MAGISTRSKO DELO - core.ac.uk · Če je štirikotnik enakokraki trapez se v njem ujemata nasprotni stranici in ima enako dolgi diagonali. S pomočjo kotnih funkcij in kompleksnih števil

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Oddelek za matematiko in računalništvo

MAGISTRSKO DELO

Marija Vavdi

Maribor, 2015

UNIVERZA V MARIBORU


Oddelek za matematiko in računalništvo

Magistrsko delo

ŠTIRIKOTNIKI Z ENAKO DOLGIMA

DIAGONALAMA

na študijskem programu 2. stopnje Izobraževalna matematika – dvopredmetna

Mentor: Kandidatka:

doc. dr. Bojan Hvala Marija Vavdi

Maribor, 2015

iii

ZAHVALA

Zahvaljujem se mentorju doc. dr. Bojanu Hvali za vse spodbude in nasvete pri nastajanju

magistrskega dela.

Posebna zahvala gre mojim domačim, ki so mi vedno stali ob strani, me spodbujali in

podpirali pri mojem delu. Hvala vam za vso vašo potrpežljivost.

iv

UNIVERZA V MARIBORU


IZJAVA

Podpisana Marija Vavdi, rojena 26.1.1990, študentka Fakultete za naravoslovje in matematiko

Univerze v Mariboru, študijskega programa 2. stopnje Izobraževalna matematika –

dvopredmetna, izjavljam, da je magistrsko delo z naslovom

ŠTIRIKOTNIKI Z ENAKO DOLGIMA DIAGONALAMA

pri mentorju doc. dr. Bojanu Hvali avtorsko delo. V magistrskem delu so uporabljeni viri in

literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev.

_______________________

(podpis študenta-ke)

Maribor, 2015

v

Program magistrskega dela

Štirikotniki z enako dolgima diagonalama

V magistrskem delu predstavite nekatere karakteristične lastnosti konveksnih štirikotnikov z

enako dolgima diagonalama. Izpeljite obrazec za ploščino takega štirikotnika (kot funkcija

štirih stranic in razdalje med razpoloviščema diagonal oz. kot funkcija obeh srednjic) in

obrazec za izračun njegove diagonale (kot funkcija stranic). Obravnavajte tudi (dualno)

povezavo s štirikotniki s pravokotnima diagonalama.

Literatura:

[1] M. Josefsson, Properties of equidiagonal quadrilaterals, Forum Geom., Vol. 14 (2014),

str. 129 – 144. Dostopno na spletu:

http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412.pdf

[2] M. Josefsson, Characterizations of orthodiagonal quadrilaterals, Forum Geom., 12

(2012) 13–25. Dostopno na spletu:


Mentor:

doc. dr. Bojan Hvala



vi

VAVDI, M.: Štirikotniki z enako dolgima diagonalama

Magistrsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko,

Oddelek za matematiko in računalništvo, 2015.

IZVLEČEK

Diagonali v konveksnem štirikotniku sta lahko enako dolgi. V magistrskem delu bomo

predstavili nekaj lastnosti konveksnih štirikotnikov z enako dolgima diagonalama. Izpeljali

bomo obrazec za izračun ploščine štirikotnika z enako dolgima diagonalama in obrazec za

izračun dolžine diagonale v štirikotniku z enako dolgima diagonalama. Posvetili se bomo tudi

štirikotnikom z enako dolgima in pravokotnima diagonalama.

Ključne besede: konveksni štirikotnik, enako dolgi diagonali, pravokotni diagonali, ploščina,

Varignonov paralelogram, diagonali Varignonovega paralelograma.

Math. Subj. Class. (2010): 51M04

vii

VAVDI, M.: Equidiagonal quadrilaterals

Master Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Sciences and Mathematics,

Department of Mathematics and Computer Science, 2015.

ABSTRACT

The diagonals of convex quadrilateral may be the same length. In this thesis we present some

properties of convex quadrilaterals with equal length diagonals. We will derive a formula for

the area of equidiagonal quadrilateral and a formula for the length of diagonal in equidiagonal

quadrilateral. We will also discuss quadrilaterals with congruent and perpendicular diagonals.

Key words: convex quadrilateral, congruent diagonals, perpendicular diagonals, area,

Varignon parallelogram, diagonals of Varignon parallelogram.

Math. Subj. Class. (2010): 51M04

viii

Kazalo

Uvod ........................................................................................................................................... 1

1. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama ......................................................................... 2

2. Karakterizacije štirikotnikov z enako dolgima diagonalama .............................................. 4

3. Ploščina štirikotnika z enako dolgima diagonalama ......................................................... 21

4. Štirikotniki z enako dolgima in pravokotnima diagonalama ............................................ 30

5. Kdaj imajo osnovni štirikotniki enako dolgi diagonali? ................................................... 37

6. Dolžina diagonale v štirikotniku z enako dolgima diagonalama ...................................... 43

7. Zaključek ........................................................................................................................... 52

8. Literatura ........................................................................................................................... 53

Vavdi, M. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama. Magistrsko delo. 2015

1

Uvod

V tem magistrskem delu se bomo posvetili diagonalam v konveksnih štirikotnikih. Če se

spomnimo znanih osnovnih štirikotnikov, kot so pravokotnik, kvadrat, trapez, paralelogram,

romb in deltoid ugotovimo, da za diagonali v teh štirikotnikih veljajo različne lastnosti.

Diagonali v deltoidu sta pravokotni, v paralelogramu se razpolavljata, v enakokrakem trapezu

pa sta enako dolgi. V pravokotniku sta diagonali enako dolgi in se razpolavljata, medtem ko

za diagonali v kvadratu veljajo vse tri naštete lastnosti. V našem delu se bomo posebej

posvetili eni izmed zgoraj naštetih lastnosti diagonal, in sicer enakosti dolžin. Izkaže pa se,

da je ta lastnost tesno povezana tudi s pravokotnostjo diagonal. V enem izmed poglavij se

bomo posvetili štirikotnikom, ki imajo hkrati enako dolgi in pravokotni diagonali. Spoznali

bomo tudi postopek, kako štirikotniku s konstrukcijo središč enakostraničnih trikotnikov nad

njegovimi stranicami priredimo nov štirikotnik. Pri tem bomo opazili, da enako dolgi

diagonali prvotnega štirikotnika zagotavljata pravokotnost diagonal prirejenega štirikotnika in

obratno.


2

1. Štirikotniki z enako dolgima diagonalama

Znani štirikotniki, ki imajo enako dolgi diagonali so enakokraki trapez, pravokotnik in

kvadrat. Lahko pa vsak konveksni štirikotnik preoblikujemo v konveksni štirikotnik z enako

dolgima diagonalama. To naredimo tako, da eno od oglišč štirikotnika premaknemo po nosilki

diagonale za dolžino druge diagonale od nasprotnega oglišča (slika 1).

Slika 1

V tem delu bomo uporabljali naslednje oznake. Stranice štirikotnika označimo z ,

, in , diagonali štirikotnika bomo označevali z in .

Kote v štirikotniku bomo označevali kar z , , in . Daljico, ki povezuje razpolovišči

stranic in bomo označili z , daljico, ki povezuje razpolovišči stranic in pa z .

Razpolovišča stranic konveksnega štirikotnika so oglišča njegovega Varignonovega

paralelograma, stranice tega paralelograma označimo z in (slika 2). Za Varignonov

paralelogram velja, da je dolžina njegovih stranic enaka polovici dolžine diagonale

originalnega štirikotnika s katero je posamezna stranica vzporedna. Torej velja

in

.


3

Slika 2

Z uporabo paralelogramskega pravila v Varignonovem paralelogramu dobimo naslednjo

zvezo

Od tod pa sledi:

(1)

Enakost (1) bomo kasneje večkrat uporabili pri dokazovanju.


4

2. Karakterizacije štirikotnikov z enako dolgima diagonalama

V tem poglavju bomo predstavili in dokazali nekaj karakterizacij konveksnih štirikotnikov, ki

imajo enako dolgi diagonali.

Trditev 1: V konveksnem štirikotniku velja

Enakost velja natanko tedaj, ko ima štirikotnik enako dolgi diagonali.

Dokaz:

V enakosti (1) na obeh straneh odštejemo .

Na levi strani enakosti dobimo kvadrat razlike, nato enakosti prištejemo .

Iz enakosti izrazimo .

Od tod sledi iskana neenakost

Če primerjamo zadnji dve formuli vidimo, da v neenakosti velja enakost natanko tedaj, ko je

torej ko ima štirikotnik enako dolgi diagonali.

□

Sledita dva rezultata, ki govorita o tem, kdaj ima štirikotnik pravokotni diagonali. Ta rezultata

bomo potrebovali v nekaterih kasnejših dokazih.


5

Trditev 2: Štirikotnik ima pravokotni diagonali natanko tedaj, ko velja

Dokaz:

Diagonali štirikotnika sta vzporedni s stranicami njegovega Varignonovega paralelograma.

Torej sta diagonali štirikotnika pravokotni natanko tedaj, ko je njegov Varignonov

paralelogram pravokotnik. To pa je natanko tedaj, ko sta diagonali Varignonovega

paralelograma in enako dolgi.

□

Izrek 3: Štirikotnik ima pravokotni diagonali natanko tedaj, ko je vsota kvadratov nasprotnih

dveh stranic enaka vsoti kvadratov drugih dveh stranic:

Dokaz:

Iz oglišč in narišemo pravokotnici na diagonalo . Presečišči, ki ju dobimo, označimo z

in . S pomočjo Pitagorovega izreka izrazimo stranice štirikotnika (slika 3).

Slika 3


6

Tako izražene stranice vstavimo v izraz in dobljen izraz

poenostavimo.

Ko pravokotnici na diagonalo , ki smo ju narisali iz oglišč in , tvorita diagonalo , sta

diagonali v štirikotniku pravokotni. Takrat je razdalja med presečiščema in enaka

( ) (slika 3). Štirikotnik ima torej pravokotni diagonali natanko tedaj, ko velja X=Y

oz. |XY|=0.

Če upoštevamo to v zgornji enakosti dobimo, da ima štirikotnik pravokotni diagonali natanko

tedaj, ko velja

to pa velja natanko tedaj, ko je

□

Izrek 4: Konveksni štirikotnik ima enako dolgi diagonali natanko tedaj, ko

i) sta daljici, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic pravokotni,

ii) so razpolovišča njegovih stranic oglišča romba.

Dokaz:

i) Daljici, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic originalnega štirikotnika sta

diagonali Varignonovega paralelograma. Če je torej izpolnjen pogoj (i), ima


7

Varignonov paralelogram štirikotnika pravokotni diagonali in zanj velja izrek 3.

Dobimo

od koder sledi . Torej ima originalni štirikotnik enako dolgi diagonali.

Obratno implikacijo dobimo povsem enako.

ii) Paralelogram je romb natanko tedaj, ko sta njegovi diagonali pravokotni.

Razpolovišča stranic konveksnega štirikotnika so oglišča njegovega

Varignonovega paralelograma. Ker diagonali Varignonovega paralelograma v

originalnem štirikotniku povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic, sta (i) in (ii)

ekvivalentni.

□

V nadaljevanju bomo dokazali še par pogojev, ki veljajo za konveksne štirikotnike z enako

dolgima diagonalama.

Trditev 5: Konveksni štirikotnik z zaporednimi stranicami , , , ima enako dolgi

diagonali, natanko tedaj, ko

Dokaz:

V štirikotniku izrazimo diagonali s pomočjo kosinusnega izreka (slika 4).

Slika 4


8

Štirikotnik ima enako dolgi diagonali, če .

Enakost delimo na obeh straneh z in tako dobimo iskano enakost

□

Lema 6: V konveksnem štirikotniku s stranicami , , , velja

Dokaz:

Z diagonalo razdelimo štirikotnik na trikotnika in . Izrazimo njuno ploščino, pri

tem pa višino trikotnika izračunamo s pomočjo funkcije sinus.

Slika 5

Nato razdelimo štirikotnik še z diagonalo na trikotnika in ter izrazimo njuni

ploščini.


9

Slika 6

Seštevek prvih dveh ploščin nam da ploščino štirikotnika, enako tudi seštevek drugih dveh

ploščin.

Enakost pomnožimo z , da odpravimo ulomke in dobimo iskano enakost

□

Izrek 7: Konveksni štirikotnik z zaporednimi stranicami , , , ima enako dolgi

diagonali natanko tedaj, ko velja

Dokaz:

Uporabimo enakost, ki smo jo dobili v lemi 6 in jo kvadriramo.

Štirikotnik ima enako dolgi diagonali natanko tedaj, ko velja enakost, ki smo jo dobili v trditvi

5:


10

Enakost najprej kvadriramo:

Nato obe enakosti seštejmo in poenostavimo.

Upoštevamo povezavo .

Enakost delimo z .

Uporabimo adicijski izrek za kosinus razlike .

Na levi strani enakosti izpostavimo in na desni strani pa . Tako dobimo, da v

primeru, ko ima štirikotnik enako dolgi diagonali, velja

Še dokaz v nasprotno smer.

Enakost v izreku 7 dobimo tako, da enakosti iz trditve 5, ki velja le za štirikotnike z enako

dolgima diagonalama, prištejemo enakost iz leme 6 in dobljeno enakost preoblikujemo.

Zaradi lastnosti natanko tedaj, ko za poljubni velja je enakost v izreku

7 ekvivalentna enakosti v trditvi 5. Torej, če v štirikotniku velja enakost


11

ima štirikotnik enako dolgi diagonali.

□

Posledica 8: Nasprotni stranici štirikotnika z enakima diagonalama se ujemata natanko tedaj,

ko je štirikotnik enakokraki trapez.

Dokaz:

Najprej dokažimo v desno. Če ima štirikotnik enako dolgi diagonali, potem zanj velja

izrek 7.

V enakosti, ki smo jo dobili pri izreku 7, uporabimo zvezo za razliko kosinusov in dobimo

Enakost preoblikujemo

Če se nasprotni stranici ujemata, je leva stran enaka . Potem mora biti tudi desna stran enaka

, torej je izraz s sinusi enak

Ker je , je oziroma –

in

oziroma –

. Zato je prvi sinus enak , če

in je drugi sinus enak , če .

Štirikotnik z enako dolgima nasprotnima stranicama ima enako dolgi diagonali natanko tedaj,

ko

ali

Če upoštevamo, da v vsakem štirikotniku velja , dobimo v prvem

primeru in v drugem primeru .


12

Od tod sledi, da je v prvem primeru stranica vzporedna stranici in v drugem primeru

stranica vzporedna stranici . Torej je štirikotnik trapez. Ker sta po predpostavki

nasprotni stranici enaki, gre za enakokraki trapez.

Dokaz v nasprotno smer je očiten.

Če je štirikotnik enakokraki trapez se v njem ujemata nasprotni stranici in ima enako dolgi

diagonali.

□

S pomočjo kotnih funkcij in kompleksnih števil bomo dokazali še eno karakterizacijo

konveksnega štirikotnika z enako dolgima diagonalama.

Izrek 9: Nad stranicami konveksnega štirikotnika z zunanje strani narišemo

enakostranične trikotnike (slika 7). Potem drži naslednja karakterizacija:

i) štirikotnik ima enako dolgi diagonali, natanko tedaj, ko so središča

trikotnikov oglišča štirikotnika s pravokotnima diagonalama

ii) štirikotnik ima pravokotni diagonali, natanko tedaj, ko so središča

trikotnikov oglišča štirikotnika z enako dolgima diagonalama.


13

Slika 7

Dokaz:

i) Središča trikotnikov označimo z tako, kot je na sliki 7. V

enakostraničnem trikotniku s stranico je razdalja od središča do oglišča enaka

radiju trikotniku očrtane krožnice

. V trikotnikih , , in

z uporabo kosinusnega izreka izrazimo stranice, ki povezujejo središča

enakostraničnih trikotnikov.


14

Štirikotnik ima pravokotni diagonali natanko tedaj, ko velja

V levo stran enakosti vstavimo izražene stranice in poenostavimo:


15

Uporabimo lemo 6, ki pravi, da v vsakem konveksnem štirikotniku velja:

To pomeni, da je

Zato enakost

velja natanko tedaj, ko velja

Po trditvi 5 vemo, da velja v konveksnem štirikotniku ABCD enakost


16

natanko tedaj, ko ima štirikotnik enako dolgi diagonali.

□

ii) Drugi del izreka bomo dokazali s pomočjo kompleksnih števil. Oglišča , , ,

naj zastopajo kompleksna števila . Središča trikotnikov

pa naj zastopajo kompleksna števila . Za ta števila veljajo naslednje

zveze:

Kako dobimo te zveze, bomo ponazorili na primeru prve zveze, ostale zveze

sledijo na enak način.

Naj bo taka točka, da bo enakostranični trikotnik in njegovo težišče.

Težišče v enakostraničnem trikotniku je podano z naslednjo zvezo

.

Da dobimo zavrtimo okrog za kot . Vrtenje izvedemo v treh korakih:

1. premaknemo v 0:

2. zavrtimo okrog 0 za :

3. premaknemo nazaj:

Sedaj s pomočjo zveze za težišče enakostraničnega trikotnika in enakosti

, izračunamo


17

Dokaz izvedemo v dve smeri.

Najprej dokažimo v desno smer. Če je štirikotnik s pravokotnima

diagonalama, velja

za realno število .

Pri tem sta in dolžini diagonal štirikotnika, množenje z pa nam

predstavlja vrtenje diagonale v pozitivni smeri za in razteg za faktor

.

Uporabimo izraze za središča trikotnikov.


18

Od tod sledi

kar pomeni, da sta diagonali štirikotnika enako dolgi.


19

Dokažimo še v levo smer. Če ima štirikotnik enako dolgi diagonali,

velja

pri čemer kompleksna števila zastopajo središča trikotnikov in so

izražena z oglišči štirikotnika (glej začetek dokaza ii).

.

Dokazati moramo, da to pomeni, da sta in pravokotni.

Uvedemo novi kompleksni števili in .

Dokazujemo, da če velja potem je .

Za števili in uporabimo njuna polarna zapisa.


20

Od koder sledi, da sta in pravokotni, kar pomeni, da ima štirikotnik

pravokotni diagonali.

□


21

3. Ploščina štirikotnika z enako dolgima diagonalama

V tem poglavju bomo dokazali izrek o ploščini konveksnega štirikotnika in njegovi posledici,

ki se nanašata na ploščino konveksnega štirikotnika z enako dolgima diagonalama.

Trditev 10: Ploščina konveksnega štirikotnika z diagonalama in daljicama, ki povezujeta

razpolovišči nasprotnih stranic, in je

Dokaz:

Ploščina konveksnega štirikotnika je dvakratnik ploščine njegovega Varignonovega

paralelograma s stranicama

in

:

kjer je kot med diagonalama in .

Za izračun najprej izračunamo s pomočjo kosinusnega izreka v trikotnikih

in (slika 8).

Slika 8


22

Enakosti odštejemo in izrazimo

Sedaj uporabimo zvezo in izrazimo

Tako izražen vstavimo v dvakratnik ploščine Varignonovega paralelograma in dobimo

iskano enakost:

□

Izrek 11: Konveksni štirikotnik z diagonalama in daljicama, ki povezujeta razpolovišči

nasprotnih stranic, in ima ploščino

Dokaz:

Enakost (1) najprej delimo z in nato kvadriramo


23

Levo stran enakosti spremenimo v kvadrat razlike in dobimo naslednjo enakost

(2)

Uporabimo enakost za ploščino konveksnega štirikotnika, ki smo jo dobili v trditvi 10:

To enakost kvadriramo in pomnožimo tako, da odpravimo ulomke

Iz enakosti (2) izrazimo ( in vstavimo v zgornjo enakost ter jo poenostavimo:

Tako dobimo naslednjo enakost, ki jo z deljenjem in korenjenjem preoblikujemo v iskano

enakost.

□


24

Posledica 12: Ploščina konveksnega štirikotnika je enaka produktu daljic, ki povezujeta

razpolovišči nasprotnih stranic natanko tedaj, ko ima štirikotnik enako dolgi diagonali.

Dokaz:

Najprej dokažimo v desno. Uporabimo enakost za ploščino konveksnega štirikotnika, ki smo

jo dobili v izreku 11 in jo enačimo s produktom daljic, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih

stranic

Enakost kvadriramo, da odpravimo koren

Odštejemo in dobimo

Enakost korenimo in pomnožimo s 4

Od tod sledi

kar pomeni, da ima štirikotnik enako dolgi diagonali.

Dokažimo še v drugo smer.

V enakosti, ki smo jo dobili v izreku 11 upoštevamo, da ima štirikotnik enako dolgi diagonali

.

□


25

Za dokaz posledice 15 bomo potrebovali enačbi za izračun dolžin daljic, ki povezujeta

razpolovišči nasprotnih stranic in Eulerjevo razširitev paralelogramskega pravila, zato

moramo prej dokazati naslednjo lemo in trditev.

Lema 13: (Eulerjeva razširitev paralelogramskega pravila) V konveksnem štirikotniku velja

Dokaz:

Daljica je težiščnica v trikotniku (slika 9) in jo izrazimo z enakostjo za težiščnico v

trikotniku

Slika 9

Dobljeno enakost pomnožimo s , da odpravimo ulomek

Opazimo, da je daljica težiščnica v trikotniku in daljica težiščnica v trikotniku

. Izrazimo ju z enakostjo za težiščnico v trikotniku

Ti enakosti za daljici vstavimo v zgornjo enakost in po preoblikovanju dobimo iskano enakost


26

□

Trditev 14: Dolžini daljic in , ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic v

konveksnem štirikotniku zadoščata

kjer je razdalja med razpoloviščema diagonal.

Dokaz:

V konveksnem štirikotniku označimo razpolovišča stranic z , , in . Izrazimo daljici

in , ki sta težiščnici trikotnikov in (slika 10). Težiščnica v trikotniku je podana z

zvezo

.

Slika 10


27

Nato izrazimo še dolžino daljice , ki je težiščnica v trikotniku in hkrati daljica v

štirikotniku

Enakost kvadriramo in nato vanjo vstavimo izraza za in .

Uporabimo Eulerjevo razširitev paralelogramskega pravila na konveksni štirikotnik (lema 13)

Iz te enakosti izrazimo vsoto kvadratov diagonal

To vstavimo v enakost za

Po korenjenju dobimo iskano enakost za

Na podoben način izpeljimo še enakost za . Izrazimo daljici in , ki sta težiščnici v

trikotnikih in (slika 11).


28

Slika 11

Izrazimo še daljico , ki je hkrati težiščnica v trikotniku in daljica v štirikotniku

Zgornjo enakost kvadriramo in vanjo vstavimo enakosti za in .

V enakosti uporabimo Eulerjevo razširitev paralelogramskega pravila na konveksni štirikotnik

(lema 13)

Po korenjenju dobimo iskano enakost za

□


29

Posledica 15: Konveksni štirikotnik z zaporednimi stranicami ima enako dolgi

diagonali, natanko tedaj, ko ima ploščino

pri čemer je razdalja med razpoloviščema diagonal.

Dokaz:

Daljici, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic izrazimo s pomočjo stranic in razdalje

med razpoloviščema diagonal

Če upoštevamo zgornji enakosti za in , enakost v posledici 15 dejansko pomeni

Po posledici 12 je to natanko tedaj, ko ima štirikotnik enako dolgi diagonali.

□


30

4. Štirikotniki z enako dolgima in pravokotnima diagonalama

Diagonali v štirikotniku se lahko razpolavljata, sta enako dolgi ali sta pravokotni. Razmislimo

o teh lastnostih v osnovnih konveksnih štirikotnikih, ki jih poznamo (tabela 1).

Tabela 1: Lastnosti diagonal v osnovnih štirikotnikih

štirikotnik diagonali se

razpolavljata

diagonali sta enako

dolgi

diagonali sta

pravokotni

trapez NE NE NE

enakokraki trapez NE DA NE

deltoid NE NE DA

paralelogram DA NE NE

romb DA NE DA

pravokotnik DA DA NE

kvadrat DA DA DA

Posebno pozornost bomo namenili štirikotnikom, ki imajo hkrati enako dolgi in pravokotni

diagonali. Med osnovnimi štirikotniki ima hkrati ti dve lastnosti le kvadrat, zagotovo pa

obstaja še kakšen konveksni štirikotnik s tema lastnostma. Kdaj ima konveksni štirikotnik

hkrati enako dolgi in pravokotni diagonali, si bomo ogledali v tem poglavju.

Izrek 16: Konveksni štirikotnik ima enako dolgi in pravokotni diagonali, natanko tedaj, ko

i) sta daljici, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic, pravokotni in enako

dolgi,

ii) so razpolovišča njegovih stranic oglišča kvadrata.


31

Slika 12

Dokaz:

i) Dokažimo najprej v levo. Ker sta in pravokotni po izreku 4 sledi, da ima

konveksni štirikotnik enako dolgi diagonali. Ker sta diagonali Varignonovega

paralelograma tudi enako dolgi po trditvi 2 sledi, da ima konveksni štirikotnik tudi

pravokotni diagonali.

Dokažimo še v desno. Diagonali konveksnega štirikotnika in sta po izreku 4 enako

dolgi natanko tedaj, ko sta daljici, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic in

pravokotni. Ker sta diagonali in enako dolgi, so tudi stranice Varignonovega

paralelograma enako dolge, kar pomeni, da je le ta romb. Diagonali in sta tudi

pravokotni, kar pomeni, da so tudi stranice romba pravokotne. To je natanko tedaj, ko

je romb kvadrat. Torej je Varignonov paralelogram celo kvadrat, ki ima enako dolgi

diagonali. Diagonali Varignonovega paralelograma in sta torej enako dolgi.

ii) Razpolovišča stranic so oglišča Varignonovega paralelograma. Če ima paralelogram

enako dolgi in pravokotni diagonali, je kvadrat. Zato sledi, da je ii) ekvivalentno i).

□


32

Trditev 17: Štirikotnik z enako dolgima in pravokotnima diagonalama je kvadrat natanko

tedaj, ko se njegovi diagonali razpolavljata.

Dokaz:

Najprej dokažimo v levo. Štirikotnik katerega diagonali sta enako dolgi, pravokotni ter se

razpolavljata delita štirikotnik na štiri skladne enakokrake pravokotne trikotnike. Ker so

osnovnice teh enakokrakih trikotnikov enako dolge, gre za romb, in ker so koti pravi, je to

kvadrat.

Dokaz v desno je lahek, saj vemo, da se diagonali v kvadratu razpolavljata.

□

Trditev 18: Konveksni štirikotnik z diagonalama in daljicama, ki povezujeta razpolovišči

nasprotnih stranic, in ima enako dolgi in pravokotni diagonali natanko tedaj, ko je

njegova ploščina enaka

Dokaz:

Ploščina konveksnega štirikotnika je enaka dvakratniku ploščine njegovega Varignonovega

paralelograma s stranicama

in

. Ploščina Varignonovega paralelograma je tako podana z

enakostjo

kjer je kot med stranicama.

Torej je ploščina konveksnega štirikotnika

Z uporabo enakosti ploščina konveksnega štirikotnika zadošča


33

Enakost velja natanko tedaj, ko je in

, kar pomeni, da sta diagonali pravokotni in

enako dolgi.

Enakost zgornjih izrazov sledi iz enakosti (1):

□

Trditev 19: Konveksni štirikotnik z zaporednimi stranicami ima enako dolgi in

pravokotni diagonali, natanko tedaj, ko je njegova ploščina dana z:

kjer je razdalja med razpoloviščema diagonal.

Dokaz:

Konveksni štirikotnik ima enako dolgi diagonali, če je njegova ploščina enaka produktu

daljic, ki povezujeta razpolovišči nasprotnih stranic (posledica 12).

Diagonali sta pravokotni po trditvi 2, natanko tedaj, ko sta daljici, ki povezujeta razpolovišči

nasprotnih stranic, enaki.

Uporabimo naslednji enakosti za izračun teh daljic:

Upoštevamo, da sta daljici enako dolgi

Uporabimo enakost za ploščino konveksnega štirikotnika, ki smo jo dobili pri posledici 12 in

v to enakost vstavimo zgornji enakosti za izračun daljic. Iskana enakost sledi

□


34

Posledica 20: Konveksni štirikotnik z zaporednimi stranicami je kvadrat, natanko

tedaj, ko je njegova ploščina

Dokaz:

Enakosti sta direktna posledica trditve 19. Po trditvi 17 je namreč konveksni štirikotnik

kvadrat, natanko tedaj, ko je štirikotnik z enakima in pravokotnima diagonalama, ki se

razpolavljata ( ).

□

Izrek 21: Štirikotnik z enako dolgima in pravokotnima diagonalama z zaporednimi stranicami

ima ploščino

Dokaz:

Uporabimo naslednji lastnosti (slika 13)

Slika 13


35

Izrazimo diagonalo s stranicami, s pomočjo Pitagorovega izreka.

Enakosti najprej kvadriramo in nato še seštejemo:

Enakost poenostavimo

Rešimo kvadratno enačbo.


36

Izraz pod korenom poenostavimo

Uporabimo zvezo: .

(3)

Da, določimo predznak rešitve uporabimo poseben primer: kvadrat ( ):

V enakosti moramo torej uporabiti . Enakost (3) vstavimo v

in dobimo iskano

enakost

□


37

5. Kdaj imajo osnovni štirikotniki enako dolgi diagonali?

Izrek 22: Velja:

i) paralelogram ima enako dolgi diagonali, natanko tedaj, ko je pravokotnik;

ii) romb ima enako dolgi diagonali, natanko tedaj, ko je kvadrat;

iii) trapez ima enako dolgi diagonali, natanko tedaj, ko je enakokraki trapez;

iv) tetivni štirikotnik ima enako dolgi diagonali, natanko tedaj, ko je enakokraki trapez.

Dokaz:

i) Imamo paralelogram s stranicama in . Paralelogram ima enako dolgi diagonali, ko

velja

Od tod sledi

Kota in sta v paralelogramu enaka le, če je ta pravokotnik.

□

ii) Dokažemo na enak način kot i), le da tokrat velja a=b. Spet dobimo A=B.

Kota in sta v rombu enaka le če je kvadrat.

□

iii) Za dokaz te točke bomo potrebovali enačbi za izračun dolžin diagonal v trapezu, zato

bomo najprej dokazali naslednji izrek.

Izrek 23: Konveksni štirikotnik s stranicami je trapez z vzporednima

stranicama in pri čemer natanko tedaj, ko je dolžina diagonal in enaka:


38

Slika 14

Dokaz:

Kosinusni izrek v trikotnikih ABD in DBC nam da:

Stranici in sta vzporedni samo, če je , kar je natanko tedaj, ko je :

Ker , dobimo:

Na enak način dokažemo tudi enakost za .

Kosinusni izrek v trikotnikih in nam da:


39

Slika 15

Stranic sta vzporedni samo, če je , kar je natanko tedaj, ko je :

Ker , dobimo:

□

Sedaj lahko s pomočjo teh dveh enakosti dokažemo točko iii.

Upoštevamo:


40

pri čemer sta in vzporedni in različno dolgi.

Diagonali sta enako dolgi natanko tedaj, ko velja:

Ker sta kraka trapeza in enaka, sledi da je trapez enakokrak.

□

iv) Za dokaz te točke bomo potrebovali Ptolomejev drugi izrek zato bomo najprej

dokazali tega.

Izrek 24: V tetivnem štirikotniku z diagonalama in velja

Dokaz:

V tetivnem štirikotniku označimo presečišče diagonal s in kot med diagonalama s (slika

16). Konstruiramo višini na : v trikotniku in v trikotniku in višini na AC:

v trikotniku in v trikotniku .


41

Slika 16

Uporabimo enakost za višino v trikotniku in z njeno pomočjo izrazimo

in

Sedaj izrazimo višine s pomočjo enakosti za višino v trikotniku , in sicer in

v trikotniku ter in v trikotniku .

Dobljeni enakosti vstavimo količnik in . Po preoblikovanju dobimo iskano

enakost

□

Sedaj lahko dokažemo točko iv.

Uporabimo Ptolomejev drugi izrek:


42

Od tod sledi, da ima tetivni štirikotnik enako dolgi diagonali natanko tedaj, ko je

To je natanko tedaj, ko velja

Prva možnost:

Druga možnost:

Slika 17

V štirikotniku z enako dolgima diagonalama se po posledici 8 nasprotni stranici

ujemata natanko tedaj, ko je štirikotnik enakokraki trapez. Tetivni štirikotnik z

enakima nasprotnima stranicama je enakokraki trapez.

□


43

6. Dolžina diagonale v štirikotniku z enako dolgima diagonalama

V tem poglavju bomo izpeljali obrazec za izračun dolžine diagonale v štirikotniku z enako

dolgima diagonalama. Za potrebe tega dokaza moramo najprej dokazati naslednjo lemo.

Lema 25: Za poljubna dva kota in velja

Dokaz:

Uporabimo adicijski izrek za kosinus vsote

Enakost kvadriramo

Uporabimo zvezo med funkcijama sinus in kosinus:

To vstavimo v zgornjo enakost in iskano enakost dobimo po poenostavitvi:

□

Izrek 26: V konveksnem štirikotniku s stranicami in diagonalama velja:

Ista enakost velja tudi v vbočenem štirikotniku in celo v prekrižanem štiriciklu.


44

Dokaz:

V štirikotniku z diagonalama uporabimo naslednji oznaki in . S

pomočjo kosinusnega izreka v trikotnikih , in izrazimo kosinuse kotov

.

Slika 18

Dobimo:

Sedaj uporabimo lemo 25 in vanjo vstavimo dobljene kosinuse:

Enakost pomnožimo s številom , da odpravimo ulomke


45

Člene v enakosti kvadriramo in pomnožimo tako, da odpravimo oklepaje. Po krajšanju enakih

členov dobimo naslednjo enakost

Po izpostavljanju in preoblikovanju dobimo iskano enakost

Enakost pomnožimo z ( , da odpravimo negativni predznak pri prvem členu

Tako smo dobili enakost s pomočjo katere lahko izračunamo manjkajočo dolžino stranice ali

diagonale v poljubnem konveksnem štirikotniku.

Enakost velja tudi za vbočen štirikotnik.

Na sliki 18 premaknemo točko po daljici proti točki tako da dobimo vbočen

štirikotnik . Tako ena diagonala leži znotraj štirikotnika in deli kot pri ustreznem

oglišču na in . Če sedaj izrazimo kosinuse kotov , kot smo to naredili pri

konveksnem štirikotniku, ugotovimo, da dobimo enake izraze. Torej vsi izračuni veljajo tudi v

tem primeru.


46

Enakost velja celo za prekrižani štiricikel.

Slika 19

V prekrižanem štiriciklu sta obe diagonali zunaj štiricikla (slika 19). Če kota in

definiramo enako, kot smo ju pri konveksnem štirikotniku, ugotovimo, da imamo sedaj

namesto kota kot . Vendar enakost, ki jo dobimo v lemi

25 in uporabimo za dokaz izreka 26, zaradi kvadriranja v dokazu leme 25 velja tudi za

. Torej vsi izračuni veljajo tudi za prekrižani štiricikel.

□

To enakost lahko z upoštevanjem lastnosti, da ima konveksni štirikotnik enako dolgi

diagonali, preoblikujemo tako, da bomo z njeno pomočjo lahko izračunali dolžino diagonale v

štirikotniku z enako dolgima diagonalama v katerem imamo znane le stranice.

V zgornji enakosti upoštevamo

To enakost preoblikujemo v kubično enačbo za


47

Poenostavimo vsebino oklepaja pri

Poenostavljen izraz v oklepaju vstavimo v enakost

Enakost pomnožimo z , da odpravimo negativni predznak pri prvem členu

S pomočjo danih dolžin stranic in dobljene enakosti lahko sedaj izračunamo dolžino

diagonale v konveksnem štirikotniku z enako dolgima diagonalama.

S tem smo izpeljali naslednji izrek:

Izrek 27: V konveksnem štirikotniku z enako dolgima diagonalama in stranicami

velja

Kubična enačba za lahko ima tri, dve ali eno pozitivno realno rešitev, kar pomeni, da lahko

pri računanju dolžine diagonale pri danih dobimo tri, dva ali en pozitiven . Na

primerih si poglejmo, kakšne štiricikle nam dajo različne vrednosti izračunane po enakosti

iz izreka 27.


48

Primer 28: Z GeoGebro konstruirajmo konveksni štirikotnik z enako dolgima

diagonalama. Dolžina diagonale je , stranice štirikotnika pa imajo naslednje dolžine

, , in . Za dan konveksni štirikotnik izračunamo dolžino

diagonale z uporabo enakosti za dolžino diagonale v konveksnem štirikotniku z enako

dolgima diagonalama

S pomočjo žepnega računala izračunamo vrednosti v oklepajih

Enačbo zapišemo v kubični obliki za

Na žepnem računalu vklopimo funkcijo reševanja kubične enačbe in rešimo enačbo. Dobimo

naslednje tri rešitve

Da bomo dobili dolžino diagonale, moramo te rešitve koreniti, dobimo:

Dobili smo dve realni rešitvi naše kubične enačbe. Ker smo na začetku konstruirali konveksni

štirikotnik z diagonalama , vemo, da nam rešitev da konveksni štirikotnik. Kaj

pa rešitev ? To bomo preverili s pomočjo GeoGebre (slika 20).

Za dane in lahko narišemo štirikotnik in je določen. Ker ima enačba za

dve pozitivni rešitvi, konstruiramo na isti sliki še štirikotnik s podatki in .


49

Ugotovimo, da nam rešitev da dve različni sliki, in sicer prekrižani štiricikel

in prekrižani štiricikel . Pri tem ima prekrižani štiricikel

enak kot

konveksni štirikotnik , prekrižani štiricikel pa ne.

Slika 20

Primer 29: Z GeoGebro konstruirajmo enakokraki trapez kot primer štirikotnika z

enako dolgima diagonalama. Dolžina diagonale je , stranice štirikotnika pa imajo

naslednje dolžine , in . Tako kot pri primeru 28 izračunajmo

dolžino diagonale s pomočjo enakosti, ki smo jo izpeljali v izreku 27.

Dobimo:

Po korenjenju, dobimo:


50

Z GeoGebro preverimo, tako kot pri primeru 28, kakšno rešitev nam da (slika 21).

Ugotovimo, da nam ta rešitev da dve različni sliki, in sicer prekrižani štiricikel in

vbočeni štirikotnik . Pri tem ima prekrižani štiricikel enak kot enakokraki

trapez , vbočeni štirikotnik pa ne.

Slika 21

Razmislimo, zakaj smo pri dobili v obeh primerih dve različni sliki. Enakost iz izreka 27

nam pri danih predstavlja kvadratno enačbo za . Ta lahko ima dve pozitivni realni

rešitvi, tako dobimo poleg začetnega še en in posledično dve različni sliki.

Primer 30: Z GeoGebro konstruirajmo konveksni štirikotnik kot primer štirikotnika z

enako dolgima diagonalama. Dolžina diagonale je , stranice štirikotnika pa imajo

naslednje dolžine , in . Tako kot pri prejšnjih primerih

izračunajmo dolžino diagonale s pomočjo enakosti, ki smo jo izpeljali v izreku 27.

Dobimo:


51

Po korenjenju, dobimo:

Slika 22

Z GeoGebro preverimo, kakšno rešitev nam da (slika 22). Ugotovimo, da nam ta

rešitev da dve različni sliki, in sicer vbočeni štirikotnik in prekrižani štiricikel

. Pri tem ima vbočeni štirikotnik enak kot konveksni štirikotnik ,

prekrižani štiricikel pa ne.

Torej pri predpostavki, da ima štirikotnik enako dolgi diagonali, pri danih lahko

dobimo različne vrednosti za dolžino (obeh) diagonal , pri konstrukciji ustreznih

štirikotnikov pa se izkaže, da včasih kot rezultat dobimo konveksne štirikotnike, včasih

vbočene, včasih pa celo prekrižane štiricikle.


52

7. Zaključek

V magistrskem delu smo spoznali in dokazali nekaj lastnosti konveksnih štirikotnikov z enako

dolgima diagonalama. Pri dokazovanju smo si pomagali z napotki v članku [1]. Izrek 3 smo

dokazali s pomočjo članka [3], izrek 23 s pomočjo članka [4], izrek 24 pa s pomočjo spletne

strani [6]. Trditev 14 smo dokazali s pomočjo članka [2] in spletne strani [5]. Lemo 13 smo

dokazali s pomočjo zapiskov pri predmetu Ravninska in prostorska geometrija.

Vse slike so narisane s programom GeoGebra 5.0.


53

8. Literatura

[1] M. Josefsson, Properties of equidiagonal quadrilaterals, Forum Geometricorum, Vol. 14

(2014), str. 129–144. Dostopno na spletu, povzeto 20.1.2015:


[2] M. Josefsson, The area of a bicentric quadrilateral, Forum Geom., 11 (2011) 155–164.

Dostopno na spletu, povzeto 3.2.2015:


[3] M. Josefsson, Characterizations of orthodiagonal quadrilaterals, Forum Geom., 12 (2012)

13–25. Dostopno na spletu, povzeto 3.2.2015:


[4] M. Josefsson, Characterizations of trapezoids, Forum Geom., 13 (2013) 23–35. Dostopno

na spletu, povzeto 3.2.2015:


[5] Headhunter (uporabniško ime) in M. Constantin, Inequality Of Diagonal, spletni vir,

povzeto 15.5.2015 http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h363253

[6] Ptolemy's Theorems, spletni vir, povzeto 12.6.2015

https://geome3atc.wordpress.com/2010/08/06/ptolemys-theorems/





http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h363253

https://geome3atc.wordpress.com/2010/08/06/ptolemys-theorems/

Documents

MAGISTRSKO DELO - core.ac.uk · Če je štirikotnik enakokraki trapez se v njem ujemata nasprotni stranici in ima enako dolgi diagonali. S pomočjo kotnih funkcij in kompleksnih števil