Matemática Financeira Fácil - 14ª Edição

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MATEMÁTICAFINANCEIRA

FÁCIL

Antônio Arnot Crespo

14a ediçãoAtualizada

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ISBN 9788502125384

CIP - BRASIL. CATALOGAÇÃO NA FONTESINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ.

C94m14.ed.Crespo, Antônio Arnot

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Matemática financeira fácil / Antônio Arnot Crespo. – 14.ed. atual. – São Paulo : Saraiva,2009.

Contém exercíciosISBN 9788502125384

1. Matemática financeira. I. Título.

09-2315.CDD: 650.01513

CDU: 51-07

Copyright © Antônio Arnot Crespo2009 Editora SaraivaTodos os direitos reservados.

Diretora editorial: Flávia Helena Dante Alves BravinGerente editorial: Marcio CoelhoEditoras: Rita de Cássia da Silva

Juliana Rodrigues de QueirozProdução editorial: Viviane Rodrigues NepomucenoSuporte editorial: Rosana Peroni FazolariMarketing editorial: Nathalia SetriniAquisições: Gisele Folha MósArte, Produção e Capa: Casa de Idéias

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio

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ou forma sem a prévia autorização da Editora Saraiva.A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei no 9.610/1998e punido pelo artigo 184 do Código Penal.

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APRESENTAÇÃO

Este livro destina-se aos alunos de cursos técnicos (Contabilidade, Administração, Secretariadoetc.) e, também, aos alunos de cursos superiores que necessitem de um estudo introdutório deMatemática Financeira.

Procuramos apresentar os tópicos exigidos para os cursos técnicos da rede de ensino particular eoficial de uma maneira acessível ao aluno, dentro de um esquema de ensino objetivo e prático, semfugir ao necessário rigor matemático.

Com o intuito de aperfeiçoar a obra, promovemos uma importante reformulação, que resultou naatualização do texto e dos assuntos.

No Capítulo 7, apresentamos uma rápida abordagem sobre a Correção Monetária e os váriosPlanos Econômicos.

O estudo é complementado por grande quantidade de exercícios, onde procuramos trabalhar comsituações práticas.

Os exercícios, sempre colocados em pontos estratégicos de cada capítulo, estão divididos em trêsseções:

• Exercícios resolvidos — exemplos para a fixação do assunto estudado;

• Resolva — exercícios de aprendizagem imediata;

• Exercícios — seqüência graduada de exercícios propostos.

No final do livro, colocamos um apêndice com complementos de Matemática, ondeapresentamos assuntos que constituem os pré-requisitos para o entendimento da MatemáticaFinanceira, que poderão ser usados ou não, dependendo exclusivamente da necessidade do aluno. Hátambém uma seção com Tábuas Financeiras e de Logaritmos e tabela para contagem de dias.

Esperamos oferecer aos prezados colegas e aos caros alunos um instrumento útil para oaprendizado da Matemática Financeira.

Aproveitamos para agradecer a todos aqueles que confiaram em nosso trabalho, utilizando estelivro, e, em especial, àqueles que, fazendo suas críticas, deram-nos a oportunidade de melhorá-lo.

Continuamos a acolher os pareceres e sugestões para o aperfeiçoamento deste trabalho.

O autor

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SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 – PROPORÇÕES

1.1 Introdução

1.2 Razões1.2.1 Razão de dois números1.2.2 Razão de duas grandezas

1.3 Proporções1.3.1 Definição1.3.2 Elementos1.3.3 Propriedade fundamental1.3.4 Cálculo de um termo desconhecido1.3.5 Recíproca da propriedade fundamental1.3.6 Transformações

1.4 Série de razões iguais1.4.1 Propriedade fundamental

CAPÍTULO 2 – GRANDEZAS PROPORCIONAIS

2.1 Introdução

2.2 Grandezas diretamente proporcionais2.2.1 Definição2.2.2 Gráfico2.2.3 Propriedade característica2.2.4 Números diretamente proporcionais2.2.5 Propriedade dos números proporcionais

2.3 Grandezas inversamente proporcionais2.3.1 Definição2.3.2 Gráfico2.3.3 Propriedade característica2.3.4 Números inversamente proporcionais

2.4 Grandezas proporcionais a várias outras

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2.4.1 Definição2.4.2 Propriedade

CAPÍTULO 3 – DIVISÃO PROPORCIONAL – REGRA DE SOCIEDADE

3.1 Divisão proporcional3.1.1 Introdução3.1.2 Divisão em partes diretamente proporcionais3.1.3 Divisão em partes inversamente proporcionais3.1.4 Divisão proporcional composta

3.2 Regra de sociedade

CAPÍTULO 4 – REGRA DE TRÊS

4.1 Definição

4.2 Regra de três simples

4.3 Regra de três composta

CAPÍTULO 5 – PERCENTAGEM

5.1 Introdução

5.2 Taxa percentual

5.3 Elementos do cálculo percentual

5.4 Problemas de percentagem

5.5 Taxa unitária

5.6 Fórmula para o cálculo percentual

CAPÍTULO 6 – OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS

6.1 Introdução

6.2 Vendas com lucro6.2.1 Sobre o preço de custo6.2.2 Sobre o preço de venda

6.3 Vendas com prejuízo6.3.1 Sobre o preço de custo6.3.2 Sobre o preço de venda

6.4 Abatimentos sucessivos6.4.1 Fórmula do valor líquido

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7.1 Correção monetária7.1.1 Moeda7.1.2 Inflação7.1.3 Correção monetária

7.2 Os vários planos econômicos7.2.1 O Plano Cruzado7.2.2 O Plano Cruzado Novo ou Plano Verão7.2.3 O Plano Collor7.2.4 O Plano Real

7.3 Câmbio7.3.1 Taxa de câmbio7.3.2 Tabela de taxas de câmbio7.3.3 Conversão de moedas7.3.4 Operação cambial

CAPÍTULO 8 – JURO SIMPLES

8.1 Introdução

8.2 Juro – capital – taxa

8.3 Regimes de capitalização

8.4 Juro simples

8.5 Cálculo do juro simples

8.6 Taxas proporcionais

8.7 Taxas equivalentes

8.8 Juro comercial e juro exato

8.9 Determinação do número exato de dias entre duas datas

8.10 Montante

CAPÍTULO 9 – DESCONTO SIMPLES

9.1 Introdução

9.2 Títulos de crédito

9.3 Desconto

9.4 Desconto comercial9.4.1 Definição

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9.4.2 Valor do desconto comercial9.4.3 Valor atual comercial9.4.4 Taxa de juro efetiva

9.5 Equivalência de capitais

9.6 Desconto racional9.6.1 Definição9.6.2 Valor do desconto racional9.6.3 Valor do desconto racional em função do valor nominal9.6.4 Valor atual racional

CAPÍTULO 10 – JURO COMPOSTO

10.1 Introdução

10.2 Juro composto

10.3 Cálculo do montante

10.4 Determinação do fator de capitalização10.4.1 Calculadora eletrônica10.4.2 Tábua financeira10.4.3 Logaritmos

10.5 Cálculo do capital



10.8 Cálculo da taxa equivalente

10.9 Montante para períodos não-inteiros

10.10 Taxa nominal

10.11 Taxa efetiva

10.12 Taxa real e taxa aparente

CAPÍTULO 11 – DESCONTO COMPOSTO

11.1 Introdução

11.2 Cálculo do valor atual

11.3 Equivalência de capitais diferidos

12

CAPÍTULO 12 – CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTAS

12.1 Introdução

12.2 Rendas

12.3 Capitalização composta12.3.1 Renda imediata12.3.2 Renda antecipada

12.4 Amortização composta12.4.1 Renda imediata12.4.2 Renda antecipada12.4.3 Renda diferida

CAPÍTULO 13 – EMPRÉSTIMOS

13.1 Introdução

13.2 Sistema Francês de Amortização13.2.1 Determinação do saldo devedor13.2.2 Sistema Francês com prazo de carência13.2.3 Sistema Price

13.3 Sistema de Amortização Constante13.3.1 Determinação do saldo devedor13.3.2 Sistema de Amortização Constante com prazo de carência

13.4 Sistema de Amortização Misto

13.5 Empréstimo com correção monetária

APÊNDICE – COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA1. Medidas de tempo

1.1 Transformação de complexo em não-complexo1.2 Transformação de não-complexo em complexo

2. Potenciação2.1 Definição2.2 Bases especiais2.3 Propriedades2.4 Expoentes especiais

3. Funções3.1 Função afim3.2 Função linear

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3.3 Função recíproca3.4 Função exponencial

4. Progressões4.1 Seqüência4.2 Progressão aritmética4.3 Progressão geométrica

5. Logaritmos decimais5.1 Definição5.2 Conseqüências da definição5.3 Propriedades operacionais dos logaritmos5.4 Característica e mantissa

TÁBUAS E TABELAS

RESPOSTAS

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1 PROPORÇÕES

1.1 Introdução

O conceito de proporção tem uma importância muito grande, não apenas em Matemática, comotambém no cotidiano.

Frequentemente empregamos proporções em nosso dia-a-dia, embora sem utilizar símbolosmatemáticos.

Quando fazemos uma justa crítica de uma estátua, dizendo que “ela tem uma cabeça muitogrande”, não estamos nos referindo à medida absoluta da cabeça. Em uma estátua, a cabeça pode ser“muito grande”, mesmo medindo a metade, um quarto ou um décimo da cabeça verdadeira; é “muitogrande” proporcionalmente ao conjunto da própria estátua.

O estudo de proporções é de inestimável valor para nós, já que todos os temas a seremdesenvolvidos neste livro se baseiam nas grandezas proporcionais.

1.2 Razões

1.2.1 Razão de dois números

Razão do número a para o numero b (diferente de zero) é o quociente de a por b.

Indicamos:

ou a : b (lemos: a para b)

Os números a e b são os termos da razão; a é chamado antecedente e b, conseqüente da razão.Exemplos:1. A razão de 3 para 12 é:

15

2. A razão de 20 para 5 é:

3. A razão entre

4. A razão entre e 7 é:

Resolva

1. Calcule a razão entre os números:

a) 256 e 960

b) 1,25 e 3,75

c)

d)

e)

16

1.2.2 Razão de duas grandezas

Razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeiragrandeza e a medida da segunda.

Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade.Neste caso, a razão é um número puro.

Exemplos:1. A razão de 2 m para 3 m é:

2. A razão de 30 dm para 6 m é:

Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende dasunidades das grandezas a partir das quais se determina a razão.

Exemplo:Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto

em percorrê-la é:

Podemos dizer, então, que esse automóvel faz em média 80 km em 1 hora ou 80 km/h.

Resolva

1. Calcule a razão entre as seguintes grandezas:

a) 27 km e 3l de álcool

17

b) 40 g e 5 cm3

c) 24 kg e 80 kg

d) 20 cm e 4 dm

e) 20 d e 2 me 15 d

1.3 Proporções

1.3.1 Definição

Dados quatro números (15, 3, 20 e 4), como a razão entre os dois primeiros números (15 e 3) éigual à razão entre os dois últimos (20 e 4), isto é:

dizemos que os números 15, 3, 20 e 4, nesta ordem, formam uma proporção, que expressamosmediante a igualdade das duas razões:

Assim:

Dados, em uma certa ordem, quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, dizemos que elesformam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre osdois últimos (c e d).

Simbolicamente, representamos uma proporção por:

e lemos: “a está para b, assim como c está para d”.Essas anotações põem em evidência o fato de que uma proporção é uma igualdade entre duas

razões.Exemplos:

1.

18

2.

1.3.2 Elementos

Na proporção:

temos:

1.3.3 Propriedade fundamental

Sejam a, b, c e d números reais diferentes de zero, tais que:

Multiplicando os dois membros da igualdade por bd (produto dos conseqüentes da proporção),obtemos:

Simplificando, temos:

o que nos permite dizer que:

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

19

Exemplo:Dada a proporção:

temos:

Exercício resolvido

1. Verifique se são ou não verdadeiras as seguintes proporções:

a)

b)

Resolução:

a) Temos:6 × 28 = 168 e 7 × 24 = 168 ⇒ 6 × 28 = 7 × 24Logo, é verdadeira.

b) Temos:2 × 15 = 30 e 3 × 12 = 36 ⇒ 2 × 15 ≠ 3 × 12Logo, é falsa.

Resolva

1. Aplicando a propriedade fundamental, verifique se são ou não proporções as seguintesexpressões:

20

a)

b)

c)

d)

1.3.4 Cálculo de um termo desconhecido

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, é sempre possível determinar o valor deum termo qualquer quando são conhecidos os outros três.


1. Calcule x nas proporções:

a)

b)

Resolução:

a) Temos, aplicando a propriedade fundamental:

Logo:× = 80

b) Temos:

21

Logo:

Resolva

1. Calcule x, sabendo que:

a)

b)

c)

1.3.5 Recíproca da propriedade fundamental

Consideremos quatro números reais quaisquer (a, b, c e d), diferentes de zero, tais que o produtode dois deles seja igual ao produto dos outros dois, isto é:

ad = bc

Dividindo ambos os membros dessa igualdade pelo produto de um dos fatores do primeiromembro por um dos fatores do segundo (por exemplo, db), temos:

o que nos permite escrever:

que é uma proporção formada pelos números dados.

22

Podemos, então, concluir que:

Dados quatro números reais e diferentes de zero, tais que o produto de dois deles seja igual aoproduto dos outros dois, esses números formam uma proporção que tem para extremos osfatores de um dos produtos e para meios os fatores do outro.

Simbolicamente:

NOTA:• Observe que da igualdade ad = bc podemos, por um processo análogo, obter as proporções:

Exercícios resolvidos

1. Escreva os produtos 11 × 30 = 15 × 22 sob a forma de uma proporção.Resolução:Temos, pela recíproca da propriedade fundamental:

2. Comprove se os números 3, 7, 15 e 35, não obrigatoriamente nesta ordem, formam umaproporção e, em caso afirmativo, escreva-a.Resolução:Temos:

23

3 × 35 = 105 e 7 × 15 = 105 ⇒ 3 × 35 = 7 × 15Logo:

Resolva

1. Escreva sob a forma de uma proporção os produtos:

a) 6 × 25 = 5 × 30

b)

2. Comprove se os números a seguir, não obrigatoriamente na ordem dada, formam proporção;em caso afirmativo, escreva-a:

a) 8, 4, 4 e 3

b) 2, 3, 4 e 6

c)

1.3.6 Transformações

Transformar uma proporção é escrever seus termos em uma ordem diferente da original.As transformações permitidas em uma proporção são aquelas em que dispomos seus termos de

modo que a igualdade dos produtos dos extremos e dos meios não sofra alteração.Assim, dada a proporção:

temos:

• alternando os extremos:

• alternando os meios:

24

• invertendo os termos:

• transpondo as razões:

NOTA:• É fácil perceber que podemos obter oito proporções, distintas duas a duas.

Resolva

1. Escreva de oito maneiras diferentes a proporção

1.4 Série de razões iguaisConsiderando as razões:

vemos que todas são iguais a 2. Logo, podemos escrever:

Essa expressão é denominada série de razões iguais ou proporção múltipla.Em símbolos:

25

NOTA:• A proporção é o caso particular em que a série de razões se reduz a duas razões.

1.4.1 Propriedade fundamental

Seja a série de razões iguais:

Fazendo a razão comum igual a k, obtemos:

onde:

a = bk, c = dk, …, m = nk

Somando membro a membro essas igualdades, vem:

a + c + … + m = bk + dk + … + nk

Pondo k em evidência, temos:

a + c + … + m = k (b + d + … + n)

onde:

Como:

podemos escrever:

26

Assim:

Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentesassim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente.

Exemplo:


1. Calcule x, y e z, sabendo que x + y + z = 420.

Resolução:Temos, pela propriedade fundamental da série de razões iguais:

Como x + y + z = 420, podemos escrever:

Daí:

27

Logo:

x = 108, y = 132 e z = 180

2. Determine os antecedentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 47 e que osconseqüentes são 2 e 8.Resolução:Temos, chamando de x e y os antecedentes:

Pela propriedade fundamental da série de razões iguais, podemos escrever:

Como x + y = 60, vem:

Daí:

9,4 + 37,6 = 47,0

Logo, os antecedentes são 9,4 e 37,6, respectivamente.

3. Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que a razão entre eles é .

Resolução:Temos, chamando de x e y esses números:

Alternando os meios, essa proporção pode ser escrita assim:

28

Pela propriedade fundamental da série de razões iguais, podemos escrever:

Como x + y = 60, vem:

Daí:

Logo, os números pedidos são 24 e 36.

Resolva

1. Calcule a, b e c, sabendo que a + b + c = 180 .

2. Determine os conseqüentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 60 e que osantecedentes são 108 e 72.

3. Determine dois números, sabendo que a razão entre eles é e que sua soma é 30.

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Exercícios

1. Determine a razão entre os números:

a) 226 e 1.017

b) 1,25 e 0,75

c)

d)

2. Calcule a razão entre as seguintes grandezas:

a) 80 m e 48 dam

b) 150 m2 e 45 ares

c) 0,725 m3 e 5.000 l

d) 9 d 17 h 20 min e 8 d 12 h 10 min*

3. Verifique se a razão de 6 me 20 d para 3 a 5 me 20 d é igual à razão de 640 l para 2 m3.

4. Verifique se as seguintes expressões formam proporção:

a)

b)

c)

5. Escreva os produtos abaixo sob forma de proporção:

30

a)

b)

6. Verifique se os quatro números formam uma proporção; em caso afirmativo, escreva aproporção correspondente:

a) 8, 5, 16 e 10

b)

c) 3, 5, 8 e 10

7. Calcule o valor de x na proporção:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

31

h)

8. Escreva uma razão igual a , cujo antecedente seja .

9. Escreva uma razão igual a , cujo consequente seja .

10. Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a e cujos consequentes sejam 28 e 36.

11. Calcule x e y, sabendo que:

a)

b)

c)

12. Calcule dois números, sabendo que sua soma é 169 e que a razão é .

13. Dois números, cuja soma é 28, guardam entre si a relação . Quais são esses números?

14. Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação . Quais são esses números?

15. A idade de um pai está para a de seu filho como 7 está para . Se a soma das idades é 52, quala idade de cada um?

16. Decomponha o número em duas partes, tais que a razão entre elas seja .

17. Qual é o número que, aumentado de 2 unidades, está para 5 assim como 28 está para 20?

32

18. Qual é o numero que, diminuído de 3 unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 estápara 6?

19. A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. Adiferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números?

20. A importância de R$ 588,00 foi dividida entre três pessoas. Sabendo que a parte da primeiraestá para a da segunda como 5 para 7, e que a parte da segunda está para a da terceira como 7para 9, determine as três partes.

33

2 GRANDEZAS PROPORCIONAIS

2.1 IntroduçãoA maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas relacionadas

de tal forma que, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra.Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros

percorridos. O tempo gasto numa construção depende do número de operários empregados.A relação entre duas grandezas variáveis estabelece a lei de variação dos valores de uma delas

em relação à outra. Segundo tal lei, as grandezas relacionadas podem ser direta ou indiretamenteproporcionais.

2.2 Grandezas diretamente proporcionais

2.2.1 Definição

Uma barra de alumínio de 100 cm3 de volume pesa 270 g; nas mesmas condições, uma barra de200 cm3 pesará 540 g e uma de 300 cm3, 810 g. Podemos, então, escrever a seguinte tabela:

Examinando a tabela, vemos que a grandeza massa depende da grandeza volume, já queaumentando uma (volume), a outra (massa) também aumenta. Além disso, notamos que:

Chamando de x a grandeza volume e de y a grandeza massa, temos: y x

ou

y = 2,7x

Dizemos, neste caso, que as seqüências de números** (100, 200, 300, 500) e (270, 540, 810,

34

1.350) são diretamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são diretamenteproporcionais e 2,7 é a razão ou coeficiente de proporcionalidade.

Assim:

Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais (ou, simplesmente, proporcionais) seos valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo:

y = kx,onde k é um número real constante, diferente de zero.

2.2.2 Gráfico

Como a função do tipo y = kx é uma função linear,*** o gráfico que representa aproporcionalidade direta de duas grandezas é uma reta passando pela origem. De fato, lembrandoque para x = 0 temos y = 0:

2.2.3 Propriedade característica

Sendo (x1, y1) e (x2, y2) pares de valores correspondentes de duas grandezas proporcionais,podemos escrever:

Alternando os extremos, obtemos:

35

que nos dá a propriedade característica das grandezas diretamente proporcionais:

Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas éigual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.

NOTAS:• A proporcionalidade entre duas grandezas, quando não resultante de uma dedução lógica ou

de uma definição, só existe dentro de certos limites. Assim, na compra por atacado, porexemplo, o preço por unidade é menor do que nas compras a varejo.

• Para caracterizarmos a proporcionalidade de duas grandezas não é suficiente verificar se oaumento de uma delas acarreta o aumento da outra. É necessário que, ao multiplicarmos umadelas por um número real k diferente de zero, a grandeza correspondente também fiquemultiplicada por k. Por exemplo, o lado de um quadrado e a sua área não são grandezasproporcionais, pois, multiplicando-se o lado por 2, a área fica multiplicada por 4.

2.2.4 Números diretamente proporcionais

As sequências de números reais e não-nulos (a1, a2, …, an) e (b1, b2, … …, bn) são diretamenteproporcionais (ou, simplesmente, proporcionais) se, e somente se:

ou, então:

a1 = kb1, a2 = kb2, …, an = kbn

36

NOTA:

• É indiferente dizermos que duas sequências de números A e B são diretamente proporcionaisou que os números das sequências A e B são diretamente proporcionais.


1. O comprimento de uma peça de tecido e seu preço são grandezas diretamente proporcionais?Por quê?Resolução:Sim, porque multiplicando-se o comprimento da peça por um número diferente de zero, opreço fica multiplicado por esse número.

2. Verifique se são diretamente proporcionais as sequências de números (6, 9, 12, 15) e (2, 3, 4,5).Resolução:Temos:

Logo, essas sequências de números são diretamente proporcionais e a razão deproporcionalidade é 3.

3. Os números das sequências (6, 9, 20) e (2, 3, 6) são proporcionais?Resolução:Temos:

Logo, esses números não são proporcionais.

4. Sendo x e y grandezas diretamente proporcionais, calcule os valores de a e b:

37

Resolução:Sendo k a razão de proporcionalidade, temos:

Logo:

Assim:

a = 27 e b = 13

Resolva

1. O número de dias gastos na construção de um muro é diretamente proporcional ao número deoperários empregados nesse serviço? Por quê?

2. Verifique se são ou não proporcionais os números das sequências:

a) (40, 38, 35) e (8, 7, 5)

b) (5, 6, 7) e (75, 90, 105)

3. Qual é a razão de proporcionalidade entre as sequências de números diretamenteproporcionais (5, 8, 11) e (40, 64, 88)?

4. Determine os valores de a e b nas sequências de números proporcionais (6, a, 21) e (2, 5, b).

38

2.2.5 Propriedade dos números proporcionais

Dadas duas sequências de números proporcionais, multiplicando-se todos os elementos de umadas sequências por um número qualquer diferente de zero, a nova sequência continua sendoproporcional à outra.

Consideremos as sequências de números (5, 7, 9) e (15, 21, 27).Temos:

Logo, essas sequências de números são diretamente proporcionais.Multiplicando por 6 os elementos de qualquer uma das sequências (por exemplo, os da primeira),

as razões ficam multiplicadas por 6 mas continuam iguais, isto é:

o que nos mostra que as sequências (30, 42, 54) e (15, 21, 27) continuam sendo proporcionais.


1. Quais os menores números inteiros proporcionais aos números Resolução:Vamos multiplicar cada um dos números dados pelo menor múltiplo comum dosdenominadores. Como o m.m.c. (3, 4, 6) = 12, temos:

Logo, os números pedidos são 8, 9 e 2.

39

Resolva

1. Dados os números , determine os três menores números inteiros proporcionais a essesnúmeros.

2.3 Grandezas inversamente proporcionais

2.3.1 Definição

Uma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião, a uma velocidade de 100 km/h, em12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas.Podemos, então, escrever a tabela:

Vemos que, também aqui, a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que aumentandoa velocidade o tempo diminui. Porém, agora temos:

12 × 100 = 6 × 200 = 4 × 300 = 3 × 400 = 1.200

ou:

Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos:

yx = 1.200

ou:

Dizemos, então, que as sequências de números (100, 200, 300, 400) e (12, 6, 4, 3) sãoinversamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são inversamente proporcionais e1.200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade.

40

Assim:

Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais se os valores correspondentes x e ysão expressos por uma função do tipo:

onde k é um número real constante, diferente de zero.

2.3.2 Gráfico

Sendo a função do tipo uma função recíproca,* o gráfico representativo daproporcionalidade inversa de duas grandezas é um ramo de uma hipérbole:

2.3.3 Propriedade característica

Sendo (x1, y1) e (x2, y2) pares de valores correspondentes de duas grandezas inversamenteproporcionais, podemos escrever:

x1y1 = x2y2

ou:

41

que nos dá a propriedade característica das grandezas inversamente proporcionais:

Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas éigual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra.

2.3.4 Números inversamente proporcionais

As sequências de números reais e não-nulos (a1, a2, …, an) e (b1, b2, …, bn) são inversamenteproporcionais se, e somente se:

a1b1 = a2b2 = … = anbn = k’ (constante)

ou, então:

NOTA:

• Se , então as sequências (a1, a2, …, an) e são diretamenteproporcionais. Logo, se os números da sequência (a1, a2, …, an) são inversamenteproporcionais aos da sequência (b1, b2, …, bn), então os primeiros são diretamenteproporcionais aos inversos dos números da segunda.

42


1. O número de dias gastos na execução de uma obra é direta ou inversamente proporcional aonúmero de máquinas empregadas na obra? Por quê?Resolução:É inversamente proporcional, porque, ao multiplicarmos o número de máquinas por umnúmero qualquer diferente de zero, o número de dias necessários para a execução da obra ficadividido por esse número.

2. Verifique se são ou não inversamente proporcionais as sequências de números:

a) (2, 3, 6, 10) e (45, 30, 15, 9)

b) (2, 5, 8) e (40, 30, 20)

Resolução:

a) Temos:

2 × 45 = 3 × 30 = 6 × 15 = 10 × 9 = 90Logo, são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade é 90.

b) Temos:

2 × 40 ≠ 5 × 30

Logo, não são inversamente proporcionais.

3. Determine os valores de a e b nas seqüências de números inversamente proporcionais (2, 3, b)e (15, a, 5).Resolução:Temos:

k′ = 2 × 15 ⇒ k′ = 30

Daí:

43

Logo:

a = 10 e b = 6

Resolva

1. Dê um exemplo de grandezas inversamente proporcionais.

2. Verifique se são ou não inversamente proporcionais as sequências de números:

a) (20, 12, 10) e (6, 10, 12)

b) (1, 2, 5) e (4, 8, 20)

3. Qual é o fator de proporcionalidade entre as sequências de números inversamenteproporcionais (1, 3, 5) e (60, 20, 12)?

4. Sabendo que os números das sequências (1, a, –4) e (4, 2, b) são inversamente proporcionais,determine a e b.

2.4 Grandezas proporcionais a várias outras

2.4.1 Definição

Uma grandeza pode ser proporcional a duas ou mais grandezas, isoladamente. Por exemplo, onúmero de dias necessários para construir um muro depende não apenas do número de operários,mas também do número de horas de trabalho diário dos operários, das dimensões do muro etc.

Dizemos que uma grandeza é proporcional a várias outras se é direta ou inversamenteproporcional a cada uma delas quando as demais não variam.

Em particular, uma grandeza x é proporcional a duas outras y e z quando, fixando uma destasúltimas, a grandeza x varia proporcionalmente à outra.

44

2.4.2 Propriedade

Se uma grandeza variável é ao mesmo tempo diretamente proporcional a algumas grandezas einversamente proporcional a outras, então cada valor dessa grandeza é proporcional ao produtodos valores correspondentes das grandezas diretamente proporcionais, multiplicado peloproduto dos inversos dos valores correspondentes das grandezas inversamente proporcionais.

Seja X uma grandeza proporcional às grandezas A e B e, ao mesmo tempo, inversamenteproporcional às grandezas C e D. Se x, a, b, c e d são valores correspondentes dessas grandezas,pela definição existe uma constante k, diferente de zero, tal que:

ou:

Então, sendo x1, al, b1, c1, d1 e x2, a2, b2, c2, d2 valores correspondentes das grandezas X, A, B, Ce D, temos:

Daí:

ou:

45

Exercícios

1. Uma fração é direta ou inversamente proporcional ao seu numerador? Por quê?

2. Uma fração é direta ou inversamente proporcional ao seu denominador? Por quê?

3. A soma de dois números é diretamente proporcional a cada uma das parcelas? Por quê?

4. A diferença entre dois números é inversamente proporcional ao subtraendo? Por quê?

5. O produto de dois números é direta ou inversamente proporcional a cada um de seus fatores?Por quê?

6. O quociente é direta ou inversamente proporcional ao divisor? Por quê?

7. Diga se são direta ou inversamente proporcionais as seguintes grandezas:

a) quantidade de metros de arame e preço

b) velocidade e tempo

c) tempo e número de operários empregados para um determinado serviço

d) salário e número de horas de trabalho

e) quantidade de alimento e número de pessoas a serem alimentadas

8. Dê exemplos de:

a) grandezas diretamente proporcionais;

b) grandezas inversamente proporcionais.

9. Verifique se são ou não proporcionais as seguintes sucessões de números; em caso afirmativo,determine o coeficiente de proporcionalidade:

a) 120, 180 e 375

48, 72 e 150

b) 0,24; 0,21 e 0,15

46

0,8; 0,7 e 0,05

10. Verifique se são ou não inversamente proporcionais as sucessões de números a seguir; em casoafirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade:

a) 90, 60 e 4528, 42 e 56

b) 0,45; 0,12 e 0,03510,5; 2,8 e 36

11. Determine o fator de proporcionalidade entre as seguintes sucessões de númerosproporcionais:

a) 4, 16 e 2012, 48 e 60

b)

12. Determine o coeficiente de proporcionalidade entre as seguintes sucessões de númerosinversamente proporcionais:

a) 6, 10 e 520, 12 e 24

b) 42, 35 e 32

13. Determine os valores de x, y e z nos seguintes grupos de números diretamente proporcionais:

a) x y 0,72 5 2

b)

14. Determine os valores de m, n e p nos seguintes grupos de números inversamenteproporcionais:

47

a) 5 n p 7m 4 14 8

b) m n 9 1

15. Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números:

a)

b) 0,5; 2,37; 0,8 e 3,4

16. Quais os menores números inteiros inversamente proporcionais aos números 3, 4, 5 e 8?

48

3 DIVISÃO PROPORCIONAL – REGRA DESOCIEDADE

3.1 Divisão proporcional

3.1.1 Introdução

Suponhamos que Antônio, José e Pedro tenham se associado para comprar um terreno no valor deR$ 60.000,00. Antônio entrou com R$ 30.000,00, José com R$ 20.000,00 e Pedro com R$10.000,00. Algum tempo depois, venderam esse terreno por R$ 90.000,00. Qual é a parte que cabe acada um deles?

Por convenção, a cada real empregado na compra do terreno deve corresponder a mesma quantiaresultante da venda, isto é, uma quota. Essa quota é, na verdade, o quociente do preço de venda pelopreço de compra:

Logo, os três sócios devem receber as seguintes quantias:

• Antônio: 30.000,00 × 1,5 = R$ 45.000,00

• José: 20.000,00 × 1,5 = R$ 30.000,00

• Pedro: 10.000,00 × 1,5 = R$ 15.000,00Escrevendo as razões entre as quantias recebidas e empregadas individualmente, obtemos:

A igualdade entre essas razões mostra que as quantias que os sócios receberam na venda sãonúmeros proporcionais às quantias empregadas na compra do terreno. Assim, concluímos que oproduto da venda foi dividido em três partes proporcionais às partes da compra.

Podemos, então, afirmar que:

Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em

49

parcelas proporcionais a esses números.

3.1.2 Divisão em partes diretamente proporcionais

Suponhamos que você queira dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e11. Isso significa dividir o número 180 em três parcelas, tais que a razão da primeira parcela para onúmero 2 seja igual à razão da segunda parcela para o número 5 e igual à razão da terceira parcelapara o número 11. Assim, chamando de x, y e z, respectivamente, cada uma dessas parcelas,devemos verificar que:

Além disso, como x, y e z são as parcelas em que dividimos o número 180, devemos ter:

x + y + z = 180

Como (1) é uma série de razões iguais, podemos escrever, pela propriedade (p. 11):

ou:

Como , temos:

Daí:

Sendo 20 + 50 + 110 = 180, concluímos que as partes procuradas são:

20, 50 e 110.

50

NOTA:

• Por convenção, chamamos, simplesmente, de divisão proporcional a divisão diretamenteproporcional.


1. Divida o número 70 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 5.Resolução:Indicando as partes por x, y e z, devemos ter:

Como:

vem:

Logo, as partes procuradas são:

14, 21 e 35

51

Resolva

1. Divida o número 2.990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11.


1. Divida 184 em partes diretamente proporcionais a , e .Resolução:De acordo com a propriedade dos números proporcionais (p. 19), multiplicando todos os

números da sequência , e pelo m.m.c. dos consequentes (12), obtemos uma sequência denúmeros inteiros que mantém a proporcionalidade e facilita os cálculos:

Resulta, então:

Como:

vem:

52

Logo, podemos afirmar que as partes são:

48, 64 e 72

Resolva

1. Divida 183 em partes proporcionais a , e .

2. Dois operários contratam um serviço por R$ 180,00. Como devem repartir essa quantia, se umtrabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo deserviço?

3.1.3 Divisão em partes inversamente proporcionais

Suponhamos, agora, que você queira dividir o número 210 em partes inversamente proporcionaisa 3, 5 e 6. Isso significa dividir o número 210 proporcionalmente aos inversos dos números 3, 5 e 6,isto é, determinar parcelas x, y e z, tais que:

Como o m.m.c. (3, 5, 6) = 30, temos:

Logo:

Como:

53

vem:

Logo, as partes procuradas são:

100, 60 e 50

Resolva

1. Divida o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.

2. Um pai deixou R$ 2.870.000,00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversadas suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um?

3.1.4 Divisão proporcional composta

Neste caso, o problema consiste em dividir um número em partes direta ou inversamenteproporcionais a certos números a, b, c e, simultaneamente, em partes direta ou inversamenteproporcionais a outros tantos números a’, b’, c’.

Tomando por base o que vimos sobre grandezas proporcionais a várias outras, podemos achar oprocesso de resolução do problema.

Consideremos, para efeito de raciocínio, o caso da divisão da grandeza de valor n em partesproporcionais aos números a, b, c e também aos números a’, b’, c’, respectivamente.

Sejam x, y, z os valores das partes pedidas. Como x, y, z são proporcionais a a, b, c e também aa’, b’, c’, são grandezas compostas; portanto, são proporcionais, respectivamente, aos produtos aa’,bb’, cc’ (p. 26).

Resulta, então, a seguinte estrutura:

54


1. Divida 392 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e a 3, 5, 7.Resolução:Temos:

Logo, as partes são:

48, 120 e 224

2. Divida 175 em partes diretamente proporcionais a , 3, 4 e, ao mesmo tempo, inversamente

proporcionais a , 6, 2.Resolução:Temos:

Daí:


70, 21 e 84

55

Resolva

1. Divida o número 2.190 em três partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionaisa 2, 3, 5 e a 6, 7, 8.

2. Divida 6.050 em três partes que sejam, a um tempo, inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 ediretamente proporcionais a 4, 6 e 9.

3. Divida 292 em três partes ao mesmo tempo inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 e a 4, 6 e 9.


1. Divida 363 em três partes, de modo que a segunda seja o dobro da primeira e a terceira oquádruplo da segunda.Resolução:Considerando a primeira parte proporcional a 1, temos:

1a → 1

2a → 2 × 1 = 2

3a → 4 × 2 = 8

Como o problema resulta em dividir 363 em partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 8,temos:


56

33, 66 e 264

3.2 Regra de sociedade

A regra de sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional. Tem por objeto a divisãodos lucros ou dos prejuízos entre as pessoas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião doBalanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída de um dos sócios ou da admissão deum novo sócio.

Por convenção, o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos capitais queempregaram, levando-se em conta as condições estipuladas no contrato social.

Classicamente, há quatro casos a considerar:1o) Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo.A fim de obtermos a parte de cada sócio, dividimos o lucro ou o prejuízo pelo número deles.Exemplo:Três sócios obtiveram um lucro de R$ 222.600,00. Sabendo que seus capitais eram iguais, vamos

determinar a parte de cada um nos lucros:

Logo, a parte de cada um no lucro é de:

R$ 74.200,00

2o) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo.Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais dos

sócios.Exemplo:Por ocasião do Balanço anual de uma firma comercial formada por três sócios, verificou-se um

prejuízo de R$ 27.000,00. Vamos determinar a parte correspondente a cada sócio, sabendo que seuscapitais são de R$ 540.000,00, R$ 450.000,00 e R$ 360.000,00:

Logo, o prejuízo correspondente a cada sócio é, respectivamente, de:R$ 10.800,00, R$ 9.000,00 e R$ 7.200,003o) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais.Teoricamente, o lucro ou o prejuízo correspondente a cada sócio seria determinado dividindo-se

o lucro ou o prejuízo da sociedade em partes diretamente proporcionais aos tempos.Porém, na prática este caso não ocorre porque, em uma sociedade, os sócios não podem

57

permanecer por tempos desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio éadmitido, procede-se a uma reforma do contrato social, após o Balanço, calculando-se o Ativo e oPassivo.

4o) Os capitais são desiguais e empregados durante tempos também desiguais.Teoricamente, as partes do lucro ou do prejuízo seriam diretamente proporcionais aos produtos

dos capitais pelos respectivos tempos.Também neste caso vale a observação feita para o caso anterior.

NOTA:• Não devemos confundir este caso com aquele em que os sócios integralizam suas quotas de

capital em épocas diferentes.


1. Antônio e José organizaram uma firma comercial com um capital social de R$ 2.000.000,00,devendo cada um deles entrar com R$ 1.000.000,00. No ato da organização, 1o de março,Antônio integralizou sua quota e José contribuiu com apenas R$ 700.000,00,responsabilizando-se por integralizar sua quota após 5 meses. Em 31 de dezembro foiprocedido o Balanço, tendo sido apurado um lucro de R$ 740.000,00. Qual a parte a sercreditada a cada sócio?Resolução:Antônio, tendo integralizado seu capital de R$ 1.000.000,00 em 1o de março, terá um lucrodiretamente proporcional a esse capital durante os 10 meses (1o de março a 31 de dezembro),isto é, diretamente proporcional a 1.000.000,00 × 10 ou 10.000.000,00.José, tendo completado seu capital em 1o de agosto, terá uma parte do seu lucrocorrespondente a R$ 700.000,00 durante 10 meses (1o de março a 31 de dezembro) e outrarelativa aos restantes R$ 300.000,00 durante 5 meses (1o de agosto a 31 de dezembro); aprimeira é diretamente proporcional a 700.000,00 × 10 ou 7.000.000,00 e a segunda, a300.000,00 × 5 ou 1.500.000,00. Assim, seu lucro é diretamente proporcional a 7.000.000,00+ 1.500.000,00 = 8.500.000,00.Temos, então:

58

Logo, a Antônio devem ser creditados R$ 400.000,00 e a José, R$ 340.000,00.

Exercícios

1. Divida o número 870 em partes diretamente proporcionais aos números 7, 10 e 12.

2. Divida 3.751 em partes diretamente proporcionais a , e .

3. Divida o número 325 em partes diretamente proporcionais aos números 0,4; 1,2 e 3,4.

4. Divida o número 870 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 9.

5. Divida o número 3.161 em partes inversamente proporcionais a , e .

6. Decomponha 760 em partes inversamente proporcionais a 0,4; 3,2 e 6,4.

7. Divida o número 414 em partes diretamente proporcionais a 4, 8 e 10 e a 5, 6 e 7, ao mesmotempo.

8. Divida o número 1.842 em partes diretamente proporcionais, simultaneamente, aos números 3,

5 e 9 e , e .

9. Divida o número 330 em partes inversamente proporcionais, simultaneamente, aos números 3,2 e 8 e 2, 4 e 6.

10. Divida o número 1.080 em partes diretamente proporcionais a e e inversamenteproporcionais a 5 e 6, ao mesmo tempo.

59

11. Três técnicos receberam ao todo R$ 2.550,00. O primeiro trabalhou 15 dias à razão de 6 horaspor dia; o segundo, 25 dias à razão de 4 horas por dia; e o terceiro, 30 dias à razão de 5 horaspor dia. Quanto recebeu cada um deles?

12. Uma pessoa, ao morrer, deixou a herança de R$ 21.720.000,00 para ser repartida entre três

herdeiros, ao mesmo tempo, em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e e inversamente a

, e .

13. Para a execução de um serviço, foram empregados 12 homens, 20 mulheres e 30 menores.

Sabendo que o pagamento total foi de R$ 16.200,00, que cada mulher recebeu da quantia de

um homem e que cada menor recebeu da quantia de cada mulher, quanto recebeu cadahomem, cada mulher e cada menor?

14. Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 18.000,00, R$ 22.500,00 e R$27.000,00 e obtiveram um lucro líquido de R$ 27.000,00. Qual será a parte de cada um?

15. Três sócios realizaram um capital de R$ 240.000,00. Sabendo que, ao fim de um certo períodode tempo, tiveram de lucro, respectivamente, R$ 24.000,00, R$ 22.000,00 e R$ 18.000,00,qual era o capital de cada um?

16. Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de R$ 90.000,00 e R$ 76.000,00,respectivamente. A primeira recebeu, na divisão do lucro, R$ 1.722,00 a mais que a segunda.Calcule o lucro de cada uma delas.

17. Dois sócios fundaram uma sociedade com um capital de R$ 720.000,00. No momento deliquidar a sociedade, o primeiro recebeu capital mais lucro num total de R$ 207.000,00.Sabendo que o lucro total foi de R$ 108.000,00, qual o capital de cada sócio?

18. Três sócios devem repartir entre si o lucro de R$ 1.012.500,00. O primeiro sócio entrou paraa sociedade com o capital de R$ 450.000,00 e o segundo, com R$ 675.000,00. O lucro doterceiro foi de R$ 450.000,00. Com quanto o terceiro sócio entrou para a sociedade e qual foio lucro dos outros dois?

19. Três sócios organizaram uma sociedade em 1o de janeiro, comprometendo-se, cada um, aempregar um capital de R$ 117.000,00. Nesse dia, o primeiro entrou com R$ 93.600,00, osegundo com a metade e o terceiro integralizou a sua parte. Em 1o de março o primeiro

60

completou seu capital e o segundo só o fez em 1o de maio. No dia 31 de dezembro foiencerrado o Balanço, tendo sido verificado um lucro de R$ 163.800,00. Qual o lucro de cadasócio?

20. Uma empresa, organizada por três sócios em 1o de maio, deu um lucro de R$ 688.000,00,apurado em 31 de dezembro. O capital social de R$ 3.000.000,00 foi dividido em partesiguais. O segundo sócio, tendo entrado com R$ 600.000,00, só integralizou o seu capital em 15de julho. O terceiro, que havia entrado com a metade, completou a sua parte em 1o de agosto.Quanto recebeu cada sócio?

61

4 REGRA DE TRÊS

4.1 Definição

Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ouinversamente proporcional a uma ou mais grandezas.

Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e acomposta, que envolve mais de duas grandezas.

4.2 Regra de três simplesNeste caso, são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual corresponde a

um dos valores da primeira grandeza. Devemos, então, obter o valor da segunda grandeza quecorresponde ao segundo valor da primeira.*


1. Comprei 6 m de tecido por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8 m?Resolução:Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido. Se o comprimentofor multiplicado por 2, 3, …, o preço ficará multiplicado por 2, 3, … Podemos, então,concluir que estamos trabalhando com grandezas diretamente proporcionais.Chamando de x o valor que desejamos conhecer (preço de 8 m de tecido), dispomos, em umaprimeira linha horizontal, os valores conhecidos das duas grandezas que se correspondem e,em uma segunda linha, o outro valor conhecido da primeira e o x, que representa o valorcorrespondente da segunda e que se quer conhecer:

62

Comprimento (m) Preço (R$)

6 15

8 x

Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra o x, com a ponta voltadapara ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo,colocaremos uma segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim:

Armamos a proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas:

e determinamos o valor de x:

Logo, o preço procurado é:

R$ 20,00

NOTAS:• É importante observar que as quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser

expressas na mesma unidade de medida.• Quando as grandezas que figuram no problema são diretamente proporcionais, dizemos que a

regra de três é direta.

2. Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesmaobra?Resolução:Temos:

63

Operários Dias

6 10

20 x

Se o número de operários for multiplicado por 2, 3, …, o número de dias ficará dividido por2, 3, …, respectivamente.* Logo, as grandezas relacionadas são inversamente proporcionais.Assim, a coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna éassinalada com uma segunda seta vertical, de sentido contrário ao da primeira:

Em seguida, invertemos os valores da coluna do número de operários (por ser uma grandezainversamente proporcional à de número de dias):

Daí:

Logo, serão necessários:

3 dias

NOTAS:• Quando as grandezas que figuram no problema são inversamente proporcionais, dizemos que

a regra de três é inversa.• Convém observar que, nos problemas de Matemática, geralmente são consideradas condições

iguais. No problema 2, por exemplo, supõe-se que os operários produzam igualmente e que ascondições de trabalho também sejam iguais.

64

Resolva

1. Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias?

2. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia. Quantos dias seriamempregados para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 km por dia?

3. Se 1 l de álcool pesa 8 g, a quantos litros equivalem 32,4 kg de álcool?

4. Em um navio com uma tripulação de 800 marinheiros há víveres para 45 dias. Quanto tempodurarão os víveres se o navio receber mais 100 marinheiros?

4.3 Regra de três composta

Como dissemos antes, na regra de três composta ocorrem três ou mais grandezas relacionadasentre si. Neste caso, de cada grandeza são dados dois valores, com exceção de uma delas, da qual édado apenas um valor, relacionado com um dos valores de cada uma das outras grandezas.


1. Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 min, em que tempo 7 rotativas,iguais às primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares?Resolução:Temos a seguinte disposição prática dos dados:

65

Exemplares Rotativas Tempo (min)

87.500 5 56

350.000 7 x

Fixando a segunda grandeza (número de rotativas), vemos que a primeira grandeza (númerode exemplares) e a terceira (tempo) são diretamente proporcionais, pois duplicando o númerode exemplares, o tempo empregado duplicará. Fixando, agora, a primeira grandeza, vemosque a segunda e a terceira são inversamente proporcionais, pois duplicando o número derotativas, o tempo necessário se reduzirá à metade.Assim, temos:

Invertendo os valores da segunda grandeza, vem:

o que nos permite escrever, pela propriedade da grandeza proporcional a várias outras (p.33):

Daí:

isto é:

x = 160 min ou x = 2 h 40 min

NOTA:• Na resolução da regra de três composta, após a disposição dos dados, verificação do tipo de

proporcionali-dade e inversão dos dados das grandezas inversamente proporcionais:

66

podemos fazer uso da seguinte regra prática: o valor de x é dado pela fração que tem pornumerador o produto do valor oposto a x (56) pelos valores que estão na mesma linha de x (350.000e 5) e por denominador o produto dos valores pertencentes à outra linha e que ainda não foramconsiderados (87.500 e 7):

Assim:

2. Quinze operários, trabalhando 9 h por dia, construíram 36 m de muro em 16 dias. Em quantotempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8 h por dia?Resolução:Temos:

Verificamos, com facilidade, que a quarta grandeza (número de dias) é diretamenteproporcional à terceira (comprimento) e inversamente proporcional à primeira (número deoperários) e à segunda (jornada de trabalho diário). Assim:

Invertendo os valores da primeira e da segunda grandezas, temos:

Calculando o valor de x:

67

Logo, os operários farão o muro em:

25 dias

Resolva

1. Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3 kg de pão. Quantos quilo-gramas depão serão consumidos em 5 dias, estando 2 pessoas ausentes?

2. Quinze homens, trabalhando 8 h diárias, cavaram um poço de 400 m3 em 10 dias. Quantoshomens devem ser acrescentados para que em 15 dias, trabalhando 6 h diárias, cavem os 600m3 restantes?


1. Se 35 m de um tecido custam R$ 140,00, quanto se pagará por 12 m?

2. Se 20 tratores levaram 6 dias para realizar um trabalho, quantos tratores o fariam em 4 dias?

3. Um trem percorreu 24,5 km em 28 min. Que distância percorreria, com a mesma veloci-dade,em 54 min?

4. Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendoconseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho?

5. Um operário faz, em 12 dias, um trabalho cuja dificuldade é representada por 0,2. Em quantosdias poderia fazer outro trabalho cujo coeficiente de dificuldade fosse 0,25?

6. Trabalhando 6 h por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nasmesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 8 h por dia?

68

7. Em um acampamento militar com 300 soldados há víveres para 20 dias. Tendo chegado mais140 soldados, a quanto se deve reduzir a ração diária para que o alimento dure ainda o mesmotempo?

8. Uma lebre está 80 m à frente de um cão que a persegue. Enquanto a lebre percorre 19 m, o cãopercorre 21 m. Quantos metros deverá percorrer o cão para alcançar a lebre?

9. Um automóvel, correndo com a velocidade de 84 km/h, deve percorrer uma certa distância em9 h. Depois de 3 h de viagem houve um desarranjo no motor e o automóvel teve de parardurante 45 min. Com que velocidade deve continuar a viagem para chegar ao ponto final nahora fixada?

10. Se de uma obra foram avaliados em R$ 268.400,00, qual é o valor de da mesma obra?

11. As dificuldades de dois trabalhos estão na razão de 3 para 4. Um operário, que faz 20 m doprimeiro trabalho, quantos metros fará do segundo, no mesmo tempo?

12. Duas polias, de 16,8 cm e 11,2 cm de diâmetro, respectivamente, estão ligadas por umacorreia de transmissão. Enquanto a maior dá 540 voltas, quantas voltas dá a menor?

13. Para fazer um muro de 52 m de comprimento, 30 operários gastam 15 dias de 8 h. Quantos diasde 9 h gastarão 25 operários para fazer 39 m de um muro igual?

14. Comparando-se os preços pelos quais são vendidas diversas frutas, verificamos que 15 pêrasvalem 9 maçãs; 25 abacates valem 15 maçãs; e 16 laranjas valem 12 abacates. Quantaslaranjas poderão ser trocadas por 9 pêras?

15. Um motoqueiro, numa velocidade de 80 km/h, percorreu certa distância em 6 dias, viajando

por dia. “Afrouxando” em a sua velocidade e viajando 6 h por dia, quantos dias levarápara percorrer a mesma distância?

16. Certo trabalho é executado por 8 máquinas iguais, que trabalham 6 h diárias, em 15 dias.Quantos dias levariam 10 máquinas do mesmo tipo para executar o triplo do trabalho anterior,

trabalhando 5 h diárias, com a velocidade que torna o rendimento maior?

17. Dois cavalos foram pagos em razão direta de suas velocidades e inversa de suas idades.Sabendo que a velocidade do primeiro está para a do segundo como 3 está para 4, que asidades do primeiro e do segundo são, respectivamente, 3 anos e 9 meses e 5 anos e 4 meses, e

69

que pelo primeiro foram pagos R$ 480,00, qual foi o preço do segundo?

18. Na construção de uma estrada trabalharam 20 homens durante 18 dias. Em seguida trabalharam24 homens durante 10 dias. Em quanto tempo teria ficado pronta se os 24 homens houvessemtrabalhado desde o começo?

70

5 PERCENTAGEM

5.1 IntroduçãoEm nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como estas:“Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.”“Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira.”“A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%.”“O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em dezembro.”Todas estas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem, que será o objeto

de estudo deste capítulo.

5.2 Taxa percentualSuponhamos que um aluno tenha acertado, em um exame, 12 das 15 questões apresentadas.A razão entre o número de questões acertadas e o número total de questões é:

Quando uma razão é apresentada com o conseqüente 100 , ela é chamadarazão centesimal.

Uma outra forma de representarmos as razões centesimais, muito usada principalmente nouniverso econômico-financeiro, é substituir o conseqüente 100 pelo símbolo % (que lemos: porcento). Assim:

Esse numeral (80%) é denominado taxa percentual ou centesimal.*

71


1. Escreva a razão em forma de taxa percentual.

Resolução:

Temos:

Logo, a resposta é:

75%

Resolva

1. Exprima sob a forma de taxa percentual as razões:

a)

b)

c)

5.3 Elementos do cálculo percentualVimos que:

Neste exemplo, chamando o 12 de percentagem, o 15 de principal e o 80 de taxa, temos:

72

Daí, obtemos as seguintes definições:

Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.

Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a umataxa.

Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.

O principal, a percentagem e a taxa são os elementos do cálculo percentual.

NOTA:• Na prática, é muito comum:

— empregarmos as palavras desconto, comissão, multa, parte, quota, abatimento, prejuízo,lucro etc. em lugar de percentagem;

— designarmos a taxa percentual simplesmente por percentagem. Assim, tanto faz dizermos,em uma situação qualquer, que o lucro foi de R$ 80,00 ou de 20%.

5.4 Problemas de percentagemRepresentando:

• o principal por P;*

• a percentagem por p;

• a taxa por r;

temos, genericamente:

73

Dados, então, dois quaisquer dos três elementos, podemos calcular o terceiro fazendo uso daproporção (1).


1. Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$3.600,00?

Resolução:

Temos:

Assim:

Logo, a comissão é de:

R$ 108,00

2. Em um colégio 26% dos alunos são meninas. Quantos alunos possui o colégio, se elas são emnúmero de 182?

Resolução:

Temos:

Assim:

74

Logo, o colégio possui:

700 alunos

3. Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual apercentagem de lucro?

Resolução:

Temos:

Assim:

Logo, o lucro foi de:

8%

Resolva

1. Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de abatimento.De quanto foi o abatimento?

2. Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa decomissão. Qual o valor de venda das propriedades?

3. Uma pessoa devia R$ 20.000,00 e pagou R$ 7.400,00. Quantos por cento da dívida forampagos?

5.5 Taxa unitáriaVimos que a taxa percentual se refere a 100, isto é:

75

Porém, na resolução de muitas questões, é mais prático (e, algumas vezes, necessário) tomarmoscomo valor referencial a unidade, obtendo o que chamamos de taxa unitária (simbolizada por i).Assim:

Temos, então:


1. Qual a taxa unitária correspondente a 20%?

Resolução:

Temos:

Logo:

i = 0,2

2. Qual a taxa percentual correspondente a 0,05?

Resolução:

Temos:

Logo:

i = 5%

76

3. Calcule 30% de 15%.

Resolução:

Temos:

30% = 0,3 e 15% = 0,15

Então:

30% de 15% = 0,3 de 0,15 = 0,3 × 0,15 = 0,045

Como:

0,045 = 4,5%

a resposta é:

4,5%

Resolva

1. Qual a taxa unitária correspondente a 3,08?

2. Qual a taxa percentual correspondente a 0,25?

3. Calcule 20% de 12%.

5.6 Fórmula para o cálculo percentualSendo:

como:

podemos escrever:

77


1. Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15% sobre esse valor.Quanto ganhou?

Resolução:

Temos:

Como:

vem:

p = 540,00 × 0,15 = 81,00

Logo, o comerciante ganhou:

R$ 81,00

2. Um terreno tem 70% de sua área plantada, que corresponde a 154 ha. Qual a área total doterreno?

Resolução:

Temos:

78

Como:

vem:

Logo, a área total é de:

220 ha

3. Em uma turma de 60 alunos, foram reprovados 9. Quantos por cento dos alunos foramreprovados?

Resolução:

Temos:

Como:

vem:

Logo, foram reprovados:

15% dos alunos

79

Resolva

1. Dois representam quantos por cento de 5?

2. Em um colégio compareceram 95% dos alunos, tendo faltado 35 alunos. Determine o númerode alunos do colégio.

3. Um operário que devia executar 120 m de uma obra fez, no primeiro dia, 10% de seu trabalhoe, no segundo dia, 15% da parte restante. Quantos metros foram feitos?

Exercícios

1. Exprima, sob a forma de taxa percentual, cada uma das seguintes razões:

a)

b)

c)

d)

e)

f) 0,24

g) 0,125

h) 0,012

2. Escreva as taxas percentuais abaixo como razões, sob a forma mais simples possível:

80

a) 80%

b) 66%

c) 25,2%

d) 0,48%

e) 18,6%

f)

g) 0,054%

h)

3. Calcule:

a) 20% de 300

b) 15% de R$ 160,00

c) 9% de 50

d) 6,5% de 1.200 kg

e) 0,4% de 550

f) 4,5% de 750

4. Calcule quantos por cento:

a) R$ 121,00 são de R$ 484,00;

b) 936 g são de 15.660 g;

c) 912,5 g são de 73 kg;

d) 45 l são de 180 dm3.

5. Calcule a quantia da qual:

a) R$ 42,00 representam 5%;

b) R$ 280,00 representam 8%;

c) R$ 33,00 representam 5,5%;

81

d) R$ 320,00 representam 1,25%.

6. Meio representa quantos por cento de

7. Qual o número cujos 7% valem 28?

8. Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 70,00 para obter um lucro de 30%?

9. Uma nota promissória, cujo valor era de R$ 5.000,00, foi paga com um desconto de R$250,00. Qual a taxa percentual de desconto?

10. Em São Paulo colhem-se 1.268.000 sacas de café. Se 25% desta produção destinam-se aoconsumo interno, qual a quantidade de sacas para este consumo?

11. Um jornal recebia por dia R$ 42.000,00 de anúncios. Os preços dos anúncios foramaumentados em 6%. Qual será a nova receita diária do jornal?

12. Em quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de 67.200 habitantes eagora é de 92.400 habitantes?

13. Um terreno foi vendido por R$ 9.600,00, recebendo o intermediário 3% de comissão. Calculea comissão.

14. Em uma escola, 40% dos alunos são meninas. O total dos alunos é 750. Quantos são osmeninos?

15. Em uma cidade, 35% da população é constituída de homens e 40% de mulheres. Qual apopulação da cidade, se o número de crianças é de 8.000?

16. Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em três prestações de R$ 160,00e uma de R$ 180,00. Qual o preço da mercadoria?

17. Um vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetua. Qual a quantia a receberpelas vendas de R$ 8.000,00, R$ 3.700,00 e R$ 9.500,00?

18. Em um dos Grandes Prêmios de Fórmula 1 largaram 24 carros e terminaram a competição 10carros. De quanto por cento foi o número de carros que não terminaram a corrida?

82

19. Um comerciante comprou 120 bonés a R$ 8,00 cada um. Vendeu a metade a R$ 10,00 e orestante a R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro?

20. Um comerciante pagou 20% de uma dívida. Determine a dívida inicial, sabendo que com R$43.680,00 ele pagou 35% do restante.

21. Uma pessoa entregou a um banco a quantia de R$ 562,00 para pagamento de uma ordem a ser

expedida por telegrama. O custo do telegrama foi de R$ 2,00 e a comissão, de . Qual ovalor da ordem?

22. Têm-se duas misturas de álcool com água; uma contém 24 l de álcool e 120 l de água e a outra,21 l de álcool e 112 l de água. Qual é a mais forte e em quanto por cento?

23. Uma casa, que está alugada por R$ 9.600,00 ao ano, foi comprada por R$ 98.000,00. Oproprietário gastou com ela, durante o ano, R$ 1.180,00 em impostos e reparos. Qual foi a taxade rendimento do capital empregado?

24. Comprei 6 peças de tecido de 50 m a R$ 9,00 o metro. Quero vendê-las com um lucro de 30%.Vendo a terça parte à razão de R$ 11,00 o metro. Por quanto devo vender o metro do tecidorestante?

25. Um comerciante adquiriu 3 sacos de 60 kg de cereal, à razão de R$ 48,00 o saco. Obteve, porter pago à vista, um desconto de 5% e teve uma despesa de transporte de R$ 5,00. Revendendoo cereal a R$ 1,00 o quilograma, qual será a percentagem de lucro?

26. Em uma partida de futebol, um dos times obteve os seguintes resultados quanto aos chutes agol:

• bolas chutadas fora: 10;

• bolas defendidas pelo goleiro adversário: 6;

• bolas na trave: 2;

• gols: 2.

a) Qual a percentagem dos gols em relação às bolas chutadas a gol?

b) Qual a percentagem das bolas chutadas fora?

c) Qual a percentagem das bolas defendidas pelo goleiro adversário?

83

27. Um relojoeiro adquire um lote de 120 relógios à razão de R$ 80,00 cada um. Vende a R$95,00 cada um e o restante a R$ 10.250,00 cada um. De quanto por cento foi o lucro?

28. Uma dona de casa compra um pedaço de carne com osso e paga R$ 3,00. Ao desossá-lo,percebe que os ossos correspondem a 12% do peso total. Sabendo que o preço do quilo dessacarne é de R$ 2,00 e que, durante o cozimento, a carne perde 15% de seu peso, qual o peso dopedaço de carne cozida?

29. Em um concurso prestado por certo número de candidatos houve 18% de aproveitamento, ouseja, 117 aprovados; num outro, a que concorreram 350 candidatos, houve 22% deaproveitamento. Determine quantos candidatos se submeteram ao primeiro concurso e quantosforam reprovados no segundo.

30. Uma pessoa deseja adquirir uma televisão catalogada por R$ 460,00. Se o pagamento for à

vista, a loja oferecerá um desconto de 5%. Como a pessoa não pode fazê-lo, paga à vista e orestante em 3 prestações, sofrendo um aumento de 25% sobre a parte relativa às prestações.

a) Qual o preço à vista da televisão?

b) Qual o valor de cada prestação?

84

6 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS

6.1 Introdução

O que vamos estudar neste capítulo são problemas de percentagem ligados às operações decompra e venda de mercadorias, isto é, vamos aprender a fazer cálculos de lucro ou prejuízosobre os preços de custo e de venda de mercadorias.

6.2 Vendas com lucroA venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço de custo ou

sobre o preço de venda.

NOTA:

• Preço de custo de uma mercadoria compreende o preço de aquisição, acrescido das despesasdiretas sobre a compra e sobre a venda e, ainda, das despesas de administração efuncionamento da empresa.

6.2.1 Sobre o preço de custo

Consideremos o seguinte problema:Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o

preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00.Sabemos que:

preço de venda = preço de custo + lucro

Como o lucro é de 8% sobre o preço de custo, isto é:

lucro = 0,08 do preço de custo,

temos:

preço de venda = preço de custo + 0,08 × preço de custo == (1 + 0,08) × preço de custo =

85

= 1,08 × 500,00 = 540,00Logo, o preço de venda é de:

R$ 540,00

Fórmula:Chamando de:

vem:

V = C + L

Como:

L = i × C

temos:

V = C + i × C

Logo:

que nos dá o preço de venda, conhecidos o custo e a taxa de lucro sobre o custo.

Resolva

1. Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço decusto, qual deve ser o preço de venda?

86

6.2.2 Sobre o preço de venda

Comprou-se um objeto por R$ 60,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual deveser este preço?

Sabemos que:

preço de venda – lucro = preço de compra

Como o lucro é de 25% sobre o preço de venda, isto é:

lucro = 0,25 do preço de venda,

temos:

preço de venda – 0,25 × preço de venda = preço de custo

ou:

(1 – 0,25) × preço de venda = preço de custo

ou, ainda:

Logo, o preço de venda deve ser de:

R$ 80,00

Fórmula:Temos:

V – L = C

Como:

L = i × V

vem:

V – i × V = C ⇒ (1 – i)V = C

Logo:

87

que nos dá o preço de venda, conhecidos o preço de custo e a taxa de lucro sobre o preço de venda.

Resolva

1. Um comerciante comprou um objeto por R$ 48,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço devenda, qual deve ser este último?

6.3 Vendas com prejuízoAnalogamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vendida com prejuízo sobre o

preço de custo ou sobre o preço de venda.

6.3.1 Sobre o preço de custo

Considere o seguinte problema:Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que esse objeto

custou R$ 30,00, qual foi o preço de venda?Sabemos que:

preço de venda = preço de custo – prejuízo

Como o prejuízo é de 40% sobre o preço de custo, isto é:

prejuízo = 0,4 do preço de custo,

temos:

preço de venda = preço de custo – 0,4 × preço de custo == (1 – 0,4) × preço de custo == 0,6 × preço de custo = 0,6 × 30 == 18

Logo, o preço de venda foi de:

R$ 18,00

88

Fórmula:Chamando de P o prejuízo, vem:

V = C – P

Como:

P = i × C

temos:

V = C – iC

Logo:

que nos dá o preço de venda, conhecidos o custo e a taxa do prejuízo sobre o custo.

Resolva

1. Uma pessoa adquiriu um relógio por R$ 125,00 e só conseguiu vendê-lo com um prejuízo de8% sobre o custo. Por quanto ela vendeu o relógio?

6.3.2 Sobre o preço de venda

Uma casa que custa R$ 96.000,00 foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda.Calcule o preço de venda.

Sabemos que:

preço de venda + prejuízo = preço de custoComo o prejuízo é de 20% sobre o preço de venda, isto é:

prejuízo = 0,2 do preço de venda,

temos:

preço de venda + 0,2 × preço de venda = preço de custo

89

ou:

(1 + 0,2) × preço de venda = preço de custo

ou, ainda:

Logo, o preço de venda será de:

R$ 80.000,00

Fórmula:Como:

V + P = C e P = i × V

temos:

V + iV = C ⇒ (1 + i)V = C

Logo:

que nos dá o preço de venda, conhecidos o preço de custo e a taxa do prejuízo sobre o preço devenda.

Resolva

1. Um objeto que custou R$ 558,00 foi vendido com um prejuízo de 12% sobre o preço de venda.Qual o valor apurado na venda?

90


1. Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei, na venda, 15% sobre o preço de custo.* Quantocustou o objeto?

Resolução:

Temos:

Como:

V = C(1 + i) ou C(1 + i) = V

vem:

Logo, o objeto custou:

R$ 240,00

2. Comprei uma mercadoria por R$ 480,00. Sendo minha intenção vendê-la com um lucro de20% sobre o preço de venda, qual deve ser este último?

Resolução:

Temos:

Como:

vem:

91

Logo, o preço de venda deve ser de:

R$ 600,00

3. Um terreno foi comprado por R$ 5.000,00 e vendido por R$ 6.500,00. De quanto por cento foio lucro sobre o preço de compra?

Resolução:

Temos:

Lembrando que:

V = C(1 + i) ou C(1 + i) = V

vem:

Logo, o lucro sobre o custo foi de:

30%

4. Quanto custou um objeto vendido por R$ 248,00 com um prejuízo de 20% sobre o preço decusto?

Resolução:

Temos:

Como:

V = C(1 – i) ou C(1 – i) = V

vem:

92

Logo, o objeto custou:

R$ 310,00

5. Um terreno foi vendido por R$ 50.600,00, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda.Quanto havia custado o terreno?

Resolução:

Temos:

Lembrando que:

vem:

Logo, o terreno havia custado:

R$ 54.648,00

Resolva

1. Um comerciante comprou determinada mercadoria por R$ 650,00. Por quanto deverá revendê-la para obter um lucro de 30%?

2. Um aparelho de som foi vendido por R$ 360,00. Qual o lucro obtido, sabendo que este foicalculado na base de 25%?

3. Um objeto comprado por R$ 80,00 foi revendido por R$ 104,00. Qual a taxa pela qual secalculou o lucro sobre o preço de custo?

93

4. Um objeto foi vendido, com prejuízo de 10%, pelo preço de R$ 36,00. Quanto havia custado?

5. Uma agência vendeu um carro por R$ 8.500,00. Sabendo que na venda houve um prejuízo de15% sobre o preço de venda, quanto custou esse carro?

6.4 Abatimentos sucessivos

Neste item, vamos aprender a calcular os abatimentos sucessivos sobre uma importânciaresultante de um negócio efetuado.

Consideremos o seguinte problema:Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura,* os descontos sucessivos de 10%,

4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48.000,00, qual o valor líquido desta?Basta, evidentemente, calcularmos os líquidos parciais correspondentes aos abatimentos

oferecidos, respeitando a ordem das taxas, até obtermos o líquido final.Assim, chamando o valor líquido de L, temos:

Como:p1 = P × i1 ⇒ p1 = 48.000,00 × 0,1 = 4.800 ⇒ L1 = 48.000,00 − 4.800 = 43.200,00p2 = L1 × i2 ⇒ p2 = 43.200,00 × 0,04 = 1.728 ⇒ L2 = 43.200,00 − 1.728 = 41.472,00p3 = L2 × i3 ⇒ p3 = 41.472,00 × 0,05 = 2.073,60 ⇒ L3 = 41.472,00 − 2.073,60 = 39.398,40o valor líquido da fatura é de:

R$ 39.398,00

6.4.1 Fórmula do valor líquido

Examinando a solução do problema anterior, vemos que:

p2 = L1 × i2 e L2 = L1 − p2 ⇒ L2 = L1 − L1 × i2 ⇒⇒ L2 = L1(1 − i2)

Tendo em vista que os valores obtidos para L não dependem dos particulares valores utilizados,podemos escrever:

Lk = Lk − 1(1 − ik)

Atribuindo a k os valores 1, 2, 3, …, n, obtemos as igualdades:

94

Multiplicando essas n igualdades, membro a membro, e simplificando, vem:

Ln = L0(1 − i1) (1 − i2) (1 − i3) … (1 − in)

Fazendo:

L0 = P e Ln = L

obtemos:

onde i1, i2, i3, …, i n são as taxas sucessivas.

NOTA:

• Para aumentos sucessivos, temos:

M = P(1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) … (1 + in)


1. Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48.000,00, qual o valor líquido desta?

Resolução:

95

Temos:

Assim:

L = 48.000,00 (1 − 0,1) (1 − 0,04) (1 − 0,05) == 48.000,00 × 0,9 × 0,96 × 0,95 = 39.398,40

o valor líquido da fatura é de:

R$ 39.398,00

2. Sobre um artigo de R$ 2.500,00 incide um imposto federal de 10% e um estadual de 4%. Qualo preço final desse artigo?

Resolução:

Temos:

Assim:

M = 2.500,00 (1 + 0,1) (1 + 0,04) = 2.500,00 × 1,1 × 1,04 = 2.860,00

Logo, o preço final é de:

R$ 2.860,00

Resolva

1. Uma fatura de R$ 8.000,00 sofre dois abatimentos sucessivos, de 10% e 8%. Qual o valorlíquido a pagar?

2. Uma fatura de R$ 5.000,00, por motivo de atraso em seu pagamento, sofre aumentossucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura?

96

Exercícios

1. Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 40,00 para ganhar 15% sobre o custo?

2. Vendendo por R$ 56,00 um objeto que custou R$ 50,00, qual será a percentagem de lucro?

3. Um objeto foi revendido por R$ 701,00, dando um prejuízo de 20% sobre o custo. Quantohavia custado?

4. Quanto por cento sobre o custo se perdeu ao se vender por R$ 238,00 um objeto que custou R$280,00?

5. Uma casa foi vendida por R$ 53.700,00, dando um lucro de 35% sobre o custo. Quanto haviacustado?

6. Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 450,00, tendo uma perda de 15%sobre o preço de compra.

7. Calcule o preço de venda de um objeto comprado por R$ 84,00, para ganhar 30% sobre opreço de venda.

8. Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 540,00, tendo perdido 20% dopreço de venda.

9. Vendendo um imóvel por R$ 120.000,00, tive um prejuízo de 18% sobre o preço de venda.Por quanto comprei?

10. Vendi um objeto por R$ 280,00, com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual o preçode compra?

11. Quanto por cento ganhei sobre o preço de venda de um objeto que me custou R$ 360,00 e foivendido por R$ 450,00?

12. De quanto por cento foi meu prejuízo sobre a venda de um objeto que me custou R$ 280,00 efoi vendido por R$ 250,00?

97

13. Vendi um objeto por R$ 120,00. Se tivesse vendido por mais R$ 20,00, meu lucro seria de50% do preço da nova venda. Qual foi o meu lucro?

14. Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu certas mercadorias por R$ 26.410,00,perdendo, nessa transação, a quantia equivalente a 5% sobre o preço de custo.

15. Se eu tivesse mais 50% da quantia que tenho poderia pagar uma dívida de R$ 5.000,00 e aindaficaria com R$ 700,00. Quanto tenho?

16. Certa mercadoria foi vendida por R$ 3.232,00, com o prejuízo de 8,7% sobre o preço decompra. Por quanto deveria ser vendida para dar lucro de 12% sobre o seu preço de custo?

17. Em um exercício de tiro ao alvo um soldado fez 40% a mais do que outro. Se os dois juntosfizeram 720 pontos, quanto fez cada soldado?

18. Calcule o líquido de uma duplicata no valor de R$ 8.600,00 que sofreu a redução de 15%sobre esse valor total e, em seguida, outro abatimento de 8% sobre o líquido da primeiraredução.

19. Comprei 2.000 kg de feijão, a R$ 1,00 o quilo; vendi 600 kg com um lucro de 25% sobre opreço de compra e o resto com 12% de lucro sobre o preço de venda da primeira parte.Calcule o lucro total.

20. Sobre o preço de compra de uma mercadoria incide uma despesa de 15%. Por quanto devemosvender essa mercadoria, comprada por R$ 540,00, para que tenhamos um lucro de 25% sobreo preço de compra, repassando a despesa para o comprador?

21. Uma pessoa comprou um automóvel de R$ 15.800,00 (preço de tabela) com desconto de 2,5%.No dia seguinte, vendeu o automóvel pelo valor de 2% acima do preço de tabela. Qual foi ataxa percentual de lucro total dessa pessoa?

22. O que significa a expressão “4% dos 5% de uma grandeza”?

23. Um comerciante comprou 450 unidades de um certo eletrodoméstico, ao custo de R$ 420,00 aunidade. Vendeu 340 unidades com 30% de lucro. Depois, vendeu o restante com certoprejuízo. Sabendo que a venda de todo o estoque, nas condições acima, deixou R$ 38.660,00de lucro líquido, calcule o preço pelo qual foi vendida, em cada caso, a unidade doeletrodoméstico.

98

24. Um objeto foi vendido com 25% de lucro e outro com 30%. Por quanto foi vendido cada um,se os dois custavam R$ 2.142,00?

25. Um comerciante comprou várias peças de tecido por R$ 38.200,00 e uma certa quantidade dearroz por R$ 29.000,00. Vendeu o tecido com 8% de prejuízo e o arroz com 12% de lucro. Aotodo, ganhou ou perdeu? Quantos por cento?

26. Um comerciante pagou 30% de uma dívida; do restante, pagou 20% e com R$ 28.000,00liquidou a dívida. Determine o valor da dívida.

27. Um objeto foi vendido com 15% de prejuízo e outro com 35% de lucro. Por quanto foivendido cada um, se os dois foram vendidos por R$ 748,00?

28. Certa mercadoria foi vendida por R$ 7.475,00, com o lucro de 15%; em seguida, foirevendida por R$ 8.447,00. De quanto por cento foi o lucro final sobre o valor inicial dessamercadoria?

29. Uma pessoa empregou seu capital, sucessivamente, em quatro empresas. Na primeira apurou100% e em cada uma das outras perdeu 15%. Quanto ganhou sobre o capital primitivo?

30. Sobre uma fatura de R$ 150.000,00 foram feitos descontos sucessivos de 8%, 5% e 2%. Qualé o valor líquido da fatura?

99

7 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS

7.1 Correção monetária

7.1.1 Moeda

No início da atividade comercial havia apenas a troca de mercadorias. Assim, um indivíduo A,produtor da mercadoria a e necessitado da mercadoria b, procurava o indivíduo B que a produzia.Se houvesse concordância na troca, tudo bem; porém, as coisas se complicavam quando não haviaconcordância na troca, pois A teria de procurar um outro indivíduo produtor de b que estivessedisposto a trocá-la por a.

Com o desenvolvimento do comércio entre os indivíduos houve, então, a necessidade de umaterceira mercadoria, de aceitação geral e, principalmente, de fácil transporte e de valor constantepara todos os produtores. Essa mercadoria passou a ser o padrão de trocas e de comparação devalores dos demais produtos. Esse padrão tornou-se, assim, a moeda da comunidade.

Surgiu, então, o problema: qual a melhor mercadoria a ser tomada como moeda? Chegou-se àconclusão de que a melhor moeda seria o metal: de fácil transporte, grande durabilidade e quepermitia a obtenção de “pedaços” para pagamentos menores.

Com o passar do tempo, a moeda foi sofrendo um processo contínuo de desvalorização: passoude moeda mercadoria para moeda metálica e, finalmente, para um valor simbólico, tornando-seapenas um pedaço de papel (moeda-papel: emissão com lastro metálico; papel-moeda: emissão semlastro metálico; moeda escritural ou moeda bancária: cheque).

7.1.2 Inflação

Chamamos de valor da moeda (ou poder aquisitivo da moeda) aquele representado pelaquantidade de bens ou serviços que podem ser adquiridos com uma unidade monetária.

Dizemos que uma moeda é estável quando mantém, no decorrer do tempo, sempre o mesmo poderaquisitivo.

A depreciação do valor da moeda (ou a redução do seu poder aquisitivo) é identificada comoinflação. Observemos, porém, que o aumento dos preços de alguns bens e serviços, resultante, porexemplo, de uma escassez típica das entressafras, não é o bastante para caracterizar um processoinflacionário. Este só fica caracterizado se todos os bens e serviços acusam uma tendência de altageneralizada e contínua.

Assim, podemos caracterizar a inflação como uma contínua, persistente e generalizada

100

expansão dos preços.Quanto à intensidade do processo inflacionário, podemos distinguir uma gama muito grande,

limitada por uma inflação rastejante e uma inflação galopante ou hiperinflação.A inflação rastejante é caracterizada por uma leve e quase imperceptível expansão geral dos

preços, como aquela que se verifica, atualmente, na maioria dos países desenvolvidos.Já a inflação galopante ou hiperinflação é caracterizada por uma violenta e in-controlável

expansão do nível geral dos preços. Na Alemanha, entre 1914 e 1923, foi registrada a maior inflaçãodo mundo: os preços cresceram 1 trilhão de vezes.

Entre esses níveis extremos, há certos processos inflacionários que podemos dizer praticamentecrônicos, embora permaneçam sob controle e reprimidos. No Brasil, por exemplo, desde a SegundaGuerra Mundial temos assistido a processos inflacionários de intensidade variada, mas que jamaisfugiram ao controle das autoridades financeiras.

7.1.3 Correção monetária

No ano de 1964, a correção monetária foi instituída no Brasil como método para amenizar osefeitos da inflação. Paralelamente, foram criadas as Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional,com o intuito de restabelecer a confiança nos títulos da dívida pública.

O Governo, com a finalidade de uniformizar a correção monetária, passou a utilizar duasunidades financeiras: as Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional (ORTNs) e a UnidadePadrão de Capital (UPC).

Cada ORTN tinha seu valor corrigido mensalmente, de acordo com o índice de inflação noperíodo; e cada UPC, com correção trimestral, passaria a ter o valor da ORTN do mês inicial dotrimestre (janeiro, abril, julho, outubro).

A ORTN era, em geral, utilizada como unidade-padrão para os financiamentos industriais, e aUPC, para os financiamentos habitacionais por meio do extinto Banco Nacional de Habitação(BNH).

7.2 Os vários planos econômicos

7.2.1 O Plano Cruzado

Pelo Decreto-lei no 2.283, de 28/02/86, consolidado pelo Decreto-lei no 2.284, de 10/03/86, aunidade do sistema monetário brasileiro passou a se chamar cruzado (Cz$); nessa transformação, ocruzeiro correspondia a um milésimo do cruzado. As Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacionalforam substituídas por Obrigações do Tesouro Nacional (OTNs), sem correção.

7.2.2 O Plano Cruzado Novo ou Plano Verão

O Decreto-lei no 7.730, de 31/01/89, substituiu o cruzado pelo cruzado novo (NCz$); o cruzadopassou a corresponder a um milésimo do cruzado novo. As Obrigações do Tesouro Nacional foramsubstituídas pelo Bônus do Tesouro Nacional (BTN).

101

7.2.3 O Plano Collor

A Lei no 8.024, de 12/04/90, instituiu o cruzeiro (Cr$) como moeda nacional, sendo um cruzeirocorrespondente a um cruzado novo. O BTN foi mantido.

7.2.4 O Plano Real

Em 1o de agosto de 1993, foi criada uma nova moeda, o cruzeiro real (CR$), para substituir ocruzeiro. Um cruzeiro real correspondia a mil cruzeiros:

CR$ 1,00 = Cr$ 1.000,00.

Essa moeda teve apenas 11 meses de vida (a vida mais curta de todas as moedas).Em 28 de fevereiro de 1994, por meio de Medida Provisória, foi criada a URV (Unidade Real de

Valor). A MP foi reeditada duas vezes, sendo aprovada somente em março. Virou lei sob o no 8.880,publicada no Diário Oficial da União de 28 de maio de 1994.

Os valores diários da URV foram corrigidos tendo como base os índices: IGP-M (FundaçãoGetúlio Vargas), IPC (da Fipe) e IPVA Especial (de responsabilidade do IBGE).

A partir de 1o de julho de l994, a URV deixou de existir com esta denominação, passando a sechamar real (R$).

A transformação de cruzeiros reais para a nova moeda é dada por:

CR$ 2.750,00 = 1 URV = R$ 1,00.

7.3 Câmbio

7.3.1 Taxa de câmbio

Quando importamos algo dos Estados Unidos, da Alemanha ou da Inglaterra, efetuamos opagamento em dólares, marcos ou libras, respectivamente.

Esse procedimento dá origem ao câmbio, que é a operação de troca de moedas de diferentespaíses. É evidente que, para ser possível a realização dessa troca, é necessário estabelecermos umarelação de equivalência entre as várias moedas. Essa relação de equivalência, que em última análiseé o preço da moeda estrangeira em termos de moeda nacional, é o que denominamos taxa decâmbio. Assim, se um dólar custasse R$ 1,50, por exemplo, a taxa de câmbio do dólar seria de R$1,50, ou seja:

US$ 1,00 = R$ 1,50

As taxas de câmbio são agrupadas em tabelas de cotações, que contêm dois valores para a moedaestrangeira: um de compra (preço que o agente cambial pagará na compra da moeda) e outro devenda (preço que o agente cambial cobrará na venda da moeda). A diferença entre esses valores é olucro do agente cambial.

102

7.3.2 Tabela de taxas de câmbio

Apresentamos, a seguir, uma tabela de cotações do câmbio:

As taxas desta tabela de cotações se referem a taxas à vista. Para uma mesma moeda estrangeirapodemos ter diferentes taxas, como no caso de operações a prazo, com papelmoeda, letras decâmbio etc.

7.3.3 Conversão de moedas

Uma vez fixada a taxa de câmbio, o problema de conversão se reduz a um problema de regra detrês simples e direta.

Exercício resolvidos

1. Tenho 250 dólares americanos para dispor. Quantos reais irei apurar, recorrendo ao câmbiooficial?

Resolução:

De acordo com a tabela de cotações da página anterior, o valor de compra do dólar americanoé de R$ 0,9325.

Logo:

0,9325 × 250,00 = 233,125

isto é:

R$ 233,13

103

2. Quantos dólares americanos poderei adquirir com 500.000 reais, recorrendo ao câmbiooficial?

Resolução:

De acordo com a tabela de cotações (p. 74), o valor de venda do dólar americano é de R$0,9365.

Logo:

isto é:

US$ 533.902,83

NOTA:

• Vendemos pelo preço de compra e compramos pelo preço de venda databela de cotações.

3. Com 2.000 dólares americanos um turista conseguiu comprar 1.969 reais. Qual foi a taxa decâmbio?

Resolução:

Temos:

Logo, a taxa de câmbio foi de:

R$ 0,9845

Resolva

1. Converta 12,50* libras esterlinas em moeda nacional, pelo câmbio oficial.

104

2. Um industrial necessita comprar letras de câmbio no valor de 1.500 libras esterlinas. Qual aquantia que ele terá de desembolsar?

3. Calcule o câmbio sobre Paris se se compram 15.000 francos por 2.790 reais.

7.3.4 Operação cambial

A acepção mais comum da palavra câmbio é a que se refere à transferência de somas de dinheirosem a necessidade de efetivamente transportarmos moedas.

Essas transferências se fazem por intermédio de bancos do mesmo país e de países distintos.Quando o câmbio se faz entre bancos do mesmo país, é chamado interior; quando se realiza entrebancos de países distintos, exterior. No câmbio exterior, podemos ter o câmbio direto e o indireto.

Assim, supondo que um importador brasileiro deva pagar uma dívida a um exportador francês,ele pode proceder de duas maneiras distintas:

• fazendo uma remessa de francos para um banco francês (letra de câmbio), por intermédio deum banco brasileiro, no valor da dívida;

• fazendo, previamente, uma remessa no valor da dívida a um banco italiano, por exemplo,quando então fará uma letra de câmbio em liras para que o banco italiano, por sua vez, remetaà França a soma em francos.

No primeiro caso, intervêm apenas dois bancos e o câmbio é direto; no segundo, há um bancointermediário e o câmbio é indireto. Devemos escolher o câmbio que mais nos convenha para opagamento. O procedimento empregado para determinar qual é o câmbio mais conveniente édenominado arbitragem.

NOTA:

• É comum dizer que o importador (ou devedor) efetua uma remessa e o exportador (ou credor),um saque.

105


1. Um industrial brasileiro acaba de receber um aviso de um banco do direito de saque no valorde 10.000 marcos alemães e um segundo aviso da necessidade de uma remessa de dólarespara uma firma americana. O industrial vai ao banco, realiza uma operação de câmbio e cobreo saque do exportador americano, utilizando seus marcos. Qual o valor de seu débito, emdólares, para com o exportador americano, sabendo que o saque feito pela firma americana éigual ao depósito feito pelo banco alemão?

Resolução: Consultando a tabela de cotações (p. 74), temos:

10.000 × 0,567965 = 5.679,65

Daí:

R$ 5.679,65

Como:

o débito é de:

US$ 6.064,76*

Resolva

1. Tenho em um banco um crédito de 3.600 dólares e desejo fazer uma remessa para Londres afim de cobrir um saque de um exportador inglês. Sem considerar as despesas decorrentes daoperação, de quantas libras esterlinas foi o valor do saque, admitindo-se que o saque feitopelo exportador inglês seja igual ao depósito feito pelo banco americano?

106

Exercício

1. Segundo as cotações da tabela da p. 74, transforme em reais:

a) 730 francos suíços;

b) 528 dólares americanos;

c) 1.248 francos franceses;

d) 180 marcos alemães.

2. Segundo as cotações da tabela da p. 74, transforme 280.000 reais em:

a) francos franceses;

b) libras esterlinas;

c) ienes japoneses;

d) francos suíços.

3. Segundo as cotações da tabela da p. 74, faça as seguintes transformações:

a) 15 libras esterlinas em dólares americanos;

b) 105 dólares americanos em francos franceses;

c) 4.642 francos suíços em libras esterlinas.

4. Um comerciante compra mercadorias no valor de 1.225 dólares e obtém um desconto de 25%.Expresse em libras esterlinas o que deve abonar.

5. Um agente de câmbio apresentou a seus credores o seguinte balancete: Ativo: 12.000 francosfranceses; 1.500 ienes; 250 dólares americanos; Passivo: 300 libras; 15.000 francos suíços. Oagente está ou não com saldo devedor? Qual o saldo em reais?

6. Uma pessoa recebe uma herança de 56.000 dólares; em seguida, paga uma dívida de 230.000francos franceses. Quanto lhe restou em reais?

107

7. Um comerciante brasileiro compra, na França, sedas no valor de 280.000 francos; e, naInglaterra, uísques no valor de 3.600 libras. A quantos reais equivale sua compra?

8. Um comerciante francês compra, de um brasileiro, couro no valor de R$ 10.000,00 e, por suavez, remete champanhe no valor de 70.000 francos. Qual dos dois comerciantes fica em dívidae em quanto?

108

8 JURO SIMPLES

8.1 IntroduçãoOuvimos constantemente frases como estas:“Vou depositar meu dinheiro em uma caderneta de poupança, pois ele renderá juros.”“Vou emprestar meu dinheiro, pois ele renderá juros.”O estudo que vamos iniciar agora — Matemática Financeira —, com todas as suas fórmulas e

fatores, é feito em função do crescimento de uma certa quantia em dinheiro aplicada com o tempo,isto é, dos juros.

8.2 Juro – capital – taxa

Se A empresta a B a importância de R$ 100,00 pelo prazo de um ano, é comum que, ao finaldesse prazo, B devolva a A a importância de R$ 100,00 acrescida, digamos, de R$ 36,00 como umacompensação financeira denominada juro.

Designando por capital a quantia emprestada, temos:R$ 100,00 são o capital*

R$ 36,00 são o juroAssim, podemos dizer que:

Juro é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital.

Como determinar, na prática, o valor do juro a ser cobrado ou recebido? A resposta é simples:por meio de uma taxa percentual, referida a um intervalo de tempo, denominada taxa de juro.

No nosso exemplo, podemos dizer que a taxa de juro considerada foi de:

Lembrando que:

36% = 0,36*

109

podemos dizer que a taxa de juro também pode ser representada por duas formas equivalentes:

36% ao ano e 0,36 ao ano

Como no estudo de percentagem, a primeira representação recebe o nome de forma percentual ea segunda, de forma unitária.

Sempre que falamos em juro relativo a um capital, estamos nos referindo à remuneração dessecapital durante um intervalo de tempo que denominamos período financeiro ou período decapitalização.

8.3 Regimes de capitalização

Entendemos por regime de capitalização o processo de formação do juro.Há dois regimes de capitalização: a juro simples e a juro composto.No regime de capitalização a juro composto, o juro formado no fim de cada período é

incorporado ao capital que tínhamos no início desse período, e, assim, esse montante passa a renderjuro no período seguinte; dizemos, então, que os juros são capitalizados.

Já no regime de capitalização a juro simples, por convenção, apenas o capital inicial rendejuro, isto é, o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado aocapital para, também, render juro no período seguinte; dizemos, neste caso, que os juros não sãocapitalizados.

8.4 Juro simples

Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.

8.5 Cálculo do juro simplesPor definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de

aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade.Portanto, sendo:

• C o capital inicial ou principal;

• j o juro simples;

• n o tempo de aplicação;

• i a taxa de juro unitária,podemos escrever:*

j = (Cn)i

110

ou:

que é a fórmula de cálculo do juro simples.É importante observar que essa fórmula só pode ser aplicada se o prazo de aplicação n é

expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i considerada.


1. Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% aoano. Qual será o valor do juro a ser pago?

Resolução:

Temos:

Como:

j = C × i × n

temos:

j = 1.200,00 × 0,3 × 2 ⇒ j = 720,00

Logo, o juro a ser pago é de:

R$ 720,00

2. Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês. Qualo valor do juro a receber?

Resolução:

Temos:

111

Como:

j = 3.000,00 × 0,012 × 3 ⇒ j = 108,00,

o juro a receber é de:

R$ 108,00

Resolva

1. Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200,00, à taxa de 5% ao trimestre,durante 3 trimestres.

2. Um capital de R$ 56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses.Calcule o juro produzido.


Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elasreferidos, reduzidos à mesma unidade.

Dadas duas taxas (percentuais ou unitárias) i e i’, relativas, respectivamente, aos tempos n e n’,referidos à mesma unidade, temos:

NOTA:

• As taxas i e i’ devem ser ambas percentuais ou ambas unitárias.

112

Assim, as taxas de 18% ao ano e 1,5% ao mês, por exemplo, são proporcionais, pois:

Vamos, então, determinar uma fórmula que nos permita obter, rapidamente, uma taxa proporcionala outra taxa dada.

Sendo i a taxa de juro relativa a um período e ik a taxa proporcional que queremos determinar,

relativa à fração do período, temos, pela relação (1):

isto é:

NOTA:

• Observe que i é sempre a taxa relativa ao maior período.


1. Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.

Resolução:Lembrando que 1 a = 12 me, temos:

isto é:

113

2,5% a.m.

2. Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia.

Resolução:

Lembrando que 1 me = 30 d, temos:

isto é:2,4% a.m.

3. Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre.

Resolução:

Lembrando que 1 a = 4 t, temos:

isto é:

32% a.a.

Resolva

1. Calcule a taxa mensal proporcional a:

a) 9% a.t.

b) 24% a.s.

c) 0,04% a.d.

2. Calcule a taxa anual proporcional a:

a) 1,5% a.m.

b) 8% a.t.

114

c) 21% a.s.

d) 0,05% a.d.


Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período,produzem o mesmo juro.

Vamos calcular o juro produzido pelo capital de R$ 2.000,00:

• à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses;

• à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres.

No primeiro caso, temos:

Logo:

j = 2.000,00 × 0,04 × 6 ⇒ j = 480,00,

isto é, o juro produzido é de:R$ 480,00No segundo caso, temos:

Daí:

j = 2.000,00 × 0,12 × 2 ⇒ j = 480,00,

isto é, o juro produzido é de:

R$ 480,00

115

Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que 4% a.m. e 12% a.t. são taxasequivalentes.

NOTA:

• Dadas as taxas de juros i, relativa a 1 período, e ik, relativa a período, temos:

ji = C × i × 1

e

jik = C × ik × k

Supondo que i e ik são taxas equivalentes, vem:

ji = jik ⇒ Ci = Cikk ⇒ i = ikk,

isto é:

o que nos diz que as taxas i e ik são proporcionais.

Assim, podemos concluir que:

Em regime de juro simples, duas taxas proporcionais são equivalentes.

116


1. Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine ojuro obtido.

Resolução:

Temos:

Como o tempo é dado em meses e a taxa é dada ao ano, antes de aplicarmos a fórmuladevemos determinar a taxa mensal proporcional à dada:

Logo:

j = 2.400,00 × 0,25 × 10 ⇒ j = 500,00,

isto é, o juro é de:

R$ 500,00

2. Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00, aplicado durante 2 anos, 4 mesese 10 dias, à taxa de 36% ao ano.

Resolução:

Como o tempo foi dado sob a forma de numeral complexo, a primeira coisa a ser feita é aobtenção do número de dias correspondentes, lembrando que:

1 a = 360 d e 1 me = 30 d

Assim:

2 a 4 me 10 d = (2 × 360 + 4 × 30 + 10) d = 850 d*

Temos, então:

117

Daí:

j = 18.500,00 × 0,001 × 850 ⇒ j = 15.725,00,

isto é, o juro é de:

R$ 15.725,00

Resolva

1. Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 32.500,00, à taxa de 18% ao ano, durante 3meses.

2. Calcule o juro de um capital de R$ 5.000,00, em regime de juro simples, durante 2 anos e 4meses, à taxa de 24% ao ano.

8.8 Juro comercial e juro exatoA técnica que estamos empregando no cálculo do juro simples (1 ano = 360 dias) nos dá o que

denominamos juro simples comercial. Entretanto, podemos obter o juro fazendo uso do númeroexato de dias do ano (365 d, ou 366 d, se o ano for bissexto). Neste caso, o resultado é denominadojuro simples exato.

Além disso, temos que levar em consideração o modo de obtenção do número de dias. Admitindoque cada mês tenha 30 dias, obtemos o tempo aproximado; fazendo a contagem no calendário,obtemos o tempo exato (no Brasil contamos apenas uma das datas extremas).

Assim, tanto no juro simples exato como no juro simples comercial o tempo pode ser exato ouaproximado.

NOTA:

• A técnica mais comumente usada é a do cálculo do juro simples comercial para o númeroexato de dias; é a que proporciona o juro máximo em qualquer transação.

118

8.9 Determinação do número exato de dias entre duas datasPodemos obter o número exato de dias entre duas datas de três maneiras diferentes:

1a) Pela contagem direta dos dias em um calendário, lembrando que apenas um dos diasextremos deve ser incluído.

2a) Considerando o número exato de dias de cada mês, lembrando que janeiro, março, maio,julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias; abril, junho, setembro e novembro têm 30dias; fevereiro tem 28 dias (29 dias nos anos bissextos*). Podemos, por exemplo, determinaro número exato de dias de 11 de março a 18 de maio do mesmo ano do seguinte modo:

11 de março a 11 de abril: 31 dias11 de abril a 11 de maio: 30 dias11 de maio a 18 de maio: 18 – 11 = 7 dias

Logo:

11 de março a 18 de maio: 31 + 30 + 7 = 68 dias

3a) Pelo uso da Tabela para Contagem de Dias (p. 229).No caso do exemplo anterior, procuramos na coluna relativa a dias o dia 18 e na linha relativa a

meses o mês de maio, e anotamos o número que se acha na intersecção (linha do dia 18 com colunado mês de maio): 138.

Em seguida, fazemos o mesmo para a data de 11 de março e encontramos 70.O número exato de dias é dado por:

138 – 70 = 68 dias

Vamos, também, determinar o número exato de dias de 20 de outubro a 15 de março do anoseguinte. Inicialmente, calculamos o número de dias entre 20 de outubro e 31 de dezembro:

365 – 293 = 72

Em seguida, somamos 72 com os 74 dias que vão de 1o de janeiro até 15 de março:

72 + 74 = 146 dias

NOTA:• Se o ano é bissexto, somamos 1 ao número de dias:

146 + 1 = 147 dias

119


1. Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano.Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago?

Resolução:

Inicialmente, temos de determinar o número de dias. Consultando a Tabela para Contagem deDias (p. 229), vemos que:

à data 25/11 correspondem 329 dias;

à data 20/07 correspondem 201 dias.

Logo, o número de dias procurado é:

329 – 201 = 128 dias

Assim:

Daí:

j = 8.500,00 × 0,00125 × 128 ⇒ j = 1.360,00,

isto é, o juro a ser pago é de:

R$ 1.360,00

Resolva

1. Um capital de R$ 9.840,00 foi aplicado à taxa de 3% ao mês, no período compreendido entre15/04 e 23/07 do mesmo ano. Qual o juro recebido?

120


1. Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês, para obtermos R$441,00 de juro?

Resolução:

Temos:

Como:

j = C × i × n ⇒ C × i × n = j

vem:

Logo, o valor do principal é de:

R$ 9.800,00

2. Qual o valor do principal que, aplicado durante 1 ano e 6 meses, à taxa de 1,2% ao mês,rendeu R$ 19.008,00?

Resolução:

Temos:

Como:

121

C × i × n = j

vem:

Logo, a quantia a ser aplicada é de:

R$ 88.000,00

3. A que taxa foi empregado o capital de R$ 12.000,00, que, no prazo de 2 anos, rendeu R$8.400,00 de juro?

Resolução:

Temos:

Como:

j = C × i × n ⇒ C × i × n = j

vem:

Logo, a taxa é de:

0,35 a.a. ou 35% a.a.

NOTA:• A taxa resultante será sempre referida à mesma unidade do intervalo de

tempo dado.

4. Uma aplicação de R$ 8.000,00, pelo prazo de 6 meses, obteve um rendimento de R$ 1.680,00.

122

Qual a taxa anual correspondente?

Resolução:

Temos:

Logo:

isto é:

i = 0,035 a.m. ou 3,5% a.m.

Como, porém, o problema pede a taxa anual, temos:

i = (3,5 × 12)% a.a. ⇒ i = 42% a.a.

Logo, a taxa é de:

42% a.a.

NOTA:• Às vezes é mais conveniente transformarmos a unidade do intervalo de

tempo para a mesma unidade da taxa. É o que faremos no exercício seguinte.

5. A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 66.000,00 para que, em 3 meses e 10dias, renda um juro de R$ 11.000,00?

Resolução:

Temos:

123

Logo:

isto é, a taxa é de:

0,05 a.m. ou 5% a.m.

6. Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 12.800,00 que, à taxa de1% ao mês, rendeu R$ 896,00.

Resolução:

Temos:

Como:

C × i × n = j

vem:

isto é, o período financeiro é de:

7 meses

NOTA:

124

• O tempo resultante será sempre referido na mesma unidade da taxa.

7. Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 4.800,00, à taxa de 36% ao ano, para obtermos R$2.376,00 de juro?

Resolução:

Temos:

Logo:

4.800 × 0,36 × n = 2.376 ⇒

isto é, o tempo de aplicação é de:

1,375 a ou 1 a 4 me 15 d*

8. Um capital de R$ 10.500,00 rendeu R$ 1.225,00 de juro. Sabendo que a taxa de jurocontratada foi de 42% ao ano e que a aplicação foi feita no dia 20/01/88, qual a data dovencimento?

Resolução:

Temos:

Logo:

isto é:

n = 0,278 a ou n = 100 d

Para determinarmos a data do vencimento, recorremos à Tabela para Contagem de Dias (p.

125

229). À data de aplicação (20/01) corresponde o fator 20. Somando esse fator ao número dedias obtido no problema (100), temos:

20 + 100 = 120 d

A Tabela, em seu corpo, nos diz que ao fator 120 corresponde a data 30/04, mas, como 1988 éum ano bissexto, diminuímos um dia, o que nos dá a data do vencimento:

29 de abril de 1988

Resolva

1. Qual o capital a ser aplicado no período de 05/06 a 30/11 do mesmo ano, à taxa de 36% aoano, para render um juro de R$ 5.696,00?

2. A que taxa mensal foi aplicado um capital de R$ 6.000,00, que, durante 6 meses e 20 dias,rendeu R$ 1.320,00 de juro?

3. Durante quanto tempo foram aplicados R$ 19.680,00, que, à taxa de 33,6% ao ano, renderamR$ 9.368,00 de juro?

4. Um capital inicial de R$ 16.000,00, à taxa de 36% ao ano, rendeu R$ 2.192,00 de juro.Sabendo que a aplicação foi feita no dia 15/05/88, qual foi a data de vencimento do contrato?


1. Um investidor aplica do seu capital a 5% ao mês e o restante a 54% ao ano. Decorridos 3anos e 4 meses, recebe um total de R$ 522.000,00 de juro. Calcule o seu capital inicial.

Resolução:

Temos:

126

Logo:

Como:

j1 + j2 = 522.000,00

vem:

isto é, o capital inicial era de:

R$ 270.000,00

2. Uma pessoa aplica R$ 4.800,00 a 24% ao ano. Após algum tempo, a taxa é aumentada para3% ao mês. Determine o prazo em que vigorou a taxa de 3% ao mês, sabendo que em 8 mesesos juros totalizaram R$ 912,00.

Resolução:

Temos:

Logo:

127

j1 = 4.800 × 0,03 × n = 144 n

j2 = 4.800 × 0,02 × (8 – n) = 96 (8 – n)

Como:

j1 + j2 = 912

vem:

isto é, o prazo foi de:

3 meses

8.10 Montante

Já vimos que o montante (ou valor nominal) é igual à soma do capital inicial (ou valor atual)com o juro relativo ao período de aplicação, isto é:

montante = capital inicial + juro

ou

valor nominal = valor atual + juro

Assim, designando o montante por M, temos:

Lembrando que:

j = C × i × n

a fórmula (3) pode ser escrita assim:

128

M = C + C × i × n

ou, colocando C em evidência:


1. Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 durante 15 meses, àtaxa de 3% ao mês?

Resolução:

Temos:

Lembrando que:

M = C(1 + in)

vem:

M = 28.000,00 (1 + 0,03 × 15) = 28.000,00 × 1,45 = 40.600,00,

isto é:

M = R$ 40.600,00

NOTA:• A solução deste problema também pode ser obtida do seguinte modo:

j = 28.000,00 × 0,03 × 15 = 12.600,00

Como:

129

M = C + j

vem:

M = 28.000,00 + 12.600,00 = 40.600,00,

isto é:

M = R$ 40.600,00

2. Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800,00 daqui a 18 meses, auma taxa de 48% ao ano, no regime de juro simples?

Resolução:

Temos:

Substituindo esses valores na fórmula (4), obtemos:

14.800,00 = C(1 + 18 × 0,04)

ou:

C(1 + 18 × 0,04) = 14.800,00

Daí:

isto é:

C = R$ 8.605,00

3. Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor, após 10meses, a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro anual cobrada.

Resolução:

Temos:

130

Substituindo esses valores em (4), obtemos:

116.640 = 86.400 (1 + 10i)

ou:

86.400 (1 + 10i) = 116.640

Daí:

isto é:

i = 0,035 a.m.

Porém, o que se pede é a taxa anual. Então:

i = (0,035 × 12) a.a. ⇒ i = 0,42 a.a. ou 42% a.a.

Assim, a taxa é de:

42% a.a.

NOTA:• Podemos, ainda, obter esse resultado do seguinte modo:

j = M – C

Logo:

j = 116.640 – 86.400 ⇒ j = 30.240

Lembrando que:

131

temos:

Daí:

i = 0,035 a.m. ⇒ i = 0,42 a.a.,

isto é:

42% a.a.

4. Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00, à taxa de juro de 16% ao ano,para obtermos um montante de R$ 8.320,00?

Resolução:

Temos:

Substituindo em (4), temos:

8.320 = 8.000 (1 + 0,16 × n)

ou:

8.000 (1 + 0,16 × n) = 8.320

Daí:

isto é:

n = 0,25 a

ou:

132

n = 3 meses

NOTA:• Outra maneira de se resolver o problema é:

j = 8.320 – 8.000 ⇒ j = 320

Lembrando que:

vem:

isto é:

n = 0,25 a ou n = 3 meses

5. Uma concessionária vende um automóvel por R$ 15.000,00 à vista. A prazo, vende por R$16.540,00, sendo R$ 4.000,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual é a taxa de juromensal cobrada?

Resolução:

Se o cliente resolver comprar a prazo, receberá financiamento para apenas R$ 11.000,00(15.000 – 4.000). O fato se passa, então, como se o cliente tivesse recebido R$ 11.000,00emprestados com o compromisso de devolver R$ 12.540,00 (16.540 – 4.000) após o prazo de4 meses.

Temos, então:

Como:

M = C(1 + in)

vem:

133

12.540 = 11.000 (1 + 4i)

ou:

isto é:

i = 0,035 a.m.

Logo, a taxa de juro cobrada é de:

3,5% ao mês

Resolva

1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos.

2. Uma pessoa aplicou R$ 90.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montantede R$ 180.000,00. Qual foi a taxa anual?

3. Um capital foi aplicado à taxa de 45% ao ano em 12/02/90. Em 03/05/90 foi efetuado oresgate no valor de R$ 107.800,00. Qual o valor do capital inicial?

4. Um investidor aplicou R$ 200.000,00 no dia 06/01/90, à taxa de 27% ao ano. Em que dataesse capital elevar-se-á a R$ 219.500,00?

Exercícios

1. Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo de 18meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês?

134

2. Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 dejaneiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano.

3. Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500,00 a ser resgatado por R$2.700,00 no final de 2 anos?

4. A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses?

5. Um capital de R$ 30.000,00, aplicado durante 10 meses, rende juro de R$ 6.000,00.Determine a taxa correspondente.

6. Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro de R$7.830,00. Qual foi esse capital?

7. Uma aplicação de R$ 400.000,00 em letras de câmbio,* pelo prazo de 180 dias, obteve orendimento de R$ 60.000,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?

8. Qual é o tempo em que um capital de R$ 96.480,00, a 25% ao ano, rende R$ 79.395,00 dejuro?

9. Sabendo que o juro de R$ 120.000,00 foi obtido com a aplicação de R$ 150.000,00 à taxa de8% ao trimestre, calcule o prazo.

10. Um capital emprestado a ao mês rendeu, em 1 ano, 1 mês e 10 dias, o juro de R$19.584,00. Qual foi esse capital?

11. Qual o capital que, à taxa de 2,5% ao mês, rende juro de R$ 126.000,00 em 3 anos?

12. Uma pessoa sacou R$ 21.000,00 de um banco sob a condição de liquidar o débito ao fim de3 meses e pagar ao todo R$ 22.575,00. A que taxa de juro obteve aquele capital?

13. Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido seja

igual a do capital?

14. Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano?

15. Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregadoesse capital?

16. É mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 a 24% ao ano ou R$ 3.510,00 a 22% ao ano e orestante a 28% ao ano?

135

17. Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês, durante 2anos.

18. Empregam-se de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendose, assim, umganho anual de R$ 8.640,00. Qual é o valor desse capital?

19. Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 200.000,00, a 2,5% ao mês, renda um montantede R$ 240.000,00?

20. Em que prazo uma aplicação de R$ 26.250,00 pode gerar um montante de R$ 44.089,00,considerando-se uma taxa de 30% ao ano?

21. A que taxa anual deve ser aplicado o capital de R$ 48.500,00 para que acumule em 1 ano e 2meses um montante de R$ 65.475,00?

22. Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 meses e 20dias um montante de R$ 586.432,00.

23. Duas pessoas têm juntas R$ 261.640,00 e empregam o que têm à taxa de 40% ao ano. Após 2anos, a primeira recebe R$ 69.738,00 de juro a mais que a segunda. Qual o capital de cadauma?

24. O montante de uma aplicação por 4 meses é de R$ 42.336,00; por 9 meses, à mesma taxa, éde R$ 46.256,00. Calcule a taxa comum e a aplicação inicial.

25. Determine o montante que certo capital, aplicado durante 20 trimestres, à taxa de 3% ao mês,rende R$ 62.640,00 de juro.

26. O capital de R$ 7.812,00 foi dividido em duas partes. A primeira, colocada a 4% ao mês,rendeu durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2% ao mês. Calculeo valor de cada parte.

27. Um negociante obteve R$ 441.000,00 de empréstimo, à taxa de 21% ao ano. Alguns mesesdepois, tendo encontrado quem lhe oferecesse a mesma importância a 18% ao ano, assumiuo compromisso com essa pessoa e, na mesma data, liquidou a dívida com a primeira. Umano depois de realizado o primeiro empréstimo, saldou o débito e verificou que pagou aotodo R$ 82.688,00 de juro. Calcule o prazo do primeiro empréstimo.

136

9 DESCONTO SIMPLES

9.1 IntroduçãoSe uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor

um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida.Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo

antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto.O desconto é uma das aplicações mais comuns da regra de juro.

9.2 Títulos de créditoOs títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória, a duplicata

e a letra de câmbio.

a) A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimentopredeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e umainstituição financeira.

b) A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física oujurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos nofuturo, segundo um contrato.

c) A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação decapital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitidoexclusivamente por uma instituição financeira.

9.3 DescontoCom relação aos títulos de crédito, pode ocorrer:

• que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se beneficiacom um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante ointervalo de tempo que falta para o vencimento;

• que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele podevender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro,correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedorliquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.

137

Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades. Essebenefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.

As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto, e o ato de efetuá-las é chamado descontar um título.

Além disso:

• dia de vencimento é o dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) da aplicação;

• valor nominal* é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento);

• valor atual** é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento;

• tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o deseu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou, então, incluindo o último e não oprimeiro.

Assim:

Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal eo valor atual.

O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou o valor atual. Noprimeiro caso, é denominado desconto comercial; no segundo, desconto racional.

9.4 Desconto comercial

9.4.1 Definição

Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples,produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente, e à taxa fixada.

9.4.2 Valor do desconto comercial

Chamando de:

138

temos, pela definição:

que é o valor do desconto comercial.

9.4.3 Valor atual comercial

O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por:

A = N – d

Substituindo d pelo seu valor obtido em (1), vem:

A = N – N × i × n

Daí:

que é o valor atual comercial.

NOTA:

• O desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois para prazos longos ovalor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do título.

Exercício resolvidos

1. Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para ovencimento do título, determine:

a) o valor do desconto comercial;

b) o valor atual comercial.

Resolução:

139

Temos:

a) Sabemos que:

d = N × i × n

Logo:

d = 6.000,00 × 0,0007 × 45 ⇒ d = 189,00, isto é, o desconto comercial é de:

R$ 189,00

b) Como:

A = N – d

vem:

A = 6.000,00 – 189,00 ⇒ A = 5.811,00,

isto é, o valor atual comercial é de:

R$ 5.811,00

NOTA:• Obteríamos o mesmo resultado lembrando que:

A = N (1 – i × n) e d = N – A

Daí:

A = 6.000,00 (1 – 0,0007 × 45) = 5.811,00 ed = 6.000,00 – 5.811,00 = 189,00

2. Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00. Calculeo tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês.

Resolução:

Temos:

140

Como:

A = N (1 – i × n) ou N (1 – i × n) = A

vem:

6.900 (1 – 0,04 × n) = 6.072 ⇒

⇒ −0,04 × n = − 1 + 0,88 − ⇒ −0,04 × n = −0,12 ⇒

isto é, a antecipação foi de:

3 meses

NOTA:• O problema também poderia ser resolvido empregando a fórmula do desconto (d = N × i × n),

lembrando que:

d = N − A ⇒ d = 6.900 − 6.072 ⇒ d = 828

Logo:

828 = 6.900 × 0,04 × n ⇒ 276 × n = 828 ⇒

Resolva

1. Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 2.000,00, foi resgatada 2 meses antes dovencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial?

141

2. Um título, no valor nominal de R$ 8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/07.Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual é o valor comercial descontado?

3. Um título de R$ 4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo quea taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate.

9.4.4 Taxa de juro efetiva

A taxa de juro, que no período n torna o capital A igual ao montante N, é a taxa que realmenteestá sendo cobrada na operação de desconto. Essa taxa é denominada taxa de juro efetiva.

Assim, simbolizando a taxa efetiva por if, temos:

C(1 + if × n) = M (valor do montante)

Como:

C = A e M = N

temos:

A(1 + if × n) = N

Daí:

Lembrando que:

N – A = d

vem:

142


1. Um título de R$ 6.000,00 foi descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o seuvencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de R$ 189,00, calcule a taxa de juroefetiva.

Resolução:

Temos:

Como:

A = N – d ⇒ A = 6.000 – 189 ⇒ A = 5.811

vem:

isto é:

if = 0,000723 a.d.

ou:

if = 0,0217 a.m. ou if = 2,17% a.m.

NOTA:• Assim, para que haja igualdade entre o capital empregado e o valor atual do título, é necessário

que a taxa de juro seja maior que a taxa de desconto, cuja relação nos é dada pela fórmula (3).

143

Resolva

1. Uma duplicata de R$ 23.000,00 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por R$21.068,00. Determine a taxa de desconto e a taxa efetiva.

9.5 Equivalência de capitaisÀs vezes temos necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou outros) com

vencimento diferente ou, ainda, de saber se duas formas de pagamento são equivalentes.Esses problemas estão ligados, de modo geral, à equivalência de capitais diferidos.*

Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seusvalores atuais, nessa época, são iguais.

A solução deste tipo de problema consiste em estabelecer uma data — data de comparação — ecomparar os valores atuais dos títulos em questão, nessa data. Se resultar uma igualdade, podemosconcluir que esses capitais diferidos são equivalentes.

No regime de juro simples, essa data de comparação deve ser a data zero, isto é, a data em que adívida foi contraída; isto porque, neste regime, não podemos fracionar o prazo de aplicação, já que ojuro é admitido como formado no fim do período de aplicação.


1. Quero substituir um título de R$ 5.000,00, vencível em 3 meses, por outro com vencimento em5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% ao mês, qual ovalor nominal comercial do novo título?

Resolução:

Temos:

144

Para que exista equivalência, devemos ter:

A = A′

Como:A = N(1 − i × n) ⇒ A = N(1 − 0,035 × 5) ⇒ A = 0,825N

A′ = N′(1 − i′ × n′) ⇒ A’ = 5.000,00 (1 − 0,035 × 3) = 5.000,00 × 0,895 ⇒⇒ A′ = 4.475,00

vem:

Logo, o valor do novo título é de:

R$ 5.424,00

2. Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de R$ 3.000,00 e o outro de R$3.600,00, vencíveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um único título vencível em 4meses. Sendo a taxa de juro igual a 3% ao mês, qual será o valor do novo título?

Resolução:

Temos:

Para que exista a equivalência pretendida, devemos ter:

A = A1 + A2

Como A = N(1 − i × n), vem:A = N(1 − 0,03 × 4) ⇒ A = 0,88N

A1 = 3.000,00 (1 − 0,03 × 2) ⇒ A1 = 2.820,00

A2 = 3.600,00 (1 − 0,03 × 6) ⇒ A2 = 2.952,00

145

Daí:

Logo, o valor do novo título será de:

R$ 6.559,00

3. Queremos substituir dois títulos, um de R$ 5.000,00 para 90 dias e outro de R$ 12.000,00 para60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencíveis, respectivamente, em 30, 60 e90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial datransação é de 3% ao mês.

Resolução:

Temos:

Para que exista a equivalência, devemos ter:

A1 + A2 + A3 = A′1 + A′ 2

Como A = N(1 − i × n), vem:

A1 = N(1 − 0,03 × 1) ⇒ A1 = 0,97N

A2 = N(1 − 0,03 × 2) ⇒ A2 = 0,94N

A3 = N(1 − 0,03 × 3) ⇒ A3 = 0,91N

A′1 = 5.000,00 (1 − 0,03 × 3) ⇒ A′1 = 4.550,00

A′2 = 12.000,00 (1 − 0,03 × 2) ⇒ A′2 = 11.280,00

Daí:

0,97N + 0,94N + 0,91N = 4.550,00 + 11.280,00 ⇒

Logo, o valor nominal de cada um dos novos títulos será de:

146

R$ 5.613,00

Resolva

1. Um título de valor nominal igual a R$ 6.300,00 para 90 dias deverá ser substituído por outropara 150 dias. Calcule o valor nominal do novo título, à taxa de 2,5% ao mês.

2. Um industrial deve pagar dois títulos: um de R$ 14.400,00 para 2 meses e outro de R$19.200,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credorsubstituí-los por um novo título para 4 meses. Qual o valor nominal do novo título, sendo ataxa igual a 3,8% ao mês?

3. Substitua três títulos, um de R$ 4.000,00 para 30 dias, outro de R$ 10.000,00 para 60 dias eoutro de R$ 16.000,00 para 90 dias, por dois outros títulos de iguais valores nominais,vencíveis em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos títulos,sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3,5% ao mês?

9.6 Desconto racional

9.6.1 Definição

Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atualdo título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.

NOTA:

• Na prática, somente o desconto comercial é utilizado; porém, é necessário fazermos umrápido estudo do desconto racional porque, como veremos no Capítulo 11, o descontocomposto está ligado a esse conceito.

9.6.2 Valor do desconto racional

Chamando:

147

temos, pela definição:

9.6.3 Valor do desconto racional em função do valor nominal

Como:

substituindo (5) em (4), temos:dr = (N − dr) i × n = dr = N × i × n − dr × i × n ⇒

⇒ dr + dr × i × n = N × i × n ⇒ dr (1 + i × n) = N × i × n

Daí:

que é o valor do desconto racional em função do valor nominal do título.

9.6.4 Valor atual racional

O valor atual ou descontado racional é dado por:

Ar = N − d r

Substituindo dr pelo seu valor, obtido em (6), vem:

Daí:

148

NOTA:

• Lembrando que d = N × i × n e substituindo em (6), vem: , o que nos permite concluirque o desconto racional é menor que o desconto comercial.


1. Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para ovencimento do título, determine:

a) o valor do desconto racional;

b) o valor atual racional.

Resolução:

Temos:

a) Como:

vem:

isto é:

dr= R$ 183,00

b) Como:

A r= N − dr

149

vem:

Ar = 6.000,00 − 183,00,

isto é:

A r= R$ 5.817,00

NOTA:• Comparando o valor do desconto racional (R$ 183,00) com o valor do desconto comercial

obtido no exercício da p. 112 (R$ 189,00), comprovamos a afirmação de que o descontoracional é menor do que o comercial.

Resolva

1. Determine o valor do desconto e o valor atual racionais de um título de R$ 50.000,00,disponível dentro de 40 dias, à taxa de 3% ao mês.

Exercício

1. Determine o desconto* de uma promissória de R$ 3.000,00, à taxa de 40% ao ano, resgatada75 dias antes do vencimento.

2. Uma duplicata foi descontada pelo valor de R$ 234.375,00 cinqüenta dias antes de seuvencimento, à taxa de 45% ao ano. Qual o seu valor nominal?

3. Ao pagar um título de R$ 3.600,00 com antecipação de 90 dias, recebo um desconto de R$486,00. Qual é a taxa de desconto?

4. O valor atual de um título de R$ 4.800,00 é R$ 4.380,00. Sabendo que a taxa bancária de

150

desconto é de 3,5% ao mês, qual o tempo de antecipação?

5. Uma duplicata de R$ 69.000,00 foi resgatada antes do seu vencimento por R$ 58.909,00.

Sabendo que a taxa de desconto foi de ao mês, qual o tempo de antecipação?

6. Uma empresa possui um título cujo valor nominal é de R$ 7.000,00, com vencimento daqui a150 dias. Quantos dias antes do vencimento deve descontá-lo, à taxa comercial de 36% aoano, para que possa adquirir mercadorias no valor de R$ 6.790,00?

7. Um comerciante vai a um banco e desconta uma nota promissória para 90 dias, à taxa de 3%ao mês, mais 1,5% de comissão. Sabendo que o líquido creditado para o comerciante foi deR$ 17.900,00, qual o valor da promissória?

8. Um título de R$ 27.000,00 foi descontado faltando 60 dias para o seu vencimento. Sabendoque o desconto foi de R$ 1.800,00, calcule a taxa de desconto e a taxa de juro efetiva.

9. Calcule o valor nominal de um título com vencimento para 60 dias, sabendo que a diferençaentre os seus descontos comercial e racional, à taxa de 3% ao mês, é de R$ 408,00.

10. Um comerciante desconta em um banco uma nota promissória para 90 dias, à taxa de 3% aomês, mais 1% de taxa administrativa. Sabendo que o líquido creditado para o comerciantefoi de R$ 10.800,00, qual o valor da nota promissória?

11. Qual é a taxa de juro equivalente à taxa de desconto de 3% ao mês durante 2 meses?(Sugestão: N = M = 1 e A = C.)

12. Um banco deseja ganhar 48% ao ano de juro simples no desconto de títulos. Que taxa dedesconto deveria usar, se o prazo do desconto é de 120 dias?

13. Calcule o tempo de antecipação de uma nota promissória, sabendo que o seu valor nominal écinco vezes o do desconto, a 30% ao ano.

14. Sou portador de duas notas promissórias, uma de R$ 8.000,00, vencível em 150 dias, e outrade R$ 4.000,00, vencível em 120 dias. Pretendendo descontá-las dentro de 90 dias, qual ovalor a ser recebido, à taxa de desconto de 3,5% ao mês?

15. Um título no valor nominal de R$ 7.000,00, pagável em 50 dias, vai ser substituído por outrocom vencimento para 120 dias. Sabendo que o credor pode resgatar o título à taxa de 36%ao ano, determine o valor nominal do novo título.

16. Um comerciante descontou dois títulos em um banco: um de R$ 12.000,00, para 120 dias, eoutro de R$ 10.000,00, para 150 dias. Desejando substituí-los por um título único, com

151

vencimento para 90 dias, calcule o valor nominal deste último, supondo que a taxa dedesconto de 42% ao ano permaneça inalterada.

17. Um microempresário tem três títulos, de R$ 2.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 8.00,000,descontados em um banco e com vencimentos para 90, 150 e 180 dias, respectivamente.Desejando substituí-los por dois outros de valores nominais iguais para 60 e 120 dias,calcule o valor nominal comum, supondo que a taxa de desconto seja de 3,2% ao mês para astransações desse tipo.

18. Tenho três títulos, cujos valores são R$ 15.000,00, R$ 20.000,00 e R$ 25.000,00, comvencimentos, respectivamente, para 60, 90 e 120 dias, que foram substituídos por dois outrosde R$ 33.110,00 cada um, vencíveis em 150 e 210 dias. Calcule a taxa de desconto, sabendoque é a mesma para qualquer transação.

19. Sendo de 3% ao mês a taxa de desconto, dentro de quantos dias deverá vencer um título deR$ 2.000,00 a fim de que seja equivalente a um outro de R$ 1.600,00 vencível em 60 dias?

20. Um comerciante contraiu uma dívida de R$ 37.300,00 para ser paga com dois títulos demesmo valor, vencíveis dentro de 60 e 90 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa dedesconto é de 2,7% ao mês, calcule qual deverá ser o valor nominal de cada título.

152

10 JURO COMPOSTO

10.1 IntroduçãoEstudamos, no Capítulo 8, o regime de capitalização simples, no qual o juro produzido por um

capital é sempre o mesmo, qualquer que seja o período financeiro, pois ele é sempre calculadosobre o capital inicial, não importando o montante correspondente ao período anterior.

Assim, um capital de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte evolução no regime dejuro simples:

Ano Juro Montante

0 — 100,00

1 100 × 0,02 × 1 = 2 102,00

2 100 × 0,02 × 1 = 2 104,00

3 100 × 0,02 × 1 = 2 106,00

O regime de capitalização que vamos estudar neste capítulo é o mais comumente usado. Nele, ojuro a partir do segundo período é calculado sobre o montante do período anterior. Daí afirmamosque neste regime “o juro rende juros”.

10.2 Juro composto

Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre omontante relativo ao período anterior.

Assim, no regime de juro composto, o juro produzido no fim de cada período é somado ao capitalque o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no período seguinte.

153

10.3 Cálculo do montanteTomando o exemplo anterior, de acordo com a definição, temos:

Ano Juro Montante

0 — 100,00

1 100,00 × 0,02 × 1 = 2,00 102,00

2 102,00 × 0,02 × 1 = 2,04 104,04

3 104,04 × 0,02 × 1 = 2,08 106,12

Isso nos permite concluir que o montante no regime de juro composto é maior que no regime dejuro simples (a partir do segundo período).

Consideremos, agora, um capital inicial C, aplicado em regime de juro composto à taxa i. Temos:

Período Juro Montante

1o j1 = C × i M1 = C + j1 = C + Ci ⇒ M1 = C(1 + i)

2o j2 = M1 × iM2 = M1 + j2 = M1 + M1 × i = M1(1 + i) = = C(1 + i)(1 + i)

⇒ M2 = C(1 + i)2

3o j3 = M2 × i M3 = M2 + j3 = M2 + M2 × i = M2(1 + i) = = C(1 + i)(1 + i)2

⇒ M3 = C(1 + i)3

o que nos permite escrever, para o enésimo período:

Esta é a fórmula do montante em regime de juro composto, também chamada fórmulafundamental do juro composto, para um número inteiro de períodos.

O fator (1 + i) n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital.

154

NOTA:• Ainda aqui, como em juro simples, a unidade para a resolução de um problema é determinada

pelo período financeiro a que se refere.


1. Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00, aplicados em regime de juro composto a 5% aomês, durante 2 meses.Resolução:Temos:

Substituindo esses valores em (1), vem:

M2 = 2.000,00 (1 + 0,05)2

Logo:

M2 = 2.000,00 × 1,052 = 2.000,00 × 1,1025 ⇒⇒ M2 = 2.205,00,

isto é, o montante é de:

R$ 2.205,00

10.4 Determinação do fator de capitalizaçãoA única dificuldade que existe no cálculo do montante em regime de juro composto é a

determinação do valor do fator de capitalização (1 + i)n.Se dispomos de uma calculadora científica que apresente a tecla xy , o cálculo é facílimo. Caso

contrário, devemos fazer uso da Tábua Financeira (p. 236) ou dos logaritmos (p. 231).

10.4.1 Calculadora eletrônica

155

Fazemos uso da tecla xy .Exemplos:Suponhamos problemas que envolvam:1o) taxa de 20% ao ano e um período de 5 anos. Temos:

Queremos determinar (1 + 0,2)5 = 1,25.Introduzimos na calculadora o valor x (x = 1 + i), pressionamos a tecla de elevação à potência

xy , introduzimos o valor y (y = n) e finalmente pressionamos a tecla = . Assim:

1,2 xy 5 = → 2,48832

Logo:

(1 + 0,2)5 = 2,48832

2o) taxa de 3% ao mês e um período de 1 ano e 4 meses. Temos:

Queremos determinar (1 + 0,03)16. Assim:

1,03 xy 16 = → 1,604706 = 1,60471

Logo:

(1 + 0,03)16 = 1,60471

3o) taxa de 9% ao trimestre e um período de 15 meses. Temos:

Queremos determinar (1 + 0,09)5. Assim:

1,09 xy 5 = → 1,538623 = 1,53862

Logo:

(1 + 0,09)5 = 1,53862

156

10.4.2 Tábua financeira

No final desta obra, apresentamos uma Tábua Financeira (p. 236) que nos dá os valores de (1 +i)n para vários valores de i e de n.

Para localizarmos nessa Tábua determinado valor de (1 + i)n, procuramos o quadro da taxapercentual correspondente a i (que, por questão didática, designaremos por tabela) e na primeiracoluna dessa tabela o valor de n. O valor de (1 + i)n é aquele que figura na intersecção da segundacoluna com a linha do número de períodos (n).

Nessa Tábua, o número de períodos é dado na unidade de tempo da taxa; assim, se a taxa é anual,n é o número de anos; se mensal, n é o número de meses etc.

Exemplos:Consideremos os mesmos dados do item anterior:1o) Temos:

Queremos determinar o valor de (1 + 0,2)5.Localizamos, inicialmente, a tabela correspondente a i = 20%. Na primeira coluna procuramos o

valor 5 de n. O valor de (1 + 0,2)5 é aquele que se encontra na intersecção da quinta linha com asegunda coluna: 2,48832.

Logo:

(1 + 0,2)5 = 2,48832

2o) Temos:

Logo, pela tabela correspondente a 3%, vem:

(1 + 0,03)16 = 1,60471

3o) Temos:

Logo, pela tabela correspondente a 9%, vem:

(1 + 0,09)5 = 1,53862

157

10.4.3 Logaritmos

No final desta obra, apresentamos um estudo elementar de Logaritmos Decimais (p. 217) e umaTábua de Logaritmos (p. 231) com seis decimais, que serão suficientes para o seu emprego emmatemática financeira.

Exemplo:Para uma taxa de 20% ao ano e um período de 5 anos, temos:

Queremos determinar o valor de (1 + 0,2)5:

(1 + 0,2)5 = 1,25

Aplicando os logaritmos, vem:

log 1,25 = 5 × log 1,2 = 5 × 0,079181 = 0,395905

Logo:

1,25 = antilog 0,395905

Como esse valor não se encontra na Tábua, fazemos:

Assim:

Temos, então:

248,8317

Como a característica do logaritmo é 0, devemos ter uma casa na parte inteira:

antilog 0,395905 = 2,488317,

isto é:

1,25 = 2,48832

158


1. Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, a juro de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, comcapitalização composta. Qual o montante a ser devolvido?Resolução:Temos:

Como:

Mn = C(1 + i)n

vem:

M10 = 3.000,00 (1 + 0,03)10

Consultando a Tábua Financeira, obtemos:

(1 + 0,03)10 = 1,34392

Logo:

M10 = 3.000,00 × 1,34392 ⇒ M10 = 4.031,76,

isto é, a quantia a ser devolvida é de:

R$ 4.032,00

2. Calcule o montante de R$ 20.000,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses.Resolução:Temos:

Logo:

159

M35 = 20.000,00 (1 + 0,035)35

Calculadora:

(1 + 0,035)35 = 1,03535 = 3,33359

Daí:

M35 = 20.000,00 × 3,33359 ⇒ M35 = 66.671,8,


R$ 66.672,00

Tábua Financeira:Como n = 35 ultrapassa os limites da Tábua, para calcularmos (1 + i)n lançamos mão dapropriedade multiplicativa de potências de mesma base:

am × an = am + n*

Assim, fazendo:

35 = 30 + 5

podemos escrever:

(1 + 0,035)35 = (1 + 0,035)30 ×

(1 + 0,035)5 = 2,80679 × 1,18769 =

= 3,33360

Logo:

M35 = 20.000,00 × 3,33360 ⇒ M35 = 66.672,00,


R$ 66.672,00

3. Calcule o montante de R$ 5.000,00, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses.Resolução:Temos:

160

Logo:

M4 = 5.000,00 (1 + 0,0225)4

Calculadora:

(1 + 0,0225)4 = 1,02254 = 1,09308

Daí:

M4 = 5.000,00 × 1,09308 ⇒ M4 = 5.465,40,


R$ 5.465,00

Tábua Financeira:Neste caso, a taxa 2,25% não figura na Tábua; para calcularmos (1 + 0,0225)4 podemos fazer usoda interpolação linear*. Como 2,25% está compreendido entre 2% e 2,5%, tomamos na Tábua (n= 4) os valores correspondentes:

(1 + 0,020)4 = 1,08243

(1 + 0,025)4 = 1,10381

Assim, vemos que para a diferença 2,5% – 2% = 0,5% corresponde a diferença 1,10381 –1,08243 = 0,02138.Logo, à diferença 2,25% – 2,0% = 0,25% corresponderá a diferença x:

Daí:

(1 + 0,0225)4 = 1,08243 + 0,01069 = 1,09312

Finalmente:

M4 = 5.000,00 × 1,09312 ⇒ M4 = 5.465,60,


161

R$ 5.466,00

Resolva

1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime dejuro composto, à taxa de 1,5% ao mês.

2. Calcule o montante do capital de R$ 75.000,00, colocado a juros compostos à taxa de aomês, no fim de 6 meses.

3. Qual o montante produzido por R$ 12.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 2% aomês durante 40 meses?

10.5 Cálculo do capitalA fórmula do montante em regime de juro composto:

Mn = C(1 + i)n

pode ser escrita assim:

C(1 + i)n = Mn

Daí:

Como , podemos escrever:*

que nos dá o valor do capital inicial ou principal.O fator (1 + i) –n é denominado fator de descapitalização.

NOTA:• Ainda aqui, a dificuldade está em se calcular (1 + i)–n, que pode ser determinado por meio de

162

uma calculadora científica* ou fazendo-se uso da Tábua Financeira (terceira coluna).


1. Calcule o capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de R$4.058,00.Resolução:Temos:


C = 4.058,00 (1 + 0,03)–5

Calculadora:

(1 + 0,03)–5 = 0,86261

Tábua Financeira:

(1 + 0,03)–5 = 0,86261 (i = 3% e n = 5; 3a coluna)Então:

C = 4.058,00 × 0,86261 ⇒ C = 3.500,40,

isto é, o capital inicial é de:

R$ 3.500,00

163

a

Resolva

1. Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao mês, durante 4meses, rendeu um montante de R$ 79.475,00, calcule esse capital.


1. Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, parapagamento em uma única prestação de R$ 4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa mensalcobrada pela loja?Resolução:Temos:

Substituindo esses valores na fórmula fundamental (1), vem:

4.049 = 3.200 (1 + i)6 ⇒

⇒ 3.200 (1 + i)6 = 4.049 ⇒

Calculadora:

(1 + i)6 = 1,26531 ⇒ 1 + i = (1,26531)1/6

= 1,265310,167 = 1,040

Daí:

i = 1,040 – 1 ⇒ i = 0,040,

164

isto é, a taxa é de:

0,04 a.m. ou 4% a.m.

Tábua Financeira:Devemos pesquisar nas tabelas, na segunda coluna, a linha n = 6, até encontrarmos o valor1,26532. E realmente vamos encontrálo na tabela correspondente à taxa de 4%.Logo:

i = 4% a.m.

2. Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em um únicopagamento de R$ 22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime dejuro composto.Resolução:Temos:

Substituindo esses valores na fórmula fundamental, vem:

22.125 = 11.000 (1 + 0,15)n

ou:

Tábua Financeira:Pesquisando na tabela correspondente à taxa de 15%, na segunda coluna, verificamos que para n= 5 temos (1 + i)n = 2,01136.Logo:

n = 5,

isto é, o prazo é de:

5 semestres ou 2 anos e 6 meses

Calculadora:Somos forçados a fazer uso das propriedades dos logaritmos* e da tecla log:

log 1,15n = log 2,01136 ⇒

165

⇒ n × log 1,15 = log 2,01136 ⇒

Usando, agora, a calculadora, obtemos:

log 1,15 = 0,06070 e log 2,01136 = 0,30349

Daí:

isto é, o prazo é de:

5 semestres ou 2 anos e 6 meses

Resolva

1. Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje, uma quantia de R$ 12.000,00 para receberR$ 16.127,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento propostono regime de juro composto?

2. O capital de R$ 8.700,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no fimde certo tempo a R$ 11.456,00. Calcule esse tempo.


Vimos, ao estudar juro simples (p. 102), que duas taxas são proporcionais quando seus valoresformam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.

Sendo, então, ia uma taxa anual e is, it, ib, im e id taxas, respectivamente, semestral, trimestral,bimestral, mensal e diária, temos:

Assim, para um período do ano, a taxa proporcional será , isto é:

166


Taxas equivalentes são aquelas que, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com queum capital produza o mesmo montante num mesmo tempo.

Consideremos o seguinte problema:Calcule o montante, em regime de juro composto, relativo a um capital de R$ 1.000,00,

empregado:1o) durante 1 ano, à taxa de 24% ao ano;2o) durante 12 meses, à taxa de 2% ao mês.

1o) Temos:

Logo:

M1 = 1.000,00 (1 + 0,24)1 = 1.000,00 × 1,24 ⇒ M1 = 1.240,00,

isto é:

M1 = R$ 1.240,00

2o) Temos:

Logo:

M12 = 1.000,00 (1 + 0,02)12 = 1.000,00 × 1,26824 ⇒ M = 1.268,24,

isto é:

M12 = R$ 1.268,00

167

Como M12 π M1 e as taxas empregadas (2% a.m. e 24% a.a.) são proporcionais, podemosconcluir que:

Em juros compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes.

10.8 Cálculo da taxa equivalente

Pelo conceito de taxas equivalentes, podemos afirmar que o montante produzido pelo capital C, àtaxa anual ia, durante 1 ano, tem que ser igual ao montante produzido pelo mesmo capital C, durante12 meses, à taxa mensal im, equivalente à taxa anual ia. Temos, então:

Logo:

(1 + im)12 = 1 + ia

Para outras frações de ano, temos:

(1 + id)360 = (1 + im)12 = (1 + it)4 = (1 + is)2 = 1 + ia


1. Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano?Resolução:Temos:

ia = 30% a.a. = 0,3 a.a.

Como:

(1 + it)4 = 1 + ia

vem:

168

(1 + it)4 = 1 + 0,3 ⇒ 1 + it = 1,31/4 ⇒

⇒ it = 1,30,25 – 1 = 1,06778 – 1 ⇒

⇒ it = 0,06778,

isto é:

it = 0,0678 a.t. ou 6,78% a.t.

2. Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês?Resolução:Temos:

im = 2% a.m. = 0,02 a.m.

Como:

1 + ia = (1 + im)12

vem:

1 + ia = (1 + 0,02)12 ⇒ 1 + ia = 1,0212 ⇒⇒ ia = 1,26824 – 1 = 0,26824,

isto é:

ia = 0,2682 a.a. ou 26,82% a.a.

Resolva

1. Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia.

2. Determine a taxa semestral equivalente a 45% ao ano.

169

10.9 Montante para períodos não-inteirosPode ocorrer de o número de períodos financeiros não ser um número inteiro. Neste caso, a

fórmula fundamental não tem sentido, pois, ao determiná-la, supusemos que os juros fossemformados apenas no fim de cada período de capitalização.

Desse modo, a obtenção do montante para períodos não-inteiros só pode ser feita medianteconvenções adicionais.

É comum serem adotadas duas convenções: a convenção linear e a convenção exponencial.Na convenção linear os juros do período não-inteiro são calculados por interpolação linear. Na

convenção exponencial os juros do período não-inteiro são calculados utilizando-se a taxaequivalente.

Utilizaremos a convenção exponencial por ser mais lógica. Suponhamos um capital C, aplicado

em regime de juro composto à taxa i, durante o período , sendo p < q.Pela convenção exponencial, o capital C renderá juros compostos à taxa i durante os primeiros n

períodos. A seguir, seu montante Mn passará a render juros compostos à taxa iq (equivalente à taxa i

e relativa à fração do período) durante os p períodos iguais a .Por dedução, chegamos, então, à fórmula:

que nos dá o montante para períodos não-inteiros.


1. Qual será o montante de R$ 3.000,00, a juros compostos de 47% ao ano, em 4 anos e 3 meses?Resolução:Temos:

170

Logo:

isto é, o montante será de:

R$ 15.425,00

Resolva

1. Empreguei um capital de R$ 25.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 35% ao ano,durante 2 anos e 6 meses. Quanto recebi?

10.10 Taxa nominalVimos que o juro só é formado no final de cada período. Entretanto, são frequentes, na prática,

enunciados do tipo:

• juros de 48% ao ano capitalizados semestralmente;

• juros de 36% ao ano capitalizados mensalmente.

Tais enunciados caracterizam o que se convencionou chamar de taxas nominais.Assim:

Taxa nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refere.

A taxa nominal é, em geral, uma taxa anual.Para resolvermos problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, determinamos, por

convenção, que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal.

171


1. Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao anocapitalizados trimestralmente?Resolução:Temos:

Pela convenção adotada, temos:

n = 2 a = 2 × 4 t = 8 t

M8 = C(1 + i4)n

Logo:

M8 = 5.000,00 (1 + 0,06)8 = 5.000,00 × 1,59385 ⇒ M8 = 7.969,25


R$ 7.969,00

10.11 Taxa efetivaÉ evidente que, ao adotarmos a convenção, a taxa anual paga não é a oferecida e, sim, maior.

Essa é a taxa efetiva.Quando oferecemos 6% ao ano e capitalizamos semestralmente a 3%, a taxa de 6% é, como

vimos, a taxa nominal. A taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 3% semestrais. Logo, sendo if ataxa efetiva, temos:

1 + if = (1 + 0,03)2 ⇒ if = 1,06090 – 1 ⇒ if = 0,06090,

isto é, a taxa efetiva é de:

172

0,0609 a.a. ou 6,09% a.a.

Assim, sendo:

como if é equivalente a ik, temos:

1 + if = (1 + ik)k

Mas:

Logo:


1. Uma taxa nominal de 18% ao ano é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva.Resolução:Temos:

Logo:

1 + if = (1 + 0,09)2 ⇒ if = 1,18810 – 1 ⇒ if = 0,18810,

isto é, a taxa efetiva é de:

173

0,1881 a.a. ou 18,81% a.a.

Resolva

1. Um banco emprestou a importância de R$ 35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco cobra ataxa de 36% ao ano, com capitalização trimestral, qual a taxa efetiva anual e qual o montante aser devolvido ao final dos 2 anos?

10.12 Taxa real e taxa aparente

Denominamos taxa aparente aquela que vigora nas operações correntes.Quando não há inflação, a taxa aparente é igual à taxa real; porém, quando há inflação, a taxa

aparente é formada por dois componentes: um correspondente à inflação e outro correspondente aojuro real.

Sendo:

podem acontecer os seguintes casos:

• Com uma inflação igual a zero e uma taxa de juros r, o capital inicial se transformará, ao finalde um período, em:

C(1 + r)

• Com uma taxa de inflação I, o capital inicial, ao final de um período, equivalerá a:

C(1 + I)

• Com uma taxa de juros r e uma taxa de inflação I, simultaneamente, o capital inicial equivaleráa:

C(1 + r) (1 + I) (4)

• Com uma taxa aparente i, o capital inicial se transformará, ao final de um período, em:

C(1 + i) (5)

174

• Como (4) e (5) são expressões equivalentes, já que ambas traduzem o valor efetivamenterecebido, temos:

C(1 + i) = C(1 + r) (1 + I)

Daí:

1 + i = (1 + r) (1 + I)


1. Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,8% a.m. e a uma inflação de20% no período?Resolução:Temos:

Logo:

1 + i = (1 + 0,008) (1 + 0,2) == 1,008 × 1,2 = 1,2096

Daí:

i = 0,2096,

isto é, a taxa aparente deve ser de:

20,96%

2. Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na época B. O juroaparente recebido foi de 25%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação, nesseperíodo, foi de 15%.Resolução:Temos:

175

Logo:

Daí:

r = 0,087,

isto é, a taxa real foi de:

8,7%

Resolva

1. Um empréstimo foi feito a uma taxa de 32% ao ano. Sabendo que a inflação nesse ano foi de21%, calcule a taxa real anual.

2. Uma financeira cobra uma taxa aparente de 22% ao ano, com a intenção de ter um retorno realcorrespondente a uma taxa de 9% ao ano. Qual é a taxa de inflação?

Exercícios

1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14meses.

2. Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000,00, a 4,5% ao mês, capitalizado mensalmentedurante 8 meses.

3. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800,00, em regime de juro composto, aplicadodurante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês?

4. Calcule o montante de R$ 8.500,00, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses.

5. Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses

176

rendeu um montante de R$ 19.752,00.

6. Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000,00 produzirá um montante de R$ 146.853,00, à taxade 3% ao mês?

7. Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$3.774,00 de juro. Determine a taxa de aplicação.

8. O capital de R$ 12.000,00, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante 8meses, elevou-se no final desse prazo a R$ 15.559,00. Calcule a taxa de juro.

9. A que taxa bimestral devo aplicar o meu capital, de modo a obter um total de juro igual a 50%do capital aplicado no fim de 8 meses?

10. Determine as taxas mensal, trimestral, semestral e anual equivalentes à taxa de:a) 30% a.a.;c) 8% a.t.;b) 20% a.s.;d) 3% a.m.

11. O capital de R$ 9.200,00 foi colocado em regime de capitalização composta durante 1 ano e 9meses, à taxa de 36% ao ano. Qual o montante?

12. Quanto devo aplicar em regime de juro composto, à taxa de 30% ao ano, para obter em 1 ano e3 meses a importância de R$ 6.941,00?

13. A que taxa mensal foi empregada, a juros compostos, a importância de R$ 82.000,00 paraacumular em 5 meses e 21 dias o montante de R$ 97.048,00?

14. A caderneta de poupança paga juro de 6% ao ano capitalizado trimestralmente. Qual a taxaefetiva de juro?

15. Uma instituição financeira paga juro de 21% ao ano capitalizado mensalmente. Qual a sua taxaefetiva?

16. O capital de R$ 18.000,00 foi colocado por 2 anos a 20% ao ano, capitalizadostrimestralmente. Qual o montante?

17. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 12.000,00, à taxa de juro de 22% ao ano,capitalizado semestralmente, durante 21 meses.

18. Durante quanto tempo R$ 25.000,00 produzem R$ 14.846,00 de juro, a 24% ao ano,capitalizado trimestralmente?

177

19. Um investidor aplica R$ 25.000,00, em uma época A, para receber, em uma época B, aimportância de R$ 34.000,00. Calcule:a) a taxa aparente dessa aplicação;b) a taxa de inflação no período da aplicação, sabendo que a taxa real de juro dessa aplicação,

nesse período, foi de 20%.

178

11 DESCONTO COMPOSTO

11.1 Introdução

O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples: éo abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes de seu vencimento.

Empregamos o desconto composto para operações a longo prazo, já que a aplicação do descontosimples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem nexo. (Ver nota, p. 105).

Analogamente ao caso do desconto simples, temos dois tipos de desconto composto: o racional eo comercial.

O desconto comercial praticamente não é empregado entre nós; assim, ficaremos restritos aoestudo do desconto composto racional.

11.2 Cálculo do valor atual

Valor atual, em regime de juro composto de um capital N disponível no fim de n períodos, à taxai relativa a esse período, é o capital A que, colocado a juros compostos à taxa i, produz no fimdos n períodos o montante N.

Assim, em virtude dessa definição, temos:

A (1 + i)n = N

Logo:

Daí:

NOTA:

179

• (1 + i)–n é, como já vimos, o fator de descapitalização.


1. Determine o valor atual de um título de R$ 800,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento, àtaxa de desconto (composto) de 2% ao mês:Resolução:Temos:

Logo:

A = 800,00 (1 + 0,02)–4 = 800,00 × 0,92385 ⇒ A = 739,08

isto é, o valor atual do título é de:

R$ 739,00

2. Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 1.120,00, com vencimento para 2 anose 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizados semestralmente.Resolução:Temos:

Logo:

A = 1.120,00 (1 + 0,18)–5 = 1.120,00 × 0,43711 ⇒ A = 489,56,

isto é, o valor atual é de:

R$ 490,00

180

3. Qual o desconto composto que um título de R$ 5.000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antesdo seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês?Resolução:Temos:

Como:

d = N – A

calculamos, inicialmente, o valor de A, isto é:

A = 5.000,00 (1 + 0,025)–3 = 5.000,00 × 0,92860 ⇒ A = 4.643,00

Daí:

d = 5.000,00 – 4.643,00 ⇒ d = 357,00

isto é, o desconto é de:

R$ 357,00

4. Um título com valor nominal de R$ 1.500,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento,tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o descontoconcedido?Resolução:Temos:

Logo:

A = 1.500,00 (1 + 0,025)–3 = 1.500,00 × 0,92860 ⇒ A = 1.392,90

Daí:

d = 1.500,00 – 1.392,90 ⇒ d = 107,10,

isto é, o desconto concedido foi de:

181

R$ 107,00

5. Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu R$ 36.954,00 como valorde resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$ 3.046,00, qual foi ataxa de juro mensal adotada?Resolução:Temos:

Logo:

isto é, a taxa foi de:

2% a.m.

Resolva

1. Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de R$ 7.000,00, faltando ainda 3 meses parao seu vencimento. Calcule seu valor atual, sabendo que a taxa de desconto é de 3,5% ao mês.

2. Calcule o valor atual de um título de R$ 40.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seuvencimento, sendo a taxa de desconto de 24% ao ano.

3. O valor nominal de um título é de R$ 200.000,00. Seu portador deseja descontálo 1 ano e 3meses antes de seu vencimento. Calcule o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto(composto) é de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente.

4. Determine o valor do desconto composto de um título de valor nominal de R$ 6.200,00,descontado 5 meses antes de seu vencimento à taxa de 3% ao mês.

5. Calcule o desconto obtido em um título de valor nominal de R$ 3.800,00, resgatado 8 mesesantes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto, em regime de juro composto, de 30% ao ano,capitalizados bimestralmente.

182

6. A que taxa foi descontada uma dívida de R$ 5.000,00 que, paga 5 bimestres antes dovencimento, se reduziu a R$ 3.736,00?

7. Por um título de R$ 2.300,00 paguei R$ 2.044,00 com um desconto de 3% ao mês. Para quantotempo antecipei o pagamento?

11.3 Equivalência de capitais diferidosNo estudo de desconto em regime de juro simples (p. 111), vimos que dois ou mais capitais

diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais.Vimos, ainda, que em regime de capitalização simples essa data de comparação deve coincidir

com a data zero. Em regime de capitalização composta, a data de comparação pode ser qualqueruma, porque os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos.


1. Um título no valor nominal de R$ 7.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outrocom vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de 3% ao mês,qual o valor nominal do novo título?Resolução:Temos:

Para que exista a equivalência, devemos ter:

A = A’ ⇒ N(1 + i)–n = N’(1 + i’)–n’

Logo:

N(1 + 0,03)–3 = 7.000,00 (1 + 0,03)–5

Daí:

isto é, o valor nominal do novo título é de:

183

R$ 6.598,00

NOTA:• Na resolução desse problema usamos a data zero como data de comparação. Porém, como

dissemos antes, essa data poderá ser qualquer uma. Apenas para comprovarmos, tomemoscomo data de comparação a data 4. Temos:

N = 7.000,00 (1 + 0,03)–2 = 7.000,00 × 0,94260 = 6.598,00

Agora, tomando a data 6, temos:

2. Um comerciante, devedor de um título de R$ 40.000,00 para 3 anos, deseja resgatar essa dívidacom dois pagamentos anuais iguais: um no fim de 1 ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo que ataxa é de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos.Resolução:Temos:

Para haver equivalência, devemos ter:

A1 + A2 = A’

Logo:

N(1 + 0,4)–1 + N(1 + 0,4)–2 = 40.000,00 (1 + 0,4)–3

Daí:

isto é, o valor dos pagamentos é de:

R$ 11.905,00

184

Resolva

1. Duas promissórias, uma de R$ 4.000,00, vencível em 120 dias, e a outra de R$ 9.000,00,vencível em 180 dias, deverão ser resgatadas por um só pagamento, dentro de 90 dias. Qual ovalor desse resgate, no regime de juro composto, à taxa de 3% ao mês?

Exercícios

1. Calcule o valor atual, à taxa de 2,5% ao mês, do capital de R$ 6.000,00 disponível no fim de 4meses.

2. Qual o valor atual de um título de R$ 15.000,00, resgatado a 6 meses de seu vencimento,sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 6% ao bimestre?

3. Um título de valor nominal de R$ 2.000,00 sofreu um desconto real de 40% ao ano,capitalizados semestralmente, 2 anos antes do vencimento. Qual o seu valor atual?

4. Um título de R$ 75.000,00 foi resgatado, com um desconto composto de 3,5% ao mês, por R$67.646,00. Calcule o tempo de antecipação do resgate.

5. Uma letra de câmbio paga 5 meses antes de seu vencimento, com um desconto composto de 4%ao mês, ficou reduzida a R$ 24.658,00. Calcule o valor da letra.

6. Um título de valor nominal de R$ 30.000,00 foi resgatado 1 ano e 6 meses antes do vencimentopor R$ 23.037,00. Qual foi a taxa trimestral de desconto?

7. Um título pagável em 1 ano e 6 meses sofre um desconto real de R$ 21.065,00. Calcule o valornominal do título, sabendo que a taxa empregada nessa transação é de 40% ao ano, capitalizadossemestralmente.

8. Uma firma toma emprestada de um banco a importância de R$ 20.000,00 no prazo de 10 meses,à taxa de 3,5% ao mês, em regime de juro composto. Quanto essa firma deveria pagar ao banco,se desejasse antecipar 4 meses o pagamento, sabendo que a taxa de desconto composto é de 3%ao mês?

185

9. Um industrial toma um empréstimo de R$ 500.000,00 por 4 anos, com juro de 40% ao ano,capitalizados trimestralmente. Passado algum tempo, o industrial propõe saldar a dívida em 3pagamentos iguais, realizáveis no fim do 2°, 3° e 4° anos, respectivamente. Calcule o valordesses pagamentos, sabendo que a taxa de desconto empregada na transação é de 36% ao anocom capitalizações semestrais.

10. Uma firma toma emprestada por 3 anos, a juro de 24% ao ano capitalizados bimestralmente, aimportância de R$ 300.000,00. Decorrido 1 ano, a firma faz um acordo pagando R$ 100.000,00no ato e assinando uma promissória com vencimento para 1 ano após a data do acordo. Calculeo valor nominal do novo título, sabendo que o desconto concedido é de 24% ao ano,capitalizados anualmente.

186

12 CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃOCOMPOSTAS

12.1 IntroduçãoQuando queremos fazer um investimento, podemos depositar todos os meses uma certa quantia em

uma caderneta de poupança; quando queremos comprar um bem qualquer, podemos fazê-lo emprestações, a serem pagas mensalmente.

Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar uma dívida depositando ou pagando certaquantia, em épocas distintas.

No primeiro caso temos uma capitalização e no segundo, uma amortização.Estudaremos, neste capítulo, como calcular os juros, as parcelas e os montantes (ou valores

atuais) envolvidos nas operações de capitalização e de amortização.

12.2 Rendas

A sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas diferentes, destinados a formar um capitalou pagar uma dívida é denominada renda.

Os termos da sucessão de depósitos ou de prestações são denominados termos da renda e ointervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos consecutivos é chamadoperíodo da renda.

Exemplo:No caso da compra de uma TV em cores em 7 prestações mensais de R$ 41,00, cada uma das

prestações é um termo da renda e o período é mensal.As rendas podem ser de dois tipos: certas ou aleatórias.a) Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e seus

respectivos valores podem ser prefixados.Exemplo: Compra de bens a prazo.

b) Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não pode ser previamentedeterminado.Exemplo: pagamento de um seguro de vida (o número de termos é indeterminado).

187

Quando o período da renda é sempre o mesmo, dizemos que ela é periódica; caso contrário, énão-periódica.

Nas rendas periódicas, se o período é o mês, o trimestre ou o ano, temos, respectivamente, rendamensal, trimestral ou anual, e assim por diante.

Se todos os termos da renda são iguais, ela é denominada constante; caso contrário, é variável.Quanto à data do vencimento do primeiro termo, uma renda certa pode ser imediata, antecipada

ou diferida.a) Imediata: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do primeiro período a

contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato.

Assim, o vencimento do último termo (Tn) ocorre no fim do período n.Exemplo: Compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação um

mês após a assinatura do contrato.b) Antecipada: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero.

O vencimento do último termo ocorre no início do período n.Exemplo: Depósito mensal de uma mesma quantia em caderneta de poupança, durante um prazo

determinado.c) Diferida: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado

número de períodos, a contar da data zero.

O vencimento do último termo ocorre no fim de m + n períodos.Exemplo: Compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação no

fim de um determinado número de meses.

NOTAS:• Sempre que o tipo de renda não for especificado, deveremos supor que se trata de renda

imediata, por ser o tipo mais comum.• Neste texto, por seu caráter elementar, abordaremos apenas as rendas certas constantes e

periódicas.

12.3 Capitalização composta

188

Neste item vamos estudar a determinação do montante constituído por depósitos periódicos dequantias constantes sobre as quais incide a mesma taxa.

12.3.1 Renda imediata

Consideremos o seguinte problema:Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$

100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% aomês, capitalizados mensalmente.

Temos:

O gráfico abaixo esquematiza a situação:

Assim, cada depósito (C = 100,00) representa o capital inicial, aplicado a 2% ao mês e porprazos que vão de 1 a 5 meses.

O que se pede no problema é a determinação do montante desses depósitos na data final.Sendo:

Mn = C(1 + i)n

a fórmula que nos dá o montante e, como o último depósito não terá rendimento, por ser aplicadoexatamente no dia em que se pede o montante, resulta:

Como, por definição, o valor do montante de uma renda é igual à soma dos valores dosmontantes de seus termos, podemos escrever:

189

Daí:

isto é, o montante da renda é de:

R$ 520,00

Pelo exemplo dado, podemos comprovar o esforço computacional despendido para obtermos omontante de uma renda. Vamos, então, obter uma fórmula que minimize esse esforço.

Sendo:

usando um raciocínio análogo ao do exemplo dado, temos:

Logo:

ou:

A expressão que se encontra dentro dos colchetes é a soma dos termos de uma PG, na qual:

Lembrando que:

podemos escrever:

190

Daí:

Temos, então:

O fator é um fator de capitalização, indicado por .Assim:

Esta fórmula nos dá o montante de uma renda imediata.

NOTA:• A Tábua Financeira (p. 236) apresenta os valores de na quinta coluna.


1. Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2%ao mês, capitalizados mensalmente.Resolução:Temos:


191

Como:

obtemos:


R$ 520,00

2. Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800,00, a 0,5%ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano?Resolução:Temos:


Como:

Obtemos:

isto é, terei um montante de:

R$ 9.868,00

Resolva

1. Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 1,5% ao mês,

quanto possuirá em anos?

192


1 Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6%ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capitalde R$ 400.000,00?Resolução:Temos:

Substituindo em (1), vem:

Como:

temos:

isto é, a importância a ser depositada é de:

R$ 30.347,00

Resolva

1. Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 200.000,00, à taxa de 25%ao ano.

193


1. A que taxa uma pessoa, realizando depósitos mensais imediatos no valor de R$ 8.093,00, formaum capital de R$ 135.000,00 ao fazer o décimo quinto depósito?Resolução:Temos:


Percorrendo as tabelas da Tábua Financeira,para n = 15, encontramos, para i = 1,5%:

Como esse valor está bem próximo de16,68108, podemos concluir que a taxa é de:

1,5% ao mês

2. Quantas prestações mensais imediatas de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao mês,a fim de se constituir o montante de R$ 6.706,00?Resolução:Temos:


194

Examinando a Tábua Financeira, na tabela correspondente a 2%, encontramos:

13,41209 → n = 12

Podemos, então, afirmar que há necessidade de:

12 prestações mensais

Resolva

1. Desejamos fazer aplicações mensais imediatas de R$ 12.000,00, de modo que na data do décimodepósito constituamos o montante de R$ 125.547,00. A que taxa devemos aplicar aquelasimportâncias?

2. Quantas mensalidades de R$ 2.000,00 serão necessárias para, a 0,5% ao mês, constituirmos umcapital de R$ 16.283,00?

12.3.2 Renda antecipada

Seja:

Como vimos, na renda antecipada depositamos, no início do período, n parcelas iguais a T, a umataxa unitária i, referida à mesma unidade do período constante.

Como, neste caso, o depósito é feito no início do período, ao final deste período ele já estarádando origem a um montante.

Então, usando um raciocínio análogo ao empregado na dedução da fórmula da renda imediata,temos:

195

Representando o montante de uma renda antecipada por podemos escrever:

Somando T a ambos os membros, vem:

Examinando o segundo membro dessa igualdade, vemos que ele nada mais é do que o montante deuma renda imediata de n + 1 termos, isto é:

Daí:

ou:

Esta fórmula nos dá o montante de uma renda antecipada.


1. Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juro de 2% ao mês,capitalizados mensalmente.Resolução:Temos:


196

Como:

temos:


R$ 531,00

2. Qual o montante de uma renda antecipada de 10 termos mensais de R$ 500,00, à taxa de 1,5% aomês?Resolução:Temos:


Como: s

obtemos:


R$ 5.432,00

Resolva

1. Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada de 8 termos iguais a R$ 7.000,00, sendode 2,5% ao trimestre a taxa de juro composto.

197


1. Quanto se deve depositar no início de cada semestre, numa instituição financeira que paga 18%ao ano, para constituir o montante de R$ 50.000,00 no fim de 3 anos, sendo os juroscapitalizados semestralmente?Resolução:Temos:

Substituindo em (2) esses valores, vem:

Como:

temos:

isto é, o depósito semestral deve ser de:

R$ 6.097,00

2. Uma pessoa realizou 10 depósitos bimestrais antecipados de R$ 10.000,00 e obteve o montantede R$ 128.412,00. Qual foi a taxa de juro?Resolução:Temos:


198

Examinando as tabelas da Tábua Financeira relativas a n = 11 encontramos:

13,84118 → i = 4,5%

Assim, podemos concluir que a taxa de juro é de:

4,5% ao bimestre

3. Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 15.614,00 serão necessários para constituir omontante de R$ 200.000,00, à taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente?Resolução:Temos:

Como se trata de capitalização mensal devemos, inicialmente, calcular a taxa proporcionalmensal:


Examinando a Tábua Financeira, na tabela relativa a 1% encontramos:

n’ = 13 → 13,80933

Como esse valor é próximo de 13,80902, podemos concluir que:

n + 1 = 13 ⇒ n = 12,

isto é, são necessários:

12 depósitos mensais

199

Resolva

1. Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituiçãofinanceira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizados bimestralmente, de modo que com 8depósitos antecipados constitua o capital de R$ 150.000,00. Calcule a importância.

2. Calcule o número de termos de uma renda anual antecipada de R$ 20.000,00 de termo, cujomontante, à taxa de 10% ao ano, é de R$ 169.743,00.

3. A que taxa se deve depositar em uma instituição financeira, no início de cada trimestre, aimportância de R$ 16.756,00, para no fim de 4 anos possuir o montante de R$ 500.000,00?

12.4 Amortização compostaVamos, agora, aprender a calcular o valor de uma dívida (ou de um empréstimo, ou o valor à

vista de uma mercadoria) que será paga em prestações periódicas de quantias constantes, sobre asquais incide a mesma taxa.

12.4.1 Renda imediata

Consideremos o seguinte problema:Que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mensais de R$ 100,00, sendo de 2% ao mês a

taxa de juro?Temos:

O gráfico abaixo esquematiza a situação:

Assim, cada prestação (T = 100,00) representa o valor futuro individual de um valor atual quenão conhecemos, aplicado a 2% ao mês e por prazos que vão de 1 a 5 meses.

O que se pede no problema é a determinação do valor dessas prestações na data zero (data daassinatura do contrato).

A fórmula que nos dá o valor atual é:

200

An = N(1 + i)–n

Temos, então:

Como, por definição, o valor atual de uma renda * é igual à soma dos valores atuais de seustermos, podemos escrever:

Daí:

isto é, a dívida é de:

R$ 471,00

Pelas mesmas razões expostas quando da determinação do montante de uma renda, vamos obteruma fórmula para o cálculo do valor atual da renda.

Sendo:

temos:

201

Logo:

Colocando T em evidência, obtemos:

ou:

A expressão que se encontra dentro dos colchetes é a soma dos termos de uma PG, na qual:

Logo:

Multiplicando ambos os termos da fração resultante por (1 + i)n, vem:

Daí:

202

Temos, então:

O fator é denominado fator de amortização e indicado por .Assim, temos:

que é a fórmula do valor atual de uma renda imediata.

NOTA:• A Tábua Financeira (p. 236) apresenta os valores de na terceira coluna.


1. Qual o valor atual de uma renda anual imediata de 12 termos iguais a R$ 15.000,00 cada um, àtaxa de 6% ao ano?Resolução:Temos:

A Tábua nos dá:

Logo, substituindo em (3), vem:

isto é, uma dívida de:

203

R$ 125.758,00

2. Que dívida pode ser amortizada por 15 prestações mensais de R$ 8.000,00 cada uma, sendo de2% ao mês a taxa de juro?Resolução:Temos:

A Tábua Financeira nos dá:

Logo, substituindo em (3), vem:


R$ 102.794,00

3. Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 10 prestações, um empréstimo de R$15.000,00 a juros de 2,5% ao mês.Resolução:Temos:


Como:

vem:

isto é, o valor da prestação mensal é de:

R$ 1.714,00

204

4. O valor atual de uma renda anual e imediata de termo de R$ 9.000,00, à taxa de 6% ao ano, é deR$ 66.241,00. Calcule seu número de termos.Resolução:Temos:


Logo:

Examinando a Tábua Financeira, na tabela relativa a 6% encontramos na décima linha o valor7,36009. Concluímos, então, que:

n = 10 anos

5. Uma motocicleta custa, à vista, R$ 3.422,00. Compro-a a prazo dando 20% de entrada epagando o restante em 12 prestações mensais de R$ 275,00. Calcule a taxa efetiva dofinanciamento.Resolução:Temos:


Examinando a Tábua Financeira para n = 12, encontramos, para i = 3%, Comoesse valor está próximo de 9,95636, podemos concluir que:

i = 3% a.m.

205

Resolva

1. Calcule o valor de uma motocicleta comprada a prazo, com uma entrada de R$ 1.200,00 e orestante à taxa efetiva de 4% ao mês. O prazo do financiamento é de 12 meses e o valor daprestação, de R$ 192,00.

2. O preço de um carro é de R$ 17.700,00. Um comprador dá 40% de entrada e o restante éfinanciado à taxa de 5% ao mês em 10 meses. Calcule o valor da prestação mensal.

3. A que taxa foi contraída a dívida de R$ 67.952,00, se ela deve ser paga em 20 prestaçõesmensais de R$ 5.000,00?

4. Quantas prestações mensais de R$ 900,00 serão necessárias para, a 3,5% ao mês, se pagar umadívida de R$ 12.791,00?

12.4.2 Renda antecipada

No caso de renda antecipada, como a primeira prestação é paga na assinatura do contrato (datazero), seu valor atual é T. Assim:

Indicando o valor atual de uma renda antecipada por ,* temos:

Subtraindo T de ambos os membros, vem:

Examinando o segundo membro dessa igualdade, vemos que ele nada mais é que o valor de umarenda imediata de n − 1 termos. Logo:

ou:

206

Daí:

Esta fórmula nos dá o valor atual de uma renda antecipada de n termos.


1. Calcule o valor atual de uma anuidade ante-cipada de 12 termos mensais de R$ 250,00, à taxa de3% ao mês.Resolução:Temos:


Como:

vem:

isto é, o valor da prestação é de:

R$ 2.563,00

2. Qual o valor de uma prestação mensal antecipada para amortizar, com 6 pagamentos, umacompra de R$ 6.500,00, com juro de 2,5% ao mês?Resolução:

207

Temos:

A fórmula (4) nos dá:

Sendo:

vem:


R$ 1.151,00

3. Quantas prestações bimestrais antecipadas de R$ 23.000,00 são necessárias para pagar umadívida de R$ 202.080,00, à taxa de 3% ao bimestre?Resolução:Temos:

Logo:

Como esse valor é sensivelmente igual ao de , podemos concluir que:

n – 1 = 9 ⇒ n = 10,

isto é, são necessárias:

208

10 prestações

4. José contraiu uma dívida de R$ 95.660,00, que deverá ser paga em 10 prestações mensaisantecipadas de R$ 10.000,00. Qual a taxa de juro?Resolução:Temos:

Logo:

Como esse valor está bem próximo de , podemos concluir que:

i = 0,01 a.m. ou 1% a.m.

Resolva

1. Calcule o valor atual de uma renda mensal antecipada de 15 termos iguais a R$ 200,00 cada um,à taxa de 2,5 % ao mês.

2. Que dívida pode ser amortizada por 12 prestações bimestrais antecipadas de R$ 1.000,00 cadauma, sendo de 5% ao bimestre a taxa de juro?

3. Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 6 prestações antecipadas, umempréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 3% ao mês.

4. Quantas prestações anuais antecipadas de R$ 48.831,00 serão necessárias para pagar umadívida de R$ 165.000,00 com uma taxa de juro de 40% ao ano?

5. Um comerciante põe em oferta um eletrodoméstico com preço à vista de R$ 449,00, ou em 16prestações mensais iguais e antecipadas de R$ 48,00. Qual a taxa efetiva cobrada pelocomerciante?

209

12.4.3 Renda diferida

Como já vimos, as rendas diferidas são aquelas em que o primeiro termo é exigível a partir deum certo período de carência.

Assim, uma renda imediata com n termos e que apresente um diferimento (período de carência)igual a m tem a seguinte representação esquemática:

Para efeito de raciocínio, vamos considerar pagamentos imediatos hipotéticos desde a época 1até a época m. Assim, a renda em questão passa a ser formada de (m + n) termos:

O valor atual, na época zero, é:

Se desse valor subtrairmos o valor atual da renda hipotética, que é, evidentemente:

ficaremos com o valor atual da renda diferida.Indicando o valor atual de uma renda diferida com um período de carência igual a m pelo

símbolo m/An,* podemos escrever:

Colocando T em evidência no segundo membro, vem:

que é a fórmula que nos dá o valor atual de uma renda diferida.


1. Qual o valor atual de uma renda de 15 termos mensais de R$ 700,00, com 3 meses de carência, àtaxa de 1,5% ao mês?Resolução:

210

Temos:


A Tábua Financeira nos fornece:

Daí:

Logo:


R$ 8.932,00

2. Calcule o valor atual de uma dívida que pode ser amortizada com 10 prestações mensais de R$500,00, sendo de 2% a taxa de juro e devendo a primeira prestação ser paga 3 meses depois derealizado o empréstimo.*Resolução:Temos:


A Tábua Financeira nos dá: a12 0 02

Daí:

211

Logo:

isto é, a dívida é de:

R$ 4.317,00

3. Uma dívida de R$ 20.000,00 deve ser amortizada com 4 pagamentos bimestrais consecutivos,sendo de 4% ao bimestre a taxa de juro. Calcule essa prestação, sabendo que o pagamento daprimeira delas deve ser efetuado 3 bimestres após a realização do empréstimo.Resolução:Temos:


Como:

temos:

Logo:

isto é, a prestação é de:

R$ 5.959,00

Resolva

1. Calcule a dívida assumida por uma pessoa que pagou 10 prestações mensais de R$ 500,00, ajuros de 3% ao mês, com uma carência de 6 meses.

212

2. Que dívida pode ser amortizada com 8 prestações bimestrais de R$ 1.000,00, sendo de 7% aobimestre a taxa de juro e devendo ser paga a primeira prestação 3 bimestres depois derealizado o empréstimo?

3. Uma dívida de R$ 20.000,00 foi amortizada com 6 prestações mensais. Qual o valor dessasprestações, sendo a taxa de juro igual a 1,5% ao mês e tendo havido carência de 2 meses?

Exercícios

1. Uma pessoa deposita R$ 200,00 no fim de cada mês. Sabendo que a taxa de juro é de 2% aomês, quanto possuirá em 2 anos?

2. Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 35.457,00 nofinal dos 36 meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 1,5% ao mês?

3. Uma pessoa deposita R$ 5.000,00 em uma instituição financeira no início de cada trimestre.

Sabendo que a taxa de juro é de 6% ao trimestre, qual o montante no fim de ano?

4. Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, para que setenha R$ 60.000,00 no final do vigésimo mês, dentro dos conceitos de renda imediata eantecipada?

5. Uma pessoa deposita anualmente a quantia de R$ 10.000,00 em uma empresa financeira quepaga juro de 18% ao ano. Os depósitos são realizados no final de cada ano civil, tendo sido oprimeiro depósito realizado em 31/12/91. Qual será o montante desse investidor em 31/12/95,imediatamente antes da efetivação do depósito dessa data?*

6. Quanto terei no final de 20 meses se aplicar R$ 500,00 por mês, durante os 15 primeirosmeses, a uma taxa de 1% ao mês, de acordo com os conceitos de renda imediata e de rendaantecipada?

7. Determine o número de aplicações bimestrais e iguais a R$ 900,00 necessárias para se ter ummontante de R$ 11.863,00, considerando-se uma taxa de 6% ao bimestre e uma renda imediata.

8. Uma aplicação mensal de R$ 400,00 gera, no final do décimo oitavo mês, um montante de R$

213

8.565,00. Calcule a taxa mensal.

9. Uma pessoa deseja comprar uma televisão por R$ 445,00 à vista daqui a 10 meses.Adimitindo que ela poupe uma certa quantia mensal, que será aplicada a 2% ao mês, determineo valor da poupança mensal.

10. Uma pessoa deposita no fim de cada mês, durante 6 meses, a importância de R$ 800,00.Sabendo que a taxa que remunera esses depósitos é de 2% ao mês, determine o montante nofinal do sexto mês:

a) logo após o sexto depósito;

b) imediatamente antes do sexto depósito.

11. Pretendo depositar R$ 1.000,00 mensalmente, a partir de hoje, à taxa de 1,5% ao mês. Emquanto tempo conseguirei um montante de R$ 18.201,00?

12. Quanto devo depositar, no início de cada bimestre, a 18% ao ano, com capitalizaçãobimestral, durante 2 anos, para que no fim de 3 anos possa retirar o montante de R$ 2.000,00?

13. Qual o valor que, financiado à taxa de 2,5% ao mês, pode ser amortizado em 12 prestaçõesmensais, iguais e sucessivas de R$ 350,00 cada uma?

14. Uma loja vende um eletrodoméstico em 8 prestações mensais de R$ 28,00 ou em 12prestações mensais de R$ 21,00. Em ambos os casos o cliente não dará nenhuma entrada.Sabendo que a taxa de juro da loja é de 3% ao mês, diga qual é o aumento verificado nasegunda alternativa.

15. Calcule a que taxa mensal foi firmada uma operação de empréstimo de R$ 8.000,00, para serliquidado em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 607,00 cada uma.

16. Calcule o número de prestações trimestrais de R$ 5.800,00 cada, capaz de liquidar umfinanciamento de R$ 37.222,00, à taxa de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente.

17. Uma loja vende uma mercadoria a R$ 800,00. No crediário é exigida uma entrada de 30% dovalor da mercadoria e são cobrados juros de 4% ao mês. Qual será o valor das prestações seum comprador optar por 6 prestações mensais?

18. Qual o valor das 8 prestações mensais na compra a prazo de um objeto cujo valor à vista é deR$ 180,00, sabendo que o juro cobrado foi de 3% ao mês e as prestações são antecipadas?

214

19. Comprei uma mercadoria por R$ 2.000,00 de entrada mais 12 prestações mensais de R$339,00. Que taxa de juro paguei neste financiamento, sabendo que o preço à vista damercadoria é de R$ 5.000,00?

20. Uma máquina foi comprada por R$ 2.500,00 de entrada e 15 prestações mensais de R$300,00, diferidas de um semestre. Sendo o juro de 2,5% ao mês, qual o preço à vista damáquina?

21. Quantos pagamentos bimestrais antecipados de R$ 4.084,00 são necessários para amortizaruma dívida de R$ 15.000,00 com juro de 36% ao ano, capitalizados bimestralmente?

22. Qual o valor da prestação mensal referente a um financiamento de R$ 120.000,00 a serliquidado em 18 meses, à taxa de 3% ao mês, sendo que a primeira prestação vence a 90 diasda data do contrato?

23. Um empréstimo de R$ 15.000,00 deve ser liquidado em 10 prestações iguais. Sabendo que aprimeira prestação vence no final do terceiro mês e que a taxa de juro cobrada pela instituiçãofinanceira é de 4% ao mês, determine o valor da prestação.

24. Uma imobiliária vende um terreno por R$ 20.000,00 à vista. Como alternativas a seus clientes,oferece dois planos de financiamento: Plano A: entrada de R$ 6.000,00 mais 4 prestaçõestrimestrais de R$ 4.420,00; Plano B: entrada de R$ 3.000,00 mais 8 prestações trimestrais deR$ 2.800,00. Determine a melhor opção de compra para um interessado que aplica seudinheiro a 10% ao trimestre.

25. O proprietário de uma loja deseja estabelecer coeficientes de financiamento por unidade decapital emprestado (o coeficiente que, multiplicado pelo valor financiado, dá o valor daprestação mensal). Sabendo que a taxa de juro da loja é de 4,5% ao mês, determine oscoeficientes unitários para os prazos de:a) 4 meses;c) 10 meses;b) 8 meses;d) 12 meses.Sugestão: N = a × An (a é o coeficiente procurado).

215

13 EMPRÉSTIMOS

13.1 IntroduçãoUm empréstimo ou financiamento pode ser feito a curto, médio ou longo prazo.Dizemos que um empréstimo é a curto ou médio prazo quando o prazo total não ultrapassa 1 ano

ou 3 anos, respectivamente.Nesses tipos de financiamento é usual a cobrança de juro simples, e há três modalidades quanto à

forma de o devedor ou mutuário resgatar sua dívida:• pagando os juros e o principal no vencimento;• pagando os juros antecipadamente, na data em que contrai a dívida, e restituindo o principal no

vencimento. Em geral, essa é a modalidade usada pelos bancos;• pagando os juros e o principal por meio de prestações. É a melhor modalidade, porém pouco

usada.

NOTA:• A técnica usada nos cálculos relativos aos financiamentos a curto ou médio prazo é idêntica à

dos descontos, razão pela qual não será aqui desenvolvida.

Nos financiamentos a longo prazo o devedor ou mutuário tem também três modalidades pararesgatar sua dívida:

• pagando no vencimento o capital e os juros;• pagando periodicamente os juros e no vencimento, o capital;• pagando periodicamente os juros e uma quota de amortização do capital.

Das três modalidades, a mais interessante para o mutuário é a terceira.Cada uma dessas modalidades de pagamento de um empréstimo constitui um sistema.Nos sistemas de amortização de empréstimos a longo prazo, regra geral, os juros são sempre

cobrados sobre o saldo devedor, o que significa considerar apenas o regime de juro composto.Desse modo, o não-pagamento de uma prestação, isto é, o não-pagamento do juro em um dadoperíodo redunda em um saldo devedor maior, já que está sendo calculado juro sobre juro.

216

Vamos, então, estudar os mais usuais sistemas de amortização entre nós.

13.2 Sistema Francês de Amortização

Pelo Sistema Francês de Amortização (SFA) o mutuário se compromete a amortizar oempréstimo com prestações constantes, periódicas e imediatas.

Como essas prestações são constantes, à medida que vão sendo pagas, a dívida diminui e os jurostornam-se menores, enquanto as quotas de amortização tornam-se automaticamente maiores.

Temos, então, o seguinte esquema:

Pelo exposto, é fácil inferirmos que a dívida contraída no financiamento (D0) corresponde aovalor atual de uma renda imediata (An). Assim, lembrando que o valor atual de uma renda imediatade n termos iguais a T, a uma taxa i, é dado por:

temos:

Logo, o valor das prestações será dado por:


1. Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo Sistema

217

Francês de Amortização em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Calcule o valor daprestação e monte a planilha* de amortização.Resolução:Temos:

Cálculo da prestação:Substituindo esses valores na fórmula


R$ 35.026,52

Montagem da planilha de amortização: Período 1:A primeira prestação de R$ 35.026,52 é constituída, como vimos, de uma parcela correspondenteao juro de 15% sobre o valor do empréstimo e uma segunda parcela correspondente à quota deamortização. Chamando, então, de j1 o juro contido nessa primeira prestação, temos:

j1 = 15% de 100.000,00 = 0,15 × 100.000,00 ⇒ ⇒ j1 = 15.000,00A primeira cota de amortização, indicada por A1, será a diferença entre o valor da prestação e ojuro, isto é:

A1 = 35.026,52 – 15.000,00 ⇒ A1 = 20.026,52O saldo devedor do período 1 (D1) será:

D1 = 100.000,00 – 20.026,52 ⇒ D1 = 79.973,48Período 2:Após o pagamento da primeira cota, o saldo devedor passa a ser de R$ 79.973,48; logo, o jurocorrespondente será:j2 = 0,15 × 79.973,48 = 11.996,02 ⇒ ⇒ j2 = 11.996,02A segunda cota será, evidentemente, a diferença entre a prestação constante e o juro do período 2.Assim:

A2 = 35.026,52 – 11.996,02 ⇒ A2 = 23.030,50

218

Daí:D2 = 79.973,48 – 23.030,50 ⇒ D2 = 56.942,98

Período 3:Seguindo o mesmo procedimento, obtemos:

j3 = 0,15 × 56.942,98 = 8.541,45 ⇒ j3 = 8.541,45A3 = 35.026,52 – 8.541,45 ⇒ A3 = 26.485,07

D3 = 56.942,98 – 26.485,07 ⇒ D3 = 30.457,91Período 4:Temos:

j4 = 0,15 × 30.457,91 ⇒ j4 = 4.568,69A4 = 35.026,52 – 4.568,69 ⇒ A4 = 30.457,83

D4 = 30.457,91 – 30.457,83 ⇒ D4 = 0,08

NOTA:• A diferença de R$ 0,08 entre o saldo devedor e a quarta cota de amortização é resultante das

aproximações praticadas. Para obtermos saldo devedor nulo, fazemos um pequeno acerto naúltima prestação:

T = 35.026,52 + 0,08 ⇒ T = 35.026,60

Daí:

A4 = 35.026,60 – 4.568,69 ⇒ A4 = 30.457,91

D4 = 30.457,91 – 30.457,91 ⇒ D4 = 0

Assim, temos a seguinte planilha de amortização:

219

A soma do total dos juros com o total das amortizações deverá ser igual à soma dasprestações. Assim:

40.106,16 + 100.000,00 = 140.106,16

Tendo em vista que as conclusões obtidas na elaboração da planilha não dependem dos valoresutilizados, podemos escrever:

a) valor da prestação:

b) valor do juro de cada período:

c) valor da amortização relativa a cada período:

d) saldo devedor de cada período:

onde 0 ≤ k ≤ n.

Resolva

1. Um banco empresta a uma empresa R$ 180.000,00 pelo prazo de 5 anos, à taxa de 8% ao ano.

220

Sabendo que será adotado o Sistema Francês de Amortização, construa a planilha deamortização.

13.2.1 Determinação do saldo devedor

Comumente interessa-nos saber a situação do cronograma em uma determinada época k (0 ≤ k ≤n).

Existindo a planilha relativa ao financiamento em questão, não há dificuldade alguma; mas, casocontrário, na maioria das vezes a confecção da planilha torna-se extremamente trabalhosa. Podemos,então, obter uma fórmula que nos permita determinar o saldo devedor.

A fim de facilitar nosso raciocínio, consideremos o esquema relativo a uma dívida D0, financiadaem n prestações T, a uma taxa i:

O saldo devedor no período k será igual ao valor atual nesse período, à taxa i, da anuidadeformada pelas n – k prestações a serem pagas. Assim, como:

vem:

Logo, o saldo devedor após o pagamento da (k – i) -ésima prestação (Dk – 1) será dado por:


221

1. Uma dívida de R$ 50.000,00 vai ser amortizada, por meio do Sistema Francês de Amortização,em 8 prestações anuais à taxa de juro de 20% ao ano. Calcule o saldo devedor após ter sidopaga a terceira prestação.Resolução:Temos:

Primeiramente, devemos calcular T. Lembrando que , vem:

Daí:

isto é, o saldo devedor é de:

R$ 38.969,05

Resolva

1. Um banco empresta R$ 200.000,00 para serem pagos pelo Sistema Francês de Amortização em20 prestações anuais à taxa de 25% ao ano. Calcule o saldo devedor após o pagamento dadécima segunda prestação.

13.2.2 Sistema Francês com prazo de carência

Um financiamento pode ser oferecido ao mutuário com um prazo de carência. Quando issoacontece, devemos considerar dois casos:

• Durante a carência o mutuário paga apenas os juros da dívida, não havendo, portanto,amortização desta.

• Durante a carência o mutuário não paga os juros da dívida; estes serão capitalizados eincorporados à dívida, para serem amortizados nas prestações futuras.

222


1. Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo SistemaFrancês de Amortização em 4 prestações anuais, com 3 anos de carência, à taxa de 15% ao ano.Confeccione a planilha de amortização da dívida.Resolução:Temos:

1o caso:Durante o período de carência os juros são calculados sobre o saldo devedor. Não havendoamortização, esse valor é constante nesse período. Temos, então:

j1 = j2 = 0,15 × 100.000,00 ⇒ j1 = j2 = 15.000,00

o que nos permite confeccionar a seguinte planilha parcial:

Findo o prazo de carência, passamos a fazer uso de um procedimento idêntico ao do empréstimosem carência.Como os dados deste problema são os mesmos do item anterior, não há necessidade deefetuarmos os cálculos. Assim, temos a seguinte planilha de amortização:

223

2o caso:Neste caso, como a amortização só deve começar no fim do terceiro ano de carência, devemosinicialmente capitalizar o saldo devedor, à taxa de 15% ao ano, durante os dois primeiros anos decarência. Assim, lembrando que:

M = C(1 + i)n

podemos escrever:

Dk = D0(1 + i)k

Daí:

D1 = 100.000,00 (1 + 0,15) = 100.000,00 × 1,15 ⇒ D1 = 115.000,00

D2 = 100.000,00 (1 + 0,15)2 = 100.000,00 × 1,3225 ⇒ D2 = 132,250,00

Calculamos, agora, o valor das prestações sobre o saldo devedor:

Determinamos, em seguida, os outros elementos da planilha:

j3 = 0,15 × 132.290,00 ⇒ j3 = 19.837,57

A3 = 46.322,57 – 19.837,50 ⇒ A3 = 26.485,07

D3 = 132.250,00 – 26.485,07 ⇒ D3 = 105.764,93

j4 = 0,15 × 105.764,93 ⇒ j4 = 15.864,74

224

A4 = 46.322,57 – 15.864,74 ⇒ A4 = 30.457,83

D4 = 105.764,93 – 30.457,83 ⇒ D4 = 75.307,10

j5 = 0,15 × 75.307,10 = 11.296,07 ⇒ j5 = 11.296,07

A5 = 46.322,57 – 11.296,07 ⇒ A5 = 35.026,50

D5 = 75.307,10 – 35.026,50 ⇒ D5 = 40.280,60

j6 = 0,15 × 40.280,60 = 6.042,09 ⇒ j6 = 6.042,09

A6 = 46.322,57 – 6.042,09 ⇒ A6 = 40.280,48

D6 = 40.280,60 – 40.280,48 ⇒ D6 = 0,12

Com isso, obtemos a seguinte planilha de amortização:

Resolva

1. Elabore uma planilha de amortização, com base no Sistema Francês de Amortização,correspondente a um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de 30% ao ano a ser liquidado em 6prestações anuais, havendo carência de 3 anos com o pagamento dos juros devidos.

2. Elabore uma planilha de amortização, com base no Sistema Francês de Amortização,correspondente a um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de 30% ao ano, a ser liquidado em 6

225

prestações anuais, havendo carência de 3 anos com capitalização dos juros no saldo devedor.

13.2.3 Sistema Price

Este sistema constitui um caso particular do Sistema Francês de Amortização e apresenta asseguintes características:

• a taxa é dada em termos anuais;

• as prestações são mensais;

• no cálculo é utilizada a taxa proporcional.

NOTA:• Tabela Price é uma tábua cujos valores já são calculados levando em conta a taxa de juro

proporcional.


1. Uma financeira emprestou R$ 100.000,00, sem prazo de carência. Sabendo que a taxa de jurocobrada é de 18% ao ano (Tabela Price) e que a amortização deve ser feita em 6 meses, calculeo valor da prestação.Resolução:Temos:

Daí:

isto é, o empréstimo será liquidado com prestações de:

R$ 17.552,51

226

Resolva

1. Uma financeira emprestou R$ 80.000,00, sem prazo de carência. Sendo a taxa de juro cobradaigual a 12% ao ano (Tabela Price) e devendo a liquidação ser feita em 8 meses, construa aplanilha.

13.3 Sistema de Amortização Constante

O Sistema de Amortização Constante (SAC), também chamado Sistema Hamburguês, foiintroduzido entre nós a partir de 1971, pelo Sistema Financeiro da Habitação.

Neste sistema, assim como no anterior, o mutuário paga a dívida em prestações periódicas eimediatas, que englobam juros e amortizações. A diferença é que, neste sistema, a amortização éconstante em todos os períodos.

Como os juros são cobrados sobre o saldo devedor e a amortização é constante, as prestaçõessão decrescentes.

O esquema correspondente é:

Pelo exposto, temos:


227

1. Uma financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo Sistema deAmortização Constante em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha deamortização.Resolução:Temos:

Vamos, inicialmente, calcular o valor da amortização constante:

Período 1:

j1 = i × D0 ⇒ j1 = 0,15 × 100.000,00 ⇒ j1 = 15.000,00

T1 = A + j1 ⇒ T1 = 25.000,00 + 15.000,00 ⇒ T1 = 40.000,00

D1 = D0 – A ⇒ D1 = 100.000,00 – 25.000,00 ⇒ D1 = 75.000,00

Período 2:

j2 = 0,15 × 75.000,00 ⇒ j2 = 11.250,00

T2 = 25.000,00 + 11.250,00 ⇒ T2 = 36.250,00

D2 = 75.000,00 – 25.000,00 ⇒ D2 = 50.000,00

Período 3:

j3 = 0,15 × 50.000,00 ⇒ j3 = 7.500,00

T3 = 25.000,00 + 7.500,00 ⇒ T3 = 32.500,00

D3 = 50.000,00 – 25.000,00 ⇒ D3 = 25.000,00

Período 4:

j4 = 0,15 × 25.000,00 ⇒ j4 = 3.750,00

T4 = 25.000,00 + 3.750,00 ⇒ T4 = 28.750,00

228

D4 = 25.000,00 – 25.000,00 ⇒ D4 = 0,00

Logo:

Então:

100.000,00 + 37.500,00 = 137.500,00

Tendo em vista que as conclusões obtidas na elaboração da planilha não dependem dos valoresutilizados, podemos escrever:

a) valor da amortização:

b) valor do juro de cada período:

c) valor da prestação para cada período:

d) saldo devedor de cada período:

onde 0 ≤ k ≤ n.

229

Resolva

1. Um empréstimo de R$ 200.000,00 será saldado em 8 prestações semestrais pelo Sistema deAmortização Constante, tendo sido contratada a taxa de juro de 10% ao semestre. Confeccione aplanilha de amortização.

13.3.1 Determinação do saldo devedor

Vimos, no item anterior, que:

Dk = Dk – 1 – A

Logo, para:

k = 1 ⇒ D1 = D0 – Ak = 2 ⇒ D2 = D1 – A = D0 – A – A ⇒ D2 = D0 – 2Ak = 3 ⇒ D3 = D2 – A = D0 – 2A – A ⇒ D3 = D0 – 3A

Podemos, então, concluir que:

Dk = D0 – k × A


1. Uma dívida de R$ 600.000,00 será amortizada, por meio do Sistema de Amortização Constante,em 12 prestações anuais, à taxa de 20% ao ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga aoitava prestação.Resolução:Temos:

230

Como:

Dk = D0 – k × A

vamos começar por calcular A

Logo:D8 = D0 – 8A ⇒ D8 = 600.000,00 – 8 × 50.000,00 = 600.000,00 – 400.000,00 = 200.000,00 ⇒ D8 =200.000,00,

isto é, o saldo devedor é de:

R$ 200.000,00

Resolva

1. Um empréstimo de R$ 150.000,00 pelo Sistema de Amortização Constante está sendo pago em10 anos, à base de 18% ao ano de juro. Calcule o saldo devedor após o pagamento da sétimaprestação.

13.3.2 Sistema de Amortização Constante com prazo de carência

Como o procedimento é genericamente o mesmo do Sistema Francês com prazo de carência,vamos nos abster de considerações pormenorizadas.


1. Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 a ser pago pelo Sistema deAmortização Constante em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano e com um prazo de

231

carência de 3 anos. Prepare a planilha de amortização.Resolução:Temos:

Carência com pagamento de juros:Temos:

j1 = j2 = 0,15 × 100.000,00 ⇒ j1 = j2 = 15.000,00

Como os dados do problema são os mesmos daquele da amortização sem prazo de carência, bastacopiar os elementos da planilha correspondente:

Carência com capitalização de juros:

Período 1:j1 = 0,15 × 100.000,00 ⇒ j1 = 15.000,00

D1 = 100.000,00 + 15.000,00 ⇒ D1 = 115.000,00

Período 2:j2 = 0,15 × 115.000,00 ⇒ j2 = 17.250,00

D2 = 115.000,00 + 17.250,00 ⇒ D2 = 132.250,00

Período 3:As parcelas de amortização serão iguais a:

232

j3 = 0,15 × 132.250,00 ⇒ j3 = 19.837,50

T3 = 33.062,50 + 19.837,50 ⇒ T3 = 52.900,00

D3 = 132.250,00 – 33.062,50 ⇒ D3 = 99.187,50

Período 4:j4 = 0,15 × 99.187,50 ⇒ j4 = 14.878,13

T4 = 33.062,50 + 14.878,13 ⇒ T4 = 47.940,63

D4 = 99.187,50 – 33.062,50 ⇒ D4 = 66.125,00

Período 5:j5 = 0,15 × 66.125,00 ⇒ j5 = 9.918,75

T5 = 33.062,50 + 9.918,75 ⇒ T5 = 42.981,25

D5 = 66.125,00 – 33.062,50 ⇒ D5 = 33.062,50

Período 6:j6 = 0,15 × 33.062,50 ⇒ j6 = 4.959,38

T6 = 33.062,50 + 4.959,38 ⇒ T6 = 38.021,88

D6 = 33.062,50 – 33.062,50 ⇒ D6 = 0

Logo:

233

Resolva

1. Um empréstimo de R$ 120.000,00 deve ser amortizado em 5 semestres. Sabendo que a taxa dejuro é de 8% ao semestre e que há uma carência de 4 semestres, confeccione as planilhas deamortização para os casos de pagamento de juros e de capitalização de juros.

13.4 Sistema de Amortização MistoNos contratos firmados segundo as normas do Sistema Financeiro da Habitação procurou-se

conciliar as vantagens e desvantagens dos Sistemas Francês e de Amortização Constante,introduzindo-se um terceiro sistema — Sistema de Amortização Misto (SAM) —, que é a médiaaritmética dos dois primeiros.


1. Uma financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 a ser pago pelo Sistema de AmortizaçãoMisto em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização.Resolução:Tomando os dados das planilhas das páginas 177 (SF) e 186 (SAC), calculamos as médiasaritméticas correspondentes aos valores de cada linha das respectivas colunas. Assim:

234

Resolva

1. Construa a planilha de amortização de um financiamento de R$ 200.000,00, feito pelo Sistemade Amortização Misto, com juro de 10% ao ano e prazo de 5 anos.

13.5 Empréstimo com correção monetária


1. Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo SistemaFrancês de Amortização em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha deamortização, admitindo que o financiamento terá correção monetária anual, sendo as taxas deinflação verificadas nesses períodos, respectivamente, de 20%, 40%, 50% e 30%.Resolução:Temos:

Chamando as taxas de inflação de I, vem:

I1 = 20% = 0,2, I2 = 40% = 0,4, I3 = 50% = 0,5 e I4 = 30% = 0,3

Para facilitar a obtenção da planilha, vamos acrescentar mais duas colunas: dívida corrigida eamortização acumulada. Assim:

Cálculo da dívida corrigida:

C0 = 100.000,00

235

C1 = 100.000,00 × 1,2 = 120.000,00

C2 = 120.000,00 × 1,4 = 168.000,00

C3 = 168.000,00 × 1,5 = 252.000,00

C4 = 252.000,00 × 1,3 = 327.600,00

Cálculo das prestações:Como , vem:

T1 = 120.000,00 : 2,85498 = 42.031,82

T2 = 168.000,00 : 2,85498 = 58.844,55

T3 = 252.000,00 : 2,85498 = 88.266,82

T4 = 327.600,00 : 2,85498 = 114.746,86

Montagem da planilha:Período 1:O juro é calculado sobre a dívida corrigida:

j1 = 0,15 × 120.000,00 = 18.000,00

A1 = 42.031,82 – 18.000,00 = 24,031,82

A amortização acumulada no período 1 é igual à amortização (A1). Logo:

Q1 = A1 = 24.031,82

O saldo devedor é a diferença entre a dívida corrigida e a amortização acumulada:

D1 = 120.000,00 – 24.031,82 = 95.968,18

Período 2:O juro é calculado sobre o saldo devedor corrigido:

j2 = 0,15 × (95.968,18 × 1,4) = 20.153,32

A2 = 58.844,55 – 20.153,32 = 38.691,23

Do período 2 em diante, a amortização acumulada é igual à anterior corrigida, mais a quota deamortização correspondente. Assim:

Q2 = (24.031,82 × 1,4) + 38.691,23 = 72.335,78

D2 = 168.000,00 – 72.335,78 = 95.664,22

Período 3:j3 = 0,15 × (95.664,22 × 1,5) = 21.524,45

A3 = 88.266,82 – 21.524,45 = 66.742,37

236

Q3 = 72.335,78 × 1,5 + 66.742,37 = 175.246,04

D3 = 252.000,00 – 175.246,04 = 76.753,96

Período 4:j4 = 0,15 × (76.753,96 × 1,3) = 14.967,02

A4 = 114.746,86 – 14.967,02 = 99.779,84

Q4 = 175.245,99 × 1,3 + 99.779,84 = 327.599,62

D4 = 327.600,00 – 327.599,62 = 0,38

Temos, então:

Resolva

1. Um banco empresta a uma empresa R$ 180.000,00 pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1% ao mês.Sendo o capital corrigido mensalmente às taxas de 8%, 10% e 12%, respectivamente, construa aplanilha correspondente, pelo Sistema Francês de Amortização.

Exercícios

1. Construa a planilha referente a um empréstimo pelo SF de R$ 85.000,00, à taxa de 1,5% ao mês,para ser liquidado em 10 prestações mensais.

237

2. Um empréstimo pelo SF de R$ 20.000,00 é concedido para ser pago em 20 prestaçõestrimestrais. Sabendo que a taxa de juro é de 40% ao ano, calcule o saldo devedor após opagamento da décima prestação.

3. Um apartamento é comprado por R$ 150.000,00, sendo R$ 30.000,00 de entrada e o restante aser pago pelo SF em 12 prestações mensais, à taxa de 2% ao mês, com 4 meses de carência.Construa a planilha para:

a) pagamento dos juros devidos;

b) capitalização dos juros no saldo devedor.

4. Um financiamento de R$ 400.000,00 é feito à taxa de 18% ao ano (Tabela Price) para liquidaçãoem 6 meses. Elabore o plano.

5. Elabore um plano de pagamento, com base no SAC, correspondente a um empréstimo de R$300.000,00, à taxa de 1% ao mês, a ser liquidado em 10 prestações mensais.

6. Em janeiro de 1994* uma pessoa adquiriu uma casa financiada por uma instituição financeira em120 prestações mensais pelo SAC. Sabendo que o valor financiado foi de R$ 84.000,00, que ataxa de juro contratual foi de 18% ao ano e que a primeira prestação foi paga no mês defevereiro desse mesmo ano, calcule:

a) o valor das amortizações pagas até dezembro de 1994 (inclusive);

b) o valor da prestação a vencer em dezembro de 2008;

c) o total de juros pagos durante o ano de 1995 (para efeito de declaração do IR);

d) o saldo após o pagamento da décima quinta prestação.

7. Um empréstimo de R$ 120.000,00 é feito pelo SAC, à taxa de 2% ao mês, devendo serdevolvido em 8 prestações mensais. Sabendo que houve um prazo de carência de 3 meses,elabore o plano de pagamento:

a) com pagamento dos juros;

b) com capitalização dos juros.

8. Elabore a planilha relativa a um empréstimo de R$ 350.000,00 pelo SAM, que deve ser pago em5 parcelas trimestrais, com juro de 4,5% ao trimestre.

238

APÊNDICE – COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

1. Medidas de tempo

As medidas de tempo podem dar origem a numerais complexos ou não-decimais.*

Exemplo: 2 a 5 me 20 d.Vamos rever as técnicas de transformação de numerais complexos resultantes de medidas de

tempo em numerais não-complexos e vice-versa.Lembremos, então, que:

1 ano = 12 meses = 360 dias1 ano = 1 mês = 30 dias

NOTA:

• Ano comercial = 360 d; ano civil = 365 d; ano bissexto = 366 d.

1.1 Transformação de complexo em não-complexo

Exemplos:1. Transforme 2 a 5 me 15 d em dias.

Temos:2 a 5 me 15 d = (2 × 360) d + (5 × 30) d + 15 d = 720 d + + 150 d + 15 d = 885 d

Logo:

2 a 5 me 15 d = 885 d

2. Transforme 1 a 7 me 20 d em meses.

Temos:

239

Logo:

3. Transforme 3 a 10 me 10 d em anos.

Temos:

1.2 Transformação de não-complexo em complexo

Exemplos: 1. Transforme 885 dias em complexo.

Temos:

Logo:

885 d = 2 a 5 me 15 d

NOTA:• Nunca devemos fazer a simplificação do dividendo e do divisor.

240

2. Transforme me em complexo.

Temos:

Logo:

3. Transforme a em complexo.

Temos:

Logo:

4. Transforme 3,475 a em complexo.

Temos: 3,475 a = 3 a + 0,475 a

241

0,475 a = (0,475 × 12) me = 5,7 me = 5 me + 0,7 me 0,7 me = (0,7 × 30) d = 21 d

Logo:

3,475 a = 3 a 5 me 21 d

Resolva

1. Transforme:

a) 4 me 12 db) 1 a 3 me 8 dc) 2 a 25 dI: em dias;II: em fração do mês;III: em fração do ano.

2. Transforme em complexo:

a) 628 db) 115 mec) 1,65 a

2. Potenciação

2.1 Definição

A potência enésima de um número a, indicada por a n, sendo n um número inteiro maior que 1,é o produto de n fatores iguais a a.

Assim, a × a × a × … × a = an, onde a é a base e n o expoente da potência.Exemplo: 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

242

3 é a base, 4 é o expoente e 81 é a potência.

2.2 Bases especiais

• Base unitária: 1n = 1 (∀n ∈ * e n > 1)*

Exemplo: 14 = 1• Base nula: 0n = 0 (∀n ∈ * e n > 1)

Exemplo: 05 = 0• Base negativa:

— expoente par ⇒ potência positiva

Exemplo: (–2)4 = 16— expoente ímpar ⇒ potência negativa

Exemplo: (–2)3 = –8

2.3 Propriedades

• am × an = am + n

Exemplo: 25 × 22 = 25 + 2 = 27

• am : an = am – n

Exemplo: 26 : 22 = 26 – 2 = 24

• (am)n = am × n

Exemplo: (23)2 = 23 × 2 = 26

NOTAS:• (23)2 ≠ 232, pois (23)2 = 26 e 232 = 29.

• (2x)2 ≠ 2x2, pois (2x)2 = 22× x2= 4x2.

•

• (a ± b)m ≠ am ± bm.

2.4 Expoentes especiais

• Expoente unitário: a1 = a (∀a)

243

Exemplo: 21 = 2• Expoente nulo: a0 = 1 (a ≠ 0)

Exemplo: 50 = 1

• Expoente negativo:

Exemplos:

• Expoente racional:

Exemplo:

Resolva

1. Calcule:

a) 24

b) (–2)4

c) 25

d) (–2)5

e) 06

f) 05

g) (−3)2

h) −32

i) –(–3)2

j) (–2)0

I) –20

m) 2–1

n) (–4)–1

o) p) (–0,5)–2

244

q) –(–2)5

r) (–2)–4

s)

t)

u) 2. Obtenha x na equação:

a) 2x = 16Temos: 2x = 24 ⇒ x = 4.b) 3x = 243

c)

d) e) x2 = 9

Temos: x2 = 32 ⇒ x = 3.f) x3 = 8g) (2x)3 = 216

h) i) x23 = 16

3. Funções

3.1 Função afim

Denominamos função afim toda função f de em definida por:

Exemplos: f(x) = 2x + 5; f(x) = –x + 4; f(x) = 3x.

NOTAS:

• O domínio de uma função afim é (D = ).

245

• O conjunto imagem é (Im = ).

Gráfico:

Seja a função f(x) = 2x + 3. Temos:

O gráfico da função afim é uma reta.

3.2 Função linear

Função linear é a função afim com b = 0, isto é:

Exemplo:

O gráfico de uma função linear é uma reta passando pela origem.

3.3 Função recíproca

246

Denominamos função recíproca toda função f de * em definida por:

NOTAS:• A função recíproca não é definida para x = 0.

• O domínio da função recíproca é * (D = *).

• O conjunto imagem é (Im = ).

Gráfico:

247

248

O gráfico da função recíproca é uma hipérbole equilátera.

3.4 Função exponencial

Denominamos função exponencial toda função f de em *+ definida por:

Exemplos:

Gráfico:• a > 1

Seja a função f(x) = 2x. Temos:

249

• 0 < a < 1

Seja a função . Temos:

250

NOTAS:

• O domínio da função exponencial é (D = ).

• O conjunto imagem da função é (Im = ).

• A curva passa pelo ponto (0, 1).

• Quando a > 1, a função é crescente.

• Quando 0 < a < 1, a função é decrescente.

4. Progressões

4.1 Sequência

Sequência ou sucessão é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos (*) ou um subconjunto finito do mesmo ({1, 2, 3, 4, …, n}).

No primeiro caso, dizemos que a sequência é infinita e no segundo, que é finita.O conjunto imagem de uma sequência pode ser um conjunto qualquer. Porém, em nossos estudos,

ficaremos restritos às sequências que têm para conjunto imagem um subconjunto dos números reais,denominadas sequências reais.

251

Para indicarmos os elementos de uma sequência, lançamos mão de um recurso: o índice, que é umnumeral escrito à direita e um pouco abaixo da letra.

Desse modo, os números reais da sequência são indicados por:

a1, a2, a3, …, an, …,

onde os índices indicam não só a ordem, como também o número inteiro a que correspondem.Uma sequência infinita é representada por:

(a1, a2, a3, …, an, …)

e uma sequência finita por:

(a1, a2, a3, …, an)

Os valores a1, a2, a3, …, an, … são denominados termos da sequência: a1 é o primeiro termo e an

é o termo geral da sequência.*

São exemplos de sequências:

• • (2, 4, 6, 8, …)• (2, 4, 8, 16, 32, 64)

• As duas primeiras são sequências infinitas e as duas últimas, finitas.Para que uma sequência fique determinada, é necessário indicarmos a lei de formação de seus

termos. Assim, dado o termo geral em função de n (quando possível), obtemos uma sentença queexpressa a lei de formação.

Para os exemplos dados, temos, respectivamente:

4.2 Progressão aritmética

4.2.1 Definição

Uma sequência de números reais, finita ou infinita, é uma progressão aritmética (PA) se, esomente se, a diferença entre cada termo, a partir do segundo, e o termo imediatamente anterior

252

é constante.

Essa constante é chamada razão da PA e indicada por r.Assim, a seqüência (a1, a2, a3, …, an–1, an, …) é uma PA se, e somente se:

Exemplo:Na sequência (2, 5, 8, 11, 14) temos:

5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3

Logo, essa sequência é uma PA, na qual:

a1 = 2, a5 = 14, n = 5 e r = 3

NOTAS:• r > 0 ⇒ PA crescente (an > a1).

• r < 0 ⇒ PA decrescente (an < a1).

• r = 0 ⇒ PA constante (an = a1).

Exemplos:• (2, 5, 8, 11, 14, …) é crescente, pois r = 3 > 0.

• (15, 13, 11, 9, 7, 5) é decrescente, pois r = –2 < 0.

• (2, 2, 2, 2, 2) é constante, pois r = 0.

4.2.2 Propriedade

Como consequência da definição:

Em uma PA, qualquer termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado à razão.

Podemos verificar tal propriedade na PA (2, 5, 8, 11, 14), onde r = 3. Temos:

253

5 = 2 + 3, 8 = 5 + 3, 11 = 8 + 3, 14 = 11 + 3

4.2.3 Fórmula do termo geral

Seja a PA (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …), na qual:

a1 = 5 e r = 2

Pela propriedade, podemos escrever:

7 = 5 + 29 = 7 + 2 ⇒ 9 = (5 + 2) + 2 ⇒ 9 = 5 + 2 × 211 = 9 + 2 ⇒ 11 = (5 + 2 × 2) + 2 ⇒ 11 = 5 + 3 × 213 = 11 + 2 ⇒ 13 = (5 + 3 × 2) + 2 ⇒ 13 = 5 + 4 × 215 = 13 + 2 ⇒ 15 = (5 + 4 × 2) + 2 ⇒ 15 = 5 + 5 × 217 = 15 + 2 ⇒ 17 = (5 + 5 × 2) + 2 ⇒ 17 = 5 + 6 × 2…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Essas igualdades sugerem a seguinte generalização:

que é a fórmula do termo geral (an), na qual:

NOTA:

• Se a PA é finita, an é o último termo e n é o número total de termos.


254

1. Dadas as progressões:a) (1, 6, 11, 16, 21, 26)

b)

c) (8, 6, 4, 2, 0, –2, –4)calcule as razões.Resolução:Temos:

a) 11 – 6 = 5 ⇒ r = 5

b)

c) –4 – (–2) = –4 + 2 = –2 ⇒ r = –22. Classifique as progressões anteriores em crescentes e decrescentes.

Resolução:

a) r = 5 > 0 ⇒ PA crescente

b)

c) r = –2 < 0 ⇒ PA decrescente3. Verifique se as sequências são ou não progressões aritméticas:

a) (15, 10, 5, 0, –5)

b) (4, 8, 12, 18, 22)Resolução:Temos:

a) 10 – 15 = 5 – 10 = 0 – 5 = –5 – 0 = –5 ⇒ é PA

b) 8 – 4 = 12 – 8 ≠ 18 – 12 ⇒ não é PA4. Dada a PA (–5, –1, 3, 7, …), calcule o 12o termo.

Resolução:Temos:

Lembrando que an = a1 + (n – 1)r, vem:

255

a12 = –5 + (12 – 1) × 4 = –5 + 11 × 4 = –5 + 44 ⇒ ⇒ a12 = 395. Qual o 1o termo da PA cuja razão é 6 e cujo 20o termo é 121?

Resolução:Temos:

Logo, substituindo esses valores em an = a1 + (n – 1)r, vem:121 = a1 + (20 – 1)6 ⇒ a1 + 114 = 121 ⇒ ⇒ a1 = 121 – 114 ⇒ a1 = 7

6. Quantos termos tem a PA de razão 21 e cujos termos extremos são 74 e 200?Resolução:Temos:

Logo, substituindo esses valores na fórmula do termo geral, vem:200 = 74 + (n – 1)21 ⇒ 74 + (n – 1)21 = 200 ⇒⇒ (n – 1)21 = 200 – 74 ⇒ (n – 1)21 = 126 ⇒

Resolva

1. Quais das sequências seguintes constituem uma PA?

a) (17, 14, 11, 8, 5, 2)

b) (–10, –8, –6, –4, …)

c) (8, 16, 32, 64, …)2. Determine a razão de cada PA seguinte:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19)

b) (20, 15, 10, 5, …)

256

3. Calcule o 25o termo de uma PA na qual a1 = –25 e r = 3.

4. Calcule o 1o e o 12o termos de uma PA na qual a razão é –4 e o 18o termo é –28.5. Sabendo que an = –250, calcule sua posição na PA (–2, –6, –10, …).

6. Calcule a razão da PA na qual a1 = –7 e a10 = 11.

4.2.4 Propriedades

1a) Dados três termos consecutivos de uma PA, o do meio é média aritmética dos outros dois.Exemplo:

2a) A soma dos termos extremos de uma PA finita é igual à soma de dois termos eqüidistantesdos extremos (e é, ainda, igual ao dobro do termo médio, se houver).Exemplos:

4.2.5 Soma dos termos de uma PA finita

Seja a PA:

(a1, a2, a3, …, an–2, an–1, an),

que também pode ser escrita assim:

(a1, a1 + r, a1 + 2r, …, an – 2r, an – r, an)

Consideremos, agora, a soma desses termos, primeiramente em sua ordem natural e, em seguida,em sua ordem inversa:

Somando membro a membro essas igualdades, obtemos:

257

ou:

2 Sn = n(a1 + an)

Daí:

que é a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.


1. Calcule a soma dos termos da PA (4, 9, 14, …, 59).Resolução:Temos:

Para resolvermos o problema, vamos antes calcular n. Lembrando que an = a1 + (n – 1)r, vem:

Logo:

2. Qual é a soma dos 80 primeiros números inteiros positivos?Resolução:

258

Temos:

Logo:

Resolva

1. Calcule a soma dos 15 primeiros termos da PA (–7, –3, 1, 5, …).2. Calcule a soma dos 25 primeiros números naturais ímpares.3. Calcule a soma de todos os múltiplos de 6 compreendidos entre 70 e 170.4. Sabendo que a soma dos 24 termos de uma PA é 3.612 e que seu 1o termo é igual a 1, determine

sua razão.

4.3 Progressão geométrica

4.3.1 Definição

Uma sequência, finita ou infinita, de números reais é uma progressão geométrica (PG) se, esomente se, o quociente da divisão de cada termo, a partir do segundo, pelo termoimediatamente anterior é constante.

Essa constante é chamada razão da PG e indicada por q.Assim, a sequência (a1, a2, a3, …, an–1, an, …) é uma PG se, e somente se:

259

Exemplo:Na sequência (3, 6, 12, 24, 48), temos:

6 : 3 = 12 : 6 = 24 : 12 = 48 : 24 = 2

Logo, essa sequência é uma PG, na qual:

a1 = 3, a5 = 48, n = 5 e q = 2

NOTAS:• a1 > 0 e q > 1 ⇒ PG crescente.

• a1 < 0 e 0 < q < 1 ⇒ PG crescente.

• a1 > 0 e 0 < q < 1 ⇒ PG decrescente.

• a1 < 0 e q > 1 ⇒ PG decrescente.

• q = 1 ⇒ PG constante.

• q < 0 ⇒ PG alternante ou oscilante.Exemplos:

(5, 10, 20, 40 80) é crescente, pois a1 = 5 e q = 2.

(–125, –25, –5, –1, …) é crescente, pois

(64, 32, 16, 8, 4, …) é decrescente, pois (–3, –6, –12, –24) é decrescente, pois a1 = –3 e q = 2.(5, 5, 5, 5, 5, 5) é constante, pois q = 1.(1, –3, 9, –27, 81, …) é alternante ou oscilante, pois q = –3.

4.3.2 Propriedade

Como consequência da definição:

Em uma PG, qualquer termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado pela razão.

Podemos verificar tal afirmação na PG (3, 6, 12, 24, 48), na qual q = 2:

260

6 = 3 × 2, 12 = 6 × 2, 24 = 12 × 2, 48 = 24 × 2

4.3.3 Fórmula do termo geral

Seja a PG (3, 6, 12, 24, 48, 96), na qual:

a1 = 3 e q = 2

Pela propriedade, podemos escrever:

6 = 3 × 212 = 6 × 2 ⇒ 12 = (3 × 2) × 2 ⇒ 12 = 3 × 22

24 = 12 × 2 ⇒ 24 = (3 × 22) × 2 ⇒ 24 = 3 × 23

48 = 24 × 2 ⇒ 48 = (3 × 23) × 2 ⇒ 48 = 3 × 24

96 = 48 × 2 ⇒ 96 = (3 × 24) × 2 ⇒ 96 = 3 × 25

Essas igualdades sugerem a seguinte generalização:

que é a fórmula do termo geral.

NOTA:

• Sendo a PG finita, an é o último termo e n é o número total de termos. Neste caso, a fórmulaanterior dá o último termo.


1. Dadas as progressões geométricas:

a)

b)

261

calcule as razões.Resolução:Temos:

a)

b) 2. Verifique se as seguintes sequências são ou não progressões geométricas:

a) (–1, –3, –9, –27, –81)

b) (5, 10, 20, 40, 60, 80)Resolução:Temos:

a) (–3) : (–1) = (–9) : (–3) = (–27) : (–9) = (–81) : (–27) = 3 ⇒ é PG

b) 10 : 5 = 20 : 10 = 40 : 20 ≠ 60 : 40 ⇒ não é PG3. Sabendo que o 1o termo de uma PG é 7, que a razão é igual a 3 e que o número de termos é 8,

calcule o 8o termo.Resolução:Temos:

Como an = a1 × qn – 1, vem:

a8 = 7 × 38 – 1 = 7 × 37 = 7 × 2.187 ⇒

⇒ a8 = 15.309

4. Sabendo que em uma PG a1 = 2, a2 = 4 e an = 512, calcule o número de termos.

Resolução:Temos:

262

Como:

vem:

Sendo 256 = 28, vem:2n – 1 = 28 ⇒ n – 1 = 8 ⇒ n = 8 + 1 ⇒ n = 9

Resolva

1. Determine o 5o termo da PG (3, 6, 12, …).

2. Dada a PG em que , calcule o 1o termo e o termo de ordem 6.

3. Calcule a razão da PG na qual a1 = 486 e

4. Em uma PG temos a1 = 3, an = 6.561 e q = 3. Calcule o número de termos.

4.3.4 Soma dos termos de uma PG finita

Seja a PG:

(a1, a2, a3, …, an–1, an)

Representando por Sn a soma de seus termos, vem:

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 1 + an

ou:

Multiplicando ambos os membros por q, obtemos:

263

Subtraindo membro a membro (1) de (2), resulta:

qSn – Sn = anq – a1

Isso ocorre porque os segundos membros têm os termos exatamente iguais no interior dasrespectivas chaves, e, em conseqüência, ao ser efetuada a subtração, eles se anulam, restando apenasanq de (2) e a1 de (1).

Colocando em evidência Sn no primeiro membro, temos:

Sn(q – 1) = an q – a1

e, finalmente:

que é a fórmula que nos dá a soma dos termos de uma PG finita, quando são conhecidos a1, an e q.


1. Qual a soma dos 6 primeiros termos da PG (4, 12, …)?Resolução:Temos:

Vamos inicialmente calcular a6 = a1 × q6 – 1:

a6 = 4 × 35 ⇒ a6 = 4 × 243 ⇒ a6 = 972

Lembrando que:

264

vem:

2. Determine o 6o termo de uma PG na qual a1 = 16, q = 4 e S6 = 21.840.

Resolução:Temos:

Substituindo esses valores na fórmula da soma, vem:

Resolva

1. Determine a soma dos termos de uma PG de razão igual a 3, 1o termo igual a 2 e último termoigual a 1.458.

2. Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (2, 22, 23, …).

3. Calcule a soma dos 4 primeiros termos de uma PG na qual 4. Calcule a soma dos 9 primeiros termos da PG (3, 6, 12, 24, …).

5. Logaritmos decimais

5.1 Definição

265

Denominamos logaritmo decimal o expoente ao qual devemos elevar a base 10 a fim deobtermos um número dado.

Exemplo:

Dizemos, então, que 2 é o logaritmo decimal de 100.Genericamente, se:

10x = a

x é o logaritmo do número a na base 10 ou x é o logaritmo decimal de a.Indicando o logaritmo decimal por log, temos:

NOTA:

• Como a base (10) é um número positivo diferente de 1, qualquer que seja o expoente x onúmero a será sempre um número positivo (a > 0); assim, podemos concluir que só hálogaritmos de números positivos.

Exemplos:

• 102 = 100 ⇔ log 100 = 2

• 103 = 1.000 ⇔ log 1.000 = 3

•

• log 10.000 = 4 ⇔ 104 = 10.000

5.2 Consequências da definição

• 100 = 1 ⇔ log 1 = 0 (o logaritmo de 1 é 0)

266

• 101 = 10 ⇔ log 10 = 1 (o logaritmo de 10 é 1)

• log 10x = x• a = b ⇔ log a = log b• a > b ⇔ log a > log b• a < b ⇔ log a < log b• a > 1 ⇔ log a > 0• 0 < a < 1 ⇔ log a < 0

5.3 Propriedades operacionais dos logaritmos

5.3.1 Logaritmo de um produto

Seja determinar log (a ×b).Fazendo:

log a = m e log b = n,

temos, pela definição de logaritmo:

10m = a e 10n = b

Multiplicando membro a membro essas igualdades, obtemos:

10m × 10n = ab

Logo:

10m + n = ab

Isso nos indica que m + n é o logaritmo decimal do produto ab, isto é:

log ab = m + n

ou:

Assim:

267

O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos de seus fatores.

Exemplo:

log (100 × 1.000) = log 100 + log 1.000 = 2 + 3 = 5

Podemos, sem dificuldade, generalizar a regra anterior para o caso de um produto de mais dedois fatores. Assim, no caso de três fatores, temos:

log abc = log (ab)c = log (ab) + log c = log a + log b + log c

5.3.2 Logaritmo de um quociente

Seja determinar .Fazendo:

log a = m e log b = n

temos:

10m = a e 10n = b

Logo:

isto é:

Isso nos indica que m – n é o logaritmo decimal do quociente . Portanto:

Assim:

268

O logaritmo de um quociente é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmodo divisor.

Exemplo:

5.3.3 Logaritmo de uma potência

Seja determinar log ak.Fazendo:

log a = m

temos:

10m = a

Elevando ambos os membros dessa igualdade à potência k, obtemos:

(10m)k = ak

Daí:

10mk = ak

Isso nos indica que o logaritmo decimal de a k é k × m, isto é:

log ak = k × m

ou:

log ak = k log a

Assim:

O logaritmo de uma potência é o produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

269

Exemplo:

log 1.0002 = 2 log 1.000 = 2 × 3 = 6

5.3.4 Logaritmo de uma raiz

Seja determinar .Como:

temos:

ou seja:

Assim:

O logaritmo de uma raiz de radicando positivo é igual ao logaritmo do radicando dividido peloíndice do radical.

Exemplo:


270

1. Dada a expressão , desenvolva log A pelas propriedades operatórias.Resolução:Temos:

2. Qual é a expressão C cujo logaritmo é log 2 + log π + log r?Resolução:Temos:

log C = log 2 + log π + log r = log (2πr) ⇒ C = 2πr

Resolva

1. Dada a expressão M = C(1 + i)n, desenvolva log M pelas propriedades operatórias.2. Determine o valor da expressão (1 – 0,9)6, empregando as propriedades operatórias e a definição

de logaritmo decimal.3. Qual é a expressão A cujo logaritmo é 2 log a + 3 log b – 5 log c?

5.4 Característica e mantissa*

Até agora, tratamos de logaritmos de números que são potências inteiras de 10. No entanto, qualserá o logaritmo de um número que não é potência inteira de 10?

Dado um número a > 0, existem duas potências consecutivas de 10, 10c e 10c+ 1, c inteiro, taisque:

10c ≤ a < 10c + 1

Daí:

c ≤ log a < c + 1

Isso nos diz que log a tem a forma:

c + 0,m,

271

isto é:

log a = c + 0,m,

onde c é um número inteiro e 0,m representa uma parcela não-negativa menor que 1.O número c é chamado característica do logaritmo e o número 0,m, mantissa do logaritmo.

NOTA:

• Se o número a é uma potência inteira de 10, seu logaritmo é, como vimos, um número inteiro.Nesse caso, dizemos que a característica é esse número inteiro e a mantissa é zero.

Exemplo:

log 100 = log 102 = 2 (a característica é 2 e a mantissa é 0)

5.4.1 Determinação da característica

•Para um número maior que 1:

A característica é igual ao número de algarismos da parte inteira, menos um.

Exemplos:log 007 = 0,…log 015 = 1,…log 418 = 2,…

• Para um número positivo menor que 1:

A característica é igual ao número de zeros que antecedem o primeiro algarismo significativo,precedido do sinal menos.

Exemplos:log 0,18 = –1,…log 0,045 = –2,…log 0,005 = –3,…

272

5.4.2 Propriedade da mantissa

O logaritmo de 18 é, na realidade, um número irracional que, escrito com aproximação de 6 casasdecimais, vale 1,255273, isto é:

log 18 = 1,255273

ou:

Multiplicando-se ou dividindo-se um número por uma potência inteira de 10, seu logaritmodecimal conserva a mantissa, só alterando a característica.

Exemplo:

log 18 = 1,255273log 1,8 = 0,255273log 180 = 2,255273

5.4.3 Determinação da mantissa

A mantissa pode ser determinada por meio de um recurso matemático denominado interpolaçãogeométrica, que é trabalhoso e dispensável, devido à existência de tábuas já prontas, conhecidascomo Tábuas de Logaritmos (p. 231).

Com a tábua de logaritmos podemos resolver dois problemas fundamentais:1o) Dado um número positivo, determinar o seu logaritmo.Exemplos:

1. Determine log 52.

Temos c = 1. Procurando na tábua, encontramos:

52 → 716003

Logo:

log 52 = 1 + 0,716003 ⇒ log 52 = 1,716003

2. Determine log 6,42.

273

Temos c = 0. Procurando na tábua, encontramos:

642 → 806858

Logo:

log 6,42 = 0 + 0,806858 ⇒ log 6,42 = 0,806858

3. Determine log 0,03.

Temos c = –2. Procurando na tábua, encontramos:

3 → 477121

Logo:

log 0,03 = –2 + 0,477121 ⇒ log 0,03 = –1,522879,

que é um logaritmo negativo.

NOTA:

• Quando a característica é negativa, costumamos escrever o logaritmo na chamada forma mista(logaritmo preparado).Assim, temos:

log 0,03 = –2 + 0,477121 = ,

onode a característica é negativa, porém a mantissa é positiva.O sinal menos sobre a característica serve, portanto, para indicar que apenas ela é negativa.Dado o logaritmo negativo, para obtermos o logaritmo preparado, adicionamos –1 à parteinteira e +1 à parte decimal, o que não altera o número. Assim:

log a = –1,428315 = (–1 – 1) + (1 – 0,428315) = .

4. Determine log 2.464.Esse número não se encontra na tábua. Entretanto, pela propriedade da mantissa, c = 3 e a

mantissa é a mesma do número 246,4.Como 246,6 é um número compreendido entre 246 e 247, com o recurso da interpolação linear

(simples regra de três) podemos determinar com uma aproximação razoável a mantissa de log 2.464:

274

número mantissa

diferença = 1 diferença = 0,001762

Se o número aumenta de 1, a mantissa aumenta de 0,001762; se o número aumentar de 0,4, amantissa aumentará de x:

A mantissa pedida é, então:

0,390935 + 0,000705 = 0,391640

Daí:

log 2.464 = 3,391640

Resolva

1. Determine:

a. log 121

b. log 42,5

c) log 0,000528

d) log 1,23

e) log 69.000

f) log 7.892

g) log 4,603

h) log 0,6528

2o) Dado um logaritmo, determinar o número correspondente (antilogaritmo ou logaritmando).

275

Exemplos:1. Determine o antilogaritmo de 2,298853.Examinando a tábua, encontramos a mantissa 0,298853, à qual corresponde o número 199.Sendo a característica igual a 2, o número pedido terá 3 algarismos na parte inteira. Logo:

antilog 2,298853 = 199

2. Determine antilog 1,793092.Temos:

0,793092 → 621

Como a característica é igual a 1, vem:

antilog 1,793092 = 62,1

3. Determine antilog .Temos:

0,447158 → 280

Como c = –2, vem:

antilog = 0,028

4. Determine antilog 3,696500.Examinando a tábua, não encontramos a mantissa 0,696500. Temos, então, que determinar o

antilogaritmo por interpolação linear. Assim, temos:

dif. 0,000873 dif. = 1

Como:

0,696500 – 0,696356 = 0,000144

temos:

Daí:

276

497 + 0,165 = 497,165

Sendo: c = 3, vem:

antilog 3,696500 = 4.971,65

NOTA:• O número de casas decimais vai depender da aproximação desejada.

Resolva

1. Determine:

a) antilog 0,501059

b) antilog

c) antilog 3,663701

d) antilog 1,832821


1. Calcule, empregando os logaritmos, o valor de A, sendo .Resolução:Temos:

log A = log 4,63 + log 20,3 – 2 log 0,16 == 0,655581 + 1,307496 – 2 × == 0,655581 + 1,307496 – 2(–0,795880) == 0,655581 + 1,307496 + 1,591760 ⇒

277

⇒ log A = 3,564837Daí:

A = antilog 3,564837

dif. = 0,001182 dif. = 1

Como:

0,564837 – 0,564666 = 0,000171

vem:

Logo:

367 + 0,1446 = 367,1446,

isto é:

A = 3.671,446

Resolva

1. Calcule, empregando os logaritmos, o valor de (1 + 0,05)7.2. Calcule, empregando os logaritmos, o valor de C, sabendo que:

C = 405,75(1+0,03)−2

278

TÁBUAS E TABELAS

TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS

279

TÁBUA DE LOGARITMOS

280

281

282

283

284

TÁBUA FINANCEIRA

285

286

287

288

289

290

291

292

293

294

295

296

297

298

299

300

301

302

303

304

305

306

307

308

309

310

311

312

313

314

315

316

317

318

319

320

RESPOSTAS

CAPÍTULO 1 – PROPORÇÕES

RESOLVA (p. 2)

1.

a.

b.c. 15

d.

e.

RESOLVA (p. 3)

1.a. 9 km/lb. 8 g/cm3

c.

d.

e.

RESOLVA (p. 6)

1.a. simb. nãoc. nãod. sim

321

RESOLVA (p. 7)

1.a. × = 0,75

b.

c.

RESOLVA (p. 9)

1.

a.

b.2.

a. não

b.

c.

RESOLVA (p. 14)

1. a = 100, b = 60 e c = 202. 36 e 243. 5 e 25

EXERCÍCIOS (p. 14)

1.

a.

b.

c.

d. 2.

a.

322

b.

c.

d. 3. não4.

a. simb. simc. não

5.

a.

b. 6.

a.

b. c. não

7.

a. b. 4

c.d. 2,5

e.

f. g. 2

f.

8.

323

9.

10.11.

a. x = 55 e y = 132

b. c. x = 136 e y = 51

12. 52 e 11713. 12 e 1614. 32 e 2015. 42 a e 10 a

16.17. 518. 2319. 184, 115 e 25620. R$ 140, R$ 196 e R$ 252

CAPÍTULO 2 – GRANDEZAS PROPORCIONAIS

RESOLVA (p. 21)

1. Não, porque multiplicando o número de operários por um número real diferente de zero, onúmero de dias gastos fica dividido por esse número.

2.a. nãob. sim

3. k =8

4. a = 15 e b = 7

RESOLVA (p. 22)

1. 6, 15 e 21

324

RESOLVA (p. 25)

2.a. simb. não

3. k’ = 60

4. a = 2 e b = –1

EXERCÍCIOS (p. 27)

1. diretamente

2. inversamente

3. não

4. não

5. diretamente

6. inversamente

7.a. diretab. inversac. inversad. diretae. direta

9.

a.b. não

10.a. sim; k’ = 2.520b. não

11.a. k = 1

b. 12.

a. k’ = 120b. k’ = 28

13.

325

a. x = 0,7 e y = 1,75

b. 14.

a. m = 11,2, n = 14 e p = 4

b. 15.

a. 45, 80, 150, 192b. 50, 237, 80, 340

16. 40, 30, 24, 15

CAPÍTULO 3 – DIVISÃO PROPORCIONAL – REGRA DE SOCIEDADE

RESOLVA (p. 32)

1. 650, 910 e 1.430

RESOLVA (p. 33)

1. 84, 63 e 362. R$ 84 e R$ 96

RESOLVA (p. 34)

1. 120, 80 e 602. R$ 1.470.000, R$ 980.000 e R$ 420.000

RESOLVA (p. 36)

1. 360, 630 e 1.2002. 2.000, 1.800 e 2.2503. 180, 72 e 40

EXERCÍCIOS (p. 39)

1. 210, 300 e 3602. 1.694, 605 e 1.4523. 26, 78 e 2214. 450, 270 e 1505. 1.218, 1.015 e 9286. 640, 80 e 40

326

7. 60, 144 e 2108. 432, 600 e 8109. 176, 132 e 2210. 480 e 60011. R$ 679,00, R$ 750,00 e R$ 1.125,0012. R$ 6.480.000,00, R$ 12.000.000,00 e R$ 3.240.000,0013. R$ 360,00, R$ 270,00 e R$ 216,0014. R$ 7.200,00, R$ 9.000,00 e R$ 10.800,0015. R$ 90.000,00, R$ 82.500,00 e R$ 67.500,0016. R$ 11.070,00 e R$ 9.348,0017. R$ 180.000,00 e R$ 540.000,0018. R$ 900.000,00, R$ 225.000,00 e R$ 337.500,0019. R$ 56.550,00, R$ 48.750,00 e R$ 58.500,0020. R$ 256.000,00, R$ 224.000,00 e R$ 208.000,00

CAPÍTULO 4 – REGRA DE TRÊS

RESOLVA (p. 43)

1. R$ 1.463,002. 9 d3. 40,5 l4. 40 d

RESOLVA (p. 45)

1. 5 kg2. 5 homens

EXERCÍCIOS (p. 46)

1. R$ 40,002. 30 tratores3. 47,25 km4. 40 d5. 15 d6. 18 d

327

7. .8. 840 m9. 96 km/h10. R$ 152.500,0011. 15 m12. 810 voltas13. 12 d14. 12 laranjas15. 5 d16. 38 d 2 h17. R$ 450,0018. 25 d

CAPÍTULO 5 – PERCENTAGEM

RESOLVA (p. 49)

1.a. 8%b. 47,5%c. 25%

RESOLVA (p. 52)

1. R$ 6,002. R$ 56.000,003. 37%

RESOLVA (p. 53)

1. 0,03082. 25%3. 2,4%

RESOLVA (p. 55)

1. 40%2. 700 alunos

328

3. 28,2 m

EXERCÍCIOS (p. 55)

1.a. 40%b. 5%c. 250%d. 325%e. 46,25%f. 24%g. 12,5%h. 1,2%

2.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.3.

a. 60b. R$ 24,00c. 4,5d. 78 kge. 2,2f. 33,75

4.a. 25%b. 6%c. 1,25%d. 25%

329

5.a. R$ 840,00b. R$ 3.500,00c. R$ 600,00d. R$ 25.600,00

6. 80%7. 4008. R$ 91,009. 5%10. 317.000 sacas11. R$ 44.520,0012. 37,5%13. R$ 288,0014. 450 meninos15. 32.000 hab.16. R$ 880,0017. R$ 636,0018. 58,33%19. 37,5%20. R$ 156.000,0021. R$ 559,0022. a primeira; 1,25%23. 8,59%24. R$ 12,0025. 26,9%26.

a. 10%b. 50%c. 30%

27. 21,2%28. 1,122 kg29. 650 e 27330.

a. R$ 437,00

330

b. R$ 115,00


RESOLVA (p. 60)

1. R$ 576,00

RESOLVA (p. 61)

1. R$ 60,00

RESOLVA (p. 62)

1. R$ 115,00

RESOLVA (p. 63)

1. R$ 4.981,21

RESOLVA (p. 65)

1. R$ 845,002. R$ 72,003. 30%4. R$ 40,005. R$ 9.775,00

RESOLVA (p. 68)

1. R$ 6.624,002. R$ 6.325,00

EXERCÍCIOS (p. 68)

1. R$ 46,002. 12%3. R$ 876,254. 15%5. R$ 41.250,266. R$ 382,007. R$ 120,00

331

8. R$ 450,009. R$ 141.600,0010. R$ 224,0011. 20%12. 12%13. R$ 50,0014. R$ 1.390,0015. R$ 3.800,0016. R$ 3.964,8017. 420 e 30018. R$ 6.725,0019. R$ 710,0020. R$ 776,2521. 4,62%22. 0,2% da grandeza23. R$ 340,00 a R$ 546,00 a unidade e 110,00 a R$ 382,0024. R$ 1.050,00 e R$ 1.092,0025. ganhou 0,63%26. R$ 50.000,0027. R$ 289,00 e R$ 459,0028. 29,95%29. 22,825%30. R$ 128.478,00


RESOLVA (p. 76)

1. R$ 17,022. R$ 2.262,233. 0,186

RESOLVA (p. 77)

1. 2.225,89 £

332

EXERCÍCIOS (p. 78)

1.a. R$ 491,78b. R$ 492,36c. R$ 206,50d. R$ 102,23

2.a. R$ 1.531.251,20 Fb. 185.656,82 £c. 28.481.334,55 Yd. 376.104,47 Sw. Fr.

3.a. US$ 21,86b. 535,46 Fc. 2.073,52 £

4. 189,36 £5. R$ 932,24 (C)6. R$ 10.163,007. R$ 56.629,338. O comerciante brasileiro, em 15.312,46 F

CAPÍTULO 8 – JURO SIMPLES

RESOLVA (p. 82)

1. R$ 1.3802. R$ 1.065

RESOLVA (p. 84)

1.a. 3% a.m.b. 4% a.m.c. 1,2% a.m.

2.a. 18% a.a.b. 32% a.a.c. 42% a.a.

333

d. 18% a.a.

RESOLVA (p. 87)

1. R$ 1.462,502. R$ 2.800,00

RESOLVA (p. 90)

1. R$ 974,16

RESOLVA (p. 93)

1. R$ 32.000,002. 3,3%3. 1 a 5 me4. 29/09/88

RESOLVA (p. 99)

1. R$ 8.000,002. 20%3. R$ 98.000,004. 16/05/90

EXERCÍCIOS (p. 99)

1. R$ 1.728,002. R$ 4.380,003. 40% a.a.4. 0,75% a.m.5. 2% a.m.6. R$ 27.000,007. 30% a.a.8. 3 a 3 me 15 d9. 2 a 6 me10. R$ 91.800,0011. R$ 140.000,0012. 30% a.a.

334

13. 2 anos14. 10 anos15. 12,5% a.a.16. indiferente17. R$ 7.400,0018. R$ 32.400,0019. 8 me20. 1 a 9 me21. 30%22. R$ 313.600,0023. R$ 174.406,25 e R$ 81.233,7524. 2% a.m. e R$ 39.200,0025. R$ 97.440,0026. R$ 3.472,00 e R$ 4.340,0027. 3 me

CAPÍTULO 9 – DESCONTO SIMPLES

RESOLVA (p. 106)

1. R$ 100,002. R$ 7.266,003. 2 me 15 d

RESOLVA (p. 108)

1. 2,25% a.m. e 2,46% a.m.

RESOLVA (p. 111)

1. R$ 6.660,002. R$ 35.750,943. R$ 15.658,12

RESOLVA (p. 114)

1. R$ 1.923,08 e R$ 48.076,92

335

EXERCÍCIOS (p. 114)

1. R$ 250,002. R$ 250.000,003. 54% a.a.4. 75 d5. 135 d6. 120 d7. R$ 20.000,008. 40% a.a. e 42,86% a.a.9. R$ 120.133,3310. R$ 12.000,0011. 3,19% a.m.12. 41,38% a.a.13. 8 me14. R$ 11.300,0015. R$ 7.556,8016. R$ 20.748,6817. R$ 9.221,2418. 3% a.m.19. 248 d20. R$ 20.000,00

CAPÍTULO 10 – JURO COMPOSTO

RESOLVA (p. 125)

1. R$ 9.237,222. R$ 88.257,753. R$ 26.496,48

RESOLVA (p. 127)

1. R$ 72.000,62

RESOLVA (p. 128)

1. 3% a.m.

336

2. 8 me

RESOLVA (p. 131)

1. 6,18% a.m.2. 20,42% a.a.

RESOLVA (p. 132)

1. R$ 52.938,55

RESOLVA (p. 135)

1. 41,16% a.a. e R$ 69.739,60

RESOLVA (p. 137)

1. 9,09%2. 11,9%


1. R$ 12.100,722. R$ 28.442,003. R$ 47.894,054. R$ 22.823,015. R$ 14.999,896. 13 me7. 2,5% a.m.8. 39,6% a.a.9. 10,67% a.b.10.

a. 2,21% a.m., 6,78% a.t., 14,02% a.s., 30% a.a.b. 3,08% a.m., 9,54% a.t., 20% a.s., 44% a.a.c. 2,6% a.m., 8% a.t., 16,64% a.s., 36,05% a.a.d. 3% a.m., 9,27% a.t., 19,41% a.s., 42,58% a.a.

11. R$ 15.757,3012. R$ 5.000,2513. 3% a.m.14. 6,14% a.a.

337

15. 23,14% a.a.16. R$ 26.594,2817. R$ 17.291,6818. 2 anos19.

a. 36%b. 13,33%

CAPÍTULO 11 – DESCONTO COMPOSTO

RESOLVA (p. 143)

1. R$ 6.313,582. R$ 29.138,003. R$ 142.598,004. R$ 852,005. R$ 674,006. 6% a.b.7. 4 me

RESOLVA (p. 146)

1. R$ 12.119,68


1. R$ 5.436,002. R$ 12.594,303. R$ 964,504. 3 me5. R$ 30.000,236. 4,5% a.t.7. R$ 50.000,008. R$ 25.065,909. R$ 23.065,9010. R$ 530.453,03

338

CAPÍTULO 12 – CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTAS

RESOLVA (p. 153)

1. R$ 25.526,28

RESOLVA (p. 154)

1. R$ 17.763,89

RESOLVA (p. 155)

1. 1% a.m.2. 8 mensalidades

RESOLVA (p. 157)

1. R$ 362.681,64

RESOLVA (p. 159)

1. R$ 17.524,762. 6 termos3. 7% a.t.

RESOLVA (p. 164)

1. R$ 3.002,002. R$ 1.375,343. 4% a.m.4. 20 prestações

RESOLVA (p. 167)

1. R$ 2.538,142. R$ 9.306,413. R$ 1.433,824. 10 anos5. 6,5% a.m.

RESOLVA (p. 170)

1. R$ 3.571,96

339

2. R$ 5.215,563. R$ 3.616,60


1. R$ 6.084,372. R$ 750,003. R$ 36.969,204. R$ 2.348,88 e R$ 2.291,545. R$ 61.542,106. R$ 8.458,95 e R$ 8.543,547. 10 aplicações8. 2% a.m.9. R$ 40,6410.

a. R$ 5.046,50b. R$ 4.246,50

11. 16 me12. R$ 114,5813. R$ 3.590,2214. R$ 12,0015. 3,5% a.m.16. 10 prestações17. R$ 106,8318. R$ 24,9019. 5% a.m.20. R$ 5.702,9321. 4 pagamentos22. R$ 9.256,4023. R$ 2.000,2724. compra à vista25.

a. 0,27874b. 0,15161c. 0,12633

340

d. 0,10967

CAPÍTULO 13 – EMPRÉSTIMOS

RESOLVA (p. 178)

1.

RESOLVA (p. 180)

1. R$ 168.386,98

RESOLVA (p. 183)

1.

2.

341

RESOLVA (p. 184)

1.

RESOLVA (p. 187)

1.

342

RESOLVA (p. 189)

1. R$ 45.000,00

RESOLVA (p. 191)

1. a. Com pagamento de juros

b. Com capitalização de juros

343

RESOLVA (p. 192)

1.

RESOLVA (p. 195)

1.


1.

344

2. R$ 14.434,823.

a. Com pagamento de juros


345

4.

5.

346

6.a. R$ 7.700,00b. R$ 1.351,00c. R$ 8.694,00d. R$ 73.500,00

7.a. Com pagamento de juros

347


8.

348

APÊNDICE – COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

RESOLVA (p. 200)

1. 2.

a. 1 a 8 me 28 db. 9 a 7 mec. 1 a 7 me 24 d

RESOLVA (p. 202)

1.a. 16b. 16c. 32d. –32e. 0f. 0g. 9h. –9i. –9j. 1l. –1

m.

n.

o. p. 4q. 32

r. s. –8t. 4u. 1

349

2.b. x = 5c. x = –4d. x = –3f. x = 2g. x = 3h. x = 81i. x = 64

RESOLVA (p. 210)

1.a. simb. simc. não

2.a. 3b. –5

3. a25 = 47

4. a1 = 40 e a14 = –4

5. 63o termo6. r = 2

RESOLVA (p. 212)

1. S15 = 315

2. S25 = 625

3. Sn = 2.040

4. r = 13

RESOLVA (p. 215)

1. a5 = 48

2.

3. 4. n = 8

350

RESOLVA (p. 217)

1. Sn = 2.186

2. Sn = 2.046

3. 4. Sn = 1.533

RESOLVA (p. 222)

1. log M = log C + n log (1 + i)2. −6

3.

RESOLVA (p. 226)

1.a. 2,082785b. 1,628389c. d. 0,089905e. 4,838849f. 3,897187g. 0,663041h. 1,814780

RESOLVA (p. 227)

1.a. 3,17b. 0,0074c. 4.610d. 68,049

RESOLVA (p. 228)

1. 1,407092. 382,46

351

* Ver Apêndice, p. 197.

352

* O valor 2,7 corresponde à massa específica do alumínio, expressa em g/cm3.

** Seqüência: ver Apêndice, p. 206.

*** Função linear: ver Apêndice, p. 203.

* Função recíproca: ver Apêndice, p. 203.

353

* Por serem conhecidos, ordinariamente, três elementos é que designamos pelo nome de regra detrês.

* Isso acontecerá dentro de certos limites; a partir de um certo número de homens (númerolimite)a lei não se aplica mais, pois o seu aumento não mais vai influir no trabalho, podendo atéprejudicá-lo.

354

* Há autores que preferem a designação taxa de percentagem.

* Alguns autores empregam, ainda, a letra C para o principal, quando este representa dinheiro.

355

* Quando não está expresso se o lucro ou o prejuízo são sobre o preço de custo ou sobre o preçode venda, fica implícito que são sobre o preço de custo.

* Fatura é a relação que acompanha a remessa de mercadorias expedidas, ou que se remetemensalmente ao comprador, com a designação de quantidades, marcas, pesos, preços eimportâncias.

356

* A Inglaterra, a partir de 1972, adotou definitivamente a divisão decimal para a sua moeda.

* A grafia americana é: US$ 6,064.76.

357

* Também denominado principal.

* Ver Percentagem, p. 48.

* Ver Grandezas proporcionais, p. 26.

** a.a. é a abreviatura de ao ano, assim como a.m. é a de ao mês etc.

* Ver Apêndice: Medidas de Tempo, p. 197.

* Um ano é bissexto quando o seu número é divisível por 4.Por exemplo: 1948, 1956, 1972, 1988, 1992 etc.Os anos cujos números terminam em 00 só são bissextos de 4 em 4 séculos. O ano 2000 foibissexto.

* Fizemos a transformação em meses porque o problema pede a taxa mensal.


* Ver Desconto Simples, p. 102.

358

* Também chamado valor futuro ou valor de face ou valor de resgate.

** Também chamado valor descontado.

* Capitais diferidos são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes. Por exemplo, títulos decrédito com vencimentos diferentes.

* Neste texto, sempre que o “desconto” não for explicitado, você deve subentender “descontocomercial”.

359

* Ver Potenciação, p. 200.

* Sempre que possível, devemos evitar esse recurso, pois os valores que figuram na Tábua sãoexponenciais e os calculados pela interpolação são lineares, o que provoca, às vezes, errosgrosseiros.


* Neste caso, x = (1 + i) e y = −n.


360

* Lê-se: Sn, cantoneira i ou, simplesmente, s, n, i.

* Lê-se: Sn barra, cantoneira i ou, simplesmente, S barra, n, i.

* Lê-se: An cantoneira i ou, simplesmente, a, n, i.

* Lê-se: An traço, cantoneira i ou, simplesmente, a, traço, n, i.

* Lê-se: m, barra, An ou, simplesmente, m, a, n.

* Pela definição dada (p. 168), o fato de o primeiro pagamento ser efetuado 3 meses depois derealizado o empréstimo quer dizer que o diferimento é igual a 2, isto é, m = 2.

* Considere o real como moeda corrente.

361

* Planilha é um quadro onde montamos o cronograma dos valores de recebimentos e depagamentos.

* No período de janeiro a junho de 1994, a moeda circulante no país não era o real. Por questõesdidáticas, deixamos de considerar esse detalhe.

362

* Numerais complexos são aqueles que usamos na representação de números do sistema denumeração sexagesimal.

* ∀: qualquer que seja; ∈: pertence.

* y = f(x).

* Se a seqüência é finita, an é o último termo.

* ⇔: símbolo que indica uma equivalência lógica, isto é, uma implicação em ambos os sentidos(lê-se: equivale a ou, ainda, se e somente se).

* Esse item da matéria não será necessário se os alunos puderem utilizar uma calculadoraeletrônica.

363

Documents

Matemática Financeira Fácil - 14ª Edição