativo.

Indicaci¶on:

E =1

2¹ _r2 +

l2O2¹r2

¡ Kr¸ l2O2¹r2

¡ Kr¸ ¡¹K

2

2l2O;

debido a que l2O=2¹r2 ¡K=r tiene un m¶³nimo.


Ejercicio 1.2.2 Para el caso de ¶orbita el¶³ptica, demuestre que los semiejesmayor y menor de la elipse est¶an dados respectivamente por

a =l2O¹K

1

1¡ e2 ; b =l2O¹K

1p1¡ e2 :

Ejercicio 1.2.3 Demuestre la ley de Kepler de los periodos, es decir de-muestre que el periodo en el caso de movimiento el¶³ptico T est¶a dado por

T = 2¼

r¹

Ka32 :

Ejercicio 1.2.4 Una part¶³cula est¶a en ¶orbita circular de radio a en tornoa la tierra, supuesta esf¶erica, en reposo, de masa total M , de radio R; y sinconsiderar roce con el aire. Demuestre que si la velocidad de la part¶³culaes repentinamente cambiada por un factor f , la excentricidad de la ¶orbitaresultante es

e =¯f2 ¡ 1¯ :

Ejercicio 1.2.5 Respecto a la situaci¶on del problema anterior, determineel factor f para que la part¶³cula pase tangente a la super¯cie terrestre.

1.2.3 Expresi¶on integral para la trayectoria.

Una forma alternativa para obtener la ecuaci¶on de la ¶orbita o trayectoria,consiste en considerar

_r =

r2

¹

sE ¡ V (r)¡ l2O

2¹r2;

y

_µ =lO¹r2

;

de donde, eliminando el tiempo, se puede obtener

µ = µ0 +lOp2¹

r(µ)Zr0

1

r2pE ¡ V (r)¡ l2O=(2¹r2)

dr: (1.9)

expresi¶on integral para la trayectoria r(µ):

1.3 Sistemas de masa variable. 15

1.3 Sistemas de masa variable.

Con algunas consideraciones pueden tratarse sistemas que ganan o pierdenmasa en forma aut¶onomo. Para ello considere un an¶alisis diferencial de loque ocurre cuando un sistema de masa inicial m(t) con una velocidad ~v(t) es

actuado por una fuerza externa ~F (t) e incorpora una cantidad in¯nitesimalde masa dm(t) la cual tiene, justo antes de incorporarse, una velocidad ~u(t):Transcurrido un tiempo dt, las masa del sistema es m(t) + dm(t). La cues-ti¶on es >cu¶anto ha variado la velocidad del sistema en este proceso? Paraeste efecto considere que el sistema total es de masa constante, por lo tantopodemos usar el hecho que el cambio de la cantidad de movimiento total esproducido por la fuerza ~F (t) solamente, es decir

~F (t)dt = (m(t) + dm)(~v(t) + d~v(t))¡ (dm~u(t) +m(t)~v(t));

de aqu¶³, despreciando in¯nit¶esimos de segundo orden, se establece el resultado

~F (t) = m(t)d~v(t)

dt¡ (~u(t)¡ ~v(t))dm(t)

dt: (1.10)

Aun cuando el an¶alisis ha sido hecho para sistemas que ganan masa, el mismoresultado se obtiene para sistemas que pierden masa, pero en este ¶ultimocaso ~u(t) representar¶a la velocidad de los elementos de masa justo despu¶esde abandonar el sistema.

Ejemplo 1.3.1 Una cadena °exible de longitud total L y de masa total Mse suspende de modo que su extremo inferior est¶a justo al nivel del suelo yse suelta. Determine la reacci¶on que ejerce el suelo sobre el mont¶on que seacumula mientras la cadena cae. (Se supone que los eslabones son in¯nite-simales y que no rebotan en el suelo).

Soluci¶on. Sea el sistema de masa variable el mont¶on acumulado, demodo que aqu¶³, en la direcci¶on vertical

v(t) = 0; u(t) = ¡gt; F (t) = R(t)¡mg; m =M

L

1

2gt2:

Por lo tanto, la ecuaci¶on (1.10) nos da

R(t)¡mg = ¡udmdt;


y ¯nalmente

R(t) =3

2

M

Lg2t2:

N

Ejemplo 1.3.2 Una cadena °exible de longitud total L y de masa total Mviene deslizando sobre una super¯cie horizontal lisa con rapidez vo, en ladirecci¶on positiva del eje OX. Al llegar al origen se encuentra con un bloquede masa M inicialmente en reposo. Determine la posici¶on del bloque enfunci¶on del tiempo mientras la cadena se acumula contra el. (Se supone quelos eslabones son in¯nitesimales y que no rebotan en el bloque).

Soluci¶on. Sea x la coordenada del bloque. La masa total del sistema,bloque m¶as trozo acumulado ser¶a

m(t) =M +M

L(v0t¡ x);

adem¶as u(t) = v0, v(t) = _x, F (t) = 0; de modo que la ecuaci¶on (1.10)conduce a la siguiente ecuaci¶on diferencial

0 =

µM +

M

L(v0t¡ x)

¶Äx¡ M

L(v0 ¡ _x)2;

o bien, en t¶erminos de una variable auxiliar z = L+ v0t¡ x

0 = zÄz + _z2;

con condiciones iniciales z(0) = L, _z(0) = v0: Integrando dos veces se obtiene

_z =Lv0z;

1

2z2 =

1

2L2 + Lv0t;

y ¯nalmente

x = L+ v0t¡pL2 + 2Lv0t; si t < L=v0:

M¶as tarde, el sistema contin¶ua movi¶endose con la rapidez constante alcanzadaal agotarse la cadena. (Ello ocurre cuando (v0t¡x)M=L =M , o bien z = 2L)

N

1.3 Sistemas de masa variable. 17

Ejemplo 1.3.3 Una cadena °exible de masa distribuida uniformemente ¸[Kg=m] est¶a amontonada en el suelo y se aplica a uno de sus extremos, unafuerza constante hacia arriba F . Determine la altura de la cadena levantadaen funci¶on del tiempo.

Soluci¶on. Sea y la altura. Aqu¶³ u = 0; v = _y, m = ¸y, de modo que laecuaci¶on de movimiento ser¶a

F ¡ ¸yg = ¸yÄy + ¸ _y2 = 1

2¸

µyd _y2

dy+ 2 _y2

¶la cual puede ser integrada mediante un factor integrante y. As¶³ resulta

2Fy ¡ 2¸y2g = ¸ ddy(y2 _y2);

entonces F ¡ 23¸yg = ¸ _y2 de donde se obtiene

_y =

rF

¸¡ 23yg; t =

Z y

0

dyqF¸¡ 2

3yg;

y ¯nalmente

y = t

rF

¸¡ 16gt2:

Aunque parezca paradojal, la rapidez inicial del extremo de la cadena despu¶esde aplicada la fuerza no es cero, es

pF=¸ cuesti¶on que se explica pues se

ha aplicado una fuerza ¯nita, a un elemento in¯nit¶esimo de masa. Adem¶aspuede observarse que la cadena se detiene cuando F = 2

3¸yg, y para ese

instante el largo levantado tiene un peso ¸yg = 32F , mayor que la fuerza

aplicada. Naturalmente despu¶es bajar¶a hasta que ¯nalmente sea ¸yg = F .

N

Ejemplo 1.3.4 Un dep¶osito cil¶³ndrico con base circular de ¶area A tienel¶³quido (agua por ejemplo) inicialmente hasta una altura h0. Al nivel delsuelo liso, se hace un peque~no agujero circular de ¶area a por el cual saleagua horizontalmente. Determine la aceleraci¶on del dep¶osito producto de lap¶erdida de masa.


Soluci¶on. Sea h(t) la altura del agua en el dep¶osito, ½ su densidad. Sisuponemos que la aceleraci¶on no afecta demasiado la super¯cie del agua,podemos primero estimar la forma en que decrece la masa del l¶³quido en elrecipiente si a¿ A, para el dep¶osito estacionario. La rapidez de salida por elori¯cio (relativa al recipiente) ser¶a de magnitud

p2gh, de modo que el caudal

m¶asico de salida ser¶a ½p2gh a. Entonces la masa del l¶³quido disminuye de la

forma

dm

dt= ¡½

p2gh a;

dm

dt= ¡

p2½ga

pm;

de donde integrando se obtiene

2pm¡ 2pm0 = ¡

p2½ga t:

Ahora planteamos la ecuaci¶on de movimiento suponiendo que la velocidadrelativa del agua que sale es

u¡ v = ¡p2gh

as¶³ resulta

0 = m(t)dv(t)

dt¡³¡p2gh

´ dm(t)dt

;

0 = m(t)dv(t)

dt¡µ¡r2gm

½a

¶dm(t)

dt;

que al ser integrada conduce a

v(t) = ¡r2g

½a(2pm¡ 2pm0) = 2gt;

y ¯nalmentea(t) = 2g

mientras quede l¶³quido en el recipiente. (Este resultado aun no lo creo) Otrosproblemas y ejemplos pueden ser encontrados en el libro de Pars ([11]).

N

Cap¶³tulo 2

Sistema de referencia noinercial.

2.1 Ecuaciones de movimiento.

Las ecuaciones de Newton para un sistema de part¶³culas deben ser formuladasrespecto a un sistema inercial de referencia. De ser necesario utilizar unsistema no inercial, ya sea porque est¶e acelerado o tenga rotaciones respectoal inercial, podemos establecer las relaciones entre el movimiento absoluto,respecto al sistema inercial, y el movimiento relativo respecto al sistema noinercial en uso, como se explica a continuaci¶on. Respecto a la ¯gura (2.1) si~r indica el vector posici¶on absoluto y ~r 0 indica el vector posici¶on relativo deuna de las part¶³culas del sistema, tenemos que

~r = ~rA + ~r0:

Para relacionar velocidades y aceleraciones, debemos considerar que la ve-locidad relativa y aceleraci¶on relativas son las derivadas del vector posici¶onrelativo con vectores unitarios considerados constantes, entonces si

~r 0 = x0{0 + y0|0 + z0k0;

la velocidad y aceleraci¶on relativas son

~v rel = _x0{0 + _y0|0 + _z0k0;

20 Sistema de referencia no inercial.

X

Y

Z

O

r

X'

Y'

Z'

A

r '

rA

Figura 2.1: Sistema de referencia no inercial

~a rel = Äx0{0 + Äy0|0 + Äz0k0:

La existencia del denominado vector velocidad angular ~! del sistema m¶ovil,ser¶a justi¯cada en el cap¶³tulo sobre rotaciones, por ahora bastar¶a aceptarque las derivadas de los vectores unitarios m¶oviles est¶an dadas por ~!£ elrespectivo vector unitario, de modo que se puede obtener

~v = ~vA + ~! £ ~r 0 + ~v rel;

y~a = ~aA + ~®£ ~r 0 + 2~! £ ~v rel + ~! £ (~! £ ~r 0) + ~a rel:

Esta expresi¶on es conocida como teorema de Coriolis. Aqu¶³ ~® representala aceleraci¶on angular o sea la derivada respecto al tiempo de la velocidadangular. En esta expresi¶on los t¶erminos 2~!£~v rel y ~aA+~®£~r 0+~!£(~!£~r 0)son conocidos como la aceleraci¶on de Coriolis y la aceleraci¶on de arrastre dela part¶³cula respectivamente. Considerando lo anterior, la Segunda Ley deNewton en el sistema no inercial de referencia tiene la expresi¶on

m~a rel = ~F ¡m( ~aA + ~®£ ~r 0 + 2~! £ ~v rel + ~! £ (~! £ ~r 0)); (2.1)

que puede interpretarse diciendo que la part¶³cula obedece la segunda Leyen un sistema no inercial, pero a la fuerza real ~F hay que agregarle fuerzas

2.2 Movimiento relativo a la tierra. 21

¯cticias dadas por

~F arrastre = ¡m( ~aA + ~®£ ~r 0 + ~! £ (~! £ ~r 0));y

~F coriolis = ¡2m~! £ ~v rel:

2.2 Movimiento relativo a la tierra.

Un ejemplo bastante cotidiano de sistema no inercial de referencia lo cons-tituye la Tierra. Su no inercialidad se debe principalmente a la rotaci¶onterrestre respecto a su eje, que es muy aproximadamente constante y equiva-lente a una vuelta completa en 24 horas. Su valor en consecuencia es bastantepeque~no

! =2¼

24£ 3600 = 7: 272 2£ 10¡5 s¡1 .

Ello justi¯ca la denominada aproximaci¶on !2 ¼ 0, donde se desprecian lost¶erminos en !2. Si se considera como modelo a la tierra como perfectamenteesf¶erica de masa M y radio R, podemos elegir como sistema no inercial ¯joen la tierra un sistema con origen en la super¯cie terrestre en una latitud quedenominaremos ¸: El eje z se elije vertical{no necesariamente radial{el eje xperpendicular a z dirigido hacia el Sur, el eje y perpendicular a los anteriores,o sea hacia el Este, como se indica en la ¯gura (2.2). La desviaci¶on entrela vertical del lugar y la direcci¶on radial " est¶a exagerada en la ¯gura. Suestimaci¶on se hace en la secci¶on siguiente.

2.2.1 Vertical y aceleraci¶on de gravedad del lugar.

Un primer efecto de la no inercialidad del sistema de referencia terrestrees que la vertical del lugar se desv¶³a de la direcci¶on radial terrestre y quela aceleraci¶on de gravedad depende de la latitud. En efecto, la de¯nici¶on depeso y de vertical se hacen de acuerdo a una plomada de masa m en situaci¶onestacionaria en la Tierra. As¶³ la vertical es la direcci¶on de la plomada y elpeso es de magnitud de¯nida como la tensi¶on en el hilo de la plomada. Paraesa situaci¶on estacionaria, la aceleraci¶on y velocidad relativas son cero, porlo tanto una aplicaci¶on de la ecuaci¶on 2.1 a esta situaci¶on implica

0 = ~T ¡ GMmR2

r ¡m~aA;


X

Y

OR

A

####

$$$$

%%%%

Z

Zo

Figura 2.2: Sistema de referencia ¯jo a la Tierra

donde se ha considerado que adem¶as de la fuerza gravitacional act¶ua la ten-si¶on del hilo, la velocidad angular es constante y ~r 0 = 0. De acuerdo a loexplicado la direcci¶on de ~T es el eje z y su magnitud se de¯ne como mg, elpeso del cuerpo y g la aceleraci¶on local de gravedad. Entonces tenemos que

mgz =GMm

R2r +m~aA: (2.2)

Adem¶as, la aceleraci¶on del origen A est¶a dada por

~aA = !k0 £ (!k0 £Rr) = R!2(sin¸ k0 ¡ r): (2.3)

De modo que si se toma la magnitud de la ecuaci¶on (2.2) se obtiene

g =

sµGM

R2

¶2¡ 2GM

R2R!2 cos2 ¸+R2!4 cos2 ¸; (2.4)

=

sµGM

R2

¶2¡ (2GM

R¡R2!2)!2 cos2 ¸ (2.5)

que se reduce en el Polo a

gp =GM

R2;


y en el Ecuador a

ge =

µGM

R2

¶¡R!2:

La raz¶on entre la aceleraci¶on centr¶³peta en el ecuador R!2 y la aceleraci¶onde gravedad en el polo usualmente designada por ¯ est¶a dada por

¯ =R!2

GM=R2= 3: 425 7£ 10¡3;

de modo quege = gp(1¡ ¯):

Para el caso de nuestro planeta (Serway, [17]), los valores num¶ericos pararadio promedio terrestre R = 6:37£106 m, masa de la tierraM = 5:98£1024kg, constante de gravitaci¶on G = 6:67259£ 10¡11 Nm2 kg¡2, ! = 2¼

24£3600 s¡1

permiten estimar gp, ge num¶ericamente y aproximar la expresi¶on (2.4) comosigue

gp = 9: 833 7m s¡2

ge = 9:8m s¡2

g =

sµGM

R2

¶2¡ 2GM

R2R!2 cos2 ¸+R2!4 cos2 ¸ ((a))

=GM

R2

s1¡ 2R!

2 cos2 ¸GMR2

+R2!4 cos2 ¸

G2M2

R4

= gp

q1¡ 2¯ cos2 ¸+ ¯2 cos2 ¸

¼ gp(1¡ ¯ cos2 ¸) = ge(1 + ¯ sin2 ¸)= 9:8(1 + 0:003 425 7£ sin2 ¸)

Sin embargo, la tierra no es esf¶erica y de acuerdo a la Uni¶on Internacionalde Geodesia y Geof¶³sica de 1967, (pag. [13]) el valor de g al nivel del marvar¶³a con la latitud de acuerdo a

g = 9:780309(1 + 0:00530238 sin2 ¸¡ 0:000005850 sin2(2¸) + ((b))

0:00000032 sin2 ¸ sin2 2¸):


9.78

9.79

9.8

9.81

9.82

9.83

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

(a)

(b)

Figura 2.3: Gravedad local, tierra esf¶erica (a) y real (b)

Ambas expresiones est¶an gra¯cadas en funci¶on de ¸ (de 0 ¡! ¼=2 = 1: 570 8)por las curvas superior (a) e inferior (b) respectivamente en la ¯gura (2.3).Para prop¶ositos pr¶acticos las antiguas f¶ormulas todav¶³a se usan, la llamadaf¶ormula de Cassinis se cita como referencia

g = 9:780490(1 + 0:0052884 sin2 ¸¡ 0:0000059 sin2(2¸)):

Desviaci¶on de la vertical.

Una estimaci¶on del ¶angulo " ; entre la vertical y la direcci¶on radial, puedeobtenerse de la misma ecuaci¶on referida anteriormente haciendo un productocruz de ella con r. El resultado que se obtiene es

sin " =R!2

gsin¸ cos ¸; (2.6)

o sea desviaci¶on cero en el Ecuador y en el Polo y desviaci¶on m¶axima para la-titud de 45 grados del orden de 0:1 grados. De acuerdo a los valores num¶ericosse~nalados la ¶ultima expresi¶on puede ser aproximada a

" ¼ 0:003 sin¸ cos¸: (2.7)

2.2.2 Ecuaci¶on de movimiento aproximada.

Para movimientos en la vecindad del origen A, la ecuaci¶on (2.1) con la ayudade la ecuaci¶on (2.2) puede ser escrita como

m~a = ~F ¡mgk + GMmR2

r ¡m(~®£ ~r + 2~! £ ~v + ~! £ (~! £ ~r)):


Hemos suprimido las (0) y se entiende que las posiciones, velocidades y ace-leraciones son de ahora en adelante relativas a la Tierra. Adem¶as si con-sideramos que ~® = 0 y denotamos por ~f la fuerza actuante, fuera de lagravitacional, la aproximaci¶on considerada es

m~a = ~f ¡mgk ¡ 2m~! £ ~v: (2.8)

El movimiento de una part¶³cula bajo la in°uencia de la aceleraci¶on local degravedad solamente (~f = 0) dado por la ecuaci¶on (2.8) est¶a determinado enesta aproximaci¶on (!2 ¼ 0) por

~a = ¡gk ¡ 2~! £ ~v;

de donde por integraci¶on

~v = ~v(0)¡ gtk ¡ 2~! £ (~r ¡ ~r(0));

que si es sustituida en la expresi¶on de la aceleraci¶on haciendo !2 = 0 eintegrada dos veces, conduce a

~a = ¡gk ¡ 2~! £ (~v(0)¡ gtk)= ¡gk ¡ 2~! £ ~v(0) + 2gt~! £ k

de donde la velocidad est¶a dada por

~v = ~v(0)¡ gtk ¡ 2t~! £ ~v(0) + gt2~! £ k;

y la posici¶on por

~r = ~r(0) + ~v(0)t¡ 12gt2k ¡ t2~! £ ~v(0) + 1

3gt3~! £ k:

Esta expresi¶on constituye la soluci¶on para el movimiento de un proyectil enlas cercan¶³a de la Tierra para condiciones iniciales arbitrarias. Debe obser-varse que para cualquier caso se tiene que

~! £ k = ! cos ¸|

o sea ese t¶ermino contribuye siempre a desviar la part¶³cula hacia el Este. Eset¶ermino puede ser compensado para tiempos no muy grandes por el cuartot¶ermino si la part¶³cula parte hacia arriba.


2.2 .3 P¶en du lo de Foucault.

Respecto al sistema de referencia Terrestre una masa puntual m se unemediante una cuerda liviana inextensible L a un punto ¯jo de coordena-das (0; 0; L) de modo que la part¶³cula est¶a en equilibrio relativa a la tierra(estacionaria) en el origen del sistema. Para una perturbaci¶on peque~na de laposici¶on m¶as baja, la ecuaci¶on de movimiento (2.8), escrita en coordenadascartesianas tiene por componentes

max = Tx ¡ 2m(¡!(sin¸) _y);may = Ty ¡ 2m((! sin¸) _x¡ (¡! cos¸)) _z;maz = Tz ¡mg ¡ 2m(¡! cos¸) _y:

La tensi¶on en la cuerda puede ser escrita como

~T =

µ¡xLT;¡ y

LT;L¡ zL

T

¶;

de modo que

Äx = ¡ x

mLT + 2! _y sin¸;

Äy = ¡ y

mLT ¡ 2!( _x sin¸+ _z cos¸);

Äz =L¡ zmL

T ¡ g + 2! _y cos¸:

De la tercera ecuaci¶on del ¶ultimo grupo, si z es peque~no, entonces T ¼mg ¡ 2m! _y cos¸. De modo que las ecuaciones aproximadas de movimientoen el plano xy ser¶an

Äx+g

Lx¡ 2! _y sin¸ = 0;

Äy +g

Ly + 2! _x sin¸ = 0:

Si denotamos por ~ = (¡! sin¸)k y por ~R = (x; y) al vector posici¶on en elplano, las dos ¶ultimas ecuaciones pueden ser escritas en una sola como

d2

dt2~R¡ 2~£ d

dt~R +

g

L~R = 0; (2.9)

donde se derivan solamente las coordenadas. En t¶erminos simples, esas deri-vadas son la velocidad y aceleraci¶on del punto del plano relativas al sistema


(x; y; z). Podemos relacionar con las velocidades y aceleraciones relativas a

otro sistema que tiene el mismo origen y rota con velocidad angular ~, perodespreciando t¶erminos en 2, de acuerdo a

d

dt~R =

@

@t~R+ ~£ ~R;

d2

dt2~R =

@2

@t2~R+ 2~£ @

@t~R;

por lo tanto la ecuaci¶on para la variaci¶on relativa de las coordenadas es

@2

@t2~R+ 2~£ @

@t~R ¡ 2~£ @

@t~R+

g

L~R ¼ 0;

o bien@2

@t2~R+

g

L~R ¼ 0: (2.10)

Esto es, oscilaciones de frecuencia angular ! =pg=L respecto a un sistema

que rota respecto a la vertical del lugar con la frecuencia angular (precesi¶on deFoucault) (¡! sin¸)k. El movimiento de este p¶endulo ha sido iniciado desdeel origen con alguna velocidad inicial peque~na. Si el movimiento es iniciadodesde un punto alejado de la vertical, se mani¯esta otro efecto (precesi¶on delp¶endulo esf¶erico) que se describe en la secci¶on siguiente y con m¶as detallesen el ap¶endice.

2.2.4 P¶endulo esf¶erico.

Un efecto similar al de Foucault pero de menor magnitud ocurre cuandoel movimiento del p¶endulo se inicia desde una posici¶on alejada de la verticalcon alguna velocidad inicial de precesi¶on o nula, aun cuando este movimientosea respecto a un sistema inercial. Este efecto de \¶area" es deducido en elap¶endice y en la referencia Synge, p.56 [19], \ la velocidad angular aerolares (3=8)®2! sin¸". En el movimiento relativo a la tierra que rota, si elmovimiento de la part¶³cula se inicia desde un punto alejado de la verticalquemando un hilito que la sostiene (en reposo relativo a la tierra), la rotaci¶onterrestre causa que exista una velocidad absoluta de precesi¶on inicial distintade cero, por lo cual el efecto de precesi¶on proporcional al ¶area de la elipse semanifestar¶a. Sin rotaci¶on terrestre el movimiento estar¶³a en un plano vertical.Considerando la rotaci¶on terrestre veremos que si la amplitud angular inicial


es peque~na, la ¶orbita proyectada en un plano horizontal es una elipse queprecesa en torno de la vertical con una velocidad angular de precesi¶on muchomenor que la de Foucault.

2.3 Teorema de Larmor.

Respecto a un sistema inercial, si parte de la fuerza que act¶ua sobre unapart¶³cula es perpendicular a la velocidad y a una direcci¶on ¯ja k0 de modoque

~F = ~f + ®~v £ k0;una simpli¯caci¶on de la ecuaci¶on de movimiento en el sistema de referenciainercial se logra si se utiliza un sistema de referencia (no inercial) que rotacon velocidad angular constante en la direcci¶on ¯ja k0: La segunda ley deNewton nos dar¶³a, para un origen A ¯jo

m~a rel = ~f + ®~v £ k0 ¡m(2~! £ ~v rel + ~! £ (~! £ ~r));

pero aqu¶³ conviene elegir ~! = !k0; resultando

m~a rel = ~f + ®(~v rel + !k0 £ ~r)£ k0 ¡ 2m!k0 £ ~v rel ¡m!k0 £ (!k0 £ ~r));

o bien

m~a rel = ~f + ®~v rel £ k0 + ®!(k0 £ ~r)£ k0 + 2m!~v rel £ k0¡m!k0 £ (!k0 £ ~r));

y si se escoge ! de modo que los t¶erminos dependientes de la velocidadrelativa se cancelen, o sea

! = ¡ ®

2m; (2.11)

se obtiene que la ecuaci¶on de movimiento en ese sistema rotante de referenciaes

m~a rel = ~f +®2

4(k0 £ (k0 £ ~r));

ecuaci¶on que puede ser aproximada, si el t¶ermino en ®2 puede ser despreciado,a la siguiente ecuaci¶on

m~a rel = ~f:

2.4 Ejercicios. 29

O sea, el efecto de una fuerza perturbadora peque~na (® n 1) del tipo

considerada equivale a resolver el problema dado por la fuerza ~f en un sistemaque rota con la velocidad angular adecuada (2.11). Un ejemplo lo constituyenelectrones o cargas e que est¶an describiendo ¶orbitas debido a la presenciade alguna fuerza central ~f . Si se aplica un campo magn¶etico de magnitudconstante B en una direcci¶on ¯ja k0 la fuerza adicional llamada fuerza deLorentz est¶a dada por

e~v £ ~B = eB~v £ k0:Por lo tanto, la in°uencia de un campo magn¶etico peque~no es hacer precesarlas ¶orbitas en torno a un eje en la direcci¶on del campo magn¶etico con lavelocidad angular de Larmor

! = ¡ eB2m;

si el campo magn¶etico es peque~no.

2.4 Ejercicios.

Ejercicio 2.4.1 Una barra lisa OM de largo 2a, ubicada en el plano verticalque contiene al Este, est¶a inclinado en un ¶angulo respecto de la horizontal.Por ella se desliza una argolla peque~na P, partiendo desde el extremo M.Calcular la reacci¶on de la barra sobre la argolla cuando ella pasa por el puntomedio de la barra si se toma en cuenta la rotaci¶on de la tierra.

Ejercicio 2.4.2 Una part¶³cula se lanza verticalmente hacia arriba con ve-locidad Vo en un punto de latitud ¸. Encontrar el punto sobre el que vuelvea caer si se toma en cuenta la rotaci¶on de la tierra en la aproximaci¶on usualde primer orden en !.

Ejercicio 2.4.3 Una part¶³cula se mueve, por la acci¶on de la gravedad, sobreun plano inclinado en el ¶angulo respecto de la horizontal y que rota conpeque~na velocidad angular respecto de un eje vertical ¯jo, que intercepte elplano en el punto 0. Tomando ejes rectangulares OXY ¯jos en el plano demodo que el eje OX est¶a orientado a lo largo de la l¶³nea de m¶axima gradiente,demostrar que si inicialmente la part¶³cula parte del reposo desde 0, que sudesviaci¶on desde OX, despu¶es de t segundos, viene dada aproximadamente


por1

6!gt3sen2®

siempre que se desprecien los t¶erminos en !2:

Ejercicio 2.4.4 Una part¶³cula de masa unitaria se mueve en movimientoarm¶onico simple x = a cosnt en una ranura suave orientada en E a 0 sobre lasuper¯cie de la tierra en un punto de latitud ¸. Demostrar que, si desprecianlos t¶erminos que contienen el cuadrado de la velocidad angular de la tierra,la reacci¶on de la ranura tiene una componente horizontal en ¶angulo rectorespecto al movimiento y de magnitud 2an! sin¸ sinnt y una componentevertical cuya magnitud °uct¶ua arm¶onicamente, con una amplitud 2an! cos¸.

Ejercicio 2.4.5 Una part¶³cula de masa m puede deslizar sin roce en elinterior de un tubo peque~no doblado en forma de un c¶³rculo de radio a. Ini-cialmente se hace rotar en torno de un di¶ametro vertical el tubo con velocidad!0 estando la part¶³cula en una posici¶on de¯nida por el ¶angulo µ0 respecto dela vertical. Estudiar el movimiento subsiguiente de la part¶³cula.

Ejercicio 2.4.6 Una part¶³cula de masa m, puede deslizar, sin fricci¶on enun tubo r¶³gidamente unido en un ¶angulo µ0 = 60

o con un eje vertical que giracon velocidad constante !0 tal que !

20 = 2g=r0. Si la part¶³cula se suelta con

las condiciones iniciales: r = r0; _r =pgr=2encontrar el menor valor que

alcanza el radio r en el movimiento de la part¶³cula.

Ejercicio 2.4.7 Un plano suave inclinado en un ¶angulo con respecto a lahorizontal est¶a r¶³gidamente conectado con un eje vertical en 0 (¯jo en elespacio) alrededor del cual se mueve con una velocidad angular uniforme.Una part¶³cula de masa unitaria se mueve bajo la acci¶on de la gravedad sobreel plano. Pruebe que si x es el desplazamiento de la part¶³cula a lo largo de lal¶³nea de m¶axima pendiente que pasa por 0, entonces:

d4x

dt4+ !2(3 cos 2®¡ 1)d

2x

dt2+ x!4 cos2 ® = g!2sen®:

Si se desprecian los t¶erminos en !2, pruebe que:

y(t) = ¡16!gt3sen2®

si la part¶³cula parte en reposo del origen.

2.4 Ejercicios. 31

Ejercicio 2.4.8 Una part¶³cula de masa m cae desde el reposo desde unaaltura h. Determinar x, y, z en funci¶on del tiempo, tomando en cuenta larotaci¶on de la tierra, en la aproximaci¶on usual de primer orden en !.

Ejercicio 2.4.9 Una part¶³cula de masa m cae desde una altura h por elinterior de un tubo liso vertical. Determinar z en funci¶on del tiempo y lareacci¶on del tubo debido a la rotaci¶on terrestre.

Ejercicio 2.4.10 Una part¶³cula de masa m est¶a vinculada a un plano lisohorizontal OXY sometida a una fuerza ¡kr hacia un origen O en el plano,siendo k una constante, Determinar las coordenadas sobre el plano (x; y) yla reacci¶on del plano en funci¶on del tiempo tomando en cuenta la rotaci¶onde la tierra.

Ejercicio 2.4.11 Una part¶³cula de masa m est¶a vinculada a un plano lisohorizontal. Determinar las coordenadas sobre el plano (x; y), y la reacci¶ondel plano en funci¶on del tiempo tomando en cuenta la rotaci¶on terrestre.


Cap¶³tulo 3

Scattering.

3.1 ¶Angulo de scattering.

Estudiaremos m¶as en detalle el sistema de dos part¶³culas cuando la fuerzade interacci¶on entre ellas es repulsiva. Como se sabe, podemos estudiar elmovimiento relativo entre ellas, es decir una de las part¶³culas (el blanco)est¶a colocada en el origen de un sistema, y la otra (proyectil) interact¶ua conella. Considere entonces una part¶³cula de masa (reducida) ¹ que incide so-bre un centro repulsivo de fuerza O, para lo cual, la ¯gura (3.1) de¯ne lanotaci¶on. Adem¶as en la ¯gura se muestra el llamado par¶ametro de impactos (ver.pag.siguiente). El ¶angulo £, formado por las as¶³ntotas a las direccio-nes de incidencia desde muy lejos y la de scattering, mucho despu¶es de lainteracci¶on, se denomina ¶angulo de scattering.

rm in

min

si

f

&

!

r

eje polar

O

'

'

��

Figura 3.1: ¶Angulo de scattering

34 Scattering.

Adem¶as rmin denota la distancia m¶³nima de la part¶³cula al centro de fuerza, yaqu¶³ resulta conveniente elegir como eje polar al eje indicado en la ¯gura, quecoincide con la direcci¶on de la posici¶on de la menor distancia de la part¶³culaal centro de fuerza y desde el cual se mide el ¶angulo µ. Entonces podemosescribir la ecuaci¶on integral de la ¶orbita, estudiada en el cap¶³tulo anterior(1.9), en la forma siguiente

µ = ª+

r(µ)Z1

lOp2¹r2

pE ¡ V ¡ l2O=(2¹r2)

dr ; (3.1)

donde hemos considerado que en las as¶³ntotas, cuando r = 1, entoncesµ = ª: Si se observa adem¶as que cuando r = rmin , entonces µ = 0; se obtiene

ª =

1Zrmin

lOp2¹r2

pE ¡ V ¡ l2O=(2¹r2)

dr ;

por lo cual el ¶angulo de scattering estar¶a dado por

£ = ¼ ¡ 21Z

rmin

lOp2¹r2

pE ¡ V ¡ l2O=(2¹r2)

dr : (3.2)

3.1.1 Expresi¶on en t¶erminos del par¶ametro de impac-to.

Muy lejos del centro de fuerza podemos evaluar el momentum angular yenerg¶³a (que son constantes) de la siguiente forma

lO = ¹sv0; E =1

2¹v20 ;

o sea l2O = 2¹s2E siendo s el llamado par¶ametro de impacto. Podemosentonces obtener

£ = ¼ ¡ 2s1Z

rmin

1

r2p1¡ V (r)=E ¡ s2=r2dr : (3.3)

Para un potencial de alcance limitado, digamos esf¶ericamente sim¶etrico ynulo para r ¸ r0 la integral de¯nida en la expresi¶on anterior debe tener el

3.1 ¶Angulo de scattering. 35

valor ¼=2s si s ¸ r0; pues en tal caso el ¶angulo de scattering debe ser nulo.En efecto se tiene que

1Zs

1

r2p1¡ s2=r2dr =

¼

2s:

Una expresi¶on para el ¶angulo de scattering que toma en cuenta autom¶aticamenteeste hecho es entonces

£ = 2s

1Zs

1

r2p1¡ s2=r2dr ¡ 2s

1Zrmin

1

r2p1¡ V (r)=E ¡ s2=r2dr :

3.1.2 Scattering de Rutherford.

El potencial central repulsivo entre part¶³culas con cargas correspondientesa n¶umeros at¶omicos Z; y Z 0 es de la forma V = ZZ 0q2=r: Para este caso,resulta preferible utilizar la forma integrada de la trayectoria del problemade Kepler, es decir

r =l2O

ZZ 0q21

e cos(µ)¡ 1 :La distancia m¶³nima al centro de fuerza se obtiene en µ = 0: Adem¶as r =1corresponde a µ = ª: Luego

cos(ª) =1

e;

y si recordamos la relaci¶on entre excentricidad y energ¶³a, es posible obtener

cot

µ£

2

¶=

2Es

ZZ 0q2.

3.1.3 Secci¶on diferencial de Scattering.

Si se considera a distancia grande del blanco un haz incidente de muchaspart¶³culas, con intensidad uniforme I de part¶³culas por unidad de ¶area yde tiempo, mucho despu¶es de la interacci¶on con el blanco, habr¶an algunaspart¶³culas que salen con direcci¶on de scattering en un ¶angulo s¶olido corres-pondiente al rango entre µ y µ + dµ; como se indica en la ¯gura (3:2). Lasecci¶on diferencial de scattering ¾(µ) se de¯ne de manera que

I¾(µ)d = n¶umero de part¶³culas en d por unidad de tiempo.

36 Scattering.

��

!

d!

Odss

d(

��

��

��

��

��

Figura 3.2: Secci¶on diferencial de scattering

Si la relaci¶on entre par¶ametro de impacto y ¶angulo de scattering es uno a uno,podemos calcular la secci¶on diferencial de scattering determinando el n¶umerode part¶³culas que cruzan el ¶area que hay entre s y s+ ds: Caso contrario, sim¶as de un par¶ametro de impacto da lugar a un mismo ¶angulo de scattering,habr¶a que sumar las contribuciones de sectores anulares correspondientes alos diversos valores del par¶ametro de impacto. As¶³ podemos obtener

¾(µ)d = 2¼s jdsj o bien ¾(µ)d =Xi

2¼si jdsij :

Como d = 2¼ sin(µ)dµ , obtenemos en general

¾(µ) =Xi

sisin(µ)

¯ds

dµ

¯i

:

Scattering de Rutherford.

Demostraremos que la secci¶on diferencial para el scattering de Rutherford,est¶a dada por:

¾(µ) =1

4

µZZ 0q2

2E

¶2csc4

µµ

2

¶:

3.2 Coordenadas de Laboratorio. 37

En efecto La relaci¶on entre energ¶³a y excentricidad es

e2 = 1 +2El2O¹K2

;

siendo aqu¶³

cosª =1

e; K = ZZ 0q2;

resultando

sec2ª = 1 +2El2O¹K2

;

o sea

tan2ª =2El2O¹K2

;

pero el ¶angulo de scattering est¶a dado por

£ = ¼ ¡ 2ª;de donde

cot2£

2=2El2O¹K2

;

siendo el momentum angular

l2O = ¹2v20s

2 = 2¹Es2;

entonces

cot2£

2=4E2s2

K2;

de donde sigue el resultado.

3.2 Coordenadas de Laboratorio.

3.2.1 Coordenadas y ¶angulo de scattering en el Labo-ratorio.

El an¶alisis anterior corresponde al movimiento relativo del proyectil respectoal blanco. Respecto al Laboratorio ambos cuerpos se mover¶an, y el procesode scattering observado en el Laboratorio ser¶a esquem¶aticamente como seindica en la ¯gura (3.3), donde:

38 Scattering.

��

��

��

��

! &

��

Figura 3.3: Scattering en el laboratorio

~v1 : velocidad del proyectil mucho despu¶es del scattering respecto al Labo-ratorio. Su direcci¶on corresponde a la del ¶angulo de scattering respectoal laboratorio £L.

~v 01 : velocidad proyectil mucho despu¶es del scattering respecto al centro demasas. La direcci¶on ¯nal de esta velocidad es la misma de la velocidadrelativa entre las part¶³culas. Su direcci¶on corresponde al ¶angulo descattering £:

~VCM : velocidad constante del centro de masas.

~v0 : velocidad inicial del proyectil respecto al Laboratorio.

~v : velocidad relativa del proyectil respecto al blanco (~v1 ¡~v2):

La relaci¶on de transformaci¶on de velocidades

~v1 = ~v01 + ~VCM (3.4)

representada en la ¯gura (3.4), permite escribir

v01 sin(£) = v1 sin(µL) ; (3.5)

VCM + v01 cos(£) = v1 cos(µL) ;

3.2 Coordenadas de Laboratorio. 39

y como la velocidad del centro de masas es

~VCM =m1~v0

m1 +m2=m1~v0M

;

y si se de¯ne

½ =¹v0m2v

01

;

se puede escribir

tan(µL) =sin(£)

½+ cos(£);

expresi¶on para el ¶angulo de scattering en el Laboratorio.

V '1

!

& V 1

V

Figura 3.4: Adici¶on de velocidades

3.2.2 P¶erdida de energ¶³a del proyectil.

Para el scattering el¶astico, donde el blanco no absorbe ni pierde energ¶³a in-terna, la velocidad relativa del proyectil tiene igual magnitud antes y despu¶esdel scattering. Sin embargo, para la situaci¶on en que inicialmente el blancoest¶a en reposo respecto al Laboratorio, el proyectil en general pierde energ¶³acin¶etica respecto al Laboratorio, dependiendo del ¶angulo de scattering. Pa-ra establecer una relaci¶on considere que en la relaci¶on (3.5) v01 = m2v0=M;VCM = m1v0=M de modo que si sumamos los cuadrados de ambas compo-nentes se obtiene

v21 =³m1

Mv0

´2+ 2

m1

Mv0m2

Mv0 cos£ +

³m2

Mv0

´2;

40 Scattering.

que puede escribirse como

v21 = v20

µ³m1

M

´2+ 2

m1m2

M2cos£ +

³m2

M

´2¶;

o bien1

2m1v

21 =

1

2m1v

20

³1¡ 2m1m2

M2(1¡ cos£)

´;

o sea, la p¶erdida de energ¶³a del proyectil est¶a dada por

¢E =1

2m1v

20 ¡

1

2m1v

21 = m1v

20¹(1¡ cos£):

Esta relaci¶on muestra claramente que la m¶axima p¶erdida de energ¶³a ocurre enel scattering frontal £ = ¼; y la m¶³nima cuando el ¶angulo de scattering tiendea cero, que corresponde en general a par¶ametro de impacto muy grande.

3.2.3 Problemas.

Ejercicio 3.2.1 Demuestre que

½ =m1v0m2v

:

Ejercicio 3.2.2 Demuestre que en el scattering el¶astico

½ =m1

m2:

Ejercicio 3.2.3 En el scattering inel¶astico, donde el blanco absorbe energ¶³a,si se de¯ne el factor Q por

1

2¹v2 =

1

2¹v20 +Q ;

y si se denota por E la energ¶³a cin¶etica inicial del proyectil, demuestre que

½ =m1

m2

1q1 + Q

Em1+m2

m2

:

Cap¶³tulo 4

Rotaciones.

4.1 Rotaciones de un sistema.

Se estudiar¶an las rotaciones de un sistema. El sistema a rotar puede ser elobjeto f¶³sico, lo que se denomina punto de vista activo, o el sistema de coor-denadas, punto de vista pasivo. Ambos puntos de vista di¯eren simplementeen el sentido de la rotaci¶on.

4.1.1 Rotaciones de un sistema de coordenadas.

Entre los cambios de posici¶on o desplazamientos que puede experimentarun sistema de coordenadas, o un cuerpo r¶³gido, son importantes los casosparticulares conocidos como traslaciones paralelas y rotaciones. En una tras-laci¶on, todas las posiciones cambian en un mismo vector desplazamiento ~Tde modo que

~r 0 = ~r + ~T :

Por otro lado, una rotaci¶on, mantiene inalterada las posiciones de todoslos puntos pertenecientes al llamado eje de la rotaci¶on. Al respecto, cabedestacar el siguiente teorema debido a Euler:

I Teorema 4.1Todo cambio de posici¶on de un sistema que mantiene un punto ¯jo, puedeser logrado en forma equivalente mediante una rotaci¶on.

Un enunciado equivalente es:

42 Rotaciones.

I Teorema 4.2Al cambiar de posici¶on un cuerpo r¶³gido (in¯nitamente extenso) manteniendo¯jo uno de sus puntos, existe otro punto del cuerpo que recobra su posici¶onoriginal.

Una demostraci¶on simple de este teorema se encuentra en el libro deMec¶anicade Synge y Gri±th.[18]

X

Y

Z

X '

Y 'Z '

Figura 4.1: Rotaci¶on de un sistema

Consideremos un sistema cartesiano de ejes xi (o x, y, x ) con vectores unita-rios ortogonales ei y otro con el mismo origen (el punto que no ha cambiadode posici¶on) de ejes x0i (o x

0, y 0, z 0) con vectores unitarios ortogonales e0i:. El¶³ndice i variar¶a entre 1 y 3, ver ¯gura (4.1). Debido al teorema de Euler,existe una rotaci¶on equivalente al cambio de posici¶on del sistema original alnuevo sistema.

Cosenos directores.

Los cosenos directores de las direcciones e0i, se de¯nen como sus proyeccionessobre los vectores unitarios originales ei y se denotar¶an por ®i , ¯i, °i (i =1; 2; 3), as¶³

e01 = ®1e1 + ®2e2 + ®3e3 ;

e02 = ¯1e1 + ¯2e2 + ¯3e3 ;

e03 = °1e1 + °2e2 + °3e3 ;

4.1 Rotaciones de un sistema. 43

o, en notaci¶on matricial0@ e01e02e03

1A =

0@ ®1 ®2 ®3¯1 ¯2 ¯3°1 °2 °3

1A0@ e1e2e3

1A :De los nueve cosenos directores hay solo 3 independientes porque la orto-gonalidad entre los vectores unitarios conduce a seis relaciones entre ellos.Expl¶³citamente, dichas relaciones son, escritas matricialmente0@ ®1 ®2 ®3

¯1 ¯2 ¯3°1 °2 °3

1A0@ ®1 ¯1 °1®2 ¯2 °2®3 ¯2 °3

1A =

0@ 1 0 00 1 00 0 1

1A ; (4.1)

que adem¶as pueden escribirse

®i®j + ¯i¯j + °i°j = ±i j ;

siendo ±i j el delta de Kronecker. Preferiremos usar la notaci¶on

a1i = ®i; a2i = ¯i; a3i = °i ;

o seaaij = e

0i ¢ ej ;

de manera que la relaci¶on (4.1) puede escribirse

AAT = I; con A = faijg :La matriz A llamada la matriz de rotaci¶on, por la propiedad anterior, es unamatriz ortogonal.

Rotaci¶on pasiva de un vector.

Aqu¶³ se consideran las rotaciones desde un punto de vista pasivo, es decirse rota el sistema de coordenadas, y en consecuencia el vector permaneceinalterado pero se modi¯can sus componentes, es decir

~r =Xi

xiei =Xi

x0ie0i ;

de donde, por la ortogonalidad de los vectores unitarios, se puede obtener

x0i =Xj

aijxj :

44 Rotaciones.

Z

X

Y

!

!

O

Figura 4.2: Rotaci¶on en torno de un eje

Rotaci¶on activa de un vector.

Aqu¶³ se consideran las rotaciones desde un punto de vista activo, es decir serota el vector permaneciendo inalterado el sistema de referencia. Esencial-mente se tiene el mismo resultado, pero ahora

~r =X

xiei ;

~r 0 =X

x0iei :

Note que se modi¯can las componentes pero se mantienen los mismos vectoresunitarios. La idea es que el vector rotado tiene sus componentes en el sistemaoriginal, iguales a las del vector original en un sistema rotado en sentidocontrario. De modo que

x0i =Xj

ajixj ;

donde se ha considerado que R¡1 = RT :

Ejercicio 4.1.1 Demuestre que una transformaci¶on lineal con una matrizortogonal, transformaci¶on ortogonal, conserva el producto escalar entre dosvectores y sus magnitudes.

Rotaci¶on en torno de los ejes cartesianos.

Una rotaci¶on del sistema en torno de los ejes cartesianos, en sentidos contrarioa los punteros de un reloj, mirando hacia el eje, ver ¯gura (4.2) es realizada


por las siguientes matrices

Rx(µ) =

0@ 1 0 00 cos µ sin µ0 ¡ sin µ cos µ

1A ;

Ry(µ) =

0@ cos µ 0 ¡ sin µ0 1 0sin µ 0 cos µ

1A ;

Rz(µ) =

0@ cos µ sin µ 0¡ sin µ cos µ 00 0 1

1A :

Rotaci¶on de un vector en un ¶angulo Á respecto a un eje especi¯cadopor n:

Considere una rotaci¶on activa de un vector ~r en torno de un eje n en un¶angulo Á en el sentido de avance de n: (Esto equivale a una rotaci¶on pasivacon un ¶angulo de ¡Á: ) De la ¯gura (4.3) es posible demostrar que el vectorrotado ~r 0 puede escribirse

~r 0 = ~r + (sinÁ)n£ ~r + (1¡ cosÁ)n£ (n£ ~r) : (4.2)

n

��

)C

O

C

)

��

��

��

��

��

��

rr'

n x r

n nx x( r )

Figura 4.3: Rotaci¶on activa de un vector

46 Rotaciones.

La expresi¶on (4.2), puede escribirse en notaci¶on matricial. Para ello considerela siguiente forma de realizar un \producto cruz"

~a£~b =0@ aybz ¡ azbyazbz ¡ axbzaxby ¡ aybx

1A =

0@ 0 ¡az ayaz 0 ¡ax¡ay ax 0

1A0@ bxbybz

1A ;

o sea, en forma matricial, el producto cruz es realizado mediante multiplica-ci¶on por una matriz 3£ 3 que llamaremos (~a£)

(~a£) =0@ 0 ¡az ay

az 0 ¡ax¡ay ax 0

1A ;

de modo que, en t¶erminos matriciales

~r 0 =£I + (sinÁ)(n£) + (1¡ cosÁ)(n£)2¤ ~r; (4.3)

por lo cual, la matriz de la rotaci¶on (activa) es

Rn(Á) =£I + (sinÁ)(n£) + (1¡ cosÁ)(n£)2¤ :

Angulo y eje de la rotaci¶on.

Si la matriz de rotaci¶on es conocida, entonces el ¶angulo y el eje son calculablesde acuerdo a

Tr(R) = 1 + 2 cosÁ ; (4.4)

R¡RT = 2(sinÁ)(n£) : (4.5)

En efecto la expresi¶on de la matriz de rotaci¶on es

R = I + (sinÁ) (n£) + (1¡ cosÁ)(n£)2 :

Debemos recordar que la matriz (n£) es antisim¶etrica y dada por

(n£) =0@ 0 ¡nz ny

nz 0 ¡nx¡ny nx 0

1A ;


con traza nula. La matriz (n£)2 resulta sim¶etrica con expresi¶on

(n£)2 =0@ ¡n2y ¡ n2z nxny nxnz

nynx ¡n2x ¡ n2z nynznznx nzny ¡n2x ¡ n2y

1A ;

y su traza es ¡2. As¶³ resulta entoncesTr(R) = 3 + (1¡ cosÁ)(¡2);

que prueba el primer resultado. Ahora considere

RT = I ¡ (sinÁ)(n£) + (1¡ cos Á)(n£)2 ;de modo que resulta

R¡RT = 2 sinÁ (n£):Ejercicio 4.1.2 Demuestre que (~a£)3 = ¡ j~aj2 (~a£) :Ejercicio 4.1.3 Demuestre que formalmente puede escribirse:

Rn(Á) = eÁ (n£) :

Rotaciones in¯nitesimales y sus generadores.

Considere la siguiente descomposici¶on:0@ 0 ¡az ayaz 0 ¡ax¡ay ax 0

1A = ax

0@ 0 0 00 0 ¡10 1 0

1A+ay0@ 0 0 1

0 0 0¡1 0 0

1A+az0@ 0 ¡1 01 0 00 0 0

1A :

Si se de¯nen

I1 = Ix =

0@ 0 0 00 0 ¡10 1 0

1A ;

I2 = Iy =

0@ 0 0 10 0 0¡1 0 0

1A ;

I3 = Iz =

0@ 0 ¡1 01 0 00 0 0

1A ;

48 Rotaciones.

puede probarse directamente que

[Ii; Ij ] = IiIj ¡ IjIi = "ijkIk : (4.6)

Las matrices Ii se denominan generadores de rotaciones in¯nitesimales y ellasobedecen la denominada ¶algebra de Lie, de¯nida por la relaci¶on b¶asica (4.6).En efecto, si el ¶angulo de rotaci¶on es in¯nit¶esimo, la relaci¶on (4.3) puedeescribirse

~r 0 = ~r + Á(n£)~r;es decir

~r 0 = [I + Á(n£)]~r:Si un ¶angulo ¯nito Á es descompuesto en n partes, puede obtenerse la expre-si¶on para una rotaci¶on ¯nita activa al tomar el l¶³mite

~r 0 = limn¡!1

µI +

Á

n(n£)

¶n~r;

o sea~r 0 = eÁ(n£)~r:

4.1.2 ¶Angulos de Euler.

Una de las diversas formas de parametrizar una rotaci¶on de un sistema, esmediante los ¶angulos de Euler que de¯niremos de acuerdo a lo siguiente, ver¯gura (14.3).

² Primero una rotaci¶on en ¶angulo © en torno del eje z original.² Segundo una rotaci¶on en ¶angulo £ respecto al nuevo eje x (eje n) y² ¯nalmente una rotaci¶on en ¶angulo ª respecto a la posici¶on del eje z dela rotaci¶on anterior y que es por lo tanto el eje z (z') ¯nal.

El mismo efecto puede ser logrado haciendo una sucesi¶on de tres rotacionesen esos mismos ¶angulos pero respecto a los ejes originales. La demostraci¶onanal¶³tica se deja como problema, aqu¶³ se establece el resultado desde un puntode vista intuitivo

R = Rz0(ª)Rn(£)Rz(©) = Rz(©)Rx(£)Rz(ª) ; (4.7)


Z

��

��

��

*

!

XX '

Y

Y 'Z '

)

Figura 4.4: Angulos de Euler

de modo que la matriz de la rotaci¶on (activa) resultante ser¶a0@ cos© ¡ sin© 0sin© cos © 00 0 1

1A0@ 1 0 00 cos£ ¡ sin£0 sin£ cos£

1A0@ cosª ¡ sinª 0sinª cosª 00 0 1

1A :

Note cuidadosamente que se trata de rotaciones de un punto de vista activo(rotar el sistema f¶³sico). Si ellas son rotaciones de un punto de vista pasi-vo (rotar el sistema de coordenadas), todos los ¶angulos involucrados debencambiarse de signo.

4.1.3 Par¶ametros de Cayley Klein.

Matrices unimodulares.

Hemos visto que una rotaci¶on depende de tres par¶ametros, por ejemplo cuan-do est¶a expresada en t¶erminos de los ¶angulos de Euler. Sin embargo esde inter¶es otra parametrizaci¶on que es interesante por presentar conceptoste¶oricos importantes. Para ello, consideraremos transformaciones lineales enun espacio bidimensional de n¶umeros complejos de la forma

u0 = ®u+ ¯v; v0 = °u+ ±v ;

siendo u; v; u0; v0; ®; ¯; °; ± complejos. Adem¶as restringiremos el estudio amatrices de transformaci¶on Q del grupo SU(2), es decir matrices 2 £ 2,

50 Rotaciones.

unitarias y de determinante +1; matrices que se denominan unimodulares.Demostraremos luego que las transformaciones de similaridad generadas conestas matrices, describen rotaciones. Las condiciones que de¯nen las matricesunimodulares, restringen el n¶umero de par¶ametros reales de las cuales ellaspueden depender, a s¶olo tres. En efecto, las condiciones son

Q =

µ® ¯° ±

¶; QQy = I; det(Q) = +1 ; (4.8)

entonces

®®? + ¯¯? = 1 ; (4.9)

°°? + ±±? = 1 ; (4.10)

®°? + ¯±? = 0 ; (4.11)

°®? + ±¯? = 0 ; (4.12)

®± ¡ ¯° = 1 : (4.13)

Los par¶ametros ®; ¯; °; ± se denominan par¶ametros de Cayley Klein. Comola matriz Q tiene en general 8 componentes reales, las 5 condiciones dejans¶olo 3 par¶ametros independientes. La eliminaci¶on expl¶³cita no es convenientellevarla a cabo completamente. Podemos se~nalar que las relaciones anterioresconducen a

± = ®?; ° = ¡¯? ; (4.14)

de modo que las matrices Q pueden expresarse mediante:

Q =

µ® ¯¡¯? ®?

¶; con j®j2 + j¯j2 = 1: (4.15)

4.1.4 Transformaciones de similaridad.

Consideremos el grupo de matrices P; 2 £ 2, herm¶³ticas con traza nula. Laforma m¶as general de esas matrices es:

P =

µz x¡ iy

x+ iy ¡z¶; (4.16)

con x; y; z reales. Las transformaciones de similaridad generadas por lasmatrices Q, tienen las siguientes propiedades, que se dejan como problemas:


Ejercicio 4.1.4 Demuestre que la transformaci¶on de similaridad de unamatriz A, de¯nida por

A0 = QAQytiene las siguientes propiedades:

a) conserva el Lagrange de hermiticidad de A.

b) conserva el determinante de A.

c) conserva la traza de A.

Se desprende entonces que las transformadas de similaridad de las matricesP; son de la misma forma, es decirµ

z0 x0 ¡ iy0x0 + iy0 ¡z0

¶= Q

µz x¡ iy

x+ iy ¡z¶Q y : (4.17)

Podemos entonces asociar a un punto de coordenadas x; y; z una matriz P .Debido a que se conserva el determinante, tenemos que se cumple la relaci¶onb¶asica que de¯ne una rotaci¶on

(x0)2 + (y0)2 + (z0)2 = (x)2 + (y)2 + (z)2:

Puede probarse que se trata de rotaciones propias y no hay inversiones delos ejes. Para expresar expl¶³citamente la matriz de rotaci¶on tridimensionalasociada a una transformaci¶on de similaridad inducida por Q, analicemos losiguiente. Las matrices P; pueden escribirse utilizando matrices de Pauli, dela siguiente manera

P = x

µ0 11 0

¶+ y

µ0 ¡ii 0

¶+ z

µ1 00 ¡1

¶; (4.18)

o bienP = ~r ¢ ~¾ :

siendo~¾ = {¾x + |¾y + k¾z ;

donde las matrices de Pauli est¶an de¯nidas por

¾x =

µ0 11 0

¶; ¾y =

µ0 ¡ii 0

¶; ¾z =

µ1 00 ¡1

¶: (4.19)

52 Rotaciones.

4.1.5 Relaciones entre matrices de Pauli.

Demostraremos las siguientes relaciones que involucran matrices de Pauli :

¾l¾m = i"lmn¾n + I±lm ;

(~¾ ¢ ~a)(~¾ ¢~b) = ~a ¢~b I + i~¾ ¢ (~a£~b) :

En efecto Las matrices de Pauli est¶an de¯nidas por

¾1 =

µ0 11 0

¶; ¾2 =

µ0 ¡ii 0

¶; ¾3 =

µ1 00 ¡1

¶:

de modo que simplemente multiplicamos

¾1¾2 =

µ0 11 0

¶µ0 ¡ii 0

¶=

µi 00 ¡i

¶= i¾3

¾21 =

µ0 11 0

¶µ0 11 0

¶=

µ1 00 1

¶= I

y as¶³ agotar todos los productos comparando con el resultado

¾l¾m = i"lmn¾n + I±lm :

Aqu¶³, el s¶³mbolo "lmn tiene valores

"lmn =

8<: 1 si lmn es permutaci¶on par de 123¡1 si lmn es permutaci¶on impar de 1230 si hay ¶³ndices repetidos

La otra relaci¶on. Usando convenci¶on de suma sobre ¶³ndices repetidos, sigueque

(~¾ ¢ ~a)(~¾ ¢~b) = ¾lal¾mbm

= (i"lmn¾n + I±lm)albm

= i"lmn¾nalbm + I±lmalbm

= i¾n"nlmalbm + Ialbl

pero (~a£~b)n = "nlmalbm por lo tanto

(~¾ ¢ ~a)(~¾ ¢~b) = ~a ¢~b I + i~¾ ¢ (~a£~b):


4.1.6 Par¶ametros de Euler.

Por razones que se justi¯car¶an enseguida, las partes reales de ® y ¯; denomi-nados par¶ametros de Euler conviene de¯nirlos mediante

® = ®0 + inz; ¯ = ny + inx : (4.20)

Entonces, las matrices Q pueden escribirse tambi¶en en t¶erminos de matricesde Pauli (4.15)

Q = ®0I + i~n ¢ ~¾ ;por lo cual la transformaci¶on de similaridad (4.17) puede escribirse

~r 0 ¢ ~¾ = (®0I + i~n ¢ ~¾)(~r ¢ ~¾)(®0I ¡ i~n ¢ ~¾) ;expresi¶on que, con las propiedades del problema anterior, puede reducirse ala forma siguiente

~r 0 ¢ ~¾ = (~r ¡ (2®0n)n£ ~r + (2n2)n£ (n£ ~r)) ¢ ~¾ ;que cuando es comparada con la f¶ormula de la rotaci¶on ¯nita (4.3), conducea

n = ¡ sin Á2; ®0 = cos

Á

2: (4.21)

En resumen, la asociaci¶on de las matricesQ; con la rotaci¶on que ellas efect¶uan,¶angulo Á y eje de la rotaci¶on n; puede escribirse

Q =

µcos

Á

2

¶I ¡ i

µsinÁ

2

¶n ¢ ~¾ :

Ejercicio 4.1.5 Demuestre las relaciones (4.21).

Ejercicio 4.1.6 Demuestre que otra forma de la matriz Q es:

Q = e¡iÁ2n¢~¾ :

Ejercicio 4.1.7 Demuestre que la matriz Q; asociada a una rotaci¶on activaen t¶erminos de los ¶angulos de Euler es :

Q =

Ãe¡i

©2 0

0 ei©2

!µcos £

2¡i sin £

2¡i sin £2

cos £2

¶Ãe¡i

ª2 0

0 eiª2

!; (4.22)

o bien

Q =

Ãcos £

2e¡i

©+ª2 ¡i sin £

2e¡i

©¡ª2

¡i sin £2e¡i

©¡ª2 cos £

2e¡i

©+ª2

!:

54 Rotaciones.

Aunque hemos analizado esta representaci¶on de dos dimensiones del grupo derotaciones, en el contexto de realizar rotaciones de vectores de 3 dimensiones,esta representaci¶on adquiere todo su sentido, al considerar el grupo SU(2)y su relaci¶on con el spin 1=2 en Mec¶anica Cu¶antica. M¶as sobre la conexi¶onentre el grupo O(3) y SU(2); puede encontrarse en la siguiente referencia [8],pag. 281.

4.2 Velocidad angular.

4.2.1 Descomposici¶on del movimiento.

Un cambio de posici¶on arbitrario de un sistema o de un cuerpo r¶³gido, puedeser en general logrado en forma equivalente mediante una traslaci¶on pura, quelleva alguno de sus puntos A a su posici¶on ¯nal A0, seguido de una rotaci¶onpura en torno de un eje que pasa por el punto A0, en un cierto ¶angulo.Entonces el cambio de todo vector posici¶on de un punto P perteneciente alcuerpo r¶³gido, podr¶a escribirse:

±¡!OP = ±

¡!OAtraslaci¶on + ±

¡!AP rotaci¶on :

Si el cambio de posici¶on es ¯nito, nada podemos decir de las posicionesintermedias que ocup¶o el cuerpo para pasar de su posici¶on inicial a la ¯nal.Sin embargo, si el intervalo de tiempo transcurrido entre ambas posiciones esin¯nit¶esimo, dt; entonces la descomposici¶on anterior, nos describe en formacontinua las posiciones que ocupa el cuerpo mediante

d¡!OP = d

¡!OA+ d

¡!AP ;

o sead¡!OP = d

¡!OA+ dÁ n£¡!AP ;

que si se divide por dt, constituye una relaci¶on entre velocidades de dospuntos A;P del cuerpo r¶³gido, es decir

~vP = ~vA +dÁ

dtn£¡¡!AP :

Si de¯nimos

~! =dÁ

dtn ; (4.23)

4.3 Problemas. 55

la denominada velocidad angular instant¶anea del cuerpo r¶³gido, se obtiene

~vP = ~vA + ~! £¡!AP : (4.24)

Lo anterior es algo enga~noso. La existencia del ¶angulo de rotaci¶on y de sueje, est¶a garantizada por el teorema de Euler, sin embargo en la pr¶actica, sudeterminaci¶on no es obvia. En este contexto, es ¶util el llamado teorema deadici¶on de velocidades angulares.

4.2.2 Teorema de adici¶on de velocidades angulares.

Si se tienen dos sistemas de referencia, S0 y S1 con origen com¶un, y adem¶asun cuerpo r¶³gido (CR) que mantiene un punto ¯jo en el origen com¶un, ver¯gura (4.5), se deja como ejercicio probar el siguiente teorema que relacionavelocidades angulares relativas (rel):

I Teorema 4.3La velocidad angular puede descomponerse de la siguiente forma

~!CR rel S0 = ~!CR rel S1 + ~!S1 rel S0

X

Y

Z

X '

Y '

Z '

��

��

��

��

��

CR

S

S1

o

Figura 4.5: Adici¶on de velocidades angulares

4.3 Problemas.

Ejercicio 4.3.1 Demuestre que las componentes de la velocidad angular deun sistema r¶³gido, en t¶erminos de los ¶angulos de Euler, est¶an dadas por:

56 Rotaciones.

a) En el sistema de ejes m¶oviles:

!x0 = _µ cosÃ + _Á sin µ sinÃ ;

!y0 = ¡ _µ sinÃ + _Á sin µ cosÃ ;

!z0 = _Ã + _Á cos µ :

b) En el sistema de ejes ¯jos:

!x = _Ã sin µ sinÁ+ _µ cosÁ ;

!y = ¡ _Ã sin µ cosÁ+ _µ sinÁ ;!z = _Ã cos µ + _Á :

Ejercicio 4.3.2 Si se considera un vector de magnitud constante ~r(t) obte-nido mediante una rotaci¶on R(t) del vector inicial ~r(0), demuestre que existeuna matriz antisim¶etrica (t) tal que

d~r(t)

dt= (t)~r(t) ;

y que ello equivale ad~r(t)

dt= ~!(t)£ ~r(t) ;

donde ~!(t) es llamado el vector velocidad angular.

Ejercicio 4.3.3 Determine las componentes del vector ~!(t) del problemaanterior, en t¶erminos de las componentes de la matriz R(t):

Ejercicio 4.3.4 Si las velocidades de tres puntos de un r¶³gido son conoci-das, demuestre que:

~! =(~vB ¡ ~vA)£ (~vC ¡ ~vA)

(~vB ¡ ~vA) ¢ ¡!AC; si (~vB ¡ ~vA) ¢ ¡!AC 6= 0 :

Ejercicio 4.3.5 Obtenga una expresi¶on para la velocidad angular ~!, en el

caso en que no se cumpla la condici¶on (~vB ¡ ~vA) ¢ ¡!AC 6= 0 del problema

anterior. Indicaci¶on: Si (~vB ¡ ~vA) ¢ ¡!AC = 0; entonces ~! £¡!AB ¢ ¡!AC = 0, loque quiere decir que la velocidad angular est¶a en el plano ABC. Se puede

4.3 Problemas. 57

entonces expresar la velocidad angular como una combinaci¶on lineal de¡!AB

y¡!AC con coe¯cientes determinables, obteni¶endose

~! =(~vC ¡ ~vA) ¢ (¡!AB £¡!AC)¡!AB + (~vA ¡ ~vB) ¢ (¡!AB £¡!AC)¡!AC¯¡!

AB £¡!AC¯2

Ejercicio 4.3.6 Demuestre la equivalencia establecida en la ecuaci¶on (4.7).

58 Rotaciones.

Cap¶³tulo 5

Sistema r¶³gido de part¶³culas.

5.1 Cantidades cinem¶aticas.

Las cantidades cinem¶aticas, que dependen de las velocidades de las part¶³culasdel cuerpo, adquieren una forma especial cuando se trata de un sistema r¶³gidode part¶³culas. De acuerdo a lo estudiado en el cap¶³tulo sobre rotaciones, ladescripci¶on del movimiento de un cuerpo r¶³gido puede hacerse en t¶erminosde tres coordenadas que den cuenta de los desplazamientos de un puntodel cuerpo y de tres ¶angulos o par¶ametros que den cuenta de las rotacionesdel cuerpo. Por esa raz¶on existen en general solo seis variables necesariasen la descripci¶on del movimiento de un cuerpo r¶³gido y por lo tanto, essu¯ciente considerar solamente las seis ecuaciones escalares (1.2) y (1.3), obien reemplazar alguna de ellas por el teorema de conservaci¶on de energ¶³a, siello corresponde. Aqu¶³ solamente indicaremos las consideraciones especialesque permiten expresar tanto la energ¶³a cin¶etica y el momentum angular deun cuerpo r¶³gido, en t¶erminos de su velocidad angular y la matriz de inercia.Las ecuaciones din¶amicas aplicables son aquellas reci¶en citadas de un sistemade part¶³culas. Considerando la relaci¶on b¶asica entre las velocidades de dospuntos de un cuerpo r¶³gido, ver ¯g.(5.1)

~v = ~vA + ~! £ ~r;

60 Sistema r¶³gido de part¶³culas.

podemos expresar el momento angular de un sistema r¶³gido de part¶³culas quemantiene un punto O ¯jo como

~LO =Xi

mi~ri £ (~! £ ~ri); (5.1)

o bien, para un cuerpo r¶³gido continuo que mantiene un punto O ¯jo

~LO =

Zdm~r £ (~! £ ~r ): (5.2)

O

��

A

dm

r��

O

dm

r

v=v +% x rA

v= % x r

Figura 5.1: Velocidades de un r¶³gido

Si se considera la siguiente forma de realizar un producto cruz (ver rotacio-nes)

~a£~b =0@ 0 ¡az ay

az 0 ¡ax¡ay ax 0

1A0@ bxbybz

1A = (~a£)~b;

cualquiera de las dos expresiones (5.1) o (5.2) puede escribirse, al usar nota-ci¶on matricial, de la siguiente forma

~LO = HO~!:

donde HO es una matriz 3£ 3, la denominada matriz de inercia del sistemarelativa al origen O y que, para el caso de un cuerpo r¶³gido continuo, porde¯nici¶on es

HO = ¡Zdm (~r£)2 :

5.1 Cantidades cinem¶aticas. 61

y para un sistema r¶³gido de part¶³culas

HO = ¡X

mi (~ri£)2 :

5.1.1 Energ¶³a cin¶etica y momentum angular.

Se deja como ejercicio, en este resumen, probar que:

Ejercicio 5.1.1 En el movimiento general de un sistema r¶³gido de part¶³culas,pruebe que:

~LO = M~rG £ ~vG +HG~!;~LG = HG~!;

K =1

2Mv2G +

1

2~! ¢HG~!

Ejercicio 5.1.2 En el caso que un punto 0 se mantenga ¯jo, pruebe que:

~LO = M~rG £ ~vG +HG~! = HO~!;~LG = HG~!;

K =1

2Mv2G +

1

2~! ¢HG~! = 1

2~! ¢H0~!:

5.1.2 Algunas propiedades de la matriz de inercia.

La expresi¶on expl¶³cita de la matriz de inercia (sus componentes), dependedel origen elegido, as¶³ como de la orientaci¶on de los ejes. Sus componenteslas indicaremos de acuerdo a

H =

0@ Ixx Ixy IxzIyx Iyy IyzIzx Izy Izz

1A ;siendo los elementos de la diagonal llamados momentos de inercia y los defuera de la diagonal, productos de inercia

Ixx =

Zdm(y2 + z2); Iyy =

Zdm(x2 + z2); etc.

Ixy = Iyx = ¡Zxydm; etc.


Por ser la matriz de inercia una matriz real sim¶etrica, ella puede ser dia-gonalizada. Las direcciones para las cuales ella es diagonal, se denominandirecciones o ejes principales de inercia del cuerpo, en el punto seleccionado.Cuando hay dos valores propios repetidos, todos los ejes del plano corres-pondiente a esos dos vectores propios, son ejes principales de inercia. Si lostres valores propios son iguales, todo eje es en ese punto es principal de iner-cia. En cualquier caso, siempre es posible escoger tres direcciones principalesde inercia ortogonales entre si. Las propiedades de simetr¶³a de un cuerpo,cuando existen, ayudan en la determinaci¶on de las direcciones principales deinercia. Para lo que sigue, consideraremos cuerpos r¶³gidos homog¶eneos demodo que las propiedades de simetr¶³a del cuerpo coinciden con sus simetr¶³asgeom¶etricas. Pueden entonces probarse los siguientes teoremas:

5.1.3 TeoremasI Teorema 5.1Todo eje de simetr¶³a, es principal de inercia en todos sus puntos.

I Teorema 5.2Un eje perpendicular a un plano de simetr¶³a de re°exi¶on, es principal deinercia donde se intersectan.

I Teorema 5.3Un eje paralelo a un eje de simetr¶³a, es principal de inercia donde lo cortaperpendicularmente el plano que contiene al centro de masas.

5.1.4 El elipsoide de inercia.

Las consideraciones anteriores admiten una visualizaci¶on gr¶a¯ca. La formacuadr¶atica

~r T ¢HO~r = 1;o bien desarrollada expl¶³citamente en la forma

x2Ixx + y2Iyy + z

2Izz + 2Ixyxy + 2Ixzxz + 2Iyzyz = 1

representa en general, un elipsoide centrado en el origen seleccionado delcuerpo pero rotado respecto a los ejes elegidos, ver ¯gura (5.2). Los semiejesdel elipsoide ser¶an en consecuencia los ejes principales de inercia del cuer-po en ese origen, puesto que para esos ejes, la forma cuadr¶atica no tiene


productos de inercia. Este elipsoide puede degenerar desde un cilindro desecci¶on el¶³ptica si alg¶un momento de inercia es cero, hasta una esfera si lostres momentos de inercia son iguales. Esta super¯cie, llamada elipsoide deinercia, que est¶a ¯ja en el cuerpo, debe por lo tanto tener las mismas pro-piedades de simetr¶³a del cuerpo. Por ejemplo, si uno de los ejes elegidos esde simetr¶³a de rotaci¶on del cuerpo en el origen seleccionado, ese eje debeser uno de los semiejes del elipsoide, es decir un eje de simetr¶³a es principalde inercia en todos sus puntos. Igualmente, si el origen est¶a en un planode simetr¶³a de re°exi¶on del cuerpo, el elipsoide debe tener ese mismo planocomo plano de simetr¶³a de re°exi¶on. Es decir dos semiejes del elipsoide est¶ansobre ese plano y el tercero es perpendicular a ese plano. En consecuenciatodo eje perpendicular a un plano de simetr¶³a de re°exi¶on es principal deinercia donde se intersectan con el plano. Otra consecuencia que se entiendecon claridad cuando se piensa en el elipsoide de inercia es la siguiente. Si elorigen est¶a en un eje de simetr¶³a de rotaci¶on en un ¶angulo distinto de 180o,el elipsoide debe tener esa misma propiedad, por lo tanto los dos semiejes delelipsoide que son perpendiculares a ese eje deben ser iguales, o sea esos doscorrespondientes momentos de inercia deben ser iguales.

Z

X

X '

Y

Y 'Z '

Figura 5.2: Elipsoide de inercia


Rotaciones de los ejes.

Si la matriz de inercia H es conocida en componentes para un sistema ortogo-nal de ejes en un punto de un cuerpo r¶³gido, podemos obtener la matriz encomponentes para ejes rotados ortogonales e1; e2; e3 en el mismo punto sim-plemente proyectando la matriz de inercia sobre estos nuevos ejes de acuerdoa

Ie1e2 = eT1 ¢He2 :

Debemos remarcar que la matriz de inercia en un punto de un cuerpo r¶³gidoes ¶unica. Lo que cambia al cambiar ejes en un punto, son sus elementos ocomponentes.

Traslaciones de los ejes, Teorema de Steiner.

Si se consideran traslaciones (paralelas) de los ejes, la relaci¶on de transforma-ci¶on de la matriz de inercia es particularmente simple si uno de los or¶³genes esel centro de masas G: Tal relaci¶on de transformaci¶on, conocida como teoremade Steiner sigue del siguiente an¶alisis. Considere que

HO = ¡Zdm (~r£)2 ;

siendo

(~r£)2 =0@ ¡y2 ¡ z2 xy xz

yz ¡x2 ¡ z2 yzzx zy ¡x2 ¡ y2

1A :Si consideramos coordenada (x0; y0; z0) relativas a G con origen en el punto(a; b; c) entonces

x = x0 + a;

y = y0 + b;z = z0 + b;

si consideramos adem¶as queZx0dm =

Zy0dm =

Zz0dm = 0;


entonces podemos no considerar los t¶erminos que resulten lineales en x0 o y0

o z0. As¶³ entonces (, signi¯ca equivalente bajo la integral)

xy = (x0 + a)(y0 + b) , x0y0 + ab;y2 + z2 = (y0 + b)2 + (z0 + c)2 , (y0)2 + (z0)2 + b2 + c2;

por lo tanto

¡ (~r£)2 =

0@ y2 + z2 ¡xy ¡xz¡yz x2 + z2 ¡yz¡zx ¡zy x2 + y2

1A,

0@ y02 + z02 ¡x0y0 ¡x0z0¡y0z0 x02 + z02 ¡y0z0¡z0x0 ¡z0y0 x02 + y02

1A+0@ c2 + b2 ¡ab ¡ac

¡ba a2 + c2 ¡bc¡ca ¡cb a2 + b2

1A ;de donde se obtiene el teorema

HO = HG +M

0@ c2 + b2 ¡ab ¡ac¡ba a2 + c2 ¡bc¡ca ¡cb a2 + b2

1A ;donde a; b; c son las coordenadas cartesianas de G respecto al origen O:

Ejercicio 5.1.3 Se tiene un s¶olido homog¶eneo en forma de un cono rectocircular de altura h, radio basal a, masa m y semi ¶angulo en el v¶ertice ®:Demuestre que:

a) En el v¶ertice sus momentos principales de inercia son A = B =3m20(a2 + 4h2); C = 3ma2

10:

b) En el centro de su base son A = B = m20(3a2 + 2h2); C = 3ma2

10:

c) El momento de inercia en torno de una generatriz es I = 3mh2

4(1 +

15sec2 ®) sin2 ®.


5.2 Ecuaciones din¶amicas.

Como se estableci¶o, ver ecuaciones (1.2, 1.3, 1.4) y m¶as generalmente en (??),las ecuaciones din¶amicas aplicables a un sistema de part¶³culas y en particulara un cuerpo r¶³gido son

d~P

dt= ~F ext;

para el movimiento del centro de masas, y

d ~LOdt

= ~¡extO ;

o

d~LGdt

= ~¡extG ;

es decir para punto ¯jo O de un sistema inercial, el centro de masas G o unpunto A arbitrario, siendo entonces

d~LAdt

= ~¡extA ¡M¡!AG£ ~aA: (5.3)

Aunque no es com¶un utilizar la ¶ultima forma, en una secci¶on m¶as adelantemostraremos que bajo ciertas condiciones su uso simpli¯ca muchos proble-mas.

5.2.1 Movimiento Plano.

Cuando todas las velocidades de un cuerpo r¶³gido son paralelas a un plano¯jo, por ejemplo el plano xy, se tiene un movimiento plano. La velocidadangular del cuerpo ser¶a de la forma

~! = !k;

y en consecuencia el momentum angular en G estar¶a dado por

~LG =

0@ Ixx Ixy IxzIyx Iyy IyzIzx Izy Izz

1A0@ 00!

1A :

5.2 Ecuaciones din¶amicas. 67

A

G

Y

!

a sin(%t)

Xa A

Figura 5.3: P¶endulo cuyo punto de suspensi¶on oscila

Si se trata de una l¶amina (z = 0) o bien simplemente si los ejes son principalesde inercia entonces

~LG =

0@ Ixx Ixy 0Iyx Iyy 00 0 Izz

1A0@ 00!

1A = Izz!k:

Presentaremos algunos ejemplos de din¶amica plana de un cuerpo r¶³gido, loscuales permiten adem¶as una soluci¶on m¶as simple si se usa la relaci¶on general(5.3). La utilizaci¶on de la ecuaci¶on (1.4) normalmente involucra calcular eltorque de alguna fuerza desconocida que debe ser ¯nalmente eliminada utili-zando la ecuaci¶on de movimiento de centro de masas. Compare ese m¶etodo,con el m¶etodo utilizado en los siguientes ejemplos..

Ejemplo 5.2.1 P¶endulo de longitud L, masa M cuyo punto de suspensi¶onA oscila verticalmente de la forma yA = a sin!t:

Soluci¶on. Para este caso tenemos

IAÄµ = ¡MgL2sin µ ¡M(~rG ¡ ~rA)£ ~aA ¢ k;

pero puede f¶acilmente verse que (~rG ¡ ~rA) £ ~aA ¢ k = ¡L2a!2 sin!t sin µ

obteniendo en dos pasos

IAÄµ = ¡MgL2sin µ +M

L

2a!2 sin!t sin µ:


A

G

Y

!

a sin(%t)

Y

X

a A

Figura 5.4: P¶endulo forzado

N

Ejemplo 5.2.2 P¶endulo de longitud L, masa M cuyo punto de suspensi¶onA oscila horizontalmente en la forma xA = a sin!t:

Soluci¶on. Para este caso


pero similarmente (~rG¡~rA)£~aA ¢ k = ¡L2a!2 sin!t cos µ entonces obtenemos

en dos pasos


L

2a!2 sin!t cos µ:

N

Ejemplo 5.2.3 P¶endulo de longitud L, masaM cuyo punto de suspensi¶on Ase mueve sobre una circunferencia vertical de radio R con velocidad angularconstante !:

Soluci¶on. Para este caso tenemos



A

G

Y

!%t

Y

X

R

a A

Figura 5.5: Problema de barra

pero (~rG ¡ ~rA)£ ~aA ¢ k = ¡L2a!2 sin(¼

2¡ !t+ µ) obteniendo


L

2a!2 cos(!t¡ µ):

N

Ejemplo 5.2.4 Movimiento de rodadura de una rueda exc¶entrica de radioR y masa M sobre un plano horizontal. En este caso la aceleraci¶on del punto

de contacto A del cuerpo con el suelo es de magnitud aA = R _µ2hacia arriba.

Soluci¶on. Suponiendo que el centro de masas est¶a a distancia h delcentro geom¶etrico, tenemos

(~rG ¡ ~rA)£ ~aA ¢ k = j~rG ¡ ~rAjR _µ2 sinÁ;

perosinÁ

h=

sin µ

jrG ¡ rAj ;

entonces(~rG ¡ ~rA)£ ~aA ¢ k = R _µ2h sin µ;

y ¯nalmente

IAÄµ = ¡Mgh sin µ ¡MR _µ2h sin µ:


Y

X

A

GC h

R

!

aA )

Figura 5.6: Disco que rueda

El momento de inercia puede ser obtenido mediante el teorema de Steiner

IA = IG +M(h2 +R2 ¡ 2hr cos µ):N

Ejemplo 5.2.5 El mismo ejemplo, pero la rueda es actuada por una fuerzahorizontal constante de magnitud F sobre su centro.

Soluci¶on. Simplemente agregamos el torque de F obteniendo

IAÄµ = ¡Mgh sin µ ¡ FR¡MR _µ2h sin µ:N

Ejemplo 5.2.6 Movimiento de rodadura de una rueda exc¶entrica de radioa sobre un cilindro ¯jo de radio R.

Soluci¶on. En este caso, demuestre primero que la aceleraci¶on del puntoA del cuerpo en contacto con el cilindro es de magnitud aA = aR!

2=(R+ a)hacia el centro de la rueda. Aqu¶³ la velocidad angular de la rueda est¶arelacionada con el ¶angulo µ mediante ! = (R+a) _µ=a y Rµ = aÁ. Si el centrode masa est¶a a distancia h del centro geom¶etrico, podemos obtener

(~rG ¡ ~rA)£ ~aA ¢ k = aAh sinÁ

=aR!2

R+ ah sinÁ;


Y

X

A

G

C

hR !

a A )

F

Figura 5.7: Rueda tirada con una fuerza.

!R

ahC

G!)

A

Figura 5.8: Rueda sobre cilindro.


Y

XA

GR

!a A

a sin(%t)

Figura 5.9: Rueda sobre plataforma m¶ovil.

entonces

IA® = ¡Mg(h sin(µ + Á)¡ a sin µ)¡M aR!2

R+ ah sinÁ;

R+ a

aIAÄµ = ¡Mgh sin(1 + R

a)µ +Mga sin µ ¡M aR _µ

2

R + ah(R+ a)2

a2sinR

aµ;

IAÄµ = ¡Mgh a

R+ asinR+ a

aµ +

Mga2 sin µ

(R+ a)¡MR _µ2h sin R

aµ;

N

Ejemplo 5.2.7 Movimiento de rodadura de una rueda de masa M y radioR, sobre una plataforma que oscila de la forma a sin!t:

Soluci¶on. Aqu¶³ la aceleraci¶on del puntoA tiene dos componentes, a!2 sin!t,

R _µ2pero solo la primera importa, dando por simple inspecci¶on (~rG ¡ ~rA)£

~aA ¢ k = Ra!2 sin!t lo cual conduce a

IAÄµ = ¡MRa!2 sin!t:

N

Problema 5.2.1 Repita los ejemplos anteriores, pero momentando respectoal centro de masas, es decir haciendo uso de la ecuaci¶on d~LG=dt = ~¡

extG :


5.2.2 Un ejemplo en m¶as dimensiones, la bola de billar.

Considere una esfera homog¶enea de masa M, radio R, que se mueve sobre unplano horizontal con coe¯ciente de roce cin¶etico ¹ sometida a su peso y a lareacci¶on del plano, ver ¯g.(5.10). Hay dos situaciones, el punto de contactoP desliza o no lo hace. La matriz de inercia con origen en el centro de masases diagonal y tiene sus tres momentos de inercia iguales (I = 2MR2=5):Supondremos que inicialmente hay deslizamiento. Para ejes ¯jos OX,OY yOZ vertical, las ecuaciones din¶amicas son

M~aG = ~f;

d~LGdt

= Id~!

dt= (¡Rk)£ ~f;

Z

X

Y

PR

G

P

Figura 5.10: Esfera sobre un plano horizontal

y adem¶as la fuerza de roce ~f est¶a dada por ~f = ¡¹MgvP ; siendo ~vP =~vG+ ~!£ (¡Rk): Si derivamos la ¶ultima ecuaci¶on respecto al tiempo y reem-plazamos en ella ~aG y d~!=dt, se obtiene

d~vPdt

=1

M

µ1 +

MR2

I

¶~f = ¡¹g

µ1 +

MR2

I

¶~vPvP;

la cual nos dice, obviamente, que la direcci¶on de ~vP no cambia con el tiempoy en consecuencia se tiene que

dvPdt

= ¡¹gµ1 +

MR2

I

¶;


que se integra trivialmente

vP = vP (0)¡ ¹gµ1 +

MR2

I

¶t: (5.4)

Si indicamos por e la direcci¶on ¯ja de ~vP ; podemos escribir

~aG = ¡~f

M= ¡¹ge;

que tambi¶en es sencillo integrar dos veces, resultando

~vG = ~vG(0)¡ ¹get

y

~rG = ~rG(0) + ~vG(0)t¡ 12¹get2;

siendo la direcci¶on de e determinables por las condiciones iniciales

~e = ~vP (0) = ~vG(0)¡ ~!(0)£ (Rk):

En resumen, el centro de masas describe, en general, una par¶abola. El an¶alisisrealizado vale hasta el instante en que vP , se anula, es decir hasta que labola comienza a rodar sin deslizar. Ese tiempo puede ser determinado de laecuaci¶on (5.4) y est¶a dado por

¯~vG(0)¡ ~!(0)£ (Rk)

¯= ¹g

µ1 +

MR2

I

¶t

de all¶³ en adelante, es f¶acil ver que G sigue movi¶endose en l¶³nea recta convelocidad constante. Note que el tiempo que tarda la bola en comenzara rodar es cero si la condici¶on de rodadura sin deslizamiento es satisfechainicialmente, y que al contrario, el tiempo es in¯nito si ¹ = 0:

² Estudio. Varios casos de esferas movi¶endose sobre super¯cies puedenser estudiados en el libro, Dynamics of Rigid Bodies, de William Dun-can ([20]).

5.3 Movimiento en tres dimensiones. 75

5.3 Movimiento en tres dimensiones.

5.3.1 Ecuaciones de Euler.

Consideremos primero, un cuerpo que se mueve sostenido de uno de suspuntos, bajo la acci¶on de la reacci¶on en el punto de suspensi¶on y alguna otrafuerza que realice alg¶un torque respecto al punto ¯jo. Adem¶as considere ejesprincipales OXY Z m¶oviles ¯jos al cuerpo r¶³gido con origen en el punto ¯joO. Como sabemos, podemos escribir

d~L0dt

= ~¡0; (5.5)

pero, en ejes principales

~L0 = Ixx!x{+ Iyy!y |+ Izz!zk;

y su derivada ser¶a

d~L0dt

= Ixx _!x{+ Iyy _!y |+ Izz _!zk +

~! £ ~L0;

de modo que si tomamos las componentes de la ecuaci¶on (5.5) se obtendr¶acon alg¶un trabajo las llamadas ecuaciones de Euler

Ixx _!x ¡ (Iyy ¡ Izz)!y!z = ¡extxIyy _!y ¡ (Izz ¡ Ixx)!z!x = ¡extyIzz _!z ¡ (Ixx ¡ Iyy)!x!y = ¡extz :

Estas ecuaciones determinan completamente las componentes de la velocidadangular del cuerpo si el torque es conocido.

5.3.2 Torque nulo.

Consideremos segundo, un cuerpo que se mueve sostenido de su centro demasa ¯jo, bajo la acci¶on de la reacci¶on en el punto de suspensi¶on solamente,de modo que el torque de las fuerzas externas respecto al punto de suspensi¶on


es nulo. Adem¶as considere ejes principales m¶oviles ¯jos al cuerpo r¶³gido conorigen en el punto ¯jo O. Ahora tenemos que

Ixx _!x ¡ (Iyy ¡ Izz)!y!z = 0

Iyy _!y ¡ (Izz ¡ Ixx)!z!x = 0

Izz _!z ¡ (Ixx ¡ Iyy)!x!y = 0:

Adem¶as es de utilidad considerar que lo anterior es el re°ejo de ~L0 =constante. O sea

~L0 = Ixx!x{+ Iyy!y |+ Izz!zk = constante.

Si adem¶as no hay roce, se conserva la energ¶³a cin¶etica de modo que

K =1

2Ixx!

2x +

1

2Iyy!

2y +

1

2Izz!

2z = constante. (5.6)

Tambi¶en sigue de las ecuaciones anteriores que

~L0 ¢ ~! = 2K = constante,

de modo que la velocidad angular permanece sobre un plano ¯jo perpendicu-lar a ~L0. Adem¶as la magnitud del momentum angular es constante, lo cualagrega otra condici¶on (no es independiente)

L20 = I2xx!

2x + I

2yy!

2y + I

2zz!

2z = constante. (5.7)

Ejercicio 5.3.1 A partir de las ecuaciones de Euler pruebe las ecuaciones5.6 y 5.7.

Pensemos ahora como se ven las cosas para un observador que se muevejunto con el cuerpo r¶³gido. Para ¶el las direcciones de los ejes permanecen¯jas y observa que la velocidad angular var¶³a en esos ejes. De acuerdo a¶el, la punta del vector velocidad angular se mueve en un punto que es laintersecci¶on de dos elipsoides ¯jos al cuerpo.

Ixx!2x + Iyy!

2y + Izz!

2z = 2K

yL20 = I

2xx!

2x + I

2yy!

2y + I

2zz!

2z = L

20;


el primero de los cuales se denomina elipsoide de Poinsot. Adem¶as, comoexplicamos, la punta de vector velocidad angular permanece sobre un plano¯jo. Notemos adem¶as que la normal al elipsoide de Poinsot donde est¶a ~! es~n = Ixx!x{ + Iyy!y | + Izz!zk o sea precisamente el momentum angular, demodo que el plano invariable es tangente al elipsoide de Poinsot. El cuadroque sigue de aqu¶³ es que el elipsoide de Poinsot, que se mueve junto con elcuerpo, rueda sin deslizar sobre el plano invariable. Este movimiento, bas-tante complicado, representa el movimiento de un cuerpo r¶³gido con torquenulo. Desafortunadamente las ecuaciones para !x, !y, !z resultan el¶³pticas(complicadas) por lo cual no ahondaremos m¶as aqu¶³. Si se interesa vea [18,(pag.378)]. Sin embargo, el problema se simpli¯ca si el s¶olido r¶³gido es desimetr¶³a de revoluci¶on.

5.3.3 Cuerpo sim¶etrico.

Supondremos ahora que el cuerpo tiene simetr¶³a de revoluci¶on de modo que

Ixx = Iyy = A;

Izz = C:

Ahora las ecuaciones de Euler se simpli¯can a

A _!x ¡ (A¡ C)!y!z = 0

A _!y ¡ (C ¡A)!z!x = 0

C _!z = 0:

de donde se desprende que

!z = constante,

!2x + !2y = constante.

Si denotamos por ® el ¶angulo que ~! forma con el eje z, ver ¯gura (5.11) sigueque

! =q!2x + !

2y + !

2z = constante,

!z = ! cos®;

!x =q!2x + !

2y = ! sin®;


z

x

y

" +

%L

A > C

Figura 5.11: Cuerpo r¶³gido sim¶etrico.

de modo que si se coloca

!x = !x cosÁ;

!y = !x sinÁ;

cualquiera de las dos primeras ecuaciones de Euler conduce a

¡A!x sinÁ _Á¡ (A¡ C)!x sinÁ!z = 0;

o sea

_Á =(C ¡ A)A

!z;

Á =(C ¡ A)A

!zt:

de modo que

!x = !x cos(C ¡ A)A

!zt;

!x = !x sin(C ¡ A)A

!zt:

M¶as detalles se plantean como Ejercicios.


5.3.4 Trompo.

Este caso del movimiento de un cuerpo r¶³gido sim¶etrico con un punto ¯jo, ya diferencia del ¶ultimo caso sometido al torque que ejerce su peso. Considereentonces un trompo sim¶etrico (Ixx = Iyy) que mantiene su p¶ua ¯ja. Para los¶angulos µ; Á; Ã indicados en la ¯gura (5.12), siendoM su masa, h la distanciade la p¶ua al centro de masa y Ixx = Iyy = A; Izz = C, los momentos de inercia,para un eje perpendicular al eje de simetr¶³a y respecto al eje de simetr¶³a, enel punto ¯jo, origen del sistema de coordenada. En el cap¶³tulo de ecuacionesde Lagrange, este tema ser¶a tratado de otra forma. Aqu¶³, las ecuaciones demovimiento ser¶an

M~aG = ~R+Mgk;

d~L0dt

= ~¡ext0 :

Los ejes m¶oviles son z el eje de simetr¶³a, x en el plano que contiene z y z0, yen el plano horizontal.La velocidad angular es

~! = _Ák0 ¡ _µ|+ _Ãk

= _Á(cos µk + sin µ{)¡ _µ|+ _Ãk

= ¡ _µ|+ _Á sin µ{+ ( _Á cos µ + _Ã)k

el momentum angular

~L0 = ¡A _µ|+A _Á sin µ{+ C( _Á cos µ + _Ã)k;

el torque~¡ext0 = ¡Mgh sin µ|:

La derivada del momentum angular puede hacerse con algo de manipu-laci¶on algebraica. Sea s = _Á cos µ + _Ã, entonces

d~L0dt

= ¡AÄµ|¡ A _µd|dt+AÄÁ sin µ{+A _Á _µ cos µ{+

A _Á sin µd{

dt+ C( _s)k + C(s)

dk

dt:

Las derivadas de los vectores unitarios son


Mg

O

R

!

)

*

x

y

G

z

z

0

Figura 5.12: Trompo sim¶etrico

d{

dt= (¡ _µ|+ ( _Á cos µ)k)£ {

d|

dt= ( _Á sin µ{+ ( _Á cos µ)k)£ |

dk

dt= (¡ _µ|+ _Á sin µ{)£ k;

que se reducen a

d{

dt= _µk + ( _Á cos µ)|

d|

dt= _Á sin µk ¡ ( _Á cos µ){

dk

dt= ¡ _µ{¡ ( _Á sin µ)|;

de modo que

d~L0dt

= ¡AÄµ|¡ A _µ( _Á sin µk ¡ ( _Á cos µ){) +AÄÁ sin µ{+A _Á _µ cos µ{+A _Á sin µ( _µk + ( _Á cos µ)|) + C _sk + Cs(¡ _µ{¡ _Á sin µ|);

= ¡AÄµ|+AÄÁ sin µ{+ 2A _Á _µ cos µ{+A _Á sin µ _Á cos µ|+ C _sk + Cs(¡ _µ{¡ _Á sin µ|);


entonces las componentes de la ecuaci¶on del torque son

AÄÁ sin µ + 2A _Á _µ cos µ ¡ Cs _µ = 0

¡AÄµ +A _Á sin µ _Á cos µ ¡ Cs _Á sin µ = ¡Mgh sin µC _s = 0:

De la primera se obtiene

d

dt(AÄÁ sin2 µ + Cs cos µ) = 0

de modo que se tienen dos cantidades conservadas

s ´ _Á cos µ + _Ã = constante;

® ´ A _Á sin2 µ + Cs cos µ = constante:

Ahora, en vez de trabajar la segunda ecuaci¶on es preferible considerar que laenerg¶³a se conserva, entonces

E =1

2A _µ

2+1

2A(sin2 µ) _Á

2+1

2C(s)2 +Mgh cos µ = constante.

Al eliminar _Á a trav¶es de ® en la ecuaci¶on de la energ¶³a. Si se de¯ne u = cos µ,se obtiene (ver ap¶endice)

_u2 = f(u) = (2E ¡ Cs2 ¡ 2Mghu)1¡ u2

A¡µ®¡ CsuA

¶2;

polinomio c¶ubico, cuyas dos ra¶³ces entre ¡1 y 1 tienen importancia en ladeterminaci¶on de la inclinaci¶on del eje del trompo en su movimiento. En las¯guras siguientes se muestran tres casos part¶³culares donde la forma de f(u),la cual est¶a determinada por las condiciones iniciales, determina el tipo demovimiento que se realiza.En el primer caso, hay dos ra¶³ces en el intervalo ¡1; 1 y la tercera, como

es lo usual es mayor que uno. El eje el trompo oscila entre las inclinacionesdadas por esas dos raices.El segundo caso corresponde a una inclinaci¶on constante µ0 del eje del

trompo, caso llamado de precesi¶on uniforme que se caracteriza por ser f(u0) =0 y f 0(u0) = 0:El ¶ultimo caso corresponde al caso de trompo dormido estable, es de-

cir donde el eje del trompo permanece vertical y est¶a caracterizado por ser


-1 1

f(u)

u

caso genérico

Figura 5.13: Raices de f(u)

-1 1

f(u)

u

precesión uniforme

Figura 5.14: Precesi¶on uniforme.

-1 1

f(u)

u

trompo dormido

Figura 5.15: Trompo dormido.


precesión positiva

Figura 5.16: Precesi¶on positiva.

movimiento cuspidal

Figura 5.17: Movimiento cuspidal.

f(1) = 0 y f 0(1) = 0:Otras caracter¶³sticas del movimiento del trompo se vi-sualizan mejor siguiendo el movimiento del centro de masas, el cual se muevesobre una esfera, como se indica en la ¯gura siguiente para tres casos posibles.En el primero _Á > 0

en el segundo _Á se anula en el punto m¶as alto y en el tercero _Á se anula ypor lo tanto cambia de signo entre las inclinaciones m¶aximas y m¶³nimas deleje del trompo.

La soluci¶on completa para condiciones iniciales arbitrarias es complica-da pero esbozaremos lo que se necesita hacer. Las condiciones iniciales deposici¶on y velocidad del trompo determinan las constantes E, s y ®: La in-clinaci¶on del eje polar µ se obtendr¶³a integrando la ¶ultima ecuaci¶on que tienela forma

dt =dupf(u)

;


movimiento con loops

Figura 5.18: Movimiento con loops.

y que conduce a funciones el¶³pticas. En efecto que es un polinomio c¶ubicopuede escribirse

f(u) =2Mgh

A(u¡ u1)(u¡ u2)(u¡ u3);

donde supondremos que hemos ordenado las ra¶³ces de acuerdo a

¡1 < u1 < u2 < 1 < u3:Sea adem¶as z =

pu¡ u1 de modo que 2z _z = _u entonces

f(u) =2Mgh

A(z2)(z2 + u1 ¡ u2)(z2 + u1 ¡ u3);

du = 2zdz

de modo que

dt =

s2A

Mgh

dzp(z2 ¡ (u2 ¡ u1))(z2 ¡ (u3 ¡ u1))

;

que nos proponemos reducir a la forma can¶onica (ver ap¶endice)µdy

dx

¶2= (1¡ y2)(1¡ k2y2); (0 < k2 < 1):

Para ello la escribimos

2A

Mgh

µdz

dt

¶2= ((u2 ¡ u1)¡ z2)((u3 ¡ u1)¡ z2);


sea adem¶as z =p(u2 ¡ u1)w entonces2A

Mgh(u3 ¡ u1)µdw

dt

¶2= (1¡ w2)(1¡ u2 ¡ u1

u3 ¡ u1w2);

de aqu¶³, puede obtenersew = sn(p(t¡ t0);

donde p y el m¶odulo de la funci¶on el¶³ptica sn est¶an dados por

p2 =Mgh(u3 ¡ u1)

2A;

k2 =u2 ¡ u1u3 ¡ u1 :

As¶³ ¯nalmente la soluci¶on ser¶a

cos µ = u1 + z2

= u1 + (u2 ¡ u1)sn2(p(t¡ t0):Ejemplo 5.3.1 Un trompo con momentos de inercia dados A, C y dadosMy h se coloca en movimiento con su eje inclinado en ¼=2. Con un movimientode spin s. Determine la precesi¶on inicial _Á(0) = para el trompo pase porµ = 0:

Soluci¶on. Podemos evaluar las constantes


® ´ A _Á sin2 µ + Cs cos µ = A

E =1

2A _µ

2+1

2A(sin2 µ) _Á

2+Mgh cos µ +

1

2Cs2

=1

2Cs2 +

1

2A2

entonces

f(u) = (A2 ¡ 2Mghu)(1¡ u2)

A¡µA¡ Csu

A

¶2:

Una ra¶³z esu1 = 0;

y la otra debe ser u = 1 por lo tanto

A¡ Cs = 0:


N

Ejemplo 5.3.2 Un trompo con momentos de inercia dados A, C y dados My h se coloca en movimiento con su eje vertical hacia arriba. Con un movi-miento de spin s solamente. Determine la condici¶on para que el movimientosea estable.

Soluci¶on. De acuerdo a las condiciones iniciales podemos evaluar lasconstantes


® ´ A _Á sin2 µ + Cs cos µ = Cs;

E =1

2A _µ

2+1

2A(sin2 µ) _Á

2+Mgh cos µ +

1

2Cs2

= Mgh+1

2Cs2;

entonces

f(u) = (2Mgh¡ 2Mghu)(1¡ u2)

A¡µCs¡ Csu

A

¶2;

= 2Mgh(1¡ u)(1¡ u2)

A¡ C

2s2

A2(1¡ u)2;

=(1¡ u)2A

µ2Mgh(1 + u)¡ C

2s2

A

¶:

O sea hay dos ra¶³ces repetidas u = 1, y la tercera ra¶³z es

u3 =C2s2

2MghA¡ 1:

Si la tercera ra¶³z fuera menor que 1 entonces el eje del trompo se mover¶³aentre µ = 0 y el valor de cos µ = u3. Para que ello no ocurra, trompo estable,debe ocurrir que u3 > 1 y eso impone

C2s2

2MghA> 2:

N

5.4 Ejercicios. 87

Ejemplo 5.3.3 Un trompo con momentos de inercia dados A, C y dadosM y h se coloca en movimiento con su eje inclinado en ¶angulo µ = ¼=2, Conun movimiento de spin s y precesi¶on inicial _Á(0) = solamente. Determinela condici¶on para que en el movimiento µ no var¶³e.

Soluci¶on. Nuevamente, de acuerdo a las condiciones iniciales podemosevaluar las constantes


® ´ A _Á sin2 µ + Cs cos µ = A;

E =1

2A _µ

2+1

2A(sin2 µ) _Á

2+Mgh cos µ +

1

2Cs2

=1

2A2 +

1

2Cs2;

entonces

f(u) = (A2 ¡ 2Mghu)(1¡ u2)

A¡µA¡ Csu

A

¶2;

= (A2 ¡ 2Mghu)(1¡ u2)

A¡µ¡ Cs

Au

¶2:

Obviamente una soluci¶on es u = 0 correspondiente a µ = ¼=2. Para que µno var¶³e, f(u) debe ser negativo en la vecindad de u = 0 y eso requiere quef(0) sea un m¶aximo relativo. Entonces la condici¶on es

f 0(0) = 0:

Haciendo el c¶alculo correspondiente resulta

(¡2Mgh) 1A+2Cs

A = 0

Cs = Mgh

N

5.4 Ejercicios.

Ejercicio 5.4.1 En el movimiento de un cuerpo r¶³gido sim¶etrico (es decircon A = B) bajo la acci¶on de la reacci¶on en el centro de masas solamente,ver ¯g.(5.19), pruebe que:


a) La magnitud de la velocidad angular del cuerpo permanece constante.

b) La velocidad angular ~! del cuerpo describe un cono en torno del ejede simetr¶³a de cuerpo (eje z) con velocidad angular relativa al cuerpo~n = (C ¡ A)!zk=A:

c) El eje de simetr¶³a del cuerpo (eje z) describe un cono en torno a la di-

recci¶on ¯ja del momentum angular ~LG, con velocidad angular de mag-nitud = !

psin2 ®+ (C=A)2 cos2 ® siendo ® el ¶angulo constante que

forma ~! con el eje z.

A > C

ZL

��

��

A < C

ZL

��

Figura 5.19: Conos del espacio y del cuerpo

Indicaci¶on: Para la parte (c) y de acuerdo a lo explicado, los ¶angulos ®,y ¯ son constantes, siendo el momentum angular constante por ser nulo eltorque. Entonces, mirado desde un sistema inercial, ~! precesa en torno de~L, formando un cono ¯jo en el espacio. Adem¶as el cono que forma ~! entorno a z, rueda sin deslizar sobre el cono ¯jo al espacio. Rueda sin deslizarporque todos los puntos del cuerpo r¶³gido a lo largo de ~! tienen velocidadnula, ver ¯gura (5.20). Tenemos entonces, un problema de cinem¶atica. Sea

la velocidad angular de z en torno a ~L, entonces

vP = ¢ PM = ! ¢ PQpero

PQ

PG= sin®;

PM

PG= sin ¯;

5.4 Ejercicios. 89

Lz

%

"+,"

G

PQ

M

Figura 5.20: Cono ¯jo y del espacio.

por lo tanto

=PQ

PM! =

sin®

sin¯!;

pero tan ¯ = (A=C) tan®

=sin®

p1 + tan2 ¯

tan ¯!;

= !

rC2

A2cos2 ®+ sin2 ®

que prueba el resultado el ¶ultimo resultado.

Ejercicio 5.4.2 (Synge y Gri±th, [18]) Un cono s¶olido de altura b y semi¶angulo en el v¶ertice ® rueda en movimiento estacionario sobre un plano ru-goso horizontal de modo que la l¶³nea de contacto rota con velocidad angular en torno de la vertical. Demuestre que la reacci¶on de la super¯cie sobre elcono equivale a una fuerza que corta la generatriz de contacto a distancia

3

4b cos®+

k22

gcot®

de su v¶ertice, siendo k el radio de giro del cono (I = mk2) en torno a lageneratriz. Deduzca que el valor m¶aximo posible de es

1

2k cos®

qgb(1 + 3 sin2 ®) sin®:


Ejercicio 5.4.3 (Synge y Gri±th) Una placa delgada el¶³ptica de semiejea; b (a ¸ b) puede moverse libremente en torno de su centro que est¶a ¯jo.Es colocada en movimiento d¶andole una velocidad angular de magnitud nen torno de un eje sobre su plano, igualmente inclinado respecto a ambossemiejes de la elipse. Demuestre que el eje instant¶aneo de rotaci¶on, volver¶aa estar sobre el plano de la elipse despu¶es de un tiempo

2

¸Z0

1p¸4 ¡ x4

dx;

siendo

¸2 =n2

2

a2 ¡ b2a2 + b2

:

Ejercicio 5.4.4 Considere dos cuerpos r¶³gidos que chocan de modo queexiste una tangente com¶un a las super¯cies en el punto de contacto, don-de se desarrolla una fuerza normal y posiblemente otra tangente (de roce),ver ¯g.(5.21). Establezca la equivalencia entre conservaci¶on de energ¶³a (cho-que el¶astico) y coe¯ciente de restituci¶on unidad (e = 1): Otros ejemplos

J JP

G1

v2

G2

v1

1%

2%

Figura 5.21: Choque de cuerpos r¶³gidos

de la din¶amica de los cuerpos r¶³gidos, tales como el movimiento del tromposim¶etrico bajo la acci¶on de su peso y de la reacci¶on en su p¶ua, se estudiar¶anen el cap¶³tulo sobre ecuaciones de Lagrange, pues ese m¶etodo tiene, en gene-ral, ventajas respecto a la formulaci¶on newtoniana usual.

5.4 Ejercicios. 91

Ejercicio 5.4.5 Una semiesfera homog¶enea de radio a est¶a en reposo so-bre un plano horizontal liso con su base paralela a una pared vertical lisa,sobre la cual la super¯cie semi esf¶erica, se apoya. La semiesfera comien-za a moverse partiendo del reposo, deslizando sobre el piso horizontal y lapared, ambas sin roce. Demuestre que cuando la base alcanza la posici¶on ho-rizontal, la rapidez angular y la rapidez del centro de masas de la semiesfera

son ! =q

158g=a; v = 3

8a! respectivamente. Demuestre adem¶as durante el

movimiento siguiente, el ¶angulo entre la base y la horizontal no excede decos¡1( 45

128).

Ejercicio 5.4.6 Un disco uniforme de radio a que est¶a rotando con rapi-dez angular inicial alrededor de su eje, se coloca sobre un plano horizontaldonde el coe¯ciente de roce cin¶etico es ¹. Si la super¯cie se apoya unifor-memente sobre el suelo, demuestre que el disco se detendr¶a en un tiempo34a=(g¹).

Ejercicio 5.4.7 Un cilindro s¶olido de radio a, descansa sobre otro igualque a su vez se apoya sobre el suelo, en equilibrio inestable. Si el sistemase perturba levemente y no hay deslizamiento en las super¯cies de contacto,demuestre que mientras los cilindros permanecen en contacto, el ¶angulo µ queforma la l¶³nea que une los centros con la vertical satisface

_µ2=

12g(1¡ cos µ)a(17 + 4 cos µ ¡ 4 cos2 µ) :

Ejercicio 5.4.8 Un trompo con momentos de inercia A = 5Mh2=4, C =Mh2=2 se coloca en movimiento con su eje horizontal µ = ¼=2. El spin s esdado. Determine los valores de la precesi¶on inicial _Á(0) = para los cualesµ aumentar¶a, disminuir¶a o permanecer¶a constante.

Ejercicio 5.4.9 Un trompo con momentos de inercia A = 5Mh2=4, C =Mh2=2 se coloca en movimiento con su eje horizontal µ = ¼=2. El spin s esdado. Si la precesi¶on inicial es _Á(0) = 0 determine los extremos del ¶anguloµ para el movimiento siguiente.

Ejercicio 5.4.10 Un trompo con momentos de inercia A = 5Mh2=4, C =Mh2=2 se coloca en movimiento con su eje inclinado en µ = ¼=3. El spin ses dado. Si la precesi¶on inicial es _Á(0) = 0 determine los extremos del ¶anguloµ para el movimiento siguiente.


Ejercicio 5.4.11 Un trompo con momentos de inercia dados A, C y dadosM y h se coloca en movimiento con su eje inclinado en µ. Determine larelaci¶on que debe haber entre el spin s y la precesi¶on inicial _Á(0) = paraque el ¶angulo µ no var¶³e. (Precesi¶on uniforme)

Ejercicio 5.4.12 Un trompo con momentos de inercia dados A, C y dadosM y h se coloca en movimiento con su eje inclinado en µ0. Si el trompo tienespin solamente, determine los valores extremos del ¶angulo µ. (Movimientocuspidal)

Ejercicio 5.4.13 Un trompo con momentos de inercia dados A, C y dadosM y h se coloca en movimiento con su eje vertical hacia arriba (µ0 = 0). Siel trompo tiene spin solamente, determine los valores del spin para los cualesel trompo baila establemente. (Movimiento de trompo dormido)

Ejercicio 5.4.14 Un trompo con momentos de inercia dados A, C y dadosM y h baila en precesi¶on uniforme _Á = con su eje inclinado un ¶anguloµ. Si repentinamente el spin se duplica determine los ¶angulos extremos deinclinaci¶on del eje del trompo.

Cap¶³tulo 6

Ecuaciones de Lagrange.

6.1 Introducci¶on.

Presentaremos las ecuaciones de Lagrange que constituyen una formulaci¶onalternativa a la formulaci¶on cl¶asica Newtoniana, con ventajas que explica-remos. Las ecuaciones de Lagrange as¶³ como la funci¶on lagrangiano puedenser introducidas de diversas formas. La justi¯caci¶on ¶ultima de cualquierade los m¶etodos es que el formalismo conduzca a las ecuaciones correctas demovimiento del sistema (cuando ellas son conocidas). De este punto de vistapueden existir diversos lagrangianos que originen las mismas ecuaciones demovimiento. Esos lagrangianos se denominan equivalentes. Una de las for-mas modernas es partir del principio variacional de Hamilton buscando unafunci¶on lagrangiano que satisfaga el criterio anterior. Las simetr¶³as del siste-ma pueden ser de ayuda en postular una determinada funci¶on lagrangiano.En estos apuntes preferiremos partir de las ecuaciones cl¶asicas de Newton demovimiento de un sistema y derivar de all¶³ la formulaci¶on lagrangiana, conlo cual el principio variacional de Hamilton pasa a ser en realidad un teore-ma de la Mec¶anica Cl¶asica. En esta formulaci¶on, el lagrangiano del sistemaestar¶a dado por L = K ¡ V , la energ¶³a cin¶etica menos la energ¶³a potencialdel sistema. Otros casos en que ello no sea as¶³ se considerar¶an en particular.

94 Ecuaciones de Lagrange.

6.2 Restricciones o v¶³nculos.

Una forma equivalente a la formulaci¶on newtoniana de la Mec¶anica, la cons-tituye la formulaci¶on lagrangiana. La principal ventaja pr¶actica que tieneesta formulaci¶on, es que de partida, el n¶umero de variables es el m¶³nimoposible para determinar la con¯guraci¶on del sistema y adem¶as que no esnecesario conocer el detalle de las fuerzas de v¶³nculos para su formulaci¶on,siempre que ellas satisfagan ciertos requisitos que se explican m¶as adelante.

6.2.1 V¶³nculos holon¶omicos y coordenadas generaliza-das.

Normalmente sobre un sistema mec¶anico existen restricciones o v¶³nculos da-dos. Por ejemplo si se tiene un sistema r¶³gido de part¶³culas, las distanciasentre ellas son invariables y por lo tanto las variables necesarias para sudescripci¶on ser¶an apenas 6, independientemente del n¶umero de part¶³culasque constituye el sistema. Los v¶³nculos llamados de tipo hol¶onomos permi-ten disminuir el n¶umero de variables de las inicialmente consideradas, porconstituir relaciones funcionales que permitir¶³an hacer la eliminaci¶on de va-riables redundantes. Rara vez se procede a eliminar variables redundantesexpl¶³citamente. En vez, razonando se decide sobre cu¶antas variables son ne-cesarias y se las elige. As¶³, para el caso de v¶³nculos hol¶onomos, si el sistematiene N part¶³culas, existen en principio N vectores posici¶on o 3N coordena-das por determinar. La existencia de un cierto n¶umero de v¶³nculos constanteso funciones conocidas del tiempo, hace que sea necesario un n¶umero menorde coordenadas n (n < 3N). Denotaremos por qi a esas coordenadas ele-gidas, llamadas coordenadas generalizadas del sistema. Todo los cambiosvirtuales posibles de posici¶on del sistema corresponden a cambios arbitrariosde las coordenadas generalizadas, supuestas independientes. El n¶umero decoordenadas generalizadas n; es llamado el n¶umero de grados de libertad delsistema. Los cambios reales del sistema son logrados mediante cambios vir-tuales de las coordenadas generalizadas m¶as los cambios que se originen enlas variaciones con el tiempo de los v¶³nculos, en el caso en que hayan v¶³nculosvariables.

6.2 Restricciones o v¶³nculos. 95

6.2.2 Fuerzas de v¶³nculos.

La presencia de ciertos tipos de v¶³nculos equivalen a ciertas fuerzas, nor-malmente desconocidas, actuando sobre algunas part¶³culas. Por ejemplo lacondici¶on para que una part¶³cula permanezca sobre una super¯cie lisa da-da es equivalente a una cierta reacci¶on normal. La formulaci¶on lagrangianausual, exige que las llamadas fuerzas de v¶³nculos, realicen un trabajo totalnulo cuando las part¶³culas tienen desplazamientos (in¯nit¶esimos) compati-bles con los v¶³nculos a tiempo ¯jo. Para el ejemplo anterior, suponga que lasuper¯cie lisa tiene un movimiento dado. Si la part¶³cula es desplazada sobrela super¯cie sin permitir su movimiento (a tiempo ¯jo), la reacci¶on normalno realiza trabajo. Sin embargo, si el desplazamiento de la part¶³cula es sobrela super¯cie que se mueve, la reacci¶on normal realiza trabajo distinto de cero.Si las fuerzas que vinculan un sistema de part¶³culas para que este sea un sis-tema r¶³gido de part¶³culas, obedecen el principio de acci¶on y reacci¶on, es muysimple demostrar que el trabajo total que realizan esas fuerzas al desplazararbitrariamente el sistema, es nulo.

6.2.3 Desplazamientos virtuales.

Para sistematizar la discusi¶on llamaremos desplazamientos virtuales compa-tible con los v¶³nculos, a los cambios de posici¶on in¯nit¶esimos ±~ri asociadosa cambios arbitrarios in¯nit¶esimos de las coordenadas generalizadas ±qi atiempo ¯jo.La diferencia entre desplazamientos virtuales ±~ri y desplazamientos realesd~ri debe estar clara. Si, por de¯nici¶on de coordenadas generalizadas se tiene

~ri = ~ri(q1; q2; : : : ; qn; t) ; (6.1)

la diferencia se~nalada es

d~ri =X @~ri

@qjdqj +

@~ri@tdt ;

y

±~ri =Xj

@~ri@qj±qj : (6.2)

La diferencia puede ser importante en el caso que los v¶³nculos sean funcionesdel tiempo, es decir cuando el tiempo aparezca expl¶³citamente en (6.1).


6.3 Ecuaciones de Lagrange.

Si se escriben las ecuaciones de Newton para las N part¶³culas, separando lasfuerzas que act¶uan sobre ellas en fuerzas de v¶³nculos y las de otro tipo

mi~ai = ~Fi + ~Fivinc:

:

La esencia de la formulaci¶on lagrangiana es que las fuerzas de v¶³nculos norealizan trabajo virtual, es decirX

i

~Fivinc: ¢ ±~ri = 0;

o sea±W ´

Xmi~ai ¢ ±~ri =

Xi

(~Fi + ~Fivinc:

) ¢ ±~ri =Xi

~Fi ¢ ±~ri (6.3)

El resto, la obtenci¶on de las ecuaciones de Lagrange, son detalles que veremosa continuaci¶on.Partiendo de (6.1), se deja como ejercicio demostrar la siguiente identidad.

Ejercicio 6.3.1 Si ~ri = ~ri(q1; q2; : : : ; qn; t); demuestre la identidad

d

dt

@

@ _qj

1

2v2i ¡

@

@qj

1

2v2i ´ ~ai ¢

@~ri@qj

:

Si esa identidad se multiplica por mi; ±qj y se suma en i; j se obtieneXj

µd

dt

@

@ _qjK ¡ @

@qjK

¶±qj ´

Xi; j

mi~ai ¢ @~ri@qj±qj ;

que sigue siendo una identidad. La F¶³sica reci¶en entra ahora, al utilizar (6.3)Xj

µd

dt

@

@ _qjK ¡ @

@qjK

¶±qj =

Xj

Qj±qj ; (6.4)

siendo K la energ¶³a cin¶etica y

Xi

~Fi ¢ ±~ri = ±W =Xj

ÃXi

~Fi ¢ @~ri@qj

!±qj ´

Xj

Qj±qj ;

6.3 Ecuaciones de Lagrange. 97

por ¶ultimo, si las coordenadas generalizadas son independientes, como se hasupuesto, se obtiene

d

dt

@

@ _qjK ¡ @

@qjK = Qj : (6.5)

Este conjunto de ecuaciones se conoce como las ecuaciones de Lagrange delsistema (en una primera versi¶on).

6.3.1 V¶³nculos no holon¶omicos.

Un cierto tipo de v¶³nculo no holon¶omico puede ser tratado con m¶³nimas va-riaciones con lo explicado. El caso que analizaremos consiste en restriccionesadicionales lineales en las velocidades generalizadas del tipoX

j

Aij _qj +Ai0 = 0; i = 1; 2; 3; : : : ; p ;

siendo los Aij ciertas funciones conocidas de las coordenadas generalizadas.Por constituir relaciones en general no integrables, dichas relaciones no per-miten a disminuir a priori el n¶umero de coordenadas generalizadas. Ellasimponen restricciones a las variaciones virtuales de las coordenadas genera-lizadas en uso, de la formaX

j

Aij±qj = 0; i = 1; 2; 3; : : : ; p : (6.6)

Se supone tambi¶en que las fuerzas de v¶³nculos realizan trabajo total nuloen los desplazamientos virtuales compatibles con los v¶³nculos holon¶omicosoriginales, y con los adicionales (6.6) no holon¶omicos. As¶³ todo lo dichoanteriormente vale, salvo en lo relativo a la independencia de las coordenadas.Por lo tanto se tieneX

j

µd

dt

@

@ _qjK ¡ @

@qjK

¶±qj =

Xj

Qj±qj;

junto con Xj

Aij±qj = 0; i = 1; 2; 3; : : : ; p

de all¶³, utilizando p multiplicadores de Lagrange, ¸i; se obtieneXj

Ãd

dt

@

@ _qjK ¡ @

@qjK +

Xi

¸iAij ¡Qj!±qj = 0 ;


y considerando la idea del uso de los multiplicadores de Lagrange, se deduceque

d

dt

@

@ _qjK ¡ @

@qjK +

Xi

¸iAij = Qj; j = 1; 2; 3; : : : ; n ;

que junto con Xj

Aij _qj +Ai0 = 0; i = 1; 2; 3; : : : ; p;

constituyen n+ p ecuaciones para las inc¶ognitas, qi; ¸i. Estas ecuaciones sonlas llamadas ecuaciones de Lagrange para el sistema que tiene v¶³nculos deltipo considerado.

Funci¶on Lagrangiano.

En la formulaci¶on presentada, las ecuaciones de Lagrange se han escrito ent¶erminos de la energ¶³a cin¶etica K: Si algunas de las fuerzas que realizantrabajo son conservativas, derivables de un potencial, la expresi¶on del trabajovirtual puede escribirse

±W =Xj

Qj±qj = ±WNC ¡ ±V =

Xj

QNCj ±qj ¡Xj

@V

@qj±qj ;

siendo QNCj la llamada fuerza generalizada \no conservativa". Por lo tanto,para v¶³nculos holon¶omicos, las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse:

d

dt

@

@ _qjL¡ @

@qjL = QNCj ; j = 1; 2; 3; : : : ; n: (6.7)

siendo el lagrangiano del sistema

L(q; _q; t) = K(q; _q; t)¡ V (q; t):

Esta forma constituye la versi¶on m¶as conocida de las ecuaciones de Lagrangepara un sistema con v¶³nculos holon¶omicos. Se dar¶an ejemplos en que ellagrangiano correcto no est¶a dado por K ¡ V: Naturalmente esos otros casoscorresponden a sistemas en que las ecuaciones cl¶asicas de movimiento noest¶an dadas por las ecuaciones cl¶asicas de Newton.

6.4 Sistemas Conservativos. 99

6.3.2 Condici¶on de integrabilidad.

El sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden, el conjunto de lasecuaciones de Lagrange, requiere como condici¶on para su integrabilidad que

det

½@2L

@ _qi@ _qj

¾6= 0: (6.8)

Esa condici¶on signi¯ca en el fondo poder despejar las aceleraciones del con-junto de ecuaciones diferenciales de Lagrange. Quedan as¶³, excluidos en estaformulaci¶on, los lagrangianos singulares o de primer orden en las velocidadesgeneralizadas _qi:

6.4 Sistemas Conservativos.

Por de¯nici¶on, un sistema ser¶a llamado conservativo, si QNCj = 0; 8j: Paraellos, las ecuaciones de Lagrange son

d

dt

@L

@ _qj¡ @L

@qj= 0; j = 1; 2; 3; : : : ; n: (6.9)

que, escritas expl¶³citamente sonXi

@2L

@ _qj@ _qiÄqi +

Xi

@2L

@ _qj@qi_qi +

@2L

@ _qj@t¡ @L

@qj= 0; j = 1; 2; 3; : : : ; n:

lo que explica el signi¯cado de la condici¶on de integrabilidad anterior. Esesencialmente la condici¶on para poder despejar las aceleraciones del conjuntode ecuaciones de movimiento.

6.4.1 Momentos can¶onicos.

Los momentos can¶onicos conjugados a las variable qi, se de¯ne por

pi =@L(q; _q; t)

@ _qi:

La inversi¶on de las ecuaciones anteriores, para despejar las velocidades gene-ralizadas en t¶erminos de los momentos can¶onicos (teorema de la funci¶onimpl¶³cita), requiere la misma condici¶on anterior (6.8), de modo que hay unasegunda raz¶on para excluir lagrangianos singulares de este formalismo.


6.4.2 El hamiltoniano del sistema.

Transformaci¶on de Legendre.

Considere como ejemplo, en una dimensi¶on, una funci¶on convexa f(x) (conf 00(x) > 0). La transformada de Legendre de f(x); se de¯ne por, (¯gura 6.1):

pxf(x)

X

px - f(x)

O

Figura 6.1: Transformada de Legendre

F (p) = min(px¡ f(x)) :Dado que el m¶³nimo ocurre cuando la derivada respecto a x sea nula, entonces

F (p) = px¡ f(x) ;

siendop = f 0(x) ;

que esencialmente genera a partir de una funci¶on de variable independiente x,una funci¶on de variable independiente p: (vea Arnold [2])

² Un ejemplo de la Termodin¶amica. En termodin¶amica se utilizan trans-formaciones de Legendre para generar funciones termodin¶amicas. Con-sidere la energ¶³a interna U = U(S; V ), la temperatura T =(@U=@S)V :La transformada de Legendre de la energ¶³a interna es la funci¶on deHelmholtz, funci¶on de el volumen y la temperatura:

A(V; T ) = U ¡ TS :


Funci¶on hamiltoniano.

Dado un lagrangiano L(q; _q; t); de¯nimos su transformada de Legendre res-pecto a las velocidades generalizadas por

h =X

pi _qi ¡ L(q; _q; t)siendo

pi =@L(q; _q; t)

@ _qi:

Si las condiciones de invertibilidad se cumplen, podemos expresar las ve-locidades generalizadas en t¶erminos de los momentos. As¶³, eliminando lasvelocidades se tendr¶³a

H(q; p; t) =X

pi _qi ¡ L(q; _q; t) ;el denominado hamiltoniano del sistema.

Ejemplo 6.4.1 Si g(p) = Lpf(x) indica la transformada de Legendre def(x), demuestre que:

Lxg(p) = f(x):

Soluci¶on. Si g(p) = p¹x ¡ f(¹x); con p = f 0(¹x); entonces g0(p) = ¹x +¹x0(p)¡ f 0(¹x)¹x0(p) = ¹x(p): Luego Lxg(p) = px¡ g(p) con x = g0(p) = ¹x(p):

N

Ejemplo 6.4.2 Dado un hamiltoniano H(p); indique una forma de deter-minar un lagrangiano.

Soluci¶on.

L( _q) =

Z(H 0)¡1( _q)d _q :

N

Ejemplo 6.4.3 Si un sistema tiene como hamiltoniano H = cpp2 +m2

0c2;

determine el lagrangiano.

Soluci¶on.

L = ¡m0c2

r1¡ _q2

c2;

note que este lagrangiano relativista, no est¶a dado por K ¡ V:N


6.4.3 Teoremas de conservaci¶on.

Escritas en t¶erminos de los momentos can¶onicos, las ecuaciones de Lagrangepara un sistema conservativo son

dpidt=@L

@qi: (6.10)

Conservaci¶on del momento can¶onico.

I Teorema 6.1Si el lagrangiano no contiene una coordenada (se dice que el lagrangiano esc¶³clico en esa coordenada), se conserva el correspondiente momento can¶onicoconjugado, es decir

@L

@qi= 0 =) pi = constante

Conservaci¶on del hamiltoniano.

De la de¯nici¶on del hamiltoniano y de las ecuaciones de Lagrange (6.10), sepuede obtener

dH =X

_qjdpj ¡X

_pjdqj ¡ @L@tdt ; (6.11)

de donde se deducen importantes ecuaciones

@H

@pj= _qj ; (6.12)

@H

@qj= ¡ _pj ; (6.13)

@H

@t= ¡@L

@t:

Adem¶as, si (6.11) se divide por dt, se obtiene

dH

dt=X

_qj _pj ¡X

_pj _qj ¡ @L@t;

es decirdH

dt= ¡@L

@t;

de aqu¶³ sigue un teorema de conservaci¶on:


I Teorema 6.2Si el lagrangiano no contiene el tiempo en forma expl¶³cita, se conserva elhamiltoniano. Es decir, de la ¶ultima ecuaci¶on se desprende

@L

@t= 0 =) H = constante. (6.14)

6.4.4 Hamiltoniano y energ¶³a.

Analizaremos la relaci¶on entre hamiltoniano y energ¶³a del sistema. Parasistemas mec¶anicos cl¶asicos, donde L = K ¡ V , si el potencial no dependede las velocidades, se tiene

H =X @K

@ _qi_qi ¡K + V ;

luego la condici¶on su¯ciente para que la energ¶³a y el hamiltoniano sean igualeses que X @K

@ _qi_qi = 2K :

De acuerdo al teorema de Euler de las funciones homog¶eneas, las funcioneshomog¶eneas de grado 2 cumplen precisamente la ¶ultima condici¶on. Se se~nalaun importante teorema cuya demostraci¶on se deja como ejercicio.

² De¯nici¶on . Se de¯ne una funci¶on homog¶enea de grado p en n variables,cuando ella cumple:

f(¸x1; ¸x2; : : : ; ¸xn) = ¸pf(x1; x2; : : : ; xn) ;

siendo ¸ 6= 0: De aqu¶³, derivando respecto a ¸ y luego haciendo ¸ = 1, sededuce que:

I Teorema 6.3Si f es una funci¶on homog¶enea de grado p;entonces:

pf(x1; x2; : : : ; xn) =Xi

@f

@xixi :


Con todos los antecedentes considerados, si la energ¶³a cin¶etica es una funci¶onhomog¶enea de grado 2 en las velocidades generalizadas, entonces el hamilto-niano del sistema coincide con la energ¶³a del sistema. Es simple ir al fondo yresponder la pregunta. >Cu¶ando ocurre eso? Si se analiza la transformaci¶onde coordenadas generalizadas a posiciones (6.1), la velocidad estar¶a dada por

~vi =d

dt~ri =

X @~ri@qj

_qj +@~ri@t;

de donde es evidente que la energ¶³a cin¶etica resultar¶a homog¶enea de grado dosen las velocidades generalizadas cuando @~ri=@t = 0;8i; es decir cuando losv¶³nculos sean independientes del tiempo. Todo lo se~nalado se puede resumiren:

I Teorema 6.4Si un sistema tiene sus v¶³nculos independientes del tiempo, entonces H = E:

6.4.5 Fuerzas dependientes de la velocidad.

Para ciertos casos, donde la fuerza generalizada dependiente de la velocidadsatisface

Qj =d

dt

@V (q; _q; t)

@ _qj¡ @V (q; _q; t)

@qj;

para un cierto V (q; _q; t); es posible de¯nir el lagrangiano L = K¡V; de modoque las ecuaciones correctas de movimiento son las ecuaciones de Lagrange.

Ejercicio 6.4.1 Un ejemplo notable lo constituye la fuerza de Lorentz ~F =q( ~E+~v£ ~B) donde los campos magn¶eticos y el¶ectricos satisfacen ~E = ¡r©¡@ ~A=@t; y ~B = r£ ~A: Demuestre en este caso que

Fj =d

dt

@V (q; _q; t)

@ _qj¡ @V (q; _q; t)

@qj; con V = q©¡ q~v ¢ ~A :

Soluci¶on. La soluci¶on es directa considerando que los _q est¶an s¶olo en lavelocidad de modo que

@V (q; _q; t)

@ _qj= ¡qAj ;

d

dt

@V (q; _q; t)

@ _qj= ¡q d

dtAj ;


por otro lado

@V (q; _q; t)

@qj= q

@

@qj©¡ q~v ¢ @

@qj~A ;

de modo que se tiene

Fj = ¡q ddtAj ¡ q @

@qj© + q~v ¢ @

@qj~A

= ¡q @@qj©¡ q @

@tAj ¡ q~v ¢ rAj + q~v ¢ @

@qj~A

Por otro lado la componente j de la fuerza de Lorentz es

Fj = ¡q @@qj©¡ q @

@tAj + q

³~v £

³r£ ~A

´´j:

O sea son iguales pues³~v £

³r£ ~A

´´j= ~v ¢ @

@qj~A¡ ~v ¢ rAj:

Podemos notar adem¶as que si la energ¶³a cin¶etica es

K =1

2mv2;

el lagrangiano ser¶a

L =1

2mv2 ¡ q©+ q~v ¢ ~A;

entonces el momento can¶onico pj estar¶a dado por

pj = m _qj + qAj :

N


6.4.6 Teorema de Noether.

Considere transformaciones continuas de las coordenadas generalizadas dedependientes de un par¶ametro real s tales que para s = 0 se trata de latransformaci¶on identidad, es decir

Qj = Qj(q; s); siendo qj = Qj(q; 0):

Aqu¶³ q representa el conjunto completo de coordenadas generalizadas. Si ellagrangiano de un sistema aut¶onomo L(q; _q) es invariante bajo esa transfor-maci¶on, es decir si

L(Q(q; s); _Q(q; s))

no depende de s, entonces se tiene una cantidad conservada, o integral delmovimiento. En forma m¶as precisa

I Teorema 6.5 (Noether)Si

d

dsL(Q(q; s); _Q(q; s)) = 0

entonces

I(q; _q) =Xj

@L

@ _qj

d

dsQj(q; s)

¯s=0

= constante.

² La demostraci¶on (ver [16], pag. 102) sigue de

0 =d

dsL(Q(q; s); _Q(q; s));

o sea

0 =X @L

@ _Qj

d _Qjds

+X @L

@Qj

dQjds;

donded _Qjds

=d

dt

dQjds;

y al hacer s = 0 tendremos que

@L

@ _Qj! @L

@ _qj;@L

@Qj! @L

@qj=d

dt

@L

@ _qj;


de modo que se obtiene

0 =X @L

@ _qj

d

dt

dQjds

+X d

dt

µ@L

@ _qj

¶dQjds

¯s=0

;

o biend

dt

X @L

@ _qj

dQjds

¯s=0

= 0;

que prueba el teorema.

Ejemplos.

² Si el lagrangiano de un sistema es L = L( _q) es dependiente de las velo-cidades generalizadas solamente, entonces el es obviamente invariable,en el sentido considerado m¶as arriba, ante la transformaci¶on

Qj = qj + saj ;

siendo aj constantes arbitrarias. Entonces se conserva

I(q; _q) =Xj

@L

@ _qjaj ;

y como los aj son arbitrarios, deben conservarse independientementetodos los momentos can¶onicos

pj =@L

@ _qj:

² Si el lagrangiano L = L( _q; q) no depende de una de las coordenadasgeneralizadas qk por ejemplo, o sea que es invariante bajo la transfor-maci¶on

Qj = qj + s±jk;

entonces se conserva el momento can¶onico pk, puesto queXj

@L

@ _qj

d

dsQj(q; s)

¯s=0

=Xj

@L

@ _qj±j;k =

@L

@ _qk= pk:


² Si un lagrangiano L(~v;~r) es invariante bajo una rotaci¶on in¯nitesimal~r 0 = ~r + dµ n£ ~r;

entonces se conserva@L

@~_r¢ n£ ~r;

o sea la cantidad conservada es

~r £ ~p ¢ n;que es la componente n del momentum angular.

Nota 6.1 Volveremos sobre el teorema de Noether en el cap¶³tulo sobre elprincipio variacional de Hamilton.

6.5 Ejemplos y aplicaciones.

6.5.1 Trompo sim¶etrico.

Ejemplo 6.5.1 Considere un trompo sim¶etrico que mantiene su p¶ua ¯ja.Para los ¶angulos µ; Á; Ã indicados en la ¯gura (6.2), siendo M su masa, h ladistancia de la p¶ua al centro de masa y A;C, los momentos de inercia, paraun eje perpendicular al eje de simetr¶³a y respecto al eje de simetr¶³a, en elorigen. Escriba las ecuaciones de movimiento.

Soluci¶on. Se puede deducir que el lagrangiano es

L =1

2A _µ

2+1

2A(sin2 µ) _Á

2+1

2C( _Á cos µ + _Ã)2 ¡mgh cos µ ;

de all¶³pµ = A _µ ;

pÁ = A(sin2 µ) _Á+ C( _Á cos µ + _Ã) cos µ ;

pÃ = C( _Á cos µ + _Ã) ;

considerando que el lagrangiano es c¶³clico en Ã, y '; y que no contiene eltiempo en forma expl¶³cita, se conservan H = E; pÃ; y pÁ: Por lo tanto,tenemos

s ´ _Á cos µ + _Ã = constante,

6.5 Ejemplos y aplicaciones. 109

�

��

��

Mg

O

R

G

Figura 6.2: Trompo sim¶etrico

A(sin2 µ) _Á+ Cs cos µ = ® = constante,

E =1

2A _µ

2+1

2A(sin2 µ) _Á

2+1

2C(s)2 +mgh cos µ = constante.

Una ecuaci¶on que determina los cambios de la inclinaci¶on del eje del trompo,¶angulo µ, puede obtenerse al eliminar _Á a trav¶es de ® en la ecuaci¶on de laenerg¶³a. Si se de¯ne u = cos µ, se obtiene (ver ap¶endice)

_u2 = f(u) = (2E ¡ Cs2 ¡ 2mghu)1¡ u2

A¡µ®¡ CsuA

¶2;

polinomio c¶ubico, cuyas ra¶³ces entre ¡1 y 1 tienen importancia en la deter-minaci¶on de la inclinaci¶on del eje del trompo en su movimiento.

N

Ejemplo 6.5.2 Considere un trompo sim¶etrico con momentos de inerciaC, A, masa m y distancia h de su p¶ua ¯ja al centro de masas, que durantesu movimiento tiene valores extremos para µ iguales a µ1 y µ2. Determinevalores iniciales adecuados de la precesi¶on en t¶erminos del spin s para que elloocurra, y analice la posibilidad de que la precesi¶on _Á se anule en el intervalo.

Soluci¶on. Dado que son conocidos los extremos del ¶angulo polar µ1 y µ2,una primera condici¶on es que _µ se anule en µ1 y µ2, de donde las constantes


del movimiento son

2E ¡ Cs2 = A _Á2

1 sin2 µ1 + 2mgh cos µ1

= A _Á2

2 sin2 µ2 + 2mgh cos µ2

® = A(sin2 µ1) _Á1 + Cs cos µ1

= A(sin2 µ2) _Á2 + Cs cos µ2

de modo que al eliminar _Á2 y simpli¯cando se puede obtener

(cos µ1 + cos µ2)2 ¡ 2Cs

A+

2mgh

A

sin2 µ2sin2 µ1

¡ C2s2(cos µ1 ¡ cos µ2)

A2 sin2 µ1= 0;

ecuaci¶on de segundo grado que relaciona la precesi¶on inicial _Á1 = conel spin s para que en el movimiento se realicen los extremos de µ dados.Si llamamos a = mghA=(Cs)2 la soluci¶on de la ecuaci¶on anterior puedeescribirse como

=Cs

A (cos µ1 + cos µ2)

µ1¨ sin µ2

sin µ1

p1¡ 2a (cos µ1 + cos µ2)

¶:

La condici¶on para que existan valores reales de es cos µ1+cos µ2 <12a: Pue-

de adem¶as observarse que si µ1 = µ2 se obtiene entonces una condici¶on parael movimiento llamado de precesi¶on uniforme, donde µ permanece constante

2 cos µ ¡ CsA+

2mgh

A= 0:

Adem¶as, si en un ¶angulo intermedio µ3, _Á se anula, condici¶on para que el ejedel trompo realice loops, entonces A(sin2 µ1) + Cs cos µ1 = Cs cos µ3, cuyasoluci¶on es

=Cs cos µ3 ¡ Cs cos µ1

A sin2 µ1=

Cs

A

1§ sin µ2sin µ1

p1¡ (cos µ1 + cos µ2)2a

(cos µ1 + cos µ2);

como cos µ3 < cos µ1 si s > 0 entonces debe ser < 0;y adem¶as

cos µ3 =1 + cos µ1 cos µ2 § sin µ1 sin µ2


(cos µ1 + cos µ2)


donde debe cumplirse

cos µ2 <1 + cos µ1 cos µ2 § sin µ1 sin µ2


(cos µ1 + cos µ2)< cos µ1:

El an¶alisis de los signos requiere colocarse en dos casos.¥Primero Si cos µ1 + cos µ2 > 0; entonces sin µ1 < sin µ2 y

cos2 µ2 < 1§ sin µ1 sin µ2p1¡ (cos µ1 + cos µ2)2a < cos2 µ1;

que puede ser escrita como

sin µ1sin µ2

< ¡(§)p1¡ (cos µ1 + cos µ2)2a < sin µ2

sin µ1

En consecuencia vale s¶olo el signo inferior y entonces

sin µ1sin µ2

<p1¡ (cos µ1 + cos µ2)2a;

de donde tenemos como condici¶on 2a < cos µ1¡cos µ2sin2 µ2

y el ¶angulo donde laprecesi¶on se anula est¶a dado por

cos µ3 =1 + cos µ1 cos µ2 ¡ sin µ1 sin µ2


(cos µ1 + cos µ2):

¥Segundo si cos µ1 + cos µ2 < 0; entonces sin µ1 > sin µ2 y

cos µ2 <1 + cos µ1 cos µ2 § sin µ1 sin µ2


(cos µ1 + cos µ2)< cos µ1;

de dondesin µ2sin µ1

< ¡(§)p1¡ (cos µ1 + cos µ2)2a < sin µ1

sin µ2;

por lo cual vale el signo inferior

cos µ3 =1 + cos µ1 cos µ2 ¡ sin µ1 sin µ2


(cos µ1 + cos µ2)

con la condici¶on

sin µ2sin µ1

<p1¡ (cos µ1 + cos µ2)2a < sin µ1

sin µ2


que se reduce a p1¡ (cos µ1 + cos µ2)2a < sin µ1

sin µ2;

de donde 2a < cos µ1¡cos µ2sin2 µ2

. En consecuencia, las mismas condiciones aplicana los dos casos.

N

Ejemplo 6.5.3 Considere un trompo sim¶etrico con momentos de inercia C,A, masa m y distancia h de su pua ¯ja al centro de masas, que baila dormidocon µ = 0: Analice la estabilidad de este movimiento.

Soluci¶on. Aqu¶³

2E ¡ Cs2 = A _Á21 sin2 µ + 2mgh cos µ = 2mgh;® = A(sin2 µ) _Á+ Cs cos µ = Cs;

de donde

_u2 = f(u) = (2mgh¡ 2mghu)1¡ u2

A¡µCs¡ Csu

A

¶2;

o bien

f(u) =2mgh

A(1¡ u)2

µu¡

µC2s2

2mghA¡ 1¶¶

=2mgh

A(1¡ u)2(u¡ u3):

El movimiento del trompo ser¶a estable si f(u) < 0 en el rango ¡1 <u < 1; por lo cual la tercera ra¶³z debe ser mayor que uno, o sea u3 =C2s2=(2mghA) ¡ 1 > 1; entonces C2s2 > 4mghA; es la condici¶on de esta-bilidad del trompo dormido. Si esta condici¶on no se cumple, el trompo semover¶a de acuerdo a

du

dt= ¡

r2mgh

A(1¡ u)

p(u¡ u3);

que integraremos como sigue

t = ¡s

A

2mgh

Z u

1

du

(1¡ u)pu¡ u3 :


Sea u = 1¡ (1¡ u3) sin2 Ã; du = ¡2(1¡ u3) sinÃ cosÃdÃ entonces

t = ¡s

A

2mgh

Z Ã

0

¡2(1¡ u3)dÃ(1¡ u3) sinÃ

p(1¡ u3)

;

o bien

t =2Ap

2mghAp(1¡ u3)

Z Ã

0

dÃ

sinÃ=1;

o sea el trompo tarda in¯nito tiempo en alcanzar la inclinaci¶on dada porcos µ = C2s2=(2mghA)¡ 1:

N

6.5.2 Bola que rueda sobre un plano, sometida en sucentro a una fuerza.

Suponga que una bola homog¶enea de masa M; radio R; rueda sin deslizarsobre un plano horizontal, plano OXY; actuada en su centro G por unafuerza (el¶astica) hacia el eje OZ, ¡K~r; adem¶as del peso, la reacci¶on normaly la fuerza de roce en el punto de contacto P , suponiendo que ella no realizatrabajo en la situaci¶on de no deslizamiento, ver ¯gura (6.3). Utilizandolas componentes de la velocidad angular en los ejes ¯jo, en t¶erminos de los¶angulos de Euler, µ; Á; y Ã; el lagrangiano es

L =1

2Mv2G +

1

2I!2;

o sea

L =1

2M( _x2 + _y2) +

1

2I(!2x + !

2y + !

2z) ;

y las restricciones adicionales no holon¶omicas (punto de contacto con veloci-dad cero) son

~vP = ~vP + ~! £ (¡Rk) = 0 ;es decir

_x¡R!y = 0; _y +R!x = 0 : (6.15)

Considerando las componentes de la velocidad angular en t¶erminos de los¶angulos de Euler

!x = _Ã sinÁ sin µ + _µ cosÁ ;

!y = ¡ _Ã cosÁ sin µ + _µ sinÁ ;!z = _Ã cos µ + _Á ;


Z

X

Y

P

R

G

Figura 6.3: Esfera atra¶³da hacia el origen

se puede escribir el lagrangiano

L =1

2M( _x2 + _y2) +

1

2I( _Ã

2+ _µ

2+ _Á

2+ 2 _Á _Ã cos µ)¡ 1

2(x2 + y2) ;

y las dos relaciones de v¶³nculos

_x¡R(¡ _Ã cosÁ sin µ + _µ sinÁ) = 0 ;_y +R( _Ã sinÁ sin µ + _µ cosÁ) = 0;

Al utilizar dos multiplicadores de Lagrange, se tiene

M Äx+Kx+ ¸1 = 0 ; (6.16)

M Äy +Ky + ¸2 = 0 ; (6.17)

I(Äµ + _Á _Ã sin µ)¡ ¸1R sinÁ+ ¸2R cosÁ = 0 ; (6.18)

_!z =d

dt( _Ã cos µ + _Á) = 0 ; (6.19)

I(ÄÃ + ÄÁ cos µ ¡ _Á _µ sin µ) + ¸1R cosÁ sin µ + ¸2R sinÁ sin µ = 0 : (6.20)

De aqu¶³, el ¶algebra es algo tediosa. De la ecuaci¶on (6.19) obtenga ÄÁ y reem-placemos en la ecuaci¶on (6.20). En seguida, de las ecuaciones (12.9) y (6.20)obtenga ¸1 y ¸2: Compruebe que se obtiene

¸1 =I

R_!y; ¸2 = ¡ I

R_!x ; (6.21)


de all¶³ es f¶acil obtener, un sorprendentemente simple resultado para las ecua-ciones de movimiento de las coordenadas del centro de masas de la esfera, esdecir µ

M +I

R2

¶Äx+Kx = 0 ; (6.22)

µM +

I

R2

¶Äy +Ky = 0 ; (6.23)

que m¶as generalmente pudo escribirse (para I = 25MR2) como

M~aG =5

7~F ;

para una fuerza cualquiera ~F aplicada al centro, paralelamente al plano ho-rizontal. Las ecuaciones diferenciales para los ¶angulos de Euler no las ana-lizaremos aqu¶³. Es ilustrativo sin embargo, comparar con el planteamientousual, newtoniano.

Las ecuaciones din¶amicas son m¶as simples. Si ~f denota la fuerza de roce,entonces

M~aG = ~F + ~f; (6.24)

Id~!

dt= ¡Rk £ ~f; (6.25)

adem¶as aplica la restricci¶on de no resbalamiento

0 = ~vG + ~! £ (¡Rk) : (6.26)

Derivando la (6.26) respecto al tiempo y reemplazando en ella las aceleracio-nes, se obtiene

0 = ~F +

µI +

MR2

I

¶~f ; (6.27)

de donde la ecuaci¶on de movimiento del centro de masas es:

M~aG =~F

1 + I=(MR2):

Corolario 1 No siempre el m¶etodo de Lagrange simpli¯ca el problema.


Ejercicio 6.5.1 Demuestre que entre el lagrangiano y el hamiltoniano deun sistema se cumple queX

l

@2H

@pi@pl

@2L

@ _ql@ _qj= ±i j :

Ejercicio 6.5.2 Demuestre que si H es una funci¶on cuadr¶atica positiva de-¯nida de los momenta, entonces L es una funci¶on cuadr¶atica positiva de¯nidaen las velocidades generalizadas y rec¶³procamente, es decirX

i;j

@2H

@pi@pj±pi±pj ¸ 0()

Xi;j

@2L

@ _qi@ _qj± _qi± _qj ¸ 0:

6.6 Problemas

Ejercicio 6.6.1 Si se considera la transformaci¶on

~r = ~r(q1; q2; q3);

siendo los qi funciones del tiempo. Demuestre la identidad:

d

dt

@

@ _qj

v2

2¡ @

@qj

v2

2= ~a ¢ @~r

@qj:

Ejercicio 6.6.2 Utilice la identidad se~nalada en el problema anterior paraobtener las componentes de la aceleraci¶on de una part¶³cula en coordenadascil¶³ndricas y en coordenadas esf¶ericas.

Ejercicio 6.6.3 Considere una barra de masa m, largo 2a que se mueve enun plano vertical bajo acci¶on de su peso de modo que su extremo A puedemoverse libremente sobre una corredera lisa OX. Escriba las ecuaciones deLagrange para las coordenadas generalizadas x el desplazamiento del puntoA, y el ¶angulo µ que forma la barra con la vertical.

Ejercicio 6.6.4 Una barra de longitud 2l se balancea sin deslizarse sobreun cilindro horizontal de radio a, como se indica en la ¯gura (6.4) de modoel centro de la barra toca al cilindro en el punto m¶as alto. Demuestre que:

_µ2=6g(h¡ a cos µ ¡ aµ sin µ)

l2 + 3a2µ2

siendo h una constante.

6.6 Problemas 117

��

a

2l!

Figura 6.4: Problema

Ejercicio 6.6.5 El extremo de una barra uniforme de largo l est¶a montadosobre un eje de modo que la barra puede rotar libremente en un plano normalal eje, como se indica en la ¯gura (6.5). Si el eje se hace rotar sobre unplano horizontal con velocidad de rotaci¶on constante , permaneciendo ¯jala uni¶on de la barra al eje, demuestre que el ¶angulo que la barra forma conla vertical descendente satisface:

�

��

��

!

(

Figura 6.5: De un problema

Äµ = 2 sin µ cos µ ¡ 3g2lsin µ:

Ejercicio 6.6.6 Considere un disco de masa m radio r que rueda sin des-lizar con su plano vertical sobre un plano horizontal tirado de su centro conuna fuerza horizontal constante F.


a) Resuelva el problema por el m¶etodo de Lagrange considerando que elsistema es integrando con un grado de libertad.

b) Resuelva el mismo problema, tratando al sistema como si fuera no in-tegrando con la restricci¶on adicional: _x¡ r _µ = 0:

Ejercicio 6.6.7 Una argolla de masa 3m puede deslizarse horizontalmentesin rozamiento por un alambre como se indica en la ¯gura. Unido a la argollahay un p¶endulo doble, formado por dos part¶³culas de masas m e hilos de largoa. Si, en una posici¶on cercana a la de su equilibrio, se deja al sistema enlibertad, a partir del reposo, las masas oscilan en el plano de la ¯gura (6.6)en torno de la vertical.

��

��

��

3m

m

m

a

a


a) Escriba las ecuaciones de Lagrange del movimiento del sistema.

b) Determine las aceleraciones cuando los desplazamientos angulares y lasvelocidades son peque~nas.

Ejercicio 6.6.8 Un p¶endulo formado por una barra liviana de longitud l,unida a dos masas iguales a m una de ellas que puede oscilar en un planovertical, la otra restringida a moverse verticalmente unida a un resorte deconstante k, como se ve en la ¯gura (6.7). Escriba las ecuaciones de Lagrangedel movimiento del sistema.

Ejercicio 6.6.9 Una barra de longitud 2a y masa M se coloca horizontal-mente sobre el punto m¶as alto de un hemisferio rugoso de radio R y masaigual M que puede deslizar sobre un plano horizontal liso, y se perturba leve-mente. Determine las ecuaciones de movimiento para el sistema. La barrano desliza sobre el hemisferio.

6.6 Problemas 119

��

��

��

��

��

��

��

��

m

m


Ejercicio 6.6.10 Una part¶³cula de masa m est¶a vinculada suavemente a untubo liso el cual se hace rotar en torno de la vertical con velocidad angular constante, de modo que el ¶angulo de inclinaci¶on del tubo con la vertical esconstante ® . Para la coordenada generalizada r, la distancia de la part¶³culaal punto ¯jo del tubo se pide

a) Escribir la ecuaci¶on de movimiento.

b) Determinar la posici¶on dentro del tubo donde la part¶³cula puede estarestacionaria, es decir sin moverse respecto al tubo.

c) Si la part¶³cula es colocada dentro del tubo en el punto ¯jo, determinela velocidad m¶³nima que debe d¶arsele respecto al tubo, para que ellasobrepase la posici¶on determinada en la pregunta (b).

Ejercicio 6.6.11 Una part¶³cula de masa m est¶a en reposo en el punto m¶asalto de un hemisferio liso ¯jo de radio R. Si ella es perturbada hol¶onomos,comienza a resbalar sobre el hemisferio. Determine el punto donde ella aban-dona el contacto con el hemisferio.

Ejercicio 6.6.12 Un disco de masa M y radio a est¶a inicialmente en reposoapoyado en el punto m¶as alto de un hemisferio rugoso de radio R. Si eldisco es perturbado hol¶onomos, el comienza a rodar sin resbalar. Escribala ecuaci¶on de movimiento del disco, para el ¶angulo µ indicado en la ¯gura(6.8). Determine adem¶as el ¶angulo para el cual el disco abandona el contactocon el hemisferio.


!

Figura 6.8: Disco que rueda sobre otro

Ejercicio 6.6.13 Una part¶³cula de masa M se coloca en reposo sobre elpunto m¶as alto de un hemisferio semicil¶³ndrico de masa M y radio R, el cualdescansa sobre un plano horizontal liso, como se indica en la ¯gura (6.9). Sila part¶³cula se perturba l¶evemente, el sistema comienza a moverse. Determinela expresi¶on que determina el ¶angulo para el cual la part¶³cula perder¶a contactocon el hemisferio.

!

x

Figura 6.9: Part¶³cula sobre hemisferio

Ejercicio 6.6.14 Dos part¶³culas de masas m1 y m2 est¶an en reposo sobreun plano horizontal liso unidas por una cuerda inextensible de largo L. Sia una de ellas se le da una rapidez inicial v0 perpendicular a la l¶³nea queune las part¶³culas, determine para el movimiento siguiente, la magnitud dela tensi¶on en la cuerda.

6.6 Problemas 121

Ejercicio 6.6.15 Un cono recto de semi¶angulo en el v¶ertice ® y generatrizde longitud l rueda sin deslizar sobre un plano inclinado un ¶angulo ¯ respectodel plano horizontal. Si µ es el ¶angulo que forma la l¶³nea de m¶axima pendientecon la generatriz de contacto, demuestre que:

Äµ +5g sin ¯

l(1 + 5 cos2 ®)sin µ = 0:

Indicaci¶on: Si H es la altura del cono, el momento de inercia respecto a sugeneratriz en el v¶ertice es I = 3

4mH2(1 + 1

5sec2 ®) sin2 ®; la magnitud de la

velocidad angular es ! = _µ cot®; la energ¶³a del cono puede escribirse comoE = 1

2I!2 +mg 3

4H(sin® cos¯ ¡ sin ¯ cos® cos µ) y de all¶³ derivando sigue el

resultado.


Cap¶³tulo 7

Oscilaciones peque~nas.

7.1 La energ¶³a cin¶etica.

Pondremos atenci¶on en el movimiento de sistemas conservativos holon¶omicos,con v¶³nculos independientes del tiempo, en las vecindades de su posici¶on deequilibrio estable. Como se sabe, la energ¶³a cin¶etica es

K =X 1

2mi j~vij2 ;

que expresada en t¶erminos de coordenadas generalizadas qi de acuerdo a

~ri = ~ri(q);

permite escribir

K =Xi;j;k

1

2mi@~ri(q)

@qj¢ @~ri(q)@qk

_qj _qk;

expresi¶on que escribiremos usando la convenci¶on de suma sobre ¶³ndices repe-tidos

K =1

2mjk(q) _qj _qk; (7.1)

siendo

mjk(q) =Xi

1

2mi@~ri(q)

@qj¢ @~ri(q)@qk

= mkj(q);

elementos de una matriz sim¶etrica, positiva de¯nida.

124 Oscilaciones peque~nas.

7.2 La energ¶³a potencial.

En t¶erminos de las coordenadas generalizadas qi, la energ¶³a potencial delsistema ser¶a escrita

V (q) = V (q1; q2; : : : ; qn):

La condici¶on para que el sistema tenga una posici¶on de equilibrio estable,es que V (q) tenga un m¶³nimo. Ello es consecuencia de las ecuaciones delagrange que para este caso son

d

dt(mjk(q) _qk) +

@V

@qj= 0: (7.2)

7.2.1 Posici¶on de equilibrio.

Con¯guraci¶on de equilibrio signi¯ca coordenadas iniciales qoj tales que ellasno var¶³an si inicialmente no var¶³an. Es decir que _q0j (0) = 0 =) Äq0j (0) = 0. Delas ecuaciones de lagrange se deduce entonces que tales puntos se caracterizanpor

@V

@qj

¯qoj

= 0:

De acuerdo a lo que se analiza a continuaci¶on, si se trata de un punto deequilibrio estable, ellos corresponden a m¶³nimos de la energ¶³a potencial.

7.2.2 Estabilidad.

El concepto de estabilidad est¶a relacionado al comportamiento del sistemapara condiciones iniciales pr¶oximas a la de equilibrio. El equilibrio se diceestable si para condiciones iniciales qj(0) = q0j + ±q

0j , _qj(0) = 0, con ±q0j >

0, entonces Äqj(0) < 0, 8j, es decir las coordenadas deben variar hacia losvalores de equilibrio. Ello impone algunas condiciones a la energ¶³a potencial.Desarrollando la ecuaci¶on (7.2), se tiene

@mjk(q)

@ql_qk _ql +mjk(q)Äqk +

@V

@qj= 0:

Si colocamos las condiciones iniciales se~naladas, se obtiene

mjk(q0 + ±qo)Äqk(0) +

@V

@qj

¯qo+±qo

= 0;

7.3 Linealizaci¶on. 125

y si se expande el segundo t¶ermino hasta primer orden resulta

@2V

@qj@qk

¯qo±qok = ¡mjk(q0 + ±q

o)Äqk(0) > 0;

de donde sigue que@2V

@qj@qk

¯qo> 0; 8j; k;

es decir se trata de un m¶³nimo de la energ¶³a potencial.

7.3 Linealizaci¶on.

Para movimientos en una vecindad de una posici¶on de equilibrio estable,

qi = q0i + ´i(t);

expandiremos la energ¶³a cin¶etica y potencial para tener las ecuaciones demovimiento apropiadas para esta aproximaci¶on. As¶³ resulta hasta segundoorden en las cantidades peque~nas ´

K =1

2mjk(q) _qj _qk =

1

2mjk(q

0) _ j _ k;

V = V (q0) +@V

@qj

¯q0´j +

1

2

@2V

@qj@qk

¯qo´j´k;

donde podemos olvidar el t¶ermino constante V (q0), y los coe¯cientes de lost¶erminos lineales en ´ son cero, de modo que la energ¶³a potencial aproximadaser¶a

V =1

2

@2V

@qj@qk

¯qo´j´k;

7.4 El lagrangiano aproximado.

Del desarrollo anterior, tenemos el lagrangiano

L =1

2mjk(q

0) _ j _ k ¡1

2

@2V

@qj@qk

¯qo´j´k;


que escribiremos en t¶erminos de elementos de matrices sim¶etricas

L =1

2Kjk _ j _ k ¡

1

2Vjk´j´k;

siendo

Kjk = mjk(q0); Vjk =

@2V

@qj@qk

¯qo;

elementos de matriz constantes, sim¶etricosKjk positiva de¯nida y Vjk > 0:Deaqu¶³ resultan ecuaciones de movimiento, llamadas de oscilaciones peque~nas

KjkÄk + Vjk´k = 0; (7.3)

que son ecuaciones lineales acopladas, v¶alidas para ´, y _ su¯cientementepeque~nos.

7.5 Soluci¶on de las ecuaciones de movimien-

to.

Un primer paso hacia la soluci¶on del sistema (7.3) consiste en eliminar ladependencia en el tiempo que puede adivinarse exponencial, de modo quetrataremos una soluci¶on de la forma

´k = ake¡i!t;

siendo los ak complejos constantes y se entiende adem¶as que la soluci¶on ¯nales la parte real de la que se determine. Al reemplazar resulta

¡!2Kjkak + Vjkak = 0;

que es un sistema lineal homog¶eneo que tiene soluci¶on distinta de la trivialsi los coe¯cientes (en realidad !) cumplen determinadas condiciones, quedeterminaremos. En t¶erminos simples, alguna de las ecuaciones es una com-binaci¶on lineal de las otras, lo que signi¯ca adem¶as que dichas ecuacionesno pueden determinar todas las inc¶ognitas ak. En t¶erminos matriciales, si adenota la matriz columna con elementos ak entonces el sistema de ecuacioneses

!2Ka = Va: (7.4)

7.5 Soluci¶on de las ecuaciones de movimiento. 127

Los elementos de K y V son reales y sim¶etricos. Ello trae como primeraconsecuencia que !2 debe ser real. En efecto considere

!2Kjkak = Vjkak;

si conjugamos y usamos la realidad y simetr¶³a tenemos que

(!2)¤a¤kKkj = a¤kVkj;

de donde siguen!2a¤jKjkak = a

¤jVjkak; (7.5)

y(!2)¤a¤kKkjaj = a

¤kVkjaj: (7.6)

Ahora, considere el siguiente desarrollo donde u, y v son las partes reale imaginaria de a. (Despu¶es de este an¶alisis veremos que en realidad lascomponentes de a son reales.) Desarrolle

a¤jKjkak = (uj ¡ ivj)Kjk(uk + ivk)

= Kjkujuk +Kjkvjvk + i(Kjkujvk ¡Kjkvjuk)

= Kjkujuk +Kjkvjvk

= a¤kKkjaj :

Que muestra que a¤jKjkak es real y positivo de¯nido. Similarmente resultar¶a

a¤jVjkak = a¤kVkjaj;

de modo que si restamos (7.5) de (7.6) resulta¡!2 ¡ (!2)¤¢ a¤jKjkak = 0;

de donde sigue!2 = (!2)¤:

Si el sistema lineal se escribe¡!2Kjk ¡ Vjk

¢ak = 0;

los n valores reales de !2 est¶an determinados por la condici¶on de que eldeterminante de los coe¯cientes sea cero, es decir

det¡!2Kjk ¡ Vjk

¢= 0:

Supondremos en lo que sigue que dichos valores son todos diferentes. Adem¶as,debido a que los valores !2 son todos reales, el sistema (7.4) tiene solucionesreales para todos los ak, si el que est¶a indeterminado se toma real. Por ello,en los desarrollos que siguen se suponen todos los ak reales.


7.5.1 Diagonalizaci¶on.

Para valores distintos de !, !k con k = 1; 2; : : : ; n, cada conjunto soluci¶on akdependen del valor de ! considerado. De modo que introducimos un segundo¶³ndice que indica la dependencia en alguno de los !: As¶³ ajk indica la soluci¶onaj para ! = !k. En t¶erminos m¶as precisos

!2lKjkakl = Vjkakl:

Si consideramos otro !m y conjugamos se obtiene similarmente

!2makmKkj = akmVkj

de donde siguen

!2l ajmKjkakl = ajmVjkakl;

!2makmKkjajl = akmVkjajl;

y que en t¶erminos de la matriz A = (aij) pueden ser escritas (sin suma sobre¶³ndices repetidos) como

!2l¡ATKA

¢ml=¡ATVA

¢ml; (7.7)

!2m¡ATKA

¢ml=¡ATVA

¢ml;

dondeAT indica la traspuesta de la matrizA. Si las dos ecuaciones anterioresse restan, resulta ¡

!2l ¡ !2m¢ ¡ATKA

¢ml= 0:

Esto signi¯ca que la matriz ATKA es diagonal. Como cada columna dela matriz A tiene un elemento indeterminado (el sistema es homog¶eneo),podemos ¯jar arbitrariamente ese valor de modo que la matriz ATKA tengaunos en la diagonal principal, es decir

ATKA = I: (7.8)

De la relaci¶on (7.7), se tiene que la matriz ATVA tambi¶en es diagonal conelementos !i en la diagonal principal, cuesti¶on que puede escribirse¡

ATVA¢ij= !i±ij :

7.5 Soluci¶on de las ecuaciones de movimiento. 129

7.5.2 Soluci¶on del sistema.

Supongamos entonces que se ha resuelto la ecuaci¶on de valores propios:

!2Ka = Va;

donde la condici¶on para soluci¶on no trivial

det¡!2Kjk ¡ Vjk

¢= 0;

nos conduce a n diferentes !2. En cada conjunto soluci¶on hay uno queest¶a indeterminado y lo elegimos normalizando los vectores a (que son lascolumnas de A) de modo que¡

ATKA¢ij= ±ij ;¡

ATVA¢ij= !i±ij:

entonces la soluci¶on de nuestro problema es una combinaci¶on lineal de lassoluciones correspondientes a los diversos !.

´k = ReCjakje¡i!jt = akj ReCje¡i!jt;

faltando considerar las condiciones iniciales.

Condiciones iniciales.

Las condiciones iniciales son los 2n valores ´k(0), y _ k(0) que permiten de-terminar ¯nalmente las 2n constantes, las partes real e imaginaria de Ck. As¶³resultar¶a

´k(0) = akj Re (Cj) ;

_ k(0) = akj Re (¡i!jCj) = akj!j Im (Cj) :

Las propiedades de la matrizA, permiten escribir expresiones expl¶³citas parala parte real e imaginaria de Ck en t¶erminos de las condiciones iniciales, comoexplicamos a continuaci¶on. En efecto si de¯nimos una matriz columna c1 concomponentes Re (Cj) y otra matriz columna c2 con componentes !j Im (Cj),las dos relaciones anteriores pueden escribirse en forma matricial

´(0) = Ac1; _ (0) = Ac2;


de modo que al usar (7.8) se obtendr¶a

c1 = ATK´(0); c2 = A

TK _ (0);

que al ser desarrolladas en componentes determinan

ReCj =Xk;l

akjKkl´l(0); ImCj =1

!j

Xk;l

akjKkl _ l(0);

donde se ha vuelto a la notaci¶on usual de sumatoria para que quede claroque no se suma en el ¶³ndice j. As¶³ se tiene ¯nalmente la soluci¶on de nuestrosistema

´k(t) = akj(ReCje¡i!jt) = akj (ReCj cos!jt+ ImCj sin!jt) :

No se ahondar¶a aqu¶³ en el procedimiento a seguir cuando hay valores repeti-dos de !k.

Coordenadas normales.

Recordando que la soluci¶on (sin tomar la parte real) es

´k = akjCje¡i!jt

y si llamamos

&j = Cje¡i!jt

tenemos que

´k = akj&j ; _ k = akj _&j; (7.9)

de modo que en t¶erminos de estas variables resulta

K =1

2Kjk _ j _ k

=1

2Kjkajl _& lakm _&m

=1

2

¡ATKA

¢lm_& l _&m

=1

2_&2l ;

7.6 Ejemplos. 131

y similarmente

V =1

2Vjk´j´k

=1

2Vjkajl& lakm&m

=1

2

¡VTKV

¢lm& l&m

=1

2!2l ±lm& l&m

=1

2!2l &

2l :

De modo que en estas coordenadas & l, denominadas coordenadas normales,el lagrangiano es

L =1

2_&2l ¡

1

2!2l &

2l ;

que muestra que las coordenadas normales var¶³an independientemente cadauna con una de las frecuencias propias de oscilaci¶on del sistema, de acuerdoa

Ä& l + !2l & l = 0:

Las coordenadas normales en t¶erminos de las coordenadas originales se ob-tiene invirtiendo la ecuaci¶on (7.9), es decir

& = ATK´;

o&k(t) = ajkKjm´m(t):

7.6 Ejemplos.

Ejemplo 7.6.1 Considere el p¶endulo doble indicado en la ¯gura (7.1), don-de el largo natural del resorte sin masa es L0, que coincide con la separaci¶onde las masas en su posici¶on de equilibrio. La constante el¶astica es k y lalongitud de los hilos es L. Estudie las oscilaciones peque~nas en torno a losvalores de equilibrio µ = 0 y Á = 0.

Soluci¶on. Para valores peque~nos de µ y Á, la energ¶³a cin¶etica es

K =1

2mL2( _µ

2+ _Á

2);


!

)L

L

L0

Figura 7.1: Osciladores acoplados

y la energ¶³a potencial es

V =1

2mgL(µ2 + Á2) +

1

2kL2(µ ¡ Á)2;

por lo cual las matrices K y V son

K =

µmL2 00 mL2

¶;

V =

µmgL+ kL2 ¡kL2¡kL2 mgL+ kL2

¶;

de aqu¶³ el sistema lineal de ecuaciones es

!2µmL2 00 mL2

¶µa1a2

¶=

µmgL+ kL2 ¡kL2¡kL2 mgL+ kL2

¶µa1a2

¶;

y las frecuencias propias satisfacen

det

µ!2(mL2)¡mgL¡ kL2 kL2

kL2 !2(mL2)¡mgL¡ kL2¶= 0;

con soluciones

!21 =g

L;

!22 =g

L+2k

m:

7.6 Ejemplos. 133

Bajo estas condiciones, una ¯la del sistema de ecuaciones es redundante porlo cual elegimos la primera, que es

!2mL2a1 = (mgL+ kL2)a1 ¡ kL2a2

o bien, para cada frecuencia

g

LmL2a11 = (mgL+ kL2)a11 ¡ kL2a21;µ

g

L+2k

m

¶mL2a12 = (mgL+ kL2)a12 ¡ kL2a22;

que se simpli¯can aa11 = a21; a12 = ¡a22;

por lo cual la matriz A sin normalizar aun es

A =

µa11 a12a11 ¡a12

¶:

Normalizaci¶on requiere queµa11 a11a12 ¡a12

¶µmL2 00 mL2

¶µa11 a12a11 ¡a12

¶= I;

o bien

mL2µa11 a11a12 ¡a12

¶µa11 a12a11 ¡a12

¶=

µ1 00 1

¶;

de donde siguemL2a211 = 1; mL2a212 = 1:

De donde ¯nalmente, la matriz A ha sido determinada

A =1pmL2

µ1 11 ¡1

¶:

Condiciones iniciales permitir¶³an seguir con la rutina de expresar las coorde-nadas µ y Á en funci¶on del tiempo. Nos limitaremos a dejarlas expresadascomo

µ =1pmL2

Re(C1e¡i!1t + C2e¡i!2t);

Á =1pmL2

Re(C1e¡i!1t ¡ C2e¡i!2t):


Por ¶ultimo, las coordenadas normales, est¶an dadas por

& = ATK´ =1pmL2

µ1 11 ¡1

¶µmL2 00 mL2

¶µµÁ

¶;

que se reducen (salvo un factor irrelevante) a

&1 = µ + Á;

&2 = µ ¡ Á:

Estos dos modos son independientes, por lo cual se puede establecer cadauno de ellos independientemente, y variar¶an con las frecuencias propias !1 y!2. Es decir

µ + Á = D cos

µrg

Lt¡ ±

¶;

µ ¡ Á = E cos

Ãrg

L+2k

mt¡ "

!;

con constantes D; E, ±, " determinables con las condiciones iniciales que setengan. Debe notarse que la diferencia de los ¶angulos es el modo de mayorfrecuencia.

N

Ejemplo 7.6.2 Resuelva el problema anterior sin hacer uso de la teor¶³ageneral elaborada.

Soluci¶on. En algunos casos sencillos como este ejemplo, una soluci¶ondirecta puede ser m¶as simple. En efecto del lagrangiano

L =1

2mL2( _µ

2+ _Á

2)¡ 1

2mgL(µ2 + Á2)¡ 1

2kL2(µ ¡ Á)2;

siguen ecuaciones de el¶³ptica

Äµ + (g

L+k

m)µ ¡ k

mÁ = 0;

ÄÁ+ (g

L+k

m)Á¡ k

mµ = 0;

7.6 Ejemplos. 135

de donde por simple inspecci¶on resultan

Äµ ¡ ÄÁ+ ( gL+2k

m)(µ ¡ Á) = 0;

Äµ + ÄÁ+g

L(µ + Á) = 0;

que corroboran los resultados obtenidos por el m¶etodo general.

N

Ejemplo 7.6.3 Con relaci¶on a la ¯gura (7.2), dos part¶³culas de igual masam oscilan horizontalmente unidos a resortes iguales con constante el¶astica k,de modo que los extremos exteriores de los resortes est¶an ¯jos. Analice lasoscilaciones peque~nas de las part¶³culas en torno a sus posiciones de equilibrioestable.


Soluci¶on. Si x1 y x2 indican las desviaciones de las part¶³culas respectoa sus posiciones de equilibrio, la energ¶³a cin¶etica es

K =1

2(m _x21 +m _x

22);

y la energ¶³a potencial es

V =1

2kx21 +

1

2k(x2 ¡ x1)2 + 1

2kx22:

De all¶³ las matrices K y V son

K = m

µ1 00 1

¶;

V = k

µ2 ¡1¡1 2

¶;


por lo cual los valores propios satisfacen

det

µ!2m

µ1 00 1

¶¡ k

µ2 ¡1¡1 2

¶¶= 0;

o bien!4m2 ¡ 4!2mk + 3k2 = 0;

de donde resulta

!21 =k

m; !22 = 3

k

m:

El sistema de ecuaciones lineales es

!2m

µ1 00 1

¶µa1a2

¶= k

µ2 ¡1¡1 2

¶µa1a2

¶;

de donde se obtiene

a11 = a21;

a12 = ¡a22:Normalizaci¶on requiere que ATKA = I, por lo cual

m

µa11 a11¡a22 a22

¶µa11 ¡a22a11 a22

¶= I;

entonces 2ma211 = 1 y 2ma222 = 1, obteniendo

A =1p2m

µ1 ¡11 1

¶;

de aqu¶³, las soluciones oscilatorias son

x1 =1p2m

Re¡C1e

¡!1t ¡ C2e¡!2t¢;

x2 =1p2m

Re¡C1e

¡!1t + C2e¡!2t¢:

Tambi¶en indicaremos los modos normales & = ATK´ que resultan ser

&1 =

rm

2(x1 + x2) ;

&2 =

rm

2(¡x1 + x2) :N

Cap¶³tulo 8

Ecuaciones de Hamilton.

8.1 Variables can¶onicas.

Aun cuando se puede hablar bastante sobre la relaci¶on entre hamiltonianoy lagrangiano de un sistema, aqu¶³ se presentan las ecuaciones de Hamiltonen un contexto independiente de la formulaci¶on lagrangiana. Un sistema den grados de libertad es descrito, en esta formulaci¶on, por un conjunto den coordenadas y n momentos can¶onicos conjugados, que se conocen comovariables can¶onicas, que denotaremos por

qi; pi i = 1; 2; 3; : : : ; n:

El sistema se denomina hamiltoniano, si existe una funci¶on H(q; p; t), cono-cida como el hamiltoniano del sistema, tal que se satisfacen las 2n ecuacionesde primer orden que se presentaron en (6.12) y (6.13)

@H(q; p; t)

@pj= _qj ; (8.1)

@H(q; p; t)

@qj= ¡ _pj : (8.2)

A esta altura, uno podr¶³a pensar >en qu¶e realmente se distinguen los momen-tos de las coordenadas? >Podemos intercambiar momentos y coordenadas?M¶as adelante se estudiar¶an las denominadas transformaciones can¶onica, que

138 Ecuaciones de Hamilton.

aclaran esos puntos. Considere como ejemplo dos sistemas hamiltonianos con

H1 =p2

2m+1

2kq2 ;

H2 =q2

2m+1

2kp2 ;

como puede veri¯carse ambos conducen a las mismas ecuaciones para q(t) yp(t):

8.2 Espacio de fase.

Para un sistema de n grados de libertad, el espacio de fase se de¯ne comoel espacio de 2n dimensiones de las coordenadas y momentos can¶onicos. Elestado para un tiempo t, (q; p) de tal sistema queda entonces representadopor un punto en dicho espacio de fase. La evoluci¶on en el tiempo del siste-ma, determinada por las ecuaciones de Hamilton, es representada entoncespor un punto en movimiento en el correspondiente espacio de fase. Podemosdistinguir los sistemas aut¶onomos donde H no depende del tiempo en formaexpl¶³cita y es por lo tanto constante de movimiento (en los sistemas conser-vativos). En estos casos que consideraremos primero, la ¶orbita que describela evoluci¶on del sistema en el espacio de fase, est¶a con¯nada en el subespacioH(q; p) = E =constante.

8.2.1 Sistemas aut¶onomos.

Para estos sistemas, conservativos, H = H(q; p) = E; las ecuaciones deHamilton

@H

@pi= _qi y

@H

@qi= ¡ _pi ;

determinan la evoluci¶on del sistema, con¯nado al subespacio de energ¶³a cons-tante.

8.2.2 Puntos cr¶³ticos o de equilibrio.

En general, las ¶orbitas en el espacio de fase no pueden cortarse debido a queentonces, en esos puntos tomados como condici¶on inicial del sistema, la evo-luci¶on futura del sistema no est¶a determinada un¶³vocamente. La excepci¶on

8.2 Espacio de fase. 139

la constituyen los puntos de equilibrio donde por de¯nici¶on son cero todaslas derivadas _qi y _pi: Esto corresponde a sistemas que est¶an en estados queno evolucionan en el tiempo. En estos casos, la evoluci¶on futura depender¶ade perturbaciones iniciales aplicadas al sistema.

Estabilidad de los puntos cr¶³ticos.

Una clasi¯caci¶on m¶as detallada de las caracter¶³sticas de los puntos cr¶³ticosse desprender¶a del an¶alisis que se realiza a continuaci¶on, para un sistemaaut¶onomo con un grado de libertad, que puedan linealizarse en el sentidoexplicado a continuaci¶on.

Linealizaci¶on.

Supongamos un sistema aut¶onomo correspondiente a un grado de libertad

_q =@H(q; p)

@py _p = ¡@H(q; p)

@q: (8.3)

Si adem¶as hacemos un corrimiento del origen del espacio de fase de modoque el punto cr¶³tico bajo estudio corresponde al origen, q = 0; p = 0; elhamiltoniano puede expandirse en torno al origen de modo que se tendr¶a

@H(q; p)

@q= q

@2H(q; p)

@2q

¯0;0

+ p@2H(q; p)

@p@q

¯0;0

+O(q2; p2) ;

@H(q; p)

@p= q

@2H(q; p)

@q@p

¯0;0

+ p@2H(q; p)

@p2

¯0;0

+O(q2; p2) ;

y si solo se mantienen los t¶erminos lineales, el sistema aut¶onomo es, en lavecindad del punto cr¶³tico

_q = q@2H(q; p)

@q@p

¯0;0

+ p@2H(q; p)

@p2

¯0;0

;

_p = ¡q @2H(q; p)

@2q

¯0;0

¡ p @2H(q; p)

@p@q

¯0;0

;

que puede ser escrito como sistema aut¶onomo lineal

d

dt

µqp

¶=

µH12 H22¡H11 ¡H21

¶µqp

¶: (8.4)


En el caso en que la parte lineal sea nula, el problema es m¶as complejo yno ser¶a tratado aqu¶³. Note adem¶as que para el caso considerado H12 = H21:Como veremos, una caracterizaci¶on de los puntos cr¶³ticos de estos sistemasque pueden ser aproximados por un sistema lineal en la vecindad del puntode equilibrio, o de alguno de ellos, depende crucialmente de los autovaloresde la matriz involucrada en la ¶ultima relaci¶on. Para no perder generalidadsupondremos solamente que sus elementos son reales, a; b; c y d: Adem¶ascambiaremos a notaci¶on x = q; y = p de modo que el sistema a considerares:

d

dt

µxy

¶=

µa bc d

¶µxy

¶= A

µxy

¶: (8.5)

Los valores propios ¸ de la matriz A; est¶an dados por las ra¶³ces de la ecuaci¶onde segundo grado

(a¡ ¸)(d¡ ¸)¡ bc = 0 ;que llamaremos ¸1; ¸2. Como est¶a bien establecido, se pueden distinguir lossiguientes casos cuando det(A) = ad¡ bc 6= 0:

² Caso real 1. ¸1 < ¸2 < 0, nodo asint¶oticamente estable.² Caso real 2. 0 < ¸1 < ¸2, nodo inestable.² Caso real 3. ¸1 < 0 < ¸2, punto montura, inestable.² Caso real 4. ¸1 = ¸2 < 0, nodo, asint¶oticamente estable.² Caso real 5. 0 < ¸1 = ¸2, nodo, inestable.² Caso complejo 1. Re(¸) < 0; espiral, asint¶oticamente estable.² Caso complejo 2. 0 < Re(¸); espiral, inestable.² Caso complejo 2. Re(¸) = 0; centro, estable.

Los tres casos reales pueden analizarse dentro del mismo contexto. Alsuponer soluciones particulares de la forma exp(¸t); se encuentra que la so-luci¶on general es de la formaµ

x(t)y(t)

¶= c1

µ®1¯2

¶e¸1t + c2

µ®2¯2

¶e¸2t; (8.6)


donde los vectores de componentes ®; ¯ son los vectores propios asociadosa los valores propios ¸1 y ¸2: Enseguida, para esquematizar la conductacerca del punto cr¶³tico, x; y ! 0; es necesario ver que t¶ermino predominay en qu¶e tiempo ocurre eso. Por ejemplo en el caso real 1, predomina elt¶ermino con ¸1 cuando t ! 1: Es decir el sistema, a la larga, se aproximaasint¶oticamente al punto cr¶³tico por la direcci¶on de la recta de¯nida por elcorrespondiente vector propio. Similarmente, en el caso real 3, si t ! 1el sistema puede aproximarse asint¶oticamente al punto cr¶³tico por la rectaasociada al valor propio negativo. En cambio, puede alejarse a medida t!1por la recta asociada al valor propio positivo. Para cualquier condici¶on inicialfuera de la recta asociada al valor propio negativo, predominar¶a a la larga,la parte asociada al positivo, ver ¯gura (8.1). Los valores propios complejos,

Real 1 Real 2 Real 3

Real 4 Real 5

Figura 8.1: Autovalores reales

de la forma ¸ = u § iv, merecen otra forma de an¶alisis. En este caso, esconveniente reducir el problema a lo que se denomina su \forma can¶onica".Es conocido que todo problema bidimensional lineal con vectores propioscomplejos, puede ser transformado mediante un cambio de coordenadas a sullamada forma can¶onica

d

dt

µxy

¶=

µm n¡n m

¶µxy

¶= A

µxy

¶: (8.7)


Complejo 1 Complejo 2 Complejo 3

Figura 8.2: Autovalores complejos

siendo en este caso los autovalores de la matriz A, ¸ = m§ in: Si adem¶as seutilizan coordenadas polares, x = r cos(µ) y y = r sin(µ), se puede obtener

dr

dt= mr;

dµ

dt= ¡n; (8.8)

con soluci¶onr = r0e

mt; µ = µ0 ¡ nt; (8.9)

por lo cual, la soluci¶on general de (8.7) est¶a dada por:

x(t) = r0emt cos(µ0 ¡ nt); y(t) = r0e

mt sin(µ0 ¡ nt); (8.10)

por lo cual, las trayectorias o curvas en el espacio de fase son espirales sim =Re(¸) 6= 0 y c¶³rculos si m = 0: As¶³ se distinguen los tres casos, ver ¯gura(8.2)

² Caso complejo 1. m = Re(¸) < 0; espiral, asint¶oticamente estable.

² Caso complejo 2. m = 0 < Re(¸); espiral, inestable.

² Caso complejo 3. m = Re(¸) = 0; centro, estable.

Ejemplo 8.2.1 Reduzca un sistema lineal de dos dimensiones a su formacan¶onica.

Soluci¶on. Consideremos el sistema linealµx0

y0

¶=

µa bc d

¶µxy

¶;


donde la matriz tiene valores propios complejo, es decir de

(a¡ ¸)(d¡ ¸)¡ bc = 0;se deduce

¸ =1

2a+

1

2d§ 1

2ip¡ (a¡ d)2 ¡ 4cb) = m§ in:

Considere ahora la siguiente transformaci¶on linealµuv

¶=

µi 0

m¡ain

¡ bin

¶µxy

¶;

con inversa µxy

¶=

µ ¡i 0¡im¡a

b¡ ibn

¶µuv

¶;

por lo tantoµu0

v0

¶=

µi 0

m¡ain

¡ bin

¶µx0

y0

¶=

µi 0

m¡ain

¡ bin

¶µa bc d

¶µxy

¶=

µi 0

m¡ain

¡ bin

¶µa bc d

¶µ ¡i 0¡im¡a

b¡ ibn

¶µuv

¶=

µm n¡n m

¶µuv

¶;

que prueba el teorema. Usted podr¶³a preguntarse >c¶omo es que se adivin¶ola transformaci¶on lineal? En realidad, la soluci¶on del sistema original nosorienta al respecto. Hagamos x = Ae¸t, y = Be¸t, luego debe tenerse

¸A = aA+ bB;

¸B = cA+ dB;

se obtienen los autovalores

¸ = ¸1; ¸2 = m§ in;y la raz¶on de amplitudes

B

A=¸¡ ab;


de donde la soluci¶on es

x = A1e¸1t +A2e

¸2t;

y =¸1 ¡ ab

A1e¸1t +

¸2 ¡ ab

A2e¸2t

=m¡ ab

(A1e¸1t +A2e

¸2t) + in

b(A1e

¸1t ¡ A2e¸2t);

y hacer

u = i(A1e¸1t +A2e

¸2t);

v = ¡(A1e¸1t ¡A2e¸2t);

de modo que

x = ¡iuy = ¡im¡ a

bu¡ in

bv:

N

8.3 Sistemas de un grado de libertad.

Para sistemas aut¶onomos de un grado de libertad las ecuaciones de Hamiltonpermiten visualizar el movimiento del punto representativo en el espacio defase. En efecto, de las ecuaciones (8.3), si se de¯ne la velocidad del puntorepresentativo como

~V =d

dt(q{+ p|) ;

entonces

~V =

µ@H

@p{¡ @H

@q|

¶) ;

o sea

~V =

µ@H

@q{+

@H

@p|

¶£ k ;

es decir, la velocidad es tangente a las super¯cies (l¶³neas) de H constante,y por las propiedades del gradiente, el sentido de ella es tal que los valoresmayores de H van quedando a la izquierda, ver ¯gura (8.3).

8.4 Ejemplos. 145

q

p

superficies H constante

▼+-

-

-

-

grad(H)

Figura 8.3: Curvas de H constante

8.4 Ejemplos.

Para ilustrar los conceptos anteriores, debemos considerar sistemas de ungrado de libertad. La representaci¶on de sistemas de m¶as dimensiones esnaturalmente m¶as dif¶³cil de lograr.

8.4.1 Oscilador arm¶onico.

Este es el ejemplo tradicional. Su hamiltoniano es

H =p2

2m+1

2kq2;

las ecuaciones de Hamilton son

_q =p

m; y _p = ¡kq ;

o bien, escritas matricialmente

d

dt

µqp

¶=

µ0 1=m¡k 0

¶µqp

¶;

por lo tanto los autovalores de la matriz, correspondiente al ¶unico puntocr¶³tico o de equilibrio, q = 0; p = 0; son ¸ = §ipk=m; es decir correspondea un centro estable (caso complejo 3), vea ¯gura (8.4).


q

p

▼

▼

▼grad(H)


Figura 8.4: Oscilador arm ¶onico

8.4.2 P¶endulo simple.

Consideremos a un p¶endulo, formado por una barra de masa M , largo L, ymomento de inercia I, que oscila en un plano vertical en torno a un extre-mo, siendo µ el ¶angulo que la barra forma con la vertical descendente. Ellagrangiano de este sistema es

L =1

2I _µ2 ¡MgL

2(1¡ cos µ) ;

siendo el momento can¶onicop = I _µ;

de modo que el hamiltoniano es

H =p2

2I+Mg

L

2(1¡ cos µ) ;

de modo que las ecuaciones de Hamilton son

_µ =p

Iy _p = ¡MgL

2sin µ ;

sistema que tiene dos puntos cr¶³ticos o de equilibrio (y peri¶odicamente en2¼), (p = 0; µ = 0 ) y ( p = 0; µ = ¼):La linealizaci¶on en torno a µ = 0 conduce a

d

dt

µµp

¶=

µ0 1=I

¡MgL=2 0

¶µµp

¶;

8.4 Ejemplos. 147

con autovalores imaginarios ¸ = §ipMgL=2I, es decir se trata de un centroestable.Para analizar lo que ocurre en el otro punto cr¶³tico, alrededor de µ = ¼,considere µ = ¼ + Á siendo Á peque~no. Por lo tanto

_Á =p

I;

_p = MgL

2sinÁ ;

y su linealizaci¶on para oscilaciones peque~nas conduce a

d

dt

µÁp

¶=

µ0 1=I

MgL=2 0

¶µÁp

¶;

siendo los autovalores de la matriz reales ¸ = §pMgL=2I; es decir se tratade un punto montura inestable, que corresponde al caso real 3, ver ¯gura(8.5).

p

▼


▼▼

▼

▼

▼

▼

0-

2-

q

Figura 8.5: Punto inestable


Cap¶³tulo 9

Principio variacional deHamilton.

9.1 La Acci¶on.

La acci¶on de un sistema mec¶anico se de¯ne por:

S =

t2Zt1

L(q(t); _q(t); t)dt ; (9.1)

es decir una integral sobre un posible camino qi(t) que permita al sistema pa-sar entre los instantes de tiempo t1 y t2 en forma compatible con los v¶inculos,y con las condiciones en t1 y t2 : La acci¶on, como veremos, tiene un doble eimportante rol:

² Primero, su variaci¶on a extremos ¯jos, supuesta nula conduce a lasecuaciones de movimiento, ya sea en su forma lagrangiana o formahamiltoniana. Esto es los caminos f¶³sicos son caminos extremales.

² Segundo, su variaci¶on en los extremos, suponiendo satisfechas las ecua-ciones de movimiento, conduce a las integrales de las ecuaciones demovimiento.

De lo primero trata el principio variacional de Hamilton. De lo segundo,que se ver¶a con m¶as detalle m¶as adelante, trata el m¶etodo de HamiltonJacobi.

150 Principio variacional de Hamilton.

9.1.1 Principio variacional de Hamilton.

Un posible camino qi(t) compatible con los v¶inculos y las condiciones en t1y t2 es la trayectoria f¶isica, soluci¶on de las ecuaciones de movimiento de unsistema conservativo, s¶i y solo s¶i la acci¶on S es un extremo.

Demostraci¶on:

En lo que sigue, llamaremos caminos f¶isicos a los caminos extremales entrelos puntos extremos ¯jos y caminos variados a otros caminos, pr¶oximos alos caminos extremales, entre los mismos puntos extremos. Se requierenelementos de c¶alculo variacional que no estudiaremos aqu¶i, pero de los cualesharemos uso (ver [5]). Para que la acci¶on sea un extremo se requiere que suvariaci¶on ±S sea cero, para variaciones ±qi(t) in¯nitesimal, compatibles conlos v¶inculos y nulas en los extremos y salvo por eso, arbitrarias entre ellos.Como se sabe, usando la \notaci¶on ±", se tiene que

±S =

t2Zt1

Xµ@L

@qi±qi +

@L

@ _qi± _qi

¶dt ;

como

± _q =d

dt±q; y ±qi(t1) = ±qi(t2) = 0 ;

la primera variaci¶on de la acci¶on puede escribirse

±S =

t2Zt1

Xµ@L

@qi¡ d

dt

@L

@ _qi

¶±qidt : (9.2)

² Si se cumplen las ecuaciones de movimiento, ecuaciones de Lagrangeen su forma original, es decir

Xµ@L

@qi¡ d

dt

@L

@ _qi

¶±qi =

XQNCi ±qi ;

y si adem¶as se trata de un sistema conservativo, donde por de¯nici¶onQNCi = 0; 8i; entonces ±S = 0, lo que signi¯ca que S es un extremo.

9.1 La Acci¶on. 151

² Si la acci¶on S es un extremo, o sea ±S = 0; tenemost2Zt1

Xµ@L

@qi¡ d

dt

@L

@ _qi

¶±qidt = 0 ;

o bien Xi

t2Zt1

µ@L

@qi¡ d

dt

@L

@ _qi

¶dt±qi = 0 :

Si las variaciones ±qi son arbitrarias en el intervalo, ser¶ian cero los inte-grandos. Sin embargo admitimos la posibilidad de que hayan v¶inculosno holon¶omicos de un cierto tipo, satisfaciendoX

i

Aji _qi +Aj0 = 0; j = 1; 2; : : : ; r:

Como las variaciones virtuales son a tiempo ¯jo se tieneXi

Aji±qi = 0; j = 1; 2; : : : ; r;

y tambi¶en ser¶an cero sus integrales

Xi

t2Zt1

Aji±qi = 0; j = 1; 2; : : : ; r; (9.3)

de modo que tenemos un problema de c¶alculo variacional, con restric-ciones adicionales (9.3), por lo que, haciendo uso de la t¶ecnica de losmultiplicadores de Lagrange obtenemos

@L

@qi¡ d

dt

@L

@ _qi+Xj

¸jAji = 0 ;

que son las ecuaciones correctas de Lagrange para sistemas conservati-vos con v¶inculos adicionales no holon¶omicos del tipo que se estudiaronen el cap¶itulo sobre ecuaciones de Lagrange.


9.1.2 Naturaleza del extremo en el principio variacio-nal.

Se puede probar que, para puntos ¯nales no demasiado lejanos del puntoinicial, la acci¶on del sistema alcanza un valor m¶inimo respecto a caminosvariados pr¶oximos. Partiendo de un punto inicial, el sistema evoluciona enel tiempo de acuerdo a las ecuaciones de Lagrange por caminos extremalesque forman una familia de caminos extremales de acuerdo a las diversascondiciones iniciales de velocidad posibles. Se tiene lo que se conoce comoun \campo central de extremales". Probaremos en primer lugar que parapuntos no muy alejados del punto inicial, la segunda variaci¶on de la acci¶ona lo largo de un camino extremal es positiva si el lagrangiano es una formapositiva de¯nida de las velocidades generalizadas. Sin embargo, al alejarsedel punto inicial la segunda variaci¶on puede hacerse negativa. Naturalmenteprimero debe hacerse cero. Si denotamos por P el punto inicial y por Q elprimer punto donde la segunda variaci¶on se hace cero. Como probaremos, uncamino variado entre esos mismos puntos extremos, es tambi¶en un caminoextremal o camino f¶isico posible. Ese punto Q donde se cortan dos o m¶ascaminos f¶isicos que partieron desde P, se conoce como punto conjugado de P.Entonces, la propiedad minimal se perder¶a apenas el sistema pase a lo largode la trayectoria extremal por el primer punto conjugado. El an¶alisis ser¶ahecho en primer lugar para sistemas conservativos con v¶inculos holon¶omicosde un grado de libertad. La primera variaci¶on de la acci¶on puede escribirse

±S =

t2Zt1

µ@L

@q±q +

@L

@ _q± _q

¶dt ; (9.4)

y la segunda variaci¶on como

±2S =

t2Zt1

µ@2L

@q2±q2 + 2

@2L

@q@ _q@q± _q +

@2L

@ _q2± _q2¶dt ;

pero adem¶as, por ser cero las variaciones en los extremos se tiene que

0 =

t2Zt1

d¡!(t)±q2

¢=

t2Zt1

¡_!(t)±q2 + 2!(t)±q± _q

¢dt:

9.1 La Acci¶on. 153

Si sumamos esta ¶ultima ecuaci¶on a la segunda variaci¶on de la acci¶on, seobtiene

±2S =

t2Zt1

µµ_!(t) +

@2L

@q2

¶±q2 + 2

µ@2L

@q@ _q+ !(t)

¶@q± _q +

@2L

@ _q2± _q2¶dt;

(9.5)cuyo integrando puede ser reducido, salvo un factor, a un cuadrado perfectosi !(t) se elije adecuadamente. En efecto, la ecuaci¶on (9.5) puede escribirse

±2S =

t2Zt1

@2L

@ _q2

Ã± _q +

s@2L=@q@ _q + !(t)

@2L=@ _q2±q

!2dt;

por lo cual, si !(t) existe, el signo de la segunda variaci¶on coincide con elsigno de @2L=@ _q2: La condici¶on que debe cumplir !(t) es

µ@2L

@q@ _q+ !(t)

¶2=@2L

@ _q2

µ_!(t) +

@2L

@q2

¶: (9.6)

Si se de¯ne una nueva variable u(t) mediante

!(t) = ¡ @2L

@q@ _q¡ @

2L

@ _q2_u

u; (9.7)

la condici¶on (9.6) puede escribirse

d

dt

µ@2L

@ _q2_u

¶=

µ@2L

@q2¡ d

dt

@2L

@ _q@q

¶u;

que se conoce como la ecuaci¶on de Jacobi para la curva C{discriminante (sec-ci¶on siguiente). En resumen, si existe una soluci¶on de la ecuaci¶on de Jacobiu(t) que no se anule en el intervalo (t1; t2), condici¶on de Jacobi, entoncesexiste la funci¶on !(t) que garantiza que el signo de la segunda variaci¶oncoincide con el de la segunda derivada @2L=@ _q2: Como veremos, esta condi-ci¶on equivale a que no se haya alcanzado el primer punto conjugado al puntoinicial.


9.1.3 Curva C discriminante.

Si se tiene una familia de caminos que dependen de un par¶ametro C, porejemplo la velocidad inicial, los puntos donde caminos con distinto par¶ametroy que parten de un mismo punto, se cortan satisfacen

q = q(c; t); y q(c+ dc; t) = q(c; t);

o equivalentemente

q = q(c; t); y@q

@c= 0:

Si la familia de curvas es el campo central de extremales, la ecuaci¶on quesatisface u(t) = @q=@c; puede ser obtenida derivando la ecuaci¶on de Lagrangecon respecto al par¶ametro, es decir

0 =@

@c

µ@L

@q¡ d

dt

@L

@ _q

¶=@2L

@q2u+

@2L

@q@ _q_u¡ d

dt

µ@2L

@ _q2_u+

@2L

@q@ _qu

¶;

que se reduce a la ecuaci¶on de Jacobi

d

dt

µ@2L

@ _q2_u

¶=

µ@2L

@q2¡ d

dt

@2L

@ _q@q

¶u:

La condici¶on de Jacobi signi¯ca entonces que no se ha alcanzado el puntoconjugado del punto inicial. Para m¶as grados de libertad las ideas son lasmismas. Presentaremos otra forma del principio variacional expresando laacci¶on del sistema en t¶erminos del Hamiltoniano del sistema.

9.2 Forma hamiltoniana.

Considerando la relaci¶on entre hamiltoniano y lagrangiano, la acci¶on puedeescribirse

S =

t2Zt1

hXpidqi ¡Hdt

i; (9.8)

o bien

S =

t2Zt1

hXpi _qi ¡H

idt:

9.2 Forma hamiltoniana. 155

Aqu¶i, las variaciones de las coordenadas y de los momentos son peque~nas yarbitrarias, salvo en los extremos donde las variaciones de las coordenadasson nulas, es decir ±qi(t1) = ±qi(t2) = 0. La primera variaci¶on conduce a

±S =

t2Zt1

hX(pi± _qi + ±pi _qi)¡ ±H

idt ; (9.9)

o sea

±S =

t2Zt1

Xµpid±qi + ±pidqi ¡ @H

@qi±qidt¡ @H

@pi±pidt

¶; (9.10)

integrando por partes el primer t¶ermino de la sumatoria y considerando ex-tremos ¯jos, se obtiene

±S =

t2Zt1

Xµ¡dpi±qi + ±pidqi ¡ @H

@qi±qidt¡ @H

@pi±pidt

¶; (9.11)

y reordenado

±S =

t2Zt1

Xµµ¡dpi ¡ @H

@qidt

¶±qi +

µdqi ¡ @H

@pidt

¶±pi

¶; (9.12)

de modo que un extremo de S; ±S = 0 para variaciones arbitrarias ±qi; y±pi; conduce a las ecuaciones de Hamilton

dpi +@H

@qidt = 0; dqi ¡ @H

@pidt = 0 :

9.2.1 Variaci¶on de los extremos.

Supongamos ahora que el problema din¶amico dado por las ecuaciones deHamilton ha sido resuelto. Eso signi¯ca que se conocen las coordenadas ymomentos en t¶erminos de 2n constantes de integraci¶on, que llamaremos cicon i = 1; 2; 3; : : : ; 2n: Entonces podemos escribir


qi = qi(ci; t); pi = pi(ci; t); H = H(ci; t) ; (9.13)

por lo cual, la derivada del hamiltoniano respecto a una de esas constantespuede escribirse

@H

@cj=Xi

@H

@pi

@pi@cj

+Xi

@H

@qi

@qi@cj

;

y considerando las ecuaciones de Hamilton:

@H

@cj=Xi

_qi@pi@cj

¡Xi

_pi@qi@cj

;

ecuaci¶on que puede ser ordenada como

@H

@cj=

@

@cj

Xi

_qipi ¡ d

dt

Xi

pi@qi@cj

;

o sea

@

@cjL =

d

dt

Xi

pi@qi@cj

;

que si es integrada entre t0 y t, nos conduce a

@

@cj

tZt0

Ldt =@S

@cj=Xi

pi@qi@cj

%t

¡Xi

pi@qi@cj

%t0

:

De aqu¶i se desprende que la variaci¶on total de S, cuando se var¶ian las cons-tantes, satisfaciendo las ecuaciones de movimiento, es

±S =X @S

@cj±cj =

Xi

pi±qi

%t

¡Xi

pi±qi

%t0

: (9.14)

Si consideramos que las 2n constantes de integraci¶on ci pueden expresarse ent¶erminos de las coordenadas en t0 y en t (2n coordenadas), as¶i mismo puedeentonces expresarse la acci¶on

S = S(t; q(t); q(t0)) ;

que compar¶andola con la ecuaci¶on (9.14), conduce a


@S(t; q(t); q(t0))

@qi(t0)= ¡pi(t0); @S(t; q(t); q(t0))

@qi(t)= pi(t) ; (9.15)

y, sorprendentemente, si la acci¶on S es conocida, el primer grupo de n ecua-ciones, permite conocer las coordenadas en funci¶on del tiempo, mediante undespeje algebraico. M¶as detalles se estudiar¶an al estudiar las transformacio-nes can¶onicas. Nos limitaremos a mostrar un paso m¶as hacia la soluci¶on delproblema. Si se deriva la funci¶on S, respecto al tiempo, puede obtenerse

dS

dt= L =

@S

@t+X @S

@qi_q ;

o bien

L =@S

@t+X

pi _q ;

o, en t¶erminos de H(q; p; t)

@S

@t+H

µq;@S

@q; t

¶= 0 : (9.16)

la llamada ecuaci¶on de Hamilton Jacobi, que estudiaremos con m¶as detallesm¶as adelante.

9.2.2 Naturaleza del extremo.

Puede probarse que para tiempos su¯cientemente cortos, la acci¶on es en rea-lidad un m¶inimo, vea Whittaker pag. 250 ([6]). Un ejemplo simple paracomprender el tipo de problema que surge, lo constituye una part¶icula quepuede moverse libremente sobre una circunferencia. Si la part¶icula se mueveen un determinado sentido con rapidez constante, puede r¶apidamente com-probarse que la acci¶on evaluada para el movimiento en sentido contrario esmenor que la para la soluci¶on f¶isica del problema, si los dos puntos est¶anseparados un ¶angulo mayor de 180 grados. Es decir, se presentan proble-mas cuando el sistema tiene m¶as de un posible camino compatible con lasecuaciones de movimiento para pasar de un punto a otro. En otras palabras,cuando dos trayectorias extremales se intersectan. El sistema ir¶a por uno uotro camino dependiendo de los momentos o velocidades iniciales, pero, del


punto de vista del principio variacional de Hamilton, no hay diferencias entreesas dos posibilidades.Consideremos entonces un sistema que parte inicialmente en qi(t0): Si va-

riamos los momentos iniciales en un rango ±pi(t0); se formar¶a un rango detrayectorias soluciones del problema f¶isico o extremales, al comienzo diver-giendo del punto inicial. Al transcurrir un tiempo t, podemos calcular laseparaci¶on de las coordenadas ¯nales ±qi(t) usando las ecuaciones (9.15), dela siguiente manera. Como

@S(t; q(t); q(t0))

@qi(t0)= ¡pi(t0) ; (9.17)

entonces

Xj

@2S(t; q(t); q(t0))

@qi(t0)@qj(t)±qj(t) = ¡±pi(t0) ; (9.18)

expresi¶on lineal que permite despejar las desviaciones ±qj(t) en t¶erminos dela matriz

Mij = ¡@2S(t; q(t); q(t0))

@qi(t0)@qj(t);

±qi(t) =M¡1ij ±pj(t0) : (9.19)

A medida que la colecci¶on o familia de trayectorias evoluciona desde su puntode partida, puede ocurrir que la matriz M¡1; llegue a ser singular, o seacon det(M¡1) = 0 en determinados puntos de la trayectoria principal (veaGutzwiller pag.15 [9]), aquella para la cual se analiza si S es un m¶inimo oun m¶aximo. Esos puntos se denominan puntos conjugados: En esos puntos,el sistema (9.19) con ±qi(t) = 0; 8 i (sistema homog¶eneo) admite soluci¶ondistinta de la trivial, es decir hay soluciones con ±pi(t0) 6= 0 : Eso signi¯caprecisamente que hay m¶as de un extremal pasando por los puntos inicial y¯nal. Ambos entonces no pueden ser, en general, un m¶inimo.

Ejemplo 9.2.1 Aplique lo anterior al caso el caso del oscilador arm¶onicounidimensional con hamiltoniano (vea pag 45 de [15])

H =p2

2m+1

2m!2q2:


Soluci¶on. La soluci¶on en t¶erminos de condiciones iniciales en t = 0 es

q = q0 cos!t+p0m!

sin!t;

p = p0 cos!t¡m!q0 sin!t;de modo que la acci¶on puede calcularse obteni¶endose

S(q; q0; t) =

Z t

0

Ldt =m!

2 sin!t

¡q2 cos!t+ q20 cos!t¡ 2q0q

¢; (9.20)

de donde

M11 = ¡@2S(t; q(t); q(0))

@q0@q=

m!

sin!t;

cuya inversa se anula cada vez que sin!t = 0; es decir cada medio periodo.Este resultado es trivial para este problema cuya soluci¶on es conocida, puescon dos condiciones iniciales distintas en p0 las trayectorias se encuentrancada vez que

q = q0 cos!t+p0m!

sin!t = q0 cos!t+p0 + ±p0m!

sin!t;

con ¶unica soluci¶on sin!t = 0. O sea el campo de extremales podr¶ia repre-sentarse por la ¯gura (9.1)

N

t543210

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

Figura 9.1: Campo de extremales

Una demostraci¶on simple de que la acci¶on es en realidad un m¶inimo, paratiempos transcurridos su¯cientemente peque~nos, es la siguiente. Si los puntos


in¯nitesimalmente cercanos en q(t0) y q(t1); se conectan con una extremal,despreciando las variaciones del potencial, ella corresponde a la del movi-miento libre. Otra trayectoria no extremal entre esos dos mismos puntos,puede construirse con dos o m¶as segmentos extremales. En realidad bas-ta considerar dos segmentos. Las rapideces generalizadas ser¶an constantesy distintas en los tres segmentos, el camino extremal y los dos segmentosextremales. En esencia entonces se trata de demostrar que:

tZt0

L1dt+

t1Zt

L2dt ¸t1Zt0

Ldt ;

y m¶as simplemente que

(q(t)¡ q(t0))2t¡ t0 +

(q(t1)¡ q(t))2t1 ¡ t ¸ (q(t1)¡ q(t0))2

t1 ¡ t0 ;

cuesti¶on que es cierta para (t¡ t0)(t1 ¡ t) ¸ 0.

Ejemplo 9.2.2 Demuestre que:

®2

a+¯2

b¸ °2

c

si ° = ®+ ¯ y c = a+ b y ab ¸ 0:Soluci¶on. Si

f =®2

a+¯2

b;

df = 2

µ®

a¡ ¯b

¶d®+

µ¯2

b2¡ ®

2

a2

¶da ; (9.21)

siendo df = 0 en un extremo. Para averiguar si es un m¶aximo o m¶inimo def; en df = 0 se tiene

1

2d2f =

µ1

a+1

b

¶d®2 ¡ 2

µ®

a2+¯

b2

¶dad®+

µ®2

a3+¯2

b3

¶da2 ; (9.22)

de la expresi¶on (9.21), se tiene ®b = ¯a; que junto con ° = ®+ ¯ y c = a+ bnos dicen que un extremo de f es °2=c. Adem¶as, es simple probar que laexpresi¶on (9.22) es positiva de¯nida, por lo cual se trata de un m¶inimo de f:


La expresi¶on: ud®2 + 2wd®da + vda2 es positiva de¯nida si uv ¸ w2: Paraeste caso u = 1=a+ 1=b; v = ®2=a3 + ¯2=b3; w = ®=a2 + ¯=b2; de modo que

uv =®2

a4+¯2

b4+1

ab

µ®2

a2+¯2

b2

¶;

w2 =®2

a4+¯2

b4+1

ab

µ2®¯

ab

¶;

que prueba lo anterior, para ab ¸ 0: M¶as en general, para una trayectoriavariada con puntos intermedios (qj; tj) la expresi¶on a extremar ser¶ia

S¤(q1; q2; qj ; t1; t2; tj) =1

2m

n¡1Xj=1

(qj+1 ¡ qj)2tj+1 ¡ tj ;

donde q1 = q1; qn = q2; t

1 = t1 y tn = t2: Para simpli¯car la notaci¶on,

escribamos aj = qj+1 ¡ qj y bj = tj+1 ¡ tj > 0 . Entonces

S¤ =1

2m

n¡1Xj=1

(aj)2

bj; con

n¡1Xj=1

aj = q2 ¡ q1;n¡1Xj=1

bj = t2 ¡ t1:

Usando la t¶ecnica de los multiplicadores de Lagrange, tenemos

±S¤ =1

2m

n¡1Xj=1

(¡aj2

b2j+ ¸2)±bj +m

n¡1Xj=1

(ajbj¡ ¸1)±aj : (9.23)

Entonces S¤ es un extremo si

¡aj2

b2j+ ¸2 = 0;

ajbj¡ ¸1 = 0 ; (9.24)

y el extremo que corresponde al valor

¸1 =ajbj=q2 ¡ q1t2 ¡ t1 ; (9.25)

es, como era esperado1

2m(q2 ¡ q1)2t2 ¡ t1 ;

y, la segunda variaci¶on es

±2S¤ = mX (±aj ¡ ¸1±bj)2

bj¸ 0 (9.26)

que prueba que se trata de un m¶inimo.


N

Nota 9.1 Volveremos sobre la naturaleza del extremo de la acci¶on, al estu-diar el m¶etodo de Hamilton-Jacobi.

9.3 Teorema de Noether.

9.3.1 Variaci¶on unidimensional.

En el cap¶itulo de ecuaciones de Lagrange se present¶o una versi¶on simpli¯ca-da del teorema de Noether. Aqu¶i consideraremos una forma m¶as general dedicho teorema, cuando la acci¶on es invariante a variaciones de las coordena-das generalizadas y de los extremos. Partiremos considerando una situaci¶onunidimensional donde en una integral de¯nida, se var¶ian in¯nitesimalmen-te el integrando as¶i como tambi¶en sus extremos. Considere entonces comoejemplo, la integral

S =

Z t2

t1

q(t)dt;

donde se var¶ian

q(t) + ±q(t); t1 + ±t1; t2 + ±t2:

as¶i resultar¶a que la variaci¶on de S ser¶a

±S =

t2+±t2Zt1+±t1

(q(t) + ±q(t))dt¡t2Zt1

q(t)dt;

donde podemos escribir

t2+±t2Zt1+±t1

(q(t) + ±q(t))dt =

t2Zt1

(q(t) + ±q(t))dt+

t2+±t2Zt2

(q(t) + ±q(t))dt¡t1+±t1Zt1

(q(t) + ±q(t))dt

y aproximarlo mediante el teorema del valor medio a

9.3 Teorema de Noether. 163

t2+±t2Zt1+±t1

(q(t) + ±q(t))dt =

t2Zt1

(q(t) + ±q(t))dt+ ±t2(q(t2)

+±q(t2))¡ ±t1(q(t1) + ±q(t1))

y a primer orden en las variaciones a

t2+±t2Zt1+±t1

(q(t) + ±q(t))dt =

t2Zt1

(q(t) + ±q(t))dt+ ±t2q(t2)¡ ±t1q(t1)

por lo tanto

±S =

t2Zt1

(q(t) + ±q(t))dt+ ±t2q(t2)¡ ±t1q(t1)¡t2Zt1

q(t)dt

=

t2Zt1

±q(t)dt+ ±t2q(t2)¡ ±t1q(t1)

que puede ser escrita nuevamente como una integral

±S =

t2Zt1

µ±q(t) +

d

dt(±tq(t))

¶dt;

donde ±t es cualquier funci¶on del tiempo in¯nitesimal con valores en losextremos ±t2 y ±t1.

9.3.2 Variaci¶on en n dimensiones.

Ahora consideraremos realmente la acci¶on para un sistema de n grados delibertad

S =

Z t2

t1

L(q(t); _q(t); t)dt;

donde se hacen variaciones in¯nitesimales

q0i(t) = qi(t) + ±qi(t); t1 + ±t1; t2 + ±t2:


±S =

t2+±t2Zt1+±t1

L(q0(t); _q0(t); t)¡t2Zt1


ahora

±S =

t2+±t2Zt1+±t1

L(q(t) + ±q(t); _q(t) + ± _q(t); t)dt¡t2Zt1


que nos proponemos escribir como una integral de t1 a t2: Para ello considerelos pasos an¶alogos al caso unidimensional

t2+±t2Zt1+±t1

L(q(t) + ±q(t); _q(t) + ± _q(t); t)dt

=

Z t2+±t2

t1+±t1

·L(q(t); _q(t); t) +

X @L

@qi±qi(t) +

X @L

@ _qi± _qi(t)

¸dt

=

Z t2

t1

·L(q(t); _q(t); t) +

X @L

@qi±qi(t) +

X @L

@ _qi± _qi(t)

¸dt

+

Z t2+±t2

t2

·L(q(t); _q(t); t) +

X @L

@qi±qi(t) +

X @L

@ _qi± _qi(t)

¸dt

¡Z t1+±t1

t1

·L(q(t); _q(t); t) +

X @L

@qi±qi(t) +

X @L

@ _qi± _qi(t)

¸dt

si despreciamos t¶erminos de segundo orden y usamos las ecuaciones de La-grange se obtendr¶a

±S =

Z t2

t1

µX d

dt

µ@L

@ _qi

¶±qi(t) +

X @L

@ _qi

d

dt±qi(t) +

d

dt(±tL)

¶dt;

y ¯nalmente, la base del teorema de Noether

±S =

Z t2

t1

d

dt

µXµ@L

@ _qi

¶±qi(t) + L±t

¶dt:

Ahora expresaremos esto en t¶erminos de variaciones del siguiente tipo

9.3 Teorema de Noether. 165

±¹qi(t) = q0i(t+ dt)¡ qi(t) = qi(t+ ±t) + ±qi(t+ ±t)¡ qi(t):

Entonces se deduce que

±S =

Z t2

t1

d

dt

µXµ@L

@ _qi

¶±¹qi(t)¡

µµ@L

@ _qi

¶_qi(t)¡ L(q(t); _q(t); t)

¶±t

¶dt:

9.3.3 Formas del teorema.I Teorema 9.1Si la acci¶on es invariante (±S = 0) a transformaciones del tipo

±¹qi(t) = _qi(t)±t+ ±qi(t);

entonces se conserva la cantidad

Xi

µ@L

@ _qi

¶±¹qi(t)¡

ÃXi

@L

@ _qi_qi(t)¡ L

!±t:

Una forma m¶as familiar se obtiene si se supone que las variaciones para ²rarbitrarios son de la forma

±¹qi(t) =Xr

²rªri; ±t =Xr

²rXr;

entonces la cantidad conservada es

Xi

µ@L

@ _qi

¶ªri ¡

ÃXi

@L

@ _qi_qi(t)¡ L

!Xr = constante.

Invariancia a traslaci¶on temporal.

Si Xr = 1; ªri = 0 entonces se conserva el hamiltonianoXi

@L

@ _qi_qi(t)¡ L


Invariancia a variaci¶on de una coordenada qk:

Si Xr = 0; ªrk = ±rk; entonces se conserva el momento can¶onico

pk =

µ@L

@ _qk

¶:

Cap¶³tulo 10

Transformaciones Can¶onicas.

10.1 De¯nici¶on.

La elecci¶on de las coordenadas generalizadas y de los correspondientes mo-mentos can¶onicos, no es ¶unica. Es entonces importante contestar la pregunta:

² >Es posible transformar las coordenadas y momenta de tal modo que sepreserve la estructura de las ecuaciones de Hamilton? Esto conduceal concepto de transformaci¶on can¶onica.

La transformaci¶on

fq; pg ¡! fQ;Pg ; (10.1)

H(q; p; t) ¡! H(Q;P; t) ; (10.2)

se dice can¶onica si ella preserva la estructura de las ecuaciones de Hamilton,es decir que si

_qi =@H

@pi; y _pi = ¡@H

@qi; (10.3)

entonces

_Qi =@H

@Pi; y _Pi = ¡ @H

@Qi: (10.4)

168 Transformaciones Can¶onicas.

Se usar¶a eventualmente en notaci¶on resumida q; p; Q ; P;que indican a todoel conjunto de coordenadas y momenta. Una condici¶on su¯ciente para quela transformaci¶on fq; pg ¡! fQ;Pg sea can¶onica, es que exista una funci¶onF tal que

nXi=1

(pidqi ¡ PidQi)¡ (H ¡H)dt = dF : (10.5)

Considerando la equivalencia entre el principio variacional de Hamilton y lasecuaciones de Hamilton, la ecuaci¶on (10.5) equivale a

±

2Z1

ÃnXi=1

pidqi ¡Hdt!= 0() ±

2Z1

ÃnXi=1

PidQi ¡H!dt = 0 : (10.6)

Est¶a impl¶³cito el hecho de que las variaciones son nulas en los extremos, esdecir que ±Ft=t2 = ±Ft=t1 = 0: Por razones que se comprender¶an enseguida,llamaremos F1 a esa funci¶on. De la ecuaci¶on, (10.5) se desprende que

pi =@F1(q;Q; t)

@qi; P i = ¡@F1(q;Q; t)

@Qi; (10.7)

y

H = H +@F

@t; (10.8)

raz¶on por lo cual se puede denominar a F una funci¶on generadora de latransformaci¶on can¶onica. Naturalmente otra posibilidad es requerir que losintegrando di¯eran en una constante es decir que

anXi=1

(pidqi ¡Hdt)¡nXi=1

(PidQi ¡H)dt = dF: (10.9)

de donde se obtendr¶³a

pi =1

a

@F

@qi; Pi = ¡ @F

@Qi; (10.10)

H = aH +@F

@t; (10.11)

10.1 De¯nici¶on. 169

Para entender el signi¯cado de lo anterior, considere una transformaci¶onde escala Qi = ¸qi y Pi = °pi. Esta transformaci¶on, puede veri¯carse, escan¶onica con nuevo hamiltoniano dado por H(Q;P; t) = ¸°H(Q=¸;P=¸).Para esa transformaci¶on se cumplir¶a

¸°nXi=1

(pidqi ¡Hdt)¡nXi=1

(PidQi ¡H)dt = dF: (10.12)

De manera que con una transformaci¶on de escala siempre podremos logrartener a = ¸° = 1, que ser¶a lo que supondremos.

Ejercicio 10.1.1 Demuestre la a¯rmaci¶on anterior.

10.1.1 Formas de la transformaci¶on.

Mediante una transformaci¶on de Legendre es posible escribir la transfor-maci¶on de otras maneras. Considerando transformaciones de Legendre deF1(q;Q; t); la funci¶on generadora considerada hasta ahora, podemos generarotras tres funciones generadoras equivalentes dadas por

F2(q; P; t) = F1(q;Q; t) +nXi=1

QiPi ; (10.13)

F3(p;Q; t) = F1(q;Q; t)¡nXi=1

qipi ; (10.14)

F4(p; P; t) = F3(p;Q; t) +nXi=1

QiPi ; (10.15)

Para las cuales se cumplir¶a, en analog¶³a con (10.5)

nXi=1

(pidqi +QidPi)¡ (H ¡H)dt = dF2 ; (10.16)

nXi=1

(¡qidpi ¡ PidQi)¡ (H ¡H)dt = dF3 ; (10.17)

nXi=1

(¡qidpi +QidPi)¡ (H ¡H)dt = dF4 ; (10.18)


y de las cuales se tienen las siguientes relaciones que de¯nen la transformaci¶oncan¶onica

pi =@F2@qi

; Qi =@F2@Pi

; (10.19)

qi = ¡@F3@pi

; Pi = ¡@F3@Qi

; (10.20)

qi = ¡@F4@pi

; Qi =@F4@Pi

; (10.21)

siendo en cada caso

H = H +@F

@t: (10.22)

10.1.2 Condici¶on de existencia.

De acuerdo al teorema de la funci¶on impl¶³cita, la transformaci¶on generada,ya sea por (10.7), (10.19), (10.20) o (10.21), est¶a bien de¯nida si

det

µ@2F1@qi@Qj

¶6= 0; (10.23)

det

µ@2F2@qi@Pj

¶6= 0; (10.24)

det

µ@2F3@pi@Qj

¶6= 0; (10.25)

det

µ@2F4@pi@Pj

¶6= 0; (10.26)

pero adem¶as debe tenerse

10.2 Notaci¶on Simpl¶ectica. 171

@pi@Qj

=@2F1@qi@Qj

= ¡@Pj@qi

; (10.27)

@pi@Pj

=@2F2@qi@Pj

=@Qj@qi

;

@qi@Qj

= ¡ @2F3@pi@Qj

=@Pj@pi

;

@qi@Pj

= ¡ @2F4@pi@Pj

= ¡@Qj@pi

;

ecuaciones que volveremos a considerar despu¶es de introducir la notaci¶onsimpl¶ectica.

10.2 Notaci¶on Simpl¶ectica.

Es conveniente introducir una nueva notaci¶on que trata en forma an¶aloga lascoordenadas y los momentos. As¶³

!i = qi si i = 1; 2; : : : ; n ; (10.28)

!i = pi si i = n+ 1; n+ 2; : : : ; 2n : (10.29)

En estas nuevas variables, las ecuaciones de Hamilton pueden escribirse

_!i = Jij@H

@!j; (10.30)

(suma sobre ¶³ndices repetidos), siendo los elementos de la matriz J los si-guientes

Jij =

8<: 0 si ((i > n) y (j > n)) o ((n ¸ i) y (n ¸ j))¡1 si (i > n; j = i¡ n)1 si (n ¸ i; j = i+ n)

(10.31)

Podemos notar que, en notaci¶on matricial

J =

µ0 I¡I 0

¶; (10.32)


y las siguientes propiedades b¶asicas de J

JJT = I ; JJ = ¡I ; J¡1 = JT : (10.33)

10.3 Par¶entesis de Poisson.

Los \par¶entesis" de Poisson de dos funciones de las coordenadas y momentos,se de¯nen por

fF;Gg =nXi=1

µ@F

@qi

@G

@pi¡ @G@qi

@F

@pi

¶; (10.34)

que en notaci¶on simpl¶ectica puede escribirse (suma sobre ¶³ndices repetidos)como

fF;Gg = @F

@!iJij@G

@!j: (10.35)

10.3.1 Propiedades de los Par¶entesis de Poisson.

Entre otras propiedades podemos se~nalar las siguientes, que se dejan para sudemostraci¶on

fF;Gg = 0 ; (10.36)

fF;Gg = ¡fG;Fg ; (10.37)

faF + bG;Wg = afF;Gg+ bfG;Wg ;siendo a; b constantes,

fFG;Wg = fF;WgG+ FfG;Wg ; (10.38)

y

fU; fV;Wgg+ fV; fW;Ugg+ fW; fU; V gg = 0; (10.39)

la identidad de Jacobi.

10.4 Par¶entesis de Lagrange. 173

10.4 Par¶entesis de Lagrange.

Otras cantidades importantes son los \par¶entesis" de Lagrange. SiAl; con fl =1; 2; 3; : : : ; ng, denotan funciones independientes de las coordenadas y mo-menta, de¯nimos los par¶entesis de Lagrange por

[Al; Am] =nXi=1

µ@qi@Al

@pi@Am

¡ @qi@Al

@qi@Am

¶; (10.40)

que en notaci¶on simpl¶ectica puede escribirse (suma sobre ¶³ndices repetidos)como

[Al; Am] =@!i@Al

Jij@!j@Am

: (10.41)

10.5 Ecuaciones de Movimiento.

Las ecuaciones de Hamilton pueden escribirse en t¶erminos de los par¶entesisde Poisson como

_qi = fqi; Hg; _pi = fpi; Hg : (10.42)

Adem¶as, puede veri¯carse que para cualquier funci¶on de los momentos y delas coordenadas, F (q; p; t); se tiene que

dF

dt= fF;Hg+ @F

@t: (10.43)

de aqu¶³ se puede deducir

I Teorema 10.1Si una cantidad din¶amica F no depende del tiempo en forma expl¶³cita, esdecir si F = F (q; p), ella es conservada si y solo si fF;Hg = 0:

I Teorema 10.2El hamiltoniano mismo es conservado cuando no depende expl¶³citamente deltiempo, es decir si @H=@t = 0:


10.6 Condici¶on necesaria.

En t¶erminos de variables simpl¶ecticas, planteamos el problema de la siguienteforma. Si el conjunto !i; H; es hamiltoniano, es decir si

d

dt!i = Jij

@H

@!j; (10.44)

y se tiene una transformaci¶on

!i = !i(!; t) ; (10.45)

>cu¶al es la condici¶on necesaria para que exista un nuevo hamiltoniano H demodo que se tenga un sistema hamiltoniano en las nuevas variables?Hemos visto que para que una transformaci¶on sea can¶onica es su¯ciente queexista una funci¶on generadora F . Estableceremos ahora la condici¶on quedebe necesariamente cumplir una transformaci¶on para que ella sea can¶onica.El problema es mucho mas simple de tratar cuando la transformaci¶on esindependiente del tiempo, por lo cual, dicho caso se tratar¶a primero. En unatransformaci¶on general el an¶alisis es m¶as complicado y se trata m¶as adelante.Por ¶ultimo comprobaremos que la misma condici¶on que encontraremos, esnecesaria para la existencia de la funci¶on generadora.Si la transformaci¶on can¶onica es independiente del tiempo, !i = !i(!) ysi se supone que el nuevo hamiltoniano es num¶ericamente igual al original,H = H, es relativamente simple averiguar sobre cual es la condici¶on necesariapara que una transformaci¶on sea can¶onica. Si los dos conjuntos !i , H y !i;H son hamiltonianos se tiene que

d

dt¹!i = Jij

@H

@!j= Jij

@H

@!j; (10.46)

y adem¶asd

dt!i = Jij

@H

@!j; (10.47)

pero ambas derivadas est¶an relacionadas de acuerdo a la transformaci¶on

d

dt¹!i =

@¹!i@!j

d

dt!j ; (10.48)

de manera que, con los ¶³ndices adecuados

10.6 Condici¶on necesaria. 175

Jil@!m@!l

= Jlm@¹!i@!l

; (10.49)

que puede ser escrito de una variedad de formas. Si llamamos M la matrizJacobiano de la transformaci¶on, es decir

Mij =@¹!i@!j

; (10.50)

con inversa

M¡1ij =

@!i@¹!j

; (10.51)

se tienen equivalentemente

MJMT = J ; (10.52)

MTJM = J ; (10.53)

M¡1J(M¡1)T = J ; (10.54)

(M¡1)TJM¡1 = J ; (10.55)

Ejercicio 10.6.1 Demuestre que las cuatro relaciones anteriores, que cons-tituyen cualquiera de ellas una condici¶on necesaria para que una transforma-ci¶on independiente del tiempo sea can¶onica, pueden ser escritas como:

i ) f¹!i; ¹!jg! = Jijii ) [!i ,!j ]¹! = Jij

iii ) f!i ,!jg¹! = Jijiv ) [¹!i ,¹!j ]! = Jij

Esas son las condiciones que deben cumplir necesariamente los par¶entesis deLagrange y de Poisson en las bases indicadas si la transformaci¶on es can¶onica.Esas mismas condiciones se obtendr¶an m¶as adelante si la transformaci¶oncan¶onica depende del tiempo.


10.7 Invariancia de los par¶entesis de Poisson

y de Lagrange.

Los siguientes desarrollos muestran que tanto los par¶entesis de Poisson comolos par¶entesis de Lagrange de dos cantidades din¶amicas son invariables bajouna transformaci¶on can¶onica.

a)

fF;Gg¹! = @F

@¹!iJij@G

@¹!j=@F

@!l

@!l@¹!i

Jij@G

@!m

@!m@¹!j

=

@F

@!l

@G

@!mf!l; !mg¹! = @F

@!l

@G

@!mJlm = fF;Gg! :

b)

[Ai; Aj]! =@!l@Ai

Jlmj@!m@Aj

=

@!l@¹!k

@¹!kl@Ai

Jlm@!m@¹!n

@¹!n@Aj

= [Ai; Aj]¹! :

10.8 Transformaci¶on dependiente del tiempo.

El ¶algebra puede realizarse directamente si se trata de un sistema de un gradode libertad y lo haremos antes de entrar al caso general. En la notaci¶on usualp; q tenemos

Q = Q(q; p; t); P = P (q; p; t) ; (10.56)

y las ecuaciones de movimiento son

_Q = fQ;Hg+ @Q@t

; (10.57)

_P = fP;Hg+ @P@t

; (10.58)

Imponemos como condici¶on que exista H tal que

@H

@Q= ¡fP;Hg ¡ @P

@t; (10.59)

10.8 Transformaci¶on dependiente del tiempo. 177

@H

@P= fQ;Hg+ @Q

@t; (10.60)

la condici¶on de existencia de H para H arbitrario ser¶a

@2H

@Q@P=

@2H

@P@Q; (10.61)

siendo

@

@P=

1

fQ;Pgµ@Q

@q

@

@p¡ @Q@p

@

@q

¶; (10.62)

@

@Q=

1

fQ;Pgµ¡@P@q

@

@p+@P

@p

@

@q

¶: (10.63)

Si usamos estas relaciones , y la identidad de Jacobi, la condici¶on de existenciade H (10.61) puede escribirse

ffQ;Pg; Hg+ 2@fQ;Pg@t

= 0 ;

que implica que fQ;Pg no puede depender expl¶³citamente del tiempo ni dela coordenada ni del momento, dado que H es arbitrario. En consecuenciael par¶entesis de Poisson fQ;Pg debe ser constante si la transformaci¶on escan¶onica. Si recordamos lo dicho anteriormente sobre transformaci¶on deescala, podemos tomar como condici¶on necesaria que

fQ;Pg = 1 : (10.64)

Para este caso, de un grado de libertad, la condici¶on anterior puede escribirse

@Q

@q

@P

@p¡ @Q@p

@P

@q= 1 ; (10.65)

o tambi¶en

det

Ã@Q@q

@Q@p

@P@q

@P@p

!= 1 : (10.66)

O sea, la transformaci¶on tiene determinante de la matriz jacobiano unidad.


10.9 Caso general.

Considere una transformaci¶on can¶onica general !i = !i(!; t) donde porhip¶otesis los conjuntos (H;!) y (H;!) son hamiltonianos, es decir

d

dt!i = f!i; Hg+ @!i

@t= Jij

@H

@!j: (10.67)

La condici¶on de existencia de H para H arbitrario ser¶a

@2H

@!j@!i=

@2H

@!i@!j: (10.68)

La relaci¶on anterior (10.67) puede invertirse

@H

@!i= Jji

µf!j ;Hg+ @!j

@t

¶; (10.69)

y la condici¶on de integrabilidad para H la podemos escribir

@!k@!i

@

@!k

@H

@!j=@!k@!j

@

@!k

@H

@!i; (10.70)

que si la multiplicamos por (@¹!i=@!l) (@¹!j=@!m) puede escribirse

@¹!i@!m

@

@!l

@H

@!i=@¹!i@!l

@

@!m

@H

@!i;

o sea

@¹!i@!m

@

@!lJji

µf¹!j ;Hg+ @¹!j

@t

¶=@¹!i@!l

@

@!mJji

µf¹!j; Hg+ @¹!j

@t

¶;

si en el segundo miembro cambiamos i Ã! j, y pasamos todo al lado iz-quierdo notando que Jij = ¡Jji, resultar¶a

@¹!i@!m

@

@!lJji

µf¹!j ;Hg+ @¹!j

@t

¶+@¹!j@!l

@

@!mJji

µf¹!i; Hg+ @¹!i

@t

¶= 0 ;

usando AfB;Cg = fAB;Cg ¡BfA;Cg , obtenemos

10.9 Caso general. 179

½@¹!i@!m

Jji@

@!l¹!j ; H

¾g ¡ @¹!j

@!lJji

½@¹!i@!m

;H

¾+@¹!i@!m

Jji

½¹!j;@H

@!l

¾+

@¹!i@!m

@

@!lJji@¹!j@t

+@¹!j@!l

@

@!mJji

µf¹!i; Hg+ @¹!i

@t

¶= 0 ;

que con un poco de ¶algebra puede escribirse

f[!l; !m]; Hg+ @¹!i@!m

Jji

½¹!j;@H

@!l

¾+@¹!j@!l

Jji

½¹!i;

@H

@!m

¾+@[!l; !m]

@t= 0 ;

y expandiendo y combinando el segundo con el tercer t¶ermino aparece denuevo la cantidad b¶asica, el par¶entesis de Lagrange

f[!l; !m];Hg+ [!l; !r]Jrn @2H

@!n@!m¡ @2H

@!l@!nJnr[!r; !m] +

@[!l; !m]

@t= 0 :

Ecuaci¶on que podemos escribirla en t¶erminos matriciales. Si de¯nimos

Lij = [!i; !j ] ; Hij =@2H

@!i@!j;

entonces

fL;Hg+ LJH ¡ HJL+ @L@t= 0 : (10.71)

Ahora podemos llegar al resultado ¯nal de este estudio. Como los t¶erminos dela ecuaci¶on anterior involucran derivadas de distinto orden del hamiltoniano,considerado arbitrario, ellos deben anularse independientemente. Es decir

fL;Hg = 0; @L

@t= 0 ; LJH ¡ HJL = 0 :

Las dos primeras indican que el par¶entesis de Lagrange en base ¹! es inde-pendiente de las coordenadas, momentos y del tiempo. La ¶ultima indica queL debe ser proporcional a la matriz J ( recuerde que J2 = I). La cons-tante de proporcionalidad puede ser tomada como igual a 1 recordando lasobservaciones que se hicieron al considerar transformaciones triviales de es-cala. En consecuencia, la condici¶on necesaria para que una transformaci¶onsea can¶onica es

[!i; !j ]¹! = Jij : (10.72)


10.10 Existencia de la funci¶on generadora.

La condici¶on de existencia de la funci¶on generadora est¶a indicada por algunade las cuatro relaciones (10.52) a (10.55) que pueden escribirse en notaci¶onsimpl¶ectica, pero partiremos de cero. Si consideramos una de las expresionesque de¯nen la funci¶on generadora

nXi=1

(pidqi ¡ PidQi)¡ (H ¡H)dt = dF; (10.73)

podemos imponer la condici¶on de existencia de la funci¶on generadora, es decirigualdad de derivadas cruzadas, en forma m¶as sim¶etrica. Considere entoncesla siguiente forma modi¯cada de la ¶ultima ecuaci¶on

nXi=1

(d(piqi)¡ qidpi ¡ d(PiQi) +QidPi)¡ (H ¡H)dt = dF: (10.74)

Por lo cual, si existe F , sumando las dos ¶ultimas, la siguiente expresi¶on debeser un diferencial exacto

nXi=1

(qidpi ¡ pidqi ¡QidPi + PidQi) + 2(H ¡H)dt = dG ; (10.75)

que es preferible colocar en notaci¶on simpl¶ectica. Si denotamos por ! = (q; p)y ! = (Q;P ), resulta que la ¶ultima ecuaci¶on es equivalentemente a

!iJijd!j ¡ !iJijd!j + 2(H ¡H)dt = dG : (10.76)

La condici¶on de igualdad de derivadas cruzadas para la existencia de G nosconduce a

@2G

@!l@!m=

@

@!l(¡!iJim) = @

@!m!iJil : (10.77)

Si se de¯nen la matriz jacobiano M y su inversa M¡1 de acuerdo a

Mij =@¹!i@!j

; M¡1ij =

@!i@¹!j

; (10.78)

la condici¶on (10.77) se puede escribir como

10.11 Forma bilineal invariante. 181

¡MilJim =M¡1im Jil (10.79)

o bien ¯nalmente

MTJM = J ; (10.80)

que coincide con una de las formas equivalentes de la condici¶on necesariaencontrada anteriormente, para que la transformaci¶on sea can¶onica. Es decirsi la transformaci¶on es can¶onica, la funci¶on generadora necesariamente existe.

10.11 Forma bilineal invariante.I Teorema 10.3Si ±! y 4! denotan variaciones peque~nas arbitrarias y distintas de las coor-denadas simpl¶ecticas, la forma bilineal, de¯nida por:

Jij±!i4!j (10.81)

es invariante bajo una transformaci¶on s¶³ y solo s¶³ la transformaci¶on es can¶onica.

Demostraci¶on:

² Si se realiza una transformaci¶on can¶onica, el cambio de la forma bilinealresulta ser

Jij±¹!i4¹!j = Jij @¹!i@!l

±!l@¹!j@!m

4!m = [!l; !m]¹!±!l4!m

o bienJij±¹!i4¹!j = Jlm±!l4!m;

o sea la forma bilineal es invariante.

² A la inversa, si la forma bilineal es invariante se tendr¶a[!l; !m]¹!±!l4!m = Jlm±!l4!m ;

para variaciones arbitrarias ±!l y4!m de las coordenadas simpl¶ecticaspor los cual debe tenerse

[!l; !m]¹! = Jlm;

que es la condici¶on necesaria para que la transformaci¶on sea can¶onica.


10.12 Problemas y Aplicaciones.

Ejercicio 10.12.1 Demuestre que las siguientes transformaciones son can¶onicas(Goldstein [7]):

a) Q = ln(sin(p)=q); P = q cot(p):

b) Q = arctan (®q=p) ; P = ®q2 (1 + p2=®2q2) =2

c) P = 1=q; Q = pq2:

Ejemplo 10.12.1 Considere la transformaci¶on: Q = aq® cos(¯p); P =bq® sin(¯p) con a; b; ®; ¯ constantes.

a) Determine valores de a; b; ®; ¯ de modo que la transformaci¶on seacan¶onica.

b) Utilice la transformaci¶on para reducir el problema del oscilador arm¶onico.

c) Resuelva el problema del oscilador arm¶onico utilizando esa transforma-ci¶on can¶onica.

Soluci¶on. Dado que el sistema tiene un grado de libertad, basta requerirque la matriz jacobiano tenga determinante unidad. Es decir

det

µa®q®¡1 cos(¯p) ¡a¯q® sin(¯p)b®q®¡1 sin(¯p) b¯q® cos(¯p)

¶= 1

por lo cualab®¯q2®¡1 = 1

y entonces

® =1

2; y ab¯ = 2

Si adem¶as deseamos simpli¯car el problema del oscilador arm¶onico, con ha-miltoniano dado por

H =P 2

2m+1

2kQ2 ;

considere que H = H puesto que la transformaci¶on es independiente deltiempo y entonces

H =b2q sin 2(¯p)

2m+1

2ka2q cos 2(¯p) ;

10.12 Problemas y Aplicaciones. 183

y una notoria simpli¯caci¶on se tiene si se requiere que b2 = 2m y ka2 = 2:As¶i resulta

H = q ;

con obvia soluci¶on: p = ¡t + t0, y q = q0. Adem¶as la transformaci¶on sereduce a

Q =

r2q

kcos

Ãrk

mp

!; P =

p2mq sin

Ãrk

mp

!;

de modo que el problema din¶amico dado por H ha sido resuelto

Q(t) =

r2q0kcos

Ãrk

m(t¡ t0)

!; P (t) = ¡

p2mq0 sin

Ãrk

m(t¡ t0)

!:

N

Ejemplo 10.12.2 El problema anterior puede ser considerado un caso ge-neral del siguiente problema. Dado H(q; p) deduzca una transformaci¶oncan¶onica donde el nuevo hamiltoniano sea H(Q;P ) = Q:

Soluci¶on. El problema puede reducirse a encontrar una funci¶on genera-dora que haga el trabajo. Para ello considere una funci¶on generadora F1(q;Q).Dado que p = @F1=@q el problema se ha reducido a resolver la siguiente ecua-ci¶on diferencial para F1(q;Q)

H

µ@F1@q; q

¶= Q :

N

Ejemplo 10.12.3 Considere la transformaci¶on

Q1 = q1 P1 = p1 ¡ 2p2Q2 = p2 P2 = ¡2q1 ¡ q2

Demuestre directamente que ella es can¶onica y encuentre una funci¶on ge-neradora. (Goldstein p.431 [7])


Soluci¶on. Es f¶acil establecer directamente que la matriz Jacobiano de latransformaci¶on cumple con

MTJM = J :

Sin embargo no resulta posible encontrar una funci¶on generadora de tipo 1, 2,3 ¶o 4. En realidad hay otras posibilidades para de¯nir funciones generadoras(mixtas). Para ello considere:

p1dq1 + p2dq2 ¡ (P1dQ1 + P2dQ2)¡ (H ¡H)dt = dF1 ;que puede ser escrita como

¡q1dp1 ¡ q2dp2 ¡ P1dQ1 +Q2dP2 ¡ (H ¡H)dt = dF5 ;y la funci¶on generadora adecuada es

F5(p1; p2; Q1; P2) = ¡Q1p1 + p2P2 + 2Q1p2 :N

Ejemplo 10.12.4 (Goldstein) Para la transformaci¶on puntual en un siste-ma con dos grados de libertad

Q1 = q21; Q2 = q1 + q2 ;

encuentre la transformaci¶on m¶as general para P1 y P2 , consistente con quela transformaci¶on completa sea can¶onica.

Soluci¶on. Aqu¶³

pi = @F2=@qi; Qi = @F2=@Pi ;

conF2(q1; q2; P1; P2) = q

21P1 + (q1 + q2)P2 +W (q1; q2) ;

siendo W (q1; q2) una funci¶on arbitraria de q1; q2 . Por lo tanto

P1 =p1 ¡ p22q1

+1

2q1(@W

@q2¡ @W@q1

) ;

y

P2 = p2 ¡ @W@q2

:

10.12 Problemas y Aplicaciones. 185

Note adem¶as que con la elecci¶on particular W = ¡(q1 + q2)3=3; se tiene que

H =

µp1 ¡ p22q1

¶2+ p2 ¡ (q1 + q2)2 =) H = P 21 + P2 ;

siendo Q1; Q2 ignorables.

N

Ejercicio 10.12.2 Suponga que la forma:

X @2H

@pi@pj±pi±pj ¸ 0 ;

para ±pi, ±pj arbitrarios. Demuestre que esa propiedad es conservada si seefect¶ua una transformaci¶on can¶onica (puntual) de¯nida por la siguiente fun-ci¶on generadora

F2(q; P ) =X

fi(q)Pi :

Ejercicio 10.12.3 Considere una transformaci¶on can¶onica (in¯nitesimal)generada por:

F2(q; P ) =X

qiPi ¡ dtH(q; P ) ;siendo H el hamiltoniano del sistema. Demuestre entonces que

qi(t) = Qi(t+ dt)pi(t) = Pi(t+ dt)

Ejercicio 10.12.4 Si se hacen dos transformaciones can¶onicas sucesivas,q; p! Q; P ! q; p; generadas por F1(q;Q) y G1(Q; q), demuestre que lafunci¶on generadora de la transformaci¶on can¶onica equivalente est¶a dada por:

F (q; q) = F1(q;Q) +G1(Q; q) ;

debiendo eliminarse los Qi mediante las ecuaciones

@F1(q;Q)

@Qj+@G1(Q; q)

@Qj= 0:


Ejercicio 10.12.5 Si se hacen dos transformaciones can¶onicas sucesivasq; p! Q; P ! q; p; generadas por F2(q; P ) y G2(Q; p), demuestre que lafunci¶on generadora de la transformaci¶on can¶onica equivalente est¶a dada por:

F (q; p) = F2(q; P ) +G2(Q; p)¡X

PiQi ;

debiendo eliminarse los Qi y los Pi mediante las ecuaciones

@F2(q; P )

@Pj= Qj y

@G2(Q; p)

@Qj= Pj :

Cap¶³tulo 11

M¶etodo de Hamilton Jacobi.

11.1 Soluci¶on de un problema din¶amico.

Una forma general de resolver (en principio) un problema din¶amico lo cons-tituye el m¶etodo de Hamilton Jacobi. La idea de este m¶etodo consiste enbuscar una transformaci¶on can¶onica de modo que el hamiltoniano transfor-mado sea nulo, problema reducido que tiene soluciones obvias de las ecuacio-nes de movimiento. Si nos imaginamos que dicha transformaci¶on can¶onicaes generada por una funci¶on conocida F2(q; P; t) tendremos, por condici¶on

¹H = H(q; p; t) +@F2@t

= 0 ; (11.1)

y si adem¶as consideramos (10.19) tendremos

H

µq;@F2@q; t

¶+@F2@t

= 0 ; (11.2)

la llamada ecuaci¶on diferencial de Hamilton Jacobi, que permitir¶³a determi-nar F2.Si se obtiene la transformaci¶on can¶onica, ya sea resolviendo la ecuaci¶on deHamilton Jacobi o por cualquier medio, las nuevas ecuaciones de Hamiltonser¶an

@ ¹H

@Pi= 0 = _Qi ; (11.3)

188 M¶etodo de Hamilton Jacobi.

@ ¹H

@Qi= 0 = ¡ _Pi ; (11.4)

y entonces las nuevas coordenadas y momentos son todos constantes, quedesignaremos por: Pi = ®i y Qi = ¯i: En consecuencia, la soluci¶on delproblema original se obtiene mediante la transformaci¶on inversa, es decir, de

pi =@F2(q; ®; t)

@qi; ¯i =

@F2(q; ®; t)

@®i; (11.5)

mediante un despeje algebraico de las coordenadas qi del segundo grupode ecuaciones anteriores, que quedar¶an expresadas en t¶erminos de las 2nconstantes ®i; ¯i; las cuales deben ser ¯nalmente evaluadas de acuerdo acondiciones iniciales conocidas.

11.1.1 Funci¶on principal de Hamilton.

No es en general posible, ni es necesario, encontrar una \soluci¶on general"de la ecuaci¶on de Hamilton Jacobi (11.2), problema complicado debido a sucar¶acter en general no lineal. En realidad es su¯ciente encontrar una soluci¶onque dependa de n constantes independientes, ninguna de ellas aditiva. Talsoluci¶on \completa", se denomina funci¶on principal de Hamilton S . Los nue-vos momentos conservados Pi pueden elegirse igual a esas constantes o bienfunciones independientes de ellas. En t¶erminos m¶as precisos se requiere unasoluci¶on de la ecuaci¶on de Hamilton Jacobi que dependa de las coordenadasqj y de las constantes ®i de modo que

det

µ@2S

@®i@qj

¶6= 0 :

Denotemos entonces la funci¶on principal de Hamilton por

S = S(q; ®; t) : (11.6)

Momentos iguales a las constantes de integraci¶on.

Aqu¶³, aplica lo dicho m¶as arriba. Es decir lo establecido en (11.5) :

pi =@S(q; ®; t)

@qi; ¯i =

@S(q; ®; t)

@®i; (11.7)

11.1 Soluci¶on de un problema din¶amico. 189

y la soluci¶on del problema din¶amico se obtiene invirtiendo el segundo grupode ecuaciones de transformaci¶on, despejando, si es posible, las coordenadasqi(®; ¯; t).

Demostraci¶on de la su¯ciencia.

La demostraci¶on de que una soluci¶on completa de la ecuaci¶on(11.6) junto conlas relaciones (11.7), nos conduce a la soluci¶on de las ecuaciones de Hamilton,es como sigue. Derivando la segunda de las ecuaciones (11.7) con respecto altiempo, se tiene

@2S

@®i@t+Xj

@2S

@®i@qj_qj = 0 ; (11.8)

si las primeras de las ecuaciones (11.7) se introducen en la ecuaci¶on de Ha-milton Jacobi se obtiene

H(q; p; t) +@S

@t= 0 ; (11.9)

que, si se deriva respecto de ®i observando que esas constantes entran a trav¶esde los p solamente, se obtieneX

j

@H

@pj

@2S

@qj@®i+@2S

@t@®i= 0 ; (11.10)

si restamos (11.8) y (11.10) entoncesXj

µ_qj ¡ @H

@pj

¶@2S

@qj@®i= 0 ;

sistema lineal homog¶eneo con determinante diferente de cero, por lo que seha demostrado que se cumple el primer grupo de ecuaciones de Hamilton, esdecir (la soluci¶on trivial)

_qj ¡ @H@pj

= 0 :

Ahora, para probar el otro grupo de ecuaciones de Hamilton, derivamos lasegunda de las ecuaciones (11.7) con respecto al tiempo, obteniendo

_pi =@2S

@qi@t+Xj

@2S

@qi@qj_qj ; (11.11)


que puede escribirse

_pi =@2S

@qi@t+Xj

@2S

@qi@qj

@H

@pj: (11.12)

Si la ecuaci¶on de Hamilton Jacobi se deriva respecto a qi; recordando que envirtud de (11.7), los p son funciones de los q, se obtiene

@2S

@qi@t+@H

@qi+Xj

@2S

@qi@qj

@H

@pj= 0 ; (11.13)

por lo que, comparando (11.12) con (11.13), se tiene que se cumple el segundogrupo de ecuaciones de Hamilton, es decir

¡ _pi = @H

@qi:

11.1.2 Relaci¶on con la acci¶on S.

Si recordamos la de¯nici¶on de la acci¶on

S(q(t1); q(t2); t1; t2) =

Z t2

t1

³Xpidqi ¡Hdt

´;

y la soluci¶on del problema din¶amicos mediante la funci¶on principal de Ha-milton S(q; ®) donde se cumple que

pi =@S(q; ®; t)

@qi;

¯i =@S(q; ®; t)

@®i;

0 = H +@S(q; ®; t)

@t;

entonces podemos escribir

S(q(t1); q(t2)) =

Z t2

t1

µX @S(q; ®; t)

@qidqi +

@S(q; ®; t)

@tdt

¶=

Z t2

t1

dS(q; ®; t)dt);


por lo cual la acci¶on est¶a dada por

S(q(t1); q(t2); t1; t2) = S(q(t2); ®; t2)¡ S(q(t1); ®; t1); (11.14)

debiendo eliminarse los ® mediante las ecuaciones

@S(q(t1); ®; t1)

@®i=@S(q(t2); ®; t2)

@®i:

11 .1. 3 Función principal de Hamilton.

Si el hamiltoniano no depende del tiempo en forma expl¶³cita H = H(q; p)es posible separar el tiempo de la ecuaci¶on de Hamilton Jacobi. Para ellohagamos

S(q; ®; t)) = W (q; ®)¡ ®1t ;as¶³ resulta queW , la funci¶on caracter¶³stica de Hamilton, satisface la siguienteecuaci¶on de Hamilton Jacobi independiente del tiempo

H

µq;@W

@q

¶= ®1 : (11.15)

Una soluci¶on de esta ecuaci¶on conteniendo n constantes, ninguna de ellasaditiva siendo una de ellas ®1 se denomina funci¶on caracter¶³stica de Hamilton.Considerada como una funci¶on generadora F2 con nuevos momentos igualesa las constante ®i, la transformaci¶on can¶onica que ella genera ser¶a

pi =@W (q; ®)

@qi; Qi =

@W (q; ®)

@®i; ¹H = H = ®1 ; (11.16)

y las ecuaciones de Hamilton son

_Qi =@H

@®i=

½1 si i = 10 si i > 1

;

_®i = ¡ @H@Qi

= 0 :

O sea los nuevos momenta son todos constantes y s¶olo una de las coordenadasvar¶³a y linealmente con el tiempo. Es decir

®i = constante,


Qi =

½t+ t0 si i = 1¯i constantes si i > 1,

Arbitrariedad en la elecci¶on de los nuevos momentos.

En el m¶etodo de Hamilton Jacobi los nuevos momentos son constantes debidoa que el nuevo hamiltoniano o es nulo o depende s¶olo de los momentos. Si seencuentra la funci¶on principal o la caracter¶³stica que dependa de n constantesindependientes, es posible escoger como nuevos momentos a esas constanteso cualquier conjunto de constantes independientes que podemos imaginarfunciones de las anteriores. Para el caso de la funci¶on caracter¶³stica, el nuevohamiltoniano es entonces dependiente de los momentos a trav¶es de

H

µq;@W

@q

¶= ®1(P ) ; (11.17)

y las ecuaciones de Hamilton ser¶an

_Qi =@H

@Pi=@®1@Pi

;

_Pi = ¡ @H@Qi

= 0 ;

los nuevos momenta Pi son constantes y ser¶an denotados por °i, y las nuevascoordenadas var¶³an linealmente con el tiempo

Qi(t) =@H

@Pit+Qi(0) =

@®1(°)

@°it+Qi(0) ;

Pi = °i ;

y el problema din¶amico es resuelto invirtiendo (despejando q(t))

Qi(t) =@®1(°)

@°it+Qi(0) =

@W (q; ®(°))

@°i; H = H = ®1(°) :

(11.18)


11.1.4 El oscilador arm¶onico.

A modo de ejemplo, se presenta el caso del oscilador arm¶onico con hamilto-niano dado por

H =p2

2m+1

2kq2: (11.19)

Para este caso la ecuaci¶on de Hamilton Jacobi para la funci¶on principal deHamilton est¶a dada por

1

2m

µ@S

@q

¶2+1

2kq2 +

@S

@t= 0 ;

de la cual se puede separar el tiempo introduciendo la funci¶on Caracter¶³sticaW (q; ®) que satisface

1

2m

µ@W

@q

¶2+1

2kq2 = ® ;

siendo S = W ¡ ®t. De all¶³ pueden obtenerse

² La funci¶on caracter¶³stica y la transformaci¶on que ella genera

W =pmk

(®

ksin ¡1

Ãqp2®=k

!+1

2q

r2®

k¡ q2

);

y si colocamos !2 = k=m puede escribirse

W =m!

2

(2®

m!2sin ¡1(q) + q

r2®

m!2¡ q2

); (11.20)

y la transformaci¶on que ella genera , con P = ®; es

q =

r2P

m!2sin (!Q) ; (11.21)

p =p2mP cos (!Q) ; (11.22)

H = P:


² La funci¶on principal de Hamilton. Similarmente, se encuentra

S =m!

2

(2®

m!2arcsin

Ãrm!2

2®q

!+ q

r2®

m!2¡ q2

)¡ ®t ; (11.23)

q =

r2®

m!2sin (!(Q+ t)) ;

p =p2m® cos (!(Q+ t)) ;

H = 0 :

Debemos remarcar que las transformaciones se~naladas son can¶onicasindependientemente de que se trate o no del hamiltoniano del osciladorarm¶onico, pero es en ese caso donde ellas tienen mayor utilidad.

² La acci¶on S. En el cap¶itulo (8), (9.20) se estableci¶o el resultado

S(q; q0; t) =m!

2 sin!t(q2 cos!t+ q20 cos!t¡ 2q0q);

resultando ilustrativo replantearlo utilizando la funci¶on principal y larelaci¶on (11.14). Se tiene

S =m!

2

(2®

m!2arcsin

Ãrm!2

2®q

!+ q

r2®

m!2¡ q2

)¡ ®t

¡(2®

m!2arcsin

Ãrm!2

2®q0

!+ q0

r2®

m!2¡ q20

);

debi¶endose eliminar ® mediante

arcsin

rm!2

2®q ¡ !t = arcsin

rm!2

2®q0:

El ¶algebra es tediosa pero se obtiene

2®

m!2= q20 +

(q ¡ (cos!t) q0)2sin2 !t

;

y de all¶i como era de esperar

S(q; q0; t) =m!

2 sin!t

¡q2 cos!t+ q20 cos!t¡ 2qq0

¢:

11.2 Variables de Acci¶on Angular. 195

11.2 Variables de Acci¶on Angular.

11.2.1 Sistemas peri¶odicos con un grado de libertad.

Considere un sistema descrito por las variables can¶onicas q; p que recobransus valores cada vez que transcurre un tiempo llamado periodo T del sistema.Supondremos adem¶as que se trata de un sistema peri¶odico aut¶onomo (conhamiltoniano independiente del tiempo).La ecuaci¶on de Hamilton Jacobi independiente del tiempo para la funci¶oncaracter¶³stica W es

H

µ@W

@q; q

¶= ® :

Como se explic¶o, el nuevo momento P puede elegirse como alguna funci¶onde ®: Se ver¶a la conveniencia de de¯nir como nuevo momento, la llamadavariable de acci¶on J

J =

Ip(q; ®)dq ; (11.24)

siendo la integral realizada sobre un periodo del movimiento. As¶³ entonces® = H = ®(J) = H(J): La correspondiente nueva coordenada o variableangular ser¶a denotada por £: La transformaci¶on generada por la funci¶oncaracter¶³stica W ser¶a

p =@W (q; J)

@q; (11.25)

£ =@W (q; J)

@J:

Las ecuaciones de Hamilton ser¶an

_J = ¡@H@£

= ¡@H(J)@£

= 0 ;

_£ =@H

@J=dH(J)

dJ= constante : (11.26)

Es decir J es constante y £ varia linealmente con el tiempo. Lo importantedel formalismo es que en el cambio de tiempo de un periodo T , el cambio en£ es la unidad. En efecto, considere


4£ =I@£

@qdq =

I@

@q

@W (q; J)

@Jdq ;

o sea

4£ =I

@

@J

@W (q; J)

@qdq =

@

@J

Ipdq = 1 ;

pero de acuerdo a (11.26) dicho cambio es

4£ = H 0(J)T = 1 :

Es decir, el per¶³odo del movimiento est¶a dado en t¶erminos de una derivadadel hamiltoniano

T =1

H 0(J): (11.27)

Ejemplo 11.2.1 Determine las variables de acci¶on angular para el caso par-ticular del oscilador arm¶onico, con hamiltoniano H = p2=2m+ kq2=2 = ®:

Soluci¶on. Tendremos

J =

Ipdq =

I§p2m®¡mkq2dq ;

como los puntos de retorno (donde p = 0) son q1;2 = §p2®=k, la integralpuede reducirse a

J = 4

q1Z0

p2m®¡mkq2dq ;

que puede calcularse

J = 2¼®

!; con ! =

rk

m;

de all¶³, resultar¶a

H =J!

2¼=) T =

1

H 0(J)=2¼

!:

N

11.3 Teor¶³a de perturbaci¶on. 197

11.3 Teor¶³a de perturbaci¶on.

11.3.1 Introducci¶on.

En la soluci¶on del problema de los dos cuerpos, se demuestra que cada unode los cuerpos describe una elipse (m¶as generalmente una c¶onica) en tornode su centro de masas, o tambi¶en, que cada uno describe una elipse en tornodel otro. Cuando un tercer cuerpo es involucrado, ninguno de los cuerposdescribe una c¶onica. Es decir, la ecuaci¶on de la c¶onica no es m¶as una soluci¶onde las ecuaciones de movimiento. Sin embargo, es conocido desde muchotiempo que las ¶orbitas de los planetas son aproximadamente elipses, a pesarde las perturbaciones que se ejercen entre s¶³. Las constantes que de¯nen laselipses no son exactamente las mismas cada a~no, pero var¶³an poco. As¶³, en elproblema de los tres cuerpos, en particular el sistema Sol, Tierra, Luna, fueanalizado considerando que las constantes del problema de dos cuerpos, sonvariables en el problema de los tres cuerpos. Fue Lagrange quien estableci¶olas ideas b¶asicas del m¶etodo que se describe a continuaci¶on, sin embargo sum¶etodo tiene limitaciones en especial cuando es aplicado al caso de la Luna.

11.3.2 El m¶etodo de transformaciones can¶onicas.

Supongamos que un problema din¶amico con hamiltonianoH0 ha sido resueltoutilizando el m¶etodo de la funci¶on principal de Hamilton S0: Como se sabe,los nuevos momentos ® y coordenadas ¯ son constantes. Si el hamiltonianotiene un t¶ermino adicional, que llamaremos perturbaci¶on, el siguiente m¶etodopermite aproximar la soluci¶on. La transformaci¶on generada por S0 siguesiendo can¶onica aunque el hamiltoniano se altere. Sin embargo no m¶as ser¶an® y ¯ constantes. Su evoluci¶on temporal la dar¶a la perturbaci¶on 4H.La funci¶on S0 genera la transformaci¶on

S0 : (p; q)! (®; ¯) :

Llamaremos ®; ¯ los nuevos momento y coordenadas, ahora posiblementevariables. El nuevo hamiltoniano ser¶a

H = H0 +4H + @S0@t

;

pero H0 + @S0=@t = 0; por lo tanto


H = 4H(®; ¯; t) ;de donde se deduce que las ecuaciones din¶amicas que satisfacen ®; ¯ son

d®idt

= ¡@4H@¯i

;d¯idt=@4H@®i

:

La primera aplicaci¶on de importancia de este m¶etodo, fue llevada a cabopor Charles Delaunay en 1846 para resolver el problema del movimientoLunar, trabajo que le signi¯c¶o la publicaci¶on de dos vol¶umenes de alrededorde 900 p¶aginas cada uno, en los a~nos 1860 y 1867. Para tener una idea,Delaunay llev¶o a cabo 505 transformaciones can¶onicas, eligiendo t¶erminosde la perturbaci¶on a ser eliminados, de acuerdo a su intuici¶on respecto a laimportancia de cada uno. M¶as a¶un, retuvo 461 t¶erminos de la expansi¶on enserie de Fourier de la perturbaci¶on, conservando cada n¶umero racional, siendoalgunos coe¯cientes polinomios en los varios par¶ametros peque~nos, algunosde los cuales ocupaban varias p¶aginas al ser escritos. Trabajo que no ha sidof¶acil de reproducir ni siquiera usando computadores modernos. ([3],[4])

11.4 El p¶endulo simple.

Estudiaremos el p¶endulo simple cuyo hamiltoniano escribiremos como

H =p2

2ml2+mgl(1¡ cos(Á)) ;

primero en la forma usual y luego mediante teor¶³a de perturbaci¶on. Como

_Á =p

ml2;

E =1

2ml2( _Á)2 +mgl(1¡ cos(Á)) ;

con puntos de retorno satisfaciendo

1¡ cos(Á1) =E

mgl;

por lo que el periodo estar¶a dado por

11.4 El p¶endulo simple. 199

T = 4

Á1Z0

dÁ_Á= 4

Á1Z0

dÁq2Eml2

¡ 2gl(1¡ cos(Á))

;

que puede ser reducido a una funci¶on el¶³ptica completa K(k):

T = 4

sl

g

¼2Z0

dÁq1¡ E

2mglsin2(Á)

;

considerando que la funci¶on el¶³ptica K(k) tiene la siguiente expansi¶on para(k2 < 1) ;

K(k) =

¼2Z0

dÁp1¡ k2 sin2(Á)

=¼

2+

1

2£ 1!k2¼

4+

1 ¢ 322 £ 2!k

46¼

8+ ¢ ¢ ¢

se obtiene que el periodo del p¶endulo simple depende de la energ¶³a (o de laamplitud), a trav¶es de

T = 4

sl

g

¼

2

µ1 +

1

2£ 1!E

2mgl

1

2+

1 ¢ 322 £ 2!(

E

2mgl)26

4+ ¢ ¢ ¢

¶:

11.4.1 Teor¶³a de perturbaci¶on.

El hamiltoniano del p¶endulo simple se puede expandir, para oscilaciones nomuy grandes, en la forma

H =p2

2ml2+1

2mglÁ2 ¡ 1

4!mglÁ4 + ¢ ¢ ¢ ;

es decir como un oscilador arm¶onico m¶as una perturbaci¶on

4H = ¡ 14!mglÁ4 :

Si elegimos la funci¶on principal asociada a H0 tal que el nuevo momento esla variable de acci¶on J , y llamando I = ml2; !0 =

pl=g, tenemos


S = W ¡ !0J2¼t ;

Á =

rJ

¼I!0sin(!0t+ 2¼¯) ;

p =

rJI!0¼

cos(!0t+ 2¼¯) :

Naturalmente ahora el nuevo momento o acci¶on J y la nueva coordenada¯ no son necesariamente constantes. Expresando 4H en t¶erminos de estasvariables se obtiene

4H = ¡ 14!mglÁ4 = ¡ 1

24¼2J2

ml2sin4(!0t+ 2¼¯) ;

resultando las siguientes ecuaciones (de Hamilton) de movimiento para J; ¯

d¯

dt=@4H@J

= ¡ 1

12¼2J

ml2sin4(!0t+ 2¼¯) ;

dJ

dt= ¡@4H

@¯=1

3¼

J2

ml2sin3(!0t+ 2¼¯) cos(!0t+ 2¼¯) :

Estas ecuaciones son exactas pero complicadas. La teor¶³a de perturbaci¶oncoloca en el lado derecho los valores no perturbados: J > 0; ¯ = 0; porsimplicidad. As¶³, en primer orden

d¯1dt

= ¡ 1

12¼2J0ml2

sin4(!0t) ;

dJ1dt

=1

3¼

J20ml2

sin3(!0t) cos(!0t) ;

derivadas que son, en primer orden, peri¶odicas. Sus valores promedios en unperiodo no perturbado (asociado a !0) son¿

d¯1dt

À= ¡ 1

32¼2J0ml2

;

¿dJ1dt

À= 0 ;

de modo que si aproximamos m¶as a¶un

¯1 = ¡1

32¼2J0ml2

t; J1 = J0 ;

11.5 Invariantes Adiab¶aticos. 201

se obtiene como soluci¶on a este orden

Á =

rJ0¼I!0

sin

µ!0t+ 2¼

µ¡ J0t

32¼2ml2

¶¶;

de modo que el cambio en la frecuencia respecto al p¶endulo no perturbadoresulta ser

! ¡ !0!0

= ¡ E

8mgl;

que corresponde a la misma correcci¶on encontrada en primer orden usandofunciones el¶³pticas

T = 4

sl

g

¼

2

µ1 +

E

8mgl

¶:

11.5 Invariantes Adiab¶aticos.

Consideremos un sistema peri¶odico con un grado de libertad descrito por lasvariables de acci¶on angular J , £: Imaginemos adem¶as que el hamiltonianodepende de un par¶ametro a el cual, de pronto, se vuelve dependiente deltiempo, pero que su variaci¶on es muy peque~na durante cada periodo noperturbado. Es lo que llamaremos una variaci¶on adiab¶atica del par¶ametro.As¶³ tenemos

H = H(J; a) : (11.28)

La transformaci¶on

W0 : (p; q)! (J;£) ; (11.29)

generada porW sigue siendo can¶onica aunque el par¶ametro a sea funci¶on deltiempo. Sin embargo si la transformaci¶on contiene el par¶ametro, el nuevohamiltoniano ser¶a distinto y posiblemente J y £ variar¶an de otra forma. Porrazones de la periodicidad en £; conviene usar como funci¶on generadora dela transformaci¶on a la funci¶on (tipo F1)

W ¤(q;£; a) = W (q; J; a)¡£J ; (11.30)

de modo que el nuevo hamiltoniano ser¶a


H = H(J; a) +@W ¤

@t= H(J; a) +

da

dt

@W ¤

@a; (11.31)

y las correspondientes ecuaciones de Hamilton ser¶an

dJ

dt= ¡@H

@£= ¡da

dt

@

@£

@W ¤

@a; (11.32)

d£

dt=@H

@J=@H

@J+da

dt

@

@J

@W ¤

@a; (11.33)

que son exactas. Si recordamos queW =Rpdq, vemos que su variaci¶on en un

periodo no perturbado es justamente J: El cambio de la variable angular enel periodo lo podemos tomar 1, de manera que W ¤ no cambia en el periodo.Se concluye entonces que W ¤ es una funci¶on peri¶odica para cambios enterosde £; as¶³ tambi¶en lo ser¶an sus derivadas, por lo cual podemos expandir

@W ¤(J; a;£)@a

=1Xn=0

An(J; a)e2i¼n£ ;

@

@£

@W ¤(J; a;£)@a

=

1Xn=1

2i¼nAn(J; a)e2i¼n£ ;

de manera que los valores promedios en un periodo no perturbado ser¶an

D_JE= ¡ 1

T

Ida

dt

@

@£

@W ¤

@adt

' ¡ 1T

da

dt

I@

@£

@W ¤

@adt+O

µd2a

dt2

¶= O

µd2a

dt2

¶;

lo que de¯ne a J como un invariante adiab¶atico.

Ejemplo del oscilador arm¶onico.

Para el oscilador arm¶onico (caso acad¶emico) imaginamos que de pronto ! setorna variable en forma adiab¶atica. El hamiltoniano es

11.5 Invariantes Adiab¶aticos. 203

H =p2

2m+1

2kq2 =

p2

2m+1

2m!2q2; !2 =

k

m;

las ecuaciones que satisfacen J;£ son (demu¶estrelo)

_J = ¡ _!!J cos(4¼£);

_£ =!

2¼+

_!

4¼!sin(4¼£);

que son exactas, y pueden aproximarse en la forma indicada en la secci¶onanterior.


Cap¶³tulo 12

Sistemas continuos.

12.1 Introducci¶on.

En el cap¶³tulo anterior se explic¶o el m¶etodo para analizar oscilaciones pe-que~nas de un sistema de un n¶umero ¯nito de grados de libertad. Cuando eln¶umero de grados de libertad se hace muy grande, aunque en principio nohabr¶³a di¯cultades, la resoluci¶on de las ecuaciones de valores propios se tornapoco pr¶actica. Sin embargo hay casos, en que debido a ciertas simetr¶³as, elproblema puede resolverse para un n¶umero arbitrario de grados de libertad.Pondremos atenci¶on en algunos casos particulares de soluci¶on simple y luegogeneralizaremos los resultados a sistemas con in¯nitos grados de libertad, lossistemas cont¶³nuos.

12.2 Oscilaciones longitudinales.

Considere un sistema unidimensional constituido por un conjunto deN part¶³culasde igual masa que m que est¶an unidas en l¶³nea recta por resortes de cons-tante el¶astica K; y largo natural a: Si denotamos por qi las desviacioneslongitudinales en torno a las posiciones de equilibrio, ver ¯gura (12.1).

El lagrangiano del sistema es

L =Xi

1

2m _q2i ¡

Xi

1

2K(qi ¡ qi¡1)2 ;

206 Sistemas continuos.

qi

..... .....

m m m


de donde se deducen las ecuaciones de movimiento para cada masa

Äqj =K

m(qj+1 + qj¡1 ¡ 2qj); j = 1; 2; : : : ; N:

12.2.1 Extremos ¯jos (a).

Para el caso en que las part¶³culas de los extremos est¶an ¯jas tomaremosq0; qN+1 = 0: Podemos adem¶as suponer dependencias temporales de la forma

qj(t) = Qjei ! t

resultando para las constante Qj las ecuaciones lineales

2(Qj+1 +Qj¡1 ¡ 2Qj) = ¡!2Qj ; con 2 = K

m; (12.1)

2Qj¡1 + (!2 ¡ 22)Qj + 2Qj+1 = 0 (12.2)

un sistema de ecuaciones homog¶eneo que admite soluci¶on distinta de la trivialsolo s¶³ el determinante de la matriz de los coe¯cientes es cero. Si hacemospara simpli¯car

¸ =22 ¡ !22

;

tenemos que¡Qj¡1 + ¸Qj ¡Qj+1 = 0

el sistema de ecuaciones puede escribirse

¸Q1 ¡Q2+ = 0

¡Q1 + ¸Q2 ¡Q3 = 0...

¡Qj¡1 + ¸Qj ¡Qj+1 = 0

¡QN¡1 + ¸QN = 0;

12.2 Oscilaciones longitudinales. 207

es decir los ¸ satisfacen

det

2666664¸ ¡1 0 ¢ ¢ ¢ 0¡1 ¸ ¡1 0

0 ¡1 ¸...

.... . . ¡1

0 ¢ ¢ ¢ 0 ¡1 ¸

3777775 = 0:

Si llamamos

DN = det

2666664¸ ¡1 0 ¢ ¢ ¢ 0¡1 ¸ ¡1 0

0 ¡1 ¸ ¡1 ...... ¡1 . . . ¡10 ¢ ¢ ¢ 0 ¡1 ¸

3777775 ;podemos obtener una relaci¶on de recurrencia si desarrollamos el determinantede acuerdo a

DN = ¸DN¡1 + det

26664¡1 ¡1 0

0 ¸ ¡1 ...... ¡1 . . . ¡10 0 ¡1 ¸

37775= ¸DN¡1 ¡DN¡2;

siendo

D1 = ¸;

D2 = ¸2 ¡ 1:

La relaci¶on de recurrencia puede resolverse suponiendo

DN = ApN ;

que conduce a

pN = ¸pN¡1 ¡ pN¡2;p2 ¡ ¸p+ 1 = 0;


de donde

p =¸

2§ is1¡ ¸

2

4

= e§iÁ;

con

cosÁ =¸

2:

de modo que

DN = A1eiNÁ +A2e

¡iNÁ:

Si consideramos los valores para D1 = ¸;y D2 = ¸2 ¡ 1 se obtiene

¸ = 2 cosÁ = A1eiÁ +A2e

¡iÁ;

¸2 ¡ 1 = 4 cos2 Á¡ 1 = A1e2iÁ +A2e¡2iÁ:

que puede resolverse para A1 y A2 obteniendo

2 cos ÁeiÁ = A1e2iÁ +A2;

4 cos2 Á¡ 1 = A1e2iÁ +A2e

¡2iÁ:

A2 = ¡ e¡iÁ

2i sinÁ

A1 =eiÁ

2i sinÁ;

y ¯nalmente

DN =eiÁ

2i sinÁeiNÁ ¡ e¡iÁ

2i sinÁe¡iNÁ

=sin(N + 1)Á

sinÁ:

Entonces, DN = 0 implica

Á =n¼

N + 1con n = 1; 2; :::; N:

12.2 Oscilaciones longitudinales. 209

Las frecuencias propias resultan entonces que satisfacen

22 ¡ !22

= ¸ = 2 cosn¼

N + 1;

entonces

!2 = 22(1¡ cos n¼

N + 1)

= 42 sin2n¼

2(N + 1);

y ¯nalmente

!n = 2 sinn¼

2(N + 1)con n = 1; 2; :::;N:

12.2.2 Condiciones peri¶odicas (b).

Aqu¶³ tomaremos q0 = qN+1, q¡1 = qN de modo que tendremos

¡QN + ¸Q0 ¡Q1 = 0

¡Q0 + ¸Q1 ¡Q2 = 0

¡Q1 + ¸Q2 ¡Q3 = 0...

¡Qj¡1 + ¸Qj ¡Qj+1 = 0

¡QN¡1 + ¸QN ¡Q0 = 0

es decir las frecuencias admisibles satisfacen

det

2666664¸ ¡1 ¢ ¢ ¢ ¡1¡1 ¸ ¡1 0

0 ¡1 ¸ ¡1 ......

. . . ¡1¡1 0 ¢ ¢ ¢ ¡1 ¸

3777775N+1

= 0;

que es m¶as di¯cil de resolver.


12.2.3 Soluci¶on alternativa

Una alternativa sin embargo es encontrar soluciones no triviales de (12.1).Para ello suponga con Á por determinar

Qj = Cei (j Á):

Si se reemplaza en el sistema de ecuaciones se tiene que

2ei (j¡1)Á + (!2 ¡ 22)ei (j Á) + 2ei (j+1)Á = 0;

de donde se obtiene

2e¡i Á + (!2 ¡ 22) + 2ei Á = 0;

o sea

!2 ¡ 22 + 22 cosÁ = 0entonces

! = 2 sin

µÁ

2

¶:

y

Qj = Cei (j Á):

Debe adem¶as tenerse que

Q0 = QN+1

o sea

ei (N+1)Á = 1;

por lo cual, las soluciones admisibles Á son

Á =2¼n

N + 1; con n = 0; 1; 2; :::; N:

luego

!n = 2 sin

µ¼n

N + 1

¶; con n = 1; 2; :::; N:

12.3 Oscilaciones transversales. 211

yi

T

T

ii

i

i+1

xiii

Figura 12.2:

12.3 Oscilaciones transversales.

Consideremos ahora part¶³culas de igual masa m unidas por resortes sin ma-sa de la misma longitud natural y constante el¶astica k de modo que en lasituaci¶on de equilibrio ellas est¶an en l¶³nea recta, y los resortes sometidos auna tensi¶on igual ¿ : Si las part¶³culas se desplazan poco lateralmente, estar¶ansometidos a fuerzas de modo que la segunda ley de Newton conduce a

mÄyi = Ti+i sin µi+1 ¡ Ti sin µi;mÄxi = Ti+i cos µi+1 ¡ Ti cos µi

si no hay desplazamientos longitudinales y los transversales son peque~nos,podemos aproximar, para ¶angulos peque~nos

mÄyi = Ti+i sin µi+1 ¡ Ti sin µi;0 = Ti+i ¡ Ti

de modo que

Ti = ¿ ;

mÄyi = ¿ (sin µi+1 ¡ sin µi)¼ ¿ (

yi+1 ¡ yia

¡ yi ¡ yi¡1a

)

de modo que tenemos como ecuaci¶on de movimiento aproximada

Äyi =¿

ma(yi+1 + yi¡1 ¡ 2yi):


Si los extremos est¶an ¯jos, tomaremos y0 = yN+1 = 0. Adem¶as si suponemospara los modos normales de oscilaci¶on

yj = Cjei!t;

tenemos que

(2¡ ma!2

¿)Cj ¡ Cj+1 ¡ Cj¡1 = 0:

Si llamamos ahora

¸ = 2¡ ma!2

¿;

tenemos el mismo problema, es decir un sistema de la forma

¡Cj¡1 + ¸Cj ¡ Cj+1 = 0;que m¶as expl¶³citamente lee

¸C1 ¡ C2 = 0

¡C1 + ¸C2 ¡ C3 = 0...

¡Cj¡1 + ¸Cj ¡ Cj+1 = 0

¡CN¡1 + ¸CN = 0

de modo que

det

2666664¸ ¡1 0 ¢ ¢ ¢ 0¡1 ¸ ¡1 0

0 ¡1 ¸...

.... . . ¡1

0 ¢ ¢ ¢ 0 ¡1 ¸

3777775 =sin(N + 1)Á

sinÁ= 0;

con cosÁ = ¸=2 de modo que

¸ = 2 cosn¼

N + 1= 2¡ ma!

2

¿;

de modo que

!2n =¿

m2(1¡ cos n¼

N + 1);

!n =

r4¿

msin

n¼

2(N + 1):

12.4 L¶³mite continuo. 213

12.4 L¶³mite continuo.

Deseamos estudiar lo que sucede si hacemos N ! 1, a ! 0, y las masastender a cero de modo que

m

a! ¾;

siendo ¾ una constante llamada la densidad lineal de masa. La ecuaci¶on demovimiento

Äyi =¿

ma(yi+1 + yi¡1 ¡ 2yi);

pasar¶a a ser dependiente de una variable continua en la posici¶on

yi ! y(x; t);

siendo

yi+1 ! y(x+ a; t) = y(x; t) +@y(x; t)

@xa+

1

2

@2y(x; t)

@x2a2;

yi¡1 ! y(x¡ a; t) = y(x; t)¡ @y(x; t)@x

a+1

2

@2y(x; t)

@x2a2;

de modo que obtenemos

@2

@t2y(x; t) =

¿

ma

@2y(x; t)

@x2a2

=a¿

m

@2y(x; t)

@x2;

y ¯nalmente, la llamada ecuaci¶on de onda para la cuerda el¶astica con masauniforme:

@2y(x; t)

@t2¡ ¿

¾

@2y(x; t)

@x2= 0:

12.5 Soluciones de la ecuaci¶on de onda.

La ¶ultima ecuaci¶on puede escribirse

@2y(x; t)

@t2¡ v2@

2y(x; t)

@x2= 0: (12.3)


I Teorema 12.1Las soluciones de la ecuaci¶on de onda (12.3) son

y(x; t) = F (x+ vt) +G(x¡ vt);con F y G funciones arbitrarias de una variable.

Demostracion 1Si cambiamos a variables ³ = x+ vt, Ã = x¡ vt podemos escribir

@

@x=

@³

@x

@

@³+@Ã

@x

@

@Ã

=@

@³+@

@Ã@

@t=

@³

@t

@

@³+@Ã

@t

@

@Ã

= v@

@³¡ v @

@Ã;

y tambi¶en

@2

@x2=

@2

@³2+@2

@Ã2+ 2

@2

@³@Ã

@2

@t2= v2

@2

@³2+ v2

@2

@Ã2¡ 2v2 @2

@³@Ã;

de modo que@2

@t2¡ v2 @

2

@x2= 4v2

@2

@³@Ã:

Entonces, en estas variables, la ecuaci¶on de onda es

@2y

@³@Ã= 0;

que es trivial integrar obteniendo

@y

@³= f(³);

y

y = F (³) +G(Ã)

= F (x+ vt) +G(x¡ vt):

12.5 Soluciones de la ecuaci¶on de onda. 215

Las soluciones anteriores corresponden a una forma invariable que se pro-paga hacia la derecha G(x¡ vt) o hacia la izquierda F (x+ vt) con velocidadconstante v =

p¿=¾: Sin embargo en una cuerda, debemos hacer considera-

ciones adicionales pues debemos satisfacer por ejemplo que y(0; t) = y(L; t) =0 en el caso de extremos ¯jos.

12.5.1 Condiciones de frontera.

Supongamos que queremos resolver la ecuaci¶on de onda sujeta a las condi-ciones anteriores de extremos ¯jos y(0; t) = y(L; t) = 0 .

M¶etodo de separaci¶on de variables.

Suponga una soluci¶on de la forma

y(x; t) = X(x)G(t);

entonces si se sustituye se obtiene

X(x)G00(t)¡ v2X 00(x)G(t) = 0

o bienG00(t)G(t)

= v2X 00(x)X(x)

;

de modo que cualquiera de los lados no puede ser funci¶on ni de x ni de t, porlo tanto

G00(t)G(t)

= v2X 00(x)X(x)

= ¡!2;

de donde el signo se ha elegido de modo de tener soluciones oscilatorias

G(t) = Ce§i!t

yX(x) = De§ikx

donde hemos llamadok =

!

v:

Para satisfacer las condiciones de frontera debemos tomar

X(x) = D sin kx;


con

sin kL = 0;

de modo que hay un n¶umero discreto de valores de k permitidos, es decir

k =n¼

Lcon n = 1; 2; 3 ¢ ¢ ¢

de ese modo, la soluci¶on general, que satisface las condiciones de frontera es

y(x; t) =1Xn=1

(D+n e

in¼Lvt +D¡

n e¡in¼

Lvt) sin

n¼x

L:

12.5.2 Condiciones iniciales.

La determinaci¶on completa de los coe¯cientesDn requiere de conocer la formainicial del hilo y su velocidad inicial, es decir supondremos conocidos

y(x; 0) = F (x);

@y(x; t)

@t

¯t=0

= V (x):

Considerando esto se obtiene

F (x) =

1Xn=1

(D+n +D

¡n ) sin

n¼x

L;

V (x) =

1Xn=1

in¼

Lv(D+

n ¡D¡n ) sin

n¼x

L:

Pero las funciones sinn¼x=L son ortogonales en el intervalo (0; L) de modoque podemos despejar

D+n +D

¡n =

2

L

Z L

0

F (x) sinn¼x

Ldx

D+n ¡D¡

n = ¡ 2i

n¼v

Z L

0

V (x) sinn¼x

Ldx;

12.5 Soluciones de la ecuaci¶on de onda. 217

de donde

D+n =

1

L

Z L

0

F (x) sinn¼x

Ldx¡ i

n¼v

Z L

0

V (x) sinn¼x

Ldx

=1

LFn ¡ i

n¼vVn

D¡n =

1

L

Z L

0

F (x) sinn¼x

Ldx+

i

n¼v

Z L

0

V (x) sinn¼x

Ldx

=1

LFn +

i

n¼vVn;

donde hemos llamado

Fn =

Z L

0

F (x) sinn¼x

Ldx

Vn =

Z L

0

V (x) sinn¼x

Ldx:

As¶³ ¯nalmente la soluci¶on es

y(x; t) =1Xn=1

((1

LFn ¡ i

n¼vVn)e

in¼Lvt +

(1

LFn +

i

n¼vVn)e

¡in¼Lvt) sin

n¼x

L;

que se reduce a

y(x; t) =2

L

1Xn=1

(Fn cosn¼

Lvt+

L

n¼vVn sin

n¼

Lvt) sin

n¼x

L: (12.4)

Caso particular, la cuerda parte del reposo.

Para este caso, lo anterior se reduce a

y(x; t) =2

L

1Xn=1

Fn cosn¼vt

Lsinn¼x

L;

Fn =

Z L

0

F (x) sinn¼x

Ldx


Ejercicio 12.5.1 Demuestre que el resultado anterior puede escribirse:

y(x; t) =1

L

1Xn=1

Fn

³sin³n¼L(x+ vt)

´+ sin

³n¼L(x¡ vt)

´´o sea, tal como se establece en el teorema.

12.6 M¶etodo de las series de Fourier.

Todas las funciones que se anulan en x = 0, x = L pueden expandirse enserie de Fourier como

f(x) =

1Xn=1

bn sinn¼x

L

donde

bn =2

L

Z L

0

f(x0) sinn¼x0

Ldx0

de modo que la soluci¶on de la ecuaci¶on de onda para la cuerda con extremos¯jos puede expandirse as¶³

y(x; t) =

1Xn=1

bn(t) sinn¼x

L;

que al sustituir en la ecuaci¶on de onda da

1Xn=1

b00n(t) sinn¼x

L+ v2

1Xn=1

n2¼2

L2bn(t) sin

n¼x

L= 0;

de donde por la independencia de las funciones base se obtiene

b00n(t) +v2n2¼2

L2bn(t) = 0;

con solucionesbn(t) = An cos

vn¼

Lt+Bn sin

vn¼

Lt

de modo que

y(x; t) =

1Xn=1

³An cos

vn¼

Lt+Bn sin

vn¼

Lt´sinn¼x

L:

12.7 Consideraciones adicionales. Soluci¶on de D'Alembert. 219

Para tomar en cuenta las condiciones iniciales considere

y(x; 0) = F (x) =1Xn=1

An sinn¼x

L

@y(x; t)

@t

¯t=0

= V (x) =

1Xn=1

vn¼

LBn sin

n¼x

L;

de donde

An =2

L

Z L

0

F (x) sinn¼x

Ldx

Bn =2

vn¼

Z L

0

V (x) sinn¼x

Ldx

o sea se ha obtenido el mismo resultado de (12.4).

12.7 Consideraciones adicionales. Soluci¶on de

D'Alembert.

Podemos insistir en tratar de satisfacer las condicionesiniciales y de frontera en una cuerda con extremos ¯jos usando la forma

m¶as generaly(x; t) = F1(x+ vt) + F2(x¡ vt):

12.7.1 Condiciones iniciales.

Cuerda parte del reposo.

Para tener un problema m¶as simples, imaginemos que la cuerda parte delreposo. Entonces debemos imponer

y(x; 0) = F (x) = F1(x) + F2(x);

@y(x; t)

@t

¯t=0

= 0 = vF 01(x)¡ vF 02(x);y(0; t) = F1(vt) + F2(¡vt) = 0;y(L; t) = F1(L+ vt) + F2(L¡ vt) = 0:


La tercera impone queF2(x) = ¡F1(¡x);

de modo que tenemos que satisfacer

F (x) = F1(x)¡ F1(¡x);0 = vF 01(x)¡ vF 01(¡x);

y(L; t) = F1(L+ vt)¡ F1(¡L+ vt) = 0:

si la segunda se integra respecto x se obtiene

0 = F1(x) + F1(¡x)¡ 2F1(0)F (x) = F1(x)¡ F1(¡x);

de donde despejamos

F1(x) = F1(0) +1

2F (x);

F1(¡x) = F1(0) +1

2(¡F (x)) :

ambas son compatibles si

F (x) = ¡F (¡x)

lo cual requiere extender el rango de de¯nici¶on de F de modo que ella seaimpar. Luego la soluci¶on puede escribirse

y(x; t) = F1(x+ vt)¡ F1(¡(x¡ vt))=

1

2(F (x+ vt) + F (x¡ vt)) :

La ¶ultima condici¶on es y(L; t) = 0 de modo que

F (L+ vt) + F (L¡ vt) = 0;

entonces

F (x) = ¡F (¡x)F (L+ x) = ¡F (L¡ x)

12.7 Consideraciones adicionales. Soluci¶on de D'Alembert. 221

o sea basta extender el rango de de¯nici¶on de F de modo que sea impar yperi¶odica con periodo 2L. As¶³ la soluci¶on queda expresada en t¶erminos dela forma inicial de la cuerda F (x), extendida peri¶odicamente a una funci¶onimpar de periodo 2L:

y(x; t) =1

2(F (x+ vt) + F (x¡ vt)) :

De este modo, en un punto ¯jo x la oscilaci¶on es peri¶odica con periodo Tdado por

vT = 2L;

o sea

T =2L

v:

Caso general, soluci¶on de D'Alembert.

Ahora las condiciones iniciales y de contorno son las siguientes

y(x; 0) = F (x) = F1(x) + F2(x);

@y(x; t)

@t

¯t=0

= V (x) = vF 01(x)¡ vF 02(x);y(0; t) = F1(vt) + F2(¡vt) = 0;y(L; t) = F1(L+ vt) + F2(L¡ vt) = 0:

La tercera impone queF2(x) = ¡F1(¡x);

y la cuartaF1(L+ x) = ¡F2(L¡ x);

Adem¶as tenemos que satisfacer

F (x) = F1(x)¡ F1(¡x);V (x) = vF 01(x)¡ vF 01(¡x);

si la segunda se integra respecto x se obtieneZ x

0

V (x)dx = vF1(x) + vF1(¡x)¡ 2vF1(0)vF (x) = vF1(x)¡ vF1(¡x);


de donde despejamos

F1(x) = F1(0) +1

2F (x) +

1

2v

Z x

0

V (x)dx;

F1(¡x) = F1(0)¡ 12F (x) +

1

2v

Z x

0

V (x)dx:

ambas son compatibles si

F (x) = ¡F (¡x);y

V (x) = ¡V (¡x);lo cual requiere extender el rango de de¯nici¶on de F y V de modo que ellassean impares. Luego la soluci¶on puede escribirse

y(x; t) = F1(x+ vt)¡ F1(¡(x¡ vt))=

1

2F (x+ vt) +

1

2v

Z x+vt

0

V (x)dx¡

(¡12F (x¡ vt) + 1

2v

Z x¡vt

0

V (x)dx)

=1

2(F (x+ vt) + F (x¡ vt)) + 1

2v

Z x+vt

x¡vtV (x)dx:

Donde las condiciones de contorno y(L; t) = 0, y(0; t) = 0 se satisfacen si

F (x) = ¡F (¡x);V (x) = ¡V (¡x);

y son de periodo 2L:

12.8 Caso general.

Para el caso general donde la forma inicial de la cuerda y su velocidad sondadas, la soluci¶on la escribimos

y(x; t) =

1Xn=1

³An cos

vn¼

Lt sin

n¼x

L+Bn sin

vn¼

Lt sin

n¼x

L

´:

12.9 Caso general.

223

siendo

An =2

L

Z L

0

F (x) sinn¼x

Ldx

Bn =2

vn¼

Z L

0

V (x) sinn¼x

Ldx

Ejercicio 12.8.1 Demuestre que si F (x) y V (x) representan extensionesimpares y de periodo 2L de la forma y de la velocidad inicial de la cuerda,entonces la funci¶on

y(x; t) =1

2(F (x+ vt) + F (x¡ vt))

+1

2v

Z x+vt

x¡vtV (x)dx

satisface la ecuaci¶on de onda, las condiciones iniciales y de frontera.

12.9 Caso general.

Para el caso general donde la forma inicial de la cuerda y su velocidad sondadas, la soluci¶on la escribimos

y(x; t) =1Xn=1

³An cos

vn¼

Lt sin

n¼x

L+Bn sin

vn¼

Lt sin

n¼x

L

´:

siendo

An =2

L

Z L

0

F (x) sinn¼x

Ldx

Bn =2

vn¼

Z L

0

V (x) sinn¼x

Ldx

12.10 Ejemplos.

Ejemplo 12.10.1 Si la cuerda parte recta con un per¯l de velocidades ini-ciales

V (x) = V0 sin¼x

L;


V (x) es de antemano impar y de periodo 2T , por lo tanto

y(x; t) =1

2v

Z x+vt

x¡vtV (x)dx

=V0L

¼vsin

¼

Lvt sin ¼

x

L

=V0L

2¼v(cos¼

x¡ vtL

¡ cos¼x+ vtL

):

Ejemplo 12.10.2 Si la forma inicial fuera una semi sinusoide

F (x) = A sin¼x

L

esta funci¶on es de antemano impar y de periodo 2L: Entonces

y(x; t) =A

2

µsin¼(x+ vt)

L+ sin

¼(x¡ vt)L

¶= A sin

¼

Lx cos

¼

Lvt:

Ejemplo 12.10.3 En general, una extensi¶on impar y de periodo 2L de F (x)es

F (x) =1Xn=1

bn sinn¼x

L

bn =2

L

Z L

0

F (x) sinn¼x

Ldx;

luego

y(x; t) =1

2

1Xn=1

bn

µsinn¼(x+ vt)

L+ sin

n¼(x¡ vt)L

¶=

1Xn=1

bn sinn¼x

Lcosn

¼

Lvt:

12.10 Ejemplos. 225

Ejemplo 12.10.4 Si la cuerda parte recta con un per¯l de velocidades ini-ciales

V (x) = V0 sin¼x

L;

determine la soluci¶on de la ecuaci¶on de onda.

Soluci¶on. V (x) es de antemano impar y de periodo 2T , por lo tanto

y(x; t) =1

2v

Z x+vt

x¡vtV (x)dx

=V0L

¼vsin

¼

Lvt sin¼

x

L

=V0L

2¼v(cos¼

x¡ vtL

¡ cos¼x+ vtL

):

N

Ejemplo 12.10.5 Una cuerda de longitud L con extremos ¯jos comienza aoscilar partiendo del reposo de manera que su forma inicial es:

F (x) =

½Ax=L si x < L=2

A(1¡ x=L) si x > L=2

Determine y(x; t):

Soluci¶on. La soluci¶on ser¶a

y(x; t) =1Xn=1

An cosvn¼

Lt sin

n¼x

L:

siendo

An =2

L

Z L

0

F (x) sinn¼x

Ldx

donde evaluamos

2

L

Z L=2

0

(Ax=L) sinn¼x

Ldx+

2

L

Z L

L=2

A(1¡ x

L) sin

n¼x

Ldx

resultando

y(x; t) = 4A

1Xn=1

sin 12n¼

n2¼2cos

vn¼

Lt sin

n¼x

L

= 4A

1Xk=0

(¡1)k(2k + 1)2¼2

cosv(2k + 1)¼t

Lsin(2k + 1)¼x

L:


vt-vt

L L

L

Figura 12.3: Soluci¶on de D'Alembert.

Esta soluci¶on sin embargo dice poco de la forma que tiene la onda. Ana-licemos la soluci¶on de D'Alembert

y(x; t) =1

2(F (x+ vt) + F (x¡ vt)):

En la ¯gura siguiente se ilustra la extensi¶on peri¶odica de F (x)De modo que cuando ha transcurrido un tiempo t, F (x+ vt) en el rango

de su argumento desde 0! L est¶a remarcado a la derecha y F (x¡ vt) est¶aremarcado en el rango de su argumento de 0 ! L a la izquierda. Ambascurvas las debemos llevar al intervalo donde est¶a la cuerda, y superponer losresultados, obteniendo la forma ilustrada en la ¯gura siguiente:Es aparente que la forma de la onda ser¶a sim¶etrica respecto al punto me-

dio, y formada por segmentos rectos, a pesar de la aparentemente complicadaserie de Fourier de la soluci¶on anterior.

N

12.11 Consideraciones energ¶eticas.

Consideremos el trozo de cuerda desde x en adelante, como se indica en la¯gura (12.5). Sobre ese trozo act¶ua la fuerza ejercida por la parte izquierdade la cuerda es decir

F = ¡¿ sin µ ¼ ¡¿ tan µ = ¡¿ @y(x; t)@x

:

12.11 Consideraciones energ¶eticas. 227

Figura 12.4: Onda en una cuerda.

.

x

!

y(x,t)

Figura 12.5: Potencia en una onda.

Por otro lado la velocidad de ese extremo de la cuerda es

vy =@y(x; t)

@t;

de modo que la potencia entregada al lado derecho de la cuerda (por elizquierdo) es

P = Fvy = ¡¿ @y(x; t)@x

@

@ty(x; t): (12.5)

12.11.1 Potencia en ondas arm¶onicas.

Para una onda arm¶onica senoidal del tipo


y = A sin(kx¡ !t);resulta

P = ¿A2k! cos2(kx¡ !t):Aqu¶³ se tienen las relaciones

k =2¼

¸;

v =!

k= v =

r¿

¾;

de modo que la potencia puede escribirse

P = ¾!2A2v cos2(kx¡ !t):o sea en una onda que viaja hacia la derecha hay una potencia positivaentregada desde el lado izquierdo al derecho. La potencia promedio puedecalcularse y resulta

< P >=1

2¾!2A2v:

12.12 Elementos de mec¶anica de Fluidos.

Para estudiar la din¶amica de los °uidos, se han seguido dos caminos. Uno de-bido a Lagrange intenta seguir las coordenadas de cada part¶³cula de °uido amedida que transcurre el tiempo de acuerdo a las fuerzas que ella experimen-ta. Otra forma debida a Euler consiste en abandonar el intento de precisarlas coordenadas de cada part¶³cula de °uido, y en vez, preocuparse de la den-sidad y la velocidad del °uido en puntos ¯jos del espacio en cada instantede tiempo. Este es el m¶etodo que describiremos resumidamente aqu¶³. As¶³ sede¯nen ½(x; y; x; t) la densidad del °uido en un punto del espacio en tiempot y ~v(x; y; z; t) el vector velocidad de un elemento de °uido ubicado en esemismo punto y en ese mismo tiempo. A pesar de que nos concentraremosen puntos ¯jos del espacio, las ecuaciones usuales de la mec¶anica aplican apart¶³culas y por lo tanto ser¶a inevitable seguir el movimiento de las part¶³culasal menos por intervalos de tiempos cortos. As¶³ estaremos interesados en dostipos de derivadas. Por ejemplo si p(x; y; z; t) representa la presi¶on en unpunto en un tiempo determinado

@p

@t

12.12 Elementos de mec¶anica de Fluidos. 229

representar¶a la tasa a la cual est¶a cambiando la presi¶on en un punto ¯jo y

dp

dt=

@p

@t+@p

@x

@x

@t+@p

@y

@y

@t+@p

@z

@z

@t

=@p

@t+ ~v ¢ rp;

representar¶a la tasa a la cual est¶a cambiando la presi¶on en un punto que sigueel movimiento del °uido. Esto aplicar¶a a cualquier funci¶on de las coordenadasy del tiempo, lo cual anotaremos simb¶olicamente como

d

dt=@

@t+ ~v ¢ r:

12.12.1 Cambio del volumen.

Consideremos un elemento de volumen ±V que se mueve con el °uido demodo que contiene siempre el mismo n¶umero de part¶³culas de °uido. Si el°uido se mueve, ese elemento se mueve y en general cambiar¶a de volumen.Supongamos que se trata de un elemento de volumen rectangular de lados±x; ±y, ±z. Entonces sus caras tienen velocidades vx, vy, vz: As¶³ el cambiode volumen debido al desplazamiento de las caras ±y ±z (una en x la otra enx+ ±x) ser¶a

d±V = ±y±z(vx(x+ ±x; t)dt¡ vx(x+ ±x; t)dt)= ±y±z±x

@vx@xdt;

o sea

d±V

dt= ±y±z±x

@vx@x

= ±V@vx@x:

M¶as en general, si var¶³an las posiciones de las seis caras, se tiene

d±V

dt= ±V (

@vx@x

+@vy@y

+@vz@z);

o sead±V

dt= r ¢ ~v±V:


n

vdt

Figura 12.6: Cambio de volumen debido a la velocidad.

Algunas propiedades del operador r se explican en el ap¶endice. M¶as engeneral, como se explica en la ¯gura que sigue, el cambio de volumen que seproduce por el cambio del ¶area se puede expresar como (base£altura)

dV =

ZS

~v ¢ ndtdSdV

dt=

ZS

~v ¢ ndS:

Si se utiliza el teorema de la divergencia la ¶ultima expresi¶on puede escribirsecomo

dV

dt=

ZV

r ¢ ~vdV:

Fluidos incompresibles.

Si el °uido es incompresible, es decir si el volumen de un n¶umero determinadode part¶³culas no cambia con el tiempo, entonces del resultado anterior sigueque

r ¢ ~v = 0:

Ecuaci¶on de continuidad.

La masa de un elemento de volumen que sigue el movimiento del °uido novar¶³a. Eso se puede escribir utilizando el concepto de densidad volum¶etricade masa ½ como

±m = ½±V = constante,

12.13 Ecuaci¶on de movimiento de un °uido ideal. 231

es decir

d½

dt±V + ½

d

dt±V = 0

d½

dt±V + ½r ¢ ~v±V = 0

d½

dt+ ½r ¢ ~v = 0:

perod½

dt=@½

@t+ ~v ¢ r½;

luego@½

@t+ ~v ¢ r½+ ½r ¢ ~v = 0;

o@½

@t+r ¢ (½~v) = 0: (12.7)

Esta ¶ultima relaci¶on se denomina la ecuaci¶on de continuidad de un °uido.

12.13 Ecuaci¶on de movimiento de un °uido

ideal.

En un °uido ideal, por de¯nici¶on, no act¶uan otras fuerzas de un elementosobre otro de °uido, m¶as que las fuerzas de presi¶on, que act¶uan normalmentea las super¯cies de los elementos considerados. En los °uidos reales, act¶uanadem¶as fuerzas tangenciales o de viscosidad que por ahora despreciaremos.Aceptaremos adem¶as que pueden actuar fuerzas externas sobre cada elementode volumen, tal como el peso de aquel. La presi¶on es isotr¶opica de modo quela fuerza que act¶ua sobre cada elemento de ¶area se obtiene simplementemultiplicando la presi¶on sobre el ¶area por el ¶area en cuesti¶on. As¶³, si se tratade un elemento de volumen como un paralelep¶³pedo rectangular de aristas±x, ±y, ±z, la fuerza resultante en la direcci¶on x debida a la presi¶on ser¶a

±Fx = p(x; y; z)±y±z ¡ p(x+ ±x; y; z)±y±z= ¡@p

@x±x±y±z;

y en su forma vectorial± ~F = ¡rp±V:


Sea adem¶as ~f la fuerza externa que act¶ua por unidad de volumen. As¶³ lafuerza resultante sobre el elemento de volumen ser¶a

± ~F = ¡rp±V + ~f±V:

La segunda ley de Newton establece que esta fuerza es la masa por la acele-raci¶on del elemento de volumen, o sea

½±Vd~v

dt= ¡rp±V + ~f±V;

o bien

½d~v

dt= ~f ¡rp;

ahora, si realizamos la derivada total obtenemos

½(@~v

@t+ ~v ¢ r~v) = ~f ¡rp;

y as¶³ obtenemos la ecuaci¶on de Euler para el movimiento de un °uido ideal:

@~v

@t+ ~v ¢ r~v =

~f

½¡ rp

½: (12.8)

En este cap¶³tulo s¶olo estamos interesados en el tema de Ondas en medioscont¶³nuos tales como los °uidos, por lo tanto no es necesario profundizar m¶asen otros temas de la Mec¶anica de °uidos.

12.13.1 Onda sonoras en un °uido.

Supongamos un °uido en equilibrio a una presi¶on p0 una densidad ½0 y so-

metido a una fuerza externa volum¶etrica ~f0. Para esta situaci¶on, la ecuaci¶on(12.8) se convierte en

~f0 = rp0: (12.9)

Supongamos ahora que el °uido se somete a una perturbaci¶on peque~na demodo que la presi¶on y la densidad se alteran a

p = p0 + p0

½ = ½0 + ½0;


siendo p0 ¿ p y ½0 ¿ ½ y supondremos adem¶as que la velocidad u susderivadas son tambi¶en peque~nas. Si sustituimos en (12.8) se obtiene

@~v

@t+ ~v ¢ r~v =

~f0½0 + ½

0 ¡r(p0 + p0)½0 + ½

0

¼~f0½0(1¡ ½0

½0)¡ rp0 +rp

0

½0(1¡ ½0

½0)

si despreciamos t¶erminos cuadr¶aticos en ~v y en las cantidades peque~nas p0 y½0 se obtiene

@~v

@t¼~f0½0¡~f0½

0

½20¡ rp0 +rp

0

½0(1¡ ½0

½0);

o sea@~v

@t= ¡rp

0

½0: (12.10)

Adem¶as si se sustituye en la ecuaci¶on de continuidad (12.7) se obtiene

0 =@½0

@t+r ¢ ((½0 + ½0)~v)

¼ @½0

@t+r ¢ (½0~v);

o sea@½0

@t= ¡½0r ¢ ~v ¡ ~v ¢ r½0. (12.11)

Finalmente supondremos que la densidad en equilibrio es pr¶acticamente cons-tante de modo que la ¶ultima ecuaci¶on puede escribirse

@½0

@t+ ½0r ¢ ~v = 0: (12.12)

La compresibilidad · y su rec¶³proco B.

En termodin¶amica se de¯nen la compresibilidad isot¶ermica

·T = ¡ 1V

µ@V

@p

¶T

=1

BT;

y la compresibilidad adiab¶atica

·S = ¡ 1V

µ@V

@p

¶S

=1

BS;


donde T y S denotan la temperatura absoluta y la entrop¶³a del sistema.Cuando una onda ac¶ustica pasa a trav¶es de una substancia los cambios devolumen son en realidad adiab¶aticos en vez de isot¶ermicos, de modo que lasegunda de las anteriores es la que aplica. Ella puede ser escrita como

1

BS= ·S = ¡ 1

m=½

µ@m=½

@p

¶S

=1

½

µ@½

@p

¶S

:

De este modo el incremento en la presi¶on y la densidad est¶an relacionadaspor

1

BS= ·S =

1

½0

½0

p0

½0 =½0p

0

BS:

As¶³ podemos eliminar ½0 de la ecuaci¶on (12.12) obteniendo

½0BS

@p0

@t= ¡½0r ¢ ~v (12.13)

@p0

@t= ¡BSr ¢ ~v: (12.14)

Si derivamos respecto al tiempo y utilizamos (12.10) se obtiene ¯nalmente

@2p0

@t2= ¡BSr ¢ @

@t~v

=BS½0r ¢ rp0;

es decir tenemos que las variaciones de la presi¶on p0 satisfacen la ecuaci¶on deondas en tres dimensiones

@2p0

@t2¡ v2r2p0 = 0; (12.15)

donde la velocidad de propagaci¶on est¶a dada por

v =

sBS½0:


12.13.2 Algunas soluciones de la ecuaci¶on de onda.

De acuerdo a las propiedades del operador r puede probarse que son solu-ciones de la ecuaci¶on de onda tridimensional

@2Á

@t2¡ v2r2Á = 0:

12.13.3 A) Ondas planas.

Esta son soluciones de la forma

Á(x; y; x; t) = F (~k ¢ ~r ¡ !t);

donde F es una funci¶on arbitrartia (diferenciable), v es la velocidad y ~kes un vector constante cuya magnitud se denomine n¶umero de onda. Parademostrarlo basta considerar que

rF (~k ¢ ~r ¡ vt) = ~kF 0(~k ¢ ~r ¡ !t);r2F (~k ¢ ~r ¡ vt) = ~k ¢ rF (~k ¢ ~r ¡ !t)

r2Á = k2F 00(~k ¢ ~r ¡ !t);@2Á

@t2= !2k2F 00(~k ¢ ~r ¡ !t);

que prueba lo establecido siempre y cuando

v =!

k:

Hay que observar, que los puntos donde F tiene un valor constante, digamosF (0) est¶an sobre el plano

~k ¢ ~r = !t

k ¢ ~r = vt;

es decir un plano que viaja precisamente con la velocidad de propagaci¶on dela onda v = !=k, de all¶³ se justi¯ca la denominaci¶on de ondas planas.


r

k

vt

Figura 12.7: Onda plana.

12.13.4 B) Ondas esf¶ericas.

En coordenadas esf¶ericas el Laplaciano puede escribirse (ver ap¶endice)

r2 =1

r2@

@rr2@

@r+

1

r2 sin µ

@

@µsin µ

@

@µ+

1

r2 sin2 µ

@2

@Á2

de modo que si buscamos soluciones de la ecuaci¶on de onda que dependande la distancia al origen solamente, la ecuaci¶on de onda ser¶a

@2Á

@t2¡ v2 1

r2@

@rr2@

@rÁ = 0;

pero usted puede establecer que

1

r2@

@rr2@

@rÁ =

1

r

@2

@r2(rÁ);

de modo que la ecuaci¶on de onda es

@2(rÁ)

@t2¡ v2 @

2

@r2(rÁ) = 0;

de modo querÁ(r; t) = F (kr ¡ !t);

por lo cual una onda esf¶erica es de la forma

Á(r; t) =F (kr ¡ !t)

r;

donde la velocidad de propagaci¶on es ahora

v =!

k:


Interferencia de ondas.

Consideremos ondas senoidales unidimensionales Ã(x; t) = A sin(kx¡!t+Á)donde Á se conoce como la fase de la onda. Debido a que la ecuaci¶on de ondaes lineal, la superposici¶on de este tipo de ondas de la misma velocidad v =!=k es tambi¶en soluci¶on de la ecuaci¶on de onda, La superposici¶on de ondasde este tipo causa el fen¶omenos llamado de interferencia, en particular deinterferencia constructiva e interferencia destructiva. Considere por ejemploque la frecuencia sea la misma, entonces la longitud de onda tambi¶en es lamisma y el fen¶omeno que ocurre en la superposici¶on depende de la diferenciade fase. En efecto, la superposici¶on ser¶a

Ã = A1 sin(kx¡ !t+ Á1) +A2 sin(kx¡ !t+ Á2):Aqu¶³ conviene utilizar elementos de los n¶umeros complejos. Considere

A1ei(kx¡!t+Á1) +A2ei(kx¡!t+Á2) = Aei(kx¡!t);

esto es cierto si

A = A1ei(Á1) +A2e

i(Á2)

= ei(Á1)(A1 +A2ei(Á2¡Á1)):

Este n¶umero complejo puede colocarse en su forma polar de acuerdo a

A = jAj eiÁ

donde

jAj =p(A1 +A2 cos(Á2 ¡ Á1))2 + (A2 sin(Á2 ¡ Á1))2

=qA21 +A

22 + 2A1A2 cos(Á2 ¡ Á1);

tanÁ =A2 sin(Á2 ¡ Á1)

A1 +A2 cos(Á2 ¡ Á1):

En resumen

A1ei(kx¡!t+Á1) +A2ei(kx¡!t+Á2) = jAj eiÁei(kx¡!t);

donde la superposici¶on de ondas senoidales es la parte imaginaria de la ¶ultimaexpresi¶on, es decir

Ã = A1 sin(kx¡ !t+ Á1) +A2 sin(kx¡ !t+ Á2)=

qA21 +A

22 + 2A1A2 cos(Á2 ¡ Á1) sin(kx¡ !t+ Á):


Es decir la superposici¶on es una onda del mismo tipo, con otra fase Á y conotra amplitud. La interferencia se llama constructiva si la amplitud de laonda resultante es m¶axima y destructiva si es m¶³nima. Estos casos ocurrenevidentemente si

a) Contructiva: Á2 ¡ Á1 = 2n¼; n = 0; 1; 2:::;Ã = jA1 +A2j sin(kx¡ !t):

Destructiva: Á2 ¡ Á1 = (2n+ 1)¼; n = 0; 1; 2:::;Ã = jA1 ¡ A2j sin(kx¡ !t):

Pulsaciones.

Otro fen¶omenos ocurre si las ondas que se superponen tienen la misma ve-locidad pero diferentes longitudes de onda y en consecuencia diferentes fre-cuencias. Suponiendo las mismas fases y amplitudes la superposici¶on es

Ã = A sin(k1x¡ !1t) +A sin(k2x¡ !2t);que puede escribirse como

Ã = 2A sin(k1 + k2)x¡ (!1 + !2)t

2cos

(k1 ¡ k2)x¡ (!1 ¡ !2)t2

;

esto es el producto de dos ondas que se propagan a velocidades diferentes

v1 =!1 + !2k1 + k2

;

v1 =!1 ¡ !2k1 ¡ k2

y que tienen frecuencias, una alta frecuencia

!1 + !2

y otra que puede ser muy peque~na

!1 ¡ !2si las ondas que se superponen tienen frecuencias pr¶oximas. Este fen¶omenose puede escuchar como un batido de baja frecuencia cuando se pulsan doscuerdas de guitarra casi a¯nadas en la misma nota.


12.13.5 Velocidad de grupo.

La superposicion de muchas ondas de casi la misma frecuencia y con longi-tudes de onda parecidas tambien, causa el fen¶omeno de la formaci¶on de ungrupo que se dispersa. Para precisar las cosas supongamos que se superpo-nen ondas con frecuencias en un cierto rango cont¶³nuo, donde esas frecuenciasdependen de la longitud de onda de alguna forma funcional tal como

! = !(k):

Esta relaci¶on se denomina relaci¶on de dispersi¶on.En otras palabras estamossuponiendo que la velocidad de propagaci¶on v = !(k)=k es alguna funci¶onde k es decir de la longitud de onda. Este caso tiene una representaci¶onconcreta en el caso de las ondas luminosas que se propagan en materialestransparentes, donde la velocidad de propagaci¶on en ese medio es dependientede la longitud de onda. Bueno, para ver lo que ocurre considere entonces unasuperposici¶on cont¶³nua para alg¶un rango cont¶³nuo de valores de k

Ã =

ZAk sin(kx¡ !(k)t)dk:

Supongamos que la superposici¶on es hecha en un entorno a un valor k0. Siexpandimos hasta primer orden

!(k) = !0 + !00(k ¡ k0);

entonces

Ã =

Z k0+¢

k0¡¢Ak sin(kx¡ !(k)t)dk;

=

Z k0+¢

k0¡¢Ak sin(kx¡ (!0 + !00(k ¡ k0))t)dk;

=

Z k0+¢

k0¡¢Ak sin(!

00k0t¡ !0t+ k(x¡ !00t))dk;

¼ 2A0x¡ !00t

sin (¢(x¡ !00t)) sin (k0x¡ !0t)

donde hemos supuesto Ak ¼ Ak0 = A0: O sea, la resultante

Ã = 2A0sin (¢(x¡ !00t))

x¡ !00tsin (k0x¡ !0t)


es una onda que viaja con la llamada velocidad de fase !0=k0 modulada porotra onda que viaja con la llamada velocidad de grupo

vg = !00 =

d!(k)

dk

¯k=k0

:

Note que en esta aproximaci¶on la amplitud m¶axima de la modulaci¶on ocurreen

x = !00t

Representaremos el grupo viajero para k0 = 10, ¢ = 1, A0 = 1; !00 = 1; !0 =

1, en dos tiempos, t = 0 y t = 2:

-2

-1

0

1

2

-6 -4 -2 2 4 6x

Grupo en t=0.

y para t = 2

-2

-1

1

2

-4 -2 2 4x

Grupo en t=2.


12.13.6 Efecto Doppler cl¶asico.

Suponga una onda viajera hacia la derecha del tipo arm¶onico de velocidadde propagaci¶on v

Á(x; t) = A sin(kx¡ !t):Si otro observador se aleja hacia la derecha sobre el eje x con velocidadu < v, >que onda es observada por el observador m¶ovil? Para el observadorm¶ovil llamaremos la coordenada x0. Supondremos v¶alida la transformaci¶onde Galileo, es decir obtendremos el denominado efecto Doppler cl¶asico. Estatransformaci¶on puede escribirse

x0 = x¡ ut;t0 = t:

As¶³ resulta

Á0(x0; t0) = Á(x; t) = Á(x0 + ut; t0);= A sin(k(x0 + ut)¡ !t);= A sin(kx0 ¡ (! ¡ ku)t)

es decir una onda arm¶onica pero con frecuencia

!0 = ! ¡ ku;= !(1¡ ku

!);

= !(1¡ uv);

es decir una frecuencia menor. Si al contrario, el observador y la onda tienendirecciones de movimiento de distinto sentido resultar¶a

!0 = !(1 +u

v);

una frecuencia mayor.

12.13.7 Efecto Doppler relativista.

Para velocidades del observador muy altas, cercanas a la velocidad de la luz,debe aplicarse la transformaci¶on de Lorentz

x0 = °(x¡ ut);t0 = °(t¡ ux

c2);


donde c es la velocidad de la luz y ° = 1=p1¡ u2=c2: As¶³ resulta

Á0(x0; t0) = Á(x; t) = Á(°(x0 + ut0); °(t0 +ux0

c2));

= A sin(k°(x0 + ut0)¡ !°(t0 + ux0

c2));

= A sin(°(k ¡ ! uc2)x0 ¡ °(! ¡ ku)t0

es decir

k0 = °(k ¡ ! uc2);

!0 = °(! ¡ ku) = °!(1¡ uv);

v0 =!0

k0=! ¡ kuk ¡ ! u

c2=v ¡ u1¡ uv

c2:

12.13.8 Efecto Doppler para ondas luminosas.

Si las ondas tienen la velocidad de la luz, entonces v0 = v = c y los resultadosanteriores se reducen a

!0 = °(! ¡ ku) = 1q1¡ u2

c2

!(1¡ uc);

!0 =

s1¡ u

c

1 + uc

!:

12.14 Ejercicios propuestos.

Ejercicio 12.14.1 Demuestre que si F (x) y V (x) representan extensionesimpares y de periodo 2L de la forma y de la velocidad inicial de la cuerda,entonces la expresi¶on

y(x; t) =1

2(F (x+ vt) + F (x¡ vt))

+1

2v

Z x+vt

x¡vtV (x)dx

12.14 Ejercicios propuestos. 243

satisface la ecuaci¶on de onda y adem¶as

y(x; 0) = F (x);

@y(x; t)

@t

¯t=0

= V (x);

y(0; t) = 0;

y(L; t) = 0:

Esta soluci¶on se denomina de D'Alembert. Vea [1].

Ejercicio 12.14.2 Una cuerda el¶astica de largo L con extremos ¯jos partedel reposo con una deformaci¶on inicial

y(0; x) =

½cx si x < L=20 si x > L=2

Resuelva para y(x; t) en su desarrollo de Fourier. Esquematice cuidadosa-mente la forma de la onda para t = T=4; T = T=2, mediante la soluci¶on deD'Alembert.

Ejercicio 12.14.3 Repita el problema anterior si la cuerda parte tensa conun per¯l de velocidades inicial

@y(x; t)

@t

¯t=0

=

½v0x=L si x < L=2

v0(1¡ x=L) si x > L=2

Ejercicio 12.14.4 Obtenga la superposici¶on de las dos ondas

Ã = 2A sin(kx¡ !t+ ¼=4) +A sin(kx¡ !t):Ejercicio 12.14.5 Obtenga una expresi¶on general para la superposici¶on

Ã = A1 cos(kx¡ !t+ Á1) +A2 cos(kx¡ !t+ Á2):Ejercicio 12.14.6 Determine la potencia promedio transmitida por la ondadel problema anterior.

Ejercicio 12.14.7 Demuestre que si un punto se mueve sobre un plano demanera que sus dos coordenadas var¶³an como

x = A cos(!t¡ ®);y = B cos(!t¡ ¯);

entonces el punto describe una elipse. Determine adem¶as la orientaci¶on deesa elipse respecto al eje x.


Ejercicio 12.14.8 Demuestre que una superposici¶on de ondas de la forma

Ã =

ZAk sin(kx¡ !(k)t)dk:

no satisface la ecuaci¶on de ondas a menos que

v =!(k)

k

sea constante. Esto naturalmente cuestiona el hecho de superponer ondas queno satisfacen una ecuaci¶on lineal. Las situaciones f¶³sicas donde se formangrupos son complejas y est¶an fuera del alcance de estos apuntes. Vea([1,pag.370] )

Ejercicio 12.14.9 Demuestre que si v denota la velocidad de fase de unaonda arm¶onica y vg la velocidad de grupo, entonces

vg = v + kdv

dk:

Ejercicio 12.14.10 Si n(¸) denota el ¶³ndice de refracci¶on de un materialtransparente en funci¶on de la longitud de onda, demuestre que la velocidadde grupo est¶a dada por

vg =c

n(1¡ ¸

nn0(¸)):

Cap¶³tulo 13

Problemas complementarios.

Ejercicio 13.0.11 Demuestre que el movimiento de una part¶³cula en uncampo central V (r) = ¡k=r + h=r2 con k y h constantes, es el mismo quebajo el potencial de Kepler, cuando se expresa con respecto a un sistema dereferencia que rota en torno del centro de fuerza. Determine adem¶as paraenerg¶³a negativa y cuando el t¶ermino adicional es muy peque~no, la velocidadde precesi¶on de la ¶orbita cuasiel¶³ptica .

Ejercicio 13.0.12 Una part¶³cula es disparada desde la super¯cie de la tie-rra, supuesta esf¶erica de masa M y radio R, con rapidez inicial V0, formandoun ¶angulo Á con la vertical del lugar. Despreciando la resistencia del aire, larotaci¶on terrestre y el movimiento de la tierra, demuestre que la excentricidadde la trayectoria est¶a dada por

e2 = 1 +R2V 20 sen

2(Á)

G2M2

µV 20 ¡

2GM

R

¶:

la trayectoria es

r =R2V 20 sen

2(Á)

GM(1 + e cos(µ)):

>cu¶al es la ubicaci¶on del eje polar de la c¶onica?

Ejercicio 13.0.13 Un potencial frecuentemente encontrado en f¶³sica nu-clear es el pozo rectangular, de¯nido por:

V (r) =

½0 si r ¸ a¡V0 si r < a

:

246 Problemas complementarios.

Demuestre que el scattering producido por tal potencial es id¶entico con larefracci¶on de un rayo luminoso por una esfera de radio a y un ¶³ndice derefracci¶on relativo

n =

rE + V0E

:

Demuestre adem¶as que la secci¶on diferencial de scattering est¶a dada por

¾(µ) =n2a2(n cos(µ=2)¡ 1)(n¡ cos(µ))4 cos(µ=2)(1 + n2 ¡ 2n cos(µ=2))2 :

Ejercicio 13.0.14 Determinar la secci¶on e¯caz para part¶³culas que caen enel centro en un potencial (Landau, Mec¶anica [12])

U = ¡ ®r2:

Ejercicio 13.0.15 Determinar la secci¶on e¯caz en el scattering para ¶angulospeque~nos, en un potencial central

U =a

rn; con n > 0:

Ejercicio 13.0.16 Dos part¶³culas se mueven bajo la acci¶on de su atracci¶ongravitacional, una en torno de la otra en ¶orbitas circulares, con periodo ¿ :Si su movimiento es repentinamente detenido, cayendo entonces una haciala otra, demuestre que ellas chocan en un tiempo dado por

t =¿

4p2:

Ejercicio 13.0.17 Un balde con l¶³quido se hace rotar en torno de la verticalcon velocidad angular constante. Si se supone que la situaci¶on estacionariacorresponde a un m¶³nimo del hamiltoniano del sistema, determine la formade la super¯cie.

Ejercicio 13.0.18 Un cable °exible, cuyo peso por unidad de longitud esuniforme, cuelga entre dos puntos dados bajo la acci¶on de la gravedad, ¯gura(13.1). Determine la forma de dicho cable bajo la condici¶on de que la energ¶³apotencial sea un m¶³nimo, compatible con la longitud ¯ja del cable.

Ejercicio 13.0.19 Si g(p) denota la transformada de Legendre de f(x);demuestre entonces que si

247

Figura 13.1: Cable °exible

a) f(x) = x2 entonces g(p) = p2=4:

b) f(x) = mx2=2 entonces g(p) = p2=2m:

c) f(x) = x®=® entonces g(p) = p¯=¯ con 1=® + 1=¯ = 1; si ® > 1 y¯ > 1:

Ejercicio 13.0.20 Demuestre, con la notaci¶on del problema anterior que

px · f(x) + g(p)

la desigualdad de Young, v¶alida para x > 0; p > 0; ® > 1; ¯ > 1, y 1=® +1=¯ = 1:

Ejercicio 13.0.21 Encuentre los hamiltonianos correspondientes a los la-grangianos

L( _q) =p1¡ _q2;

L(q; _q; t) = e®t( _q2 ¡ !2q2)=2:

Ejercicio 13.0.22 Encuentre los lagrangianos correspondientes a los hamiltonia-nos

H(q; p) = p2=2 + p sin(q);

H(q; p) = p2=2 + q2=2:


Ejercicio 13.0.23 Considere un p¶endulo constituido por una barra unifor-me de masa M y longitud L que oscila en un plano vertical bajo la acci¶onde su peso. Considere adem¶as que el punto de suspensi¶on se hace oscilarverticalmente con amplitud A y frecuencia angular , ¯gura (13.2): Escribala ecuaci¶on de Lagrange para el ¶angulo que forma el p¶endulo con la vertical.

!

O

M, L

A cos( (/t)

Figura 13.2: Un p¶endulo con extremo oscilando

Ejercicio 13.0.24 Con respecto a la situaci¶on del problema anterior, ana-lice la posibilidad de que el movimiento sea estable cuando el p¶endulo est¶aoscilando respecto a la posici¶on m¶as alta. (Vea [10])

Ejercicio 13.0.25 Para el movimiento de un trompo sim¶etrico con su p¶ua¯ja, discuta la condici¶on que debe cumplir su spin para que su movimientodormido (trompo vertical, ¯g. (13.3)) sea estable. Considere dados sus mo-mentos de inercia respecto a la p¶ua, A y C, su masa M y la distancia hdesde la p¶ua al centro de masas, adem¶as de la aceleraci¶on de gravedad.

Ejercicio 13.0.26 Considere el movimiento de un trompo sim¶etrico con sup¶ua ¯ja, en precesi¶on uniforme, es decir con la inclinaci¶on de su eje respectode la vertical constante, ¯g. (13.4). Deduzca la condici¶on que deben cumplirsu spin s y su velocidad angular de precesi¶on _Á = para que ello ocurra.Considere dados los momentos de inercia respecto a la p¶ua, A y C, su masaM y la distancia h desde la p¶ua al centro de masas, adem¶as de la aceleraci¶onde gravedad.

249

s

O��

Figura 13.3: Trompo dormido

��

xy

Figura 13.4: Precesi¶on uniforme


Ejercicio 13.0.27 Considere una part¶³cula movi¶endose en un campo cen-tral de fuerza atractivo inverso al cuadrado de la distancia, de modo que

L =1

2mv2 +

k

r:

Demuestre que la energ¶³a, en t¶erminos de las variables de acci¶on angular,para coordenadas r y µ en el plano del movimiento, est¶a dada por

E = ¡ 2m¼2k2

(Jr + Jµ)2:

Ejercicio 13.0.28 Para la versi¶on relativista del problema anterior con la-grangiano

L = ¡m0c2p1¡ (v=c)2 + k

r;

demuestre que para el caso estable, part¶³cula sin caer al origen

m0c2

E= 1 +

(k=c)2

(Jr=2¼ +p(Jr=2¼)2 ¡ (k=c)2)2

:

Ejercicio 13.0.29 Si se indica con ® = e2=(4¼²0~c) la constante de estruc-tura ¯na y se imponen las reglas de cuantizaci¶on de Somerfeld Jµ = nµh; Jr =nrh;con nµ = 1; 2; 3; :::; nr = 0; 1; 2; :::; demuestre que hasta orden en ®

2; laenerg¶³a est¶a dada por

E = m0c2 ¡ m0c

2®2

2n2

µ1 +

®2

n2

µn

nµ¡ 34

¶¶;

siendo n = nr +nµ: Compare con los niveles predichos por la teor¶³a de Dirac

E = m0c2 ¡ m0c

2®2

2n2

µ1 +

®2

n2

µn

j + 1=2¡ 34

¶¶;

siendo j el momentum angular total del electr¶on, incluido spin.

Ejercicio 13.0.30 Estudie la naturaleza de las ¶orbitas que son posibles enel modelo relativista de campo central de fuerza considerado en los problemasanteriores, en particular la condici¶on bajo la cual la part¶³cula cae al centrode fuerza.

251

Ejercicio 13.0.31 Un lagrangiano est¶a dado por

L =1

4_q4 ¡ ®

2

2_q2:

Para este caso, la de¯nici¶on del momento can¶onico

p = _q3 ¡ ®2 _q

no permite resolver en forma un¶ivoca para _q: La evoluci¶on en _q(t) tiene una,dos o tres soluciones dependiendo de p y ®. En el caso en que hayan tressoluciones, demuestre que la acci¶on al ir entre dos punto en un tiempo Talcanza su m¶inimo ¡1

4®4T para trayectorias zigzagueantes con _q = §®; ver

¯gura (13.5).Vea, Gravity in higher dimensions, M.Henneaux, C.Teitelboim,

q

T

Figura 13.5: M¶inimo de una acci¶on

J.Zanelli. [14]

Ejercicio 13.0.32 Si F denota una funci¶on de las coordenadas y momentoscan¶onicos, demuestre que los corchetes de Poisson con las coordenadas ymomentos son

fF; qig = ¡@F@pi;

fF; pig =@F

@qi:


Ejercicio 13.0.33 Si ~L denota el momentum angular de una part¶³cula,demuestre que

fLi; Ljg = "ijkLk;½¯~L¯2; ~L ¢ n

¾= 0:

Ejercicio 13.0.34 Demuestre que si F (q; p; t) y G(q; p; t) son constantesde movimiento, tambi¶en lo es su par¶entesis de Poisson.

Cap¶³tulo 14

Problemas resueltos.

Ejemplo 14.0.1 Considere una part¶³cula de masa m que se coloca en elpunto m¶as alto de un hemisferio liso de radio R y masaM que puede deslizarsobre un plano horizontal liso, ¯g. (14.1). Estando el sistema en reposo seperturba levemente Discuta sobre la posibilidad de que la part¶³cula abandoneel contacto con el hemisferio.

Soluci¶on. Con relaci¶on a la ¯gura las ecuaciones de movimiento son

��x

M m

R


md2(x+R sin µ)

dt2= N sin µ;

md2(R cos µ)

dt2= N cos µ ¡mg;

Md2x

dt2= ¡N sin µ

254 Problemas resueltos.

: Si se elimina x y N se obtiene una ecuaci¶on diferencial para el ¶angulo µ queintegrada una vez conduce a

_µ2=2g

R

1¡ cos µ1¡ m

m+Mcos2 µ

:

Considerando que la condici¶on para que exista despegue de la super¯cie esN = 0, o sea Äx = 0, se obtiene

d

dµ( _µ2cos2 µ) = 0;

que desarrollada conduce a una ecuaci¶on de tercer grado para el cos µ. Enefecto se tiene

p cos3 µ ¡ 3 cos µ + 2 = 0; con p =m

m+M:

La existencia de una soluci¶on real en el intervalo (0; ¼=2) se deduce del hechoque si evaluamos f(µ) = p cos3 µ ¡ 3 cos µ + 2 en 0 y 1 resulta

f(0) = p¡ 1 < 0f(¼=2) = 2 > 0:

Una forma trigonom¶etrica de solucionar esta ecuaci¶on se logra suponiendoque

cos µ = A cosÁ:

Si se compara la ecuaci¶on a resolver con la identidad

4 cos3 Á¡ 3 cos Á¡ cos 3Á = 0;puede demostrarse que

A =2

p; cos 3Á = ¡pp:

De las tres soluciones para Á que se determinan num¶ericamente, si son reales,debe escogerse aquella que conduzca a cosÁ · 1: Por ejemplo si p = 1=2resultan Á = 40o; 160o; 280o. Sirve la ¶ultima para la cual se obtiene cos µ =p3¡ 1; de donde el ¶angulo de despegue ser¶a µ = 42: 94o

N

255

Nota 14.1 Es de utilidad para un n¶umero de problemas, incluido el anterior,el uso de la identidad

d2

dt2f(s) =

1

2f 0(s)d

ds[f 0(s) _s]2 :

Ejemplo 14.0.2 Dos part¶³cula iguales de masa m se colocan una sobre elsuelo liso, otra unida por una cuerda liviana de longitud L a la primera demodo que la cuerda est¶a vertical y recta pero sin tensi¶on inicial (T (0) = 0).A la part¶³cula superior se le imprime una velocidad horizontal de magnitudV0: Demuestre que si V

20 =gL < 1 la cuerda dejar¶a de estar tensa y que si

V 20 =gL > 2 la part¶³cula inferior despegar¶a del suelo.

Soluci¶on.

!

mg

mgN

0V

x

L

T

T

Las ecuaciones de movimiento suponiendo que la cuerda se tensa (al me-nos al inicio) y que la part¶³cula inferior no se despega son

mÄx = T cos µ;

N + T sin µ ¡mg = 0;

¡T cos µ = md2

dt2(x+ L cos µ);

¡mg ¡ T sin µ = md2

dt2(L sin µ);

eliminando Äx se obtiene

¡2T cos µ = mL d2

dt2cos µ;


la ¶ultima es

¡2T sin µ = 2mL d2

dt2sin µ + 2mg

eliminando la tensi¶on se obtiene

2 cos µd2

dt2sin µ + 2

g

Lcos µ ¡ sin µ d

2

dt2cos µ = 0;

despu¶es de algunas reducciones se obtiene

d

dµ(cos µ _µ)2 +

1

2

d

dµ(sin µ _µ)2 = ¡2 g

Lcos µ;

con condiciones iniciales

µ(0) = ¼=2;

_µ(0) = ¡V0L;

de modo que se puede integrar obteniendo

(_µ)2 =12

V 20L2+ 2 g

L(1¡ sin µ)

1¡ 12sin2 µ

;

entonces

T = ¡ mL

2 cos µ

d2

dt2cos µ

=mL

4 cos µ sin µ

d

dµ

³sin µ _µ

´2N = mg ¡ T sin µ

entonces

T =mL

2 cos µ sin µ

d

dµ

Ã(12

V 20L2+ 2 g

L) sin2 µ ¡ 2 g

Lsin3 µ

1 + cos2 µ

!:

Si hacemos sin µ = z; p = V 20 =gL; algo de manipulaci¶on algebraica conducea

t(p; z) =T

mg(1 + cos2 µ)2 = 4 + p¡ 6z + z3;

257

n(p; z) =N

mg(1 + cos2 µ)2 = 4 + 2z2 ¡ 4z ¡ pz:

La posibilidad de que N = 0 corresponde a

4 + 2z2 ¡ 4z ¡ pz = 0;

tiene como posible soluci¶on menor que uno a

0 < z = 1 +1

4p¡ 1

4

p(¡16 + 8p+ p2) < 1;

esto requiere que¡4 < p¡

p(¡16 + 8p+ p2) < 0

o sea

p <p(¡16 + 8p+ p2) < p+ 4

p2 < p2 + 8p¡ 16 < p2 + 8p+ 16

o sea debe ser p > 2: Por otro lado que se anule la tensi¶on T = 0 requiereque

t(p; 1) = 4 + p¡ 6 + 1 = p¡ 1 < 0o sea p < 1: La soluci¶on puede misma tambi¶en obtenerse en este caso enforma trigonom¶etrica. Sea

4 + p¡ 6z + z3 = 0

4 cos3 Á¡ 3 cosÁ¡ cos 3Á = 0

si z = A cosÁ entonces

A3 cos3 Á¡ 6A cosÁ+ 4 + p = 0

entoncesA3

4= 2A = ¡ 4 + p

cos 3Á

o sea

A =p8;

cos 3Á = ¡4 + p2p8;


Por ejemplo si p = 1=2

cos 3Á = ¡ 9

4p8

3Á = (142:7020; 502:7020; 862:7020) luego Á = (47:5673; 167:5673; 287:5673)entonces la tercera da z = 0:8537 y entonces µ = 58:615o es el ¶angulo dondela cuerda deja de estar tensa.

N

Ejemplo 14.0.3 Se desea disparar un proyectil, desde el Ecuador hasta elPolo, sin considerar resistencia de aire o rotaci¶on terrestre. Analice las di-versas posibilidades.

Soluci¶on. Suponiendo la tierra de masa M y radio R, y el proyectil esdisparado con rapidez inicial V0, formando un ¶angulo Á con la vertical dellugar, se tiene

lO = mRV0 sinÁ; E =1

2mV 20 ¡

GMm

R;

de donde resulta

e2 = 1 +2El2OmK2

= 1 +R2V 20 sen

2(Á)

G2M2

µV 20 ¡

2GM

R

¶;

y la ecuaci¶on de la ¶orbita ser¶a

r =l2OmK

1

1¡ e cos(µ ¡ ®) =R2V 20 sen

2(Á)

GM(1¡ e cos(µ ¡ ®)) :

Si se coloca como condici¶on que r = R; en µ = 0; y en µ = ¼=2; se obtiene® = ¼=4 y

1¡ e 1p2=RV 20 sen

2(Á)

GM;

denotando V 2e = 2GM=R y x = (Ve=V0)2; puede obtenerseq

1¡ 4x(1¡ x) sin2 Á =p2(1¡ 2x sin2 Á);

que puede resolverse para x (las soluciones positivas sirven)

x = (Ve=V0)2 =

1

2 cos 2Á

Ã¡1§

s1 + cos 2Á

1¡ cos 2Á

!;

259

pero

cos 2Á = 2 cos2 Á¡ 1 = 1¡ 2 sin2 Á

luego puede escribirse

(Ve=V0)2 =

1

2 sinÁ

(¡ sinÁ§ cosÁ)cos2 Á¡ sin2 Á ;

= ¡ 1

2 sinÁ

(cosÁ+ sinÁ)

cos2 Á¡ sin2 Á=

1

2 sinÁ

1

sinÁ¡ cosÁ=

1

2 sin2 Á¡ 2 sinÁ cosÁ=

1

1¡ cos 2Á¡ sin 2Á (Á > ¼=4)¶o

=1

2 sinÁ

(cosÁ¡ sinÁ)cos2 Á¡ sin2 Á

=1

2 sinÁ

1

cosÁ+ sinÁ

=1

1¡ cos 2Á+ sin 2Á

en particular para Á = ¼=2 (¶orbita circular) resulta como era de esperarx = 1=2, o sea V 20 = GM=R: Si Á = ¼=4, la soluci¶on es x = 1=4:

N

Ejemplo 14.0.4 Una part¶³cula se mueve en un campo central inverso alcuadrado a la distancia en movimiento el¶³ptico. Determine los promediostemporales en un periodo del movimiento de la energ¶³a cin¶etica y de la energ¶³apotencial en t¶erminos de la constante de la ley de fuerza y del semieje mayorde la elipse.


Soluci¶on. Si T denota el periodo, los valores promedios a calcular son:

hKi =1

T

TZ0

1

2m( _r2 + r2 _µ

2)dt ;

hV i =1

T

TZ0

¡Krdt :

Ambas integrales pueden cambiarse a integrales respecto al ¶angulo si se utilizalO = mr

2 _µ, de la siguiente forma

hKi = 1

T

2¼Z0

1

2m

Ãµdr

dµ_µ

¶2+ r2 _µ

2

!dµ_µ;

hV i = ¡ 1T

2¼Z0

K

r

dµ_µ:

Si adem¶as se utiliza la expresi¶on para la trayectoria

r =l2OmK

1

1¡ e cos µ ;

se puede obtener

hKi =1

T

2¼Z0

1

2m(

µl2OmK

e sin µ

(1¡ e cos µ)2¶2+ r2)

lOmr2

dµ ;

hV i = ¡ 1T

2¼Z0

K

r

mr2

lOdµ = ¡Km

TlO

2¼Z0

l2OmK

1

1¡ e cos µdµ ;

que pueden ser simpli¯cadas a

hKi =lO2T

2¼Z0

(e2 sin2 µ

(1¡ e cos µ)2 + 1)dµ ;

hV i = ¡ lOT

2¼Z0

1

1¡ e cos µdµ ;

261

utilizando la integral conocida

2¼Z0

1

1¡ e cos µdµ =2¼p1¡ e2 ;

e integrando por partes la expresi¶on para hKi, se obtiene

hKi = l02T

2¼p1¡ e2 ; hV i = ¡ l0

T

2¼p1¡ e2 :

Estos resultados pueden expresarse en t¶erminos de K; y a: Para ello recuerdeque

T =¼abm

lO; a =

l2OmK

1

1¡ e2 ; b =l2OmK

p1¡ e21¡ e2 ;

de donde resultar¶a

hKi = K

a; hV i = ¡2K

a:

N

Ejemplo 14.0.5 Un potencial frecuentemente encontrado en f¶³sica nucleares el pozo rectangular, de¯nido por:

V (r) =

½0 si r ¸ a¡V0 si r < a

:

Demuestre que el scattering producido por tal potencial es id¶entico con larefracci¶on de un rayo luminoso por una esfera de radio a y un ¶³ndice derefracci¶on relativo

n =p(E + V0)=E :

Soluci¶on. La ecuaci¶on de movimiento puede escribirse, en coordenadaspolares como

m(Är ¡ r _µ2) = ¡V0±(r ¡ a) ; mr2 _µ = l0 ;

lo que muestra que se conserva la velocidad transversal (a lo largo de µ) y lacomponente radial cambia al pasar la esfera seg¶un

_r2¯a+¡ _r2

¯a¡ = ¡

2V0m:


De all¶³ es f¶acil demostrar lo pedido, pues, ver ¯gura (14.2), se tiene que

V1 sin µ1 = V2 sin µ2;

(V1 cos µ1)2 ¡ (V2 cos µ2)2 = ¡2V0=m ; V 21 = 2E=m ;

luegosin µ1 =

p(E + V0)=E sin µ2 :

! 1! 2

aV1

V2

Figura 14.2: Scattering en pozo rectangular

N

Ejemplo 14.0.6 Dos part¶³culas de masa m1 y m2 se mueven bajo la acci¶onde su atracci¶on gravitacional, una en torno de la otra en ¶orbitas circula-res, con periodo ¿ : Si su movimiento es repentinamente detenido, cayendoentonces una hacia la otra, demuestre que ellas chocan en un tiempo dadopor

t =¿

4p2:

Soluci¶on. Para la situaci¶on inicial, ambas part¶³culas describiendo c¶³rculosen torno de G, se puede establecer que

¿ =2¼R

pRp

GM;

siendo R = R1+R2 ;M = m1+m2:Para la situaci¶on din¶amica, una cayendohacia la otra, la segunda ley de Newton implica

Är = ¡GMr2

;

263

siendo r = r1 + r2: Una primera integral conduce a

dr

dt= ¡

p2GM

r1

r¡ 1

R:

Separando variables e integrando nuevamente, se obtiene el tiempo para quechoquen, es decir para que r = R! r = 0: Ese tiempo resulta

t =RpR¼

2p2GM

;

de donde es f¶acil establecer lo solicitado.

N

Ejemplo 14.0.7 Se realizan tres rotaciones activas sucesivas en ¼=2 en tor-no a los ejes cartesianos x; y; z en ese orden. Encuentre el eje y el ¶angulo dela rotaci¶on equivalente.

Soluci¶on. La matriz de la rotaci¶on resultante ser¶a0@ 0 ¡1 01 0 00 0 1

1A0@ 0 0 10 1 0¡1 0 0

1A0@ 1 0 00 0 ¡10 1 0

1A ;es decir

R =

0@ 0 0 10 1 0¡1 0 0

1A ;de donde 1+ 2 cosÁ = Tr(R) = 1; por lo tanto Á = ¼=2: El eje se deduce de

R¡RT =0@ 0 0 2

0 0 0¡2 0 0

1A = 2 sinÁ

0@ 0 ¡nz nynz 0 ¡nx¡ny nx 0

1A ;

de donde se deduce que es una rotaci¶on en noventa grados respecto al eje y.

N

Ejemplo 14.0.8 Pruebe la siguiente relaci¶on entre rotaciones, que genera-liza el resultado del problema anterior

Rz(Á)Ry(¼=2)Rx(Á) = Ry(¼=2) :


Soluci¶on. La matriz de rotaci¶on ¯nita ha sido escrita en t¶erminos de unamatriz que hemos llamado (n£). Por una obvia propiedad de los vectores,tenemos que

R~a£~b = R(~a£R¡1~b) ;lo que signi¯ca que la matriz cruz correspondiente a un vector rotado es

(R~a£) = R(~a£)R¡1 :

En consecuencia

RRn(Á)R¡1 = RRn(Á):

En particular se tiene

Ry(¼=2)Rx(Á) = Ry(¼=2)Rx(Á)R¡1y (¼=2)Ry(¼=2)

= R¡z(Á)Ry(¼=2) ;

de donde es claro el resultado.

N

Ejemplo 14.0.9 Demuestre la siguiente relaci¶on de rotaciones que involu-cran los ¶angulos de Euler, ecuaci¶on 4:7 con la notaci¶on all¶³ indicada:

R = Rz0(ª)Rn(£)Rz(©) = Rz(©)Rx(£)Rz(ª) :

Soluci¶on. La demostraci¶on est¶a basada en las mismas propiedades delproblema anterior. Considere que

n = Rz(©){ ; k0 = Rn(£)k = RRz(©){(£)k ;

por lo tanto se tiene

R = Rn(£)Rz(ª)Rn(¡£)Rn(£)Rz(©)= Rz(©)Rx(£)Rz(¡©)Rz(ª)Rz(©)= Rz(©)Rx(£)Rz(ª):

pues rotaciones en torno a un mismo eje conmutan.

N

265

Z

��

��

��

*

!

XX '

Y

Y 'Z '

)

Figura 14.3: Angulos de Euler

Ejemplo 14.0.10 Demuestre que las componentes de la velocidad angular,en t¶erminos de los ¶angulos de Euler son

a) En el sistema m¶ovil

!x0 = _µ cosÃ + _Á sin µ sinÁ ;

!y0 = ¡ _µ sinÃ + _Á sin µ cosÁ ;

!z0 = _Ã + _Á cos µ :

b) En el sistema de ejes ¯jos:

!x = _Ã sin µ sinÁ+ _µ cosÁ ;

!y = ¡ _Ã sin µ cosÁ+ _µ sinÁ ;!z = _Ã cos µ + _Á :

Soluci¶on. De acuerdo al teorema de adici¶on de velocidades angulares setiene que

~! = _Ák + _µ{00 + _Ãk0; (14.1)

siendo {00 = cos Á{ + sinÁ| =cosÃ{0 ¡ sinÃ|0, entonces, para escribirla ent¶erminos de las direcciones ¯jas basta considerar que

k0 = cos µk + sin µ(sinÁ{¡ cosÁ|);


entonces

~! = _Ák + _µ(cosÁ{+ sinÁ|) +_Ã(cos µk + sin µ(sinÁ{¡ cosÁ|));

= ( _Ã sin µ sinÁ+ _µ cosÁ){+

(¡ _Ã sin µ cosÁ+ _µ sinÁ)|+( _Ã cos µ + _Á)k:

Para escribirla en ejes m¶oviles considere de nuevo (14.1)

~! = _Ák + _µ{00 + _Ãk0;

y ahorak = cos µk0 + sin µ(cosÃ|0 + sinÃ{0);

entonces

~! = _Á(cos µk0 + sin µ(cosÃ|0 + sinÃ{0)) +_µ(cosÃ{0 ¡ sinÃ|0) + _Ãk0

= ( _Á sin µ sinÃ + _µ cosÃ){0 +( _Á sin µ cosÃ ¡ _µ sinÃ)|0 +( _Á cos µ + _Ã)k0

N

Ejemplo 14.0.11 Considere una funci¶on escalar V (~r): Determine la nuevafunci¶on escalar U(~r) obtenida rotando la anterior en torno a un eje por elorigen, mediante una rotaci¶on en torno a un eje n en un ¶angulo Á.

Soluci¶on. Evidentemente, los valores de la funci¶on rotada U en un punto~r son los valores de la funci¶on original en el punto R¡1~r, es decir

U(~r) = V (R¡1~r):

N

Ejemplo 14.0.12 Se tiene un elipsoide centrado y orientado de acuerdo alos ejes cartesianos con ecuaci¶on:

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 :

Determine la ecuaci¶on del elipsoide que se obtiene al rotar el anterior entorno a un eje que pasa por su centro en un ¶angulo Á y en un eje n:

267

Soluci¶on. Es conveniente escribir la ecuaci¶on del elipsoide en una formamatricial

~rTM ~r = 1;

siendo

M =

0@ 1=a2 0 00 1=b2 00 0 1=c2

1A :De acuerdo al problema anterior, la ecuaci¶on del elipsoide rotado ser¶a

(R¡1~r)TM(R¡1)~r = 1;

o bien~rTRn(Á)MRn(¡Á)~r = 1:

Falta realizar la multiplicaci¶on matricial indicada, que es un tanto complica-da. Por ejemplo si, se trata de una rotaci¶on respecto al eje x, resultar¶a

x2

a2+

µcos2 Á

b2+sin2 Á

c2

¶y2 +

µsin2 Á

b2+cos2 Á

c2

¶z2

+2 cosÁ sinÁ

µ1

b2¡ 1

c2

¶z y = 1

N

Ejemplo 14.0.13 En la colisi¶on de dos cuerpos r¶³gidos si se conserva laenerg¶³a en el choque, pruebe entonces que el coe¯ciente de restituci¶on esunitario. Aqu¶³, el coe¯ciente de restituci¶on debe ser de¯nido respecto a ladirecci¶on en que se desarrolla la fuerza de interacci¶on impulsiva (J), ver¯gura (14.4).

Soluci¶on. Si llamamos ~J a la interacci¶on impulsiva y P1(y P2) al puntode contacto, 1 y 2 a los centros de masas e indicamos con + y¡ a valores delas diversas cantidades justo despu¶es y justo antes de la colisi¶on, tenemosque

M1(~v+1 ¡ ~v¡1 ) = ~J ; (14.2)

M2(~v+2 ¡ ~v¡2 ) = ¡ ~J ; (14.3)

H1(~!+1 ¡ ~!¡1 ) = ~G1P £ ~J ; (14.4)


J JP

G 1

v2

G 2

v1

1%2%

Figura 14.4: Colisi¶on de dos cuerpos r¶³gidos

H2(~!+2 ¡ ~!¡2 ) = ¡ ~G2P £ ~J ; (14.5)

y conservaci¶on de energ¶³a

1

2M1v

+21 +

1

2M2v

+22 +

1

2~!+1 ¢H1~!+1 +

1

2~!+2 ¢H2~!+2 =

1

2M1v

¡21 +

1

2M2v

¡22 +

1

2~!¡1 ¢H1~!¡1 +

1

2~!¡2 ¢H2~!¡2 : (14.6)

De las ecuaciones (14.4) y (14.5) se obtiene

~!+1 ¢H1~!+1 ¡ ~!¡1 ¢H1~!¡1 = (~!+1 + ~!¡1 ) ¢ ~G1P £ ~J ;

~!+2 ¢H2~!+2 ¡ ~!¡2 ¢H2~!¡2 = ¡(~!+2 + ~!¡2 ) ¢ ~G2P £ ~J :De aqu¶³, con algo de ¶algebra, puede obtenerse de la ecuaci¶on de conservaci¶onde la energ¶³a

(~v+1 + ~v¡1 ) ¢ ~J ¡ (~v+2 + ~v¡2 ) ¢ ~J = ¡(~!+1 + ~!¡1 )£ ~G1P ¢ ~J +

+(~!+2 + ~!¡2 )£ ~G2P ¢ ~J ;

pero~v+P1 = ~v

+1 + ~!

+1 £ ~G1P ;

y similarmente las otras, entonces

(~v+P1 + ~v¡P1¡ ~v+P2 ¡ ~v¡P2) ¢ ~J ;

269

es decir(~v+P1 ¡ ~v+P2) ¢ ~J = ¡(~v¡P1 ¡ ~v¡P2) ¢ ~J :

que signi¯ca coe¯ciente de restituci¶on unidad, en la direcci¶on del impulso deinteracci¶on.

N

Ejemplo 14.0.14 Para el movimiento de un trompo sim¶etrico con su p¶ua¯ja, discuta la condici¶on que debe cumplir su spin para que su movimientovertical sea estable. Considere dados sus momentos de inercia respecto a lap¶ua, A y C, su masa M y la distancia h desde la p¶ua al centro de masas.

Soluci¶on. Las constantes para el movimiento de este trompo ser¶an

® = A _Á2sin2 µ + Cs cos µ = Cs; E =

1

2Cs2 +mgh:

Entonces, la ecuaci¶on para _u2 (u = cos µ) resulta

_u2 = f(u) = (2mgh¡ 2mghu)1¡ u2

A¡µCs¡ Csu

A

¶2;

que admite como ¶³ndice u1 = 1; u2 = 1; y para la otra

2mhg1 + u

A¡µCs

A

¶2= 0:

La condici¶on de estabilidad es que esta tercera ra¶³z, sea mayor que 1, es decirµCs

A

¶2¸ 4mhg

A:

N

Ejemplo 14.0.15 Considere el movimiento de un trompo sim¶etrico con sup¶ua ¯ja, en precesi¶on uniforme, es decir con la inclinaci¶on de su eje respectode la vertical constante. Deduzca la condici¶on que deben cumplir su spin Sy su velocidad angular de precesi¶on _Á = para que ello ocurra. Consideredados sus momentos de inercia respecto a la p¶ua, A y C, su masa M y ladistancia h desde la p¶ua al centro de masas, adem¶as de la aceleraci¶on degravedad.


!

)

xy

Figura 14.5: Precesi¶on uniforme

Soluci¶on. Aqu¶³ es preferible partir de cero. Para este caso en el mo-mentum angular var¶³an s¶olo los vectores unitarios { ; k: En efecto, ver ¯g.(14.5)

~L0 = A _Á sin µ {+ Cs cos µ k ;

de donded~L0dt

= A _Á sin µd{

dt+ Cs cos µ

d k

dt= ¡mgh sin µ | :

Las derivadas son

d{

dt= _Á cos µ | ;

d k

dt= ¡ _Á sin µ | ;

por lo que resulta la condici¶on

A _Á2cos µ ¡ Cs _Á+mgh = 0:

Puede notarse que para un spin dado, existe uno, dos, o ni un valor de laprecesi¶on _Á seg¶un sea el signo del discriminante

C2s2 ¡ 4Amgh cos µ:N

Ejemplo 14.0.16 Respecto al problema anterior, deduzca la condici¶on quedebe cumplir el spin s del trompo, para que el trompo pueda tener movimientode precesi¶on uniforme en cualquier ¶angulo µ.

271

Soluci¶on. De la soluci¶on del problema anterior, basta requerir que C2s2¡4Amgh cos µ ¸ 0 para todo µ. Por lo tanto debe ser

C2s2 ¸ 4Amgh:

N

Ejemplo 14.0.17 Considere una barra de largo 2a y masa m que se colocahorizontalmente en equilibrio sobre el punto m¶as alto de una esfera de radio Rque permanece en reposo. Considerando s¶olo movimiento en el plano verticalque contiene la barra, escriba la ecuaci¶on de movimiento para el ¶angulo quegira la barra, considerando que ella no desliza sobre la esfera. Ver ¯gura(14.6).

GP

R

m, 2a

GP = R !

!

Figura 14.6: Barra sobre un cilindro

Soluci¶on. Con relaci¶on a la ¯gura, se tiene

xG = R sin µ ¡Rµ cos µ ; yG = R cos µ +Rµ sin µ :

De all¶³ se obtiene

L =1

2mR2µ2 _µ

2+1

2I _µ2 ¡mg(R cos µ + Rµ sin µ) ; I = 1

3ma2 ;

y

(I +mR2µ2)Äµ +mR2µ _µ2+mgR cos µ = 0 :

N


Ejemplo 14.0.18 Considere una part¶³cula de masa m que se mueve en unplano. Las coordenadas el¶³pticas ³ y ´ se de¯nen por:

³ = r1 + r2 ;

´ = r1 ¡ r2 ;siendo r1 y r2 las distancias de la part¶³cula a dos puntos ¯jos en el planodel movimiento. Demuestre que en t¶erminos de coordenadas el¶³pticas, elhamiltoniano de la part¶³cula libre est¶a dado por:

H = 2p2³³2 ¡ 4c2³2 ¡ ´2 + 2p

2´

4c2 ¡ ´2³2 ¡ ´2 ;

siendo 2c la distancia entre los dos puntos ¯jos (focos), ver ¯gura (14.7 ).

!2

2c

(x,y)

O

r 1 r2

! 1

Figura 14.7: Coordenadas el¶³pticas

Soluci¶on. Una soluci¶on elegante se encuentra en el libro de Arnold,p¶agina 262 ([2]). Una soluci¶on m¶as de fuerza bruta ser¶³a la siguiente. Conla notaci¶on indicada en la ¯gura, podemos escribir

r2 = r21 + c2 ¡ 2r1c cos(µ1) ;

r2 = r22 + c2 + 2r2c cos(µ2) ;

4c2 = r21 + r22 ¡ 2r1r2 cos(µ2 ¡ µ1) ;

x = r1 cos µ1 ¡ c = r2 cos µ2 + c ;y = r1 sin µ1 = r2 sin µ2;

273

de las cuales se puede obtener

x =r21 ¡ r224c

; y2 = r21 ¡ (x+ c)2 ;

x =³´

4c; y2 =

³2 + ´2

2¡µ³´

4c

¶2¡ c2 ;

de dondeds2 = dx2 + dy2 = a2d³2 + b2d´2 ;

con

a2 =³2 ¡ ´2

4(³2 ¡ 4c2) ; b2 =

³2 ¡ ´24(4c2 ¡ ´2) :

Como L = mv2=2; se obtiene

L =1

2m(a2 _³

2+ b2 _ 2) ;

y ¯nalmente

H =p2³2ma2

+p2´2mb2

:

N

Ejemplo 14.0.19 Utilice el resultado anterior para escribir el hamiltonianode una part¶³cula que es atra¶³da inversamente al cuadrado de su distancias ados centros ¯jos.

Soluci¶on. El potencial atractivo hacia los dos centros ¯jos ser¶a de laforma

V = ¡ kr1¡ k

r2= ¡kr1 + r2

r1r2= ¡k 4³

³2 ¡ ´2 ;

por lo tanto

H =p2³2m

4(³2 ¡ 4c2)³2 ¡ ´2 +

p2´2m

4(4c2 ¡ ´2)³2 ¡ ´2 ¡ k 4³

³2 ¡ ´2 :

N

Ejemplo 14.0.20 Separe e integre la ecuaci¶on de Hamilton Jacobi, parauna part¶³cula que es atra¶³da hacia dos centros ¯jos, utilizando coordenadasel¶³pticas.


Soluci¶on. La ecuaci¶on de Hamilton Jacobi para la funci¶on caracter¶³stica,con el tiempo separado, ser¶a

H(³; ´;@W

@³;@W

@´) = ®1:

Utilizando el hamiltoniano anterior, resultar¶a

2

m

µ@W

@³

¶2(³2 ¡ 4c2) + 2

m

µ@W

@´

¶2(4c2 ¡ ´2)¡ k4³

= ®1(³2 ¡ ´2) ;

por lo cual, separando variables se tiene

2

m

µ@W

@³

¶2(³2 ¡ 4c2)¡ k4³ ¡ ®1³2 = ®2 ;

2

m

µ@W

@´

¶2(4c2 ¡ ´2) + ®1´2 = ¡®2 ;

que permiten escribir

W =

rm

2

Z sk4³ + ®1³

2 + ®2

³2 ¡ 4c2 d³

+

rm

2

Z s¡®1´2 ¡ ®24c2 ¡ ´2 d´:

N

Ejemplo 14.0.21 Considere una part¶³cula movi¶endose en un campo centralde fuerza atractivo inverso al cuadrado de la distancia, de modo que

L =1

2mv2 +

k

r:

Demuestre que la energ¶³a, en t¶erminos de las variables de acci¶on angular,para coordenadas r y µ en el plano del movimiento, est¶a dada por

E = ¡ 2m¼2k2

(Jr + Jµ)2:

275

Soluci¶on. Los momentos can¶onicos ser¶an

pr = m _r; pµ = mr2 _µ;

Para el movimiento peri¶odico, con energ¶³a negativa, las variables de acci¶onson

Jµ = 2¼pµ ; Jr = 2

r2Zr1

r2mE ¡ p

2µ

r2¡ 2mK

rdr ;

siendo r1 y r2 las ¶³ndice de la cantidad subradical. La integral puede calcu-larse resultando

Jµ = ¡ 2mK¼p¡2mE ¡ 2¼pµ ;

de donde sigue el resultado.

N

Ejemplo 14.0.22 Escriba y resuelva las ecuaciones de movimiento para unconjunto de part¶³culas de igual masa que est¶an unidas en l¶³nea recta porresortes de constante el¶astica K; y largo natural a; para las desviacioneslongitudinales en torno a las posiciones de equilibrio. Considere primeroun conjunto de N part¶³culas estando ¯jas las de los extremos y luego, unconjunto in¯nito con condiciones de borde peri¶odicas, ver ¯gura (14.8).

qi

..... .....

m m m


Soluci¶on. El lagrangiano del sistema es

L =Xi

1

2m _q2i ¡

Xi

1

2K(qi ¡ qi¡1)2 ;

de donde se deducen las ecuaciones de movimiento para cada masa

Äqj =K

m(qj+1 + qj¡1 ¡ 2qj); j = 1; 2; : : : ; N:


Para un caso (a) tomaremos q0; qN+1 = 0; y para el otro caso (b) tomaremosq0 = qN ; qN+1 = q1: Para ambos casos, sean las dependencias temporales

qj(t) = Qjei ! t

resultando

¡!2Qj = 2(Qj+1 +Qj¡1 ¡ 2Qj) ; con 2 = K

m; (14.7)

un sistema de ecuaciones homog¶eneo que admite soluci¶on distinta de la trivialsolo s¶³ el determinante de la matriz de los coe¯cientes es cero. Aqu¶³, debendistinguirse los dos casos. Es decir las frecuencias admisibles ! satisfacena)

det

2666664!2 ¡ 22 2 0 ¢ ¢ ¢ 02 !2 ¡ 22 2 0

0 2 !2 ¡ 22 ......

. . . 2

0 ¢ ¢ ¢ 0 2 !2 ¡ 22

3777775 = 0b)

det

2666664!2 ¡ 22 2 0 ¢ ¢ ¢ 2

2 !2 ¡ 22 2 0

0 2 !2 ¡ 22 ......

. . . 2

2 0 ¢ ¢ ¢ 2 !2 ¡ 22

3777775 = 0Una alternativa sin embargo es encontrar soluciones no triviales de (14.7).Para ello suponga

Qj = Cei (j Á):

Si se reemplaza en el sistema de ecuaciones se comprueba que ellas son efec-tivamente soluciones si se cumple

! = 2 sin

µÁ

2

¶:

Para el caso peri¶odico debe adem¶as tenerse

ei (N Á) = 1;

277

por lo cual, las soluciones admisibles para las frecuencias son

!n = 2 sin³¼nN

´; con n = 0; 1; 2; :::;N ¡ 1:

El caso de extremos ¯jos, es m¶as complicado y est¶a resuelto en el cap¶³tulode sistemas continuos

N

Ejemplo 14.0.23 Para el movimiento de una part¶³cula respecto a un siste-ma ¯jo a la super¯cie de la tierra, que gira con velocidad angular constantesometida a su peso y a otras fuerzas que no realizan trabajo virtual, demuestreque despreciando t¶erminos en !2 las ecuaciones de Lagrange pueden escri-birse como:

d

dt

@L

@ _qi¡ @L@qi

= ¡2m(~! £ ~v) ¢ @~v@ _qi

:

Soluci¶on. De acuerdo al teorema de Coriolis, la aceleraci¶on absoluta~aabs puede relacionarse con la aceleraci¶on y velocidades relativas (~a y ~v) deacuerdo con

~aabs = ~aA + 2~! £ ~v + ~a ;siendo A un punto origen en la super¯cie terrestre. Si se considera adem¶asque

mgk = m~aA +GMm

R2R ;

entonces, la ecuaci¶on de movimiento, segunda ley de Newton, con una fuerza~F adicional a la gravitacional ser¶a

m(~aA + 2~! £ ~v + ~a) = ¡GMmR2

R + ~F ;

entoncesm~a = ¡mgk ¡ 2m~! £ ~v + ~F :

Ahora es necesario recordar que la siguiente es una identidad

d

dt

@

@ _qi

v2

2¡ @

@qi

v2

2= ~a ¢ @~r

@qi;

luego si se multiplica por la masa y se reemplaza m~a, recordando que ~F ¢@~r=@qi = 0 si la fuerza no realiza trabajo virtual, entonces

d

dt

@

@ _qiK ¡ @

@qiK = (¡mgk ¡ 2m~! £ ~v) ¢ @~r

@qi;


adem¶as@~r

@qi=@~v

@ _qi;

de donde se establece el resultado

d

dt

@L

@ _qi¡ @L@qi

= (¡2m~! £ ~v) ¢ @~v@ _qi

;

siendo el lagrangiano

L =1

2mv2 ¡mgz:N

Ejemplo 14.0.24 Aplique lo anterior para escribir las ecuaciones de movi-miento de una part¶³cula que oscila en un plano horizontal liso atra¶³da haciael origen por una fuerza el¶astica, con in°uencia de la rotaci¶on terrestre. Elijalos ejes x hacia el Sur, y hacia el Este, z vertical, en el punto de latitud ¸:

Soluci¶on. El lagrangiano es

L =1

2m( _x2 + _y2)¡ 1

2K(x2 + y2) ;

~v = _x {+ _y | ; ~! = ¡! cos¸ {+ ! sin¸ k ;Äx+

K

mx = 2! _y sin¸ ; Äy +

K

my = ¡2! _x sin¸ :

Alternativamente, si se hubieran usado coordenadas polares

L =1

2m( _r2 + r2 _µ

2)¡ 1

2Kr2 ;

Är ¡ r _µ2 + Kmr = 2r _µ ! sin¸ ;

d

dt(r2 _µ + 2r2 ! sin¸) = 0 :

N

Ejemplo 14.0.25 Si el origen del sistema (no inercial) que rota con veloci-dad angular ~! no est¶a acelerado, muestre que la ecuaci¶on de Lagrange puedeescribirse:

d

dt

@L

@ _qi¡ @L@qi

= 0;

si se toma como lagrangiano, el siguiente:

L =1

2mv2 ¡ V (~r) +m~v ¢ ~! £ ~r + 1

2m j~! £ ~rj2 :

279

Soluci¶on. La aceleraci¶on absoluta est¶a dada por (Teorema de Coriolis)

~aabs = 2~! £ ~v + ~! £ (~! £ ~r) + d~!dt£ ~r + ~a ;

luego se trata de demostrar que se obtiene correctamente la ecuaci¶onµm2~! £ ~v +m~! £ (~! £ ~r) +md~!

dt£ ~r +m~a+rV

¶¢ @~r@qi

= 0: (14.8)

Si denotamos por Li al operador

Li =d

dt

@

@ _qi¡ @

@qi;

se tiene que

Li1

2mv2 = m~a ¢ @~r

@qi;

similarmente

Li(¡V ) = @V

@qi= rV ¢ @~r

@qi;

y

Li(m~v ¢ ~! £ ~r) =µmd~!

dt£ ~r + 2m~! £ ~v

¶¢ @~r@qi

;

y ¯nalmente

Li

µ1

2m j~! £ ~rj2

¶= (m~! £ (~! £ ~r)) ¢ @~r

@qi;

que junto con la ecuaci¶on correcta (14.8), prueban que LiL = 0:

N


Cap¶³tulo 15

Ap¶endice

15.1 Una ecuaci¶on diferencial.

En mec¶anica juega un papel importante una ecuaci¶on diferencial del tipoµdu

dt

¶2= f(u);

donde supondremos que f(u) es una funci¶on dada, continua en u, positivaen un intervalo a < u < b (intervalo fundamental) y cero en los extremos.Un n¶umero importante de propiedades de las curvas integrales (reales) deesa ecuaci¶on u(t), pueden ser deducidas por argumentos simples, ver ¯gura(15.1).

² Si u = g(t) satisface la ecuaci¶on, entonces tambi¶en lo hace la curva tras-ladada horizontalmente g(t+c), siendo c una constante arbitraria. Estoes consecuencia que en una traslaci¶on no cambia ni la ordenada ni lapendiente, de modo que si la relaci¶on es satisfecha originalmente, tam-bi¶en se cumplir¶a al trasladar.

² Si una soluci¶on parte en el intervalo fundamental entonces no puedetomar valores fuera de ese intervalo, pues si lo hiciera, f(u) ser¶³a ne-gativa y la pendiente ser¶³a imaginaria.

² Cada curva integral u(t) en el intervalo fundamental toca tangencial-mente las l¶³neas u = a y u = b y no tiene en otros puntos pendiente

282 Ap¶endice

2T

t

u

Tu = a

u = b

Figura 15.1: Tipo de soluci¶on de una ecuaci¶on diferencial

cero. Esto es bastante evidente, pues por hip¶otesis du=dt > 0 en elinterior del intervalo, y du=dt = 0 en u = a y u = b.

² Una curva integral u(t) es sim¶etrica con respecto a los tiempos dondela curva toca los extremos u = a y u = b:

Demostraci¶on: sea u(0) = a, un punto inicial en la frontera. Para udisminuyendo con t aumentando du=dt = ¡pf(u) de donde

t = ¡Z u(t)

a

dupf(u)

: (15.1)

Para u aumentando con t aumentando, entonces du=dt =pf(u) y

¡t =Z a

u(t)

dupf(u)

;

lo cual implica

t = ¡Z u(¡t)

a

dupf(u)

; (15.2)

luego, comparando 15.1 con 15.2 sigue que u(¡t) = u(t):² El intervalo de tiempo entre contactos sucesivos de una curva integralu(t) con un extremo est¶a dado por

T

2=

Z b

a

dupf(u)

:

15.2 Las funciones el¶³ptica Jacobianas. 283

Basta considerar u(T2) = b en la demostraci¶on del punto anterior.

² Toda soluci¶on u(t) de la ecuaci¶on diferencial es una funci¶on peri¶odicacon per¶³odo T , es decir

u(t+ T ) = u(t);

pues la curva es sim¶etrica respecto a los puntos de contacto.

² Si u(t) es una curva integral, la soluci¶on general de la ecuaci¶on dife-rencial es

u(t+ c);

siendo c una constante arbitraria. Note que la ecuaci¶on diferencial esde primer orden luego la soluci¶on general depende de una constantearbitraria.

15.2 Las funciones el¶³ptica Jacobianas.

Un caso particular lo constituye la ecuaci¶on diferencialµdy

dx

¶2= (1¡ y2)(1¡ k2y2); (0 < k2 < 1):

Se de¯ne la funci¶on el¶³ptica Jacobiana sn(x) como la soluci¶on que satisfacelas condiciones sn(0) = 0; sn0(0) = 1: Por las propiedades generales de lasecci¶on anterior, tal funci¶on es peri¶odica con per¶³odo

T = 2

Z b

a

dupf(u)

= 2

Z 1

¡1

dyp(1¡ y2)(1¡ k2y2) = 4K;

siendo

K =

Z 1

0

dyp(1¡ y2)(1¡ k2y2) =

Z ¼2

0

d'p1¡ k2 sin2 '

;

una integral el¶³ptica completa.

284 Ap¶endice

15.3 El p¶endulo esf¶erico.

Consideremos el movimiento de una part¶³cula de masa m colgando unidapor un hilo de longitud a desde un punto ¯jo, con respecto a un sistema dereferencia inercial con origen en el punto ¯jo, z vertical, x; y horizontales,ver ¯gura (15.2).

z

z

a

0)y

x

Figura 15.2: P¶endulo esf¶erico

Considerando algunas aproximaciones, veremos que el movimiento del p¶endulo,visto en una proyecci¶on sobre el plano horizontal, es una elipse que precesaen torno a la vertical, con una velocidad angular proporcional al ¶area de laelipse. Ese efecto de ¶area, puede enmascarar la precesi¶on de Foucault si nose toman precauciones especiales. En coordenadas cil¶³ndricas, el lagrangianodel sistema es :

L =1

2m( _z2 + _½2 + ½2 _Á

2)¡mgz

siendo z2 + ½2 = a2 de modo que ½ _½ = ¡z _z . Entonces

L =1

2m

µ_z2 +

z2

a2 ¡ z2 _z2 + (a2 ¡ z2) _Á2

¶)¡mgz;

o sea

L =1

2m

a2

a2 ¡ z2 _z2 +

1

2m(a2 ¡ z2) _Á2 ¡mgz

15.3 El p¶endulo esf¶erico. 285

de aqu¶³, la ecuaci¶on para Á resulta

(a2 ¡ z2) _Á = h;adem¶as, podemos usar conservaci¶on de energ¶³a

1

2m

a2

a2 ¡ z2 _z2 +

1

2m(a2 ¡ z2) _Á2 +mgz = E;

y eliminando _Á, se obtiene

_z2 =2g

a2

µ(z2 ¡ a2)

µ(z ¡ E

mg

¶¡ h

2

2g

¶= f(z);

ecuaci¶on del tipo considerada en este ap¶endice. Factorizando el polinomioc¶ubico en la forma

f(z) = (z2 ¡ a2)µz ¡ E

mg

¶¡ h

2

2g= (z ¡ z1)(z ¡ z2)(z ¡ z3); (15.3)

donde el intervalo fundamental es ¡z1 < z < z2 suponiendo que ¡a < z1 <z2 < a < z3: Ahora, el cambio de Á cuando z pasa del m¶³nimo z1 al m¶aximoz2 , llamado ¶angulo apsidal ®; puede obtenerse de

dÁ

dz=

dÁ

dt

dt

dz=

h

a2 ¡ z21pf(z)

=hap2g

1

a2 ¡ z21p

(z ¡ z1)(z ¡ z2)(z ¡ z3);

de modo que

® =hap2g

Z z2

z1

1

a2 ¡ z2dzp

(z ¡ z1)(z2 ¡ z)(z3 ¡ z); (15.4)

De la expresi¶on (15.3), evaluada en z = ¡a, se obtienehp2g=p(a+ z1)(a+ z2)(a+ z3); (15.5)

Para realizar aproximaciones para oscilaciones peque~nas, consideremos quez1 ¼ z2 ¼ ¡a. Como veremos para este caso debe ser z3 peque~no. En efecto,la ra¶³ces del polinomio c¶ubico satisfacen

286 Ap¶endice

z1z2z3 =h2

2g¡ a

2E

mg;

z1 + z2 + z3 =E

mg;

z1z2 + z1z3 + z2z3 = ¡a2;

o bien, de la ¶ultima

z3 =¡a2 ¡ z1z2z1 + z2

;

que tiende a cero en esta aproximaci¶on. Considere adem¶as la expansi¶on enpotencias de z + a (que es peque~no)

1pz3 ¡ z =

1p(a+ z3 ¡ (z + a)

¼ 1p(a+ z3)

+1

2³p

(a+ z3)´3 (z + a);

de modo que, al reemplazar en (15.4), resulta

® =hap2g

Z z2

z1

1

a2 ¡ z2dzp

(z ¡ z1)(z2 ¡ z)1pz3 ¡ z =

® =hap2g

Z z2

z1

1

a2 ¡ z2dzp

(z ¡ z1)(z2 ¡ z)

0B@ 1p(a+ z3)

+1

2³p

(a+ z3)´3 (z + a)

1CA :O sea

® =hap2g

1p(a+ z3)

µI +

1

2(a+ z3)J

¶;

siendo

I =

Z z2

z1

1

a2 ¡ z2dzp

(z ¡ z1)(z2 ¡ z);

y

15.3 El p¶endulo esf¶erico. 287

J =

Z z2

z1

1

a¡ zdzp

(z ¡ z1)(z2 ¡ z):

Ambas integrales pueden calcularse con la transformaci¶on

z = z1 cos2 µ + z2 sin

2 µ;

obteni¶endose

I =¼

2a

Ã1p

(a¡ z1)(a¡ z2)+

1p(a+ z1)(a+ z2)

!;

J =¼p

(a¡ z1)(a¡ z2);

® =hap2g

1p(a+ z3)

(¼

2a

Ã1p

(a¡ z1)(a¡ z2)+

1p(a+ z1)(a+ z2)

!+

1

2(a+ z3)

¼p(a¡ z1)(a¡ z2)

):

Si adem¶as reemplazamos de (15.5) resulta

® =¼

2

Ã1 +

p(a+ z1)(a+ z2)p(a¡ z1)(a¡ z2)

+a

2(a+ z3)

p(a+ z1)(a+ z2)p(a¡ z1)(a¡ z2)

!():

Recordando que z1 ¼ z2 ¼ ¡a y z3 ¼ 0 entoncesp(a¡ z1)(a¡ z2) ¼ 2a; a+ z3 ¼ a;

y resulta

® =¼

2(1 +

p(a2 ¡ z21)(a2 ¡ z22)

4a2+1

2

p(a2 ¡ z21)(a2 ¡ z22)

4a2);

como ½1 =pa2 ¡ z21 y ½2 =

pa2 ¡ z22 se obtiene

® =¼

2(1 +

3½1½28a2

) =¼

2+1

2

3A

8a2;

288 Ap¶endice

de modo que la precesi¶on total de la elipse en una rotaci¶on completa ser¶a

4®¡ 2¼ = 3A

4a2;

siendo A = ¼½1½2 el ¶area de la elipse. La velocidad angular de precesi¶on ser¶a

! =3A

4a21

T=3A

4a21

2¼pa=g

;

expresi¶on que puede colocarse en t¶erminos de condiciones iniciales adecuadas

z(0) = ¡a cos®; _z(0) = 0; _Á(0) = ;

de modo que h = a2 sin2 ®: Adem¶as E = 12m(a2 sin2 ®)2 ¡mga cos® por

lo tanto, para evaluar el otro extremo de z hacemos f(z) = 0 es decir

(z2 ¡ a2)µz ¡

12m(a2 sin2 ®)2 ¡mga cos®

mg

¶¡ (a

2 sin2 ®)2

2g

= (z2 ¡ a2)(z + a cos®)¡ (z2 ¡ a2)(a2 sin2 ®)2

2g¡ (a

2 sin2 ®)2

2g

= (z2 ¡ a2)(z + a cos®)¡ 12a2¡sin2 ®

¢2z2 ¡ a2 cos2 ®

g

= (z2 ¡ a2)¡ 12a2¡sin2 ®

¢2z ¡ a cos®

g= 0;

de donde una soluci¶on es z1 = ¡a cos®; por lo cual

½1 = a sin®;

y si llamamos a la otra ra¶³z

z2 = ¡a cos¯;resulta

sin2 ¯ ¡ a

2g

¡sin2 ®

¢2(cos¯ + cos®) = 0;

o aproximadamente

sin2 ¯ =a

g

¡sin2 ®

¢2;

15.4 Operador r: 289

por lo cual

½2 = a

ra

g sin®;

y entonces

! =3A

4a21

T=3A

4a21

2¼pa=g

=3

8sin2 ®;

lo cual coincide con lo establecido J.L.Synge, pag.56, Encyclopedia of Physics([19]).

Para el caso de un p¶endulo movi¶endose en la tierra, en un punto de latitud¸, adem¶as de la precesi¶on de Foucault sin¸; si el movimiento del p¶enduloes iniciado \quemando un hilito" que lo alejaba de la vertical del lugar,la rotaci¶on terrestre inicialmente equivale a una precesi¶on inicial del p¶enduloesf¶erico de magnitud _Á(0) = sin¸ por lo cual el efecto de ¶area se manifestar¶acon magnitud

! =3 sin¸

8sin2 ®;

la cual es mucho menor que la de Foucault si la amplitud angular inicial ®es peque~na.

15.4 Operador r:En coordenadas cartesianas se de¯ne el operador r mediante

r = { @@x+ |

@

@y+ k

@

@z:

15.4.1 Gradiente.

Si se opera sobre una funci¶on escalar Á(x; y; z); rÁ se denomina el gradientey se representa por grad(Á), es decir

grad(Á) = rÁ = {@Á@x+ |@Á

@y+ k

@Á

@z:

290 Ap¶endice

El signi¯cado del gradiente sale de considerar, el cambio de la funci¶on Á alcambiar las coordenadas en cantidades in¯nitesimales dx, dy, dz. Resulta

dÁ =@Á

@xdx+

@Á

@ydy +

@Á

@zdz

= rÁ ¢ d~r:Esta ¶ultima relaci¶on contiene todo el signi¯cado del gradiente. Es obvio quesi el cambio de posici¶on del punto ocurre sobre la super¯cie Á =constanteentonces dÁ = 0 y luegorÁ¢d~r = 0. Esto signi¯ca querÁ es perpendicular ala super¯cie Á = constante. Esto da cuenta de la direcci¶on del gradiente. Porotro lado si el cambio de posici¶on ocurre hacia donde Á aumenta, entoncesdÁ > 0 y luego rÁ ¢ d~r > 0, es decir rÁ tiene el mismo sentido que d~r. Enotras palabras el gradiente apunta perpendicularmente a las super¯cies devalor constante y hacia donde aumenta Á: Respecto a la magnitud considereun cambio de posici¶on perpendicular hacia donde Á aumenta. Sea d~rx esecambio, entonces

dÁ = rÁ ¢ d~rx= jrÁj jd~rxj ;

luego

jrÁj = dÁ

jd~rxj :

15.4.2 Divergencia.

Si se aplica r mediante el producto escalar sobre una funci¶on o campo vec-torial ~A(x; y; z) se obtiene

div( ~A) = r ¢ ~A = @Ax@x

+@Ay@y

+@Az@z:

El signi¯cado de la divergencia se obtiene considerando un teorema, llamadoteorema de la divergencia.

I Teorema 15.1Si V es un volumen, rodeado por la super¯cie S y n indica el vector unitarioperpendicular a la super¯cie y hacia afuera del volumen entoncesZ

V

r ¢ ~AdV =IS

~A ¢ ndS:


Si se considera un volumen muy peque~no entonces podemos aproximar,y en el l¶³mite ser¶a un resultado exactoZ

V

r ¢ ~AdV ¼ (r ¢ ~A)V =IS

~A ¢ ndS;

luego

r ¢ ~A = limV!0

1

V

IS

~A ¢ ndS:

La integral IS

~A ¢ ndS

se denomina el °ujo del campo vectorial hacia afuera de la super¯cie cerradaS, lo cual en la representaci¶on de l¶³neas de un campo vectorial es igual aln¶umero de l¶³neas que salen de la super¯cie cerrada. En otras palabras ladivergencia es el valor l¶³mite, o sea el °ujo que sale de un punto por unidadde volumen.

Ausencia de fuentes o sumideros.

Si las l¶³neas del campo vectorial no nacen o terminan de puntos determinadosdel espacio entonces

r ¢ ~A = 0:

15.4.3 Rotor de un campo vectorial.

Si se aplica r mediante el producto vectorial sobre una funci¶on o campovectorial ~A(x; y; z) se obtiene

rot( ~A) = r£ ~A = (@Ay@z

¡ @Az@y){+

(@Az@x

¡ @Ax@z

)|+

(@Ax@y

¡ @Ay@x

)k:

En este caso la interpretaci¶on del rotor se logra mediante un teorema, llamadoteorema del rotor.

292 Ap¶endice

I Teorema 15.2Si C es un contorno orientado cerrado que encierra una super¯cie y n indicael vector unitario perpendicular a esa super¯cie y de acuerdo al sentido delcontorno (regla de la mano derecha) entoncesI

c

~A ¢ d~r =ZS

r£ ~A ¢ ndS:

Si se considera un contorno cerrado muy peque~no, que encierra una ¶areamuy peque~na S podemos aproximarZ

S

r£ ~A ¢ ndS ¼ (r£ ~A ¢ n)S =Ic

~A ¢ d~r:

La integral Ic

~A ¢ d~r

se denomina la circulaci¶on del campo vectorial alrededor del contorno cerra-do. De este modo tenemos una interpretaci¶on de la componente del rotorperpendicular a una super¯cie in¯nitesimal mediante

r£ ~A ¢ n = limS!0

1

S

Ic

~A ¢ d~r;

donde S es perpendicular a n. Por lo menos indiquemos en una ¯gura dosposibles formas (a) y (b) que tiene el campo vectorial en el plano xy de modoque resulte rotor distinto de cero en la direcci¶on z

15.4.4 Algunas propiedades.

I Teorema 15.3Si r£ ~F = 0 entonces ~F = ¡rÁ:

I Teorema 15.4Si r£ ~F = 0 entonces

H~F ¢ d~r = 0:

I Teorema 15.5Si ~F = ¡rÁ entonces R 2

1~F ¢ d~r = ¡(Á2 ¡ Á1):


(a) Gradiente transversal (b) Vórtice

Figura 15.3: Signi¯cado de rotor no nulo.

15.4.5 El Laplaciano r2.Este se de¯ne as¶³

r2Á = r ¢ (rÁ);o sea es la divergencia del gradiente.El caso en que r2Á = 0, es importante. Esto es cuando las l¶³neas del

gradiente no tienen fuentes ni sumideros. Si el Laplaciano de una funci¶onescalar es cero en una regi¶on sea S la super¯cie cerrada que la rodea. Entoncesen su interior

0 = r2Á =@2Á

@x2+@2Á

@y2+@2Á

@z2;

o sea las segundas derivadas parciales en el interior no pueden tener el mismosigno, o sea no hay m¶aximos ni m¶³nimos de Á donde el Laplaciano es nulo. porlo tanto si Á constante en la super¯cie, entonces es constante en su interior.

294 Ap¶endice

Bibliograf¶³a

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[20] W.McMillan. Dynamics of Rigid Bodies. Dover, New York, 1936.

¶Indice de Materias

Acci¶onde¯nici¶on de, 149forma hamiltoniana, 154

Aceleraci¶on de arrastre, 20Angulos de Euler, 48, 55Area

efecto de, 289

Binetecuaci¶on de, 11

Bolaproblema ejemplo, 113

Bola de billarun ejemplo, 73

C¶onicade¯nici¶on, 11tipos de, 12

Campo central de extremales, 152Can¶onica

formas de la transformaci¶on, 169transformaci¶on, 167

Cassinisf¶ormula de, 24

Condici¶on de existenciade la funci¶on generadora, 170

Condiciones de frontera.Ecuacin de onda., 215

Condiciones iniciales.Ecuacin de onda., 216

Cono del cuerpo, 88

Cono del espacio, 88Coordenadas de laboratorio, 37Coordenadas el¶³pticas, 272Coordenadas generalizadas, 94Coordenadas normales, 130Coriolis

aceleraci¶on de, 20teorema, 20teorema de, 277

Cosenos directores, 42Cuerpo r¶³gido, 59Curva

C-discriminante, 154

D'AlembertSolucion de la ecuaci¶on de on-

da., 243Diagonalizaci¶on

de matriz de inercia, 62en oscilaciones peque~nas, 128

Ecuaci¶onde Binet, 11de Hamilton Jacobi, 157, 187integral de la trayectoria, 14

Ecuaci¶on c¶ubica, 254Ecuaci¶on de Jacobi, 154Ecuaciones

de Euler, 75de Hamilton, 137de Lagrange, 93

298 ¶INDICE DE MATERIAS

de movimiento, 4Ecuaciones de Lagrange

para v¶inculos no holon¶omicos,151

Ejes principales de inercia, 62Elipsoide de inercia, 62Energ¶³a

mec¶anica, 7p¶erdida en el scattering, 39potencial de interacci¶on, 7

Energ¶³a cin¶eticaen oscilaciones peque~nas, 123

Energ¶³a cin¶etica de un cuerpo r¶³gido,61

Energ¶³a potencialen oscilaciones peque~nas, 125potencial, 7

Equilibrioen oscilaciones peque~nas, 124

Espacio de fase, 138Estabilidad

de posici¶on de equilibrio, 124Estabilidad de puntos cr¶³ticos, 139Euler

¶angulos de, 48ecuaciones de, 75par¶ametros de, 53teoremas sobre rotaciones, 41

Excentricidad, 11

Fluidos incompresibles., 230Forma bilineal invariante, 181Foucault

p¶endulo de, 26precesi¶on de, 27, 284

Fuerzacentral, 9de Lorentz, 29

dependiente de la velocidad, 104gravitacional, 22

Fuerzas de v¶³nculos, 94Fuerzas ¯cticias, 20Funci¶on

homog¶enea de grado p, 103Funci¶on caracter¶³stica de Hamilton,

191Funci¶on el¶³ptica jacobiana, 283Funci¶on generadora

condici¶on de existencia de, 180Funci¶on principal de Hamilton, 188Funciones generadoras, 169

Galileotransformaci¶on de, 1

Generadorasfunciones, 169

Grados de libertad, 94Gravedad

aceleraci¶on local, 22en t¶erminos de la latitud, 23

Hamiltonecuaciones de, 137funci¶on caracter¶³stica de, 191funci¶on principal de, 188principio variacional, 93principio variacional de, 150

Hamilton Jacobim¶etodo de, 187

Hamiltoniano, 100teorema de conservaci¶on, 102

Identidadrelacionada con ecuaciones de

Lagrange, 116Identidad ¶util, 255introducci¶on, xi

¶INDICE DE MATERIAS 299

Invariante adiab¶atico, 201

Jacobiecuaci¶on de, 154ecuaci¶on para curva C- discri-

minante, 153

Kepler, 35ley de, 14

Koenigteoremas de, 4

Lagrangeecuaciones de, 93, 97{99, 150multiplicadores de, 97par¶entesis de, 173

Lagrangiano, 98Lagrangiano aproximado

en oscilaciones peque~nas, 125Larmor

precesi¶on de, 29teorema de, 28

Legendretransformaci¶on de, 100, 169transformada de, 246

Liealgebra de, 48

Lorentzfuerza de, 29

M¶etodo de Hamilton Jacobi, 187Masa reducida, 8, 33Masa variable, 15Matrices de Pauli, 51Matrices unimodulares, 49Matriz

de inercia de un cuerpo r¶³gido,60

Matriz de inercia

rotaci¶on de ella, 64traslaci¶on de ella, 64

Momento can¶onicoteorema de conservaci¶on, 102

Momento de inercia, 61Momentos can¶onicos, 99Momentum angular de un cuerpo

r¶³gido, 60, 61Movimiento cuspidal.

Trompo., 83

Newtonley de acci¶on y reacci¶on, 4segunda ley, 4, 28en sistema no inercial, 20

No holonmico.Vnculo., 97

Noetherejemplos, 107formas del teorema, 165teorema de, 106, 162

Notaci¶on simpl¶ectica, 171

Ondas sonoras., 232Orbita

cuasi el¶³ptica, 245Oscilaciones peque~nas, 123Oscilador arm¶onico

ejemplo de, 145ejemplo Hamilton Jacobi, 193ejemplo invariante adiab¶atico,

202

P¶endulo esf¶erico, 27, 284P¶endulo simple, 146

un ejemplo de perturbaci¶on, 198Par¶ametro de impacto, 33Par¶ametros de Cayley Klein, 49Par¶ametros de Euler, 53

300 ¶INDICE DE MATERIAS

Par¶entesis de Lagrange, 173Par¶entesis de Poisson, 172Pauli

matrices de, 51Per¶³odo del movimiento, 196Peso

de¯nici¶on de, 21Poinsot

Eliposide de, 77Poisson

par¶entesis de, 172Potencia en ondas., 227Potencial efectivo, 10Pozo rectangular de potencial, 245Precesi¶on

efecto de ¶area, 27Precesi¶on uniforme.

Trompo., 81Producto de inercia, 61Promedios temporales

en ¶orbita el¶³ptica, 260Puntos conjugados, 158Puntos cr¶³ticos, 138

Rotaci¶onactiva de un vector, 44de un sistema, 41en torno a ejes cartesianos, 44¯nita de un vector, 45in¯nitesimal, 47pasiva de un vector, 43

Rutherfordscattering de, 35

Scattering, 33¶angulo de, 33secci¶on diferencial, 35

Scattering de Rutherford, 35

Secci¶on e¯caz, 246Similaridad

transformaci¶on de, 50Sistema

de dos part¶³culas, 7de masa variable, 15de referencia, 1de referencia celestial, 2de referencia no inercial, 19inercial de referencia, 2r¶³gido de part¶³culas, 59

Sistema cont¶³nuos, 205Sistema continuos, 213Sistemas aut¶onomos, 138Sistemas conservativos, 138Solucin de D'Alembert., 219Steiner

teorema de, 64

Teor¶³a de perturbaci¶on, 197Teorema

conservaci¶on momentum angu-lar, 9

de adici¶on de velocidades angu-lares, 55

de conservaci¶on del hamiltonia-no, 104

de Coriolis, 20de Larmor, 28de Noether, 106de Steiner, 64energ¶³a trabajo, 6

Teorema de la divergencia.Divergencia., 290

Teorema del rotor., 291Teoremas

de conservaci¶on, 102

¶INDICE DE MATERIAS 301

sobre ejes principales de iner-cia, 62

Tierramovimiento relativo a, 21

Transformaci¶on can¶onica, 167Transformaci¶on de similaridad, 50Trompo dormido, 112, 248, 269Trompo dormido.

Estabilidad., 81Trompo en precesi¶on uniforme, 248Trompo sim¶etrico, 108

ecuaciones de movimiento, 79,108

Unimodularesmatrices unimodulares, 50

V¶³nculos, 94V¶³nculo no integrando, 97Vnculo no holonmico., 97Variable de acci¶on angular, 195Variaci¶on

de los extremos en la acci¶on,155

primera de la acci¶on, 152segunda de la acci¶on, 152

Velocidad angular, 54Velocidad de grupo., 239Vertical del lugar, 21Virtuales

cambios virtuales, 94desplazamientos virtuales, 95

Documents

Libromecanica