Linearna funkcija y=kx+n (k,nϵR)

Svako pravilo, propis ili dogovor po kome se svakom elementu skupa A pridružuje tačno jedan element skupa B naziva se funkcija ili preslikavanje. f:A B (“Ef sa A u B”)

Za preslikavanje skupova neophodno je sljedeće:

1) Polazni skup A (ili domen).

2) Završni skup A (ili kodomen).

3) Propis ili formula

x je nezavisno promjenljiva veličina ili argument

y je zazavisno promjenljiva veličina ili funkcija

Funkciju oblika f(x)=kx+n (k,nϵR) nazivamo linearna funkcija.

Funkciju oblika f(x)=kx+n (k,nϵR) nazivamo linearna funkcija.

y=kx+n je eksplicitni oblik

Ax+By+C=0 je implicitni oblik

Grafik linearne funkcije y=kx+n (k,nϵR) je prava.

Ako su koeficijenti pravca pravih jednaki, onda su prave paralelne ili

Dvije prave y=k1x+n1 i y=k2x+n2 su paralelelne ako

imaju jednake koeficijente smjerova tj.ako je k1=k2 .

NULA I TOK FUNKCIJE Mat. str. 53.

x 0

y n 0 k

n

Vrijednost nezavisno promjenljive x za koju zavisno promjenljiva y ima vrijednost 0 naziva se NULA funkcije

Funkcija y+kx siječe osu Oy ako je x=0 to je tačka B(0,n)

Funkcija y=kx+n siječe osu Ox ako je y=0, to je nula funkcije , odnosno tačka

k

nx

0,

k

nA

0,

k

nA

nB ,0

Funkcija y=kx+n zaklapa sa osom Ox a) oštar ugao ako je k>0 b) tup ugao ako je k<0 c) ako je k=0 grafik je paralelan apscisnoj osi.

Linearna funkcija y=kx+n je a) rastuća, ako je k>0 b) opadajuća, ako je k<0 c) konstantna, ako je k=0.

α

b) a) α=00

Mat. str. 54. i 55.

α

1.Bez crtanja grafika, odredi koordinate presjeka grafika linearne funkcije sa y-osom a) y=2x-3 b) y=-2x+0,5 c) y=-x

Presjek grafika linearne funkcije sa

y-osom je tačka (0,n) a) (0,-3) b) (0;0,5) c) (0,0)

Rješenje:

x 0

y -3

x 0

y 0,5

x 0

y 0

2

1

-2

4,5

-2

2

2.Zašto su grafici linearnih funkcija paralelne prave? a) y=3x-1 b) y=3x+5

Grafici linearnih funkcija su paralelne prave jer su im koeficijenti pravca isti

k=3.

Rješenje:

3. Dada je funkcija Dopuni tabelu:

32

1 xy

x 6 0 4

y -1 2

32

1 xy

362

1y

33y

0y

0 3 1

342

1y

32y

1y

2/32

11 x

62 x

26x

8x

8

2/32

12 x

2/64 x

46x

2x

2

4.Koja od tačaka A(-3,1),B(0,1) , pripada grafiku funkcije y=-3x-2?

1,

3

1C

Rješenje:

yx

A 1,3

y=-3x-2

1=-3(-3)-2

1=9-2

1=7 ( )

yx

B 1,0

y=-3x-2

1=-3·0-2

1=-2 ( )

y

x

C 1,3

1

y=-3x-2

23

131

211

11 (T )

5.a)Sa grafika linearne funkcije y=kx+n pročitaj vrijednost za n. b)Izračunaj vrijednost za k.

(1,4)

(0,-2)

Rješenje:

a) n=-2 y=kx-2

b) (1,4) x=1,y=4 i n=-2 uvrstimo u y=kx+n

4=k-2 k=6

y=6x-2

6.Ne crtajući grafik, odredi da li prava: a)y=3x; b)y=-2x ;c)y=-0,2x d)y=-1/2x+1 zaklapa sa pozitivnim smjerom x-ose oštar ili tup ugao?

Rješenje:

a) y=3x , k=3>0 oštar ugao

b) y=-2x , k=-2<0 tup ugao

c) y=-0,2x, k=-0,2<0 tup ugao

d) d)y=-1/2x+1 , k=-1/2<0 tup ugao

7.Prava y=kx+7, sadrži tačku M(-1,-3). Da li prava sadrži tačku N(4,47)?

Rješenje:

yx

M 3,1

y=kx+7

-3=k(-1)+7 -3=-k+7 k=7+3

yx

N 47,4

y=10x+7

47=10·4+7

47=47 ( T )

k=10 Prava sadrži tačku N(4,47)

8.Napiši linearnu funkciju čiji je grafik prava paralelna sa grafikom funkcije y=2x-3, a ordinatnu osu presijeca u tački (0,5).

Dvije prave y=k1x+n1 i y=k2x+n2 su paralelelne ako imaju

jednake koeficijente smjerova tj.ako je k1=k2 .

Rješenje:

Ako je prava y=kx+n paralelna sa grafikom

funkcije y=2x-3 onda je k=2

Ako prava y=kx+n presjeca ordinatnu osu u

tački (0,5) onda je n=5.

y=2x+5

9.Data je funkcija f(x)=(m-2)x+4m+6. Odredi mϵR tako da njen grafik siječe y-osu u istoj tački kao i grafik y=3x+2.

Rješenje:

Prava y=3x+2 siječe y-osu u tački (0,n) tj.n=2

4m+6=2

4m=2-6

4m=-4/:4

m=-1

10.Ako tačka A(-2,1) pripada grafiku funkcije

ax-3x=2y-3a, (aϵR) odredi a i tu funkciju napiši u eksplicitnom obliku

Rješenje:

yx

A 1,2

ax-3x=2y-3a

a·(-2)-3·(-2)=2·1-3a

-2a+6=2-3a

-2a+3a=2-6

a=-4

ax-3x=2y-3a

-4x-3x=2y-3·(-4)

-4x-3x=2y+12 -2y=4x+3x+12

-2y=7x+12/·(-1)

2y=-7x-12/:2

62

7 xy

Za a=-4

11*. Koliki je odsječak prave PQ prave

3x+4y-1=0, ako su upitanju tačke P(3,y) i Q(x,1)! Rješenje:

yP

x

,3

3x+4y-1=0

3·3+4y-1=0

9+4y-1=0

4y=1-9 4y=-8/:4 y=-2

P(3,-2)

y

xQ 1,

3x+4y-1=0

3x+4·1-1=0 3x+4-1=0 3x=-4+1

3x=-3/:3 x=-1

Q(-1,1)

11

2,3yx

P

22

1,1yx

Q

212

2

12 yyxxPQ

22)2(131 PQ

22214 PQ

2234 PQ

916 PQ

525 PQ

12*. Koji od ovih grafika (pravih)

predstavlja funkcija y=2x-1. Rješenje:

n=0 n=-1 n=1 n=2

Prava y=2x-1 siječe y-osu u tački (0,n) tj.n=-1 Za sliku b) provjerimo tačku (2,3)tj. 3=2·2-1 Funkciju y=2x-1 predstavlja slika pod b)

Vj. 2.6. str. 56. i 57.

1. Računski odredi nulu funkcije i popuni tabelu.

x 0

y n 0

a) y=2x-4

Za x=0, y=2·0-4=-4

Za y=0, 0=2·x-4 -2x=-4/:(-2) x=2 Nula za x=2

-4

2

b) y=3x+2

x 0

y n 0

Za x=0, y=3·0+2=2

2

Za y=0, 0=3·x+2 -3x=2/:(-3) x=-2/3 Nula za x=-2/3

-2/3

2

1

3

5) xyc

x 0

y n 0

Za x=0 2

1

2

10

3

5y

Nula funkcije y=0,

6/2

1

3

50 x

0=10x+3 -10x=3 x=-0,3

2

1

-0,3

Vj. 2.6. str. 56. i 57.

2. Računski odredi nulu funkcije i popuni tabelu.

x 0

y n 0

c) y=-4x+3

Za x=0, y=-4·0+3=3

Za y=0, 0=-4x+3 4x=3/:4 x=3/4 Nula za x=3/4

3

3/4

5,02

1) xyd

x 0

y n 0

Za x=0 5,05,002

1y

Nula funkcije y=0,

2/5,02

10 x

0=-x+1 x=1

5,0

1

Vj. 2.6. str. 56. i 57. 1. Napiši funkciju y=kx+n za k=2 i i popuni tabelu.

2

12 xy

x 0

y n 0 Za x=0

2

1

2

102 y

Nula funkcije y=0,

2/2

120 x

0=4x-1

-4x=-1

4

1

2

1n

4

1x

2

1

Rješenje:

3. Data je funkcija 2x+y-8=0 a)Odredi nulu funkcije b)Za koju vrijednost promjenljive je y<0? Rješenje:

Nula funkcije y=0

2x+y-8=0

2x+0-8=0

2x=8/:2

x=4 A(4,0)

y<0

2x+y-8=0

y=-2x+8

-2x+8<0

-2x<-8/·(-1) 2x>8/:2

x>4

4. Napiši bar po tri primjera: a)rastuće funkcije, b) opadajuće f.

Rješenje:

a)rastuće funkcije

1) y=2x-5; k=2>0

2) y=0,5x-15; k=0,5>0

3) y=3/4x-10; k=3/4>0

a) opadajuće funkcije

1) y=-3x+5; k=-3<0

2) y=-x-15; k=-15<0

3) y=-3/4x-10; k=-3/4<0

5. Odredi a (aϵR) tako da funkcija y=(4a-6)x-(3a-2) ima nulu: x=2.

Rješenje:

Funkcija ima nulu ako je y=0.

U funkciju y=(4a-6)x-(3a-2) uvrstimo x=2 i y=0.

0=(4a-6)·2-(3a-2)

0=8a-12-3a+2

-8a+3a=-12+2 -5a=-10/:(-5)

a=2

6.Napiši linearnu funkciju čiji je grafik prava paralelna sa grafikom funkcije , a apscisnu osu presijeca u tački M (-4,0).

Dvije prave y=k1x+n1 i y=k2x+n2 su paralelelne ako imaju jednake

koeficijente smjerova tj.ako je k1=k2 .

Rješenje:

Ako je prava y=kx+n paralelna sa grafikom

funkcije onda je

Uvrstimo x=-4, y=0 i u funkciju y=kx+n

14

3 xy

14

3 xy

4

3k

4

3k

3

30

)4(4

30

n

n

n

yx

M 0,4

4

3k 3n

7.a)Na bazi grafika linearne funkcije popuni tabelu b) Napiši funkciju u implicitnom obliku Ax+By+C=0

X 1 2

y 0 -1 1 3

-2 -3

4

-1

y=kx+n; n=2 Za x=0, y=2

y=kx+2 Za x=-2, y=0 y=kx+2 0=-2k+2

y=kx+n y=x+2 -x+y-2=0 A=-1 B=1

2k=2/:2 k=1

C=-2

(1,3)

(-2,0)

(-3,-1)

(2,4)

(-1,1)

8.a)Odredi one vrijednosti p,(pϵR)za koje će funkcija f(x)=(3-p)x+1 biti rastuća.

b)Odredi one vrijednosti m,(mϵR)za koje će funkcija (3-m)x+2y-1=0 biti rastuća.

Rješenje:

Linearna funkcija y=kx+n je rastuća, ako je k>0

a) 3-p>0

-p>-3/·(-1)

p<3

b) (3-m)x+2y-1=0

2y=-(3-m)x+1/:2

2

1

2

3

x

my

2/02

3

m

-(3-m)>0 -3+m>0 m>3

9.Odredi one vrijednosti n,(nϵR)za koje

će funkcija (2n-3)x+5y-3=0 biti opadajuća. Rješenje:

Linearna funkcija y=kx+n je opadajuća, ako je k<0 (2n-3)x+5y-3=0

5y=-(2n-3)x+3/:5

5

3

5

32

x

ny

5/05

32

n

-(2n-3)<0

-2n+3<0 -2n<-3/·(-1) 2n>3/:2

2

3n

11. Nacrtati grafik funkcije Odredi kϵR za koje je: a)Funkcija rastuća b)paralelan sa y=-2x+7

Rješenje:

a)rastuća funkcija

2-3k>0

1322

1 xky

0322

1 k

2/02

3

2

2

k

-3k>-2/·(-1)

3k<2/:2

3

2k

2322

1 k

b) )paralelan sa y=-2x+7

2/22

3

2

2

k

2-3k=-4

-3k=-4-2

-3k=-6/:(-3) k=2

12. Na slici je grafik jedne od funkcija:

(1) y=2x; (2) y= x+2; (3) y=x-2; (4) y=2-x; (5) y=2x+2.

a) Koja od funkcija je predstavljena tim grafikom

(zaokruži broj ispred tačnog odgovora)?

b) Za koje x ta funkcija ima pozitivne vrijednosti?

Rješenje:

(1) y=2x

x 0 2

y 0 4

(2) y= x+2

x 0 -2

y 2 0

(3) y=x-2

x 0 2

y -2 0

(4) y=2-x

x 0 2

y 2 0

(5) y=2x+2

x 0 -1

y 2 0

(0,2)

(2,0)

b) x<0

3

4

Rješenje:

x 0 -4

y 3 0

2

abP

2

34 P

6P

c

c2=32+42

c2=9+16

c2=25

c=5

O=3+4+5

O=12