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UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIADepartamento de
Matematica
Matematica 021Coordinacion de Ayudantas
Pauta de la Ayudanta No
717 de Junio del 2008
1. Se quiere disenar un tramo de carretera que debe conectar
unaautopista horizontal con otra que tiene una pendiente de 1
5re-
specto de esta ultima. El enlace (suave en los extremos) se
deberealizar en un tramo de 800 metros usando una curva paraboli-ca
para unir los puntos A = (0;0) y B = (800; y0). Obtenga una
ecuacion del tipo y = ax2
+ bx + c para la parabola respectiva ydetermine la coordenada y0
de B.
Desarrollo:
Podemos definir la carretera como la funcion por tramos
f(x) =
0 , si: x 0ax2 + bx + c , si: 0 < x < 800
1
5(x 800) + y0 , si: x 800
f(x) debe ser continua en x = 0 y x = 800, entonces lmx0
f(x) =
f(0) = 0 y lmx800
f(x) = f(800) = y0. Por lo tanto, analizando los
lmites laterales
lmx0
f(x) = lmx0+
f(x) c = 0
lmx800
f(x) = lmx800+
f(x) 8002a + 800b = y0
f(x) debe ser derivable en x = 0 y x = 800, luego analizando
las
derivadas laterales
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lmx0
f(x) f(0)
x= lm
x0+
f(x) f(0)
x
0 = lmx0+
ax2 + bx
x= lm
x0+ax + b
Por tanto, b = 0. Ademas, como 8002a + 800b = y0, obtenemos8002a
= y0. Ahora si analizamos la diferenciabilidad en x = 800
lmx800
f(x) f(800)
x 800= lm
x800+
f(x) f(800)
x 800
lmx800
ax2 y0
x 800= lm
x800+
1
5(x 800) + y0 y0
x 800
lmx800
ax2 8002a
x 800= lm
x800+
1
5(x 800)
x 800
lmx800
a(x + 800)(x 800)x 800
= 15
lmx800
a(x + 800) =1
5
1600a =1
5
Por tanto, a =1
8000
Por lo tanto y0 = 8002
a = 80. Si los tramos de carretera quedande la siguiente
manera:
f(x) =
0 , si: x 0x2
800, si: 0 < x < 800
1
5x 80 , si: x 800
2. Calcular:
a) Determine los valores de k R para los cuales el polinomio
p(x) = 2k2x3 + 3kx2 2 es divisible por x 1 y tiene soloceros
reales.Desarrollo:Si p(x) es divisible por x 1, entonces p(1) = 2k2
+ 3k 2 =0, resolviendo esta ecuacion cuadratica para k se tiene
quek = 2 o k = 1
2.
Si k = 2, entonces p(x) = 8x3 6x2 2, como p(1) = 0, porlo tanto
x = 1 es un cero de p(x), usando la division sinteticacalculamos el
cociente
8 6 0 2
1 8 2 28 2 2 0
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p(x) = (x 1)(8x2 + 2x + 2), el cociente s(x) = 8x2 + 2x + 2no
tiene ceros reales.Si k = 1
2, entonces p(x) = x
3
2+ 3x
2
2 2, como p(1) = 0, por lo
tanto x = 1 es un cero de p(x), usando la division sintetica
calculamos los coeficientes del cociente1
2
3
20 2
1 12
2 21
22 2 0
p(x) = (x 1)(x2
2+ 2x + 2) = 1
2(x 1)(x2 + 4x + 4) = 1
2(x
1)(x 1)(x 2)2, el cociente tiene a x = 2 como cero realde
multiplicidad dos. Por lo tanto, si k = 1
2tiene solo ceros
reales.
b) Al dividir cierto polinomio p(x) de grado mayor que 2,
por
x 1 , el resto es 1 y al dividirlo por (x 2) el resto es
2.Encuentre el resto al dividir p(x) por: (x 1)(x 2)Desarrollo:Al
dividir p(x) por (x 1)(x 2) se obtienen un cocientes(x) y un resto
r(x) tal que p(x) = (x 1)(x 2)s(x) + r(x)donde grad(p(x)) 2. Por lo
tanto, r(x) = ax + b, con a y bconstantes reales.Por el teorema del
resto, p(1) = a + b = 1 y p(2) = 2a + b = 2.De estas ultimas
relaciones, se tiene que r(x) = x.
Sergio Barrientos Daz - Coordinacion de Ayudantas MAT021 -
Primer Semestre 2008
