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MATE 3032
IntegraciÛn Aproximada
Hay dos situaciones en las que es imposible encontrar el valor exacto de laintegral deÖnida.La primera situaciÛn se deriva del hecho de que a Ön de evaluarR ba f (x) dx usando el teorema Fundamental del c·lculo, se necesitaconocer la antiderivada de f .Sin embargo, a veces, es difÌcil, o incluso imposible, para encontrar unantiderivada. Por ejemplo, es imposible evaluar las siguientes integrales:
R 10 sin
"x3#dx
R 1!1
3p1! x3dx
La segunda situaciÛn se plantea cuando la funciÛn se determina a partir deun experimento cientÌÖco con las lecturas de los instrumentos o colecciÛnde datos. Quiz·s no puede haber ninguna fÛrmula para la funciÛn.En ambos casos tenemos que encontrar valores aproximados de integralesdeÖnidas. Ya conocemos uno de esos mÈtodos.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 2 / 26
MATE 3032
Recuerde que una integral deÖnida se deÖne como el lÌmite de la suma deRiemann, entonces cualquier suma de Riemann se puede usar como unaaproximaciÛn a la integral. Si se divide [a, b] en n subintervalos de iguallongitud Dx = b!a
n , y se tiene:
R ba f (x) dx #
nÂi=1
f (x$i )Dx
donde x$i es cualquier punto del i-Èsimo intervalo [xi!1, xi ] y se tiene:
R ba f (x) dx # Ln =
nÂi=1f (xi!1)Dx
R ba f (x) dx # Rn =
nÂi=1f (xi )Dx
P. V·squez (UPRM) Conferencia 3 / 26
MATE 3032
R ba f (x) dx # Mn =
nÂi=1f (xi )Dx
Regla del punto medioR ba f (x) dx # Mn =
nÂi=1f (xi )Dx
= Dx [f (x1) + f (x2) + % % %+ f (xn)]donde: Dx = b!a
ny xi = 1
2 (xi!1 + xi )
Otra regla de aproximaciÛn, resulta de tomar el promedio de los extremosizquierdos y extremos derechos:R ba f (x) dx #
12 (Ln + Rn) =
12
$nÂi=1f (xi!1)Dx +
nÂi=1f (xi )Dx
%
= Dx2
nÂi=1[f (xi!1) + f (xi )]
= Dx2 [(f (x0) + f (x1)) + (f (x1) + f (x2)) + % % %+ (f (xn!1) + f (xn))]
P. V·squez (UPRM) Conferencia 4 / 26
MATE 3032
Tn = Dx2 [f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + % % %+ 2f (xn!1) + f (xn)]
Regla del trapecioR ba f (x) dx # Tndonde: Dx = b!a
ny xi = a+ iDx
ErroresSuponga que jf 00 (x)j ( K para a ( x ( b. Si ET y EM son los erroresde las reglas del trapecio y punto medio, respectivamente, entonces:
jET j (K (b! a)3
12n2y jEM j (
K (b! a)3
24n2
P. V·squez (UPRM) Conferencia 5 / 26
MATE 3032
1. Aproxime el valor de la integralR p/20
p1+ cos xdx , n = 4, usando las
reglas del punto medio y trapecio.
Dx = b!an = p/2!0
4 = p/8M4 = Dx [f (x1) + f (x2) + f (x3) + f (x4)]
= p/8 [f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( )]=
p/8& p
1+ cos (p/16) +p1+ cos (3p/16) +
p1+ cos (5p/16)
+p1+ cos (7p/16)
(
= 2.003 216 378
P. V·squez (UPRM) Conferencia 7 / 26
MATE 3032
T4 = Dx2 (f (x0) + 2 (f (x1) + f (x3)) + f (x4))
= p/82 [f ( ) + 2 (f ( ) + f ( ) + f ( )) + f ( )]
=
p/82
0
@p1+ cos (0) + 2
& p1+ cos (p/8) +
p1+ cos (2p/8)
+p1+ cos (3p/8)
(+
p1+ cos (4p/8)
1
A
= p/82 (9.153 170 388+ 1) = 1.993 570 344R 4
0 ln (1+ ex ) dx = 8.804234584
P. V·squez (UPRM) Conferencia 8 / 26
MATE 3032
2. Aproxime el valor de la integralR 40 ln (1+ e
x ) dx , n = 8, usando lasreglas del punto medio y trapecio.
Dx = b!an = 4!0
8 = 1/2M8 = Dx [f (x1) + f (x2) + % % %+ f (x7) + f (x8)]
= 1/2 [f ( ) + f ( ) + % % %+ f ( ) + f ( )]=
1/2&ln"1+ e1/4#+ ln
"1+ e3/4#+ ln
"1+ e5/4#+ ln
"1+ e7/4#+
ln"1+ e9/4#+ ln
"1+ e11/4#+ ln
"1+ e13/4#+ ln
"1+ e15/4#
(
= 1/2 (5. 374 963 658+ 12. 223 460 98) = 8. 799 212 319
P. V·squez (UPRM) Conferencia 9 / 26
MATE 3032
T8 = Dx2 [f (x1) + 2 (f (x2) + % % %+ f (x7)) + f (x8)]
= 1/22 [f ( ) + f ( ) + % % %+ f ( ) + f ( )]
=
1/4
0
@ln"1+ e0
#+ 2
"ln"1+ e1/2#+ ln
"1+ e1
#+ ln
"1+ e3/2##+
2"ln"1+ e2
#+ ln
"1+ e5/2#+ ln
"1+ e3
#+ ln
"1+ e7/2##
+ ln"1+ e4
#
1
A
= 1/4 (8.670 651 080+ 26. 586 460 96) = 8. 814 278 01ln"1+ e0
#+ 2
"ln"1+ e1/2#+ ln
"1+ e1
#+ ln
"1+ e3/2## = 8.
670 651 0802"ln"1+ e2
#+ ln
"1+ e5/2#+ ln
"1+ e3
#+ ln
"1+ e7/2##+
ln"1+ e4
#= 26. 586 460 96
P. V·squez (UPRM) Conferencia 10 / 26
MATE 3032
3. a. Aproxime el valor de la integralR p0 cos xdx , n = 10, usando las
reglas del punto medio y trapecio.b. Estime los errores en la aproximaciÛn de la parte (a).c. Determine el valor de n para que las aproximaciones Tn y Mn a laintegral de la parte a, tengan una aproximaciÛn de 0.00001.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 11 / 26
MATE 3032
Regla de SimpsonEsta mÈtodo utiliza par·bolas en vez de segmentos de recta paraaproximar una curva. Se procede como en los casos anteriores, dividiendoel intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud Dx = b!a
n y seasume que n es un n˙mero par. Luego, en cada par de intervalosconsecutivos se aproxima la curva y = f (x) ) 0 por una par·bola como semuestra en la siguiente Ögura:
Si yi = f (xi ), entonces Pi (xi , yi ) es un punto sobre la curva
P. V·squez (UPRM) Conferencia 13 / 26
MATE 3032
Una par·bola pasa por tres puntos consecutivos Pi ,Pi+1 y Pi+2. ParasimpliÖcar los c·lculos, considere los casos donde: x0 = !h, x1 = 0 yx2 = h, ver la siguiente Ögura:
La ecuaciÛn de la par·bola a travÈsde P0,P1 ,y P2 es de la formay =y representa el ·rea bajo la par·boladesde x = !h a x = h y es:
R h!h"Ax2 + Bx + C
#dx = 2
R h0
"Ax2 + C
#dx = 2
hAx
3
3 + Cxih0
= 2hAh
3
3 + Chi= h
3
"2Ah2 + 6C
#
P. V·squez (UPRM) Conferencia 14 / 26
MATE 3032
Como la par·bola pasa a travÈs de P0(!h, y0),P1(0, y1) y P2(h, y2) , setiene que:
y0 = A(!h)2 + B(!h) + C = Ah2 ! Bh+ Cy1 = C
y2 = Ah2 + Bh+ C
y por lo tanto y0 + 4y1 + y2 = 2Ah2 + 6Cel ·rea bajo la par·bola se puede reescribir como:
h3 (y0 + 4y1 + y2)
De manera similar el ·rea de la par·bola que pasa por los puntos P2,P3 yP4 desde x = x2 a x = x4 es:
h3 (y2 + 4y3 + y4)
Si se contin˙a calculando las ·reas de todas las par·bolas, se obtiene:R ba f (x) dx #h3 (y0 + 4y1 + y2) +
h3 (y2 + 4y3 + y4) + % % %+
h3 (yn!2 + 4yn!1 + yn)
= h3 (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + % % %+ 2yn!2 + 4yn!1 + yn)
P. V·squez (UPRM) Conferencia 15 / 26
MATE 3032
Por lo tanto la regla de Simpson es dada por:R ba f (x) dx # Sn
= Dx3 (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + % % %+ 2yn!2 + 4yn!1 + yn)
donde n es un n˙mero par y Dx =b! an
.
ErroresSuponga que
///f (4) (x)/// ( K para a ( x ( b. Si ES es el error de la regla
de Simpson, entonces:
jES j (K (b! a)5
180n4
P. V·squez (UPRM) Conferencia 16 / 26
MATE 3032
4. Aproxime el valor de la integralR 64 ln
"x3 + 2
#dx , n = 10, usando la
regla Simpson.y su error correspondiente.Dx = b!a
n = 6!410 = 1/5
R 64 ln
"x3 + 2
#dx = 9. 650 525 954
S10 = Dx3 [f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) % % %+ 4f (x9) + f (x10)]
= 1/53 (f ( ) + 4f ( ) + 2f ( ) % % %+ 4f ( ) + f ( ))
=
1/53
0
BBBBBB@
ln"43 + 2
#+ 4 ln
1(21/5)3 + 2
2+ 2 ln
1(22/5)3 + 2
2
+4 ln1(23/5)3 + 2
2+ 2 ln
1(24/5)3 + 2
2+ 4 ln
1(25/5)3 + 2
2
+2 ln1(26/5)3 + 2
2+ 4 ln
1(27/5)3 + 2
2+ 2 ln
1(28/5)3 + 2
2+
4 ln1(29/5)3 + 2
2+ ln
1(6)3 + 2
2
1
CCCCCCA
= 1/53 (48. 847 290 83+ 38. 744 488 89+ 57. 166 104 04) = 9.
650 525 584P. V·squez (UPRM) Conferencia 17 / 26
MATE 3032
5. a. Aproxime el valor de la integralR p0 cos xdx , n = 10, usando la regla
de de Simpson.b. Estime el error en la aproximaciÛn de la parte (a).c. Determine el valor de n para que la aproximaciÛn Sn a la integral de laparte a, tengan una aproximaciÛn de 0.00001.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 19 / 26