UNIVERSIDAD DE LA SERENA FACULTAD DE CIENCIAS DEPTO. DE MATEMTICA 1er Semestre 2014

GUIA DE LGEBRA LINEAL (ING.) TRANSFORMACIONES LINEALES

Definicin 4.1 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, una transformacin lineal de V en W es una funcin T: V W tal que: T(u + v) = T(u) + T (v) u, v V T( u) = T ( u) u V , IK.

Proposicin 4.2 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: V W transformacin lineal, entonces: a) T( 0v ) = 0w b) T(-v) = - T (v) , v V c) T( u - v) = T(u) - T(v) , u, v V Proposicin 4.3 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, entonces T :V W es una transformacin lineal si y slo si T ( u + v) = T(u) + T (v) , K, u, v V. Corolario 4.4 Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V W una transformacin lineal, entonces T preserva las combinaciones lineales , es decir si v1,.....,vn V

y 1, ..... ,n K se tiene que T )T(vv in

1=ii

n

1=iii =

.

Teorema 4.5 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K, tal que dim V = n < y {v1,....,vn} una base ordenada de V. Supongamos que {w1,....,wn} es subconjunto de W, entonces existe una nica transformacin lineal T: V W tal que T(vi) = wi i = 1,.....,n. NCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIN LINEAL Definicin 4.7 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T : V W una transformacin lineal .El ncleo (o kernel) de T es el conjunto KerT ={vV / T(v) = 0w}. La imagen de T es el conjunto Im T = { w W / v V : T (v) = w } = { T(v) / v V =T(V) }. Proposicin 4.8 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo K y T: V W una transformacin lineal, entonces Ker T V e Im T W. Definicin 4.9 Si V y W son espacios vectoriales de dimensin finita sobre un cuerpo IK y T: V W es una transformacin lineal. Entonces dim ( Ker T ) se llama nulidad de T y dim ( Im T ) se llama rango de T . Teorema 4.10 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, dim V < y T : V W una transformacin lineal, entonces dim V = dim Ker T + dim Im T. Corolario 4.11 Sea A Mnxm ( IK) entonces la dimensin del espacio fila de A es igual a la dimensin del espacio columna A, es decir rango A = rango At. Proposicin 4.12 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V W una transformacin lineal entonces T es inyectiva si y slo si Ker T = { 0 } Proposicin 4.13 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK tales que dim V = dim W = n < y T: V W una transformacin lineal, entonces T es inyectiva si y solo si T es epiyectiva.

ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES Teorema 4.14 Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK . T : V W y L : V W transformaciones lineales, entonces: a) La funcin T + L : V W definida por ( T + L )(v) = T (v) + L (v) v V es una transformacin lineal. b)La funcin T : V W con IK , definida por (T )(v) = (T(v) ) v V es una transformacin lineal. Proposicin 4.15 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, entonces el conjunto L( V , W) = {T : V W / T es transformacin lineal} es un espacio vectorial con la suma y producto por escalar definidos en el teorema 4.14. Teorema 4.16 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK tales que dim V = n < y dim W = m < Entonces dim L( V , W) = nm. Teorema 4.17 Sean U, V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: V U y L: U W transformaciones lineales. Entonces la funcin compuesta L o T :V W definida por ( L o T ) (v) = L(T(v)) v V , es una transformacin lineal. Definicin 4.18 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Una transformacin lineal T : V V se dice un operador lineal sobre V. Proposicin 4.19 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK, T, L, S operadores lineales sobre V, entonces: a) T o L es operador lineal sobre V. b) idv o T = T o idv = T c) L o ( T + S ) = ( L o T ) + ( L o S ) y (T + S) o L = ( T o L) + ( S o L). d) ( T o L) = ( T ) o L = T o ( L) , IK. Definicin 4.20 Sean V,W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V W una transformacin lineal, se dice que T es invertible si T es una funcin biyectiva de V en W. Es oportuno recordar la equivalencia siguiente: T: V W es invertible si y slo si existe una funcin T -1 : W V tal que T o T -1 = idw y T-1 o T = idv Teorema 4.21 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V W una transformacin lineal invertible entonces T -1 : W V es una transformacin lineal. Teorema 4.22 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: V W una transformacin lineal. Entonces T es inyectiva si y slo si T aplica cada subconjunto l.i. de V sobre un subconjunto l.i. de W. Teorema 4.23 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, tales que dimV = dim W = n < . Si T: V W es una transformacin lineal entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones: a) T es invertible b) T es inyectiva c) T es epiyectiva d) Si {v1,.....,vn} es base de V entonces { T(v1),.....,T (vn) } es base deW e) Existe una base {v1,....., vn} de V tal que { T(v1),.......,T(vn)} es base de W. Observacin 4.24 Notemos que el teorema 4.23 no es vlido si dim V dim W . ISOMORFISMOS Definicin 4.25 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK. Una transformacin lineal T: V W se dice isomorfismo de V sobre W si T es biyectiva. Si existe un isomorfismo de V sobre W se dice que V es isomorfo a W y se anota V W. Teorema 4.26 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Si dim V = n entonces V IKn.

Lema 4.27 Sean U, V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK. Entonces a) Si U V entonces V U b) Si U V y V W entonces U W. Teorema 4.28 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK. Entonces V W si y solo s dim V = dim W.

GUIA DE EJERCICIOS 1. Determinar si las funciones dadas a continuacin son funciones lineales. Justificar.

a) 22 IRIR:T definida por )yx,yx()y,x(T 2 += b) 22 IRIR:T definida por )1y2x,yx()y,x(T ++= c) 23 IRIR:T definida por )zyx,zy2x()z,y,x(T ++= d) 23 IRIR:T definida por )zx,yx()z,y,x(T =

2. Mostrar que las siguientes aplicaciones no son lineales. a) IRIR:F 2 definida por yx)y,x(F = b) 32 IRIR:F definida por )yx,y2,1x()y,x(F ++= c) IRIR:F 2 definida por )0,x()z,y,x(F = .

3. Sea IRIR:T 2 una funcin lineal tal que 1)2,1(T = y 1)1,2(T = . Encontrar

)y,x(T . 4. Sea 23 IRIR:T definida por )zy4x,z3yx2()z,y,x(T +++= .Demostrar que T es

lineal y encontrar bases para TKer e TIm . 5. Demostrar que { (1,1,1) , (1,2,3) , (0,0,1) } es una base para el espacio vectorial .IR3

Sea 33 IRIR:T lineal definida por: T(1,1,1) = (1,2,3) , T(1,2,3) = (1,1,2) , T(0,0,1) = (2,1,3). Encontrar bases para TKer e TIm .

6. Sea V un espacio vectorial sobre IR y { u , v , w } una base para V. Demostrar que

{ u , u v , u v w } es una base para V. Sea VV:T lineal tal que T(u) = -2u + 3v + w , T(u v) = 3u 4v w , T(u v w) = 5u + v + 6w. Encontrar bases para TKer e TIm .

7. Demostrar que { 1 + x , 1 + x2, x + x2 } es una base para el espacio )IR(P2 . Sea

)IR(P)IR(P:T 22 lineal definida por: 2x3x1)x1(T ++=+ , 22 x4x21)x1(T ++=+ ,

22 x5x2)xx(T ++=+ . Encontrar bases para TKer e TIm . 8. Considerar el subespacio vectorial V = IR)3,1,2(,)3,2,1(),2,1,1( >< de .IR

3 a) Demostrar que { (1,4,5) , (4,1,5) } es una base para V.

b) Sea 3IRV:T lineal tal que: T(1,4,5) = (1,1,1) y T(4,1,5) = (2,2,2). Encontrar bases para TKer e TIm .

9. Sea S = < (1,0,0) , (1,1,1) , (2,1,1) >IR. Encontrar una funcin lineal 33 IRIR:T tal que STKer = e IR)3,2,1(TIm >IR y W = < (1,0,1) >IR de IR3.

Demostrar que IR3 = U W y encontrar la funcion 33 IRIR:T definida en el problema (10).

12. Sea 22 IRIR:T lineal, tal que )1,1()2,1(T = y )2,1()1,2(T = . Demostrar

que 22 IRIR:T es un isomorfismo de espacios vectoriales. Encontrar )y,x(T 1 . 13. Sea { u , v } una base para un espacio V sobre IR. Demostrar que { u + v , u v } es una

base para V. Sea VV:T lineal tal que T(u + v) = u v y T(u v) = u + v. a) Demostrar que VV:T es un isomorfismo b) Calcular T(u) y T(v).

14. Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo K y T : V W lineal. Sean

Vv,....,v,v k21 tales que W)v(T),....,v(T),v(T k21 son l. independientes. Demostrar que k21 v,....,v,v son linealmente independientes.

15. Sea 34 IRIR:F la aplicacin lineal definida por:

)t3s3yx,ts2x,tsyx()t,s,y,x(F +++++= . Encontrar bases para TKer e TIm .

16. Encontrar una aplicacin lineal 43 IRIR:T , cuya imagen es generada por )4,0,2,1( y )3,1,0,2( .

17. Sea T : )IR(M 2x2 )IR(M 2x2 definida por T(X) = AX XA, donde A =

3021 .

Demuestre que T es transformacin lineal y encontrar bases para TKer e TIm . 18. Sea T el operador lineal sobre 3IR definido por:

)zy3x2,yx4,x2()z,y,x(T += . Demostrar que T es invertible y encontrar una frmula para .T 1

19. Sea V espacio vectorial de dimensin finita y T un operador lineal sobre V. Demostrar

que T es invertible, si y slo si, T es sobre.

20. Sea M =

2211 y T : )K(M 2x2 )K(M 2x2 lineal definida por T(X) = MX. Encontrar

bases para TKer e TIm . 21. Encontrar una aplicacin lineal 33 IRIR:T , cuya imagen es generada por )3,2,1( y )6,5,4( . 22. Encontrar una aplicacin lineal 34 IRIR:T cuyo ncleo es generado por )4,3,2,1( y

)1,1,1,0( . 23. Sea )IR(P)IR(P:D 33 el operador derivacin. Encontrar el ncleo e imagen del

operador D. 24. Sea A una matriz m x n con coeficientes en el cuerpo K. Se define la funcin

)K(M)K(M:T 1xm1xn por XA)X(T = )K(MX 1xn . a) Demostrar que )K(M)K(M:T 1xm1xn es lineal.

b) Si A =

312954321 )IR(M 3x3 en (a) y luego )IR(M)IR(M:T 1x31x3 . Encontrar

bases para el ncleo de T e Imagen de T. 25. Sea A una matriz m x n con coeficientes en el cuerpo K. Se define la funcin

mn KK:T por tt )XA()X(T = nKX . a) Demostrar que mn KK:T es lineal.

b) Si A =

312954321

)IR(M 3x3 en (a) y luego 33 IRIR:T . Encontrar bases para el

ncleo de T e Imagen de T.

26. Sea T funcin lineal de IR3 en IR3 ( operador lineal) tal que: Ker ( T id 3IR )= < (1,1,1), (1,1,0)> Ker ( T + 3 id 3IR )=< ( 1, 0, 0)> Encontrar T . REPRESENTACIN POR MATRICES Definicin 5.1 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK , tales que dim V = n , dim W = m y T: V W una transformacin lineal. Si B = { v1 ,...,vn } es una base ordenada de V y B`= { w1,...,wm} una base ordenada de W, se define la matriz de T respecto al par de bases ordenadas B y B` como la matriz [ T ]BB` M mxn(K) donde la columna j-sima de [ T ]BB` est dada por [ T (vj )]B` . Observacin 5.2 La transformacin lineal T :V W determina una nica matriz [T]BB , puesto que para cada j{1,.....,n}existen nicos escalares 1j ,2j ,...,mj IK tales que

T(vj) = ij ii

m

w=1

, es decir [T (vj) ]B` =

mj

j1

! . Luego [T ]BB` = ( ij ) es nica.

Teorema 5.3 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, tales que dim V= n y dimW= m. Sean B y B` bases ordenadas de V y W respectivamente. Si T: V W es una transformacin lineal, entonces [T(v)]B = [T ]BB` [v ]B , v V. Teorema 5.4 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, tales que dimV = n y dim W = m . Sean B y B` bases ordenadas de V y W respectivamente, entonces :L( V , W) Mm x n(K) definida por (T) = [T] 'BB

es un isomorfismo. Observacin 5.5 Note que el hecho de que sea biyectiva implica que dada una matriz A Mm x n ( IK) y las bases ordenadas B y B` en V y W respectivamente existe una nica transformacin lineal T: V W tal que [T ]BB` = A

Observacin Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo IK, B es una base ordenada de V y T un operador lineal sobre V entonces en lugar de [T]BB se escribe [T]B y se dice que es la matriz de T en la base B . Note que por el teorema 5.3 se tiene la identidad [T (v)]B = [T ]B [v ]B , v V.

Teorema 5.6 Sean U, V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: U V y L: V W transformaciones lineales. Si B, B` y B`` son bases ordenadas de U, V y W respectivamente, entonces [L o T ]BB`` = [L ]B`B`` [T]BB`. Proposicin 5.7 Sean V y W espacios vectoriales de dimensin n sobre un cuerpo IK y T: V W una transformacin lineal. Entonces T es invertible si y slo s [T ]BB` es invertible para toda base ordenada B de V y toda base ordenada B`de W. Definicin 5.8 Sean V espacio vectoriales sobre un cuerpo IK, B y B` bases ordenadas de V. La matriz [idv ]BB` se llama la matriz de pasaje de la base B a la base B`. Proposicin 5.9 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK, B y B` bases ordenadas de V, entonces la matriz de pasaje de la base B a la base B` es invertible y [idV ]-1BB = [idV]BB`. Teorema 5.10 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, B1, B2 bases ordenadas de V. B`1 , B`2 base ordenadas de W. Si T: V W es una transformacin lineal, entonces [ T ] B1 B'1 = [idw ] B`2 B'1 [T] B2 B`2 [idv] B1 B2 . ( Teorema de cambio de base)

Observacin 5.11 Un caso particular del teorema 5.10 queda expresado de la siguiente manera: Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK, B y B` bases ordenadas de V y T un operador lineal sobre V, entonces [T]B = [idv]B`B [T]B` [idv ]BB` , o bien , [T ]B = [idv]B`B [T]B` [idv ]B`-1. ( Teorema de cambio de base para operador lineal )

GUA DE EJERCICIOS 1.- Encontrar la matriz de las siguientes funciones lineales de IR3 en IR2 respecto de las bases cannicas de IR3 y IR2 respectivamente.

a) T ( x, y, z)= ( x, y) b) T (x, y, z)= ( x + y, 2x y )

2.- Considere la funcin lineal T: P2 ( IR) P1(IR) definida por: T ( a0 + a1x + a2x2) = -a0 + ( a1 + a2)x. Sean C1, C2 las bases cannicas de P2(IR) y P1(IR) respectivamente. a) Encuentre [ T]

2C1C

b) Encuentre [ T] 2 C 2 donde 2= { 2, x + 1, x2}

c) Encuentre [ T] C1 1 donde 1 = { x + 1, 1 } d) Encuentre [ T ] 2 1 donde 1, 2 son las bases de ( c ) y ( d ).

3.- Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K, = { v1, v2} y `= { w1, w2, w3} bases ordenadas de V y W respectivamente. Sea T: V W una funcin lineal definida por: T( v1) = 2w1 w2 , T(v2)= 2w1 - 2w2 + w3.

a) Determine [ T ] ` b) Use ( a) para determinar T ( 3v1 + 2v2)

4.- Sean T: IR3 funcin lineal definida por: T(x, y,z)= x(1,2,3) + (y + z) (0, 1, 2) y L: < ( 1, 2, 3 ), (0, 1,2)> IR, funcin lineal definida por: L( 1,2,3) = 10 y L(0,1,2)= -1. Considere las bases ordenadas = { (1,0,0,),(0,1,1),(0,0,1)}, `= { (0,1,2),(1,2,3)}, `` = {2} de IR3, < ( 1,2,3), (0,1,2)> y IR respectivamente.

a) Encuentre [ T ]` b) Encuentre [L ] ``` c) Encuentre [ L o T] ``

5.- Sean S y L operadores lineales definidos sobre IR3 tales que:

[ L o S ]C=

113012101

donde C es la base cannica de IR3. Sea = { ( 1, 0, 0 ), (1,1,0), (0,0,-1)}

base ordenada de IR3 y supongamos que [ L ] =

100120111

. Encuentre explcitamente S ( x, y, z).

6.- Sean T y L funciones lineales de P2(IR) en IR3 tales que:

[3T - L ] `=

121110201

y [ L ] `` =

111100111

donde

={ 1, 1 + x, x2 }, `= { ( 1,1,0),(0,1,0 ), (0,0,1)} y `` ={ (-1, 0,2),(1,1,0),(-1,0,0)} son bases ordenadas de P2(IR) y IR3 respectivamente. Encuentre:

a) L( a0 + a1x + a2x2) b) [ T ] `

c) [ T ] `` d) T ( a0 + a1x + a2x2) e) Es T invertible? Si lo es, encuentre [ T-1]` .

7.- Sea T: C2 P2( C) funcin lineal definida por T ( a, b)= a + bx2 + (-b)x2. Considere las bases ordenadas = { ( 1, 0 ), ( 0, 1)} ` = { ( 1, i), (-i, 2)} de C2 y `` = { 1, i + x, ix2} base ordenadas de P2 ( C). Encuentre:

a) [ T ] `` b) [ T ] ``` c) Matrices P y Q tales que [ T ] `` = P[ T ] ``` Q.

8.- Sea T: IR2 IR2 funcin lineal tal que:

[ T ] =

1201

donde = { ( 1, 0), (0, 1) Encuentre una base ordenada `de IR2 tal que

[ T ] ` =

1031

.

9.- Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, dim V = 3 , B ={v1,v2,v3} y B`= {v1,v1 + v2,v1 + v2 + v3} bases ordenadas de V. Si T es el operador lineal sobre V definido por T(vi) = vi - v1 i = 1,2,3. Encuentre:

a) [T]B y [T]BB`. b) Matrices P y Q tales que [T ]B = P[T ]BB` Q. c) Matriz P tal que [T(v) ]B = P[v]B` .

VALORES Y VECTORES PROPIOS Definicin 5.12 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y T: V V un operador lineal. Un escalar IK se dice valor propio de T si existe un vector v V, v 0 tal que T(v) = v. Si es un valor propio de T, entonces cualquier v V tal que T(v) = v se llama vector propio de T asociado al valor propio . El conjunto S = {v V / T(v) = v } se llama espacio propio asociado a . Proposicin 5.13 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y T: V V un operador lineal. Si es un valor propio de T entonces S V. Teorema 5.14 Sean V un espacio vectorial de dimensin finita n sobre un cuerpo IK, B una base ordenada de V y T : V V un operador lineal. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) es valor propio de T (b) T - idv no es invertible (c ) det ( [ T ]B - In ) = 0 Observacin Si B es cualquier base ordenada del espacio vectorial V, por lo tanto la equivalencia (a) (c) se puede expresar de la siguiente manera: es valor propio de T det ( [T]B - In) = 0, para cualquier base ordenada B de V. Definicin 5.15 Sea A Mn ( IK) , se dice que K es un valor propio de A en IK, si det (In -A) = 0. El polinomio C(x) = det ( xIn -A) se llama polinomio caracterstico de A. Observacin 5.16 El polinomio caracterstico de una matriz A Mn(IK) es un polinomio mnico de grado n, esto se comprueba al desarrollar det ( xIn - A). Adems, las races de CA (x) son exactamente los valores propios de A. Proposicin 5.17 Las matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracterstico. Definicin 5.18 Sean V un espacio vectorial de dimensin n sobre un cuerpo IK y T: V V un operador lineal. Se define el polinomio caracterstico de T, como el polinomio caracterstico de cualquier matriz n x n que representa a T en alguna base ordenada de V. Se anota CT ( x ). Observacin 5.19 De la definicin de CT (x) se tiene que si B y B` son bases de V, entonces [T]B y [T]B son matrices semejantes, es decir [T]B = [idV ]-1BB`[T]B [idV]BB` , luego tiene el mismo polinomio caracterstico y por lo tanto los mismos valores propios. En particular T tiene a lo ms n valores propios distintos, puesto que gr( CT (x)) = n . Sin embargo, existen funciones lineales las cuales carecen de valores propios.

DIAGONALIZACIN Definicin 5.20 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y T: V V un operador lineal. Diremos que T es diagonalizable si existe una base B de V tal que [T ]B es una matriz diagonal. Teorema 5.21 Sean V un espacio vectorial de dimensin n sobre IK y T: V V un operador lineal. Entonces , T es diagonalizable si y solo si existe una base de V, formada slo por vectores propios de T. Teorema 5.22 Sean V un espacio vectorial de dimensin n sobre un cuerpo IK, T un operador lineal sobre V y 1 ,..., r los valores propios distintos de T. Sea Si = Si el subespacio asociado al valor propio i . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) T es diagonalizable (b) El polinomio caracterstico de T es CT ( x) = ( x - 1)d ...(x - r ) rd , donde di = dim Si. ( c ) dim S1 + ...... + dim Sr = dim V. Corolario 5.23 Sea V un espacio vectorial de dimensin n sobre un cuerpo IK y T: V V un operador lineal. Si T posee n valores propios distintos entonces T es diagonalizable. Definicin 5.24 Con las notaciones anteriores se dice que dim Si es la multiplicidad geomtrica del valor propio i y que di es la multiplicidad algebraica del valor propio i. Observacin 5.25 El teorema 5.21 puede reescribirse de la siguiente manera: T es diagonalizable la multiplicidad geomtrica de cada valor propio i de T es igual a la multiplicidad algebraica del valor propio i.

GUIA DE EJERCICIOS 1.- Sea T un operador lineal sobre IR3 representado en la base cannica por la matriz

A=

9 4 48 3 416 8 7

Demuestre que T es diagonalizable, encuentre una base de vectores propios y una matriz Q invertible tal que Q A Q-1 sea diagonal. 2.- Encuentre valores y vectores propios de las siguientes transformaciones lineales, las cuales estn representadas en alguna base del espacio correspondiente por las siguientes matrices. Determine si son diagonalizables.

a)

0 1 04 4 02 1 2

, b) , c) ,

d) , e) , f) .

3.- En cada uno de los siguientes casos determine si la matriz es semejante a una matriz real diagonal encontrando una matriz Q invertible tal que Q A Q-1 sea diagonal.

a) b)

5 6 61 4 23 6 4