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MATE 3032
Dr. Pedro V·squez
UPRM
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Series de Maclurin y Taylor
Considere a una funciÛn f , cuya serie de potencias, es:
(1) f (x) =•Ân=0cn (x ! a)n =
c0 + c1 (x ! a) + c2 (x ! a)2 + c3 (x ! a)3 + " " " , jx ! aj < Rel objetivo es obtener los coeÖcientes cn, los cuales deben estar entÈrminos de f y sus derivadas.
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Resolviendo la ecuaciÛn para el coeÖciente n-Èsimo cn, se obtiene:
cn =
esta fÛrmula es v·lida inclusive para n = 0, porque se asume que 0! = 1,esto nos lleva al siguiente resultado:
Sustituyendo la fÛrmula para cn en la serie, y si la serie tiene unaexpansiÛn en x = a, entonces se obtiene:
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que se conoce como la serie de Taylor de la funciÛn f en x = a.Para el caso especial a = 0, la serie de Taylor se convierte en:
que se conoce como la serie de Maclaurin.P. V·squez (UPRM) Conferencia 6 / 32
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Ejemplo1. Halle la serie de Maclaurin de f (x) = ex y halle su intervalo deconvergencia:
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2. Halle la serie de Maclaurin de f (x) = cos x y halle su intervalo deconvergencia:
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Si f tiene derivadas de todos los Ûrdenes, entonces:
entonces como toda serie convergente, f es el lÌmite de la sucesiÛn desumas parciales, y en el caso de la serie de Taylos, las suma parciales son:
observe que Tn (x) es un polinomio de grado n que se conoce como elpolinomio de Taylor de grado n de f en x = a.
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3. La funciÛn exponencial f (x) = ex , tiene como polinomios de Maclaurincon n = 1, n = 2, n = 3 :
T1 (x) = 1+ x
T2 (x) = 1+ x +x2
2!T3 (x) = 1+ x +
x2
2!+x3
3!
En general. f (x) es la suma de su serie de Taylor si:
f (x) = limn!•
Tn (x)
Y se deÖne:
Rn (x) = f (x)! Tn (x)) f (x) = Rn (x) + Tn (x)
entonces Rn (x) se conoce como el residuo de la serie de Taylor.P. V·squez (UPRM) Conferencia 12 / 32
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Si limn!•
Rn (x) = 0, entonces se tiene que:
limn!•
Tn (x) = limn!•
[f (x)! Rn (x)] = f (x)! limn!•
Rn (x) = f (x) ,
por lo tanto se obtiene el siguiente resultado:
TambiÈn es importante considerar el siguiente resultado:
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4. Halle la serie de Maclaurin de f (x) = x cos x y su radio de convergencia
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5. Halle la serie de Taylor de f (x) = 1/x , a = !3 y su radio deconvergencia
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6. Halle la serie de Taylor de f (x) = sin x , a = p/6 y su radio deconvergencia
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La serie de Maclaurin de f (x) = (1+ x)k :
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La notaciÛn tradicional de los coeÖcientes en la serie binomial es:
y se les llama los coeÖcientes binomiales. A continuaciÛn se presenta elsiguiente teorema:
La serie binomial converge si jx j < 1.Converge en x = 1 si !1 < k & 0 y converge en x = '1 si k ( 0
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7. Use la tabla anterior para hallar la SM de f (x) = sin!
p4 x"
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8. Use la tabla anterior para hallar la SM de f (x) =x2p2+ x
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9. Use SM para calcular 1/ 10pe
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10. EvaluateZ cos x ! 1
xdx
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11. Eval˙e limn!•
1! cos x1+ x ! ex
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12. Halle la suma:•
Ân=0
(!1)n p2n
62n (2n)!
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13. Evaluar 1! ln 2+ (ln 2)2
2! ! (ln 2)3
3! + (ln 2)4
4! ! " " "
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