MAKALAH

LIMIT DAN TURUNAN

OLEH

KELOMPOK IV

TEKNIK PERTAMBANGANFAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS NEGERI PADANG2013

NAMA ANGGOTA KELOMPOK IV

1. INDRA MELTA2. EKO BUDI SAPUTRO3. LUSI DELFISKA4. RICHY TRISCA UTARI5. ATRILADEA6. M. RISKI VELINO7. RIFALDI AHMAD SAPUTRA8. MUHAMMAD YOGA BAHARI9. RESTU PRA UTAMA GUSTIA 10. NURUL FATHYA11. DUHAN12. KHAIZUL FATTAH13. YUSUF ARDI LIPUTO14. ANGGI TRI WARDANA

Kata Pengantar

Puji dan syukur saya ucapkan kehadirat tuhan yang maha esa yang telah

memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga saya dapat menyelesaikan

makalah Matematika ini yang membahas tentang “Limit dan Turunan”. Makalah ini

disusun dalam rangka memenuhi tugas  individu mata kuliah Matematika terapan,

program studi D3 teknik pertambangan. Makalah ini disusun agar pembaca dapat

mengetahui pengertian limit dan turunan, cara menentukan limit dan turunan suatu

fungsi, serta penerapannya dalam kehidupan sehari - hari.

Saya menyadari bahwa dalam menyusun makalah ini masih memiliki

kekurangan dan masih jauh dari kata sempurna, seperti pepatah ‘tak ada gading yang

tak retak’ untuk itu saya sangat mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya

membangun guna sempurnanya makalah ini. Saya berharap semoga makalah yang saya

buat bermanfat bagi kita semua dan bagi pembaca  pada umumnya.

Padang,November 2013

                                                                                                                                            

                  

Penyusun

Pendahuluan

Latar Belakang

Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk

menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau

beberapa variabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari

kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibnizdari tahun

1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan

berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Isaac Newton (1642 - 1727) ,

ahli matematika dan fisika bangsa Inggris danGottfried Wilhelm Leibniz (1646 -

1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang

menemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada

perkembangan beberapa cabang ilmu pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus

digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai

permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi.

Tujuan

Dapat mengtahui dan menjelaskan beberapa Aplikasi turunan.

Menjelaskan arti Limit fungsi pada suatu titik dan di tak hingga

Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan

trigonometri

Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi

Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan

masalah

Limit Fungsi

A. Pengertian Limit

Jika f(x) adalah fungsi real dan c adalah bilangan real, maka:

berarti f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan L dengan cara membuat nilai x dekat dengan c. Dalam contoh ini, "limit dari f(x), bila x mendekati c, adalah L". Perlu

diingat bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun f(c)   L. Bahkan, fungsi f(x) tidak perlu terdefinisikan pada titik c.

Pengertian tentang limit dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini.Contoh: Perhatikan fungsi

untuk nilai x yang mendekati 1

X 0 0,9 0,95 0,98 … 1,0001 1,0005 1,05 1,1

f(x) 1 1,9 1,95 1,98 … 2,0001 2,0005 2,05 2,1

Gambar grafiknya

Dari gambar dan tabel dapat disimpulkan:

→  Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2

→  Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2

→  Jadi, jika x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2

B. Teorema :

Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak adaHasil limit tidak boleh bentuk tak tentu:

C. Sifat-Sifat Limit

D. Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:

1. Substitusi langsungContoh:

2. Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0) Contoh:

Ingat:

(a2 – b2) = (a – b)(a + b)(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)

3. Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)Contoh:

4. Untuk limit tak terhingga: →  Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi→  Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat tertinggiSifat operasi dengan ∞:

Contoh:

Cara cepat!→  Untuk bentuk pecahan:

Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =∞

Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0

Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien pangkat tertinggi atas : koefisien pangkat tertinggi bawah

Contoh 1: Contoh 2: Contoh 3:

→  Untuk bentuk 

Contoh:

5. Limit trigonometri:

Untuk cosinus:1 – cos ax = 2 sin2 ½ ax    (dari rumus cos 2x)

cos ax – 1 = –2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)1 – cos2ax = sin2ax            (dari sin2x + cos2x = 1)

6. Bilangan e

Bilangan e didapat dari:

e = 2,718281828…

Rumus-rumus pengembangannya:

7. KontinuitasSuatu fungsi kontinu di x = a jika:

1.  f(a) ada (dapat dihitung/real)

2.  

3.  

Ilustrasi:

TURUNAN

A. PengertianTurunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan.

Jika suatu fungsi dinyatakan dengan y=f(x), maka laju perubahan nilai fungsi dinyatakan dengan:

Laju perubahan nilai fungsi ini disebut fungsi turunan yang dilambangkan f’(x) (dibaca f aksen x). Jadi,

B. Rumus turunan fungsi

1.

ddx

( ln x )=1x

2.

ddx

( ax)=ax . ln a

3.

ddx

( ex)=ex

4.

ddx

(sin x )=cos x

5.

ddx

(cos x )=−sin x

6.

ddx

( tan x )= 1

cos2 x

7.

ddx

( ctgx)=− 1

sin2 x

8.

ddx

(arcsin x )=− ddx

(arccos x )=− 1

√1−x2

9.

ddx

( arctgx )=− ddx

(arc cot gx )= 1

1+x2

Turunan Fungsi Aljabar

Turunan Fungsi Khusus

Aturan Rantai Jika f(x) = [u(x)]n dengan u(x) adalah fungsi dari x yang

mempunyai turunan u’(x) dan n adalah bilangan real, maka:

Contoh :Carilah turunan dari:

a.

b.

Jawab :a. Misalkan u(x) = x3 + 4, sehingga u’(x) = 3x2 , diperoleh:

b.

C. Persamaan Garis Singgung pada KurvaTelah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) garis singgung kurvay = f(x) di titik A(a, f(a)) adalah :

Persamaan garis lurus yang melalui titik P(x1, y1) dengan gradien m adalah :y – y1 = m(x – x1)Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik A(a, f(a)) pada kurva adalah :

y – f(a) = f '(a) (x – a)Contoh :Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut.a. f(x) = x2 di titik (–2, 4)b. y = x3 di titik yang memiliki absis x = 1 dan x = 2.

Penyeelesaian :a. Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 di titik (–2,

4) adalah y – 4 = f '(–2) (x – (–2)).

f(x) = x2 maka f '(x) = 2x sehingga f '(–2) = 2(–2) = –4Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 di titik (–2, 4) adalah y – 4 = –4 (x + 2) ↔ y = –4 x – 4.

b. Untuk absis x = 1.Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 adalah :

y – f (1) = f '(1) (x – 1)f(1) dan f '(1) ditentukan sebagai berikut: f(x) = x3 maka :f(1) = 13 = 1.f '(x) = 3x2 sehingga f '(1) = 3 . 12 = 3Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 di titik (1, 1) adalah y – 1 = 3 (x – 1) ↔ y = 3x – 2.Untuk absis x = 2.Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 adalah :y – f(2) = f '(2) (x – 2)f(2) dan f '(2) ditentukan sebagai berikut: f(x) = x3 maka :f(2) = 23 = 8.f '(x) = 3x2 sehingga f '(2) = 3 . 22 = 12Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 di titik (2,8) adalah y – 8 = 12(x – 2) ↔ y = 12x – 16.

Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva jika Gradien Garis Singgung Diketahui 

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva apabila gradien garis singgung diketahui, pelajari beberapa contoh berikut.

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut.a. y = f(x) di titik (1, 4) jika f '(x) = 3x2 + 6x

b. y=f(x) dengan f(x) = 2x3 yang tegak lurus terhadap garis y

= 

penyelesaian :a. Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (1, 4),

menurut rumus adalah y – f (1) = f '(1) (x – 1). Diketahui f(1) = 4 dan f '(x) = 3x2 + 6x maka :f '(1) = 3 . 12 + 6 . 1 = 9.

Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalahy – 4 = 9 (x – 1) ↔ y = 9x – 5.

b. Jika g: y = mx + n adalah garis singgung pada kurva y =

2x3 dan tegak lurus terhadap garis h: y =   maka m ( ) = –1↔ m = 24.Persamaan garis singgung pada kurva y = 2x3 adalah y – f(x1) = f '(x1) (x – x1  dengan x1 absis titik singgung pada kurva y = 2x3 .Selanjutnya, nilai x1 ditentukan sebagai berikut.f '(x) = 6x2 maka f '(x1) = 6x1

2.Diketahui f '(x1) = 24 sehingga 6x1

2 = 24 ↔ x1

2 = 4 ↔ x1 = ± 2.Untuk x1 = 2, diperoleh f (x1) = 2 . 23 = 16. Persamaan garis

singgung yang tegak lurus terhadap garis y =   adalah :y – 16 = 24 (x – 2) ↔ y = 24x – 32.

D. Turunan KeduaAnda telah mempelajari turunan pertama fungsi yang dinotasikan dengan :

 atau y' atau   atau f '(x)Fungsi turunan dari turunan pertama dinamakan fungsi turunan kedua yang dinotasikan dengan :

 atau ditulis y"

 atau ditulis f "(x)

Turunan kedua fungsi f(x)

 atau y" atau   atau f "(x)

Contoh :Tentukan turunan kedua untuk fungsi berikut.a. f(x) = 2x4 – 5xb. f(x) = x sin x

Penyelesaian :a. f(x) = 2x4 – 5x f ‘(x) = 8x3 – 5 f “(x) = 24x2

Turunan kedua fungsi f(x) = 2x4 – 5x adalah f''(x) = 24x2.

b. f(x) =   sin x

f '(x) =   sin x +   cos x =   sin x +  cos x

f "(x) = -   sin x +   cos x =   cos x -    sin x

f "(x) = -   sin x +   cos x -   sin x

Turunan kedua dari f(x) =   sin x adalah :

f "(x) = -   sin x +   cos x -   sin x

E.  Teorema L’ Hopital

Jika x = a disubstitusikan ke bentuk   diperoleh bentuk

tak tentu   atau   , Anda dapat menggunakan teorema L' Hopital. Teorema ini dikemukakan kali pertama oleh Marquis L' Hopital, seorang matematikawan Prancis (1661–1704 M).Perluasan teorema L'Hopital adalah :

(Proses berakhir jika hasil akhir tidak berbentuk  ).

Contoh :Tentukan limit fungsi berikut.

a. 

b. Penyelesaian: a. Jika dengan menggunakan substitusi langsung, diperoleh :

 (bentuk tak tentu)Dengan teorema L' Hopital, diperoleh :

b. Jika menggunakan substitusi langsung diperoleh :

F. Aturan Menentukan Turunan Fungsi

Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk itu di rancang teorama tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pad dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsis invers.

1. Turunan dasar

Aturan - aturan dalam turunan fungsi adalah:

1. f(x), maka f'(x) = 02. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 13. Aturan pangkat : Jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1

4. Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)5. Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

2. Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi

f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan:

1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) - g’ (x)3. (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f' (x)- f(x) g' (x))/((g(x)2)3. Turunan fungsi trigonometri

1. d/dx ( sin x ) = cos x2. d/dx ( cos x ) = - sin x3. d/dx ( tan x ) = sec2 x4. d/dx ( cot x ) = - csc2 x5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

4. Turunan fungsi invers

(f-1)(y) = 1/(f' (x)), atau dy/dx = 1/(dx/dy)

G. Kaidah Penurunan Umum

1. Kaidah Penurunan Umum Kelinearan

2. Kaidah darab

3. Kaidah timbalbalik

4. Kaidah hasil-bagi

5. Kaidah rantai

6. Turunan fungsi invers

untuk setiap fungsi terdiferensialkan f dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada.

7. Kaidah pangkat umum

f (x) =

KESIMPULAN

Limit atau sering disebut nilai batas adalah pendekatan terhadap suatu nilai atau harga tertentu. Jadi harga batas (limit) bukanlah harga yang sebenarnya melainkan harga yang mendekati.Bentuk umum limit sebuah fungsi yaitu

Turunan merupakan adalah jika suatu fungsi dinyatakan dengan y=f(x), maka laju perubahan nilai fungsi dinyatakan dengan:

Laju perubahan nilai fungsi ini disebut fungsi turunan yang dilambangkan f’(x) (dibaca f aksen x). Jadi,

DAFTAR PUSTAKA

Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus jilid 1. Jakarta: Erlangga

Sari, Intan. 2009. Penggunaan turunan.

Setiawan. 2004. PDF Pengantar kalkulus.

http://Depdiknas.yogyakarta.com/

http://nengintanmsari.wordpress.com/2009/03/15/penggunaan-turunan/