Market survey & Forecast 市场调查与预测市场调查与预测

(6)(6)

制作：陈晓慧制作：陈晓慧

武汉理工大学出版社武汉理工大学出版社

20092009 年年 44 月月

在我们的生活中，有时候需要对未来的经济现象进行预测。而预测的依据就是已经发生的经济现象，当把历史数据按照时间顺序排列进行分析、归纳、总结，就可从中得到一些规律东西，并利用这些规律进行预测。而时间序列预测法时间序列预测法是市场预测中一个重要方法之一。 时间序列是指各种各样的社会、经济、自然现象的数量指标依时间秩序排列起来的统计数据 ( 动态 ) 。 例如，武汉理工大学的每年招生人数是依时间变化的，这就是一种时间序列。

第六章 时间序列预测法第六章 时间序列预测法

时间序列预测法时间序列预测法 是根据历史资料和数据，按照时间序列所反映的经济现象的发展过程、方向和趋势、将时间序列外推或延伸，以预测经济现象未来可能达到的水平。时间序列预测法特点时间序列预测法特点 在时间序列中，数据的大小受到各种因素的影响。数据的变化趋势也表现出各种形状，通常根据这些影响因素将数据的变化趋势分为四大类：长期趋势、季长期趋势、季节趋势、循环趋势、和不规则变动。节趋势、循环趋势、和不规则变动。 对于前三种数据趋势预测问题，由于数据呈现某种规律性，因此能够将数据进行简化、分析，从而使预测成为可能；而不规则变动是指由某种偶然因素引起的突然变动，如战争的发生、政权的更迭、重大的自然灾害（地震、海啸）等，预测的难度就大，有的甚至无法预测。

一、时间序列分析一、时间序列分析 时间序列一般用： y11,y22,…,ytt …; 表示，其中 t— 时间 在时间序列中，每个时期变量数值的大小，都受到许多不同因素的影响。例如，手机销售量受到居民的收入、质量，功能、价格等因素的影响。因此，时间序列按性质不同分成一下四类：

第一节 时间序列概述第一节 时间序列概述

时间序列预测法时间序列预测法早在国外应用，国内是在二十世纪 60 年代初应用于水文预测，随计算机的广泛应用，在许多领域已经应用，并取得了很好的效果。目前，已成为世界各国进行市场预测的基本方法基本方法。

11 、长期趋势、长期趋势 (Long-term Tend)

指受某种根本性因素的影响，时间序列在较长时间内朝着一定的方向持续上升或下降，以及停留在某一水平上的倾向。如图所示。

时间 时间时间

销售额

销售额

销售额

（ a ）上升变动趋势图 (b) 下降变动趋势图 (c) 水平变动趋势图 图 时间序列数据长期趋势变化曲线

.

. .

. .

22 、季节变动、季节变动 ((Seasons VarietySeasons Variety)) 指由于自然条件自然条件和社会社会条件条件的影响，时间序列在一年内随着季节的转变而引起某一因子呈周期性的变动。例如，农作物的生长季节影响，导致农产品加工业的季节变动。

季节变动的周期比较稳定，一般，周期为一年。季

销

售

额 年销售额

时间 时间

图 4-2 时间序列数据季节变化曲线 图 4-3 时间序列数据循环变化曲线

33 、循环变动、循环变动 ((Alternation varietyAlternation variety ) ) 如图 4-3 所示。 循环变动与季节变动有相似之处，时间序列都会在周期内有波动，而季节波动的时间序列周期长短固定；而循环变动的时间序列波动较长、周期长短不一，少则一两年，多则数年甚至是数十年，周期不好预测。44 、不规则变动、不规则变动 ((Irregular VarietyIrregular Variety)) 它是由各种偶然性因素引起的无周期变动。又可分为突然变动和随机变动。例如，战争、自然灾害、地震、意外事故的改变所引起的变动都属于突然变动；而随机变动是由随机因素所产生的影响。（前两天，日本地震）二、时间序列的组合形式二、时间序列的组合形式 时间序列是由长期变动、季节变动、循环变动和不规则变动四类因素组成。四类因素的组合形式，常见的有以下几种类型：

对于一个具体的时间序列，由哪几类变动组合，采用哪种组合形式，应根据所掌握的资料、时间序列、及研究的目的来确定。下面，我们将要分别介绍这类问题的预测方法。

为不规则变动。为循环变动；为季节变动；为长期趋势；为时间序列的变动；其中：

）混合型：（）乘法型：（）加法型：（

ttt

tt

tttttttttt

ttttt

ttttt

ICS

Ty

ICTSyICSTy

ICSTy

ICSTy

;3

2

1

平均数法是一种传统的趋势变动分析预测法，它通过计算时间序列一定项数的平均数，来估计模型参数，建立趋势变动分析预测模型进行外推预测。一、全列算术平均法一、全列算术平均法 (Average)

是移动平均法的一种，它含有算术平均法、几何平均法、加权平均法等。1 、算术平均法：设时间序列为：

期；为nxxxx nn ;,,, 21

tt

i

n

ii

x

n

xx

Ntn

xx

y

1

1

,

,

预测公式为：

第二节 平均数预测法第二节 平均数预测法

（（ 22 ））预测值预测值可用最后一年的每月平均值或数年的每月平均值；（（ 33 ））当当观察期的长短不同，预测值也随之不同（误差）若误差过大，就会使预测失去意义，因此，预测时应确定合理的误差，误差公式为：

（（ 44 ））当时间序列波动较小时，预测期可短一些；反之，可长一些。

用此公式应注意： （（ 11 ））时间序列波动较小的情况下使用；

极限误差（概率度）；

分布的临界值；）时的（即：在

测区间的可靠程度下，确定预在然后，按

t

tmn

Stx

xxn

S

xc

n

iix

1,05.02

%95

)(1

1

1

2

11 、显著性水平、显著性水平（ α ）—本来正确的数据却被错误的否定掉，即犯弃真错误，犯此错误的概率称为显著性水平。β— 本来错误的数据却被认为是正确的而被保留下来，即犯存伪错误，犯此错误的概率记作 β 。(n-m-1)— 自由度。其中： n— 时间序列的个数 m— 自变量的个数22 、标准差（、标准差（ SS ））—实质上是平均差，它反映个体与平均值差别的程度。

补充资料补充资料

请你根据食盐在请你根据食盐在 20012001 年年 ~2004~2004 年的每月年的每月销售量见表所示，预测销售量见表所示，预测 20052005 年的每月销售量。年的每月销售量。

月 年 2001 年 2003 年 2003 年 2004 年

1 328 330 298 335

2 331 324 317 321

3 360 348 328 346

4 318 360 330 363

5 324 327 323 329

6 294 342 348 327

7 342 360 342 368

8 348 357 351 350

9 357 321 318 341

10 321 297 336 312

11 330 318 354 327

12 348 354 358 351

全年平均 4001 4038 4003 4070

表 食盐的销售量及平均值

算数平均预测法举例算数平均预测法举例 11

解：解：由表可知，方法（方法（ 11 ）） 以 2001 年 ~2004 年的 4 年的月平均值作为 2005年的预测值，则有：

18.23

)7.3352.339()7.3357.333(

)7.3355.336()7.3354.333(

)(

78.23

18.23

14

7.3354

2.3397.3335.3364.333

22

22

2

1

2005

n

ii

x

xxB

BS

xy

其中：

标准差为：

（千元）

在 95% 的置信度下，确定 2005 年每月预测区间为：

千元。即在

分布临界值时的，为

82.343~58.327

)101112105.0292.2(

78.292.27.335

c

xc

ttmn

Stx

方法（方法（ 22 ）） 以 2004 年每月的平均值作为 1998 年的每月预测值 （千元）2.339

121221

xxxx

06.370~84.308

03.17812.12.339

2005%95

88.3189)(

03.1711

88.3189

112212

1

预测区间为：

年每月预测区间为的可靠程度下，在

其中：

标准差为：

i

i

x

xxB

BS

结论结论比较 (1) 、(2) 可知：方法 (1)精确度高。

某商店汗衫的销售量如表所示，试预测第第五年每月的销售量。

月 年 2001 年 2002 年 2003 年 2004 年

1 16.0 17.3 20.1 17.8

2 19.0 21.0 22.0 20.7

3 21.3 23.0 25.0 23.1

4 25.0 27.0 29.2 25.7

5 32.8 36.0 38.5 35.8

66 65.265.2 70.270.2 77.077.0 70.870.8

77 99.099.0 107.0107.0 118.0118.0 108.0108.0

88 131.0131.0 140.2140.2 152.8152.8 141.3141.3

99 80.580.5 87.287.2 94.094.0 87.287.2

10 38.0 41.4 45.0 41.5

11 22.2 24.0 26.0 24.1

12 18.4 19.8 22.5 20.2

全年平均 47.4 51.2 55.8

表 某商店汗衫的销售量统计表 单位：百元

问题问题

由表可知：（ 1 ） 1~12月内出现季节波动，特别是在 6~8月份，要比淡季高出 2~3倍。（ 2 ）汗衫销售量还出现长期变动趋势（每一年的销售量逐年增加） 在这种情况下，用算术平均法求第四年每月的平均值，显然误差较大 , 就不能用这种方法

22 、几何平均、几何平均 (Geometry Mean )

nnn xxxxxG 321

(1)n(1)n 个变量值乘积的个变量值乘积的 nn次根次根 ;;(2)(2)适用于对比率数据的平均适用于对比率数据的平均 ;;(3)(3)主要用于计算平均增长率主要用于计算平均增长率 ;;(4)G(4)G 的确定方法：①的确定方法：①根据公式直接 计算 ② ②

当期基期；其中：

n

nn

n

n

n

xx

x

x

x

x

x

x

x

xG

0

011

2

0

1

(5) 可看作是平均数的一种变形。

问题问题 11 某水泥厂 1999 年的水泥产量为 100万吨， 2000年与 1999 年相比增长率为 9% ， 2001 年与 2002 年相比增长率为 16% ， 2002 年与 2001 年相比增长率为 20% ，求各年的平均增长率。解：解：

%9.141%9.114

%9.114%120%116%10933321

年平均增长率

xxxG

问题问题 22 一位投资者购有一种股票 , 在 2000,2001,2002,2003年收益率分别为 4.5%,2.1%,25.5%,1.9%, 计算其平均收益率。

%5.84

%9.1%5.25%1.2%5.4

:

%0787.81%9.101%5.125%1.102%5.104

:34

4321

G

xxxxG

算术平均增长率

几何平均增长率

间隔数。预测期与最后观察期的—

期的预测值；第—其中：

预测模型：

T

Tt

xG

Tt

tT

Tt

y

y

适用条件：适用条件：具有对比或近似对比关系的时间序列。具有对比或近似对比关系的时间序列。

几何平均预测法几何平均预测法

观察期（年）

91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04

销售额（万元）

71 81 83 90 89 87 92 96 100 95 145 105 120 142

某企业 1991~2004 年的销售额资料如表所示，预测该企业 2005 年的销售额 表 某企业 1991~2004 年的销售额

问题问题33

)(78.149142054.12005

%52.5

52.10533.11843.10847.10208.114

2005

1321

万元年的销售额为：预测

平均增长速度为：

y

nnxxxG

解解 :: （方法一）由预测公式直接计算 (略 ) ( 方法二 ) 由环比指数进行预测预测步骤如下：（ 1 ）以上年度的基数分别求各年的环比指数。 1991 年的环比指数 =81/71×100%=114.08% 2004 年的环比指数 =83/81×100%=102.47%, 同理可得出各年的环比指数，见表（ 2 ）求环比指数的几何平均数，即发展速度。可用两种方法：①直接用所求得的环比指数，求平均发展速度。

②采用对数运算，求得的环比指数的几何平均数，见表。 G=arclg ∑lgxi/n=arclg2.0231=105.46 平均发展速度为 5.52% 。 两种方法所得结果梢有差异，是由于计算中四舍五如的原因。（ 3 ）求环比指数几何平均数的简便算法。 以 1991 年销售额为 x00 （基数），……， 2004 年销售额为xn （当前期），那么其环比指数的几何平均数为：

万元

预测，预测模型为：利用平均发展速度进行

，有：题中

次方。销售额比值的开为当前期销售额与基期即观察期的几何平均数

7814914205481xGy

4

4810571

142G14n

n

x

x

x

x

x

x

x

xG

tT

Tt

14

n

0

nn

1n

n

1

2

0

1

..

)(

%.

观察期 实际销售额 环比指数（ x ）

lgx

（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ）1991 71.00

1992 81.00 114.08 2.0572

1993 83.00 102.47 2.0106

1994 90.00 108.43 2.0352

1995 89.00 98.89 1.9951

1996 87.00 97.75 1.9901

1997 92.00 105.75 2.0243

1998 96.00 104.35 2.0183

1999 100.00 104.17 2.0177

2000 95.00 95.00 1.9777

2001 145.00 153.63 2.1836

2002 105.00 72.41 1.8598

2003 120.00 114.29 2.0580

2004 142.00 118.33 2.0727

∑/n 2.0231

表 1991 ~ 2004 年销售额及 几何发展速度 单位：万元

是在求平均数时，根据观察期各资料重要性的不同，分别赋予不同的权重，然后再平均的方法。

特点：特点：加权后的平均值包含了长期趋势变动。

n

1ii

n

1iii

n321

nn332211

n321n321

xxxxx

y

xxxx

为：则加权平均值的表达式。观察期资料相应的权重

为为观察期的资料；设： ,,,,,

33 、加权平均法、加权平均法

ωω 的选择原则的选择原则 :: 由表达式可知 , ω 的选择不同 , 近期数据的数据权重选择大一些 ;远期数据权重选择小一些 . 有三种形式 :(1) 当 xxt t 变动不大时变动不大时 , , 采用等差级数采用等差级数的形式 ,1,2,…,n(2) 当 xxtt 变动较大时变动较大时 ,, 采用等比级数采用等比级数的形式 ,1,2,4,8…,(3) 当 xt 变动不大时 ,采用 0.2,0.3,0.5, … 等

某商店近几年的资料如表所示，试预测 1998 年的销售额。 表 1993~1997 年销售额及 赋权权值 单位： 万元

观察期 销售额 Xi 权重 ωi ωiXi

1993 40 1 40

1994 60 2 120

1995 55 3 165

1996 55 4 300

1997 75 5 425

∑ 315 15 1050

问题问题 ::

是将观察期的数据，按时间先后顺序排列时间先后顺序排列，由远由远及近，以一定的跨越期进行移动的平均，求得的平均及近，以一定的跨越期进行移动的平均，求得的平均值值 ,即： x11,x22,…,xnn ，方法：方法： 每次移动平均总是在上次移动平均的基础上，去去掉一个最远的数据，增加一个紧挨跨越期后面的新数掉一个最远的数据，增加一个紧挨跨越期后面的新数据新数据，保持跨越期不变，每次只向前移动一步，据新数据，保持跨越期不变，每次只向前移动一步，逐项移动，滚动前移。逐项移动，滚动前移。 下面具体介绍如下：

二、移动平均法二、移动平均法

分析分析 :: 由表可知 , 随着时间的推移 , 销售额逐年稳步的增加 ,若用算术平均或几何平均 , 其预测值较小 , 不能刻化时间序列的长期趋势 . 而加权平均法只要 ω选取的好 , 就能较好的反映长期趋势 ,故选用加权平均法进行预测 .

（一）一次移动平均法（一）一次移动平均法1 、原理原理

计算公式为：次移动平均值的为跨越期间隔数，则一的一次移动平均值，为原时间序列中时间

的观察值，为时间设时间序列

n

tM

nttx

t

t

)1(

,,,2,1

9

9

234678910)1(10

12346789)1(9

xxxxxxxxM

xxxxxxxxM

n

xxMM

MMM

9

xxM

9

xxxxxxxxM

ntt11t

1t

111

110

19

211110

3467891011111

)()(

)()()(

)(

)(

推公式为：可得出一次移动平均递式，的三个移动平均值的公、、由

某城市汽车配件销售公司某年 1月至 12月的化油器销售量如表所示，请预测明年 1月的销售量。

问题：问题：

移动平均法中移动平均法中 nn 的大小比较的大小比较

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

销售量 423423 358358 434434 445445 527527 429429 426426 502502 480480 384384 427427 446446

ty

月月三期移动平均预测三期移动平均预测

注：注：右图右图 ,, 兰线为兰线为 n=3,n=3, 红线为红线为 n=5.n=5.

图图 4-44-4

5,5

43211

tyyyyy

y tttttt和

解：解： （（ 11 ）分别取）分别取 N=3 ，和 N=5 由预测公式：

其结果作图分别为：

11 、、由图可知：销售量的随机波动较大，经过平均移动法计算后，随机波动显著减少，即较大程度消除了随机因素的影响。

22 、、 n 的取值愈大，修匀的程度也愈大，因此波动也愈小。但对实际销售量的真实变化趋势反应也愈迟钝；反之， N 的取值愈小，对实际销售量的真实变化趋势反应也愈灵敏。

讨论讨论 11

讨论讨论 22 由前面的讨论可知：1 、 N 的取值大小，决定了对实际情况描述误差的大 小。故 N 的取值很重要。 N 应取多大，才能基本反应真实情况应视具体情况而定。2 、在实际应用中，是取几个 N 值进行试算，比较他们的预测误差的大小。具体方法如下：

86.15917

11143)(

7

1

5

33.32109

28893)(

9

1

3

212

6

212

4

tt

tt

yyS

N

yyS

N

时，当

时，当

其计算结果表明：应取其计算结果表明：应取 N=5N=5 。。

移动平均法特点移动平均法特点 :: 所求得的各序列平均值，不仅构成了新的时间序新的时间序列列，而且新的时间序列与原时间序列相比较，削弱了削弱了季节变动、周期变动和不规则变动的影响，具有明显季节变动、周期变动和不规则变动的影响，具有明显的修复效果，同时又保持了原时间序列的长期趋势变的修复效果，同时又保持了原时间序列的长期趋势变动动 ,,正是它具有这种特点，因此，移动平均法在市场预测这被非常广泛的应用。

)1(tM )1(

tM22 、一次平均移动值的位置、一次平均移动值的位置 由 的表达式可知： 是时间序列的中间值，即 放在中间的位置。但实际上是放在跨越期末的位置。这就出现了偏差，即使得预测值落后与实际值 n-1/2,为了纠正这种误差，规定将 放在 n+1/2 的位置上。)1(

tM

33 、一次移动平均法预测的步骤、一次移动平均法预测的步骤(1)绘制散点图（根据收集的资料）(2) 选择跨越期并计算移动平均值(3) 计算趋势变动值(4) 当年趋势变动值 = 当年移动平均值—上年的移动平均值 = )1(

1)1(

tt MM

1 n+1/2 n 一次移动产生滞后偏一次移动产生滞后偏

差的原因差的原因

注意：注意：在以下情况，趋势变动情况可分别处理：①当各年的趋势变动值比较平稳时比较平稳时，可直接采用最后一 年的趋势最后一 年的趋势变动值进行预测。 变动值进行预测。 ②当各年的趋势变动值波动较大时波动较大时，可采用下面两种方法：（ a ）趋势变动值趋势变动值 == 算术平均值算术平均值（ b ）趋势变动值趋势变动值 == 各年的趋势变动值求移动平均，并以最后一各年的趋势变动值求移动平均，并以最后一个移动平均值作为趋势变动值。个移动平均值作为趋势变动值。（ 5 ）计算绝对误差、平均绝对误差 绝对误差 =

（ 6 ）建立预测模型绝对误差的期数。

绝对误差平均绝对误差

观察值移动平均值

mm

m

值的最后一项）趋势变动值（移动平均

算术平均值趋势变动值

平均绝对误差

TM

TM

mTM

1t

1t

1t

Tty

)(

)(

)(

)(

)(

应 用应 用 11 我国 1985~2003 年的发电总量基本呈直线上升趋势，具体资料如表所示，请你预测 2004 年和 2005年的发电总量？

我国发电总量及一次移动平均值计算表

年份 发电总量 yt N=7 时 趋势变动值 移动平均趋势变动值1985 676

1984 825

1985 774

1986 716 ★ ★ 924.86924.86

1987 940 1046.00 121.14

1988 1159 1166.43 120.43

1989 1384 1279.00 130.57

1990 1524 1474.43 177.43 ★ ★ 146.84146.84

1991 1668 1630.29 155.86 155.98

1992 1668 1783.86 153.57 166.08

1993 1958 1952.71 168.86 176.16

1994 2031 2137.86 185.15 177.73

1995 2234 2329.00 191.14 185.73

1996 2566 2530.14 201.14 195.14

1997 2820 2718.57 188.43 227.42

1998 3006 293043 211.86

1999 3093 3149.86 219.43

2000 3277 3370.00 220.14

2001 3514

2002 3770

2003 4107

)( 1tM

tt

5000

4000

3000

2000

1000

0

yytt

1985 1990 1995 2000 2005

图 我国 1985~2003 发电量及一次移动平均值的散点图

解： 解： （（ 11 ）绘制散点图）绘制散点图由散点图可以看出，发电量基本呈直线上升趋势，可用移动平均法进行预测。

N=7 时移动平均曲线

观察值曲线

（（ 22 ）选择跨越期 ）选择跨越期 取取 N=7N=7 。

47.227,7

)7(

65.17414/)14.22043.12014.121(

43.12000.104643.11661988

14.12186.92400.10461987

)4(

198642

17

2

1

43.1166,00.1046

86.9247

13841159940716774825676

7

)3(

)1(7

)1(9

)1(8

)1(7

平均趋势变动值为时平均或对趋势变动值求移动

趋势变动值法趋势变动值较大，故采用算术平均各年趋势变动值波动比

，依次类推。年趋势变动值为：年趋势变动值为：计算趋势变动值

年水平上。，放在的位置在：依次类推。而第一个

时，当计算移动平均值

n

n

nM

MM

M

n

45.376529.7753370

16.367929.7743370

0504

)6(

29.7715/9010686.208

/,

10694010461987

86.20871686.9241986

)7()5(

2005

2004

)1(

y

y

mTMy

m

mm

n

tTt 年的预测值分别为：年、时，当预测模型为：

建立预测模型求预测值）平均绝对误差（

绝对误差时间序列个数—

绝对误差误差依次类推。而平均绝对

年绝对误差

年绝对误差

观察值移动平均值绝对误差

差计算绝对误差、平均误

35.450747.22753370

88.427947.22743370

20072006

25.424365.17453370

6.406865.17443370

20072006

1

1

Tt

Tt

tTt

Tt

Tt

tTt

y

y

TMy

y

y

TMy

年的预测值分别为：年、最后一项）

移动值的趋势变动值（平均趋势当预测模型为：

年的预测值分别为：年、

值）趋势变动值（算术平均当预测模型为：

）（

）（

由上可知，趋势变动值采用不同的算法，其结果很不一样，这三答案都是对的。那么在实际的预测中到底采用哪一个预测值呢？只有决策才能最后选定。

11 、二次移动平均法原理、二次移动平均法原理 二次移动平均法是对一组时间序列数据先后进行两次移动平均，即在一次的基础上，再进行第二次移动的平均，并根据最后的两个移动平均值的结果建立预测模型，求得预测值。 二次移动平均法与一次移动平均法关系密切。第一，第一，一次移动平均法，存在滞后偏差，使移动平均值滞后于实际观察值的 期，而二次移动平均法正是利用这一滞后偏差，把一次、二次移动平均值置于跨越期末的水平上，并建立预测模型，求得预测值。第二 ，第二 ，二次移动平均法不是一种独立的方法，它必须在一次移动平均值的基础上再进行第二次移动平均，同时，要与一次移动平均值（最后一项的一次移动平均值）一起才能建立预测模型进行预测。

2

1n

（二）二次移动平均法（二）二次移动平均法

22 、二次移动平均值计算方法、二次移动平均值计算方法

nn

MMM

n

MMM

MMMM

M

nttt

Ntttt

Ntttt

)1(

1

)1(

1)1()1()1(

1)1(

)2(

1

1)1(

1)1()1(

)2(

待定参数。—、间隔期；

至需要预测的时间时间预测模型当前所处在的—

均值；最后一项的二次移动平—

均值；最后一项的一次移动平—

期的预测值第—式中：

其中：

的预测模型为：所以，二次移动平均法个时间的水平上，放在跨越期末的最后一由于二次移动平均值应

tt

t

t

Tt

tttttt

ttTt

ba

tT

M

M

Tt

MMn

bMMa

Tba

y

y

)2(

)1(

)2()1()2()1( )(1

2,2

（ 1 ）选择跨越期 一般情况下，求二次移动平均时，采用与一次相同的跨越期。（ 2 ）计算一次移动平均值（ ★ ★ 的第一个放在 n=7 上

）（ 3 ）计算二次移动平均值（ ★ ★ 的第一个放在 n=7 上

）（ 4 ）建立二次移动平均法预测模型

）计算预测值（的间隔期；至需要预测的时间之间间预测模型当前所处的时—

最后一项的移动平均值—

最后一项的移动平均值—

期的预测值；第—式中：

其中：

二次预测模型为：

5

tT

M

M

Tty

MM1n

2bMM2a

Tbay

2t

1t

Tt

2t

1tt

2t

1tt

ttTt

)(

)(

)()()()( )(,

二次移动平均法预测步骤二次移动平均法预测步骤

)( 1tM

)( 2tM

应用应用 33 时间序列的数据资料如应用 2 ，试用二次移动平均法预测 2006 年、 2007 年的发电量。解： （ 1 ）选择跨越期 n=7 。 （ 2 ）计算 、 （ 3 ）建立二次预测模型

)( 1tM

)( 2tM

34.4423267.2104002

67.4212167.2104002

4

67.2104002

67.210)27383370(17

2)(

1

2

40022738337022

2007

2006

)2()1(

)2()1(

y

y

Ty

MMn

b

MMa

Tt

ttt

ttt

）计算预测值（

则预测模型为：

见表

观察期 观察值 N=7, N=7 ，

1965 676

1966 825

1967 774

1968 716

1969 940

1970 1159

1971 1384 ★ ★ 924.86924.86

1972 1524 1046.00

1973 1668 1166.43

1974 1668 1279.00

1975 1958 1474.43

1976 2031 1630.29

1977 2234 1783.86 ★★ 1331.841331.84

1978 2566 1952.71 1478.67

1979 2820 2137.86 1634.65

1980 3006 2329.00 1800.74

1981 3093 2530.14 1976.90

1982 3277 2718.57 2145.63

1983 3514 293043 2340.37

1984 3770 3149.86 3535.51

1985 4107 3370.00 2737.98

)( 1tM

)( 2tM

一次、二次移动计算表

前面介绍的移动平均法移动平均法存在两个不足之处，一是一是存储数据数量较大，二是对最近的存储数据数量较大，二是对最近的 NN 期数据等权看待，期数据等权看待，而 对而 对 t-Tt-T 期以前的数据则完全不考虑。期以前的数据则完全不考虑。因此，预测的预测的结果准确度不高结果准确度不高。指数平滑指数平滑法法却有效的克服了这两个却有效的克服了这两个缺点。缺点。它既不需要存储大量的历史数据，又考虑了各期数据的重要性，而且使用了全部历史资料。因此，指数平滑移动平均法的改进和发展，应用极为广泛。

指数平滑法指数平滑法根据平滑的次数不同，可分为一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等。分别介绍如下：

第三节 指数平滑第三节 指数平滑

（一）一次指数平滑原理（一）一次指数平滑原理（（ Once index gloss ）） 设时间序列为 x11,x22,……xtt… 一次指数平滑公式为：

)(

)(

104

10

)1(

)1(1

)1(11

)1(1

)1(1

)1(1

)1(

)1(

)1(1

)1(

tttt

tt

tttt

t

ttt

SxSF

SF

SxSS

Sx

SS

）变形为：将（为权重系数，且

为一次指数平滑值；其中：

（ 2 ）

)(1 tttt FxFF

（ 1 ）

（ 3 ）

（ 4 ）

一、一次指数平滑一、一次指数平滑

对（对（ 11 ）进行展开，）进行展开，有：

S

S

SS

S

1

0

t1

1t

t2

1tt

13t2t

21tt

12t1tt

1

t

1t

11t

13

12

12

11

1

01

1

1

12t1t

11t

11tt

1

t

1x1

x1x1x

S1x1x1x

S1x1x

SSSSSS

1x

S1xS

S1x

)(

)(

)()(

)()()()()()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

])([)()(

])()[(

)(

)(

)(

则有：代入，代入，代入将

11

22

1)1(

)1(

)1()1(

,01,1)1(

x

xxxS

t

t

tttt

t

则有：）时，（当

（ 5 ）由（ 5 ）可知一次指数平滑特点一次指数平滑特点：：（ 1 ）

原则。赋权“ ”体现了 近重轻远 的小权重愈大，愈远的数愈

的数据，按几何级数衰减，愈近

分别为：的加权平均。加权系数是以

,

,)1(),1(,

,,,2

,21)1(

tt xxxS

（ 2 ）由于由于加权系数符合指数规律加权系数符合指数规律，又具有平滑功能，又具有平滑功能， 故称为指数平滑。

33 、权重之和为、权重之和为 11 ，，即：

111

t10

1111

11

1111

111

t

t1t

1t2

1t2i

)])(lim[

,

)(])()(

[

])()()([

)()()(

时，当

令误差 ett=xtt-Ftt 在指数递推公式（ 4 ）中，

倍的修整。进行

）测误差（）的基础上，再对原预是在原预测值（即有

ttt

ttt

eFF

eFF

1

1

α 的选择， 既是指数平滑法指数平滑法的灵魂所在，又是应用指数平滑法的难点之一，迄今没有从理论上完全解决，它的确定带有一定的经验性。 通常 α 取值方法应遵循下列原则：11 、、当 xtt 波动较大时波动较大时，取 α= 0.1~0.3 （滤去季节波动、不规则变动不规则变动，使预测模型不易受它们的影响，保留长使预测模型不易受它们的影响，保留长期趋势描述实际观察值期趋势描述实际观察值）22 、、当 xtt 波动较小时波动较小时，取 α= 0.6~0.8 ，，（加大近期数（加大近期数据的比重，提高修正误差程度使预测模型保留长期趋据的比重，提高修正误差程度使预测模型保留长期趋势来描述实际观察值势来描述实际观察值）33 、、在实际应用中，可取若干个可取若干个 αα 值进行比较，选择一值进行比较，选择一个误差最小的个误差最小的 αα 。。

（二）（二） αα 的选择的选择

用一次指数平滑进行预测，除了选择 α 的值外，还要确定初始值确定初始值 初始值是预测者估计或指定的。11 、、当时间序列 N≥10N≥10 时时，此时的 对以后预测值的此时的 对以后预测值的影响较小，影响较小，故可直接选用第一个观察值即：22 、、当时间序列 NN＜＜ 1010 时时，此时的 对以后的预测此时的 对以后的预测值的影响较大，值的影响较大，这时一般采用最初几期的观察值的最初几期的观察值的算术平均值作为初始值算术平均值作为初始值。

（三）初始值的确定（三）初始值的确定

S)1(

0

1)1(

0 XS S

)1(

0

S)1(

0

（四）一次指数平滑预测步骤（四）一次指数平滑预测步骤1 、确定初始值2 、选定平滑系数： α （若不能确定，可选不同的 α ）3 、计算一次指数平滑值4 、计算预测值：5 、计算各标准差 S ，选择一个 Smin ，6 、确定预测值：

)( 1tTt Sy

)( 10S

)1(tS、

Tty

某商店某商店 19951995~2004~2004 年销售额资料如表所示。年销售额资料如表所示。试预测试预测 20052005 年销售额为多少万元？并已知：年销售额为多少万元？并已知： αα=0.2, α=0.3, α=0.8,S=0.2, α=0.3, α=0.8,S00=x=400=x=400

年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

销售额 400 450 503 551 602 657 709 758 809 862

表 1995~2004 年商品销售额及一 次指数平滑法计算表

一次指数平滑预测法举例一次指数平滑预测法举例

2 、 α 的取值 ∵ 历年的销售额都是 逐年稳步上升，故可取 α 的值小一些，本题取 α=0.2 3 、为了对 α 值有一个较深刻的认识 不妨，取 α=0.5 和 α=0.8 进行比较。

400x

1

1

1

0S10N ,

)(

、确定初始值

年

销 .售额 α=0.5

α=0.2

实际 实际观察值

图 一次指数平滑

思考：思考：

将计算结果填入表中

同理可计算出

时，当同理可计算出

时，当同理可计算出

时，当计算一次指数平滑值

选择平滑指数：）确定解：（

）（）（

）（）（

）（）（

）（）（

）（）（

）（）（

）（

19

11

10313

11

3

19

11

10212

11

2

19

11

10111

11

1

321

10

464400)8.01(4508.0)1(

8.0

425400)5.01(4505.0)1(

5.0

410400)2.01(4502.0)1(

2.0

)3(

8.0,5.0,2.0)2(

4001

SS

SxS

SS

SxS

SS

SxS

S

表 1995~2004 年商品销售额及一 次指数平滑法计算表

年

份

销售额

α=0.2α=0.2 α=0. 5α=0. 5 α=0.8α=0.8 α=0.2α=0.2 α=0.5α=0.5 α=0.8α=0.8

1995

400 400400 400400 400400 00 00 00

1996

450 410410 425425 440440 4040 2525 1010

1997

503 428.6428.6 464464 490.4490.4 74.474.4 3939 12.612.6

1998

551 453.1453.1 507.5507.5 538.9538.9 97.997.9 43.543.5 12.112.1

1999

602 482.9482.9 554.8554.8 589.4589.4 119.1119.1 47.247.2 12.612.6

2000

657 517.7517.7 605.9605.9 643.5643.5 139.3139.3 51.151.1 13.513.5

2001

709 556.0556.0 657.4657.4 659.9659.9 153.0153.0 51.651.6 13.113.1

2002

758 596.4596.4 707.7707.7 745.6745.6 161.6161.6 50.350.3 12.412.4

2003

809 638.9638.9 758.4758.4 796.3796.3 170.1170.1 50.650.6 12.712.7

2004

862 683.5683.5 810.2810.2 848.9848.9 178.5178.5 51.851.8 13.113.1

)(

iii yye绝对误差)( 1tS

（（ 44 ）预测值）预测值

（万元）时时，

（万元）时时，

（万元）时，当

9848Sy80

2810Sy50

5683Sy20

119911992

119911992

119911992

..

..

..

)(

)(

)(

（（ 55 ）计算标准差）计算标准差 SS ，确定预测值，确定预测值

当 α=0.2 时， S1=106062.9

α=0.5 时， S2=1931.4

α=0.8 时， S3=140.4

∵ S3=140.4 最小，

∴预测值为： （万元）时时， 9.8488.0 )1(20052005

Sy

1 、二次指数平滑原理二次指数平滑原理 一次指数平滑一次指数平滑虽然克服了移动平均法的缺点，但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑发法进行预测，仍存在明显的滞后偏差仍存在明显的滞后偏差。因此，必须加以修正。修正的方法与趋势移动平均法相同，即再作二次指数平滑，利用滞后偏差的规律建立直线趋势模型。与一次指数平滑公式基本相似，二次指数平滑基本公式为：

)2(1

)1()2()1( tttSSS

)(, )()()()( 2t

1tt

2t

1tt

ttTt

SS1

bSS2a

Tbay

其中，

2 、二次指数平滑预测模型二次指数平滑预测模型为

二、二次指数平滑二、二次指数平滑

某公司某公司 19901990~2004~2004 年销售收入年销售收入 yytt 如表所示，如表所示，试用二次指数平滑法预测试用二次指数平滑法预测 20052005 年和年和 20062006 年的年的销售收入各为多少万元？销售收入各为多少万元？

年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

销售额 676 825 774 716 940 1159 1384 1524 1468 1668 1958 2031 2234 2566 2820

表 4-11 历年销售收入数据 单位：万元

二次指数平滑预测法举例二次指数平滑预测法举例

思考思考1 、确定初始值∵表中的历年实际销售收入可知变化不大，随时间的推移，销售收入逐年增加，并且 N=15＞ 10 ∴ = = =6762 、确定平滑指数 α ∵历史资料表明基本上是长期稳定的增加的， ∴α 应取小一些，令 α=0.3

注意：注意：二次指数平滑预测可用线性趋势数据的方法 进行预测。

S)1(

0

S)1(

0 S)2(

01y

（万元）

（万元）

预测模型为：

并建立预测模型、）计算（

并填入表中、计算

取加具有长期平稳增加的增

）确定平滑系数（）确定初始值（

）（）（

）（）（

2.325027.1781.2714

8.289217.1781.2714

7.178)3.18802.2297(3.01

3.0

)(1

1.27143.18802.229722

,4

,)3(

3.0

2

6761

2006

2005

2004

)2(15

)1(15

)2(15

)1(15

22

1

12

01

0

Tbay

y

Tbay

SSb

SSa

ba

SS

y

ySS

tt

ttT

t

t

tt

t

t

ty S t

)1(

S t

)2(年 t

1990 1 676 676676 676676 676.0 0 —

1991 2 825 720.7720.7 689.4689.4 652.0 13.4 676.0

1992 3 774 736.7736.7 703.6703.6 769.8 14.2 765.4

1993 4 716 730.5730.5 711.7711.7 749.3 8.1 784.0

1994 5 940 793.3793.3 736.2736.2 850.4 24.5 757.4

1995 6 1159 903.0903.0 786.2786.2 1019.8 50.1 874.9

1996 7 1384 1047.31047.3 864.5864.5 1230.1 78.3 1069.9

1997 8 1542 1190.31190.3 962.3962.3 1418.3 97.7 1308.4

1998 9 1468 1273.61273.6 1055.71055.7 1491.5 93.4 1516.0

1999 10 1668 1391.91391.9 1156.51156.5 1627.3 100.9 1584.9

2000 11 1958 1561.81561.8 1278.11278.1 1845.5 121.6 1728.2

2001 12 2031 1702.51702.5 1405.41405.4 1999.6 127.3 1967.1

2002 13 2234 1862.01862.0 1542.41542.4 2181.6 137.0 2126.9

2003 14 2566 2073.22073.2 1701.61701.6 2444.8 159.3 2318.6

2004 15 2820 2297.22297.2 1880.31880.3 2714.1 178.7 2604.1

tatb

ty

表 4-11 历年销售收入数据 单位：万元

趋势外推法趋势外推法是根据某一事件的历史规律，寻求该事件的变化规律，从而推出事件未来状况的一种比较常见的预测方法。利用趋势外推法进行预测，主要包括六阶段：（ 1 ）选择所需的预测的参数（ 2 ）收集必要的数据（ 3 ）利用数据拟和曲线（最小二乘法最小二乘法）（ 4 ）趋势外推（直线、对数、曲线）（ 5 ）预测说明（ 6 ）研究预测结果在进行决策中应用的可能性。

第四节 线性外推预测法第四节 线性外推预测法

1 、拟合直线方程法的数学模型 依据的是最小二乘法，是将时间序列拟合成一条直线趋势，使该直线上的预测值与实际值之间的离差和为最小。 设 n(x11,y11),(x22,y22),…,(xnn,ynn)它们的位置如图，代求的拟合直线 AB ，它使 n 个观察值对该直线的离差分别为 e11,e22,…,enn 。其中在 AB 上方一侧的离差为正离差，下方一侧的离差为负离差。 若简单的以离差代数和 的大小来反映该直线是否是最佳拟合直线，则可能出现正、负离差的相互抵消使离差的代数和变小，甚至出现完全抵消的情况，即： ，这时的拟合直线并非没有偏差。

(x11,y11)

(x22,y22)(x44,y44)

(x33,y33)

eii

(x55,y55)

eii

eii

图 拟合直线方程原理

n

1iie

0en

1ii

一、直线趋势外推法一、直线趋势外推法（（ Line Tend ））

最小值

则有：次观察作现对

离差斜率，直线方程的截距，，拟合直线方程为：

，设直线方程为：

2t

2tt

2i

tttti

t

i

t

t

bxayyyeQ

bxayyye

n21tny

eba

bxay

bxay

)]([)(

ˆ

),,,,(

ˆ

（ 1 ）

最小二乘法原理最小二乘法原理 (Least –Square Method)

在 Q 中，描述了直线方程 ytt=a+bx与 n 个观察点的接近程度。误差的大小随直线的位置变化而变化。即误差误差的值会随着 的值会随着 aa 和和 b b 不同而变化不同而变化。即是 a 和 b的二元函数。

为了使误差最小，即 Q 为最小值 ; 可分别对 a,b求偏导 , 并令其为 0. 则有 :

22

tt

tt

2ti

2i

t

i2

i

xxn

yxxynb

xbyxbyn

1a

0xbxaxy0bxayx2

bxaybb

Q

0xbnay

0bxay2bxayaa

Q

)(

))((

)(

,)(

)(

,)()(

注意：注意：在确定直线方程时，时间序列为奇数时，取中间数（ n+1/2 ）的编号为 0 ，那么 x 的编号就构成了以 0 中心 , 的正、负数对称的编号。例如 , 当 n=9 时 ,9+1/2=5,那么就可以编成 -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, 这时由于∑ x=0,可简化计算。

（ 2 ）

（ 4）

（ 5）

（ 3 ）

2

t

t

t

x

xyb

yn

ya

:此时，有

(6)

(7)

22 、拟合直线方程的步骤、拟合直线方程的步骤(1)绘制散点图(2) 列表计算求待定系数所需的数据(3)确定待定系数 a 、 b,建立预测模型(4) 用拟合直线方程求预测值

某家用电器厂 1994 年 ~2004 年利润数据资料如表4-14 所示，试预测 2005 、 2006 年利润各为多少？

年份 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

销售额 200 300 350 400 500 630630 700 750 850 950 1020

解：解： （ 1 ）画散点图并观察各个点变化趋势是否可用直线方程来拟合。（ 2 ）列表计算求待定系数所需要的数据资料，由于时间序列为 11 个，即 n+1/2=11+1/2=6 。故以1990 年为中点编号：-5 ， -4 ， -3 ， -2 ， -1 ，0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 。 1994 1995 1996 1997 1998 1999

12001000 800 600

400

200

图 直线绘制图

表 某家用电器厂 1985 年 ~1995 年利润及拟合直线方程法计算表 单位：万元

线性外推趋势预测法举例线性外推趋势预测法举例

中心中心

表的以左边∑ x=0, ∑ytt=6650, ∑x²=110;∑xytt =9100.表的右边以 0 ， 1 ，…， 10 对自变量 x 进行编号，并求得：∑ x=55 ， ∑ x²=385 ； ∑ xytt =42350(3)确定待定系数，建立预测模型 ①按表的左边 x编号，有： a= ∑ ytt/n=6650/11=604.3 b= ∑xy/ ∑x²=9100/110=82.7 故左边预测的直线方程为：②按表右边的 x编号方法有：

7825606y t ..

x7820191y

0191557826650n

1a

7825538511

6650554235011

xxn

yxxynb

t

222

t

..

.).(

.)(

右边预测直线方程为：

年份 利润 yii

x x² xytt 左左边边

x x² xytt 右边右边

1994 200 -5 25 -1000 191.0191.0 0 0 0 191.0191.0

1995 300 -4 16 -2000 273.7273.7 1 1 300 273.7273.7

1996 350 -3 9 -1050 356.4356.4 2 4 700 356.4356.4

1997 400 -2 4 -800 439.1439.1 3 9 1200 439.1439.1

1998 500 -1 1 -500 521.8521.8 4 16 2000 521.8521.8

19991999 630 0 0 0 604.5604.5 5 25 3150 604.5604.5

2000 700 1 1 700 687.2687.2 6 36 4200 687.2687.2

2001 750 2 4 1500 769.9769.9 7 49 5250 769.9769.9

2002 850 3 9 2550 852.6852.6 8 64 6800 852.6852.6

2003 950 4 16 3800 935.3935.3 9 81 8550 935.3935.3

2004 1020 5 25 5100 1018.01018.0 10 100 10200 1018.01018.0

∑ 6650 0 110 9100 55 385 42350

ty

ty

表 某家用电器厂 1994 年 ~1904 年利润及拟合直线方程法计算表 单位：万元

（ 4 ）用拟合直线方程求预测值 分别按左、右边直线方程

进行预测结果相同，故拟合直线有效。见表

33 、特点、特点（ 1 ）拟合直线方程的一阶差分为一常数一阶差分为一常数，即：（ 2 ）直线外推法直线外推法只适用时间序列呈直线趋势时间序列呈直线趋势预测。（ 3 ）无论远、近的数据不考虑权重。（ 4 ）用最小二乘法最小二乘法拟合直线方程消除了不规则的影响，使内插值和外推值内插值和外推值都落在拟合的直线上。

x7820191y t ..

byyy tt 1

xt

y 7.825.606

原理原理 拟合直线方程根据最小二乘法原理，使观察期对于估计值的离差平方和 ，再求偏导并令其等于 0 ，求出 a,b,最后建立直线方程进行预测。但这种方法的问题是在拟合直线过程，对时间的近期和远期的数据同等对待，求出的预测方程不够精确。而加权拟合法就较好的解决了这个问题。 ( 例题略 )

min)( 2

tt yyQ

二、加权拟合直线方程二、加权拟合直线方程

规律，利用对数规律及最小二乘法规律，利用对数规律及最小二乘法确定指数方程确定指数方程。然后在进行趋势外推。

xbay

bbaayy

bxay

aby x

则有：并令取对数得：设指数方程为：

,lg;lg;lg

lglglg

(1)

(2)

(3)

x

t

t

aby

x

yxb

n

ya

ˆ

lglg

lglg

2

预测模型为：

可根据最小二乘法得：

三、对数预测法三、对数预测法 是指时间序列的观察值长期趋势呈指数曲线变化长期趋势呈指数曲线变化

(4)

某公司 1992～ 2004 年商品销售额额如表所示，试预测 2005 年的销售额多 少万元？

对数预测法举例对数预测法举例

年份

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

销售额

18 72 90 210 270 390 570 900 1500 2310 4050 4800 5400

思考：思考：1 、根据历年利润额数据表可 知：历年利润额基本呈指数曲线，故可用对数趋势外推法。2 、∵ N=13 年，∴取 13+1/2=7 ，即（ -7～ 7 ）可简化计算。

3 、确定 a 和 b ，得出拟合对数曲线方程。

4 、根据拟合曲线方程进行预测。

表 某公司历年销售额表资料表 某公司历年销售额表资料

填入表观察期 销售额 ytt x x² lgytt x·lgytt

1992 18 -6 36 1.2553 -7.5316 37.31

1993 72 -5 25 1.8573 -9.2867 58.52

1994 90 -4 16 1.9542 -7.8170 91.79

1995 210 -3 9 2.3222 -6.9667 143.98

1996 270 -2 4 2.4314 -4.8627 225.84

1997 390 -1 1 2.5911 2.5911 354.24

1998 570 0 0 2.7559 2.7559 555.65

1999 900 1 1 2.9542 2.9542 871.57

2000 1500 2 4 3.1761 3.1761 1367.10

2001 2310 3 9 3.3536 3.3636 2144.37

2002 4050 4 16 3.6075 3.6075 3363.57

2003 4800 5 25 3.6812 3.6812 5275.94

2004 5400 6 36 3.7324 3.7324 8275.61

∑ 20580 0 182 35.6824 35.6824

y

解解 ::(1)(1) 列表计算求待定系数列表计算求待定系数 ,,x 的编号为 -6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6.根据拟合直线方程 (4), 列表计算∑ lgyt, ∑xlgyt, ∑x², 并将计算

(2)(2)建立数学模型建立数学模型 ,,计算预测值计算预测值

1955.0182

5724.35lglg

7448.213

6842.35lglg

2x

yxb

n

ya

t

t

.76.12980

1129.471955.07448.2lg

1955.07448.2lg

2005

2005

万元查反对数表，有：

y

y

xy t

在实际预测中，我们常常碰到 的不是我们前面所介绍的形式，而是其他的曲线形式。在这样的情况下，就要用到曲线外推趋势法曲线外推趋势法。这种方法仍然是利用二乘法来拟合曲线方程。介绍如下：设 曲线预测模型为：

2 3 4

2

2 3

ˆ

ˆ

(1) 0

ˆ

(2) 0

ˆ

(3) 0

ˆ

t

t

i

t

t

t

y a bx cx dx ex

y t

x

c d e

y a bx

d e

y a bx cx

e

y a bx cx dx

其中： —第期预测值

—时间序列；当 时，

即线性方程趋势外推法时，即二次曲线趋势外推法

时，即三次曲线趋势外推法

第五节 曲线外推预测法第五节 曲线外推预测法

一、二次曲线外推法一、二次曲线外推法（一）二次曲线外推法数学模型（一）二次曲线外推法数学模型二次曲线方程为： （ 1 ）利用最小二乘法得：

2ˆ cxbxayt

224

22

2

224

224

222

)(

)(

)(

xxn

yxyxc

x

xyb

xxn

yxxyxa

cxbxayeQ

tt

t

tt

tt

求极值得：

最小值

（ 2 ）

季节指数法季节指数法是指某一事件在一年内以季节为周期季节为周期循环发生循环发生，可通过季节指数进行预测 。 季节指数可将三至五年资料按月展开或按季展开，然后，考虑它是否受长期趋势波动的影响；还是受随机因素的影响。下面，分两种情形介绍。一、不考虑长期变动趋势的季节指数法一、不考虑长期变动趋势的季节指数法（一）按月（季）平均法（一）按月（季）平均法1 、计算历年同月平均数 设每年的月平均数为 ri, i=1,2,…,12

第六节 季节指数预测第六节 季节指数预测

r11=1/n(y11+y1313+…+y12n-1112n-11)r22= 1/n(y22+y1414+…+y12n-1012n-10) ( n- 年份 )

… …… …r1212=1/n(y1212+y2424+…+y12n12n)

(1)(1)

22 、计算各年月平均值、计算各年月平均值

年）（第

（第二年）

第一年

nyyy12

1y

yyy12

1y

yyy12

1y

0n1210n1211n12n

2414132

12211

)(

)(

))((

33 、计算各月的季节指数、计算各月的季节指数

整个时期的月平均值—月的季节指数，为第—其中： yi

yn

y

y

r

i

n

ii

ii

12

112

1

%100

(2)(2)

(3)(3)

44 、调整各月的季节指数、调整各月的季节指数 从理论上讲， 1 至 12 个月各季节指数之和应等于1200百分点，但在计算季节指数的过程中的近似会使各月季节指数之和（大于或小于） 1200点，因此，须调整。即：

1200

i

i i

k

F F k

则调整后的季节指数 ：

55 、利用季节指数法求预测值、利用季节指数法求预测值

i

tit

ii

tt

yy

iiy

tty

，则月（当前月）季节指数为第月（当前月）实际值；为第月季节指数；为第月预测值；为第设

某商店 2001 年 ~2004 年电风扇的销售量资料如表，已知 2002 年 4月份销售量为 23台，试预测同年 5 、 6月份的销售量为多少？

表 某商店电风扇销售量及季节指数法计算表 单位：台

季节指数预测法举例季节指数预测法举例 11

月份 2001年

2002 年 2003 年 2004 年 月平均值 季节指数 调整后季节指数

1 5 2 3 2 3 7.68 7.68

2 4 4 5 3 4 10.23 10.23

3 10 8 12 10 10 25.59 25.59

4 25 22 20 21 22 56.29 56.29

5 45 64 80 60 62 159.28 159.28

66 106106 110110 102102 105105 106106 270.58270.58 270.58

77 9494 9090 9595 9393 9393 237.95237.95 237.95

88 9090 8181 8787 9494 8888 225.16225.16 225.16

99 6060 5252 6262 5858 5858 148.40148.40 148.40

10 20 12 18 14 16 40.94 40.94

11 5 5 4 6 5 12.79 12.79

12 5 1 2 0 2 5.12 5.12

∑ 469 451 490 466 469 1200.01 1200.01

解：解：（（ 11 ）计算历年同月的平均数）计算历年同月的平均数

202154

1yyy

n

1r

1010128104

1yyy

n

1r

435444

1yyy

n

1r

323254

1yyy

n

1r

0n12241212

9n121533

10n121422

11n121311

)()(

)()(

)()(

)()(

8380103212

1yyy

12

1y

83402125312

1yyy

12

1y

5837184212

1yyy

12

1y

08395104512

1yyy

12

1y

4838374

3626253

2414132

12211

.)()(

.)()(

.)()(

.)()(

（（ 22 ）计算各月平均值）计算各月平均值

（（ 33 ）计算各月的季节指数）计算各月的季节指数

12.508.39

2

23.1008.39

4

68.708.39

3

1212

22

11

y

r

y

r

y

r

（（ 44 ）调整各月的季节指数）调整各月的季节指数∵k=1200/ ∑αii=1200/1200.01F11=αi i k =7.68%×1200/1200.01=7.68%F22=10.23% × 1200/1200.01=10.23%… …… …依次填入表中。

（（ 55 ）利用季节指数法求预测值）利用季节指数法求预测值∵

∴ =23 ×159.28/56.29=65.08(台 ) =23 ×270.57/56.29=110.55(台 )（二）全年比率平均法（二）全年比率平均法 是将历年各月（或季节）数值同全年（或季节）平均值之间的比率再加以平均求得季节指数，并用它进行预测的方法。即 :

i

tit yy

ty

ty

y

yn

ii

1

其中 :yii- 历年各月（或季节）数值 ; y-全年（或季节）平均值 ,其余与季节指预测法相同 .

季节指数预测法举例季节指数预测法举例 22

某超市 2002 ~2004 年 A品牌饮料销售量如表所示：当 2005 年 5月份销售额为 330箱时，试预测 2005 年 6 、 7 、 8月份的销售量为多少？

月份单位 1 2 3 4 5 6 77 88 99 10 11 12

年合计

月平均

2002 箱 25 124 176 185 300 335 590590 610610 555555 250 74 16 3240 270

2003 箱 30 130 180 190 310 340 600600 620620 560560 240 80 20 3300 275

2004 箱 28 132 170 200 315 330 590590 635635 610610 245 80 25 3360 280

2002

月比率% 9 46 65 69 111 124 219219 226226 206206 93 27 6

2003 年月比率 % 11 47 65 69 113 124 218218 225225 204204 87 29 7

2004 年月比率 % 10 47 61 71 113 118 211211 227227 218218 88 29 9

季节指数

% 10 46.7 63.7 69.7 112.3

122.0

216.216.00

226226.0.0

209209.3.3

89.3 28.3 7.3 ∑=1200.6

调节后季节指数

% 10 46.7 63.7 69.7 112.2

121.9

215.215.99

225225.9.9

209209.2.2

89.2 28.3 7.3 ∑=1200.0

年份

表 某超市 A品牌饮料 2002 ~ 2004 年月销售量及季节指数计算表 单位：箱

解（解（ 11 ）计算历年平均月销售量）计算历年平均月销售量 ŷ20022002=1/12 × （ 25+124+…+16 ） =270 （箱） ŷ20032003=1/12 × （ 30+1130+…+20 ） =275 （箱） ŷ20042004=1/12 × （ 28+132+…+25 ） 280 （箱）（ 2 ）计算历年各月的比率 ri 。即历年各月销售量同该年平均销售量比的百分数。r2002.12002.1=25/270 ×100%=9%r2002.12002.1=124/270 ×100%=46% …………r2002.122002.12=16/270 ×100%=6%r2003.12003.1=30/275×100%=11%r2003.22003.2=130/275×100%=47% …… ……

r2003.122003.12=20/275 ×100%=7%r1003.11003.1=28/280 ×100%=10%r2003.22003.2=132/280 100%=47% …………r2004.122004.12=25/280 ×100%=9%

%3.7%9%7%63

1

%7.46%47%47%463

1

%10%10%11%93

1

)3(

12

2

1

）（

）（

）（

的求和平均。即历年相同月份比率计算各月的季节指数

j

箱、、为月饮料预计销售量分别、、年即：

箱

箱

箱

测根据求得的季节指数预

相乘。与调整系数数。即历年各月的季节指）调整季节指数（

8.6638.6332.3588762005

)(8.663%3.112

%9.225330330

)(8.633%3.112

%9.215330330

)(2.358%3.112

%9.12330330

)5(

%3.76.1200

1200%3.7

%7.466.1200

1200%7.46

%106.1200

1200%10

4

5

88.2005

5

77.2005

5

66.2005

12

2

1

y

y

y

k

k

jj

jj

二、考虑长期趋势的季节指数法二、考虑长期趋势的季节指数法（一）长期趋势的季节指数模型将移动平均值置于跨越期中间位置上，即： n+1/2=6.5 上。则预测模型为：

变动趋势值。化移动平均值为基础的以观察期最后两个中心

移动平均值；观察期最后一个中心化

的季节指数预测的时间周期周期当前期与预测期的间隔其中：

t

t

T

TttTt

b

a

Tx

T

xTbay

;

;

)(ˆ n

xxMM

n

xxxM

nxxx

m

ntttt

ntttt

m

)1(1

)1(

11)1(

1221 1212,,,,

：的移动平均值的公式为时，当跨越期为

间序列为：为年份，按月收集的时设

某企业 2000 ~2004 年共有 20 个季度的销售量 Q 如表所示，试预测 2005 年 1 、 2 、 3 、 4 季度销售量为多少？解：解：

移动平均值之比。见表各期销售量与其中心化各季的季节指数计算各季节指数

值为：季度的中心化移动平均年第之间位置上两个移动平均值的值的平均数，并置于这计算相邻的两移动平均

值）计算中心化移动平均（上。置

，则：平均值，令）选择跨越期，求移动（

）（

)3(

875.52

00.675.5

32000

2

5.2

75.54

7646

41

123414

nn

xxxxM

n

季节指数预测法举例季节指数预测法举例 33

观察期 9 （年、季）

期数（ x ）

销售量（ Q ）

4 个季度的移动平均 中心化移动平均 季节指数

2000.1 1 7

2000..2 2 6 5.75

2000..3 3 4 6.00 5.875 0.618

2000.4 4 6 6.25 6.125 0.980

2001.1 5 8 6.75 6.500 1.231

2001..2 6 7 7.00 6.875 1.018

2001..3 7 6 7.50 7.250 0.828

2001.4 8 7 8.00 7.750 0.903

2002.1 9 10 8.00 8.000 1.250

2002..2 10 9 8.50 8.250 1.091

2002..3 11 6 9.00 8.750 0.686

2002.4 12 9 9.25 9.125 0.986

2003.1 13 12 10.00 9.625 1.247

2003..2 14 10 10.75 10.375 0.964

2003..3 15 9 11.00 10.875 0.826

2003.4 16 12 11.00 11.000 1.091

2004.1 17 13 10.75 10.875 1.195

2004.2 18 10 10.50 10.625 0.941

2004.3 19 8

2004.4 20 11

2005.1 21

2005.2 22

2005.3 23

2005.4 24

表 某企业销售量数据及季节指数法计算表 单位：千件

年份 季节 1 2 3 4 ∑

2000 1.231 0.681 0.980

2001 1.250 1.028 0.828 0.903

2002 1.247 1.091 0.686 0.986

2003 1.195 0.964 0.826 1.091

2004 4.923 0.941

总计 4.923 4.014 3.021 3.960

均值 231 1.004 0.755 0.990 3.980

调后均值 2371 1.009 0.759 0.995 4.000

表 4-28 季节指数计算表 %

（ 4 ）计算各季节指数平均值，并作调整1 季节度的 季节指数总计为：1.231+1.250+1.247+1.195=4.923

1 季度的 季节指数的 平均值为： 4.923÷4=1.2311季度调整后的季节指数为：1.231 ×4.000/3.980=1.237依次类推（ 5 ）建立预测模型，计算预测值。att 为 2004 年最后一个中心化移动平均值：即 att==10625btt 为 2004 年最后两个中心化移动平均值的趋势变动值。btt =10.625-10.875=-0.25预测模型为： ŷt+Tt+T=(att+btT)xtt=(10.625-0.25) 根据建立的数学模型预测 2005年第 1、 2、 3、4季度的销售量分别为 12.2154 、 9.7116 、 7.1156 、9.079（件）。