MATEMATIČKA STATISTIKA – Primeri zadataka za ispit

Operacije sa skupovima

1.

Nađite uniju i presek skupova A = {1, 2, 3, 4} i B = {3, 4, 5, 6, 8}

Rešenje:

8,6,5,4,3,2,1BA

4,3BA

2.

Nađite uniju i presek sledećih skupova (intervala) na pravcu p(AB) u intervalu [a,b]:

a) [3,5] ∪ [4,7]

b) [3,5] ∩ [4,7]

c) [2,5] ∪ [2,3]

d) [2,5] ∩ [2,3]

Rešenje:

a) [3,5] ∪ [4,7] = [3,7]

b) [3,5] ∩ [4,7] = [4,5]

c) [2,5] ∪ [2,3] = [2,5]

d) [2,5] ∩ [2,3] = [2,3]

3.

Neka je A = {1, 3, 5, 7},i B = {2, 4, 6, 8} i C = {5, 3, 1}. Nađite skup CBBA \ .

Rešenje:

7\ CBBA

Imaginarni i kompleksni brojevi

1.

Skratite sledeći izraz:

ili

2.

Skratite sledeći izraz:

ili

3.

Izračunajte:

Razmere i proporcije

1.

Napravite jednu proporciju iz jednostavnih proporcija:

Rešenje:

2.

Napravite proširenu proporciju od sledećih jednostavnih proporcija:

Rešenje:

Neka je

=>

=>

=>

Proširena proporcija: ili

3.

Među 5 članova treba razdeliti 15800 dinara tako da im se delovi odnose u proporciji 2:5:4:8:6.

Rešenje:

Izračunava se faktor proporcionalnosti:

4.

Dve grupe radnika zaradile su zajedno 96875 dinara. Sumu treba podeliti srazmerno uloženoj količini rada izraženu

visinom satnice. Prva grupa od 15 radnika radila je 20 dana po 8 sati dnevno, dok je druga grupa od 30 radnika radila 10

dana po 6 sati dnevno. Satnica druge grupe je veće za 25% od prve grupe radnika.

Rešenje:

Grupa A treba da dobije

Grupa B treba da dobije

5.

Ako 25 radnika radeći 10 dana po 7 sati dnevno iskopa 420 kubnih metara zemlje, koliko će zemlje iskopati 20 radnika

radeći 8 dana po 6 sati dnevno?

Rešenje:

25 radnika

↑ 20

10 dana

↑ 8

7 sati

↑ 6

420 m3

↑ x

------------------------------

Opšti brojevi i operacije s njima

1.

Rešite izraz:

2.

Rešite izraz:

Algebarski razlomci

1.

Rešite izraz:

2.

Rešite izraz:

3.

Rešite izraz:

4.

Rešite izraz:

Računske radne sa potencijama

1.

Rešite izraz:

2.

Rešite izraz:

3.

Rešite izraz:

4.

Rešite izraz:

Korenovanje

1.

Rešite izraz:

2.

Rešite izraz:

3.

Rešite izraz:

Racionalizovanje imenioca u razlomku

1.

Rešite izraz:

2.

Rešite izraz:

3.

Rešite izraz:

Linearne jednačine sa jednom nepoznatom

1.

Rešite jednačinu:

Linearne jednačine sa dve nepoznate

1.

Rešite jednačine:

Rešenje:

2.

Rešite jednačine:

Rešenje:

3.

Rešite jednačine:

Rešenje:

Kvadratna jednačina – nepotpuna kvadratna jednačina

Opšti oblik:

1.

Rešite jednačinu:

------------------------------------

2.

Rešite jednačinu:

Rešenje:

Kvadratna jednačina –potpuna kvadratna jednačina

Opšti oblik:

Rešenje:

;

1.

Rešite jednačinu:

2.

Rešite jednačinu:

Verovatnoće

1.

Klasična verovatnoća (a-priori)

U vrećici je 5 zelenih i 3 bele kuglice. Izračunajte:

a) Kolika je verovatnoća da se izvuku dve kuglice različitih boja?

b) Kolika je verovatnoća da će se izvući dve kuglice istih boja?

Rešenje:

a) Ukupno ima 8 kuglica. Ukupan broj kombinacija na koji se mogu izvući dve kuglice (bez obzira na boju) je sledeći:

Povoljni slučajevi kada se svaka od 5 zelenih kublica upari sa svakom od 3 bele kuglice: 5∙3=15.

b) Nepovoljni događaji su oni kod kojih se neće izvući dve kuglice različitih boja:

2.

Totalna, zbirna, ili-ili verovatnoća

Tri dobavljača, A, B i C, pokušavaju da dobiju narudžbu od kupca. Direktor preduzeća A je uveren da ima jednaku

verovatnoću da dobije narudžbu kao i preduzeće B, dok u odnosu na dobavljača C ima dvostruko veću verovatnoću.

a) Kolike su verovatnoće da će dobavljači A, B i C dobiti narudžbu?

b) Kolika je verovatnoća da će narudžbu dobiti ili dobavljač B ili C?

Rešenje:

a) Verovatnoća da će narudžbu dobiti dobavljač C označićemo sa c, a pošto dobavljači A i B imaju dvostruko veću

verovatnoću u odnosu na dobavljača C označićemo sa 2c. Pošto ukupna verovatnoća mora da bude 1 ili 100%, to znači da

dobijamo sledeću jednačinu:

Verovatnoća da će dobavljač C dobiti narudžbu je , da će je dobiti dobavljač A je , a da će je dobiti dobavljač B takođe

.

b) Verovatnoća da će narudžbu dobiti ili dobavljač B ili dobavljač C:

Funkcije

1.

Zadata je razlomljena funkcija: . Dokazati da vredi sledeća jednakost:

Rešenje:

Determinante

1.

Napišite u obliku determinante sledeće izraze:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Rešenje:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

2.

Izračunajte:

a)

b)

c)

d)

3.

Izračunajte vrednost determinanti:

a)

b)

c)

Rešenje:

a) —

b) —

c) —

4.

Izračunajte vrednost determinante četvrtog reda:

Vektori i matrice

1.

Data su tri vektora:

, , .

Izračunajte vrednosti vektora: a) 2u; b) –v; c) 2u–v; d) v+z; e) u+v–z; f) 2u–3v–z; g) 3u–v+2z.

Rešenje:

a) b) c) d) e) f) g)

2.

Izračunajte komponente vektora u na osnovu sledeće jednačine:

Rešenje:

3.

Izračunajte vektor x na osnovu sledeće jednačine:

Rešenje:

Prema tome, sledi da je:

4.

Izvedite računske operacije:

a)

b)

c)

d)

5.

Za sledeću matricu izračunajte A2, A

3 i A

4:

; ;

6.

Rešite sledeći sistem jednačina uz pomoć matrica:

Rešenje:

Potrebna je inverzna matrica A-1

:

Matrica kofaktora:

itd.

Determinanta matrice A:

Transponovana (adjungovana) matrica kofaktora:

Inverzna matrica: