Modul 11 Limit Dan Turunan Xii Ipa

11. Siswa mampu memahami limit danTurunan dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta menerapkannya dalam pemecahan masalah.

- Limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri- Turunan fungsi- Nilai ekstrem dan aplikasinya

- 1 – then must yath now’09

LIMIT

Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai batas) dari f(x) tersebut.

Contoh:

Untuk x mendekati tak berhingga, maka x

af2

akhirnya akan mendekati 0 ditulis :

Hasil yang harus dihindari :

TEOREMA

1. Jika f(x) = c maka

2. Jika dan maka berlaku :

a. c.

b. d.

LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud. Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya. 2. Bila (*) maka usahakan diuraikan. Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit perhatikan hasil pembagian berikut :

(a = konstanta)

KETENTUAN

Untuk x <<< ( x 0 ) maka sin x x (x <<< kecil sekali ; setara )

PERLUASAN


Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk mengubah fungsi:

cos x = sin (90° - x) cos ax = 1- 2 sin² ax sin ax = 2 sin ax cos ax

ctg x = tg (90° - x) cos²x = 1 - sin²x

HAL-HAL KHUSUS

l i m ax m + bx m-1 + .... =x pxn + qxn-1 + ...

untuk m > n ;

untuk m =n ;

0 untuk m < n untuk a > d ;

untuk m =n ;

- untuk a < d

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.

DALIL L'HOPITALSJika fungsi f dan g terdiferensir pada titik x= a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = maka :

CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. = (3)2 - 5(3) + 6 = 0

2. (jawaban salah !)

Jawaban yang benar : karena variabel berpangkat sama, maka ambil saja koefisiennya

sebagai jawaban! Jadi hasilnya =


Jawaban yang benar : karena variabel pada pembilang pangkat lebih besar dari pangkat variabel penyebut, maka jawabannya =


Jawaban yang benar :

atau langsung gunakan teori Differensial (DALIL L'HOSPITAL)



Jawaban yang benar langsung gunakan teori Differensial (DALIL L'HOSPITAL) :


Jawaban yang benar : Hilangkan tanda akar dengan mengalikan bentuk sekawan

=

atau langsung gunakan Differensial (DALIL L'HOSPITAL)

7. ingat hal khusus di atas !

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

1. 3

2

3tan

2sinlim

0

x

xx

2. 00tantanlim

cos

sinlim

cos.sin2

sin.sin2lim

2sin

sin2lim

2sin

2cos1lim 0

000

2

00

xx

x

xx

xx

x

x

x

xxxxxx

3.

atau langsung gunakan DALIL L'HOPITALS

4.

atau langsung gunakan DALIL L'HOPITALS

TURUNAN



Dimana ada kemauan, disitu ada jalan

Jawab :a. u = (2x2 - 3) v = 3x - 2 u’ = 4x v’ = 3

f’(x) = u’.v + u.v’ = 4x.(3x – 2) + (2x2 – 3).3 = 12x2 – 8x + 6x2 - 9 = 18x2 – 8x - 9

c. f’(x) = 9.(2x – 5).(x2 – 5x + 6) = (18x – 45). (x2 – 5x + 6)

b. u = (3x2 - 5) v = 2x + 3 u’ = 6x v’ = 2

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI


Contoh :

Jawab :1. a. titik stationer didapat dari f’(x) = 0, atau y’ = 0

y’ = 2x + 1 = 0 2x = -1, x =

b. y’ = 3x2 + 6x - 9 = 0 (3x + 9)(x – 1)= 0, x1 = 3 atau x2 = 1c. silahkan dicoba.

2. a. y’ = 3x2 – 6x = 0 y’’ = 6x – 6 = 0 x = 1 karena y’’ > 0, maka fungsi memiliki titik balik minimumb. silahkan dicoba.

3. a. y’ = 4x3 – 4x y’’ = 12x2 – 4 = 0 x2 = x =

nilai x substitusikan ke y, menjadi :

jika x = , y = nilai maximum

jika x = - , y = - nilai minimum

b. silahkan dicoba.

SOAL LATIHANLIMIT

1. = ....

A. C. 0 D.


B. E.

2. = ....

A. -2 C. 1 D. 2B. -1 E. 3

3. = ....

A. - C. D.

B. - E. 2

4. = ....

A. - C. - D.

B. - E.

5. = ...

A. - C. D. 0

B. E. 1

6. = ....

A. 6 C. 8 D. 10B. 7 E. 16

7. Nilai = ....

A. –2 D. 2B. –1 E. 4C. 1

8. Nilai = ....

A. –4 D. 1B. 1 E. 4C. 0

9. = ....

A. 0 D. 2

B. E. 4


C.

10. = ....

A. C. D.

B. 0 E. 3

11. = ....

A. –2 D. 2B. –1 E. 4C. 0

12. = ....

A. 1 D. 4B. 2 E. 5C. 3

13. = ....

A. 0 C. D.

B. E.

14. = , maka nilai a + b = ....

A. –2 D. 2B. –1 E. 3C. 1

15. = ....

A. D.

B. E. a + bC. 0

TUGAS INDIVIDU

Berikut ini adalah soal – soal limit yang saya ambil

dari soal Ujian Nasional tahun 2000 s.d. 2007

Materi Pokok : Limit Aljabar

1. Nilai

a. – 8

b. – 6


c. 6

d. 8

e.

Soal Ujian Nasional Tahun 2007

2. Nilai

a.

b.

c. 0

d.

e.


3. Nilai dari

a. – 2

b. 0

c. 1

d. 2

e. 4

Soal Ujian Nasional Tahun 2005 kurikulum 2004

4. Nilai dari

a. 0

b. ¼

c. ½

d.

e.


5. Nilai

a. – ½

b. – ¼

c. 0

d. ¼

e. ½



6. Nilai dari

a. 3

b. 6

c. 9

d. 12

e. 15


7. Nilai

a. – 3

b. – 2

c. – ½

d. 0

e.


8. Nilai

a. – 1

b. 0

c. 1

d. 2

e.


9. Nilai

a. 2

b. 0

c. – 1

d. – 2

e. – 3


Materi Pokok : Limit Trigonometri

10. Nilai

a. – 4

b. – 2


c. 1

d. 2

e. 4


11. Nilai dari

a. ½

b.

c.

d. 2

e. 3

Soal Ujian Nasional Tahun 2005 kurikulum 2004

12. Nilai dari

a. – 4

b. – 6

c. – 8

d. – 16

e. – 32


13.

a. 0

b.

c.

d. 1

e. 3


14. Nilai dari

a. – ½

b. – ¼

c. ¼

d.


e.


15. Nilai

a. – 2

b. – 1

c. 0

d. ½

e. 2


16. Nilai

a. – 1

b. 0

c. 1

d. 2

e.


17. Nilai

a. 3

b. 1

c. 0

d. – 3

e. – 6 Soal Ujian Nasional Tahun 2000

TURUNAN

1. Jika garis y = -x menyinggung kurva y = a + , di

kuadran IV, maka nilai a sama dengan …A. -2 D. 2B. -1 E. 3C. 1

2. Garis y = 4x + 1 menyinggung kurva y = ax2 + bx di titik berabsis 2. Dengan demikian nilai b yang memenuhi adalah …A. 1 D. 4B. 2 E. 5C. 3

3. Garis yang menyinggung kurva y = ½ x2 + 2x + ½ membentuk sudut 450 dengan sumbu x positif. Persamaan garis singgung tersebut adalah …


A. y = x – 1 D. y = x + 2B. y = x E. y = ½ x + 2C. y = x + 1

4. Persamaan garis singgung kurva y = x2 – 2x + 1 yang sejajar dengan garis 2x – y + 7 adalah …A. y = 2x – 1 D. y = -2x – 1 B. y = 2x – 2 E. y = -2x – 2 C. y = 2x – 3

5. Persamaan garis singgung kurva y = 2x2 + x + 1 yang tegak lurus dengan garis x + 5y + 7 = 0 adalah …A. y = 5x – 1 B. y = 5x C. y = 5x + 1

D. y = - x +

E. y = - x –

6. Sebuah kurva mempunyai persamaan y = x2 + ax + b. Garis y = 2x menyinggung kurva di titik (2, 4). Dengan demikian nilai b = …A. 1 D. 4B. 2 E. 5C. 3

7. Kurva y = a + melalui titik A(4, 8). Garis

singgung kurva di titik A tegak lurus dengan garis 2x + y – 1 = 0. Dengan demikian nilai (a + b) sama dengan …A. -14 D. 7B. -2 E. 12C. 2

8. Kurva y = 2x2 – 3x + 1 bersinggungan dengan garis y = 5x – 5. Persamaan garis normalnya adalah …A. 5x – y = 0B. x – 5y – 1 = 0 C. x + 5y – 1 = 0D. x – 5y + 23 = 0 E. x + 5y – 27 = 0

9. Diketahui kurva y = 3x2 – 2x + 4 dan garis normalnya adalah x + 4y – 21 = 0. Garis singgung yang bersesuaian adalah …A. y = 4x – 1B. y = 4x + 1

C. y = ¼ x +

D. y = -¼ x -

E. y = -4x + 9


10. Gradien garis singgung kurva y = x3 + 3x – 1 sama dengan 6. Jika titik singgung dilalui oleh parabola y = x2 + 2 maka ordinat titik singgung sama dengan …A. -5 D. 5B. 2 E. 11C. 3

11. Persamaan garis singgung kurva y = 3x + pada

titik singgung (1, 2) adalah …A. y = 2x D. y = 4x – 2 B. y = 2x – 4 E. y = 4x – 6 C. y = 4x

12. Kurva y = a - bersinggungan dengan garis y = ¼

x + 7. Dengan demikian nilai a sama dengan …

A. 7 D.

B. E.

C.

13. Jika kurva y = bersinggungan dengan garis

y = bx – 2 di titik berabsis 1 maka nilai a = …A. 1 D. 4B. 2 E. 5C. 3

14. Persamaan garis singgung kurva y = x3 + 3x2 + 3x + 1 pada titik (2, 27) adalah …A. y = 27x - 27B. y = 27x + 27C. y = 27xD. y = 3x – 27E. y = 3x + 21

15. Misal titik potong garis y = 2x + 1 dengan y = 3x – 5 merupakan titik singgung kurva y = x3 – 6x2 dengan demikian gradien garis g sama dengan …A. 6 D. 56B. 36 E. 72C. 42

16. Misal garis singgung kurva y = 2x2 + sejajar

dengan garis 2x – y + 7 = 0. Persamaan garis singgung tersebut adalah …A. 2x – y + 1 = 0 B. 2x – y + 2 = 0C. 2x – y + 3 = 0D. X – 2y + 1 = 0E. X – 2y + 2 = 0

17. Garis singgung kurva y = x2 + 2x + 1 tegak lurus dengan garis 4y – x – 12 = 0. Dengan demikian persamaan garis singgung kurva tersebut adalah …


A. y + 4x + 16 = 0 B. y + 4x – 16 = 0C. y – 4x + 16 = 0D. 4y + x – 16 = 0E. 4y + x + 16 = 0

18. Garis g : ax + b dan garis h : y = 2x + 7 saling sejajar. Garis g menyinggung kurva y = x - x. Nilai a + b = …A. -2 D. 6B. 0 E. 8C. 2

19. Misal parabola y = x2 + 3x + b bersinggungan dengan garis y = mx + 1. Jika titik singgungnya terletak pada sumbu simetri parabola y = x2 – 2x + 7, maka nilai b = …A. 1 D. 4B. 2 E. 5C. 3

20. Persamaan garis singgung di titik dengan x = 2 pada

kurva y = adalah ...

A. 5x + 2y – 28 = 0B. x + 2y – 20 = 0C. 5x – 2y – 8 = 0D. x – 2y + 16 = 0E. 2x – y + 5 = 0

TUGAS INDIVIDU

1. Sebuah benda berputar pada sumbunya. Pada waktu t setiap jari-jari roda itu sudah menjalani sudut sebesar = 72t – 3t2. Laju perubahan kecepatan sudutnya ...F. selalu makin tinggiG. selalu makin rendahH. makin tinggi hanya pada t < 12I. makin rendah hanya pada t > 12J. paling tinggi pada t = 24

2. Persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan membentuk segitiga di kuadran pertama dengan luas terkecil adalah ...

K. y – 3 = (x – 2)

L. y – 3 = - (x – 2)


M. y – 3 = (x – 2)

N. y – 3 = - (x – 2)

O. y – 3 = (x – 2)

3. Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t

diberikan oleh fungsi s(t) = - t3 + 3t2 – 5t.

Kecepatan tertinggi mobil dicapai pada waktu t = ...P. 5 D. 2Q. 4 E. 1R. 3

4. Diketahui f(x) = 3x2 – 5x + 2 dan g(x) = x2 + 3x – 3. Jika h(x) = f(x) – 2 g(x), maka h1(x) adalah ...S. 4x - 8 D. 2x - 11T. 4x - 2 E. 2x + 1U. 10x - 11

5. Jika f(x) = , maka f1(x) = ...

V. 8x - -

W.8x - +

X. 8x - -

Y. 8x - -

Z. 8x - +

6. Grafik dari y = = x3 - x2 + 2x mempunyai garis

singgung mendatar pada titik singgung ...

AA.

BB.

CC. dan

DD. dan

EE. dan


7. Persamaan garis yang tegak lurus garis singgung

kurva y = tan x di titik adalah ...

FF. y = - + + 1

GG. y = - + - 1

HH. y = - - - 1

II. y = - - - 1

JJ. y = - + + 1

8. Seekor semut merayap pada bidang X0Y. Pada saat t ia berada di titik x(t), y(t) dengan x(t) = t dan y(t) = t2 – 4t + 5. Semut itu akan berjarak minimum ke sumbu x pada saat jarak semut itu dari sumbu y sama dengan ...KK. 2 D. 5LL. 3 E. 6 MM. 4

9. Sebuah roda berputar mengelilingi titik pusatnya. Sudut simpangan setiap titik pada roda tersebut pada waktu t dirumuskan sebagai berikut :

besar sudut pada waktu

kecepatan sudutnya sama dengan nol adalah ...NN. 198 D. 75OO. 195 E. 50 PP. 190

10. Nilai ekstrim fungsi f(x) = (x – 2) (x – 1)2 dicapai pada ...QQ. x = -1 dan x = -2RR. x = 1 dan x = 2

SS. x = -1 dan x =

TT. x = 1 dan x =

UU. x = -1 dan x = -

11. Jika y = 2 cos 3x cos x, maka = …

A. 4 sin 4x + 2 sin 2xB. -4 sin 4x - 2 sin 2xC. 4 cos 4x + 2 cos 2xD. -4 cos 4x – 2 cos 2xE. -2 sin 2x – sin x

12. Jika y = sin , maka y1 = …


A. - D.

B. E. -

C.

13. Jika f(x) = , maka = …

A. C. ½ D. 1

B. ¼ E. 2

14. Jika f(x) = (sin 2x – cos 2x)2, maka f1(x) = ...A. -2 cos 2x D. -4 cos 4xB. -2 sin 2x E. -8 cos 4xC. -2 cos 4x

15. Jika f(x) = , maka f1(x) = ...

A. -2 cot x.cosec2 xB. 2 cot x. cosec2 xC. -2 tan x .sec2 xD. 2 tan x .sec2 xE. 2 cos 2x


Documents

Modul 11 Limit Dan Turunan Xii Ipa