Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace

Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616

Název projektu: Inovace výuky

Číslo a název šablony klíčové aktivity:

EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol

Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)

EU-8-57 – DERIVACE FUNKCE XIII(globální i lokální extrémy funkce – úlohy na hledání extrémů)

AnotaceGlobální extrémy funkce, jejich definice, hledání globálních extrémů funkce při řešení různých úloh (i slovních).

Autor PaedDr. Milan Rieger

Jazyk Čeština

Očekávaný výstup Žák je schopen řešit jednoduché úlohy na vyhledávání globálních extrémů funkce.

Klíčová slova Globální maximum, globální minimum, slovní úloha, Weierstrassova věta.

Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy

Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace

Cílová skupina Žák

Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání

Typická věková skupina 17 – 19 let

Datum vytvoření 8. 12. 2013

DEFINICE GLOBÁLNÍHO MAXIMA

Funkce f má na množině M D(f) globální maximum v bodě x0 tehdy, když pro každé x M platí:

f(x) f(x0). DEFINICE GLOBÁLNÍHO MINIMA

Funkce f má na množině M D(f) globální minimum v bodě x0 tehdy, když pro každé x M platí:

f(x) f(x0). ZAJÍMAVÁ WEIERSTRASSOVA VĚTA

Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu <a; b>, potom funkce f nabývá v intervalu <a; b> své největší a nejmenší hodnoty.

To znamená, že každá spojitá funkce v intervalu <a; b> má jistě globální extrémy;existují čísla x1,x2 <a; b> taková, že pro všechna x <a; b> platí f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2);každá spojitá funkce v intervalu <a; b> je omezená shora i zdola (oboustranně).

GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE V UZAVŘENÉM INTERVALU <a; b>(k hledání největší či nejmenší hodnoty funkce v intervalu <a; b> či definičním oboru funkce vede řada technických, přírodovědných, ekonomických i společenských problémů)

Postup při hledání globálních extrémů funkce v intervalu <a; b>:1) v intervalu (a; b) nalezneme body v nichž funkce nabývá lokálních extrémů,2) k nim přidáme krajní body intervalu,3) pro všechny „podezřelé“ body určíme funkční hodnoty dané funkce,4) z těchto čísel (viz bod 3) vybereme největší - v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota největší, nabývá funkce na daném intervalu globálního maxima,5) z čísel (viz bod 3) vybereme nejmenší - v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota nejmenší, nabývá funkce na daném intervalu globálního minima.

ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1

Najděte absolutní extrémy funkce f: y = 2 x3 – 6 x + 10 v intervalu <a; b> = < – 3; 3>.

y/ = 6 x2 – 6y/ = 0 6 x2 – 6 = 0 6 (x2 – 1) = 0 6 (x – 1) (x + 1) = 0 (x = 1 x = – 1)body podezřelé z lokálních extrémů jsou – 1, 1y// = 12 x y// (– 1) = –12 funkce f má v bodě – 1 ostré lokální maximum; f(– 1) = 14y// (1) = 12 funkce f má v bodě 1 ostré lokální minimum; f(1) = 6Dále určíme hodnoty funkce f v krajních bodech intervalu <– 3; 3>.f(– 3) = – 26; f(3) = 46Absolutní maximum funkce f v intervalu <– 3; 3> určíme výběrem největšího čísla z čísel 14; 6; – 26 a 46, což můžeme zapsat takto max (14; 6; – 26; 46) = 46 = f(3).Největší hodnoty (46) v intervalu <– 3; 3> nabývá funkce f v bodě 3.Absolutní minimum funkce f v intervalu <– 3; 3> určíme výběrem nejmenšího čísla z čísel 14; 6; – 26 a 46, což můžeme zapsat takto min (14; 6; – 26; 46) = – 26 = f(–3).Nejmenší hodnoty (– 26) v intervalu <– 3; 3> nabývá funkce f v bodě – 3.

ÚLOHA 1 (k samostatnému řešení)

Najděte absolutní extrémy funkce f v intervalu <a; b> = < – 3; 2>.

4223

:23

xxx

yf řešení úlohy

ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2 (Matematika pro gymnázia, Diferenciální a integrální počet, 1. vydání, D. Hrubý, J. Kubát, 1997, strana 111, úloha 4.22)

Na přímce p: y = 3 x – 1 najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu A[1; – 2].

ÚLOHA 2 (k samostatnému řešení)

řešení úlohyNa přímce p: x + 3 y – 3 = 0 najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu A[1; – 2].

Hledaný bod označme X, X p, X [x; y]. Pro souřadnice bodu X musí platit rovnice y = 3 x – 1, tedy X [x; 3 x – 1].Dále označme v = AX .

22 131 xxv 2410 2 xxv

2410

4202

/

xx

xv

5

10

2410

4200

2

/

x

xx

xv

Při průchodu bodem x = – 0,2 se mění znaménko derivace z minus na plus, v je tedy minimální.

5

102v

5

8;5

1X

Ilustrativní úlohu 2 řešte metodou analytické geometrie. (řešení)

ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 3

Z papíru tvaru čtverce o straně a vystřihneme ve všech rozích stejné čtverečky a složíme krabičku. Určete stranu vystřiženého čtverečku tak, aby měla krabička maximální objem.

ÚLOHA 3 (k samostatnému řešení) řešení úlohy

Určete stranu čtverce, které musíme vyříznout ve všech rozích obdélníkového papíruo rozměrech 10 cm x 8 cm tak, aby po složení vznikla krabička maximálního objemu.

3222 442 xaxxaxxaV

Složená krabička bude mít hrany o rozměrecha – 2x, a – 2x, x. Objem složené krabičky označíme V.

22/ 128 xaxaV 08120 22/ aaxxV 216aD

6;224

48212,1

ax

ax

aax

Při průchodu bodem x = a/6 se mění znaménko derivace z plus na minus, V je tedy maximální.

2;0a

x

Aby měla krabička o straně a maximální objem, musíme v rozích čtvercového papíru vystřihnout čtverečky o straně x.

27

2;6

3

6

aV

ax a

ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 4

Do rotačního kužele o rozměrech r = 6 cm, v = 3 cm vepište válec maximálního objemutak, aby osa válce splývala s osou kužele. Určete rozměry válce.

ÚLOHA 4 (k samostatnému řešení) řešení úlohy

Poloměr hledaného válce označíme x, jeho výšku y.

Z podobnosti zeleného a žlutého trojúhelníka dostaneme:

2

6

3

6 xy

y

x

y

x

Objem vepsaného válce označíme V.

3222 622

6xx

xxyxV

23122

/ xxV

400/ xxV 14 yx

6;0x

Při průchodu bodem 4 se mění znaménko derivace z plusna minus, objem V vepsaného válce je tedy maximální.

6612

24

//// VxV

Rozměry válce jsoupoloměr x = 4 cm, výška y = 1 cm.

Do rotačního kužele o rozměrech r = 6 cm, v = 3 cm vepište válec maximálního objemutak, aby osa válce byla kolmá na osu kužele. Určete rozměry válce.

MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, autor Jindra Petáková, vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1998, strana 161, úlohy 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 75. ISBN 80-7196-099-3.

ÚLOHY K PROCVIČENÍ

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

MATEMATIKA PRO GYMNÁZIA – Diferenciální a integrální počet, 1. vydání, Dag Hrubý, Josef Kubát, 1997 vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1997, strana 111, úloha 4.22. ISBN 80-7196-063-2.

1. Určete rozměry válcové nádoby s víkem tak, aby při objemu 2 litry měla tato nádoba minimální povrch.

2. Určete rozměry válcové nádoby bez víka tak, aby při objemu 2 litry měla tato nádoba minimální povrch.

3. Do koule o poloměru 3 cm vepište válec maximálního objemu. Určete jeho rozměry.

4. Do koule o poloměru 3 cm vepište kužel maximálního objemu. Určete poloměr podstavy a výšku kužele.

5. Kouli o poloměru 3 cm opište kužel minimálního objemu. Určete jeho rozměry.

6. Určete rozměry obdélníku tak, aby při daném obsahu 16 cm2 měl minimální obvod.

7. Určete rozměry obdélníku tak, aby při daném obvodu 20 cm měl maximální obsah.

8. Do ostroúhlého trojúhelníku ABC, c = 8 cm, vc = 4 cm vepište obdélník KLMN maximálního obsahu tak, aby KL AB. Určete jeho rozměry.

y/ = x2 + x – 2 y/ = 0 x2 + x – 2 = 0 (x + 2) (x – 1) = 0 (x = 1 x = – 2)body podezřelé z lokálních extrémů jsou – 2, 1y// = 2 x + 1 y// (– 2) = – 3 funkce f má v bodě – 2 ostré lokální maximum; f(– 2) = 22/3y// (1) = 3 funkce f má v bodě 1 ostré lokální minimum; f(1) = 17/6Dále určíme hodnoty funkce f v krajních bodech intervalu < – 3; 2>.f(– 3) = 11/2; f(2) = 14/3max (22/3; 17/6; 11/2; 14/3) = 22/3 = f(– 2)Největší hodnoty (22/3) v intervalu <– 3; 2> nabývá funkce f v bodě – 2.min (22/3; 17/6; 11/2; 14/3) = 17/6 = f(1)Nejmenší hodnoty (17/6) v intervalu <– 3; 2> nabývá funkce f v bodě 1.

Najděte absolutní extrémy funkce f v intervalu <a; b> = < – 3; 2>.

ÚLOHA 1 (řešení úlohy)

4223

:23

xxx

yf

návrat

ÚLOHA 2 (řešení úlohy)

návratNa přímce p: x + 3 y – 3 = 0 najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu A[1; – 2].

Hledaný bod označme X, X p, X [x; y]. Pro souřadnice bodu X musí platit rovnice x + 3 y – 3 = 0, tedy Dále označme v = AX .

451853

2104

9

103

3

11 22

22

xxxxxxv

45185

1810

3

22

/

xx

xv

8,15

90/ xv

Při průchodu bodem x = 1,8 se mění znaménko derivace z minus na plus, v je tedy minimální.

5

104v

5

2;5

9X

1

3

1; xxX

ÚLOHA 3 (řešení úlohy)návrat

Určete stranu čtverce, které musíme vyříznout ve všech rozích obdélníkového papíruo rozměrech 10 cm x 8 cm tak, aby po složení vznikla krabička maximálního objemu.

4;0;28210 xxxxV

xxxV 80364 23

201834807212 22/ xxxxV

0201830 2/ xxV

21284240324 DD

6

212182,1

x

Při průchodu bodem x2 se mění znaménko derivace z plus na minus, objem V krabičky je tedy maximální.

351,52;3

213 cmVx

47,13

213;53,4

3

213 21 xx

graf

Návrat na řešení úlohy

ÚLOHA 4 (řešení úlohy)návrat

Do rotačního kužele o rozměrech r = 6 cm, v = 3 cm vepište válec maximálního objemutak, aby osa válce byla kolmá na osu kužele. Určete rozměry válce.

Poloměr hledaného válce označíme r, jeho výšku v.

Z podobnosti zeleného a žlutého trojúhelníka dostaneme:

rvr

v

r

v

812232

22

6

Objem vepsaného válce označíme V.

rrrrrrvrV 234812812 23222 rrrrV 1242424 2/

100/ rrV

2

3;0r

rrV 21244824// 240//V 241//V

Pro r = 1 cm a v = 4 cm je objem válce maximální, V = 4 .

ÚLOHA 2 (řešení ilustrativní úlohy 2 metodou analytické geometrie)

návratNa přímce p: x + 3 y – 3 = 0 najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu A[1; – 2].

Hledaný bod označme X, X p, X [x; y].

33

1;1;1;3 xxAXAXns pp

1

3

1; xxX

0 pppp nsns

63

103

3

1333

3

1;11;3

xxxxxns pp

5

906

3

100 xxns pp

5

2y

5

2;5

9X