130, grupa 1 1. kolokvij iz MATEMATIKE 2 2013./2014.

1. (5 bodova) Izra£unajte ∫ √x+ 1 + 2

(x+ 1)2 −√x+ 1

dx.

2. (5 bodova) Izra£unajte ∫x2 sin x

cos3 xdx.

3. (7 bodova) Izra£unajte povr²inu ravninskog lika ome�enog krivuljama y = 1x2 , y = x i

y = 4 integriraju¢i po x i po y. Skica obavezna.

4. (8 bodova) Odredite i nacrtajte podru£je de�nicije funkcije

f(x, y) = ln(x+ y) +x√

4− x2 − y2

te izra£unajte ∂f∂x.

5. (a) (5 bodova) De�nirajte primitivnu funkciju. Navedite primjer. Dokaºite da je deri-vabilna primitivna funkcija jednozna£no odre�ena do na aditivnu konstantu.

(b) (5 bodova) �to je nepravi integral? Opi²ite kriterije konvergencije za nepravi in-tegral (majoranta, minoranta, apsolutna konvergencija). Navedite primjer nepravogintegrala koji je divergentan.

(c) (5 bodova) Kako glasi Schwartzov teorem? Pokaºite da on vrijedi na primjerufunkcije f (x, y) = cos (2xy2) .

Rje²enja:

1. I = 2 ln∣∣√x+ 1− 1

∣∣− ln∣∣√x+ 1 + x+ 2

∣∣− 2√3

3arctan 2

√x+1+1√

3+ C.

2. I = x2

2 cos2 x− x tanx− ln |cos x|+ C.

3. I = 112.

4. D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4, y > −x}∂f∂x

= 1x+y

+ 4−y2√4−x2−y2(4−x2−y2)