Funkce – základńı pojmy a vlastnosti

Aplikovaná matematika I

Dana Ř́ıhová

Mendelu Brno

Obsah

1 Pojem funkce

2 Vlastnosti funkćı

3 Inverzńı funkce4 Základńı elementárńı funkce

MocninnéExponenciálńıLogaritmickéGoniometrickéCyklometrické

5 Transformace grafu funkce

6 Operace s funkcemiLeonard Euler

Pojem funkce

Definice (funkce)

Necht’ D je neprázdná množina reálných č́ısel. Pravidlo f , které každémureálnému č́ıslu x ∈ D p̌rǐrazuje právě jedno reálné č́ıslo y, se nazývá reálnáfunkce jedné reálné proměnné (stručně funkce). Zapisujeme

y = f(x).

x - argument funkce f (nezávisle proměnná).

y - funkčńı hodnota funkce f v bodě x (závisle proměnná) .

D - definičńı obor funkce f , znač́ı se D(f).

Množina všech reálných č́ısel f(x), která dostaneme pro všechna x ∈ D, senazývá obor hodnot funkce f a znač́ı se H(f).

Př́ıklad (funkce)

y = cosx, D(f) = R, H(f) = 〈−1, 1〉

y =1

x, D(f) = R \ {0} protože x 6= 0, H(f) = R \ {0}

Obsah y kruhu je funkćı jeho poloměru x, tedy y = πx2. D(f) = (0,+∞),nebot’ poloměr kruhu je vždy kladné č́ıslo, H(f) = (0,+∞).

Neńı-li definičńı obor pro funkci f zadán, pak j́ım rozuḿıme množinu všechreálných č́ısel, pro které má výraz f(x) smysl.

Př́ıklad (definičńı obor)

Určete definičńı obor funkce y =√2x− 1

2x− 1 ≥ 0⇒ x ≥ 12

a tedy D(f) = 〈12,+∞)

Určete definičńı obor funkce y = log(5− 3x)5− 3x > 0⇒ x < 5

3a tedy D(f) = (−∞, 5

3)

Určete definičńı obor funkce y =x

4 + x4 + x 6= 0⇒ x 6= −4 a tedy D(f) = R \ {−4}

Graf funkce

Definice (graf funkce)

Grafem funkce y = f(x) s definičńım oborem D(f) rozuḿıme množinu všechbodů [x, f(x)] roviny, kde x ∈ D(f) ve zvolené kartézské soǔradnicové soustavě.

Definičńı obor znázorňujeme na ose x, obor hodnot na ose y.Libovolná rovnoběžka s osou y prot́ıná graf funkce nejvýše v jednom bodě.

Př́ıklad (č. 1 graf funkce)

Křivka y2 = x neńı grafem funkce, protože jednomu x nemohou být p̌rǐrazena dvěr̊uzná reálná č́ısla.

x

y

0 1

1

−1

y2 = x

Př́ıklad (č. 2 graf funkce)

y =2

3x− 2, grafem je p̌ŕımka y = kx+ q, směrnice k = 2

3, q = −2.

Pr̊useč́ıky s osami:

s osou x [x, 0] (y = 0): 0 =2

3x− 2⇒ x = 3 [3, 0]

s osou y [0, y] (x = 0): y =2

3· 0− 2⇒ y = −2 [0,−2]

x

y

0

−2

3

y = 23x− 2

D(f) = R, H(f) = R

Př́ıklad (č. 3 graf funkce)

y =2

x, grafem je hyperbola.

x 6= 0⇒ D(f) = (−∞, 0) ∪ (0,∞), H(f) = (−∞, 0) ∪ (0,∞)

x

y

0

y = 2x

Poznámka (zadáńı funkce)

Způsoby zadáńı funkce:

explicitńı y = f(x), (”y = vzorec pro x ”)nap̌r. y = tg x, y = 5x, y = 2x3 − 1, y = −

√x+ 2

implicitńı F (x, y) = 0, (”vzorec pro x a y = 0 ”)nap̌r. log(xy)− 2x+ y = 0

tabulka funkčńıch hodnot

graf

Vlastnosti funkćı

Definice (parita funkce)

Funkce f s definičńım oborem, který má tu vlastnost, že s každým bodem xobsahuje i bod −x, se nazývá

sudá, jestliže pro každé x ∈ D(f) plat́ı

f(−x) = f(x),

lichá, jestliže pro každé x ∈ D(f) plat́ı

f(−x) = −f(x).

Graf sudé funkce je souměrný podle osy y, nap̌r. y = cosx.

Graf liché funkce je souměrný podle počátku soǔradnic, nap̌r. y = sinx.

Nutným p̌redpokladem pro tuto vlastnost je, aby definičńı obor byl souměrnýpodle počátku soǔradnic.

Obecně nemuśı být funkce ani sudá ani lichá.

Parita funkce

Př́ıklad (sudost, lichost funkce)

graf sudé funkcey = x2

x

y

0−x x

f(x)

souměrnost podle osy y

graf liché funkce

y =1

x

x

y

0−x

x

−f(x)

f(x)

souměrnost podle počátku

Př́ıklad (sudost, lichost funkce)

Rozhodněte, zda následuj́ıćı funkce jsou sudé nebo liché.

1 y =x

x2 + 1, x ∈ R

f(−x) = −x(−x)2 + 1

=−x

x2 + 1= − x

x2 + 1= −f(x)

Funkce je tedy lichá.

2 y =1− x2

1 + x2, x ∈ R

f(−x) = 1− (−x)2

1 + (−x)2=

1− x2

1 + x2= f(x)

Funkce je tedy sudá.

3 y =2x2 + 3

x− 2⇒ D(f) = R \ {2}

Neńı splněn p̌redpoklad, že definičńı obor s každým x obsahuje také −x,funkce neńı ani sudá ani lichá.

Monotonie funkce

Definice (monotonie funkce)

Necht’ f je funkce a M ⊆ D(f) podmnožina definičńıho oboru. Řekneme, žefunkce f je na množině M

rostoućı, jestliže pro každé dvě x1, x2 ∈M takové, že x1 < x2 plat́ı

f(x1) < f(x2).

klesaj́ıćı, jestliže pro každé dvě x1, x2 ∈M takové, že x1 < x2 plat́ı

f(x1) > f(x2).

neklesaj́ıćı, jestliže pro každé dvě x1, x2 ∈M takové, že x1 < x2 plat́ı

f(x1) ≤ f(x2).

nerostoućı, jestliže pro každé dvě x1, x2 ∈M takové, že x1 < x2 plat́ı

f(x1) ≥ f(x2).

Funkce rostoućı nebo klesaj́ıćı se nazývaj́ı ryze monotonńı,neklesaj́ıćı nebo nerostoućı se nazývaj́ı monotonńı.

Př́ıklad (rostoućı, klesaj́ıćı funkce)

graf rostoućı funkcey = ex

x

y

0 x2

f(x2)

x1

f(x1)

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

graf klesaj́ıćı funkcey = e−x

x

y

0x1

f(x1)

x2

f(x2)

x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

obě funkce jsou ryze monotonńı na D(f) = R

Př́ıklad (neklesaj́ıćı, nerostoućı funkce)

graf neklesaj́ıćı funkce

x

y

0 x1 x2

f(x1) = f(x2)

x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)

graf nerostoućı funkce

x

y

0x2x1

f(x1) = f(x2)

x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)

obě funkce jsou monotonńı na D(f) = R

Př́ıklad

Funkce y =1

xneńı na celém svém definičńım oboru D(f) = R \ {0} klesaj́ıćı a

tedy ani monotonńı.

x

y

0 x2

f(x2)

x1

f(x1)

x1 < x2 ale f(x1) < f(x2)

Je klesaj́ıćı pouze v každémz interval̊u (−∞, 0) a (0,∞).

Ohraničenost funkce

Definice (ohraničenost funkce)

Necht’ f je funkce a M ⊆ D(f) podmnožina definičńıho oboru. Řekneme, žefunkce f je na množině M

zdola ohraničená, jestliže existuje takové d ∈ R, že pro každé x ∈M plat́ı

f(x) ≥ d.

shora ohraničená, jestliže existuje takové h ∈ R, že pro každé x ∈M plat́ı

f(x) ≤ h.

ohraničená, jestliže je na množině M ohraničená shora i zdola.

Je-li funkce ohraničená zdola, pak existuje vodorovná p̌ŕımka y = d taková,že graf funkce lež́ı celý nad touto p̌ŕımkou.

Je-li funkce ohraničená shora, pak existuje vodorovná p̌ŕımka y = h taková,že graf funkce lež́ı celý pod touto p̌ŕımkou.

Je-li funkce ohraničená, lež́ı celý graf mezi dvěma vodorovnými p̌ŕımkami.

Př́ıklad

y =√x je ohraničená zdola

x

y

0

d

y = −x2 je ohraničená shora

x

y h

0

y = sinx je ohraničená

x

d

0

hy

π2π

−π π2−

π2

Prostá funkce

Definice (prostá funkce)

Řekneme, že funkce f je na množině M prostá, jestliže pro každé x1, x2 ∈Mtakové, že x1 6= x2, plat́ı

f(x1) 6= f(x2).

Každá funkčńı hodnota odpov́ıdá pouze jedinému argumentu.

Graf prosté funkce prot́ıná každá vodorovná p̌ŕımka v nejvýše jednom bodě.

VětaKaždá ryze monotonńı funkce na množině M je prostá.

Je-li tedy funkce na množině M rostoućı nebo klesaj́ıćı, je zde prostá.

Př́ıklad

funkce y = x3 je prostá na D(f) = R

x

y

0

funkce y = x2 neńı prostá na D(f) = R

x

y

0x1 x2

f(x1) = f(x2)

na intervalu (−∞, 0) je klesaj́ıćıa tedy prostá

na intervalu (0,∞) je rostoućıa tedy také prostá

Periodičnost funkce

Definice (periodičnost funkce)

Funkce f s definičńım oborem, který má tu vlastnost, že s každým bodem xobsahuje také bod x+ p, kde p > 0, se nazývá periodická s periodou p, jestližepro všechna x ∈ D(f) plat́ı

f(x+ p) = f(x).

Př́ıkladGoniometrické funkce y = sinx a y = cosx jsou periodické funkce sezákladńı periodou 2π (jsou ale periodické také s periodou 4π, 6π atd.).

x

-1

0

1y

π2π

−π π2−

π2

Goniometrické funkce y = tg x a y = cotg x jsou periodické s periodou π.

Inverzńı funkce

Definice (inverzńı funkce)

Necht’ f je prostá funkce. Funkce f−1, která každému č́ıslu y ∈ H(f) p̌rǐrazujeprávě to č́ıslo x ∈ D(f), pro které plat́ı y = f(x), se nazývá inverzńı funkcek funkci f . Znač́ıme ji f−1, tedy x = f−1(y).

x yf

f−1

D(f) H(f)

H(f−1) D(f−1)

Plat́ı D(f−1) = H(f), H(f−1) = D(f).

f je inverzńı funkce k funkci f−1.

Grafy funkćı f a f−1 jsou symetrické podle p̌ŕımky y = x.

Je-li funkce f rostoućı (klesaj́ıćı), je i f−1 rostoućı (klesaj́ıćı).

Chceme-li k funkci f naj́ıt inverzńı funkci, zaměńıme v zadáńı funkce y = f(x)proměnné x a y. Z rovnice x = f(y) pak vyjáďŕıme proměnnou y.

Př́ıkladUrčete inverzńı funkci k funkci y = 3x− 1.

f : y = 3x− 1 je prostá (rostoućı)D(f) = RH(f) = R

f−1 : x = 3y − 1x+ 1 = 3y ⇒ y = 1

3x+

1

3D(f−1) = RH(f−1) = R x

y

0

y = 3x− 1

y = x

−1 1 2−1

1

2

y = 13x+13

Základńı elementárńı funkce

Základńı elementárńı funkcemocninné

exponenciálńı

logaritmické

goniometrické

cyklometrické

Všechny funkce, které ze základńıch elementárńıch funkćı źıskáme konečnýmpočtem operaćı sč́ıtáńı, odč́ıtáńı, násobeńı, děleńı a skládáńım těchto funkćınavzájem, se nazývaj́ı elementárńı funkce.

Mocninné funkce

Mocninná funkceje funkce tvaru

y = xa,

kde x ∈ (0,∞), mocnitel a ∈ R je č́ıslo libovolné, ale pevné. Pro r̊uzné mocnitelemůže ḿıt r̊uzné definičńı obory, nebot’ je lze někdy rozš́ı̌rit.

Mezi mocninné funkce paťŕı

y = xn, D(f) = (−∞,∞),

y = x−n =1

xn, D(f) = (−∞, 0) ∪ (0,∞),

y = x1n = n

√x, D(f) = 〈0,∞),

kde n ∈ N.

Pro n liché můžeme definičńı obor funkce y = n√x rozš́ı̌rit na množinu (−∞,∞)

tak, že pro kladné č́ıslo a je n√−a = − n

√a. Tedy nap̌r. 3

√−8 = −2 .

Pro n sudé plat́ı, že n√−a neńı v R definována, nap̌r.

√−4.

mocninné funkce

p̌ŕımka y = x

x

y

0

D(f) = R, H(f) = R

parabola y = x2

x

y

0

D(f) = R, H(f) = 〈0,∞)

mocninné funkce

kubická parabola y = x3

x

y

0

D(f) = R, H(f) = R

hyperbola y =1

x

x

y

0

D(f) = Rr {0}, H(f) = Rr {0}

mocninné funkce

y =1

x2

x

y

0

D(f) = Rr {0}, H(f) = (0,∞)

odmocnina y =√x

x

y

0

D(f) = 〈0,∞), H(f) = 〈0,∞)

Exponenciálńı funkce

exponenciálńı funkce y = ax(a > 0, a 6= 1)y = ax (a > 1)

x

y

0

a

1

1

y = ax (0 < a < 1)

x

y

0

a

1

1

D(f) = R, H(f) = (0,∞) ⇒ ax > 0rostoućı pro a > 1 a klesaj́ıćı pro 0 < a < 1

speciálńı p̌ŕıpad y = ex, kde e·= 2, 71828 je tzv. Eulerovo č́ıslo

Př́ıklad (exponenciálńı funkce)

Nakreslete grafy funkćı y = 2x a y =

(1

2

)x.

x

y

0

2

12

1−1

1

y = 2xy = (12 )x

Graf funkce y =

(1

2

)xje totožný s grafem y = 2−x. Plat́ı totiž(

1

2

)x=

1

2x= 2−x

Logaritmické funkce

logaritmické funkce

y = loga x (a > 1)

x

y

0 1 a

1

y = loga x (0 < a < 1)

x

y

0 1a

1

D(f) = (0,∞), H(f) = Rrostoućı pro a > 1 a klesaj́ıćı pro 0 < a < 1

a = e, y = lnx (= loge x), tzv. p̌rirozený logaritmus

a = 10, y = log x (= log10 x), tzv. dekadický logaritmus

Př́ıklad (logaritmické funkce)

Nakreslete grafy funkćı y = log2 x a y = log 12 x.

x

y

0 1 212

1y = log2 x

y = log 12x

y = xy = 2xy = (

12 )x

Logaritmická funkce y = loga x a exponenciálńı funkce y = ax o stejném základu

a jsou vzájemně inverzńı a plat́ı vztah,

y = loga x ⇔ x = ay

Pro logaritmickou funkci plat́ı

loga a = 1 speciálně log 10 = 1, ln e = 1,

loga 1 = 0 speciálně log 1 = 0, ln 1 = 0,

loga x =lnx

ln aspeciálně log x =

lnx

ln 10

Př́ıklad

log2 x = 5 ⇔ x = 25log x = −3 ⇔ x = 10−3lnx = 2 ⇔ x = e2

Př́ıklad (logaritmické funkce)

Nakreslete grafy funkćı y = lnx a y = log x.

x

y

0 1 10e

1

y = lnx

y = log x

Goniometrické funkce

goniometrické funkce

y = sinx

x

-1

0

1 y

π2π

−π π2−

π2

32π−

32π

−2π

y = cosx

x

-1

0

1 y

π2π

−π π2−

π2

32π−

32π

−2π

D(f) = R, H(f) = 〈−1, 1〉funkce jsou periodické se základńı periodou p = 2π

funkce y = cosx je sudá, funkce y = sinx je lichá

goniometrické funkce

y = tg x, tg x =sinx

cosx

x0

y

ππ2−

π2

−π

D(f) = Rr {π2(2k + 1), k ∈ Z},

H(f) = R

y = cotg x, cotg x =cosx

sinx

x0

y

ππ2−

π2

−π

D(f) = Rr {kπ, k ∈ Z},H(f) = R

funkce jsou periodické se základńı periodou p = π, jsou obě liché

Hodnoty goniometrických funkćı

Hodnoty goniometrických funkćı ve vybraných úhlech

Stupně 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦

Radiány 0 π6π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 π

sinα 0 12

√22

√32 1

√32

√22

12 0

cosα 1√32

√22

12 0 −

12 −

√22 −

√32 −1

tgα 0√33 1

√3 - −

√3 −1 −

√33 0

cotgα -√3 1

√33 0 −

√33 −1 −

√3 -

Cyklometrické funkce

Inverzńı funkce k y = sinx

x

-1

0

1

y

π

2π

−π π2−

π2

32π

1−1

π2

−π2y = x

y = sinx

y = arcsinx

Inverzńı funkce k funkci y = sinx, x ∈ 〈−π2,π

2〉, je funkce y = arcsinx

Inverzńı funkce k y = cosx

x

-1

0

1

y

π

2π

−π π2−

π2

32π

1−1

π2

π

y = x

y = cosx

y = arccosx

Inverzńı funkce k funkci y = cosx, x ∈ 〈0, π〉, je funkce y = arccosx

cyklometrické funkce

y = arcsinx

x0

y

−1

π2

−π2

π6

112

D(f) = 〈−1, 1〉, H(f) = 〈−π2,π

2〉

funkce y = arcsin x je rostoućı alichá

y = arccosx

x0

y

−1

π2

π

π3

112

D(f) = 〈−1, 1〉, H(f) = 〈0, π〉funkce y = arccos x je klesaj́ıćı

Inverzńı funkce k y = tg x

x0

y

π2

−π2

π2−

π2

y = x

y = arctgx

y = tgx

Inverzńı funkce k funkci y = tg x, x ∈ (−π2,π

2), je funkce y = arctg x

Inverzńı funkce k y = cotg x

y

π2

π

x0 ππ2

y = x

y = arccotgx

y = cotgx

Inverzńı funkce k funkci y = cotg x, x ∈ (0, π), je funkce y = arccotg x

cyklometrické funkcey = arctg x

x0 1

yπ2

π4

−π2D(f) = R, H(f) = (−π

2,π

2)

funkce y = arctg x je rostoućı alichá

y = arccotg x

x0 1

y

π2

π4

π

D(f) = R, H(f) = (0, π)funkce y = arccotg x je klesaj́ıćı

Př́ıklad (určeńı funkčńı hodnoty)

arcsin1

2=π

6, protože sin

π

6=

1

2

arcsin

(−√2

2

)= − arcsin

(√2

2

)= −π

4, protože sin

π

4=

√2

2a funkce

y = arcsin x je lichá

arccos

(√3

2

)=π

6, protože cos

π

6=

√3

2

arccos

(−√3

2

)=

5

6π, protože cos

π

6=

√3

2a π − π

6=

5

6π

arctg√3 =

π

3, protože tg

(π3

)=√3

Př́ıklad (definičńı obor)

Určete definičńı obor funkce y = arccos2x− 1

3.

Funkce y = arccos x má definičńı obor 〈−1, 1〉, proto muśı platit

−1 ≤ 2x− 13

≤ 1

−1 ≤ 2x− 13

a2x− 1

3≤ 1/ · 3

−3 ≤ 2x− 1 2x− 1 ≤ 3−2 ≤ 2x 2x ≤ 4−1 ≤ x x ≤ 2

Definičńı obor je tedy D(f) = 〈−1, 2〉

Transformace grafu funkce

Poznámka (p̌ričteńı č́ısla k argumentu)

graf funkce y = f(x± c)(posun ve směru osy x)

y = (x+ 1)2

x

y

0−1

y = (x− 1)2

x

y

0 1

Poznámka (p̌ričteńı č́ısla k funkčńı hodnotě)

graf funkce y = f(x)± c(posun ve směru osy y)

y = x2 − 1

x

y

0

−1

y = x2 + 1

x

y

0

1

Př́ıklad

Nakreslete graf funkce y = 2 + log2(x+ 1).

Posuny ← 1, ↑ 2; a = 2 > 1 ⇒ rostoućı funkce; x+ 1 > 0 ⇒ D(f) = (−1,∞)

x

y

0−1 − 34 1 2

1

2

3

y = log2 x

y = 2 + log2(x+ 1)pr̊useč́ıky a osami:

x = 0 ⇒ y = 2 + log2 1 = 2[0, 2]

y = 0 ⇒ 0 = 2 + log2(x+ 1)−2 = log2(x+ 1)2−2 = x+ 1

1

4− 1 = x

−34

= x

[−34, 0]

Poznámka (vynásobeńı funkčńı hodnoty č́ıslem −1)graf funkce y = −f(x)

(p̌reklopeńı kolem osy x)

x

y

0

y =√x

y = −√x

souměrnost podle osy x

x

y

0

e

-e

1

1

−1

y = ex

y = −ex

Poznámka (vynásobeńı argumentu č́ıslem −1)graf funkce y = f(−x)

(p̌reklopeńı kolem osy y)

x

y

0

y =√xy =

√−x

x

y

0 1−1 e-e

1

y = lnxy = ln(−x)

souměrnost podle osy y

Operace s funkcemi

Poznámka (operace s funkcemi)

Funkce lze sč́ıtat, odč́ıtat, násobit a dělit:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f − g)(x) = f(x)− g(x)(f · g)(x) = f(x) · g(x)(f

g

)(x) =

f(x)

g(x), kde g(x) 6= 0

Definičńı obor těchto funkćı je pr̊unikem definičńıch obor̊u jednotlivých funkćıs t́ım, že v p̌ŕıpadě pod́ılu nav́ıc požadujeme, aby g(x) 6= 0.

Skládáńı funkćı

Definice (složená funkce)

Necht’ je dána funkce u = g(x) s definičńım oborem D(g), oborem hodnot H(g) afunkce y = f(u), která je definována na množině D(f) ⊇ H(g). Složenou funkćı(f ◦ g)(x) rozuḿıme p̌rǐrazeńı, které každému x ∈ D(g) p̌rǐrad́ı č́ıslo y = f (g(x)),tj. hodnotu funkce f v č́ısle g(x).Funkce g se nazývá vniťrńı složka, funkce f vněǰśı složka složené funkce.

x g(x) f(g(x))g f

f ◦ g

D(g) H(g)

D(f)H(f)

Funkce složená vznikne dosazeńım libovolné funkce za argument jiné funkce.

Opakováńım postupu skládáńı funkćı dostaneme v́ıcenásobně složené funkce.

Př́ıklad

Funkce y =√

log x, má vněǰśı složku y =√u a vniťrńı složku u = log x.

Funkce y = sin(x2), má vněǰśı složku y = sinu a vniťrńı složku u = x2.

Funkce y = ln√cos(3x), má vněǰśı složku y = ln z a vniťrńı složky z =

√v,

v = cosu, u = 3x.

Určováńı definičńıch obor̊u

PoznámkaPři určováńı definičńıch obor̊u složených funkćı a pod́ılu funkćı je ťreba brát vúvahu následuj́ıćı podḿınky:

funkce tvaru y =f(x)

g(x)je definovaná pro g(x) 6= 0,

funkce tvaru y =√f(x) je definovaná pro f(x) ≥ 0,

funkce tvaru y = loga f(x) je definovaná pro f(x) > 0,

funkce tvaru y = tg(f(x)) je definovaná pro f(x) 6= (2k + 1)π2

, k ∈ Z,

funkce tvaru y = cotg(f(x)) je definovaná pro f(x) 6= kπ, k ∈ Z,

funkce tvaru y = arcsin(f(x)) a y = arccos(f(x)) jsou definovány pro−1 ≤ f(x) ≤ 1.

Př́ıklad

Určete definičńı obor funkce y = ln(x+ 2) +√x2 − 5x+ 6 + e

x−1

x− 41 x+ 2 > 0 ⇒ x > −22 x2 − 5x+ 6 ≥ 0 ⇒ (x− 3)(x− 2) ≥ 0 ⇒ x ∈ (−∞, 2 > ∪ < 3,∞)

2 3−

++

3 x− 4 6= 0 ⇒ x 6= 4

−2 2 3 4

D(f) = (−2, 2〉 ∪ 〈3, 4) ∪ (4,∞)

Vzájemně inverzńı základńı elementárńı funkce

y =√x y = x2, x ≥ 0

y = 3√x y = x3

y = ex y = lnx

y = ax, a 6= 1, a > 0 y = loga x

y = sinx, x ∈ 〈−π2 ,π2 〉 y = arcsinx

y = cosx, x ∈ 〈0, π〉 y = arccosx

y = tg x, x ∈(−π2 ,

π2

)y = arctg x

y = cotg x, x ∈ (0, π) y = arccotg x

Pro vzájemně inverzńı funkce f a f−1 plat́ı

f−1(f(x)) = x, f(f−1(x)) = x

pro všechna x, pro která má tento zápis smysl.

Př́ıkladPro všechna x, pro která maj́ı uvedené operace smysl, nap̌ŕıklad plat́ı:

x = ln(ex) = eln x

x = loga(ax) = aloga x

x =(√x)2

=√x2

x = sin(arcsin x) = arcsin(sinx)

x = tg(arctg x) = arctg(tg x)