Upload
vuongxuyen
View
253
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
2
x Ax Bu
u Kx
( )x A BK x A
B
x
K
ux
s
I
+
+
x Ax BKx
C
y
0sI A
0sI A BK
Açık çevrim kökleri
Kapalı çevrim kökleri
Durum değişkeni geri besleme(state feedback) kontrol
state feedback
Durum değişkeni geri beslemeli kontrolde tüm durum değişkenlerinin elde edilebilir olduğu varsayılmaktadır. Bu kontrolün pratikte uygulanabilmesi için tüm durum değişkenlerinin ölçülmesi gerekmektedir.
3 3 3
Linear Quadratic Regulator(LQR)
0
0
Lineer sistemin aşağıdaki şekilde modellendiğini düşünelim
(0)
bu sistemle ilişkili performans indeksi
( )
b 0, urada şeklinde tanımlıdır.
Bur
0
ada
T
T
T
T
x Ax Bu x x
J x Qx u R t
Q
u
Q R R
d
performans indeksini minimize eden
seklinde sistemi kararlı hale getiren bir lineer durum
değişkeni geri beslemeli kontrolör olu
amaç
şturmaktır
.
J
u Kx
Model esaslı kontrol tasarım yönteminin en basit yapısı LQR’dır.
4
1
0
( , ) min ( , )t
tuf x t h x u dt
0
1
( , ) ( (0))
( , ) 0
f x t f x
f x t
min ( , ) ( , )
T
u
f fh x u g x u
t x
Hamilton-Jacobi denklemi
(I)
Aşağıdaki gibi hem zamana hem de durum değişkenine bağlı
bir fonksiyonel denklem tanımlansın:
Fonksiyonelin tanımlanan zaman aralığındaki değerleri:
Linear Quadratic Regulator(LQR)
5
( , )
( , ) T T
g x u Ax Bu
h x u x Qx u Ru
1
0
1
0
( , )
( )
t
t
tT T
t
J h x u dt
x Qx u Ru dt
min ( )
T
T T
u
f fx Qx u Ru Ax Bu
t x
olarak alınırsa ve (I) de yerine
yazılırsa
(II)
Linear Quadratic Regulator(LQR)
6
( , ) olarak seçilirseT
T
f x t x Px
f Px x
t t
2
2
T
T
fPx
x
fx P
x
min 2 ( )T T T T
u
Px x x Qx u Ru x P Ax Bu
t
TP P
(II) de yerine yazılırsa
(III)
Linear Quadratic Regulator(LQR)
7
1
u minimize etmek için:
2 ( )
2 2 0 0
T T T T
T T T
T
opt
Px x x Qx u Ru x P Ax Bu
u t u
u R x PB Ru B Px
u R B Px
optu Kx 1 TK R B P
(IV)
Linear Quadratic Regulator(LQR)
, T TP P R R
8
1
1
11
2 ( )
( ) ( ) 2 ( ( ))
( 2 ) (soldan sagdan çarpanı olarak yazılır)
Burada 2 ( ) ola
T T T T
T T T T T
T T T T
T T T
T T
x Px x Qx u Ru x P Ax Bu
x Px x Qx R B Px R x P Ax B
x Px x Q PA PB
R B P
R B P x x
x R B Px
x
x PAx x A P PA x
1
1
rak alınırsa:
( )
elde edilir.
T T T T
T T
x Px x Q A P PA PBR B P x
P PA A P Q PBR B P
01 PBPBRQPAPA TT Riccati denklemi
(IV) denkleminde buldugumuz u denklemi (III) denkleminde yerine yazılırsa
0P
Linear Quadratic Regulator(LQR)
9
LQR Problemi
1 1
2 2
0 1 0
1 2 1
x xu
x x
Örnek:
Sistemi için optimum u kontrolü hesaplayınız.
K
C r=0 x y u
- +
x Ax Bu
10
11 12
21 22
0 1 0 2 0, , 1
1 2 1 0 1
p pA B Q R P
p p
01 PBPBRQPAPA TT
11 12 12 11 12
21 22 22 21 22
20 1
21 2
p p p p pPA
p p p p p
11 12 21 22
21 22 11 21 12 22
0 1
2 21 2
Tp p p p
A Pp p p p p p
LQR Problemi
11
11 12 11 121
21 22 21 22
12
21 22
22
12 21 12 22
2
22 21 22
01 0 1
1
Tp p p p
PBR B Pp p p p
pp p
p
p p p p
p p p
12 11 12 21 22 12 21 12 22
2
22 21 22 11 21 12 22 22 21 22
2 2 00
2 2 2 0 1
p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p
21 12p p
2
12 21 12
11 12 22 12 22
22 11 12 12 22
2
12 22 12 22 22
2 0
2 0
2 0
2 2 1 0
p p p
p p p p p
p p p p p
p p p p p
LQR Problemi
12
2
12 12
12 21
2 2 0
0.732
= 2.732
p p
p p
2
12 22 22
2
22 22
22
2 4 1 0
4 2.464 0
0.542
4.542
p p p
p p
p
22 11 12 12 22
11
2 0
2.403
p p p p p
p
2.403 0.732
0.732 0.542P
12.403 0.732
1 0 10.732 0.542
0.732 0.542
TK R B P
LQR Problemi
A=[0 1 -1 -2]; B=[0 1]; Q=[2 0 0 1]; R=1; [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R) EAcl=eig(A-B*K)
13
Riccati denkleminin çözümü
1
1
1
1
0
Hamilton matrisi
0
0
0
Tn
n T
T
T
n
n
nT T
T T
IPA Q PBR B A
P
PA Q PBR B P A P
IA BR BP I
PQ A
A BR BH
Q A
IP I H
P
Özvektör metodu:
Hamilton matrisinin özvektör ve özdeğerlerinden P matrisi hesaplanmaktadır.
14
1 1 1 1 0
2 2
( )m x k x x u
m x u
1m
Gövde
2m
( )au t
Teker 1k
1x
0x
2x
1m
Gövde
2m
( )u t
( )u t
Aktuatör
Teker 1k
1x
0x
2x
2c
( )au t
( )pu t
( )pu t
2k
a pu u u
Aktif
Pasif
1 1 1 1 0 2 1 2 2 1 2
2 2 2 1 2 2 1 2
( ) [ ( ) ( )]
( ) ( )
p
p
a
u
a
u
m x k x x k x x c x x u
m x k x x c x x u
Optimum Kontrol Problemi I
Çeyrek taşıt modeli için LQR kontrol tasarımı.
15
11 1 0
1 1
2
2
1 1 0
2 2 0
3 1 1
4 2 2
1 1
2 2
1
1331
44
2
1( )
1
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
00 0 1 0
ˆ ˆ 00 0 0 1
ˆ ˆ 1
0 0 0 ˆˆ
ˆ 1ˆ 0 0 0 0
kx x x u
m m
x um
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x xuk
mxxm
xxm
1 1 0
2 2 0
3 1
4 2
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
x x x
x x xd
x xdt
x x
1 1
2 2
13 1 0
1 1
4
2
ˆ
ˆ
1ˆ ˆ( )
1ˆ
x x
x x
kx x x u
m m
x um
Buradaki örnekte yol profilinin adım
fonksiyonu olduğu düşünülüyor. Bu durumda
x0 sabit olarak alınabilir.
Optimum Kontrol Problemi I
16
0
0 1
1 2
2 2 2
1 0 1 2 1 20
1ˆ ˆ[ ]
2
( ) : tekerleğin dinamik sapması
( ) : aks izafi hareketi
Performans indeksinde bu iki fark durum değişkeni için
alırsa:
1[ ( ) ( ) ]
2
T TJ x Qx u Ru dt
x x
x x
J q x x q x x ru dt
Araç gövdesinin düşey ivmelenmesi ile orantılı olan aynı zamanda sürüş
konforsuzluğunun da bir ölçüsüdür. Bu nedenle J amaç fonksiyonunun minimize edilme
aktua
si sür
tör kuvveti ( )
üş
konforsuz
luğu
u t
veya aktuatör girişinin
minimize edilmesi ve tekerlek dinamik sapması ile izafi aks hareketinin ağırlıklı
toplamının minimize edilmesi arasında seçim(trade-off) yapma sonucunu verir. Ağırlık parametreleri
ile sistem durum değişkenleri arasındaki ilişki:
21 0 2 01
22 2 2
1 0 1 2 1 2 1 1 2 1 2
( )ˆ
2 2 2 2 2
1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 ) ( ) 2
x x x xx
q x x q x x q x q x x
q x q x x x x q q x q x q x x
Optimum Kontrol Problemi I
17
0
11 2 2
22 2
3
4
Performans indeksinde
1ˆ ˆ[ ]
2
Q matirisi
ˆ0 0
ˆ0 0ˆ,
ˆ0 0 0 0
ˆ0 0 0 0
oluşturulabilir.
ˆ
T TJ x Qx u Ru dt
xq q q
xq qQ x
x
x
u K x
Optimum Kontrol Problemi I
18
x3_hat =dx1_hatddx1x1
x0
x1_hat
x2
x0
x2_hat
x4_hat=dx2_
(x1-x2)
u_a
-u_a
[ x1_hat: x1_hat; x3_hat;x4_hat]
MAK669qcarmodel2.mdl
2011
u_p
-u_p
u_p
x2_hat
x2u_p
Yol ProfiliKontrol u_a
1s
1s
1s
1s
1/m2
1/m1
c2
k2
K* uvec
1/m2
1/m1
k1/m1
Gain
Dinamik sapma
Optimum Kontrol Problemi I
19
%qcar.m %%% Parameters %%% m2=375; m1=38; k1=240000; k2=21560; c2=1250; x0=0.005; %m A=[0 0 1 0; 0 0 0 1; -k1/m1 0 0 0; 0 0 0 0]; B=[0;0;-1/m1;1/m2]; r=0.001; q1=100; q2=50; Q=[ q1+q2 -q2 0 0 -q2 q2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; R=r; K=lqr(A,B,Q,R)
Optimum Kontrol Problemi I
20
1 2 2
2 2
k k kK
k k
22
22
cc
ccC
MX CX KX Eu
1
2
1 0
0 1
uE u
u
2
1
0
0
m
mM
Optimum kontrol problemi II
1u
2x2k
2c
2m1m
1x
2u
1k
1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1
2 2 2 2 1 2 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
m x k x k x x c x x u
m x k x x c x x u
21
1000
0100
0010
0001
Q1 0
0 1R
Optimum kontrol problemi II
Cxy
BuAxx
CMKM
IA
11
22220
EMB
1
120
0010
0001C
1
2 1
1 2 3 3 1 20
3 2
4
1 0 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1
ft
x
x uJ x x x x u u dt
x u
x
Case I:
Case II:
1 0 0 0
0 1 0 0 1 0,
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0
TQ C C R
22
Optimum kontrol problemi II
state feedback
performance index
yaykutle2umodel.mdlMAK 669-2011
IC=[ 0; 0; 1; 0 ]
x1-x2
C* u
x1 ve x2 Cikis
u
ts
us
x12
B* u
-K* u
A* u
MatrixGain
0.2197
J
1s
1s
u[1]^2*r1+u[2]^2*r2
Fcn1
u[1]^2*q1+u[2]^2*q2+u[3]^2*q3+u[4]^2*q4
Fcn
10
Display1Clock
23
clear m1=1; m2=0.01; k1=20; k2=100; c2=0.001; M=[m1 0; 0 m2]; K=[k1+k2 -k2; -k2 k2]; C=[c2 -c2; -c2 c2]; E=[ 1 0 0 1]; inM=inv(M); A=[zeros(2,2) eye(2) -inM*K -inM*C]; eig(A) B=[0 0; 0 0; inM*E]; C=[1 0 0 0; 0 1 0 0]; D=zeros(2,2); Q=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]; %Case I Q=C'*C; %Case II q1=Q(1,1);q2=Q(2,2);q3=Q(3,3);q4=Q(4,4); R=1*eye(2); r1=R(1,1);r2=R(2,2); K=lqr(A,B,Q,R) Ac=A-B*K; eig(Ac) figure(1) pzmap(Ac,B,C,D) axis([-60 10 -100 100]); hold on pzmap(A,B,C,D) [ num, den]=ss2tf(A,B,C,D,1); [num2, den2]=ss2tf(Ac,B,C,D,1); w=logspace(-1,3,1000); f=w/pi/2; mag=bode(num,den,w); mag=20*log10(mag); mag2=bode(num2,den2,w); mag2=20*log10(mag2); set(gca,'fontsize',14) figure(2) semilogx(f,mag(:,2),'r--',f,mag2(:,2),'b-') axis([10^(-1),10^2,-120,30]); xlabel('Frequency Hz') ylabel('Gain dB') title('Frequency response of the system')
24
Optimum kontrol problemi II
10-1
100
101
102
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Frequency Hz
Gain
dB
Frequency response of the system
without control
with control
Case I
u1 ----> y
10-1
100
101
102
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Frequency Hz
Gain
dB
Frequency response of the system
without control
with control
Case II
u1 ----> y
25
>> help lqr LQR Linear-quadratic regulator design for state space systems. [K,S,E] = LQR(SYS,Q,R,N) calculates the optimal gain matrix K such that: * For a continuous-time state-space model SYS, the state-feedback law u = -Kx minimizes the cost function J = Integral {x'Qx + u'Ru + 2*x'Nu} dt subject to the system dynamics dx/dt = Ax + Bu * For a discrete-time state-space model SYS, u[n] = -Kx[n] minimizes J = Sum {x'Qx + u'Ru + 2*x'Nu} subject to x[n+1] = Ax[n] + Bu[n]. The matrix N is set to zero when omitted. Also returned are the the solution S of the associated algebraic Riccati equation and the closed-loop eigenvalues E = EIG(A-B*K). [K,S,E] = LQR(A,B,Q,R,N) is an equivalent syntax for continuous-time models with dynamics dx/dt = Ax + Bu See also lqry, lqgreg, lqg, dlqr, care, dare.
Optimum kontrol problemi
Linear Fractional Transformation(LFT)
LFT blok yapısı kontrol sisteminin giriş/çıkış ilişkisini göstermekte kullanılmaktadır. Bu yapı aynı zamanda belirsizliklerin kontrol sistemini nasıl etkilediğini göstermek için kullanılmaktadır.
Linear Fractional Transformation(LFT)
1 1 1 1 1
(d 0) denklemini düşünelim.
Bu denklem aynı zamanda aşağıdaki şekilde de yazılabilir:
( )
(1 )
( ) (1 )
as b
cs d
ba c s
b dcd
s dd
bd a bd c s d cs d
(1 ) ( )
(1 )
c bs b a c s
as bd dc cs d
s dd
(I)
Matematiksel anlamda LFT yapısının çıkartılması:
Linear Fractional Transformation(LFT)
( I ) denklem yapısı kontrol sistemlerinin blok diyagramları gösteriminde giriş /çıkış ilişkisine karşılık gelmektedir. Bunu görmek için şekildeki geribesleme yapısını aşağıdaki şekilde düşünelim:
11 12
21 22
p pz w wP
p py u u
u sy
1
11 1
1 111 12
1 121
2 22
2
21
2
ve y ortadan kaldırılırsa
elde edilir. (I) ifadesi ile karşılaştırılırsa:
=
(1
)
zp p s p
u
p p bd a bd czP
p p
w
d d
s
w c
p
1
22 21 11 12( , ) : ( )uF M M M I M M
Üst LFT Yapısı
2w
2u2y
M2z
2 2 11 12 2
2 2 21 22 2
y u M M uM
z w M M w
Linear Fractional Transformation(LFT)
Linear Fractional Transformation(LFT)
1w
1u 1yM1z
1 1 11 12 1
1 1 21 22 1
1 11 1 12 1
1 21 1 22 1
1 21 1 22 1 22 1 21 1
1
1 22 21 1
( )
( )
z w M M wM
y u M M u
z M w M u
y M w M u
y M w M y I M y M w
y I M M w
11 12
21 22
M MM
M M
1
1 11 1 12 1 1 11 1 12 22 21 1
1111 12 22 21
1
( )
( , ) : ( )l
z M w M y z M w M I M M w
zF M M M I M M
w
1 1u y
Alt LFT Yapısı
Sisteme ait yapısal belirsizlikler LFT yapısında ifade edilebilir.
0
o
MI
I G
Toplam belirsizliği için LFT:
1
22 21 11 12( , ) : ( )
( , ) :
u
u o
F M M M I M M
F M G
2w
2u2y
M2z
2 2 2
2 2 2
0
o
Iy u uM
I Gz w w
Çıkış çarpım belirsizliği icin LFT:
0 o
o
MG
I G
( , ) : ( )u o o oF M G G I G
Linear Fractional Transformation(LFT)
1
LFT yaklaşımı transfer matrisi ve durum uzayı arasında ilişki kurmada kullanılabilir.
Bir sistemin durum uzayı denklemi
transfer matrisi
1( ) ( , )
1 alı
( )
nırsa
u
x Ax Bu
y Cx Du
A BG s F ID C sI A B
C D s
Is
( ) ( ) ( , )u
A BG G s F
C D
Linear Fractional Transformation(LFT)
Parametrik Belirsizlikler:
Bir çok endüstriyel kontrol sisteminde sistemi oluşturan
elemanların karekteristikleri doğru tanımlanmayabilir, eskime
veya yıpranma etkileri veya çalışma şartlarının değişmesinden
dolayı dinamik sistemde belirsizlikler oluşmaktadır. Bu şekildeki
belirsizliklere parametrik veya
Parm
yap
etri
ısal
bel
k belirs
irsizlikler olar
izlikler düşük f
ak is
rekan
imlendiriyoruz
s perfo
.
rmansın
Bu tip parametrik belirsizliklere örnekler mekanik
sistemlerde katılık veya sönüm
katsayıları, elektriksel sistemlerde direnç,
kapasitans veya indüktans değerleri, uçaklarda
aerod
ını etkiler
inamik
.
sabitler vb. dir.
Parametrik Belirsizlik
Parametrik Belirsizlik Bir yay kütle sönüm sistemini düşünelim:
, , nin tam değerlerinin bilinmediğini fakat belirli bilinen aralıklarda
olduğunu düşünelim. Özel olara gerçek kütle in nominal kütlek
ninm
u
mx cx kx
f
m
m
c
f
k
gerçek katılık
değeri
gerçek sönüm
nin nom
değeri nin nominal sön
inal katılık değer
,
ve
kadar değiştiğini düşünelim
üm değeri nin %20 s
i nin %30
%
1
.
0
i
k k
c c
1( )x cx kx u
m
( 0.3 , 0.3 )
[ 1 1] tanımlansın
(1 0.3 )
k
k
k k k k k
k
( 0.2 , 0.2 )
[ 1 1]
(1 0.2 )
c
c
c c c c c
c
Parametrik Belirsizlik
xx x1
(1 0.1 )mm
(1 0.2 )cc
(1 0.3 )kk
u
Bilinmediği düşünülen fakat [ 1,1] aralığında
bulunan , ve bozuntuları(perturbations)
tanımlayarak sistem yapısını bu bozuntuları
içerecek şekilde ele alabiliriz.
m c k
m
.1 m .1
0
m
m
m
(1 0.1 )mm
m
Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması
1
11 12 22 21
1
( , ) : ( )
0.1 (1 0 )
0.1
l
m m
m
F M M M I M M
m m
m m
0
0.1
m
m
m1
22 21 11 12
1
( , ) : ( )
0.1 (1 0 )
0.1
u
m m
m
F M M M I M M
m m
m m
Bozuntular hem üst LFT hem de alt LFT yapısında elde edilebilir.
1
m
1
11 12 22 21
1
( , ) : ( )
1 10.1 (1 0.1 )
0.11 1
(1 0.1 )
1 0.1 0.1
(1 0.1
1
1 0
)
( .1 )
l
m m
m
m
m
m m
m
F M M M I M M
m m
m
m
m
m
m
1Blok diagramında bulunmasından dolayı bu değerin LFT
ifadesini bulmamız yerinde olacaktır.
m
Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması
10.1
10.1
m
m
m
10.1
10.1
m
m
1
22 21 11 12
1
( , ) : ( )
1 10.1 (1 0
1
(1 0.1
)
)
.1
u
m
m
m
F M M M I M M
m m
m
c
.2 c 0.2
0
c
c
c
(1 0.2 )cc
c
Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması
1
11 12 22 21( , ) : ( )
0.2
l
c
F M M M I M M
c c
0
0.2
c
c
c
1
22 21 11 12
1
( , ) : ( )
0.2 (1 0 )
0.2
u
c c
c
F M M M I M M
c c
c c
k
0.3 k 0.3
0
k
k
k
(1 0.3 )kk
k
Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması
1( , ) : 0.3 (1 0 ) 0.3l k k k k kF M k k k k
0
0.3
k
k
k
1( , ) : 0.3 (1 0 )
0.3
u k k k k
k
F M k k
k k
0 0
0 0
0 0
m
c
k
G
1 2
2 2 1
1
x x
c kx x x u
m m m
Şekildeki dış giriş ve çıkış değişkenlerini esas alarak G oluşturunuz.
Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması
m
c
k
y
y
y
m
c
k
u
u
u
u 1z x
1x2x 1x1
(1 0.1 )mm
(1 0.2 )cc
(1 0.3 )kk
u
1 2
2 2 1
x x
c k ux x x
m m m
1 2
2 2 1
(1 0.2 ) (1 0.3 )
(1 0.1 ) (1 0.1 ) (1 0.1 )
c k
m m m
x x
c k ux x x
m m m
Parametrik belirsizlik içeren sistem:
Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması
1x
ku
mu
1x2x 1x
my
ky
cu
2x
cy
kz
cz
u w mz
Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması
m
10.1
10.1
m
m
0
0.2
c
c
c
0
0.3
k
k
k
1 2
2
2
1
2
1
1
1 10.1 0.1 ( )
1 10.1 0.1 ( )
0.2
0.3
m m m c k
m m m c k
c
k
c c
k k
m m m
c c c
k k k
x x
x z u w u u z zm m
y u w u u z zm m
y cx
y kx
z u cx
z u kx
z x
u y
u y
u y
Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması
1 2
2 2 1
2 1
2
1
2
1
1
1 1 0.2 0.30.1 ( ) 0.1
1 1 0.2 0.30.1 ( ) 0.1
0.2
0.3
m c k m c k
m m c k m c k
c
k
c c
k
m m m
c c c
k k
k
k
x x
c kx u u z z u u u x u x
m m m m m m
c ky u u z z u u u x u x
m m m m m m
y cx
y kx
z u cx
z u kx
z
u
u y
u y
x
y
Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması
1 1
2 2
0 1 0 0 0 0
0.2 0.3 10.1
0.2 0.3 10.1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
m m
c c
k k
m k m
c c c
k m k
x xk c
x xm m m m m
y uk c
y um m m m m
cy u
kz u
u y
u y
u y
Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması
Gu 1z x
1 2
1 11 12
2 21 22
0 1 0 0 0 0
, ,0.2 0.3 10.1
0.2 0.3 10.1
0 , 0 0 0 , 0
0 0 0 0 0
1 0 , 0 0 0 , 0
A B Bk c
m m mm m
k c
m m m m m
C c D D
k
C D D
1 2
1 11 12
2 21 22
A B B
G C D D
C D D
mu
cu
ku
my
cy
ky
1 1
2 2
0 1 0 0 0 0
0.2 0.3 10.1
0.2 0.3 10.1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
m m
c c
k k
x xk c
x xm m m m m
y uk c
y um m m m m
cy u
kz u
Genişletilmiş sistem yapısı(augmented system)
Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması
1 2
1 11 12
2 21 22
0 1 0 0 0 0
, ,0.2 0.3 10.1
0.2 0.3 10.1
0 , 0 0 0 , 0
0 0 0 0 0
1 0 , 0 0 0 , 0
A B Bk c
m m mm m
k c
m m m m m
C c D D
k
C D D
%lft_mcksys.m m = 3; c = 1; k = 2; dm = 0.1; dc = 0.2; dk = 0.3; % A = [ 0 1 -k/m -c/m]; B1 = [ 0 0 0 -dm -dc/m -dk/m]; B2 = [ 0 1/m]; C1 = [-k/m -c/m 0 c k 0]; C2 = [ 1 0 ]; D11 = [-dm -dc/m -dk/m 0 0 0 0 0 0]; D12 = [1/m 0 0 ]; D21 = [0 0 0]; D22 = 0; G = pck(A,[B1,B2],[C1;C2],[D11 D12;D21 D22]);
Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması
m_nom = 3; c_nom = 1; k_nom = 2; d_m = 0.1; d_c = 0.2; d_k = 0.3; Mm = [-d_m 1/m_nom; -d_m 1/m_nom]; Mc = [0 c_nom; d_c c_nom]; Mk = [0 k_nom; d_k k_nom]; int1 = nd2sys([1],[1 0]); int2 = nd2sys([1],[1 0]); systemnames = ' Mm Mc Mk int1 int2' ; inputvar = ' [um;uc;uk;u]' ; input_to_Mm = ' [um; u-Mc(2)-Mk(2)]' ; input_to_Mc = ' [ uc; int1]' ; input_to_Mk = ' [ uk; int2]' ; input_to_int1 = ' [ Mm(2) ]' ; input_to_int2 = ' [ int1 ]' ; outputvar = ' [Mm(1); Mc(1); Mk(1);int2]' ; G=sysic;
Aynı işlem Matlab komutu sysic ile de yapılabilmektedir.
mM
cM
kM
Int1 Int2
Mm 2
Mc 2
Mk 2
Mm 1
Mc 1
Mk 1
m
c
k
m
c
k
z
z
z
y
y
y
Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması
0 1.0000 0 0 0 0 -0.6667 -0.3333 -0.1000 -0.0667 -0.1000 0.3333 -0.6667 -0.3333 -0.1000 -0.0667 -0.1000 0.3333 0 1.0000 0 0 0 0 2.000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0
-0.3333 -0.6667 -0.1000 -0.0667 -0.1000 0.3333 1.0000 0 0 0 0 0 -0.3333 -0.6667 -0.1000 -0.0667 -0.1000 0.3333 1.0000 0 0 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0
Parametrik belirsizliklerin LFT yapısında çıkartılması
0 0
0 0
0 0
k
c
m
Gu z
Orijinal sistemin belirsiz yapısı üst LFT gösterimi
ile aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
( , )uz F G u
% % Frequency responses of the perturbed plants % lft_mcksys omega = logspace(-1,1,100); [delta1,delta2,delta3] = ndgrid([-1 0 1],[-1 0 1],[-1 0 1]); for j = 1:27 delta = diag([delta1(j),delta2(j),delta3(j)]); olp = starp(delta,G); olp_ic = sel(olp,1,1); olp_g = frsp(olp_ic,omega); figure(1) vplot('bode',olp_g,'c-') subplot(2,1,1) hold on subplot(2,1,2) hold on end subplot(2,1,1) olp_ic = sel(G,4,4); olp_g = frsp(olp_ic,omega); vplot('bode',olp_g,'r--') subplot(2,1,1) title('BODE PLOTS OF PERTURBED PLANTS') hold off subplot(2,1,2) hold off
10-1
100
101
10-4
10-2
100
102
Log M
agnitude
Frequency (radians/sec)
BODE PLOTS OF PERTURBED PLANTS
10-1
100
101
-200
-150
-100
-50
0
Phase (
degre
es)
Frequency (radians/sec)
Ödev
Bir kütle-yay sisteminin denklemi
şeklinde verilmektedir. Gerçek katılık değeri
nominal katılık değeri 'dan %20 kadar
değişmektedir:
(1 0.2 )
Burada [ 1,1] aralığında değişen bozun
k
k
mx kx f
k
k k
nom
tuları göstermektedir.
LFT yaklaşımını kullanarak aşağıdaki yapıyı veren
M matrisini oluşturunuz. m=10 kg ve k =200 N/m için
frekans cevabını bulunuz.
f z