Matematicki list 1983 XVII 6

7/30/2019 Matematicki list 1983 XVII 6

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1983-xvii-6 1/17

I

OBAVESTENJE PRETPLATNICIMA

l. Uredni5tvo poziva nastavnike i profesore matematike, kao i ostale ditaoce

da Salju svoje priloge za list:dlanke, odabrane zadatke, zadatke sa prijemnih ispitai matematidkih takmidenja, razne zanimljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi (osim

udenidkih re5enja zadataka) budu pisani pisadom maSinom, s proredom. Rukopisise ne vradaju.

2. Matematiiki /rst namenjen je svim uienicirza IV-VIII raz. osnovne Skole.

List izlazi 6 puta u toku Skolske godine i to: 15. lX, l. X, 15. XII, 1.II, 15. III

i t5. v.3. GodiSnl'r prctplata (za svih 6 brojeva) iznosi 120 dinara. Narudiocima za viSe

od l0 kompleta odobravamo rabat(20"/., l5%,, 10%), zavisno od roka do kojeg se

isplati celokupna pr€tplata (1. XII, l. Ill, l. VI). Nikakvi drugi odbici ne uvaZavaju se.

NarudZbinr: ie mogu vrSiti samo pismenim putem i Salju se samo neposredno

na adresu lista. Novac za sve nartdlbine se Salje na iiro-raEun Dru5tva matemati-

iara SR Srbije, broj 6A806-678-18'100, Knez Mihailova 35/IV, sa naznakom za

lulatematiiki /rsr. Pri tonie treba obavezno navesti tatrut adresu na koju list trebadostaviti i jasno i.aznaditt na Sta se narudZbiiia odnosno uplata odnosi.

NarudZbine na manje od l0 primeraka lista isporuduju se samo po izvrienojpretplati. Ostale narudZbine treba da budu ispia6ene najkasnije na 90 dana po pri-jemu prve isporudene po5iljke, a u svakom sludaju najkasnije do 31. V 1983. g.

Obaveilenja se ntogu dobiti preko telefona br. 0ll-638-263.

4. Redakcija Mutenatilkog /rsra raspolaZe slede6im. Cc sada izaSlim godistima

Matenntitkog lista: XI, XlI, XllI, XIV, XV i XVI koji se proda'.r po ceni od

40 dinara po kompletu.

Sem toga se od izdanja Matenali;kttg /isla mogu dobiti'. Zi'irka reienih za'tlotako .sa nntematiikih tokmiienja uieni,:;a osncvnc ikole (drugo, dopunjeno izda-

nje) po ceni od 40 dinara iod dodatnih svezaka Maten:ttiikog lista: Mali teiniknotenatiikih tetntinq i Mala zbirka matennti[kih zanimljivosti, po ceni od 8 dinara.

5. Mole se poverioci Matemaliikog lisra da izmire sva zaostala dugovanja.

6. Sve priloge, primedbe i narudZbine slati iskljuiivo na adresu:

Matematiiki list, Knez Mihailor,s .iS/IV' p. p. 728, 11001 Beograd.

SADRZAJ

l. Mr M. Mrmak: Fibonadilevi brojevi

I

il;

I

t;I

I

il

lr

i,

lltt

I

I'

I1l

.,

,

.I MATEMATICKI LISTZA UCI]NIKE, OSNOVNE SKOLE

XVII

6

2. Izbor Lritanja i zadataka za proveravanje stedenog znanja iz matematike

3. Zadaci sa republidkog natjedaja udenika osnovnih Skola SR l-Irvatske..

4. Naloge sa republi5kog tekmovanja uiencev osnovne Sole SR Slovenije

5. Zadaci sa pokrajinskog takmidenja udenika osnovnc Skole SAP Vojvodine(r. Re5enja konkursnih zadataka 800-812 iz ML XVII,S

7. Spisak resavalaca konkursnih zadalaka iz ML XVII, 5

8. Rezultati konkursa za nagradni zadatak br. 8l9. Rezultati konkursa za nagradni zadatak br. 82

l6l166

171

174

177

180

185

189

190

191BEOGRAD

1983.10. Zanimljivosti i razno



SAVEZ DRUSTAVA MATEMATIEARA, FIZICARA I ASTR,ONOMAJUGOSI"AVIJE

MATEMATIEKI LIST

za utenike osrrovne Skole

God. XVII, broj 6 (1983)

Izlazi Sest puta godi5nje

IZDAJE DRUSTVO MATEMATIEARA SR SRBIJE

Beograd, Knez Mihailova 35/IV, p. n.728.

Redakcioni odbor:

Bogumila Kolenko (Ljubljana), dr Zeljko Pauie (Zagreb),

Kosta MijatovrZ (Sarajevo), Danilo Stepanovri (Titograd),

mr Slobodanka Georgievska (Skopje), Velimir Sotirovrl (Novi Sad),

Sinasi Korenica (PriStina), mr Vladimir Stojanovit (Beograd)

Uredni5tvo:

Miroslav Zivkovit, mr Mirjana Mrmak, dr Arif Zolit,

Branka Derasimovit (sekretar urednistva), dr Ljubomir Cukii, Itija MitroviiStaniia Petkovii

Glavni i odgovovni urednik: Platon Dimit

Sva prava umnoZavanja, preStampavanja i prevodenja zadrLava

Dru5tvo matematidara SR Srbije

Oslobotleno plaianja poreza na promet na osnovu resenja Republidkog sekretarijataza kulturu SR Srbije br. 413-186-03 od ll. l 1973. godine

Miriana Mrmak (Beograd)

FIBONAEIJEVI BROJEVI

1. Neka je dat podetak slededeg nizabrojeva: l, l, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ....MoZete li da napi5ete joS koji dlan ovog niza?

Pri formiranju svakog niza brojeva vaZiizvesna zakonitost. Poku5ajte da je otkrijeteu navedenom nizu brojeva.

Nije te5ko uoditi, na primer, da je kodd,atog niza, podev od tredeg njegovog dlana,svaki dlan ovog niza ve6i od prethodnog. No,ako se navedeni brojcvi paZljivo osrnotrc, go-dava se jo5 i da je, podev od tredeg dlana,svaki dlan ovog niza jednak zbiru dvaju nje-mu neposredno prethodna dlana, jer je, zaista:

2--l+ l, 3:2+1, 5:3+2,8:5+3, 13:8+5,2l : 13 + 8, 34: 2l + 13.

Zbog toga - po5to se kodpo istom pravilp

- moZemo re6iov.og nlza:

34+21:55, 55 +34:89; 89 -t55:144.

Ako sad dlanove ovog niza, od prvog do n-tog, oznadimo sa

.fr, ,fy fr, . . . . fn-2, fn-p f,, a neki njegov proizvoljni dlan, semprvog i drugog, oznadimo sa /&, moZemo reii da je kod ovog niza:

(t) fo:fr-t*f*-2, 7a k>3.

Niz brojeva diji se dlanovi redaiu na opisani nadin naziva se

Fibonadijev niz, .po matenatidaru Leonardu Fibonadiju iz Pize, kojije Ziveo na prelazu iz XII u XIII vek, jer je u njegovom delu

,,Knjiga o abaku" prvi put skrenuta painja na ovaj niz.. Zanimliivo je da se brojevi Fibonadijevog niza javljaju i kadje red o nekim prirodnim pojavama.

Tako je, na primer, primedeno da, kad se listovi na stabljicibiljke javljaju sa svih njenih strana, oni obidno izbijaju po jednojrpirali (sl. l). Pri tome je utwdeno da su uglovi za koje se poste-

Mr

svakog niza svi dlanovi formirajuda su prva tri naredna ilana

Stampa: Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvode Mi5i6a br. l7

l6r



Ako sad zamenjujemo /c u

2,3 ... n- l, n, dobijamo:

fr:f'-f,fr:fr-f'fr: fr-f.

obrascu 2, redom, brojevima l,

rj. f,:2-lf :a-),, t2 -

,, ft:5-3

peno zaobrdu stabljike listova u odnosu

na stabljiku biljke, izmedu svaka dva uza-

stopna iista, kod raznih biljaka razliditi, ali

da su kod iste vrste biljaka medusobno

jednaki i da iznose najde5ie *, 2^, +, :2'358. . . . punog ugla. Usled toga se u

-prvomod ovih slueajeva na svakom navoju spi-rale javljaju po 2 lista; u drugom sludaju

na svaki dva uzastopna navoja javljaju se

po 3 lista; u tre6em sludaju se n-a-.svaka

iri uzastopna navoja javljaju po 5 listova;

tu detvrtom se (kao 5to je to predstavljeno

na sl. l) na svakih 5 uzastopnih navoja

iavliaiu ukupno 8 listova; itd. No, pri to-

i*, iuo Sto se vidi, kako brojioci, tako

i imenioci dobijenih razlomaka predstav-

ljaju, redom, uzastopne dlanove Fibonadi-

ievog niza, i to tako da svaki razlomak

preditavlja razmeru po dva uzastopna dla-

na Fibonadijevog niza.2. Medu dlanovima Fibonadijevog ni-

za postoje razni zanimljivi odnosi.- Nave5-

6erglo nekoliko njih u vidu zadatak,a.

Zadatak 1' eemu je jednak zbir Pr-'vih n dlanova Fibonadijevog niza?

Reflenie. Da bismo odgovorili na ovo pitanje, pos.matrajmo

ponoVo navedene dlanove Fibonadijevo g. niza", i uodimo njihovu sle-

ie6u osobinu: da je svaki dlan ovbg niza jednak razlici dlana kojije u nizu drugi iza njega i dlana koji se nalazi odmah iza njega,

Sto se moLe izraziti ovako:

(2) fo:fo*r-f** r.

To je, uostalom, logidna posledica vei navedenog zakona

ouog nL", jrr uto i. 8un 1oji sto.li n* druggm mestu iza proiz-

votjio izabianog Elina fa, ti.-fk*2: iednak zbiru ona dva dlana koja

se"nalaze nepoiredno irptei i-rj-eda, onda je svaki od ta dva dlana

jednak razlici Elana fr*, i onog drugog dlana'

162

fo- r: fo+ r-fnfr: fn + z-f,, +, fn-r:fn*r-fnfo: fn*.-fr* r'

sl. t

Ako saberemo ove jednakosti (tj. saberemo kako brojevc na

njihovim levim stranama, tako i brojeve na njihovim desnim stra-nama), dobijamo:

(3) fr*fr*fr+...-rf,_r*fn:fn*r- l,

jer se svi ostali brojevi sa desnih strana navedenih jednakosti potiru.

Na osnovu ovoga moZemo odrediti zbir pwih n dlanova Fi-bonadijevog niza, a da ne izw5imo samo sabiranje. Dovoljno jcuoditi koji dlan Fibonadije','og niza je poslednji sabirak, a zatimodrediti dlan niza koji se nalazi na drugom narednom mestu i nje-ga umanjiti za l.

Na primer, da bismo utvrdili koliki je zbir prvih I I ilanovaFibonadijevogniz,a, tj. koliko je 1+ | +2+ 3 + 5 +8 + l3 +21+34++ 55 + 89, dovoljo je uoditi koji se dlan Fibonadijevog niza nalaziza, dva mesta dalje od poslednjeg sabirka, tj. dlana 89, i umanjitiga. za l. Kako je to broj 233, naznaleni zbir ima vrednost 233-

- t:232.

Zadatak 2. eemu je jednak zbir prvih z dlanova Fibonadije-vog niza sa neparnih mesta ovog niza, tj. zbir l+l+2+3+5+t.. .*fzn_t-ffrn_12

Reienje. Posmatrajmo ponovo dlanove Fibonadijevog niza iuodimo slede6e njihovo svojo'tvo: da je svaki dlan ovog niza, sem

prvog (koji je l) jednak razlici onog dlana koji stoji neposredno

iza njega i dlana koji se nalazi pred njim, Sto moZe da se izrzzi

i ovako:(4) f*:f**'-f*-" za n22'

, Ovo takode proizalazi iz ve( utvrdenog svojstva Fibonadijevogniza, po5to je dlan koji se nalazi na prvom mestu iza dlana i, jed-

nak zbiru dva dlana koji se nalaze neposredno ispred njega.

163



Ako sad zamenimo n u obrascu 4, redom, brojevima 3, 5,

7, ... 2n_t i 2o_,, dobijamo:

Reienje. Dokazr.demo najpre da za sve dlanove Fibonadijevogniza, izuzim-ju6i prvi, v*Zi obraz,,c:

fl --fk.f , *, - fo.f,,-,.

Zaista, fi: fo.fu, a s obzirom na obrazac (4), za svako k22v -Zi fo : fx *, - fr_ r, pa jc tz-ko f3 : f*(fo *, - fo_ ) : fr. fo *, - fo. fo_ r.

Usl'd toga moZ-mo napisati :

ftr:fr'.f,f'r: fr'fr-fr'f,.f": ft'fr-ft'.f,

f 2n- r: fn - r.fn-f, - ,'fn -,f' r:.fr'fn + r-fr'fo - r.

Ako saberemo ove jednakosti dobijamo da je

f? +fi+f? +'''''' +f1-' +f7:f,'f,* u

Sto je i trebalo dokazati.

Zadaci

l. Utvrditi, bez vr5enja sabiranja, kotiko iznosi: a) zbir prvih 9 ilanovaFibonadijevog niza; b) zbir prvih 7 3lanova Fibonadijevog niza ko.li se nalazena neparnim.m:stiml; c) zbir prvih 8 dlenova fibonaeijevog niza

-kojise na-

laze na parnim mestima; d) zbir kvadrata prvih 5 dlanova Frbonadijeiog niza.

2. Dokazati da je: fr-fr+fr-fr+ . .-.frn_r*frn_r:fro_r*1.

.. 3. Podev od prvog Clana Fibonadijevog niza formirajte, redom, uredenetrojke.brojeva, tako da u svakoj ,narednoj trojci izostane prvi dlan prethodne,tj. trojke: (t, t, 2), (1, 2, 3), (2, 3, 5), (3, 5,

-8),... .

_ -Uporedite proizvod prvog

iposl:dnjeg

dlana svake trojke sa kvadratomsrednjeg. Sta zapaZate?

4. Odredite kolidnik: svakog narednog i njemu prethodnog dlana Fibo-nadijevog niza za prvih 12 dlanova niza. Sti zapalatei

fr:f'f':fn-frf':fu-fn

tj. f': If':3 -l/':8-3

(8)

fzn- r: fzn- z-f zn- n

frn- ,:frn-frn-,frn - ,: frn - ,-frn - o

.fzn-r:fzr-fzr-r'Ako saberemo ove jednakosti, dobijamo:

(5) fr+fr+fs+-......*fr,_ri-frn_r:fznPrema tome, zbir prvih n dlanova Fibonadijevog niza

parnih mesta oyog niza jcdnak je dlanu koji dolazi odmahslednjeg sabirka trailenog zbira.

Tako je, na primer: l+2+ 5+ 13:21, jer je 2l narednidlan broju 13, koji je u ovom zbiru poslednji sabirak.

Zadatak 3. eemu je jednak zbir prvih n dlanova Fibonadije-vog niza sa parnih mesta ovog niza?

Reienje. MoZemo ovako razmi5ljati: da bismo dobili traZeni

zbir, treba od zbira prvih 2n dlanova Fibonadijevo g niza oduzetizbir prvih n dlanova sa neparnih mesta ovog zbira, tj. treba izvr-Siti oduzimanje:

fr*fz*fr* , . .*frn_, *fzn- Ur*fr* . . .* fzn_t* fr^_r):: (f'n*'- l) -f": (f'n*'-ft') - l'

Medutim, s obzirom na formulu (4), zakljudujemo da je

frn*r*fr,:fzn*t, Pa tako dobijamo da je

(6) fr+fn+fa*.....*fr,_r*fr,--fz,*r-1.Zna[i, zbir prvih n dlanova sa parnih mesta Fibonadijevog

niza dobije se kad se od dlana tog niza koji dolazi odmah iza

poslednjeg sabirka oduzme l.

Tako je, na primer, l+3+8+21+55:88, jer je naredni6lan broju 55, koji je u ovom sludaju poslednji sabirak, broj 89.

Zadatak 4. Dokazati da za dlanove Fibona"dijevog niza valiobrazac:

(7) f?+fi+fl+.....+f1-'+f1:f,.f^*,

164

sa ne-iza po-

165



IZBOR PITANJA I ZADATAKA*ZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

IV RAZRED

IZBOR PITANJA T ZADATAKAZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

V RAZRED

Varijanta ICENTRALNA SIMETRIJA. UGAO1. Nacrtaj jedan jednakostranidan tro-

gao ABC, pa konstruisi trougao

koji je sa njim simetridan u odno-su na teme 3. Uporedi nacrtani idati trougao.

2. Nacrtaj proizvoljan pravougli tro-ugao, pa ga preslikaj rotacijom okotemena pravog ugla u pozitivnomsmeru za dva prava ugla u novitrougao. Moie li se reii da su do-bijeni i dati trougao centralno si-metridni trouglovi i, ako jesu, uodnosu na koji centar simetrijesu simetridni?

3. U koju se figuru centralnom si-metrijom preslikava krug? Nacrtajjedan krug, odaberi tadku ,{ nanjemu, pa ga preslikaj centralnom

simetrijom u odnosu na centar .zlu novu figuru.

4. Nacrtaj dve paralelne i podudarneduZi. Postoji li centar simetrije uodnosu na koga se jedna duZ pre-slikava u drugu?

5. Odredi komplementni ugao uglu od36".

6. Odredi suplementni ugao uglu od125".

7. Ako je ABll CD (sl. l), moZe5 lida uodiS neke jednake uglove?

DCAA

Varijanta IRAZLOMAK. DECIMATAN BROJ.POVRSINA I ZAPREMINA KOCKEI KVADRAl. Sta se izraiava razlomkom? Nave-

di primere.2. Sta pokazuje brojilac, a Sta ime-

nilac razlomka? Objasni na Prime-merima.

3. Uporedi: a)

dasa i 25 min. c) 5Ocm'? i ]m';2

Id) 50cm2 i

-dm2.24. MoZe li decimalan broj biti jednak

razlomku? Navedi primere.

5. Kada decimalan broj ne menjasvoju vrednost?

6. Podvuci tadnejednakosti:

a) 3,(X:3,4; b) 3,0400:3,040;c) 3,040O:3,4; d) 3,0400:3,04.

7. Zbir duZina svih ivica kocke je36 cm. Izradunaj njenu povrSinu.

E. Obim jedne strane kocke je 8 cm.Izradunaj njenu zapreminu.

9. Figura na slici I sastavljena jeod 6 podudarnih kvadrata. Je lito mreZa jedne kocke?

#t. I

t0. Od kartona oblika pravougaonikadim:nzija 20 cm i l5 cm potrebnoje iseii mreZu najveie kocke. Ko-lika je njena ivica?

Varijanta IIDIJELJENJE U SKUPU N. JEDNA-DZBE I NEJEDNADZBE. PLOSTINAPRAVOKUTNIKA I KVADRATA

l. Kako se skraieno dijeli vi5ekratnikbroja 100 sa 100?

2, lzraclrrnaj skradeno: a) 29000:100;b) 300000:1000.

3. Kako se mrjenja kolidnik ako scmijenja deljenik a djeljitelj ostajeisti?

4. Kako se mijenja koliCnik ako se

mijenja djeljitelj a deljenik ostajenepromijenjen?

5. Kada se kolidnik ne mijenja? Na-vedi primjere.

6. Na osnovu todne jednakosti

432:,18:?A izradunaj: a) 864:9;b) 216:36.

7. Rije3i jednadZbu: a) 33.x-33:66;b\ 72.a+36:396; c) l0O:5.x--25.

8. NapiSi po detiri rjeienja nejedna'dibi a)y:Ifi)>lI; b) 300.x<900.

9. Ako je opSeg kvadrata 48 cm, iz-radunaj njegovu plo5tinu.

10. Sastavi svepravokutnike i tri mno'gokutnika od 6 jedinidnih kvad-rata. IzraCunaj njihov oPseg iplo5tinu.

11. Sastavi sve pravokutnike i tri mno-gokutnika od 6 jedinidnih kvad-iata. Isradunaj njihov opseg iplo5tinu.

12. PloStina jednog pravokutnika je

28 cm2, a duljina jedne straniceje 7 cm; plo5tina drugog Pravo-kutnika ji 24cm,a duljina jedne

stranice je 3 cm. Izradunaj razlikunjihovih opsega.

?-m i +Ocm; U; f

B

Asl. l

8. Ako je ABIBC i ADIBD (st.2),pronadi na slici jednake uglove.Mogu li na toj slici da se uoCe

neki komplementni uglovi?

I csl. 2

Zbog razlika u nastavnim planovima i programima naiih republika i pokrajina od-navedcnihzadatak" nJodgovaaju svi svima uCenici-a ni5ib-skola; ali mc<lu njima svaki ui€Dik mote nadi onc

koji mu odgovaraju.

166

Varijanta IIRESAVANJE JEDNAEINA I NEJE-DNACINA. PLOSTINA PRAVOKU.TNIKA. ZAPREMINA KVADRA

f. Koji uslov mora biti ispunjen dabi jednadina a.x: b imala rje3enjeu: a) N; b) Z-?

2. Rije5i: a) 12x: la4; b) --l2y=-: 144:. c) 12 x ... O. .

3. Napi5i skup rjeSenja nejednaCinea.x>b i to za: a) a>0; b) o<0.

4. Odredi skup rje5enja za:^)

9x>>-81; c) -9x>81; d) -9x<<-8.1, i prikaZi ih na brojevnojpravoJ.

5. Napiii skup rje5enja nejednadinex:a<b za: a) a<O; b) a>0.

6. Rije5i: a) .r:(-7)< -2; b) x:7>>-2.

7. NapiSi skup rje5enja za a:x>b.E. Rije3i: a) (-10):x> -2; b) l0:x<

<-2.9. Koliko razliditih pravokutnika mo-

Ze$ sastaviti od l0 jedinidnih kvad-rata? Koliki su njihovi opseg iplo5tina? Sastavi i nekoliko mno-gokutnika od tih kvadrata.

10. Koliko razliditih kvadara moieS

sastaîti od l8 jedinidnih kocki?Izradunaj njihov volumen.

11. Nacrtaj mreZu kvadra diji bridoviimaju duljine 2,5 cm, 4 cm, 5,5

cm. Izradunaj oplo5je i volumentoga kvadra.

12. Da li se Stap duljine 70 cm mo-Ze'staviti u kutiju oblika kvad-ra dije su dimenzije 60 cm, ttO

cm i 30 cm?

13. Oplo5je kocke je 20dm2 l3cm:4i mm'?. Kolika je Plo5tina jedne

njene strane?

t67



IZBOR PITANJA I 7,ADATAKAZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VI RAZRED

! Varijanta II

IZBOR PITANJA I ZADATAKAZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIXE

VII RAZRED

Varijanta I I Vurijanta IIarijanta IPROCENAT. POVRSINA ROMBA,DELTOIDA I TRAPEZA

r. Sta je jedan procenat? Sta znaCi5',4 od 302

2. Koje znadenje ima simbol 12 Ka'ko je on nastao?

3. DokaZi da je: a) 4%.23:@.23)%;b) 9Y"+6%+4%:19%: c) 6i(-

10/'o/- L/o - ,/o.

4. Odredi proc€nat sniZenja cene ne-

ke robe, ako je ona sa 26600 din.smanjena na 23450 dinara.

5. Od svoje plate radnik daje 0,5i(doprinosa za Crnu Goru i 1,9/"samodoprinosa za izgradniu obje-kata u svom gradu. Koliko to iz-nosi, ako je plata radnika ll 250

dinara?

6. Koliko je A, ako je 1,47" od A356?

7. Konstrui5i romb ako su duZinenjegovih dijagonala 8cm i 6cm,pa izradunaj njegovu povr5inu. Ko-lika je duZina njegove visine?

8. KonstruiSi proizvoljan deltoid ikonstruiSi pravougaonik dva putavede povr5ine. Sta su stranice togpravougaonika?

9, Ako je poznata povr5ina romba iduZina jedne njegove dijagonale,moZe5 li da izraCuna5 duZinu nje-gove stranice?

10. Konstrui5i trapez Cije su osno-

vice i visina a:12cm, b:4cm,i:5cm i diji ugao kod temena.B ima 60'. Konstrui5i pravouga-onik njemu jednake povr5ine iizradunaj duZine njegovih stranica.

11. Na koliko nadina moZe5 da izra-duna5 povr5inu romba?

PLOSTINA PARALELOGRAMA,TROKUTA, ROMBA, DELTOIDA

I TRAPEZA1. Konstruiraj romb: a:4 cm, a : 45o,

pa konstruiraj pravokutnik jedna-

ke plo5tine.

2. Konstruiraj Paralelogram: d :7 cm,dt:5,5cm, 8:30" (kut izmedu

dijagonala), pa konstruiraj pravo-

kutnik jednake plo3tine.

3. Pravokutniki kosougli paralelogramimaju jednake stranice. Izradunaj

kutove paralelograma ako je nje-gova ploStina jednaka Poloviniplo5tine pravokutnika.

4. PloStina traqeza je 40 cm2. Akoje duljina njegove visine 5 cm, Sto

moZe5 da izraduna5?5. Izradunaj ploitinu pravokutnog tra-

peza, ako su duljine njegovih os-

novica 9cm i 6cm, a jedan kut450,

6. Poznate su duljine stranica pra-vokutnika: a:12 cm, b:4 cm.IzraCunaj ploStinu eetverokuta dijisu vrhovi sredi5ta stranice pravo-

kutnika. Sto je taj Cetverokut?

7. Poznate su duljine stranica delto-ida: a: l2 cm, b: l0 cm, i du-ljina dijagonale AC: 12 cm. Izra-dunaj njegovu Plo5tinu.

8. Ako je poznata plo5tina jednako'

kradnog trokuta i duljina osnovi-ce, moZeS li da izradunaS duljinuvisine na osnovicu?

9. Plo5tina jednog trokuta ie 26 cm2,

a duljina jedne njegove visine je

4 cm. IzraCunaj duljinu PriPadnestranice.

ELEMENTI STATISTIKE. VALJAK,KUPA, LOPTA

l. Cime se bavi statistika?

2. Sta je generalni skup ili popula-cija, a Sta uzorak u nekom stati-stidkom ispitivanju?

3. Sta je udestalost ili frekvencija?

4. Sta je apsolutna, a Sta relativnafrekvencija? eemu je jednak zbirrelativnih frekvencija?

5. Sta je histogram, a sta poligonfrekvencija?

6. Ako je poznata povr5ina valjka ipovr5ina njegove osnove, moZe5 lida izraCuna5 njegovu zapreminu?

7. Romb, o kome se zna kolike sunjegove dijagonale, obrie se okovece dijagonale. Kako cei da iz-raduna5 povrSinu i zapreminu na-stalog obrtnog tela? (Proveri za

dr: I0 cm i dr:24 cm.)

t. Ugao izmedu izvodnice i ose pra-ve kupe je 30', a izvodnica jeD. Izradunaj zapreminu ove kupeu funkciji od D.

9. Osni presek pravog valjka je kva-drat stranice a. U ovaj valjak jeupisana lopta. Izradunaj odnoszapremine lopte i zapremine va-ljka.

10. Koliki je prednik lopte, ako je

merni broj njene zapremine jed-nak mernom broju povr5ine nje-ne sfere?

11. Zapremina jedne lopte jednakaje polovini zapremine druge' Iz'raCunaj odnos njihovih polupre-Cnika.

RACIONALNI I ALGEBARSKI IZ.RAZI. OPSEG I PLOSTINA KRUGA

t. Sta je racionalan izraz? Pokaili dasvaki polinom racionalan izraz.

2. Sta je algebarski izraz? NapiSi nc-koliko algebarskih izraza.

3. Podvuci algebarske izrazel a) x+ l;

b) --'-, "yJl, o;

Vx-l x-Iq /;. Kako se zovu preostali iz-nzi2

4. Pojednostavi izraze: u)3t

, 3x+9x"4xt-25 a

b)

-:

c) .--'(2x-5)(2x+5)' 'a+l

2a-

"-l'5. Zadan je opseg kruga O:628 mm.Izradunaj opseg kvadrata opisanogoko tog kruga.

6. Dva kruga imaju opsege O:20rrcm i O,: l0:r cm. Izradunaj opsegkruga diji je polumjer jednak zbro-ju polumjera ovih krugova.

7. Nacrtaj dva koncentriCna kruga s

polumjerima r: 6 cm i r, : 9 cm isredi5nji kut od 60'. Izradunaj raz-liku duljina kruinih lukova i plo-Stinu pripadnog isjedka kruinogvijenca.

8. IzraCunaj polumjer krugp. ako luktog kruga, koji je PridruZen sre-diSnjem kutu od 72", ima duljinu4rcm.

9. Izradunaj plostinu kruZnog isjeCka

ako su zadani Polumjer r-locmi pridruieni sredi5nji kut a) 60';b) 45'; c) f50".

168 r69



Vari janta ISISTEM DVE LINEARNE JEDNA.CINE sA DvE NEPoZNATE.l. Napi5i op3ti oblik sistema dve li-

nearne jednadine sa dve nepoznate.

2. Sta je re5enje sistema dve linearnejednadine sa dve nepoznate?

3. Kada su dva sistema jednadinaekvivalentna?

4. DokaZi teoremu: Ako jednu ili obejednadine datog sistema zamenimoekvivalentnim jednaCinama, dobi-jamo sistem jednadina ekvivalen-tan datom sistemu.

5. U demu se sastoji grafidki nadinre5avanja sistema jednadina? Obja-sni na sistemu 3x+4y- l, 4x--2v:5.

6. U demu se sastoji re3avanje siste-ma jednadina metodom suprotnihkoeficijenata? Sastavi sam jedan

sistem jednadina i re5i ga ovommetodom.

7. U Cemu se sastoji re5avanje siste-ma jednadina metodom zamene?Objasni na sistemu 3a+4b-7,5a-b:2.

8. ReSi sistem:

2x+y4x+3y-x-y+lJ---

23332x+3y

29. Razlika dva broja je 6, a zbir je

Il2. Koji su to brojevi?

l0 Dutina srednje linije trapeza je4cm, a razlika dulina njegovih

osnovica je I cm. Kolike su osno-vice?ll. Dva duga zajedno iznose 56000

din. Na jedan dug se zaradunava-ju kamate od T/" a na drugi 81.7-a dve godine pladeno je za tedugove 8 70O din. kamate. Kolikisu su bili dugovi?

Varijanta IITABLICE KVADRATA I KUBUSA.STOZAC, VALJAK, KUGLA

l. Kako se izradunava kvadrat, a ka-ko kubus nekog broja?

2. tbmu je jednak kvadrat negativ-nog broja?

3. Cemu je jednak kubus negativnogbroja?

4. Sta je korenovanje?

5. Nadini tablicu kvadrata i kubusaprirodnih brojeva od I do 10.

6. Koriste6i se tablicom kvadrata ikubusa odredi: a) OO9':; b) (-0,4)'::c) -500'?; dl 0,006r; e) (-0,7)r;

3

f) 3or; g) /o'A; h) l/tzgooo;3

k) /064'.

7. Koliki je omjer volumena i oP-lo5ja dvaju stoiaca koji nastajurotiranjem pravokutnog trokutaoko njegovih kateta, ako je dulji.na jedne katete 8 cm, a duljinadruge je za 4 cm manja od dulji-ne hipotenuze.

8. Kugla i valjak imaju jednake vo'lumene, a dijametar kugle je jed'nak dijametru osnovke valjka' Iz'razi visinu valjka Pomocu dija-metra kugle.

9. Presjek kugle polumjera r je krugI

polumjera ; r. Nad ovim krugom'J

kao nad osnovkom, konstruiranje stolac Ciji je osni Presjek jed-

nakostranidan trokut. Izradunajomjer opoloSja sfere i opolo5jastoSca,

10. Dijametar jedne kggle jednak jeradijusu druge. a) C.emu je jednak

omjer njihovih volumena? b) I4a-Cunaj omjer optolja njihovih sfera.

IZBOR PITANJA I ZADATAKAZA PROVERAVANJE STECENOG ZT{ANJA IZ MATEMATIIG

vIIl RAZRED

MATEMATICXA MTUICENJA

ZN)ACI SA REPUBLIETOC TUT.IECANJA

UCENIKA OSNOVNIH SXOT,T

SR HRVATSKE

VII RAZRED

1. S koliko nula se zavriava produkt svih prirodnih brojeva od I do 49?

2. Dva su biciklista udaljena jedan od drugog l8(D m i voze se jcdanprema drugome. Jedan prelazi 3 m, a drugi 5 m u sekundi. Poslije koliko sekun-di & se sresti, ako

a) istodobno krenu;

b) brZi biciklist krene 80 sekundi kasnije od sporijeg?

3. U trokutu ABC mjera kuta kod vrha B je l5', a kod vrha C 30".

Okomica u vrhu I na stranicu .{8 presijeca BC u toCki D. Dokazati da jed (8, D):2 d (A, D).

4. Tablica 5x5 popuni se brojevima iz skupa {-1,0, l}. lzradunaju se

sume u pojedinim retcima, pojedinim stupcima i u obje glavne dijagonale. Kojase najveca, a koja najmanja vrijednost moZe pojaviti medu tim sumama? Doka-zati da se, kako god bila tablica popunjena, medu svim sumama moraju nadi

barem dvije jednake.

VIu RAZRED

l. SvjeZe gljive sadrle frl vode, a suhe l2l vode. Koliko nc suhih gtji'va dobiva od 22 kg wjeiih gljiva?

. 2- Na<li takva tri pozitivna realna broja da je jedan od njih aritmetidka

sredina ostala dva, a da je pri tome produkt dvaju manjih brojeva jednat !12'

207a produkt dvaju vecih brojeva jednak

-.3. Zadat je trokut ABC s svojstvom da ie d(A,8) jednako duljini str'

aoice jednakostranidnog trokuta upisanog u kruftricu K polumjcra \ d(8,9)jedna[o duljini stranid kvadrata upisanog u kruinicu K i d(C',{) jednako du-

ljini stranG pravilnog Sesterokuta upisanog u K. Izraziti d (A, B), d (8, C)'d (C, Al pomodu r.

Dokazati da je ABC pravokutan trokut.

4. U pravokutnom trapezu ABCDduljine osnovica su d(1, B):a, d(C,Dl:0, a duljina kra6eg kraka d(A,D):c. Odrediti udaljenost sjeci$ta dijagonala

trapeza od osnovice AB i od kradeg kraka.

t'70 l:71



Rielenja zadetakr

VII RAZRED

l. Nula u produktu nastaje mnoZenjem 2.5. Kako je svaki drugi prirod-ni broj deljiv sa 2, a svaki peti sa 5, to de broj nula u produktu biti tadno je-dnak broju petica u rastavljanju produkta na proste dinioce. Pefice se pojavljujuu rastavljanju sledeiih brojeva: 5, l0:2.5, l5:3.5, 20:22'5,25:52,30:2.3'5,

35:5.7,4O:2t.5 i 45:32.5. Dakle, ukupan broj petica je 10, pa se produktsvih prirodnih brojeva od I do 49 zavrSava sa l0 nula.

2. a) Oba biciklista predu zajedno 8 metara u sekundi. Sre5ce se poslije1800:8, t.j. poslije 225 sekundi.

b) Za 80 sekundi sporiji biciklista je preiao 80.3, to jest 2,10 metara,pa je do susreta ostalo joS 1560 metara. Taj dio puta biciklisti ce preti za 195sekundi (l 568:8:195). Do susreta ie doilo,,.dakle, poslije 275 sekundi.

3. Konstruirajmo todku E na duljiili .dD, takvu da kut BAE iznosi 15",tj. da je +BAE:4ABE (sl. l). Zbog togaje trokut 18f, jednakokraCni i d(A, E)=.:d(E,B). Izradunavanjem kuteva u

-trokutuC

ADE uvjeri&mo se da je ovaj trokut jednako- \kradni, sa kutom od 30' kod vrha E Odavdedobivamo jednakost: d(A, E):d(E, D). Dola-zimo do zakjuCka da je toCka .E polovi5te

duLine BD i da je d(B,D):2d(,{,.8). No, utrokutu ,4CE kutevi kod vrhova C i E suod 30', pa je i ovaj trokut jednakokraCni id(A,E)':'d(1,Q. Otuda Ao[riti,o oo t.^z";i; A

wjetai d(B,Dr:2d(A,C). Sl. l.

4. Najveca moguia suma je 5, a najmanja -5. Ako pretpostavimo dasu zastupljene sve moguie kombinacije suma, onda takvih kombinacija ima naj-vi5e ll. (fo su: -5, -4, -3, -2, -1, 0, l, 2,3,4,5). Metlutim, redakaima5, stubaca takode 5, a dijagonale 2, tj. ima ukupno 12 zbrajanaja. Prema tome,ako su I I zbrajanja dala sve razlidite sume, dvanaesto zbrajanje mora dati re-zultat jednak jednoj od ovih suma.

VIII RAZRED

l. 22kg sveZih gljiva sadrtu 0,1 '22:2,2 kg potpuno suhe materije, a ova

kolidina dini 88% od mase r kg suhih gljiva. Dakle,0,E8x-2,2 pa:e x:2,2::0,88:2,5 kg- toliko smo dobili suhih gljiva.

a+b2. Trai-eni brojevi su: a,

-i b, a<b. Prema datim uvjetima jc:

a+b ll7 . a+h . '207o.

-:-i .b- -- , odnosno a2+ab:ll7 iab+bz-2OT.Zbrajanjem

2222

172

ovih jednakosti dobivamo: a2+2ab+b2:324, odnosno: (a+b!:l]!' Kako su

;'#;;;id";i-uioj."i, izlazi da je a+b:^18' Datje, iz a(a+b):.t-17, dobivamo'":2'r"

"ii,.iri:ror,dobivamo: o:?] ' r'oz"'i brojevi

'u'-tj-, n

'?:'-2

3. IzraCunavanjem stranice upisanih, mnogoku_t_a: jednakostranid+og tro-

kuta, kvadrata i pravilnog Sesterokuta u kruZnicu rK polumjera r' doblvamo:

d(A,B):rv{, atn'Q:r/T i d(C,A):r'

Kako je r'+1ry'T'S':3r':1rll1', zaktjucujemo da je trokut l'BC pravokntni'

DPC

AMBsl. 2

todke O od osnovice lB.Lako se uodava da su trokuti AoN i AcD slidni, pa je AN:oN-AD|CD,

b

odnosno x:y:d'b' Odavde j" y:;x. Zamjenom nadenevrijednosti za x' do'

badPhbivamo: y:-.-::!-, a to je traZena udaljenost todke O od kraka lD'

d a+b a+D

sa hipotenuzom .{8.

4. Neka je O sjeci5te dijagonala, M, N i P

AoZiSta okomica iz O na AB, AD, CD (sl. 2). Neka

ii oU: x. oN : y i oP: z. otigledno je x + z: d'-Trokuti

ABO i CDO su slidni, pa je aib:xiz'bx bx

odakle je z: i1 . Sada imamo jednaZbu: x i- _-':4-AA

koja postaje; ax+bx-ad, odnosno: x(a+b)-ad'ad

Rjesenje ove jednadZbet x:oaf,

je udaljenost

N

x

t73



NALOGE SA REPUBLISKOG TEKMOVANJA ZA Z.,LATO

vEcovo PRIZNANJE UEENcEV osNovNE Sor,n sn SLovEMJE

VII RAZRED

l. Zjutraj je delavec odrezal 3 *"Oru. Ko je dopoldne od ostanka kabta5

odrezal 5e tretjino, mu je ostalo 8 m kabla. Koliko metrov kabla je delavec

odrezal v tem dnevu? (ReSi z enadbo).

2. Trimestni Stevil sta zapisani s Stevilkama atc in'itZ.

PokaZi da 1enjuna razlika deljiva z ll.

3. JoZz in Boris sta ob istem iasu odlla v 5kolo. JoZetov korak je bilzt lO/" krajSi od Borisovega, vendar je JoZe v istem Casu napravil lO% vefkorakov kot Boris. Kateri od dedkov je priSel prej v 5olo?

4. NariSi kroinici &, (S,, r) in &, (Sr, r). SrediSte S, leii na kroinici /r,.Presedildi kroZnic oznati z A in B. Skozi toCka I nari5i premico p, ki sekakroZnici v todkah C in D. DokaZi da je trikotnik DBC enakostraniden.

5. Anica, Branka, Vera, Gabrijela in Danica so oije sorodnice. Brankinababica je DaniCina sestra, a Danica je Gabrijelina teta. Anidina sestra je Bran-kina mati. V kakSnem

sorodstvu sta Brankain Vera?

VIII RAz'RED

l. Dolodi Stevilo a tako, da imata enaCbi: ax-3 x+ 5:0 in ax+2x+4-Oisto mnoZico re5itve.

2. Nad daljica AB (AB:6crn) nariSi polkroZnico, v kraji5Cih A in B pa

pravokotnici. Tangenata v poljubni tolki polkrocnice seka pravokotnici v tod-

kah M in lV. Odsek AM oma6i z x in odsek BN z y (x+y). lzrazi spremen-

ljivko y z x, Ee je plo$dina lita ABNM stalna.

3. V enakokrakom trapezu s krakom dsta osnovici v razmerju 2:l,Kotob daljfi osnovici meri 75o. Izradunaj plo5dino trapeTa.

4. V pravilno Stiristrano piramido, ki ima osnovni rob c in stranski rob3

=a, je vdrtana kocka, tako da so ogli5Ca zgornje osnovne ploskve na stran-

4

skih robovih piramide. Kotika je prostornina kocke?

5. Poglej 5. naloga za VU razted.

174

Re3itve nalog

VII RAZRED

l. DoZino kalba oznadim o z x metrov. Dobimo enadbo: t-|r-5

t3-

-.:r-8.Re5itva enadbe je x:20m. Delavcc je tega dne odrezal I2m

3'skabla.

2. abc - cba : 100 c + l0 D + c-(100c+ lO b + a) : 99 a--99 c : 99 (.a c7'=:11.9(a-c):llk.

3. Neka je d dollina Borisovega koraka. Eden korak JoZetov irna dolZi-

no 0,9 d. G je Boris napravil k korakov do Sole, je JoLe za ta das napravil1,1 /c korakov. Boris je prehodil pot dolZine d'k, Joie pa 0,9d'I,l k:0,99d'k.Se pravi, Boris je pri5el v Sole pred JoZetom.

4. Na"osnovi konstrukclje lahko zakljudimo da sta trikota l,St,Sr in .B,S'St

enakostranidna (sl. l). 7-aradi &lga sta kota zlS,d in AS..B po 120'. Kot lSrdje centralni kot nad tokom lSr8, pa je zaradi tega kot ACB, kot periferijskinad istim lokom, enak 60', Podobno dokaZemo tudi da kot ADB:60.. S temje tudi tretji kot trikotnika BCD isto 60", tako da je ta trikotnik enakostranidni'

j',

!

oA

V

irIE,tccl

st. r

B

sl. 2

,l

5. Koristimo se grafidkim prikazom datih rodbinskih vez (sl. 2) Branki-na babica je lahko samo Vera, katera je Darina sestra' S€ pravi, Branka ieYerirc vnukinja.

VITT RAZRED

l.Resitvedatihenacbso:x:-;1 i^ t:-*. Iz posojev: -*:

--*dobimo: a:-2r.Tedaj imajo obe enaCbe skup resitev: ^:{+}2. Neka plo5dino trapeza ABNM je enaka P. ViSina tega trapeza je di'

jametar ,{8 polkroga (st. 3), pa ie: n-|e+fl.6=3(x+y). Slcdi daje: 3r+

P+3y*P, oziroma t:T-*.

175



sl. 3

5

sl. 4

3AAAIIII CA NOKPAJHHCKOT TAKM}ITIEILA YqEHIIKAOCHOBHE IIIKOJIE CAN BOJBOAI4HE

VII PA3PEA

t. fterotlrQp€n 6poj, roju je norrryn xBaApar, :anncyje ce qnQpaMa 0,4, 8. Iln$pa 8 noxasrba ce rpn oyra. OlpeArru raj 6poj.

2. Hexa cy a, b r c uerrr 6pojesu, a z je nprpoaan 6poj. Oapeanrn

snax 6poja at xara je uornaro .qa cy 6pojezu: (-4)2na2n+tb2n-tcn+t !4

(-5)2n+t An b2n+ 3 Cn-t UCTOr 3HaXa,

3. ,{ar je nonrxou P(r):(3-r)3 +x2-7x+12.a) flornnou P(x) Hanrcaru y o6luxy [por{3BoAa npocrnx qulruJraqa.

b) Oape,qnrlr P(3) I P(-l).c) floxa:aru ,ua je P(x) AerbrB ca 2 za 6ll,to xojr nenapan 6poj r.

4. \ar je nparoyrnn rpoyrao abc, t,ie je c rerure npaBor yrna. Ha crpa-xuuu [aD] o.qpeAurn raqxe & x ,n, raxo aa 6yge lakl:lacl u [bml-lbcl, na

3arnM [3palryxau yrao kcm.

5. Hera cy ralre m fi n cryAvnrra crparnqa ladl n ldcl xra4para abcd.

lgxn (bnl n [cml cery ce y raqxr p. ,{oxasaru .qa je Ayx [pa] je4uara crpa-xf,Iur rBaApaTa.

VIII PA3PEA

l. Borehx napaJreJrno ca rpaacxoM ayro6ycxou rIrmjou nrveby aaa

Aera rpaAa, 6nqRxlncra je npnverno aa ra je csaxux 9 Mlnyra crg3ao' acnar(nx 6 uuuyra cycpflao no jeAan ayro6yc c re luuxje. Y xojlrvr BpeMeH-

cxrrM r{HTepBanrnaa ayro6ycr re mrnuje roJra3e ca [ona3Hilx crali.llln? (Hafro-

ueaa: Ayro8ycr ca noJIa3HI{x cragr{ua [oJla3e y jeAHaxuv pa3MauxMa BpeMeHa

n xpehy ce npnbrnxno jeAnarnru bpsnnava; 6uqxxlncra ce raxofe xpehe par-rroMepxoM 6psnnou).

2. OApeArrr a r D, Taxo Aa pa3noMax xrua najeehy BpeAnocr:

t a-b\2

'-|.n-;/tb a-b \' '

(;+ o -sJ +s

3. Onpenrnr ma 6poja pa3rrrqura o,q HyJre, xrjr rporrroA, troJttrrlusr< rpa3Jrrxa rMajy jeggaxe BpeAgocrl.

4. Bncnne rpoyrna abc cexy ce y raqru o. floonaro je .qa je locl:labl.Onpe,qnre BenFrEHy yrna xoA TeMeIra c.

5. flpaarrrtua qeraopocrpaHa nplr3Ma ocrloBlre sBrrqe a nMa BucIrHy ABauyra ryhy o.q ocHoBHe xruqe, Hrparynarr gxjaronany nprr3Me x yrao alnaefy

AUJiUOflan€ trpx3Me It rseEe BIICUIIe.

3. Naj je^S sredi5de dalj5e osnovice AB (sl' 4). Pravokotnika ISCD in

SCDS sta paralelogrami, ter je: ,{,S : CD "= SB in SC : AB: BC : SD, in so l^9D,8CS in CDS.tri podudarna enakokraka trikotnika. Dolodi bomo ploidino P,

Itrikotnika ASD:- P,::d.SM, kje i je ,SMvi5ina. Kot pri vrhu trikotnika ISD'2je 30', ker je 180'-2'75':30". V pravokotnem trikotniku SDM, kateri prcd-

itavlja polovico enakostranidnega trikotnika, hipotenuza ie SD:d, manj5a kate-

dldd2ta je SM:] . Se pravi, P,: - d.+: - ' Plo5dino datega trapeza ie: P:3 Pr:'2224 1/

*L. o*4

4. Vi5ino piramidc dobimo iz pravokotnega

trikotnika ASY: VSz: AYI-IS2 (sl. S).Ker je AY:3 aV2:- a in AS :

i, kot polovica dijagonale kva-

t1 \'laV2\ a'drata - baze, to;e: lrs':[+ rl( , l:",

ater ie, VS :

7.Skozi FS je dijagonala Itrane kocke,

in de stranico kocke oznaCimo z x, tedej je F,S:,y'2

:i

:ESt.Zraven tega jeSSr:1 in Iz.St-VS-x:

Bsl. 5

!-x- zaradi oaralel-4'

nosti l,S i ES, trikotniki VAS in ZES-, so sipodobni,

terje

YS:.AS-ZSt:ES'

a ay'z la \ xVz soziroma Z, Z

:(a-t/t ,

. od tudi je *:S

Prostornino kocke je: ,:(+)' :#.5. Poglej re3itev 5. naloge za VII razred.

t76 177



Peurepa 3aAgrtns

VII PA3PEA

l. Aro ce rBaapar npgpoArror 6poja oaapuaoa ur0poM 0, raj 6poj jeAerbrB c 10. Mel)yrnu, Taaa ce xBa,rlpar Mopa 3aBpnaBarf, c ,qae nyre. 3narn,TpaxeHrl 6poj ce ne 3aBpuraBa HynoM. Ocru rora, xBaApar 6nno xor rrpilpo.q-nor 6poja He Moxe Aa ce 3aBpruasa qxOpotrr 8. Ilpeua roue, ocraje Aa oAlre-

axvo nojr je oa 6pojeda 88 804, 88 084 r 80 E84 nornyx rtaapar. flporepa-BarseM yrBpAnheuo Aa je rpaxenn 6poj 88 804, To je xraapar 6poja 298.

2. Ha ocrory ocoEnra creleHa, 3HaMo ,ua je (-4)2n:42n rr (-5)2n+r::-52u+1, na je nponsuoA Aarnx 6pojena' -42n.52n+ta'n+tb1n+2c2n+ 'z>0. flo.rxTo cy crerreHrr 6pojera b u c ca naprrrrM l{3noxrroqrrMa, To rrpolr3BoA Mox€6rrr nogrrrrrBau caMo y cny.rajy Ad je stn+r HerarrrBlro, 3navr, uopa 6rrra<O u,t Mopa 6nrr napan 6poj.

3. a) P(x) : (3 -x)r + x2-3x-4x +. 12 : 13-x)!-x(3 -x) + 4(3 -x) :: (3 - r) (3 -x)2- x + 4) : (3 - x) (.r?- 7r + l3).

b) P(3):0, P(-l):4(1 +7+ l3)-84.c) Axo je r xenapan 6poj, peqm{o x:2k-1, raaa je rpBu qnxnnaq

rIoJInHoMa P(x), rj. 3-x, Aerrne ca 2, iep je: 3-x:3-(2k-l):4-2k::2(2-k). 36or rora je u P(x) ae:*;ns ca 2.

4. Tpoyrnorr akc n mbc (sr. l) cy jeaxaxoxpaxr. Ognarrxtlro rrrxole

yrnoBe: 4akc:4kca:0, 4kac:a. n 4bmc:4mcb:8, gmic:90"-a. Heraje rpaxern lrao jkcm:1. flonrro je yrao xoa reMexa c EpaB, To ce Moxenrcaril: 0+8-y:$Q', a u3 jeAHa(oxpaKrx rpoyrnoBa: 28+90'-c:180' r20 + a : 180". Ai'be cneau: 20 + 28- 2t : 180", 2 I : l80o + a-90o, 2 0 : 180'-a;l80o+c*90o+ 180'-a-2y:180'. CneAE jeAnarocr: 90":2y, oAaxte je y:45",rj.4kcm:45".

dnc

oCr. I Crr. 2

5. Ilpasoyrurn rpoyrnoBr bcn u cdm cy norryrapux, jep xuajy je4uaxe

xarere (c.tt. 2). 36or rora je bnc:cmd. Kaxo je cmd.;mcd:90o, ro je rpcm+pnc:90o. CneAr ta ie cmLbn Hexa je q cputmre clpartrqe lbcl. 4v

178

,]

I

\

J

rBopoyrao aqcm je [apanenorpaM, ua je npana aq cpetrsa namrja rpoyrtra bcp,a raqxa s, y xojoj ce cery bp u aq, jc cpennure gyxu lbpl. Ceu rora jeaqlbp, na je npara a{ cuMerpana ryxor [6r]. Ory4a xrnasa m je lapl:Iabl,ruTo ce E TDp,qsno.

VIII PA3PEA

1. flpernocraBuMo Aa je 6rqrxnrcra 3a[otreo Boxrly y MoMerrry raAa

je c rrnu xa rnxnjn 6ro ayro6yc xojn ce xperao y rrcroM cMepy, n aa ce 54Mnrryra xperao y je.qgoM cMepy, a sarrrtlr' 54 Mr{Eyra y cynporuoM cMepy.(NZS (9,6):54.) flpeua yc.noanMa 3aAarxa, cBaKro( 6 unryra ra je cycperaono jegan ayro6yc, a cBaxrx 9 vnxyra crrr3ao ra je rarofe no jegan ayrobyc..I[ox je bfiqnr,rxcra npenao oraj rryr y jeanorrr crraepy, o6nnrno ra je 6 ayro-6yca, a xa4 ce rpahao cycpeo xx je 9. Ha raj Ha{uH, 3a 108 nannyra nopeg6sqnxarcre je npomno 15 ayro6yca xs jeanor cvepa. Bpevencxfi nurepBarrrr y

xojrnra noaa:e ayro6ycr ca crallf,qe"y, $:T:z]t"n. :7 wwyra s. 1215 5 5

T*t*'2. Paraouax nrua najs€hy BpeArrocr xaAa My je 6pojruau xajaehr, a

RMelrrnaq xajuarrn. V narneu cnyrajy ro he 6urr rcnyrlero aro je: n-*:Ob a-b

u -=*-:---5:0. Osa ycroBn npegcraarajy cf,creM Jrxuearprr( jeggarrxa no34Bero3BaruM a x D. Peuete cncreMa je (a, D):(18,6), rj.a:18, b:6.

3. Hexa cy rn 6pojerr o u O.Us ab:+,Ao6rjaMo: abr:a, rj. b2:1.' b'OlasAe je b:l s,ru b- -1. 3a b:1, ns b-a:ab, nMaMo: l-a:a, oAarae je

Ia:;. (3a D-1, xg a-b:6, nMaMo: a-l:a, oAarJre cneAll Ia je -l:0,uro rxje voryhc.) 3a b:-1, ns a-b:ob Ao6rjaruo: 4-(-t): -a, Ti.

Ia:-=. (Aro je b--l a b-o-ab,6nhe: -l-a:-.r, oAa(re je -l:0,

mro rarolp nnje rrrorybe.) Ilpcnaa ror,re, f,MaMo Ir€rIeEa, o-J^- s b:l,uruz

Ia:

--t b:

-1.4. Hexa cy lbdl n [ce] rrcrne rpoyurir (cn 3). flparoyrml rpoyrnoBn

abd n odc nuajy je.qxaxe xf,uorerry3e: Iabl:Iocl r jegnare ounpe yrnol€:4abd:X)"-4bac:4ace, ra cy orrr noAyAaprr{. H: noAyAapnocrrr cneA[ Aaje lbdl:Idcl.3xarn, rpoyrao bdc je je4naxoxpaxr, c rpaBrM yrtoll j.bdc, naje s6or rora j.acb:4S".

1"79





C) 3a yveauxe YI u YII paopega

E05. 36up (z6poi) wpu 6poja je 900. Ilpeu h I eotui, o|

*o"nr,.

Ogpegufru fre 6pojeee.

Tpehx 6poj je 4 nyra sehr oA upBor, a tpyrn 2,5 uyra. ,{arne, e6npoBa rpn 6poja nrxocn KoJrnxo n 7,5 rl,.yra nprr 6poj. flpeva rorvre, upnr 6pojje 900:7,5, a ro je 120. Ocraaa asa 6poja cy 300 n 480.

Cona Vseta4, yr. V[ p. OIII ,,H. Ilononah.., Eem(oBar{

EO6. Koacfrpyucatau ilpaeoyiaoaw (ipaaxywaw) axo je gama cfupanwpa-4 cm, a o6up gujaioaane u gpyte cfrpa*uup je I cm.

o

Cl.2 Cr. 3

B

flpe,nocraamro Aa je ABCD ca cn. 2 rpaxenR trpaBoyraoxxx, ca crpa-'{qga{ag u b t wjaroxalou d. Hera je E raqra npre AD, raxra aa jeDE:d. Taaa je AE:b+d. O.rrrue,qxo je ga uoxerrlo xorrcrpyrrcaTrr trpaBoyrnrrpoyrao ABE. To je yrurreno xa cn. 3

-rorrcrpyncax je rpoyrao ABC, saje

cy xarere AB-4cm n AE:8cm. (Hr rexn[rrrlx pa3nora crxxa rrMa Marf,eArrMemlrje.) Ta.rry D Ao6xjaMo y [peaeKy cr{Merpane s AyxE BE t xarere AE(jep je AD - DB). .[ane je naro oApeAnra reue C.

Cfreean Touuh, yc. VL p. Om ,,I. Brrre3.., floAparcxa C.narnsa

D) 3a yvenuxe YII u YIII paspega

_ f07. Kafretue frpaaoyiaoi tupoyiw (ilpaaoxyfuxoi frpoxyfua) cy I cm u 6 cm.Taqxa M y fror. mpoyiry ygubeua je 2 cm og csaxe Kanefrie. Koawo je yganeuafraqKa M og xuilofreayte?

Xnnorexyra oBor rpoyrra je AB=/@+8r:l0cm. Ayncsr{a AM, BM,CM rpoyrao ABC je floaeJb€rr rra rprI Tpoyrna, a r6xp troBprlrnHa oBHx rpo-yrnoBa jerutax je troBprnf, Hn rpoyfna ABC : P1u[ + Pss r,t * P s 7DI : P Ap6. Olanne

t82

ltllno6njavo jernaxocr:

^ AC-BC:-AB-x+ - BC-2+ ^ AC.2, r.ue je .x rpa-2222

xexo oAcrojarse raqKe M oA xnoorexy3e. II3 oBe je,qnaxocrrr n3paqyraMor:2 im.

Mupjana Caeuh, yt. VII, p. OUI ,,A. Jepxoanh.', Txroso Vxnue

t0t. Ilzpaqyuanu uospuuty Eipoyl,ta (fi:touwuny uipoxyila), xojei odpazyjeca xoopgunafrHuil ocailo upaaa (upa6a4) 3 x+4y-12:0 u ogpegufru ,beHy yga-menocul og Koopgwauruoi iioqewKa.

Telrena rpoyrna cy: xoopArurargr{ norrerar( O, Tactna A(4,O) Ha .r @Itn Ta{Ka ,(0, 3) Ea / ocrr. florpunxa [paBoyrnor rpoyrna OAB je: P:

I: - 0A.08-6. Tpaxexo oAcrojane 4 oA xoop.qnrrargor [otrerra ao rrpane,2'

Cil. 4

B

je rmonesyraa BEcf,Ea. Karo

5d t2

n---6"qo6njaMo:d-i '

ie ta-VFLr7tr-s,rorr.+AD.d*P, ri. F

Jepxeja Pyfrnw, ys. VIId p. OE ,J. MExeBua.., llapuja

E) 3a yveuuxe VIII pacpega

t0!1, y frpoyirry (frpoxydy) ocuocu4e 30 cmu ogioeopajyhe eucuae 45 cm yilucaa je xcagpail, uujagca frenena ilpuilagajy ocHosutgt, a gpyla gaacfrpa-nupJ,4a Epoyirta. Ifzpauynatuu cfupanu4y Ksagpafra.

Hera je' .x Ayxlxa crpantrue rBaAparaMNPQ, yrrrcilrror y Aars Tpoyrao ABC, cn. 6.Karo je MJV napa.rrernro ca AB, 6nhe rpoyraoan

ABC t MNC cnnnirs., ia cy uM ocHoBrue rr oA-ronapajyhe Brrcrrrre nponopqronamre, rj.: AB::MN:45|(45-x), oAHocHo 30:x-45:(45-x). AO.qanae .qo6ujarvro rp:uxerry crparuqy KBarpara:r- 18 cu.

B

Ctr.

flouoruh. Horu Caatexcangpa Epieaautee, yr, VIII, p. OItr ,J.

183



. Elq. Ha trtaxnuuen! u-z uafreuafruxe gafro je I0 eagafraxa, 3a ilauno ypa-DeH 3agailaK Ka,gufram goduje

-5iloe*a, a sa csaKu neypofien 3agautaK (uau ne_

ilauno ypafien) ogytuua ay ce 2 uoeaa. Koauxo je ngawaxa ypaguo xangugaw,oxo je oceojuo 36 uoeaa?

. irpernocraBnMo Aa je raxvnvap raqro peur.ro .x 3aAaraKa, ,qar(Jre, rannje peruno lO-x ra,qarara. 36up lseroBlrx noexa r{3paxaua ce je.rlnavunov:5 x-2 (10-.t) - 36. Perucne oae je4xaruxe je r: g. Taxrr.ruvap je raurJ peutro8 laaaraxa,

Epanxo Apcettoeuh, yv. VIII, OUI ,,q. Mfirocasresnh.., neqxa

F) 3a yuexuxe csux pa3pega

_ 8ll. Xohy ga aocagu,n I cagHutla y I0 pegoea, waKo ga y c*aKoil pegy6yCy 3 cagilu4e, Karo fro iochuhu? Ilpuxactcu 4phrucor.

Peruerre je Aaro na cl. Z. b

ttttiJI_L __l_

ii __LI

Cn.7

bpaa Vpoweeuh, yu. yl, p. OIU ,,E. pagrreanh.., CeArapc

- Elz Kotuxo ce frpaeoyiaottuxa (Epaeoxywnuxa) ttoctce youufru na waxoacxojfradau (arco u csare xaagpaii ctraupailo apaioyiaonixou)?

Ognaqnvo ca a u b ,JIorLy rr rop]sy.. rrBnqy ruaxoBcxe ra6le. Ose AaerrBlrqe rl jola 7 nunuja [apaneJrffil ca rsr{Ma, 1cl.

-A;,Aene xopH3oHran"rM p"_

3oBr{Ma ra6.ny ua u3BecraH 6poj npanoyraoHrrKa. (ciaa ranerraapyjeuo oeprn-xalne nnruje.) Oeu 9 napalenuxx nrnnja oapeDyji xa marorc*oj-ra6nu ono-nI|Ko npasoyraoErrKa xorl{[o ce pa3nHqilTnx [apoBa Moxe oA rbxx Ha{rrHETr{, a

9.8ro je

,, oAHocEo 36 paurvnrxx [paBoyraoxnxa. Me$yrxv,

9neprnxaaxux

mnxja aele cBaK[ OA 36 npanoyraonxra (xarornMo ux xopn3ouTannxM rrpaBo-yraoHnqnva) lu AenoBe o4 xojnx ce Moxe yoqHTX no 36 pasnuwtTlx flpaBo-yraouu(a. (Craxn xoplr3orrraJrHr{ npaBoyraoxu( r3AeJb€H je-na aelore, onaxora(o cMo nperxoAno rr3Aenu;ru qery ra6ly ca 9 xopusoxraJrurrx nruuja).,{axne,yryrralr 6poj parnavxrrx rpaBoyraoxlxa je 36.36, b.qnocxo 1296.

1opu4a Jlaeapeouh, yt. Y p. OIII ,,H. Jennwh.. IIIa6arI

184

a

Cr. 8

SPISAK RESAVALACA KONKURSNIH. ZADATAKAIZ MATEMATICXOG T,TSTE XVN

(U ovom spisku se objavljuju imena onih reiavalaca koji su iz ML XVUdobro reiili bar l0 konkursnih zadataka i to uz navodenje samo onih zadataka kojiu vet objavljenim spiskovima iz ove ikolske godine nisu navedeni,)

- IV rezred. Petrovid Daniiela, OS >N. Jelidid(, Sab ac 787 ,788,789,798, 799_: Risovid Ateksendar,OS (N. Madkid(, Kljud 774, 775,776,785

-789, 8OO, 801 , 8l I ; Ristid Kosara. OS ,,J. J. Zmaj", SmcJ

dercvo 774,776,785, ?86, ?88, 789, 798-802,8l l; Sclmi6 Redovrman, OS DB. Radiaevii<< ,Beograd800, 801, 802, 811, 8r2.

V nzr€d. Aleksid Gonn, OS >D. Radosavljevid-

Narod<, Majur 774,776,777,77g,785,787-79O,798; Atitid Denijele. OS >M. Ku3id(, Ivanjica776,778,788,789,790,791,799; Anrid Jesmin.,OS DV. Karadzii(, Krulevac 748,750,752,79Oi Arsid Neboise, OS DS. Jakovljevid<(, Paraiin 748-J52:'16t,762,765,774,776,80O,801,801,802; Avrkumovid Juliia, OS >2. J. Spanac<, Beograd ?6t,763,765,772,773,774,776,778,787-790,7?8,799; Avramovid Syetlen., OS >8. Radidevid<<, Dragocvet748,750,751,759-765l' Balzer lvan, OS DI. Gundulii><, Bcograd ?85,786: Berentai-Eriebit, OS>S. Markovid(, B. Gradiste 750, 75 1,159,760,761 ,761,764,765,j7j.174,7j5-778,185;Bosarei Mar-rine, OS >Spomenik NOB<, Cerkno 761 , 763-765, 712,'173, 774,776,'r77 ,778,787-789,199': BoE-denovid Joven. OS DJ. Popovid( N. Sad 80O, 801,803, 803, 8l l,812: Boiin Mariia. OS >J. Popovidi<,N. Sad 785-791,?89-804, El l,_812: Bursa6 Jasmina, OS >D. Rodosavljevii<, Majur 774-778,785,787-791,'199i Durunov lvanl, OS DJ. Popovii(, N. Sad 761, 763, 764: 772, 773, "186-'191, 198,]f !; C_vetkwid Sledenr,-Oi >D. Radosat ljevii<(, Majv 774,776,777 , 778,785,78.7 ,'188,789,7g'l ,7gS:799: Curi6 Duien, OS J, Fopovii<< N. Sad ?E5-791, 798-804, 8l l, 812; Denienovi6 Rrnko OSDB.Radiacvid(,Beograd749,751,759-762,765,773,788,79O,791, ?99: Demienovi6 2ivoiin, OS >J. Jova-novid-Zmaj((, Smcdcrcvo 761--:165,772-778, 186-791 ,7_99-804; Erdelimin Mair, OS rJ. Popovid<<,N. Sad 787-791,798-804,81t,812; Filipovid Drasen, OS >D._Radosavljevii<, Majur 714, ji6,'177:778,785,787-791 ,799; Gevrilovi( Nene, OS >R, Mitrovid<<, Calak 7'14,175,7'16, 778,785, i87--79l,798,799,iGniidi6Zdenka,OS>N.Popovid<<,Brgtd762,765,773,787-791,798-801,803,8t1;edli6llije,OS>J.Popovid(,N.S,ad787-791,799-804,81J,812: Ili6Mrrii.,OS>Parrizanski borci<.I)rugovac 749,750,751,759,760,80G-804; Ili6 Branko, OS DD. Markovid(, Krusevac 774,776,77'1,7'18,785,787,788,790,791 ,798i Ililevid Diiana, OS >J. Popovid<<, B. Manastir 774, 776,777,778,785-

-791,798-804;Jovilid Radmila, OS >_1. GunduliC<, Beograd 749,750,751,759,760,?65,773,774,

776,777,778,785i Jovenovid Mrrije, OS >Partizanski borci(, Drugovac 749,750,151,i60,761,787,788,789,791,8oO-80J; Jekovlievi6 Zor-qn, OS >8. Radidevii<, Dragocvet 748,75O,751,759,-765,771; Jekid Daniigh, OS >F. Filipovii<, Cacak 761,762,763,765,774,776,777,778, SOO-804,8t!:Jekid Oliverr, OS F-ilipovii<, Cac'ak,761,762,763,765,774,776,777,778,800-804, 8ll; Joventi6Denijele, OS >8. Miljkovii(, NiS 761,762,765,7&,-791,'198,799i Xoh Ivan, OS >NegoS(, Kotor761,773,774, 778, 787-790,798-801; Xosti6 Marina, OS >B. Stamenkovii(, Tubuzdi kod Vranja161,762,764,765,772,71J,776,?77,778,785,786; Xo6ar Naiali, OS >rl-og Dragomer<<, Brezovica kodLjubliane 761,',63, 765,774, 776, 7E7J9O, 798, 799i Krivokapid Marina. OS DP. Popovid-Aga(,Rcograd776,771,718,785,787-791,9E-804;Lezarevi6Zorica,OS>N.Jcliaid,Sabtc774,775---778,785-791,799-g04,8lt,812; Lazi6sA,leksandra, OS )D. Radosavljevid<, Majsr714,776,7?7,778,7E5, ?87-790,799 \tzif Sycthne, OS >D. Radosavljevid<, Majur 774,776,777,778,785,781-791,799; Leti6 Dorde, OS >rJ. Popovii<<, N, Sad 761, 762, 763,765, 772,773, 800-804, 8ll, 812;:Mlcurovid Tenir, OS >V. Perid-Valter(, Prijepolje 787,788,789,79O,791,798,799; Meksimov Deirnr,oS >D, Jaksic<, Me<la 748, 750,751,760,164,17?,?13,774,776,788,79o,291t Maksimovi6 Sriten.OS DV. KaradziC(, Bcograd 761,761,764,772-774,776-778,788-79 t; Marid lvana, OS >J. Popovid(.N. sad, 787-?91,798,799,80O,801, 803,804,8ll,812; Merkovid Slaitana, OS >D. Radosavljevid-

-Narod<,Majur kod Sapca 774,776-118,785,781-J9O,798, ?99; Matciid Luisa, OS >B. Radieevid(,

BeogradTT4--778, ?85,786,788,189,790,798,199i Metid Zoran. 05 >N. Popovid<, Brgud 7E6,80G-

-803,8l I, 812; Midid Nikola, OS >J. Popovii<, N. Sad 787-791 , 798-804, 8l I , 812; Miheilovi6 Ns

nrd. OS >V. Karadzid(, Ncgotin 774-786,1'18,787-79O,798,799; Milo5evi6 Nevenka, OS tJ. Popo-viC<, N. Sad 787-790, ?98-804, 8l I, 812; Mini6 Redmila, OS Dv. Karadzicu, Cuprija 774,776, J77,iMledenovid lyenr, OS ;I. Gundulii(, Beograd 748-75 I,759-761 ,774,776; Mrvd'S Miriane, OS >O,Petrov-RadiSid(, Vrsac 788,'19O,792,798,799i Naumovska Biliena, OS >M. Zivojinovii(, Mladeno-

vac 788-790, ?99, 800-802, 8O4,8l I,6 l2; Nikolid Boban, OS ,F. Filipovic(, Cadak 788-J9l,799--80f , 803, 8l I ; Nikoti6 Neda, OS >R. Mitro\ic( , Catak 714-777, 785; 786; Rrll Robcrt, OS >S, Mar-kovii(i, Baako bradiite 750,751,759-761,'163-765,773,187-796,799; Panti6 Slaitana, OS >D.Radosavljcvii-Narod<, Majur kod Sapca 7"14,716-'118. ?85,787-790,799;Pznti'aeiliko. oS DM.Pijadc<, Vr.nid 761,765,774--:177,800-803,i Petrovii Milored, OS >J. Veselinovidq, Sabac '161,762,

765,772,800-804, 810; Petrovid Natasa, OS >1. Gundulic<, Beograd 749-751,761,765,173,774,7'16, 17'1,785;Petrovid Sania, OS r>D. Radosavljevid-Narod(, Majur kod Sapca 774,776-'118,185,'18'1-791,799; Popovi6 11,4ilene, OS >D. Misovii<,Ca8ak749J51,760,763,776,778,8801 80t,803,804; Redmilovi6 Zorice, OS >O, Petrov

-RadiSiC<,YrSac 790,792,7991Rrkid Gordmr, OS >M. Iva-

185



pgla 767, 16q, 772,713,780,785, 786.792-794,799; Jovi6 Sritan, OS DS. Kovaa€vii(, Beograd 805,EO7,808; Xelevid Srdan, OS DS. Kovaeevid<, Beograd 808,8l l; Ketid Nenrd, OS >S. Kovaierlc<, Beo-er^d,766-768,n2,780,781,792,795, 798, 799, 805, 807, 808, 8 I I ; _Kesi6 Diagan, OS >S. Kovadevid(,$9s14 Ze2,795,798,799,805-808,8l l; Kneieyid Milan, OS >J. Grkovii<, Be6graa ].66-]69, jj2:773,792-795,799;-Idozit Radice, OS )rM. Tomii<(, Statad 791, 794,798,799: 8OS;8o7, 808,81 t; Ko-zomere Smilfka, OS >A. Santii<, Vajska 766-769,773,7i9-78t,i92,798,799; Kr;titid'Etyi;, OStV. Vlahovii(, Cradadac 7'19-781,785,786,792,794,198,799,805-808; Kurtubi6 Liilians, OS'>R.l{itrgyi.c<rCtadak 7't9-781, ?85, ?86; Lovre Nedellka, OS-r>U. i';laae<, pucar€vo 767,'7'68,ilZ,lll,Z!9,2q1,785,786, 792,793,798:199; Makra Katarinr, OS >S. M;rko\ii(, V. cradisr; 781;785:786;792,-793;.Maksimo_vid Srdm, OS DS. Kovaaevji<, Beograd 192-195,798,799,805,802, bOS,'8ft;'Merinko_vid Ana. oS >s. Kovaeevic<(, Beograd 805,802:808.8tt: Merinkovid Biliana.os >Dr D. Mi-Sov-id<, CaCak 153-756,759,760,767-7_69,798,799; Menenid Slavoliub, OS )S. Kovaaevid<, Beograd8-OJ, E_07r 808.811: Markovid Mitkr, OS >D. Jcrkovii<, T. Utice 8O5-8O8,811; Matid Ateksan-dra,O_S >S. Kovadevic<, Beograd 805,607,808,8ll; Matid Miroslav, OS >N. Fopovic<, Benkovac 759,760,766-768,773,792,793,798,799, 786,805,897, 808,81 t; Mavre Boris, OS, >S. Kovaievii<, Beo-Elad 792-795. 798,799; lllaigon Valentine, OS rSpomenik NOB<, Cerkno 786; Medid Dragana,O-S->S. Kovaecvii<<, Beograd 805,807,808,81t; Mih8itori6 Radomir, OS >S. Kovaaevic<(, Beograd8,0_5,807r 808,8l l: Miialkovid lvana. OS >S. Kqvaaevii(: Beograd 805, 808,8t l; Miiatovi6 Srdan, OS

l!! lr-alie-v, balaljon<<, Kraljevo 805,807, 80b,811: Milatid 5ania, OS >S.'KovaCevii<(. Beograd 792,794, 805, 807, 8l l; Miladitrovid Miroslav, OS >S. Kovaa.eric(, Beograd i66_i68,ii2,173,ilg-'ltl',786,805-908,8lt; Mitenkorid Dejan. os Ds. Ko\aie\id((, BeosAd 80s,807, tios,8il: Mitenkovid!j!fiu., OS ),1J. oktobar<, Cuprija 753, j59,760,767-769, j72, j73, SOj,8Oi,8ll; Mili6evi6 Radg,OS >S, Kovaieviir, Beograd 793,194. 198,'199: Milidevid \ioleta, OS >S. Kovaievid<. Beograd 805,80-7, 80E,8l l; Milosavljevid Marina, CS DS. Kovaaevii<(, Beograd 805,807,808,81t; Milivoievi6 Ivans,OS >S, Kovalevii<<, Beosrad 808-808,81l; Milosavlievid Boian, OS ris. Raait;tico, SeabritgZ--lss,798,799,805-808, 8l l; 812; Milo5evi6 Ve,sne, OS )S. Kovaaevid((, Beograd ?66-?68,772,773,779,785, 786,805, 8O7, 8l l; Mirlid Soeiane, OS >M. Kosovac<, Sabac 766-j769,772,j7J,8O5-S08, El I,812; Mladenovid Vesne, OS >S. KovaCevid<, Beograd 8O5,807,808,81t; Mrdakoridborde, OS >S-Kovad€vic((,,Beograd 759, 760, 779-78t, 7Bs, 786,j92-79s, 798,799,805, 807, 808, 8l t; NernetElizabctr,_OS >J, Popovii<, Novi Sad 779-781,785, 786, 792-j95,298,805-808,8l l, 812; NikotiiVledrn,OS>M.Tomid<,SralaC793,794,798,799,805,8O7,808,811;Paii€Deian,OSDS.Kovaaevic((,Beggrad 792-795,.798,799,805, 807, 808, 8l l; Panrelid Suntanicr, OS >O. Petrov-Rad,i5id<, Vr5ac792,798,799; Pavlovid Petrr, OS >S. Kovadevid<, Beograd 805,8lli perili6 Miodrac. OS >S. Kova-ievid<<, Beograd 793-795,798,805,807,808,811; Petroyid Satr. OS nS. Kovaievii(, Beograd 792,794i795,198,799,805,807,808,811; Plmi6Jelene, OS DS. Kovaeevii<<. Beosrad 792,8O5,8lt; Po-pedi6 Aleksandar, OS >J. Popovii<<, Novi Sad 792-794,798,j99: popovie

Nitola,OS >S. Kovadevii<<.

lggsllg 792- 7,9J,798,799,805,807,808,8t1; Rackov Andelka, OS >S. Kovadevii<, Beograd 766-ryq,7 1?,779-781,185,7E6, 805, 807, 808; 8 I I ; Radoikovi4 Son;i, OS >S. Kovadevii<;, Beo'rad 792-725,1?9,729, 8gf, 807, 808,8t l; Redosevlievid Boirna, OS->S.-I(ovaCcrid(, Beosrad 779--:t81,785,799,7??-7?1,798,799,8o5, 807, 808, 8 I I ; Rsncid Petr, OS >S. Kovadevic<, Beograd 766-768,772,773,779-781,785,805,807,8l lj Rrrid Sneiur, OS DS. Kotatcvid(. Beosrad 792:794,795,798,799,809,807,8ll; Rctkoyid Seka, OS DS. Kovadevid((, Beoerad 805-8d8.8il,8lZ; itapaiid Aleksendra,OS >S. Kovadevid(, Beograd 805-808, 8 I I, 8 I 2; Roia Petar, 05 >S. Markorii(. V. cradiSre 753, 755,756,759,760, 780, 781,785, 792,793,799; RupnikJetena, OS >J. Mihevca<<, tdrija786,792-795,799,805-808, 8l l; Sevi6 Mirjenr, OS DD, Jerkovid<, T. U2ice 8O5. 807. 808, 8l l; Sibinovi6 Aleksandra,OS >S. Kovadevid<<, Bcograd 794,799,_8O5, E07,808,811; Simid Ana. OS >S. Kovaderid<<, Beograd791-:794,798,799i Siri5ki Drreana, OS >S. Kovaievii<, Beocrad 7j9-781,785,186,'192,805-8O7;Skrt Joiicr, OS >J. Mihevca<, ldrija 792-795,798,799i S;iliatri6 Aleksandra, OS DB. RadiCevid(,N. Beograd ?80, 783-786, 792,793_,795,_798, 799; Smiljevid bitjgna, OS nS. Kovaievid<, Beograd805-808,8 I I : Stoianovski Vlatko, OS )S. Kovadevic(, Beograd 792-795,798,799,805, 807, 808, 8 I t :Stoirnord Miodr|g. OS rS. Kovadeviiq, Bcograd 767,773,i72,j79--:79l,185,786, 805, 807, 808,81 l;Stoii6 Zivoiio, OS DS. Kovaaevid<, Beosrad 905, 807, 808,8l l: Tasid Sandra. OS DS. Koveaevii<(, Beo-grad 805, 807, 808, 8l 1 i Tintor Snelana, OS >O. Petror'-RadiSid(, vrsac 75j,759,760,767-'169,773,792,798,7_99; To5i6 Radmile. OS Dp. Krsrii<, Pifot767-769,773,779,780:805,807,808; Tovarevi6SIevice, OS )rM. Kosovac(<, Sabac 7?9-780,782,185,786; T;boierid liaiia,'OS >S. Kovadivic<, Beo-grad 805, 807, 808, 8l I; Trkulia Bilienr, OS >S. Kovadevic<, Beograd 792-795, 798, 799, 805, 807,808,8l t; Vrri6ak Vesna, OS >S. Kovadevii<(, Beograd 805, 807,808,81 l; Vasi6 Mlsden, OS rS. Koya-Cevii<, Beograd 766-768,779-781,785,7-86,805-E0?; Vasilikovi6 Staitana, OS DS. Kovaie\ii((,Beoglqd

805,80E,8ll,8l2l Veiin Milo5, OS >S. Kovaeevid<, BeogradTg2-195, ?98,805,807,808,8ll; vhhovid Alir, OS >s. Kovaaevii<, Beograd 905-908,81t; Vuiovi€ Radoiko, OS >M. Ivanovid<,!!SdS"_,g! ?qg, Z8 I , 785, 786, 792,793,79s, 1198,799; Zari6. Drage3, OS >S. Kovadevid<, Beograd 253,755,755,756,760,766-768,772,773,792,_793,794,]-98,199;Ztset Trtiana, eS >S. Kovatcvii<,Beo,grad 805 , 807, 8 I I I Zivedinovi6 Adice, OS >M. TomiC<, Sratac 753, 155, 759, 760, 767-769, 772,773 80s,807,808.81t,

Vlllrezred.Arsenovi{Branko,OS>.Milosavljcvid<,pecka796,7g8,7gg,807,808,8f0-812; Atelievidlvonr, OS >2, Zrcnjanin<i, Novisad ?Sl-i85,7i6,798,299'; Bevk fola"o, OS of. Ui-

188

hdca(. Idriia 7g4-7gg.80?--81 l; Boiovid Drrgenr, OS- DB. Radidcvid(, N. Bcograd ?81, 783-785,ise- zge.7i9: Boioyid Sne,sna, OS >Dr D' MisoYi6(' Caaak 786' 795=799i CrDCrr Milo5. OS DV.

i"Jc,,. tios. Crni Jug. 768-??0, 783,7E4,789'794'7 95' 798' 807-81 I ; Cn Mariiet, OS >J. Mihcvca<,ia,;i"ig4-tgg,807-8ll; DreSevi6 UroI, OS >8. Radicevic<, N. Bcograd 781-786,796-799; Erce-i"i"i, Atelrsenari. OS DJ. Popovii(, Novi Sad ?81-786,794,796-799,807-8ll;Goci6 Goren. OS

ir-i-Vcsclinovic<, Sabac 781,783-786,794-797,799i Goveker Me5ice, OS >J. Mihcvca<, Idrija 781,iii-zes. 795-799, E07-81t: Gruden Anice, OS >Spomenik NoB<, Cerkno 781-786: Hruiczir.l"- OS "f. Jahi6-Spanac(, Bjeljina 79,t--799,807-812; llid S-nelene, OS >C. Milosavljcvii<r, Pcckaiii--ito. j72,7j3.793. 785, 807, 809-81 2; Janilid Predras' os )v. Nazor(, Pristina 781, 783-7t6,)sA:isd.80i-Elt: Joienovi6 Trtirna, OS )8. Plakovljevii-Pinki<, S. Mitrovica 795,799i Jovenovidt;;.-'o("d. Mitosivticvii<, pccka 768, '170,772,773,807-813:Jovid Zorice. OS >NjeBoS(, KotorTsri.iis:zeE.zzo.17J:7$, ?85,?86,196,792' 808'810'8ll; Kslderon Dei*,oS DB. Radiecvic(,N.

*nx'-1?*llltJiSi.--it*f"'[""%1";3'-iiiliif'iil?;31?3.1"%;]J;li'-?3i;,lil;Ji,":Mih"""io, Idrija ?83-785,781; Kovr[Maje, OS DJ..Mihevca<(' Idrija 755-575,760,768-:170,772'iit.tstîSS.iSt_299: Krsmrnovid Rade, OS DC. Mitosavtjevii(, pecka 268,770,j72,77J,783,8O7-S i1i T"d"in"i ntirrbete, OS >Spomenik NOB(, Cerkrc 7^81-786,794,796,798,799;Ltzi6 Aleksnderr.o< rri-'oktob"...- Svctozarevo 759,760,768,770-773' 781' 783, 807, 890-8ll; Merkovid,i"-.rr"i"- OS >>d. Mitosavljevii< C. Pecka 768, 77O,772,773,785,807,809-812; Meri{ Drecicr, OS

ii.l-lrii,i.arli""iC(. pecka t68, 772 ,773,785,807, 809-8 I 2; Milovanovid Liiliene, Pecka 768,770,772,izi, COZ-At1: lytiiivoievid Alesander, OS >2. Popov-ic<, Vladimirci 79a,799i Milid Netete, OS >R.iiir''ovid<. Caiak ?81. ?83-786; Molnik Alenkri OS >Spomcnik NOB<<, Ccrkno 781-786; Molniki;i;;". o$;S;-"nit NOnn, Cerkno ?81-?86;794' 796'798,799i Mosurovid Bilirnr, OS >v.i"-iiC-Vitt"rn. Piijepoljc 759,760' 768-773,781,783-786,?94'796--799,807-810; MurrtoYi6 SYeiri"". OS r>C. Milosavljevii(, Pccka ?68,77O,772,773,8O7-812; Nikolid Jugorlev, OS DM. PoDo-.'i-J-'or,."..- paradin i68-7?0,773, 781, 783-786, 796, 79E, 799i Piltcli6 Liiliene, OS >C.

vii..rtiwiin. Piiia 768-7?3,7E3,807,8o9,811' 812; Pevlovi6 Sladane, >rM. Tomid(, Stalac

isi--lg'6-lsi. 807-8lf ; Plsvsi6 Smilie, oS >Milosavljevii((, Pecka 796-799i Popovid -Milke.i'rlird. MiloJvlievic<, Pecka 768,77O,772,773' 785' 807. 809--812; Popovid Zorrn, OS, >R'vitto"i,:".C"lak-781--186,785-798,8o?-8ll; R3doia Milica' OS >E. Kardelj< Nis 768-770:iii- zst.'zsr. 'tAS. 796-799i Rciec Deniiela, oS >>Spomcnik NoB<, Cerkno 781--786 Risridnunn- oK >>1. iovanovic-Zmaj<, Smederevo 795, 797 ' 799' 807-809; Rupnik V-esnr' OS >J. Mihcv-;"i;il;i" iir. zsi-zss, 7i4, 79t-799, 8o?-8ll; Ruskuc Nikola' oS >2. Zrenjanin<, Novii"d zal:ztO.-294-799,89?-812; Sinonii6 Trnia, DJ. Mihcvca(, Idrija ?8t, 783-786, 794-799,807-8 t I 1 Stevid Milkic.. OS DD. Lopandid<<, Suho Polje 768-770,172-773

'786'795 '797 '798,808-ii t r Sralie ltenrO. OS >8, RaaiCcvii(, Bujanovac 768-770,?8l,784,'186, 795, 798,807-810; Sv-etlici6

;.i;:i;ili:1rid"iJ"". iiiiu z1t, fer-zss, 7e4-tee,-807-80e,8t r; Tin6tiievid sleitrnr, oS >M.

ioii't"---st.t." ?l94.7{6-759i Todorovi6 Merko. OS <C. Milosavljcvic<, Pccka 755,756, ?59,760,'ies-zt6.1lZ.ll3. i98.799. 80?-8t2: ToIi6 Duke, CrS DB. Kapclan(,_Guda 796,808-812; Urolevidzotnî - Mitosivliciid<. Pecka ?98 ,?99, 809-812; vrsid Jelenr' OS )8. RadiacviC(, N. Bcograd

igj=e6,-tgl-7t*799, boz-stz; Velihovid Mirienr, oS DM.Tomid'r,stalad.807-8ll; vidrnoviC

Sneaii. bS ,ip. rop"riic", suho Foljc. 768-770, 772, 773,783-785 '79-4,797 ,-7^98; Y ledid Jovs'

ofiV.-i.irc*. nuoni Glava'807-812; Vonlinr Mrrko, oS >J. Mihcvca<, ldriia 791-796,799'?99:ir.t"" Drd;, bS >l Mihcvca<, Idrija i8l, ?83-?85, ?94-?99. 807-81 I ; vutkorid Teli1ur, oS )NjG-o5(, Kotor 807-810.

REZT'LTATI KONKT,'RSA ZA NAGRADM ZN)ATAK BR. tT

Re5enj e zad.atka. - Neka je APLFGARIEF. Tada je LAPQ:AInS (AP:AR,

{APQ:{,{R.S, 4PAQ: +S/4R). Usled toga je

Prcpi:Ptnrp. ZoaEi, povrs Cetvorougla lSFg' kojipiiba?a kldRif jednom, tako i drugom kvadratu, pred-

stavlja Cetvrtinu povrsi svakog od njih.-U predvitllnom roku stiglo je ukupno 443 od-

govora, od kojih su samo 66 bili potpuni i tadni.I.Iagra<teni su svi oni udenici koji su poslali potpuna

i tadna r€Senja.

H

NAGRADENI SU SLEDECI UCENICI: B

IV rezred. Risovi6 Aleksenrter, OS >N. MaCkiC(, KIjuC; Risti6 Kosrrr, OS >f. Jovanovid<, Smc-

dcrGvo; Stcyid Jdour, OS >V. KaradZid<. Bor.

189



V nae4 Azcnid Silviir, OS rV. Nazor<, O,cijck; puiuovid 2ivojin, OS >J. Jovanovid<, Smc_der-cvo; Meri6 Ivrne,_OS >J. popovid<, Novi Sad; Uitig Zmrviiri"ii,i'ie r*"l'-.i-ds-,fu.?1.;azic11,'y.e.ti.;-ilriili;,.iJ'iil'r.?:J:tj!f.1"+ii'i*',:11; ff.lt"J,iii;Miti6 lvrn. os Ds. Liubi4(: Kosandidi nislic Qiaiieir,bs-irv. _xaraazid<, Lebanc; srojrnovid Merije.OS >2. Zrcnjaninn, Beosrad; Sipfr ftrire,bS i'j. FLpo-"iC.i, Novi Sad.

VI rezred. Andriirni6 Jvkr, OS 1!5, lnai<, ponji Svitaj; {erkez Ninmlev, O S>scsrrc Ditrih(.,Zcnica: Celi6 vsne. oS i'N. popovi6.,,_s'eud, bJnko";cid;;'tiii;,;i;, iisliii il"'i.3liiii s,it"l;

Kozi6 Redice, oS3,M. Tomii<, _ sraraci xirie lUirimr, oS ,iirarr.-,ie,i, ifur"i]iJ;-i"lirijMlor"4.OS DD. Jak5id(, Pcrlcz; Merinkoyid R_$tko, o_S i,hva'prJt. Urig"au",-U.9Jrua-ili*;"i"iiit.Sr. OS

)ll;it!'i,x1l1'33'lii;"if:'63,tjils:mai<',Donjis'iiai; nistiEi*ei;os;ii""i-;d;;;l-'"o"'.!'o;

ts$,p'"'i;*:Ti?;ii:lJ,"fft;ft,p,l,lAlilBl?"..lll*,11"T?T:l?"n*1'j,?liJfig,l. dsT,lr;tl:novii<,Snicderevo; Husremovid Ened, oS Dsestre- Dirrih.;z;"ic" ii;;;r;;iiii.iliii,5S,ib]li,anovie.-

rru;d;iitf fli'Jr.t'6u;"is";,?.il;""ti!iaig,y.Tiiitgl8l,?i,bt:,iJ,#ifi *?ti"J;ii."i;Nemei Elizrberr,.OS >tJ. popovid<,-No"l Saa-i5iiofil-MioOii l,-oS "o. Otradovii(, Nis; palevrr Robert,os Dscstrc Ditrih(' zenica: Peikif s-err, o5.>N..retietcii, -rir"no"u";-iorJi lioi,'ij3i,iiii.bir.in.,Zcnica; Ziventsi€ Dregicr, OS'>D. JovanoviC,i, Scie"ac.' --

VIII rezred. Atliie Dt"cl!, g$ Dsesrrc Dirrih(, zcficaiBmit stevicr, os >t5. majD, Donjisvilal'; Dre{evi6 ut{'9l:rP. nagic'wic.,, Beograo; oordetie ii"irn, os, piror; Dontevid r"-".'d$ii.

ili#il'trT'l^lig,E:i'i,iwlrl,riT;iixr&3-itlil-H,T3€$;til"f::il;,3',,f,.#lr:;,jl.;,rg-;,ll:s Dl5. mai(' Donji sviraj: {ikitid Svetrme,os >2. siiiL'ic",ko"aic""s; lriirit-iddin,-oS,ii-. r-;uuicu,Kosanid; NikolicJucoltqy;oS DM...popo"ic-o,paiacinl piii"iir b-l"o*., oSi;6-:'iifi;;;fi;6"mcoe.e"o;l-:lr!d-1:q:adrr, oS 2>M.

r,tvojindid". Mraae;;;;;;-i;i;-"id MTJfi o3';;:.iiiili,i]i"",o.u_rcvo: fopovic:rorrn. OS >R. MitroviC<,Cadak; Redovenoyi6 Goren, OS >ivf, pljaae", Ciei"aci n.Sfo"ieZ9tg,9f >Kadinjica<, Loznica; ni"tii-p-olii, OB-"Jlloiuii,"ie*, Smedcrcvo; Stevuovid Sofr]b-S)t. Kostid(, I*skovac; TrIi6 Gonn, OS >2. Zi.enjanin,.,-S"li.

RE:ZI,'LTATI KOI\IKTJRSA ZA NAGRADNI ZADATAK BR. 82

Reienje zadatka.-

Na 7 naCina,onako kao Sto je to prika-zano na sl. l.

st. IU predvi(hnom roku- stiglo je. uklpno lZ4 odgovora, od kojih jc 64

bilo'potpuno i pravilno. od ovfh iesavataia nagraoe-no:J.-ijil ll. ---'

NAGRADEM SU SIJDECI UTET{ICI:'

_- ... . _ V rezrcd. BogdenovidJovu, O_S )J..popo_vid(, Novi Sa4: Donlovi6 Bilir!& OS >S. Sindctidr,vclikiP.opovid; Lonid rrri.rr, os >i. popovic<,-xo'i s"-d; iiiloir,b"ie-s'"t;r,'iiF,islsiicir-ic,

vcr*iopovicr Mito&vi6 NevGm. oS >J_ popo"ic", *oii saa; ffi;o;ilfiift;;6'S',trl 2i"Jii:iiiii", rrll"-,d::l,"l"Si

Nikodijcvic Dt gllrq, oS >s.- sinccrie<i;V:'i;;;;d; pcrrovic Dubravtra. oS Dv. Akscnri-

,"?j::$f:sl3',;*'jt3lT3$,9:i'#""*;:'"i:iTg:ff2#i'[ll,?"#*,%"d*iljPf;itri,:?,tly#j,.;

--. - .vrnzred.DodenidMerine.osDBiJov_ovid(,stabna,pruzinc;DurovMiodrrs.os x.sindc-lid<'.v_cliki popovic; EniriirDovic Dr;i;etr, o$ >s. siniaic.,-vtriti i;i-lb"ic;-j"'fi;Eiy;;il:'o$'#.Si_lrllclid<, Vcli,ki Popovid; Jovorid trlitltri

_OS_1n-. rorovi'Cii 3iaUa,_ptutinc; Mitorrmvid Suvii] bTD. Jalsid(, Cuprija; Srevtid Gorrn, oS ;s. sindcrid(,Vctiiciiropojit,----

.Nsst8va& spirLa aa trodoj stnai korica.

19019l

ZANIMLJIVOSTI I RAZNO

SLET PCELA

Prolece je ve6 bilo pristiglo i prvi cvetovi su se pojavili u vodnjaku, gde

se nalazio pdelinjak. Bilo je vreme za veliki pCelinji slet. Pdele radilice su ot-poaele sa pripremom ,,heksadroma"t) na kome ce biti slet. Ne treba ni govoritida su pdele rodeni majstori za heksadrome. One su ga izradile u vidu jednogvelikog Sestougla sastavljenog od 9l manjeg Sestougla (sl. I - 3) Mlade pdele

su sa nestrpljenjem odekivale poCetak sleta da bi mogle da pokaZu svoju uveZ-

banost za odredivanje pravaca. Slet nije samo igra.Odekivani dan je uskoro doiao i gledali5te oko heksadroma bilo je ispu-

njeno do poslednjega mesta. Znak za podetak dala je sama Matica, kada jeizrekla prvu komandu: ,, U redove po tri!"

Tada je prvo na centralno polje sletela jedna pdelica, a zatim je doletelojoS Sest, koje su oko prve formirale trougao, onako kao Sto je to predstavljenona sl. I crnim kruii6ima. Moglo se uoditi Sest redova sa po tri pdelice u sva-kom redu.

Ali to je bio tek podetak prve veZbe. Na heksadrom je sletelo joS Sest

pdelica, tako da ih je sada bilo ukupno 13, a stajale su raspore<lene u 15 re-dova od po 3 pdelice, onako kao Sto je to predstavljeno na sl. I crnim i ne-osendenim kruZiiima. Gledaocima se to dopalo i pozdravili su ih mahanjemkrilima. A onda je doletelo joS 6 pdelica i zauzelo mesta onako kao Sto je toprikazkno prevudenim kruZidima na sl. l Bilo ih je sada na heksadromu uku-pno 19, a posetioci su mogli da uode na heksadromu ukupno 24 reda od po 3

pdelice, ali je retko ko uodio 27 takvih redova, koliko ih je stvarno bilo.

Tako je prva grupa pdelica zavr3ila svoje veibanje i preselila se u gleda-i{te, odakle se dulo jako zujanje.

sl. I sl. 2

l) T.ko Ccno u ovom dlaaku naziyati poljc pokriveno pravilDim poludarnia Scstouglima.



Sada je pato naredenje: ,,U redove po detiri" i na heksadromu su bilived novi veZbadi. Njih je bilo 18 i oni su se rasporedili onako kao 5to je toorikazano crnim kiuiidima na sl. 2. Tako se moglo uoditi 15 redova od po 4

veibada. A onda je na heksadrom steteto joS 6 veibada i zauzelo mesta onako

kao sto je to na sl. 2 prikazano neosendenim kruZiiima, pa je tako sad na

heksadromu bilo ukupno 24 veLba(a, a moglo se uoditi l8 redova sa po 4

velbada.

I tako su se onda ove veZbe nastavile. Doslo je i do komande:

,,IJ redove po 5!". Na to je samo u centralno polje heksadroma, koj€ je dotle

bilo nezauzito, sletelaje jedna pdelica

igle, najedared se na heksadromu po-

javilo 6 redova od po-5 pdelica i svaka.se pdelica na5la u po jednom od tihiedova. To je na gledaoce ostavilo narodito jak utisak.

Ali je vrhunac uspeha bio po'stignut kad je pala komanda: ,,U re-dove po 6!" Jer tada je na heksa-drom izallo 54 veibada i razmestilose onako kaoito je to pradstavljenocrnim kruZiiima na sl. 3. Sada je bilona heksadromu 33 redova sa po 6veZbada, pravilno razmeStenih po ce-lom polju. Na to su svi prisutni jo5jednom zamahali krilima i zazuiali,a zatim se ovaj skup pdela raziSao.

A sada je na vama, dragi di-

taoci, da pokaZete: l) Kako se 9 ve-i,baCa mogu rasporediti u l0 redovasa po 3 vei,bada u svakom redu? 2)Na koje sve natine mogu 13 veibaCada se rasporede u 15 redova sa po 3

veibaCa u svakom redu? 3) Kako se

l0 veibaCa mogo rasporediti u 5 re-dova sa po 4 velbada u svakom redu?4) Kako se 16 veibaEa mogu raspo-rediti u 12 redova sa po 4 veZbata u svakom redu?

sr. 3

Miodrag Srajl (Veliki Popovid)

OBAVESTENJE

Spisak reiavalaca konkursnih zadataka tija su re1enja stigla posle

L maja o. g., zbog nedoslatka mesta u ovm broju ML, bite obiovljen uprvom broju ML od idute 3k. godine. IJ tom broju te biti obiavlien i spisak

nagradenih i pohvaljenih resavalaca, ali ie nagrade i priznania ovim reiava'

ocima biti upuiena yed do 15 juna o. g.

Uredniilvo

t92

Vll rszred. Knelevid Milan, OS >J. CetkoviC<, Beograd; Xrkid Azerina, OS-rR. Kondid<,

x,,,n,n.,'<i'-'iiii'ilil;;i;S;;it i"u"'-ie.', Stabna,'Pluziie;

Stevuovi6 Vesna''oS' D'sindelii<'

vctrLitr,'ovid; Stoianovid S""ii"irl, OSlp. krriil.i, pitot; Vuiovid Radoiko, OS >M. Ivanovic<,

St rrrlcnica.

Vlll razred. Drekulid Milan, OS >D' ObradoviC(, Ni!; Jovanorid- Peta-r'.OS^Dl '-oktobaK'su"r,,rrr"u,i Marko"ie Coran, OS i,iiovanovii<, Novi Brac\n' vitoSevac; Pavkov Maia' OS >l' Andrii<'

'il:;;,::i:'i;;;;;;;'i;iloS '6- rioga"n"'ic.' st'"lu.; lomid Sinisa. oS DP' vmgolic(' L jubovija;

i''.iiin J",,ar", OS rJ. Grlii<, Beoiin; Vorkapid Vesna, OS )>Bratstvo-jedinstvo((' conol,a.

OBAVESTENJE

Dru5tvomatematiiaraSRSrbiieorganizovadeiovegodine,utokun,"r"""]ot", u ietovali5tu ,,Suplia stenai .{od- Beograda, tri desetodnevna i

i"i"" a""."Lrtodnevni teEai-sVoie Letnje Skole la uCenike osnovne Skole i

udenike prva dva razreda Skola za usmereno obrazovanje'

ovitecalevibiieslerledi:a)zauEenikevlliVIIIr.osnovneSkole,d 1-10 ]tla;

"b)za udenike V i'VI razrda osnovne iikole od 1l-20 iula;

;t;" ;tdtli; I' i II razreda Skola srednjeg usmerenog obrazo'vania od

ii_lo irr"; i d) za uienike v_vul rzzreda osnoyne Skole od 1-12 avgusta.

Na ovim tecajevima obrattivade se sa slusaocima teme iz matematike

trojc nisu obuhvadene redovnim Skolskim programom, u cilju proSirivania

"ii'no""g,n"tia. Radi toga de sa njima u t-okl 8.dana (odnosno, na dvanae-

;i;;";". tlIaiu, u t6tru tO dina) raditi ve6i broj istakntih nastay_nika

,r.r"ri",-iiA"i" i vi5ih Skola po 3 iasa dnevno (odnosno, na dvanaestodnev-

;; i;t"j", po Z t"r" dnevnoi, dok de ostalo vreme modi da iskoriste za

,i,noi-i-tJf.-reaciju. Sem toga u toku iednog-prepodneva_ bide organizovan

icdan ooludnevni izlet u okotlnu Beograda, dok de se poslednjeg dana odr-

i;;;li'ktti;k icenje iz matematike za uEesnike telaia sa nagradama'

Naovetelajeveseprimajusamoulenicikoiiimajuodliinu.oce.nuiz matematike (odnosno, na'dvanaestodnevni teiaj, i oni koji imaju vrlo do-

;;;il ii o*g predmeta). Sme5taj posetilaca- bide obezbetlen u trokrevet-

ni. ron"-a sa fupatilom, u pavilionima, sred borove 5ume. LetovaliSte ima

;;;;i.';G";; i t.iil i, poluotimpiisti bazen, a uveie se u urionicama po-

stavljaju razglasni uredaii.

Ishrana u letovalistu se sastoji iz tri redovna obroka i uline po pod-

n". pretoz od Beograda rlo letovalista i obratno obezbetluje organizator.'Cun"

""fof.upoog ".iZ-an"iznosi po 3600- dinara z^ prv^ dva od narede'

;-h-i"l;i;*' ; -poa000 dinara za druga dva' Prijave i- uplate s-e prim€iu

'raikasniie do I iuna za dva prva telaia, odnosno do 15 iuna za druga dva'

U;i;i;?;fi staii na iiro raCun broi 60E06-6JE-78700 Dr'5tva matema-

ti{"i" Sn Srbiie, Beoerad, Knez Mihailova ul' br' 35/IV, sa naznakom"Za

Letnju Skolu, teEai . .. . ".Kroz ovakve tetaieve pro5lo je ved dosta onih koii su-se kasniie

lstat<ti Catr i na naivi5im'omlaiinskim-takmileniima iz matematike, pa zbog;;;;;;;t tvu i,ase Skole da omogude bar po iednom svom uceniku da

bude bosetrlac iednoe od ovih telajeva.Uredniltvo

Ovaj broi ML izlazi sa zakainjeniem iz tehniCkih, neredaksiiskih razloga'

Uredniitvo

Documents

Matematicki list 1983 XVII 6