Live 國中數學 i觀念 1 PDF版

PREFACE

前言

Preface

學好基礎數學的第⼀一步，就是要有正確扎實的基本觀念，良好觀念的建立原則─先理解再記憶。在理解的過程中，因為數學的本質是抽象的，所以會造成學習上的困難。為了讓同學容易理解抽象的數學觀念，葛倫老師借助數位工具的力量，將原本抽象難懂的數學概念，轉化為具體有趣的多媒體，透過筆跡、圖片、聲音等動畫影音呈現，搭配iPad直覺易用的操作介面，讓同學以最有效率、最具創意的未來學習方式來學好基礎數學！

備註：本書包含大量的多媒體影音檔案與數位互動程式，若要獲得完整的閱讀體驗，請於Apple所生產的平板電腦─iPad上的iBooks程式，下載並開啓本書，想進⼀一步了解相關資料，請前往Live網站(Liveism.com)。

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第一章

整數的運算

1-1

觀念摘要

1. 負數的概念

2. 『＋』、『－』符號的用法

3. 正數、負數與整數

4. 數線

5. 坐標

6. 數的大小比較─利用數線與坐標

7. 數的大小比較─三一律與遞移律

8. 相反數的介紹

9. 絕對值的介紹

★Live App─1-1精選習題

1-1

負數與數線

3

1-1 負數與數線

1. 負數的概念

日常生活中，常用『＋』（讀作正）號與『－』（讀作負）號來表示彼此相反或相對的量。

4

　

　



2. 『＋』、『－』符號的用法

當『＋』、『－』表示『加』、『減』運算時，稱為運算符號。當『＋』、『－』表示『正』、『負』的特性時，稱為性質符號。

與兩數的性質符號相同，稱為同號數。

與兩數的性質符號相異，稱為異號數。

5

1-1 負數與數線

　　

　





3. 正數、負數與整數

大於0的數稱為正數，如：1、、4.5。

小於0的數稱為負數，如：、、。

整數包含正整數、0和負整數；正整數又稱自然數。

6

1-1 負數與數線

　　

　





4. 數線

數線三要素：(1)正向：直線右方畫上箭頭，表示正向。(2)原點：數線上的基準點，其所代表的數為0。(3)單位長：取適當長度當作1個單位，稱為單位長。

7

O

0 1

正向

原點

單位長

1-1 負數與數線

　　

　





5. 坐標

坐標：數線上每⼀一個點都代表⼀一個數，這個數稱為這個點的坐標。A點在原點右方3個單位，即A點的坐標為3，記作A(3)。B點在原點左方2個單位，即B點的坐標為，記作B( )。

8

1-1 負數與數線

　

　



6. 數的大小比較─利用數線與坐標

(1) 在⼀一往右為正向的數線上，愈右邊的點代表的數愈大，愈左邊的點代表的數愈小。

(2) 負數＜0＜正數

9

例題

1-1 負數與數線

　　

　





7. 數的大小比較─三一律與遞移律

三⼀一律：設a、b是兩個數，則a＞b、a＝b、a＜b三種關係中恰有⼀一種成立。遞移律：設a、b、c為三個數，

(1) 若a＞b且b＞c，則a＞c。(2) 若a＝b且b＝c，則a＝c。(3) 若a＜b且b＜c，則a＜c。

10

1-1 負數與數線

　　

　





8. 相反數的介紹

在數線上與原點距離相同，但方向相反的兩點所表示的數互為相反數，如下圖中的2和。(1) 的相反數為。(2) 0的相反數為0。(3) 的相反數為。

11

1-1 負數與數線

　　

　





9. 絕對值的介紹

在數線上，⼀一個數所代表的點與原點的距離，稱為此數的絕對值，如下圖，3的絕對值是3，記為│3│= 3，的絕對值是2，記為│ │= 2。

(1)0的絕對值是0。(2)任意數的絕對值必為正數或0。(3)互為相反數的兩數，其絕對值必相等。(4)比較兩數絕對值的大小就是比較兩數與原點距離的遠近。

12

1-1 負數與數線

　　

　





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13

1-1 負數與數線

　

　

　



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觀念摘要

1. 整數的加法

2. 加法交換律

3. 加法結合律

4. 整數的減法

5. 數線上兩點間的距離


1-2

整數的加減

141-2

1. 整數的加法

(1) 同號數相加【★數字相加，符號相同】

例

例

(2) 異號數相加【★數字大減小，符號同大數】

例

例

例

例

15

1-2 整數的加減

　

　



3. 加法交換律

對任意整數a、b，滿足。例

4. 加法結合律

對任意三個整數a、b、c，滿足。

例

✐減法不適用於交換律與結合律。

16

1-2 整數的加減

　

　



5. 整數的減法

對任意整數a、b，滿足

【★減⼀一個數等於加上這個數的相反數】例

例

例

例

17

1-2 整數的加減

　

　



6. 數線上兩點間的距離

在數線上，從A點到B點(或B點到A點)的距離(或線段長)記為。

數線上，兩點A(a)、B(b)的距離：

18

1-2 整數的加減

　

　




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19

1-2 整數的加減

　

　

　





觀念摘要

1. 整數的乘法─符號法則

2. 整數的乘法─乘法性質

3. 乘法交換律

4. 乘法結合律

5. 乘法分配律

6. 整數的除法─符號法則

7. 整數的除法─除法性質

8. 除法分配律

9. 整數的四則運算與去括號法則


1-3

整數的乘除與四則運算

201-3

21

利用經過時間與水位升降的關係，說明整數的乘法

1-3 整數的乘除與四則運算

　

　



1. 整數的乘法─符號法則

(＋)×(＋)→(＋) (正正得正) 例 (＋3)×(＋2)=＋(3×2)=＋6

(＋)×(－)→(－) (正負得負) 例 (＋3)×(－2)=－(3×2)=－6

(－)×(＋)→(－) (負正得負) 例 (－3)×(＋2)=－(3×2)=－6

(－)×(－)→(＋) (負負得正) 例 (－3)×(－2)=＋(3×2)=＋6

22


　

　



2. 整數的乘法─乘法性質

(1) 任意整數a乘以0，其值為0。例 a×0=0×a=0

(2) 任意整數a乘以1，其值不變。例 a×1=1×a=a

(3) 任意整數a乘以(－1)，其值為a的相反數。例 a×(－1)=(－1)×a=－a

(4) 兩個以上的整數連乘的運算規則【★正負先判斷，數字再相乘】▶算式中，有偶數個負數→乘積為正數。例 (－1)×(－2)×(－3)×(－4)

=＋(1×2×3×4)=＋24

▶算式中，有奇數個負數→乘積為負數。例 (－1)×2×(－3)×(－2)×1

=－(1×2×3×2×1)=－12

23


　

　



3. 乘法交換律

對任意整數a、b，滿足a×b=b×a。例 (＋3)×(－2)=－(3×2)=－6(－2)×(＋3)=－(2×3)=－6∵－6 =－6∴(＋3)×(－2)=(－2)×(＋3)

4. 乘法結合律

對任意三個整數a、b、c，滿足。

例

∵－24 =－24∴

✐除法不適用於交換律與結合律。24


　

　



5. 乘法分配律

設a、b、c為任意三個整數，則：(1)

例

(2)

例

(3)

例

(4)

例

25

例題—乘法分配律之應用


　

　



6. 整數的除法─符號法則

(＋)÷(＋)→(＋) (正正得正) 例 (＋6)÷(＋2)=＋(6÷2)=＋3

(＋)÷(－)→(－) (正負得負) 例 (＋6)÷(－2)=－(6÷2)=－3

(－)÷(＋)→(－) (負正得負) 例 (－6)÷(＋2)=－(6÷2)=－3

(－)÷(－)→(＋) (負負得正) 例 (－6)÷(－2)=＋(6÷2)=＋3

26


　

　



7. 整數的除法─除法性質

(1) 任意整數a除以0，其值無意義。例 a÷0無意義【★0不可為除數】(2) 任意整數a除以1，其值不變。例 a÷1=a

(3) 任意整數a除以(－1)，其值為a的相反數。

例 a÷(－1)=－a

(4) a為任意整數，但a≠0。▶ 0÷a=0

▶ a÷a=1

▶ a÷(－a)=－1

▶ (－a)÷a=－1

27


　

　



8. 除法分配律

設a、b、c為任意三個整數，則：(1)

例

(2)

例

(3)

例

∵ ∴

(4)

例

∵ ∴

28


　

　



9. 整數的四則運算與去括號法則

(1) 整數的四則運算規則【★括號先算，先乘除後加減】進行正、負整數的四則運算時，須遵循以下規則：有括號時，先作括號內的計算；若同時有加、減、乘、除運算，應先作乘、除，再做加、減，並且應由左而右依序計算。

例

29


　

　



(2) 整數的去括號法則【★小中大，內而外】進行正、負整數的四則運算時，若算式中包含括號，需遵循以下規則：先計算小括號 ( ) 內的算式，再計算中括號 [ ] 內的算式，最後再計算大括號 { } 內的算式。

例

30


　

　




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31


　

　

　





觀念摘要

1. 乘方的表示法─底數與指數

2. 指數律

3. 指數為0或指數為負數

4. 指數律公式之整理介紹


1-4

指數律

321-4

1. 乘方的表示法─底數與指數

當⼀一個數a連乘n次時，可表示為乘方的形式─ ，其中a稱為底數，n稱為指數。

33

1-4 指數律

　

　



34

例題—乘方計算的值

1-4 指數律

　

　



2. 指數律

若a、b是不為0的整數，m、n是任意正整數。(1) 【★同底相乘指數相加】例

35

1-4 指數律

　

　



(2) 【★同底相除指數相減】例

36

1-4 指數律

　

　



(3) 【★乘方再乘方指數相乘】

例

37

1-4 指數律

　

　



(4)

【★相乘後乘方＝乘方後相乘】例

(5)

【★相除後乘方＝乘方後相除】

例

38

1-4 指數律

　

　



3. 指數為0或指數為負數

若a是不為0的整數，n是任意正整數。(1) 例 ※ 無意義

(2)

例

39

1-4 指數律

　

　



4. 指數律公式之整理介紹

40

1-4 指數律

　

　




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41

1-4 指數律

　

　

　





觀念摘要

1. 十進位值與10的次方

2. 10的次方與國際單位制詞頭

3. 科學記號的定義與應用

4. 數與科學記號之互換

5. 科學記號之乘法運算

6. 科學記號之除法運算

7. 科學記號之加減運算


1-5

科學記號

421-5

1. 十進位值與10的次方

43

1-5 科學記號

　

10



例 54321=50000＋4000＋300＋20＋1

=5×1000＋4×1000＋3×100＋2×10＋1

=5×104＋4×103＋3×102＋2×101＋1×100

例 0.12345

=0.1＋0.02＋0.003＋0.0004＋0.00005=1×0.1＋2×0.01＋3×0.001＋4×0.0001＋5×0.00001

=1×10−1＋2×10−2＋3×10−3＋4×10−4＋5×10−5

44

Check Answer

1×102＋0×101＋2×100＋4×10−1＋3×10−2=

1-5 科學記號

　

10



2. 10的次方與國際單位制詞頭

45

1-5 科學記號

　

10



3. 科學記號的定義與應用

46

1-5 科學記號

　

10



科學記號表示法：(1≤a<10且n為整數)

例地球的質量為5974200000000000000000000公斤5974200000000000000000000＝5.9742×1024

例 A型流感病毒的直徑為0.00000008～0.00000012公尺0.00000008＝8×10−8

0.00000012＝1.2×10−7

47

Check Answer

Question 1 of 2

1天文單位約為149600000公里，若以科學記號表示應為下列何者？

A. 14.96×107 公里

B. 1.496×107 公里

C. 1.496×108 公里

D. 1.496×109 公里

1-5 科學記號

　

10



4. 數與科學記號之互換

大於10的數

小於1的數

48

1-5 科學記號

　

10



5. 科學記號之乘法運算

進行科學記號之乘法運算，可利用乘法交換律、結合律與指數律做運算。例以科學記號表示下列各式之結果(1)

(2)

49

1-5 科學記號

　

10



6. 科學記號之除法運算

進行科學記號之除法運算，可利用指數律做運算。例以科學記號表示下列各式之結果(1)

(2)

50

1-5 科學記號

　

10



7. 科學記號之加減運算

進行科學記號之加減運算，先將指數部份化成相同後，再利用乘法分配律做運算。例以科學記號表示下列各式之結果(1)

(2)

51

1-5 科學記號

　

10




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52

1-5 科學記號

　

10

　





第二章

分數的運算

觀念摘要

1. 整除、因數、倍數

2. 2的倍數判別法







9. 質數與合數

10.質因數與質因數分解

11.標準分解式─樹狀分解法與短除法


2-1

因數與倍數

542-1

1. 整除、因數、倍數

55

2-1 因數與倍數

　

　



整除：當⼀一整數a除以⼀一整數b(b≠0)，其商為整數且餘數為0，此時就稱b可以整除a或a能被b整除。

因數與倍數：當⼀一整數a能被⼀一整數b(b≠0)整除，此時就稱a是b的倍數，b是a的因數。

例 6÷3＝2⋯⋯0

⇒ 6被3整除或3整除6

⇒ 6是3的倍數，3是6的因數

若a、b、c為整數，如果a＝b×c(即a÷b＝c或a÷c＝b)，則a是b、c的倍數，b、c是a的因數。例 6＝1×6＝2×3＝(－1)×(－6)＝(－2)×(－3)

⇒　6是±1、±2、±3、±6的倍數；±1、±2、±3、±6都是6的因數

✐國中階段如無特別說明，所指的因數與倍數都是正因數與正倍數。★1是任意正整數的因數★0是任意正整數的倍數

56

2-1 因數與倍數

　

　




若⼀一個正整數的個位數字為0、2、4、6、8，則這個正整數⼀一定是2的倍數，否則就不是2的倍數。✐正整數中，2的倍數是偶數，不是2的倍數是奇數。

57

2-1 因數與倍數

　

　




若⼀一個正整數的各個數字和是3的倍數，則這個正整數就是3的倍數，否則就不是3

的倍數。

58

2-1 因數與倍數

　

　




若⼀一個正整數的末兩位數字是4的倍數，則這個正整數就是4的倍數，否則就不是4

的倍數。

59

2-1 因數與倍數

　

　




若⼀一個正整數的個位數字為0或5，則這個正整數就是5的倍數，否則就不是5的倍數。

60

2-1 因數與倍數

　

　




若⼀一個正整數的末三位數字是8的倍數，則這個正整數就是8的倍數，否則就不是8

的倍數。

61

2-1 因數與倍數

　

　




若⼀一個正整數的各個數字和是9的倍數，則這個正整數就是9的倍數，否則就不是9

的倍數。

62

2-1 因數與倍數

　

　




若⼀一個正整數的奇數位數字和與偶數位數字和兩者差的絕對值是11的倍數，則這個正整數就是11的倍數，否則就不是11的倍數。

63

2-1 因數與倍數

　

　



9. 質數與合數

64

2-1 因數與倍數

　

　



(1)質數：⼀一個大於1的正整數，除了1和本身以外，再也沒有其他的正因數，這樣的整數就稱為質數。

例 2、3、5、7、11、13、17、19、⋯等都是質數。(2)合數：⼀一個大於1且不是質數的正整數，這樣的整數就稱為合數。（除了1和本

身以外，還有其他的正因數。）例 4、6、8、9、10、12、14、15、⋯等都是合數。★1不是質數也不是合數。★2是最小的質數，也是質數中唯⼀一的偶數。

65

Check Answer

下列四個數，哪⼀一個不是質數？

A. 41

B. 61

C. 71

D. 91

2-1 因數與倍數

　

　



10.質因數與質因數分解

(1)質因數：若⼀一個正整數的因數是質數，則這個因數就是這個整數的質因數。例 6的因數有1、2、3、6，其中2、3是質數，所以2、3是6的質因數。(2)質因數分解：將⼀一個大於1且不是質數的正整數，分解成它的質因數連乘積之

過程，就稱為質因數分解。例將210分解成質因數的乘積⇒　210＝2×3×5×7

66

2-1 因數與倍數

　

　



11.標準分解式─樹狀分解法與短除法

標準分解式：將質因數分解的結果，按照質因數大小，由小到大排列，並將相同質因數的連乘積，以指數形式表示，此種表示法稱為標準分解式。

例將180分解成質因數的乘積並以標準分解式表示。⇒　180＝2×2×3×3×5＝22×32×5

67

2-1 因數與倍數

　

　




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68

2-1 因數與倍數

　

　

　





觀念摘要

1. 公因數、最大公因數、互質

2. 利用標準分解式做因數的判斷

3. 最大公因數的求法

4. 公倍數、最小公倍數

5. 利用標準分解式做倍數的判斷

6. 最小公倍數的求法

7. (A, B) × [A, B] = A × B


2-2

最大公因數與最小公倍數

692-2

1. 公因數、最大公因數、互質

70

2-2 最大公因數與最小公倍數

　

　



公因數：幾個整數共同的因數稱為這幾個整數的公因數。最大公因數：幾個整數中，它們所有的公因數中最大的數，稱為這幾個整數的最

大公因數。例試求12與18的公因數與最大公因數。

12的因數：1、2、3、4、6、12

18的因數：1、2、3、6、9、18

∴12與18的公因數為1、2、3、6

⇒ 最大公因數為6

✐若d為a、b兩正整數的最大公因數，可記為(a , b) = d。✐若d為a、b、c三個正整數的最大公因數，可記為(a , b , c) = d。互質：兩個正整數的最大公因數是1，稱這兩個正整數互質。例 4的因數：1、2、4

9的因數：1、3、9

∴ ( 4 , 9 ) = 1　⇒ 4和9互質

71


　

　



2. 利用標準分解式做因數的判斷

72


　

　



例下列各數中，哪些數是23×32的因數？(1)22×32 (2)23×32 (3)23×33 (4)23×5

解

(1)∵ （整除）　

⇒ 22×32是23×32的因數。

(2)∵ （整除）　

⇒ 23×32是23×32的因數。

(3)∵ （不能整除）　

⇒ 23×33不是23×32的因數。

(4)∵ （不能整除）　

⇒ 23×5不是23×32的因數。73


　

　



3. 最大公因數的求法

(1) 標準分解式法：例求540和840的最大公因數。解　540 = 22 × 33 × 5

　840 = 23 × 3 × 5 × 7

　∴(540 , 840) = 22 × 3 × 5 = 60

★取共同的質因數中指數較小者相乘

(2) 短除法：例求540和840的最大公因數。解

　

　∴(540 , 840) = 22 × 3 × 5 = 60

74


　

　



4. 公倍數、最小公倍數

75


　

　



公倍數：幾個整數共同的倍數稱為這幾個整數的公倍數。最小公倍數：幾個整數中，它們所有的公倍數中最小的數，稱為這幾個整數的最

小公倍數。例試求4與6的三個公倍數與最小公倍數。解

4的倍數：4、8、12、16、20、24、28、32、36、⋯6的倍數：6、12、18、24、30、36、42、48、54、⋯∴4與6的三個公倍數為12、24、36

⇒ 最小公倍數為12

✐若d為a、b兩正整數的最小公倍數，可記為[a , b] = d。✐若d為a、b、c三個正整數的最小公倍數，可記為[a , b , c] = d。

76


　

　



5. 利用標準分解式做倍數的判斷

77


　

　



例下列各數中，哪些數是23×32的倍數？(1)23×32　(2)23×33　(3)23×33×5　(4)22×32　(5)22×32×5　(6)23×52

解

(1)∵ （整除） ⇒　23×32是23×32的倍數。

(2)∵ （整除） ⇒　23×33是23×32的倍數。

(3)∵ （整除） ⇒　23×33×5是23×32的倍數。

(4)∵ （不能整除） ⇒　22×32不是23×32的倍數。

(5)∵ （不能整除） ⇒　22×32×5不是23×32的倍數。

(6)∵ （不能整除） ⇒　23×52不是23×32的倍數。

78


　

　



6. 最小公倍數的求法

(1) 標準分解式法：例求120、180和105的最小公倍數。解　120 = 23 × 3 × 5

　180 = 22 × 32 × 5

　105 = 3 × 5 × 7

　∴[120 , 180 , 105] = 23 × 32 × 5× 7 = 2520

★取所有質因數且取共同質因數中指數較大者相乘(2) 短除法：例求120、180和105的最小公倍數。解

　

　∴[120 , 180 , 105] = 23 × 32 × 5× 7 = 2520

79


　

　



7. (A, B) × [A, B] = A × B

兩個正整數的最大公因數和最小公倍數的乘積等於兩數的乘積。例已知a和8的最大公因數是2，最小公倍數是24，求a =？解

(a , 8) = 2

[a , 8] = 24

⇒　(a , 8) × [a , 8] = a × 8

⇒　2 × 24 = a × 8

⇒　a = 6

80

Check Answer

已知(a,b)=3，[a,b]=36，求a×b=?

A. 3

B. 12

C. 36

D. 108


　

　




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81


　

　

　





觀念摘要

1. 分數與負分數

2. 等值分數、擴分、約分與最簡分數

3. 通分與比較分數的大小

4. 正分數的加減運算

5. 負分數的加減運算

6. 帶分數的加減運算

7. 分數運算─加法交換律與加法結合律


2-3

分數的加減

822-3

1. 分數與負分數

83

2-3 分數的加減

　

　



分數：

↳3為分子，橫線為分線，4為分母分數的單位：

例 1（個）÷ 4（等份）＝（個／等份）

分數的類別：

(1)真分數：⼀一個分數其分子小於分母稱為真分數。例

(2)假分數：⼀一個分數其分子等於或大於分母稱為假分數。例

(3)帶分數：⼀一個分數為整數加⼀一個真分數，可表示為稱為帶分數。例

負分數：負分數的負號，可放在分子、分母或分數前面，三種方式都表示相同的負分數。

例

例

84

2-3 分數的加減

　

　



2. 等值分數、擴分、約分與最簡分數

85

2-3 分數的加減

　

　



等值分數：設a、b、c、d都是整數，若，則稱與為等值分數。

例 ∵ 　∴ 、、為等值分數

擴分：將⼀一個分數的分子與分母同乘⼀一個不為0的整數，此過程稱為擴分。

例

約分：將⼀一個分數的分子與分母同除以它們的公因數，此過程稱為約分。

例

最簡分數：⼀一個分數的分子與分母互質，則此分數為最簡分數。

例、、、為最簡分數

86

2-3 分數的加減

　

　



3. 通分與比較分數的大小

通分：若兩個分數的分母不同，利用約分或擴分，將它們化為同分母的分數，這樣的過程稱為通分。

例將和通分 ⇒ ∵[2 , 3] = 6　∴ ，

87

2-3 分數的加減

　

　



比較分數的大小：(1)正分數的比較大小：★先利用擴分，將分母或分子化為

相同的正整數後，再做比較。【將分母化為相同正整數】

例比較和的大小

∵[2 , 3] = 6

∴ ，

又∵ ⇒

【將分子化為相同正整數】


∵[7 , 14] = 14

∴ ，

又∵ ⇒

88

(1)正分數的比較大小：★先利用擴分，將分母或分子化為相同的正整數後，再做比較。

2-3 分數的加減

　

　



(2)負分數的比較大小：★先比較負分數取絕對值後的大小，再改變其不等號的方向。


∵ ，

∵[2 , 3] = 6 ⇒ ，

又∵ ∴ ⇒ ⇒

89

2-3 分數的加減

　

　



4. 正分數的加減運算

(1)同分母的加減運算：★分母不變，分子相加減。

例

例

(2)異分母的加減運算：★分母通分，分子相加減。

例

例

90

2-3 分數的加減

　

　



5. 負分數的加減運算

(1)同分母的加減運算：★分母不變，分子相加減。

例

例

(2)異分母的加減運算：★分母通分，分子相加減。

例

例

91

2-3 分數的加減

　

　



6. 帶分數的加減運算

92

2-3 分數的加減

　

　



【方法⼀一】★將帶分數化為假分數再相加減

例

【方法二】★整數部份與分數部份分別相加減

再合併

例

93

2-3 分數的加減

　

　



7. 分數運算─加法交換律與加法結合律

加法交換律：對任意分數a、b，滿足。加法結合律：對任意三個分數a、b、c，滿足。

94

2-3 分數的加減

　

　




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95

2-3 分數的加減

　

　

　





觀念摘要

1. 正分數的乘法運算

2. 負分數的乘法運算

3. 分數的乘法─乘法性質

4. 分數之乘法交換律與乘法結合律

5. 分數之乘法分配律

6. 倒數

7. 分數的除法運算

8. 分數之乘方與指數律

9. 分數的四則運算與去括號法則


2-4

分數的乘除與四則運算

962-4

1. 正分數的乘法運算

分數×整數：★分母不變，分子乘整數。

例

分數×分數：★分母乘分母，分子乘分子。

例

例

✐在乘法運算中，如遇到帶分數，先將帶分數化為假分數後再相乘。

97

2-4 分數的乘除與四則運算

　

　



2. 負分數的乘法運算

兩同號分數相乘：乘積為正。

例

例

兩異號分數相乘：乘積為負。

例

例

98


　

　



3. 分數的乘法─乘法性質

分數×0：

例

例

分數×1：

例

例

分數×(−1)：

例

例

99


　

　



分數連乘：★正負先判斷，數字再相乘。(1)偶數個負數：乘積為正。

例

(2)奇數個負數：乘積為負。

例

(3)有⼀一數為0：乘積為0。

例

100


　

　



4. 分數之乘法交換律與乘法結合律

乘法交換律：對任意分數a、b，滿足a×b=b×a。乘法結合律：對任意三個分數a、b、c，滿足。

✐除法不適用於交換律與結合律。

101


　

　



5. 分數之乘法分配律

102


　

　



設a、b、c為任意三個分數，則：(1)

例

例

(2)

例

(3)

例

例

(4)

例

103


　

　



6. 倒數

104


　

　



兩數相乘的積為1，則兩數互為倒數。∵1×1=1

∴1的倒數是1

∵

∴3的倒數是

∵

∴ 的倒數是

∵(－1)×(－1)=1∴－1的倒數是－1

∵

∴－3的倒數是

∵

∴ 的倒數是

★∵ ⇒ 0沒有倒數

★a是不為0的任意數 ⇒ a與互為倒數

105

★∵ ⇒ 0沒有倒數

★a是不為0的任意數 ⇒ a與互為倒數


　

　



7. 分數的除法運算

除以⼀一個不為0的數，就是乘以這個數的倒數。(1)正分數相除

例

例

(2)負分數相除【★先判斷正負，數字再相乘】

例

例

106


　

　



8. 分數之乘方與指數律

107


　

　



分數之乘方：

若a、b為整數，且b≠0，則

例

分數之指數律：若a、b是不為0的分數，m、n是任意正整數。(1)【★同底相乘指數相加】

例

(2)【★同底相除指數相減】

例

108


　

　



(3)

【★乘方再乘方指數相乘】

例

(4)

【★相乘後乘方＝乘方後相乘】

例

(5)

例

(6)

例

109


　

　



9. 分數的四則運算與去括號法則

(1)分數的四則運算規則【★括指乘除加減】進行正、負分數的四則運算時，須遵循以下規則：有括號時，先作括號內的計算，若有指數，要先做指數，之後若同時有加、減、乘、除運算，應先作乘、除，再做加、減，並且應由左而右依序計算。

(2)分數的去括號法則【★小中大，內而外】進行正、負分數的四則運算時，若算式中包含括號，需遵循以下規則：先計算小括號 ( ) 內的算式，再計算中括號 [ ] 內的算式，最後再計算大括號 { } 內的算式。

110


　

　



例

111


　

　




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112


　

　

　





第三章

一元一次方程式

觀念摘要

1. 以符號代表數

2. 代數之四則運算

3. 代數之交換律

4. 代數之結合律

5. 代數之乘法分配律

6. 代數符號規則─乘法的簡記

7. 代數式的值


3-1

以符號代表數

1143-1

1. 以符號代表數

以文字或符號來代表數。例如：□、○、△、⋯或甲、⼄乙、丙、⋯或a、b、c、⋯✐常用 x 來代表未知數。代數式：以文字符號、數字與運算符號+、－、×、÷所組成的式子，稱為代數式。例奶茶比土司貴五元，若以 x 表示土司的價錢，則奶茶的價格為 x＋5

115

3-1 以符號代表數

　

　



2. 代數之四則運算

(1)代數的四則運算規則【★括指乘除加減】進行文字符號與數字的四則運算時，須遵循以下規則：有括號時，先作括號內的計算，若有指數，要先做指數，之後若同時有加、減、乘、除運算，應先作乘、除，再做加、減，並且應由左而右依序計算。

(2)代數的去括號法則【★小中大，內而外】進行文字符號與數字的四則運算時，若算式中包含括號，需遵循以下規則：先計算小括號 ( ) 內的算式，再計算中括號 [ ] 內的算式，最後再計算大括號 { } 內的算式。

116


　

　



3. 代數之交換律

加法交換律：對任意a、b，滿足。乘法交換律：對任意a、b，滿足。

4. 代數之結合律

加法結合律：對任意a、b、c，滿足。

乘法結合律：對任意a、b、c，滿足。

✐減法、除法不適用於交換律與結合律。

117


　

　



5. 代數之乘法分配律

設a、b、c為三個任意數，則：(1)

(2)

(3)

(4)

✐除法改乘法後，再用分配律：

(1)

(2)

(3)

(4)

118


　

　



6. 代數符號規則─乘法的簡記

119


　

　



算式中，因為乘號「×」和英文字母「x」容易混淆，所以常將「×」改寫成「．」或將「．」省略不寫，且數字要寫在文字之前。

整數與文字：例例例

例例

分數與文字：

例

例

文字與文字：例例

例例混合類型：例

例

例

✐除法改乘法後，再進行簡記運算。120

算式中，因為乘號「×」和英文字母「x」容易混淆，所以常將「×」改寫成「．」或將「．」省略不寫，且數字要寫在文字之前。


　

　



7. 代數式的值

⼀一個代數式所代表的數，由代數式中文字符號所代表的數來決定。例當，算式之值　⇒

例當，算式之值　⇒

例當，算式之值　

⇒

121


　

　




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122


　

　

　





觀念摘要

1. 代數之一元一次式

2. 代數式之乘法運算

3. 代數式之除法運算

4. 代數式之加減運算

5. 代數式之併項與化簡_同類項合併


3-2

一元一次式的化簡

1233-2

1. 代數之一元一次式

若⼀一個式子中，只含有⼀一個代表數的文字符號（元），且該文字符號的次方是⼀一次，這樣的式子就稱為⼀一元⼀一次式。例 x＋5、2x－3、－4y＋6、7z＋8－9z－1

124

3-2 一元一次式的化簡

　

　



2. 代數式之乘法運算

乘法交換律：

例乘法結合律：

例

例

乘法分配律：，

，

例

例

例

例

125


　

　



3. 代數式之除法運算

除⼀一個數等於乘上該數的倒數。

例

例

✐除法不適用於交換律與結合律。

126


　

　



4. 代數式之加減運算

(1)去括號法則括號前為「＋」，去括號後，括號內的「＋」、「－」不變。例

例

括號前為「－」，去括號後，括號內的「＋」、「－」變號。【★ ＋⇒－、－⇒＋】

例

例

127


　

　



(2)運用分配律例

例

例

例

例

例

128


　

　



5. 代數式之併項與化簡_同類項合併

(1)同類項⼀一元⼀一次式也可表示為，式子中、3、、

之間以「＋」區隔，我們稱、3、、為⼀一元⼀一次式的項，其中和含有相同的文字符號，且文字符號的次方相同，稱為同類項，又稱 x

的⼀一次項；而3和都不含文字符號，我們也稱3和為同類項，又稱常數項。

(2)同類項合併例

例

129


　

　



(3)四則運算法則✐括號先算，先乘除後加減✐去括號法則　⇒　小中大、內而外

例

130


　

　




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131


　

　

　





觀念摘要

1. 一元一次方程式

2. 一元一次方程式之列式

3. 解一元一次方程式

4. 解一元一次方程式之應用問題

5. 一元一次方程式應用問題之合理性


3-3

解一元一次方程式

1323-3

1. 一元一次方程式

若⼀一個等式中，只含有⼀一個未知數（元），且該未知數的最高次方是⼀一次，這樣的等式就稱為⼀一元⼀一次方程式。例 2x＋3＝4、5x＝6、－y＋7＝8y－9

133

3-3 解一元一次方程式

　

　



2. 一元一次方程式之列式

生活中的數量問題，許多都可用文字符號 x 來代表問題中的未知數，再依據題意中的數量關係，可列出含有 x 的等式，此等式稱為 x 的方程式。例手機通話費每分鐘10元，打了 x 分共花68元。請根據上述題意，列出方程式。解

134


　

　



3. 解一元一次方程式

求出⼀一元⼀一次方程式中 x 所代表的數的過程就稱為解⼀一元⼀一次方程式。

135


　

　



(1)等量公理1 等量加法公理：

　⇒　等號兩邊同加⼀一個數，等式依然成立。

2 等量減法公理：　⇒　

等號兩邊同減⼀一個數，等式依然成立。

3 等量乘法公理：　⇒　

等號兩邊同乘⼀一個數，等式依然成立。

4 等量除法公理：　⇒　

等號兩邊同除⼀一個數，等式依然成立。

136


　

　



(2)移項法則在等式中，將⼀一個數從等號的⼀一邊移到等號的另⼀一邊，應遵循下列規則，此規則稱為移項法則。1

2

3

4

137


　

　



4. 解一元一次方程式之應用問題

以⼀一元⼀一次方程式解應用問題的步驟：(1)設未知數：依題意選定⼀一個適當的未知數，習慣以 x 或 y 表示。(2)列方程式：依題意列出方程式。(3)解方程式：利用等量公理或移項法則求得未知數的值。(4)驗算：檢驗所求的未知數之值是否符合題意。(5)寫答：寫出問題所要求的答案，並注意單位。

例賴小特拿了⼀一張500元鈔票，買了4顆巧克力，找回408元。試問巧克力每顆多少元？

解　設巧克力每顆 x 元依題意列式：500－4x＝408

⇒　500＝408＋4x⇒　500－408＝4x⇒　92＝4x⇒　92÷4＝x⇒　23＝x

答：巧克力每顆23元138


　

　



5. 一元一次方程式應用問題之合理性

解⼀一元⼀一次方程式的應用問題時，除了驗算計算過程外，也要檢驗所求得未知數的值是否符合題意與是否合乎常理。

例若三個連續整數和為25，則最大的數是多少？解

設最大的整數為 x則其他二數分別為 x－1，x－2

依題意列式：(x－2)＋(x－1)＋x＝25

⇒　x－2＋x－1＋x＝25

⇒　3x－3＝25

⇒　3x＝25＋3

⇒　3x＝28

⇒　 x＝

∵x＝與 x 為整數不符　∴無解

答：無解

139


　

　




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140


　

　

　





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關於

葛倫目前是徠富數位學習科技有限公司的創辦人兼執行長。葛倫同時創立Live數位國中數學網站（Liveism.com），並經營Live在Youtube的教育頻道(Youtube.com/Liveism)以及Live數位國中數學_名師葛倫Facebook粉絲專頁(Facebook.com/Liveism)。葛倫老師致力於數位教學，希望透過資訊科技的力量，培養孩子具備迎向未來的關鍵能力！

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Live國中數學 i觀念 1 編著者葛倫出版者徠富數位學習科技有限公司首發版 2012年3月

ISBN: 9789860861624

Live Middle School Math iConcept 1by GalenPublished by Live e-Learning Techology Inc.March 2012 First Edition.

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