5/19/2018 Makala h

1/20

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

Disusun Oleh:

1. Aji Saputra (1202101020!"

2. #an$%&% (1202101020'!"

. Nur )ari* (1202101020!2"

+. M. Naji, Sh%la&hu$in (1202101020'-"

. R%,/ #i$a/atur R (1202101020+"

PRORAM SDI PENDIDI)AN FISI)A

FA)LAS )ERAN DAN ILM PENDIDI)AN

NI3ERSIAS 4EM5ER

201+

5/19/2018 Makala h

2/20

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

Pa$a pe*,ahasan &ali ini &ita a&an *e*,ahas ,e,erapa jenis persa*aan

$i66erensial parsial ,a7i seju*lah pr%ses 6isi&a tertentu8 *et%$e pe*e9ahan8 $an

pena6siran 6isi&a pern/ataan 6un7si pe*e9ahann/a. Pe*e9ahann/a a&an le,ih

$ititi& ,erat&an 6un7si pe*e9ahan &hususn/a8 /an7 *e*enuhi seju*lah syarat

batas (,a7i ruan7" $an syarat awal (,a7i a&tu" /an7 $i,eri&an $en7an

*enerap&an *et%$e pe*e9ahan pe*isahan ;ari,el pa$a ,e,erapa &%%r$inat

$iantaran/a &%%r$inat &artesis8 &%%r$inat silin$er $an &%%r$inat ,%la.

Persa*aan $i6erensial parsial *e*e7an7 peranan pentin7 $i $ala*

pen77a*,aran &ea$aan 6isis8 $i*ana ,esaran ? . @

$en7an8 ? > ?(=" @ > @(/"

sehin77a :

(=8/" > ?(=" @(/"

$i *ana ?(=" $an @(/" *asin7

5/19/2018 Makala h

3/20

"onto# Soal

1. Selesai&an PD Parsial

Di*ana8

Penyelesaian

Sehin77a PDP *enja$i : ?B(=" @(/" > + ?(=" @B(/"

Atau8

Sehin77a8

)arena8

Dari i$entitas $iper%leh :

C > ' 8 &+ >

5/19/2018 Makala h

4/20

Lati#an Soal

1. Selesai&an PD Parsial

Di*ana8

Penyelesaian

Sehin77a PDP *enja$i : ?B(=" (t" ?(=" (t" > ?(=" B(t"

Atau8

Sehin77a8

)arena8

Dari i$entitas $iper%leh :

C > + 8 & < 1 >

5/19/2018 Makala h

5/20

1.$ Pe!eca#an PDP den%an Metode Sparasi Variabel &oordinat &artesis'

&oordinat (ola dan &oordinat Silinder

1.2.1Pen/elesaian persa*aan Lapla9e $ala* ,er,a7ai &%%r$inat

1. Persa!aan Laplace di dala! koordinat kartesian

Dapat $itulis&an:

Dapat $itulis&an pen/elesaiann/a $en7an sparasi ;aria,el :

Dapat $itulis&an persa*aan lain $ala* ,entu& $i6erensial:

Apa,ila pen/elesaian &%*p%nen ?8 @8 $an $apat $itulis&an:

Den7an pen/elesaiann/a selen7&apn/a $en7an penurunan *ate*atis $apat

$itulis&an:

$. Persa!aan Laplace di dala! koordinat silinder

Persa*aan Lapla9e $ala* &%%r$inat silin$er:

Dapat $itulis&an pen/elesaiann/a:

eBeAX mxm

mmx

m m

=+

==

00

( ) ( ) zFzEZ nmmnnm

nmmn

nm

2

1222

122 sin

00

9%s

00

+==

++==

=

eDeCY ny

nnny

n n

=+=

= 00

5/19/2018 Makala h

6/20

Di,a7i pa$a R8 8 persa*aan Lapla9e $i $ala* &%%r$inat silin$ris:

Men7hasil&an ;aria,el terpisah *e*,entu&:

)arena antara satu su&u $en7an /an7 lain ti$a& ,er7antun7 satu sa*a lain:

Dapt $itulis&an i$enti& $en7an persa*aan $i6erensial:

Den7an *ensu,stitusi&an n = x *a&a $apat $i&enal se,a7ai Persa*an 5essel:

Den7an *et%$e Fr%,enius8 $en7an *en9%,a pen/elesaian:

Den7an *enentu&an persa*aan in$isial:

5/19/2018 Makala h

7/20

ntu& k = m *en7hasil&an hu,un7an ,erurutan untu& &%e6isien:

Dapat $iper%leh pen/elesaian:

Den7an:

Dari persa*aan 2' $i&enal se,a7ai 6un7si 5essel %r$e &e

5/19/2018 Makala h

8/20

@an7 harus ,erarti su&u perta*a ruas &iri sa*a $en7an suatu tetapan ) *isaln/a8

$an sisa su&u lainn/a a$alah G)8 su&u perta*a &ita selesai&an $en7an *enulis :

r2 > 0

@an7 *en7hasil&an persa*an euler :

r > eH

Men7hasil&an pen/elesaian :

R > Arn 5r *1 /an7 a&ar persa*aan &ara&teristi& *e*enuhi :

) > n (n1"

A$an/a pen/elesaian untu& S

Men7hasil&an persa*aan $en7an ;aria,el terpisah :

> *2

Den7an pen/elesaian persa*aan ,eri&ut :

> A 9%s * A sin *

serta :

sin2 9%t n (n 1" > *2

5/19/2018 Makala h

9/20

Den7an *ensu,titusi&an :

u > 9%s

Di$apat&an :

> > < sin serta > sin2 < 9%s

Melalui perhitun7an *en7hasil&an ersamaan Differensial !a"endre se9ara

u*u* :

ntu& * > 0 $ina*a&an persa*aan $i6erensial La7en$re %r$e &e n8 $en7an

*enerap&an *et%$e Fr%,ensius8 &ita $apat *en9%,a pen/elesaian :

> au&

Den7an *enentu&an persa*aan in$isial :

&(& G 1" > 0

ntu& & > 0 *en7hasil&an hu,un7an ,erurutan untu& &%e6isien a :

a> < a a0 1 G 9%s2 9%s+ .

a19%s < 9%s .

> 0 1

$en7an *en7uji setiap &%*p%nen n ,ai& pa$a 0$an 1:

( ) ( ) 01121 22

2

2

2 =

++ #

mnndd#

dd#

5/19/2018 Makala h

10/20

0 untu& n /an7 ,ernilai 7enap

1 untu& n /an7 ,ernilai 7anjil

Dari &etentuan /an7 $iper%leh $ari persa*aan $i$apat&an :

0 > a01< > 1 /an7 ,erarti a0>

Sehin77a :

P+9%s > < 9%s

2

9%s

+

Den7an $e*i&ian untu& * > 0 pen/elesaian persa*aan Lapla9e $i $ala*

&%%r$inat ,%la a$alah :

(r88" > AnenH 5ne ?(=" @(/" $ala* Persa*aan

sehin77a *en7hasil&an persa*aan : ?BB &? > 08 @BB G &@ > 0 pers (1"

una&an s/arat ,atas8 *a&a $iper%leh :

u(=80" > ?(="@ (0" > 0 @ (0" > 0

u(08/" > ?(0"@ (/" > 0

?(0" > 0

02

2

2

2

=

y

#

x

#

by$y%"#$a&b%y"y#

ax$x%f#$x&b%xfx#

5/19/2018 Makala h

11/20

u(a8/" > ?(a"@ (0" > 0?(a" > 0

Persa*aan 1 *e*ili&i *a9a* s%lusi /an7 ,er7antun7 pa$a nilai &. ntu& &>0

$iper%leh ?BB> 08 s%lusin/a :

Su,stitusi s/arat ,atas u(=80" 8 sehin77a *e*,eri&an s%lusi8 untu& & J 08 *isal & >

2 K 08 $iper%leh s%lusi :

Den7an su,stitusi s/arat 08

)e*,ali la7i &e @ $en7an 8 &ita *en$apat :

Den7an *en/elesai&an @(0" > 08 $iper%leh An > 08 $an ja$i

Dari persa*aan $an +8 &ita *e*per%leh s%lusi :

Den7an prinsip superp%sisi s%lusi8 &ita *e*per%leh ,entu& u*u* s%lusi :

21"( AxAxX +=

0LL 2 = XX

2"(pers"( 21xx

BeBxX +=

( ) 00

0"(

0

0"0(

2

22

21

2121

0

2

0

1

==

=+=

=+=

==+==+=

aa

aa

aa

eeB

eBeB

eBeBaX

BBBB

eBeBX

x'x' sin9%s 21 +

"(pers...1828n8sin

ja$i$an

...1828n8

==

===

xa

nXn$x%

xa

nn

2

nk=

yByAY nnnn sinh9%sh +=

ya

nx

a

nBn

sinhsin

y

a

nx

a

nByx#

n

n

sinhsin"8(

1

+=

=

+"(pers.sinh yBY nnn =

5/19/2018 Makala h

12/20

A&hirn/a s/arat ,atas u(=8," > 62(=" *en7a&i,at&an ,aha

)ali&an persa*aan $iatas $en7an &e*u$ian inte7rasi&an atas inter;al

0 J = J 08 &ita pun/a :

1.2.2Pen/elesaian Persa*aan el%*,an7 $ala* 5er,a7ai )%%r$inat :

1. Persa!aan +elo!ban% $ Di!ensi dala! syste! koordinat "artesian

Se9ara u*u* persa*aan 7el%*,an7 $itulis&an :

> ;22

Den7an pr%ses 6a&t%risasi sparasi ;aria,el :

=8/8H. t > ? (=" @ (/" (H" (t"

Persa*aan 7el%*,an7 $ua $i*ensi $i $ala* s/ste* &%%r$inat 9artesian :

Den7an *e*,a7in/a persa*aan 1 $en7an ;aria,el ? $iper%leh

persa*aan :

Den7an *enulis&an ruas &iri sa*a $en7an G2serta su&u perta*a $an &e$ua ruas

&anan sa*a $en7an G;2p2$an G;22:

x

a

m L

...1828n8sin"(

sinh

2

0

2 == xdxan

xf

a

bna

Bna

xa

n

a

bnBxf

n

n

sinsinh"(

1

2

=

=

...1828n8sin"(

sinh

2

0

2 == xdxan

xf

a

bna

Bna

yxt(

+=

2

2

2

2

2

2

2

+=

yxtY

Y

X

X()

) 2

2

2

2

2

2

2

111

22

2

22

22

2

22

2

2

2

1

*(Y

)

p(X

)

w)

)

dtd(

dtd(

dtd

=

=

=

5/19/2018 Makala h

13/20

Me*ili&i pen/elesaian se9ara u*u* :

> A 9%s t 5 sin t

? > C 9%s p= D sin p=

@ > E 9%s / F sin t

Den7an tetapan 08 / > 08 = > a $an / > ,

Dala* hal ini s/arat ,atasn/a a$alah 6 (=8/8t" > 0 $i tepi 0

D sin pa > 0 /an7 ,erarti pa > *$en7an * > 081828 8 . . . .

E > 0

F sin , > 0 /an7 ,erarti , > n$en7an n > 081828 8 . . . .

Sehin77a pen/elesaiann/a $apat $itulis&an :

Sean$ain/a pa$a saat t > 08 6 (=8/80" > 60$an $6$t > 6B (=8/80" > u0*a&a *n $an

#*n $apat $iper%leh $ari persa*aan :

( )

tu t$en7an a&an,ersan7&ut

/an7,atass/arat%leh$itentu&an#$an&%e6isiena$apun

$en7an

sinsinsin9%s"88(

*n*n

2

22

2

2222

*nM bn

a

nm(

b

nx

a

mt+,t+-tyxf mnmnmnmn

+=

+=

yb

nx

a

m+#

yb

nx

a

m-f

mn.

mn.

sinsin

sinsin

=

=

5/19/2018 Makala h

14/20

@an7 $en7an *enerap&an ru*us Euler R (r" (t"

Den7an pr%ses 6a&t%risasi sparasi ;aria,el untu& *enentu&an pen/elesaian :

2> ;2&2

Persa*aan $i66erensialn/a a&an terpe9ah&an seperti :

"onto# Soal *

dydxyb

nx

a

m#

ab+,

dydxyb

nx

a

mf

ab-

a b

mn

mn

a b

mn

=

=

0 0

0

0 0

0

sinsin+

sinsin+

( ) ( )wtDwtCkrBkrAr

tr sin9%ssin9%s1

"8( ++=

5/19/2018 Makala h

15/20

1. Se,uah *e*,ran ,ujur san7&ar $en7an a > , >1 $an 9 > 1$ite*pat&an pa$a

,i$an7 =/. Me*,ran terse,ut $irentan7&an $en7an 6un7si 6 (=8/" > =(= 081(+=

5/19/2018 Makala h

16/20

el%*,an7 Per*u&aan 5i$an7 Se7i e*pat

Penyelesaian :

7asaln$an*$en7an

2sin

+sin

++

9%s

18+0!$e*i&ian$en7an

22

1 1

ynxm

tnmnm

#$x&y&t%m n

+=

=

=

1.1. Pen/elesaian Persa*aan Di6usi $ala* 5er,a7ai )%%r$inat :

Persa*aan $i6usi san7atlah ,an/a& $ala* &ehi$upan *as/ara&at /aitu $i6usi deb#

$an 7as $i6usi panas (k.nd#ksi panas".

1. Persa!aan Di,usi dala! syste! koordinat "artesian *

Di $ala* siste* &%%r$inat &artesian8 persa*aan $i6usi $apat $itulis&an

7asaln$an*88+0!

2sin"2(

+sin"+(

20

1

2

sin

+

sin"2"(+(180

"2"(+(

+

2

0

2

+

0

2

2

0

+

0

22

nm

dyyn

yydxxm

xx

dxdyynxm

yyxxBmn

=

=

=

+

+

=

zyx

D

t2

2

2

2

2

2

5/19/2018 Makala h

17/20

Den7an *en7in7at 7ejala $i6usi a$alah 7ejala /an7 ti$a& sta,il sehin77a

*en7ala*i penurunan nilai e&sp%nensial8 sehin77a &ita $apat *enentu&an

pen/elesaian :

(=8 /8 H8 t" > e

5/19/2018 Makala h

18/20

Den7an *enulis&an :

@an7 *en7hasil&an pen/elesaian ,er,entu& :

Di$apat&an persa*aan :

@an7 ,erarti *asin7

5/19/2018 Makala h

19/20

0(080" > 0$an 0> (l80"> 100

)arena &ea$aan aal a$alah &ea$aan *antap *a&a

0> (=80" *e*enuhi pers. lapla9e

Pen/elesaian PD se,elu*n/a a$alah 0> a= ,

Den7an *enerap&an s/arat ,atas8 $iper%leh , > 0 $an a > 100l. ja$i pen/elesaian

&ea$aan *antap :

=kxe

kxe#

t0-k

t0-k

9%s

sin$an8

22

22

0"08(

2

0

2

=dx

x#d

=

=+=+

=

kx

kxxF

Fkdx

FdFkF

xl

x#

9%s

sin"(:$i*ana

0atau0

100"08(

2

2

222

0

l

xne

n#$x&t%

ndx

l

xnx

lldx

l

xnxf

lb

x1lf$x%

xl

#l

xnb#

l

xneb#

l

xne#

tln

n

n

nll

n

n

n

tln

n

n

tln

sin"1(200

ja$i8

"1(200sin

1002sin"(

2

:,&%e6isiensehin77a

100$arisinus6%urier$eret*erupa&an$iatasun7&apan

100sin

uuan*en7in7in&&ita08tpa$aa8selanjutn/

sin

sin

2

2

2

"D(

1

1

1

00

n

0

1

0

"D(

1

"D(

=

=

=

=

=

==

=

===

==

=

=

5/19/2018 Makala h

20/20