lógica proposiconal : formas normais

8/17/2019 lógica proposiconal : formas normais

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LógicaProposicional

Formas Normais

e Resolução



Formas normais e {¬,v,^}

Um literal é um símboloproposicional ou sua negação

Um bom conjunto completo é{¬,v,^}

Formas normais são obtidas apartir desse conjunto deconectivos



Forma normal disjuntiva Uma !rmula est" na orma normal

disjuntiva #nd ou $NF, em ingl%s& se

é uma disjunção de conjunç'es deliterais F é da orma F( v F) v *** v Fn, onde

Fi é uma conjunção #da orma +( ^ +)^ *** ^ +n & e

+i é um literal -. /0#¬1^2& v #¬R^¬2^1& v #1^3&



Forma normal conjuntiva Uma !rmula est" na orma normal

conjuntiva #nc ou 4NF, em ingl%s& se

é uma conjunção de disjunç'es deliterais F é da orma F( ^ F) ^ *** ^ Fn, onde

Fi é uma disjunção #da orma +( v +)v *** v +n & e

+i é um literal -. 50#¬1v2& ^ #¬Rv¬2v1& ^ #1v3&



6btenção de ormas

normais 6bserve 7ue / e 5 são parecidos

/0#¬1^2& v #¬R^¬2^1& v #1^3&, $NF 50#¬1v2& ^ #¬Rv¬2 v1& ^ #1v3&, 4NF

1ara obt%8las a partir de !rmulas7uais7uer usam8se algoritmos

duais 6s mesmos, trocando8se 9 por F



+lgoritmos usando leis

#repetidamente& ( 8:eis de eliminação

1→2 0 #¬1v2&

1↔

2 0 #1→

2&^#2→

1& ) 8:ei da negação ¬#¬/& ↔ /

) 8:eis de $e ;organ

¬#1v2& 0 ¬1 ^ ¬2 ¬#1^2& 0 ¬1 v ¬2

< 8:eis distributivas. F v #5^/& 0 #Fv5& ^ #Fv/& F ^ #5v/& 0 #F^5& v #F^/&



-ercícios 6bter $NF de #1 v ¬2& →R

0 ¬#1v¬2& v R #eliminação de →& 0 #¬1 ^ ¬#¬2&& v R #$e ;organ& 0 #¬1 ^ 2& v R #negação&

6bter 4NF de #1^#2→R&&→3



-ercícios de obtenção de

ormas normais 6bter $NF de ¬#1 ^2& →R 6bter 4NF de ¬#1 ^2& →R



Notação na orma de

conjuntos /0#1v¬2vR&^#1v¬2&^#1v1& Representação na orma de

conjuntos. /0{=1,¬2,R>,=1,¬2>,=1>} Note 7ue

#1v¬2vR& 0 =1,¬2,R> #1v1&0=1> Não é necess"rio representar duplicidade na

orma de conjuntos



4l"usulas e literais

complementares 4l"usula em l!gica proposicional é

uma disjunção de literais Usando a notação de conjuntos. 4(0{1,¬2,R}, 4)0{1,¬2}, 4<0{1}

$ois literais são complementares7uando um é a negação do outro



Resolvente de ) cl"usulas 3upondo ) cl"usulas 4(0{+(,***, +n}

e 4)0{?(, ***, ?n}, com literais

complementares +, um conjunto de literais em 4(, tal 7ue 8+, um conjunto de literais

complementares a +, estão em 4) Resolvente de 4( e 4). Res#4(,4)&0#4(8+&U#4)8 8+& Res#4(,4)& pode ser {}

Resolvente va@io ou trivial



-emplo de resolvente 4(0{1,¬2,R} e 4)0{¬1,R} Res #4(,4)& 0 {¬2,R}, 7ue

também é uma cl"usula $(0{1,¬2} e $)0{¬1,2}

Res #$(,$)& 0 {}, 7ue também éuma cl"usula



3istema com Resolução +labeto da :!gica 1roposicional 4onjunto de cl"usulas da :!gica

1roposicional + regra de resolução



Regra de Resolução 3upondo ) cl"usulas 4(0{+(,***,

+n} e 4)0{?(, ***, ?n}, a Regra de

Resolução aplicada a 4( e 4) é. $edu@ir Res#4(,4)&

1ara veriAcar satisabilidade mpregar v"rias ve@es até obter a

cl"usula va@ia -pansão por resolução



-pansão por resolução {=¬1,2,R>,=1,R>,=1,¬R>} (* =¬1,2,R> )* =1,R> <* =1,¬R> B* =2,R> Res #(,)& C* =2,1> Res #<,B& D* =1> Res #),<& #Não conseguimos obter a cl"usula

va@ia***&



-emplo de e-pansão por

resolução {=¬1,2>,=1,R>,=1,¬2>,=¬2,¬R>} (* =¬1,2>

)* =1,R> <* =1,¬2> B* =¬2,¬R> C* =2,R> Res #(,)& D* =1,R> Res #<,C& E* =2,R> Res #(,D& * {} Res#B,E& -pansão ecGada H contém a cl"usula



Forma clausal $ada uma !rmula /, a orma

clausal associada a / é Uma !rmula /c, uma conjunção de

cl"usulas e7uivalente a / 9oda !rmula proposicional possui

uma orma clausal associada



-ercício +cGar a a orma clausal associada

a. #/^#5v/&& ↔#/^5&v#/^/& ¬#/ ↔ 5& ↔#¬/ ↔ 5& ¬

#¬

#/&↔

/



1rova por resolução $adas uma !rmula / e ¬/c, a

orma clausal associada a ¬/ Uma 1rova de / por resolução é

uma e-pansão ecGada sobre ¬/c / é um teorema do sistema de

resolução



-emplo de 1rova por

resolução /0##1(v1)v1<&^#1(→1B&^#1)→1B&^#1<→1B&& → 1B

$eterminar ¬/c associada a ¬/ ¬/c0¬###1(v1)v1<&^#1(→1B&^#1)→1B&^

#1<→1B&& →1B&& 0¬#¬##1(v1)v1<&^#1(→1B&^#1)→1B&^#1<→

1B&&v1B& 0#1(v1)v1<&^#¬1(v1B&^#¬1)v1B&^#¬1<v1B&^ ¬1B

0{=1(,1),1<>,=¬1(,1B>,=¬1),1B>,=¬1<,1B>,

=¬1B>}



-emplo de 1rova por

resolução #cont*& (* =1(,1),1<> )* =¬1(,1B> <* =¬1),1B> B* =¬1<,1B> C* =¬1B>

D* =1),1<,1B> Res#(,)& E* =1<,1B> Res#<,D& * =1B> Res#B,E& J* {} Res#C,&



-ercício /0##1(v1)&^#1(→1B&^#1)→1B&^

#1<→1B&& → 1< $eterminar ¬/c associada a ¬/ Fa@er a e-pansão por resolução

+berta ou ecGadaK



4onse7L%ncia l!gica na

resolução $ada uma !rmula / e um conjunto de Gip!tesesβ0{/(,/),***/n},

então / é conse7L%ncia l!gica deβ por resolução

se e-iste uma prova por resolução de #/(^/)^***^/n& → /



Notação de 4onse7L%ncia

:!gica por Resolução $ada uma !rmula /, se / é

conse7L%ncia l!gica de um

conjunto de Gip!tesesβ0{/(,/),***/n} por resolução,di@8se 7ue. β M / ou {/(,/),***/n} M /



-ercício de 4onse7L%ncia

:!gica por Resolução 5uga é determinado 5uga é inteligente 3e 5uga é determinado, ele não é umperdedor 5uga é um atleta se é amante do t%nis 5uga é amante do t%nis se é inteligente

5uga não é um perdedorO éconse7L%ncia l!gica das aArmaç'es

acimaKK



3olução 1rovar

/0#1^2^##1^R&→1(&^#2(→R&^#2→2(&

& →¬1( ;ostrando 7ue ¬/ é absurdo ¬#1^2^##1^R&→1(&^#2(→R&^#2→2(&&→¬1(& gera uma e-pansão por resoluçãoecGada a partir da sua orma clausalK



Resolução e 9ableau- 2uais as relaç'es entre elesKK



Resolução e 9ableau-

=Fitting (JJP> ;étodos por negação Qmplement"veis

Resolução =ulia Robinson (JDC> 1rolog =4olmerauer (JE)>

Uma e-pansão ecGada porresolução e7uivale a um tableauecGado



Resolução - 9ableau- 6lGa para o signiAcado

da !rmula Uma disjunção

mantém8se numacl"usula Uma conjunção

biurcaO cl"usulas :inGas de resoluç'es 1ega8se uma

conjunção dedisjunç'es e tenta8sesimpliAc"8la

6lGa para o valor da!rmula

+s regras disjuntivasbiurcam tableau- 3ão usadas "rvores

Representamnaturalmente

disjunç'es entreramos



m resolução*** Na 4NF, para converter uma

!rmula para a orma clausal, os

SvTs criam cl"usulas se7Lenciais eos S^Ts separam os termos -s. +v? 0 {=+,?>} +^? 0{=+>,=?>} o 7ue, na pr"tica, vira uma biurcação Resolução ocorre sobre 4NFs



-ercícios de Formali@ação + proposta de au-ílio est" no

correio* 3e os "rbitros a

receberem até se-ta8eira, eles aanalisarão* 1ortanto, eles aanalisarão por7ue se a proposta

estiver no correio, eles a receberãoaté se-ta8eira* #4, 3, +&



3olução + proposta de au-ílio est" no correio* 3e os"rbitros a receberem até se-ta8eira, elesa analisarão* 1ortanto, eles a analisarão

por7ue se a proposta estiver no correio,eles a receberão até se-ta8eira*

4. + proposta de au-ílio est" no correio*

3. 6s "rbitros recebem a proposta até 3e-ta8eira*+. 6s "rbitros analisarão a proposta*

{C, S A, C S} |-- A



-ercício /oje é 3"bado ou $omingo* 3e

Goje é 3"bado então é um Am de

semana* 3e Goje é $omingo entãoé um Am de semana* 1ortanto,Goje é um Am de semana*



-ercício 3e Goje é 2uinta8eira, então

amanGã ser" se-ta8eira* 3e

amanGã or se-ta8eira, entãodepois de amanGã ser" s"bado*4onse7Lentemente, se Goje or

7uinta8eira, então depois deamanGã ser" s"bado*

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