Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 1 de 185 INTRO. DERIVADA DE UNA FUNCIN

Se abre aqu el estudio de uno de los conceptos fundamentales del clculo diferencial: la derivada de una funcin. En este tema, adems de definir tal concepto, se mostrar su significado y se hallarn lasderivadasdelasfuncionesmsusuales.Esdecapitalimportanciadominarla derivacinparadespuspoderabordareltrazadodecurvas,ascomopara comprender la utilidad del clculo integral, que se estudiarn a continuacin. Lanocindederivadaeshistricamenteanterioralconceptodelmiteaunqueactualmente seestudieaqullainmediatamentedespusdeste,porrazonesquesernfcilmente comprensibles. Laderivadadeunafuncinenunpuntox0 surgedelproblemadecalcularlatangenteala grfica de la funcin en el punto de abscisa x0, y fue Fermat el primero que aport la primera ideaaltratardebuscarlosmximosymnimosdealgunasfunciones.Endichospuntoslas tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ngulo que forman con ste esdecerogrados.Enestascondiciones,Fermatbuscabaaquellospuntosenlosquelas tangentes fueran horizontales DERIV. DE UNA FUNC. EN UN PUNTO

Sea una funcin y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy prximo a x0 (h es un nmero infinitamente pequeo), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante que une los puntos (x0,f(x0 )) y (x0 + h,f(x0 + h)) tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )). que determina la tangente con esemismoeje, eneltringulo rectngulo de vrtices (x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica: Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento de la tangente, tg h tiende a tg , es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )). Esto se expresa matemticamente as:

Derivada de una funcin en un punto Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 2 de 185 Dadaunafunciny=f(x),sellamaderivadadelafuncinfenunpuntox0al f'(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):

Cuando este lmite existe (y es finito) se dice que la funcin f(x) es derivable en el punto x0. Significado de la derivada Puesto que la derivada de la funcin en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (grfica de la funcin) en (x0, f(x0 )). Ejercicio: clculo de la derivada de una funcin en un punto Calcular la derivada de la funcin f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1. Resolucin: Se pide el valor de f''(1) (en este caso, x0 = 1). Por tanto, f'(1) = 3. Calcular la derivada de la funcin f(x) = en el punto 2. Resolucin: (conjugado del numerador) Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 3 de 185

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados: Ejercicio: clculo de la ecuacin de la tangente a una funcin en un punto Calcular la ecuacin de la tangente a la curva f(x) = x2 en el punto de abscisa 2. Resolucin: La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4). Lapendientedelatangentealacurvaenelpuntodeabscisa2es,pordefinicin,f'(2), luego la ecuacin de la recta es de la forma y - 4 = f'(2) (x - 2). La ecuacin de la tangente es entonces y - 4 = 4(x - 2)y - 4 = 4x - 8 4x - y - 4 = 0. Ejercicio: estudio de la derivabilidad de una funcin en un punto Estudiar la derivabilidad de la funcin f(x) definida por Resolucin: a) Derivabilidad en x1 = 1. Se han de considerar dos casos: Si h > 0, 1 + h > 1 y en este caso f(x) = x. Por tanto: Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 4 de 185 Este lmite es el lmite por la derecha e indica que la tangente a la derecha de 1 tiene por pendiente 1. Este lmite es el lmite por la izquierda e indica que la tangente a la izquierda de 1 tiene por pendiente 2. Alnocoincidirloslmitesaderechaeizquierdade1,noexistetallmitey,portanto,la funcin f(x) no es derivable en x = 1. b) Derivabilidad en x = 0. En este caso no es necesario considerar h > 0 y h < 0 ya que en las proximidades de cero (h es muy pequeo) la funcin es f(x) = x2.

Ellmiteexisteyescero, luego f(x)esderivableenx0 =0y la pendientedelatangentees cero (paralela al eje de abcisas). Estudiar la derivabilidad de la funcin f (x) = |x| (valor absoluto de x) definida por Resolucin: Al no coincidir los lmites a derecha e izquierda de 0, la funcin f (x) = |x| no es derivable en dicho punto. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 5 de 185 Cundohayqueconsiderarlmitesaderechaeizquierdaalcalcularladerivadadeuna funcin en un punto? Sialdibujarlacurvaseobservaqueenelpuntoconsideradostacambiabruscamentede direccin, es necesario considerar lmites a derecha e izquierda, puesto que, en este caso, la tangente no se comporta de igual modo y se quiebra. Consecuencias de la definicin de derivada en un punto 1.Siexisteladerivadadeunafuncinf(x)enunpunto(x0,f(x0)),existenlasderivadasa derecha e izquierda de x0 y tienen que ser iguales; de lo contrario no existira f'(x0 ). Puede ocurrir, no obstante, que existiendo las derivadas a derecha e izquierda stas sean distintas.Enestecasonoexistelatangenteen(x0,f(x0 )),sinodossemirrectas,cadauna tangente a uno de los arcos en que el citado punto divide a la curva. Los puntos en que esto ocurre se llaman puntos angulosos. LospuntosA,B,C,DyEdelagrficadelailustracinsonpuntosangulosos:lacurva cambia bruscamente de direccin en ellos. La funcin correspondiente no es derivable en las abscisas de dichos puntos. No esdifcil, consecuentemente, imaginar lagrfica de una funcin que no sea derivable en muchos e, incluso, infinitos puntos. 2. La idea que hasta ahora se tena de tangente a una curva como la recta que posee un nicopuntocomnconellanoesnadaapropiada. Siestofuese aslacurvadelafig.1no tendratangenteenelpuntoP,mientrasquelacurvadelafig.2contaraconinfinitas tangentes en Q. Tangente a una curva en un punto Elconceptodederivadafacilitaladefinicindetangenteaunacurvaenunpuntocomoel lmitedeunasecantequepasaporlyporotropuntocualquieradelacurvacuandoste ltimo, recorriendo la curva, tiende a coincidir con el primero. Propiedad Si una funcin es derivable en un punto, necesariamente es continua en l. Demostracin: Sea una funcin y = f(x) derivable en un punto x0. Para probar que la funcin es continua en l, es preciso demostrar que Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 6 de 185 o lo que es equivalente, que

Pero de donde, por ser f(x) derivable, Esta propiedad evita el trabajo de estudiar la derivabilidad de una funcin en un punto donde sta no sea continua. Porelcontrario,puededarseelcasodeunafuncincontinuaentodoslospuntosynoser derivable en alguno, e incluso infinitos puntos. Valga como ejemplo la funcin |x|, que siendo continua en todos los puntos de la recta real, no es derivable, como ya se ha comprobado, en el origen.

CLCULO DE DERIVADAS ( I )

Derivada de una funcin constante Sea una funcin constante f(x) = C. Su grfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valordelaabscisasuordenadacorrespondientees,constantemente,igualaC,siaesun punto cualquiera del campo de definicin de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que Luego la derivada de una constante es siempre cero. Derivada de la funcin lineal mx + b Sea una funcin lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,

Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 7 de 185 locualsignificaqueladerivadadeunarectacoincideconlapendientedeellamismay,en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

Derivada de una constante por una funcin, k f(x) Si k es una constante y f(x) una funcin, la derivada de la nueva funcin k f(x) ser: Se ha demostrado que (k f(x))' = k f'(x) As,paraderivarunaexpresindelaformak f(x), bastaderivar lafuncinf(x)ymultiplicar despus por la constante k. Para calcular la derivada de la funcin f(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente Tomando lmites cuando h0, sumandos tiende a cero (su lmite es cero). Se concluye que

Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 8 de 185 Ejercicio: clculo de derivadas Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa - 1. Resolucin: f'(x) = 2 x2 - 1 = 2 x f'(- 1) = 2 (- 1) = - 2 Entonces, la pendiente de la tangente a la parbola y = x2 en x = - 1 es - 2. Derivadas de las funciones trigonomtricas sen x y cos x La derivada de la funcin f(x) = sen x es f'(x) = cos x La derivada de la funcin g(x) = cos x es g'(x) = - sen x Las demostraciones son complejas y se pasan por alto. Derivada de la funcin logaritmo neperiano ln |x| Puestoqueellogaritmoestdefinidosloparavalorespositivosydistintosdecero,es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x. Para calcular la derivada de esta funcin se han de considerar dos casos, x > 0 yx < 0: a)Sixespositivo,auntomandohnegativo,x+hespositivosisetomanvaloresdeh suficientemente pequeos, lo cual es posible pues se va a calcular el lmite cuando h tiende a cero. En estas condiciones Por tanto, si x > 0 Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 9 de 185

b)Sixesnegativo,auntomandohpositivoysuficientementepequeo,x+hsiguesiendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x. Como se aprecia, se llega a la misma expresin que en el caso anterior y la demostracin se continuara de forma idntica. Sealafunciny=ax,siendoaunaconstantepositivadistintade1.Laderivadadeesta funcin en un punto x es:

y se toman logaritmos neperianos:

Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 10 de 185 Luego:

En particular, cuando la constante a es el nmero e, la derivada de la funcin ex es (ex )' = ex ln e = ex 1 = ex

Hastaelmomentosesabenderivaralgunasfuncioneselementalesperonohaynadaque permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; serequiere,porconsiguiente,seguiravanzandoenlaobtencindepropiedades encaminadas a este fin. Operaciones con funciones Hayquerecordarcmosedefinenlasuma,elproductoyelcocientedefunciones.Sifyg sondosfuncionesdefinidasenunmismointervalo(encasocontrario,algunadeestas operaciones podra no estar definida),

Funcin suma de f y g como la nueva funcin f + g: [a,b]R, (f + g) (x) = f(x) + g(x) Funcin producto de f y g como la funcin f g: [a,b]R, (f g) (x) = f(x) g(x) siempre que g(x)0 para todo x del intervalo. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 11 de 185 Derivada de una suma de funciones Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la funcin suma en dicho punto se obtiene calculando

La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas. [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) Derivada de una diferencia de funciones f - g = f + (- g), por lo que [f(x) + (- g(x))]' = f'(x) + (- g(x))' Pero - g(x) = (- 1) g(x) y la derivada de una constante por una funcin es igual al producto de la constante por la derivada de la funcin: [- g(x)]' = [(- 1) g(x)]' = (- 1) g'(x) = - g'(x) En consecuencia, [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) Ejercicio: clculo de derivadas Calcular la derivada de la funcin f(x) = x - cos x Resolucin:

Calcular la derivada de f(x) = x3 - sen x + ln|x| en el punto x = -/3. Resolucin: Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 12 de 185 Derivada de un producto de funciones Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x. Si se suma y se resta en el numerador f(x) g(x + h), la fraccin anterior no vara, Sacando g(x + h) factor comn en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,

Si ahora se toman lmites cuando h tiende a cero, Ejercicio: clculo de derivadas Hallar la derivada de h(x) = x ln x para cualquier x positivo. Resolucin: Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 13 de 185 Resolucin: CLCULO DE DERIVADAS ( II )

Derivada de un cociente de funciones Considrense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Adems, en este caso, se tiene que imponer la condicin de que la funcin g no se anule en x. Si en la segunda fraccin se suma y se resta al numerador f(x) g(x), se obtiene: Sacandofactorcomng(x)enlosdosprimerossumandosdelasegundafraccin,yf(x)en los dos ltimos, Por ltimo, se toman lmites cuando h tiende a cero notando que: Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 14 de 185 En definitiva,

Ejercicio: clculo de derivadas Resolucin: Derivada de la funcin tg x si f(x) = sen x, f'(x) = cos x si g(x) = cos x, g'(x) = - sen x Aplicando la frmula de la derivada de un cociente, Por tanto,

Derivada de la funcin sec x Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 15 de 185 Si f(x) = 1, f'(x) = 0 Si g(x) = cos x, g'(x) = - sen x Por la frmula de la derivada de un cociente,

(sec x)' = sec x tg x Derivada de la funcin cosec x Si f(x) = 1, f'(x) = 0 Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x Por la derivada de un cociente,

(cosec x)' = - cosec x cotg x Derivada de la funcin cotg x Si f(x) = cos x, f'(x) = - sen x Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x

Por tanto,

Ejercicio: clculo de derivadas Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 16 de 185 Resolucin: Llamando f(x) = x cos x - 2, f'(x) = 1 cos x + x (- sen x) = cos x - x sen x (la derivada de 2 es cero por ser una constante) Si g(x) = x2, g'(x) = 2 x Resolucin: Si f(x) = x tg x - cos x, f'(x) = 1 tg x + x(1 + tg2x) - (- sen x) = = tg x + x(1 + tg2x) + sen x A pesar de contar ya con un nmero estimable de propiedades para el clculo de derivadas, hay funciones elementales,como, para las queno se conoceningn procedimientopara la obtencin de su derivada. Para seguir avanzando por este camino se hace imprescindible conocerunadelaspropiedadesms fundamentalesytilesdeladerivacin,aunquenose harsudemostracin.Selaconocecomoderivadadeunafuncincompuestaoregladela cadena. REGLA DE LA CADENA

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una funcin derivable en un cierto intervalo I, yz=g(y)esotrafuncinderivableydefinidaenotrointervaloquecontieneatodoslos valores (imgenes) de la funcin f, entonces la funcin compuesta Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 17 de 185 definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene Ejemplo: clculo de derivadas Calcular la derivada de la funcin h(x) = sen x2. Resolucin: La funcin sen x2 es una funcin compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x. Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2

Por la regla de la cadena, h'(x) = g'[f(x)] f'(x) = 2x cos x2 Resolucin:

De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia, Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 18 de 185 Por la regla de la cadena, Regla de la cadena para la funcin potencial Se sabe que la derivada de una funcin f(x) = xm es f'(x) = m xm - 1. Si en lugar de x se tuviese una funcin u(x), la derivada de u(x)m aplicando la regla de la cadena, ser: [u(x)m]' = m u(x)m - 1 u'(x) Para simplificar la notacin, y a partir de ahora, se escribir simplemente u en lugar de u(x). As, Ejercicio: clculo de derivadas Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3. Resolucin: Si u = x2 + 1, u' = 2x En este caso m = 3 f'(x) = 3 (x2 + 1)2 2x = 6x (x2 + 1)2 Regla de la cadena para la funcin logaritmo neperiano Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una funcin de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 19 de 185 Ejercicio: clculo de derivadas Resolucin: Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente: Se aplica la regla de la cadena: Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x | Resolucin: u = sen x; u' = cos x Regla de la cadena para las funciones exponenciales Si en lugar de x se tuviese una funcin u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una funcin f(x) = au y para otra g(x) = eu, f'(x) = (au )' = u' au ln a g'(x) = (eu )' = u' eu Ejercicio: clculo de derivadas Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x Resolucin: Llamando u = x sen x, u' = 1 sen x + x cos x f'(x) = (4x sen x )' = (sen x + x cos x) 4x sen x ln 4 Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 20 de 185 Resolucin: Regla de la cadena para las funciones trigonomtricas

Ejercicio: clcular la derivada Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x) Resolucin: Si u = sen x, u' = cos x f'(x) = (sen(sen x))' = u' cos u = cos x cos(sen x) Hallar la derivada de g(x) = sec (x2 - 1) Resolucin: u = x2 - 1; u' = 2x g'(x) = (sec(x2 - 1))' = u' sec u tg u = 2x sec(x2 - 1) tg(x2 - 1) Calcular la derivada de h(x) = sen3x2 Resolucin: Llamando u = sen x2, hay que derivar sen3x2 = u3. Por la regla de la cadena, la derivada de u3 es (u3 )' = 3 u2 u' Llamando v = x2; u = sen v. u' = v' cos v = 2x cos x2 Finalmente, h'(x) = (sen3x2)' = 3u2 u' = 3 sen2x2 2x cos x2 == 6x sen2x2 cos x2 Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 21 de 185 Paracalcularladerivadadeunafuncinqueesinversadeotra,esnecesarioconocerun importante resultado, aunque se evita hacer su demostracin. Derivada de la funcin inversa Siunafunciny=f(x)admiteunafuncininversa-1ylafuncinf(x)esderivableenun punto x0, entonces la funcin - 1 es derivable en el punto f(x0). En virtud de este teorema, la funcin x1/n es derivable por ser la funcin inversa de xn: Como consecuencia, al ser la funcin xm derivable para cualquier nmero entero m, como ya se ha visto, la funcin xm/n es derivable por ser composicin de dos funciones derivables:

Sea u = x1/n; elevando a n, un = x. Derivando ambos miembros se observa que Despejando u', Sea f(x) = xm/n Se eleva a n, f(x)n = xm Se deriva: Pero f(x)n - 1 = (xm/n )n - 1 Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 22 de 185 Si en las dos funciones anteriores se tiene una funcin dependiente de la variable x, u(x), en lugar de la funcin x, se obtienen las siguientes derivadas:

Para obtener estas igualdades, basta aplicar la regla de la cadena. Ejercicio: clculo de derivadas Resolucin: Se trata de calcular una derivada de la forma u1/2. Si u = x2 + sen x, u' = 2x + cos x Obsrvese que en este caso n = 2

Resolucin: Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 23 de 185

FUNCIONES TRIGONOM. INVERSAS

distintos en [- 1, 1]. lafuncinseno.Enestascondiciones sepuededefinirlaaplicacininversadef(x)=senx, llamada arco-seno y que se simboliza por arc sen x.

xf (x) = sen xf-1 [f (x)] = f-1 (sen x) = arc sen (sen x) = x Derivada de la funcin arc sen x Si y = arc sen x = f- 1(x), aplicando f, f(y) = f(f- 1(x)) = x, es decir, sen y = x. De la conocida frmula sen2 y + cos2 y = 1, cos2 y = 1 - sen2 y Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 24 de 185 Derivada de la funcin arc cos x Anlogamente,lafuncincosxtieneunafuncininversallamadaarco-cosenoyse simboliza por arc cos x. De y = arc cos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena,

Derivada de la funcin arc tg x La inversa de la funcin tg x se llama arco-tangente y se simboliza por arc tg x. y = arc tg x,x = tg y. Derivando por la regla de la cadena,

Derivada de la funcin arc cotg x La inversa de la funcin cotg x se llama arco-cotangente y se simboliza por arc cotg x. Si y = arc cotg x,x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena, Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 25 de 185

Derivada de la funcin arc sec x Anlogamente a los casos anteriores, sec x tiene una funcin inversa llamada arco secante y simbolizada por arc sec x. y = arc sec x,x = sec y. Derivando por la regla de la cadena, 1 = y' sec y tg y = y' x tg y(1)

Derivada de la funcin arc cosec x Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior, y = arc cosec x,x = cosec y Derivando: 1 = - y' cosec y cotg y = - y' x cotg y(1) Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 26 de 185

REGL. CADENA TRIG. INVERSAS

Siencadaunadelasfuncionesanterioressetuvieseunafuncindex,u(x),enlugardela funcin x, las derivadas de las nuevas funciones compuestas se convierten, por la regla de la cadena en: Ejercicio: clculo de derivadas Resolucin: Resolucin: Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 27 de 185 Resolucin: Resolucin:

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIN

Seaunafunciny=f(x).Dadounpuntodeabscisax,seledotadeunpequesimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h. Setrazalatangentealacurvaenelpuntodeabscisax,ydesdex+hselevantauna paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.

Diferencial de una funcin en un punto Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 28 de 185 Sedefinediferencialdeunafunciny=f(x)enunpuntox,ysesimbolizapordydf(x),al producto f'(x) h. Por tanto, dy = df(x) = f'(x) h Propiedades de la diferencial Primera propiedad: La diferencialdeunafuncinenunpuntodependededosvariables:elpuntox elegidoyel incremento h que se ha tomado. Segunda propiedad: Al ser dy = f ' (x)h =, la diferencia de una funcin en un punto es el incremento(aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x. Tercera propiedad: Siseconsideralafunciny=f(x)=x,df(x)=dx=f'(x)h=1h=h.As,dx=hy Cuarta propiedad: cuando h es infinitamente pequeo, el cociente dy es prcticamente igual a cuando h es muy pequeo, con la seguridad de que el error cometido ser mnimo. Ejercicio: clculos aproximados utilizando la diferencial Unmvilsemuevesegnlarelacins=5t2 +t,donde srepresentaelespaciorecorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos. Sequieresaberlosmetrosquerecorreelmvileneltiempocomprendidoentre Resolucin: Diferenciando la expresin s = 5t2 + t, ds = (10t + 1) dt Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 29 de 185 Sustituyendo en la expresin de ds, En la figura se observa que en realidad recorre algo ms de 23,66 metros: Se ha cometido un error de 24,18 m - 23,66 m = 52 cm Calcular 3,052. Resolucin: Para encontrar un resultado aproximado de 3,052 se considera la funcin y = x2. Diferenciando esta funcin, dy = 2x dx. Por la proximidad de 3,05 a 3 (5 centsimas) se calcular la diferencial en el punto de abscisa x = 3 y se llevar a la expresin de dy. En este caso dx = 3,05 - 3 = 0,05 dyx = 3 = 2 3 0,05 = 0,30 Por tanto, aproximadamente, 3,052 = 9 + 0,30 = 9,30. Sisecalculaconexactitudelvalorde3,052 seobtiene9,3025.Seobservaqueseha cometido un error de 9,3025 - 9,30 = 0,0025, 25 diezmilsimas!

DERIVADA DE UNA FUNCIN Se abre aqu el estudio de uno de los conceptos fundamentales del clculo diferencial: la derivada de una funcin. En este tema, adems de definir tal concepto, se mostrar su significado y se hallarn las derivadas delasfuncionesmsusuales.Esdecapitalimportanciadominarladerivacinparadespuspoder abordareltrazadodecurvas,ascomoparacomprenderlautilidaddelclculointegral,quese estudiarn a continuacin. Lanocindederivadaeshistricamenteanterioralconceptodelmiteaunqueactualmentese estudie aqulla inmediatamente despus de ste, por razones que sern fcilmente comprensibles. La derivada de una funcin en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la grfica de la funcin en el punto de abscisax0, y fue Fermat el primeroque aport la primera idea al tratar de buscarlosmximosymnimosdealgunasfunciones.Endichospuntoslastangenteshandeser paralelas al eje de abscisas, por lo queel ngulo que forman conste esde cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 30 de 185 DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO Sea una funcin y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy prximo a x0 (h es un nmero infinitamente pequeo), a medida que sehace tender h a cero, la recta secante que une los puntos (x0,f(x0 )) y (x0 + h,f(x0 + h)) tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )). que determina la tangente con ese mismo eje, en el tringulo rectngulo de vrtices (x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica: Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento delatangente,tgh tiendeatg,esdecir,alapendientedelatangente alacurvaenelpunto (x0,f(x0 )). Esto se expresa matemticamente as: Derivada de una funcin en un punto Dadaunafunciny=f(x),sellamaderivadadelafuncinfenunpuntox0al f'(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )): Cuando este lmite existe (y es finito) se dice que la funcin f(x) es derivable en el punto x0. Significado de la derivada Puesto que la derivada de la funcin en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (grfica de la funcin) en (x0, f(x0 )). Ejercicio: clculo de la derivada de una funcin en un punto Calcular la derivada de la funcin f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1. Resolucin: Se pide el valor de f''(1) (en este caso, x0 = 1). Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 31 de 185 Por tanto, f'(1) = 3. Calcular la derivada de la funcin f(x) = en el punto 2. Resolucin: (conjugado del numerador) Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados: Ejercicio: clculo de la ecuacin de la tangente a una funcin en un punto Calcular la ecuacin de la tangente a la curva f(x) = x2 en el punto de abscisa 2. Resolucin: La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4). Lapendientedelatangentealacurvaenelpuntodeabscisa2es,pordefinicin,f'(2),luegola ecuacin de la recta es de la forma y - 4 = f'(2) (x - 2). La ecuacin de la tangente es entonces y - 4 = 4(x - 2)y - 4 = 4x - 8 4x - y - 4 = 0. Ejercicio: estudio de la derivabilidad de una funcin en un punto Estudiar la derivabilidad de la funcin f(x) definida por Resolucin: a) Derivabilidad en x1 = 1. Se han de considerar dos casos: Si h > 0, 1 + h > 1 y en este caso f(x) = x. Por tanto: Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 32 de 185 Estelmiteesellmiteporladerechaeindicaquelatangentealaderechade1tienepor pendiente 1. Estelmiteesellmiteporlaizquierdaeindicaquelatangentealaizquierdade1tienepor pendiente 2. Al no coincidir los lmites a derecha e izquierda de 1, no existe tal lmite y, por tanto, la funcin f(x) no es derivable en x = 1. b) Derivabilidad en x = 0. En este caso no es necesario considerar h > 0 y h < 0 ya que en las proximidades de cero (h es muy pequeo) la funcin es f(x) = x2. Ellmiteexisteyescero,luegof(x)esderivableenx0 =0ylapendientedelatangenteescero (paralela al eje de abcisas). Estudiar la derivabilidad de la funcin f (x) = |x| (valor absoluto de x) definida por Resolucin: Alnocoincidirloslmitesaderechaeizquierdade0,lafuncinf(x)=|x|noesderivableendicho punto. Cundohayqueconsiderarlmitesaderechae izquierdaalcalcularladerivadadeunafuncin en un punto? Si al dibujar la curva se observa que en el punto considerado sta cambia bruscamente de direccin, esnecesarioconsiderarlmitesaderechaeizquierda,puestoque,enestecaso,latangentenose comporta de igual modo y se quiebra. Consecuencias de la definicin de derivada en un punto 1. Si existe la derivada de una funcin f(x) en un punto (x0, f(x0)), existen las derivadas a derecha e izquierda de x0 y tienen que ser iguales; de lo contrario no existira f'(x0 ). Puede ocurrir, no obstante, que existiendo las derivadas a derecha e izquierda stas sean distintas. En este caso no existe la tangente en (x0, f(x0 )), sino dos semirrectas, cada una tangente a uno de losarcosenqueelcitadopunto divide alacurva.Lospuntosen queestoocurresellamanpuntos angulosos. LospuntosA,B,C,DyEdelagrficadelailustracinsonpuntosangulosos:lacurvacambia bruscamentededireccinenellos.Lafuncincorrespondientenoesderivableenlasabscisasde dichos puntos. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 33 de 185 No es difcil, consecuentemente, imaginar la grfica de una funcin que no sea derivable en muchos e, incluso, infinitos puntos. 2. La idea que hasta ahora se tena de tangente a una curva como la recta que posee un nico punto comn con ella no es nada apropiada. Si esto fuese as la curva de la fig. 1 no tendra tangente en el punto P, mientras que la curva de la fig. 2 contara con infinitas tangentes en Q. Tangente a una curva en un punto El concepto de derivada facilita la definicin de tangenteauna curva en un punto comoel lmitede una secante que pasa por l y por otro punto cualquiera de la curva cuando ste ltimo, recorriendo la curva, tiende a coincidir con el primero. Propiedad Si una funcin es derivable en un punto, necesariamente es continua en l. Demostracin: Sea una funcin y = f(x) derivable en un punto x0. Para probarque la funcines continua enl, es preciso demostrar que o lo que es equivalente, que Pero de donde, por ser f(x) derivable, Esta propiedad evita el trabajo de estudiar la derivabilidad de una funcin en un punto donde sta no sea continua. Por el contrario, puede darse el caso de una funcin continua en todos los puntos y no ser derivable en alguno, e incluso infinitos puntos. Valga como ejemplo la funcin |x|, que siendo continua en todos los puntos de la recta real, no es derivable, como ya se ha comprobado, en el origen. CLCULO DE DERIVADAS ( I ) Derivada de una funcin constante Sea una funcin constante f(x) = C. Su grfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor delaabscisasuordenadacorrespondientees,constantemente,igualaC,siaesunpunto cualquiera del campo de definicin de f(x), (a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que Luego la derivada de una constante es siempre cero. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 34 de 185 Derivada de la funcin lineal mx + b Sea una funcin lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x, locualsignificaqueladerivadadeunarectacoincideconlapendientedeellamismay,en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta. Derivada de una constante por una funcin, k f(x) Si k es una constante y f(x) una funcin, la derivada de la nueva funcin k f(x) ser: Se ha demostrado que (k f(x))' = k f'(x) As, para derivar una expresin de la forma k f(x), basta derivar la funcin f(x) y multiplicar despus por la constante k. Para calcular la derivada de la funcin f(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente Tomando lmites cuando h0, sumandos tiende a cero (su lmite es cero). Se concluye que Ejercicio: clculo de derivadas Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 35 de 185 Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa - 1. Resolucin: f'(x) = 2 x2 - 1 = 2 x f'(- 1) = 2 (- 1) = - 2 Entonces, la pendiente de la tangente a la parbola y = x2 en x = - 1 es - 2. Derivadas de las funciones trigonomtricas sen x y cos x La derivada de la funcin f(x) = sen x es f'(x) = cos x La derivada de la funcin g(x) = cos x es g'(x) = - sen x Las demostraciones son complejas y se pasan por alto. Derivada de la funcin logaritmo neperiano ln |x| Puestoqueellogaritmoestdefinidosloparavalorespositivosydistintosdecero,esnecesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x. Para calcular la derivada de esta funcin se han de considerar dos casos, x > 0 yx < 0: a)Sixespositivo,auntomandohnegativo,x+hespositivosisetomanvaloresdeh suficientemente pequeos, lo cual es posiblepues se va a calcular el lmite cuando h tiende a cero. En estas condiciones Por tanto, si x > 0 Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 36 de 185 b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeo, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x. Comoseaprecia,sellegaalamismaexpresinqueenelcasoanteriorylademostracinse continuara de forma idntica. Sea la funcin y = ax, siendo auna constante positiva distinta de1. La derivada deesta funcin en un punto x es:

y se toman logaritmos neperianos: Luego: En particular, cuando la constante a es el nmero e, la derivada de la funcin ex es (ex )' = ex ln e = ex 1 = ex Hastaelmomentosesabenderivaralgunasfuncioneselementalesperonohaynadaquepermita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtencin de propiedades encaminadas a este fin. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 37 de 185 Operaciones con funciones Hay que recordar cmo se definen la suma, el producto y el cociente defunciones. Si f y gson dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podra no estar definida), Funcin suma de f y g como la nueva funcin f + g: [a,b]R, (f + g) (x) = f(x) + g(x) Funcin producto de f y g como la funcin f g: [a,b]R, (f g) (x) = f(x) g(x) siempre que g(x)0 para todo x del intervalo. Derivada de una suma de funciones Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la funcin suma en dicho punto se obtiene calculando La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas. [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) Derivada de una diferencia de funciones f - g = f + (- g), por lo que [f(x) + (- g(x))]' = f'(x) + (- g(x))' Pero-g(x)=(-1)g(x)yladerivadadeunaconstanteporunafuncinesigualalproductodela constante por la derivada de la funcin: [- g(x)]' = [(- 1) g(x)]' = (- 1) g'(x) = - g'(x) En consecuencia, [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) Ejercicio: clculo de derivadas Calcular la derivada de la funcin f(x) = x - cos x Resolucin: Calcular la derivada de f(x) = x3 - sen x + ln|x| en el punto x = -/3. Resolucin: Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 38 de 185 Derivada de un producto de funciones Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x. Si se suma y se resta en el numerador f(x) g(x + h), la fraccin anterior no vara, Sacando g(x + h) factor comn en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos, Si ahora se toman lmites cuando h tiende a cero, Ejercicio: clculo de derivadas Hallar la derivada de h(x) = x ln x para cualquier x positivo. Resolucin: Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 39 de 185 Resolucin: CLCULO DE DERIVADAS ( II ) Derivada de un cociente de funciones Considrense,comoenloscasosprecedentes,dosfuncionesfygdefinidasyderivablesenun punto x. Adems, en este caso, se tiene que imponer la condicin de que la funcin g no se anule en x. Si en la segunda fraccin se suma y se resta al numerador f(x) g(x), se obtiene: Sacando factor comn g(x) en los dosprimeros sumandos de la segunda fraccin,y f(x) en los dos ltimos, Por ltimo, se toman lmites cuando h tiende a cero notando que: En definitiva, Ejercicio: clculo de derivadas Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 40 de 185 Resolucin: Derivada de la funcin tg x si f(x) = sen x, f'(x) = cos x si g(x) = cos x, g'(x) = - sen x Aplicando la frmula de la derivada de un cociente, Por tanto, Derivada de la funcin sec x Si f(x) = 1, f'(x) = 0 Si g(x) = cos x, g'(x) = - sen x Por la frmula de la derivada de un cociente, (sec x)' = sec x tg x Derivada de la funcin cosec x Si f(x) = 1, f'(x) = 0 Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x Por la derivada de un cociente, (cosec x)' = - cosec x cotg x Derivada de la funcin cotg x Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 41 de 185 Si f(x) = cos x, f'(x) = - sen x Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x Por tanto, Ejercicio: clculo de derivadas Resolucin: Llamando f(x) = x cos x - 2, f'(x) = 1 cos x + x (- sen x) = cos x - x sen x (la derivada de 2 es cero por ser una constante) Si g(x) = x2, g'(x) = 2 x Resolucin: Si f(x) = x tg x - cos x, f'(x) = 1 tg x + x(1 + tg2x) - (- sen x) = tg x + x(1 + tg2x) + sen x Apesardecontaryaconunnmeroestimabledepropiedadesparaelclculodederivadas,hay funciones elementales, como, para las que no se conoce ningn procedimiento para la obtencin desuderivada.Paraseguiravanzandoporeste caminose haceimprescindible conocer una delas propiedades ms fundamentales y tiles de la derivacin, aunque no se har su demostracin. Se la conoce como derivada de una funcin compuesta o regla de la cadena. REGLA DE LA CADENA Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una funcin derivable en un cierto intervalo I, yz=g(y)esotrafuncinderivableydefinidaenotrointervaloquecontieneatodoslosvalores (imgenes) de la funcin f, Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 42 de 185 entonces la funcin compuesta definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene Ejemplo: clculo de derivadas Calcular la derivada de la funcin h(x) = sen x2. Resolucin: La funcin sen x2 es una funcin compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x. Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2 Por la regla de la cadena, h'(x) = g'[f(x)] f'(x) = 2x cos x2 Resolucin: De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia, Por la regla de la cadena, Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 43 de 185 Regla de la cadena para la funcin potencial Se sabe que la derivada de una funcin f(x) = xm es f'(x) = m xm - 1. Si en lugar de x se tuviese una funcin u(x), la derivada de u(x)m aplicando la regla de la cadena, ser: [u(x)m]' = m u(x)m - 1 u'(x) Para simplificar la notacin, y a partir de ahora, se escribir simplemente u en lugar de u(x). As, Ejercicio: clculo de derivadas Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3. Resolucin: Si u = x2 + 1, u' = 2x En este caso m = 3 f'(x) = 3 (x2 + 1)2 2x = 6x (x2 + 1)2 Regla de la cadena para la funcin logaritmo neperiano Sienladerivadadelogaritmoneperianosesustituyexporunafuncindex,u(x),envirtuddela regla de la cadena se tiene que Ejercicio: clculo de derivadas Resolucin: Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente: Se aplica la regla de la cadena: Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 44 de 185 Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x | Resolucin: u = sen x; u' = cos x Regla de la cadena para las funciones exponenciales Si en lugar de x se tuviese una funcin u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una funcin f(x) = au y para otra g(x) = eu, f'(x) = (au )' = u' au ln a g'(x) = (eu )' = u' eu Ejercicio: clculo de derivadas Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x Resolucin: Llamando u = x sen x, u' = 1 sen x + x cos x f'(x) = (4x sen x )' = (sen x + x cos x) 4x sen x ln 4 Resolucin: Regla de la cadena para las funciones trigonomtricas

Ejercicio: clcular la derivada Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x) Resolucin: Si u = sen x, u' = cos x f'(x) = (sen(sen x))' = u' cos u = cos x cos(sen x) Hallar la derivada de g(x) = sec (x2 - 1) Resolucin: u = x2 - 1; u' = 2x Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 45 de 185 g'(x) = (sec(x2 - 1))' = u' sec u tg u = 2x sec(x2 - 1) tg(x2 - 1) Calcular la derivada de h(x) = sen3x2 Resolucin: Llamando u = sen x2, hay que derivar sen3x2 = u3. Por la regla de la cadena, la derivada de u3 es (u3 )' = 3 u2 u' Llamando v = x2; u = sen v. u' = v' cos v = 2x cos x2 Finalmente, h'(x) = (sen3x2)' = 3u2 u' = 3 sen2x2 2x cos x2 = 6x sen2x2 cos x2 Para calcular la derivada de una funcin que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostracin. Derivada de la funcin inversa Si una funcin y = f(x) admite una funcin inversa - 1 y la funcin f(x) es derivable en un punto x0, entonces la funcin - 1 es derivable en el punto f(x0). En virtud de este teorema, la funcin x1/n es derivable por ser la funcin inversa de xn: Como consecuencia, al ser la funcin xm derivable para cualquier nmero entero m, como ya se ha visto, la funcin xm/n es derivable por ser composicin de dos funciones derivables: Sea u = x1/n; elevando a n, un = x. Derivando ambos miembros se observa que Despejando u', Sea f(x) = xm/n Se eleva a n, f(x)n = xm Se deriva: Pero f(x)n - 1 = (xm/n )n - 1 Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 46 de 185 Si en las dos funciones anteriores se tiene una funcin dependiente de la variable x, u(x), en lugar de la funcin x, se obtienen las siguientes derivadas: Para obtener estas igualdades, basta aplicar la regla de la cadena. Ejercicio: clculo de derivadas Resolucin: Se trata de calcular una derivada de la forma u1/2. Si u = x2 + sen x, u' = 2x + cos x Obsrvese que en este caso n = 2 Resolucin: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 47 de 185 distintos en [- 1, 1]. la funcin seno. En estas condiciones se puede definir la aplicacin inversa de f(x) = sen x, llamada arco-seno y que se simboliza por arc sen x. xf (x) = sen xf-1 [f (x)] = f-1 (sen x) = arc sen (sen x) = x Derivada de la funcin arc sen x Si y = arc sen x = f- 1(x), aplicando f, f(y) = f(f- 1(x)) = x, es decir, sen y = x. De la conocida frmula sen2 y + cos2 y = 1, cos2 y = 1 - sen2 y Derivada de la funcin arc cos x Anlogamente, la funcin cos x tiene una funcin inversa llamada arco-coseno y se simboliza por arc cos x. De y = arc cos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena, Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 48 de 185 Derivada de la funcin arc tg x La inversa de la funcin tg x se llama arco-tangente y se simboliza por arc tg x. y = arc tg x,x = tg y. Derivando por la regla de la cadena, Derivada de la funcin arc cotg x La inversa de la funcin cotg x se llama arco-cotangente y se simboliza por arc cotg x. Si y = arc cotg x,x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena, Derivada de la funcin arc sec x Anlogamentealoscasosanteriores,secxtieneunafuncininversallamadaarcosecantey simbolizada por arc sec x. y = arc sec x,x = sec y. Derivando por la regla de la cadena, 1 = y' sec y tg y = y' x tg y(1) Derivada de la funcin arc cosec x Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior, y = arc cosec x,x = cosec y Derivando: 1 = - y' cosec y cotg y = - y' x cotg y(1) Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 49 de 185 REGLA DE LA CADENA TRIGONOMETRICA INVERSAS Si en cada una de las funciones anteriores se tuviese una funcin de x, u(x), en lugar de la funcin x, las derivadas de las nuevas funciones compuestas se convierten, por la regla de la cadena en: Ejercicio: clculo de derivadas Resolucin: Resolucin: Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 50 de 185 Resolucin: Resolucin: DIFERENCIAL DE UNA FUNCIN Seaunafunciny=f(x).Dadounpuntodeabscisax,seledotadeunpequesimoincremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h. Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente. Diferencial de una funcin en un punto Se define diferencial de una funcin y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy df(x), al producto f'(x) h. Por tanto, dy = df(x) = f'(x) h Propiedades de la diferencial Primera propiedad: Ladiferencialdeunafuncinenunpuntodependededosvariables:elpuntoxelegidoyel incremento h que se ha tomado. Segunda propiedad: Al ser dy = f ' (x)h =, la diferencia de una funcin en un punto es el incremento(aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x. Tercera propiedad: Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 51 de 185 Siseconsideralafunciny=f(x)=x,df(x)=dx=f'(x)h=1h=h.As,dx=hy Cuarta propiedad: cuando h es infinitamente pequeo, el cociente dy es prcticamente igual a cuando h es muy pequeo, con la seguridad de que el error cometido ser mnimo. Ejercicio: clculos aproximados utilizando la diferencial Un mvil se mueve segn la relacin s = 5t2 + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos. Sequieresaberlosmetrosquerecorreelmvileneltiempocomprendidoentre Resolucin: Diferenciando la expresin s = 5t2 + t, ds = (10t + 1) dt Sustituyendo en la expresin de ds, En la figura se observa que en realidad recorre algo ms de 23,66 metros: Se ha cometido un error de 24,18 m - 23,66 m = 52 cm Calcular 3,052. Resolucin: Para encontrar un resultado aproximado de 3,052 se considera la funcin y = x2. Diferenciando esta funcin, dy = 2x dx. Por la proximidad de 3,05 a 3 (5 centsimas) se calcular la diferencial en el punto de abscisa x = 3 y se llevar a la expresin de dy. En este caso dx = 3,05 - 3 = 0,05 dyx = 3 = 2 3 0,05 = 0,30 Por tanto, aproximadamente, 3,052 = 9 + 0,30 = 9,30. Sise calculaconexactitudel valorde3,052 seobtiene9,3025.Se observaquesehacometidoun error de 9,3025 - 9,30 = 0,0025, 25 diezmilsimas! Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 52 de 185 GUIA DE EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA

1. Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de la funcin < < =0 ) (0 11 1 2) (2x si x senx si xx si xx f 2. Aplicandoladefinicindederivadadeunafuncinenunpunto,encontrarladerivadapara x0=2 de las funciones siguientes: a)1 3 ) (2 = x x f ;b) 1 31) (2 =xx g

3Analizarsilasfuncionesqueseindicansononoderivablesenelpuntox=0(indicacin: Son continuas en x=0?) a)x x x f 5 2 ) (2 =;b)] [ ) ( x E x g =; c) xx h21) ( =; d) 0setienequef(x)escrecienteenelpuntoc.Representar aproximadamente la grfica de una funcin f(x) sabiendo que:

a. = ) x ( f lmx, f(x) = =< = =

Los valores de la funcin en esos puntos son:

-30-20-10010203040506070- 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 79 de 185 22 10 96 64 ) 4 ( f10 ) 0 ( f = + ==

La grfica es la que se adjunta.

Donde se ve que el mximo encontrado no es absoluto sino relativo ya que elmximo absoluto est en (7, 59), pero el mnimo en (4, -22) si es absoluto en el intervalo considerado.

30.Determinar los extremos absolutos de la funcin 9 x ) x ( f2 = en el intervalo [-4, 4] La funcin dada la podemos descomponer en dos trozos:

< < + =3 x 3 si 9 x3 x 3 x si 9 x) x ( f22

que es continua en todo valor real incluidos los puntos 3 y 3 pero no es derivable en ninguno de los dos asl ser puntos angulosos donde las derivadas laterales no coinciden, en efecto:

< < > + = x x x f 0 13 30 ) ( '4 La contradiccin, obviamente, proviene de suponer que la ecuacin tiene dos races en. 15. Calcular ( ) xxlimxln11 ||

\|++ ( )( )=+=+= ||

\|++ ||||

\|+ + xx limxxlimxlimxx xe ex11 ln ln11 ln ln11ln Si ste ltimo lmite existe. ( )( )02 ln 21lnln1'1111ln111 ln11 ln ln22= = =+=||

\|+=||

\|+= + = ||||

\| xlimx xlimxxlimxxxxlimxxlimxx limx x xx x x Luegoexxxlim = ||

\|+ ln11 16. Dada la funcin8 2) (23=xxx f , determinar: a)Dominio. Cortes con los ejes. Simetra. b)Asntotas. Continuidad. c)Nmeros crticos. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Valores extremos. d)Concavidades y puntos de inflexin. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 119 de 185 e)Grfico detallado de f. a){ } { } 2 / 0 8 2 /2 = = x x x x Df 0 ) 0 ( = f . El punto de corte con el eje OY es el punto( ) 0 , 00 0 ) ( = = x x f , por lo tanto el corte con el eje OX es tambin el punto( ) 0 , 0 ( )( )) (8 2 8 2) (2323x fxxxxx f = = = , luego) (x fes impary asel grfico es simtrico con respecto al origen. b)) ( ) (0200x f x f limxx x= , esto es, f es continua en cada punto de su dominio. Asntotas: =+ = =+ = + +8 2 8 28 2 8 2232232232232xxlim yxxlimxxlim yxxlimx xx x Las rectasson asntotas verticales al grfico de f. [ ]( )08 2 28) (218 2) (222== === = x xlim mx x f lim bxxlimxx flim mx xx x Luego la recta de ecuacinx y21=es una asntota oblicua al grfico de f. c) ( ) ( )( ) ( )222 4223 2 28 224 28 24 8 2 3) ( '= =xx xxx x x xx f0 ) ( ' = x fsi( ))` == = 2 200 24 22 2xxx xNmeros crticos. Signo de f: La funcin crece en( ) 3 2 , y en( ) , 3 2La funcin decrece en( ) ( ) 2 , 2 , 2 , 3 2 y en( ) 3 2 , 2Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 120 de 185 La funcin alcanza un mximo relativo en3 2 = xy su valor es( )23 33 2 = fLa funcin alcanza un mnimo relativo en3 2 = xy su valor( )23 33 2 = f d)( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )322422 2 422 38 248 4 88 24 8 2 24 2 2 8 2 48 8"+= =xx xxx x x x x x xx f 0 ) ( " = x fsi( ) 0 0 48 4 82= = + x x xSigno de f: La funcin es cncava hacia arriba en( ) 0 , 2 y en( ) , 2La funcin es cncava hacia abajo en( ) 2 , y en( ) 2 , 0El punto( ) 0 , 0es un punto de inflexin. e) 17. Dada la siguiente grfica para ) ( ' x f : Y las condiciones[ ] [ ] 3 ) 6 ( 4 ) 6 ( , 4 , 4 , 6 , 6 = = = = f y f R Df f a)Hallar intervalos de crecimiento, decrecimiento y valores extremos de f. b)Hallar intervalos de concavidad y puntos de inflexin de f. a)Lafuncincreceen( ) 6 , 4 ydecreceen ( ) 4 , 6 .Lafuncinalcanzaunvalormnimoabsoluto en 4 = x , luego4 ) 4 ( = f La funcin no alcanza ningn valor extremo en4 = xLa funcin alcanza su valor mximo absoluto en6 = x y vale 1. En6 = xf alcanza un valor mximo relativo y vale 3. b)La funcin crece en( ) 4 , 6 y en( ) 6 , 2luego en esos intervalos0 ) ( " > x fpor lo tanto ah el grfico de f es cncavo hacia arriba. Lafuncindecreceen ( ) 2 , 4 ,luegoaqu0 ) ( " < x f yporlotantoelgrficodefescncavo hacia abajo. Los puntos de inflexin tienen abscisas 2 4 = = x y x . 18.Unacopacnicaderadio3cmyaltura6cmsellenadelquidoaraznde1segcm3;Conqu rapidez sube el nivel del lquido cuando la copa se encuentra llena por la mitad de su altura? Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 121 de 185 segcmdtdV31 = Volumen del conoh r V231 =Tenemos por semejanza de tringulos:h rhr2163= = Podemos escribir el volumen en funcin de una sola variable: 321212131) ( h h h h V = ||

\|=Luego dtdhhdtdV2 3121 =Paracm h 3 =y segcmdtdV31 =tenemos segcmdtdh 94= 19. Sea a el radio de un semicrculo. Encuentre las dimensiones del rectngulo de rea mxima, si se requiere que dos de los vrtices del rectngulo estn sobre el dimetro. Seany x, respectivamentelabaseylaalturadelareginrectangularcorrespondientealprimer cuadrante, luego el rea total viene dada por:xy A 2 = 2 2 2 2 2x a y a y x = = + Podemos escribir el rea en funcin de una sola variable: ' 2 ) (2x a x x A =cona x 0 ( ) ( ) ( )2 22 2212 2 2 2222212 2 ) ( ' x ax ax x a x x a x A = = 0 ) ( ' = x A S0 22 2= x a cuyasolucines2ax = ; 2ax = noesteneldominiodela funcin. Nmeros crticos: 2; ; 0ax a x x = = =0 ) ( ) 0 ( = = a A ASon valores mnimos para A pues0 ) ( x AAs( )2aAes un mximo absoluto. Las dimensiones del rectngulo son: 222222a aa alturaabase= ==Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 122 de 185 20. Estimar, usando diferenciales: a)Lavariacinenelreadesuperficiedeuncilindrocircularrectocontapa,dealturaigualasu radio, si ambos disminuyen de 11 a 10,7 cm. b)El valor de( ) 2 58 sen a)( )( )0 1 0 0 1' ) ( ) ( x x x f x f x f Cilindro: rea de superficie:= + =2 2 2 r rh S Como 2 4 r S h r = =( ) r r S S 0' cm r cm r r cm r 3 , 0 7 , 10 110 0 = = + =( ) ( )( )2 294 , 82 3 , 0 11 8 8 ' cm cm S r r S = = El rea de superficie del cilindro disminuye aproximadamente en 82,94cm2. b)( ) x x f x x f cos ' sen ) ( = =' 2 58 601 0= = x x ( ) ( ) rad x x x18060118 1 ' 58 160580 1 = + = = = ( ) ( ) ( )848863 , 0180601182123180 60118 60 cos 60 sen ' 2 58 sen= ||

\| 21. Una hoja rectangular, de permetro igual a 36 cm, se enrolla formando un cilindro. Determinar las dimensiones de la hoja para que el volumen del cilindro sea mximo. Permetro 36 2 4 = + = h r Volumenh r V2 = =[ ] 18 , 0 2 18 = hr h ( ) r r V 2 18 2 = ( ) ( ) ( ) r r r rdrdVr r V 6 6 6 36 2 182 3 2 = = =Puntos crticos en[ ])`= 18 ,6, 0 18 , 0 Signo de la primera derivada 32216 62 186 6cm V = ||

\| ||

\|= ||

\| Volumen mximo. Las dimensiones de la hoja son:cm cm cm cm 6 1262 1862 = ||

\| Las dimensiones del cilindro son:cm h cm r 66= = 22.Unfocodeluzestenunpostede15mtdealtura,sedejacaerunapelotadesdeunpunto situadoalamismaalturaya10mtdelaluz.Suponiendoquelapelotacaeaunadistancia Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 123 de 185 25t s = metroentsegundos,calcularlavelocidaddelmovimientodelasombradelapelotaenel suelo 1 segundo despus que se deja caer. F= foco P= pelotaS= sombra ? =dtdx 25t S= Velocidad de la sombra. Por tringulo semejante:( )segmseg tdtdxt dtdxtt dtdxtdtdsdtdss dtdxsxs sx60 16025150010 ,15011510101534 2 = = = = = = ||

\| = = La sombra se mueve hacia la base del poste a una velocidad de 60segm 23. Dada la funcin: 3 24) (=x xx fHacer un estudio completo indicando: a)Dominio. b)Paridad. c)Continuidad. d)Corte con ejes. e)Derivada, puntos crticos. f)Crecimiento. g)Segunda derivada. Concavidad. h)Valores extremos. Puntos de inflexin. i)Asntotas. j)Tabla resumen. Grfica. a)Dominio:{ } 2 , 2 2 42 = fD x xb)Paridad: como{ } 2 , 2 =fDy ) (4) (3 2x fxxx f == , la funcin es impar. c)Continuidad:) 2 ( ) 2 ( f f / /)` = = = =+ +) ( ) () ( ) (2 22 2x f lim x f limx f lim x f limx xx xLafuncintieneen2 2 = = x y x discontinuidad esencial. La funcin es continua en{ } 2 , 2 d)Corte con los ejes:( ) 0 , 0 0 0 = = y xe)Primera derivada:Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 124 de 185 ( )( ) ( )3 2 0 124 31244 324) ( '223 2223 223 223 2 = = = =x xxxxxxxx f Nmeros crticos en{ } { } 3 2 , 3 2 2 , 2 = f)Crecimiento: : ) ( ' x fLa funcin en( ) ( ) , 3 2 3 2 , Ucrece y, en( ) ( ) ( ) 3 2 , 2 2 , 2 2 , 3 2 U U decrece. g)Segunda derivada: ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) 6 0 0 "4 936 442 4 12344 231"37223823 2 2 342 = = ==(((((

=x x x fxx xxx x x x xx f Concavidad: signo de ( ) x f " : ( ) ( ) ( ) 6 , 2 0 , 2 6 , U U Cncava hacia arriba. ( ) ( ) ( ) , 6 2 , 0 2 , 6 U UCncava hacia abajo. h)Valores extremos, puntos de inflexin: ( ) 3 3 2 = f Valor mximo relativo. ( ) 3 3 2 = f Valor mnimo relativo. ( ) ( ) 0 , 0 0 0 = f Punto de inflexin. ( ) ( ) 89 , 1 ; 6 89 , 1 6 = fPunto de inflexin. ( ) ( ) 89 , 1 ; 6 89 , 1 6 = fPunto de inflexin. i)Asntotas: 2 2 = = x x Asntotas verticales. = 3 24 x xlimx No hay asntota horizontal. ( ) == 0413 2xlimxx flimx xNo hay asntota oblicua. j)Grfica: Tabla: x( ) 6 , -6( ) 3 2 , 6 3 2 ( ) 2 , 3 2 -2( ) 0 , 2 0 ) (x f -1,89 3 +0 ) ( ' x f+++0 -0,63 ) ( "x f+0+0 Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 125 de 185 Hay simetras respecto al origen de coordenadas. 24. Dada la ecuacin de segundo grado:0 35 32 26 4 24 112 2= + + + + + y x y xy xa)Identificar el tipo de cnica que representa. b)Hacer transformaciones de coordenadas para simplificar la ecuacin. c)Graficar la cnica indicando los diferentes sistemas de coordenadas. d)Determinar los elementos de la cnica en el sistema inicial. a)( ) ( )( ) > = = = 0 400 4 11 4 24 42 2AC BHiprbola o degenerado Rotacin: ( )7242 tg ==C AB ( )257724112 cos2=||

\|+= ( )( )( )( )5422 cos 1cos5322 cos 1sen=+=== ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 4 ' 351' cos ' sen' 3 ' 451' sen ' cosy x y x yy x y x x+ = + = = = ( )( ) x y yy x x3 451'3 451' =+ = Sustituyendo en la ecuacin se tiene: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4 1 4 7 1 ' 1 ' 47 1 1 ' 1 1 ' 47 ' 2 ' ' 2 ' 40 7 ' 2 ' 8 ' ' 40 875 ' 250 ' 1000 ' 125 ' 5002 22 22 22 22 2 = + = + = + = += + + + = + + + y xy xy y x xy x y xy x y x ( )( ) 1 1 '41 '22= + xyHiprbola. b)Traslacin: 1 " '1 " '1 ' " 1 ' "+ = = = + =y yx xy y x x1 "4"22= xy 5 1 412= + = ==cba c)Grfica: d)Elementos: Sistema " " y x .Sistema ' ' y x . Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 126 de 185 Centro:( ) 0 , 0 .( ) 1 , 1 Vrtices: ( ) ( ) 2 , 0 2 , 02 1V V ( ) ( ) 3 , 1 1 , 12 1 V VFocos:( ) ( ) 5 , 0 5 , 02 1F F ( ) ( ) 1 5 , 1 1 5 , 12 1+ + F F SistemaxyCentro: ||

\|51,57. Vrtices: ||

\| ||

\| 59,51357,512 1V VFocos: |||

\|+ |||

\| 55 4 1,57 5 355 4 1,57 5 32 1F F Asntota: ( )( ) ( ) 0 1 2 0 15 2 11 1 3 4512 1 3 4511 ' 2 1 '" 2 "= + + = + + ||

\|+ + = + = =y x y x y x x yx yx y Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 127 de 185 25. Calcular la derivada( ) x f 'de las siguientes funciones: a) |||

\|=2 2arctg ) (x axx fb) ( )5321 5 11) ( +=x xx xx fc) = ||

\|=0 , 00 ,1sen) (2x six sixxx f a) 2 22 222 222 22 22211) ( ' arctg ) (x ax a xx ax axx fx axx f+ |||

\|+= |||

\|=2 21) ( 'x ax f= b) ( )5321 5 11) ( +=x xx xx fUsando derivacin logartmica. ( )( )( ) ( ) ( ) 1 5 55131 21 2 '1 5 ln511 ln 3 1 ln21ln 2 ) ( ln++ = + + =x x x x x fx fx x x x x f ( ) ( ) ( )((

++ +=1 5 1131 21 21 5 11) ( '532x x x xx xx xx f c) = ||

\|=0 , 00 ,1sen) (2x six sixxx f Como) 0 ( 01sen20fxx limx= = ||

\|

La funcin es continua en. ||

\| ||

\|= ||

\| ||

\|+ ||

\|=((

||

\|x xxx xxxxxx1cos1sen 21 1cos1sen 21sen22 2 Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 128 de 185 ( ) 01sen1sen0) 0 ( ) (0 '020 0= ||

\|=||

\|== xx limxxxlimxf x flim fx x x ( )= ||

\| ||

\|=0 , 00 ,1cos1sen 2'x six six xxx f ( ) ( ) x f x f limx' '0 / no es continua en0 = x 26.a)Usar diferenciales para estimar el valor de( ) 4396 , 1 sec arcb)UsarelmtododeNewtonparaaproximarunasolucindelaecuacin 0 34= + x x ,conun error menor que 0,0001. a)( ) ( ] [ ) = , 1 1 , , sec U x x arc x f((

\|||

,2 2, 0 ) ( U x f( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 sec tg sec tg 1tg sec1'' tg sec 1 sec sec2 2 2 = = += = = =y y y yy yyy y y y x x arc y Si[ ) ( ) ( ) 0 tg2, 0 sec , 1 > ||

= y x arc y x ( )11'11'2 2==x xx fx xy Por diferenciales: ( ) ( ) ( )( )4142 , 1 2'00 1 0 0 1= = + xx x x f x f x f ( ) ( ) 03 , 46 180 0179509 , 0 452 4396 , 11 2 212 sec 4396 , 1 sec= + = + rradradarc arc ( ) 03 , 46 4396 , 1 sec arc 27. Una viga pesada, que mide 13mt, se hace descender hacia el suelo de la siguiente manera (ver figura): su extremo inferior desliza en el suelo, mientras que el superior se mantiene sujeto a un cable devanadoporunrodillo.Elcablevadesenrollndosearaznde0,1mtporsegundo.Determinarla aceleracin que experimenta el extremo inferior de la viga cuando esta dista 5mt del punto 0. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 129 de 185 mt xdt x ddtdysegmt5 ?1 , 022= == ( )dtdyxydtdxdtdyydtdxx y x0 2 2 132 2 2 == + = + Derivando de nuevo se tiene: ( )232 2222 22322222222 221 1 11||

\| + =||

\||||

\| + = ||

\|((

= ||

\| + ||

\| =+ ||

\| = ||

\| +|||||

\| =dtdyxy xdtdyxy xx dtdyxyx dtdydtdyxyxydtdyxdtdydtdxxydtdyx dt y dxydtdyxdtdxydtdyxdt x d Como( )2 2 213 = + y xy1 , 0 =dtdy ( )222 221 , 013segmtx dt x d = ( )( )( ) 0135 , 050676 , 001 , 05 251352222 = = = =segmtxdt x d El extremo inferior disminuye su velocidad con una aceleracin de 20676 , 0segmt 28. Dada la elipse de ecuacin 118 82 2= + y x. Determinar las coordenadas del punto de la elipse en el cual la recta tangente determina con los ejes coordenados, un tringulo de rea mnima. 118 82 2= + y x ( )0 0 0, y x PUn punto en el primer cuadrante. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 130 de 185 yxyy y x y x49' 018' 282118 82020 = = + = + Ecuacin de la recta tangente a la elipse en ( )0 0, y x : ( )72 4 972 4 9 118 84 9 4 99 9 4 4490 0202020202020 0 020 020 0 0000= += + = ++ = ++ = = y y x xy xy xy x y y x xx x x y y y x xyxy y Corte con el eje x: 08xx =|||

\|0 ,80xACorte con el eje y: 018yy =|||

\|018, 0yB rea del tringulo: 0 0 0 07221188y x x xA = = 20202008232 9 7249 72xx xy === Tomando el punto del primer cuadrante. ( )( )( )( )2320202020202020202020200320 002020020 020 088 2 488884881 1848828148848823 72x xxx xx xxx xxdxdAx xxx xdxdAx xx xA=((

+ + =((

+ =(((

+ = == 2 4 00200= = = x xdxdAPrimer cuadrante. Signo de 0dxdA Los puntos de la elipse son: 3 20 0= = y x( )( )( )( ))` cuadrante Cuadrante 3 , 2cuadrante Tercer3 , 2cuadrante Segundo 3 , 2cuadrante Primer3 , 2 Por la simetra de la curva. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 131 de 185 29. Dada la funcin:( )326 ) ( x x x f =Hacer un estudio completo indicando: a)Dominio. b)Paridad. c)Continuidad. d)Corte con ejes. e)Derivada, puntos crticos. f)Crecimiento. g)Segunda derivada. Concavidad. h)Valores extremos. Puntos de inflexin. i)Asntotas. j)Tabla resumen. Grfica. ( ) = =fD x x x f326 ) (( ) ( )( )( )( )( )( )3232 3 32 42646 3 123166 231) ( 'x xxx x xx xx xx x xx f== =Puntos crticos{ } 6 , 4 , 0 = mx 4 mn 0 = = x x ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( ) [ ]( ) ( )( ) ( )322 232 238 4234 234 22326 6 33 6 12 24 3 186 6 33 6 4 6 3 66 32 6 6 4 6 366 36 2 6 14 6"x x x xx x x x xx x x xx x x x xx xx x x x x xx xx xx x xx x xx f + + + = = = = ( )( )35 468"x xx f= 6 = xPunto de inflexin. 30.a)Usar diferenciales para estimar el valor de37 . b)UsarelmtododeNewtonparahallarunafrmulageneralquedetermineaproximaciones sucesivas para+ > n a an, 0 , . Indicacin:0 = = a x a xn n c)UsarelmtododeNewtonparaaproximar 37 conunerrormenorque0,0001(Puedeusarla frmula obtenida en b)). a)Sea8 ) (03= = x x x f ( ) ( ) 2 8 830= = =f x fUsando diferenciales se tiene que: Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 132 de 185 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 91666667 , 11212 11212 71 8 7 71218 3 1' ,3 1' '0 1 13 203 20 1 0 0 1= = + = = == = = + fx x xx fxx f x x x f x f x f 91666667 , 1 73 b)0 = = a x a xn n Sea( ) ( )1'= =n nnx x f a x x fSegn el mtodo de Newton: ( )( )1111 1'++ ++ = = =nininiininii iiii inxa x nxxnxa xx xx fx fx x Frmulaquepermitedeterminaraproximacionessucesivasde na partiendodeunaaproximacin inicial0x . c)37Usando la frmula obtenida en b). 23137 23 7iiixxx n a+= = =+ Determinacin de la aproximacin inicial: ( ) ( ) ( )( )( )[ ]( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 12 2 " 2 36 1 " 112 2 "6 1 "2 , 11 7 8 26 7 1 16 " 3 ' 702 3= > = = )`==)`= = = == = =x f f f fffffx x f x x f x x f ix1 + ixi ix x +1 21,916666670,083333 1,916666671,912938460,003728 1,912938461,9129311830,000007 < 0,0001 912931183 , 1 73 31. Se va a construir un canal con la forma indicada en la figura usando una lmina de metal de 6mt delongitudy90cmdeancho.Elcanalseconstruyedoblandohaciaarribatirasde30cmdeancho hasta formar ngulos iguales con la horizontal. a)Expresar el volumen del canal en trminos del ngulo . b)Hallar el volumen del canal de mximo volumen. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 133 de 185 a)mt L 6 =( )22 1h b bV+=( ) ( ) cos 2 1 3 , 0 cos 3 , 0 2 3 , 03 , 0 6 , 0 90 , 0sen 3 , 021+ = + == ==bbh ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( ) cos sen cos 54 , 0cos cos 1 sen 54 , 0sen cos 1 54 , 0sen cos 1 09 , 0 6 sen 3 , 02cos 2 1 3 , 0 3 , 0 62 22+ =+ + = + =+ =+ +=dtdVdtdVVV ( )0 1 cos cos 20 cos cos 1 cos0 cos sen cos 022 22 2= += + = + = dtdV 21, 148 1 1cos2 1= =+ = x x ((

32, 0 = == =1 cos6 21cos No es posible. ( )( ) sen cos sen 4 54 , 0sen cos sen 2 sen cos 2 54 , 02222 = =dtV ddtV d ||

\| < ||

\|=60622 VdtV d Mximo relativo 6= 43 54 , 0 323211 54 , 06sen6cos 1 54 , 06 = ||

\|+ = ||

\|+ = ||

\|= V370145 , 0 m V=Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 134 de 185 32. Dada la funcin: 2) (3=xxx fHacer un estudio completo indicando: a)Dominio. Continuidad. Paridad. Corte con los ejes. b)Primera derivada. Crecimiento. c)Segunda derivada. Concavidad. d)Puntos crticos. Valores extremos. Puntos de inflexin. e)Asntotas. f)Tabla resumen. Grfica. 2) (3=xxx f( ] ( ) = , 2 0 , UfD( )( )( ) 2 23'3 =xxx xxx f Decrece( ] ( ) 3 , 2 0 , U Crece( ) , 3 ( )( ) 2 23"32 2 =xxx xx f ( )fD x x f > 0 "Cncava hacia arriba Puntos crticos: { } 3 , 0 =( ) 3 3 3 = fValor mnimo relativo. ( ) 0 0 = f Valor mximo relativo. No hay valor mximo ni punto de inflexin. 2232= + =+xxxlimxAsntota vertical por la derecha. ( )1212 2132 33 3= ===+ + xxxlimx xxxxx xx flimxx1 + = x y 1212 2132 33 3 = + = = xxxlimx xxxxxlimxx1 = x y 33. Dada la ecuacin de segundo grado:0 365403 42= + + y y xyProf. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 135 de 185 a)identificar el tipo de cnica que representa. b)Hacer transformaciones de coordenadas para simplificar la ecuacin. c)Graficar la cnica indicando los diferentes sistemas de coordenadas. d)Determinar los elementos de la cnica en el sistema inicial. ( )343 042 tg 3 , 4 , 0 === = = =C ABC B A ( )512531cos522531sen5334112 cos2===+= =||

\|+ = ( )( ) ' ' 251' 2 '51y x yy x x+ = = ( ) ( )1364 '92 '2 2=+ y x 4 " ' 4 ' "2 " ' 2 ' "+ = = = + =y y y yx x x x 136"9"2 2= y x 5 3 45 6 3 = = = = c b a " " y x ' ' y xxy( ) 0 , 0 ( ) 4 , 2 ( ) 0 , 5 2 ( ) ( ) 0 , 3 0 , 32 1V V ( ) ( ) 4 , 1 4 , 52 1V V ( ) ( ) 0 , 5 2 3 0 , 5 2 32 1 V V( ) ( ) 0 , 45 0 , 452 1F F ( ) ( ) 4 , 2 45 4 , 2 452 1 F F ( ) ( ) 0 , 5 2 45 0 , 5 2 452 1 F F " 2 " x y = ( ) ( ) 2 ' 2 4 ' + = + x y 34. Usar diferenciales para estimar el valor de( ) 0511 , 1 arctg ( ) ( )211' arctg ) (xx f x x f+= =( )41 arctg 10= = x Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 136 de 185 ( ) ( ) ( )( )" 50 ' 27 46 464 , 46 18081095 , 0 81095 , 020000511420511 , 040511 , 02141 0511 , 11 1 11 arctg 0511 , 1 arctg2= == = + =+ = + =++ radrad ( )" 50 ' 27 46 464 , 4681095 , 0 0511 , 1 arctg= = rad 35. Una batea para agua, con seccin vertical transversal en forma de tringulo equiltero, se llena a razn demincm34 . Suponiendo que la longitud de la batea es de 120cm, hallar la razn de cambio de la altura del nivel del agua en el instante en que la profundidad es de 15cm. 2 L h xV= bbb23422= h xbxbh322223= =( )( )mincmdtdhmincmdtdhdtdVLh dtdhdtdhhLdtdVhLLhLhh V0019245 , 015 120 3 42 3233 32 3222=== == = = 36. Calcular los siguientes lmites:a) 1 cos120xlimxxe b) ||

\|+1 ln10xexx lim a) 1 cos120xlimxxeInd. 00 Usando la regla de LHopital: 2sen 2sen202020 = = xxlim limxxlimxxxxxee Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 137 de 185 b) ||

\|+1 ln10xexx lim Ind. 00( ) ( )==++1 lnlnln1 ln10 0xxxxe exlim x lime e Usando la regla de LHopital: xxxxxxxxxxeeeeeelimxlimxlimxlime e e11 1110 000 ++==|||||

\| e e = =1 1 Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 138 de 185 37.Usar diferenciales para estimar el valor de ( ) 9489 , 0 arctg . a)Usar el mtodo de Newton para aproximar una solucin de la ecuacin0 4 23= + x xcon un error menor que 0,0001. a)( ) x x f arctg =( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 7598 , 020511 , 040511 , 02149489 , 05 , 0211 11'11'0511 , 0 1 9489 , 0 9489 , 041 arctg 1'0200 00 0 0= = + = =+= += = = = += = = + + fx fxx fx x xx f xx x f x f x x f ( ) = 9489 , 0 arctg 53 , 43 7598 , 0 = rad b)( ) 0 4 23= + = x x x f 4 23+ = x x( )( )( ) 8 4 4 8 21 4 2 1 14 0= + = = + = =ffff continua en Hay solucin en[ ] 2 , 1( ) > + = x x x f 0 2 3 '2 Hay una solucin en[ ] 2 , 1( )( )nnn nx fx fx x x'11 0+ = =+ 2 34 22 34 2 2 32 34 223123 3231++=++ +=+ +=++nnnnn n n nnn nn nxxxxx x x xxx xx x n nx1 + nxn nx x +1 011,20,2 11,21,179750,0203 21,179751,179510,00024 31,179511,17951 1795 , 1 xProf. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 139 de 185 38.Enunaplantadearenaygrava,laarenaestcayendodeunacintatransportadoraformando unapila cnica a razn deminpie310 . El dimetro de la basedel cono es tres veces su altura. Cul es la razn de cambio de la altura de la pila cuando tiene 15 pies de altura?. R H D 2 3 = = pies HdtdHdtdVminpie16 ? 103= = = 322129233123 31H H H VH R H R V = ||

\|== = 22 94123 9HdtdVdtdHdtdHHdtdV= = ( )( )minpie minpiepiepies HdtdH0062876 , 015 910 41523== = ( )minplg1pie12"minpie075 , 0 0062876 , 0 = = 39.Larigidezdeunavigarectangularesproporcionalalproductodelaanchuraporelcubodela altura de su seccin. Cmo debe cortarse una viga de un tronco circular recto de radio r para que su rigidez sea mxima?. = aAncho = bAltura = =3 b a k R Rigidez= k constante de proporcionalidad Por Pitgoras se tiene que: [ ] r b b r b k Rb r a r b ab ar2 , 0 , 4 4 44 42 2 32 2 2 2 22 22 = = = + + = ( )( ) ( )( ) ( )2 22 2 22 24 2 22 24 4 2 22 24 2 2 22 232 2 24 3 444 1243 124 22 4 64 224 3b rb r kbb rb b r kb rb b b r kb rb b r bkb rb bb r b kdbdR== =|||

\| =|||

\|+ =

Comentario [AV1]: G-21 Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 140 de 185 Nmeros crticos:{ } r r 2 , 3 , 0 Enr b 3 =se produce la mxima rigidez.r r r a = = 2 23 4 Se debe cortar una viga de ancho r y alto r 3 . 40. Dada la funcin: 3 21) (=xxx fHacer un estudio completo y graficar. i)Dominio: { } 1 , 1 1 0 12 = fD x x( ) ( ) x fxxx f == 3 21La funcin es impar. Corte con los ejes: ( ) 0 00 0= == =x x fy x ( ) 0 , 0Signo: ii)Continuidad: + = ==+3 213 211 11xxlimxxlim xx x 1 = x Asntota vertical Por simetra+ = = =+ 3 213 211,11xxlimxxlim xx x 1 = xY1 = xPuntos de discontinuidad no evitable. iii)Primera derivada: ( ) ( ) 1 331 32 3 31231 1 '1 ln31ln ln12222 2223 2= = = = =x xxx xx xxxx yyx x yxxy ( )( )( )( )( )3422223 21 331 331'==x xx xx xxxxx fNmeros crticos:{ } 3 , 3 ( ) ( ) , 3 3 , UCreciente. ( ) ( ) ( ) 3 , 1 1 , 1 1 , 3 U U Decreciente. ( )233= fValor mximo relativo. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 141 de 185 ( )233 = f Valor mnimo relativo. iv)Segunda derivada: ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) 3 1 39 23 1 312 4 3 321 34312123432'"1 ln3431ln 3 ln ' ln1 33'2 222 22 22 2 2 22 23422 =((

+ =((

== ||

\| = =x xx xx xx xxx xxxxxxyyx x yxxy ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) == === =300 "1 99 2"1 99 23 1 39 21 33"372237222 223422xxx fxx xx fxx xx xx xxxy ( ) : "x f ( ) ( ) ( ) 3 , 1 0 , 1 3 , U U Cncava hacia arriba. ( ) ( ) ( ) , 3 1 , 0 1 , 3 U U Cncava hacia abajo. ( ) ||

\| = 23, 3233 fPunto de inflexin. ( ) ( ) 0 , 0 0 0 = f Punto de inflexin. ( ) ||

\| =23, 3233 fPunto de inflexin. v)Asntotas: 1 , 1 = = x xAsntotas verticales = 3 21 xxlimx No hay asntota horizontal. ( )0113 2== xlimxx flimx x No hay asntota oblicua. Tabla resumen: x ( ) 3 , -3 ( ) 3 , 3 3 ( ) 1 , 3 -1 ( ) 0 , 1 0 ( ) x f 23 23 / +0 ( ) x f ' ++0 ( ) x f " +0+0 Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 142 de 185 Grfica: 2. LMITES Y DERIVADAS.143 2.1 Rectas tangentes y razn de cambio143 2.1.1 Actividad (Razn de cambio promedio)143 2.1.2 Actividad. (Idea sobre velocidad promedio y velocidad instantnea)144 2.1.3 Actividad. Razn de cambio. Recta tangente.144 2.2 La derivada de una funcin en un punto. Idea de lmite.147 Actividad 2.2.1. Aplicacin de la razn de cambio instantnea.150 2.3 Lmites que existen y lmites que no existen151 2.3.1 Actividad (Clculo de un lmite).152 2.3.2 Actividad.(Lmites que no existen)153 2.4 Continuidad. Propiedades de los lmites.155 2.4.1 Actividad. (Lmites y continuidad 1).155 2.4.2 Actividad (Lmites y continuidad 2)157 2.4.4 Actividad (Propiedades de los lmites)157 2.5 Lmites laterales. Continuidad en un intervalo cerrado.158 2.5.1 Actividad (Lmites laterales)158 2.5.2 Actividad (Funcin continua en un intervalo cerrado).159 2.5.3 Actividad (Dos teoremas sobre funciones continuas).160 2.6 Relacin entre continuidad y derivabilidad161 2.6.1 Actividad (Derivabilidad y continuidad)161 2.7 EjerciciosError! Marcador no definido. Ejercicios dela seccin 2.1147 Ejercicios de la seccin 2.2151 Ejercicios de la seccin 2.4155 Ejercicios de la seccin 2.5160 Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 143 de 185 2. Lmites y derivadas. 2.1 Rectas tangentes y razn de cambio 2.1.1 Actividad (Razn de cambio promedio) Recuerde que dada una funcin) x ( fla razn de cambio promedio entre x0 y x1 es el nmero: 0 10 1x x) x ( f ) x ( f Ver 1.5 .(Note que no interesa en el orden que los puntos se consideren, siempre que ese orden sea el mismo arriba y abajo). a)Calcule para las funciones que se indican, la razn de cambio promedio, entre los puntos x0 y x1

dados. ) x ( f = 0x1xRazn de cambio promedio de f entre x0 y x1 112+ x 01 2 2 33x x 13 31 x -11 4 112+ x-22 b)A continuacin se dan las grficas de las funciones de la tabla anterior. Interprete geomtricamente lo hallado para cada funcin. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 144 de 185 c)En cada uno de los grficos anteriores trace la recta que une los puntos )). x ( f , x ( y )) x ( f , x (1 1 0 0 d) Qu representa la razn de cambio promedio en cada caso ? 2.1.2 Actividad. (Idea sobre velocidad promedio y velocidad instantnea) La actividad anterior nos muestra que la razn de cambio promedio contiene informacin acerca delcomportamientodelafuncinentrelospuntosconsiderados.Sinembargovemosqueel nmero obtenido est lejos de reflejar por completo las caractersticas del cambio de f(x)entre x1 yx2 (por qu?). Lapreguntaes:Dequmanerapodramos describircmo cambia unafuncinf(x)cuandox "pasa" por cierto valor x0 ?Imaginemos la siguiente situacin: Estoy sentado en la puerta de mi casa, a treinta mentros de la esquina; pasa una bicicleta por la calle.Comoestoyaburridotomoeltiempoquetardaenllegardesdemiposicinhastala esquina:son4segundos.Comoelciclistanoessuicida,amedidaqueseaproximabaala esquina iba disminuyendo su velocidad. Piense en las siguientes cuestiones: a)Qu puedo saber acerca de la velocidad de la bicicleta? b)Meinteresasaberaquvelocidadibacuandopasofrenteam.Puedoaveriguarlocon estos datos? c) Puedo saber si ya iba frenando ? Ahoramodelicelasituacin.Mirequconoceyquignora.Hagaungrficodelaposicindel ciclistaquereflejeaproximadamenteloqueUd.sabe.Qurepresentalarazndecambio promedioenestecaso?Use(siquiere)eldibujodeabajoparagraficar,esunagentilezadel autor. Quisiera que de lo anterior hayan quedado claros dos hechos: La razn de cambio promedio de f(x) entre x0 y x1 (que es un nmero) es igual a la pendiente de la recta secante a la grfica de la funcin que pasa por (x0 , f(x0)) y por (x1 , f(x1)). La razn de cambio promedio no es suficiente para describir el cambio de una funcin en un valor determinado. SiUd.tienedudasacercadeloanterior,consulteasusdocentes;noavancesinhaber comprendido las ideas anteriores. 2.1.3 Actividad. Razn de cambio. Recta tangente. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 145 de 185 Veamosahoradequmanerapodemosavanzarenelprocesodedescribirelcambiodeuna funcin f(x) en un valor dado. Analicemos un ejemplo.Consideremoslafuncin22x ) x ( f = cuyagrficaesladeldibujo,ysupongamosqueme interesa saber cmo cambia f(x) para x = 0.75 Como lo nico que sabemos hasta el momento es calcular razones de cambio promedio, y para ello necesitamos dos valores, tomamos un valor prximo a 0.75, digamos 0.5, y trabajamos con ambos. Solamente nos interesa la parte del grfico que incluye a esos valores; para ver ms claro, agrandamos el dibujo: Quiero ms precisin. La idea es que si me acerco ms a 0.75, obtendr algo mejor. Te parecex = 0.70 ? Vuelvo a agrandar: Como quiero ms precisin, busco un valor aun ms cercano a 0,75. Te gusta 0.7? Agrando el grfico una vez ms (es gratuito): Quisiera ms precisin; para eso me acerco ms a 0,75, considerando x1 = 0.70. Para ver mejor agrando otra vez: a)Calcule la razn de cambio promedio de f(x) entre 0.5 y 0.75. (te doy una ayudita: = ==25 0625 025 05 0 125 15 0 75 05 0 75 0.... .. .) . ( f ) . ( f ) b)De qu recta es la pendiente el nmero calculado en a)? c)Dibuje esa recta en ambas grficas. uso mis gafas... Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 146 de 185 ...yaspodramosseguir,agrandandoeldibujoycalculandopendientesdesecantespor0.75y porpuntoscadavezmsprximos.Comocreoquelaideagrficayaestbastanteclara,me limitaratomaralgunospuntoscercanos(teparecen0.74;0.745;0.749;0.7499?),yvoya calcular la razn de cambio promedio entre cada uno de ellos y 0.75. que ya tens una idea de loquevaapasar?Yotambin.Comonoquieroquesufrasynoquierosufrir,lascuentaslas har Mr. Gates: x0,75 - xf(0,75) - f(x) Razn de cambio promedio entre x y 0.75 0,740,010,02982,98 0,7450,0050,014952,99 0,7490,0010,0029982,998 0,74990,00010,000299982,9998 Todas laspendientes se aproximan y se pegan contra el nmero 3 ! Reinterpretemos: volvamos a la grfica original y dibujemos all la recta que pasa por (0.75,1.125) y tiene pendiente 3. HACERLO Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 147 de 185 Cmo le llaman a esa recta en tu barrio? Por ac le decimos recta tangente a la grfica por el punto (0.75, ) . ( f 75 0 ). Recordemos que todo esto comenz porque queramos saber cmo cambiaba 22x ) x ( f =en . . x 75 0 =Ahora tenemos una respuesta, la razn de cambio de) x ( fen75 0. x =es 3, y es igual a la pendiente de la recta tangente al grfico de) x ( fen el punto (0.75, ) . ( f 75 0 ). Digamosquehemosvistoenforma"experimental"unejemplodelosiguiente:siestamos interesados en saber cmo cambia f(x) en un valor x0 entonces calculamos la razn de cambio promedio de f(x) para valores de x cada vez ms prximos a x0. si esas razones de cambio promedio se aproximan a un nmero cuando x se aproxima a x0 , ese nmero es la razn de cambio de) x ( fen x0 . geomtricamente, la razn de cambio de) x ( fen x0 es la pendiente de la recta tangente ala grfica de) x ( fen el punto ( ) x ( f , x0 0). Ejercicios dela seccin 2.1 1.Determine la ecuacin de la recta secante a la grfica de la funcin dada por los puntos que se indican: Funcinx0 x1 Recta secante 11xx+ 0 0.5 22 x 20 La funcin del grfico es f(x) = x3 - 3x2 Queremos determinar la ecuacin de la recta tangente a la grfica en P = ( 0.5, f(0.5) ). a)Determine la coordenadas de P y ubquelo en la grfica. b)Use la tabla siguiente para determinar la pendiente: xx - 0.5f(x)f(x)-f(0.5)f(x)-f(0.5)/x-0.5 0.4-0.1-0.4160.209-2.09 0.60.1-0.864-0.239-2.39 0.49-0.01-0.602650.022349-2.2349 0.510.01-0.64765-0.02265-2.2649 0.499-0.001-0.622750.002248-2.248499 0.5010.001-0.62725-0.00225-2.251499 0.4999-0.0001-0.624780.000225-2.24984999 0.50010.0001-0.62523-0.00023-2.25014999 c)Determine la ecuacin de la recta tangente y grafquela. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 148 de 185 2 1 x 01/2 2 1 x 1/21 Interprete grficamente. 2.Estime numricamente la derivada de las funciones siguientes en los valores que se indican. Utilice una calculadora o mejor una planilla de clculo para hacer las cuentas. 0 02 20 00 0) ( ) 1 2 ) ( ) 1/ 0.5) ( ) 1 ) ( ) 13 31 1 0) ( ) 1 ) ( ) 02 10a f x x x b f x x xx xc f x x d f x xx si x x si xe f x en x f f x en xx si xx si x= + = = == = = = + > = = = = < Interprete grficamente lo obtenido en los incisos e) y f). 3.Dos atletas parten al mismo tiempo en una carrera de 200 m en una pista recta. El siguiente dibujo contiene la grfica de sus desplazamientos: 200 m 0 5 10 15 20 s a) Verdadero o falso (justifique): A y B llegan juntos a la meta. Las velocidades promedio de A y B entre 0 y 20 segundos son las mismas. La velocidad de A fue siempre mayor o igual que la de B La velocidad de A y la de B fueron siempre iguales. La velocidad de B es menor que la de A hasta determinado instante t0 en el cual ambos corredores van a la misma velocidad; luego la velocidad de B supera a la de A. a)Paracadaunadelassiguientessituacionesestimeunvalordet0quecumplalacondicin, hgalo de manera que el error cometido no supere los 2,5 segundos: En t = t0 la velocidad de A y la de B fueron iguales. La velocidad de A en t0 fue igual a la de B en t=5. A B Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 149 de 185 La velocidad de A en t0 fue igual a 10 m/s. La velocidad de B en t0 fue igual a 10 m/s. b) Describa la diferencia entre la estrategia de carrera de A y de B. 2.2 La derivada de una funcin en un punto. Idea de lmite. Laactividadanteriornosbindunaideadecmodeterminarlavariacin"instantnea"deuna funcin en un punto. Lo hemos hecho en forma grfica (viendo que las secantes se aproximan a latangente)yenformanumrica,calculandorazonesdecambiopromedioenintervaloscada vez ms pequeos. En lo que sigue comenzaremos a "formalizar" esas ideas. Esto significa que trataremos de ver si el proceso empleado en nuestros ejemplos puede utilizarse en general, y al hacerlo veremos como la abstraccin simplifica completamente el clculo y al mismo tiempo nos pone en contacto con una de las ms valiosas ramas de la Matemtica: el clculo diferencial. Lo nuestro fue as: Quierocomputarelcambioinstantneodef(x)enx0.Paraesoconsideroelcambiopromedio entre x y x0 , para valores de x cada vez ms prximos a x0. Veamos, geomtricamente el cambio promedio entre x y x0 es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x0 , f(x0))y (x , f(x)). Su expresin es: 00x x) x ( f ) x ( f() como x0 est fijo, lo anterior es una expresin (una funcin) en x, que est definida donde estaba definida f(x) excepto en x=x0(puesto que en x=x0 el denominador es 0).Si cuando x se aproxima a x0 la expresin anterior se aproxima a un valor L diremos que el lmite cuando x tiende a x0 de 00x x) x ( f ) x ( f es L y lo escribimos: Lx x) x ( f ) x ( flmx x=000() Geomtricamente el valor L es la pendiente de la tangente a la grfica de) x ( fen el punto (x0 , f(x0)). Y en trminos de cambio de la funcin L representa la razn de cambio de) x ( fen x0 . Antesdeseguirveamoscmoesquevamosporelbuencamino.Volvamosalafuncindela actividad 2.1.3, que era 22x ) x ( f = ; si queremos ver cmo cambia fen ciertox0 tendremos que escribir la expresin () para esta f : 0202002 2x xx xx x) x ( f ) x ( f= es una expresin en x y x0 que no est definida para x=x0 .Pero para valores de x distintos de x0, tengo: ( ) ( )( )( )000 00202020222 2 2 2x xx xx x x xx xx xx xx x+ = +== hemos obtenido que: ( )0002 x xx x) x ( f ) x ( f+ = Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 150 de 185 A la vista de lo anterior es fcil aceptar que: ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0004 2 2 2 20 0x x x x x x lmx x) x ( f ) x ( flmx x x x= = + = + = Hemos obtenido que la razn de cambio de 2x2 en cualquier valor x0 es igual a 4x0 . En particular para x0 = 0.75, resulta igual a 4.(0.75) = 3 como habimos obtenido numricamente. Un poco de notacin. A continuacin daremos los nombres de las cosas ms usuales: Al cociente 00x x) x ( f ) x ( f se lo denomina cociente incremental o cociente de Newton de f en x0 . Al lmite del cociente incremental de f en x0 cuando x tiende ax0 , en caso de que exista, se lo llama la derivada de f(x) en x0 y se lo denotaf ' (x0). O sea: ) x ( ' fx x) x ( f ) x ( flmx x0000= Si llamamos 0x x h = , entoncesh x x + =0; cuando x tiende a x0 , h tiende a 0; y cuando h tiende a 0, x tiende a x0. Por lo tanto podemos escribir: h) x ( f ) h x ( flmx x) x ( f ) x ( flmh x x0 00000 += Otra forma de expresar el cociente incremental, bastante usada tambin, es la de los "delta f " y "delta x". Veamos: Si llamamos: 0x x x = (el "incremento de la variable independiente") ) ( ) ( ) ( ) (0x f x x f x f x f f + = = ) (el "incremento de la variable dependiente") entonces la derivada queda: xflm x f0x x= ) ( '0 2.2.1 Actividad(Aplicacin de la razn de cambio instantnea). Considere la siguiente situacin: Desdeunaalturade40metrossedejacaerunobjeto.Siteseltiempo(ensegundos) transcurridodesdequeselosuelta,laposicindelobjeto(medidaenmetrosdesdeellugar inicial) est dada por la funcin h(t)=5t2. a)En el contexto descripto, entre qu valores de t es vlida la expresin h(t)=5t2 b)Haga un grfico que represente la posicin del objeto en funcin del tiempo. Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 151 de 185 c)Estime en ese grfico la velocidad del objeto despus de 2 segundos.d)Determinelavelocidaddelobjetoalostsegundos.Entrequvaloresescorrectala expresin encontrada? e)Grafique la velocidad en funcin del tiempo. f)Calcule la razn de cambio instantnea (derivada) de la funcin velocidad. Qu representa? ...este es el grfico de h(t) (para 0 t .....). Ejercicios de la seccin 2.2 1.D una expresin para el cociente incremental de f(x) en x0 . Exprselo en trminos de x y x0, y tambin en trminos de x0 y h=x - x0 f(x) Cociente incremental expresado en x y x0 Cociente incremental expresado en x0 y h Cociente incremental expresado enx y f 3 2 x + 11 x 2xx+ 3x x 2.3 Lmites que existen y lmites que no existen Elestudiodeunafuncinenunvalor(msbienelestudiodel"cambio"deunafuncinenun valor) nos ha llevado a la nocin de derivada en unpunto; el concepto de derivada es accesible solamenteatravsdelaoperacindepasoallmite.Podemosinterpretarallmitedelcociente incrementalgeomtricamentediciendo:"latangenteesellmitedelassecantes";oentrminos deunobjetoquesemuevesobreunarecta:"lavelocidadinstantneaesellmitedelas velocidades promedio". Esa es la idea. Pero para poder apreciar la extraordinaria profundidad del clculodiferencial,sernecesariodetenernosunpocoenelsignificadoyenlosmtodosdela operacin de "paso al lmite". Prof. Olinto Lpez Email: olintolopez@hotmail.com Page 152 de 185 2.3.1 Actividad (Clculo de un lmite). Considere la funcin:11 23+ =xx x) x ( h a) Cul es el dominio de la funcin h ? b)A partir de la tabla siguiente grafique a h(x) aproximadamente. x-2,9-2,5-2,1-1,7-1,3-0,9-0,5-0,10,30,71,11,51,9 h(x)4,512,751,310,19-0,6-1,1-1,3-1,1-0,60,191,312,754,51 d) Qu pasa con f(x) cuando x se aproxima a 1?Para colaborar, tengo una tablita: x0,800 0,900 0,990 0,999 1,000 1,001 1,010 1,100 1,200 h(x)0,440 0,710 0,970 0,9971,003 1,030 1,310 1,640 e)Cmo expresa lo anterior usando la notacin de lmites? SiUd.hizolascosasbien,enb)obtuvounaparbolaconunag