TD : Rotation autour d’un axe fixe

Questions de cours ou de raisonnement�

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�M6-Q1 En quelle unite s’exprime un moment de force ? Avec quelle autre unite ne faut-il pasla confondre ?�

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�M6-Q2 A quelles conditions le moment d’une force par rapport a un axe est-il nul ? L’illustrerpar l’exemple de l’ouverture d’une porte.�

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�M6-Q3 Soit un solide dont on connaıt J∆G

, le moment d’inertie par rapport a un axe ∆,passant par son centre de masse G. Par rapport a un autre axe ∆, parallele a ∆G, a une distanced de ∆G, le theoreme d’Huygens donne le moment d’inertie : J∆ = J∆G

+md2.Que peut-on deduire de ce resultat quant a la facilite de mise en rotation d’un solide pour unedirection d’axe de rotation donnee ?�

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�M6-Q4

Sur les figures ci-dessous les mor-ceaux de tole ont tous meme masse(et donc la meme surface) ; lesclasser par ordre croissant de mo-ment d’inertie par rapport a l’axetrace en pointille.�

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�M6-Q5 Que fait un garagiste lorsqu’il realise l’equilibrage des roues d’une voiture ?

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�M6-Q6 « C’est le frottement avec le sol qui permet la marche d’une personne ». Expliqueret donner d’autres exemples simples où la force de frottement (loin de s’opposer au mouvement)permet une mise en mouvement.�

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�M6-Q7 On souhaite montrer qu’il est possible de déterminer la masse d’une bouteille avecune balance qui n’est pas « juste », ses bras de levier étant inégaux : l 6= l′. Il faut pour celaprocéder à une double pesée, dite méthode de Gauss.

Déterminer lamasse m de la bou-teille en fonctiondes masses m′

1 etm′

2.

Exercices

� Applications�

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�M6-E1 Ordres de grandeur

1) Le moment d’inertie de la Terre en rotation uniforme autour de l’axe passant par ses pôlesvaut J = 0, 33.MTR

2T avec MT = 6, 0.1024 kg et RT = 6, 4.103 km. Calculer le moment d’inertie

de la Terre et son moment cinétique par rapport à l’axe de ses pôles.2) Dans le modèle de Bohr, le mouvement de l’électron autour du noyau est assimilé à unmouvement circulaire et uniforme de centre O confondu avec le noyau. La trajectoire de rayonr0 = 53 pm est parcourue à la fréquence f = 6, 6.1015 Hz. Calculer le moment cinétique del’électron. On rappelle sa masse vaut me = 9, 1.10−31 kg.3) Un tambour de machine à laver de rayon R = 25 cm et de masse m = 5 kg tourne à la vitesseangulaire de 1000 tr.min−1. Calculer son moment cinétique par rapport à son axe de rotationsachant que son moment d’inertie par rapport à cet axe vaut J = mR2.

Rép : 1) L ≃ 6.1033 J.s ; 2) L ≃ 1.10−34 J.s ; 3) L ≃ 33 J.s

PTSI | Exercices – Mecanique : Solide en rotation autour d’un axe fixe 2013-2014

� TMC et solide en rotation�

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�M6-E2 Chute d’un arbre

On assimile un arbre à une tige longue et homogène de longueur L et de masse m. On le scie àsa base et l’arbre bascule en tournant autour de son point d’ appui au sol. On suppose que lepoint d’appui reste fixe et ne glisse pas et on repère la position de l’arbre pas l’angle θ qu’il faitavec la verticale. À t = 0, l’arbre fait un angle θ0 = 5◦ avec la verticale et est immobile.

On donne le moment d’inertie par rapport à son extrémité I =1

3mL2.

1) Établir l’équation du mouvement de chute de l’arbre.2) Montrer que, lorsque l’arbre fait un angle θ avec la verticale, sa vitesse angulaire vaut :

θ =

√

3g

L(cos θ0 − cos θ)

3) Montrer que cette relation peut être réécrite :

√

3g

Ldt =

dθ√cos θ0 − cos θ

.

4) Déterminer la durée τ de chute d’un arbre de 30 m.

On prendra g = 10 m.s−2. On donne pour θ0 = 5◦ :∫ π

2

θ0

dθ√cos θ0 − cos θ

= 5, 1

Rép : 4) τ = 5, 1 s

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�M6-E3 La tige qui tombe

Ox est un sol horizontal et Oy un mur vertical. Une tige AB de masse m, delongueur 2l et de moment d’inertie par rapport à l’axe Oz (J∆ = 1

3m(2l)2)

évolue dans le plan de la figure.Initialement, elle est verticale et cet équilibre (instable) est détruit de façoninfinitésimale, ce qui signifie que sa vitesse initiale est quasi nulle.L’extrémité A peut tourner librement en O sans frottement.

1) Déterminer par deux méthodes différentes (ThMC et ThEm) les expressions de α et α enfonction de g, l et α.2) Calculer, tant que A est en O, les composantes Rx et Ry de la force de contact

−→R s’exerçant

en A sur la tige. Commentaires.

Rép : 1) α = −3g

4lcosα et α = −

√

3g

2l(1− sinα) ; 2) Rx = 9

4mg cosα(sinα−

2

3) et Ry = 1

4mg(3 sinα− 1)2

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�M6-E4 Oscillations d’un solide soumis a une force elastique

Un solide {S} est constitué de deux tiges homogènes rigidement liées l’une à l’autre, AO et OB,faisant entre elles un angle droit. Chaque tige a pour masse m et pour longueur 2l. {S} peuttourner autour d’un axe horizontal ∆ = (Oz) passant par O.La liaison en O est une liaison pivot parfaite. Un ressort de masse négligeable, de constante deraideur k, est accroché à l’une de ses extrémités en A, l’autre extrémité C étant maintenue fixe.Lorsque l’ensemble est en équilibredans le champ de pesanteur sup-posé vertical et uniforme, AO esthorizontale, et OB verticale.On donne le moment d’inertied’une tige de masse m et de lon-gueur 2l, par rapport à un axe per-pendiculaire à la tige et qui passe

par une extrémité : I =4

3ml2

� Préliminaires :1) Que vaut le moment d’inertie J∆ de l’ensemble des deux tiges par rapport à l’axe ∆ ?2) Déterminer l’allongement du ressort lorsque le système est à l’équilibre.� Oscillations :

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2013-2014 Exercices – Mecanique : Solide en rotation autour d’un axe fixe | PTSI

On se propose d’étudier les oscillations autour de la position d’équilibre. L’angle θ restant petit,

on pourra considérer que la force exercée par le ressort sur le solide reste verticale pendant tout

le mouvement.

3) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par θ. Montrer que le mouvement est sinusoïdalet donner l’expression de la période en fonction de m, g, k et l.4) Application numérique : calculer la période sachant que m = 100 g, l = 10 cm, g = 9, 8m.s−2,k = 12 N.m−1.

Rép : 3) θ +4kl2 +mgl

J∆

θ = 0 ; 4) T = 0, 43 s

� Énergétique d’un solide en rotation�

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�M6-E5 Pendule inverse

Un pendule est constitué d’un point matériel de masse m placé à l’extrémitéA d’une tige de masse négligeable, dont l’autre extrémité O est fixée sur unsupport. L’ensemble, rigide, est mobile en rotation autour de l’axe ∆ = Ox,perpendiculaire à la tige ; on note θ l’angle entre la tige et l’axe vertical Ox.On admet que l’action subie par la tige en O présente un moment des forces :

−−→MO = −kθ−→ex

Hormis la liaison en O, le pendule est soumis au poids de la masse ponctuelleen A, on note l la longueur AB.

1) Exprimer, à partir de la définition, le moment cinétique du pendule en O, lors d’un mouvementde rotation à vitesse angulaire θ.2) Faire de même pour l’énergie cinétique.3) Que représente la quantité ml2 dans les expressions précédentes ?4) Écrire la loi du moment cinétique en O, en considérant le référentiel lié au support commeétant galiléen.5) Exprimer la puissance du poids.6) Proposer une expression de la puissance des autres actions et, le cas échéant, une forme pourleur énergie potentielle.7) Retrouver l’équation du mouvement.8) Exploiter le résultat précédent pour déterminer les éventuelles positions d’équilibre.9) Discuter leur stabilité et commenter le résultat.�

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�M6-E6 Un volant ayant la forme d’un cylindre homogène de rayon R = 50 cm, de masseM = 200 kg, est mis en rotation autour de son axe par un moteur qui fournit une puissanceconstante P = 2, 0 kW . Quelle durée minimale τ faut-il pour que le volant, partant du repos,tourne à n = 2000 tours par minute ?

Pour le cylindre, le moment d’inertie par rapport à son axe est J∆ =1

2mR2.

Rép : τ = 4min 34 s

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�M6-E7 Un oscillateur particulier

Un fil de torsion F de constante de torsion C est solidaire d’une pou-lie P de rayon R = 5, 0 cm et de moment d’inertie J = 1, 0.103kg.m2

par rapport à son axe. Le fil enroulé sur P porte en son extrémitéune masse m = 200 g. On lâche la masse en A avec une vitesseinitiale nulle lorsque F n’est pas tordu ; en l’absence de frottementselle oscille entre deux positions A et B telles que AB = H = 20 cm.1) En déduire la constante de torsion C du fil.2) Quelle est la vitesse maximale vm de la masse m au cours desoscillations.Rép : 1) C = 5, 0.10−2 m.N.rad−1

; 2) vm = 0, 58 m.s−1

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PTSI | Exercices – Mecanique : Solide en rotation autour d’un axe fixe 2013-2014

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�M6-E8 Entraınement par frottement de pivotement

Un disque D pivote à l’intérieur d’un cadre C ; on note JD et JC leurmoment d’inertie par rapport à l’axe ∆.À t = 0, C est au repos et D y tourne à la vitesse angulaire ω0.Le frottement de pivotement au niveau des pivots se traduit par unmoment constant de valeur absolue Γ par rapport à l’axe à ∆.1) Quelle est la vitesse angulaire finale ωf , du système {C +D} ?2) Calculer les variations d’énergies cinétiques ∆Ek(C) et ∆Ek(D)du cadre et du disque et en déduire celle ∆Ek de l’ensemble ; quel estson signe ?3) Calculer ωC et ωD en fonction du temps.Quel est le temps tf au bout duquel ωf est atteinte ?4) Faire un bilan énergétique et en déduire l’énergie Wf transformée en chaleur par frottement.Donnée : On précise que le théorème de l’énergie cinétique pour l’ensemble {C + D} s’écrit :∆Ek = Wint +Wiext. Que représente Wint ? Quelle est la différence entre cette relation et celleétalie en cours pour le solide en rotation autour d’un axe fixe ?

Rép : 1) ωf = JD

JC+JDω0 ; 2) ∆Ek = −

1

2

JCJD

JC + JD

ω20 < 0 ; 3) tf =

JCJDω0

(JC + JD)Γ; 4) Wf = ∆Ek < 0

� TMC et solide en équilibre�

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�M6-E9 Un règle homogène de longueur AB = l a une masse m. Elle repose horizontalement en

son milieu sur un appui C et aux extrémités A et B, on lui applique deux forces−→FA et

−→FB de sens

opposé. Pour maintenir l’équilibre, on place un second appui en D, milieu de AC,au-dessus dela règle. On note

−→TC et

−→TD, les forces supposées perpendiculaires à AB, exercées respectivement

par les appuis C et D sur la règle.

Exprimer les intensités TC et TD de ces forces en fonction desdonnées du problème.Rép : TC = FA + 3FB +mg et TD = 2(FA + FB)

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�M6-E10 Interet d’un levier « pied de biche »Un levier « pied de biche »est coudé à 90◦ au point O ; afin d’ar-racher un clou en A, on exerce en B une force

−→F perpendiculaire

à OB et d’intensité F = 200 N .Données : OB = 70 cm ; OA = 10 cm ; l’angle entre OB et leplan d’appui est α = 30◦.1) En déduire l’intensité de la force

−→R normale au plan et exercée

par le levier sur le clou (le poids du levier est négligé). Commen-ter le résultat.2) En déduire la réaction

−→R′ du sol en O par ses composantes sur les axes. Commenter le résultat.

Rép : 1) R = 2, 8 kN ; 2) R′

x = −100 N ; R′

y = 3, 0 kN ; R′≃ 3, 0 kN

� Savoir-faire et exercices corrigés en ligne

➜ Exprimer les propriétés des forces de pesanteur : SF1

➜ Exploiter le moment cinétique scalaire d’un solide : SF3

➜ Étudier les oscillations d’un solide en rotation : SF4�

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�M6-E11 Balance de Coulomb : Sujet et corrigé

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�M6-E12 Moulin a farine : Sujet et corrigé

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�M6-E13 Fluctuations du couple d’une machine tournante : Sujet et corrigé

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2013-2014 Exercices – Mecanique : Solide en rotation autour d’un axe fixe | PTSI

M6-SQ1

L’unité d’un moment de force est le m.N (penser à−−→OM×−→

F ), à ne pas confondre avec l’unitéd’énergie, le N.m (penser à

−→F � d−→r ), et qui seul est appelé joule (symbole J). En pratique les

moments sont exprimés en N.m et les travaux des forces (ou les énergies) en J .

M6-SQ2

Situation 1 : lorsque la droite d’action de la force est perpendiculaire à l’axe de rotation à , alorsle moment de la force par rapport à l’axe est nul : M∆ = 0 (le bras de levier est nul).Situation 2 : lorsque la droite d’action de la force est parallèle à l’axe de rotation à ∆, alors lemoment de la force par rapport à l’axe est également nul : M∆ = 0 (le moment

−−→MO est alorsnon nul mais orthogonal à l’axe et donc sa projection sur l’axe est nulle).Il faut toujours se rappeler que c’est le moment d’une force par rapport à un axe qui permet defaire tourner un solide autour de cet axe. S’agissant d’une porte entrouverte et que l’on souhaiteouvrir davantage par exemple par rotation autour de l’axe passant par ses gonds, il y a deuxactions inefficaces :- tirer sur la poignée vers l’extérieur de la porte (situation 1) ;- pousser sur la poignée vers le haut (situation 2).

M6-SQ3

Pour une direction donnée, ce résultat montre que le moment d’inertie est minimal si l’axe passepar le centre d’inertie G ➜ c’est donc autour de cet axe passant par G que la rotation du solideest la plus facile à mettre en oeuvre.

M6-SQ4

Le bon classement est celui de gauche à droitesur les figures de l’énoncé.Le classement entre la 1ère et la 3e est facile.Quant à la 2e, la contribution d’une masseétant proportionnelle au carré de la distance àl’axe, l’excédent lié à la large base du triangleest plus important que la diminution liée àl’étroitesse du sommet.

Trois schémas équivalents (correspondantsà des distributions de moment d’inertieéquivalents à celles de l’énoncé) permettentconfirment ce classement :- les parties communes en blanc correspondentà des contributions identiques au momentd’inertie ;- sur la première superposition, les partiesbleues correspondent à des contributions aumoment d’inertie moins importantes que lesparties vertes ;- sur la première superposition, la partie vertecorrespond à une contribution au momentd’inertie moins importante que la partieorangée ;

J1 < J2 < J3

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PTSI | Exercices – Mecanique : Solide en rotation autour d’un axe fixe 2013-2014

M6-SQ5

Le garagiste fixe un morceau de plomb sur la jante de la roue afin que le centre de masse del’ensemble soit sur l’axe ; n’importe quelle position de la roue autour de son axe horizontal estalors position d’équilibre stable (équilibrage statique). En réalité il en fait un peu plus pour éviterque la roue en rotation n’ait tendance à tordre l’axe de rotation (équilibrage dynamique). Toutceci pour éviter les usures d’axe et donner au dispositif une meilleure longévité.

M6-SQ6

Lorsque la jambe droite est mise en avant, sur une patinoire horizontale où aucune forceextérieure n’existe parallèlement au sol, la jambe gauche recule afin que le centre de masse resteimmobile dans sa position initiale. Sur un sol normal c’est l’action de contact qu’exerce le sol surle pied gauche qui l’empêche de reculer et permet à la personne d’avancer. Ou à un véhicule dedémarrer, à un cylindre de tourner, à une corde de violon d’être entraînée par l’archet,. . . L’idéequ’une force de frottement « freine » un mouvement est donc loin d’être toujours juste !

M6-SQ7

Attention : les bras de levier étant inégaux, on n’a pas l’égalité des masses sur les deux plateaux !Il faut traduire que la somme algébrique des moments est nulle, mais comme l’un est positif etl’autre négatif, cela revient à écrire l’égalité des deux moments en valeur absolue.

m′

1g.l = mg.l

mg.l = m′

2g.l

}

⇒ m =√

m′

1.m′

2

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