MATE 3032 - Recinto Universitario de Mayagüezacademic.uprm.edu/~pvasquez/mate3032/clases1415II/8.3.pdf · ocurre si: m 1d 1 = m 2d 2 Este es un hecho experimental descubierto por

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Dr. Pedro V·squez

UPRM

P. V·squez (UPRM) Conferencia 1 / 32

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Aplicaciones a FÌsica e IngenierÌa

Entre las aplicaciones del c·lculo integral a la fÌsica y la ingenierÌa, seconsideran dos: fuerza debida a la presiÛn de agua y centros de masa.

Fuerza y presiÛn hidrost·ticaBuzos de aguas profundas se dan cuenta de los aumentos de la presiÛn delagua, debido a que bucean m·s profundo. Esto se debe a que el peso delagua aumenta por encima de ellos.En general , supongamos que una placa delgada horizontal con ·rea Ametros cuadrados se sumerge en un áuido de densidad ρ kilogramos pormetro c˙bico a una profundidad d metros por debajo de la superÖcie deláuido como se muestra en la siguiente Ögura:


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El lÌquido sobre la placa tiene volumen V = Ad , por lo que su masa esm = ρV = ρAd . Por lo tanto, la fuerza ejercida por el áuido sobre laplaca es

F = mg = ρgAd

donde g es la aceleraciÛn debido a la gravedad. La presiÛn P sobre laplaca se deÖne como la fuerza por unidad de ·rea:La unidad para medir la presiÛn es newtons por metro cuadrado, lo que sellama un pascal (abreviatura: 1 N / m2 = 1 Pa)?.

P = FA = ρgd


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Como se trata de una pequeÒa unidad, se utiliza a menudo el kilopascal(kPa).Por ejemplo, si la densidad del agua es ρ = 1000 kg / m3, la presiÛn en laparte inferior de una piscina de 2 m de profundidad es?P = ρ gd = 1000 kg / m3 ! 9,8 m / s2 ! 2 m= 19600 Pa = 19.6 kPa

Un principio importante de la presiÛn del áuido es el hecho veriÖcadoexperimentalmente que en cualquier punto en un lÌquido la presiÛn es lamisma en todas las direcciones. (Un buzo siente la misma presiÛn sobre lanariz y ambos oÌdos).AsÌ, la presiÛn en cualquier direcciÛn a una profundidad d en un áuido condensidad de masa ρ est· dada por

P = ρgd = δd


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Esto nos ayuda a determinar la fuerza hidrost·tica contra una placavertical o en la pared o barrera en un áuido.Este no es un problema sencillo, porque la presiÛn no es constante, sinoque aumenta a medida que aumenta la profundidad.

Ejemplo1. Prob. 2, p·g. 560


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2. Prob. 4, p·g. 560


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3. Prob. 9, p·g. 560


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Momentos y Centros de Masa

El objetivo principal es encontrar el punto P en el que una placa delgadade cualquier forma dada se balancea horizontal como en la Figura:.Este punto se denomina el centro de masa (o centro de gravedad) de laplaca.


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Considere en primer lugar la situaciÛn m·s simple se ilustra en la Ögura,donde dos masas m1y m2 est·n unidos a una varilla de masa despreciableen lados opuestos de un punto de apoyo y a distancias d1 y d2 desde elpunto de apoyo.

El balance de la varillaocurre si:

m1d1 = m2d2

Este es un hecho experimental descubierto por ArquÌmedes y se llamÛ laley de la palanca. (Piense en una persona m·s lviana que se equilibra conuna m·s pesado en un sube y baja sentado m·s lejos del centro)Supongamos ahora que la barra se encuentra a lo largo del eje x con m1 enx1 y m2 en x2 y el centro de masa en x .


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Si comparamos las dos siguientes Ögura, se ve que d1 = x " x1 yd2 = x2 " x por lo que la ecuaciÛn 2 da:

(#)


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El n˙meros m1x1 y m2x2 se llaman los momentos de las masas m1 y m2(con respecto al origen), y EcuaciÛn (*) indica que el centro de masa x seobtiene sumando los momentos de las masas y dividiendo por la masatotal m = m1 +m2.En general, si se tiene un sistema de n partÌculas con masas m1,m2, ...,mnsituado en los puntos x1, x2, ..., xn en el Eje x, se puede demostrar demanera similar que el centro de masa del sistema se encuentra en:

donde M =n∑i=1

mixi se llama el momento del sistema con respecto al

origen.


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4. Resolver prob, 22, p·g. 561


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La ˙ltima ecuaciÛn se puede reescribir como mx = M, indica que si lamasa total se considerara concentrada en el centro de masa x , entonces sumomento es el mismo que el momento del sistema.

Ahora considere un sistemade n particulas con masasm1,m2, ...,mn localizadas

en los puntos(x1, y1) , (x2, y2) , $ $ $ , (xn, yn)como se muestra en la Ögura

Por analalogÌa con el caso unidimensional se deÖnen los momentos del

sistema con respecto al eje y: My =n∑i=1

mixi y con respecto al eje x:

Mx =n∑i=1

miyi .

Donde My mide la tendencia del sistema a rotar sobre el eje Y y Mx midela tendencia del sistema a rotar sobre el eje X.


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Entonces las coordenadas del centro de masa en tÈrminos de losmomentos est·n dados por:

x =My

my y =

Mx

m

donde m = ∑mi es la masa total. Como mx = My y my = Mx , el centorde masa (x , y) es el punto donde una particula simpe de masa m tiene losmismos momentos como el sistema.

5. Resolver prob, 24, p·g. 561


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Luego se considera una placa plana (llamada l·mina) con densidaduniforme ρ que ocupa una regiÛn < del plano.Se desea localizar el centro de masa de la placa, que se llama el centroidede <.Al hacerlo se utilizan los siguientes principios fÌsicos: El principio desimetrÌa dice que si < es simÈtrica alrededor de una lÌnea l , luego elcentro de gravedad de < se encuentra en l . ( Si < se reáeja sobre l ,entonces < sigue siendo el mismo por lo que su centro de gravedad semantiene Öjo . Pero los ˙nicos puntos Öjos se encuentran en l).Por ejemplo, el centroide de un rect·ngulo es su centro.

Los momentos se deben deÖnir de modo que si toda la masa de una regiÛnse concentra en el centro de la masa, sus momentos permanecen sincambios.Adem·s, el momento de la uniÛn de dos regiones que no se superponendebe ser la suma de los momentos de cada regiÛn.Supongamos que la regiÛn < es del tipo mostrado en la siguiente Ögura; esdecir, < est· entre las lÌneas x = a y x = b, por encima del eje x, y debajode la gr·Öca de f , donde f es una funciÛn continua.


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Suponga que la regiÛn <es del tipo mostrado en Ögura;esdecir,< est· entre las lÌneasx = a y x = b, sobre el ejex,y debajo de la gr·Öca

de f , que es una funciÛn continua.

Se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos con puntos extremosx0, x1, ..., xn e igual longitud ∆x . Se elige el punto xi que es el puntomedio del i-Èsimo subintervalo, es decir, xi =

xi"1+xi2 .

Esto determina la aproximaciÛn poligonal de < se muestra en la


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Esto determina la aproximaciÛnpoligonal de < como se muestra

en la Ögura

El centro de gravedad del i-Èsimo rect·ngulo Ri es su centroCi!xi , 12 f (xi )

". Su ·rea es f (xi )∆x , por lo que su masa es ρf (xi )∆x .

El momento de Ri sobre el eje y es el producto de su masa y la distanciadesde Ci al eje y, que es xi AsÌ: My (Ri ) = [ρf (xi )∆x ] xi = ρxi f (xi )∆x .


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Sumando estos momentos, se obtiene el momento de la aproximaciÛnpoligonal a < y, tomando el lÌmite cuando n! ∞, se obtiene el momentode la misma < sobre el eje y.

My = limn!∞

n∑i=1

ρxi f (xi )∆x = ρR ba xf (x) dx

De manera similar se calcula el momento de Ri sobre el eje x es elproducto de su masa y la distancia desde Ci al eje y:Myx (Ri ) = [ρf (xi )∆x ] 12 f (xi ) = ρ $ 12 [f (xi )]

2 ∆x .

Sumando estos momentos, se obtiene el momento de la aproximaciÛnpoligonal a < y, tomando el lÌmite cuando n! ∞, se obtiene el momentode < sobre el eje x.

Mx = limn!∞

n∑i=1

ρ $ 12 [f (xi )]2 ∆x = ρ

2

R ba12 [f (x)]

2 dx


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En resumen, el centro de masa del plato (o el centro de gravedad de <) eslocalizado en el punto (x , y) , donde:

Si la regiÛn < est· entre dos curvas y = f (x) y y = g(x), dondef (x) ' g(x), como se ilustra en la Figura, entonces el mismo tipo deargumento que llevÛ a las fÛrmulas anteriroes, se puede utilizar paramostrar que el centroide de < es (x , y) , donde:


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6. Prob. 26 p·g. 561


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7. Prob. 28 p·g. 561


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9. Prob. 45 p·g. 562


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