Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERZA V LJUBLJANI
EKONOMSKA FAKULTETA
MAGISTRSKO DELO
PARADOKSI IN ZMOTE SKOZI RAZVOJ
TEORIJE O ODLOCANJU V RAZMERAH
TVEGANJA IN V RAZMERAH
NEGOTOVOSTI
Ljubljana, september 2005 MARTIN RAJGELJ
IZJAVA
Študent Martin Rajgelj izjavljam, da sem avtor tega magistrskega dela, ki sem ga napisal
pod mentorstvom prof. ddr. Ludvika Bogataja ter somentorstvom doc. dr. Aljoše Feldina in
skladno s 1. odstavkom 21. clena Zakona o avtorskih in sorodnih pravicah dovolim objavo
magistrskega dela na fakultetnih spletnih straneh.
V Ljubljani, dne 15. 09. 2005 Podpis:
Kazalo
1 Uvod 1
2 Opredelitve nekaterih pojmov 5
2.1 Tveganje nasproti negotovosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Nedolocljivost (nejasnost) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Teorija pricakovane koristnosti (EUT) (razmere tveganja) 7
3.1 Bernoullijeva ,nova teorija’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.1 Vpeljava pricakovane koristnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.2 Sanktpeterburški paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.3 Kritika Bernoullijeve teorije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Von Neumann-Morgensternova teorija (VNM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1 Von Neumann-Morgensternov aksiomski sistem . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.2 Aksiom neodvisnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.3 Von Neumann-Morgensternova funkcija koristnosti . . . . . . . . . . . 16
3.2.4 Odnos do tveganja: zavracanje, naklonjenost in nevtralnost do tveganja 19
3.2.5 Arrow-Prattova mera absolutnega zavracanja tveganja . . . . . . . . . 21
3.3 Prilagoditve modela EU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Friedman-Savageeva hipoteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.2 Markowitzeva hipoteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Subjektivna pricakovana koristnost (SEU) 26
4.1 Izkrivljanje verjetnosti (razmere tveganja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.1 Ramseyeva ideja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.2 Prilagoditev modela vNM s subjektivno verjetnostjo . . . . . . . . . . 27
4.1.3 Preston-Barattov eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.4 Mosteller-Nogeejev eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Savageeva teorija (razmere negotovosti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.1 Savageevo nacelo gotovosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.2 Savageeva osebna verjetnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.3 Model subjektivne pricakovane koristnosti (SEU) . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Edwardsov prispevek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Neposredni izzivi von Neumann-Morgensternovi in Savageevi teoriji 33
5.1 Allaisev paradoks (razmere tveganja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.1 Predstavitev problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.2 Skupna posledica Allaisevega primera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.3 Dokazi za in proti Allaisevemu obnašanju . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.4 Ucinek skupne posledice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.1.5 Ucinek gotovosti v Allaisevem primeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Ellsbergov paradoks (razmere negotovosti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 Teorija izgledov (razmere tveganja) 39
6.1 Kritika teorije EU in prispevek teorije izgledov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Ucinek gotovosti in ucinek skupnega razmerja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3 Ucinek zrcaljenja in vzorec cetvernega odnosa do tveganja . . . . . . . . . . . 40
6.4 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4.1 Fazi urejanja in ovrednotenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4.2 Funkcija vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.4.3 Funkcija uteži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.4.4 Razlaga odnosa do tveganja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.5 Aplikacija teorije izgledov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.6 Omejitve in kritika teorije izgledov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.6.1 Samokritika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.6.2 Kršitve stohasticne dominantnosti (monotonosti) ter
intranzitivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.6.3 Debata o deskriptivni veljavnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.6.4 Pomen teorije izgledov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Alternative teoriji izgledov (razmere tveganja) 55
7.1 Sprostitve aksioma neodvisnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.1.1 Allaisev paradoks z Marschak-Machinovim trikotnikom . . . . . . . . 55
7.1.2 Machinova hipoteza razprostiranja navzven . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1.3 Kršitve Machinove hipoteze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.1.4 Aksiom vmesnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.1.5 Kršitve aksioma vmesnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.6 Sprostitve aksioma vmesnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2 Od razvrstitve odvisna pricakovana koristnost (model RDEU) . . . . . . . . . 61
7.2.1 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2.2 Prednosti modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2.3 Intuicija modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.3 Teorija obžalovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.3.1 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.3.2 Testi teorije obžalovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8 Kumulativna teorija izgledov (razmere tveganja in razmere negotovosti) 67
8.1 Posplošitev originalne teorije izgledov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2.1 Funkcija vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.2.2 Kapaciteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.2.3 Funkcija uteži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.3 Testi kumulativne teorije izgledov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.3.1 Testi funkcije vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.3.2 Testi funkcije uteži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.4 Kumulativna nasproti originalni teoriji izgledov . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9 Smeri raziskovanja po kumulativni teoriji izgledov (razmere tveganja in razmere
negotovosti) 78
9.1 Funkcijske oblike funkcije uteži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.2 Raziskovanje v razmerah negotovosti nasproti raziskovanju v razmerah tveganja 80
9.2.1 Subaditivnost in Fox-Tverskyjev model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.2.2 Nenaklonjenost nedolocljivosti in odvisnost od vira . . . . . . . . . . . 82
10 Sklep 83
Literatura in viri 85
A Nekateri dokazi i
A.1 Dokaz o eksistiranju von Neumann-Morgensternove funkcije koristnosti . . . i
A.2 Dokaz o enolicnosti von Neumann-Morgensternove funkcije koristnosti do
pozitivno afine transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
A.3 Dokaz veljavnosti Arrow-Prattove mere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Slike
3.1 Von Neumann-Morgensternova funkcija koristnosti . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Friedman-Savageeva funkcija koristnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Markowitzeva funkcija koristnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1 Preston-Barattova mera subjektivne verjetnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.1 Glavni komponenti Kahneman-Tverskyjeve (1979) teorije . . . . . . . . . . . . 44
7.1 Marschak-Machinov trikotnik in Allaisev paradoks . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.1 Funkciji uteži v obliki zrcalne crke S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Tabele
5.1 Allaisev primer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Skupna posledica Allaisevega primera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3 Ellsbergov primer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.1 Vzorec cetvernega odnosa do tveganja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.1 Starmer-Sugdenov eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Slovarcek slovenskih prevodov
tujih izrazov
act – dejanje
additivity – aditivnost
advanced microeconomic theory – mikroekonomija višjega nivoja
ambiguity – nedolocljivost
ambiguity aversion – nenaklonjenost nedolocljivosti
asset pricing model – model vrednotenja premoženja
asymmetric – asimetricen
belief – prepricanje
betweeness – vmesnost
bounded rationality – omejena racionalnost
cancellation – izlocitev
certainty effect – ucinek gotovosti
certainty (cash, income) equivalent – zagotovljeni (denarni) ekvivalent
coalescing – združevanje
coding – kodiranje
combination – kombiniranje
common consequence – skupna posledica
common consequence effect – ucinek skupne posledice
common ratio effect – ucinek skupnega razmerja
consumer unit – gospodinjstvo
cumulative prospect theory (CPT) – kumulativna teorija izgledov
customary wealth – obicajno premoženje
decision weight – utež pri odlocanju
detection of dominance – odkrivanje dominantnosti
diminishing marginal utility of wealth – nacelo padajoce mejne koristnosti premoženja
disappointment-aversion theory – teorija zavracanja razocaranj
disposition effect – ucinek razpolaganja
editing phase – faza urejanja
emolumentum medium – povprecna koristnost
endowment effect – ucinek pridobitve
equity premium – premija za delnice
equivalence class – ekvivalencni (indiferencni) razred
evaluation phase – faza ovrednotenja
event-splitting effect – ucinek razcepitve dogodkov
expected utility (EU) – pricakovana koristnost
expected value – pricakovana vrednost
fanning out – razprostiranje navzven
favorite/long shot bias – nadproporcionalno izbiranje drznih stav
fourfold pattern of risk attitudes – vzorec cetvernega odnosa do tveganja
framing phase – faza umestitve loterij v okvire
gamble (lottery, prospect) – loterija
house money effect – ucinek pridobljenega denarja
implicit expected utility theory – teorija implicitne pricakovane koristnosti
implicit weighted utility theory – teorija implicitne tehtane koristnosti
income – dohodek
independence axiom – aksiom neodvisnosti
index of loss aversion – indeks nenaklonjenosti izgubam
indifference (inflection, fixed) point – prelomna tocka
isolation effect – ucinek osamitve
juxtaposition effect – ucinek primerjanja
law of combination – združitveno pravilo
loss aversion – nenaklonjenost izgubam
mixed fan hypothesis – hipoteza mešanega razprostiranja
mixture symmetry – simetrija sestavljanja
overweighting probabilities – pripisovanje uteži, ki so vecje od pripadajocih verjetnosti
personal probability – osebna verjetnost
principle of bounded subadditivity – nacelo omejene subaditivnosti
principle of diminishing sensitivity – nacelo padajoce obcutljivosti
probability triangle – verjetnostni trikotnik
prospect pessimism – pesimizem pri loteriji
prospect theory – teorija izgledov
psychological probability – psihološka verjetnost
quadratic utility theory – teorija kvadraticne koristnosti
rank- and sign-dependent utility (RSDU) – od razvrstitve in predznaka odvisna koristnost
rank-dependent expected utility (RDEU) – od razvrstitve odvisna pricakovana koristnost
reference point – referencna tocka
reflection effect – ucinek zrcaljenja
reflective – reflektiven
regressive – regresiven
regret – obžalovanje
regret—rejoice function – funkcija obžalovanja – zadovoljstva
regret theory – teorija obžalovanja
risk – tveganje
risk-averse behavior – zavracanje tveganja
risk-neutral behavior – nevtralnost do tveganja
risk premium – premija za tveganje
risk-seeking (risk-loving) behavior – naklonjenost tveganju
segregation – segregacija
simple decision weighted utility – enostavna tehtana koristnost pri odlocanju
simplification – poenostavitev
source dependence – odvisnost od vira
status quo bias – pristranost obstojecega stanja
strong mixture symmetry – mocna simetrija sestavljanja
subadditivity – subaditivnost
subcertainty – podgotovost
subjective expected utility (SEU) – subjektivna pricakovana koristnost
subproportionality – subproporcionalnost
substitution axiom – aksiom substitucije
supercertainty – nadgotovost
support theory – teorija podpore
sure-thing principle – nacelo gotovosti
theory of anticipated utility – teorija anticipirane koristnosti
uncertainty – negotovost
utility function – funkcija koristnosti
vagueness – nejasnost
valuation phase – faza vrednotenja
value function – funkcija vrednosti
weighting function – funkcija uteži
A B S T R A C T. Expected utility theory (EUT) can be considered as the
major paradigm in decision making under risk and uncertainty since the
Second World War. It constitutes a key building block of a vast range of eco-
nomic theory. The EU model has consequently been the focus of much the-
oretical and empirical research, including various interpretations and de-
scriptive modifications as to its mathematical form. It has been challenged
on several grounds from both within and outside economics. An enormous amount of
theoretical effort has been devoted towards developing alternatives to EUT, so called non-
expected utility models, and this has run hand-in-hand with an ongoing experimental pro-
gramme aimed at testing those theories. In recent years non-EU models have given us sig-
nificantly better explanations of observed behavior like insurance behavior and the demand
for assets. Today choice under risk and uncertainty is still a field in flux. This master-thesis
compares the major theoretical and empirical studies bearing on both the EU and non-EU
models and discusses what has been learned in the hunt for a descriptive theory of choice
under risk and uncertainty, and its organization reflects the dichotomy between numerous
different models. The main purposes of the thesis are to establish a modern insight into
decision making under risk and uncertainty, to investigate the role of this field in modern
economic theory and to examine guidelines for future research.
A’ : [email protected]
1
UvodVeliko odlocitev, tako ekonomskih kot drugih, vkljucuje tveganje (angl. risk) ali ne-
gotovost (angl. uncertainty) glede izida ob izbrani možnosti. Prakticno ni moc najti
odlocitve, ki ne bi imela posledice v prihodnosti, torej se pri vsakem odlocanju
soocamo s tveganjem ali negotovostjo. Medtem ko lahko oseba, ki se odloca, pozna
verjetnosti možnih dogodkov in s tem povezane verjetnosti možnih izidov (pri cemer
ima lahko vec razlicnih dogodkov za posledico isti izid), koncni rezultat odlocitve
ni znan, vse dokler ne pride do realizacije.
,Blago’, ki vkljucuje tveganje ali negotovost, se v raziskovanju individualnega
odlocanja imenuje loterija (angl. gamble, lottery, prospect). Loterije »predstavljajo
tveganje v relativno cisti obliki, z malo primesi drugih dejavnikov. [...] To je blago,
ki že stoletja ostaja nespremenjeno, ki je enako povsod po svetu, in s katerim se je
mocno trgovalo v vseh obdobjih in širom po svetu. Težko si je zamisliti katerokoli
drugo blago, za katero bi to veljalo.« (Friedman in Savage, 1948, str. 287).
Globlje razumevanje odlocitev, ki vkljucujejo tveganje ali negotovost, ni možno
brez veljavno zgrajene konsistentne teorije, ki vsebuje tudi deskriptivno veljavnost.
Zato sta najpomembnejši in hkrati tudi najširši vprašanji, s katerima se ukvarja
raziskovanje individualnega odlocanja v razmerah tveganja in v razmerah nego-
tovosti, vprašanje, kako naj bi se posameznik v takšnih razmerah obnašal, in vprašanje,
kako se posameznik v takšnih razmerah dejansko obnaša.1 Prvo vprašanje je norma-
tivno, drugo deskriptivno.2 Tretja kategorija raziskovanja, ki skuša podati prakticni
pripomocek pri odlocanju, je preskriptivna (Starmer, 2000, str. 334).
Standardna teorija individualnega odlocanja v razmerah tveganja, tj. teorija
pricakovane koristnosti, je ena od najpomembnejših sestavin ekonomske teorije. Ta
teorija je bila zelo uspešno uporabljena na mnogih pomembnih podrocjih ekonomije,
npr. kot podstat teorije iger (von Neumann in Morgenstern, 1953). Vendar teorija
pricakovane koristnosti že dolgo ni vec sposobna razložiti pojavov, ki jih je možno
1Raba moške oblike za oznacevanje oseb se v celotnem delu nanaša na osebe obeh spolov.2Predvidljive sistematicne razlike med normativnimi modeli obnašanja in dejanskim obnašanjem
so po Simonu (1957, str. 198) posledica omejene racionalnosti (angl. bounded rationality): »Kapaciteta
clovekovega mišljenja za formuliranje in reševanje kompleksnih problemov je zelo majhna v primer-
javi z zahtevnostjo problemov, ki naj bi jih rešili z objektivno racionalnim obnašanjem v resnicnem
svetu ali celo z nepretiranim približanjem takšni objektivni racionalnosti.«
1
opaziti v dejanskem okolju, kar ekonomiste, zlasti v zadnjih 50-ih letih, žene k
nenehnemu iskanju deskriptivne teorije odlocanja, ki bi bila elegantna, splošno vel-
javna in matematicno pravilna. Cilj vseh teh raziskav je posplošiti standardno teorijo
odlocanja, tj. sprostiti njene predpostavke do tolikšne mere, da bi imela vse prej nave-
dene želene lastnosti.
Raziskovanje na tem podrocju ima torej relativno dolgo, slavno in interdisci-
plinarno zgodovino: na seznamu raziskovalcev, ki so prispevali k temu podrocju,
so nekatera najbolj znana imena s podrocja ekonomije, tudi vec Nobelovih nagra-
jencev za ekonomijo.3 V sodobni ekonomski znanosti tako skoraj ni podrocij, ki bi v
neprestanem iskanju teorije, ki bi bila bolj usklajena z dejanskim obnašanjem, vzdrže-
vala tako mocno povezovanje teorije in empiricnih dokazov. Mnogim teoretikom
je naravna prioriteta raziskovanja prav razvoj boljšega razumevanja determinant
teorije tovrstnega odlocanja, kot je zapisal že Machina (1987, str. 121): »Dandanes je
odlocanje v razmerah negotovosti podrocje nenehnega uvajanja novosti: standardna
teorija je izzvana z vec strani, tako znotraj kot izven ekonomske znanosti.«
Kljub povedanemu se v sodobni ekonomski teoriji, predstavljeni v ucbenikih
mikroekonomije višjega nivoja (angl. advanced microeconomic theory) kot glavni
model odlocanja na omenjenem podrocju (še vedno) pojavlja model pricakovane ko-
ristnosti, medtem ko drugi modeli vecinoma sploh niso omenjeni (npr. Kreps, 1990;
Varian, 1992; Mas-Colell, Whinston in Green, 1995; Jehle in Reny, 2001). Kakorkoli
že, nerealisticno bi bilo pricakovati, da bi katerakoli teorija individualnega obnašanja
vselej podajala pravilne napovedi. Starmer (2000, str. 337) meni, da je »morda naj-
vec, kar lahko pricakujemo, da bi bili odkloni od takšne teorije enako verjetni v
vseh smereh,« Kahneman (2000, str. xi) pa razmišlja o smislu vlaganja tako velikih
naporov v teorijo, za katero vemo, da je podrocje njenih aplikacij tako omejeno in
umetno. Menil je, da je izbiranje med loterijami »zelo enostaven primer, ki vsebuje
mnoge bistvene elemente veliko bolj obsežnih problemov,« pri proucevanju loterij
pa naj bi upali, da se bodo »nacela, ki vladajo enostavnemu primeru, v prepoznavni
obliki razširila na kompleksne situacije«.
Raziskovanje na predstavljenem podrocju se sooca z nekaterimi resnimi ome-
jitvami: vecinoma je omejeno na odlocanje v razmerah tveganja in na odlocanje v3Seznam Nobelovih nagrajencev za ekonomijo, ki so neposredno prispevali k raziskovanju od-
locanja v razmerah tveganja in v razmerah negotovosti, vsebuje naslednja imena (urejena so kro-
nološko, kjer letnice predstavljajo leto podelitve nagrade): Paul A. Samuelson (1970), Kenneth J. Ar-
row (1972), Milton Friedman (1976), Herbert A. Simon (1978), George J. Stigler (1982), Maurice
Allais (1988), Harry Markowitz (1990), Daniel L. McFadden (2000), Michael A. Spence (2001), Joseph
E. Stiglitz (2001) in nedavni nagrajenec (skupaj z Vernonom L. Smithom) Daniel Kahneman (2002)
(Timeline of Nobel Prize Winners: Economics, 2005).
2
staticnih situacijah, ceprav je odlocanje v razmerah negotovosti in odlocanje v di-
namicnih situacijah precej bolj realisticno, hkrati pa bistveno bolj kompleksno. Ed-
wards (1961, str. 474) je to povzel: »Staticni modeli delujejo vsaj do dolocene mere,
teoreticne in eksperimentalne težave pa postanejo v vecini dinamicnih primerov
neobvladljivo kompleksne.« Kljub tem omejitvam ima predstavljeno raziskovanje
smisel, saj lahko na podlagi razumevanja enostavnejših primerov sklepamo o ob-
našanju v svetu dinamicne realnosti in negotovosti.
Navkljub stalnim prizadevanjem in s tem povezanim velikim številom objavlje-
nih prispevkov na obravnavanem podrocju, je cutiti precejšnjo potrebo po prispevku,
ki bi na enem mestu podal celovit in sistematicen pregled tematike od njenega nas-
tanka do danes, ter s tem predstavil, v kateri smeri se bodo v prihodnosti razvijali
aktualni modeli. Obstaja nekaj objav (npr. Schoemaker, 1982; Machina, 1987; Fish-
burn in Wakker, 1995; Starmer, 2000), ki vkljucujejo tudi preglede znanja iz casa
posamezne objave, vendar so ti pregledi dalec od celovite obravnave aktualne te-
matike.
Namen magistrskega dela je zatorej ob zadostni poglobljenosti vzpostaviti celo-
vito kriticno analizo teoreticnega in empiricnega raziskovanja individualnega od-
locanja v razmerah tveganja in v razmerah negotovosti, vzpostaviti sodobno opre-
delitev te tematike in razumevanje njene vloge v sodobni ekonomski teoriji, ter na
podlagi teh opredelitev podati iztocnice za nadaljnja raziskovanja na tem podrocju.
Za dosego namena je poleg globljega razumevanja posameznih idej potrebna
dolocena mera širine tako v analizi kot v izbrani strokovni literaturi. V delu
so uporabljene znanstvene metode deskripcije, analize, komparacije in sinteze.
Proucevani so razlicni teoretski pogledi in empiricno dobljeni rezultati, hkrati pa
so teoreticno preverjane povezave in odnosi med temi teoretskimi pogledi in/ali
empiricnimi rezultati. Na obravnavanem podrocju sicer vlada velika heterogenost
v uporabljeni notaciji, notacija, uporabljena v tem delu, pa sledi najsodobnejšim
obravnavam. Zaradi doseganja konsistentnosti in koherentnosti podane vsebine so
na mestih, kjer ni naveden vir, uporabljene lastne izpeljave in drugi prikazi.
Poleg opisanega je za dosego namena nujna sistematicna strukturiranost. Skozi
vsa poglavja se izgrajuje kriticna analiza proucevanih teorij in empiricnih raziskav,
hkrati z njo pa tudi sodobna opredelitev obravnavane tematike in pogoji za opre-
delitev iztocnic za nadaljnja raziskovanja. Najprej, v drugem poglavju, so podane
definicije nekaterih osnovnih pojmov na obravnavanem podrocju. Tretje poglavje
predstavlja standardno teorijo pricakovane koristnosti skupaj z njenimi omejitva-
mi in kritikami. V cetrtem poglavju so podani empiricni dokazi za deskriptivno
neveljavnost teorije pricakovane koristnosti, kjer sta predstavljeni teorija, ki opu-
3
šca predpostavko o linearnih verjetnostih, ter razširitev teorije pricakovane korist-
nosti na razmere negotovosti. Peto poglavje obravnava glavne neposredne izzive
teoriji pricakovane koristnosti tako v razmerah tveganja kot v razmerah nego-
tovosti. V šestem poglavju je obravnavana prelomna Kahneman-Tverskyjeva teorija
za razmere tveganja in njene omejitve, v sedmem poglavju pa so predstavljeni vidiki
vec teorij iz obdobja, ki je sledilo tej prelomni teoriji. Osmo poglavje prikaže razšir-
jeno Kahneman-Tverskyjevo teorijo in empiricna testiranja le-te, deveto poglavje pa
podaja pregled rezultatov teoreticnega in empiricnega dela v obdobju po tej teoriji.
Sklepno, deseto poglavje povzema rešena in odprta vprašanja ter podaja iztocnice
za nadaljnje delo na obravnavanem podrocju. V dodatku so priloženi daljši dokazi
nekaterih pomembnejših formulacij.
4
2
Opredelitve nekaterih pojmov
2.1 Tveganje nasproti negotovosti
V veliki vecini obravnavane literature s podrocja individualnega odlocanja v razme-
rah tveganja in v razmerah negotovosti obstaja jasno razlocevanje med tveganjem
in negotovostjo. Kot je opredelil že Knight (1921, str. 233): »Prakticna razlika med
obema kategorijama, tveganjem in negotovostjo, je ta, da je v primeru tveganja po-
razdelitev možnih izidov znana bodisi na podlagi a priori izracuna bodisi na podlagi
statistike preteklih dogodkov, kar pa v primeru negotovosti ne velja. Razlog je v
splošnem ta, da ni možno oblikovati množice možnih izidov, saj je obravnavana
situacija v veliki meri edinstvena.«
Arrow (1951, str. 417, 426–427) se je spraševal o nujnosti tega razlocevanja:
»Knight ni podal nobene formalne metode za opis negotovosti ali ocen, je pa obrav-
naval nekaj njihovih lastnosti. [...] Izgleda, kot da imajo Knightove negotovosti
presenetljivo mnogo lastnosti navadnih verjetnosti, in ni jasno, kolikšna je prido-
bitev razlikovanja. [...] Pravzaprav njegove negotovosti povzrocajo približno enake
reakcije posameznikov, kot jih drugi avtorji pripisujejo tveganju.« Mas-Colell, Whin-
ston in Green (1995, str. 207) pa navajajo: »V nekem smislu je (Savageeva) teorija
subjektivne verjetnosti to razlikovanje iznicila z redukcijo celotne negotovosti na
tveganje in sicer z uporabo prepricanj izraženih kot verjetnosti.«
Kakorkoli že, dandanes je širše sprejeto, da je tveganje definirano v situacijah,
v katerih se odlocamo na podlagi objektivno danih verjetnosti, da se bodo uresnicili
doloceni dogodki (npr. pri metu poštenega kovanca, kocke, pri vrtenju rulete, itd.),
negotovost pa je definirana v situacijah, v katerih so verjetnosti odvisne od dogod-
kov, pri cemer so ti dogodki podmnožice prostora stanj, kjer se zagotovo uresnici
natanko eno od stanj. Verjetnosti teh dogodkov so tukaj subjektivno dolocene, tako
da mora oseba, ki se odloca, oceniti oz. na nek nacin sklepati o verjetnostih (npr. pri
odlocitvah o varcevanju, investiranju, zavarovanju, ipd.). Odlocanje v razmerah
tveganja lahko obravnavamo kot posebni primer odlocanja v razmerah negotovosti
(Fishburn in Wakker, 1995, str. 1137).
5
2.2 Nedolocljivost (nejasnost)
Poseben pomen ima tudi pojem, ki ga oznacujeta izraza nedolocljivost (angl. am-
biguity) oz. nejasnost (angl. vagueness). Ellsberg (1961, str. 657) je nedolocljivost
definiral kot »kvaliteto, odvisno od kolicine, tipa, zanesljivosti in ,soglasnosti’ infor-
macij, ki je vzrok za posameznikovo stopnjo ,zaupanja’ v njegovo oceno verjetnosti.«
Nedolocljivost razume kot pogoj, ki se nahaja med dvema ekstremoma: popolnim
ignoriranjem in tveganjem. Popolno ignoriranje obstaja, ko »osebe pri odlocanju
nimajo nobenih informacij o verjetnostih,« tveganje pa obstaja, »ko želi posameznik
svojo odlocitev osnovati na doloceni in natancni izbiri porazdelitve, lastne temu
primeru.« Nedolocljivost po njegovem mnenju ni niti ignoriranje niti tveganje. Ob-
staja, ko oseba pri odlocanju »ne ve zadosti o problemu, da bi lahko izlocila številne
možne porazdelitve,« tj. ko oseba pri odlocanju misli, da lahko obstaja vec ,razum-
nih’ relevantnih verjetnostnih porazdelitev.
Tversky in Fox (1995, str. 281) sta navedla, da »vecina odlocitev v razmerah
negotovosti leži nekje med tema dvema ekstremoma: ljudje navadno ne poznajo
verjetnosti, ki pripadajo relevantnim izidom, vendar pa imajo neko nejasno pred-
stavo o tem, kako verjetno se le-ti lahko zgodijo.«
6
3
Teorija pricakovane koristnosti (EUT)(razmere tveganja)
3.1 Bernoullijeva ,nova teorija’
3.1.1 Vpeljava pricakovane koristnosti
V razvoju moderne verjetnostne teorije v 17. stoletju so matematiki, kot sta denimo
Blaise Pascal in Pierre de Fermat, predpostavljali, da je privlacnost loterije dana z
njeno pricakovano vrednostjo (angl. expected value). Privlacnost loterije, ki ponuja
vektor placil (tj. pozitivni ali negativni denarni ali istorodni nedenarni zneski) ~x =
(x1, . . . , xn) z vektorjem pripadajocih verjetnosti ~p = (p1, . . . , pn), kjer je pi > 0 za
i = 1, . . . ,n in∑n
i=1 pi = 1, tj. loterije g = (p1 ◦ x1, . . . , pn ◦ xn),4 naj bi bila torej dana z
(Machina, 1987, str. 122):
E(g) =n∑
i=1
pixi.5 (3.1)
Predpostavka, da se ljudje dejansko obnašajo v skladu s tem modelom, v mnogih
tveganih situacijah ni veljavna, saj ljudje za nakupe posameznih loterij mnogokrat
odštejejo drugacne zneske, kot so pricakovane vrednosti teh loterij. Kot je te raz-
like predstavil Edwards (1954, str. 391): »Ljudje so pripravljeni kupiti zavarovanje,
ceprav prodajalec zavarovanj ustvarja dobicek. Ljudje so pripravljeni kupiti srecke
na loterijah, ceprav loterija ustvarja dobicek.«
Daniel Bernoulli (1738/1954) je že v zacetku 18. stoletja zavracal pricakovano
vrednost kot kriterij za sprejemanje tveganih odlocitev, kar je dokazoval s tem, da v
splošnem dve osebi z razlicnimi željami in razlicnim stanjem premoženja identicni
loteriji ne pripisujeta enakih vrednosti (prav tam, str. 23–24). Predlagal je model
maksimiranja pricakovane koristnosti (angl. expected utility (EU)), ki ga je formuliral
takole (prav tam, str. 24): »Ce koristnost vsakega možnega pricakovanega dobicka
4Pri zapisu loterij bomo lahko komponente, ki imajo pi = 0 ali xi = 0, izpustili. Prav tako bomo
lahko degenerirano loterijo (1 ◦ xi) enostavno zapisali s placilom xi (kot bomo videli, bodo v nadaljnji
obravnavi placila xi razširjena na izide ai, torej bomo lahko namesto (1 ◦ ai) enostavneje pisali ai).5Pricakovano vrednost loterije g, ki je podana z zvezno slucajno spremenljivko za placila X in
verjetnostno gostoto p(x) (∫∞
−∞p(x)dx = 1), dobimo z E(g) =
∫∞
−∞xp(x)dx =
∫∞
−∞xdF(x), kjer je F(x)
(kumulativna) porazdelitvena funkcija, torej F(x) =∫ x
−∞p(t)dt za vse x-e (Mas-Colell, Whinston in
Green, 1995, str. 183–185).
7
pomnožimo s številom možnih dogodkov, ob katerih se lahko pojavi, in ce potem
to vsoto produktov delimo s številom vseh možnih dogodkov, dobimo povprecno
koristnost (lat. emolumentum medium), dobicek, ki ustreza tej koristnosti, pa bo
enak vrednosti iskanega tveganja.« Zapisano drugace, pricakovana koristnost lote-
rije g = (p1 ◦ x1, . . . , pn ◦ xn) je dana z:
E(v|g) =n∑
i=1
piv(xi); (3.2)
kjer je v(xi) Bernoullijeva funkcija koristnosti (angl. utility function) za posamezna
gotova placila xi, pi pa so pripadajoce verjetnosti, za katere velja pi > 0 za i = 1, . . . ,n
in∑n
i=1 pi = 1 (Schoemaker, 1982, str. 538).6
Bernoulli (1738/1954, str. 26–28) je predpostavil zvezno funkcijo koristnosti v(x).
Torej mora obstajati nek z gotovostjo dobljeni znesek CE, imenujemo ga zagotovljeni
ali denarni ekvivalent (angl. certainty (cash, income) equivalent) (Friedman in Savage,
1948, str. 289), ki bi nam prinesel enako koristnost, kot je dobljena pricakovana
koristnost loterije, tj. obstajati mora znesek CE, za katerega velja, da je:
v(CE) = E(v|g). (3.3)
Bernoullijeva »vrednost iskanega tveganja« je pravzaprav razlika med pricakovano
vrednostjo loterije E(g) in zneskom CE.
Brez vpeljave funkcije koristnosti po Bernoulliju (1738/1954, str. 24) ni mogoce
izmeriti vrednosti loterije, vendar naj bi bilo malo verjetno, da bi naredili natancne
posplošitve, saj se lahko koristnost neke stvari spreminja z okolišcinami. Bernoulli
(1738/1954, str. 25–27) je predpostavljal, da je posameznikova koristnost funkcija
razmerja med njegovim novonastalim premoženjem w in njegovim trenutnim premožen-
jem w0, pri cemer je w = w0 + x. Pri tem naj bi bilo posameznikovo trenutno
premoženje enako vsoti zacetnega premoženja in sedanje vrednosti prihodnjih do-
hodkov, ali kot pravi: »Za veliko vecino bo najbolj vreden del njihovega tako defini-
ranega premoženja predstavljala njihova produkcijska kapaciteta, ki vkljucuje tudi
talent posameznika in tako npr. tudi berac, ki je sposoben v enem letu priberaciti
deset dukatov, najbrž ne bo pripravljen sprejeti zneska petdesetih dukatov pod pogo-
jem, da v prihodnje ne sme beraciti ali na kak drug nacin služiti denarja.«
Poleg tega je Bernoulli (1738/1954, str. 24) predpostavljal, da bo zelo verjetno
6Pricakovano koristnost loterije g, ki bi bila dana z zvezno slucajno spremenljivko za placila X in
z verjetnostno gostoto p(x) bi dobili kot E(v|g) =∫∞
−∞v(x)p(x)dx =
∫∞
−∞v(x)dF(x) (Varian, 1992, str. 177;
Mas-Colell, Whinston in Green, 1995, str. 184), vendar bo za razjasnitev obravnavane problematike v
nadaljevanju zadostoval prikaz z diskretnimi slucajnimi spremenljivkami.
8
vsako, še tako majhno povecanje posameznikovega premoženja x vedno povzrocilo
povecanje koristnosti, le-to pa naj bi bilo obratno-sorazmerno njegovemu novo-
nastalemu premoženju, tj. predpostavljal je doloceno obliko pojava, ki je postal
znan kot nacelo padajoce mejne koristnosti premoženja (angl. the priciple of dimin-
ishing marginal utility of wealth).7 Kot pravi (ceprav navaja tudi izjeme z obrnjeno
situacijo): »Potemtakem ni dvoma o tem, da tisoc prejetih dukatov veliko vec pomeni
beracu kot bogatašu, ceprav oba pridobita enak znesek.« S tem je Bernoulli pred-
postavil, da ljudje navadno zavracajo tveganje, kar predstavimo s konkavno funkcijo
koristnosti (pogled od spodaj), tj. koristnost zagotovljene pricakovane vrednosti lo-
terije je vecja od pricakovane koristnosti igranja te loterije.
Bernoulli (1738/1954, str. 26–28) je za funkcijo koristnosti privzel logaritemsko
obliko v(w,w0) = b ln w0+xw0= b ln w
w0, kjer sta w0,w > 0, b pa neka pozitivna kon-
stanta.8 Mejna koristnost premoženja v tem primeru znaša ∂v(w,w0)∂w = b
w > 0 in je
torej, kot receno, obratno-sorazmerna premoženju w. Prav tako je razvidno, da
je parcialna funkcija koristnosti v1(w) zaradi logaritemske oblike strogo konkavna
(v′′1 (w) = − bw2 < 0).
3.1.2 Sanktpeterburški paradoks
Bernoulli (1738/1954, str. 31–33) je svoj model uporabil pri razreševanju parado-
ksnega primera, ki je kasneje dobil ime Sanktpeterburški paradoks. Pri tem primeru
gre za iskanje vrednosti loterije, ki z verjetnostjo pi = ( 12 )i ponuja xi = 2i−1 du-
katov za i = 1, 2, . . ., torej za iskanje vrednosti g = (p1 ◦ x1, p2 ◦ x2, p3 ◦ x3, . . .) =
( 12 ◦ 1, 1
4 ◦ 2, 18 ◦ 4, . . .). Ceprav ima ta loterija neskoncno pricakovano vrednost,
E(g) =∑∞
i=1(12 )i2i−1 = 1
2 +12 +
12 + . . . = ∞ dukatov, bi se po mnenju Bernoullijevega
bratranca Nicolasa Bernoullija vsak zmerno razumen clovek za dvajset dukatov z
veseljem odpovedal možnosti igranja.9
Z uporabo enacbe (3.3) dobimo pricakovano koristnost predstavljene loterije
7Iz predpostavke o obratno-sorazmernosti mejne koristnosti premoženja sledi logaritemska
funkcija koristnosti.8Ce trenutno premoženje w0 pribijemo na neko vrednost η, dobimo parcialno funkcijo koristnosti,
v1(w) = b ln wη . Tangenta v poljubni tocki funkcije, T = (wT, b ln wT
η ), ima enacbo y(w) − b ln wTη =
bwT
(w − wT). Ta tangenta seka ordinatno os v tocki z ordinato b ln wTη − b, dotikališce tangente s
funkcijo, T, pa ima ordinato b ln wTη , torej je dolžina b ravno razlika med ordinatama teh dveh tock.
9Nicolas Bernoulli, profesor prava na Univerzi v Baslu, je leta 1713 predstavljeni paradoks in še
štiri druge probleme poslal v obravnavo znamenitemu matematiku Montmortu, ki jih je istega leta
dodal k drugi izdaji svojega dela Esej o analizi iger na sreco (Essai d’analyse sur les jeux de hazard)
(Bernoulli, 1738/1954, str. 33).
9
kot E(v|g) = b2 ln w0+1
w0+ b
4 ln w0+2w0+ . . . + b
2n ln w0+2n−1
w0+ . . . = b ln[(w0 + 1)
12 (w0 + 2)
14 ·
. . . · (w0 + 2n−1)1
2n · . . .] − b ln w0.10 Pri tem išcemo gotovi znesek CE, pri katerem
je v(w0 + CE,w0) = b ln w0+CEw0
enaka zgornji vsoti za E(v|g). Od tod dobimo, da je
CE = (w0 + 1)12 (w0 + 2)
14 · . . . · (w0 + 2n−1)
12n · . . . −w0. Torej naj bi bil ta znesek odvisen
od našega trenutnega premoženja w0 in vecje ko je to premoženje, vecji naj bi bil CE,
vendar pa bi bil ta neskoncno velik le v primeru, ko bi bilo takšno tudi naše pre-
moženje, kar seveda v realnosti ni možno. V skrajnem primeru, ce bi se naše trenutno
premoženje w0 približevalo 0, potem bi se znesek, ki bi ga bili pripravljeni odšteti
za predstavljeno loterijo približeval CE = 2√1 4√2 8√4 16√8 · . . . =∏∞
i=1 2i−12i = 2
∑∞
i=1i−12i = 2
dukatoma. Ce bi naše trenutno premoženje znašalo 10 dukatov, bi nam sanktpeter-
burška loterija prinašala približno tolikšno koristnost kot 3 dukati, ob premoženju
100 dukatov približno kot 4 dukati, ob premoženju 1.000 dukatov pa približno kot
6 dukatov. Iz tega je razvidno, kako ogromno premoženje bi morali imeti, da bi za
loterijo odšteli 20 dukatov.
Zanimivo je, da naj bi nekaj let pred Bernoullijem, leta 1728, povsem neodvisno
do podobnih sklepov prišel tudi švicarski matematik Gabriel Cramer. Kot je po-
jasnil Bernoulli (1738/1954, str. 33–35), naj bi tudi Cramer predpostavil konkavno
obliko funkcije koristnosti. Predlagal naj bi, da se koristnost povecuje s kva-
dratnim korenom placila, tj. v(x) =√
x, x > 0, kjer za razliko od Bernoullija
ni upošteval trenutnega premoženja. Cramer naj bi dobil pricakovano koristnost
E(v|g) = 12
√1 + 1
4
√2 + 1
8
√4 + 1
16
√8 + . . . =
∑∞
i=1(12 )
i+12 = 1 +
√2
2 utilov in odtod zago-
tovljeni ekvivalent CE = (1 +√
22 )2≈ 2, 9 dukata. To pa naj bi bil po Cramerjevem
mnenju znesek, ki kljub neznatnosti ne bi smel biti dalec od ,prave’ vrednosti obrav-
navane loterije.
3.1.3 Kritika Bernoullijeve teorije
Luce in Raiffa (1957, str. 20–21) sta kritiko Bernoullijeve teorije povzela v dveh
tockah: »Prvic, funkcija koristnosti premoženja je popolnoma ad hoc narave. Ob-
staja neskoncno takih funkcij, ki narašcajo s padajoco stopnjo, in zagotovo je lahko
funkcija koristnosti razlicna od osebe do osebe – toda kako? Drugic, zakaj naj bi
bila odlocitev osnovana na podlagi pricakovane vrednosti teh koristnosti? Logicna
osnova za uporabo pricakovane vrednosti navadno vsebuje argument, ki se nanaša
10Pokazati je moc, da je neskoncna vrsta z uporabo Bernoullijeve funkcije koristnosti, kjer ni
upoštevano posameznikovo trenutno premoženje,∑∞
i=1( 12 )ib ln 2i−1 konvergentna:
∑∞
i=1( 12 )ib ln 2i−1 =
b ln 2∑∞
i=1(i − 1)( 12 )i = b ln 2. Vrsta
∑∞
i=1( 12 )iv(2i−1) pa je konvergentna tudi za mnoge druge konkavne
funkcije koristnosti, a ne za vse (Schoemaker, 1982, str. 531).
10
na to, kar se bo zgodilo v daljšem obdobju, ko se bo loterija mnogokrat ponovila.
Ceprav je za igralnico lahko videti prednost takšne interpretacije, pa nikakor ni jasno,
cemu naj bi jo uporabljal posameznik, ki v loteriji sodeluje le enkrat.«
Bernoulli ni pojasnil vprašanja, kako meriti koristnost, niti vprašanja, zakaj naj bi
bilo njegovo nacelo pricakovane koristnosti racionalno. Kot taka je potem Bernoulli-
jeva teorija bolj ali manj deskriptivna, ceprav je lahko v tistem casu njegovo nacelo
pricakovanja uživalo normativno veljavnost (Schoemaker, 1982, str. 531). Bernoulli-
jeva funkcija koristnosti naj bi bila definirana kot klasicna ordinalna funkcija korist-
nosti za razmere gotovosti (Schoemaker, 1982, str. 535).
Kahneman (Goode, 2002, str. F1) meni, da je Bernoullijeva zmota v tem, da naj
bi bila posameznikova funkcija koristnosti odvisna od njegovega trenutnega pre-
moženja. Po Kahnemanovem mnenju naj se njegove preference ne bi spremenile, ce
ima na zacetku milijon dolarjev, pol milijona ali dva, saj kot pravi »noben trgovec
ne bi razmišljal v smislu stanja premoženja. Kot kdorkoli drug, bi tudi on razmišljal
v smislu prejemkov in izgub. To je zelo poenostavljena obrazložitev, toda izkazalo
se je, da je ta vpogled povzrocil pomembno razliko; kajti, ce ljudje ne razmišljajo
na ta nacin in ce dejansko razmišljajo v smislu prejemkov in izgub in ne v smislu
stanja premoženja, potem je vse matematicno analiziranje, ki predpostavlja takšno
obnašanje ljudi, neresnicno.« (prav tam).
Kakorkoli že, Bernoullijev prispevek je šel mnogo dlje od rešitve Sanktpeter-
burškega paradoksa. Dejstvo je, da je bila posplošitev pricakovane vrednosti v
pricakovano koristnost vpeljana in je kot taka ostala pomembna do današnjih dni.
3.2 Von Neumann-Morgensternova teorija (VNM)
3.2.1 Von Neumann-Morgensternov aksiomski sistem
Teorija EU je bila formalno dokazana kot racionalni kriterij odlocanja v razmerah
tveganja šele leta 1947, ko sta von Neumann in Morgenstern v svojem slavnem delu
Teorija iger in ekonomsko obnašanje (Theory of Games and Economic Beahvior) zanjo
postavila aksiomski sistem, tj. množico potrebnih in zadostnih pogojev za pricako-
vano koristnost.11 Ceprav je prva izdaja njunega dela izšla že leta 1944, so se aksiomi
11Von Neumann in Morgenstern (1953, str. 26–27) sta aksiome teorije pricakovane koristnosti
zapisala v smislu ekvivalencnih (indiferencnih) razredov (angl. equivalence class): I1,I2,I3, . . . ∈ U.
Ekvivalencni razred Il∈ U za l = 1, 2, . . ., je definiran kot množica loterij, do katerih je posameznik
indiferenten: dve loteriji g in g′ pripadata istemu ekvivalencnemu razredu, Il, ce in samo ce je
posameznik indiferenten med njima, tj. g, g′ ∈ Il⇔ g ∼ g′ za l = 1, 2, . . .
Pred navedbo aksiomov sta von Neumann in Morgenstern definirala operacijo na ekvivalencnih
11
teorije pricakovane koristnosti pojavili šele v drugi izdaji. Aksiomi imajo (Starmer,
2000, str. 334) normativno (kompleksno teorijo razdelijo na posamezne dele, od
katerih lahko vsakega posebej preverimo kot normativna nacela) in preskriptivno
vrednost (kot prakticno vodilo pri odlocanju). Von Neumann in Morgenstern (1953,
str. 28) sta zapisala, da sta »numericno koristnost prakticno definirala kot koristnost,
za katero je legitimen izracun pricakovane vrednosti.«
Od von Neumann-Morgensternove postavitve sistema aksiomov dalje je bilo
razvitih vec alternativnih sistemov, od katerih so z normativnega vidika nekateri
še posebej privlacni. V interpretaciji Friedmana in Savagea (1948) se je pojavil re-
formulirani aksiom zveznosti, ki bo predstavljen v nadaljevanju. Marschak (1950)
je v svojem pomembnem prispevku reformuliral aksiome von Neumanna in Mor-
gensterna ter jih vpeljal kot definicijo racionalnega obnašanja v razmerah tveganja.
V nadaljevanju so predstavljeni reformulirani von Neumann-Morgensternovi aksiomi
(Luce in Raiffa, 1957, str. 23–29; Jehle in Reny, 2001, str. 93–96).
razredih: (p ◦ I1, (1 − p) ◦ I2
)∼ I
3,
kjer je 0 < p < 1. Pri tem je I3 razumljen kot ekvivalencni razred vseh loterij, ki jih je možno dobiti z
verjetnostno kombinacijo poljubne loterije izI1 z verjetnostjo p in poljubne loterije izI2 z verjetnostjo
1 − p.
Brez izgube na splošni veljavnosti so na tem mestu aksiomi von Neumanna in Morgensterna (1953)
namesto za ekvivalencne razrede predstavljeni za poljubne loterije:
(3:A) Celovito razvršcanje naU
(3:A:a) Celovitost posameznikovih preferenc:
za poljubni loteriji g in g′ velja natanko ena od naslednjih relacij: g ∼ g′,
g � g′, g ≺ g′.
(3:A:b) Tranzitivnost preferenc:
iz g � g′ in g′ � g′′ sledi g � g′′.
(3:B) Razvršcanje in sestavljanje
(3:B:a) Kvazi-konkavnost preferenc:
iz g ≺ g′ sledi g ≺(p ◦ g, (1 − p) ◦ g′
).
(3:B:b) Kvazi-konveksnost preferenc:
iz g � g′ sledi g �(p ◦ g, (1 − p) ◦ g′
).
Zveznost preferenc:
(3:B:c) iz g ≺ g′′ ≺ g′ sledi, da obstaja tak p, da velja(p ◦ g, (1 − p) ◦ g′
)≺ g′′.
(3:B:d) iz g � g′′ � g′ sledi, da obstaja tak p, da velja(p ◦ g, (1 − p) ◦ g′
)� g′′.
(3:C) Algebra sestavljanja
(3:C:a)(p ◦ g, (1 − p) ◦ g′
)∼
((1 − p) ◦ g′, p ◦ g
).
(3:C:b)(p ◦
(α ◦ g + (1 − α) ◦ g′
), (1 − p) ◦ g′
)∼
(β ◦ g, (1 − β) ◦ g′
), kjer je β = αp
(0 < α, β < 1).
12
Naj bo A = {a1, . . . , an} koncna množica izidov, kjer so ti izidi ai za i = 1, . . . ,n
lahko svežnji dobrin, pozitivni ali negativni denarni zneski ali karkoli drugega.
Veljati mora le, da ai ne vsebujejo tveganja. Enostavna loterija gS pripiše vsakemu
izidu iz A, ai, verjetnost pi. Potem je GS, množica enostavnih loterij na A, dana
z GS ={(p1 ◦ a1, . . . , pn ◦ an) | pi > 0,
∑ni=1 pi = 1
}. Loterije, katerih izidi so zopet
loterije, so sestavljene loterije. Naj G oznacuje množico vseh loterij, enostavnih in
sestavljenih. Torej, ce je g poljubna loterija v G, potem je g = (p1 ◦ g1, . . . , pk ◦ gk)
za nek k > 1 in neke gi∈ G, kjer so lahko gi sestavljene loterije, enostavne lo-
terije ali izidi. Seveda morajo biti pi nenegativne in njihova vsota mora biti ena.
Formalna definicija G je dana takole: naj bo G0 = A in za vsak j = 1, 2, . . ., naj bo
G j ={(p1 ◦ g1, . . . , pk ◦ gk) | k > 1; pi > 0 in gi
∈ G j−1 ∀i = 1, . . . , k; in∑k
i=1 pi = 1}; potem
je G =⋃∞
j=0G j. Ob tej definiciji torej velja, da je GS = G1.
Aksiomi za posameznikovo preferencno (binarno) relacijo<, tj. relacija ,imeti vsaj
tako rad kot’, so:
A1 Celovitost: za poljubni dve razlicni loteriji, g in g′ v G, je bodisi g < g′ bodisi
g′ < g.
A2 Tranzitivnost: za poljubne tri loterije g, g′, g′′ v G, ce g < g′ in g′ < g′′, potem
g < g′′.
Ker je vsak ai iz A predstavljen v G kot degenerirana loterija, iz aksiomov A1
in A2 sledi, da so elementi iz A, ki jih je koncno mnogo, razvršceni z <. Brez
izgube na splošni veljavnosti predpostavimo, da so elementi izA oznaceni tako, da
velja a1 < a2 < . . . < an. Potemtakem je smiselno, da nobena loterija ni boljša od
te, ki ponuja a1 z gotovostjo, in nobena slabša od te, ki ponuja an z gotovostjo. Za
poljubno loterijo g se torej zdi smiselno, da je(α ◦ a1, (1 − α) ◦ an
)< g, ko je α = 1,
in g <(α ◦ a1, (1 − α) ◦ an
), ko je α = 0. Naslednji aksiom pravi, da ce v nobenem od
teh dveh ekstremnih primerov ne velja indiferentnost, potem ta mora veljati za neko
vmesno vrednost α.
A3 Zveznost: za poljubno loterijo g v G obstaja neka verjetnost, α ∈ [0, 1], tako
da je g ∼(α ◦ a1, (1 − α) ◦ an
), kjer ∼ oznacuje indiferencno relacijo, ki je izpeljana iz
preferencne relacije <.
Naslednji aksiom izraža idejo, da ce dve enostavni loteriji ponujata le najboljši in
najslabši izid, potem je preferirana tista, ki najboljši izid ponuja z višjo verjetnostjo.
A4 Monotonost: za vse verjetnosti α, β ∈ [0, 1] je(α ◦ a1, (1 − α) ◦ an
)<
(β ◦ a1, (1 −
β) ◦ an
), ce in samo ce α > β.
Opaziti je, da iz monotonosti sledi a1 � an (� oznacuje strogo preferencno relacijo,
ki je prav tako izpeljana iz preferencne relacije <) in je torej izkljucena možnost, da
bi bil posameznik indiferenten do vseh izidov vA.
13
Naslednji aksiom pravi, da je odlocevalec indiferenten med eno in drugo loterijo,
ce je indiferenten med njunima realizacijama in ce te realizacije nastopajo z enakimi
verjetnostmi.
A5 Substitucija: ce sta g = (p1 ◦ g1, . . . , pk ◦ gk) in h = (p1 ◦ h1, . . . , pk ◦ hk) obe v G,
in ce je gi∼ hi za vsak i, potem je g ∼ h.
Naslednji in hkrati zadnji aksiom pravi, da je posamezniku pri obravnavi doloce-
ne loterije mar samo za efektivne verjetnosti, ki jih loterija pripiše vsakemu izidu izA.
Za poljubno loterijo g ∈ G, ce so pi efektivne verjetnosti, ki jih loterija g pripiše izidom
ai, potem pravimo, da g inducira (eno samo) enostavno loterijo (p1◦a1, . . . , pn◦an) ∈ GS.
A6 Redukcija k enostavnim loterijam: za poljubno loterijo g ∈ G, ce je (p1◦a1, . . . , pn◦
an) enostavna loterija inducirana z g, potem je (p1 ◦ a1, . . . , pn ◦ an) ∼ g.
S tem aksiomom (in s tranzitivnostjo A2) so posameznikove preference do vseh
loterij – sestavljenih ali ne – popolnoma dolocene z njegovimi preferencami do eno-
stavnih loterij.
Kot bo prikazano v nadaljevanju, so ti aksiomi o posameznikovih preferencah
zadostni za obstoj funkcije koristnosti, ki ponazarja te preference. Jehle in Reny
(2001, str. 95–96) pravita, da naj bi bilo obnašanje ljudi navadno konsistentno s pred-
stavljenimi aksiomi, vendar pa priznavata, da so možne tudi kršitve monotonosti in
redukcije k enostavnim loterijam. Za primer kršitve monotonosti navajata obnašanje
safari lovca, ki zaradi avanture da prednost loteriji z neko majhno verjetnostjo naj-
slabšega možnega izida (v tem primeru je to njegova smrt) pred loterijo, ki je sicer
ekvivalentna, le da ne vkljucuje tega izida.
Že Luce in Raiffa (1957, str. 26) pa sta bila skepticna glede striktne veljave redu-
kcije k enostavnim loterijam, pri kateri bi bil posameznik indiferenten med igranjem
na igralnem avtomatu dalj casa in med eno samo igro, pri kateri bi mu ponudili
enake efektivne verjetnosti za enake dobitke oz. izgube. To bi veljalo le za igralca,
ki ne bi imel veselja do igranja oz. ki bu mu ne bi bilo mar za atmosfero med igro.
Obliko kršitve redukcije k enostavnim loterijam sta obravnavala tudi Kahneman in
Tversky (1979, str. 271), kar sta poimenovala ucinek osamitve (angl. isolation effect).
Tako sta obravnavala primer, ko je razlicna dekompozicija loterije privedla do ne-
konsistentnih, obrnjenih preferenc subjektov. Subjekti so namrec pri dekompoziciji
ignorirali fazo igre, v kateri so bili izidi dveh loterij enaki, s cimer so kršili pred-
postavko, da so izbire med loterijami dolocene zgolj z verjetnostmi koncnih stanj.
Od vseh kršitev pa je raziskovalkam in raziskovalcem najvecji izziv predstav-
ljalo odkrivanje kršitev aksioma substitucije oz. njegove izvirne oblike – aksioma
neodvisnosti.
14
3.2.2 Aksiom neodvisnosti
Najpogosteje obravnavana ideja je z aksiomatiko teorije EU postal pogoj ali aksiom
neodvisnosti (angl. independence axiom), kasneje reformuliran in znan tudi kot aksi-
om substitucije (angl. substitution axiom). Ta aksiom sicer v delu von Neumanna
in Morgensterna (1953) ni nikjer (razen v predgovoru k tej tretji izdaji) eksplicitno
omenjen, vendar je njegova intuicija prisotna na vec mestih.12 Samuelson (1952,
str. 673) je razkril: »Pred tem (pred letom 1950) so von Neumann-Morgensternovi
aksiomi begali mnoge ekonomiste, vkljucno mene. [...] Marschak, jaz in brez dvoma
tudi drugi smo slutili, da je bil aksiom neodvisnosti v Teoriji iger in ekonomskem
obnašanju implicitno predpostavljen v navedbi konceptov, na katere se nanašajo
aksiomi.« Kakorkoli že, Malinvaud (1952, str. 679) je dokazal, da je v formulaciji von
Neumanna in Morgensterna pogoju neodvisnosti avtomaticno zadošceno.13
Pogoj neodvisnosti se je v objavljeni verziji v ekvivalentni eksplicitni obliki prvic
pojavil v prispevkih Marschaka (1950, str. 120) in Nasha (1950, str. 156) v isti številki
Econometrice, ceprav se je ideja pojavljala že prej. Osnovna ideja njunega aksioma
neodvisnosti je povsem enostavna:
g ∼ g′ ⇒(p ◦ g, (1 − p) ◦ g′′
)∼
(p ◦ g′, (1 − p) ◦ g′′
), ∀p ∈ [0, 1], (3.4)
kjer sta g in g′ poljubni loteriji. Z besedami, ce smo indiferentni med poljubnima
dvema loterijama g in g′, potem smo indiferentni tudi med sestavljenima loterijama;
med loterijo, da imamo g ali g′′ z verjetnostima p, 1 − p, in loterijo, da imamo g′ ali
g′′ z istima pripadajocima verjetnostima p, 1 − p.
12Deloma se ideja o neodvisnosti v delu von Neumanna in Morgensterna (1953) pojavlja v pogojih
kvazi-konkavnosti, (3:B:a), in kvazi-konveksnosti preferenc, (3:B:b). Ta dva pogoja sta šibkejša od
aksioma neodvisnosti, vendar izražata nekaj njegove intuicije.13Na tem mestu je podan dokaz o implikaciji aksioma neodvisnosti iz von Neumann-
-Morgensternovih aksiomov, prirejen po Malinvaudu (1952). Kot predstavljeno, sta von Neu-
mann in Morgenstern pred navedbo aksiomov definirala operacijo na ekvivalencnih razredih:(p ◦ I1, (1 − p) ◦ I2
)∼ I
3 za ∀p ∈ (0, 1). Toda zakaj naj bi takšna operacija imela smisel? Zakaj
naj bi bil I3 ekvivalencni razred? Predpostavljanje tega, kot sta to implicitno storila von Neumann
in Morgenstern, privede do aksioma neodvisnosti. Resnicno, ce je operacija veljavna, potem mora za
poljubni loteriji g, g′ ∈ I1 ter za g′′ ∈ I2 veljati:(p ◦ g, (1 − p) ◦ g′′
)∈ I
3,(p ◦ g′, (1 − p) ◦ g′′
)∈ I
3.
To mora veljati za poljubna I1 in I2; torej, ce je g ∼ g′, potem za poljubno loterijo g′′ velja:(p ◦ g, (1 − p) ◦ g′′
)∼
(p ◦ g′, (1 − p) ◦ g′′
),
kar je aksiom neodvisnosti.
15
Kasneje je aksiom neodvisnosti reformuliral Samuelson (1952, str. 672), ki ga je
podal v dveh oblikah – v mocni:
g � g′ ⇒(p ◦ g, (1 − p) ◦ g′′
)�
(p ◦ g′, (1 − p) ◦ g′′
), ∀p ∈ (0, 1], (3.5)
in šibki obliki:
g < g′ ⇒(p ◦ g, (1 − p) ◦ g′′
)<
(p ◦ g′, (1 − p) ◦ g′′
), ∀p ∈ [0, 1]. (3.6)
Za vse tri predstavljene oblike aksioma neodvisnosti velja, da so ob zadostitvi
pogojem rangiranja in zveznosti ekvivalentne (Fishburn in Wakker, 1995, str. 1132).
Lastnost, ki jo izraža aksiom neodvisnosti, je pravzaprav ekvivalentna linearnosti v
verjetnostih (Machina, 1987, str. 127). Ceprav je pogoj neodvisnosti preskriptiven
argument, je igral kljucno vlogo pri sprejemanju teorije EU kot deskriptivnega mo-
dela odlocanja v razmerah tveganja (prav tam).
Wold (1952) je na nestohasticnem podrocju, na primeru izbire med vinom in
mlekom, pokazal na kršenje aksioma neodvisnosti. Samuelson (1952, str. 672) je to
kršenje komentiral: »Na stohasticnem podrocju uživa neodvisnost veljavnost, ki je
na nestohasticnem podrocju ne uživa.« Prvo glavno kršenje aksioma neodvisnosti
pa je na Pariški konferenci leta 1952 predstavil Allais.
3.2.3 Von Neumann-Morgensternova funkcija koristnosti
Von Neumann in Morgenstern (1953, str. 24–29) sta dokazala, da iz aksiomov, ki
sta jih postavila, sledi obstoj zvezne funkcije koristnosti u(·), ki ohranja preference do
loterij. To pomeni, da vecja koristnost loterije ustreza višji preferenci:
g < g′ ⇔ u(g) > u(g′).14 (3.7)
Zveznost funkcije koristnosti zagotavljajo aksiomi A1 do A3, zaradi ostalih aksi-
omov pa je ta funkcija vec kot samo zvezna: je linearna v efektivnih verjetnostih izidov,
tj. poseduje lastnost pricakovane koristnosti (Jehle in Reny, 2001, str. 96–97). Formalno,
naj bo u : G → R funkcija koristnosti, ki predstavlja < na G. Torej u(g) priredi vsaki
loteriji g ∈ G realno število, ki predstavlja koristnost te loterije. Potem u priredi tudi
vsaki degenerirani loteriji (1 ◦ ai) za ∀i = 1, . . . ,n realno število u(ai), pri cemer se
14Luce in Raiffa (1957, str. 21) navajata: »Zelo grobo receno, von Neumann in Morgenstern sta
pokazala naslednje: ce je oseba sposobna izraziti preference v vsakem možnem paru loterij, pri
cemer obstaja neka osnovna množica možnih izidov, iz katerih so loterije sestavljene, potem je možno
tem osnovnim izidom pripisati koristnosti na takšen nacin, da oseba, ki zasleduje le pricakovano
koristnost, deluje v skladu z lastnim okusom – pod edinim pogojem, da so ti okusi konsistentni.«
16
u(ai) enostavno nanaša na koristnost izida ai. Funkcija koristnosti ima potemtakem
lastnost pricakovane koristnosti, ce in samo ce za vsako g ∈ G velja:
u(g) =n∑
i=1
piu(ai), (3.8)
kjer je (p1 ◦ a1, . . . , pn ◦ an) enostavna loterija inducirana z g. Pri tem velja poudariti,
da ce ima u lastnost pricakovane koristnosti in ce je gs = (p1◦a1, . . . , pn◦an) enostavna
loterija, potem, ker je enostavna loterija inducirana z gs kar gs sama, velja:
u(p1 ◦ a1, . . . , pn ◦ an) =n∑
i=1
piu(ai), ∀~p = (p1, . . . , pn). (3.9)
Posledicno je u na celotni G popolnoma dolocena z vrednostmi, ki jih predpostavlja
na koncni množici izidov A. Možno je dokazati, da ce preference < do loterij v G
zadostujejo aksiomom A1 do A6, tedaj obstaja funkcija koristnosti u : G → R, ki
predstavlja < na G, tako da ima u lastnost pricakovane koristnosti (gl. dokaz A.1).
Takšna funkcija koristnosti se imenuje von Neumann-Morgensternova funkcija korist-
nosti.15
V teoriji EU predstavlja von Neumann-Morgensternova funkcija koristnosti vec
kot samo ordinalne informacije o preferencah, saj je razmerje med razlikama ko-
ristnosti enolicno doloceno s posameznikovimi preferencami (Jehle in Reny, 2001,
str. 101–102). Privzemimo, da < zadošca aksiomom A1 do A6, in brez izgube na
splošni veljavnosti predpostavimo še, da so elementi iz A oznaceni tako, da velja
a1 < a2 < . . . � an. Zaradi A3 in A4 mora za vsak ai za i = 1, . . . ,n − 1 obstajati
natanko ena αi ∈ (0, 1], da je izpolnjeno ai ∼(αi ◦ a1, (1 − αi) ◦ an
), iz cesar potem
sledi u(ai) = u(αi ◦ a1, (1 − αi) ◦ an
)= αiu(a1) + (1 − αi)u(an), kjer druga enacba sledi
iz lastnosti pricakovane koristnosti funkcije u. To enacbo lahko izrazimo v obliki
razmerja:u(a1) − u(ai)u(ai) − u(an)
=1 − αi
αi, ∀i = 1, . . . ,n − 1. (3.10)
15Friedman in Savage (1948, str. 298) sta posameznikovo maksimiranje pricakovane koristnosti
interpretirala: »Hipoteza ne trdi, da posamezniki eksplicitno ali zavestno izracunavajo in primerjajo
pricakovane koristnosti. Pravzaprav ni povsem jasno, kaj naj bi takšna trditev pomenila ali kako bi
jo lahko testirali. Bolj kot to, hipoteza trdi, da se posamezniki pri sprejemanju dolocenih odlocitev
obnašajo, kot da bi izracunavali in primerjali pricakovane koristnosti in kot da bi poznali verjetnosti.
Veljavnost te trditve ni odvisna od tega, ali posamezniki poznajo tocne verjetnosti, še manj od tega, ali
pravijo, da izracunavajo in primerjajo pricakovane koristnosti, ali da mislijo, da jih, ali ce se drugim
zdi tako, ali ce lahko psihologi odkrijejo kakršenkoli dokaz za to, ampak le od tega, ali zagotavlja
dovolj natancna predvidevanja o razredu odlocitev, ki ga hipoteza obravnava. Drugace receno,
testiranje na podlagi rezultatov je edini možni nacin ugotavljanja, ali je formulacija kot da bi za dane
namene dovolj dober približek realnosti ali ne.«
17
Ker je to razmerje med razlikama koristnosti enolicno doloceno z αi in ker je αi
enolicen odsev posameznikovih preferenc, je potem tudi dobljeno razmerje enolicno
doloceno s posameznikovimi preferencami. Od tod sledi, da mora vsaka ponazoritev
preferenc z von Neumann-Morgensternovo funkcijo koristnosti ohranjati to razmerje
konstantno. Zatorej ponazoritev preferenc z von Neumann-Morgensternovo funkcijo
koristnosti predstavlja vec kot samo ordinalne informacije, saj bi se sicer z nekaterimi
monotonimi transformacijami vrednost tega razmerja spreminjala, to pa bi pomenilo,
da tako dobljena ponazoritev ne bi vec posedovala lastnosti pricakovane koristnosti.
Kot sta dolocila von Neumann in Morgenstern (1953, str. 24–25), je razred do-
pustnih ponazoritev preferenc tisti, v katerem je predstavljeno razmerje konstantno,
kar pa se zgodi le ob pozitivno afini transformaciji von Neumann-Morgensternove
funkcije koristnosti. Povedano drugace (Jehle in Reny, 2001, str. 102–104), naj u(·)
predstavlja <. Potem funkcija koristnosti u(·) predstavlja iste preference, ce in samo
ce za vse loterije g za nek skalar α in za nek skalar β > 0 velja (gl. dokaz A.2):
u(g) = α + βu(g). (3.11)
Posameznikovih preferenc torej ne predstavlja le ena von Neumann-Morgen-
sternova funkcija koristnosti, ampak vsaka, ki je dobljena na opisan nacin, takšnih
pa je seveda neskoncno. Zato nas von Neumann-Morgensternova funkcija korist-
nosti ne sme zavesti, da bi absolutnim koristnostim loterij pripisovali neprimerno
pomembnost. Von Neumann-Morgensternove funkcije koristnosti torej ne moremo
uporabiti za merjenje, za koliko ali kolikokrat je neka loterija posamezniku bolj ko-
ristna kot druga, in je, razumljivo, niti ne moremo uporabiti za medosebne primer-
jave koristnosti.
Polega tega sta Luce in Raiffa (1957, str. 32) pokazala, da iz a1 � a2 � a3 � a4 in
u(a1) − u(a2) > u(a3) − u(a4) ne sledi, da bi bila sprememba z a2 na a1 bolj preferirana
kot sprememba z a4 na a3. Schoemaker (1982, str. 533) pa navaja, da von Neumann-
-Morgensternova funkcija koristnosti »ne omogoca nic vec kot ordinalno rangiranje
loterij. [...] Potemtakem von Neumann-Morgensternove funkcije koristnosti ne bi
smeli interpretirati, kot da se z njo meri jakost preferenc v razmerah gotovosti, in je
torej v tem pomenu precej razlicna od neoklasicne kardinalne koristnosti.«
Povzeto receno, glavna razlika med funkcijo u, kot je von Neumann-Morgen-
sternova funkcija koristnosti, in med funkcijo v, kot je Bernoullijeva funkcija korist-
nosti, je, da je u izpeljana iz sistema aksiomov o preferencah in je tako definirana za
razmere tveganja (in za razmere negotovosti, kot bomo videli kasneje), medtem ko
v ne podaja nacina za njeno merjenje in je potem definirana le za razmere gotovosti
(Schoemaker, 1982, str. 533).
18
3.2.4 Odnos do tveganja: zavracanje, naklonjenost in nevtralnost
do tveganja
Friedman in Savage (1948, str. 288–293) sta prikazala, kako je posameznikov odnos
do tveganja v celoti pojasnjen z obliko von Neumann-Morgensternove funkcije ko-
ristnosti u za nenegativne vrednosti premoženja w. Omejimo se na množico izidov
A = R+ (Jehle in Reny, 2001, str. 104–107). Ceprav sedaj množica izidov vsebuje
neskoncno elementov, nadaljujmo z obravnavo loterij, ki pozitivne efektivne verje-
tnosti pripišejo le koncnemu številu izidov, tj. premoženj. Enostavna loterija je sedaj
oblike g = (p1 ◦ w1, . . . , pn ◦ wn), kjer je n neko naravno število, wi so nenegativne
vrednosti premoženja in kjer se nenegativne verjetnosti p1, . . . , pn seštejejo v 1.16
Predpostavimo še, da je posameznikova von Neumann-Morgensternova funkcija
koristnosti u(·) odvedljiva z u′(w) > 0 za vsa premoženja w iz domene A. Pricako-
vana vrednost enostavne loterije g je E(g) =∑n
i=1 piwi.
Naj bo posameznik postavljen pred izbiro med igranjem loterije g in med gotovim
prejemom pricakovane vrednosti te loterije. Z drugimi besedami, posameznik naj
se odloci, ali mu višjo koristnost predstavlja loterija g, u(g) =∑n
i=1 piu(wi), ali pa
zagotovljena pricakovana vrednost te loterije, u(E(g)) = u(∑n
i=1 piwi).
Ker je von Neumann-Morgensternova funkcija koristnosti na celotni G popol-
noma dolocena z vrednostmi, ki jih predpostavlja na koncni množici izidov, A,
zagotavljajo lastnosti posameznikove von Neumann-Morgensternove funkcije ko-
ristnosti na množici enostavnih loterij, GS, popoln opis posameznikovih preferenc
za vse loterije. Zato zadostuje, da se pri obravnavi posameznikovega odnosa do
tveganja osredotocimo na obnašanje u na GS.
Von Neumann-Morgensternova teorija zahteva, da je funkcija koristnosti za
osebe, ki zavracajo tveganje (na G) (angl. risk-averse behavior), strogo konkavna,
u′′(w) < 0 (gl. sliko 3.1a). Tedaj za vsako nedegenerirano enostavno loterijo,17 g ∈ G,
velja, da bi posameznici zagotovljena pricakovana vrednost loterije prinesla višjo
koristnost kot igranje te loterije: u(E(g)) > u(g). Naj bo CE zagotovljeni ekvivalent
loterije g, tj. tisto premoženje, ob katerem je u(CE) = u(g). Iz konkavnosti in iz tega,
da oseba strogo preferira vec denarja kot manj, u′(w) > 0, sledi, da je CE manjši od
pricakovane vrednosti te loterije: CE < E(g). Razlika med E(g) in CE je znesek P, ki
16Tudi v tem okviru je možno dokazati obstoj von Neumann-Morgensternove funkcije koristnosti,
le da je potrebno ustrezno prilagoditi aksiome, ki se sedaj nanašajo na neskoncno množico (Jehle in
Reny, 2001, str. 104).17Enostavna loterija je nedegenerirana, ce in samo ce vsaj dvema razlicnima izidoma pripiše strogo
pozitivni verjetnosti (Jehle in Reny, 2001, str. 105).
19
ga oseba, ki zavraca tveganje, ,placa’, da se izogne tveganju loterije g; ta znesek se
imenuje premija za tveganje (angl. risk premium): P = E(g) − CE.
Slika 3.1: Von Neumann-Morgensternova funkcija koristnosti
(a) Strogo konkavna funkcija koristnosti po-
sameznika, ki zavraca tveganje
(b) Strogo konveksna funkcija koristnosti po-
sameznika, ki je naklonjen tveganju
6
-
���������
-�
-� -�(1–p)(w2–w1) p(w2–w1)
g = (p ◦ w1, (1 − p) ◦ w2)u(E(g)) > u(g)
w1 CE E(g) w2 w
u(w)
u(g)u(E(g))
P
6
-
��������
w1 CEE(g) w2 w
u(w)
u(g)u(E(g))
-� -�(1–p)(w2–w1) p(w2–w1)
g = (p ◦ w1, (1 − p) ◦ w2)u(g) > u(E(g))
Vir: Friedman in Savage, 1948, str. 290; Jehle in Reny, 2001, str. 106.
Osebe naj bi pri odlocanju zavracale tveganje primarno zaradi nacela padajoce
mejne koristnosti premoženja (Edwards, 1954, str. 393), tj. nacela, ki ga je pred-
postavljal že Bernoulli (1738/1954). Friedman in Savage (1948, str. 280) sta kri-
tizirala nacelo padajoce mejne koristnosti. Ce mejna koristnost denarja pada, potem
posameznik, ki maksimira koristnost, ne bo nikoli sodeloval v ,pošteni’ loteriji, na
primer v igri, kjer ima enako možnost dobiti ali izgubiti dolar. Povecanje koristnosti
ob prejetju dolarja bi bilo manjše od zmanjšanja koristnosti ob izgubi dolarja, tako da
je pricakovana koristnost udeležbe v tej igri negativna. Povzela sta, da bi »iz pada-
joce mejne koristnosti in maksimiranja pricakovane koristnosti potemtakem sledilo,
da bi posameznikom vedno morali placati, da bi jih vzpodbudili k prevzetju tvega-
nja. Toda ta implikacija je v dejanskem obnašanju jasno kontradiktorna.« Marshall
naj bi to kontradikcijo razrešil z zavracanjem maksimiranja koristnosti kot razlage
izbir, ki vkljucujejo tveganje (prav tam).
Savage (1954, str. 94) je navedel, da je nacelo padajoce mejne koristnosti »zelo
popularno in so ga le redki, ki so od Bernoullija dalje obravnavali koristnost, za-
vracali ali celo spoznali, da sploh ni bil nujen in bistven del ideje koristnosti«. Po
njegovem mnenju naj bi nacelo »vneto in nekriticno sprejeli le tisti, ki zaradi moral-
nih razlogov zavracajo igranje na sreco.« Baumol (1972, str. 548) pa je zagovarjal
drug pomen mejne koristnosti v von Neumann-Morgensternovi teoriji. Pokazal je,
20
da se mejna koristnost v teoriji vNM ne nanaša na dodatno zadovoljstvo, tako kot
v klasicni ekonomski teoriji za razmere gotovosti, temvec na »mejno stopnjo substi-
tucije med izidom in verjetnostjo prejetja tega izida, ki ga ponuja standardna srecka
za loterijo.« Schoemaker (1982, str. 535) je to povzel: »Na primer, konkavna u(w) je
mnogokrat napacno interpretirana, kot da bi iz te sledilo, da enaki prirastki denarja
v razmerah gotovosti prispevajo h koristnosti s padajoco stopnjo.«
Po mnenju Kahnemana in Tverskyja (1979, str. 264) je prevladovanje zavracanja
tveganja »morda najbolj znana posplošitev glede odlocanja v razmerah tveganja,«
to posplošitev, ki se je obdržala v sodobni obravnavi, pa sta uvrstila med tri sporna
nacela teorije EU in nato pokazala vec pojavov, ki ta nacela kršijo.
Obnašanje oseb, ki so tveganju naklonjene (angl. risk-seeking, risk-loving behav-
ior), opisuje strogo konveksna funkcija koristnosti, u′′(w) > 0 (Friedman in Savage,
1948, str. 291). Tedaj velja u(E(g)) < u(g), zagotovljeni ekvivalent pa presega pricako-
vano vrednost loterije, CE > E(g) (gl. sliko 3.1b). V tem primeru je posameznik za
izbiro tveganja pripravljen ,placati’ razliko med CE in E(g), tj. znesek P.
Posameznikovo nevtralnost do tveganja (angl. risk-neutral behavior) potem pred-
stavlja linearna funkcija koristnosti, u′′(w) = 0, ki kaže njegovo indiferentnost med
danima možnostima: u(E(g)) = u(g). Ljudje naj bi bili v primeru ,majhnih’ izidov
približno nevtralni do tveganja (Rabin, 2000, str. 1281). Arrow (1971, str. 100) je
pokazal, da je oseba, ki maksimira pricakovano koristnost z odvedljivo funkcijo ko-
ristnosti, vedno voljna sprejeti dovolj majhen vložek v poljubni loteriji s pozitivno
pricakovano vrednostjo, torej so osebe, ki maksimirajo pricakovano koristnost, sko-
raj povsod poljubno blizu nevtralnosti do tveganja, ko so vložki poljubno majhni.
Medtem ko vecina ekonomistov sprejema ta formalni limitni rezultat, pa jih manj
meni, da predpostavka o približni nevtralnosti do tveganja ne velja le za neznatne
vložke, temvec tudi za precej vecje in ekonomsko pomembne vložke (Rabin, 2000,
str. 1281).
3.2.5 Arrow-Prattova mera absolutnega zavracanja tveganja
Pri iskanju mere, kako mocno osebe zavracajo tveganje, in mere, s katero sta možna
medosebna primerjava zavracanja tveganja in merjenje, kako se posameznikovo
zavracanje tveganja spreminja s premoženjem, naj bi odgovor neodvisno drug od
drugega v približno istem casu podala Pratt (1964) in Arrow.18 Predznak funkcije
18Pratt (1964, str. 123) je pojasnil: »Pomembnost funkcije Ra(w) sta neodvisno odkrila Kenneth J.
Arrow in Robert Schlaifer, v razlicnih kontekstih. Delo, predstavljeno tukaj, je bilo na žalost v bistvu
dokoncano preden sem spoznal Arrowovo sorodno delo.«
21
u′′(w) nam sicer razkrije odnos do tveganja, vendar pa je njena absolutna velikost
zaradi enolicnosti u do pozitivno afine transformacije povsem poljubna. Potrebno je
bilo torej poiskati mero, ki bi izražala gornje lastnosti in bila hkrati neobcutljiva na
pozitivno afine transformacije. Pratt (1964, str. 125) in Arrow sta predlagala:
Ra(w) = −u′′(w)u′(w)
= −d
dwln u′(w), (3.12)
kar se imenuje Arrow-Prattova mera absolutnega zavracanja tveganja.
Pozitivni predznak Arrow-Prattove mere torej razkrije zavracanje tveganja, ne-
gativni naklonjenost tveganju, nicelna Arrow-Prattova mera pa pomeni nevtralnost
do tveganja. Poleg tega, kot pokažeta Jehle in Reny (2001, str. 107–109), osebe z višjo
Arrow-Prattovo mero ob vseh nenegativnih vrednostih premoženja bolj zavracajo
tveganje: njihovi zagotovljeni ekvivalenti so nižji in voljni so sprejeti manj tveganih
loterij (gl. dokaz A.3).
Arrow-Prattova mera, Ra(w), je kot funkcija premoženja lokalna mera zavracanja
tveganja. Ce na nekem intervalu premoženja pada, je konstantna ali pa narašca,
potem pravimo, da von Neumann-Morgensternova funkcija koristnosti na tem in-
tervalu izkazuje padajoce, konstantno ali narašcajoce absolutno zavracanje tvega-
nja, kot naj bi predlagal Arrow. Varian (1992, str. 189) ter Jehle in Reny (2001,
str. 109) navajajo, da je predpostavljanje padajocega absolutnega zavracanja tvega-
nja v splošnem najbolj razumno, saj naj bi osebe z vecanjem premoženja navadno
vse manj zavracale majhne loterije. Pri konstantnem absolutnem zavracanju tvega-
nja (tj. pri linearnih ali eksponentnih funkcijah koristnosti) namrec voljnost sprejeti
manjšo loterijo ne bi bila nic vecja pri višjem kot pri nižjem premoženju, pri narašca-
jocem absolutnem zavracanju tveganja pa bi bilo, kot menita Jehle in Reny, obnašanje
sprevrženo: z vecanjem premoženja naj bi osebe manj sprejemale majhne loterije.
3.3 Prilagoditve modela EU
3.3.1 Friedman-Savageeva hipoteza
Mnogi ekonomisti so von Neumann-Morgensternovo funkcijo koristnosti sprejeli z
navdušenjem, vendar pa ni prepricala vseh, saj ni pojasnila vprašanja, kako razlo-
žiti obnašanje posameznika, ki zavraca tveganje (npr., ko kupuje zavarovanja) in
hkrati sprejema tveganje (npr., ko kupuje srecke za loterijo). Predlog za rešitev tega
vprašanja sta v svojem znamenitem clanku ponudila Friedman in Savage (1948), ki
sta poskušala rešiti okvir teorije EU. Sklenila sta, da je opazovano obnašanje oseb
povsem konsistentno z von Neumann-Morgensternovimi aksiomi, ce za funkcijo
22
Slika 3.2: Friedman-Savageeva funkcija koristnosti
(a) Obmocja konkavnosti in konveksnosti (b) Hkratno sprejemanje in zavracanje po-
štenih loterij
6
-w
u(w) 6
-
�������
�������
g =(α ◦ w1, (1 − α) ◦ w2
)g′ =
(β ◦ w′1, (1 − β) ◦ w′2
)
w1 w′1 w∗
6E(g) = E(g′)
w2 w′2 w
u(g)u(w∗)u(g′)
u(w)
Vir: Friedman in Savage, 1948, str. 297, 295.
koristnosti premoženja privzamemo obliko, ki je najprej (ob nizkem premoženju)
konkavna, nato (ob srednje velikem premoženju) konveksna in nazadnje (ob vi-
sokem premoženju) zopet konkavna, kot to prikazuje slika 3.2a.19
Za osebo z nizkim premoženjem,20 tj. osebo, ki se nahaja na prvem, konkavnem,
delu krivulje, sta pokazala, kako lahko hkrati sprejema in zavraca razlicne poštene lo-
terije, tj. loterije s pricakovano vrednostjo enako zacetnemu premoženju w∗ (gl. sliko
3.2b). Friedman in Savage (1948, str. 300): »Takšne osebe preferirajo bodisi gotovost
bodisi tveganje, ki ponuja majhno verjetnost velikega dobitka, pred tveganjem, ki
ponuja možnost zmernih dobitkov ali izgub.« Obrazložila pa sta tudi primere hkrat-
nega sprejemanja in zavracanja poštenih loterij pri posameznikih, ki se nahajajo
na obmocju konveksnosti ali na naslednjem obmocju konkavnosti predstavljene
funkcije koristnosti.
Po mnenju Friedmana in Savagea (1948, str. 298–301) je možna interpretacija
takšne oblike funkcije koristnosti, da na obmocji konkavnosti gledamo kot na kva-
litativno razlicna socialno-ekonomska položaja, na obmocje konveksnosti pa kot
na prehod med tema dvema položajema. Predlagala sta, da naj bi povecanja do-
19Friedman in Savage (1948, str. 299) sta opomnila, da ni nujno, da ima vsak posameznik takšno
funkcijo koristnosti. »Nekateri so lahko trdovratni hazarderji, nekateri pa trdovratno previdni. Dovolj
je, da imajo mnogi takšno funkcijo koristnosti.«20Friedman in Savage (1948) sta v svoji hipotezi pravzaprav analizirala obnašanje gospodinjstev
(angl. consumer unit), kar naj bi bilo v splošnem družina, vcasih pa tudi posameznik. Uporabila sta
tudi funkcijo koristnosti v odvisnosti od dohodka (angl. income) in ne premoženja. Vendar se njuna
predstavitev v bistvu ne razlikuje od te, v kateri obravnavamo posameznika s funkcijo koristnosti v
odvisnosti od premoženja.
23
hodka, ki bi posamezniku iz ,najnižjega’ razreda pomenila višji relativni položaj v
tem razredu (vendar ga ne bi pomaknila v naslednji, bolj zaželen razred), izkazovala
padajoco mejno koristnost, medtem ko bi povecanja, ki bi ga pomaknila v naslednji,
torej ,srednji’ razred in mu s tem dala nov socialni in ekonomski status, izkazovala
narašcajoco mejno koristnost. Te ideje sta utemeljevala s tem, da bi denimo nekva-
lificiran delavec, tako kot vecina ostalih nekvalificiranih delavcev, zavracal tveganje
ob loteriji, ki bi ga v najboljšem primeru naredila najbolj uspešnega, v najslabšem
primeru pa najmanj uspešnega nekvalificiranega delavca, odlocil pa bi se za loterijo,
ki mu ponuja majhno možnost, da se izvlece ven iz razreda nekvalificiranih delavcev
v ,srednji’ ali ,višji’ razred, ceprav je veliko bolj kot pri prejšnji loteriji verjetno, da
bo postal manj uspešen nekvalificirani delavec. Pravita (prav tam, str. 299), da
»ljudje ogromno tvegajo in bodo tvegali, da bi se razlikovali, tudi ce vedo, kakšno
je tveganje. Mar ni potem obmocje konveksnosti ustrezni prevod tega pojava na
ekonomskem podrocju?«
Osebe, ki so v ,srednjem’ razredu, mamijo vse majhne loterije in vsaj nekaj velikih.
Vsem tem skušnjavam bodo podlegle in se posledicno pomaknile v višji razred, ce
imajo sreco, ali pa v nižjega, ce je nimajo. Za osebe iz najnižjega in najvišjega razreda
pa naj bi bilo zaradi neprivlacnosti majhnih tveganj manj verjetno, da bi se po-
maknile v srednje obmocje, torej naj bi imele relativno stabilni položaj. Posledicno
naj bi bilo v srednjem segmentu zelo malo oseb. Friedman in Savage (1948, str. 302)
sta zakljucila, da bi bilo za potrditev obnašanja, kot sta ga predpostavljala, potrebno
izvesti dodatne empiricne raziskave.
3.3.2 Markowitzeva hipoteza
Markowitz (1952) je opozoril na neskladje Friedman-Savageeve hipoteze z dejan-
skim obnašanjem in predocil njeno pomembno prilagoditev. Friedman-Savageevi
razlagi je med drugim nasprotoval z argumentom, da bi osebe s srednje velikim
premoženjem le redko tvegale vecji delež svojega premoženja in da se tudi osebe z
zelo nizkim in osebe z zelo visokim premoženjem v veliki meri odlocajo za igranje
na sreco (prav tam, str. 152).
Markowitz (1952, str. 152–155) je predlagal, naj bo izhodišce posameznikove
funkcije koristnosti v tocki, kjer je njegovo obicajno premoženje (angl. customary
wealth), in da konveksnosti (konkavnosti) krivulje na eni strani izhodišca ustreza
konkavnost (konveksnost) na drugi strani, kot kaže slika 3.3. Za obicajno pre-
moženje je podal opredelitev (prav tam, str. 155): »Razen v primerih pravkar nastalih
nepricakovanih prejemkov in izgub je obicajno premoženje enako sedanjemu pre-
moženju.« Vendar pa je dodal, da »nima pravila, ki bi v vsaki dejanski situaciji
24
povedalo, ali je šlo za pravkar nastale nepricakovane prejemke ali izgube« in torej
tudi nima »formule za izracun obicajnega premoženja, ko le to ni enako sedanjemu
premoženju«. (prav tam, str. 157).
Slika 3.3: Markowitzeva funkcija koristnosti
6
- w
u(w)
@@@I
obicajno premoženje
Vir: Markowitz, 1952, str. 154.
Videti je, da ima Markowitzeva funkcija koristnosti tri prevoje, od katerih je eden
v izhodišcu, druga dva pa levo in desno od njega. Markowitz (1952, str. 155) je pred-
postavljal, da je razdalja od izhodišca do teh dveh prevojev nepadajoca funkcija pre-
moženja.21 Funkcija je monotono narašcajoca; sprva je konveksna, nato konkavna,
nato konveksna in nazadnje zopet konkavna. Markowitz (1952, str. 155) je tudi
predvideval, da se ljudje v splošnem izogibajo simetricnim loterijam,22 zaradi cesar
krivulja levo od izhodišca pada hitreje, kot narašca desno od njega, ali z drugim
zapisom: |u(−w)| > u(w) za w > 0 (kjer je w = 0 obicajno premoženje).
Markowitzeva (1952, str. 155) podmena trdi, da »je posameznikovo obnašanje
enako, ne glede na to, ali je reven ali bogat; le pomen ,majhnega’ in ,velikega’ je tedaj
razlicen.« Ce se posameznikovo premoženje spremeni, ostane oblika te funkcije ko-
ristnosti nespremenjena, spreminja se le njeno izhodišce in razdalji od izhodišca
do obeh preostalih prevojev. S tem pa v nasprotju s Friedman-Savageevo hipotezo
posameznikov odnos do tveganja ostane neodvisen od sprememb njegovega pre-
moženja.
21Markowitz (1952, str. 155) omenja, da je ta razdalja lahko tudi funkcija drugih dejavnikov:
»Obstaja na primer možnost, da sta razdalji med prevojema znacilno vecji za samske kot za porocene
moške.«
22(Poštena) simetricna lotrija je npr. oblike(p ◦ x, p ◦ (−x)
)za p 6 0, 5. Markowitz (1952, str. 157) se
je skliceval na to, da »se posamezniki simetricnim loterijam še posebej izogibajo, ko so v igri zmerni
ali veliki zneski, da pa je možno opaziti igranje simetricnih loterij z majhnimi zneski.«
25
4
Subjektivna pricakovana koristnost(SEU)
4.1 Izkrivljanje verjetnosti (razmere tveganja)
4.1.1 Ramseyeva ideja
Idejo, da osebe pri odlocanju v razmerah tveganja dane objektivne verjetnosti pi
transformirajo v subjektivne f (pi) je že leta 1926 v svojem eseju obravnaval britan-
ski matematik in filozof Ramsey (1926/1978), ki je subjektivno verjetnost imenoval
prepricanje (angl. belief).
Ramsey (1926/1978, str. 70) je glede merjenja subjektivne verjetnosti menil, daje
to »težji del naloge, toda absolutno potreben. Znamo namrec izracunati numericne
verjetnosti in ce naj te ustrezajo stopnjam prepricanja, potem moramo odkriti nek
dolocen nacin, kako pripisati števila tem stopnjam prepricanja.« Pokazal je (prav
tam, str. 74), kako lahko subjektivne verjetnosti merimo s pomocjo tradicionalne
metode, kjer osebo »vzpodbudimo k sklepanju stav in opazujemo, katera je naj-
manjša verjetnost dobitka, ki jo bo oseba še sprejela«. To metodo je imel za zdravo
v osnovi, toda hkrati je poudaril, »da ni zadosti splošna in da je nujno neeksaktna.
Neeksaktna je deloma zaradi padajoce mejne koristnosti denarja, deloma zato, ker
ima lahko oseba posebno goreco nagnjenost ali pa odpor do sklepanja stav.«
Da bi se izognil tem težavam, je Ramsey (1926/1978, str. 80–81) postavil aksiom-
ski sistem o koristnosti, ki vsebuje nekatere ideje, ki sta jih približno dve desetletji
kasneje predložila von Neumann in Morgenstern. Ramsey je subjektivno verjetnost
f (p) = 0, 5 uporabil za referencno tocko, v kateri je dolocil koristnosti, nato pa je
s pomocjo teh koristnosti dolocil ostale subjektivne verjetnosti. Vpeljal je model,
ki se je imenoval model subjektivne pricakovane koristnosti (angl. subjective expected
utility (SEU)),23 tj. model, kjer posameznik loterije vrednoti z (Schoemaker, 1982,
23To poimenovanje se danes navadno nanaša na Savageevo teorijo, ki obravnava odlocanje vrazmerah negotovosti, kar bo prikazano kasneje, medtem ko se za Ramseyevo in sorodne teorije vliteraturi (npr. Starmer, 2000, str. 346) uporabljajo tudi drugi izrazi, kot je enostavna tehtana koristnostpri odlocanju (angl. simple decision weighted utility). Zaradi te dvopomenskosti izraza subjektivnapricakovana koristnost bo odslej ob tem izrazu v izogib nejasnosti vedno hkrati pojasnjeno, za katerovrsto teorije gre.
26
str. 537–538):
V(g) =n∑
i=1
f (pi)u(ai). (4.1)
4.1.2 Prilagoditev modela vNM s subjektivno verjetnostjo
Ekonomisti Ramseyevega eseja ocitno niso odkrili vse dokler ni von Neumann-Mor-
gensternovo delo vzpodbudilo zanimanja za to podrocje (Edwards, 1954, str. 398).
Že v naslednjem letu po objavi von Neumann-Morgensternovega sistema aksiomov
so se pojavili prvi empiricni dokazi (npr. Preston in Baratta, 1948), da normativna
teorija EU deskriptivno ni ustrezna. Ideje o transformiranju objektivnih verjetnosti v
subjektivne, tj. ideje o kršenju predpostavke o linearnih verjetnostih v modelu vNM,
so se z vrsto eksperimentov izkazale za skladne z dejanskim obnašanjem oseb.24
Za transformirane subjektivne verjetnosti naj bi naceloma veljali enaki zakoni
kot za objektivne verjetnosti: 0 6 f (p) 6 1 ter aditivnost, tj.∑n
i=1 f (pi) = 1 (Edwards,
1954, str. 397–398). V primeru, ko sta obravnavana le dogodek in njegov nasprotni
dogodek, bi to pomenilo, da bi funkcija subjektivne verjetnosti morala iti skozi
prelomno tocko (angl. indifference point, inflection point) (kjer je subjektivna verjetnost
enaka objektivni, f (p) = p) pri p = 0, 5 in da bi morala biti simetricna glede na to
tocko, f (1 − p) = 1 − f (p).
V splošnem ni nujno, da bi vse transformirane subjektivne verjetnosti, za katere
bi sicer veljali zakoni verjetnosti, šteli za stopnje prepricanja: v razlicnih modelih
odražajo razlicne stvari, kot so odnos do tveganja, prilagoditev dobljenim podatkom
ob predpostavki, da preference niso linearne v verjetnostih, itd. (Schoemaker, 1982,
str. 537). Kakorkoli že, zahteve, da transformirane subjektivne verjetnosti zadošcajo
zakonom verjetnosti, so se izkazale za prestroge. Že Edwards (1954, str. 398) je menil,
da ni nobene potrebe po zadostitvi tem pogojem, in predlagal uvedbo funkcije, za
katero ti zakoni nujno ne veljajo, ter jo imenoval funkcija uteži (angl. weighting
function). Ta funkcija bo oznacena s π(·).
24Veliko manjših empiricnih prizadevanj v tistem casu se je sicer, kot je ocenjeval Edwards (1954,str. 403), soocalo z razlicnimi metodološkimi problemi, zaradi katerih je bilo težko sklepati o osnov-nih mehanizmih: »Takšni eksperimenti so le redko ustrezno kontrolirani in skoraj nikoli niso biliuporabljeni kot osnova za nadaljne dobro oblikovane obsežnejše eksperimente. [...] Rezultati takšnihvodenih eksperimentov so prepogosto preneseni v literaturo brez ustreznih pojasnil o pogojih, podkaterimi so bili dobljeni, in brez posledicnih omejitev pomena rezultatov.«
27
4.1.3 Preston-Barattov eksperiment
Preston in Baratta (1948) sta v svojem prispevku objavila rezultate eksperimenta,
s katerim sta merila uteži posameznikov pri odlocanju, ki sta jih sicer imenovala
psihološke verjetnosti (angl. psychological probability). Subjektom sta razdelila enake
hipoteticne zneske in nato od njih zahtevala, da za privilegij igranja dolocene loterije
ponudijo konkurencne hipoteticne zneske. Tako sta dobila podatke o povprecnih
ponudbah za vsega skupaj 42 razlicnih loterij.25
Na podlagi predpostavk, da vsaka ponudba predstavlja višino zagotovljenega
hipoteticnega denarnega zneska, da so koristnosti kar identicne hipoteticnim denar-
nim zneskom in da imajo vsi subjekti enake uteži, sta Preston in Baratta (1948, str. 188)
Slika 4.1: Preston-Barattova mera subjektivne verjetnosti
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
objektivna verjetnost: p
utež
prio
dloc
anju
:π(p
)
0 0,5 1,0
0,5
1,0
b b bb
b b b
��
,,,,,,,�����
Vir: Preston in Baratta, 1948, str. 188.
dobila funkcijo uteži (gl. sliko 4.1), ki ponazarja, kako so subjekti pri odlocanju
izkrivljali dane objektivne verjetnosti: majhne verjetnosti so precenjevali, velike pa
podcenjevali, s prelomno tocko pri približno p = 0, 2.
25Primer za merjenje uteži, kot sta ga uporabila Preston in Baratta (1948, str. 187). Imamo loterijo,ki z verjetnostjo 0,75 ponuja hipoteticnih $550. Pricakovana vrednost te loterije je $375, povprecniponujeni znesek pa je bil $304,70. Iz takšnih podatkov sta Preston in Baratta (1948) ocenila utež, kije ustrezala objektivni verjetnosti 0,75. Najprej sta dolocila razmerja med povprecnimi ponujenimizneski in pricakovanimi vrednostmi loterij, v danem primeru: $304, 70/$375 = 0, 81. Razmerja, manj-ša od ena (kot v tem primeru) pomenijo pripisovanje manjših uteži, kot znašajo objektivne verjetnosti,in obratno, razmerja, vecja od ena, pomenijo pripisovanje vecjih uteži, kot znašajo objektivne verje-tnosti. Na koncu sta uteži dobila tako, da sta dobljena razmerja množila z objektivnimi verjetnostmi,torej v tem primeru: 0, 81 · 0, 75 = 0, 61.
28
4.1.4 Mosteller-Nogeejev eksperiment
Mosteller in Nogee (1951) sta v svojem eksperimentu prva preverjala von Neumann-
-Morgensternovo funkcijo koristnosti, v isti raziskavi pa sta merila tudi uteži pri
odlocanju. Svoje subjekte sta izbrala z dveh razlicnih podrocij življenja: prvi so bili
dodiplomski harvardski študenti, drugi pa pripadniki Narodne garde (prav tam,
str. 375–376). Uporabila sta funkcijo koristnosti z elementi, kot jih je kmalu za-
tem zagovarjal Markowitz, tj. predpostavljala sta, da se subjekti vedno nahajajo v
izhodišcu funkcije koristnosti in da je njihova koristnost funkcija prejemkov in ne
premoženja (prav tam, str. 389–390).
Rezultati, ki sta jih dobila Mosteller in Nogee (1951, str. 386), so razkrili, da so v
splošnem harvardski študenti izkazovali padajoce mejne koristnosti, medtem ko so
pripadniki Narodne garde, vsaj na obmocju merjenih vrednosti, izkazovali narašca-
joce mejne koristnosti. Poleg tega sta ugotovila, da obseg premoženja subjektov
ni vplival na njihove odlocitve, kar pomeni, da se njihove funkcije koristnosti niso
spreminjale s premoženjem (prav tam, str. 400).
Mosteller in Nogee (1951) za funkcijo uteži nista dobila povsem skladnih rezul-
tatov s tistimi, ki sta jih pred njima dobila Preston in Baratta (1948). Tako v primeru
harvardskih študentov nista našla prelomne tocke (ti subjekti so vse verjetnosti pod-
cenjevali), medtem ko se je v primeru pripadnikov Narodne garde ta tocka nahajala
okrog p = 0, 5, za nastale razlike pa sta priznala, da nimata nobene razlage (Mosteller
in Nogee, 1951, str. 397–398). Omenila sta tudi raziskavo Griffitha iz leta 1949, ki je
dobil tocko indiferentnosti okrog p = 0, 16 (prav tam, str. 398).
4.2 Savageeva teorija (razmere negotovosti)
4.2.1 Savageevo nacelo gotovosti
Leta 1954 je Savage objavil vplivne Temelje statistike (The Foundations of Statistics).
Glavni prispevek je bil aksiomski sistem, ki je uporabo pricakovane koristnosti
razširil s podrocja tveganja na podrocje negotovosti. Odlocilni aksiom v Savageevi
(1954) obravnavi je nacelo gotovosti (angl. sure-thing principle), ki si z aksiomom
neodvisnosti v osnovi deli isto intuicijo.26 Edwards (1961, str. 477) je verjel v splošno
26Savage (1954, str. 21) je razlago nacela gotovosti ponazoril s primerom: »Poslovnež nameravakupiti doloceno imetje. Meni, da bo izid naslednjih predsedniških volitev pomembno vplival naprivlacnost tega nakupa. Da bi si razjasnil primer, se vpraša, ali bi kupil imetje, ce bi vedel, da bozmagal republikanski kandidat, in odloci se, da bi ga kupil. Podobno pretehta, ali bi kupil, ce bivedel, da bo zmagal demokratski kandidat, in ponovno se odloci, da bi kupil. Ob zavedanju, da biimetje kupil ob obeh dogodkih, se odloci, da bi imetje moral kupiti, ceprav ne ve, kateri dogodek sezgodi oz., kot navadno recemo, se bo zgodil.«
29
veljavnost nacela gotovosti: »To je edino vsesplošno sprejeto in vsesplošno empi-
ricno potrjeno nacelo v teoriji odlocitev.« Savageevo nacelo gotovosti, uporabljeno
na podrocju odlocanja v razmerah tveganja, je ekvivalentno aksiomu neodvisnosti
(Fishburn in Wakker, 1995, str. 1137) in je potemtakem razširitev aksioma neodvis-
nosti na razmere negotovosti.
V Savageevi teoriji (1954, str. 6–21) verjetnosti niso dane, temvec je negotovost
opisana s prostorom stanj S. Savage je dolocil, da je v S neskoncno stanj si in sicer
je S opredelil kot (prav tam, str. 10) »univerzalni dogodek, ki ima za elemente
vsako stanje na svetu«. Na tem mestu bomo privzeli koncno število stanj, tj. S =
{s1, . . . , sn}. Pri tem se zagotovo uresnici natanko eno od stanj si, i = 1, . . . ,n, pri cemer,
razumljivo, odlocevalec ne ve katero. Podmnožice prostora stanj S se imenujejo
dogodki, E j, za katere velja, da tvorijo particijo množice S: E j ∩ Ek = ∅ za vsaka
j, k = 1, . . . ,m, j , k in⋃m
j=1 E j = S.
Naj GU oznacuje množico vseh razpoložljivih loterij oz. dejanj (angl. act), kot
je loterije imenoval Savage, in naj bo X množica posledic, tj. možni izidi odlocitev
potem, ko se je realiziralo eno od stanj si. Loterija g v GU je preslikava S → X, ki
doloca vsakemu stanju si posledico g(si), ki jo dobimo natanko takrat, ko je izbrana
loterija g in ko se realizira stanje si. Na GU definiramo preferencno relacijo <, za
katero vseskozi predpostavljamo, da je celovita (g < g′ ali g′ < g za vse loterije g, g′),
tranzitivna in da zanjo veljajo pogoji zveznosti. Funkcija u : GU → R predstavlja
relacijo <, ce za vse g in g′ v GU velja: g < g′ ⇔ u(g) > u(g′), tj. bolj preferirane
loterije imajo višjo vrednost funkcije u.
Ideja Savageevega nacela gotovosti (prav tam, str. 21–26) je, da je izbira med
loterijama g in g′ odvisna le od stanj, za katera velja g(si) , g′(si). Stanja, za katera
loteriji zagotavljata identicni posledici, pri odlocanju ne igrajo nobene vloge, ali z
drugimi besedami, preference do dveh razlicnih loterij niso odvisne od takšnih stanj.
Z drugim zapisom, g < g′ ⇔ h < h′ velja vedno, ko lahko S razdelimo na dva dela:
,irelevanten’ dogodek EI in ,relevanten’ dogodek ER, in sicer tako, da na EI velja
g = g′ in h = h′, na ER pa g = h in g′ = h′ (gl. tabelo 5.3). Ce bi stanjem pripisali
verjetnosti, bi Savageevo nacelo gotovosti izpeljali iz maksimiranja pricakovane
koristnosti, saj bi se razlika med deli pricakovane koristnosti loterij g in g′ ali h in h′,
povezana z dogodkom EI, iznicila.
4.2.2 Savageeva osebna verjetnost
Savage (1954, str. 27–34) je na podlagi nacela gotovosti, aksioma o možnosti rangi-
ranja vseh loterij in še števila drugih aksiomov, ki imajo le tehnicni pomen, razvil
30
mero subjektivne verjetnosti za vse možne dogodke, ki jo je imenoval osebna verje-
tnost (angl. personal probability). Osebno verjetnost je definiral kot mero, s katero
naj bi bil po mišljenju osebe, ki se odloca, posamezni dogodek verjeten (prav tam,
str. 27–28).
Pokazal je, da naj bi za osebno verjetnost veljale enake matematicne lastnosti, kot
veljajo za objektivno verjetnost (prav tam, str. 33–34). Povedano drugace, pokazal
je, da je osebna verjetnost na S funkcija ρ(E j), ki vsakemu dogodku E j ⊂ S, E j , ∅,
j = 1, . . . ,m pripiše realno število, tako da velja: ρ(E j) > 0, ρ(S) = 1 in aditivnost
(angl. additivity), tj. ρ(E j ∪ Ek) = ρ(E j) + ρ(Ek) za vsaka E j,Ek, j, k = 1, . . . ,m, j , k.
Na podlagi teh lastnosti je potem pokazal, da je dogodek Ek posamezniku ,vsaj tako
verjeten’ kot E j, ce in samo ce je ρ(Ek) > ρ(E j).
4.2.3 Model subjektivne pricakovane koristnosti (SEU)
Glede poimenovanja modela, ki ga je osnoval Savage (1954), je Edwards (1961,
str. 474) predlagal: »Raziskovanje se je od tedaj dalje (od leta 1954) osredotocilo na
model, ki trdi, da ljudje maksimirajo produkt koristnosti in subjektivne verjetno-
sti. To sem poimenoval model maksimiranja subjektivne pricakovane koristnosti
(model SEU).« Edwardsovo formulacijo moramo seveda razumeti kot maksimiranje
skalarnega produkta vektorja mere subjektivne verjetnosti oz. osebne verjetnosti z
vektorsko funkcijo koristnosti.
Ce v naši analizi postavimo Ei = {si} za i = 1, . . . ,n in torej namesto ρ(Ei)
pišemo ρ(si), lahko Savageev model maksimiranja subjektivne pricakovane koristnosti
v razmerah negotovosti formalno predstavimo z maksimiranjem vsote (Kreps, 1990,
str. 100):n∑
i=1
ρ(si)u(g(si)), (4.2)
tj. tedaj velja:
g < g′ ⇔n∑
i=1
ρ(si)u(g(si)) >n∑
i=1
ρ(si)u(g′(si)). (4.3)
Ta predstavitev velja le ob predpostavki, da je S koncna množica. Vendar pa je, kot
receno, Savage (1954) S opredelil kot neskoncno množico, kar pomeni, da bi tedaj
morali dano vsoto v (4.2) zapisati s pravilno definiranim integralom. Vidimo, da je
(4.2) podobna (3.8), le da so verjetnosti razlicnih izidov dobljene v dveh stopnjah:
najprej so verjetnosti subjektivno ocenjene za vsa stanja si v S, nato pa verjetnost, da
dobimo posamezni izid a j, ce smo izbrali neko poljubno loterijo g, dobimo tako, da
enostavno seštejemo verjetnosti tistih stanj, ki ob izbiri loterije g ponujajo isti izid a j
(Kreps, 1990, str. 100).
31
4.3 Edwardsov prispevek
Vprašanje, ali sta normativno elegantni ogrodji von Neumann-Morgensternove in
Savageeve teorije tudi deskriptivno veljavni, se je med drugim zastavljalo tudi Ed-
wardsu (1954, str. 394, 396). Edwards, ki je v letih 1953–1954 tudi sam objavil vrsto
empiricnih preverjanj von Neumann-Morgensternovega modela, je v svojem ob-
sežnejšem pregledu literature s podrocja odlocanja v razmerah tveganja le sedem
let po tem, ko sta von Neumann in Morgenstern postavila aksiome za pricakovano
koristnost, povzel tedanje empiricno in teoreticno znanje.
Edwards (1954, str. 393) je takole predvidel možne vzroke za deskriptivno ne-
ustreznost von Neumann-Morgensternovega modela: »Možno je, da verjetnosti, s
katerimi so pomnožene koristnosti, ne bi smele biti objektivne verjetnosti; z drugimi
besedami, subjektivna ocena verjetnosti odlocevalca je lahko razlicna od numericne
vrednosti te verjetnosti. Možno je, da metoda kombiniranja verjetnosti z vrednostmi
ni nujno enostavno množenje. Možno je, da metoda kombiniranja produktov ver-
jetnosti z vrednostmi ni nujno enostavno seštevanje. Možno je, da proces tveganja
že sam po sebi vkljucuje neko pozitivno ali negativno koristnost. Možno je, da je
celoten pristop napacen in da se ljudje enostavno ne odlocajo na podlagi maksimi-
ranja pricakovane koristnosti.«
Ce gledamo nazaj, je presenetljivo, koliko je bilo pred 50-imi leti že empiricnega
in teoreticnega znanja z obravnavanega podrocja. Kar pa je tudi presenetljivo, je
to, da kot alternativa modelu EU še dolgo po tem ni obstajal celovit model, ki bi
znal pojasniti vsa proucevana dogajanja. Kasneje je Edwards (1961, str. 478) za-
pisal: »Leta 1954 je bilo že jasno, da so modeli maksimiranja pricakovane koristnosti
nezadovoljivi in da je bila odlocilna nujna sprememba v zamenjavi objektivne s sub-
jektivno verjetnostjo v takšnih modelih, nikakor pa ni bilo jasno, kaj je subjektivna
verjetnost.« Edwards (1962) je predlagal nadomestitev verjetnosti v modelu EU z bolj
splošnimi utežmi, kar je bilo kasneje predmet vec empiricnih raziskav (npr. Kahne-
man in Tversky, 1979).
Edwards (1954, str. 403) je temeljni problem raziskovanja odlocanja v razmerah
tveganja in v razmerah negotovosti identificiral z »razvojem ustreznega merjenja
koristnosti denarja in subjektivne verjetnosti.« Pomembno je, da je predvidel teo-
reticni problem, ki zaznamuje zadnjih 50 let dela na tem podrocju: združitveno
pravilo (angl. law of combination), ki povezuje koristnost in subjektivne verjetnosti;
problem, ki ga je povzel z: »Ocitno je zelo težko oblikovati eksperiment, ki bi odkril
to združitveno pravilo.« (prav tam, str. 400).
32
5
Neposredni izzivi von
Neumann-Morgensternovi in
Savageevi teoriji
5.1 Allaisev paradoks (razmere tveganja)
5.1.1 Predstavitev problema
Allais (1953) je bil prvi, ki je teoriji EU zastavil glavni neposredni izziv. Probleme,
ki jih je obravnaval, je prvic predstavil na Pariškem kolokviju leta 1952, kjer so
bili prisotni številni raziskovalci s podrocja odlocanja v razmerah tveganja in v
razmerah negotovosti (prav tam, str. 503). Nenavadno pa je, da Allais (1953) ni
objavil podatkov, ki naj bi jih dobil s svojo raziskavo.27 Skoraj štiri desetletja kasneje
je Conlisk (1989, str. 302) Allaisev primer poimenoval kot »najslavnejšega od številnih
primerov, ki nasprotujejo teoriji pricakovane koristnosti.«
V svojem primeru je Allais (1953, str. 527) predstavil loterije s tremi možnimi
placili ~x = (x1, x2, x3), kjer je x1 > x2 > x3, in pripadajocimi verjetnostmi ~p = (p1, p2, p3).
V eksperimentu je uporabil dva para loterij s skupnim vektorjem hipoteticnih placil
v milijonih francoskih frankov (FRF), ~x = (500, 100, 0). Subjekti so najprej izbirali
preferirano loterijo med g in g′, nato pa še med h in h′ (gl. tabelo 5.1). Loteriji v
prvem paru imata bistveno višjo pricakovano vrednost (E(g) = 100 mio FRF, E(g′) =
139 mio FRF) kot loteriji v drugem paru (E(h) = 11 mio FRF, E(h′) = 50 mio FRF).
Loterija g je pri tem, kot je razvidno, degenerirana loterija.
Glede na dana para loterij lahko posamezni subjekt izbere eno od štirih možnosti:
(g, h), (g′, h′), (g, h′) ali (g′, h). Ce subjekt v prvem paru izbere g, velja u(g) > u(g′), iz
27Allais (1979) je kasneje v ponovni obravnavi svojega teoreticnega modela vzel pod drobnogled
eksperiment iz leta 1952, vendar zopet ni objavil podatkov. To je razložil: »Ce povzamem, še vedno
mi ni uspelo objaviti rezultatov eksperimenta iz leta 1952. Bistveni razlog je v veliki kolicini dela,
potrebnega za zadovoljivo analizo odgovorov, ki sem jih prejel na vprašalnik, in številne ovire, ki
izvirajo iz mojih poklicnih obveznosti ter drugega raziskovanja in objavljanja.« (prav tam, str. 448).
33
Tabela 5.1: Allaisev primer
para loterij
g = ( 1, 00 ◦ 100 )
g′ = ( 0, 10 ◦ 500; 0, 89 ◦ 100; 0, 01 ◦ 0 )
h = ( 0, 11 ◦ 100; 0, 89 ◦ 0 )
h′ = ( 0, 10 ◦ 500; 0, 90 ◦ 0 )
izidi so v milijonih francoskih frankov iz leta 1953
Vir: Allais, 1953, str. 527.
cesar sledi u(h) > u(h′),28 torej naj bi, kot zahteva pricakovana koristnost, v drugem
paru izbral h. To spominja na Savageevo nacelo gotovosti. Dvojici izbir (g, h) in
(g′, h′) sovpadata z EU teorijo, medtem ko drugi dvojici to teorijo kršita.
Allais je leta 1952 pokazal, da je med slednjima dvojicama zelo prevladovala
(g, h′), kasneje pa so to potrdili tudi drugi.29 Ta specificni vzorec obnašanja, kjer se
odlocimo za gotovi prejemek v paru z višjo pricakovano vrednostjo in za bolj tvegano
loterijo v paru z nižjo pricakovano vrednostjo, se imenuje Allaisev paradoks. Intuicija
takšnih odlocitev je naslednja: pri prvi izbiri je gotovi prejemek 100 mio FRF zelo
privlacen in v tem primeru ni vredno, da bi za možnost prejemka 500 mio FRF tvegali
in ostali brez vsega, pri drugi izbiri pa se zdi razlika med verjetnostima 0,10 in 0,11
neprimerljivo majhna v primerjavi z razliko med prejemkoma 500 in 100 mio FRF
(Kahneman in Tversky, 1979, str. 267).
5.1.2 Skupna posledica Allaisevega primera
Izbira dvojice (g, h′) krši aksiom neodvisnosti oz. Savageevo nacelo gotovosti. Pro-
blem je Savage (1954, str. 103) predstavil tudi s pomocjo preglednice (gl. tabelo 5.2),
kjer je za ponazoritev uporabil loterijo s sreckami, oštevilcenimi od 1 do 100. V
tabeli so prikazane vse štiri možnosti s posledicami, ki so odvisne od tega, katero
srecko potegnemo. Kot vidimo, je edina razlika med obema paroma loterij v tem,
28Ob danih vektorjih verjetnosti z uporabo (3.8) dobimo:u(g) > u(g′)
u(x2) > 0, 1u(x1) + 0, 89u(x2) + 0, 01u(x3)
0, 11u(x2) > 0, 1u(x1) + 0, 01u(x3)
0, 11u(x2) + 0, 89u(x3) > 0, 1u(x1) + 0, 9u(x3)
u(h) > u(h′)29Tudi Savage naj bi, ko mu je bil prvic predstavljen Allaisev primer, izbral dvojico (g, h′) (Machina,
1987, str. 128), vendar je kasneje v svoji obravnavi (Savage, 1954, str. 101–103) zakljucil, da so takšne
preference napacne.
34
Tabela 5.2: Skupna posledica Allaisevega primera
številka srecke 1–10 11 12–100
loterija
g 100 100 100
g′ 500 0 100
h 100 100 0
h′ 500 0 0
izidi, tj. posledice, so v milijonih francoskih frankov iz leta 1953
Vir: Allais, 1953, str. 526; Savage, 1954, str. 103.
da ima poteg srecke s katerokoli številko od 12 do 100 (te srecke predstavljajo ver-
jetnost dobitka 0,89) v vsakem paru enako skupno posledico (angl. common conse-
quence) (Fishburn in Wakker, 1995, str. 1137). V prvem paru bi tedaj oseba prejela
100 mio FRF, v drugem paru pa nic. Kot vemo, aksiom neodvisnosti oz. Savageevo
nacelo gotovosti zahteva, da sprememba skupne posledice, pri cemer vse ostalo
ostane nespremenjeno, ne spremeni preferenc.
5.1.3 Dokazi za in proti Allaisevemu obnašanju
Zanimivo je, da za obnašanje v skladu z Allaisevim paradoksom vec kot desetletje ni
bilo zbranih nobenih podrobnejših empiricnih dokazov. MacCrimmon je leta 1968
objavil rezultate, ki so potrjevali Allaisevo obnašanje, na kar so se odzvali tudi drugi
(Machina, 1987, str. 129).
Seveda pa ekonomisti ne bi bili to, kar so, ce ne bi dvomili v rezultate eksperimen-
tov, dobljene s pomocjo hipoteticnih prejemkov. In res se je kasneje v eksperimentih,
ki so vkljucevali tako hipoteticne kot realne prejemke, pokazalo, da se moc Allais-
evega paradoksa v primeru realnih prejemkov bistveno zmanjša (Conlisk, 1989,
str. 401). Razumljivo je, da se v vseh doslej opravljenih eksperimentih, ki vkljucujejo
realne prejemke, uporabljeni zneski nahajajo v zmernih mejah in ne v originalnih
500 oz. 100 milijonih tedanjih francoskih frankov. Zaradi tega je lahko izginjanje Al-
laisevega obnašanja povezano z uporabo majhnih namesto prvotno velikih zneskov.
Conlisk (1989, str. 402) je ugotavljal, da se subjekti ob majhnih prejemkih obnašajo
tako, da maksimirajo pricakovano vrednost, in tudi teorija EU naj bi bolje opisovala
posameznikovo obnašanje pri loterijah z majhnimi prejemki.
Eden od argumentov, ki nasprotujejo dejanskemu kršenju aksioma neodvisnosti,
pravi, da bi posamezniki s takšnimi preferencami izginili s trga, saj bi sprejemali
kupcije, ki bi jih vodile h gotovim izgubam denarja (Mas-Colell, Whinston in
35
Green, 1995, str. 181). Predpostavimo na primer, da ima odlocevalec tri loterije,
tako da velja g � g′ in g � g′′, in da krši aksiom neodvisnosti,(p ◦ g′, (1 − p) ◦
g′′)� g za nek p ∈ (0, 1). Denimo, da ima v zacetnem položaju loterijo g. Potem
je pripravljen placati nek dolocen znesek, da bo v zameno za g dobil sestavljeno
loterijo, ki z verjetnostjo p prinaša loterijo g′, z verjetnostjo 1 − p pa g′′. Toda takoj,
ko je prva faza te loterije realizirana in dobi bodisi g′ bodisi g′′, je zopet pripravljen
placati nek dolocen znesek, da bo v zamenjavo za to loterijo dobil g. Torej bi do tega
trenutka placal dva zneska, hkrati pa bi bil v istem položaju, kot je bil na zacetku.
5.1.4 Ucinek skupne posledice
Allaisev paradoks je posebni primer pojava (Machina, 1987, str. 129), za katerega
se je uveljavil izraz ucinek skupne posledice (angl. common consequence effect). Ne
tako davne raziskave (npr. Wu in Gonzales, 1998) so pokazale, da do ucinka skupne
posledice ne prihaja samo pri loterijah, ki vkljucujejo le gotova placila, kot pri Al-
laisevem primeru. Tversky in Kahneman (1992) pa sta obravnavo ucinka skupne
posledice razširila tudi na podrocje negotovosti.
Vecina primerov ucinka skupne posledice, vkljucuje izbire med pari loterij nasle-
dnje oblike (Starmer, 2000, str. 336–337): g =(p◦ a2, (1− p)◦ ac
)in g′ =
(p◦ (α◦ a1, (1−
α) ◦ 0), (1 − p) ◦ ac
), kjer je 0 < α < 1, in kjer so a1, a2 in ac izidi, tako da velja a1 � a2.30
Opaziti je, da obe loteriji, g in g′ ponujata placilo ac z verjetnostjo 1 − p: to je skupna
posledica, ki je ocitna implikacija aksioma neodvisnosti, da morajo biti izbire med g
in g′ neodvisne od vrednosti ac. Ucinek skupne posledice je torej empiricni pojav, da
so izbire med loterijami s to osnovno strukturo sistematicno odvisne od vrednosti
ac. Bolj natancno, številni eksperimenti so odkrili tendenco posameznikov k izbiri g,
ko je ac = a2, in g′, ko je ac = 0.
5.1.5 Ucinek gotovosti v Allaisevem primeru
Kahneman in Tversky (1979, str. 265–267) sta z vec razlicnimi eksperimenti potrdila
intuicijo odlocanja iz Allaisevega primera, da ljudje gotovim izidom pripisujejo
vecjo težo kot pa manj verjetnim izidom. Ta pojav sta poimenovala ucinek gotovosti
(angl. certainty effect).
Ucinek gotovosti Allaisevo obnašanje razloži s tem, da subjekti pri prvem paru
izbir nocejo žrtvovati gotovega izida za nekoliko boljši vendar tvegan izid, medtem
30Prepricamo se lahko, da je Allaisev eksperiment posebni primer z vrednostmi: a1 = 500 mio FRF,
a2 = 100 mio FRF, p = 0, 11 in α = 1011 , kjer je v 1. paru loterij, g in g′, ac = 100 mio FRF, v 2. paru, h in
h′, pa ac = 0 mio FRF.
36
ko pri drugem paru izbir ni noben izid dobljen z gotovostjo. Ker sta si verjetnosti
pri loterijah v drugem paru zelo podobni, se subjekti raje odlocijo za tisto loterijo, ki
ponuja boljši izid. Pri ucinku gotovosti so subjekti pripravljeni placati precej veliko
premijo, da se izognejo majhni možnosti, da bi ostali brez vsega.
Kahneman in Tversky (1979, str. 267) sta ucinek gotovosti posplošila tudi za
primere, kjer ni nujno, da, tako kot v Allaisevem primeru, kakšna loterija ponuja le
gotovi izid. To sta formalno predstavila: (λp ◦ a1) ∼ (p ◦ a2)⇒ (µλp ◦ a1) < (µp ◦ a2),
za 0 < p, λ, µ < 1 in a1 � a2.
5.2 Ellsbergov paradoks (razmere negotovosti)
Analogna kršitev Savageevega nacela gotovosti se je nekaj manj kot desetletje kasneje
pojavila tudi pri odlocitvah v razmerah negotovosti. Ellsberg (1961) je predstavil
problem, ki je postal znan kot Ellsbergov paradoks. Tudi on v tedanjem prispevku ni
objavil podatkov.
Primer je Ellsberg (1961, str. 653–654) svojim subjektom predstavil takole. Pred-
stavljajmo si škatlo, ki vsebuje 30 rdecih in 60 crnih in rumenih krogel, slednji dve
barvi v neznanem razmerju. Iz te škatle na slepo izvlecemo eno kroglo, pri cemer
zopet najprej izbiramo med loterijama g in g′, nato pa še med h in h′. Glede na
to, katero barvo krogle izvlecemo, ponujajo dane loterije placila, kot jih prikazuje
tabela 5.3.
Tabela 5.3: Ellsbergov primer
stanje s1 s2 s3
dogodek ER ER EI
barva krogle rdeca crna rumena︸ ︷︷ ︸število krogel v škatli 30 60
loterija
g $100 $0 $0
g′ $0 $100 $0
h $100 $0 $100
h′ $0 $100 $100
Vir: Ellsberg, 1961, str. 654.
Loterija g je ,stavi na rdeco’, loterija g′ pa ,stavi na crno’. Loterija h je ,stavi na
rdeco ali rumeno’, loterija h′ pa ,stavi na crno ali rumeno’. Ponovno je razvidno, da
je edina razlika med obema paroma loterij v tem, da ob izvleceni rumeni krogli v
prvem paru loterij ne prejmemo nicesar, v drugem paru pa prejmemo 100 ameriških
37
dolarjev.
Subjekti so v prvem paru v veliki vecini izbrali loterijo g, v drugem pa h′ (prav
tam, str. 654). V obeh primerih subjekti raje stavijo na znane kot na neznane ali
nedolocene verjetnosti (npr. loterija g ponuja 100 dolarjev z znano verjetnostjo 13 ,
medtem ko loterija g′ ponuja enak znesek z verjetnostjo, ki se nahaja kjerkoli v
mejah od 0 do 23 ). Kakorkoli že, te izbire so v nasprotju s Savageevim nacelom
gotovosti, ali kot je paradoksalno obnašanje povzel Ellsberg (1961, str. 654): »Prvi
vzorec, na primer, pravi, da subjekt raje stavi ,na’ rdeco kakor ,na’ crno kroglo; in
hkrati raje stavi ,proti’ rdeci kakor ,proti’ crni krogli.«
Obnašanje v skladu z Ellsbergovim paradoksom sta kmalu potrdila Becker in
Brownson (1964), kasneje pa tudi drugi. Becker in Brownson (1964, str. 73) sta
pokazala, »da so nekateri subjekti pri kršenju Savageevega nacela gotovosti izražali
zavracanje nedolocljivosti, s tem da so bili pod danimi pogoji pripravljeni placati,
da bi se ji izognili.« Pokazala sta tudi, »da je nedolocljivost povezana z verjetnostno
porazdelitvijo, in da so zneski, ki so jih bili subjekti pripravljeni placati, da bi se ji
izognili, konsistentno povezani s stopnjo te nedolocljivosti.«
38
6
Teorija izgledov (razmere tveganja)
6.1 Kritika teorije EU in prispevek teorije izgledov
Kahneman-Tverskyjeva (1979) Teorija izgledov: analiza odlocanja v razmerah tveganja
(Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk) je eden izmed najpogosteje
citiranih clankov v ekonomiji in po podatkih iz leta 1996 najveckrat citirani clanek,
ki je bil kdajkoli objavljen v ugledni reviji Econometrica (Laibson in Zeckhauser, 1998,
str. 8).
Kahneman in Tversky (1979) sta predstavila empiricne dokaze, nekatere razširi-
tve starih odkritij in nekatera nova odkritja, ki so opozorili na splošne deskriptivne
pomanjkljivosti teorije EU. Clanek je povzel ideje, ki so bile nekatere že 30 let raztre-
sene v razlicni literaturi in medsebojno nepovezane (npr. Preston in Baratta, 1948;
Markowitz, 1952; Edwards, 1962; Williams, 1966), uspeh clanka pa je, da je zgradil
formalno teorijo o odlocanju v razmerah tveganja, v kateri vse te ideje delujejo na
enem mestu. Ceprav je bil Allaisev paradoks star že vec kot 25 let, ni do Kahneman-
-Tverskyjeve objave poleg klasicne teorije EU obstajala nobena celovita alternativna
teorija.
Kahneman in Tversky (1979, str. 263–264) sta predstavila prepricljive empiricne
in teoreticne dokaze o splošni neveljavnosti naslednjih treh nacel teorije EU:
(1) Pricakovanje: u(p1 ◦x1, . . . pn ◦xn) = p1u(x1)+ . . .+pnu(xn), tj. splošna koristnost
loterije je pricakovana koristnost njenih izidov.
(2) Povezava s premoženjem: u(p1 ◦ x1, . . . pn ◦ xn) je sprejemljiva ob premoženju
w, ce in samo ce u(p1 ◦ (w + x1), . . . , pn ◦ (w + xn)
)> u(w), tj. loterija je sprejemljiva, ce
koristnost, ki povezuje loterijo s posameznikovim premoženjem, presega koristnost
tega premoženja. Domeno funkcije koristnosti tvorijo koncna stanja premoženja, ki
vkljucujejo posameznikovo trenutno stanje premoženja, in ne prejemki ali izgube.
(3) Zavracanje tveganja: u je konkavna (u′′ < 0).
6.2 Ucinek gotovosti in ucinek skupnega razmerja
Kahneman in Tversky (1979, str. 265–267) sta za demonstracijo ucinka gotovosti
poleg razlicice Allaisevega primera uporabila tudi vec bolj enostavnih primerov.
39
Dobila sta npr., da je 80% subjektov raje izbralo g = (1 ◦ 3.000) kot g′ = (0, 80 ◦ 4.000),
hkrati pa je 65% subjektov raje izbralo h′ = (0, 20◦4.000) kot h = (0, 25 ◦ 3.000).32 Vec
kot polovica vseh subjektov je izbrala (g, h′), to obnašanje pa ponovno nasprotuje
modelu EU, saj iz prve izbire sledi u(3.000) > 0, 8u(4.000), iz druge pa 0, 25u(3.000) <
0, 2u(4.000). Zopet je torej kršen aksiom neodvisnosti, saj sta drugi dve loteriji se-
stavljeni iz prvih dveh z verjetnostjo 0,25 in iz prejema 0 funtov z verjetnostjo 0,75, z
drugim zapisom: h = (0, 25 ◦ g; 0, 75 ◦ 0) in h′ = (0, 25 ◦ g′; 0, 75 ◦ 0). Ucinek gotovosti
je ociten; zmanjšanje verjetnosti dobitka z 1 na 0,25 ima vecji ucinek kot zmanjšanje
verjetnosti z 0,80 na 0,20.
Prevladujoco izbiro subjektov v prvem paru loterij iz prejšnjega primera lahko
zapišemo tudi z razmerjem u(3.000)/u(4.000) > 45 , izbiro v drugem paru pa z
u(3.000)/u(4.000) < 45 . Ker sta si ti dve razmerji razlicni, je kršen model EU, ta
pojav, ki ga je prav tako odkril že Allais, pa je znan kot (Machina, 1987, str. 130)
ucinek skupnega razmerja (angl. common ratio effect).
V splošnem je ucinek skupnega razmerja predstavljen z izbirami znotraj parov
loterij oblike: g =(p ◦ a2, (1 − p) ◦ 0
)in g′ =
(λp ◦ a1, (1 − λp) ◦ 0
), kjer je 0 < λ < 1
in a1 � a2 (Starmer, 2000, str. 337). Ob predpostavki, da je razmerje ,zmagovalnih’
verjetnosti λ konstantno, za pare loterij s takšno strukturo iz teorije EU sledi, da so
preference neodvisne od vrednosti p. Da bi videli zakaj, obravnavajmo poljubni par
loterij, med katerima izbiramo, g in g′, kjer je p = p1, in identicen par, h in h′, le da ima
nižjo vrednost p = p2. Ker mora obstajati neka α (0 < α < 1), tako da velja p2 = αp1,
lahko zapišemo h =(α ◦ g, (1 − α) ◦ 0
)in h′ =
(α ◦ g′, (1 − α) ◦ 0
). Neposredno iz
aksioma neodvisnosti potem sledi, da so izbire v takšnih parih loterij neodvisne od
verjetnosti p. Številne raziskave pa so pokazale, da so posamezniki ob zmanjševanju
verjetnosti p preklapljali svoje izbire z g na g′.
6.3 Ucinek zrcaljenja in vzorec cetvernega odnosa do
tveganja
Kahneman in Tversky (1979, str. 268) sta potrdila, da se preference obrnejo, ko spre-
menimo predznak prejemkov, kar sta obravnavala že Markowitz (1952) in Williams
(1966). Slednji je v svojem eksperimentu dobil rezultate, ki so razkrili lastnost, da
32N = 95. Vsi rezultati o preferencah, ki sta jih dobila Kahneman in Tversky (1979), so statisticno
znacilni pri stopnji znacilnosti 0,01. Denarni zneski so izraženi v izraelskih funtih. Za predstavo o
realni velikosti uporabljenih denarnih zneskov Kahneman in Tversky (1979) navajata, da je povprecni
mesecni dohodek družine tedaj znašal okrog 3.000 izraelskih funtov (prav tam, str. 264–266).
40
so subjekti ob prehodu s prejemkov na izgube preklopili od zavracanja tveganja k
naklonjenosti tveganju. Kahneman in Tversky (1979, str. 266–268) sta v eksperimen-
tih subjektom ponudila izbiro znotraj parov loterij oblike: g =(p ◦ x2, (1 − p) ◦ 0
)in
g′ =(λp ◦ x1, (1− λp) ◦ 0
), kjer je 0 < λ < 1. Ce je ob fiksnih absolutnih vrednostih x1
in x2 vecina subjektov razkrila g � g′, ko je x1 > x2 > 0, potem je vecina njih razkrila
g′ � g, ko je x1 < x2 < 0, in obratno. Ta vzorec obnašanja sta poimenovala ucinek
zrcaljenja (angl. reflection effect). Ucinek zrcaljenja torej pomeni, da zavracanju/ spre-
jemanju tveganja ob prejemkih ustreza sprejemanje/zavracanje tveganja ob izgubah.
Kasneje sta Tversky in Kahneman (1992, str. 306) ucinek zrcaljenja v obravna-
vanem kontekstu poimenovala vzorec cetvernega odnosa do tveganja (angl. fourfold pat-
tern of risk attitudes), ki ga prikazuje tabela 6.1. Po njunem mnenju je ta vzorec »naj-
bolj izstopajoca posledica teorije izgledov.« V nadaljevanju je predstavljena teorija, s
katero sta Kahneman in Tversky (1979) razložila ugotovljeno obnašanje.
Tabela 6.1: Vzorec cetvernega odnosa do tveganja
naklonjenost tveganju zavracanje tveganja
zavracanje tveganja naklonjenost tveganju
Vir: Tversky in Kahneman, 1992, str. 306.
6.4 Model
6.4.1 Fazi urejanja in ovrednotenja
Teorija izgledov velja le za enostavne loterije v razmerah tveganja, z najvec dvema
nenicelnima placiloma, tj. velja najvec za(p1 ◦ x1, p2 ◦ x2, (1 − (p1 + p2)) ◦ 0
), kjer sta
x1, x2 , 0 in p1 + p2 6 1, kar predstavlja resno omejitev te teorije. Kahneman in
Tversky (1979, str. 274–286) sta teorijo izgledov utemeljila z dvema zaporednima
fazama v posameznikovem procesu odlocanja: fazo urejanja (angl. editing phase) in
fazo ovrednotenja (angl. evaluation phase). Faza urejanja je sestavljena iz predhodne
analize ponujenih loterij, kar navadno zagotavlja preprostejšo reprezentacijo teh lo-
terij. Ta faza naj bi bila uporabljena vedno, ko je to možno. V drugi fazi so urejene
loterije ovrednotene in izbrana je loterija z najvišjo vrednostjo.
Fazo urejanja sestavljajo naslednje operacije: kodiranje, kombiniranje, segre-
gacija, izlocitev, poenostavitev in odkrivanje dominantnih loterij.
(1) Kodiranje (angl. coding) pomeni, kot je to predpostavljal že Markowitz (1952),
da so nosilci koristnosti spremembe premoženja, tj. prejemki in izgube, in ne koncna stanja
41
premoženja. Prejemki in izgube so definirani relativno, glede na neko nevtralno re-
ferencno tocko (angl. reference point). Referencna tocka navadno ustreza trenutnemu
stanju premoženja, ob katerem prejemki in izgube sovpadajo z dejanskimi zneski,
ki jih prejmemo ali placamo. Lega referencne tocke in posledicno zaznavanje izidov
kot prejemkov ali izgub sta lahko odvisna od formulacije ponujenih loterij in od
pricakovanj odlocevalca. Razlika med referencno tocko in trenutnim stanjem pre-
moženja lahko na primer nastane tudi zaradi nedavnih sprememb v premoženju, na
katera se posameznik še ni prilagodil.
(2) Kombiniranje (angl. combination) pomeni seštevanje verjetnosti ob enakih
placilih. Loterijo (p1◦x1, p2◦x2, p3◦x2) lahko npr. ovrednotimo kot(p1◦x1, (p2+p3)◦x2
).
(3) Segregacija (angl. segregation) pomeni dekompozicijo loterije na netvegano
komponento, ce ta obstaja, in na tvegano komponento:(p1 ◦ x1, p2 ◦ x2
), za katero je
p1 + p2 = 1 in x1 > x2 > 0 ali x1 < x2 < 0, razstavimo na gotovi dobitek oz. izgubo x2
in na tvegano loterijo(p1 ◦ (x1 − x2)
).
(4) Izlocitev (angl. cancellation) pomeni ignoriranje neke faze v sekvencni igri,
zacetnih gotovih bonusov ali skupnih komponent med vec loterijami, tj. izbira med
loterijama g′ =(p◦x, (1−p)◦g
)in h′ =
(p◦x, (1−p)◦h
)je lahko ovrednotena kot izbira
med g in h. Ceprav je izlocitev pravzaprav aplikacija aksioma neodvisnosti iz teorije
EU, iz faze urejanja ne sledi, da bodo izbire v splošnem zadošcale neodvisnosti, saj je
uporaba posameznega pravila v tej fazi odvisna od njegove pomembnosti (Starmer,
2000, str. 353). Ceprav Kahneman in Tversky (1979) nista podala formalne teorije
o pomembnosti, sta predstavila dokaze, da je urejanje odvisno od konteksta. Pred-
stavila sta (prav tam, str. 271), da je izlocitev uporabljena v nekaterih primerih, v
drugih pa ne.
(5) Poenostavitev (angl. simplification) pomeni zaokroževanje verjetnosti ali placil.
(6) Odkrivanje dominantnosti (angl. detection of dominance) pomeni, da so domini-
rane loterije v nadaljnji obravnavi, tj. v fazi ovrednotenja, ignorirane.
V drugi fazi posameznik na podlagi dveh specificnih funkcij – funkcije vrednosti
(angl. value function) in funkcije uteži (angl. weighting function) – urejene loterije
ovrednoti z vrednostjo V. Funkcija vrednosti v(·) priredi vsakemu placilu x število
v(x), ki odraža subjektivno vrednost tega placila. Ker so placila definirana kot od-
kloni od referencne tocke, meri v(·) vrednost teh odklonov, tj. vrednost prejemkov
in izgub. Funkcija uteži π(·) priredi vsaki verjetnosti p odlocitveno utež π(p). Ta
funkcija kaže vpliv p-ja na splošno vrednost loterije. Teorija izgledov kombinira obe
predstavljeni funkciji razlicno glede na tip loterije.
Ce je (p1 ◦ x1, p2 ◦ x2) regularna loterija (bodisi p1 + p2 < 1 bodisi x1 > 0 > x2 ali
42
x1 6 0 6 x2), potem je vrednost loterije dana z enacbo:
V(p1 ◦ x1, p2 ◦ x2) = π(p1)v(x1) + π(p2)v(x2), (6.1)
kjer je v(0) = 0, π(0) = 0 in π(1) = 1. Pri tem je V definirana za loterije, v za placila,
obe pa sta enaki za gotove loterije: V(1 ◦ x) = V(x) = v(x). Enacba (6.1) posplošuje
teorijo EU, saj sprošca nacelo o lastnosti pricakovane koristnosti.
Ce je (p1 ◦ x1, p2 ◦ x2) strogo pozitivna ali strogo negativna loterija (tj. ce je p1 + p2 = 1
in x1 > x2 > 0 ali x1 < x2 < 0), potem je vrednost loterije dana z:
V(p1 ◦ x1, p2 ◦ x2) = v(x2) + π(p1)[v(x1) − v(x2)]. (6.2)
Vrednost takšne loterije je torej enaka vsoti vrednosti netvegane komponente (tj.
minimalni prejemek ali izguba, ki ga zagotovo prejmemo oz. jo placamo) in tvegane
komponente, ki jo dobimo kot razliko med vrednostima obeh placil, pomnoženo
z utežjo, ki pripada bolj ekstremnemu placilu.33 Vidimo, da je desna stran enacbe
(6.2) enaka π(p1)v(x1) + [1 − π(p1)]v(x2). Torej bi iz (6.2) dobili (6.1), ce bi veljalo
π(p1) + π(1 − p1) = 1, vendar pa temu pogoju v splošnem ni zadošceno.
6.4.2 Funkcija vrednosti
Funkcija vrednosti v(·) je v nasprotju z teorijo EU, kjer je funkcija koristnosti defini-
rana za absolutne vrednosti premoženja, definirana za spremembe premoženja
(gl. sliko 6.1a). Kljub vsemu pa funkcija vrednosti ni povsem neodvisna od trenut-
nega premoženja. Pravzaprav je to funkcija dveh spremenljivk: trenutnega pre-
moženja, ki služi kot referencna tocka, in velikosti (pozitivne ali negativne) spre-
membe od te referencne tocke.
Kahneman in Tversky (1979) sta v eksperimentih dobila tako majhen vpliv trenut-
nega premoženja, da sta za dovolj dober približek vzela funkcijo vrednosti odvisno
zgolj od sprememb premoženja.
Funkcija vrednosti ima v splošnem obliko crke S, saj je navadno konkavna za pre-
jemke (v′′(x) < 0 za x > 0) in konveksna za izgube (v′′(x) > 0 za x < 0). Mejna vred-
nost tako prejemkov kot izgub navadno pada z narašcanjem prejemkov oz. izgub,
kar sta Tversky in Kahneman (1992, str. 303) poimenovala nacelo padajoce obcutljivosti
(angl. the principle of diminishing sensitivity). Vendar, kot navajata Kahneman in
33Na tem mestu opazimo nekonsistentnost teorije izgledov. Spomnimo se, da segregacija v fazi
urejanja zahteva, da je loterija (p1 ◦ x1, p2 ◦ x2), za katero velja p1 + p2 = 1 in x1 > x2 > 0 ali x1 < x2 < 0,
razdeljena na gotovi dobitek oz. izgubo x2 in na tvegano loterijo(p1 ◦ (x1 − x2)
). Z uporabo (6.1) bi
vrednost teh dveh posameznih delov dobili kot v(x2) + π(p1)v(x1 − x2), kar pa zaradi nelinearnosti
funkcije vrednosti (o tem se bomo prepricali v nadaljevanju) ni enako v(x2) + π(p1)[v(x1) − v(x2)].
43
Tversky (1979, str. 279), posameznikova funkcija vrednosti ne odraža vedno zgolj
njegovega ,cistega’ odnosa do denarja, saj lahko na to funkcijo vplivajo dodatni
dejavniki, ki so povezani s specificnimi denarnimi zneski posameznika. Takšne
eventuelne motnje bi se kazale s posameznimi obmocji konveksnosti funkcije vred-
nosti ob prejemkih in/ali konkavnosti ob izgubah.
Slika 6.1: Glavni komponenti Kahneman-Tverskyjeve (1979) teorije
(a) Funkcija vrednosti (b) Funkcija uteži
izgube prejemki
vrednost
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
objektivna verjetnost: p
odlo
citv
ena
utež
:π(p
)
0 0,5 1,0
0,5
1,0
Vir: Kahneman in Tversky, 1979, str. 279, 283.
Pomembna lastnost odnosov do sprememb v premoženju je, da je odziv na izgube
bolj ekstremen od odziva na prejemke, tj. nezadovoljstvo ob izgubi dolocenega
denarnega zneska presega zadovoljstvo ob prejetju enako velikega zneska, kar sta
Tversky in Kahneman (1986, str. S258) poimenovala nenaklonjenost izgubam (angl. loss
aversion).34 Ljudem se vecinoma poštena simetricna loterija oblike(0, 50 ◦ x; 0, 50 ◦
(−x))
zdi še posebej neprivlacna (Kahneman in Tversky, 1979, str. 279). Poleg tega naj
bi zavracanje teh loterij v splošnem narašcalo z velikostjo vložkov: ce je x1 > x2 > 0
potem je(0, 50 ◦ x2; 0, 50 ◦ (−x2)
)�
(0, 50 ◦ x1; 0, 50 ◦ (−x1)
). Od tod z uporabo (6.1)
dobimo: v(x2) + v(−x2) > v(x1) + v(−x1), in dalje: v(−x2) − v(−x1) > v(x1) − v(x2). Ko
postavimo x2 = 0, dobimo v(x1) < −v(−x1), ko pa se x2 približuje x1, pa v′(x1) <34Kahneman (Goode, 2002, str. F1) je pojasnil: »Menim, da je poglavitni pojav, ki sva ga odkrila,
kot sva to poimenovala ,nenaklonjenost izgubam’. Med prejemki in izgubami obstaja asimetrija, ki
je zelo dramaticna in zelo ocitna. Svojim študentom na predavanjih pravim: ,Vrgel bom kovanec
in ce bo padel grb, boste izgubili $10. Kolikšen prejemek vam moram ponuditi za padec cifre, da
bi sprejeli to loterijo?’ Ljudje želijo vec kot $20, preden sprejmejo loterijo. Sedaj delam isto stvar z
vodilnimi oz. zelo bogatimi ljudmi, ki jih sprašujem o situaciji, ko bi pri padcu grba izgubili $10.000.
Za padec cifre zahtevajo $20.000, preden bi sprejeli loterijo. Torej pride do nekakšnega preloma
funkcije pri prehodu iz prejemkov na izgube. Ljudje resnicno mocno razlikujejo med prejemanjem
in izgubljanjem in ne marajo izgubljati.«
44
v′(−x1), ce v′, odvod funkcije v, obstaja. Torej je funkcija vrednosti bolj strma za
izgube kot za prejemke, tako kot Markowitzeva (1952) funkcija koristnosti, vendar
pa je funkcija vrednosti v nasprotju z Markowitzevo funkcijo precej bolj strma okrog
referencne tocke.
6.4.3 Funkcija uteži
V teoriji izgledov je vrednost vsakega placila pomnožena z utežjo pri odlocanju
(angl. decision weight). Kakorkoli že, Kahneman in Tversky (1979, str. 280) sta
poudarila, da »uteži pri odlocanju niso verjetnosti: ne zadošcajo zakonom verjetno-
sti in ni jih možno interpretirati kot mero verjetnosti.« Funkcija uteži π(·), ki jo je
predlagal že Edwards (1962), razlaga, kako razlicne stopnje verjetnosti vplivajo na
vrednotenje loterije. Edwards (1962) je sklepal, da bi deskriptivni modeli morali
upoštevati nelinearni vpliv, ki ga imajo verjetnosti na odlocitve.
V teoriji izgledov uteži pri odlocanju merijo vpliv dogodkov na zaželenost loterije
in ne merijo zgolj zaznanih verjetnosti teh dogodkov (Kahneman in Tversky, 1979,
str. 280). Funkcija uteži je v obravnavanem kontekstu izražena kot funkcija zgolj
objektivnih verjetnosti, ceprav je v splošnem lahko funkcija še drugih spremenljivk
(npr. nedolocljivosti itd.).
Lastnosti funkcije uteži π(p) so (Kahneman in Tversky, 1979, str. 280–283):
(1) π′(p) > 0, π(0) = 0 in π(1) = 1. To pomeni, da se nemogoci dogodki ne
upoštevajo in da je skala normalizirana, tako da je π(p) razmerje med utežjo ob dani
verjetnosti p in utežjo ob gotovem dogodku.
(2) Subaditivnost (angl. subadditivity): π(µp) > µπ(p) za dovolj majhne p in za
0 < µ < 1.
(3) Pripisovanje uteži, ki so vecje od pripadajocih verjetnosti (angl. overweighting
probabilities): π(p) > p za dovolj majhne p.
(4) Podgotovost (angl. subcertainty): π(p)+π(1−p) < 1 za ∀p ∈ (0, 1). Podgotovost
za doloceno vrednost p-ja sledi tudi iz Allaisevega paradoksa.35 Grobo receno, pod-
gotovost pomeni, da funkcija uteži leži bolj pod simetralo kvadranta (ob srednjih in
velikih verjetnostih) kot nad njo (ob majhnih verjetnostih).
(5) Subproporcionalnost (angl. subproportionality): iz ucinka gotovosti, (λp ◦ x1) ∼35Z uporabo (6.1) in prevladujocih preferenc (g, h′) v Allaisevem primeru (gl. tabelo 5.1) dobimo:
v(100) > π(0, 89)v(100) + π(0, 10)v(500), tj.
[1 − π(0, 89)]v(100) > π(0, 10)v(500) in
π(0, 10)v(500) > π(0, 11)v(100), odtod
1 − π(0, 89) > π(0, 11), ali π(0, 89) + π(0, 11) < 1.
Po teoriji izgledov je podgotovost vzrok kršitve aksioma neodvisnosti v Allaisevem paradoksu.
45
(p ◦ x2) ⇒ (µλp ◦ x1) < (µp ◦ x2) za 0 < p, λ, µ < 1, in z uporabo (6.1) dobimo:
π(λp)v(x1) = π(p)v(x2) ⇒ π(µλp)v(x1) > π(µp)v(x2), iz te implikacije pa dobimo
π(λp)/π(p) 6 π(µλp)/π(µp), tj. za fiksno razmerje (λ) objektivnih verjetnosti je
razmerje pripadajocih uteži bliže 1 tedaj, ko so objektivne verjetnosti manjše.
Kahneman in Tversky (1979, str. 283) sta predstavljene lastnosti uporabila v she-
maticnem prikazu funkcije uteži (gl. sliko 6.1b). Videti je, kako subjekti majhnim
verjetnostim pripisujejo vecje uteži od samih verjetnosti, srednjim in velikim verje-
tnostim pa manjše uteži. Lastnosti imajo za posledico, da je funkcija uteži relativno
položna na intervalu srednjih verjetnosti in da strmo narašca v bližini robnih tock.
Kahneman in Tversky (1979, str. 282–283) sta predlagala, da funkcija uteži v
okolici robnih tock ni nujno zvezna: pri prehodu iz objektivne verjetnosti p = 0
(nemogoc dogodek) na neko zelo majhno objektivno verjetnost (mogoc dogodek)
lahko pride do preskoka funkcije uteži, podobno pa se lahko zgodi pri prehodu
z gotovega dogodka na negotov dogodek. Kahneman in Tversky sta to pojasnila
(prav tam): »Ker imajo ljudje omejeno sposobnost razumevanja in ovrednotenja eks-
tremnih verjetnosti, so zelo neverjetni dogodki bodisi prezrti bodisi jim je dolocena
utež, ki je vecja od pripadajoce verjetnosti. Tudi razlika med visoko verjetnostjo in
gotovostjo je bodisi zanemarjena bodisi pretirano poudarjena. Posledicno se π v
okolici robnih tock ne obnaša lepo.«
6.4.4 Razlaga odnosa do tveganja
Kot smo videli, v teoriji EU celotno breme razlage odnosa do tveganja prevzema
funkcija koristnosti, zaradi cesar ima ta teorija veckrat težave z razlago (npr. v
primeru istocasnega nakupovanja zavarovanj in iger na sreco). Breme razlage
odnosov do tveganja v teoriji izgledov pade na obe funkciji, funkcijo vrednosti
in funkcijo uteži.
S pomocjo predstavljenih lastnosti obeh vpeljanih funkcij sta Kahneman in Tver-
sky (1979, str. 284–286) opredelila splošne pogoje za zavracanje oz. naklonjenost
tveganju. Obravnavajmo izbiro med loterijo g = (p ◦ x) in njeno pricakovano vre-
dnostjo, E(g) = px. Ce je x > 0, velja ob naklonjenosti tveganju V(g) = V(p ◦ x) =
π(p)v(x) > V(E(g)) = V(px) = v(px). S preureditvijo in z upoštevanjem v(x) > 0
dobimo π(p) > v(px)/v(x), kar je vec od p, saj je funkcija vrednosti za prejemke
konkavna. Potemtakem je pripisovanje uteži, ki so vecje od pripadajocih verjetnosti,
tj. π(p) > p, potreben, toda ne tudi zadosten pogoj za naklonjenost tveganju ob
prejemkih. Isti pogoj je namrec tudi potreben, a ne zadosten, za zavracanje tveganja
ob izgubah. Ta analiza omejuje naklonjenost tveganju ob prejemkih in zavracanje
46
tveganja ob izgubah na majhne verjetnosti, kjer je pricakovati pripisovanje uteži, ki
so vecje od pripadajocih verjetnosti.
S temi pogoji lahko razložimo istocasno nakupovanje iger na sreco in zavaro-
vanj: pripisovanje uteži, ki so vecje od pripadajocih, majhnih verjetnosti, protežira
oboje, medtem ko funkcija vrednosti v obliki crke S stremi k zaviranju obeh ob-
našanj. Vendar pa, kot sta dodala Kahneman in Tversky (1979, str. 286) »ta analiza
zdalec ne dosega popolnoma ustrezne razlage teh dveh kompleksnih pojavov.« Vec
raziskav je namrec pokazalo, da ljudje pogosto kupujejo zavarovanja za primer do-
godkov, ki so srednje verjetni, in da so vcasih nezgode z majhno verjetnostjo povsem
ignorirane. Po njunem bi obsežna teorija zavarovalnega obnašanja morala poleg
cistega odnosa do tveganja in do denarja obravnavati tudi faktorje, kot so: vrednost
varnosti, družbene norme opreznosti, zavracanje velikega števila majhnih placil v
daljšem obdobju, informiranje in dezinformiranje glede verjetnosti in placil, itd.
Nekatere ucinke teh spremenljivk bi se dalo razložiti znotraj že predstavljenega,
npr. kot spremembe referencne tocke, kot preoblikovanje funkcije vrednosti ali kot
manipulacije verjetnosti ali uteži pri odlocanju; drugi ucinki pa bi zahtevali vpeljavo
spremenljivk ali konceptov, ki še niso bili obravnavani.
Odnos do tveganja se lahko spremeni tudi s spremembo referencne tocke. Kah-
neman in Tversky (1979, str. 287) sta predstavila primer posameznika, ki pricakuje,
da bo kupil zavarovanje, morda zato, ker ga je imel že v preteklosti ali pa ker ga
imajo njegovi prijatelji. Ta posameznik lahko odlocitev o placilu premije x2, da bi
se zavaroval proti izgubi x1, kjer je seveda x1 > x2 > 0, zaznava kot izbiro med(p ◦ (−x1 + x2), (1− p) ◦ x2
)in 0, ne pa kot izbiro med
(p ◦ (−x1)
)in −x2. Kahneman in
Tversky sta na istem mestu zatrdila, da je zavarovanje bolj privlacno ob prvi pona-
zoritvi kot ob drugi, cesar pa formalno nista pokazala.36
36Prepricajmo se o veljavnosti Kahneman-Tverskyjevega sklepanja. Za x1 > x2 > 0 je treba pokazati,
da ce je posameznik indiferenten med izbiro zavarovanja, −x2, in nezavarovanja,(p◦ (−x1)
), potem bo
(ob prvi ponazoritvi) vsaj tako rad izbral zavarovanje, 0, kot nezavarovanje,(p◦ (−x1+x2), (1−p)◦x2
).
Za x1 > x2 > 0 je torej treba pokazati: −x2 ∼(p ◦ (−x1)
)⇒ 0 <
(p ◦ (−x1 + x2), (1− p) ◦ x2
), tj. z uporabo
(6.1), ce v(−x2) = π(p)v(−x1), potem mora biti (ker je v(0) = 0) 0 > π(p)v(−x1 + x2) + π(1 − p)v(x2). To
pokažemo z:
V(p ◦ (−x1 + x2), (1 − p) ◦ x2
)= π(p)v(−x1 + x2) + π(1 − p)v(x2)
< π(p)v(−x1) + π(p)v(x2) + π(1 − p)v(x2) z upoštevanjem lastnosti v(·),
= v(−x2) + π(p)v(x2) + π(1 − p)v(x2) s substitucijo,
< −v(x2) + v(x2)[π(p) + π(1 − p)] z upoštevanjem v(−x2) < −v(x2),
= v(x2)[π(p) + π(1 − p) − 1]
< 0 z upoštevanjem podgotovosti.
47
Kahneman in Tversky (1979, str. 287) sta predlagala, da se referencna tocka spre-
meni tudi, ko oseba svojo odlocitev oblikuje v smislu koncnih stanj premoženja in
ne v smislu prejemkov in izgub. V tem primeru je referencna tocka postavljena na
mesto, kjer je stanje premoženja enako nic, funkcija vrednosti pa je v tem primeru
zelo verjetno na celotnem definicijskem obmocju konkavna. Glede na dano analizo
teorije izgledov ta formulacija v bistvu izloci naklonjenost tveganju, razen igranja
na sreco ob majhnih verjetnostih. Eksplicitna formulacija problemov odlocanja v
smislu koncnih stanj premoženja je po mnenju Kahnemana in Tverskyja »morda
najbolj ucinkovit nacin za izlocitev naklonjenosti tveganju na podrocju izgub.« (prav
tam).
Ce povzamemo, teorija pricakovane koristnosti razloži zavracanje tveganja kot
prevladujoce obnašanje s konkavnostjo funkcije koristnosti. Teorija izgledov na
drugi strani posameznikovo višje zavracanje tveganja razloži z bolj konkavno fun-
kcijo vrednosti, bolj konveksno funkcijo uteži ali pa z višjo stopnjo nenaklonjenosti
izgubam.
6.5 Aplikacija teorije izgledov
Intuitivna privlacnost teorije izgledov je mnoge raziskovalce vzpodbudila k iskanju
dokazov, kako je obnašanje posameznikov na razlicnih ekonomskih podrocjih, kjer
podatki kažejo anomalije teorije EU, možno razložiti z elementi nove teorije, kot so
npr. nenaklonjenost izgubam, ucinek zrcaljenja in nelinearnost funkcije uteži.
Mehra in Prescott (1985) sta proucevala donose delnic, ki so bili v vecini 20. sto-
letja precej bolj variabilni od donosov obveznic, hkrati pa so bili povprecni letni
delniški donosi precej višji od obvezniških – razlika med tema dvema donosoma se
imenuje premija za delnice (angl. equity premium). Ugotovila sta, da iz teorije EU
ob upoštevanju teh podatkov sledi, da morajo vlagatelji ob tako visoki premiji za
delnice absurdno zavracati tveganje. Benartzi in Thaler (1995) sta ponudila odgovor,
temeljec na teoriji izgledov. Navedla sta, da je od leta 1926 do njune objave letni
realni delniški donos v povprecju znašal okrog 7%, realni donos na državne ob-
veznice pa manj kot 1% (prav tam, str. 73). Ideja, ki sta jo predstavila, je, da vlagatelji
ne zavracajo variabilnosti donosov, temvec zavracajo izgube, tj. nenaklonjeni so
možnostim, da so donosi negativni. Ker so letni delniški donosi veliko pogosteje
negativni kot obvezniški, zahtevajo izgubam nenaklonjeni vlagatelji visoko premijo
za delnice. Benartzi in Thaler (1995) sta pokazala, da vlagateljem v obdobju enega
leta delniški in obvezniški donosi predstavljajo približno enake koristnosti, ce upora-
48
bimo linearno funkcijo vrednosti s koeficientom nenaklonjenosti izgubam 2,25 (do
takšne ocene koeficienta nenaklonjenosti izgubam sta sicer prišla Tversky in Kah-
neman (1992)), tj. v(x) = x, x > 0; v(x) = 2, 25x, x < 0, in ce so delniški donosi, kot
pravijo podatki, v povprecju vsaj za 6 odstotnih tock višji od obvezniških (prav tam,
str. 83). Barberis, Huang in Santos (2001) pa so nenaklonjenost izgubam vkljucili
v standardni model vrednotenja premoženja (angl. asset pricing model). Pokazali
so, da sta za razlago premije za delnice nujna nenaklonjenost izgubam ter ucinek
pridobljenega denarja (angl. ‘house money’ effect), ki pomeni, da vlagatelji po dvigu
delniških tecajev vec tvegajo (prav tam, str. 18).
Shefrin in Statman (1985) sta na podlagi nenaklonjenosti izgubam obravnavala
obnašanje, kjer vlagatelji predolgo hranijo vrednostne papirje, ki so izgubili vred-
nost v primerjavi z nakupno ceno, vrednostne papirje, ki jim je narastla vrednost,
pa so neucakano željni prodati. To obnašanje sta (prav tam, str. 778) poimenovala
ucinek razpolaganja (angl. disposition effect). Ucinek razpolaganja je anomalen, saj
nakupna cena vrednostnega papirja ne bi smela vplivati na prodajo tega papirja;
ce menimo, da bo vrednostnemu papirju narastla vrednost, naj bi ga obdržali, ce
pa menimo, da mu bo vrednost padla, pa naj bi ga prodali. Weber in Camerer
(1998) sta z eksperimenti potrdila ucinek razpolaganja. Njuni subjekti so prodali
manj vrednostnih papirjev, ko je njihova cena padala, kot tedaj, ko je narašcala, prav
tako pa so prodali manj vrednostnih papirjev, ko je bila njihova cena pod nakupno
ceno, kot tedaj, ko je bila nad njo. Dobljena ucinka kažeta na to, da na izbiranje
vpliva vec referencnih tock: cene v predhodnem trenutku in nakupne cene. Njuni
subjekti so torej ravnali ravno obratno, kot bi bilo možno pricakovati: »prodajali so
,zmagovalne’ vrednostne papirje in hranili ,izgubarske’.« (prav tam, str. 181). Enake
rezultate je dobil tudi Odean (1998), pri obravnavi nepremicninskega trga pa tudi
Genesove in Mayer (2001).
Camerer et al. (1997) so z raziskavo ponudbe dela med taksisti v New Yorku od-
krili, da si mnogi taksisti postavijo nek cilj glede dnevnega dohodka in da prenehajo
z delom, ko ta cilj dosežejo. Ceprav se zasledovanje ciljnega dnevnega dohodka zdi
smiselno, to pomeni, da bodo taksisti delali veliko ur v slabih dneh, ko je zaslužek
na uro nizek, medtem ko bodo v dneh, ko je zaslužek na uro visok, zgodaj prenehali
z delom. Standardna teorija ponudbe dela napoveduje obratno: taksisti bodo delali
tiste ure, ki so bolj donosne, zgodaj prenehali z delom v slabih dneh in izpad na-
doknadili z delom v donosnih dneh (prav tam, str. 407). Teorija ciljnega dnevnega
dohodka in standardna teorija ponudbe dela torej napovedujeta nasprotna predzna-
ka korelacije med urami in dnevnim zaslužkom. Camerer et al. (1997) so med tema
dvema spremenljivkama izmerili mocno negativno korelacijo pri neizkušenih taksi-
49
stih in približno nicelno korelacijo pri bolj izkušenih, kar pomeni, da so neizkušeni
taksisti zasledovali ciljni dnevni dohodek, bolj izkušeni pa so vsak dan delali pribli-
žno enako število ur. Zasledovanje ciljnega dnevnega dohodka na posredni nacin
vkljucuje nenaklonjenost izgubam. Pri neizkušenih taksistih se namrec funkcija
koristnosti pri ciljnem dnevnem dohodku mocno upogne, saj so ti taksisti ob ne-
doseganju ciljnega dohodka, torej referencne tocke, nenaklonjeni ,izgubam’ (prav
tam, str. 411).
Putler (1992) je prvi preverjal in odkril asimetrijo cenovne elasticnosti povpraše-
vanja, ki pravi, da je cenovna elasticnost vecja ob porastu cen kot ob enako velikem
znižanju cen. Asimetricna cenovna elasticnost je prav tako posledica nenaklonjen-
osti izgubam; potrošniki, nenaklonjeni izgubam, se na porast cen odzovejo bolj kot
na enako veliko znižanje cen (prav tam, str. 304). Hardie, Johnson in Fader (1993)
so obstoj asimetricne cenovne elasticnosti potrdili na primeru razlicnih blagovnih
znamk, pri cemer so ugotavljali še druge dejavnike, ki lahko vplivajo na asimetrijo.
Shea (1995) je s svojo empiricno raziskavo ugotovil, da se v modelu življenjske
potrošnje ljudje ne obnašajo povsem v skladu s standardno teorijo. Potrošnja nje-
govih subjektov je bila asimetricna glede na predvidljiva zmanjšanja oz. povecanja
njihovih dohodkov, ta asimetrija pa je »lahko konsistentna z modeli, ki vkljucujejo
nenaklonjenost izgubam« (prav tam, str. 199). Bowman, Minehart in Rabin (1999)
so potrdili Sheevo odkritje nekonsistentnosti standardnega modela potrošnje ter po-
dali teoreticno in empiricno razlago za pojav asimetrije v obnašanju potrošnikov. V
njihovi raziskavi so se zaposleni ob novici o znižanju njihovih prihodnjih dohodkov
bolj upirali zmanjšanju potrošnje, kot so se ob novici o zvišanju prihodnjih dohod-
kov upirali povecanju potrošnje (prav tam, str. 155).
Samuelson in Zeckhauser (1988) sta z nenaklonjenostjo izgubam pojasnila nagnje-
nost ljudi k ohranjanju obstojecega stanja. Ugotovila sta, da potrošniki, še posebno
starejši, neradi zamenjujejo nacrt zdravstvenega zavarovanja ter raje ohranjajo ob-
stojece zavarovanje. Takšno obnašanje sta (prav tam, str. 7) poimenovala pristranost
obstojecega stanja (angl. status quo bias). Johnson et al. (1993) pa so odkrili, da se
ljudje pri nakupu zavarovanj bistveno bolj odlocajo za zavarovanje, ki ga zava-
rovalnice nastavijo kot predhodno izbiro, ceprav lahko ljudje izberejo katerokoli
drugo zavarovanje. Thaler (1980) je odkril še eno manifestacijo nenaklonjenosti
izgubam, ki jo je imenoval ucinek pridobitve (angl. endowment effect) in jo enacil s
podcenjevanjem oportunitetnih stroškov; posamezniku naj bi pridobljene dobrine
predstavljale precej vecjo vrednost, kot dobrine, ki jih nima, saj naj bi odtujitev te
dobrine posamezniku predstavljala izgubo, pridobitev taiste dobrine (k portfelju,
kjer je ni) pa prejemek (prav tam, str. 44). Kahneman, Knetsch in Thaler (1990) so z
50
vec eksperimenti pokazali, da se ucinek pridobitve obdrži tudi v razmerah, v katerih
med subjekti obstajajo možnosti ucenja. Kot so opozorili, je ta ucinek možno opaziti
tudi v podjetjih in drugih organizacijah, ki naj bi se »tako nerada znebila oddelkov,
obratov in proizvodnih linij, ceprav ne bi nikoli razmišljala o nakupu teh sredstev;
pravzaprav delnicam navadno naraste vrednost, ko se podjetja odpovejo tem sred-
stvom« (prav tam, str. 1345).
Jullien in Salanié (2000) sta proucevala odlocanje ljudi ob stavah na konjskih
dirkah. Preverjala sta vzroke za nadproporcionalno izbiranje drznih stav (angl. fa-
vorite/long shot bias) na konje, ki imajo relativno majhno verjetnost za zmago. Ti
konji so v daljšem razdobju procentualno zmagovali bistveno manj casa, kot je
znašal nanje stavljen odstotek celotnega denarja v vseh stavah (prav tam, str. 507).
Ugotovila sta, da se pri tem ljudje veliko bolj kot v skladu s teorijo EU obnašajo v
skladu s teorijo izgledov. Dobila sta rezultate, da je funkcija vrednosti ob majhnih
zneskih konveksna, poleg tega pa sta ocenila, da je funkcija uteži ob prejemkih sko-
raj linearna, ob izgubah pa sta zabeležila mocno pripisovanje uteži, ki so vecje od
pripadajocih majhnih verjetnosti. Že Ali (1977) pa je na podrocju stav na konjskih
dirkah odkril anomalijo, ki kaže na osrednjo vlogo referencne tocke. Ta anomalija
pravi, da se ljudje proti koncu tekmovalnega dne vedno bolj odlocajo za drzne stave
na konje, ki imajo relativno majhno verjetnost za zmago, saj je dotlej vecina ljudi
zaradi provizije organizatorja vec izgubila kot dobila, te izgube pa lahko pokrijejo
le še s stavami na konje z majhno verjetnostjo za zmago (in visokim dobitkom ob
takšni realizaciji).
Cook in Clotfelter (1993) sta obravnavala popularnost lota. Sklepala sta, da
ta izvira iz vecje obcutljivosti igralcev na visok glavni dobitek kot na nizko ver-
jetnost tega dobitka (prav tam, str. 634): »Vecji del populacije dejansko sam sebi
prikriva zmanjšanje verjetnosti glavnega dobitka, medtem ko je povecanje glavnega
dobitka zelo vplivno. Ta interpretacija je skladna s teorijo izgledov.« Njune regresije
so pokazale, da je prodaja sreck na prebivalca mocno odvisna od velikosti popu-
lacije v posamezni državi znotraj ZDA, velikost populacije pa mocno vpliva na
velikost glavnega dobitka. Znotraj posamezne države je tedenska prodaja sreck za
loto mocno odvisna od velikosti prenesenega dobitka iz prejšnjega v tekoci teden.
Teorija EU lahko to pojasni le s konveksnimi funkcijami koristnosti denarja, teorija
izgledov pa, kot sta predlagala Cook in Clotfelter (1993), to zlahka pojasni s pripiso-
vanjem uteži, ki so vecje od pripadajocih majhnih verjetnosti.
V vseh predstavljenih primerih je potrebno predpostaviti, da se ljudje pri rele-
vantnih odlocitvah osredotocajo na posamezne dejavnike; npr. bodisi na velikost
možnih ekstremnih izgub ali prejemkov bodisi na nizke verjetnosti. Ob takšnih
51
predpostavkah ti primeri kažejo, da je teorijo EU možno uspešno nadomestiti s
teorijo izgledov, saj slednja lahko razloži obravnavane anomalije, poleg tega pa
lahko razloži tudi vse osnovne pojave, ki jih lahko razloži teorija EU.
6.6 Omejitve in kritika teorije izgledov
6.6.1 Samokritika
Kahneman (2000, str. x) je o teoriji izgledov zapisal: »Teorija, ki sva jo skonstruirala,
je bila karseda konzervativna. [...] Nisva podala izziva filozofski analizi izbir v
smislu prepricanj in želja, ki je podstat teorije koristnosti, niti nisva preizkusila nor-
mativnih modelov racionalne izbire, ki so jih podali von Neumann in Morgenstern in
kasneje Savage. Cilj, ki sva si ga postavila, naj bi bil s cim manj spremembami teorije
pricakovane koristnosti zagotoviti deskriptivno veljavnost vsega, kar je bilo znano
o resno omejenem razredu odlocitev – izbir med enostavnimi denarnimi loterijami
z objektivno dolocenimi verjetnostmi in najvec dvema nenicelnima placiloma. Brez
dodatnih predpostavk teorije izgledov ni možno uporabiti pri loterijah, ki imajo
vecje število placil, pri loterijah odvisnih od dogodkov, ali pri drugih transakcijah
razen izbiranja; teorija niti ne specificira prodajne cene denarnih loterij.«
Kahneman in Tversky (1979, str. 288) sta menila, da je »razširitev enacb (6.1) in
(6.2) za primer loterij s poljubnim številom placil povsem enostavna«. Kahneman
(2000, str. x) je to pojasnil: »Najina upanja polna izjava [...] se je izkazala kot zelo
optimisticna. Do tega, kar pravi, sva se dokopala trinajst let kasneje, razširitev pa je
bila vse prej kot enostavna.«
6.6.2 Kršitve stohasticne dominantnosti (monotonosti) ter
intranzitivnost
Starmer (2000, str. 353) zagovarja mnenje, da vpeljava odkrivanja dominantnosti v
fazi urejanja ne odpravi vseh možnosti za kršitev monotonosti, saj naj bi Kahne-
man in Tversky po njegovem mnenju predpostavljala, da »posamezniki pregledajo
množico možnih izbir in odstranijo dominirane loterije le, ce jih odkrijejo.« To naj bi
pomenilo, da so takšne možnosti lahko izbrane, saj preferencna funkcija v splošnem
ni monotona, posledica tega pa je, da izbire niso nujno tranzitivne (prav tam).
Po mnenju Starmerja (2000, str. 353) zaradi nelinearnosti π(·) iz teorije izgle-
dov sledi, da obstajata loteriji g in g′, kjer g stohasticno dominira nad g′, tako da
52
je V(g′) > V(g). Da bi videli, kako lahko nelinearnost funkcije π(·) generira kršitve
monotonosti, tj. kršitve stohasticne dominantnosti, obravnavajmo enostaven primer,
kjer je g = (1 ◦ x) in g′ =(p ◦ (x − ε), (1 − p) ◦ x
)(Starmer, 2000, str. 353). Postavimo
ε > 0, tj. g dominira nad g′: ce je π(·) konkavna, je verjetnostim pripisana vecja utež
od pripadajoce verjetnosti in za nek ε je preferirana dominirana loterija g′ (obratno,
ce bi postavili ε < 0, tj. ce g′ dominira nad g, bi bila v primeru konveksne π(·)
verjetnostim pripisana manjša utež od pripadajoce verjetnosti in za nek ε bi bila
preferirana dominirana loterija g).
Dokler je dominantnost transparentna, odkrivanje dominantnosti zagotavlja, da
ne bo prišlo do neposrednih kršitev monotonosti in g′ ne bo izbrana pred stohasticno
dominantno loterijo g. Na problem kršitve stohasticne dominantnosti je prvi opo-
zoril Machina (1982, str. 292), ki je trdil, da naj bi bila teorija izgledov zaradi tega
razloga »nesprejemljiva kot deskriptivni model obnašanja v razmerah tveganja.«
Tversky in Kahneman (1986, str. S272) sta ta ocitek zavrnila rekoc: »Toda, ker so bile
kršitve stohasticne dominantnosti, ki jih je napovedala teorija izgledov, dejansko
opazovane [...], je Machinov ocitek neveljaven.« Kakorkoli že, v splošnem bi bilo
moc najti še neko tretjo loterijo g′′, tako da bi veljalo V(g′) > V(g′′) > V(g) (Starmer,
2000, str. 353–354). Ce ni povezave v dominantnosti med g′′ in bodisi g bodisi g′,
potem bo izbira med posameznima dvema od teh treh loterij ob izlocitvi domini-
ranih loterij tvorila sistematicni krog izbir, v katerem je g �i g′, g′ �i g′′ in g′′ �i g,
kjer �i pomeni relacijo ,je izbran pred’. Kot je videti je tedaj kršena tranzitivnost, kar
je Quiggin (1982, str. 327) poimenoval ,nezaželen rezultat’.
Quigginova reakcija ni netipicna za ekonomiste, ki vecinoma tako tranzitivnost
kot monotonost privzemajo za osnovni naceli, ki naj bi ju vsebovala vsaka zado-
voljiva teorija. Na drugi strani je vec ekonomistov, vkljucno s Quigginom, me-
nilo, da so pogledi teorije izgledov privlacni, in glavne lastnosti teorije izgledov so
poskušali vgraditi v modele, ki bi bili bolj skladni s konvencionalnimi teoreticni-
mi zahtevami. Quiggin (1982) je želel pokazati, da je lahko glavna lastnost teorije
izgledov, tj. nelinearne odlocitvene uteži, vsebovana v preferencni funkciji, ne da
bi se odpovedali monotonosti. S konstruiranjem odlocitvenih uteži kumulativno
glede na velikostni vrstni red posameznih placil je dobil tranzitivno preferencno
funkcijo, ki je monotona, ne da bi bili potrebni dodatni postopki urejanja. Prispevki
Starmerja in Sugdena (1989), Lucea in Fishburna (1991) ter Tverskyja in Kahnemana
(1992) kažejo, da je od razvrstitve odvisna oblika lahko razširjena tako, da upošteva
še en kljucni element teorije izgledov, tj. vrednotenje placil glede na referencno tocko.
53
6.6.3 Debata o deskriptivni veljavnosti
Debata o deskriptivni veljavnosti teorije izgledov še vedno ni zakljucena. Levy in
Levy (2002) sta v svojem prispevku predstavila podatke, ki naj bi kršili teorijo izgle-
dov. Trdila sta, da Kahneman-Tverskyjeva hipoteza o S obliki funkcije vrednosti ni
veljavna in da je vsaj 62% izbir nekonsistentnih s teorijo izgledov (prav tam, str. 1344).
Wakker (2003) pa je pokazal nasprotno: da so vsi podatki, ki sta jih objavila Levy
in Levy (2002) popolnoma konsistentni z napovedmi teorije izgledov, kot naj bi se
lahko enostavno prepricali z uporabo formul te teorije. Wakker (2003, str. 980) je
zapisal, da je napaka Levy-Levyjeve analize v tem, da sta v teoriji izgledov zanema-
rila funkcijo uteži. Levy in Levy (2002, str. 1341) sta namrec zagovarjala, da so »vse
verjetnosti, dane v eksperimentih, relativno velike (p > 0, 25), zatorej ni verjetno, da
bi izkrivljenje subjektivnih verjetnosti igralo pomembno vlogo v procesu odlocanja.«
6.6.4 Pomen teorije izgledov
Kakorkoli že, Kahneman in Tversky (1979) sta teorijo EU napadla na eleganten,
smiselno povezan in prepricljiv nacin. Od njune objave dalje Allaisevega paradoksa
ni bilo vec možno obravnavati zgolj kot osamljeno anomalijo. Teorija izgledov
je vplivala na ekonomiste, da so kršitve teorije EU zaceli obravnavali bolj resno. V
zadnjih 25-ih letih so Kahneman-Tverskyjevi teoriji sledile številne raziskave. To fazo
raziskovanja lahko razumemo kot nadaljnji dialog med alternativnimi modeli teoriji
EU in kot iznajdljive preizkuse, ki omogocajo razlikovanja med temi alternativnimi
modeli. Poleg tega so teoretiki želeli dobiti model, ki bi model EU vkljuceval kot
posebni primer.
54
7
Alternative teoriji izgledov (razmere tveganja)
7.1 Sprostitve aksioma neodvisnosti
7.1.1 Allaisev paradoks z Marschak-Machinovim trikotnikom
Enostaven pripomocek, ki je v raziskovanju v obdobju po teoriji izgledov olajšal dia-
log, je Marschak-Machinov trikotnik, imenovan tudi verjetnostni trikotnik (angl. proba-
bility triangle), ki ga je prvi predstavil Marschak (1950). Marschak (1950, str. 114–115)
je v svoji obravnavi loterij s poljubnim številom izidov, ~a = (a1, . . . , ar, . . . , an+1), in
pripadajocih verjetnosti, ~p = (p1, . . . , pr, . . . , pn+1), definiral, da lahko te loterije pred-
stavimo s tockami (p1, . . . , pr−1, pr+1, . . . , pn+1) v domeni n-dimenzionalnega evklidske-
ga vektorskega prostora, pri cemer ta domena vsebuje vse tocke, za katere velja:
pi > 0 za i = 1, . . . ,n + 1, i , r,n+1∑i=1i,r
pi 6 1 ter pr = 1 −( n+1∑
i=1i,r
pi
). (7.1)
Vsaka loterija, ki vsaj enemu izidu ai za i = 1, . . . ,n+1 pripiše nicelno verjetnost pi,
leži na robu te domene. Vsaka loterija, ki ne leži na robu, je notranja tocka domene.
Notranjost domene in njene robne tocke je Marschak za n = 2, tj. za loterije z najvec
tremi nenicelnimi izidi, geometricno predstavil s pravokotnim enakokrakim trikot-
nikom z dolžino katete ene enote (gl. sliko 7.1). Za poljubno tocko, ki se nahaja v
tem trikotniku ali na njegovem robu, torej v domeni, potem velja: p1 + p2 + p3 = 1.
Verjetnostni trikotnik je kasneje za fiksne izide a1 � a2 � a3 uporabil Machina (1982,
str. 305–306) in sicer na ravnini (p3, p1), kjer lahko predstavimo vse loterije, ki izide
a1, a2 in a3 ponujajo s pripadajocimi verjetnostmi p1, 1 − (p1 + p3) in p3. V tej ravnini
oglišce trikotnika (0,0) predstavlja loterijo, ki z gotovostjo ponuja izid a2, ostali oglišci,
(1,0) in (0,1), pa loteriji, ki z gotovostjo ponujata izida a3 oz. a1.
Ce upoštevamo razvršcanje in zveznost, lahko preference do loterij predstavimo
z množico indiferencnih krivulj, tj. z nivojnicami funkcije koristnosti v trikotniku.
V Machinovem primeru koristnost loterij zaradi izbrane ravnine (p3, p1) narašca v
smeri gibanja levo navzgor. Ker je funkcija koristnosti loterij v teoriji EU zaradi
aksioma neodvisnosti linearna funkcija pripadajocih verjetnosti, so indiferencne
krivulje linearne in vzporedne daljice (gl. sliko 7.1a). Posameznikov odnos do tve-
ganja je v tem primeru predstavljen z naklonom indiferencnih krivulj. Bolj ko
55
Slika 7.1: Marschak-Machinov trikotnik in Allaisev paradoks
(a) oseba, ki maksimira pricakovano
koristnost
(b) oseba z indiferencnimi krivulja-
mi, ki se razprostirajo navzven
(c) indiferencne krivulje v kumulativni
teoriji izgledov, za nenegativne loter-
ije
Vir: (a) in (b) Machina, 1982, str. 305; (c) Tversky in Kahneman, 1992, str. 314.
posameznik zavraca tveganje, vecji je naklon, saj je smerni kolicnik dan z razmerjem
[u(a2)−u(a3)]/[u(a1)−u(a2)],37 ki se zaradi lastnosti u(·) povecuje s stopnjo zavracanja
tveganja. Zavracanje tveganja lahko z naklonom indiferencnih krivulj pojasnimo
tudi takole: osebi z višjim naklonom indiferencne krivulje, ki gre skozi izhodišce
(le-to kot receno predstavlja gotovo loterijo a2), moramo ponuditi vecjo verjetnost
prejetja najboljšega placila v tvegani loteriji p1, da bo vzpostavila indiferentnost z
gotovo loterijo, kot pa osebi z nižjim naklonom indiferencne krivulje.
Ce je a1 = 500 mio FRF, a2 = 100 mio FRF in a3 = 0 FRF, potem tocke g, g′, h in
h′, ki ustrezajo štirim loterijam v Allaisevem paradoksu, orišejo paralelogram, kot
je prikazano na slikah 7.1a in 7.1b. Loterija g, ki z gotovostjo ponuja 100 mio FRF,
je torej locirana v spodnjem levem oglišcu verjetnostnega trikotnika, loteriji h in h′
sta, ker pripišeta pozitivni verjetnosti le dvema od treh možnih placil, locirani na
stranicah trikotnikov, medtem ko leži g′, ki pripiše pozitivne verjetnosti vsem trem
placilom, v notranjosti trikotnika.
Slika 7.1a prikazuje, zakaj mora oseba, ki maksimira pricakovano koristnost,
preferirati bodisi g′ in h′, ce je naklon indiferencnih krivulj manjši od naklona
zveznice, ki povezuje loteriji g in g′ oz. h in h′ (tj., ce je smerni kolicnik manjši
od 10), bodisi g in h, ce je naklon vecji od naklona te zveznice (tj., ce je smerni
37Smerni kolicnik indiferencne krivulje dobimo iz:
p1u(a1) +(1 − (p1 + p3)
)u(a2) + p3u(a3) = c
p1[u(a1) − u(a2)] − p3[u(a2) − u(a3)] = c − u(a2)
p1 =[(
u(a2) − u(a3))/(
u(a1) − u(a2))]
p3 + C, kjer je a1 � a2 � a3.
56
kolicnik vecji od 10). Videti je torej, da je Allaisevo obnašanje, (g, h′), v nasprotju s
teorijo pricakovane koristnosti.
Marschak-Machinov trikotnik je priskrbel skupni jezik in osnovo za razumevanje
razlicnih modelov. Omogocil je graficno ponazoritev empiricnih odkritij. Razlicne
modele je možno obravnavati glede na razlike v naklonu, obliki in lastnostih razpro-
stiranja indiferencnih krivulj v trikotniku.
7.1.2 Machinova hipoteza razprostiranja navzven
Že Machina (1982) je predlagal hipotezo, ki Allaisevo obnašanje razlaga s pomocjo
nevzporednih indiferencnih krivulj. V verjetnostnem trikotniku je uporabil indife-
rencne krivulje, ki se razprostirajo navzven (angl. fanning out), kot to kaže slika 7.1b.
Razprostiranje indiferencnih krivulj navzven izhaja iz teorije tehtane koristnosti, ki
sta jo leta 1979 osnovala Chew in MacCrimmon. Pri osebi s takšnimi indiferencnimi
krivuljami vecji nakloni indiferencnih krivulj ob vertikalni osi v primerjavi z nakloni
ob horizontalni osi kažejo njeno vecjo obcutljivost, merjeno s spremembo koristnosti,
na spremembe p3 kot pa na spremembe p1, ko je p3 majhna glede na p1, in obratno.
Z drugimi besedami, bolj ko se oseba sooca z boljšimi loterijami, cedalje manj je
naklonjena tveganju.
Slika 7.1b prikazuje primer, v katerem lahko posameznik z navzven razprostira-
jocimi se indiferencnimi krivuljami krši aksiom neodvisnosti v Allaisevem primeru
z izbiranjem tipicnih izbir g in h′. Razprostiranje indiferencnih krivulj navzven je
konsistentno z ucinkoma skupne posledice in skupnega razmerja (Starmer, 2000,
str. 343).
Crawford (1990, str. 128) je razprostiranje linearnih indiferencnih krivulj na-
vzven komentiral: »Machina je pokazal, da zamenjava linearnosti v verjetnostih,
ki je posledica aksioma neodvisnosti, z lokalno linearnostjo odvedljive preferencne
funkcije zagotavlja ,posplošeno analizo pricakovane koristnosti’, ki omogoca prepri-
cljivo in jedrnato razlago zelo znanih eksperimentalnih kršitev hipoteze pricakovane
koristnosti, medtem ko ohranja mnogo tehnik in rezultatov analize pricakovane ko-
ristnosti.«
V nasprotju s Crawfordovim komentarjem sta Loomes in Sugden (1987, str. 277)
opozorila, da Machina (1982) v svojem modelu ni eksplicitno navedel, da morajo biti
indiferencne krivulje linearne: »V njegovi posplošeni analizi pricakovane koristnosti
[...] se indiferencne krivulje razprostirajo navzven, toda niso nujno ravne crte.«
57
7.1.3 Kršitve Machinove hipoteze
Machinova hipoteza, da se indiferencne krivulje povsod v verjetnostnem trikot-
niku razprostirajo navzven, je spodbudila mnoga empiricna testiranja. V Con-
liskovem (1989, str. 397–400) eksperimentu je 37,3% subjektov hkrati dalo prednost
g = (0, 10◦$5 mio; 0, 89◦$1 mio) pred g′ = (0, 20◦$5 mio; 0, 78◦$1 mio) v prvem paru
in h′ = (0, 98 ◦ $5 mio) pred h = (0, 88 ◦ $5 mio; 0, 11 ◦ $1 mio) v drugem. Ta vzorec
krši razprostiranje navzven, saj postajajo preference pri loterijah z višjo pricakovano
vrednostjo bolj naklonjene tveganju.
Predstavljeni posebni problem posplošuje ucinek skupne posledice v naslednjem
pomenu. V Allaisevem primeru je verjetnostna porazdelitev premaknjena od naj-
nižjega k srednjemu prejemku, kar ustreza horizontalnemu premiku v levo parov
loterij v verjetnostnem trikotniku. Medtem pa imamo tukaj opravka s premikom od
srednjega k najvišjemu prejemku, kar ustreza vertikalnemu premiku navzgor parov
loterij. Podobne rezultate, ki tako kot Conliskov primer kažejo, da se indiferencne
krivulje v levem delu trikotnika razprostirajo navzvnoter, najdemo tudi v drugih
prispevkih (npr. Camerer, 1989; Wu in Gonzales, 1998).
Prelec (1990, str. 248–250) je pokazal razprostiranje navznoter v drugem, to
je desnem kotu trikotnika. 55% njegovih subjektov je namrec hkrati preferiralo
g = (0, 02 ◦ $20.000) pred g′ = (0, 01 ◦ $30.000) in h′ = (0, 01 ◦ $30.000; 0, 32 ◦ $20.000)
pred h = (0, 34◦ $20.000). V tem eksperimentu ni niti en subjekt izkazoval preferenc,
ki bi bile v skladu z raprostiranjem indiferencnih krivulj navzven (vseh preostalih
45% subjektov se je odlocalo v skladu s teorijo EU). Wu in Gonzales (1996) sta odkrila
podobne vzorce razprostiranja navznoter ob spodnjem robu trikotnika.
7.1.4 Aksiom vmesnosti
Ker ucinka skupne posledice in skupnega razmerja kršita aksiom neodvisnosti, se je
pojavila potreba po ustreznem deskriptivnem modelu odlocanja v razmerah tvega-
nja, ki bi aksiom neodvisnosti na nek nacin sprostil (Camerer in Ho, 1994, str. 169).
Vec posplošenih modelov EU je aksiom neodvisnosti zamenjalo z njegovo šibkejšo
obliko, ki se imenuje vmesnost (angl. betweeness).
Vmesnost, ki jo je prvi v eksplicitni obliki predstavil in uporabil Chew (1983), do-
bimo kot posebni primer aksioma neodvisnosti, in sicer, ko je v aksiomu neodvisnosti
(3.5) zahtevano, da je loterija g′′ zamenjana bodisi z g bodisi z g′. Vmesnost potem-
takem zahteva, da se preference do loterije, ki je sestavljena iz dveh posameznih
loterij, nahajajo nekje vmes med posameznimi preferencami do teh dveh loterij
58
(odtod ime ,vmesnost’), tj. za poljubni dve loteriji g in g′ velja (Chew, 1983, str. 1067):
g � g′ ⇒ g �(p ◦ g, (1 − p) ◦ g′
)� g′, ∀p ∈ (0, 1). (7.2)
Dekel (1986) je poleg te v svojem modelu uporabil še indiferencno obliko vmesnosti
(prav tam, str. 306):
g ∼ g′ ⇒ g ∼(p ◦ g, (1 − p) ◦ g′
)∼ g′, ∀p ∈ [0, 1]. (7.3)
Ce smo torej indiferentni do dveh loterij, potem smo indiferentni do poljubnih loterij,
sestavljenih iz teh dveh.
Iz vmesnosti sledi linearnost indiferencnih krivulj in obratno, iz vsakega modela
z linearnimi indiferencnimi krivuljami sledi veljavnost vmesnosti (Starmer, 2000,
str. 344). Vmesnost je intuitivno privlacna kot tudi pragmaticna: Crawford (1990) je
pokazal, da nekatere pomembne ekonomske aplikacije zahtevajo le vmesnost in ne
striktne veljave aksioma neodvisnosti. Predlagani so bili številni modeli z vmesno-
stjo vkljucno s teorijo implicitne pricakovane koristnosti (angl. implicit expected utility
theory) (Dekel, 1986) in teorijo implicitne tehtane koristnosti (angl. implicit weighted
utility theory) (Chew, 1989), ki dopušcata razprostiranje navzven. Gulova (1991)
teorija zavracanja razocaranj (angl. disappointment-aversion theory) in Neilsonova
(1992) hipoteza mešanega razprostiranja (angl. mixed fan hypothesis) pa dopušcata
tako razprostiranje navzven kot navznoter.
7.1.5 Kršitve aksioma vmesnosti
Z deskriptivno veljavnostjo aksioma vmesnosti se je ukvarjalo vecje število raziskav:
ce je vmesnost kršena, so modeli vmesnosti deskriptivno neveljavni. Prelec (1990,
str. 251–252) je zabeležil presenetljivo kršenje vmesnosti v desnem kotu verjetnost-
nega trikotnika. Odkril je, da je 76% subjektov hkrati preferiralo h = (0, 34 ◦ $20.000)
pred h′′ = (0, 17 ◦ $30.000) in h′ = (0, 01 ◦ $30.000; 0, 32 ◦ $20.000) pred h = (0, 34 ◦
$20.000). Ker je h′ = (1617 ◦h, 1
17 ◦h′′), vmesnost zahteva, da preference do h′ ležijo med
preferencami do h in preferencami do h′′. Tudi druga empiricna preverjanja z lote-
rijami, ki se nahajajo v desnem kotu verjetnostnega trikotnika, so odkrila podobne
vzorce (Camerer, 1989; Camerer in Ho, 1994). Prelec (1990, str. 252) je ponudil zelo
intuitiven nacin razlaganja teh odkritij. Ljudem se lahko zdi zamenjava 2 odstot-
nega prejemka 20.000 dolarjev za 1 odstotni prejemek 30.000 dolarjev privlacna, torej
izberejo raje h′ kot h, nocejo pa izvesti 17 takšnih menjav, ki jih predstavlja zamenjava
34 odstotnega prejemka 20.000 dolarjev za 17 odstotni prejemek 30.000 dolarjev. Kot
59
je potrdil Prelec, naj bi bilo takšno obnašanje posledica nelinearne pretvorbe verje-
tnosti.
7.1.6 Sprostitve aksioma vmesnosti
Ce aksiom vmesnosti sprostimo, tj. ce ne velja zahteva po linearnosti indiferencnih
krivulj, se pojavita dva locena primera: kvazi-konveksne in kvazi-konkavne preference
(Camerer in Ho, 1994, str. 173).
Preferencna funkcija V je strogo kvazi-konveksna, ce in samo ce za vsaki loteriji
g , g′ velja (Starmer, 2000, str. 345):
V(p ◦ g, (1 − p) ◦ g′
)< max[V(g),V(g′)], ∀p ∈ (0, 1). (7.4)
To pomeni, da so indiferencne krivulje konkavne oz. da bo posameznik zavracal
mešanje dveh razlicnih loterij, ki sta mu enako privlacni. Kvazi-konveksne prefere-
nce so se v empiricnih raziskavah (npr. Camerer, 1989; Camerer in Ho, 1994) pojavile
pri loterijah, ki se nahajajo levo zgoraj v verjetnostnem trikotniku.
Za strogo kvazi-konkavno preferencno funkcijo za loteriji g , g′ pa velja (prav
tam):
V(p ◦ g, (1 − p) ◦ g′
)> min[V(g),V(g′)], ∀p ∈ (0, 1). (7.5)
V tem primeru so indiferencne krivulje konveksne, kar pomeni, da posameznik raje
izbere mešanico dveh enako privlacnih, a razlicnih loterij, kot pa eno od teh dveh
loterij. Takšno obnašanje je na primer izkazano v predstavljeni Prelecovi obravnavi.
Tako kvazi-konkavnost kot kvazi-konveksnost preferenc pa lahko najdemo levo spo-
daj v verjetnostnem trikotniku (Camerer in Ho, 1994).
Predlaganih je bilo vec modelov, ki uporabljajo šibkejše aksiome od vmesnosti.
Chew, Epstein in Segal (1991) so npr. predlagali teorijo kvadraticne koristnosti (angl.
quadratic utility theory), ki je osnovana na simetriji sestavljanja (angl. mixture sym-
metry) za poljubni loteriji g in g′ (prav tam, str. 142–143):
g ∼ g′ ⇒ ∀α ∈ (0,12
)∃β ∈ (12, 1), tako da
(α ◦ g, (1−α) ◦ g′
)∼
(β ◦ g, (1− β) ◦ g′
). (7.6)
Dokazali so, da je temu aksiomu v pogojih zveznosti in monotonosti ekvivalentna
mocna simetrija sestavljanja (angl. strong mixture symmetry):
g ∼ g′ ⇒(α ◦ g, (1 − α) ◦ g′
)∼
((1 − α) ◦ g, α ◦ g′
), ∀α ∈ [0, 1]. (7.7)
Na podlagi tega aksioma so nato prikazali, kako lahko indiferencne krivulje prehajajo
iz konkavnih v konveksne (in obratno), ko se pomikamo po verjetnostnem trikotni-
60
ku. Takšne indiferencne krivulje na primer sledijo iz kumulativne teorije izgledov, ki
bo predstavljena v naslednjem poglavju (gl. sliko 7.1c).
7.2 Od razvrstitve odvisna pricakovana koristnost
(model RDEU)
7.2.1 Model
Kot receno so bile kritike teorije izgledov usmerjene h kršitvam stohasticne domi-
nantnosti. Quiggin (1982) je osnoval teorijo, ki jo je poimenoval teorija anticipirane
koristnosti (angl. theory of anticipated utility) in ki je kasneje postala bolj znana kot
teorija od razvrstitve odvisne pricakovane koristnosti (angl. rank-dependent expected
utility theory (RDEU theory)). Ta teorija je bila spreten nacin, kako prepreciti kršitve
stohasticne dominantnosti, hkrati pa dovoljevati izkrivljene verjetnosti (kot jih do-
voljuje teorija izgledov).
Machina (1994, str. 1237) je zapisal, da naj bi bila Quigginovemu modelu »prizna-
na vloga najbolj naravne in uporabne prilagoditve formule pricakovane koristnosti«.
Ta objava pa ni pritegnila zadostne pozornosti in od razvrstitve odvisen model so
neodvisno odkrili in objavili vsaj še trikrat: v posebnem primeru Yaari leta 1987, Al-
lais leta 1988 in v okviru merjenja družbene blaginje Weymark leta 1981. Schmeidler
(1989) je od razvrstitve odvisni model razširil na razmere negotovosti.
Osnovna ideja, ki jo je predlagal Quiggin (1982, str. 329–330), je, da se namesto
posameznih verjetnosti transformira kumulativne verjetnosti. Vrednost loterije
(p1 ◦ a1, p2 ◦ a2), kjer je a1 � a2, dobimo kot π(p1 + p2)u(a2) + π(p1)[u(a1) − u(a2)],
kar je enako π(p1)u(a1) + [π(p1 + p2) − π(p1)]u(a2) = w1u(a1) + w2u(a2), kjer je u(·) von
Neumann-Morgensternova funkcija koristnosti. Odlocitvena utež wi, tj. kolicina, s
katero je tehtan izid ai, je torej odvisna od verjetnosti tega izida in od njegovega vrst-
nega reda v loteriji, natancneje, odvisna je še od verjetnosti vseh izidov, ki so boljši
od tega. Idejo o uporabi velikostnega vrstnega reda placil sta sicer v (6.2) uporabila
že Kahneman in Tversky (1979).
V splošnem dobimo vrednost loterije g = (p1 ◦ a1, . . . , pn ◦ an), kjer je ai � ai+1, s
pomocjo:
V(g) = π( n∑
i=1
pi
)u(an) +
n−1∑i=1
π
( i∑k=1
pk
)[u(ai) − u(ai+1)]
61
= π(p1)u(a1) +n∑
i=2
[π
( i∑k=1
pk
)− π
( i−1∑k=1
pk
)]u(ai)
=
n∑i=1
wiu(ai), (7.8)
kjer je w1 = π(p1) in wi = π(∑i
k=1 pk) − π(∑i−1
k=1 pk) za i = 2, . . . ,n (Quiggin, 1982,
str. 329–330). V tej splošni obliki je odlocitvena utež wi enaka vrednosti funkcije
uteži, ki jo odmerimo pri objektivni verjetnosti, da prejmemo vsaj tako dober izid,
kot je ai, minus vrednost funkcije uteži, ki jo odmerimo pri objektivni verjetnosti, da
prejmemo boljši izid od ai.
7.2.2 Prednosti modela
Quiggin (1982, str. 335) je opozoril na novo lastnost, ki jo ima model od razvrstitve
odvisne pricakovane koristnosti: v modelu je izražen optimizem (uteži pri najboljših
izidih presegajo pripadajoce verjetnosti, uteži pri najslabših izidih pa so manjše od
pripadajocih verjetnosti) oz. pesimizem (obratno). To je bila novost, saj je za teorijo
pricakovane koristnosti že Savage (1954, str. 68) zapisal, da za izražanje optimizma
oz. pesimizma v njej ni prostora. Kot je navedel Quiggin (prav tam) je posameznik
optimisticen, ko za vsak p veljaπ(p)+π(1−p) > 1, pesimisticen, ko jeπ(p)+π(1−p) < 1,
in nevtralen, ko je π(p) + π(1 − p) = 1 (funkcija uteži π(p) je linearna, zato so uteži wi
tedaj simetricne).
Kot že omenjeno, je glavna lastnost modela od razvrstitve odvisne pricakovane
koristnosti, kot je predstavil že Quiggin (1982, str. 335–339), da v modelu niso možne
kršitve stohasticne dominantnosti. Luce (1998, str. 89–90) je navedel, da za vel-
javnost stohasticne dominantnosti mora držati pogoj, ki ga je imenoval združevanje
(angl. coalescing):
(p1 ◦ x1, ..., pi ◦ xi, pi+1 ◦ xi, ..., pn ◦ xn) ∼(p1 ◦ x1, ..., (pi + pi+1) ◦ xi, ..., pn ◦ xn
). (7.9)
Še vec, poudaril je, da je združevanje v primeru placil vrsta zveznosti:
limxi+1→xi
V(p1 ◦ x1, ..., pi ◦ xi, pi+1 ◦ xi+1, ..., pn ◦ xn) = V(p1 ◦ x1, ..., (pi + pi+1) ◦ xi, ..., pn ◦ xn
).
(7.10)
To pomeni, da se koristnost loterije (p1 ◦ x1, ..., pi ◦ xi, pi+1 ◦ xi+1, ..., pn ◦ xn), kjer je
xi , xi+1, spreminja zvezno z xi+1, ko gre ta proti xi. Združevanje enostavno zahteva
zveznost v limiti, ko je xi+1 = xi, med koristnostjo te loterije z n placili in koristnostjo
62
loterije z n − 1 placili, h kateri se prva približuje. Ta pogoj je avtomaticno izpolnjen
v teoriji pricakovane koristnosti, ne pa nujno tudi v ostalih teorijah. Ce npr. v teoriji
izgledov ne upoštevamo postopkov iz faze urejanja, potem ta zveznost ni izpolnjena.
7.2.3 Intuicija modela
Diecidue in Wakker (2001) sta podala intuicijo modela od razvrstitve odvisne pricako-
vane koristnosti. Pokazala sta, da je optimisticno oz. pesimisticno obnašanje zelo
pogosto opaženo v vsakdanjem življenju. Po njunem mnenju je lahko posameznikov
pesimisticni odnos posledica iracionalnega prepricanja, da je skrajno nezaželen izid
bistveno bolj verjeten, kot znaša njegova pripadajoca verjetnost (Murphyjev zakon),
to pa posameznika privede do pripisovanja znacilno vecjih uteži takšnemu izidu
(prav tam, str. 284). Kot receno, pogost empiricen pojav, skladen s predstavljenim
modelom, je tudi obnašanje posameznikov, ki kažejo zelo visoko obcutljivost na eks-
tremne izide (npr. spomnimo se na dolge cakalne vrste pred prodajalnami loterijskih
sreck, ko glavni dobitki presežejo ,razumne’ meje).
7.3 Teorija obžalovanja
7.3.1 Model
Bell (1982), Fishburn (1982) ter Loomes in Sugden (1982) so uporabili drugacen
pristop k posplošitvi pricakovane koristnosti. Neodvisno drug od drugega so osno-
vali teorijo, ki temelji na novem nosilcu vrednosti, obžalovanju (angl. regret). S to
teorijo, ki sta jo Loomes in Sugden (1982) poimenovala teorija obžalovanja (angl. regret
theory), so Bell (1982) ter Loomes in Sugden (1982) razložili vrsto pojavov, pri katerih
je kršen aksiom neodvisnosti: vkljucno z istocasnim kupovanjem zavarovanj in iger
na sreco, Allaisevim paradoksom in ucinkom zrcaljenja. Loomes in Sugden (1982,
str. 805) sta navedla, da ponujata »alternativno teorijo, ki je precej bolj enostavna od
teorije izgledov in ki je po njunem prepricanju intuitivno bistveno bolj privlacna.«
Predpostavila sta, da preference v teoriji obžalovanja niso nujno tranzitivne.
Bell (1982, str. 963) je obžalovanje definiral kot »razliko med vrednostjo izida, ki
ga oseba dejansko prejme, in vrednostjo najvišjih možnih izidov, ki bi jih prejela ob
izbirah drugih loterij.« Takšna definicija dopušca tako pozitivne kot negativne vred-
nosti obžalovanja, pri cemer pozitivne vrednosti pomenijo evforijo oz. zadovoljstvo,
povezano z odlocevalcevim obcutkom, da je izbral dobro alternativo (prav tam,
63
str. 961–962). Identicno definicijo sta podala tudi Loomes in Sugden (1982, str. 809),
ki sta zaradi možnega razlicnega predznaka mero obžalovanja poimenovala funkcija
obžalovanja – zadovoljstva (angl. regret—rejoice function).
Osebe se v teoriji obžalovanja želijo izogniti posledicam, v katerih bi se soocile z
dejstvom, da so izbrale napacno alternativo, ceprav se je izbrana alternativa vnaprej,
ob danih informacijah v trenutku odlocanja, pojavila kot pravilna. Te posledice je
torej Bell (1982) imenoval obžalovanje. Dolocil je, da naj bi posamezniki minimi-
zirali obžalovanje, vendar to ne bi bil edini kriterij pri odlocanju; bolj kot to naj
bi iskali optimum med neugodnostmi zaradi obžalovanja in vrednostjo, ki jim jo
prinese dobljeni izid (prav tam, str. 963). Drugace povedano, predpostavil je, da je
posameznikova funkcija koristnosti odvisna od dveh spremenljivk: prejetih izidov
in obsega obžalovanja; pri cemer funkcija koristnosti narašca z obsegom prejetih
izidov in pada z obsegom obžalovanja (prav tam, str. 965).
Na primer v Allaisevem primeru bi se posameznik, ki bi izbral loterijo g′ in
ne degenerirane loterije g, ki z gotovostjo ponuja 100 mio FRF, pocutil popolnoma
pogubljeno, ce bi se uresnicila 1% možnost, da bi ostal brez vsega. Medtem ko v
drugem paru loterij Allaisevega primera, h in h′, ni takšnih ekvivalentnih tock; ce se
v tem primeru pri izbiri loterije h′ zgodi, da posameznik ostane brez vsega, ima lahko
obcutek, da je bil nicelni izid skoraj enako verjeten tudi v drugi loteriji. Potemtakem
v drugem paru loterij obžalovanje igra zelo majhno ali celo nobene vloge, vendar pa
v prvem paru bistveno zmanjša privlacnost tvegane loterije g′ (prav tam, str. 962).
Ker mora teorija obžalovanja podati model za primerjavo med alternativami,
to ne more biti konvencionalna teorija, ki bi posameznim loterijam neodvisno pri-
pisovala vrednosti. Loomes in Sugden (1982) sta predlagala teorijo izbire znotraj
posameznih parov alternativ. Formalni model teorije obžalovanja (Loomes in Sug-
den, 1987, str. 271–274) doloca, da so preference definirane za pare dejanj, kjer dejanje
priredi vsakemu stanju iz množice stanj, S = {s1, . . . , sn}, dolocen izid oz. posledico.
Vsakemu stanju si pripada verjetnost pi, kjer je∑n
i=1 pi = 1. Naj bosta A j in Ak
dve možni dejanji, ki imata ob nekem stanju si ∈ S posledici x jsi in xksi . Korist-
nost posledice x jsi je dana s funkcijo M(x jsi , xksi), ki je narašcajoca funkcija prve
spremenljivke in padajoca funkcija druge. Ta funkcija omogoca, da je koristnost
posledice x jsi zmanjšana zaradi obžalovanja, ko je x jsi < xksi , ali pa povecana zaradi
zadovoljstva, ko je x jsi > xksi . Posameznik potem želi maksimirati vsoto:
n∑i=1
piM(x jsi , xksi), (7.11)
oz. drugace zapisano:
64
A j%≺
Ak ⇔
n∑i=1
piM(x jsi , xksi) Tn∑
i=1
piM(xksi , x jsi). (7.12)
Ta formulacija dobi ob vpeljavi funkcije ψ(x jsi , xksi) =M(x jsi , xksi) −M(xksi , x jsi) obliko:
A j%≺
Ak ⇔
n∑i=1
piψ(x jsi , xksi) T 0. (7.13)
Kot je videti, je funkcija ψ(·, ·) poševno simetricna, tj. ψ(x1, x2) = −ψ(x2, x1) in
ψ(x1, x1) = 0 za ∀x1, x2. Iz predstavljenega sledi, da se teorija obžalovanja v poseb-
nem primeru, ko je M(x jsi , xksi) = u(x jsi) zreducira na teorijo pricakovane koristnosti.
Ceprav so preference v tej obravnavi definirane za dejanja, je teorijo obžalovanja
moc uporabiti na izbirah med loterijami in sicer ob dolocenih predpostavkah, kako
so izidi teh loterij med seboj povezani (prav tam). Posebni primer je, ko med izidi
razlicnih loterij ni nobene povezanosti, tj. ko so loterije statisticno neodvisne. Ce
v paru loterij g in g′ izberemo g, je verjetnost, da prejmemo placilo x j in da smo
hkrati zamudili priložnost placila xk iz loterije g′, enaka pgj p
g′
k , kjer je pgj verjetnost,
da prejmemo x j iz loterije g, pg′
k pa verjetnost, da prejmemo xk iz g′. Preference med
loterijama g in g′ so tedaj dolocene z:
g %≺
g′ ⇔n∑
j=1
n∑k=1
pgj p
g′
k ψ(x j, xk) T 0. (7.14)
Kot teorija izbire znotraj parov alternativ ima teorija obžalovanja omejeno upo-
rabnost. To je bil razlog, da sta Sugden (1993) in Quiggin (1994) predlagala njeno
posplošitev.
7.3.2 Testi teorije obžalovanja
Kot predstavljeno, teorija obžalovanja predvideva, da na preference do loterij siste-
maticno vplivajo medsebojne primerjave izidov, ki jih lahko predstavimo v matriki
dejanj/stanj. Starmer in Sugden (1989) naj bi z eksperimenti odkrila ocitne tovrstne
ucinke primerjanja (angl. juxtaposition effects). V enem od njunih eksperimentov
(prav tam, str. 163–168) so subjekti izbirali med loterijama s prejemki, ki so bili
odvisni od izvlecene karte iz kupa kart, oštevilcenih od 1 do 100, kot kaže tabela 7.1.
Kot je razvidno iz tabele, imata loteriji g in h enaki porazdelitvi prejemkov, prav
tako pa tudi g′ in h′. Teorija EU potemtakem zahteva, da posameznik izbere bodisi
dvojico (g, h) bodisi (g′, h′). Na drugi strani teorija obžalovanja predvideva, da lahko
posameznik izbere tudi (g′, h), kar sta potrdila Starmer in Sugden (1989).
65
Tabela 7.1: Starmer-Sugdenov eksperiment
številka na karti 1 80 81 86 87 100
loterija
g 0 0 £11
g′ 0 £7 £7
številka na karti 1 20 21 34 35 100
loterija
h 0 £11 0
h′ £7 0 0
Vir: Starmer in Sugden, 1989, str. 165.
Kasneje sta Starmer in Sugden (1993, str. 235) navedla, da ti njuni eksperimenti
»niso kontrolirali ucinkov razcepitve dogodkov (angl. event-splitting effects), pri katerih
je subjektivna utež nekega izida odvisna od števila stanj, v katerih se ta izid pojavi,
kot tudi od kombinirane verjetnosti teh stanj«. Rezultati njunih novih eksperimentov
so pokazali, da so ucinki primerjanja, odkriti v prejšnjih eksperimentih, primarno
posledica ucinkov razcepitve dogodkov (prav tam, str. 253). Da je malo dokazov, ki
bi pokazali sistematicni vpliv medsebojnega primerjanja izidov v matriki dejanj/stanj
na odlocitve, je s svojim eksperimentom ugotovil tudi Humphrey (1995).
Testiranja teorije obžalovanja pa so potekala tudi na drugih ravneh. Starmer
(1999) je odkril nekonsistentost pri dolocenih intranzitivnih izbirah: »Medtem ko
je ta teorija konsistentna z nekaterimi dokazi o intranzitivnih izbirah (gl. Loomes,
Starmer in Sugden, 1989, 1991), je zlahka moc pokazati, da ne dovoljuje specificne
intranzitivnosti, ki je obravnavana tukaj.« (prav tam, str. 153). Poleg tega je Starmer
(2000, str. 356–357) pokazal, da lahko iz teorije obžalovanja sledijo kršitve stohasticne
dominantnosti.
66
8
Kumulativna teorija izgledov
(razmere tveganja in razmere negotovosti)
8.1 Posplošitev originalne teorije izgledov
Pomemben rezultat Tverskyjevega in Kahnemanovega empiricnega in teoreticnega
raziskovanja je bila izpopolnitev teorije izgledov. Leta 1992 sta predlagala novo
deskriptivno teorijo, ki sta jo poimenovala kumulativna teorija izgledov (angl. cumu-
lative prospect theory (CPT)).
S kumulativno teorijo izgledov sta Tversky in Kahneman (1992) originalno teorijo
izgledov (OPT) razširila oz. posplošila v vec pogledih:
(1) Kumulativna teorija izgledov velja za vse loterije s koncnim številom izidov
in jo je moc razširiti na uporabo pri zveznih porazdelitvah.
(2) Velja tako za razmere tveganja kot za razmere negotovosti.
(3) Dopušca drugacne uteži za prejemke kot za izgube, s cimer posplošuje origi-
nalno teorijo izgledov, ki predpostavlja enakost teh uteži.
Tversky in Kahneman (1992) sta za uteži uporabila od razvrstitve odvisno pre-
tvorbo in to, kot receno, posebej za prejemke in posebej za izgube, zaradi cesar se
ta teorija imenuje tudi teorija RSDU (angl. rank- and sign-dependent utility) (Luce,
1998, str. 100). Kumulativna teorija izgledov torej uživa vse ugodne lastnosti, ki
jih ima od razvrstitve odvisna pricakovana koristnost. To pomeni, da kumulativna
verzija, v nasprotju z originalno, zadošca tudi stohasticni dominantnosti. Od neka-
terih avtorjev kritizirana predpostavka, da so transparentno dominantne loterije
izlocene v fazi urejanja, zato ni vec potrebna.
8.2 Model
Tversky in Kahneman (1992) sta model osnovala na idejah, ki sta jih predlagala Quig-
gin (1982) in Schmeidler (1989), uporabila pa sta tudi nekatere ideje drugih avtorjev
67
(npr. Luce in Fishburn, 1991). Kumulativna teorija izgledov razlikuje med dvema
zaporednima fazama v posameznikovem procesu odlocanja (prav tam, str. 299):
fazo umestitve loterij v okvire (angl. framing phase) in fazo vrednotenja (angl. valu-
ation phase). V prvi fazi odlocevalec skonstruira reprezentacijo dejanj, verjetno-
sti in izidov, relevantnih pri dani odlocitvi, v drugi fazi pa nato oceni vrednosti
posameznih loterij in se glede na to odloci. Tversky in Kahneman sta dodala, da ni
na voljo nobene formalne teorije umestitve loterij v okvire, ceprav sta precej prouce-
vala pravila, ki vladajo reprezentacijam dejanj, verjetnosti in izidov (npr. Tversky in
Kahneman, 1986).
Formalna osnova, iz katere sta Tversky in Kahneman (1992, str. 300–302) izpeljala
svoj model, ima nekatere sorodnosti s Savageevo obravnavo. V njunem modelu je S
koncna množica stanj, pri cemer se zagotovo zgodi natanko eno od stanj, katero od
teh, pa zopet odlocevalcu ni vnaprej znano. Množice Ei, ki tvorijo particijo množice
S, se imenujejo dogodki, X pa je množica posledic oz. izidov. Zaradi enostavnosti
se Tversky in Kahneman omejujeta na denarne izide oz. placila. X vsebuje nevtralni
izid, oznacen z 0, vsi ostali elementi X pa so ali prejemki ali izgube.
Negotova loterija g je preslikava S → X, ki doloca vsakemu stanju s ∈ S
posledico g(s) = x. Loterija, ki ponuja xi, ce se zgodi dogodek Ei, je predstavlje-
na z g = (E1 ◦ x1, . . . ,En ◦ xn), kjer so kot navadno doslej placila razvršcena od
najvecjega proti najmanjšemu. Loterija se imenuje strogo pozitivna oz. pozitivna,
ce so vsa njena placila pozitivna oz. nenegativna. Strogo negativne in negativne
loterije so definirane podobno. Vse ostale loterije so mešane in tedaj torej velja:
x1 > . . . > xr > 0 > xr+1 > . . . > xn. Pozitivni del g, oznacen z g+, dobimo, ce
postavimo g+(s) = g(s), ko je g(s) > 0, in g+(s) = 0, ko je g(s) 6 0. Negativni del g,
oznacen z g−, je definiran podobno.
V drugi fazi posameznik vsako loterijo ovrednoti z vrednostjo V. Pri tem sta Tver-
sky in Kahneman uporabila Chouqetev koncept kapacitete, ki za razliko od Savageeve
osebne verjetnosti ne predpostavlja nujne aditivnosti: kapaciteta ψ je funkcija, ki
vsakemu dogodku Ei ⊂ S pripiše število ψ(Ei), za katero velja: ψ(∅) = 0, ψ(S) = 1 in
A ⊂ B ⇒ ψ(A) 6 ψ(B) za poljubniA in B.
Kumulativna teorija izgledov trdi, da obstaja strogo narašcajoca funkcija vredno-
sti v : X → R, za katero velja v(0) = 0, in kapaciteti ψ+ in ψ−, tako da za vsako
g = (E1 ◦ x1, . . . ,En ◦ xn) dobimo:
V(g) = V(g+) + V(g−),
V(g+) =r∑
i=1
w+i v(xi), V(g−) =n∑
i=r+1
w−i v(xi), (8.1)
68
kjer so odlocitvene uteži ~w+ = (w+1 , . . . ,w+r ) in ~w− = (w−r+1, . . . ,w
−
n ) definirane kot:
w+1 = ψ+(E1), w−n = ψ
−(En),
w+i = ψ+
( i⋃k=1
Ek
)− ψ+
( i−1⋃k=1
Ek
), 1 < i 6 r,
w−i = ψ−
( n⋃k=i
Ek
)− ψ−
( n⋃k=i+1
Ek
), r + 1 6 i < n.
Ce postavimo wi = w+i , ko je i 6 r, in wi = w−i , ko je i > r + 1, se (8.1) zreducira v:
V(g) =n∑
i=1
wiv(xi). (8.2)
Utež pri odlocanju w+i , ki pripada pozitivnemu placilu, je enaka razliki med
kapaciteto dogodka ,placilo je vsaj tako dobro kot xi’ in kapaciteto dogodka ,placilo je
boljše od xi’. Utež pri odlocanju w−i , ki pripada negativnemu placilu, je enaka razliki
med kapaciteto dogodka ,placilo je vsaj tako slabo kot xi’ in kapaciteto dogodka
,placilo je slabše od xi’. Potemtakem lahko utež pri odlocanju, ki pripada nekemu
placilu, interpretiramo kot mejni prispevek danega dogodka, definiran z uporabo
kapacitetψ+ inψ−. Ce je vsaka kapacitetaψ aditivna in potemtakem mera verjetnosti,
potem je wi enostavno verjetnost dogodka Ei. Iz definicij w inψ tako za pozitivne kot
za negativne loterije sledi, da se uteži pri odlocanju seštejejo v 1. Kakorkoli že, pri
mešanih loterijah je lahko vsota uteži vecja ali manjša od 1, saj so uteži pri odlocanju
definirane z locenima kapacitetama, posebej za prejemke in posebej za izgube.
Ce je za loterijo g = (E1 ◦ x1, . . . ,En ◦ xn) podana verjetnostna porazdelitev, pri
kateri je p(Ei) = pi, jo seveda obravnavamo kot loterijo v razmerah tveganja, g =
(p1 ◦ x1, . . . , pn ◦ xn). V tem primeru so uteži pri odlocanju definirane kot:
w+1 = π+(p1), w−n = π
−(pn),
w+i = π+
( i∑k=1
pk
)− π+
( i−1∑k=1
pk
), 1 < i 6 r,
w−i = π−
( n∑k=i
pk
)− π−
( n∑k=i+1
pk
), r + 1 6 i < n.
kjer sta π+ in π− strogo narašcajoci funkciji [0, 1] → [0, 1], za kateri velja π+(0) =
π−(0) = 0 in π+(1) = π−(1) = 1.
Razvidno je, da se predstavljeni model zreducira v model od razvrstitve odvisne
pricakovane koristnosti, ko je funkcija uteži za izgube enaka dualni funkciji funkcije
uteži za prejemke, tj. π−(p) = 1 − π+(1 − p) za ∀p ∈ (0, 1). Tversky in Kahneman
(1992) pa nista podala le predstavljenega splošnega modela, ampak sta na podlagi
69
ugotovljenega prevladujocega obnašanja napovedala povsem konkretno odlocanje
posameznikov, ki lahko za poljubno loterijo izracunajo njeno vrednost.38
8.2.1 Funkcija vrednosti
Tversky in Kahneman (1992) sta predstavljeni model podprla z obsežnim empiri-
cnim testom. Subjektom sta za številne loterije, ki so se razlikovale v verjetnostih
in višini najvišjega prejemka in so vkljucevale tako prejemke kot izgube, ponujala
zagotovljene ekvivalente CE(g). Velika vecina subjektov je izkazala štirikratni vzorec
odnosa do tveganja. S pomocjo nelinearne regresijske analize zagotovljenih ekvi-
valentov sta nato prišla do funkcij vrednosti in uteži. Funkcija vrednosti ohranja
vse lastnosti iz originalne teorije izgledov. Ob izkazani aproksimativni veljavnosti
predpostavke, da so preference homogene, tj. CE(kg) = kCE(g) za k > 0, sta Tversky
in Kahneman (1992, str. 309) izpeljala potencno funkcijo vrednosti, definirano loceno
za prejemke in loceno za izgube:
v(x) =
xα, ce je x > 0,
−λ(−x)β, ce je x < 0.(8.3)
Ocene parametrov v tej funkciji sta dobila s prilagoditvijo dobljenim agregatnim
podatkom: α = β = 0, 88 in λ = 2, 25. Oblika tako ocenjene funkcije vrednosti se
torej sklada z nacelom padajoce obcutljivosti (0 < α, β < 1) in z nenaklonjenostjo
izgubam (λ > 1). Parameter λ sta Köbberling in Wakker (2000) poimenovala indeks
nenaklonjenosti izgubam (angl. index of loss aversion).
8.2.2 Kapaciteta
V kumulativni teoriji izgledov so uteži pri odlocanju w+ in w− dobljene na podlagi
vrednosti, ki jih posebej za prejemke in posebej za izgube zavzemata kapacitetiψ+ in
38Program za izracun vrednosti loterije v kumulativni teoriji izgledov, ki ga je napisala Veronika
Köbberling, je (od novembra 2002) dosegljiv na http://www1.fee.uva.nl/creed/wakker/miscella/calcu-
late.cpt.kobb/index.htm. Program je napisan za loterije v razmerah tveganja in za najvec 4 nenicelna
placila, tj. prejemke in/ali izgube. Za vnešena placila in pripadajoce verjetnosti poleg vrednosti
loterije izpiše še uteži pri odlocanju za vsak vneseni izid ter zagotovljeni ekvivalent loterije. Program
uporablja ocene v nadaljevanju predstavljenih parametrov v funkcijah vrednosti in uteži, kot sta jih
dobila Tversky in Kahneman (1992), vrednosti teh ocen pa je možno poljubno spreminjati in potem
opraviti izracun.
70
ψ− oz. funkciji utežiπ+ inπ−. Tversky in Kahneman (1992) sta ugotovila, da nekatere
lastnosti, ki veljajo za funkcijo uteži v razmerah tveganja, veljajo tudi za kapaciteto
v razmerah negotovosti. Na podlagi prevladujocih odlocitev v eksperimentih sta
dobila, da mora kapaciteta ψ+ zadošcati: ψ+(S) − ψ+(S − Ei) > ψ+(Ei ∪ E j) − ψ+(E j),
kjer sta Ei in E j poljubna razlicna dogodka vS (prav tam, str. 304). Z besedami, vpliv
dogodka Ei je vecji, ce ga odštejemo od gotovega dogodka S, kot ce ga odštejemo od
nekega negotovega dogodka Ei ∪ E j, kar je analogija ucinku gotovosti v razmerah
tveganja. Za kapacitetino dualno funkcijo, tj. ψ+d (Ei) = 1 − ψ+(S − Ei), potem iz
prejšnjega pogoja sledi subaditivnost, tj. ψ+d (Ei) > ψ+d (Ei ∪ Ek) − ψ+d (Ek), in obratno.39
Nadaljnjo obravnavo kapacitet sta Tversky in Kahneman (1992) pustila odprto za
prihodnje raziskave.
Subaditivnost prvotne kapacitete, tj. ψ+(Ei) > ψ+(Ei ∪ Ek) − ψ+(Ek), bi pomenila,
da je vpliv dogodka Ei vecji, ko ga dodamo nemogocemu dogodku, kot ko ga do-
damo možnemu dogodku Ek. Tversky in Fox (1995, str. 270–271) sta primer, ko
za kapaciteto veljata oba predstavljena pogoja hkrati, imenovala nacelo omejene sub-
aditivnosti (angl. the principle of bounded subadditivity): dogodek ima vecji vpliv,
ko spreobrne nemogoc dogodek v možnega ali pa možnega v gotovega, kot pa ko
povzroci, da postane možni dogodek bolj ali pa manj verjeten. Ta koncept naj bi bil
bolj splošen od pojava pripisovanja vecjih in manjših uteži posameznim verjetnostim
na podrocju tveganja.
8.2.3 Funkcija uteži
Tversky in Kahneman (1992, str. 309) sta za funkciji uteži π+ in π− predpostavila
naslednjo funkcijsko obliko:
π+(p) =pγ
(pγ + (1 − p)γ)1/γ , π−(p) =pδ
(pδ + (1 − p)δ)1/δ , 0 6 γ, δ 6 1. (8.4)
Oblika obeh funkcij ima vec ugodnih lastnosti: vsebuje le en parameter; za vred-
nosti tega parametra, ki so strogo manjše od 1, vkljucuje obmocji konkavnosti in
konveksnosti; ne zahteva π(0, 5) = 0, 5; in najpomembneje, predstavlja zadovoljivo39Dokažimo veljavnost te ekvivalence, tj. veljavnost ψ+(S) − ψ+(S − Ei) > ψ+(Ei ∪ E j) − ψ+(E j) ⇔
ψ+d (Ei) > ψ+d (Ei ∪ Ek) − ψ+d (Ek), kjer je ψ+d (Ei) = 1 − ψ+(S − Ei):
ψ+(S) − ψ+(S − Ei) > ψ+(Ei ∪ E j) − ψ+(E j)
ψ+d (Ei) >[1 − ψ+d
(S − (Ei ∪ E j)
)]−
[1 − ψ+d (S − E j)
]ψ+d (Ei) > ψ+d (S − E j) − ψ+d
(S − (Ei ∪ E j)
)ψ+d (Ei) > ψ+d (Ei ∪ Ek) − ψ+d (Ek), kjer je Ek = S − (Ei ∪ E j).
71
dobro aproksimacijo tako agregatnim kot individualnim podatkom za verjetnosti
med 0,05 in 0,95. Ocitno je, da ce bi γ oz. δ zavzemala vrednost 1, da bi bila funkcija
uteži linearna, π(p) = p za ∀p ∈ [0, 1]. Sicer pa funkcija postaja vedno bolj ukrivljena,
ko postaja vrednost tega parametra cedalje manjša, a le do vrednosti 0,2740 (Wu in
Gonzales, 1996, str. 1685).
Z iskanjem najboljšega prileganja funkcij vrednosti in uteži dobljenim rezultatom
sta Tversky in Kahneman (1992, str. 312) dobila oceni za parametra γ in δ, ki se ne
razlikujeta veliko: γ = 0, 61 pri prejemkih in δ = 0, 69 pri izgubah. Majhna razlika
v ocenah parametrov graficno pomeni precej podoben potek obeh ocenjenih krivulj:
funkciji imata obliko zrcalne crke S, sta blizu druga drugi, pri cemer je π+(p) zaradi
0, 27 < γ < δ < 1 nekoliko bolj ukrivljena kot π−(p), kot je prikazano na sliki 8.1.
Slika 8.1: Funkciji uteži v obliki zrcalne crke S
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
. .. .
objektivna verjetnost: p
funk
ciji
utež
i:π+
(p)i
nπ−
(p)
0 0,5 1,0
0,5
1,0π+(p)π−(p)
Vir: Tversky in Kahneman, 1992, str. 313.
Razvidno je, da sta π+(p) in π−(p) konkavni ob majhnih verjetnostih in konve-
ksni ob srednjih in velikih verjetnostih. Kot smo videli, sta podobno obliko v svoji
empiricni raziskavi uteži pri odlocanju dobila že Preston in Baratta (1948). Ta oblika
zrcalne crke S odraža enako nacelo za dve razlicni referencni vrednosti: zmanj-
ševanje obcutljivosti, ko se pomikamo stran (proti sredini) od mejnih referencnih
vrednosti 0 (nemogoc dogodek) in 1 (gotovost). Drugace povedano, posamezniki so
najbolj obcutljivi na spremembe blizu robov in relativno neobcutljivi na spremembe
približno na sredini. Torej bo posameznik, ki mu je ponujen prejemek ali izguba z
verjetnostjo 0 ali 0,9, povecanje verjetnosti za 0,1 vrednotil bistveno bolj, kot pa v
primeru, ko mu je ponujen prejemek oz. izguba z verjetnostjo 0,3. Z drugim zapisom,
40Ta vrednost za γ (oz. δ) sledi iz pogoja: maxγ( ∫ p=π(p)
0 π(p)dp +∫ p=π(p)
1 π(p)dp), kjer je π(p) =
pγ
(pγ+(1−p)γ)1/γ .
72
naj bo π+(p) = π−(p) = π(p) za ∀p ∈ [0, 1]. Potem je π(0, 1) − π(0) > π(0, 4) − π(0, 3)
ter π(1) − π(0, 9) > π(0, 4) − π(0, 3). Kakorkoli že, kot pravita Tversky in Kahneman
(1992, str. 303), se funkciji uteži na robu definicijskega obmocja ne obnašata lepo,
saj posamezniki zelo majhnim oz. zelo velikim verjetnostim pripisujejo zelo razlicne
uteži.
Brandstätter, Kühberger in Schneider (2002) so za obliko zrcalne crke S funkcije
uteži ponudili inovativno razlago in sicer s pomocjo kognitivno-custvenih faktor-
jev: do preseganja uteži nad verjetnostmi, ko so le-te majhne, in do majših uteži
od verjetnosti, ko so le-te srednje oz. velike, pride zaradi anticipiranega navdušenja
oz. razocaranja. Manjša ko je verjetnost izida, bolj bomo navdušeni ob realiziranem
dobitku, in podobno, vecja ko je verjetnost izida, bolj bomo razocarani, ce ga ne
bomo prejeli.
Predstavljena znacilna oblika funkcij uteži povzroca kršitve kvazi konveksnosti
indiferencnih krivulj oz. natancneje, povzroca vzorce razprostiranja indiferencnih
krivulj, kot jih za nenegativne loterije prikazuje slika 7.1c: konveksnost v desnem
spodnjem kotu, konkavnost v zgornjem in mešanost v levem spodnjem kotu verjet-
nostnega trikotnika (Tversky in Kahneman, 1992, str. 314).
Tversky in Kahneman (1992, str. 317) dopušcata, da vse postavke modela niso
nujno tocne v vseh podrobnostih. Tako so lahko npr. uteži pri odlocanju odvisne še
od drugih dejavnikov, kot so: formuliranje loterij, število prejemkov, njihova višina
in razlike med prejemki v loteriji. Takšni dejavniki bi bili po mnenju Tverskyja in
Kahnemana lahko vkljuceni v posplošitev kumulativne teorije izgledov, vendar je
vprašljivo, ali bi pridobitev na deskriptivni veljavnosti lahko kompenzirala izgubo
pri napovedni moci in povecano kompleksnost modela.
8.3 Testi kumulativne teorije izgledov
Od njenega nastanka dalje velja kumulativna teorija izgledov za glavno paradigmo
nasproti teoriji EU, zato je razumljivo, da je bila in je še vedno podvržena vrsti te-
stiranj, ki naj bi potrdila ali pa ovrgla njeno konsistentnost z dejanskim odlocanjem
posameznikov. Med vsemi testiranji je vecina raziskovalcev preverjala veljavnost
parametrov v funkciji vrednosti (8.3) in funkciji uteži (8.4), ki sta jih ocenila Tversky
in Kahneman (1992). Raziskave so bile izvedene ob razlicnih predpostavkah in z
uporabo razlicnih metodologij, zato je pri interpretaciji dobljenih ocen parametrov
potrebna precejšna previdnost.
73
8.3.1 Testi funkcije vrednosti
Wu in Gonzales (1996) sta preverjala vrednost parametra α v funkciji vrednosti za
prejemke. Njuni oceni za α sta bili znantno nižji od 0,88, kot sta dobila Tversky in
Kahneman (1992). Wu in Gonzales (1996, str. 1686) sta namrec iz svojih podatkov
o obnašanju subjektov dobila α = 0, 52. Poleg tega sta ta parameter ocenila še iz
podatkov, ki sta jih pri preverjanju funkcije uteži dobila Camerer in Ho (1994), in
dobila še nižjo oceno, α = 0, 37. Wu in Gonzales sta komentirala, da so nastale razlike
lahko posledica razlicnih metod ocenjevanja ali pridobivanja podatkov.
Bleichrodt in Pinto (2000, str. 1492) sta v svoji raziskavi ob uporabi potencne
funkcije vrednosti iz kumulativne teorije izgledov dobila povprecno ocenoα = 0, 779,
ki je bila že precej bliže Tversky-Kahnemanovi vrednosti.
Abdellaoui (2000) je v svoji raziskavi uporabil drugacne metode pridobivanja po-
datkov. Poleg parametraα je ocenjeval tudi βv funkciji vrednosti za izgube. Uporabil
je nelinearno regresijo s standardno metodo najmanjših kvadratov. V nasprotju z
Wu-Gonzalesovima relativno nizkima ocenama parametra α je Abdellaoui (2000,
str. 1506) za α in β dobil celo nekoliko višji oceni kot Tversky in Kahneman in sicer:
α = 0, 89 in β = 0, 92. To za obliko funkcije vrednosti pomeni, da je malo bliže
linearni, je pa še vedno v skladu z nacelom padajoce obcutljivosti. Abdellaoui pa v
tej raziskavi ni meril nenaklonjenosti izgubam.
Indeks nenaklonjenosti izgubam λ sta ocenjevala Schmidt in Traub (2002). Tako
kot Benartzi in Thaler (1995) sta tudi onadva vzela linearno funkcijo vrednosti,
tj. v(x) = x, x > 0; v(x) = λx, x < 0 (Schmidt in Traub, 2002, str. 238). Dobila sta
rezultate, kjer se je le 51% oz., ocenjeno z drugim testom, le 48% subjektov odlocalo
v skladu z nenaklonjenostjo izgubam (prav tam, str. 243). Posledica je bila, da sta za
celotne podatke dobila indeks nenaklonjenosti izgubamλ = 1, 46 (prav tam, str. 244),
kar je bistveno manj od Tversky-Kahnemanove ocene 2,25. Ob prilagoditvi, da bi
upoštevala samo subjekte, ki so bili nenaklonjeni izgubam, bi dobila bistveno višjo
oceno, λ = 2, 87, ta pa bi pomenila še bolj izrazito zavracanje izgub od predvidenega
s kumulativno teorijo izgledov.
Nenaklonjenost izgubam se v raziskavah veliko bolj kot teoreticno raziskan pojav
pojavlja kot empiricno preverjeno precej razširjeno obnašanje posameznikov, kot je
bilo predstavljeno v razdelku 6.5.
74
8.3.2 Testi funkcije uteži
S testiranjem funkcije uteži se je ukvarjalo veliko raziskav. Vecina teh raziskav, ki
so uporabljale razlicne metodologije, je za to funkcijo potrdila obliko zrcalne crke S
(npr. Camerer in Ho, 1994; Tversky in Fox, 1995; Wu in Gonzales, 1996; Abdellaoui,
2000; Bleichrodt in Pinto, 2000). Funkcije uteži so v teh raziskavah sekale simetralo
na intervalu 0, 30 < p < 0, 40.
Camerer in Ho (1994) sta prva preverjala vrednost parametra γ v funkciji uteži
za prejemke. Uporabila sta povsem drugacno metodo od Tversky-Kahnemanove,
tj. metodo maksimalnega verjetja. Vzela sta podatke o obnašanju subjektov iz 11-ih
raziskav, objavljenih med letoma 1986 in 1994 (iz teh podatkov sta Wu in Gonzales
(1996) ocenila v prejšnjem razdelku navedeno vrednost za parameter α), ter za vsako
od teh raziskav ocenila vrednost iskanega parametra. Iz teh ocen sta potem s tehtano
aritmeticno sredino dobila γ = 0, 56 (prav tam, str. 188–189). Kot je videti, je dobljena
vrednost nekoliko manjša od Tversky-Kahnemanove vrednosti 0,61, kar pomeni, da
je ta novo ocenjena funkcija uteži nekoliko bolj ukrivljena.
Wu in Gonzales (1996) sta funkcijo uteži preverjala z izbirami med (λp ◦ x1) in
(p ◦ x2), kjer je x1 > x2 > 0, 0 < λ < 1 in p blizu 0. Obema loterijama sta nato
dodajala (α ◦ x2), kjer je α vseskozi narašcala, dokler je p + α 6 1. Skladno s funkcijo
uteži v obliki zrcalne crke S, sta odkrila, da je odstotek subjektov, ki so izbrali tve-
gano loterijo, najprej narašcal in nato padal. Na primer 38% subjektov je preferiralo
(0, 05 ◦ $240) pred (0, 07 ◦ $200), 65% jih je preferiralo (0, 05 ◦ $240; 0, 30 ◦ $200) pred
(0, 37 ◦ $200) in 39% jih je preferiralo (0, 05 ◦ $240; 0, 90 ◦ $200) pred (0, 97 ◦ $200)
(prav tam, str. 1683). Wu in Gonzales (1996) sta potem z metodo najmanjših kvadra-
tov za 5 takšnih primerov dobila ocene za γ, katerih variabilnost je bila nekoliko
manjša od ocen, ki sta jih dobila Camerer in Ho (1994). Za agregatne podatke sta
dobila nekoliko vecjo oceno od Tversky-Kahnemanove in sicer γ = 0, 71 (prav tam,
str. 1686). V tem primeru je torej funkcija uteži manj ukrivljena oz. bliže linearni kot
Tversky-Kahnemanova.
Abdellaoui (2000, str. 1495) je poleg parametra γ ocenjeval tudi vrednost δ v
funkciji uteži za izgube in prišel do skoraj identicnih ocen parametrov, kot sta ju
dobila Tversky in Kahneman (1992): γ = 0, 60 pri prejemkih in δ = 0, 70 pri izgubah.
Bleichrodt in Pinto (2000, str. 1494) sta s potencno aproksimacijo prav tako dobila
oceno blizu Tversky-Kahnemanove in sicer: γ = 0, 674. Njuna glavna ugotovitev
je bila, da obstajajo znacilni dokazi za funkcijo uteži v obliki zrcalne crke S tako na
agregatni kot na individualni ravni (prav tam, str. 1495).
75
8.4 Kumulativna nasproti originalni teoriji izgledov
Tversky in Kahneman (1992) sta kumulativno teorijo izgledov vpeljala kot nadgra-
dnjo originalne teorije izgledov, kar v mnogih pogledih drži, vendar obstajajo mešani
dokazi o tem, katera teorija bolje razlaga empiricne rezultate. V primeru loterij z
enim nenicelnim prejemkom sta si teoriji enakovredni, razlikujeta pa se pri loterijah
z dvema nenicelnima prejemkoma. Obe teoriji pa lahko razložita ucinek skupne
posledice.
Camerer in Ho (1994) sta s svojo raziskavo ugotovila, da se originalna teorija iz-
gledov nekoliko bolje prilega danim podatkom kot kumulativna (v vsaki od njunih
primerov so se podatki približno enako prilegali obema teorijama). Tudi Wu (1994)
je odkril vzorce obnašanja, ki se jim originalna teorija izgledov bolje prilega od ku-
mulativne, vendar pa pravi, da na podlagi opravljene raziskave ne more odgovoriti
na vprašanje, ali v bolj splošnem posamezniki uporabljajo prvo ali drugo teorijo
(prav tam, str. 57). Še ena raziskava, ki za celotne, agregatne podatke potrjuje takšne
ugotovitve, je raziskava, ki sta jo opravila Wu in Gonzales (1996). Birnbaum, Patton
in Lott (1999) pa so v raziskavi dobili podatke, ki so nekonsistentni s katerimkoli
od razvrstitve odvisnim modelom, torej vkljucno s kumulativno teorijo izgledov
(podatki so bili v nasprotju tudi s funkcijo uteži v obliki zrcalne crke S).
Po drugi strani sta Fennema in Wakker (1997) v svoji raziskavi ugotovila, da
se kumulativna teorija izgledov bistveno bolje ujema s podatki kot pa originalna.
Njuni rezultati dokazujejo skladnost s funkcijo uteži v obliki zrcalne crke S in nevel-
javnost splošne formule (6.1) iz originalne teorije izgledov. Izrazila sta upanje, »da
sta z raziskavo pokazala, da se matematicni model, ki ga predlaga kumulativna
teorija izgledov, dobro sklada s psihološkim nacelom padajoce obcutljivosti« (prav
tam,str. 63).
Gonzales in Wu (2003) sta uporabila ocene parametrov, ki sta jih dobila pri lote-
rijah z enim nenicelnim prejemkom, kjer kumulativna in originalna teorija izgledov
sovpadata, da bi predvidela loterije z dvema nenicelnima prejemkoma, kjer se teoriji
razhajata. Izkazalo se je, da v primeru loterije z dvema nenicelnima prejemkoma
nobena od obeh teorij ni posebno dobro napovedala zagotovljenih ekvivalentov.
Pri tem je zanimiva smer napak predvidevanj. Originalna teorija izgledov je pred-
videla prevelike vrednosti zagotovljenih ekvivalentov, kumulativna teorija izgledov
pa premajhne. Za razlago tega si poglejmo loterijo (p1 ◦ x1, p2 ◦ x2), kjer je x1 > x2 > 0
in p1 + p2 < 1 (prav tam, str. 4–8). Odlocitvena utež pri placilu x2 znaša v origi-
nalni teoriji izgledov π(p2), v kumulativni teoriji izgledov pa π(p1 + p2)−π(p1). Ce je
funkcija uteži π(·) subaditivna, tj. π(p1+p2) 6 π(p1)+π(p2), potem je odlocitvena utež
76
pri placilu x2 v kumulativni teoriji izgledov manjša kot v originalni teoriji izgledov.
Ta predstavljeni primer predstavlja možno ceno, ki jo od razvrstitve odvisni modeli
placujejo zaradi matematicne elegantnosti in odprave kršitev stohasticne dominant-
nosti.
Nedavno so Wu, Zhang in Abdellaoui (2005) z empiricno raziskavo dobili rezul-
tate, da so izbire pri loterijah, ki ne vkljucujejo zagotovljenih ekvivalentov, konsi-
stentne z originalno, ne pa tudi s kumulativno teorijo izgledov, medtem ko so pri
loterijah, ki zagotovljene ekvivalente vkljucujejo, izbire konsistentne z obema teori-
jama.
Vse kaže, da dajejo razlicne raziskave zelo razlicne rezultate, torej ostaja povsem
odprto vprašanje, katera od obeh primerjanih teorij je boljša. Tversky in Kahne-
man (1992, str. 317) sta v zakljucku navedla: »Teorije odlocanja so v najboljšem
primeru aproksimativne in nepopolne. En razlog za to pesimisticno oceno je, da
je odlocanje konstruktiven in nakljucen proces. Ko se soocamo s kompleksnim
problemom, se poslužujemo vrste hevristicnih postopkov, s pomocjo katerih si po-
enostavimo reprezentacijo in ovrednotenje loterij. Ti postopki vkljucujejo uporabo
bližnjic pri izracunavanju in postopke urejanja, kot so izlocitev skupnih komponent
in nebistvenih razlik. Hevristicni postopki pa niso podvrženi formalni analizi, saj
je njihova aplikacija odvisna od formulacije problema, metod poizvedovanja in od
konteksta v dani situaciji odlocanja.«
77
9
Smeri raziskovanja po kumulativni
teoriji izgledov (razmere tveganja in razmere negotovosti)
Intenzivnost raziskovanja se je po Tversky-Kahnemanovi (1992) objavi najprej usme-
rila na že predstavljena testiranja kumulativne teorije izgledov. Zaradi v nekaterih
primerih nezadovoljive skladnosti dobljenih podatkov s konkretnimi parametricni-
mi oblikami, ki jih predvideva kumulativna teorija izgledov, so raziskovalci skušali
uporabiti funkcijske oblike, predvsem funkcije uteži, ki bi se bolje prilegale dobljenim
rezultatom. Motiv za iskanje novih odkritij pa raziskovalcem predstavljajo tudi po-
drocja, ki jih kumulativna teorija izgledov pušca bolj ali manj odprta (npr. podrocje
negotovosti).
9.1 Funkcijske oblike funkcije uteži
Lattimore, Baker in Witte (1989), Camerer in Ho (1994), Gonzales in Wu (1999) ter
Abdellaoui (2000) so z eksperimenti dobili individualne in agregatne podatke, ki so
izkazovali funkcijo uteži v obliki zrcalne crke S. Zadnje tri od teh empiricnih raziskav
so uporabile od razvrstitve odvisno obliko. Za funkcijo uteži so bile predlagane zelo
razlicne funkcijske oblike.
Lattimore, Baker in Witte (1989, str. 3) so uporabile:
π(pi) =αpβi
αpβi +∑n
k=1k,i
pβk, (9.1)
kjer je i = 1, . . . ,n in α, β > 0. Za funkcijo uteži je bila to splošna oblika do tedaj
uporabljenih funkcijskih oblik in v primeru, ko je α = β = 1, dobimo teorijo
EU (π(pi) = pi za ∀p ∈ [0, 1]). Splošneje parameter β doloca ukrivljenost funkcije
uteži. Naj bo p∗ verjetnost, za katero velja π(p∗) = p∗. Potem za vse pi < p∗ velja:
π(pi) ≷ pi ⇔ β ≶ 1. Vrednost parametra β torej doloca, ali bodo majhnim oz. velikim
verjetnostim pripisane uteži, ki bodo vecje ali manjše od pripadajocih verjetnosti.
Parameter α v funkciji uteži pa doloca dodatno utež k verjetnosti pi, tj. ko je α > 1,
78
dobi verjetnost pi vecjo utež, in obratno, ko je α < 1. Ce je α < 1, ima funkcija uteži
lastnost podgotovosti, tj.∑n
i=1 π(pi) < 1. Lattimore, Baker in Witte (1989, str. 4) so to
opisale kot pesimizem pri loteriji (angl. prospect pessimism), kjer je vrednost loterije
zmanjšana v primerjavi z gotovim izidom. Z empiricnimi ocenjevanji so nato od-
krile, da funkcija uteži v obliki zrcalne crke S zagotavlja bistveno boljšo napovedno
moc kot model EU, ki je bil najboljši model le za približno 20% subjektov (prav tam,
str. 16–17). Poleg tega so ugotovile, da se funkcija uteži pri prejemkih razlikuje od
funkcije uteži pri izgubah. Podobno kot pri originalni teoriji izgledov je videti, da
marsikatera ideja, ki sta jo uporabila Tversky in Kahneman (1992), ni bila novost,
ampak rezultat prejšnjih raziskav.
Prelec (1998, str. 498) je navedel, da mora biti funkcija uteži:
(1) Regresivna (angl. regressive): funkcija seka diagonalo z zgornje strani.
(2) Asimetricna (angl. asymmetric): prelomna tocka, π(p) = p, je pri približno
p = 13 .
(3) Ima obliko zrcalne crke S (angl. S-shaped): funkcija je na prvem intervalu
konkavna, zatem pa konveksna.
(4) Reflektivna (angl. reflective): funkcija izgubam pripiše enake uteži kot pre-
jemkom.
Postavil je sistem aksiomov, iz katerega je izpeljal funkcijo uteži oblike (prav tam,
str. 503):
π(p) = exp(−(− ln p)α), 0 < α < 1, (9.2)
ki zadošca vsem naštetim lastnostim in ki ima fiksno prelomno tocko pri p = 1e ≈ 0, 37.
Graficno α pomeni naklon funkcije uteži v prelomni tocki in ko se α približuje 1,
postaja π(·) približno linearna, ko pa se približuje 0, pa π(·) dobiva obliko stopnice.
Prelec (1998, str. 505–506) je pokazal, da je prelomna tocka pri okrog 1e konsistentna
z vrsto empiricnih raziskav.
Prelec (1998, str. 503) je izpeljal tudi bolj splošno obliko za funkcijo uteži, pri
kateri prelomna tocka ni fiksirana:
π(p) = exp(−β(− ln p)α), β > 0. (9.3)
Pri tej splošni obliki je prelomna tocka pri p = exp(− 1−α√β).
Gonzales in Wu (1999, str. 139) sta na osnovi funkcije, ki so jo vpeljale Lattimore,
Baker in Witte (1989), modelirala naslednjo dvoparametricno obliko:
π(p) =δpγ
δpγ + (1 − p)γ, γ, δ > 0, (9.4)
kjer γ primarno doloca ukrivljenost, δ pa narašcanje funkcije. Ugotovila sta, da se
enoparametricni obliki funkcije uteži, ki so ju predlagali Tversky in Kahneman (1992)
79
ter Prelec (1998), pri agregatnih podatkih skoraj enako dobro prilegata podatkom kot
predstavljena dvoparametricna oblika (prav tam, str. 159). V nasprotju s tem pa se
je pri individualnih funkcijah uteži izkazala velika heterogenost tako v ukrivljenosti
kot v narašcanju. V skladu s tem je bila podgotovost, ki je bila izkazana pri agregatnih
podatkih, tukaj v veliko primerih kršena (prav tam, str. 154–155). Gonzales in Wu
(1999, str. 159) sta ugotovila, da je fleksibilnost dveh parametrov lahko precej koristna
pri razlagi razlik med posamezniki, sicer pa enoparametricna oblika funkcije uteži
»omogoca zelo dobro, racionalno prileganje agregatnim podatkom«.
Abdellaoui (2000, str. 1509) je testiral dvoparametricno funkcijo, ki sta jo uporabila
Gonzales in Wu (1999), in odkril pomembne razlike v primeru prejemkov in v
primeru izgub. Funkcija uteži je bila bistveno bolj strma pri izgubah (δ = 0, 84)
kot pri prejemkih (δ = 0, 65), medtem ko sta si bili vrednosti parametra γ v obeh
primerih precej blizu (γ = 0, 60 pri prejemkih in γ = 0, 65 pri izgubah).
9.2 Raziskovanje v razmerah negotovosti nasproti razisko-
vanju v razmerah tveganja
9.2.1 Subaditivnost in Fox-Tverskyjev model
Allaisev in Ellsbergov paradoks sta povzrocila, da so raziskovalci dolga leta obra-
vnavali odlocanje v razmerah tveganja loceno od odlocanja v razmerah negotovosti.
Z objavo kumulativne teorije izgledov se je pokazalo, da lahko rezultate raziskav z
obeh podrocij obravnavamo združeno. Mnogo osnovnih nacel odlocanja v razmerah
tveganja je moc neposredno uporabiti pri odlocanju v razmerah negotovosti.
Tversky in Fox (1995) sta z vrsto eksperimentov testirala pogoj omejene subadi-
tivnosti tako za tvegane kot za negotove loterije, kjer so bili izidi pogojeni z rezultati
športnih tekem, z bodocimi temperaturami v vec mestih in s spremembami indeksa
Dow Jones. Podatki so pokazali mocno podporo omejeni subaditivnosti na obeh
podrocjih in kar je še bolj zanimivo, ta pojav je bil bolj prisoten na podrocju nego-
tovosti kot na podrocju tveganja (prav tam, str. 281). To kaže na manjšo obcutljivost
posameznikov na negotovost kot na tveganje in na povecevanje odklonov od teorije
pricakovane koristnosti, ko verjetnosti niso znane, oz. ko se povecuje nedolocljivost
(prav tam, str. 281–282).
Te ugotovitve so Foxa in Tverskyja (1998, str. 881) pripeljale do tega, da sta
predlagala dvostopenjski model, v katerem je enostavna negotova loterija z enim
80
nenicelnim placilom, (E ◦ x), ovrednotena z:
V(E ◦ x) = π(p(E))v(x), (9.5)
kjer je π(·) funkcija uteži v razmerah tveganja, p(E) pa verjetnost, ki jo posameznik
prisodi dogodku E. Posamezniki naj bi torej najprej presodili, kolikšna je verjetnost
dolocenega dogodka, nakar bi to oceno pretvorili s pomocjo funkcije uteži.
Vkljucitev presojanja verjetnosti posameznih dogodkov je poglavitna lastnost
tega modela, ki ga razlikuje od ostalih dotedanjih teorij odlocanja v razmerah ne-
gotovosti. S tem modelom odlocitve v razmerah negotovosti napovemo s pomocjo
odlocitev v razmerah tveganja in presoj verjetnosti, pri cemer odlocitve v razmerah
tveganja zadošcajo teoriji izgledov, presoje verjetnosti pa teoriji podpore (angl. sup-
port theory).
Teorija podpore, ki sta jo osnovala Tversky in Koehler (1994), je psihološki model
stopnje prepricanja, ki predpostavlja, da subjektivna verjetnost ni pripisana dogod-
kom, kot je to v drugih modelih, temvec opisom dogogodkov, ki jih imenujemo
hipoteze. To pomeni, da sta dvema opisoma istega dogodka lahko prisojeni razlicni
verjetnosti (prav tam, str. 547). Fox in Tversky (1998, str. 891) sta z empiricnimi
testiranji potrdila, da lahko zagotovljene ekvivalente negotovih loterij napovemo na
podlagi presoj verjetnosti in zagotovljenih ekvivalentov tveganih loterij, kot je to
predpostavljeno z njunim modelom.
Wu in Gonzales (1999) sta z empiricnimi testi podprla dvostopenjski model od-
locanja v razmerah negotovosti ter pokazala, da je nelinearnost odlocitvenih uteži
moc razstaviti na dva vira: na notranjo aditivnost presoj verjetnosti, tj. subaditivnost
na robu definicijskega obmocja ter aditivnost stran od robov, ter na pripisovanje
vecjih uteži majhnim verjetnostim in manjših uteži srednjim in velikim verjetnostim
(prav tam, str. 83–84). Pokazala sta, da je funkcija uteži v obliki zrcalne crke S, ki
velja za razmere tveganja, znacilna tudi za razmere negotovosti. Psihološko nacelo
padajoce obcutljivosti s pomikanjem stran od referencnih tock jasno pride do izraza
tudi pri odlocanju v razmerah negotovosti.
Wu in Gonzales (1999, str. 85) sta menila, da kljub nekaterim namigovanjem,
da obravnava loterij nima implikacij v resnicnem oz. negotovem svetu odlocanja,
njune raziskave kažejo, da tveganje pojasnjuje osnovna dejstva o odlocanju: »Lote-
rije zagotavljajo ustrezno abstrakcijo, ce nekoga zanima proucevanje funkcije uteži,
toda niso zadosti bogate, da bi dovoljevale celovito razumevanje odlocanja.«
81
9.2.2 Nenaklonjenost nedolocljivosti in odvisnost od vira
Kot smo videli, je Ellsberg (1961) v primerih, ko sta verjetnosti za nek dobitek enaki,
odkril, da ljudje raje stavimo na znane kot na nedolocene verjetnosti. V nasprotju s
tem pojavom, ki sta ga Fox in Tverskay (1995) imenovala nenaklonjenost nedolocljivosti
(angl. ambiguity aversion), sta Heath in Tversky (1991) odkrila, da posamezniki raje
stavijo na podrocjih, kjer se pocutijo kompetentne (kjer menijo, da imajo doloceno
znanje) kot pa na znane verjetnosti, in raje na znane verjetnosti, kot pa na tistih
podrocjih, kjer se ne pocutijo kompetentne. Fox in Tversky (1995) sta predpostavila,
da je glavni vir tej nenaklonjenosti do nedolocljivosti kontrast oz. posameznikovo
primerjanje znanja o nekem dogodku z znanjem o dogodkih, kjer se pocuti bolj
kompetentnega, ali pa primerjanje njegovega znanja o dogodku z znanjem nekega
posameznika, ki ga ima za bolj kompetentnega (prav tam, str. 587). Z eksperimenti
sta nato odkrila, da je nenaklonjenost nedolocljivosti znatno manjša v pogojih, ko
takšne primerjave niso možne.
Kilka in Weber (2001) sta uporabila Fox-Tverskyjev dvostopenjski model od-
locanja v razmerah negotovosti in ugotovila, da je funkcija uteži odvisna od stopnje
nedolocljivosti dogodka. Predstavila sta empiricno raziskavo, ki kaže, da je za
funkcijo uteži potrebno dopušcati odvisnost od vira (angl. source dependence). V
tej raziskavi so subjekti iz Nemcije vrednotili med loterijami osnovanimi na znanih
virih (na ceni delnice Deutsche Bank) in med loterijami osnovanimi na bolj neznanih
virih (na ceni delnice japonske banke Dai-Ichi Kangyo Bank). Vsi subjekti so izrazili,
da je njihova kompetentnost glede delnic Deutsche Bank boljša ali enaka od kom-
petentnosti glede delnic Dai-Ichi Kangyo Bank (prav tam, str. 1719). Kilka in Weber
(2001, str. 1724) sta odkrila, da naj bi funkcija uteži za Dai-Ichi Kangyo Bank ležala
pod funkcijo uteži za Deutsche Bank, poleg tega pa sta odkrila tudi drugacno presojo
verjetnosti pri posameznih dogodkih.
Nedavno je Wakker (2004) predlagal dekompozicijo odlocitvenih uteži na kom-
ponento, ki odraža odnos do tveganja, in na novo komponento, ki je odvisna od
prepricanja. Iz lastnosti slednje komponente sledi, da poleg pogosto obravnavane
nenaklonjenosti nedolocljivosti, igrajo pomembno vlogo tudi kognitivne omejitve:
teže je razlikovati med razlicnimi verjetnostmi dogodkov in jih razlicno obdelati, ko
verjetnosti niso znane, kot pa tedaj, ko so znane (prav tam, str. 236).
V dvostopenjskem modelu odlocanja je bila torej potrjena odvisnost od vira tako
pri presoji verjetnosti kot pri funkciji uteži. Da bi o tem modelu odlocanja vedeli vec,
bi v prihodnosti morali prouciti odvisnost od vira znotraj posameznikov. Model bi
moral biti tudi bolj aplikativen v ekonomskih situacijah, kjer o presojah verjetnosti
in izbirah odlocajo razlicni agenti.
82
10
SklepV razvoju moderne verjetnostne teorije v 17. stoletju so matematiki predpostavljali,
da je privlacnost loterije dana z njeno pricakovano vrednostjo. Bernoulli je že v
zacetku 18. stoletja zavracal pricakovano vrednost kot kriterij za sprejemanje tvega-
nih odlocitev, kar je dokazoval s tem, da v splošnem dve osebi z razlicnimi željami
in razlicnim stanjem premoženja identicni loteriji ne pripisujeta enakih vrednosti.
Predlagal je model maksimiranja pricakovane koristnosti (model EU), ki sta ga kot
racionalni kriterij odlocanja za razmere tveganja leta 1947 formalno dokazala von
Neumann in Morgenstern, za razmere negotovosti pa leta 1954 Savage.
Ekonomska teorija je teorijo EU privzela kot standardno teorijo individualnega
odlocanja v razmerah tveganja. Vendar ta teorija kmalu ni bila vec sposobna ra-
zložiti pojavov, ki jih je bilo možno opaziti v dejanskem okolju; vse vec raziskav je
dokazovalo, da so modeli maksimiranja pricakovane koristnosti nezadovoljivi in da
je bila odlocilna nujna sprememba v zamenjavi objektivne verjetnosti s subjektivno.
Allais je leta 1952 kot prvi zastavil glavni neposredni izziv teoriji EU. Osnoval
je primer, v katerem pride do sistematicnih kršitev te teorije, natancneje, do kršitev
aksioma neodvisnosti. Ta najslavnejši od številnih primerov, ki nasprotujejo teoriji
EU, je dobil ime Allaisev paradoks. Kršitve so ekonomiste od tedaj dalje gnale k
nenehnemu iskanju deskriptivne teorije odlocanja, ki bi bila elegantna, splošno vel-
javna in matematicno pravilna. Cilj vseh teh raziskav je bil torej posplošiti teorijo
EU oz. sprostiti njene predpostavke do tolikšne mere, da bi imela vse prej navedene
želene lastnosti. Kljub izjemnim naporom še dolgo ni bilo celovitega modela, ki bi
kot alternativa teoriji EU znal pojasniti vsa proucevana dogajanja.
Leta 1979 sta Kahneman in Tversky na obravnavanem podrocju objavila najslav-
nejšo od vseh teorij po von Neumann-Morgensternovi objavi vse do danes. V teoriji,
ki sta jo imenovala teorija izgledov, sta teorijo EU napadla na eleganten, smiselno
povezan in prepricljiv nacin. Od njune objave dalje Allaisevega paradoksa ni bilo
vec možno obravnavati zgolj kot osamljeno anomalijo. Teorija izgledov je vplivala
na ekonomiste, da so kršitve teorije EU zaceli obravnavati bolj resno. V zadnjih 25-ih
letih so Kahneman-Tverskyjevi teoriji sledile številne raziskave. To fazo raziskovanja
lahko razumemo kot nadaljnji dialog med modeli alternativnimi teoriji EU in kot
iznajdljive preizkuse, ki omogocajo razlikovanja med temi alternativnimi modeli.
Poleg tega so teoretiki želeli dobiti model, ki bi model EU vkljuceval kot poseben
primer.
83
Kot kaže, kršitve standardne teorije EU danes še z najmanj težav obravnava
teorija, ki sta jo leta 1992 objavila Tversky in Kahneman in ki je dobila ime kumu-
lativna teorija izgledov. Osnovne lastnosti, ki jih ta teorija predpostavlja za funkciji
vrednosti in uteži, lahko tako kvalitativno kot kvantitativno urejajo kršitve teorije
EU. Vecina raziskav je pokazala, da se enostavni parametricni modeli kumulativne
teorije izgledov zelo dobro prilegajo podatkom tako na agregatni kot na individu-
alni ravni, tj. bistveno bolje od teorije EU, vendar pa so nekatere raziskave pokazale
tudi, da se v dolocenih primerih dobljenim rezultatom precej bolje prilega originalna
teorija izgledov.
Po kumulativni teoriji izgledov je šel razvoj v smeri iskanja najbolj ustrezne
funkcijske oblike funkcije uteži, in kar je pomembneje, v smeri raziskovanja od-
locanja v realnih situacijah, tj. v razmerah negotovosti. To pa je podrocje, ki ga v
tem trenutku še ne obravnava enovita teorija. Iz vsega doslej povedanega sledi, da
splošni odgovor na vprašanje, katera od proucevanih teorij najbolje opisuje obrav-
navano problematiko, (še) ne obstaja.
V ekonomski teoriji tradicionalno prevladuje predpostavka, da so ekonomski
agenti racionalni. Ta idealizirana predpostavka sloni na dveh prepricanjih: da v
tekmovalnem okolju preživi le racionalno obnašanje in da bo vsaka obravnava, ki
bo opustila predpostavko o racionalnosti, vodila v kaoticnost oz. neukrotljivost. Oba
argumenta sta vprašljiva. Prvic, obstajajo dokazi, da lahko ljudje preživimo življenje
v tekmovalnem okolju, ne da bi na primer uporabljali linearne odlocitvene uteži, kot
jih zagovarja teorija EU. Drugic in morda še pomembneje, obstajajo dokazi, da so
naše izbire urejene, ceprav niso vedno racionalne v tradicionalnem pomenu besede.
Samoumevno je, da ni možno najti tipicnih preferenc, ki bi popolnoma okara-
kterizirale vse posameznike. Teoretiki in empiriki so z raziskavami na podrocju
individualnega odlocanja v razmerah tveganja in v razmerah negotovosti prišli do
rezultatov, ki ponazarjajo odlocanje vecine posameznikov, a kot je prikazano v tem
magistrskem delu, so ti rezultati še vedno vse prej kot enotni; natancneje, razlicne
teorije napovedujejo precej razlicne tipe individualnih preferenc do loterij.
V nekaj vec kot zadnjih 50-ih letih raziskovanja je bilo predstavljenih veliko alter-
nativnih modelov von Neumann-Morgensternovi in Savageevi teoriji. Posledica in-
tenzivnega raziskovanja je, da je postala celotna slika tovrstnega odlocanja bistveno
bolj jasna, a vendarle ostaja še mnogo odprtih vprašanj. Tako je moc pricakovati,
da bodo v prihodnosti bolj pogoste tako bazicne kot aplikativne raziskave, ki bodo
obravnavale obnašanje posameznikov v realisticnem dinamicnem svetu tveganja
in negotovosti (tj., kjer se loterije ponavljajo), proucevale vpliv dejavnikov, kot so
posameznikove pridobljene izkušnje, znanje itd., na vrednotenje loterij, in podobno.
84
Literatura in viri
[1] Abdellaoui Mohammed: Parameter-free Elicitation of Utility and Probability Weight-
ing Functions. Management Science, Linthicum (MD), 46(2000), 11, str. 1497–1512.
[2] Ali Mukhtar M.: Probability and utility estimates for racetracks bettors. Journal of
Political Economy, Chicago, 85(1977), 4, str. 803–815.
[3] Allais Maurice: Le comportement de l’homme rationnel devant le risque: critique des
postulates et axiomes de l’ecole americaine. Econometrica, Evanston (IL), 21(1953), 4,
str. 503–546.
[4] Allais Maurice: The so-called Allais Paradox and Rational Decisions under Uncer-
tainty. Allais Maurice, Hagen Ole, ed., The Expected Utility Hypothesis and the Allais
Paradox. Dordrecht : Reidel, 1979, str. 437–681.
[5] Arrow Kenneth J.: Alternative Approaches to the Theory of Choice in Risk-taking
situations. Econometrica, Evanston (IL), 19(1951), 4, str. 404–437.
[6] Arrow Kenneth J.: Essays in the Theory of Risk-Bearing. Chicago : Markham Publishing
Company, 1971, 278 str.
[7] Baumol William J.: Economic theory and Operations analysis. Englewood Cliffs (NJ) :
Prentice Hall, 1972, 626. str.
[8] Barberis Nicholas, Huang Ming, Santos Tano: Prospect Theory and Asset Prices.
Quarterly Journal of Economics, Cambridge (MA), 116(2001), 1, str. 1–53.
[9] Becker Selwyn W., Brownson Fred O.: What Price Ambiguity? Or the Role of Ambi-
guity in Decision-making. Journal of Political Economy, Chicago, 72(1964), 1, str. 62–73.
[10] Bell David E.: Regret in Decision Making under Uncertainty. Operations Research,
Baltimore, 30(1982), 5, str. 961–981.
[11] Benartzi Shlomo, Thaler Richard H.: Myopic Loss-aversion and the Equity Premium
Puzzle. Quarterly Journal of Economics, Cambridge (MA), 110(1995), 1, str. 75–92.
85
[12] Bernoulli Daniel: Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis. Commentarii
Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 5(1738), str. 175–192. Louise Som-
mer, transl., Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk, Econometrica,
Evanston (IL), 22(1954), 1, str. 23–36.
[13] Birnbaum Michael H., Patton Jamie N., Lott Melissa K.: Evidence against Rank-
Dependent Utility Theories: Tests of Cumulative Independence, Interval Indepen-
dence, Stochastic Dominance, and Transitivity. Organizational Behavior and Human
Decision Processes, New York, 77(1999), 1, str. 44–83.
[14] Bowman David, Minehart Deborah, Rabin Matthew: Loss aversion in a consumption-
savings model. Journal of Economic Behavior and Organization, Amsterdam, 38(1999), 2,
str. 155–178.
[15] Bleichrodt Han, Pinto Jose Luis: A Parameter-free Elicitation of the Probability Weight-
ing Function in Medical Decision Analysis. Management Science, Linthicum (MD),
46(2000), 11, str. 1485–1496.
[16] Brandstätter Eduard, Kühberger Anton, Schneider Friedrich: A Cognitive-emotional
Account of the Shape of the Probability Weighting Function. Journal of Behavioral
Decision Making, Chichester, 15(2002), 2, str. 79–100.
[17] Camerer Colin F.: An Experimental Test of Several Generalized Utility Theories.
Journal of Risk and Uncertainty, Boston, 2(1989), 1, str. 61–104.
[18] Camerer Colin F. et al.: Labor supply of New York City cabdrivers: One day at a time.
Quarterly Journal of Economics, Cambridge (MA), 112(1997), 2, str. 407–442.
[19] Camerer Colin F., Ho Teck-Hua: Violations of the Betweenness Axiom and Nonlin-
earity in Probability. Journal of Risk and Uncertainty, Boston, 8(1994), 2, str. 167–196.
[20] Chew Soo Hong: A Generalization of the Quasilinear Mean with Applications to
the Measurement of Income Inequality and Decision Theory Resolving The Allais
Paradox. Econometrica, Evanston (IL), 51(1983), 4, str. 1065–1092.
[21] Chew Soo Hong: Axiomatic utility theories with the betweenness property. Annals of
Operations Research, Basel, 19(1989), 1–4, str. 273-298.
[22] Chew Soo Hong, Epstein Larry G., Segal Uzi: Mixture Symmetry and Quadratic
Utility. Econometrica, Evanston (IL), 59(1991), 1, str. 139–163.
[23] Conlisk John: Three Variants on the Allais Example. American Economic Review,
Nashville (TN), 79(1989), 3, str. 392–407.
86
[24] Cook Philip j. Clotfelter Charles T.: The peculiar scale economies of lotto. American
Economic Review, Nashville (TN), 83(1993), 3, str. 634–643.
[25] Crawford Vincent P.: Equilibrium without Independence. Journal of Economic Theory,
New York, 50(1990), 1, str. 127–154.
[26] Dekel Eddie: An Axiomatic Characterization of Preferences Under Uncertainty:
Weakening the Independence Axiom. Journal of Economic Theory, New York, 40(1986),
2, str. 304–318.
[27] Diecidue Enrico, Wakker Peter P.: On the Intuition of Rank-Dependent Utility. Journal
of Risk and Uncertainty, Boston, 23(2001), 3, str. 281–298.
[28] Edwards Ward: The Theory of Decision Making. Psychological Bulletin, Washington
(DC), 51(1954), 4, str. 380–417.
[29] Edwards Ward: Behavioral Decision Theory. Annual Review of Psychology, Stanford
(CA), 12(1961), 1, str. 473–498.
[30] Edwards Ward: Subjective Probabilities Inferred from Decisions. Psychological Review,
Washington, 69(1962), 2, str. 109–135.
[31] Ellsberg Daniel: Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms. Quarterly Journal of Eco-
nomics, Cambridge (MA), 75(1961), 4, str. 643–699.
[32] Fennema Hein, Wakker Peter P.: Original and New Prospect Theory: A Discussion
and Empirical Differences. Journal of Behavioral Decision Making, Chichester, 10(1997),
1, str. 53–64.
[33] Fishburn Peter C.: Nontransitive Measurable Utility. Journal of Mathematical Psychol-
ogy, New York, 26(1982), 1, str. 31–67.
[34] Fishburn Peter C., Wakker Peter P.: The Invention of the Independence Condition.
Management Science, Linthicum (MD), 41(1995), 7, str. 1130–1144.
[35] Fox Craig R., Tversky Amos: Ambiguity Aversion and Comparative Ignorance. Quar-
terly Journal of Economics, Cambridge (MA), 110(1995), 3, str. 585–603.
[36] Fox Craig R., Tversky Amos: A Belief-Based Account of Decision Under Uncertainty.
Management Science, Linthicum (MD), 44(1998), 7, str. 879–895.
[37] Friedman Milton, Savage Leonard J.: The Utility Analysis of Choices Involving Risk.
Journal of Political Economy, Chicago, 56(1948), 4, str. 279–304.
87
[38] Genesove David, Christopher Mayer: Loss aversion and seller behavior: Evidence
from the housing market. Quarterly Journal of Economics, Cambridge (MA), 116(2001),
4, str. 1233–1261.
[39] Gonzalez Richard, Wu George: On the Shape of the Probability Weighting Function.
Cognitive Psychology, San Diego, 38(1999), 1, str. 129–166.
[40] Gonzalez Richard, Wu George: Composition Rules in Original and Cumulative
Prospect Theory. [URL: http://gsbwww.uchicago.edu/fac/george.wu/research/Compo-
sitionRules.pdf], marec, 2003.
[41] Goode Erica: A Conversation with Daniel Kahneman; On Profit, Loss and the Mys-
teries of the Mind. The New York Times, New York, 152(2002), 5. 11. 2002, str. F1.
[42] Gul Farak: A theory of Disappointment in Decision Making under Uncertainty. Econo-
metrica, Evanston (IL), 59(1991), 3, str. 667–686.
[43] Hardie Bruce G. S., Johnson Eric j. Fader Peter S.: Modeling loss aversion and reference
dependence effects on brand choice. Marketing Science, Providence (RI), 12(1993), 4,
str. 378–394.
[44] Heath Chip, Tversky Amos: Preference and Belief. Ambiguity and Competence in
Choice under Uncertainty. Journal of Risk and Uncertainty, Boston, 4(1991), 1, str. 5–28.
[45] Humphrey Steven J.: Regret Aversion or Event-Splitting Effects? More Evidence
under Risk and Uncertainty. Journal of Risk and Uncertainty, Boston, 11(1995), 3, str. 263–
274.
[46] Jehle Geoffrey Alexander, Reny Philip J.: Advanced Microeconomic Theory, Boston :
Addison-Wesley, 2001, 543 str.
[47] Johnson Eric J. et al.: Framing probability distortions, and insurance decisions. Journal
of Risk and Uncertainty, Boston, 7(1993), 1, str. 35–51.
[48] Jullien Bruno, Salanié Bernard: Estimating Preferences under Risk: The Case of Race-
track Bettors. Journal of Political Economy, Chicago, 108(2000), 3, str. 503–530.
[49] Kahneman Daniel: Preface. Kahneman Daniel, Tversky Amos, ed., Choices, Values,
and Frames. Cambridge : Cambridge University Press, 2000, str. ix–xvii.
[50] Kahneman Daniel, Knetsch Jack L., Thaler Richard H.: Experimental Tests of the
Endowment Effect and the Coase Theorem. Journal of Political Economy, Chicago,
98(1990), 6, str. 1325–1348.
[51] Kahneman Daniel, Tversky Amos: Prospect theory: An Analysis of Decision under
Risk. Econometrica, Evanston (IL), 47(1979), 2, str. 263–291.
88
[52] Kilka Michael, Weber Martin: What Determines the Shape of the Probability Weight-
ing Function? Management Science, Linthicum (MD), 47(2001), 12, str. 1712–1726.
[53] Knight Frank H.: Risk, Uncertainty, and Profit. New York : Houghton Mifflin, 1921, 381
str.
[54] Köbberling Veronika in Wakker Peter P.: An Index of Loss Aversion. [URL: http://
citeseer.ist.psu.edu/cache/papers/cs/18014/http:zSzzSzcwis.kub.nlzSz∼few5zSz Cent-
ERzSzStaffzSzWakkerzSzpdfzSzIndexLAv.pdf/an-index-of-loss.pdf], november,
2000.
[55] Kreps David M.: A course in microeconomic theory. Princeton : Princeton University
Press, 1990, 839 str.
[56] Laibson David, Zeckhauser Richard: Amos Tversky and the Ascent of Behavioral
Economics. Journal of Risk and Uncertainty, Boston, 16(1998), 1, str. 7–47.
[57] Lattimore Pamela K., Baker Joanna R., Witte Ann D.: The Influence of Probability On
Risky Choice: A Parametric Examination. [URL: http://www.nber.org/papers/ t0081.pdf,
oktober, 1989.
[58] Levy Moshe, Levy Haim: Prospect Theory: Much Ado About Nothing? Management
Science, Linthicum (MD), 48(2002), 10, str. 1334–1349.
[59] Loomes Graham, Starmer Chris, Sugden Robert: Preference Reversal: Information
Processing Effect or Rational Nontransitive Choice? Economic Journal, Cambridge
(MA), 99(1989), 395, str. 140–151.
[60] Loomes Graham, Starmer Chris, Sugden Robert: Observing Violations of Transitivity
by Experimental Methods. Econometrica, Evanston (IL), 59(1991), 2, str. 425–439.
[61] Loomes Graham, Sugden Robert: Regret Theory: An Alternative Theory of Rational
Choice under Uncertainty. Economic Journal, Cambridge (MA), 92(1982), 368, str. 805–
824.
[62] Loomes Graham, Sugden Robert: Some Implications of a More General Form of Regret
Theory. Journal of Economic Theory, New York, 41(1987), 2, str. 270–287.
[63] Luce R. Duncan: Coalescing, Event Commutativity, and Theories of Utility. Journal of
Risk and Uncertainty, Boston, 16(1998), 1, str. 87–114.
[64] Luce R. Duncan, Fishburn Peter C.: Rank and Sign-dependent Linear Utility Models
for Finite First-Order Gambles. Journal of Risk and Uncertainty, Boston, 4(1991), 1,
str. 29–59.
89
[65] Luce R. Duncan, Raiffa Howard: Games and Decisions. New York : Wiley, 1957, 509 str.
[66] Machina Mark J.: ‘Expected Utility’ Analysis without the Independence Axiom. Econo-
metrica, Evanston (IL), 50(1982), 2, str. 277–324.
[67] Machina Mark J.: Choice under Uncertainty: Problems Solved and Unsolved. Journal
of Economic Perspectives, Nashville (TN), 1(1987), 1, str. 121–154.
[68] Machina Mark J.: Review of ‘Generalized Expected Utility Theory: The Rank-
dependent Model’. Journal of Economic Literature, Nashville (TN), 32(1994), 3, str. 1237–
1238.
[69] Malinvaud E.: Note on von Neumann-Morgenstern’s Strong Independence Axiom.
Econometrica, Evanston (IL), 20(1952), 4, str. 679.
[70] Markowitz Harry: The Utility of Wealth. Journal of Political Economy, Chicago, 60(1952),
1, str. 151–158.
[71] Marschak Jacob: Rational Behavior, Uncertain Prospects, and Measurable Utility.
Econometrica, Evanston (IL), 18(1950), 2, str. 111–141.
[72] Mehra Rajnish in Prescott Edward C.: The equity premium: A puzzle. Journal of
Monetary Economics, Amsterdam, 15(1985), 2, str. 145–161.
[73] Mas-Colell Andreu, Whinston Michael D., Green Jerry R.: Microeconomic Theory. Ox-
ford : Oxford University Press, 1995, 981 str.
[74] Mosteller Frederick, Nogee Philip: An Experimental Measurement of Utility. Journal
of Political Economy, Chicago, 59(1951), 5, str. 371–404.
[75] Nash John F.: The Bargaining Problem. Econometrica, Evanston (IL), 18(1950), 2,
str. 155–162.
[76] Neilson William S.: A Mixed Fan Hypothesis and its Implications for Behavior To-
wards Risk. Journal of Economic Behavior and Organization, Amsterdam, 19(1992), 1,
str. 197–211.
[77] Odean Terrance: Are Investors Reluctant to Realize Their Losses. Journal of Finance,
New York, 53(1998), 5, str. 1775–1798.
[78] Pratt John W.: Risk Aversion in the Small and in the Large. Econometrica, Evanston
(IL), 32(1964), 1–2, str. 122–136.
[79] Prelec Dražen: A ‘Pseudo-endowment’ Effect, and its Implications for Some Recent
Nonexpected Utility Models. Journal of Risk and Uncertainty, Boston, 3(1990), 3, str. 247–
259.
90
[80] Prelec Dražen: The Probability Weighting Function. Econometrica, Evanston (IL),
66(1998), 3, str. 497–527.
[81] Preston Malcolm G., Baratta Philip: An Experimental Study of the Auction-Value of
an Uncertain Outcome. American Journal of Psychology, Champaign (IL), 61(1948), 2,
str. 183–193.
[82] Putler Daniel S.: Incorporating reference prize effects into a theory of consumer choice.
Marketing Science, Providence (RI), 11(1992), 3, str. 287–309.
[83] Quiggin John: A Theory of Anticipated Utility. Journal of Economic Behavior and Orga-
nization, Amsterdam, 3(1982), 4, str. 323–343.
[84] Quiggin John: Regret Theory with General Choice Sets. Journal of Risk and Uncertainty,
Boston, 8(1994), 2, str. 153–165.
[85] Rabin Matthew: Risk Aversion and Expected-utility Theory: A Calibration Theorem.
Econometrica, Evanston (IL), 68(2000), 5, str. 1281–1292.
[86] Ramsey Frank P.: Truth and Probability. Ramsey Frank P., ed., The foundations of
mathematics and other logical essays. London : Routledge in Kegan Paul, 1931, str. 156–
198.
[87] Samuelson Paul: Probability, Utility, and the Independence Axiom. Econometrica,
Evanston (IL), 20(1952), 4, str. 670–678.
[88] Samuelson Paul, Zeckhauser Richard: Status quo bias in Decision Making. Journal of
Risk and Uncertainty, Boston, 1(1988), 1, str. 7–59.
[89] Savage Leonard J.: The Foundations of Statistics. New York : Wiley, 1954, 294 str.
[90] Schmeidler David: Subjective Probability and Expected Utility without Additivity.
Econometrica, Evanston (IL), 57(1989), 3, str. 571–587.
[91] Schmidt Ulrich, Traub Stefan: An Experimental Test of Loss Aversion. Journal of Risk
and Uncertainty, Boston, 25(2002), 3, str. 233–249.
[92] Schoemaker Paul J.H.: The Expected Utility Model: Its Variants, Purposes, Evidence
and Limitations. Journal of Economic Literature, Nashville (TN), 20(1982), 2, str. 529–563.
[93] Shea John: Union Contracts and the Life-Cycle/Permanent-Income Hypothesis. Amer-
ican Economic Review, Nashville (TN), 85(1995), 1, str. 186–200.
[94] Shefrin Hersh, Statman Meir: The Disposition to Sell Winners Too Early and Ride
Losers Too Long: Theory and Evidence. Journal of Finance, New York, 40(1985), 3,
str. 777–790.
91
[95] Simon Herbert A.: Models of man. New York : Wiley, 1957, 287 str.
[96] Starmer Chris: Cycling with Rules of Thumb: An Experimental Test for a new form
of Non-Transitive Behaviour. Theory and Decision, Dordrecht, 46(1999), 2, str. 139–157.
[97] Starmer Chris: Developments in Non-Expected Utility Theory: The Hunt for a De-
scriptive Theory of Choice under Risk. Journal of Economic Literature, Nashville (TN),
38(2000), 2, str. 332–382.
[98] Starmer Chris, Sugden Robert: Probability and Juxtaposition Effects: An Experimental
Investigation of the Common Ratio Effect. Journal of Risk and Uncertainty, Boston,
2(1989), 2, str. 159–178.
[99] Starmer Chris, Sugden Robert: Testing for Juxtaposition and Event-Splitting Effects.
Journal of Risk and Uncertainty, Boston, 6(1993), 3, str. 235–254.
[100] Sugden Robert: An Axiomatic Foundation for Regret Theory. Journal of Economic
Theory, New York, 60(1993), 1, str. 159–180.
[101] Thaler Richard H.: Toward a Positive Theory of Consumer Choice. Journal of Economic
Behavior and Organization, Amsterdam, 1(1980), 1, str. 39–60.
[102] Tversky Amos, Fox Craig R.: Weighing Risk and Uncertainty. Psychological Review,
Washington, 102(1995), 2, str. 269–283.
[103] Tversky Amos, Kahneman Daniel: Rational Choice and the Framing of Decisions.
Journal of Business, Chicago, 59(1986), 4, str. S251–S278.
[104] Tversky Amos, Kahneman Daniel: Advances in Prospect Theory: Cumulative Repre-
sentation of Uncertainty. Journal of Risk and Uncertainty, Boston, 5(1992), 4, str. 297–323.
[105] Tversky Amos, Koehler Derek J.: Support Theory: A Nonextensional Representation
of Subjective Probability. Psychological Review, Washington, 101(1994), 4, str. 547–567.
[106] Varian Hal R.: Microeconomic Analysis. New York : Norton, 1992, 506 str.
[107] Von Neumann John, Morgenstern Oskar: Theory of Games and Economic Behavior.
Princeton : Princeton University Press, 1953, 641 str.
[108] Wakker Peter P.: The Data of Levy and Levy (2002), ‘Prospect Theory: Much Ado
about Nothing?’ Support Prospect Theory. Management Science, Linthicum (MD),
49(2003), 7, str. 979–981.
[109] Wakker Peter P.: On the Composition of Risk Preference and Belief. Psychological
Review, Washington, 111(2004), 1, str. 236–241.
92
[110] Weber Martin, Camerer F. Colin: The disposition effect in securities trading: an exper-
imental analysis. Journal of Economic Behavior and Organization, Amsterdam, 33(1998),
2, str. 167–184.
[111] Williams Jr. C. Arthur: Attitudes toward Speculative Risks as an Indicator of Attitudes
toward Pure Risks. The Journal of Risk and Insurance, Orlando (FL), 33(1966), 4, str. 577–
586.
[112] Wold Herman: Ordinal Preferences or Cardinal Utility? Econometrica, Evanston (IL),
20(1952), 4, str. 661–664.
[113] Wu George: An Empirical Test of Ordinal Independence. Journal of Risk and Uncer-
tainty, Boston, 9(1994), 1, str. 39–60.
[114] Wu George, Gonzalez Richard: Curvature of the Probability Weighting Function.
Management Science, Linthicum (MD), 42(1996), 12, str. 1676–90.
[115] Wu George, Gonzalez Richard: Common Consequence Conditions in Decision Mak-
ing under Risk. Journal of Risk and Uncertainty, Boston, 16(1998), 1, str. 115–139.
[116] Wu George, Gonzalez Richard: Nonlinear Decision Weights in Choice under Uncer-
tainty. Management Science, Linthicum (MD), 45(1999), 1, str. 74–85.
[117] Wu George, Zhang Jiao, Abdellaoui Mohammed: Testing Prospect Theories Using
Probability Tradeoff Consistency. Journal of Risk and Uncertainty, Boston, 30(2005), 2,
str. 107–131.
[118] Yaari Menahem E.: The Dual Theory of Choice Under Risk. Econometrica, Evanston
(IL), 55(1987), 1, str. 95–115.
[a] Timeline of Nobel Prize Winners: Economics, 2005 [URL: http://www.nobel-
winners.com/Economics/], 1. 1. 2005.
[b] Program for Calculating the Cumulative-Prospect-Theory Value of Prospects with at
Most Four Outcomes [URL: http://www1.fee.uva.nl/creed/wakker/miscella/calculate.
cpt.kobb/index.htm], 1. 1. 2005.
93
Dodatek A
Nekateri dokazi
A.1 Dokaz o eksistiranju von Neumann-Morgensternove
funkcije koristnosti
I: Ce preference < do loterij v G zadostujejo aksiomom A1 do A6, tedaj obstaja funkcija
koristnosti u : G → R, ki predstavlja < na G, tako da ima u(·) lastnost pricakovane
koristnosti, tj. da za vsako g ∈ G velja u(g) =∑n
i=1 piu(ai), kjer je (p1 ◦ a1, . . . , pn ◦ an)
enostavna loterija inducirana z g.
D (Jehle in Reny, 2001, str. 97–99):
Obravnavajmo poljubno loterijo g iz G. Definirajmo u(g) kot takšno število, da
velja
g ∼(u(g) ◦ a1, (1 − u(g)) ◦ an
).
Zaradi A3 takšno število mora obstajati in zaradi A4 obstaja eno samo
takšno število. To potem definira zvezno funkcijo u naG (slucajno je po definiciji
u(g) ∈ [0, 1] za vse g.)
Ostane, da pokažemo, da u predstavlja < in da ima lastnost pricakovane
koristnosti. Najprej bomo pokazali prvo.
Naj bosta g, g′ ∈ G poljubni loteriji. Trdimo, da veljajo naslednje ekviva-
lence:
g < g′ (P.1)
ce in samo ce (u(g) ◦ a1, (1 − u(g)) ◦ an
)<
(u(g′) ◦ a1, (1 − u(g′)) ◦ an
)(P.2)
ce in samo ce
u(g) > u(g′) (P.3)
i
Da bi videl zakaj, se spomnimo, da (P.1) ce in samo ce (P.2) zato, ker je <
tranzitivna, in ker je g ∼(u(g)◦a1, (1−u(g))◦an
)ter g′ ∼
(u(g′)◦a1, (1−u(g′))◦an
),
oboje zaradi definicije u. Prav tako (P.2) ce in samo ce (P.3) sledi neposredno iz
zveznosti (aksiom A4).
Posledicno, g < g′ ce in samo ce u(g) > u(g′), tako da u predstavlja < na G.
Da bi zakljucili dokaz, moramo pokazati še, da ima u lastnost pricakovane
koristnosti. Naj bo g ∈ G poljubna loterija in naj bo gS = (p1 ◦ a1, . . . , pn ◦ an)
enostavna loterija, ki jo inducira g. Pokazati moramo, da velja
u(g) =n∑
i=1
piu(ai).
Ker je zaradi A6 g ∼ gS in ker u predstavlja <, mora veljati u(g) = u(gS).
Potemtakem zadostuje, da pokažemo, da je
u(gS) =n∑
i=1
piu(ai). (P.4)
Sedaj za vsak i = 1, . . . ,n, po definiciji u(ai) izpolnjuje
ai ∼(u(ai) ◦ a1, (1 − u(ai)) ◦ an
). (P.5)
Naj qi oznacuje enostavno loterijo na desni v (P.5). Tj. qi =(u(ai) ◦ a1, (1 −
u(ai))◦ an)
za vsak i = 1, . . . ,n. Posledicno je qi = ai za vsak i, tako da z aksiomom
substitucije, A5, dobimo
g′ = (p1 ◦ q1, . . . , pn ◦ qn) ∼ (p1 ◦ a1, . . . , pn ◦ an) = gS. (P.6)
Sedaj želimo izpeljati enostavno loterijo, ki jo inducira sestavljena loterija g′.
Upoštevamo, da ker lahko vsaka qi rezultira le v enem od dveh izidov a1 ali an,
mora tudi g′ rezultirati le v enem od teg dveh izidov. Kakšna je tedaj efektivna
verjetnost, ki jo g′ pripiše a1? Torej, a1 se uresnici, ce se za katerikoli i pojavi qi
(verjetnost pi) in a1 je rezultat loterije qi (verjetnost u(ai)). Potemtakem je za vsak i
verjetnost, da bo nastopil a1 enaka piu(ai). Ker se vsi qi medsebojno izkljucujejo, je
efektivna verjetnost, da se bo pojavil a1, enaka∑n
i=1 piu(ai). Podobno je efektivna
verjetnost, da se bo pojavil an, enaka∑n
i=1 pi(1−u(ai)), kar je enako 1−∑n
i=1 piu(ai),
ker se pi seštejejo v ena. Torej je enostavna loterija inducirana z g′
g′S =(( n∑
i=1
piu(ai))◦ a1,
(1 −
n∑i=1
piu(ai))◦ an
).
Zaradi aksioma redukcije A6 mora biti g′ ∼ g′S. Toda iz tranzitivnosti ∼ in
iz (P.6) potem sledi
gS ∼
(( n∑i=1
piu(ai))◦ a1,
(1 −
n∑i=1
piu(ai))◦ an
). (P.7)
ii
Kakorkoli že, po definiciji je u(gS) eno samo število, ki izpolnjuje
gS ∼(u(gS) ◦ a1, (1 − u(gS)) ◦ an
). (P.8)
Zatorej s primerjanjem (P.7) in (P.8) zakljucimo, da je
u(gS) =n∑
i=1
piu(ai),
kar smo želeli dokazati.
Pozoren bralec je morda opazil, da aksiom A1 v postopku dokazovanja
izreka ni bil uporabljen. In zares je ob prisotnosti ostalih aksiomov pri tem
odvecen. Da se pokazati, da A1 sledi iz A2, A3 in A4.
A.2 Dokaz o enolicnosti von Neumann-Morgensternove
funkcije koristnosti do pozitivno afine transforma-
cije
I: Naj u(·) predstavlja <. Potem funkcija koristnosti u(g) predstavlja iste preference, ce
in samo ce za nek skalar α in za nek skalar β > 0 velja u(g) = α + βu(g), za vse loterije g.
D (Jehle in Reny, 2001, str. 102–104):
Najprej dokažimo bolj ocitno plat te ekvivalence, tj. zadostnost. Naj u(·)
predstavlja <. Spomnimo se, da je razred von Neumann-Morgensternovih pon-
azoritev istih preferenc enolicno dolocen s konstantnim razmerjem med raz-
likama koristnosti,
u(a1) − u(ai)u(ai) − u(an)
=1 − αi
αiza ∀i = 1, . . . ,n − 1.
S substitucijo u(·) z u(·) = α + βu(g) ohranja to razmerje enako vrednost,
torej u(·) predstavlja iste preference kot u(·).
Sledi dokaz potrebnosti. Pri tem predpostavimo, da je g enostavna loterija.
Kot doslej naj bo A = {a1, . . . , an} in g = (p1 ◦ a1, . . . , pn ◦ an), kjer je a1 < . . . < an
in a1 � an.
Z odštetjem u(an) od obeh, u(·) in u(·), in potem deljenjem obojega z u(a1) −
u(an) (kar je pozitivno, saj u predstavlja < in a1 � an), ce je potrebno, lahko brez
izgube na splošni veljavnosti predpostavimo, da je u(a1) = 1 in u(an) = 0. Pri tem
bosta novi u(·) in u(·) von Neumann-Morgensternovi funkciji koristnosti in afino
iii
povezani, ce in samo ce imata stari u(·) in u(·) ti dve lastnosti. Ker so a1, a2, . . . , an
razvršceni od najboljšega k najslabšemu (z možnimi enakovrednostmi) in ker u
predstavlja <, velja 1 = u(a1) > u(ai) > u(an) = 0 za vse i = 1, 2, . . . ,n. Naj bo
αi = u(ai) ∈ [0, 1] za vsak i, in tako dobimo
u(g) =n∑
i=1
piu(ai) =n∑
i=1
piαi, (P.1)
kjer prva enacba sledi iz tega, da ima u(·) lastnost pricakovane koristnosti.
Sedaj po definiciji αi ter zaradi u(a1) = 1 in u(an) = 0 dobimo u(ai) =
αiu(a1)+(1−αi)u(an) za vsak i. Toda ker ima u(·) lastnost pricakovane koristnosti,
iz tega sledi u(ai) = u(αi ◦ a1, (1 − αi) ◦ an
), kar zaradi tega, ker u(·) predstavlja <,
pomeni, da je za vsak i,
ai ∼ u(αi ◦ a1, (1 − αi) ◦ an
). (P.2)
Ker < predstavlja tudi von Neumann-Morgensternova funkcija koristnosti
u(·), iz (P.2) sledi, da za vsak i,
u(ai) = u(αi ◦ a1, (1 − αi) ◦ an
)= αiu(a1) + (1 − αi)u(an) (P.3)
kjer smo do druge enacbe prišli zaradi tega, ker ima u(·) lastnost pricakovane
koristnosti. Zatorej,
u(g) =n∑
i=1
piu(ai) (P.4)
=
n∑i=1
piu(αi ◦ a1, (1 − αi) ◦ an
)(P.5)
=
n∑i=1
pi[αiu(a1) + (1 − αi)u(an)] (P.6)
=
( n∑i=1
piαi
)u(a1) +
(1 −
n∑i=1
piαi
)u(an) (P.7)
= u(g)u(a1) + (1 − u(g))u(an) (P.8)
= u(an) +(u(a1) − u(an)
)u(g). (P.9)
Enacba (P.4) sledi, ker ima vsaka von Neumann-Morgensternova funkcija ko-
ristnosti lastnost pricakovane koristnosti. (P.5) in (P.6) smo dobili s pomocjo
(P.3). S preureditvijo (P.6) dobimo (P.7). Potem do (P.8) pridemo s substitucijo iz
(P.1), (P.9) pa je le preureditev.
Ce postavimo α za konstanto u(an) in β za konstanto u(a1) − u(an), dobimo
u(g) = α + βu(g). (P.10)
iv
Pri tem velja, da ker je a1 � an in ker u predstavlja<, mora biti β = u(a1)−u(an) > 0.
A.3 Dokaz veljavnosti Arrow-Prattove mere
T: Osebe z višjo Arrow-Prattovo mero absolutnega zavracanja tveganja, Ra(w) =
−u′′(w)u′(w) = −
ddw ln u′(w) so manj naklonjene tveganju: njihovi zagotovljeni ekvivalenti so nižji
in voljne so sprejeti manj tveganih loterij.
D (Jehle in Reny, 2001, str. 108–109):
Obravnavajmo dva posameznika, 1 in 2, in dolocimo, da ima posame-
znik 1 von Neumann-Morgensternovo funkcijo koristnosti u1(w), posameznik 2
pa u2(w). Premoženje w lahko zavzame poljubno nenegativno vrednost. Pred-
postavimo, da ima za vsako vrednost premoženja w, posameznik 1 višjo Arrow-
Prattovo mero zavracanja tveganja kot posameznik 2:
R1a(w) = −
u′′1 (w)
u′1(w)> −
u′′2 (w)
u′2(w)= R2
a(w) za vse w > 0, (P.1)
kjer predpostavljamo, da sta obe, u′1 in u′2, vedno strogo pozitivni.
Zaradi enostavnosti predpostavimo, da u2(w) zavzame vse vrednosti na
[0,∞). Posledicno lahko definiramo h : [0,∞)→ R kot sledi:
h(x) = u1(u−12 (x)) za vse x > 0, (P.2)
Potemtakem sta prvi in drugi odvod funkcije h(x):
h′(x) =u′1(u−1
2 (x))
u′2(u−12 (x))
> 0 in
h′′(x) =u′′1 (u−1
2 (x))/u′1(u−12 (x)) − u′′2 (u−1
2 (x))/u′2(u−12 (x))[
u′2(u−12 (x))
]2 < 0
za vse x > 0, kjer prva neenacba sledi zaradi u′1, u′2 > 0, druga pa iz (P.1). Tj. h je
strogo narašcajoca in strogo konkavna funkcija.
Sedaj obravnavajmo loterijo g za vrednosti premoženja, kjer je p(w) verje-
tnostna gostota na [0,∞); ni potrebno, da je strogo pozitivna. S pomocjo (P.2) in
dejstva, da je h strogo konkavna, lahko pokažemo, da ima posameznik 1 nižji
zagotovljeni ekvivalent za g kot posameznik 2.
v
Naj wi oznacuje zagotovljeni ekvivalent i-tega posameznika za loterijo g.
To zapišemo kot: ∫∞
0u1(w)p(w)dw = u1(w1), (P.3)∫
∞
0u2(w)p(w)dw = u2(w2). (P.4)
Želimo pokazati, da je w1 < w2.
Ce v (P.2) postavimo x = u2(w) in uporabimo (P.3), dobimo
u1(w1) =∫∞
0h(u2(w)) f (w)dw
< h( ∫
∞
0u2(w) f (w)dw
)= h(u2(w2))
= u1(w2),
kjer je uporabljena neenacba Jensenova neenacba, saj je h strogo konkavna, in
zadnji dve enacbi sledita iz (P.4) in iz (P.2).§ Posledicno je u1(w1) < u2(w2), in ker
je u1 strogo narašcajoca, je potem w1 < w2, kot želeno.
Zakljucimo lahko, da ima posameznik 1 nižji zagotovljeni ekvivalent za
poljubno loterijo kot posameznik 2. Iz tega pa sledi, da ce imata posameznika 1
in 2 enaki zacetni premoženji, potem bo posameznik 2 (tisti z globalno nižjo
Arrow-Prattovo mero) sprejel vsako loterijo, ki jo bo sprejel posameznik 1,
tj. posameznik 1 je voljan sprejeti manj loterij kot posameznik 2.
Iz postopka je možno razvideti lastnost, ki sledi iz (P.1), da je von Neumann-
Morgensternova funkcija koristnosti posameznika 1 bolj konkavna kot tista od
posameznika 2 v smislu, da velja (še enkrat postavimo x = u2(w) v (P.2))
u1(w) = h(u2(w)) za vse w > 0. (P.5)
kjer je, kot vemo, h strogo konkavna. Potemtakem je glede na (P.5) u1 ,konkavi-
kacija’ funkcije u2. To pa je še drugi (ekvivalenten) izraz ideje, da posameznik 1
sprejema manj tveganja kot posameznik 2.
§Naj bo E(Z) pricakovana vrednost nedegenerirane slucajne spremenljivke Z in naj bo f (Z)
poljubna strogo konkavna funkcija Z-ja. Potem Jensenova neenacba pravi, da je E( f (Z)) < f (E(Z)).
Neenacba lahko velja s šibko neenakostjo, ce je f (·) konkavna, toda ne strogo konkavna. Jensenova
neenacba s šibko neenakostjo sledi iz tega, da ce je f konkavna, da je f (Z) 6 f (E(Z))+ f ′(E(Z))(Z−E(Z))
za vse Z. Do Jensenove neenacbe potem pridemo z izracunom matematicnega upanja obeh strani.
Strogo neenacbo se da dokazati na podoben nacin.
vi
