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( ) ( )22
21n n
kS p E ppp
=+ +
CORRECTEUR+ E processus
Capteur/transmetteur
U
S
perturbation
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Licence de Libre Diffusion des Documents -- LLDD version 1
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1 Introduction Le cours dasservissements linaires a la rputation dtre incomprhensible , trop mathmatiques , trop abstrait , de ne pas servir grand chose au final . Lenvironnement industriel du navire a considrablement chang et les tenants du la clef plate et la burette y a que a de vrai et y a pas besoin dautre chose se sentiraient assez mal laise sur un navire moderne dont les postes de commande sont bourrs dcrans, de claviers et de souris. Pour illustrer et dmontrer mon propos, qui est de vous convaincre de lutilit de ltude de certains domaines tels les asservissements, je me servirai de deux petits rcits. Le premier est extrait de 3001 Lodysse finale de Arthur C.Clarke. Cest une discussion entre le commandant Frank Poole qui vient dtre ranim aprs un sjour de mille ans dans le vide sidral et Indra, mdecin responsable de son suivi psychologique.
Nos descendants, dans un millier dannes, nous considreront-ils avec la mme
condescendance que nous appliquons nos anctres, ces hommes superstitieux, frapps par la maladie et dont lesprance de vie tait si courte ? Et voil, cest fini Adieu, terrible et merveilleux XXe sicle
Aujourdhui, dans ces premires minutes de lanne 3001, nous pouvons rpondre cette question venue du pass.
Il est certain que les gens de lanne 2001, que vous venez de voir, ne seraient pas aussi perdus notre poque que des gens de lan 1001 la leur... Ils prvoyaient dj une grande partie de nos ralisations techniques; ils imaginaient dj les villes-satellites, ainsi que les colonies sur la Lune et sur les plantes. Peut-tre mme seraient-ils dus parce que nous ne sommes pas encore immortels et navons envoy dengins que sur les toiles les plus proches...
Brutalement, Indra coupa lenregistrement. Vous commencez tre fatigu, Frank. Vous verrez la suite plus tard. Mais
jespre que a vous aidera vous adapter. Merci, Indra. Jaurai toute la nuit pour y rflchir. En tout cas, une chose est
sre. Laquelle? Je suis reconnaissant de ne pas tre un habitant de lan 1001 projet en 2001.
Le saut aurait t trop violent, et je crois quaucun homme naurait pu sy adapter. Au moins je connais llectricit, et je ne meurs pas de peur quand une image se met me parler. Jespre, se dit tout de mme Poole, que cette confiance est justifie. Je ne sais plus qui a dit un jour qu un certain degr davancement la technique est indiscernable de la magie. Serai-je confront la magie dans ce monde nouveau ? Et saurai-je y faire face ? La seconde illustration est de mon cru. Imaginez que lon vous dote dun petit quipement de survie, puis que lon vous parachute au cur de la fort amazonienne sans aucune prparation. Combien de temps survivrez vous ? Comment vous nourrirez-vous, cette eau qui vous semble claire ne contient-elle pas les germes des plus terribles fivres ? Ces pines qui vous ont griff, pourquoi est-ce que cela fait si mal, y a-t-il un suc vnneux ? Ces bruits inquitants, des fauves qui vous guettent ?
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Vos quelques allumettes sont trempes par lhumidit ambiante, comment allumer un feu pour loigner les animaux cette nuit ? En moins dune semaine, seul, affam, couvert de piqres dinsectes, brlant de fivre, terroris par les moindres bruissements de la jungle, vous ntes plus quune loque ; un fauve se jette sur vous Vous vous veillez en sursaut dans votre bannette. Ouf, tout cela ntait quun affreux cauchemar, il est temps revtir votre bleu , vous allez tre en retard au quart machine. Au PC machine, le second mcano vous demande dafficher la page niveau chaudire sur lcran devant vous. Linformatique, cest pas votre truc, quest-ce que a fait avec la Mcanique, nimporte quoi ! Comment my retrouver dans ces menus ? Un coup de main du second mcano bienveillant, vous ntes quun lve aprs tout, et la dite page saffiche. Le second mcano : il faudrait reprendre les paramtres du P.I.D., quelquun a du tripatouiller a, a tourne plus rond, un petit coup de Ziegler ou de Takahashi daprs toi ? . Livide, vous bredouillez un vague faut voir . Lil du second mcano se durcit imperceptiblement mais quest ce quil font dans les hydros, cest pas vrai ! pense-t-il. A la fin des explications que vous suivez laborieusement, retentit : alarme frquence alternateur . Le second mcano ouvre la page cran correspondante, un pav clignote en rouge. Et a ? Ne me dis que tu ne sais pas ce que cest vous lance le second mcano. Vous regardez anxieusement. Le titre de la page ne vous dit vraiment rien, pire il vous effraie : rgulateur de frquence retour dtat . Vous regardez le second mcano dun air compltement perdu en bredouillant cest Startrek ce rafiot ou quoi ? . Le regard du second mcano nest plus bienveillant du tout, sans un mot il vous indique la porte du PC machine, il vous hurle interdit aux incomptents ici, sagit pas de tout bousiller . Vous prenez la fuite, cest presque pire que dans votre cauchemar prcdant le quart, vous trbuchez sur un surbot et vous vous crasez sur votre oreiller. Votre regard apeur dcouvre le dcor familier de votre chambre lhydro. Deux cauchemars coup sur coup. 6 heures du matin dj, impossible de se rendormir. Vous vous habillez prcipitamment et sortez. Lair frais du matin vous apaise. Votre esprit tourne toute vitesse : dire quil y a des Indiens dAmazonie qui non seulement survivent dans cet enfer vert mais qui y vivent et bien en plus. Ils chassent, cultivent, se soignent grce leur connaissance des plantes. Leur connaissance de leur environnement, leur adaptation leur permet non pas la simple survie, mais lexploitation de ce milieu. Par contre, lch seul sur un navire, je ne donne pas cher de leur peau . Et moi, condamn dans la jungle, mais aussi sur un bateau dans une moindre mesure. La connaissance : clef de ladaptation. Ces cauchemars vous ont convaincu, pour vous, le monde ne sera pas magique ! Lire ce polycopi aprs le cours pour rviser la leon le soir mme, surtout ne pas attendre ! Faire les exercices, refaire ceux du cours. Faire les exos du polycop sans regarder la solution, scher un moment dessus avant de regarder, si besoin est, la solution sinon vous nen tirerez aucun profit.
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Automatique : science de l'tude et de la conception de machines qui commandent auxmachines ! Le 19e sicle fut l'poque de la premire rvolution industrielle, on construisit des machines qui taient le prolongement et l'amplification des muscles (machines vapeur, locomotives, marteaux pilons, ). Le 20e sicle continue ce mouvement mais le complte par la deuxime rvolution industrielle o des machines (=cerveau) commandent des machines (=muscle). Par exemple, pilotage automatique d'avions, de fuses, de mtro, de chanes de montage d'automobiles
2 Introduction aux asservissements linaires
2.1 Chanes de commande
2.1.1 Commande manuelle sans amplification de puissance
Figure 1- commande manuelle Sur les exemples ci-dessus, toute la puissance fournie l'entre se retrouve en sortie. Il s'agit d'une chane sans amplification de puissance. Une telle chane est rversible, ce qui signifie que la sortie peut influencer l'entre. Par exemple, l'clatement d'un pneu l'avant produit un effet sur le volant et peut provoquer la perte de contrle du vhicule !
Commande de la direction d'un vhicule
Commande de la barre d'un voilier
barre safran c S
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2.1.2 Chane de commande avec amplification de puissance Considrons maintenant un ptrolier de 300.000 tonnes au lieu d'un voilier. Il est vident qu'on ne peut plus utiliser de "barre franche". Il est ncessaire de faire appel un moteur hydraulique par exemple pour faire se mouvoir l'norme safran. Le schma fonctionnel devient le suivant :
Figure 2- commande de safran d'un ptrolier Entre la barre et le gouvernail, on observe bien toute la ncessit dune amplification de puissance, car la puissance ncessaire pour tourner la barre est ngligeable devant celle mise en uvre pour faire pivoter le gouvernail. Une chane de commande munie dune amplification de puissance est dite unilatrale la sortie ne peut en aucun cas influencer lentre. La matrise du systme est donc meilleure.
2.1.3 Entres secondaires La direction prise par un navire sera fonction de langle de barre mais aussi des courants, de la houle, du vent, etc ... Un four, aussi bien calorifug soit-il, sera toujours le sige de fuites thermiques (ponts thermiques, porte, etc ...). Un systme est donc perturb. et de ce fait, une commande dentre ne correspondra pas toujours leffet escompt en sortie.
Conclusion: la commande directe dun systme nest ni prcise, ni sre. Essayez d'enfiler un fil dans le chas d'une aiguille directement du premier coup !
2.1.4 Ncessit dun retour Si les perturbations taient connues et mesurables, il suffirait alors de modifier la commande dentre en consquence En fait, cest rarement le cas et il est difficile dans ces conditions de compenser les erreurs, les drives ou les accidents qui peuvent intervenir lintrieur de la chane directe. On va donc essayer de mesurer leurs effets directement sur la sortie.
barre amplificateur Moteur hydraulique
safran c V U S
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Lide retenue est celle du modle humain que nous allons traduire laide de
lexemple dune rgulation de niveau.
Figure 3- Rgulation de niveau Loprateur assure le maintien du niveau du liquide autour du repre R. Il ralise
ou utilise pour cela plusieurs fonctions:
fonction mesure : le niveau est mesur laide dun tube transparent mont en drivation sur le rservoir;
fonction transmission de linformation : lutilisateur visualise la diffrence
entre le repre R et le niveau dans le tube.
fonction rflexion : partir de lestimation de lcart , loprateur dcide alors de ragir selon le signe et lamplitude de cet cart;
fonction rglage : il tourne manuellement la vanne pour rgler le dbit deau
et amener ainsi le niveau de liquide juste en N et sans dpassement. Ce comportement humain peut se symboliser par le schma de la figure 4.
Figure 4- comportement humain On voit bien apparatre ici la notion de retour que l'on appelle encore boucle ou feedback. Nous adoptons exactement le comportement ci-dessus lorsque nous enfilons un fil dans une aiguille, la main rectifie sa trajectoire suivant l'observation et la rflexion.
Qe
QS
N
rflexion action
observation
Effet de l'action
transmission
Tche raliser
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2.2 Systme asservi
2.2.1 Dfinition Si on recopie le comportement prcdent sur un systme matriel on obtient le schma figure 5.
Figure 5- systme boucl Un systme asservi comporte donc, outre la chane de commande avec amplification de puissance, une chane de retour et un outil de comparaison. Observons un un lensemble de ces lments : le processus est soumis aux excitations constitues par lentre de rfrence et les perturbations. Il y rpond par une grandeur qui lui est propre. Cette grandeur porte le nom de grandeur asservie ou grandeur rgle; le capteur donne une image utilisable de la grandeur rgle ; la nature de cette mesure est le plus souvent lectrique. Un capteur doit donner une image fidle de la grandeur rgle. Sa sensibilit impose donc les limites de la prcision de lasservissement. le rgulateur est compos de deux parties :
- le comparateur qui reoit linformation de rfrence et la grandeur mesure dont il fait la diffrence appele cart ou erreur; - le correcteur dont le rle sera dliminer cet cart, quelles que soient les perturbations, et damener le processus ragir le plus rapidement, quelles que soient les variations de lentre de rfrence ou les perturbations cest lorgane intelligent du systme asservi.
lactionneur reoit du rgulateur la grandeur rglante et lamplifie en puissance cest le muscle de la chane qui va piloter lvolution du processus ( par exemple: moteur, vrin, vanne, etc ...).
actionneur processus
capteur
Grandeur rgle
Grandeur mesure
Entre de rfrence
correcteur
perturbations
+
-
rgulateur
Grandeur rglante
9
2.2.2 Exemples
2.2.2.1 Rgulation de vitesse Dans lindustrie, on a souvent besoin dentraner une charge vitesse constante malgr les couples rsistants qui sexercent sur elle. Cest aussi le cas dun radar dont la vitesse de balayage doit tre la plus constante possible. On peut alors utiliser le principe suivant :
Figure 6- Rgulation de vitesse La vitesse de consigne est affiche sur un potentiomtre dont le curseur fournit une tension de rfrence uref. Celle-ci est compare la tension um, image de la vitesse de rotation de la charge; le capteur est ici une gnratrice tachymtrique. La tension dcart attaque lactionneur de puissance. Les perturbations sont celles qui interviennent sur la charge (variations du couple rsistant au niveau de la charge, frottements secs, balourd, etc ...). Le fonctionnement de cette rgulation est alors le suivant :
si diminue alors um diminue; dans ces conditions = Uref - um augmente. V crot et donc crot galement (cas d'une machine courant continu excitation indpendante);
inversement si augmente alors um en fait autant, donc et V diminuent et dcrot;
lasservissement est ralis ds que = uref - um = 0;
Dynamo tachymtrique
+V
-V
uref Amplificateur diffrentiel
Amplificateur de puissance
V
charge
rducteur
um
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2.2.2.2 Rgulation de niveau Il sagit ici de rguler la hauteur deau h dans un rservoir en fonction de la demande. Cette demande constitue le dbit de fuite QS (utilisation alatoire) de linstallation, ce qui signifie que les perturbations reprsentent la charge du systme.
Figure 7- rgulation de niveau La hauteur h est mesur par un capteur de niveau celle-ci est compare la hauteur de rfrence affiche sur un potentiomtre. Lcart est alors amplifi afin de piloter la servo-vanne. Donc :
Si h dcrot alors um en fait de mme. augmente et la vanne souvre le niveau h remonte.
inversement, si h augmente alors diminue; la vanne se ferme et donc h se stabilise si QS est nul ou bien diminue.
+V
uref Amplificateur diffrentiel
Amplificateur de puissance
h
Qe Capteur de niveau
um
QS
Servo-vanne
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2.3 Classification des systmes asservis
2.3.1 Classification selon le type de lentre de rfrence Dans tout systme asservi. la grandeur de sortie doit recopier le mieux possible la grandeur dentre. On distingue cependant deux modes de fonctionnement selon les conditions dutilisation : un asservissement a une entre de rfrence qui volue ou qui suit une grandeur physique indpendante du processus lui-mme (radar de poursuite. asservissement de position. etc...). Cette volution de lentre fait voluer le point de fonctionnement du processus et la sortie doit suivre le mieux possible cette volution en dpit des perturbations. On dit encore que le systme fonctionne en suiveur ou en poursuite. une rgulation a une entre de rfrence constante ou voluant par paliers. Cette entre est aussi appele consigne (rgulation de temprature par exemple). La sortie doit rester constante quelles que soient les perturbations. Ces distinctions ne sont pas absolues, car il faut bien voir quun asservissement fonctionne en rgulateur lorsquil rpond aux perturbations et quinversement, le rgulateur fonctionne en asservissement lorsquon modifie sa consigne. Toutefois, les industriels considrent que laspect rgulation est le plus important car les valeurs de consigne sont le plus souvent fixes. Enfin, on dmontre que si le comportement en asservissement est correct alors le comportement en rgulation lest aussi.
2.3.2 Classification selon le type de rgulateur On distingue trois grandes classes de rgulateur : un rgulateur peut tre analogique il est ralis avec des composants analogiques (essentiellement des amplificateurs oprationnels) et son signal de sortie volue de manire continue dans le temps. On obtient alors un systme asservi linaire continu. le rgulateur peut galement tre numrique : il est ralis laide dun systme programmable (microprocesseur par exemple) et son signal de sortie est alors le rsultat dun algorithme de calcul. On obtient alors un systme asservi linaire chantillonn. on trouve galement les rgulateurs T.O.R. (Tout ou Rien). La grandeur rglante ne peut prendre que deux valeurs et lactionneur de puissance ne dispose alors que de deux tats de fonctionnement il est ouvert ou ferm . Le suivi de consigne est dans ces conditions beaucoup moins fin quavec les deux systmes prcdents, mais il peut tre suffisant si lon ne dsire pas une grande prcision (par exemple le thermostat qui met en route ou arrte le chauffage dans un appartement).
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Il a aussi lavantage dtre moins onreux. Ce mode de fonctionnement ne sera pas tudi ici.
2.3.3 Mthodologie dtude des systmes asservis Pour concevoir un systme asservi, on pourra oprer de la manire suivante : 1) Modliser le systme Dans la majorit des cas, on cherchera modliser le comportement exprimental de la chane directe (actionneur, processus et capteur), car la modlisation directe nest jamais vidente, surtout lorsque le systme existe dj. Nous consacrerons tout un chapitre lidentification des processus. 2) Choisir le type de commande Le choix de la commande (continue ou chantillonne) intervient sur les choix matriels, en particulier lorsque le processus existe dj et quon dsire amliorer son comportement en boucle ferme. 3) Synthtiser le correcteur Les problmes ne sont pas les mmes selon quon travaille en mode continu ou en mode chantillonn : asservissements linaires continus = 2e anne, asservissements linaires chantillonns = 3e anne. 4) Essais Les rsultats exprimentaux consacreront ou pas les choix prcdents. Rien ne dit que ces choix aient t les bons, et il faudra peut-tre les revoir : dans un moindre mal, ce ne sera quune question de rglage, au pire. il faudra revoir le modle utilis do limportance dune bonne matrise des
techniques qui seront exposes dans les chapitres suivants. Notons quil existe aujourdhui un certain nombre de logiciels qui permettent daider le technicien dans sa recherche du meilleur systme . Cela va du logiciel didentification au logiciel de conception du rgulateur. Il est vident quune bonne utilisation de ces outils passent par une parfaite matrise des techniques exposes dans les chapitres suivants mais aussi et surtout par une parfaite connaissance du processus physique : cest tout lart du rglage.
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3 Signaux et systmes Un signal reprsente laspect mesurable de la variation dune grandeur physique. La notion de signal est dailleurs ancienne (signaux lumineux, signaux de fume, etc...) et ces exemples nous montrent simplement quun signal nous prvient plus ou moins compltement dun vnement. Un signal est donc porteur dinformation(s). Un capteur traduit la variation dune grandeur physique en un signal thermomtre pour la temprature, baromtre pour la pression atmosphrique, (ou pressostat, l'quivalent TOR), hygromtre pour lhumidit, etc.... Un signal est donc li au temps car il traduit la variation de la grandeur physique en fonction du temps. En physique on ne sintresse quau temps t 0 alors quen mathmatiques, on peut dfinir des temps t ] [+ ; Un signal dfini pour t 0 et nul pour t < 0 est appel signal causal. Enfin, un signal peut tre alatoire ou certain (dterministe) selon que le hasard intervient ou non dans sa gnration. En automatique, on ne s'intressera quaux signaux certains et causaux.
3.1 Description dun signal par une fonction Un signal, puisquil est porteur dinformations et quil dpend du temps peut donc tre reprsent par une fonction. Suivant la faon dont on va utiliser le temps et lamplitude du signal, celui-ci pourra se prsenter sous plusieurs formes.
3.1.1 Signal analogique Un signal est analogique sil prend ses valeurs dans un ensemble continu.
Figure 8- signal analogique causal
t
V
14
Le signal de tension la sortie de la dynamo tachymtrique de la Figure 6 est une fonction V telle qu toute valeur de t corresponde une valeur T(t) :
t T(t) La variable temps t est une variable relle continue, T(t) est un nombre rel. Un signal analogique est souvent appel signal continu.
3.1.2 Signal chantillonn Observons priodiquement la temprature d'un malade et portons celle-ci sur un graphique. Si celle-ci est prise toutes les heures, alors T( 1), T(2), T(3),... sont des nombres qui mesurent cette temprature.
Figure 9- signal chantillonn
Le temps est en fait reprsent par des instants, cest dire des valeurs discrtes t1, t2, et si ces instants sont rgulirement espacs (tk = k avec *Nk ), alors tout k correspondra une valeur T(kA) :
k T(k)
Un signal chantillonn est encore appel signal temps discret.
3.1.3 Signal numrique
Le passage du signal analogique au signal numrique seffectue en deux temps :
on chantillonne le signal analogique (on discrtise lchelle des temps);
on discrtise ensuite lchelle des valeurs du signal, cest dire que cette chelle est divise en intervalles auxquels on attribue une valeur numrique: cest la notion de quantification.
Lexemple le plus courant est celui des signaux dlivrs par un convertisseur analogique-numrique (voir cours d'lectronique) et traits ensuite par un ordinateur.
t
T
1 2 3 4 5 6 7
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La courbe obtenue en joignant les points du signal numrique est appele signal analogique reconstruit. Mais rien ne dit que celui-ci suive rellement le signal analogique initial. Il faut en avoir conscience et savoir estimer cette diffrence. Les signaux chantillonns et numriques font l'objet du cours de 3e anne.
3.1.4 Signaux tests Les signaux que nous allons tudier maintenant sont importants. En effet, en fonction des rponses des systmes physiques ces signaux, on peut modliser ces systmes. On appelle ces signaux "signaux-tests".
3.1.4.1 Rampe unit r(t) Dfinition :
( )
>
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La reprsentation relle de ce signal est l'application d'une tension un circuit par l'intermdiaire d'un inverseur K.
Figure 12- gnration d'un chelon d'amplitude 1 V L'interrupteur n'tant pas parfait, il existe un court instant durant lequel la tension u n'a aucune valeur dfinie : elle subit une discontinuit.
3.1.4.3 Impulsion unit (t) ou distribution du Dirac Afin d'introduire intuitivement cette fonction, revenons la fonction prcdente qui est discontinue pendant et linarisons l de cette manire :
Figure 13- linarisation de la discontinuit de l'chelon unit Drivons la fonction u1(t) :
] [
=
=
,01
00
1
1
tpourdt
du
tettpourdt
du
On obtient donc une impulsion 1(t) de largeur et d'amplitude 1 .
K
1 V
t
U1(t)
1
17
Figure 14- drive de u1(t) Cette impulsion a une aire gale 1 quelque soit . En effet :
( ) +
== 01
11 dtdtt Si on fait tendre vers 0, la largeur de cette impulsion tend vers 0 alors que son amplitude tend vers l'infini. A la limite, l'intgrale de cette fonction devrait tre nulle, or elle ne l'est pas puisque le calcul effectu donne 1.
(t) n'est pas une fonction, mais une distribution.
La distribution de Dirac (souvent improprement appel impulsion de Dirac) est qualifie d'unitaire non pas cause de son amplitude (qui tend vers l'infini!), mais parce que son aire (son poids) est gale 1. Une impulsion brve (choc : coup de marteau par exemple, clair lumineux de flash photographique, impulsion radar) peut tre approche du point de vue de ses effets par une distribution de Dirac.
Proprits : ( ) ( ) ( )0f t t dt f+
= et ( ) ( ) ( )f t t T dt f T+
= ( )( ) ( )d u t t
dt= et ( )( ) ( )d u t T t T
dt = (remarques : ceci permet de driver des
fonctions non continues.
3.1.4.4 Signal harmonique ou sinusodal Le signal harmonique est trs employ en lectronique et en automatique car il permet de dterminer la rponse en frquence d'un systme (rponse harmonique). Le signal harmonique a un caractre non causal, car dceler une avance ou un retard de phase ne signifie rien priori (on a k 2 prs).
t
U1(t)
1
t
1(t)
1/
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3.1.5 Signaux dentre - Signaux de sortie Tout systme a besoin dun certain nombre dinformations pour fonctionner, aussi simple soit-il. Il peut sagir de linformation de mise en route (interrupteur), de la consigne de temprature (thermostat), etc... Inversement, par le biais dun capteur, le processus indique sont tat (un four indique sa temprature interne, un moteur sa vitesse ou son couple, une chaudire sa pression, son niveau d'eau, sa temprature, ). Un systme peut aussi tre sensible des vnements extrieurs indpendants des informations quon lui a fournies. Prenons l'exemple d'une chaudire fournissant de la vapeur un appareil propulsif de navire, aussi bien calorifuge soit-elle, il existe au niveau de lenceinte des fuites thermiques (dfauts disolation, ponts thermiques, etc...) dautant plus importantes que la diffrence de temprature entre lintrieur et lextrieur est grande. Les variations d'allure du navire sont alatoires vis vis de la chaudire, il est vident qu'une augmentation de vitesse entranera une admission plus importante de vapeur dans la turbine et donc dans un premier temps une chute de temprature et de pression dans la chaudire. Ces fuites, ces variations de vitesse constituent des perturbations qui ont un caractre alatoire. Dans ces conditions, tout systme sera caractris par deux sortes de signaux a) signaux dentre Ce sont des grandeurs indpendantes du systme mais qui agissent sur son tat en tant que causes. On trouvera: les signaux de commande qui permettent dagir sur le systme et de le piloter vers un but spcifi, les signaux de perturbations subis par le systme. Gnralement, on ne pourra pas agir sur celles-ci car leur mode daction sera difficile identifier. b) signaux de sortie Ce sont les effets des grandeurs dentre que lon peut observer gnralement au moyen de capteurs. Un systme est dit monovariable sil ne dispose que dune entre de commande et dune sortie. Il est dit multivariable dans tous les autres cas. On ne sintressera dans la suite de ce cours quaux systmes monovariables. Tout systme monovariable peut tre reprsent par son schma fonctionnel.
Figure 15- schma fonctionnel dun systme monovariable
systme Grandeur
d'entre Grandeur de sortie
perturbations
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3.1.6 Systmes monovariables Les systmes monovariables qui seront tudis dans ce cours dAutomatique seront toujours causaux cest dire non anticipatifs. En particulier, si lentre est nulle pour t < 0, alors la sortie lest aussi ou la rigueur constante (un four, bien que non command, est toujours temprature ambiante).
3.1.6.1 systme instantan ou statique Dfinition : Un systme statique est un systme dont la rponse une excitation est instantane. Par exemple, une rsistance pure R est un systme statique car le courant qui la traverse suit la tension applique ses bornes. Entre et sortie sont lies par une relation simple :
Figure 16- systme statique La relation mathmatique qui lie entre et sortie, u = Ri, est indpendante du temps. On dit encore quun systme statique na pas de mmoire.
3.1.6.2 Systme dynamique ou mmoire
Dfinition : Un systme dynamique est un systme dont la rponse une excitation dpend la fois de celle-ci et de ce qui sest pass avant. Considrons le circuit intgrateur ci-dessous :
Figure 17- circuit intgrateur
t
u
t
i=u/R
R
C e u
intgrateur e u
20
O udtduRCe += . La relation liant u et e est cette fois plus complexe puisque u
dpend de e mais aussi delle-mme (drive dtdu ). Cest la caractristique dun
systme dynamique ou encore mmoire. Comme nous le verrons par la suite, beaucoup de systmes sont dynamiques (moteur, thermomtre, four, etc...).
3.1.6.3 Systme continu - Systme chantillonn Un systme est dit continu si tous les signaux dentre, intermdiaires et de sortie observables sont des fonctions continues du temps. Ainsi une quation diffrentielle, telle que celle vue au paragraphe prcdent, dcrit un systme dynamique continu. Inversement, si en un endroit au moins de la chane des lments le constituant, le signal nest transmis qu des instants discrets privilgis, le systme sera dit chantillonn. Celui-ci est alors observable aux moments dchantillonnage. Les quations rcurrentes, comme celles qui suivent, caractrisent des systmes chantillonns : s(k)= a.e(k) pour un systme instantan, s(k) + a.s(k - 1) = b.e(k) pour un systme dynamique. Les systmes chantillonns font l'objet du cours d'automatique de 3e anne.
3.1.6.4 Systme invariant Un systme est dit invariant si ses caractristiques sont indpendantes du temps. En dautres termes, un systme invariant est un systme qui ne vieillit pas. Cest toujours le cas en premire approximation, mais en fait, a ne lest jamais. Un composant lectronique, par exemple, voit ses caractristiques se modifier avec le temps. Une fuse dont la masse volue rapidement au cours du vol est un exemple de systme non invariant.
3.1.6.5 Systme linaire Dfinition : Un systme linaire obit au principe de superposition dfini par les proprits dadditivit et dhomognit. additivit : Si les entres e1(t), e2(t),, en(t) entranent respectivement les rponses S1(t), S2(t),...,Sn(t) alors lentre e1(t)+e2(t)+...+en(t) entrane la rponse S1(t)+S2(t)+. ..+Sn(t) homognit : Si lentre e(t) est multiplie par un facteur k constant, alors la sortie s(t) est multiplie par ce mme facteur. On dit quil y a proportionnalit de leffet la cause.
21
Cette dfinition peut tre tendue des termes intgraux ou drivs, donc aux systmes dynamiques : Un systme dynamique linaire est un systme qui peut tre dcrit par une quation diffrentielle coefficients constants.
3.1.6.6 Non linarit des systmes physiques En ralit, les systmes physiques rels ne sont pas continus (du point de vue microscopique), pas invariants (les composants vieillissent) et pas linaires. Les non linarits rencontres couramment sont donnes ci-dessous :
Figure 18- non linarits courantes
3.1.7 Linarisation dun systme Considrons la commande dun moteur courant continu excitation indpendante par un amplificateur et examinons la caractristique vitesse-tension de commande.
e
s
courbure (loi d'Ohm forte temprature)
e
s
saturation (amplificateurs oprationnels)
e
s
seuil (dents d'engrenage avec du jeux)
hystrsis (circuit magntique)
e
s
22
Figure 19- commande dun moteur courant continu. Quand e < e0 le moteur ne tourne pas car le couple de frottement est trop important. Pass le seuil e0, le couple lectromagntique est suffisant pour vaincre les frottements, le moteur dmarre et sa vitesse crot linairement avec e. Lorsque e > eS, lamplificateur se sature donc la vitesse naugmente plus linairement. La caractristique obtenue nest pas linaire. Mathmatiquement, ltude dun tel systme est difficile sauf si on travaille sur une zone linaire. Pour cela, on va choisir un point de fonctionnement M (ou point de repos) situ le plus souvent au milieu de la partie linaire de la caractristique et nous allons travailler autour de ce point, ce qui revient faire un changement dorigine.
Figure 20- point de fonctionnement et changement d'origine On pose = - M et u = e - eM . Il est alors possible dtudier les variations de la vitesse en fonction des variations u de lentre. La caractristique = f (u) est une droite passant par le point de fonctionnement M. Sa pente est appele gain statique du systme linaire. Cest aussi la pente de la tangente en M la caractristique relle = f(e). Dans ces conditions, hormis les systmes prsentant des non linarits essentielles (plus ou moins par exemple), tous les systmes usuels sont linarisables autour de leur point de fonctionnement.
A
e
e
e0 eS
e
e0 eS
M
u
e M
23
3.2 Outils mathmatiques ncessaires Tous les systmes que nous tudierons dans ce cours seront donc considrs comme causaux, linaires et invariants. La plupart seront dynamiques, donc pourront tre dcrits par une quation diffrentielle. Lexcitation de ces systmes seffectuera grce aux signaux-tests dcrits au paragraphe 2.1. Les systmes vont dformer ces signaux et lobtention des signaux de sortie demandera systmatiquement la rsolution de lquation diffrentielle, rsolution facile pour les quations du premier ordre, plus complique lorsque lordre slve. Trois mthodes simples permettent dobtenir trs rapidement les solutions : elles font toutes les trois appel la reprsentation frquentielle des signaux. Ce sont
La transformation cissodale C qui est rserve aux signaux sinusodaux et qui se rapproche de la reprsentation de Fresnel.
La transformation de Laplace L qui inclue les signaux quelconques et qui
sapplique aux systmes linaires continus.
La transformation en Z, parente de la transformation de Laplace, mais qui convient mieux aux systmes linaires chantillonns (programme de 3e anne).
3.2.1 Transforme cissodale Cet outils est trs connu de tous les habitus des calculs sur les courants alternatifs l'aide des nombres complexes. Dfinition : Soit ( ) ( ) += tXtx M sin une fonction sinusodale du temps. On appelle transforme cissodale de x(t) le nombre complexe X tel que :
( ) jMX C x t X e avec = = <
24
Transforme cissodale de la drive : Soit ( ) ( ) += tXtx M sin une fonction sinusodale du temps. Alors :
( )
++=+=2
sincos tXtXdtdx
MM
dont la transforme est 2j
jM MX X e j X e
+ = = donc : dxC j Xdt
=
Transforme cissodale de l'intgrale : De la mme manire que ci-dessus :
( ) 2cos sin2
jj jM M M M MX X X X Xx dt t t X e j e e
j
+ = + = + + = = =
d'o : XC x dtj =
Thorme du retard :
Soit les fonctions causales ( ) ( )
25
des fonctions sinusodales, la transformation de Laplace permet d'tendre un tel mcanisme n'importe quelle fonction. Application : Considrons le circuit RC vu prcdemment : Si e(t) = E sin(t), on peut obtenir rapidement la tension instantane aux bornes du condensateur. La transforme cissodale de l'quation diffrentielle s'crie :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ==+= dtduCtidtiCtututiRte od'1et en remplaant i(t), il vient : ( ) ( )tetu
dtduRC =+
1ERCj U U E UjRC
+ = = + L'amplitude maximum de la tension aux bornes du condensateur est donc
222max 1 CREU
+= . Cette tension est dphase de ( ) RCarctan= par rapport la
tension e(t).
3.2.2 Transforme de Laplace C'est l'outil par excellence des asservissements linaires continus. Dfinition : Soit f(t) une fonction du temps, dfinie pour t>0 et nulle pour t
26
Le tableau ci-dessous donne les transformes de Laplace couramment utilises en automatique :
f(t) pour t>0 F(p) (t) 1 1
p1
t 2
1p
( )1
1 !
ntn
np1
ate ap +
1
t. ate ( )2
1ap +
cos(t) 22 +p
p
sin(t) 22
+p
ate .cos(t) ( ) 22 ++
+ap
ap
ate .sin(t) ( ) 22
++ ap
A. ate .cos(t+) avec
( )
=
+=
a
aA
arctan
1 222
( ) 22 ++
+app
3.2.2.1 Proprits Linarit Si f(t) et g(t) ont des transformes de Laplace, alors : ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )pGbpFatgbtfapFatfa
+=+=
Application : recherche de l'originale (cf le film "la cit des enfants perdus") Nous considrerons le cas o F(p) est une fraction rationnelle dont le degr du numrateur est infrieur ou gal celui du dnominateur.
27
Mthode gnrale : on recherche les zros zn (racines du numrateur) et les ples pn (racines du dnominateur) de manire crire F(p) sous la forme :
( ) ( )( )( )( )......
21
21
ppppzpzppF
=
On dcompose ensuite la fraction en lments simples :
( ) ...21
++= ppB
ppApF
o A et B sont des constantes. On obtient alors des expressions simples dont on peut trouver les originaux grce au tableau ci-dessus. On peut alors exprimer l'originale f(t).
Cas o les ples sont simples : le dnominateur s'crit sous la forme ( )=
n
iipp
1
avec = 1. Exemple : Soit ( )
651
2 +++=pp
ppF dont on dsire trouver l'originale. On cherche les
ples de F(p), soit p1 = - 2 et p2 = - 3 et donc ( ) ( )( )321++
+=pp
ppF .
F(p) se dcompose en :
( )( ) 32321
+++=+++
pB
pA
ppp
pour obtenir A, on multiplie les 2 membres de l'quation par (p+2), puis on fait p = - 2 pour obtenir B, on multiplie les 2 membres de l'quation par (p+3), puis on fait p = - 3
On obtient A = - 1 et B = 2 d'o ( )3
22
1+++
=pp
pF en se reportant la table des
transformes, il vient : ( ) tt eetf 32 2 += Cas o les ples sont multiples : Le dnominateur s'crit sous la forme
( ) ( )=
n
iipppp
11 avec 1. On crit alors F(p) sous la forme :
( ) ( ) ( ) ( ) ...... 321111 ++++++= ppI
ppH
ppG
ppB
ppApF
Exemple : trouver l'originale de ( ) ( )221
++=
ppppF
F(p) se dcompose sous la forme ( ) ( ) ( ) 2221
22 ++++=++=
pC
pB
pA
ppppF
Pour obtenir A, on multiplie par p et on fait p = 0,
28
Pour obtenir B, on multiplie par (p+2)2 et on fait p = - 2, Pour obtenir C, on multiplie par p+2 et on fait p . On obtient : A = 0,25, B = 0,5, C = - 0,25
Donc ( ) ( ) ( ) tt eettfppppF 222 25,05,025,0225,0
25,025,0 +=+++=
Cas o les ples sont rels et complexes :
Le dnominateur s'crit sous la forme : ( ) ( )==
+++i
jjj
k
ii pbpapp
1
2
1
1 .
Les trinmes du second degr admettant deux racines complexes conjugues, la mthode consiste les crire ainsi : (p + a)2 + 2. La dcomposition de F(p) donnera alors un terme en ( ) 22
++
+app .
Exemple : soit trouver l'originale de ( ) ( )212 +++= ppp ppF F(p) se dcompose en ( ) ( )221 22 ++ ++=+++ pp CpBpAppp p
pour obtenir A, on multiplie par p et on fait p = 0, pour obtenir B, on multiplie par p et on fait p , pour obtenir c, on on peut prendre une valeur particulire de p : ici p = - 1, On obtient A = 0,5, B = - 0,5, C = 0,5, par suite :
( ) ( ) ( ) ( )[ ]64832,1cos51,115,075,15,0 115,02115,0 5,022 ++=
++
++=
++
++= tetfp
pppp
pp
pF t
3.2.2.2 Transforme de Laplace de la drive Intgrons F(p) par partie. On a d(uv) = u dv + v du. Posons dv = e-pt et u = f(t). Il vient
dans ces conditions ptep
v = 1 et du = f'(t). Donc :
( ) [ ] ( ) ( )
===0 0 00
0 '11 dttfep
tfep
duvuvdvupF ptpt
Admettant que f(t) possde une limite finie lorsque t (ce qui est toujours le cas avec les signaux utiliss en automatique), on a :
( ) 01lim = tfep ptt et ( )( )p
ftfep
ptt
+
= 01lim 0
d'o : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tfp
fp
tfep
fp
pF pt '101'101
0
+== +
+
( ) ( ) 0df pF p fdt + =
29
On montre de la mme manire que :
( ) ( ) ( )2 22 0 ' 0d f p F p pf fdt =
par rcurrence :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 2 0 ' 0 ... 0n nn n nnd f p F p p f p f fdt =
Les ( ) ( )0nf reprsentent les conditions initiales. 3.2.2.3 Transforme de Laplace de l'intgrale
Soit ( ) ( )=t
dxxftg0
. Calculons G(p) en fonction de F(p) :
g'(t) = f(t) donc [g'] = [f(t)] = F(p) [g'] = p G(p) - g(0) d'o :
( )[ ] ( ) ( ) ( )011 gp
pFp
pGdttf +== 3.2.2.4 Thormes Thorme du retard : soit une fonction f(t), nulle pour t < 0 et admettant une transforme le Laplace. Retardons cette fonction d'un temps T. Si t < T,
alors f(t - T) = 0. On a par dfinition ( ) ( )
=0
dttfepF pt . Multiplions les deux membres
de cette quation par e-pT :
( ) ( ) ( ) ( )
+
==00
dttfedttfeepFe TtppTptpT
Effectuons le changement de variable u = t + T, donc du = dt, il vient :
( ) ( ) ( )
==0
duTufeduTufepFe puT
pupT
La borne basse de l'intgrale est gale T aprs changement de variable, mais peut se transformer en 0 puisque f(t - T) est nulle pour 0 < t < T. Ainsi :
( )[ ] ( )pFeTtf pT=
30
application : calculer la transforme de Laplace du signal priodique suivant : Ce signal est compos d'impulsions retardes les unes par rapport aux autres de T. L'impulsion lmentaire f1(t) de largeur aT commenant t = 0 est elle-mme l'association de deux signaux : ( ) ( ) ( )aTtuEtuEtf =1 o u(t) est la fonction chelon unit. Ainsi : ( ) ( )aTpe
pEpF = 11 .
D'autre part, on peut crire que : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...32... 1111321 ++++=+++= TtfTtfTtftftftftftf La transforme de Laplace tant linaire, on a de mme :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )12 31 2 131
... 1 ...1 1
aTpTp Tp Tp
Tp Tp
E eF pF p F p F p F p F p e e e
e p e
= + + + = + + + + = =
On rappelle que : 2 3 41 1 ... ...1
nx x x x xx= + + + + + + +
Thormes de la valeur initiale et de la valeur finale : Ces thormes sont un corollaire de la proprit :
( ) ( ) ( )0
' 0ptf t e dt f pF p
+= + Thorme de la valeur initiale : si p +, alors l'intgrale du premier membre tend vers 0 cause de e-pt. Donc : ( ) ( )ppFf p + = lim0
Thorme de la valeur finale : si p 0, on a alors :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0
' ' lim ' lim 0t
ptt tf t e dt f t dt f t dt f t f
+
= = ( ) ( )ppFtf pt 0limlim =
f
aT T 2T 3T 4T 5T t
E
31
3.2.3 Exercices sur les transformes de Laplace :
Transformes de Laplace :
Trouver loriginal de ( ) ( )221
++=
ppppF , F(p) se dcompose sous la forme :
( ) ( ) 2221
22 ++++=++
pc
pb
pa
ppp ; pour obtenir a, on multiplie par p et on fait p = 0,
pour obtenir b, on multiplie par (p+2)2 et on fait p = - 2 ; enfin, pour obtenir c, on multiplie par p+2 et on fait tendre p vers linfini.
Do : ( ) ( ) ( ) tt eetfppppF 222 25,05,025,0225,0
25,025,0 +=+++=
Trouver loriginal de ( ) ( )212 +++= ppp ppF ( ) ( )221 22 ++ ++=+++ pp cbppappp p pour obtenir a, on multiplie par p et on fait p = 0 ;
pour obtenir b, on multiplie par p et on fait p ; pour obtenir c, on peut prendre une valeur particulire de p (p = -1). On obtient a = 0,5 ; b = -0,5 ; et c= 0,5 Rponse : ( ) ( )( )6,4832,1cos51,115,0 5,0 ++= tetf t Signaux : Exprimer les signaux suivants en fonction des signaux tests, dterminer leur transforme de Laplace :
x1(t) = A u(t) A u(t T) ; ( ) ( )peApX
p= 11 x2(t) = A [u(t T) u(t T - )] ; X2(p) = X1(p).e-Tp
t
A
x1
t
T+
A
x2
T
32
x3 = ( )=
n
kktua
0 ; ( ) ( )pep apX = 13
( ) ( ) ( )= trAtrAtx4 ; ( ) ( )214 1 pAX p ep =
Soit le signal analogique :
Reprsenter le signal m dfini par : ( ) ( )
=t
dxxstm pour t = 0, 10, 12, +
t
a
x3
2a
3a
4a
2 3 4
t
A
x4
s
x
10
10
12 20
-5
33
La vitesse dun moteur doit suivre lvolution ci-dessous, dessiner puis exprimer dtdN
( ) ( ) ( ) ( )453004030010150150 += tutututudtdN
( ) ( )ppp eeep
pN 4540102 221150 += ; N(p) = p N(p)
t
N
1500
10 40 45
150
-300
dN/dt
s
x
10
10
12 20
-5
100
60
34
Soit le circuit RC : A t = 0, on applique un chelon de tension de E = 10 V. Le condensateur tant initialement dcharg, dterminer Vs(t) par la mthode des transforme de Laplace, mme question avec un condensateur initialement charg + 3 V. La solution de ce problme simple est connue, mais nous allons utiliser les transformes de Laplace pour le rsoudre afin dillustrer leur emploie dans la rsolution des quations diffrentielles. Lquation de maille donne : Ve = R.i + Vs.
Pour un condensateur, on a sdvi Cdt
= .
On en tire : s s edvRC v vdt
+ = . Ecrivons la transforme de Laplace de cette expression en supposant que le condensateur est initialement dcharg t = 0. RC.p.Vs(p) + Vs(p) = Ve(p). On aurait pu aboutir directement lexpression prcdente en associant aux lments du circuit leur impdance symbolique (ou oprationnelle, ou gnralise) :
1, , R C LZ R Z Z LpCp= = =
Ici, Ve(p) = E/p, on trouve :
( ) ( )1 1 1
1 111sE E E RC RCV p E
p RCp RC RC p pp pp pRC RCRC
= = = = + + ++
La table des transformes de Laplace page 26 permet de repasser dans le domaine des fonctions du temps :
( ) 330 101 10 1 ttRCsv t E e e = = Les valeurs de vs(t) pour t = 0 et pour t peuvent tre aisment dtermines par les mthodes classiques. Pour t = 0, nous utiliserons le thorme de la valeur initiale : ( ) ( )0 lim 0s s pv pV p = .
Pour t , nous appliquerons le thorme de la valeur finale : ( ) ( ) 0lims s pv pV p E = .
R = 3 k
Ve VS C=10F
35
Pour le cas o le condensateur est charg en t= 0 , on a : ( ) ( )( ) ( ) ( )0s s s eRC pV p v V p V p + =
do : ( ) ( )( ) ( )0 01 1
1 11 1s s
s
RC v vEV p Ep RCp RCp p p p
RC RC
= + = + + + + +
Do ( ) ( ) 3 330 10 30 101 0 10 1 3t tt tRC RCs sv t E e v e e e = + = +
3.3 modlisation des systmes dynamiques linaires continus Pour connatre le comportement dun systme dynamique afin den effectuer ensuite la commande et le rglage, il est important de connatre les relations qui existent entre les grandeurs dentre et les grandeurs de sortie. Lensemble de ces relations constitue le modle mathmatique du systme. On peut distinguer deux sortes de modle : le modle de connaissance : cest le modle du physicien qui est obtenu en crivant toutes les quations diffrentielles qui rgissent le fonctionnement du systme. Cest donc le modle idal, mais, le plus souvent, trs difficile obtenir. Par contre, tous les paramtres physiques y apparaissent explicitement. le modle de commande : cest le modle de lingnieur automaticien qui nest, en fait, quun modle approch plus simple, mais suffisant pour donner une bonne ide du comportement dynamique du systme. Trs souvent, lorsquon ne saura pas crire les quations diffrentielles, on cherchera un modle de commande lissue dune tude exprimentale.
3.3.1 comportement dun systme dynamique On reprsente classiquement le comportement dun systme dynamique linaire continu monovariable par une quation diffrentielle coefficients constants :
m
m
mi
i
in
n
n dtedb
dtedb
dtedb
dtdebebsa
dtdsa
dtsda
dtsda +++++=+++++ ......... 3
3
32
2
21001 (1)
La ralisation physique impose davoir m n; n sappelle ordre du systme. La solution gnrale dune quation diffrentielle est obtenue en faisant la somme : de la solution gnrale s1(t) de lquation sans second membre (ESSM)
36
et dune solution particulire s2(t) de lquation avec second membre (EASM) ce qui se traduit par s(t) = s1(t) + s2(t). Cest bien lapplication du thorme de superposition.
3.3.2 solution de le.s.s.m La solution de IE.S.S.M. correspond au rgime libre, cest--dire au rgime pris par le systme abandonn lui-mme. Pour trouver cette solution, on calcule les racines de lquation caractristique : 0... 01
11 =++++ ararara nnnn (2)
Pourquoi cela ??? Voici quelques lments de rponse : Thorme de Schwartz : la solution de lquation :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0
10
... ... 0
conditions initiales 0 0 0 ... 0, mais 0
n i
n in i
n
d s d s dsa a a a sdt dt dt
s s s s b+ + + +
+ + + + + = = = = = =
est identique celle de :
1 0 0... ...
conditions nulle 0
n i
n in i
d s d s dsa a a a s bdt dt dt
t
+ + + + + = = avec (t) distribution de Dirac
Autrement dit, le rgime forc par une impulsion de poids 0b , dun systme partant du repos, est le mme que le rgime libre du systme partant dun jeu de conditions initiales (0,0,0, , 0b ) linstant 0
+. Cela signifie, par exemple, quun pendule partant du repos (en t = 0-) auquel on communique un choc bref et un pendule ayant une vitesse initiale 0b au point bas en t = 0
+ (pendule lch) auront exactement le mme mouvement pour t > 0. Ainsi, en prenant la transforme de Laplace de
1 0 0... ...n i
n in i
d s d s dsa a a a s bdt dt dt
+ + + + + = avec 0b =1 On obtient ( ) ( ) ( ) ( )1 0... ... 1n in ia p S p a p S p a pS p a S p+ + + + + = Soit : ( ) 1
1 1 0
1... ...n n in n i
S pa p a p a p a p a
= + + + + + + Afin dobtenir s(t), il faut prendre linverse de la transforme de Laplace de S(p). Do la ncessit de rduire S(p) en lments simples. Et do lapparition de lquation caractristique o p est remplac par r.
37
Comme les ia sont rels, les racines ir ne peuvent tre que relles ou complexes conjugues. En crivant (2) sous la forme :
0... 0111 =
++++
nn
n
n
nnn a
ar
aa
ra
ara
et en appelant ri la ime racine, (2) peut encore scrire :
( )=
=n
iin rra
1
0
La solution de IESSM scrit alors ( ) trntrtr neKeKeKts +++= ...21 211 o les Ki sont les constantes dintgration. Si ri est relle, alors le terme tri ieK est laiss tel quel. Si ri est complexe, alors il existe une autre racine ri+1 complexe conjugue de ri, car le produit (r-ri)(r-ri+1) doit redonner un trinme coefficients rels. Si lon pose :
=+=
+ iii
iii
jbrjbr
1
Ces deux racines correspondent dans la solution s1(t)
( ) ( ) ( ) ( )tjteKtjteKeKeK iitbiiitbitjbitjbi iiiiii sincossincos 11 ++=+ +++ ( ) ( )[ ]tKKjtKKe iiiiiitbi sincos 11 ++= ++ (3) Or s1(t) est une grandeur physique, donc une grandeur relle, auquel cas le terme (3) ne peut tre que rel. De ce fait, j(Ki - Ki+1) est rel, ce qui impose que Ki - Ki+1 soit complexe pur. Les constantes Ki et Ki+1sont imprativement elles-mmes complexes conjugues. Le terme (3) scrit alors
[ ]tte iiiitbi sincos + avec ( )
=+=
+
+
1
1
iii
iii
KKjKK
Ri iet ou encore ( )+ tMe iitbi cos
et dans ces conditions : ( ) ( ) = =
++=k
i
l
jjj
tbj
tri teMeKts ii
1 11 cos avec k + 2l = n
38
Consquences : Si les racines ri sont relles uniquement, on a un rgime libre apriodique. De plus, si les racines ri sont relles ngatives, ce rgime libre steint au bout dun certain temps car 0 tir te si . Inversement si ri est positif le systme est instable.
Figure 22- rgime apriodique Si les racines ri sont complexes uniquement, on a un rgime oscillatoire. Si, de plus, la partie relle de la racine complexe est ngative, ce rgime oscillatoire disparat.
Figure 23- rgime oscillatoire
3.3.2.1 solution particulire de lE. A. S. M. La solution particulire de lquation (1) donne le rgime forc . Elle est obtenue en appliquant des rgles qui dpendent bien sr du second membre : si e(t) est un polynme, alors s2(t) est aussi un polynme de mme degr que e(t); Si e(t) est une exponentielle, alors s2(t) est aussi exponentielle; si e(t) est une fonction sinusodale, alors s2(t) est encore sinusodale.
Le rgime forc a donc la mme forme que lexcitation.
S1
t 0 ri > 0
instable
S1
t 0
ri < 0
stable
S1
t 0
S1
t 0
39
3.3.2.2 conclusion La rsolution de lquation diffrentielle met en vidence la superposition dun rgime libre indpendant de lentre et dun rgime forc de mme forme que lentre. Le rgime libre peut disparatre avec le temps; le rgime forc seul subsiste. Il faut pour cela que les racines de lquation caractristique soient partie relle ngative. Dans le cas contraire, la sortie du systme prend des valeurs voluant trs rapidement vers des valeurs trs leves, incompatibles avec un bon fonctionnement matriel, mais surtout rendant le systme incontrlable. Le rgime libre, encore appel rgime transitoire, caractrise le comportement dynamique du systme. Le rgime forc ou rgime permanent traduit son comportement statique (cf Figure 24).
Figure 24- rponse d'un systme stable un chelon
3.3.3 Fonction de transfert Il est toujours compliqu de rsoudre une quation diffrentielle dun ordre quelconque. La transforme de Laplace va nous aider dans ce travail. Dfinition : On considre le systme au repos ou alors en rgime permanent tabli depuis suffisamment longtemps toutes les drives sont donc nulles linstant t = t0. La transforme de Laplace de (1) scrit alors : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pEpbpEpbpEbpSapSpapSpa mmnn +++=+++ ...... 1001 d'o
( )( ) 0111
011
1
......
apapapabpbpbpb
pEpS
nn
nn
mm
mm
++++++++=
( ) ( )( )pEpSpH = est appele fonction de transfert ou transmittance du systme.
S1
t 0
e(t)
Rgime transitoire Rgime permanent
40
La fonction de transfert est lexpression qui relie les variations, vis vis dun rgime initial ou point de fonctionnement, du signal de sortie par rapport au signal dentre. Dans un schma fonctionnel, un systme sera reprsent par sa fonction de transfert.
Figure 25- schma fonctionnel d'un systme
3.3.3.1 Fonction de transfert d'une machine courant continu Afin d'illustrer cette notion de fonction de transfert, nous allons modliser le comportement d'une machine courant continu excitation indpendante accouple une charge.
3.3.3.1.1 Machine courant continu sans charge Ecrivons les quations rgissant le fonctionnement :
f..m. :
=====
=
en Wb plepar utileflux en tr/srotation de vitesseN
actifs brins de nombreninduitl' det enroulemend' voiesde nombre2a
ples de paires de nombrep
o NnapE
( ) == 2rd/sen 2N napE en posant teC
anpk == 2 (k dpend de la machine
considre), il vient :
= kE
couple lectromagntique : l'induit est modlis de la manire suivante en rgime permanent (pas d'effet de la part de l'inductance) :
Figure 26- induit d'une machine courant continu
H(p) E(p) S(p)
E = k
U = Ra Ia
Va
Ia La
41
On a donc : aaaaaaaaaaaaa IdtdI
LIkIRIVdt
dILkIRV ++=++= 2
En rgime permanent, Ia est constant et donc 0=dtdI
L aa , l'inductance n'intervient pas
Figure 27- induit d'une machine courant continu en rgime permanent Or, Pa=VaIa est la puissance absorbe par l'induit et RaIa2 est la puissance dissipe par effet Joule dans l'induit. Donc la puissance lectrique susceptible d'tre transforme en puissance mcanique est : Pe = VaIa - RaIa2 = EIa, on l'appelle puissance lectromagntique. C'est elle qui donne naissance au couple lectromagntique suivant la formule :
aaae
e IkIkEIP
CCP =====
Le couple utile est bien entendu infrieur cet idal tant donn l'existence de couple de frottements (secs : paliers et fluides : ventilateur clavet sur l'arbre moteur) et de pertes fer (hystrsis et courants de Foucault) croissant avec la vitesse et le flux magntique. Cependant, en fonctionnant flux constant, les pertes ne sont plus fonction que de la vitesse, pour les machines importantes, on peut les ngliger en premire approximation. On posera :
utile e aC C k I =
3.3.3.1.2 Procds de commande d'une machine cc Ces moteurs sont trs utiliss dans le domaine des asservissements. Ils assurent en particulier des dmarrages et des arrts frquents. On trouve principalement deux types de commande : Commande flux constant par la tension d'induit variable. Commande courant d'induit constant par le flux d'induit variable. Ces deux types de commandes ne donnent pas la mme fonction de transfert.
E = k
U = Ra Ia
Va
Ia
42
3.3.3.1.2.1 Commande par la variation de la tension d'induit : On rgle le flux sa valeur maximale, l'intensit absorbe par l'induit pour un couple rsistant donn est donc minimum, en effet :
max=
kCC
I rea
Les deux quations fondamentales s'crivent :
==
ae IkCkE
max
max avec teCkk == maxmax Prenons la transforme de Laplace : (on ne considre plus le seul rgime Ia = Cte) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
++===
pEpIpLRpVpIkpC
pkpE
aaaa
ae max
max
d'o l'expression du couple de la machine :
( ) ( ) ( )ppLR
kpVpLR
kpCaa
aaa
e ++=2
maxmax
Cette relation montre qu'une machine cc commande par tension d'induit variable est
quivalente une machine idale produisant le couple ( ) ( )pVpLR
kpC a
aae +=
max
indpendant de la vitesse de rotation de la machine et d'un dfaut (frottement fluide) stabilisant la vitesse (terme ngatif)
Figure 28- caractristiques mcanique du pilotage par tension d'induit
0
Ce
0
C0
Va1
Va3
Va2
43
Le schma fonctionnel du moteur CC pilot par induit est alors le suivant : Figure 29- schma fonctionnel de la machine cc pilote par tension d'induit
3.3.3.1.2.2 Commande par variation du flux inducteur Le courant dinduit est maintenu constant. Le flux va donc varier puisquil est proportionnel au courant inducteur. Toutefois on remarque que pour des valeurs fortes de ce courant on sature la machine. On a deux solutions :
on travaille faible courant ce qui limite lutilisation
on utilise des circuits magntiques de forte section ce qui permet de reculer plus loin le coude de saturation mais augmente la taille des moteurs.
Figure 30- flux inducteur Dans la zone linaire, la courbe est une droite de pente tg. on peut donc crire :
eItg = do :
teaindeindeaae CtgIkkIkItgIkIkC ===== maxmaxmax avec
+
-Va(p) Ce(p)
(p) kmax
pLRk
aa +max
Iexcitation 0
saturation
44
Figure 31- modle de l'inducteur d'une machine cc L'quation de maille de l'inducteur donne :
dtdI
LIRV eeeee += ou bien en transforme de Laplace : ( ) ( ) ( )pIpLRpV eeee += pour le couple, on a : ( ) ( )pIkpC einde = d'o
( ) ( )pVpLR
kpC e
ee
inde +=
Les caractristiques mcaniques sont dsormais les suivantes :
Figure 32- caractristiques mcaniques du pilotage par courant inducteur
Ve
Ie
Re
Le
0
Ce
Ie1
Ie3
Ie2
45
Le schma fonctionnel se rduit : Figure 33- schma fonctionnel de la machine cc pilote par courant inducteur La caractristique mcanique ne comporte pas de frottement fluides. Il sera donc ncessaire de stabiliser la vitesse sinon la machine risque de s'emballer. Ce type de commande est peu utilis en automatique.
3.3.3.1.3 Machine cc accouple une charge Un rducteur de vitesse, permettant de rduire la vitesse de rotation et d'augmenter le couple au niveau de la charge, est gnralement plac entre le moteur et la charge.
Figure 34- moteur cc avec charge
On a 2
1
1
2n ==
RR avec R le nombre de dents d'un pignon. Si on suppose les
frottements et les jeux nuls dans le rducteur, alors toute la puissance mcanique instantane applique l'arbre d'entre du rducteur se retrouve dur l'arbre de sortie, donc :
2211 = CC
C1 est le couple du moteur Ce, C2 est le couple disponible sur l'arbre de sortie pour entraner la charge. Le couple moteur Ce doit quilibrer l'ensemble des couples rsistants, d'o :
= dtdJCC trsise tan avec += rtrsis CfC tan f. = frottements fluides et Cr = frottements secs f est le coefficient de frottements fluides de l'ensemble moteur + charge,
Ve(p) Ce(p) pLR
k
ee
ind
+
1
rducteur
Jr, fr
2 Jch, fch
rotor
charge
n
===
(visqueux) fluide frottement det coefficienfinertied'moment Jrduction derapport n
46
J est le moment d'inertie de l'ensemble moteur + charge. Afin d'obtenir J et f, on ramne d'abord la charge sur l'arbre moteur.
ramenchramenchech CnCCCC ===
2
1arg2211
or 22 += chchch fdtdJC et
dtd
ndtd 12 1 =
d'o 121
211 +=+=
nf
dtd
nJ
Cnf
dtd
nJ
Cn chchramenchchch
ramench
Comme dans le cas du transformateur, pour faire passer des "impdances" du primaire au secondaire, ou rciproquement, on multiplie ou on divise celles-ci par le rapport de transformation lev au carr.
en remplaant dans = dtdJCC trsise tan , il vient :
dtd
nJ
dtdJC
nffC chrrchre 12
1121
+= donc
121
2
++
+=nff
dtd
nJJCC chrchrre
en posant :
+=
+= 22 et nfff
nJJJ chreqchreq , on obtient :
( )( ) ( ) eqeqre fJppCpC
p+=
11 La charge apparat donc comme la boite ci-dessous dans un schma fonctionnel : Figure 35- schma fonctionnel de l'ensemble mcanique rotor + charge
eqeq fJp +1+
-Ce(p) (p)
Cr(p)
47
Si on utilise un pilotage par rglage de la tension d'induit, la Figure 29- schma fonctionnel de la machine cc pilote par tension d'induit vient s'inclure dans celle ci-dessus :
Figure 36- schma fonctionnel du moteur cc pilot par tension d'induit avec charge
Pilot par tension d'induit, le moteur possde une contre-raction interne. Il ne risque pas l'emballement.
3.3.3.2 Modle de connaissance : L'laboration du schma fonctionnel ci-dessus s'est effectue partir des quations physiques du systme. On obtient donc le modle de connaissance. Pour obtenir la fonction de transfert de l'ensemble, on va supposer Cr = 0. A partir du schma de la Figure 36- schma fonctionnel du moteur cc pilot par tension d'induit avec charge, on peut crire :
( ) ( ) ( )ppLR
kpVpLR
kpCaa
aaa
e ++=max
2max
et enfin : ( )
( ) ( )( )pJfpLRk kpV p eqeqaaa +++=
max2
max
3.3.3.3 Forme canonique d'une fonction de transfert La fonction de transfert d'un systme n'est utilisable que si on fait apparatre les racines des polynmes qui la composent.
( )nn
mm
nn
mm
paa
paa
pbb
pbb
ab
papaapbpbb
pF
00
1
00
1
0
0
10
10
...1
...1
......
+++
+++=+++
+++=
+
-Va(p)
kmax
pLRk
aa +max
Ce(p)
eqeq fJp +1+ - (p)
Cr(p)
48
Soit :
( ) ( )( ) ( ) 2lkn avec 111
1
2
1
1 +=+++
+=
==
=i
jjj
k
jj
m
ii
pbpap
pKpF
0
0
ab
K = est appel gain statique du systme. Ce n'est pas forcment un nombre sans dimension. Les i et j sont les constantes de temps du systme. Une constante de temps rend compte de la dynamique du systme, plus celle-ci est faible, plus le systme est rapide ragir. Les termes du second ordre sont laisser tels quels au cas o ils ne sont pas dcomposables.
3.3.3.4 modle de commande Lcriture du modle de connaissance est aise sur des systmes simples que lon connat bien. Elle lest beaucoup moins sur des systmes compliqus. Sur un processus dj existant, de structure complexe et mal connue, elle devient impossible et lingnieur automaticien ne sy risque pas. Comment alors trouver une loi s = f(e) qui rende compte le mieux possible du comportement dynamique dun systme ? Ce problme ne peut tre rsolu que par des essais exprimentaux et partir de connaissances a priori (catalogue de rponses types par exemple). Cest ce que lon appelle identification dun processus. Un chapitre(10) sera ncessaire pour aborder ce problme, mais il est possible dapprocher intuitivement cette phase. En effet, nous avons dfini dans le chapitre 3.1.4 un certain nombre de signaux -tests. Lexprimentation seffectuera laide de ces signaux. Les rponses seront compares des rponses types et on aura une bonne ide du modle du processus. On va trouver deux formes dessais exprimentaux qui conduiront dailleurs aux mmes rsultats
les essais harmoniques,
les essais temporels.
3.3.3.4.1 essais harmoniques Si on applique un signal sinusodal un systme linaire, on sait (cf dfinition) que la rponse est sinusodale. On montre galement quune fois les transitoires teints, cest--dire, une fois le rgime permanent atteint, la sortie est sinusodale, de mme pulsation que le signal dentre, mais damplitude et de phase diffrentes.
49
Supposons e(t)= EM sin t et s(t) = SM sin(t +). Appliquons la transforme cissodale ces deux grandeurs. Il vient: e(t) EM et s(t) SM.ej Rappelons que lopration de drivation correspond une multiplication par j et appliquons cette procdure lquation gnrale dun systme linaire. Il vient :
( ) ( ) MmmMMjMjMjMnn EjbEjbEbeSaeSjaeSja +++=+++ ...... 1001 soit :
( ) ( )( )( ) ( )
1 0 0 1
0 1
0 1
... ...
......
n mjM n M m
mmjM
nM n
S e a j a j a E b b j b j
b b j b jS e H jE a a j a j
+ + + = + + + + + + = =+ + +
On retrouve la fonction de transfert dans laquelle on a fait p = j. On appelle lieu de transfert la reprsentation de F en fonction de telle que ( ) j
M
M eESjF = . Les
lectroniciens l'appellent rponse en frquence ou diagramme de Bode.
3.3.4 Reprsentation graphique du lieu de transfert Trois reprsentations du lieu de transfert sont principalement utilises, et nous nous intresserons particulirement la troisime :
3.3.4.1 Reprsentation de Bode : On trace ( )( )jFGdb log20= et ( )( )jFarg= en fonction de dans un plan semi logarithmique.
50
Voici par exemple le diagramme de Bode de : ( )( )
++
=10
11
4
jj
jF , fonction de
transfert dont nous reparlerons au chapitre 7.1.6.
51
3.3.4.2 Reprsentation de Nyquist On trace ( )jF dans le plan complexe. Le lieu est gradu en sinon il n'a aucune valeur. A tout i correspond :
( )( )( )
==
ii
ii
jF
jFOM
arg
Figure 37- reprsentation de Nyquist
3.3.4.3 Reprsentation de Black Elle est trs importante, en effet elle seule figure au programme ! En fait cest la reprsentation de Bode mais transcrite dans un seul plan, le plan (GdB,), tant porte en abscisse et GdB en ordonne. L encore, le lieu doit tre gradu en et orient, sinon il na aucune valeur.
Figure 38- reprsentation de Black
GdB
1
0 -
2
3
Im
= 0 0
Re
1
i Mi
i
2
52
3.3.5 essais temporels Le paragraphe 3.3.2.2 a mis en vidence que tout systme linaire rpond une excitation par un rgime transitoire et un rgime permanent. Alors que les essais harmoniques ne font pas apparatre le rgime transitoire, il nen est pas de mme pour les essais temporels : impulsion, chelon et rampe. Chacun deux va mettre en vidence un certain nombre de paramtres.
3.3.5.1.1 rponse impulsionnelle Limpulsion permettra de connatre la stabilit du systme : Si nous donnons une impulsion la bille celle-ci reviendra au bout dun moment sa position dquilibre. Son dplacement dans le temps peut tre dcrit comme lindique la Figure 39.
Figure 39- essai impulsionnel sur une bille
Figure 40- rponse impulsionnelle d'un systme stable Si lvolution du systme ne seffectue pas de cette manire, cest que celui-ci est naturellement instable.
3.3.5.1.2 Rponse en vitesse Elle permet de savoir si le systme suit bien une entre volutive.
Figure 41- rponses possibles en vitesse
impulsion x
impulsion t 0
x
entre
t 0
x
Systme suiveur
entre
t 0
x
Systme ne suivant pas
53
3.3.5.1.3 Rponse indicielle C'est l'essai le plus intressant pour l'automaticien et sans doute le plus facile raliser (ouverture ou fermeture d'un interrupteur, d'une vanne,). En observant la sortie, on a tout de suite une bonne ide du comportement dynamique du systme. La rponse d'un systme un chelon unit s'appelle rponse indicielle ou unitaire.
Figure 42- rponse indicielle
Dans un premier temps, il est facile d'valuer le gain statique : eSG
=
3.3.5.1.4 Formes fondamentales des rponses indicielles Sur les Figure 43 et Figure 44, on remarque, qu'aprs l'instant d'application de l'chelon, la sortie tend vers une valeur d'quilibre Sf au bout d'un "temps plus ou moins long". Cette notion caractrise la dynamique de la rponse. Voici quelques rponses types : Rponse exponentielle :
Figure 43- rponse exponentielle
t
e
e
e1
e0
0 t0
t
S
S
Sf
S0
0 t0
t
e
e1
0 t0
t
S
Sf
0 t0
54
3.3.5.1.5 Rponse drive nulle l'origine Elles sont la caractristique de systmes d'ordre suprieur 1 (nous approfondirons cette notion d'ordre d'un systme prochainement).
Figure 44- rponses indicielles drive nulle l'origine Ces trois formes de rponses caractrisent des systmes naturellement stables. Par contre, on peut aussi observer la rponse suivante :
Figure 45- oscillations entretenues
t
e
e1
e0
0 t0
t
S
Sf
S0
0 t0
t
S
Sf
S0
0 t0
Rponse apriodique
Rponse oscillatoire amortie
e
t
e1
0 t0
t
S
0 t0
55
Les systmes prsentant des oscillations entretenues en rponse une excitation sont dits instables. On peut aussi, enfin, observer les formes prcdentes, mais dcales par rapport l'instant d'application de l'chelon :
Figure 46- mise en vidence d'un retard pur En fait, le dmarrage de la rponse S nintervient quun temps tR = t1 - t0 aprs lchelon. Ce dcalage est appel retard pur ou temps mort. Les retards purs vont compliquer la tche des automaticiens car ils rduisent la stabilit et la prcision.
3.3.5.2 Temps de monte, temps de rponse Le temps de monte est un lment de rponse bien connu des lectroniciens puisquil contribue donner une indication sur la bande passante dun systme donc de sa rapidit. Il est valu comme tant le temps mis pour passer de 10% 90% de la valeur finale.
Figure 47- temps de monte de l'lectronicien
e
t
e1
e0
0 t0
t
S
Sf
S0
0 t0 t1
Retard pur
t
e
e1
e0
0 t0
t
S
90%
10%
0 t0 tR Temps de monte
56
Ce "temps de monte des lectroniciens" n'est pas trs intressants pour l'automaticien, car il n'a que peu d'intrt pour valuer la rapidit de rponse d'un systme un chelon. Dans le cas de la figure ci-dessus, on doit tenir compte d'un retard pur ignor par la notion de temps de monte.
Figure 48- une autre inadaptation Ici, le temps de monte ne nous donne qu'une trs mauvaise ide du temps mis pour atteindre le rgime permanent. Les automaticiens lui prfrent le temps de rponse, temps sparant l'instant d'application de l'chelon et l'arrive en rgime permanent avec une tolrance de 5 % (le signal de sortie arrive dans le "tuyau" des 5 %).
Figure 49- mise en vidence du temps de rponse
t
e
e1
e0
0 t0
t
S
90%
10%
0 t0 tR
Temps de monte
t
e
e1
e0
0 t0
t
S
90%
10%
0 t0 tR
Temps de monte
Tuyau des 5 %
Temps de rponse
57
Lintrt du temps de rponse est quil tient aussi bien compte des temps de retard que des sur-oscillations. Pour mesurer la vitesse de raction dun processus en poursuite on utilise aussi le temps de monte des automaticiens (0 90% ou 100% de la valeur finale) qui tient compte aussi des retards.
3.3.6 conclusion Essais harmoniques et temporels vont nous permettre darriver aux mmes rsultats, comme nous le verrons par la suite. Seules leurs conditions demploi changeront : tout dpendra des conditions exprimentales et du temps rserv cette exprimentation. Dans tous les cas, on aboutira un modle de commande suffisamment proche du modle de connaissance. Les chapitres suivants vont nous permettre de dcrire les modles de connaissance usuels et de mettre en vidence leurs rponses aux signaux-tests. Concernant les systmes harmoniques, les notions de rponse en frquence et fonction de transfert permettent de se ramener des constructions graphiques (Black). Si on a affaire un systme physique, que l'on sait linaire, mais dont on ignore les quations, les techniques de rponse en frquence permettent de traduire ses proprits sous forme de lieu de transfert. Que l'on parte d'quations ou d'expriences, le point d'aboutissement est le mme. Tout systme linaire peut tre caractris compltement : soit par sa fonction de transfert; soit par son lieu de transfert gradu en pulsation. Ces notions de fonction et de lieu de transfert vont tre les outils dont on se servira constamment par la suite. Il importe de bien saisir la raison qui fait l'intrt tout spcial de la notion de lieu de transfert : on peut tracer le lieu de transfert d'un systme physique dont on ignore les quations, aussi bien que d'un systme non encore ralis dont les quations sont connues; toute mthode de travail qui utilise les lieux de transfert s'applique donc l'un comme l'autre : l'exprience et la thorie ont le mme langage et ce n'est pas si frquent !
58
4 Systmes linaires continus du premier ordre Tout systme, aussi complexe soit-il, possde sa propre fonction de transfert. On montre en effet que celle-ci peut tre dcompose sous la forme dun produit de fonctions de transfert de systmes lmentaires. Reprenons la fonction de transfert dun systme du nime ordre :
( ) nn
mm
papaapbpbbpF +++
+++=......
10
10
On a intrt faire apparatre les ples de cette fonction de transfert. Pour cela, on a plusieurs solutions
si le ple est rel, il apparat sous la forme p+1 ,
si le ple est nul, il apparat sous la forme p,
si le ple est complexe, il a obligatoirement son conjugu, et ceux ci apparaissent sous la forme dun trinme du second degr 21 dpcp ++ .
F(p) peut donc encore scrire sous la forme:
( )( ) ( )
11 1 0
2
1 1
...
1 1
m mm mk l ji
i j
b p b p b p bF pp p cp dp
= =
+ + + +=+ + +
avec + k + 2l = n
Dans ces conditions on distinguera 3 types de processus lmentaire : le processus constante de temps ou processus du 1er ordre; le processus en 1/p quon appelle intgrateur, car diviser par p la transforme de
Laplace dune fonction f revient prendre la transforme de lintgrale de f. Ce processus est aussi du premier ordre;
le processus du second ordre. Les processus du second ordre feront lobjet du chapitre 5. Nous tudierons ici les processus constante de temps et les intgrateurs.
59
4.1 processus constante de temps dfinition : Un systme constante de temps est rgi par une quation diffrentielle du premier ordre coefficients constants de la forme :
( ) ( )tektsdtds =+
Si les conditions initiales sont nulles, la transforme de Laplace des deux membres donne p S(p) + S(p) = k E(p) et la fonction de transfert dun systme du premier ordre scrit :
( ) ( )( ) pk
pEpSpF +== 1
Dans cette expression, k est le gain statique et la constante de temps. Remarque : Conditions initiales nulles signifie que le systme part du repos ou de son point de fonctionnement. Donc linstant t = 0, le systme est en rgime permanent. Cette remarque est valable pour toute la suite de ce cours.
4.1.1 Exemples de systmes du premier ordre
4.1.1.1 circuit RC :
Figure 50- circuit RC
On a e(t)=Ri(t)+s(t) et ( ) = dtiCts 1 , do ( ) dtdsCti = et pour terminer : ( ) ( )tets
dtdsRC =+
Le condensateur tant dcharg (conditions initiales nulles), le passage en transforme de Laplace permet dcrire la fonction de transfert du circuit :
R
C e s
60
( ) ( )( ) RC avec 1 =+== pk
pEpSpF
4.1.1.1.1 moteur courant continu command par inducteur On avait crit :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) eee
e
e
ee
inde
ee
inde R
Lp
kpVpCpFpV
pRLR
kpVpLR
kpC ee
ind et Rk
k avec 1
1==+==
+
=+=
4.1.1.2 thermomtre a mercure Considrons un thermomtre, de capacit calorifique C et dont lenveloppe a une rsistance thermique RTH. Ce thermomtre est plong dans un bain de temprature TE. On lit la temprature sur lchelle gradue. Un flux de chaleur Q (analogue un courant lectrique) va schanger entre le liquide et le thermomtre (il y a pas de flux si TE = TS). TS est la temprature de sortie lue sur le thermomtre, TE est la temprature dentre du bain liquide. Ce flux doit chauffer lenveloppe (rsistance thermique) avant datteindre le mercure et le chauffer.
Figure 51- thermomtre mercure Nous pouvons crire : dune part, que Q.RTH = TE - TS ( perte dans lenveloppe). On montre que RTH = 1/s.h o s est la surface de lenveloppe et h le coefficient de transmission de chaleur;
et dautre part que dt
dTCQ S=
De ce fait :
( ) ( )( ) CppTpT
pFTTdt
dTCR
RTT
dtdT
CE
SES
STH
TH
SESTHR avec 1
1et =+===+=
TS
TE
61
4.1.2 Analyse temporelle
4.1.2.1.1 Rponse indicielle
On applique lentre un chelon unit donc ( ) ( )ppkpS += 1
Aprs dcomposition en lments simples, on obtient :
( )
+= 111
ppkpS et donc ( )
=
t
ekts 1
Traons lvolution de s(t) dans le temps. Nous caractriserons le rgime transitoire par : le temps de rponse : la valeur finale (rgime permanent) tant k, au bout dune constante de temps, on est au 2/3 environ de celle-ci (63%); on voit tout de suite que le temps de rponse ( 5% de la valeur finale) est :
3=rt
Figure 52- rponse indicielle d'un premier ordre le temps de monte: la rponse tant monotone croissante, nous dfinissons le temps de monte comme le temps mis pour que celle-ci atteigne 90% de la valeur
finale, ce que nous crivons sous la forme
= mtekk 19,0 do 0,1mt
e = et donc :
3,2=mt
t
s(t)
k
0
0,63k
0,95k 0,86k
2 3 4
62
Application : Identification dun processus inconnu A partir dun essai indiciel :
on value tr, et on en dduit 3rt=
on obtient le gain statique k par : ff S
Sesk ==
=1
Figure 53- identification d'un premier ordre Intrt de la constante de temps Elle fournit une indication sur le comportement du systme :
si est petite, alors tr est faible et le systme est rapide
plus est leve, plus le systme est lent.
4.1.2.1.1.1 rponse en vitesse
On a cette fois ( ) 21ppE = .
t
e
1
0
t
s(t) sf
0
0,95sf
3
63
D'o ( ) ( ) ( ) +=
++=+=
tetkts
pppk
ppkpS
11
1 22
La figure ci-dessous nous donne lvolution de cette rponse. On voit tout de suite que, si k est diffrent de 1, la sortie ne suit pas lentre. On dit quelle trane. Lcart sagrandit rgulirement et la limite devient infini. Conclusion : Un systme du premier ordre ne suit pas en vitesse.
Figure 54- rponse en vitesse d'un premier ordre Erreur de tranage :
( ) ( ) 0 21lim lim 1 1tt p kr t k t e p p p = + + 111
kk tk
> = = =< = +
4.1.2.2 rponse impulsionnelle Cest la rponse une impulsion de Dirac (t). Comme E(p) = 1 alors
( ) ( ) ( ) t
ektsp
kpS =+= 1
0 t
s(t)
r(t)
k
2
64
Figure 55- rponse impulsionnelle d'un premier ordre La rponse impulsionnelle est encore une impulsion. Sa largeur (calcule au tiers de sa hauteur) est . La valeur rsiduelle au bout de 3 est 5%. Conclusion : Un systme du premier ordre est donc stable.
4.1.2.3 analyse harmonique On envoie sur lentre du systme un signal harmonique. Faisons p = j dans la fonction de transfert, il vient :
( )
1 avec 11
=+
=+= cc
j
kjkjF
C'est un nombre complexe dont le module (gain statique) est :
( )2
21
c
kjF
+= et l'argument (phase) est : ( )[ ]
c
jF arctanarg =
Reprsentation de Black-Nichols Alors que Bode reprsente sparment le gain et la phase en fonction de , Black-Nichols trace le lieu dans le plan [G,], ce qui impose de le graduer en et de l'orienter. G est exprim en dB soit ( )( )jFG log20= .
0 t
s(t)
2 3
k/
33%
5%
65
Le systme est entirement caractris par : Son gain statique Sa pulsation de coupure 3 dB c. Pour cette pulsation, le gain vaut alors 20 log k - 3 soit
2k en valeur naturelle.
Sa bande passante dfinie - 3 dB, donc BP = fc. Conclusion : un systme du premier ordre est un filtre passe-bas.
4.1.2.4 relation temps-frequence Le comportement dynamique dun systme constante de temps est entirement dcrit par sa constante de temps . Cette dynamique est aussi appel espace frquentiel puisque c = 1/ et donc:
21=cf
Conclusions : un systme rapide est un systme qui a une bande passante large (faible constante de temps). un systme lent a une bande passante troite.
Trac dans le plan de Nichols
=0 20logk-3
45
66
dautre part, un systme du 1er ordre est aussi un filtre passe-bas. Tous les signaux dentre de pulsations suprieures c ne seront donc pas transmis. Par exemple un enregistreur de frquence de coupure 2Hz ne peut pas enregistrer des signaux de frquences 10Hz. Application : On dsire enregistrer des signaux carrs dont le temps de monte est de 0,2 s. Pour cela, on utilise un oscilloscope dont la fonction de transfert est assimilable un premier ordre. Quelle doit tre sa bande passante ? Nous avons vu que tm =2,3 =0,2.l0-6 s ce qui impose =0,09.10-6s soit fc = 1,83MHz. Si les signaux ont une frquence suprieure 2 MHz, loscilloscope ne peut pas rpondre : en fait, on mesurera le temps de monte de celui-ci. Remarque :
Les produits tmfc ou trfc sont constants :
==
47,036,0
cr
cm
ftft
et donc indpendants de la
constante de temps . 4.2 processus intgrateur dfinition : Cest un cas particulier du systme du premier ordre. Il est rgi par lquation diffrentielle :
( )tekdtds =
Si les conditions initiales sont nulles, sa transforme de Laplace scrit : ( ) ( )pEkpSp = et dans ces conditions, la fonction de transfert du processus intgrateur scrit :
( ) ( )( ) pk
pEpSpF ==
4.2.1.1.1 exemples condensateur pur
Figure 56- condensateur pur
V C
I
67
Par dfinition, = dtiCv 1 , donc si le condensateur est initialement dcharg : ( )( ) CppI
pV 1= Position angulaire d'un axe Un axe est entran la vitesse angulaire et entrane le curseur dun potentiomtre. La relation entre dplacement angulaire et vitesse est :
( ) ( ) ( )( ) pppppp
dtd 1=
== Application : Un moteur entrane par lintermdiaire dun rducteur de rapport n une charge constitue par un radar de poursuite. Exprimer langle dazimut s du radar en fonction de la vitesse du moteur. On a le schma suivant :
Figure 57- passage de la vite
