TEMA: LA FIESTA

COLEGIO PREUNIVERSITARIO

NUESTRA SEORA DE MONSERRAT

LMITESNuestro propsito ser estudiar la nocin de lmite desde un punto de vista intuitivo, para lo cual damos la idea de aproximacin, de punto de acumulacin, terminando con una nocin intuitiva de lmite.

I. Ideas de aproximacinSea x0 un punto fijo en la recta numrica tal como se indica:

Cuando un nmero desconocido x se aproxima a x0, lo puede hacer por valores mayores o menores que x.

x0 Por la izquierda de x0 (menores que x0).- En este caso se dice que x se aproxima a x0 por la izquierda, por tanto se simboliza como: , expresin que se lee: x es menor que x0, pero cercano a l.

Por la derecha de x0 (mayores que x0).- En este otro caso, se dice que x se aproxima a x0 por la derecha, por tanto se simboliza como: , expresin que se lee: x es mayor que x0, pero cercano a l.

En los siguientes ejemplos, analizaremos qu sucede con las imgenes f(x) cuando las preimgenes x varan.

Ejemplos:

1. Sea la funcin:

f(x) = 20 + x

si asignamos valores a x cercanos a 2, qu sucede con f(X)?

Solucin:

Por la izquierda Por la derecha

Si tabulamos los valores anteriores y efectuamos una grfica, se tiene:

Por la izquierda de 2 Por la derecha de 2Intuitivamente podemos darnos cuenta que al aproximarse los valores de x al valor 2, se tiene que las imgenes f(x) se aproximan al valor 22.

Esto se simboliza denotando:Cuando: se tiene que . Sabemos que estamos aproximando, por ello no hacemos hincapi que para: x = 2, se obtenga: f(x) = 22.2. Hallar los valores de:

para valores de x cada vez ms cercanos a 3.

Solucin:

Observamos que cuando x se aproxima a 3, las imgenes f(x) se aproximan a 6. Esto se simboliza de la siguiente forma: cuando: , tenemos que: . No nos interesa que f(x) no est definida en 3, pues de hecho f(3) no existe.

Por la izquierda Por la derecha

En la funcin observamos que:

x2 9 = (x - 3) (x + 3)Luego el factor (x + 3) puede simplificarse en la expresin f(x), quedando:

II. Nocin intuitiva de lmitePara el ejemplo 1 de aproximacin: f(x) = 20 + x, tenemos:

cuando x se aproxima a 2; f(X) se aproxima a 22.

Simbolizando:

cuando

y se escribe como:

que se lee: el lmite de f cuando x se aproxima a 2, es 22.Luego, lim f(x) nos indica: valor lmite de f(x).Para el ejemplo 2 de aproximacin:

habamos deducido que:cuando x se aproxima a -3,se tiene que f(x) se aproxima a -6Lo que se simboliza:cuando ; se tiene que

y se escribe como:

Se lee: el lmite de f(x) cuando x se aproxima a

x0 es L.

Definicin informal del lmiteSi existe un nmero real L que f(x) est cerca a L para todos los valores de x prximos al nmero x0, entonces se dice que:

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5. A continuacin analizaremos los siguientes lmites, teniendo presente que la existencia de un lmite no depende de que est o no definida la funcin en el punto a que nos aproximamos.

a. b. c.

a. La funcin f(x) est definida en: x0 = 2; se tiene:

b. La funcin g(x) no est definida en: x0 = 2; se tiene:

c. La funcin h(x) est definida en: x0 = 2; h(2) = 2, pero se tiene:

6. Seguidamente, ilustramos algunos casos en los cuales el lmite no existe:

a. b.a. Tenemos que: no existe, ya que: Cuando: x 3; se tiene que: f(x) 4

Cuando: x 3+; se tiene que: f(x)3

b. Tenemos que: no existe, ya que: Cuando: x0; se tiene que: g(x)+

Cuando: x0+; tenemos que: g(x)-

Observacin: La definicin dada es informal, ya que no precisa cun prximo debe estar x de x0 (o cun cerca debe estar f(x) de L). La interpretacin de cun prximo debe estar no es la misma, por ejemplo, para un carpintero (para quien puede ser cuestin de milmetros) que para un astrnomo (para quien puede ser cuestin de miles de kilmetros).

Calcular:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

III. Clculo de lmites

1. Mtodo de la cancelacin de los factores comunes

Si: f(x) es de la forma , se recomienda factorizar el trmino (x x0) tanto en el numerador como en el denominador para su correspondiente cancelacin. Ejemplo:Calcular:

Solucin:Veamos qu sucede si construimos una tabla que nos muestre la aproximacin:

Lo que ocurre es que cuando x se aproxima a cero, la imagen f(x) se aproxima a 8, es decir:

En este caso la forma indeterminada toma el valor 8. Si aplicamos la recomendacin dada para este clculo, este proceso laborioso se puede obviar factorizando el trmino (x x0), que en este caso es: x 0 = x, nos queda:

EMBED Equation.3 2. Mtodo de la racionalizacinSi f(x) es de la forma y estn presentes radicales, se procede a multiplicar y dividir por la conjugada de cada una de las formas radicales; de modo que se cancelen factores comunes de la forma (x x0). Ejemplo 1

Calcular:

Solucin:

Veamos lo que ocurre construyendo una tabla de valores que nos muestre la aproximacin, para lo cual te recomendamos usar una calculadora.

Lo que sucede es que cuando x se aproxima a 4, la imagen se aproxima a 4.Luego:

La forma indeterminada toma el valor 4. Aplicando la recomendacin dada para este clculo, tenemos:

Ejemplo 2Hallar:

Solucin:

Tenemos:

Despus de resolver estos ejemplos, te has preguntado, por qu a la expresin se le llama forma indeterminada?, qu opinas al respecto?Calcular los siguientes lmites:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

IV. Formalizacin de lmitesLas nociones intuitivas desarrolladas en el captulo anterior, pasamos a precisarlas, a travs de las mediciones de las aproximaciones, tanto cuando x se aproxima a x0 como cuando f(x) se aproxima a L.

1. Definicin de lmite

Dada una funcin f, decimos:

El lmite de la funcin f en el punto x0 es el nmero real L, si y slo si:

Las letras griegas y se llaman psilon y delta respectivamente. El punto x0 puede estar o no en el dominio de f.

La definicin indica que x Dom f 0 < Ix x0I < . Si este conjunto es diferente del conjunto vaco, se dice que x0 es punto de acumulacin del dominio f (en caso contrario, afirmamos que x0 no es punto de acumulacin) El lmite de una funcin en un punto si existe es nico.

2. Teoremas fundamentalesSi:

y

donde: L1, L2 R y c es una constante real, tenemos los siguientes teoremas:

a.

b.

c.

d.

e. Z+f.

PROBLEMAS BLOQUE I01. Calcular:

A) 3

B) 9

C) 18D) 27 E) 3602. Calcular:

A) 2

B)

C)

D) 1

E)

03. Calcular:

A)

B)

C)

D)

E)

04. Calcular:

A)

B)

C)

D)

E) 205. Calcular:

A) 0

B)

C)

D) 1

E)

06. Calcular:

A)

B) 2

C)

D)

E)

07. Calcular:

A) 0

B)

C)

D)

E)

08. Calcular:

A) 2

B) 4

C)

D)

E)

09. Calcular:

A) 3

B) 4

C) 3 D) 0

E)

010. Calcular:

A) 2

B) 0

C) 2D) 4

E) 4

BLOQUE II01. Hallar:

A)

B) 1C)

D) 3 E) N.A. 02. Hallar:

A) 0

B) 1C) 1

D)

E) N.A.03. Hallar:

A)

B)

C)

D)

E) N.A.04. Hallar:

A)

B)

C)

D)

E) N.A.05. Hallar:

A) 1

B)

C)

D)

E) N.A.06. Encuentre el valor de para que dos sea igual al lmite.

A) 1,5

B) 9

C) 4

D)

E) 607. Hallar:

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) N.A.08. Hallar:

A) n

B) 1

C)

D) 0

E) N.A.09. Calcular:

;

A)

B)

C)

D)

E)

010. Hallar:

A)

B)

C)

D)

E) N.A.

BLOQUE III01. Hallar:

A)

B)

C)

D)

E)

02. Calcular:

A) 0

B) 1

C)

D)

E)

03. Calcular:

A)

B)

C)

D)

E) 004. Determine:

A)

B)

C)

D) 0

E)

05. Calcular:

A)

B)

C)

D)

E) e

06. Calcular:

A)

B)

C)

D)

E) 107. Calcular:

A) 1

B) 25C) 5

D)

E) 12508. Si:

Calcular:

A) 0

B) a + b

C) a b

D)

E)

09. Si:

es un nmero real determinado, segn ello, calcule: a + 4b

A) 32 B) 16 C) 24 D) 48E) 64

010. Hallar:

A)

B)

C) 1 D) 1

E) 2

TAREA01. Calcular:

A)

B)

C) 2

D) 9

E) 1

02. Calcular:

A)

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

03. Calcular:

A) 1

B)

C) 2

D)

E)

04. Calcular:

A) 3

B)

C)

D) 2

E) 1

05. Calcular:

A)

B) 0

C) 1

D)

E)

h(x)

f(x)

4

xy1,9021,901,9521,951,9821,981,9921,992,0122,012,0222,022,0522,052,1022,10

2

EMBED Equation.3

x

y

x0

recta numrica

2

x

EMBED Equation.3

2

3

x

y

4

x

y

g(x)

g(x)

y

x

3

y

4

f(x)

4

2

PAGE 395 Secundaria 4to Bimestre lgebra

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