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UNISEMINAR

Sem

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Theorie

Aufgaben

Übu

ngen

Prüfung

enExtras

Einleitung

Mathematik IWintersemester 2012/13

München, Oktober 2012

Einleitung uniseminar.eu

Herzlich Willkommen bei Uniseminar

Vorwort/Einleitung

Ziel von Uniseminar ist es, Dich optimal auf Deine Prüfungen vorzubereiten und Deine Prü-fungsvorbereitung an der LMU so effizient wie möglich zu gestalten. Um dieses Ziel zu erreichen,haben wir ein zweistufiges Konzept entwickelt, das sich nun schon mehrere Jahre als große Hilfefür die Studenten bewährt hat.

Um die in der Vorlesung und den Übungen behandelten Inhalte leichter verständlich zu machen,haben wir Dir eine anschauliche und ausführliche Zusammenfassung des gesamten relevantenPrüfungsstoffes erstellt. Gleich zu Beginn des Semesters bieten wir Dir unsere umfassenden undsehr hilfreichen Unterlagen an. Diese kannst Du eigenständig bearbeiten und auch in die Vorle-sungen und Übungen mitnehmen! Es ist unser Ziel Dich während des gesamten Lernprozessesvon der Vorlesung bis zur eigentlichen Prüfung zu begleiten und Deine Prüfungsvorbereitungeffizienter und angenehmer zu gestalten. Durch unsere Hilfe werden Dir viele Steine aus demWeg gelegt und eine große Menge an Recherche Arbeit erspart!

Am Ende des Semesters bieten wir Dir prüfungsspezifische Seminare an. Diese runden Deinangeeignetes Wissen perfekt ab und erleichtern Dir mit ergänzenden Informationen, Tipps undTricks Deinen persönlichen Lern-Endspurt! Die Seminare werden von kompetenten Doktoran-den geleitet, die fachlich und didaktisch zu den Besten Ihres Fachgebietes gehören, da sie selbstÜbungen leiten und Prüfungen an ihren Lehrstühlen erstellen. Dadurch wissen sie genau, wobei den Studierenden der Schuh drückt und wie sie Dir bei Deinen persönlichen Problemfeldernund Verständnisproblemen weiterhelfen können.

Lasse also Dein in den Vorlesungen und Übungen der LMU erlerntes Wissen mit unseren Un-terlagen und Seminaren aufbessern und genieße eine professionelle Vorbereitungshilfe! Sie wirdDeine Lernzeit maßgeblich verkürzen und Dich ideal auf Deine Prüfungen vorbereiten. Weiterist es uns ein großes Anliegen, Dir Tipps und Tricks fürs Lernen, sowie fürs Lösen der realenPrüfung in unseren Seminaren mitzugeben.

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Über uns

Uniseminar ist von zwei Studenten der Universität St. Gallen und zwei Doktoranden der ETHZürich gegründet worden, um die Prüfungsvorbereitung einfacher, effizienter und verständli-cher zu gestalten. Seit 2010 sind wir nun an der LMU München aktiv und wissen aus eigenerErfahrung wie anspruchsvoll das erste Studienjahr sein kann.

Das Team von Uniseminar ist über die Jahre stark gewachsen und besteht mittlerweile unteranderem aus zahlreichen Mathematikern der ETH Zürich, der TU Berlin und der TU München,Statistikern der University of Cambridge und des Max-Plank-Institutes, sowie Volkswirtschaft-ler der LMU München, der Universität Bonn und der London School of Economics (LSE), dieallesamt große didaktische und fachspezifische Erfahrung mit sich bringen. Alle Dozenten vonUniseminar haben langjährige Unterrichtserfahrung in ihrem Fach gesammelt und können Dichdeshalb in den Seminaren optimal bei Deiner Prüfungsvorbereitung unterstützen.

Die Macher von Uniseminar haben alle vor kurzem selbst noch studiert und wissen deshalbüber das Studentenleben und die Prüfungsvorbereitung bestens Bescheid. Zudem haben wiralle große Freude am unterrichten und wollen Dir auf angenehme Weise die teilweise etwaskomplizierte und trockene Materie so näher bringen, dass Lernen auf einmal Spass macht!

Unterlagen

Sämtliche Unterlagen von Uniseminar werden ausschließlich von qualifizierten Doktorandenerstellt, die selbst im jeweiligen Fachgebiet doktorieren und damit über große Erfahrung undExpertise verfügen. Dadurch kann eine hohe didaktische Qualität der Skripte garantiert werden.

Alle unsere Unterlagen werden zudem jedes Semester in enger Zusammenarbeit mit Studie-renden überarbeitet, die zur Zeit die Vorlesung an der LMU vor Ort besuchen. Damit könnenwir Dir garantieren, dass Dir stets der aktuellste Stoff in unseren Unterlagen und Seminarenvorgelegt wird! Es wird dabei genau auf diejenigen Schwerpunkte eingegangen, welche den Prio-ritäten der Professoren entsprechen. Das vorliegende Skript zur Veranstaltung Mathematik Iist deshalb optimal auf die Vorlesungen und Übungen abgestimmt und enthält alle prüfungsre-levanten Materialien für Deine Prüfung an der LMU.

Ebenfalls ist es seit jeher unser hartnäckig verfolgtes Ziel alle unsere Unterlagen laufend zuverbessern und perfekt an den relevanten Prüfungsstoff anzupassen. Damit ist Dir eine optimaleKlausurvorbereitung garantiert! Die Aktualität der Unterlagen ist uns ein großes Anliegen: Wirwollen, dass Du genau das lernst, und wirklich nur das, was an den Prüfungen schließlich auchdran kommt. Weder zu viel noch zu wenig!

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Seminare

Sämtliche Kurse von Uniseminar werden von erfahrenen Doktoranden geleitet und betreut. AlleDozenten verfügen über langjährige Unterrichtserfahrung an diversen Universitäten und wissendeshalb genau Bescheid, wo Probleme bei den Studierenden auftreten können.

Oberstes Ziel unserer Seminare ist es den prüfungsrelevanten Stoff anschaulich und verständlichin zwei vierstündigen Seminarblöcken zu vermitteln. Zuerst werden die wichtigsten mathema-tischen Grundlagen und Themen der Vorlesung besprochen, um danach auf die häufigst auftre-tenden Aufgabentypen einzugehen und geeignete Vorgehensweisen an der Prüfung zu erklären.

Während den Seminaren werden zu 30% theoretische Vorlesungsinhalte behandelt und Grund-kenntnisse erarbeitet. 70% der Zeit nehmen wir uns, um reale Prüfungsaufgaben zu bearbeitenund effiziente Prüfungsstrategien zu besprechen. Es wird somit in den Seminaren zuerst eintheoretisches Fundament gelegt, da grundlegende theoretische Kenntnisse beim Lösen von Prü-fungsaufgaben von großer Bedeutung sind.

Es ist also unser Ziel nicht nur den prüfungsrelevanten Stoff anschaulich zu erklären, sondernauch theoretische Kenntnisse zu vermitteln, die nötig sind, um fachliche Zusammenhänge auchwirklich zu verstehen. Theoretische Zusammenhänge erscheinen auf den ersten Blick komplex,dennoch sind sie bis zu einem gewissen Grade nötig um Prüfungsaufgaben selbstständig zulösen. Wir sehen es als unsere Aufgabe Dir den nötigen Grad an theoretischem Wissen aufmöglichst einfache und kompakte Weise aufzuzeigen und Dir anzueignen. Mit dem richtigenMaß an Theorie wird Dir das Lösen der Prüfungsaufgaben viel leichter fallen!

In unseren Seminaren erlernst du somit einfache theoretische Grundkenntnisse, um spezifischeAufgabentypen zu lösen, die an der Prüfung mit großer Wahrscheinlichkeit erscheinen werden.

Für das Seminar kannst Du Dich jederzeit unter www.lmu.uniseminar.eu anmelden.

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Aufbau

Dieser Ordner soll Dir als Lernhilfe zur effizienten Prüfungsvorbereitung der Mathematikprü-fungen dienen und umfasst drei Teile. Wir möchten Dir im Folgenden einen Überblick über denAufbau des Ordners geben.

1. Seminar: Zu allen wichtigen Kapiteln in unserem Theorieskript werden wir im SeminarAufgaben lösen. Diese kannst Du an dieser Stelle im Ordner einordnen.

2. Theorie: Das Theorieskript fasst in einfacher und übersichtlicher Form den gesamtenStoff des Wintersemester 2012/2013 zusammen und erklärt diesen anhand anschaulicherBeispiele. Am Ende findest Du ein Stichwortverzeichnis, welches Dir bei allfälligen Fra-gen schnellstmöglichst Zugriff auf das erforderliche Wissen verschafft. Das Theorieskriptumfasst 8 Kapitel, die im Seminar der Reihe nach bearbeitet werden.

3. Übungen: Die Übungen umfassen sämtliche Aufgaben, die in der Übung besprochenwurden, ausführlich gelöst. Die Übungsaufgaben sind thematisch an die verschiedenenKapiteln des Theorieskriptes angelehnt. Dadurch kannst Du Dich nochmal gezielt mitDeinen Problem-Kapiteln beschäftigen.

4. Prüfungen: Beginne früh damit bisherige Prüfungen zu lösen, denn nur so gewinnstDu das nötige Verständnis für deren Aufbau. Du wirst erkennen, was für die Prüfungrelevant ist und kannst Dich gezielt darauf vorbereiten. Dazu haben wir Dir alle verfüg-baren Klausuren mit ausführlichen Lösungswegen zusammengestellt. Zudem haben wireinige Probeklausuren konzipiert und für Dich vorgelöst. Die darin enthaltenen Aufgabenwurden so gestellt, dass sie aus einer realen Prüfungssituation sein könnten.

5. Notizen: Hier findest Du Notizpapier, damit Du Dir Deine eigenen Ergänzungen machenkannst.

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Theorie

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Theorie



InhaltsverzeichnisNachhaltiger Lernerfolg in Mathematik 1

1 Grundlagen 11.1 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Mengen 102.1 Elemente von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Teilmengen von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Potenzmengen von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Rechenregeln für Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Vollständige Induktion 14

4 Folgen und Reihen 164.1 Reele Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1.1 Eigenschaften von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.1.2 Spezielle Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Vektoren und Vektorräume 235.1 Reeller Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Erzeugendensystem und Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4 Unterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.5 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.6 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.7 Operationen mit Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.7.1 Transponieren einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.7.2 Addition von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.7.3 Skalarmultiplikation einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.7.4 Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.8 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.9 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.10 Skalarprodukt und Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.11 Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.12 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Funktionen in einer Variablen 406.1 Definitionsbereich, Wertebereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.2 Wichtige Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.3 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.4 Komposition von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.5 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.6 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.7 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.8 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.9 Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.10 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7 Funktionen in mehreren Variablen 617.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.2 Totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.4 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.5 Hessematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.6 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.7 Homogene Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8 Extrema unter Nebenbedingungen 718.1 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.2 Tangentialverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.3 Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.4 Methode von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9 Integralrechnung 799.1 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809.3 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809.4 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10 Lineare Gleichungssysteme und Gauss-Algorithmus 8410.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8410.2 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.3 Gauss-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11 Lineare Programmierung 90

12 Finanzmathematik 10012.1 Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.2 Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

13 Wirtschaftswissenschaftliche Funktionen 10913.1 Angebots- und Nachfragefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10913.2 Produktionsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11013.3 Kostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11113.4 Umsatzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11213.5 Gewinnfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Stichwortverzeichnis 113

Theorie: Grundlagen uniseminar.eu

1 GrundlagenDamit wir so richtig loslegen können, müssen zuerst mal die absoluten Basics sitzen. Hier einekurze Zusammenfassung über das, was du nie vergessen sollst.

1.1 Rechenregeln

Zeichen Bedeutung

{−3, 5} Menge der Zahlen -3 und 5

(−3, 5) offenes Intervall von -3 bis 5, ohne -3 und 5

[−3, 5] geschlossenes Intervall von -3 bis 5, inkl. -3 und 5

(−3, 5] halboffenes Intervall von -3 bis 5, ohne -3 und inkl. 5

N,R Menge der natürlichen Zahlen, Menge der reellen Zahlen

R+,R+0 Menge der positiven reellen Zahlen ohne 0 bzw. inkl. 0

{x ∈ R | x gerade} Menge der x, Element von (∈) R, so dass (|) x gerade

A ∪B Menge A vereinigt mit Menge B

A ∩B Menge A geschnitten mit Menge B

A\B Menge A ohne Menge B

A ∧B Aussage A und Aussage B, wahr genau dann wenn A und B wahr sind

A ∨B Aussage A oder Aussage B, wahr genau dann wenn A oder B wahr sind

¬A nicht A, wahr genau dann wenn A falsch ist

A⇒ B aus A folgt B

A⇔ B A ist äquivalent zu B

.= soll gleich sein

f ◦ g Verknüpfung f(g(x)), im Vergleich zu f · g = f(x) · g(x)

n∑k=1

ak a1 + a2 + a3 + . . .+ an Summe von a1 bis ann∏k=1

ak a1 · a2 · a3 · . . . · an Produkt von a1 bis an

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Beispiel.

[−3, 5] ∪ [5, 8] = [−3, 8], {x ∈ R | 0 < x < 6} = (0, 6)

Bruchrechnen

• Erweitern:a

b=a · cb · c

• Addieren:a

b+c

d=a · db · d

+c · bd · b

=a · d+ c · b

b · d

• Multiplizieren:a

b· cd

=a · cb · d

• Doppelbrüche:abcd

=a

b· dc

=a · db · c

• Nicht vergessen zu kürzen!

Potenzieren, Wurzelziehen

Potenzieren

• Definition: an = a · . . . · a︸︷︷︸n−mal

• Spezialfälle: a0 = 1, a1 = a; 0k = 0 für k > 0, 1k = 1

• Multiplikation: ak · al = ak+l

• Division: akal

= ak−l

• Kehrwert: 1ak

= a0

ak= a−k

• Potenzieren von Potenzen: (ak)l = ak·l

• Ausklammern: ak · bk = (a · b)k

Wurzelziehen

• Wurzelziehen: n√a = a

1n , insbesondere

√a = a

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• Zusammenfassen von Wurzeln: n√a · n√b = n√a · b

• Potenzen und Wurzeln: n√am = a

mn

• Rechnen mit Wurzeln: Wurzeln als Potenzen ausdrücken, dann Potenzregeln anwenden

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Beispiel. √3√

22 · 27 · 9 =

√3√

22 · 33 · 32 =√

223 · 3 3

3 · 32

=√

223 · 31 · 32 =

√2

23 · 33 = 2

23·2 · 3

32

= 213 · 3

32 =

3√

2 ·√

3 · 3

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Theorie: Mengen uniseminar.eu

2 MengenUm Mathematik betreiben zu können, ist es unumgänglich, den Begriff der Menge zu verwen-den. Grob gesprochen ist eine Menge eine (eventuell hypothetische) Ansammlung von (eventu-ell hypothetischen) Dingen, die man voneinander unterscheiden kann. Beispielsweise bilden dieTeilnehmer dieses Kurses eine sehr konkrete Menge, die Menge aller Funktionen ist hingegenrecht hypothetisch, da diese schwer vorstellbar und nicht greifbar ist. Die Dinge, die man ineiner Menge zusammengefasst hat, heissen Elemente der Menge. Die Aufzählung der Elementeeiner Menge wird in geschweiften Klammern {. . .} vorgenommen. Beispielsweise ist die MengeW aller Wochentage gleich

W = {Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samstag, Sonntag}.

Für später führen wir an dieser Stelle noch die beiden Mengen W1 und W2 ein:

W1 = {Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag}W2 = {Donnerstag, Freitag, Samstag, Sonntag}.

Andererseits können die Elemente einer Menge auch durch ihre Eigenschaft(en) beschriebenwerden, wobei die Beschreibung der Elemente e einer Menge nach einem senkrechten Strich| oder einem Doppelpunkt : erfolgt. Wir entscheiden uns für die erste Variante. In unseremBeispiel der Wochentage könnten wir einfach schreiben

W = {w | w ist ein Wochentag}.

Mengen werden wir üblicherweise mit lateinischen Grossbuchstaben (A, B, C, . . .) bezeichnen.

2.1 Elemente von Mengen

Um von den Elementen in einer Menge sprechen zu können, benötigen wir das Symbol ∈.Beispielsweise bedeutet die Symbolkette

Montag ∈ W,

dass der Montag ein Wochentag ist bzw. dass der Montag zur Menge der Wochentage gehört.Man sagt dann auch, dass der Montag ein Element der Wochentage ist. Wir können abkürzendbeispielsweise n ∈ N oder x ∈ N schreiben, wenn wir ausdrücken wollen, dass n oder x einenatürliche Zahl ist. Wollen wir hingegen schreiben, dass x keine natürliche Zahl sein soll, soverwenden wir das Symbol /∈. Beispielsweise ist 0.5 /∈ N.

2.2 Teilmengen von Mengen

Ein weiteres wichtiges Symbol ist ⊂ oder ⊆, was ausgesprochen ”ist Teilmenge von” heisst.Beispielsweise ist N ⊂ N0 oder W1 ⊂ W . Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, fallsalle Elemnte aus A auch in B enthalten sind.

Bemerkung. Die leere Menge ∅, d.h. die Menge, welche kein Element besitzt, ist Teilmengejeder Menge. Für alle Mengen M ist somit ∅ ⊂M immer richtig!

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2.3 Potenzmengen von Mengen

Sei A eine beliebige Menge, dann heißt die Menge aller Teilmengen von A Potenzmenge von A.Sie wird mit ℘(A) bezeichnet. Beachte, dass die Potenzmenge eine Menge von Mengen ist. D.h.Elemente der Potenzmenge sind wieder Mengen. Falls A aus n ∈ N (endlich vielen) Elementenbesteht, so gilt, dass ℘(A) aus 2n Elementen besteht.

2.4 Mengenoperationen

Es ist oftmals sehr nützlich, mit Mengen gewisse Operationen anzustellen, um umgangssprach-liche Sachverhalte mathematisch korrekt und kurz ausdrücken zu können. In den folgendenBildern (Venn-Diagrammen) sei die linke Menge jeweils A, die Rechte sei B. Als begleitendesBeispiel verwenden wir die auf der Seite 10 eingeführten Mengen W , W1 und W2 der Wochen-tage. Die wichtigen Operationen für zwei Mengen A und B sind:

A B

• Schnittmenge:

A ∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B},

d.h. die Menge aller x, die sowohl in A als auch in Bliegen. Hierbei bedeutet ∧ die mathematische Abkür-zung für das logische UND.

Scheiden wir die Mengen W1 mit W2, so erhalten wirdie Menge W1 ∩W2 = {Donnerstag, Freitag}.

A B

• Vereinigungsmenge:

A ∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B},

d.h. die Menge aller x, die in A oder B (oder in beidengemeinsam) liegen. Hierbei bedeutet ∨ diemathematische Abkürzung für das logische ODER.

Bilden wir die Vereinigung von W1 und W2, so ergibtsich die Menge

W1∪W2 = {Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samstag, Sonntag}.

A B

• Differenzmenge:

A \B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B} = A ∩B,

d.h. die Menge aller x, die zu A aber nicht zu B ge-hören.

Die Differenzmengen von W1 und W2 lauten

W1 \W2 = {Dienstag, Mittwoch}W2 \W1 = {Samstag, Sonntag}.

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BAA

G• Komplementmenge:

A = {x ∈ G | x /∈ A},

d.h. die Menge aller x, die nicht zu A gehören. Hierbeimuss noch eine Grundmenge G gegeben sein, zu derA gehört.

In unserem Beispiel der Wochentage seiW die Grund-menge. W1 und W2 sind dann die Mengen

W1 = W \W1 = {Montag, Samstag, Sonntag}W2 = W \W2 = {Montag, Dienstag, Mittwoch}.

• kartesisches Produkt:

A×B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B},

d.h. die Menge aller geordneten Paare (a, b), wobei a zu A und b zu B gehört.

Beispiel.

Wir betrachten die Mengen A = {1, 2, 3, 4, 5} und B = {2, 4}, und nehmen als Grundmengedie natürlichen Zahlen N an. Dann ist

A ∩B = {2, 4}A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5}

A = {6, 7, 8, 9, . . .}B = {1, 3, 5, 6, 7, . . .}

A \B = {1, 3, 5}B \ A = ∅A×B = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4), (5, 2), (5, 4)}℘(B) = {∅, {2}, {4}, {2, 4}}.

2.5 Rechenregeln für Mengen

Seien A,B,C beliebige Teilmengen von X, dann gilt:

1. A = A

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Theorie: Funktionen in mehreren Variablen uniseminar.eu

7 Funktionen in mehreren Variablen

Wir betrachten nun Funktionen f : Rn → R, die von n ∈ N Variablen x1, x2, . . . , xn abhängigsind und die in die reellen Zahlen abbilden.

Beschränken wir uns zunächst auf den Fall n = 2, so können wir die Funktionen im 3-dimensionalen Raum darstellen. Neben den x1 und x2–Richtungen in der Ebene existiert einez-Richtung, gegeben durch f(x1, x2) = z. Also ordnet die Funktion f jedem Paar (x1, x2) in derEbene einen Wert in der Höhe z zu. Durch die Punkte (x1, x2, f(x1, x2)) entsteht ein ”Gebirge”über der x1x2-Ebene. Oftmals schreiben wir x, y anstatt x1, x2.

Ein Beispiel für ein solches ”Gebirge”

Wir erläutern zunächst allgemein den Begriff der reellwertigen Funktion in mehreren Variablen.

Was ist eine reellwertige Funktion in mehreren Variablen?

Sei D eine Teilmenge des Rn, für n ≥ 2 dann heisst

f : D→ R, (x1, ..., x2) 7→ f(x1, ..., x2)

reellwertige Funktion in mehreren (n) Variablen. Die Funktion heißt reellwertig,da der Wertebereich R ist (und nicht Rm, m > 1). Andernfalls spricht man von einervektorwertigen Funktion in mehreren Variablen.

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Wie wir in dem einführenden Beispiel sehen, ist es sehr schwierig Funktionen in mehreren Va-riablen zu zeichnen oder sich vorzustellen. Als Hilfsmittel führen wir die Isoquanten oder auchNiveaulinien bzw.Höhenlinien ein. Punkte, die in dem “Gebirge” die gleiche Höhe aufweisen,werden mit einer sogenanten Isoquante (Höhenlinie) verbunden. Hierdurch ist es möglich ein3-dimensionales Gebirge im bekannten x, y-Achsensystem darzustellen. Die Niveaulinien vonf(x, y) sind die Kurven in der xy-Ebene, die durch

f(x, y) = z0

fest gegeben sind. Man schneidet also das Gebirge auf der Höhe z0 mit der xy-Ebene.

Die Niveaulinien eines ”Gebirges” auf die xy-Ebene projiziert.

Die Isoquanten, Isobaren und Indifferenzkurven der Ökonomie sind nichts anderes alsNiveaulinien. Man hat eine Funktion in zwei Variablen und nimmt diese als konstant an (Iso...).

7.1 Partielle Ableitungen

Hängt eine Funktion von mehreren Variablen x und y ab, dann können partielle Ableitungengebildet werden. Dabei werden die Variablen, nach welchen gerade nicht abgeleitet wird, wieKonstanten behandelt.

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Wie schreibe ich partielle Ableitungen?

Sei f : R2 → R (x, y) 7→ f(x, y). Dann ist die erste Ableitung nach x bzw. y:

∂f

∂x(x, y) = fx(x, y),

∂f

∂y(x, y) = fy(x, y)

Für die zweiten Ableitungen können wir die erste Ableitung nochmals nach x bzw. ydifferenzieren, wodurch wir insgesamt vier zweite Ableitungen erhalten, nämlich

∂2f

∂x2(x, y) = fxx(x, y),

∂2f

∂y2(x, y) = fyy(x, y)

∂2f

∂x∂y(x, y) = fxy(x, y),

∂2f

∂y∂x(x, y) = fyx(x, y)

Der Satz von Schwarz stellt sicher, dass die gemischten Ableitungen fxy und fyx identischsind, falls die zweite Ableitung stetig ist. Im Allgemeinen werden wir fast immer mitdiesem Fall zu tun zu haben.

Beispiel.

Sei f(x, y) = x3 + xy2.

• Die partielle Ableitung nach x ist die Steigung von f in x-Richtung:∂f

∂x(x, y) = fx(x, y) = 3x2 + y2

• Die partielle Ableitung nach y ist die Steigung von f in y-Richtung:∂f

∂y(x, y) = fy(x, y) = 2xy

Die Ableitungen zweiter Ordnung sind:

fxx(x, y) = 6x fyy(x, y) = 2x fxy(x, y) = fyx(x, y) = 2y

7.2 Totale Differenzierbarkeit

Da nicht alle partiell differenzierbaren Funktionen mit mehreren Variablen stetig sind, keineKnicke haben und lokal durch Tangentialebenen approximiert werden können, benötigen wireinen stärkeren Begriff, der dies gewährleistet.

-63-

Stichwortverzeichnis uniseminar.eu

StichwortverzeichnisAbbildung, linear, 28Abbildungen, lineare, 28abgeschlossenes Intervall, 13Abhängigkeit, lineare, 24Ableitungsregeln, 49Addition Matrizen, 31Adjunkte, 36Anfangswert, 100Angebotsfunktion, 109Annuität, 104arithmetische Folge, 19Aufzinsungsfaktor, 101

Basis, 26Basisvariablen, 91beschränkt, 18Bestimmtes Integral, 79bijektiv, 41Bild, 40Bildbereich, 40Bruchrechnen, 2

Definitionsbereich, 40Determinante, 34Diagonalmatrix, 29Differenzengleichungen, 21Differenzenquotient, 48Differenzmenge, 11Dimension, 26divergente Folge, 18Dreiecksmatrix, 29Durchschnittsertragsfunktion, 110Durchschnittskostenfunktion, 111

Ebenen, 28effektiver Zinssatz, 102einheitselastischer, 58Einheitsmatrix, 29elastischer, 58Elastizität, 57Elemente, 10endlichen Folge, 16Endwert, 100erweiterte Koeffizientenmatrix, 85Erzeugendensystem, 26euklidische Abstand, 37

euklidische Norm, 37explizite Folge, 17expliziten Darstellung, 17Extrema, 51

Fixe Kosten, 111Folgeglieder, 16Funktion in mehreren (n) Variablen, 61Funktion in zwei Variablen, 61

Gauss Algorithmus, Operationen, 88Gauss-Algorithmus, 86geometrische Folge, 20Gerade, 28Gewinnfunktion, 112Gleichungen, 4globale Extrema, 52Gradient, 67Grenzertragsfunktion, 110Grenzkostenfunktion, 112Grenzzinssatz, 104

Häufungspunkt, 18Höhenlinien, 62halboffenes Intervall, 13Hauptsatz der Differential- und Integralrech-

nung, 83Hessematrix, 67Homogene Funktion, 69homogene Funktion, 69homogenen Differenzengleichungen, 22homogenes lineares Gleichungssystem, 85Homogenitätsgrad, 69Hyperebene, 28

implizite Funktionen, 71Induktionsanfang, 14Induktionsschritt, 14Induktionsvoraussetzung, 14inhomogenen Differenzengleichungen, 22inhomogenes lineares Gleichungssystem, 85injektiv, 41Integral, 79Integral, bestimmtes, 79Integral, Eigenschaften, 80Integral, Existenz, 82Integral, uneigentlich, 80

-113-


Integration, Hauptsatz, 83Integrationsgrenzen, 79Integrationskonstante, 83integrierbare Funktion, 82Intervalle, 13Inverse Matrix, 36Isoquanten, 62

jährlicher Versinzung, 100

kartesisches Produkt, 12Kettenregel, 49Koeffizientenmatrix, 85Komplementmenge, 12Komposition, 46konstante Skalenerträge, 70konvergente Folge, 18kritischer Punkt, 53

Lagrange-Multiplikator, 77Lagrangefunktion, 77Laufzeit, 100linear abhängig, 25linear unabhängig, 25lineare Abbildung, 28Lineare Abbildungen, 28Lineare Abhängigkeit, 24lineare Hülle, 26lineare Nebenbedingungen, 90lineare Optimierungsprobleme, 90Lineare Unabhängigkeit, 24Lineares Gleichungssystem, 84lineares Gleichungssystem, homogen, 85lineares Gleichungssystem, inhomogen, 85Linearkombination, 26lokale Extrema, 52

marginale Funktion, 57Matrix, 23Matrix mal Matrix, 32Matrix, quadratisch, 23Matrix, Skalarmultiplikation, 31Matrix-Form, 85Matrixmultiplikation, 32Matrizen, 23Maximum, 51Menge, 10Mengen, Verknüpfungen, 11Mengenoperationen, 11Methode von Lagrange, 77

Minimum, 51monoton wachsend, 17monoton fallend, 17, 50monoton steigend, 50monoton wachsend, 50

Nachfragefunktion, 109Nebenbedingung, 71negativ definit, 38negativ semi-definit, 38Nichtbasisvariablen , 91Nichtnegativitätsbedingungen, 90Niveaulinien, 62nominelle Jahreszins, 102Nullfolge, 18Nullmatrix, 29

Obere Dreiecksmatrix, 29offenes Intervall, 13orthogonal, 37Orthogonale Matrix, 30

Partialsumme, 21Partielle Ableitung, 62partielle Ableitungen, 62Pivotspalte, 91Pivotzeile, 91Polynom 2. Grades, 4positiv definit, 38positiv semi-definit, 38Potenzen, 2Potenzmenge, 11Produkteregel, 49, 66Produktionsfunktion, 110

quadrieren, 4Quotientenregel, 49, 66

Rückzahlung mit variabler Annuität, 107Rang, 38Rechenregeln, 1Reduktionsmethode, 76reelle Zahlenfolge, 16Reeller Vektorraum, 23Reihe, 21rekursive Folge, 17rekursiven Darstellung, 17relative Extrema, 52Restglied, 59Restriktion, 71

-114-


Schlupfvariablen, 91Schnittmenge, 11senkrecht, 37Simplexalgorithmus, 91Simplextableau, 91Skalarprodukt, 36Skalenerträge, 70Spaltenvektor, 23spezielle Matrizen, 29Stammfunktion, 83stationärer Punkt, 53stetig, 46stetige Verzinsung, 104streng monoton wachsend, 50streng monoton fallend, 17, 50streng monoton wachsend, 17Substitutionsmethode, 76surjektiv, 41

Tangentialverfahren, 74Taylorreihe, 58Taylorreihe , 59Teilfolge, 17Teilmenge, 10Tilgung, 104total differenzierbar, 64Transponierte, 30Typen von Matrizen, 29

Umkehrfunktion, 42Umkehrfunktion, Ableitung, 49Umsatzfunktion, 112Unabhängigkeit, lineare, 24Uneigentliches Integral, 80uneigentliches Intervall, 13unelastischer Bereich, 58unendlich ∞, 13Ungleichungen, 5Untere Dreiecksmatrix, 29unterjährigen Verzinsung, 101Unterraum, 27Urbild, 40

Variable Kosten, 111Vektor, 23Vektorraum, 23Vektorraum, reell, 23Vereinigungsmenge, 11Verkettung, 46

vollständige Induktion, 14

Wertebereich, 40Wurzel, 2

Zeilenvektor, 23Zielfunktion, 71, 90Zielfunktionszeile, 91Zinssatz, 100Zinszahlung, 104

-115-

Übu

ngen

Prüfung

enExtras

Ü

Übungen



Inhaltsverzeichnis

Blatt 1 1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Blatt 2 13

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Blatt 3 24

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Blatt 3a 36

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Blatt 4 40

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Blatt 5 50

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Blatt 5a 67

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Blatt 6 72

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Blatt 7 90

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Finanzmathematik 114

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Blatt 1 - Lösungen uniseminar.eu

Lösungen

Aufgabe 1

a) i) Induktionsanfang: n = 0

0∑i=0

(1

2

)i=

(1

2

)0

= 1

2− 1

20= 2− 1

1= 2− 1 = 1

Für n = 0 stimmen also beide Gleichungen überein.

ii) Induktionsannahme:Wir nehmen nun an, dass die Gleichung bereits für ein beliebiges n ∈ N gilt:

n∑i=0

(1

2

)i= 2− 1

2n

iii) Induktionsschritt: n→ n+ 1

Mit Hilfe der Induktionsannahme, dass die Gleichung schon für n gilt, wollen wirnun zeigen, dass sie auch für n+ 1 gilt:

n+1∑i=0

(1

2

)i=

(n∑i=0

(1

2

)i)+

(1

2

)n+1

=

(n∑i=0

(1

2

)i)+

1

2n+1

= 2− 1

2n+

1

2n+1

= 2−(

2

2n+1− 1

2n+1

)= 2−

(2− 1

2n+1

)= 2− 1

2n+1

In der ersten Gleichung ziehen wir nur den letzten Summanden aus der Summe.Der entscheidende Schritt passiert aber eigentlich in der dritten Gleichung, da wirdort die Induktionsannahme von oben für die große Summenklammer einsetzen, dawir für n ja bereits angenommen haben, dass die Gleichung gilt. Der Rest ist danneinfach nur noch Bruchrechnung, um auf die Endgleichung zu kommen.

-3-


iv) Die unendliche Reihe konvergiert gegen 2. Dies sieht man wie folgt:

∞∑i=0

(1

2

)i= lim

n→∞

(n∑i=0

(1

2

)i)

= limn→∞

(2− 1

2n

)= 2− lim

n→∞

1

2n

= 2− 0 = 2

b) i) Induktionsanfang: n = 1

1∑i=1

1

i(i+ 1)=

1

1 ∗ (1 + 1)=

1

2

1

1 + 1=

1

2


ii) Induktionsannahme:Wir nehmen nun an, dass die Gleichung bereits für ein beliebiges n ∈ N gilt:

n∑i=1

1

i(i+ 1)=

n

n+ 1


Mit Hilfe der Induktionsannahme, dass die Gleichung schon für n gilt, wollen wir

-4-


nun zeigen, dass sie auch für n+ 1 gilt:

n+1∑i=1

1

i(i+ 1)=

(n∑i=1

1

i(i+ 1)

)+

1

(n+ 1)(n+ 2)

=n

n+ 1+

1

(n+ 1)(n+ 2)

=n(n+ 2)

(n+ 1)(n+ 2)+

1

(n+ 1)(n+ 2)

=n(n+ 2) + 1

(n+ 1)(n+ 2)

=n2 + 2n+ 1

(n+ 1)(n+ 2)

=(n+ 1)2

(n+ 1)(n+ 2)

=n+ 1

n+ 2

=n+ 1

(n+ 1) + 1

In der ersten Gleichung ziehen wir nur den letzten Summanden aus der Summe.Der entscheidende Schritt passiert in der zweiten Gleichung, da wir dort die In-duktionsannahme von oben für die große Summenklammer einsetzen. Der Rest istdann einfach nur noch Bruchrechnung und einmal die Anwendung der binomischenFormel, um auf die Endgleichung zu kommen.

iv) Die unendliche Reihe konvergiert gegen 1. Dies sieht man wie folgt:

∞∑i=1

1

i(i+ 1)= lim

n→∞

n∑i=1

1

i(i+ 1)

= limn→∞

n

n+ 1= 1

c) i) Induktionsanfang: n = 1

n∑i=1

(2i− 1) = 2 ∗ 1− 1 = 1

12 = 1


ii) Induktionsannahme:

-5-


Wir nehmen nun an, dass die Gleichung bereits für ein beliebiges n ∈ N gilt:

n∑i=1

(2i− 1) = n2


Mit Hilfe der Induktionsannahme, dass die Gleichung schon für n gilt, wollen wirnun zeigen, dass sie auch für n+ 1 gilt:

n+1∑i=1

(2i− 1) =

(n∑i=1

(2i− 1)

)+ (2(n+ 1)− 1)

= n2 + (2n+ 1)

= (n+ 1)2

In der ersten Gleichung ziehen wir wieder nur den letzten Summanden aus der Sum-me. In der zweiten Gleichung wenden wir die Induktionsannahme von oben für diegroße Summenklammer an, da wir für n ja bereits angenommen haben, dass dieGleichung gilt. Um auf die Endgleichung zu kommen, wird wieder eine binomischeFormel angewendet.

iv) Die unendliche Reihe konvergiert nicht, da n2 gegen unendlich geht.

∞∑i=1

(2i− 1) = limn→∞

n∑i=1

(2i− 1)

= limn→∞

n2 =∞

Aufgabe 2

a) i) Induktionsanfang: n = 1

21 = 2 > 1


2n > n für n ∈ N


2n+1 = 2n + 2n > n+ n ≥ n+ 1

-6-


Insgesamt also:

2n+1 > n+ 1

In der ersten Ungleichung haben wir die Induktionsannahme für beide Summandenverwendet und in der zweiten Unglichung haben wir verwendet, dass n ∈ N ist unddamit n ≥ 1

b) i) Induktionsanfang: n = 5

25 = 32 > 25 = 52


2n > n2 für n ≥ 5


2n+1 = 2n > 2 ∗ n2 ≥ (n+ 1)2

Insgesamt also:

2n+1 > (n+ 1)2

Die erste Ungleichung folgt mit der Induktionsannahme, die zweite Ungleichung2 ∗ n2 ≥ (n + 1)2 müsste man eigentlich noch einmal gesondert mit vollständigerInduktion beweisen.

c) i) Induktionsanfang: n = 10

210 = 1024 > 1000 = 103


2n > n3 für n ≥ 10


2n+1 = 2 ∗ 2n > 2 ∗ n3 ≥ (n+ 1)3

-7-

Prüfung

enExtras

P

Prüfungen



Inhaltsverzeichnis

Prüfung SS 2000 1Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4



Zusätzliche Multiple-Choice-Fragen 38Multiple-Choice-Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Probeklausur 1 56Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59



Prüfung Sommersemester 2000 - Lösungen uniseminar.eu

Lösungen

Aufgabe 1

a) In dieser Aufgabe wird das Aktienvermögen K0 = 10 000(DM) mit einem Zinssatz vonp = 20% verzinst, wobei jährlich konstante Depotkosten von 150(DM) vom Vermögenabgezogen werden müssen.Die erste Differenzengleichung (d.h. das Aktienvermögen K1 nach einem Jahr) lautet also:

K1 = K0 +p

100K0 − 150

Für die folgenden Jahre lässt sich also die erste Differenzengleichung verallgemeinern:

Ki+1 = Ki +p

100Ki − 150

b) Wie man aus Aufgabe a) sieht, handelt es sich hier um eine inhomogene lineare Differen-zengleichung erster Ordnung, d.h. sie hat die Form

yt = ayt−1 + b, a 6= 1

Wenn man nun alle Gleichungen für jedes Jahr ineinander einsetzt, erhält man eine einzigeGleichung, die das Anlagevermögen Kn nach n Jahren direkt aus dem Startvermögen K0

berechnet. Hierbei entspricht das a = 1 + p100

= 1.2 und b = −150 :

Kn = 1.2n ·K0 − 150 · 1.2n − 1

1.2− 1

Mit dieser Formel und unseren Werten zuK0, p und n = 4 können wir das Aktienvermögenerrechnen:

K4 = 1, 24 · 10 000− 150 · 1, 24 − 1

1, 2− 1

= 2, 0736 · 10 000− 150 · 2, 0736− 1

0, 2

= 19.930, 8

c) Wir verwenden wieder die Gleichung von oben, nur mit dem Unterschied, dass wir diesmaldas Anglagevermögen K0 nicht kennen und ausrechnen müssen.Aber dafür wissen wir wieviel wir nach 4 Jahren mindestens eingenommen haben müssen.Also muss unser Anlagevermögen nach 4 Jahren mindestens das Anfangsvermögen sein,also K4 ≥ K0.

-4-


Setzt man dies nun in die Gleichung ein, sieht diese wie folgt aus:

K4 = 1, 24 ·K0 − 150 · 1, 24 − 1

1, 2− 1≥ K0

Also muss man zur Lösung dieser Aufgabe nur obige Ungleichung lösen, was im Endeffektgenauso wie bei einer Gleichung funktioniert, nur dass man beim dividieren oder multi-plizieren von negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen einfach jedesmal umdreht. Diesist hier aber nicht nötig, da alle Zahlen, mit denen multipliziert wird, positiv sind.

1.24 ·K0 − 150 · 1.24 − 1

1.2− 1≥ K0

1.24 ·K0 ≥ K0 + 150 · 1.24 − 1

1.2− 1

2.0736 ·K0 −K0 ≥ 150 · 1.0736

0.2

1.0736 ·K0 ≥ 150 · 1.0736

0.2

K0 ≥150

0.2

K0 ≥ 750

Man müsste also mindestens 750DM anlegen, um am Ende die Depotkosten durch dieZinsen wieder hereingeholt zu haben.

d) In dieser Aufgabe fallen nun keine Depotkosten mehr an, da es sich um ein festverzinstesWertpapier handelt. Aber dafür ist auch der Zinsatz mit p = 8% niedriger.Eingesetzt in die Gleichung aus Aufgabe b) ergibt sich nach 4 Jahren:

K4 = K0 · (1 +p

100)4

= 10 000 · 1.084

= 13 604.89

Aufgabe 2

Eine Schuld vonK0 = 150 000(DM) soll binnen vier Jahren getilgt werden. Es wird ein Zinssatzvon p = 10% und ein Rückzahlungsmodus mit variablen Annuitäten vereinbart.Da die Tilgung konstant ist und die Schuld K0 nach 3 Jahren getilgt sein soll, ergibt sich

T =K0

n=

150 000

3= 50 000

-5-


Die Formeln für Zinsen, Annuitäten und Restschuld sind:

Zt = (K0 − (t− 1)K0

n)p

100

= (150 000− (t− 1)50 000)10

100

At = T + Zt

= 50 000 + (150 000− (t− 1)50 000)10

100

Kt = Kt−1 − T

= K0 − t · T

= 150 000− t · 50 000

Damit ergibt sich der folgende Tilgungsplan:

t Zt At Kt

1 15 000 65 000 100 0002 10 000 60 000 50 0003 5 000 55 000 0

Aufgabe 3

a) Der Umsatz ist der Wert, den ein Unternehmen beim Verkauf der Menge X bei einemPreis p erzielt:

U(X) = pX

Der Gewinn ergibt sich aus dem Umsatz abzüglich der Kosten:

G(X) = U(X)−K(X) = pX − (Kvar +Kfix)

Im Kontext der Aufgabe ergibt sich also:

U(X) = p ·X

= (332− 8X) ·X

= −8X2 + 332X

G(X) = U(X)−K(X)

= −8X2 + 332X − (60 + 12X)

= −8X2 + 320X − 60

-6-


b) Um den Gewinn zu maximieren müssen wir die Funktion G(X) nach X ableiten:

G′(X) = (−8X2 + 320X − 60)′

= −8X + 320

Die Nullstellen der Ableitung ergeben die Extrempunkte, die man mit Hilfe der zweitenAbleitung noch auf Maxima, Minima und Terassenpunkte untersuchen kann. In unseremFall haben wir nur die eine Nullstelle X = 40 und diese ist auch das Maximum (G′′(X) =

−8 ≤ 0).Setzt man nun die so erhaltene optimale ProduktionsmengeX = 40 in die GewinnfunktionG(X) ein, so erhalten wir einen maximalen Gewinn von:

G(X) = −8402 + 320 · 40− 60

= −60

c) Die Formel der Durschnittskostenfunktion DK ist:

DK =K(X)

X

=60 + 12X

X

Die Formel der Grenzkostenfunktion GK ist:

GK = K ′(X)

= 12

Aufgabe 4

a) Wie man sieht, muss man die Funktion f einfach nur ableiten.

f ′(x) =

(0.07 · (x− 80)2

100+ 4.56 · x− 80

10+ 27

)′= 0.07 · (x2 − 2 · 80 ·X + 6400)′

100+ 4.56 · (x− 80)′

10

= 0.07 · 2 · x− 160

100+ 4.56 · 1

10

= 0.14 · x− 80

100+ 0.456

-7-


b) Die Elastizität (Punktelastizität) im Punkt x der Funktion f ist durch folgende Formelgegeben:

εf,x =f ′(x)x

f(x)

Also in unserem Fall mit x = 100:

εf,100 =f ′(x)x

f(x)

=(0.14 · 100−80

100+ 0.456) · 100

0.07 · (100−80)2100

+ 4.56 · 100−8010

+ 27

= 1.32967033

Erhöht sich das Einkommen von 100 TDM um 1% , so erhöht sich die Einkommenssteuerum 1.33% . Man befindet sich also im Elastischen Bereich.

Aufgabe 5

a) Um festzustellen, ob eine gegebene Funktion homogen ist, setzt man für jede Variable xieinfach a ∗xi ein und versucht, alle a’s noch vorne auszuklammern. Falls dies möglich ist,heißt die Funktion homogen und der Exponent der ausgeklammerten a’s ist der Grad rder Funktion.

f(a · x1, a · x2) = (a · x1)13 · (a · x2)

13

= a13x

131 · a

13x

132

= a13+ 1

3 · x131 · x

132

= a23 · (x

131 · x

132 )

= a23 · f(x1, x2)

Also ist f homogen vom Grad r = 23≤ 1, hat also fallende Skalenerträge.

In diesem konkreten Fall bedeutet dies, dass sich, wenn man die Inpuntmengen der bei-den Inputgüter z.B. verdoppelt, die Outputmenge des Produktionsguts nicht verdoppeltsondern nur um 58% erhöht. (2

23 = 1.58...)

b) Die KostenfunktionK(x1, x2) = x1 + x2

soll hier mit Hilfe der Lagrangemethode minimiert werden mit der Nebenbedingung

f(x1, x2) = x131 · x

132 = 4

Dazu muss man die Funktion der Nebenbedingung ein klein wenig verändern, so dass 0

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