6.2 V U e K. F:VU ( ) 1.(2. , F:VU . =0 (2) F(0)=0, . (1) (2) : . : Ako (1) (2) . : F:VU V U. 6.2: V U . e V U. F:VU F:VU. . F . . , . , . F . . , . , : . .6.3 : F:VU . U . . e V , . .6.3: F:VU .. U V.: F(0)=0, . , . . U. F(0)=0, . V. 6.4: V e . F:VU .. : dim V=n. . . e . . B . . V , . : B . B . . . , V . B e . F:VU .. F , F . =(F)+(F). . . ., .6.5 - . . , . . =0, .. 6.5. .: .. . . . .. . . , . .: .

m n .

. . .. . . 6.4 . n . 5.11 5. 5.11 W n-r n , r A.

6.6 . V U . .6.6. V U . V U . . 1. .. A2. . 3. .. G e A4. .. 1. . 2. .. .3. .. .4. .. . .6.6. Hom(V,U). Hom . 6,7. . . V U. 6.2. .. U V. . mn . Hom(V,U). (V,U): . 2. .. .3. .. .4. .. . .6.6. Hom(V,U). Hom . 6,7. . . V U. 6.2. .. U V. . mn . Hom(V,U). (V,U): . F= Hom(V,U). . . . . .. . -. .. 6,8. . , 1) 2)3)1) 2) ) 3) )

6.7. . . , 1)2)3) . . .81-866.8. .. 81-86

.

. , ibilen . .. . , V , . 6.4.

, , .

.6.4. .

: . , , , . , .

6.9. . , . 6.9. . . () .. . . . , , . .6.10.

...

i) , .ii) , :

- ,- , .

V .

( 3 "..." xD)

, . V n- , . .7.1.

V V. V

...

, . n- .

: Transponiranata , .

7.1. V V. ,

: , . n- j- (1)

. (2).

j- . , j- - .. (1) (2) (3).

7.1. , .

7.2. V n- . . (V) . , .

: . i=1,2,..., n , . B . . ,

+B , i=1,..,n

. 7.3. V. .

: , , B . .

AB.

7.2 . ? :

: V .

P

( ) {ei} {fi}. P , P-1 {fi} {ei}. 7.4 P {ei} {fi} V. , v V, P[v]f=[v]e. [v]f=P-1[v]e.

: 1 i n. P n- j- .

, .

.

[v]e - . , j- P[v]f j- P [v]f . (1) (2), (3). P[v]f [v]e , P[v]f=[v]e. || dim V=3. P {e1,e2,e3} {f1,f2,f3},

.

.

,

.

. 7.5 P {ei} {fi} V. T V, [T]f=P-1[T]eP.: v V,

, , .

Kn .

.||

7.3 A B P B=P-1AP. B A A . . 7.5 : 7.6 A B T . || , T . {ei} . {ei} T. 7.7 A T. T P P-1AP . . 7.7, T . . f R. f(A)=f(B) A B . f(T)=f([T]) {ei} . 7.4

. V U K dimV=3 dimU=n. {e1,em} {f1,fn} V U . F:VU . F(e1),., F(em) U fi.. [F]ef F {ei} {fi} {ei} {fi}.

: 7.8

,

, , v {ei} F(b) {fi}. 7.9

Hom(V,U) nxm K. , F,G

: nxm A K Km Kn . V U K m n , {ei} e V {fi} e U. 7.9 A F:V->U . V U , A V U. 7.10 {ei}, {fi} i {gi} V, U i W . F:V->U i G:U->W , :

||

, , . . 7.11

P {ei} {ei`} V , Q {fi} {fi`} U. ,

U ,

V. .

. F=r. V U F

I . F.

. dimA=m dimU=n. W od F a F. F e r , kerF m-r . {} kerF V :

{}

. {} U

{} .

- - - - - - - -

F .VIII

detA . . . . .8.1. .

{1,2,,n}{1,2,,n} . :

1,2,...,n . n n!=, , . .

(i,k) i>k I k . :

8.2. n-

n . . , . n . n! .

. n- n! detA .

: n- n- :

.

, .

8.3 A .

8.1 . detA = det.

=(). = ( ) =

det=

=

. , , . .

( =

=

=

= )

. . det =

det = det A . .

8.2 .1) ( ) det A =0 ( )2) () det =03) , . , det A . det I = A I . 1) det A . det A=0.

2) . () , detB=-detA. . 8.1 . . =() =()

=.

=

detB= =

(ii). 1+10 , det , .

detA=-detA detA=0 ( 1+10)

1+1=0 . ( -1=1) . . +=0 , detA=0.

3) , =0 i 9.1 Polinomi od matrici i linearni operatori

Neka e polinom so koeficienti vo K. Ako A e kavdratna matrica nad K , definirame

Pritoa A e koren ili nuala na polinomot ako .

Teorema9.1. Neka i se polinomi nad K i neka A e kvadratna matrica nad K. Toga{

i za proizvolen scalar

Osven toa bidej}i dobivame odnosno sekoi dva polinoma po A komutiraat me|u sebe.

Dokaz: Neka i

Neka i neka za Toga{

kade

Zatoa

Po definicija pa zatoa Neka sega e linearen operator na vektorskiot proctor nad poleto . Ako

toga{ definirame so kede e edine~noto preslikuvawe. T go vikame nula(koren) na ako =0. Pritoa va`i teorema 9.1 vo slu~aj ako namesto matricata A zememe operator T. Zatoa pri izbrani dva polinoma po T komutiraat.

Osven toa ako A e matri~na reprezentacija na T toga{ e matri~na reprezentacija na . Specijalno =0 akko =0.9.2.Sopstveni vrednosti i sopstveni vektori

Neka e linearen operator na vektorskiot proctor nad poleto .Skalarot go narekuvame sopstvena vrednost (ili karakteristi~na vrednost) na T ako postoi nenulti vektor taka {to .

Sekoj vektor {to go zadovoluva ova ravenstvo se narekuva sopstven vektor (ili karakteristi~en vektor ) na T {to soodvetstvuva na sopstvenata verednost . Da zabele`ime deka sekoj skalaren multipl e isto taka sopstven vektor

Mno`estvoto od site vektori za koi va`i e vektorski podprostor od nare~en sopstven podprostor za .

Teorema9.2. Neka e linearen operator na vektorskiot proctor nad poleto . Toga{ e sopstvena vrednost za T akko operatorot e singularen. Sopstveniot podprostor na e od .

Dokaz: Neka e sopstvena vrednost za T. Zatoa postoi nenulti vektor za taka {to od kade sleduva deka homogeniot sistem ima nenulto re{enie () a toe povlekuva deka e singularen operator. Obratno, neka e sungularen operator. Toa zna~i deka postoi nenulti vektor taka {to odnosno .Sleduva e sopstvena vrednost. Pritoa sopstveniot potprostor na e mno`estvoto vektori taka {to a toe e vsu{nost .Teorema9.3.Nenultite sopstveni vektori {to odgovaraat na razli~ni sopstveni vrednosti se linearno nezavisni.

Dokaz: Neka se nenulti sopstveni vektori na eden operatot {to odgovaraat na razli~ni sopstveni vrednosti soodvetno. Dokazot deka se linearno nezavisni e po indukcija na . Ako =1 toga{ e linearno nezavisen bidej}i . Da pretpostavime deka

(1) od ovde e (2)

Ako (1) se mno`i so i se odzeme od (2) se dobiva Prema induktivnata pretpostavka se linearno nezavisni vektori pa =0 ,. . ., =0. Bidej}i sleduva deka .Zamenuvaj}i go toa vo (1) dobivame deka odnosno bidej}i Zna~i pa vektorite se lin nezavisni vektori.9.3. Dijagonalizacija na linearni operator ii sopstveni vektori

Neka e linearen operator na vektorskiot prostor so kone~na dimenzija. Zabele`uvame deka T mo`e da se pretstavi kako matrica

Akko postoi vo za koja

Odnosno ako se sopstveni vektori na T za sopstvenite vrednosti Obratno ako ima baza koi se sopstveni vektori za toga{ vo odnos na taa baza T se dijagonalizira .

Teorema9.4. Eden linearen operator mo`e da se pretstavi kako dijagonalna matrica V akko ima baza {to se sostoi od sopstvenite vektori na T. Vo slu~aj dijagonalnite elementi na V se soodvetnite sopstveni vrednosti .Druga formulacija na teorema9.4

Edna kvadratna matrica A e sli~na so dijagonalnata matrica V akko A ima linearno nezavisni sopstveni vektori.Vo ovoj slu~aj dojagonalnite elemeti na V se soodvetite sopstveni vrednosti .

Vo prethodnata teorema ako e matrica ~ii koloni se nezavisni sopstveni vektori na A, toga{ .9.4.Karakteristi~en polinom. Teorema na Hamilton-Keli

Da razgledame kvadratna matrica A nad poleto K

Matricata kade e kvadratna edine~na matrica se narekuva karakteristi~na matrica na A

Nejzinata determinanta koja e polinom po se narekuva karakteristi~en polinom na A, a se narekuva karakteristi~na ravenka na A.Oblikot na karakteristi~niot polinom. Dobivame:

+izrazi so najmnogu (2) mno`ieli od oblik Zatoa + izrazi od ponizok stepen. Zatoa e moni~en polinom (koeficient pred najvisokiot stepen e 1)

od ti red i koeficientot pred e tragata na matricata A. Osven toa ako stavime toga{ No e slobodniot ~len na polinomot . Zna~i

9.6 n- . (t) A.. 9.2 . e . (t). 9.3,9.4 9.6 9.7. n- . n , 9.8. n- C. . 9.9 .

.

.

9.5 n- . f(x) f(A)=0. . p,(p)(A)=p(A).(A)=0 . f f(A) ( 1 ). . . - ( ). . p q , . r p-q (r-1)- (p-q)(A)=p(A)-q(A)=0 - 0=0 . . 9.10 m(t) . ,m(t) .: f e f(A)=0. f m(t) f(t)=q(t)*m(t) +r(t) degr= r. m(t) f(T) . f(T) f(T)=0 f(A)=0 . . , .