MATEMATIČKA STATISTIKA I TEORIJA VEROVATNOĆE

SLUČAJNA PROMENLJIVA, JEDNODIMENZIONALNE

• Svaka promenljiva X, koja je rezultat eksperimenta ili osmatranja, i uzima brojne vrednosti x sa određenim verovatnoćama, naziva se slučajna promenljiva.

• Slučajne promenljive mogu biti– Prekidne (diskretne)– Neprekidne (kontinualne)

PREKIDNA SLUČAJNA PROMENLJIVA• Ako slučajno promenljiva X može, na slučajan način, da uzme jednu

od vrednosti x1, x2, ... Xn sa odgovarajućim verovatnoćama p1, p2, ... Pn, pri čemu je:

n

iip

1

1

Onda X predstavlja jednu slučajnu promenljivu.• Zakon raspodele verovatnoće prekidne slučajne promenljive X je

n

n

pppxxx

X,...,

,...,

21

21

• Ako je niz svih mogućih vrednosti xi konačanp1 + p2 + ... +pn = 1

PRIMER 1• Prostor elementarnih događaja za eksperiment koji se sastoji u

dvostrukom bacanju jednog novčića, sadrži četiri elementarna događaja

GG1

GP2

PG3

PP4

gde P i G označavaju pojavu pisma, odnosno grba

• Kod jednog bacanja

21GPPP

i ako ishod svakog bacanja označava sa A1 i A2

21APAP 21

• Kod dvostrukog bacanja, i ako su bacanja nezavisni događaji

• Sva četiri elementarna događaja su podjednako moguća

Neka SP X predstavlja broj grbova kod jednog elementarnog događaja. Tada su verovatnoće

41

21

21APAPAAP 2121

41PPPP 4321

xXP

41P2XP 1

21PP1XP 32

410 4 PXP

I odgovarajući ZAKON RASPODELE

PRIMER 2• Prostor elementarnih događaja za eksperiment koji se sastoji u

trostukom bacanju novčića sadrži 8 elementarnih događaja

1/41/21/4P(xi)

210x

GGG1

GGP2

GPP3

GPG4

PGG5

PGP6

PPG7

PPP8

Pri svakom bacanju se može pojaviti jedan od tri ishoda, A1, A2 ili A3. Kako je

Ako sa X označimo broj grbova kod jednog elementarnog događaja, to zakon verovatnoće P(X = x) glasi

21

321 APAPAP

iPAAAP 81

21

21

21

321

1/83/83/81/8P(xi)3210x

PRIMER 3• Za slučajnu promenljivu Y koja je definisana kao zbir okaca koji se

dobijaju bacanjem dve kocke na slučajan način verovatnoća ishoda je

a ZAKON RASPODELE verovatnoće P(yi)

61APAP 21

1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36P(yi)

12111098765432Y

361

61

61

2121 APAPAAP

NEPREKIDNA SLUČAJNA PROMENLJIVA

Neprekidna SP je ona koja može postići sve vrednosti iz nekog intervala (a, b)konačnog ili beskonačnog. Za svako X tog intervala postoji granična vrednost:

xfx

xxXxPx

0

lim

f(x) – se naziva GUSTINA RASPODELE (diferencijalni zakon verovatnoće)

dxxfxxXxP

2

1

21

x

x

dxxfxXxP

Verovatnoća da će se SP X naći u intervalu (x1, x2) pri x1 < x2 biće

Isto tako

1

1

x

dxxfxXP

1

1x

dxxfxXP

• Osobine funkcije gustine

0xf 1

dxxf

• FUNKCIJA RASPODELE za neprekidnu SP X je

x

dxxfxXPxF

f(x) f(x)

x1 x1x2 x2x x

P(x1<X<x )2

P( )X<x1

P( )X>x2

• Osobine Funkcije raspodele

ako je x1 < x2 biće 12 xFxF pri čemu je F(x) neopadajuća funkcija

2

1

1221

x

x

dxxfxFxFxXxP

1lim xF x

0lim xF x

xfdxxfdxd

dxxdF x

Gustina raspodele je diferencijalna kriva Funkcije raspodele

f(x)

x1 x2 x

x

P(x1<X<x )2

P(x1<X<x )2

0

F(x )1

F(x )2

1.0

F(x)

NUMERIČKE KARAKTERISTIKE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH

- MATEMATIČKO OČEKIVANJE -

• Za diskretne slučajno promenljive X

k

iii xpxxE

1

• Za kontinualne slučajno promenljive X

dxxfxxE

• Osobine matematičkog očekivanja

Ako je X = c, gde je c neslučajna veličina sledi da je E(x) = c

Ako su X i Y nezavisne slučajno promenljive za

xEcxcE

yExEyxE

yExEyxE

MEDIJANA – ona vrednost slučajne promenljive koja deli masu raspodele na dva jednaka dela

- za diskontinualne

- za kontinualne

5.0xF

5.0

Me

Me

dxxfdxxf

MOD – ona vrednost slučajne promenljive koja se najčešće javlja, Modje na mestu gde je gustina raspodele najveća

xMe

f(x)Mo

DISPERZIJA SLUČAJNO PROMENLJIVE

• Disperzija (varijansa) slučajno promenljive X je matematičko očekivanje

2xEx i predstavlja meru odstupanja SP x od E(x)

2xExExVarxD

22 xExExD

ili

• Osobine disperzije

STANDARDNA DEVIJACIJA SP X (srednje kvadratno odstupanje)

0xD 1 constcxPako je

xDcxD

xDcxcD 2

yDxDyxD Ako su X i Y nezavisni

xD

- Za diskretne SP X

k

iii

k

iii xpxxpxxD

1

22

1

2

- Za kontinualne SP X

222 dxxfxdxxfxxD

• Koeficijent varijacije

• Koeficijent asimetrije

xE

xDCv

33

2/32

3

sC

• Koeficijent spljoštenosti

• Eksces

44

22

4

kC

3 kCE

METODE ZA OCENU STATISTIČKIH PARAMETARA- metoda momenta-

• Aritmetička sredina– Niz vrednosti slučajno promenljive X

Ni xxxx ,...,..., 21

Aritmetička sredina x

N

xx

n

ii

1

• Aritmetička sredina– Grupisani podaci

Aritmetička sredina

Ri xxxx ,...,..., 21

Ri ffff ,...,..., 21

R

iiiR

ii

R

iii

fxNf

fxx

1

1

1 1

• Način grupisanja

postoji

Formira se nov niz

Nalazi se amplituda

Dužina klasnog intervala

Ni xxxx ,...,..., 21

min2

max1 ...... Ni xxxx

minmax1 NxxA

RA

2

DGGGxi

Prestruktuiranje novog niza

2DGGGxi

maxmax XX

2maxmax XX

minminNN XX

ix

1x

2x

Rx

if

1f

2f

Rf

***

***

***

Klasni interval

6540044suma

22503750900-600

147001410501200-900

12150913501500-1200

9900616501800-1500

7800419502100-1800

13500622502400-2100

5100225502700-2400

fi xifiXiGG-DG

PRIMER 6

21006002700minmax1 NxxA 300

72100

smf

xfx R

ii

R

iii

/36.148644

65400 3

1

1

MEDIJANA

Medijana je član niza koji zauzima središnji položaj

Ni xxxx ,...,..., 21

Ako je broj članova u nizu neparan i jednak 2m+1 medijana se računa

1 mXMe

Ako je broj članova u nizu paran i jednak 2m medijana se računa po formuli

121

mm XXMe

MODje najverovatnija veličina SP X

(SP X kojoj odgovara najveća ordinata krive raspodele)

Standardna devijacija

Za niz vrednosti SP X Ni xxxx ,...,..., 21

N

ii xx

NS

1

21

21

2

1

2

21

2

1 1

2

1

2

1

2

2

2

xN

x

N

xx

N

x

N

xxxx

N

xxS

N

ii

N

i

N

ii

N

i

N

i

N

iii

N

ii

Grupisani podaci2

1

1

2

xf

xfS R

ii

R

iii

Koeficijent varijacije(relativna mera disperzije)

N

K

xSC

N

ii

v

1

21

Gde jexxK i

i (modulna vrednost SP X)

Koeficijent asimetrije

3

1

3

SN

xxC

n

ii

s

3

1

31

v

N

ii

s CN

KC

ili