Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a

ÚvodTeorie

Otázky a úlohyV literature . . .

Doplnky

Matematická analýza III.4. Extrémy funkcí více promenných

Miroslav Hušek, Lucie Loukotová

UJEP 2010

Matematická analýza III.

ÚvodTeorie


Doplnky

Úvod

Tato kapitola nás seznámí s metodami urcování lokálních extrémufunkcí více promenných a ukáže využití techto metod v praxi.

Co bychom meli znát

metody rešení soustav rovnic

lokální extrémy funkcí jedné promenné

parciální derivace

funkce dané implicitne

Klícová slova kapitoly

lokální extrémy, kvadratická forma, Lagrangeuv multiplikátor, Tayloruvpolynom


ÚvodTeorie


Doplnky

Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom

Definice extrému

Definice 1

Mejme funkci f dvou promenných. Ríkáme, že v bode p ∈ D(f ) máfunkce f lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existujeokolí U bodu p takové, že f (p) je maximální (resp. minimální)hodnota f na U ∩ D(f ).

Funkce f má v p lokální extrém, jestliže má v p lokální maximumnebo lokální minimum.

Nahradíme-li v definici lokálních extrému slovo maximální slovemnejvetší (resp. slovo minimální slovem nejmenší), dostáváme definiciostrých lokálních extrému.


ÚvodTeorie


Doplnky


Kritické body

Veta 2.1 (Existence extrému)

Funkce f definovaná na množine A muže mít lokální extrém pouzev následujících bodech:

1 v hranicním bode A, patrí-li do definicního oboru;2 ve vnitrním bode A, ve kterém f nemá nekterou z parciálních

derivací 1.rádu;3 ve vnitrním bode A, kde má f všechny parciální derivace 1.rádu

rovny 0.

Definice 2

Body popsané v predchozí vete se nazývají kritické body (pro lokálníextrémy).


ÚvodTeorie


Doplnky


Urcení extrému

Veta 2.2 (Nutná podmínka)

Necht’ v otevrené množine G má funkce f všechny parciální derivace1.rádu. Má-li f v bode p ∈ G lokální extrém, jsou v tomto bodevšechny parciální derivace 1.rádu (i smerové) rovny 0, tj.grad f (p) = 0.

Dukaz

Naopak ale tato veta neplatí!

Napríklad funkce f (x , y) = x3 má v bode (0,0) obe parciální derivacerovny 0, ale v tomto bode lokální extrém nemá.Naopak parciální derivace funkce g(x , y) = |x |+ |y | v bode (0,0)neexistují, a presto má funkce v tomto bode lokální extrém.

Zduvodnení


ÚvodTeorie


Doplnky


Veta 2.3 (Postacující podmínky)

Necht’ má funkce f (x , y) spojité parciální derivace 2.rádu v otevrenémnožine G a pro p ∈ G je ∂f

∂x (p) = ∂f∂y (p) = 0. Oznacme F (h, k)

kvadratickou formu h2fxx(p) + 2hk fxy (p) + k2fyy (p).1 Je-li F pozitivne definitní, nabývá f v p ostré lokální minimum.2 Je-li F negativne definitní, nabývá f v p ostré lokální maximum.3 Je-li F indefinitní, nenabývá f v p lokální extrém.4 Je-li F semidefinitní, nelze o lokálním extrému f v p pomocí F

rozhodnout.

Více o kvadratických formách naleznete v Doplncích.


ÚvodTeorie


Doplnky


Tato veta umožnuje urcit definitnost kvadratické formy prímo podleparciálních derivací druhého rádu.

Veta 2.4 (Rozeznání definitnosti forem)

Kvadratická forma F z predchozí vety je1 pozitivne definitní práve když

fxx(p) > 0 a fxx(p) · fyy (p) > f 2xy (p);

2 negativne definitní práve kdyžfxx(p) < 0 a fxx(p) · fyy (p) > f 2

xy (p);3 indefinitní práve když fxx(p) · fyy (p) < f 2

xy (p);

4 semidefinitní práve když fxx(p) · fyy (p) = f 2xy (p);

Dukaz


ÚvodTeorie


Doplnky


Následující veta udává postacující podmínky pro existenci ostrýchextrému dané funkce.

Veta 2.5 (Postacující podmínky pro ostré extrémy)

Necht’ má funkce f (x , y) spojité parciální derivace 2.rádu v otevrenémnožine G a pro p ∈ G je grad f (p) = 0.Jestliže fxx(p) · fyy (p) > f 2

xy (p), pak f má v bode p ostrý lokální extrém(maximum pro fxx(p) < 0, minimum pro fxx(p) > 0).

Dukaz


ÚvodTeorie


Doplnky


Vázané extrémy

Vázanými extrémy rozumíme nejvetší a nejmenší hodnoty reálnéfunkce na dané množine (tj. tato množina je tedy vazbou).

Predpokládejme, že f je funkce dvou promenných definovanána kompaktní množine M, pricemž f je na M spojitá.Potom f na množine M nabývá svého maxima i minima.

Hledáme tedy podezrelé body, v nichž funkce f muže techto extrémunabývat.Podezrelé body jsou dvojího druhu:

1 body z vnitrku množiny M, jsou to kritické body, nebo body,v nichž nekterá parciální derivace neexistuje

2 body z hranice množiny M, v nichž muže být extrém vzhledemk hranici nebo její cásti

Práve hledání podezrelých bodu z hranice množiny M budepredmetem vet v této kapitole.


ÚvodTeorie


Doplnky


Extrémy na parametrických krivkách

Následující veta hovorí o hledání extrému na hranici (množiny), kteráje dána parametricky.

Veta 2.6 (Extrémy funkcí na krivkách)

Necht’ A je grafem parametricky zadané krivkyx = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ J.Pak extrémy funkce f definované na A jsou extrémy funkcef (ϕ(t), ψ(t)), t ∈ J.

Všimnete si, že tato veta prevede puvodní úlohu na hledání extrémufunkce jedné promenné.


ÚvodTeorie


Doplnky


Metoda Lagrangeových multiplikátoru

V prípade, že hranice množiny je dána implicitne, není vždy možnévyjádrit z její rovnice neznámou y a dosadit ji do funkce f (x , y).Pro tyto prípady se využívá tzv. metoda Lagrangeovýchmultiplikátoru.

Veta 2.7 (Extrémy na implicitních krivkách)

Necht’ A je grafem implicitne zadané krivky g(x , y) = 0, funkce f jedefinována na nejaké otevrené množine U obsahující A a platí:

1 f ,g mají spojité parciální derivace prvního rádu na U;2 pro každý bod (x , y) ∈ A je bud’ ∂g

∂x (x , y) 6= 0 nebo ∂g∂y (x , y) 6= 0.

Má-li f v bode p ∈ A lokální extrém, pak existuje reálné císlo λ tak, že

∂(f + λg)

∂x(p) = 0 ,

∂(f + λg)

∂y(p) = 0 , g(p) = 0 .


ÚvodTeorie


Doplnky


Definice 3 (Lagrangeovy multiplikátory)

Za predpokladu predchozí vety se funkce

F (x , y , λ) = f (x , y) + λg(x , y)

nazývá Lagrangeova funkce a parametr λ Lagrangeuv multiplikátor.

Podrobné vysvetlení a porovnání obou zmínených metod naleznetev úloze 2.


ÚvodTeorie


Doplnky


Protože derivace podle tretí promenné funkce F (x , y , λ) v príslušnékvadratické forme vypadnou, dostaneme následující postacujícípodmínky:

Veta 2.8 (Postacující podmínky)

Za predpokladu predchozí vety oznacíme

H(h, k) = h2Fxx(p) + 2hk Fxy (p) + k2Fyy (p) .

V kvadratické forme H nahradíme h nebo k druhou promennou zrovnice h ∂g

∂x (p) + k ∂g∂y (p) = 0 a dostaneme kvadratickou formu

H(t) = at2 jedné promenné.1 Je-li a > 0, nabývá f v p ostré lokální minimum.2 Je-li a < 0, nabývá f v p ostré lokální maximum.3 Je-li a = 0, nelze o lokálním extrému f v p pomocí H rozhodnout.


ÚvodTeorie


Doplnky


Necht’ napr. ∂g∂y (p) 6= 0. Potom k = −h gx (p)

gy (p) .

Kvadratická forma H bude ve tvaru

H(h) = h2fxx(p)− 2h2fxy (p)gx(p)

gy (p)+ h2fyy (p)

g2x (p)

g2y (p)

=

=

(fxx(p)− 2fxy (p)

gx(p)

gy (p)+ fyy (p)

g2x (p)

g2y (p)

)h2.

Koeficient a z predchozí vety se tedy rovná

fxx(p)− 2fxy (p)gx(p)

gy (p)+ fyy (p)

g2x (p)

g2y (p)

.


ÚvodTeorie


Doplnky


Extrémy na plochách

Budeme predpokládat, že všechny parciální derivace 1.rádupoužívaných funkcí existují a jsou spojité.

Hledáme-li extrémy funkce trí promenných f (x , y , z) na množine Aurcené rovnicí g(x , y , z) = 0, hledají se extrémy funkce

F (x , y , z, λ) = f (x , y , z) + λg(x , y , z) .

Predpokladem je nenulovost alespon jedné z derivací gx ,gy ,gz

v každém bode A (tj. hodnost 1 matice grad g v každém bode A).


ÚvodTeorie


Doplnky


Nutnou podmínkou, aby bod p byl lokálním extrémem f na A, jerovnost grad F (p) = 0.

Postacující podmínky pak dává definitnost kvadratické formy H dvoupromenných, která vznikne z kvadratické formy trí promenných

H(h, k , l) =

(h∂F∂x

(p) + k∂F∂y

(p) + l∂F∂z

(p)

)2

dosazením za jednu promennou z rovnice

h∂g∂x

(p) + k∂g∂y

(p) + l∂g∂z

(p) = 0 .


ÚvodTeorie


Doplnky


Extrémy na krivkách v prostoru

Hledáme-li extrémy funkce trí promenných f (x , y , z) na množine Aurcené rovnicemi g(x , y , z) = 0,h(x , y , z) = 0, hledají se extrémyfunkce

F (x , y , z, λ, µ) = f (x , y , z) + λg(x , y , z) + µh(x , y , z) .

Predpokladem je hodnost 2 matice s rádky grad g,grad h v každémbode A.


ÚvodTeorie


Doplnky


Nutnou podmínkou, aby bod p byl lokálním extrémem f na A, jerovnost grad F (p) = 0.

Postacující podmínky pak dává definitnost kvadratické formy H jednépromenné, která vznikne z kvadratické formy trí promenných

H(h, k , l) =(

h ∂F∂x (p) + k ∂F

∂y (p) + l ∂F∂z (p)

)2dosazením za dve

promenné z rovnic

h∂g∂x

(p) + k∂g∂y

(p) + l∂g∂z

(p) = 0 ,

h∂h∂x

(p) + k∂h∂y

(p) + l∂h∂z

(p) = 0 .


ÚvodTeorie


Doplnky


Tayloruv polynom

Veta 2.9 (Rozvoj funkce v polynom)

Má-li f spojité parciální derivace až do rádu n + 1 v intervalu J okolobodu (a,b), pak pro (a + h,b + k) ∈ J platí

f (a + h,b + k) =n∑

j=0

(h ∂∂x + k ∂

∂y )j f (a,b)

j!+

+(h ∂

∂x + k ∂∂y )n+1f (c,d)

(n + 1)!,

kde (h∂

∂x+ k

∂

∂y

)j

f (a,b) =

j∑i=0

(ji

)hik j−i ∂ j f

∂x i∂y j−i (a,b) .


ÚvodTeorie


Doplnky


Definice 4

Polynom promenných h, k na pravé strane se nazývá Tayloruvpolynom funkce f v bode (a,b) rádu n, poslední clen na pravé stranese nazývá zbytek.


ÚvodTeorie


Doplnky

Otázky a úlohy

Úloha 1

Naleznete lokální extrémy funkce f (x , y) = x3 + y3 − 3xy .

Rešení

Úloha 2

Urcete vázané lokální extrémy funkce f (x , y) = x2 + 3y2 pri vazbex − 2y + 7 = 0.

Rešení

Úloha 3

Rozložte císlo 64 na tri cinitele tak, aby jejich soucet byl co nejmenší.

Rešení


ÚvodTeorie


Doplnky

V literature . . .

1 Teorie:Jarník – Diferenciální pocet (II), kap. X.Kopácek – Matematická analýza pro fyziky (II), kap. 9.

2 Úlohy:Demidovic – Sbírka úloh a cvicení z matematické analýzy, kap. VI.Kopácek – Príklady z matematiky pro fyziky (II), kap. 3.Pelikán, Zdráhal – Matematická analýza – funkce vícepromenných, cvicení III., kap. 10


ÚvodTeorie


Doplnky

O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi

Kvadratické formy

Definice 5

Je-li A symetrická matice typu n×n, pak funkci F : Rn → R,definovanou predpisem

F (h) =n∑

i,j=1

aijhihj

nazveme kvadratickou formou s maticí A.(Znacíme h = (h1,h2, . . .hn).)

Pro úcely výpoctu lokálních extrému budeme využívat kvadratickouformu druhého diferenciálu funkce f v bode p, tj. matice A bude rovna:

A =

(a11 a12

a21 a22

)=

(fxx(p) fxy (p)fyx(p) fyy (p)

)Matematická analýza III.

ÚvodTeorie


Doplnky


Dosadíme-li do výrazu v definici kvadratické formy, dostaneme:

F (h) =2∑

i,j=1

aijhihj = fxx(p)h1h1 + fxy (p)h1h2 + fyx(p)h2h1 + fyy (p)h2h2 =

= fxx(p)h12 + fxy (p)h1h2 + fyx(p)h2h1 + fyy (p)h2

2

Protože f má spojité parciální derivace 2. rádu, platí fxy (p) = fyx(p).Tedy

F (h) = fxx(p)h12 + 2fxy (p)h1h2 + fyy (p)h2

2.

Protože h = (h1,h2), mužeme napsat

F (h1,h2) = fxx(p)h12 + 2fxy (p)h1h2 + fyy (p)h2

2.

V tomto tvaru budeme kvadratickou formu dále využívat.


ÚvodTeorie


Doplnky


Vlastnosti kvadratických forem

Definice 6

Kvadratická forma se nazývá pozitivne definitní, platí-li pro každoudvojici h, k , kde (h, k) 6= (0,0), F (h, k) > 0.

Kvadratická forma se nazývá negativne definitní, platí-li pro každoudvojici h, k , kde (h, k) 6= (0,0), F (h, k) < 0.

Kvadratická forma se nazývá pozitivne semidefinitní, platí-li prokaždou dvojici h, k , F (h, k) ≥ 0 a v nejakém nenulovém bode jeF (h, k) = 0.

Kvadratická forma se nazývá negativne semidefinitní, platí-li prokaždou dvojici h, k , F (h, k) ≤ 0 a v nejakém nenulovém bode jeF (h, k) = 0.

Kvadratická forma se nazývá indefinitní, jestliže nabývá jakzáporných, tak kladných hodnot.

zpet


ÚvodTeorie


Doplnky


Dukaz vety 2.2

Pro funkce jedné promenné platí následující veta:Jesliže má funkce g v bode c lokální extrém, pak g′(c) = 0.

Protože ∂f∂xi

(p) je dle definice rovna derivaci funkce jedné promennéf (p1, . . . ,pi−1, xi ,pi+1, . . . ,pn) v bode pi , vztahuje se na ni uvedenáveta, a tedy je ∂f

∂xi(p) = 0.

zpet


ÚvodTeorie


Doplnky


Dukaz vety 2.4

Vyjdeme z kvadratické formy

F (h, k) = fxx(p)h2 + 2fxy (p)hk + fyy (p)k2.

Predpokládejme, že k 6= 0. Vytknutím k2 upravíme kvadratickouformu do tvaru

F (h, k) = k2

(fxx(p)

(hk

)2

+ 2fxy (p)hk

+ fyy (p)

).

Pro zprehlednení výpoctu položíme fxx(p) = a, fxy (p) = b, fyy (p) = ca h

k = x . Kvadratická forma tedy bude mít tvar

F (h, k) = k2(ax2 + 2bx + c).


ÚvodTeorie


Doplnky


1 Aby kvadratická forma byla pozitivne definitní, musí platitF (h, k) > 0 pro všechna x , neboli

k2(ax2 + 2bx + c) > 0.

To nastane, pokud diskriminant kvadratické rovniceax2 + 2bx + c = 0 bude menší než 0 a zároven a > 0 (parabolabude „ležet celá nad osou x “).

Platí tedy, že D = 4b2 − 4ac < 0, tj. b2 < ac.

Z toho plynefxx(p) · fyy (p) > (fxy (p))2

Protože a > 0, je i fxx(p) > 0.

Za techto podmínek je kvadratická forma pozitivne definitní i prok = 0, nebot’ nabývá tvaru F (h, k) = h2fxx(p) (a fxx(p) > 0).


ÚvodTeorie


Doplnky


2 Dukaz negativní definitnosti kvadratické formy je analogickýs predchozím, opet musí platit D = 4b2 − 4ac < 0, ale tentokráta < 0 (parabola bude „ležet celá pod osou x “).

Dostáváme tedy podmínky fxx(p) · fyy (p) > (fxy (p))2 a fxx(p) < 0.

3 Aby kvadratická forma byla indefinitní, musí mít rovnicek2(ax2 + 2bx + c) = 0 dve rešení, tj. D = 4b2 − 4ac > 0, nebolib2 > ac.

Z toho vyplývá podmínka fxx(p) · fyy (p) < (fxy (p))2.

4 Kvadratická forma semidefinitní, jestliže je bud’ f (h, k) > 0 a pronejaký nenulový bod (u, v) je f (u, v) = 0 nebo f (h, k) < 0a f (u, v) = 0. Platí tedy D = 4b2 − 4ac = 0, tj. b2 = ac.

Z toho plyne podmínka fxx(p) · fyy (p) = (fxy (p))2.

zpet


ÚvodTeorie


Doplnky


Dukaz vety 2.5

Veta je dusledkem vet 2.3 a 2.4.

zpet


ÚvodTeorie


Doplnky


Zduvodnení

Parciální derivace funkce f v bode (0,0) jsou rovny nule:

∂f∂x

= 3x2, a tedy∂f∂x

(0,0) = 0

∂f∂y

= 0, a tedy∂f∂x

(0,0) = 0

Z obrázku je ale zrejmé, že funkce f v bode (0,0) lokální extrémnemá.


ÚvodTeorie


Doplnky


Pri výpoctu parciálních derivací funkce g v bode (0,0) budemepostupovat podle definice:

∂g∂x

(0,0) = limh→0

g(0 + h,0)− g(0,0)

h= lim

h→0

|h|+ 0− 0h

= limh→0

|h|h

Tato limita neexistuje, nebot’ pro h → 0+ je rovna 1 a pro h → 0− jerovna −1. Analogicky pro ∂g

∂y .

Presto má funkce g v bode (0,0) minimum (viz obrázek).


ÚvodTeorie


Doplnky


funkce f funkce g

Zpet


ÚvodTeorie


Doplnky


Rešení úlohy 1

Nejprve urcíme parciální derivace funkce f podle obou promenných:

∂f∂x

= 3x2 − 3y

∂f∂y

= 3y2 − 3x

Nalezneme kritické body, tj. položíme obe parciální derivace rovny 0a rešíme soustavu rovnic

3x2 − 3y = 0

3y2 − 3x = 0.

Tato soustava má dve rešení, body A(0,0) a B(1,1).


ÚvodTeorie


Doplnky


Pro zjištení, zda je v A a B lokální extrém, urcíme ješte parciálníderivace 2. rádu v bodech A a B.

∂2f∂x2 = 6x

∂2f∂x∂y

= −3∂2f∂y2 = 6y

∂2f∂x2 (A) = 0

∂2f∂x∂y

(A) = −3∂2f∂y2 (A) = 0

∂2f∂x2 (B) = 6

∂2f∂x∂y

(B) = −3∂2f∂y2 (B) = 6


ÚvodTeorie


Doplnky


Kvadratická forma v bode A bude ve tvaru:

F (h, k)(A) = h2fxx(A) + 2hk fxy (A) + k2fyy (A) =

= h2 · 0 + 2hk · (−3) + k2 · 0 =

= −6hk

Kvadratická forma v bode A je indefinitní, nebot’ pro ruzná h, k muženabývat jak kladných, tak i záporných hodnot.Funkce f tedy nemá v bode A lokální extrém (bod A je sedlovýmbodem).


ÚvodTeorie


Doplnky


Analogicky urcíme kvadratickou formu v bode B:

F (h, k)(B) = h2fxx(B) + 2hk fxy (B) + k2fyy (B) =

= h2 · 6 + 2hk · (−3) + k2 · 6 =

= 6h2 − 6hk + 6k2 =

= 3h2 + 3k2 + 3h2 − 6hk + 3k2 =

= 3h2 + 3k2 + 3(h2 − 2hk + k2) =

= 3h2 + 3k2 + 3(h − k)2

Kvadratická forma v bode B je pozitivne definitní, nebot’ pro libovolnáh, k , kde (h, k) 6= (0,0), nabývá pouze kladných hodnot.Funkce f má tedy v bode B lokální minimum.


ÚvodTeorie


Doplnky


Graf funkce f vypadá takto (je znázornen ze dvou pohledu):

zpet


ÚvodTeorie


Doplnky


Rešení úlohy 2

Uvedomte si, že množinou, na níž hledáme extrémy, je pouze krivka(v našem prípade jde dokonce o prímku).

Pri rešení této úlohy mužeme postupovat dvema zpusoby. Ukážemeoba.

1 Tento postup se opírá o vetu 2.6 (extrémy na parametrickýchkrivkách).

Z rovnice vazby vyjádríme x , tj. x = 2y − 7 a dosadíme dopredpisu funkce f (x , y).Dostaneme funkci g jedné promenné y :

g(y) = (2y − 7)2 + 3y2 = 7y2 − 28y + 49.

Hledáme tedy extrémy funkce jedné promenné g(y) pro y ∈ R.Využijeme napr. diferenciálního poctu.


ÚvodTeorie


Doplnky


Derivace funkce g je rovna

g′(y) = 14y − 28.

Položíme g′(y) = 0, tj. 14y − 28 = 0, odkud plyne, že bod y = 2je kritickým bodem.

Protože g′′(y) = 14, a tedy g′′(2) = 14 > 0, má funkce gv bode y = 2 minimum.

Z rovnice vazby pak plyne, že x = 2 · 2− 7 = −3

Tudíž pri dané vazbe má funkce f vázané lokální minimumv bode (−3,2).

Poznámka: Pri urcování extrému funkce g se obejdeme i bez diferenciálníhopoctu. Stací si uvedomit, že grafem funkce g je parabola, která má minimum(nebot’ koeficient u y2 je vetší než 0). Souradnice bodu, v nemž je minimum,urcíme snadno úpravou na ctverec

7y2 − 28y + 49 = 7[(y2 − 4y + 4) + 3] = 7(y − 2)2 + 21.

Minimum je pak v bode y = 2.


ÚvodTeorie


Doplnky


2 Napodruhé budeme tuto úlohu rešit metodou Lagrangeovýchmultiplikátoru, tj. v souladu s vetou 2.7.

Predpoklady této vety jsou splneny, nebot’ derivace obou funkcíjsou spojité na R2 a pro každý bod (x , y) ∈ A je ∂g

∂y = −2 6= 0.

Má-li f v bode p ∈ A lokální extrém, pak existuje reálné císlo λtak, že

∂(f + λg)

∂x(p) = 0 ,

∂(f + λg)

∂y(p) = 0 , g(p) = 0 .

Hledáme tedy bod p = (x , y) ∈ A a λ tak, aby platily predchozípodmínky.


ÚvodTeorie


Doplnky


Lagrangeova funkce má tvar

F (x , y , λ) = x2 + 3y2 + λ(x − 2y + 7)

Parciální derivace funkce F jsou rovny:

∂F∂x

= 2x + λ

∂F∂y

= 6y − 2λ

Rešíme tedy soustavu trí rovnic o trech neznámých x , y a λ:

2x + λ = 0

6y − 2λ = 0

x − 2y + 7 = 0


ÚvodTeorie


Doplnky


Vyjádríme-li z prvních dvou rovnic x , resp. y a dosadíme-li dotretí rovnice, má soustava rešení λ = 6, x = −3 a y = 2.

Bod p podezrelý z extrému má tedy souradnice (−3,2).

To, zda je v p lokální extrém, mužeme zjistit napr. metodoukvadratických forem.

Protože

∂2f∂x2 (p) = 2

∂2f∂x∂y

(p) = 0∂2f∂y2 (p) = 6,

kvadratická forma v bode p má tvar

H(h, k) = 2h2 + 6k2,

je tedy pozitivne definitní a v bode p = (−3,2) nabývá funkce fpri dané vazbe lokální minimum.


ÚvodTeorie


Doplnky


Obrázek znázornuje geometrickou interpretaci výpoctu – hledámeextrémy na parabole, která vznikla jako rez funkce f (paraboloidu)rovinou kolmou na rovinu xy a obsahující prímku x − 2y + 7 = 0.

zpet


ÚvodTeorie


Doplnky


Rešení úlohy 3

Oznacíme a, b, c jednotlivé cinitele, na než máme rozložit císlo 64.Soucet a + b + c oznacíme S.

Protože soucet S má být co nejmenší, hledáme minimum funkceS = a + b + c pri vazbe a · b · c = 64.Opet budeme postupovat dvema zpusoby.

1 Budeme postupovat podle vety 2.6. Z rovnice vazby vyjádrímenapr. neznámou c

c =64ab

(a,b 6= 0)

a dosadíme ji do predpisu funkce. Dostaneme

S = a + b +64ab,

jde tedy o funkci dvou promenných.


ÚvodTeorie


Doplnky


Parciální derivace funkce S jsou rovny

∂S∂a

= 1 +64b· (−1) · 1

a2 = 1− 64a2b

∂S∂b

= 1− 64ab2

Pro urcení kritických bodu položíme obe parciální derivace rovnynule a po úpravách dojdeme k soustave rovnic

64 = a2b

64 = ab2

Z první rovnice vyjádríme napr. b(b = 64

b2

)a dosadíme do druhé.

Po úpravách dostaneme

64 = a ·(

64a2

)2

a3 = 64

a = 4.Matematická analýza III.

ÚvodTeorie


Doplnky


Protože a = 4, plyne z poslední soustavy, že i b = 4. Kritickýmbodem je tedy bod (a,b) = (4,4).

Overíme, zda je v tomto bode lokální minimum.

Parciální derivace druhého rádu jsou rovny:

∂2S∂a2 =

128a3b

∂2S∂a∂b

=64

a2b2

∂2S∂b2 =

128ab3

Príslušné funkcní hodnoty v bode (4,4) jsou

∂2S∂a2 (4,4) =

12

∂2S∂a∂b

(4,4) =14

∂2S∂b2 (4,4) =

12


ÚvodTeorie


Doplnky


Pri urcení, zda je v bode (4,4) lokální minimum, se opreme ovetu 2.5.

Funkce S má v rovine krome os x a y spojité parciální derivacedruhého rádu (dle predpokladu je a,b 6= 0) a navíc pro ne platí

Saa(4,4) · Sbb(4,4) > S2ab(4,4),

nebot’ 12 ·

12 >

(14

)2.

Predpoklady vety jsou splneny a funkce S má tedy v bode [4,4]ostrý lokální extrém. Protože je

Saa(4,4) =12> 0,

jde o ostré lokální minimum.

Rozklad císla 64 na tri cinitele má tedy nejmenší soucet proa = b = c = 4.


ÚvodTeorie


Doplnky


2 Podruhé budeme tuto úlohu rešit metodou Lagrangeovýchmultiplikátoru, tj. budeme se opírat o vetu 2.7.

Rovnici vazby prevedeme do implicitního tvaru,tj. a · b · c − 64 = 0.

Predpoklady vety jsou splneny, nebot’ derivace obou funkcí jsouspojité na R3 a pro každý bod (a,b, c) ∈ A je ∂g

∂c = ab 6= 0,protože rozklad nemuže obsahovat nulu.


ÚvodTeorie


Doplnky


Lagrangeova funkce má tvar

F (a,b, c, λ) = a + b + c + λ(abc − 64)

Parciální derivace funkce F jsou rovny

∂F∂a

= 1 + λbc

∂F∂b

= 1 + λac

∂F∂c

= 1 + λab

∂F∂λ

= abc − 64.


ÚvodTeorie


Doplnky


Rešíme tedy soustavu ctyr rovnic o ctyrech neznámých

1 + λbc = 0

1 + λac = 0

1 + λab = 0

abc − 64 = 0.

Strucne nastíníme postup rešení.Z poslední rovnice vyjádríme a (a = 64

bc ) a dosadíme do druhéa tretí rovnice. Získáme soustavu trech rovnic o trechneznámých:

1 + λbc = 0

1 + λ64bAc

Ac = 0

1 + λ64

AbcAb = 0


ÚvodTeorie


Doplnky


Z druhé rovnice vyjádríme b (b = −64λ), ze tretí rovnice c(c = −64λ) a dosadíme do první rovnice:

1 + λ · (−64λ) · (−64λ) = 0

1 + 4096λ3 = 0

λ = − 116

Potom b = c = 4 a a = 4.

Bod podezrelý z extrému má souradnice (4,4,4).


ÚvodTeorie


Doplnky


Zkontrolujeme správnost našeho výsledku.Možné rozklady císla 64 (nehledíme-li na poradí cinitelu) jsouznázorneny v následující tabulce.Druhý sloupec udává soucet techto císel.

Rozklad Soucet1 · 1 · 64 661 · 2 · 32 351 · 4 · 16 211 · 8 · 8 172 · 2 · 16 202 · 4 · 8 144 · 4 · 4 12

I z tabulky je patrné, že nejmenšího souctu dosáhneme pro rozklad64 = 4 · 4 · 4.

zpet


Documents

Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a