M-QAM SISTEMI SA KORELISANIM DUALNIM DIVERZITI GRANAMA U PRISUSTVU NAKAGAMI FEDINGA

Milan Živkoviċ, Nenad Milošević, Bojan Dimitrijević, Zorica Nikolić, Elektronski fakultet u Nišu

Sadržaj – Analizirane su performanse sistema sa korelisanim dualnim diverziti granama, pri prenosu M-QAM signala u prisustvu sporog neselektivnog Nakagami fedinga i aditivnog belog Gauss-ovog šuma. Razmatrani su MRC i SC metode kombinovanja diverziti grana i izvršeno poređenje performansi razmatranih sistema MGF metodom pri različitim koeficijentima korelacije, kao i pri različitom broju simbola korišćene M-QAM (M=4, 16) modulacije. 1. UVOD Kvadraturna amplitudska modulacija (M-QAM) predstavlja široko korišćen tip modulacije, najpre zbog toga što obezbeđuje visoku spektralnu efikasnost. 16-QAM i 64-QAM modulacione šeme se planiraju za primenu u sistemima treće generacije za bežični prenos velikom bitskom brzinom. Prilikom prenosa M-QAM signala preko bežičnih kanala usled prisustva fedinga dolazi do degradacija performansi celokupnog sistema. Do fedinga dolazi prilikom interferencije između dve ili više komponenti signala koje se prostiru po različitim prostornim putanjama što dovodi do fluktuacija amplitude prijemnog signala u toku kratkog vremenskog intervala. Mobilni komunikacioni kanal može se modelovati kao Gauss-ov kanal sa sporim neselektivnim Nakagami fedingom (amplitude prijemnog signala imaju Nakagamijevu raspodelu). Nakagamijeva raspodela (tzv. m-raspodela) je naročito pogodna za modelovanje ovakvih kanala zato što se u većoj meri slaže sa eksperimentalnim podacima nego što je to slučaj sa Rayleigh-jevom ili Rice-ovom raspodelom, koje ujedno i predstavljaju specijalan slučaj Nakagami raspodele. Najefikasnija tehnika za poboljšanje performansi sistema koji pod uticajem fedinga je diverziti prenos. Ova tehnika je naročito pogodna baš zbog toga što se zasniva na slučajnoj prirodi prostiranja signala tako što se za dobijanje korisnog signala koristi prostiranje po više putanja. Princip je jednostavan, ukoliko signal na jednoj putanji oslabi u jednom trenutku, na drugoj putanji on može biti jači, pa se usled postojanja većeg broja putanja trenutni i prosečni SNR mogu značajno povećati, i samim tim se poboljšavaju i performanse sistema. Na prijemnoj strani se prima i na određen način kombinuje nekoliko (feding) komponenati predajnog signala najčešće putem više antena (antenski diverziti). Poželjno je da komponente signala koje se kombinuju na prijemu budu nezavisne (nekorelisane), ali najčešće usled nedovoljnog rastojanja prijemnih antena dolazi do korelacije između prijemnih amplituda. Postoje rezličiti metodi izdvajanja korisnog iz prijemnih signala, pri čemu će u radu će biti razmotreni SC (Selection Combining) i MRC (Maximum Ratio Combining) metodi diverziti kombinovanja. U slučaju SC kombinovanja od više prijemnih grana odabira se ona kojoj odgovara veća vrednost odnosa signal-šum (SNR), odnosno veća snaga signala ukoliko se pretpostavlja da je snaga šuma jednaka u granama. Prilikom MRC kombinovanja vrši se izjednačavanje faza svih signala iz različitih grana i njihovo sabiranje pri čemu se svaki signal

množi feding parametrom koji se određuje merenjem SNR u svakoj grani. Nadalje u radu radu biće analizirane performanse SC i MRC diverziti sistema sa dve prijemne korelisane grane (antene) pri prenosu M-QAM (M=4, 16) modulisanog signala u prisustvu sporog neselektivnog Nakagami fedinga i aditivnog belog Gauss-ovog šuma. Analiziraće se jedan opštiji slučaj dualnog diverzita koji osim korelacije uključuje i efekat nejednakih snaga prijemnih grana pri čemu će biti korišćen MGF (Moment Generating Function) metod (2). Izvršiće se poređenje uticaja različitih vrednosti koeficijenta korelacije, SNR u granama, Nakagami parametra i broja simbola korišćene modulacije na zavisnost verovatnoće greške (BER) sistema od SNR. 2. MODEL SISTEMA PRENOSA Razmatrajmo prenos M-QAM modulisanog signala u prisustvu aditivnog belog Gauss-ovog šuma i Nakagami fedinga. Uzeto je da diverziti sistem ima 2 prijemne grane, kao i da je slabljenje signala dovoljno sporo tako da se može smatrati konstantnim bar tokom trajanja jednog simbola. Ukoliko je x signal koji je poslat, onda je odgovarajući uskopojasni signal na prijemu pre izjednačavanja faze u l- toj grani

1, 2ljl l le x lφω α η= ⋅ + = (1)

gde je jx Ae ϕ−= A – amplituda poslatog signala ϕ - faza poslatog signala lα - feding amplituda (faktor) u l- toj grani lφ - feding faza u l- toj grani lη - aditivni kompleksni Gauss-ov šum u l- toj grani bE - energija po bitu. Odgovarajući uskopojasni signal u l- toj grani posle izjednačavanja faze je

{ }Re 1, ,kljl l l lr e x n l Lφω α−= = ⋅ + = L (2)

gde je { }Re ljl ln e φη −= . Pretpostavićemo da je { }2

0 / 2l

E n N=

za svako l. 3. ANALIZA DIVERZITI TEHNIKA Uslovna verovatnoća greške ( )max/ ,b kP e L z se dobija kao

( ) ( ) ( )0

/bb b b b bP e P e p dγγ γ γ

∞= ∫ (3)

gde ( )/b bP e γ predstavlja uslovnu verovatnoću greške M-QAM sistema po SNR po bitu prijemnog signala [1]

( ) ( ) ( )2 2b b/ 4 2 4 2b bP e qQ p q Q pγ γ γ= − (4)

Zbornik radova XLVIII Konf za ETRAN, Čačak, 6-10 juna 2004, tom II Proc. XLVIII ETRAN Conference, Čačak, June 6-10, 2004, Vol. II

67

gde je 1 1/q M= − , ( )21.5log / 1p M M= − , pri čemu M predstavlja red QAM modulacije (log2M bita formira prenosni simbol) Za analizu datog sistema koristiće se MGF metod, koji je objašnjen u [2], i koji se zasniva na korišćenju generatrise trenutne vrednosti SNR, tγ , u funkciji ispitivanja performansi digitalnih sistema prenosa

( ) ( )0

tsi i t tM s p e dγγ γ

∞= ∫ (5)

Takođe se koristi i alternativni obrazac za Gauss-ovu Q-funkciju [2]

( ) 2 / 212

t

xQ x e dt

π

∞ −= ∫ (6)

koji je oblika

( )2/ 2

20

1 exp2sin

xQ x dπ

φπ φ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ , (7)

odnosno oblik koji odgovara kvadratu Gauss-ove Q-funkcije

( )2/ 42

20

1 exp2sin

xQ x dπ

φπ φ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ , (8)

čime argument funkcije prelazi iz granice integracije u integrand, dok granice postaju konačne, što u velikoj meri olakšava izvođenje performansi digitalnih sistema. Tako, zamenjujući (4) u (3), uz korišćenje (5), dobija se oblik za srednju verovatnoću greške

( )2/ 2 / 4

2 20 0

4 4sin sinb bb

q p q pP E M d M dπ π

γ γφ φπ πφ φ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ . (9)

MRC U slučaju dualnog diverzitija sa korelisanim granama različite snage u prisustvu Nakagami fedinga funkcija gustine raspodele (pdf) kombinovanog SNR po simbolu, sγ je (2)

( ) ( ) ( ) ( )1/22

1/21 2 1 2

s

s

m ms

MRC s m smp I e

mαγ

γγπγ βγ

γ γ ρ β

−−

−

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ⎢ ⎥ ⎜ ⎟Γ −⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(10)

gde je ( )

( )1 2

1 22 1m γ γ

αγ γ ρ

+=

− (11)

( ) ( )( )( )

1/ 221 2 1 2

1 2

4 1

2 1

m γ γ γ γ ρβ

γ γ ρ

+ − −=

−, (12)

( ) 1

0

t aa e t dt∞ − −Γ = ∫ gama funkcija, ( )nI ⋅ je modifikovana

Bessel-ova funkcija n-tog reda, ρ koeficijent korelacije diverziti grana, m predstavlja Nakagami parametar kojim je određena veličina fedinga, dok 1γ i 2γ predstavljaju SNR po simbolu u prvoj i drugoj grani, respektivno. Odgovarajuća generatrisa SNR po simbolu je oblika

( ) ( ) ( )1 2 1 2 22

11

m

MRCM s s sm m

γ γ γ γ ρ−

⎡ ⎤+ −= − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. (13)

Zamenom (13) u (6) dobija se verovatnoća greške po bitu. SC Funkcija gustine raspodele trenutne vrednosti SNR po bitu SC kombajnera za slučaj dve korelisane diverziti grane sa nejednakim srednjim snagama je data kao [2]

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )1 2

11

, , ,

1 exp2

bSC b b b

mmb b

p G H H

m m h h dm

γ

π

π

γ γ γ γ γ ρ

γ γ θ ρ θ ρ θπ

−

−

=

⎡ ⎤− −⎣ ⎦Γ ∫ (14)

gde je

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 2 1 2

2 1 1 2

1 1

, , 01 , , ,2

1, , , , , ,

1 1, , ,2

1, ,

b

b b

b b b b

b b

b

H

H H

G H H H H

H H

H

γ γ γ ργ

γ γ γ γ γ ργ

γ γ γ γ ρ γ γ γ γ ργ γ γρ

γ γ γ γ γ γρ

γ γ γ γρ

⎧⎪ < <⎪⎪

+ =⎪⎪⎪⎪= + < <⎨⎪⎪

+ =⎪⎪⎪

>⎪⎪⎩

(15)

( ) ( )

1

, exp , 1,2mm

ii i i

m mH im

γ γγ γγ γ γ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟Γ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(16)

( ) ( )1 2 1 2

11 2

2 sin1

hγ γ ργ γ θ

θ ργ γ ρ

+ +=

− (17)

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )

1 / 2

1

21

1 1 2

2 1 2 1

1 / 2

1

22

2 1 2

2 1 2 1

1

cos 1 / 2 cos / 2

2 sin

1

cos 1 / 2 cos / 2

2 sin

m

m

m

m

h

m m

m m

γθ ρ

ργγ

γ θ π ργ γ θ π

ργ ργ γ θ γ

ργγγ

γ θ π ργ γ θ π

γ ργ γ θ ργ

−

− −

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥×⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥×⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

(18)

Zamenjujući (14) i (4) u (3) dolazi se do izraza za verovatnoću greške [3]

( )

( ) ( )

( )

/ 2

01 2

2 / 4

01 2

/ 2

01

1

4 ,/ sin / sin

4 ,/ sin / sin

2 // / sin

2/ / sin

m m

SCb

m m

m

q m mP E G dm p m p

q m mG dm p m p

q m d h dmh p

q mmh p

π

π

π π

π

ρ θπ γ θ γ θ

ρ θπ γ θ γ θ

θ φ ρ φπ φ ρ θ

π φ ρ θ

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫

∫

∫ ∫

( )/ 4

0/

m

d h dπ π

πθ φ ρ φ

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

. (19) što se može uprostiti kao

( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

21 2 1 2

11

2

11

4 , 4 ,

2

2

SCb m m m m

mm

mm

p p p pP E qG I I r q G L L

m m m m

hq pI dm hh

hq pL dm hh

π

π

π

π

γ γ γ γρ

φ ρφ

π φ ρφ ρ

φ ρφ

π φ ρφ ρ

−

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟+ ⋅⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

∫

∫

(20)

68

0 5 10 15 20 25 3010-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

M = 4

bez diverzitija

AW G N

m = 4

m = 1

BER

Srednji SNR po bitu [dB]

M RC ------- SC

* ρ = 0.1 + ρ = 0.5 x ρ = 0.9

Slika 1. Zavisnost verovatnoće greške od SNR po bitu 4-QAM sistema sa jednakim snagama u granama ( 1 2γ γ= )

0 5 10 15 20 25 3010-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

AW GN

bez diverzitija

M = 4

m = 4

m = 1

BER

Srednji SNR po bitu prve grane [dB]

M RC ------- SC

* ρ = 0.1 + ρ = 0.5 x ρ = 0.9

Slika 2. Zavisnost verovatnoće greške od SNR po bitu 4-

QAM sistema sa različitim snagama u granama ( 1 210γ γ= ) gde je [2]

( )1

0

11 /1 1 /12 2

m km

mk

m kc c c cI ck

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎛ ⎞− + + += ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ (21)

( )( )( )

( )

( ) ( )( )( )( ) ( )

11 1

0

1 2 11

1 1

21 1 1tan sin tan4 1 2 4 1

2

cos tan2

4 2 1 1

m

m kk

m k k i

kk i i

kcL ckc c

kk

k ik i c

k i

π α απ

α

−− −

=

− − +−

= =

⎡ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − − −⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +⎣

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞× ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞−⋅ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑

∑∑

(21)

0 5 10 15 20 25 3010-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

M = 16

bez diverzitija

AW GN

m = 4

m = 1

BER

Srednji SNR po bitu prve grane [dB]

M RC ------- SC

* ρ = 0.1 + ρ = 0.5 x ρ = 0.9

Slika 3. Zavisnost verovatnoće greške od SNR po bitu 16-QAM sistema sa jednakim snagama u granama ( 1 2γ γ= )

0 5 10 15 20 25 3010-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

M = 16

bez diverzitija

AW GN

m = 4

m = 1

BER

Srednji SNR po bitu prve grane [dB]

M RC ------- SC

* ρ = 0.1 + ρ = 0.5 x ρ = 0.9

Slika 4. Zavisnost verovatnoće greške od SNR po bitu 16-

QAM sistema sa različitim snagama u granama ( 1 210γ γ= )

cot1

cc M

πα =+

. (22)

4. NUMERIČKI REZULTATI Na graficima je prikazana zavisnost BER od SNR po bitu M-QAM sistema sa dve prijemne korelisane diverziti grane. Na sl. 1 prikazane su performanse 4-QAM diverziti sistema kada su snage u korelisanim granama jednake 1 2γ γ= , dok sl. 2 prikazuje performanse datog sistema kada je snaga jedne grane veća 1 210γ γ= . Isti slučaj je i sa sl.3 i sl. 4, pri čemu performanse odgovaraju 16-QAM modulaciji.Uočava se da

1 2γ γ=

1 210γ γ= 1 210γ γ=

1 2γ γ=

69

povećanjem koeficijenta korelacije performanse razmatranih sistema opadaju. Efekat korelacije postaje izraženiji u slučaju kada je feding manje izražen (što odgovara većoj vrednosti Nakagami parametra m), kao i u slučaju kada su snage u diverziti granama jednake. Neuravnoteženost snaga takođe dovodi do slabljenja performansi. MRC postupak kombinovanja pokazuje bolje performanse od SC tehnike u kanalu sa manjim fedingom, pri čemu na međusobni odnos performansi ne utiče efekat različitih snaga u granama. Konačno, sa povećanjem broja simbola M-QAM modulacije dolazi do slabljenja performansi, kao i do smanjenja poboljšanja u odnosu na performanse sistema bez diverziti prijema, dok navedene karakteristike ostaju iste. 5. ZAKLJUČAK U radu su analizirane performanse SC i MRC diverziti sistema sa dve prijemne korelisane grane (antene) pri prenosu M-QAM (M=4, 16) modulisanog signala u prisustvu sporog neselektivnog Nakagami fedinga i aditivnog belog Gauss-ovog šuma. Razmatran je jedan opštiji slučaj dualnog diverzita koji osim korelacije uključuje i efekat nejednakih snaga prijemnih grana pri čemu je za analizu korišćen MGF (Moment Generating Function) metod (2). Izvršeno je poređenje uticaja različitih vrednosti koeficijenta korelacije, SNR u granama, Nakagami parametra i broja simbola korišćene modulacije na zavisnost verovatnoće greške (BER) sistema od SNR. Uočava se da povećanjem koeficijenta korelacije performanse razmatranih sistema opadaju. Efekat korelacije postaje izraženiji u slučaju kada je feding manje izražen (što odgovara većoj vrednosti Nakagami parametra m), kao i u slučaju kada su snage u diverziti granama jednake. Neuravnoteženost snaga takođe dovodi do slabljenja performansi. MRC postupak kombinovanja pokazuje bolje performanse od SC tehnike u kanalu sa manjim fedingom, pri čemu na međusobni odnos performansi ne utiče efekat različitih snaga u granama. Konačno, sa povećanjem broja simbola M-QAM modulacije dolazi do slabljenja performansi, kao i do smanjenja poboljšanja u odnosu na performanse sistema bez diverziti prijema, dok navedene karakteristike ostaju iste.

LITERATURA [1] J.G. Proakis, Digital Communications, 3rd ed. New York:

McGraw-Hill, 1995. [2] M. G. Simon, M.-S. Alouini, Digital Communication over

Fading Channels: A Unified Approach to Performance Analysis, New York: Wiley, 2000.

[3] M. G. Simon, M.-S. Alouini, “A Unified Performance Analysis of Digital Communication with Dual Selective Combining Diversity over Correlated Rayleigh and Nakagami-m Fading Channels,” IEEE Trans. Commun., vol. 47, pp. 33-43, January 1999.

[4] M. G. Simon, M.-S. Alouini, “A Unified Approach for Caculating Error Rates of Linearly Modulated Signals over Generalized fading Channels,” IEEE Trans. Commun., vol. 47, pp. 1324-1334, September 1999.

[2] Živković, M., Milošević, N., Nikolić, Z., Performanse BPSK diverziti sistema u prisustvu fedinga i efekta senke, Zbornik radova, TELFOR, Beograd, Novembar 2002.

Abstract - In this paper we consider MRC and SC dual diversity reception of M-QAM modulated signal in presence of additive white Gaussian noise and correlated Nakagami fading. The dependence to the BER of the SNR/bit is used as the measure of performances. The performance is analyzed for various values of the Nakagami parameter (m=1,2), correlation coefficient, ρ , number of symbols used for modulation (M=4,16) and for equal average branch SNR’s and unequal average branch SNR’s. We noticed that the bigger is the correlation coefficient, the less is performance improvement od diversity system. The influence of correlation became more evident as the channel experiences a lower amount of fading (the m have higher value). Also, unbalance of the average branch SNR’s results to performance degradation. MRC outperforms SC which is more evident in the channel with lower amount of fading. As the number of symbols used for modulation increases, the performance improvement in regard of no diversity reception decreases, but characteristics noted above remain equal for both cases of number of symbols.

M-QAM SYSTEMS WITH DUAL DIVERSITY IN PRESENCE OF CORRELATED NAKAGAMI FADING Milan Živkoviċ, Nenad Milošević, Bojan Dimitrijević, Zorica

Nikolić

70