Teorema lui Pitagora: ntr-un triunghi dreptunghic, ptratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma ptratelor lungimilor catetelor.Fiind dat ABC dreptunghic, teorema lui Pitagora se poate scrie astfel: BC2 =AB2 +AC2 Demonstraie 1:Fie triunghiul dreptunghic ABC (m( A)=90). Construim perpendiculara din A pe latura opus BC i fie D piciorul acestei perpendiculare.A

B D

C

Triunghiul ABC fiind dreptunghic putem aplica teorema catetei, de dou ori, pentru fiecare din catetele sale. Pentru cateta AC, obinem: AC2=CDCB (1) Pentru cateta AB, obinem: AB2=DBBC (2) Adunnd relaiile (1) i (2) obinem: AC2+AB2=CDCB+DBBC AC2+AB2=BC(CD+DB) AC2+AB2=BC2(q.e.d) n probleme, teorema lui Pitagora poate fi folosit i pentru determinarea lungimii unei catete i atunci o exprimm astfel:

Ptratul lungimii unei catete este egal cu diferena dintre ptratul lungimii ipotenuzei i ptratul lungimii celeilalte catete. Demonstraie 2:

Aceast imagine ilustreaz una dintre multele demonstraii vizuale. Aceast demostraie este o demonstraie simpl, dar nu i una elementar. Suprafeele ambelor ptrate mari sunt egale cu . Dac suprefeele ptratelor roz, ce reprezint ptratele numerelor i (figura din stnga) sunt substituite cu un ptrat ce reprezint numrul la ptrat, fcndu-se simultan o rearanjare a jumtilor celor dou dreptunghiuri (fiecare fiind format iniial din cte dou triunghiuri dreptunghice, congruente cu cel iniial), se obine figura din dreapta. Suprafeele celor dou ptrate mari sunt identice, ntruct laturile acestora sunt congruente. Calculnd n fiecare caz suprafeele celor dou ptrate, se obine:

(pentru ptratul din stnga) (pentru ptratul din dreapta) Se ajunge aadar la teorema studiat. , ceea ce duce direct la relaia din

Teorema lui Pitagora n spaiuDac ABCDA'B'C'D' este un paralelipiped dreptunghic, cu AB = l (limea), BC = L (lungimea) i AA' = h (nlimea), atunci lungimea diagonalei sale mari, AC' = d, se poate determina prin formula d2 = l2 + L2 + h2.

GeneralizareTeorema lui Pitagora generalizat, numit i Teorema (sau Legea) cosinusului, este valabil n orice triunghi (euclidian) i poate fi exprimat astfel:

unde este unghiul dintre laturile i .