Matematicki list 1983 XVII 5

7/30/2019 Matematicki list 1983 XVII 5

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1983-xvii-5 1/18

TOBAVESTENJE PRETPLATNICIMA

1. Uredni5tvo poziva nastavnike i profesore matematike, kao i ostale ditaoceda Salju svoje priloge za list: dlanke, odabrane zadatke,zadatke sa prijemnih ispitai matematidkih takmidenja, razne zanimljivosti. Pozeljno je da svi rukopisi (osimudenidkih reSenja zadataka) budu pisani pisa6om maSinom, s proredom' Rukopisise ne vradaju.

2. Matematitki /rsl namenjen ie svirn utenicima IV-VIII raz. osnovne Skole'List izlazi 6 puta u toku Skolske godine i to: 15' IX, 1. X, 15. XII' l.II' 15. IIIi 15. v.

3, Godi6nja pretplata (za svih 6 brojeva) iznosi 120 dinara. Narudiocima za viSeod l0 kompleta odbbrivamo rabat (207,, 15%, l0%), zavisno od roka do kojeg se

isplati celoiupna pretplata (1. XII, l. III, 1 . Vl). Nikakvi drugi odbici ne uvaZavaju se.

NarudZbine se mogu vr5iti samo pismenim putem i Salju se samo neposrednona adresu lista. Novac za sve narudibine se Salje na Ziro-raiun Druitva matemati-iara SR Srbije, broj 60806-6?8-78700, Knez Mihailova 35/IV, sa naznakom zaMatematiiki 1,"r. pri tome treba obavezno navesti tainu adresu na koju list trebadostaviti i jasno naznaditi na sta se narudZbina odnosno uplata odnosi.

NarudZbine na manje od l0 primeraka lista isporuduju se samo po izvr5enojpretplati. Ostale narudZbine treba da budu isplaiene najkasnije na 90 dana po pri-jemu prve isporudene po5iljke, a u svakom sludaju najkasnije do 31. V 1983' g.

Obaveitenja se mogu dobiti preko telefona br' 0ll-638'263.4. Redakcija Mate,nati[kog lista raspolaie slede6im do sada izaSlim godistima

Matematitkog tisia: XI, XII, XIII,XIV, XV i XVI koji se prodaju po ceni od40 dinara po kompletu.

Sem toga se od izdanja Matematitkog lrsra mogu dobiti: Zbirka reienih za-

dataka sa matematiikih takmiienio. utenika osnovne .i/cole (drugo, dopunjeno izda-nj") po ceni od 40 dinara i od dodatnih svezaka Matematiikog lista: Mali rei'nikia'tematiikih termina i Mala zbirka matematitkih zanimljivosti, po ceni od 8 dinara.

5. Mole se poverioci Matematitkog lista da izmire sva zaostala dugovanja.

6. Sve priloge, primedbe i narudZbine slati iskljutivo na adresu:

Matematiiki list, Knez Mihailova 35/lV, p. p.728' 11001 Beograd'9

98

9

988776

SADRZAJl. J. Vukadinovi6: Konstrukcija proporcionalnih duZi ..2. M. Matii: Kongruencije

8. Spisak reiavalaca konkursnih zadataka

113tl'lr2l125130135137

3. E. Mamuzii: Pretvaranje mnogouglova.4. lzbor pitanja i zadatakiza proveravanje stedenog znanja iz matemltike5. Zadaci sa republidkog takmidenja udenika osnovnih Skola SR Crne Gore6. Odabrani zadaci7. Konkursni zadaci .

142125

korice

MATEMATICKI LISTZA UCENIKE OSNOVNE SKOLE

XVII

5

9.9+7:8 8

9 8.9+6:8 8 8

987.9+5:8888

9876-9+4:888889 8 7 6 5.9+3:8 8 8 8 8 I87654.9+2:888888876543-9+1:8888888865432.9+0:888888888s4321.9-1:888888888

BEOGRADI983.

8

8

9. Zanimljivosti i razno10. Nagradni zadatak 3. str.



SAVEZ DRUSTAVA MATEMATIEARA, FIZICARA I ASTRONOMAJUGOSLAYIJE

MATEMATIEKI LISTza ulenike osnovne Skole

God. XV[, broj 5 (1983)

Izlazi Sest puta godiSnje

IZ,DAJE DRUSTVO MATEMATIEARA SR SRBIJEBeograd, Knez Mihailova 35/IV, p. p. 72E.

Redakcioni odbor:

Bogumila Kolenko (Ljubljana), dr Zetjko Pauie (Zagreb),Kosta MijatovrZ (Sarajevo), Danilo Stepanovl (Titograd),

mr Slobodanka Georgievska (Skopje), Velimir Sotirovri (Novi Sad),Sinasi Korenica (PriStina), mr Vladimir Stoianovit (Beograd)

Uredni5tvo:

Miroslav tivkovit, mr Mirjana Mrmak, dr Arif Zolit,Branka Derasimovit (sekretar uredniitva), dr Liubomir Cukit, Ilija Mitrovi(

Staniia Petkovit

Glavni i odgovovni urednik: Platon Dimit

Sva prava umnoZavanja, pre5tampavanja i prevotlenja zadrlavaDru5tvo matematidara SR Srbije

Oslobotleno plaianja poreza na promet na osnovu resenja Republidkog sekretarijataza kulturu SR Srbije br. 413-186-03 od ll. l. 1973. godine

St"-p", B."g*d.@ B"l. t-n d" Itttftiu U. lZ

Julija Vukadinovid (Beograd)

KONSTRUKCIJA PROPORCIONALNIH DUZI

Za dve duli a i b kaie se da su proporcionalne drugim dve-ma duiima c i d ako je razmera prve dve duZi jednaka razmetidrugih dveju datih duZi, tj. ako je

aib-cid ili (na drugi nadin napisano) +:+bdPri tome se kaZe da je svaka od detiri date duZi detvrta pro-

porcionala za tri ostale duZi.Ako se u nekoj ovakvoj proporciji jedna duZ pojavi dva puta

kao spoljadnji ili unutra5nji dlan te proporcije, tako da je, na pri-mer:

a'.b:c;a ili b:a:alc,onda se kaie da je ta dui srednja geometrijska proporcionala iligeometrijska sredina za ostale dve duZi.

7-a duli b i c kaie se da predstavljaju treiu geometrijsku pro-porcionalu duLi a i c, odnosno duZi a i D po5to poslednja propor-

cija ima tri ilana.Teorema /. Ako se dve prava, koje se medusobno seku, preseku

drugim dvema paralelnim pravama, dobijeni odsedci su proporcio-nalni.

Neka se prave m i z seku u tadki O i neka ih paralelne pravec i b seku u tadkama A i At, odnosno u tadkama B i BL (sl. I isl 2). Tada se moZe dokazati da je:

OA:OAt:OB:OBr, . OA:AAr:OB:BBt, OA:OB:OAr:OBr.

\om l',4

8isl. 2

113



Dokaz ove teoreme izvodi se u okviru redovne nastave mate-matike u Skoli, i zato ga ovde neiemo navoditi.

Ovu teoremu moZemo primeniti na konstrukcije proporcionalnihduii. Ako su od ietiri proporcionalne duZi poznate tri, tada se det-vrta duZ moZe lako konstruisati.

Zadatak ,1. Konstruisati detvrtu geometrijsku proporcionalu za

tri date duii a, b i c.

Reienje. eetvrta geometrijska proporcionala je dui x koja za-dovoljava geometrijsku proporciju alb: cl x.

Nacrta se proizvoljan uga.o mon (sl. 3)i na kraku Om odrede se tadke A i B takoda je O.4.:a i A8:6. Dalje se odredi na kra-ku On tadka C tako da ie OC: c. Kroz ta-dku .B povude se prava p tako da je pi'iACi obeleii se presek pravih p i On sa D. Kakoiz AC liBD sledi OA:AB:OC'.CD ili a:b:c:CD, to je CD:x.

Zadatak 2. Konstruisati treiu geometrijsku proporcionalu x zadve date duli a i D, kada je a'.b:b:x.Ovaj zadatak predstavlja poseban sludaj prethodnog zad,atka

pa se re5ara kao prethodni, s tim Sto duZ c treba zameniti duZi D.

Zadatak 3. Konstruisati duZ x diji je merni broj jednak pro-izvodu mernih brojeva duLi a i b.

ObeleZimo merne brojeve duLi a,b i x sa loi, lb l, ixi. Tadase na5 zadalak sastoji u tome da se nade x takvo da je j y'1:i,at,.!b'i.

Poslednja jednakost moZe se napisati u vidu l.ix!: ia'i.t,bi,a odavde se dobija (ako se obe strane ove jednakosti podele sa

loi.i"1) proporcija l:jal:iDl:lxl. To pak pokazuje da je sxlietvrta proporcionala brojeva l, ]c j i lDl.

Ako su merni brojevi nekih duZi ilanovi odredene numeridkeproporcije, onda su te duZi ilanovi jedne isto takve geometrijskeproporcije. 7-ato iz proporcije 1:laj=lbl:lxi sledi geometrijskaproporcija ela:blx, gde jc,e izvesua* izabranajedinidna dui.

tt4

Izaberimo sad neku d,ui e za jcdinidnu duZ kojom demo me_riti ostale duLi. zalim na kraku om ugla mon (sl. +) izaberimt tai-ke.lvt i A'tako da je Olvt:e i MA:o, u na kraku Or izaberimotadku. E tako da je OB:b,pakroz tadku I povucirno pravu AC:tMBdo njenog preseka c sa pravom a. Duz BC predstavlja6e trazenuduZ x, a merni broj ove duZi biie traZeni Uroj I :r i. -

,iI

c-l-6 I

elaI

Ji- _r

zadatak 4. Konstrusati duZ x diji je merni broj jednak kolidnikumernihbrojevaai6.

Ovaj zadatak reSava se slidno prethodnom, U njemu se zahtevada se nade duZ x takva da ie lxi:l"l .' ibl

Iz ove jednakosti dobija se proporcija 1bl: l: ia l:iz ove JeonaKosrr dobfa .se proporcija lb l:l : ] at;ixi, pastoga treba obrazovati. geometrijsku plopoiciju 'b

: e : a; x (gde-

ee:alx (gde e

sr. 4

predstavlja izabranu jedinidnu aui) i oor"diti nepoznatu eeturtil pro-porcionalu x.

^ Kgnqtrukcija se izvodi na slede6i naEin. Na kraku Oz uglamOn (s1.5) izaberu se tadke B i M tako da je OB:b, BM:e, ana kraku On izaberc se tadka A tako da je OA: a. Kroz tadkuff-.goryd1 s9 prava p paralelna pravoj AB-, koja sede pravu n ufeli.$ Dui,- A.C, predstavljade triZenu duZ x,

-u-"rni broj ove

duZi bi6e traieni broj x.

Zadatak 5. Konstruisati srednju geometrijsku proporcionalu ,r(geometrijsku sredinu) za dve date dui'i a I b.

Da bi se ova k-ons_trukcija mogla ditaocu objasniti, potrebnoje da mu prethodno bude poznato siedeie.

sr. 3



a) Visina pravouglog trougla ABC (sl. 6) spuStena iz temenapravog ugla C na hipotenuzu AB, predstavlja srednju geometrijskuproporcionalu za projekcije dveju kateta na hipotenuzu, Sto znadi daje (s obzirom na sl. 6): p:h:h:q.

sl. 6 sl. 7 st. 8

b) Svaki periferijski ugao konstruisan nad iukom koji pred-stavl.ja polovinu kruga j.- prav ugao (sl. 7.;, usled dega je svakitroug{}o dija jc hipotenuza prednik kruga, a diji se vrh nalazi nallrugu, pravougli trougao.

Ako se ovo ima u vidu, onda se srednja geometrijska propor-cionala dveju datih datih duZi a i b nrcLe dobiti na slcdedi nadin.

Konstrui5e se duZ AB:AM+ l+tB, gde je Aht:a i trlB:b inad duZi AB, kao nad prednikom kru_ua, konstruiSe se polovina

kruga (sl. 8). Zatim se konstrui5e norrrurla na prednik ,18 u taikiM od tadke If do preseka C sa nacrtanim krugonr, i tako scdobije duL tr[C.

Ova duZ, s obzirom da je trougao ABC pravougli trougao sapravim uglom kod temcna C, predstavljaie srednju gcometrijskuproporcionalu duZi a i b.

Zadacil. Izaberi tri proizvoljne duZi koje obrazuju izvesnu proporciju sa Cetvr-

tom nepoznatom duZi, i odredi tu duZ.

2. PokaZi da se i grafitki moZe izradunati da je 2.3:6 i da je 12:3:4.3. lvloZe5 li da odrediS povrSinu pravouglog trougla kad znaS da projek-

cije njegovih kateta na hipotenuzu iznose 2 cm i 4 cm?

Mleilen Mati6 (Gornja Tre5njica)

KONGRUENCIJE

lzlaganje o kongruenciji brojeva odnosi se na skup celih bro-jeva i deljivost istih. Zato se ovde nuZno pretpostavlja da je ditalacvei upoznat sa izvesnim osnovnim svojstvima celih brojeva i medu-sobnom povezano5iu deljenika, delioca, kolidnika i ostatka pri delje-

nju u Z.Definicija /. Neka su d i 6 celi brojevi i neka je rz prirodan

broj. Tada se kaZe da je broj a kongruentan po modulu m sa bro-jcm b ako i samo ako pri deljenju sa z brojevi a i 6 daju istiostatak, Sto pi5emo a:b (mod m\.

Drugim redima, brojevi a i 6 medusobno su kongruentni pomodulu m ako i samo ako je s:mq.+r i b:mq2+r, gde a,b,q,qz€Z, a m,re N i 0(r<lz.

Ako a nije kongurentno sa b po modulu rn, onda 6emo pisa-ti s#b (rnod nr).

Primer 1. Po5to je 37:8.4+5 i l3-8.1+5, kaZemo da su37 i 13 kongruentni po modulu 8 i pi3emo: 37:13 (mod 8;.

Odnosno, po5to je l5:7.2+l i l0:7'l+3, kaZemo da jet5 i l0 nisu kongruentni po modulu 7 i piSemo: 15*10 (mod 7).Na osnovu definicije kongruentnosti dva broja neposredno se

uvida da ova relacija ima svojstvo refleksivnosti, simetrije i tranzi-tivnosti, tj. da je c:a (mod m), da iz a:b (mod m) sleduje 6:a(nrod rz) i da iz a:6(mod nt) i b=c (mod ln) sleduje a:c (mo'd m).

Teorenn /. Broj c je kongruentan sa brojem b po modulu nrako i samo ako je raziika ova dva broja deljiva sa n.

Dokaz. DokaZimo najpre prvi deo ove teoreme, tj. da deljivostrazlike ima za posledicu modularnu kongruentnost brojeva a i b,Sto moZemo zapisati ovako: mla-b => a:b(modlrl).

Zaista, neka je a:nqt+rt i b:mQz*r". Tada, po5to je

a- b- m(qr- qr) * (r, - rrl, iz nt 1a- b ptoizilazi d,aje

ml,m (qt- qr)+*(r,-r.), a to moZe biti samo ako je miQr-rr). No, kako je0(r,<rz i 0(rr(m, to ova razlika moZe biti deljiva sa rn samoako jc tr-rz:0 > t,:r2i a u tom sludaju je a:b (mod z).

Isto tako se moze dokazati i drugi deo ove teorerne, tj da ai b ne mogu biti dva medusobno kongruentna broja ako razllka

^4.tj

ll6 tt7



a-b nije deljiva sa.m. Jer,ako m((a-b), zna1i da m{1n.(qt-qr)+(r,-rr1, a io moZe biti samo ako je rr*r,, tj. ako q*b{mod m)'

Na taj nadin smo se uverili da je mio-b dovoljan-i potrebanuslov da bide a-:b(mocl rr), a na slidan nadin se moZe dokazatiAa je i, obratno, a:D(modm) potreban i dovoijan uslov da bude

mla-b.Zbog toga se kaZe da su relacije c:D(m9d m) i ry,o-D me-

dusobno eiviuilentne, 5to se zapisuje ovako: a:6 (mod m) ++ m"o-b-Primer 2. Odrediti da li su istiniti iskazi: a) 438:15 (mod 9)

i b) 825:3 (mod 9).

Reienje. a) 438 - 15 :423. Po5to je 423 deljivo sa 9,- to je,prema teoremi 1" 438=15 (mod 9)' - -b) Po5to razlika 425-3--422 nije deljiva sa 9, to i 825+3 (mod 9).

Primer 3. Relacija a:l (mod 2) znali da je a-l deljivo bro-jem 2, tj. da postoji iakav broj m d,a je a-l:2n, odnosno da je"o:Z*ii. viZi i obrnuto. Prema tome, d=l(mod 2) znadi istoSto i iskaz: c je neParan broj.

Primer 4. Relacija a:0(mod 2) znali daje a-0:-c.deljivo

sa 2, tj. da je a:2m. YaZi i obrnuto. Prema tome a=0(mod 2)znadi isto Sto i:a je paran broj.

Napomena. Odigledno je d'a zz proizvoljne cele brojeve a i 6

vaZi uvek: a-6 (mod l.)

Teorema 2. Neka su 4, b, c celi brojevi i neka je nr prirodanbroj. Ako ie a=b (modru), onda je a'c= Dc (mod m), a takodeje i c. c:b.c (mod mc).

Dokaz.Iz relacije a=b sleduje mla-b, tj' mk:a-b(keZ,k*Or. Ako ovu jednakost pomnoZimo ia c dobijamo mck:ac-bc,Stlpotazuje da ji ac:-bc (mod ln), a isto tako i da je ac-:bc (mod nc);a to je i trebalo dokazati.

Tako, na primer, iz 3=5(mod2) sleduje 3'7-:-5-'7 (mod 2) i3.7:5'7imod'la); i, zaista 2l-35(mod2) i 2l:35 (mod l4)'

Teorema J. Neka sv a, b, c i d celi brojevi i neka je m pri-rodan broj. Ako je a--b (mod m) i c:d (mod ln), onda je a*c:b+d (mod m) i a-c:b-d (mod' m).

ll8

Dokcz. Ako je a=6 (mod m) i c:d (mod rn), onda postoje bro-jevi q, i 4, takvi da je mqr:a-b i mqr:c-d. Aka saberemo ovejednakosti, dobijamo m(.qr+Q):a+c-(b+di, a ako drugu od njihoduzrnemo od prve, dobrjamo m(Qt-g):s-b-(c-d). Odavde sevidi da su navedeni zbir i razlika deljivi sa la, i time je dokazzavr Sen.

Tako. na prirner iz 2=5 (mod 3) i 5:8 (mod 3) sleduje 2r+5:5+8 {mod 3} i 2-5:5-8 (mod 3); i. zaista ?:13 (mod3) i

- 3: - 3 (mod 3).

Tearema 4. Za cele brojeve e, b, c, d i nt prirodan broj iz re-|acije a:b (mod rn) i c-d(mod n) sleduje ac:bd (mod nt).

Dokaz. Na osnovu Teoreme 2 proizilazi da je ac:bc (mod rzr)i bc:bd (mod zr), a odatle proiz-ilazi da je i ac:bd(modru), 5to je itrebalo dokazati.

Tako, rra primer, iz l:5 (mod 4) i 9: 13 (mod 4) sleduje1.9=5'13, i zaista, 9:65 (mod 4i.

Kao neposredna posledica ove teoreme dobija se da izo:6(modnr) sleduje an:bn (modnl), gde je n€N. Poslednja rela-cija je tadna i za n:0, jer se tada dobija l:l (mod zr).

Printer 5. Svaki vi5ecifreni broj kongruentan je sa svojom cif-rom jedinica po modulu 2,5 i 10. Dokazati.

Dokaz. Neka je dati vi5ecifreniFormirajmo razliku tog broja i brojagovih jedinica, tj.

a-Co:CtC*-r. . . C2CrCo- Cs:CkCt,_r. - .CzC, 0::Ck.lak * C*-tl0e-r +' . . CzI0?+C,. l0 :- 10(c& l}k-t +Co_r.l0t'-z * . . .cr.l0+c,).

Odavde se vidi da je razlika a-Co deljiva sa 2,5 i 10, pa jezato a:Co (mod 2), a:Co (mod 5) i a:Co(mod l0), Sto je i trebalodokazati.

Iz navedenog neposredno proizilazi pravilo: sa 2, odnosnosa 5, odnosno sa l0 je deljiv onaj i samo onaj broj iija je cifrana mestu jedinica deljiva sa 2, odnosno sa 5, odnosno sa 10.

Primer 6. Svaki vi5ecifren broj kongruentan je sa zbirom svojihcifara'po modulu 3 i 9. Dokazati.

I

l1

|,,

l1

i,

til

brojkoji

a:C*C*-r. - .CzCtCo"se nalazi na mestu nje-

ll9



Dokaz. Neka je viSecifreni broj a- CoCuJ:7E;'o'mirajmo razliku

a-(C1,+C*-rr ' "C2+Cr + CJ:Cx'l0o*C1-1l0k-1+ '' 'C'102+' "+c;.ro+co Jco-cr-r- ' ' 'c-r-^cr-co:co'99' ' '9 +

+io-r'gg "'9;' " c.'gg+cr'9 :9(cr' ll''' 1 +

+Ck'll'''l +'''Crll+Ct)'Ovde se vidi da je razlika a--(Cr+C*-'j ' '-'C'jCt+Co)

deljiva sa 3 i sa r, pull ;^\";;;,r*,%., * ''; 'C'+ ctl- co (mod 3)

i-i=co*C*-,+ '-' 'Cr+C,.+cr(t99,9L --^-.,,^. ^^ . ^rlnnsIz navedenog neposredno proizilazi oravilo: sa 3' odnosno sa

9 deljiv je onaj i t;;;;;j'1t;j- k"a koga je zbir cifara deljiv

sa 3, odnosno sa 9.

Primer 7. Odrediti ostatak koji se dobija pri deljenju broja

3100 sa 13.

Eunnnia Manryrnh lBeorPal)

IPETBAPAbEMHoToyHIoBAyAPTTTn6IIMAJEAIIAKEMHOTOYTJIOBE

3a AFe paBlrr{Hcre reoue'rpajcre Qrrype ce raxe Aa cy jerutare

aro rnurajy jeggare .rloBplul{He'I np"riopo1u jenai r"lroroyrao y lpym suaqln KoHcrpylrcarlr

Apyrr uuoroyarao xojn ca rIpBuM uua jeAnaxy nolptxmy' ay3

ro3aAoBOJbaBa IBBeCHe AaTe ycJIoBe'flpnlnrou perualarsa reor"rerpnjcxRx 3a'qarara iar'n'a ce Blrlrre

,ryt" ,rotp.6a .qa- ce aui" 6t"ypa g-aoaenu ApyroM roja uua ca rboM

jeguaxy rroBprrrr'y, ,ftuio^n"'opAe 6nru yiirano Ha xeKoJl''ro xaj-'"a*hlr,x crly'la;era oBaKBI{x npeiraparra'-rlpll roue he ce ro rroc-

Tr{3arn TIJII{ TaKo urro he uona Qnrypa 6uru cacraBJbelra oA Aeno-

;; ;" xoje je nperxo,qxo roAerbelra aara fi'rrypu' Ttt ruro nehe

6uru cacral.tbeHa oA TaKBux AeJIoBa' alu he ce, c obenpoM Ha He-

re .qpyre o*o:rto.tn, *on" yinpgnrr 4a je oua unaK je4rara Aaroj

Ourypu.3agafrax .1. flperroplrru Aartr rpoyrao ABC y je4naroxpaxu

Tpoyrao ca HCTOM OCHOBHqOT{.

Auatuza. flourro rpaxeHn jeAHaxoxparu rpoyrao rpe6a aanua sajeAnnqxy ocHoBnuy ca AaTI{M TpoyrtoM' IseroBa EI{cnHa Mopa

Jrexarn Ha crrMerparl{ ocHoBuue Aaror rpoyrna }r Mopa 6uru je-

,qHar(a EI{CItHll Aaror rpoyrna.

Roncfrpyrc4uia' Tpe6a xoHcrpyncar[ clrMerpany ocnopuqe l8Aaror rpoyiaa ABC (cn. 1) u npary raplne#ry ocHotl{qu--'qarortfoytnu- *b3a nporru3l{ xpo3 lberoBo reue C' V npecexy cr oDe 'qDe

lpaBe HaJlasnhe ce Bpx rpaxeHor rpoyrxa'

Aoras. P nc : 4!Y-, P^"r, :{ 19& . vu*o je c D : c, D,,

For-

ili

1

prepo

Reienje. Da bismo odredili traLeni ostatak' pokrrsaiemo naj-

da nademo neti mun]i-;roj.*jt je kongruentin sa brojem 3100

*oaut" 13. To 6emo Postidi ovako:vidimo da je 33 -'2i"i"d;i"-n=l (mod l3). Otud sleduje:

33:1(mod 13) > (3}r=1$ (mod 13.) -= 3e:l (mod 13) +t 3"Jee-l'3 (mod 13) > 31@=3(modl3)'

Kako je 3:13:O sa ostatkom 3' zakljuEujemo da je traZeni

ostatak 3. l

Primer 8. Odrediti Poslednju cifru u dekadnom zaPisu broja 720

Reienje. Poslednja cifra- zapisa ?n predstavlja ostatak koji se

dobije pri deljenju i""i""i;;' 10' Prima tome' treba odrediti

tai ostatak. -r-^- ^r + ''"' "'iiuii' j. 72:49 i kako 49:10:J t" ostatkom 9l' to je

72: -l (mod l0) +'i,t_jl'ilto i*o9 10) + 72o- | (mod 10)'

Kako je 1:10:0 *'otiuttJ- 1' zat<UuEu;emo da je traZeni

ostatak l.Zailacl

1. odreditiostatkepri deobi sa ll:brojeva a) 3,1 b) |9792+2\)19

2. Odrediti poslednje dve cifre u zapisu 99e'

3. Dokazati:."o i,oile detjiv sa. ll ako.i samo ako je razlikatb:tl-i'':fara na parnim i zbira cifaia-na neparnim mestima njegovog decimalnog zaprr,";

deljiva sa ll.

120

to je P:Pt.

AD D1

Cr. I

i

i

I

t2t

{



-{

3agaAarc 2. Tpoyrao ABC rpe6a nperEoprrrrr y Apynl' KoJrI

"Maca AarI{M ,uJ"ati"*" yrao A:u, ain [pom{ca'y Bncnny.ft'

pa3rnqrry oA EucruIe rPoYtna ABC'

Aaaausa. flourro BucuHa rpaxexor rpoyrna rpe6a la 6y4e h'

a yrao KoA TeMeHa A rpe6a,qa 6yae :ajegnn'rxn 3a AarR n rpaxeulltpoy."o, reue C, Tpaxexor rpoyruI-l Mopa ce HaJra3lrrlt Ha llpeceKy

"ipi""trlAC mioi rpoyrna

-(ct' 2) N Inparei na-parrerlH^e-ca,-ocHo-

Dr{rIoM AB garor tpoy.ttu, xoja je yAaJbeua o'4 ocHoBl{ue sa ft' Aroje, rao Ha cJr. 2,h<CD, rerue B, ce Mopa HaJla3rlTlr Ha [poAyxerl(y-pgxu

AB, [r ro TaKo ,qa 6y.qe Pocrr:Pot"',.Koncfrpyrcryuja. iloruro ce oApeAH teve C, ' KoHcrpyllue ce

gyx CrB n npaua xoja upola3l{ Kpo3.TeMe C, a napalelna je ca

fro, trn. fliecer t"- npu". r npaue AB npeactaBrbahe rpehe reue

B, rpaxeuor rpoyrna.

floxaz. Tpoyrln BCC, u BB.C, cy jeAnaxH, :aro urro uuajysajeAHIFIxy ocnonnuy BCL.hjeanaxe Bllcuue' Kaxo rpoyrao OBC,

rrDrrnaAa ucroBpeMexo u jegxor"r lI ApyroM oA oBa ADa rpoyrna'r[ tpilt"oso bcc, a oEn, rvropajy 6rrn r'refyco6xo jegxaxn'

3agafuax 3. Koxcrpyuc"*.- 1). rapanenorpau xoju ca AarIrM

TpoyffroM uMa 3a3e,{nnYiy ocnoauqy rje,uax sajegHruKrl yrao; 6)

ii;fi; xoju ca -Aur"' Tpane3oM ur,ra jeAax sajegnu.rru yrao n

"t1"a" je.uHa crpaHl{ua rloKilana ca jegnnv KpaKoM Tparle3a'

CDC

ABCr. 4

a) Koncinpyrcryia. Otpettyje T-J3'II1 L lctr' 3) raro A1 6yae

CL:BL il KoHcrpyr{-y "f-"p"i" If!_il AB nktoz B ptzva PttiAN,

r"*o l" ce ao6ujJnuxon npecer M- geraopoytao ABMN rpeAcraB-

Jba rpaxeHl{ napanenorpaM.

fiotaz. Ptac:PtBttt*Pcttz, PtauN:PfiIf,r*PsuL' Kaxo je

LCNL* 6BML, ro je P$6:P,$My.6'1 Koncilpyn4$a. OapeDyje c-e--TavKa jV (cn' 4) raxo 'ua

je

CN: BN rI KoHcrpynme ce npiia DN, raro .qa ce qo6nje npecer

M npaw DN Y npzte AB. ABD ie rpaxenr rpoyrao'

t22

,i

il

l,

M

floxat. Ptaco:Ptnxo*Pspy, P,rup:Pts*o*Pautt. Kaxo jeACDN=ABMN, ro je Pfisr:P,tt+to.

Halouena. flpu peruararry oBor 3aAarra awarrrL3a je ntocran-reua, jep je cacruu jegnocratHa, na ce peurerba ruge raropehnHenocpe.qHo. Ceu rora, y o6a nareAena clyuaja, Qurypa xoja ceao6xje cacraBJbeHa je oA Aenora roju cy He caMo jegnaxu, Herocy qaK rr noAylapHrr ca

AenoBuMau3 xojux je cacraBJbeHa

AaraQurypa. 3aro ce Kaxe Aa cy y ABa HaBeAeHa cnyxaja ALTa uTpaxeua rfr.rrypa jeguarocacraBJleue.

3agafrax 4. Koucrpyficarn npaBoyraoHrrx roju je jegnar .q,aroMKocoyruroM napanenorpauy (a, h) c rul'a ga jegna rberoBa crpaHt{uaH},4A AyxltHy m. s_R

Ca.5

Auatuza. Hexa je ABCD (cl. 5) .(arrr Kocoyrnr napanenorpaMlr HeKa je MN:m jeAsa crpaxnlla rpaxexor rpaBoyraouuKa. Aa 6uce oApeAruIa Apyra crpagtrqa .r rpaxeHor lpaBoyraoxura, rpe6afilrlartt y Elrgy ga je mx:ah > m'.d:h'.x. flper"ra roMe, r ce Moxexahu rao {erupra [ponopqrrouana uponoplqtuje m:a:h:x.

Roncfrpyx4uja. Ogpe.qn c€ r: 4,"rrr.

onaKo rao ruro je rom

uplrra3aHo Ha cJr. 5, R xoncrpyuue ce rpaxeHrr trpaBoyraoHnr PpRS.

,\oxaz. flpozrxlaru I{3 HaBeAerre axaJrrne.

3agatuax 5. flarn npaBoyraoxnx rrperlopf,rn y KBaApar.

Anarusa. Hexa je ABCD (cl. 6) Aarrr npaaoyraoHr{K (a, b),rr Hexa je gyxnna crpaHuqe rpaxeHor rBaApara .r. TaAa je xt:ab > x: /A.

Koacfiipyrc4uja. O,qpeau ce reouerprjcKa cpeArrHa Ayxu a n boHaKo Kao ruro je ro npnxa3arro Ha c1.6, u r(oHcrpynue ce xBagpar.

Ca. 3

123



fioxat. llpon:uaru r.r3 HaBeAeHe aHaJru3e.

C A D b EMCr. 6

B

IZBOR PITANJA I ZADATAKA*, ZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

IV RAZRED

jagataax 6. [arn MHoroyrao rperBopHrrr y Apyr_[ roju ulraJeAHy CrpaHy Matbe oA E,era.

Hera je ABCDE Aa-rr MHoroyra.o (cl. 7). Tpaxern MHoroyraoMoxe ce, oqrrrre,qHo, Ao6Irrr.I TaKo ruro he ce crpa'wra AB npo_I\y)KHTH npeKo rarrKe A Ao o4pefeHc ravre 1,, ua he ce ra raqKacnojnrn je4uovr Ayxrr ca reMeHoN{ D, jep he"ce np" ,or" noup_rullfa Aaror MHoroyrura cl'r.ar+.HTtl 3a rroBrrrnHy TpoyrJ,Ia ODE, ayBefiarn 3a noBptrrlrHy rpoyrura OAA.. Hyxxo l. "ut,t" au-* ,o-loxaj TavKe At oApeAr{ TaKo .{a 6yli foo":fon^,

Koucfrpyx4uja. XoHcrpyuue ce.,qnjaroHala AD u npara xoja[pona3r{ Kpo3 TeMe .8, a.napaleaaa je ca gnjaronanovrlD. flpecexI, oT npaBe rr npane AB rpe6a nonetutr l.Aro, ayxn ca 1.r"_Hoy ? Aaror MHoroyrJra, na he ce raro ,qo6ur, ,ro.oy.uo ATBCD,rojn he 6zrr jegnar AaroM MHoroyrJly.

[orc92. Tpoyr,roru ADE n ADA, uellyco6no cy jeguaxu sarourro nuajy rajegun.rxy ocHoBlrqy AD'w jeguaxe sucuHe. Karo rpo-yrao AOD npu[aAa r je4Hov tr *rpyrov oA oBa ABa rpoyrra, TorpoyriroBn ODE u OAA, uopajy 6utw rrrelyco6no jeaHaxu.

3aAaun. 1.. flperropura Aarr{ Tpoyrao y apyru, xoju uua ca Aarur TpoyrnoMJeavy 3a1eaHnyKy crpaHarly ll Ha moj .uarn yrao g.

. 2. flperaopuTn aarn Tpoyrao y npyrlr xojn ripn ocrroBrrrlr xMa c r6HM3aJeAHH{KI4 yrao r, c THM Aa My ocHoBnqa rrMa Ilpofll{caHy

ayxlrHy.. 3. HpernopNru: a) aarr.r rpoyrao y npaBoyraoHur roju HI{a c }r,uM 3a-JeaHr'rr{Ky ocHoBuuy; 6) ,qarll porr60na y npaBoyraoHur rojx rNra c rcNv rajea-H[qKy ocHoBHqy.

AAFC:r. 7

napane_irorpaM y Apyr[ xojn uua Aare crpaHnqc

xBaapaT y trpaBoyraoHrrK ca AaTUM ocHoBrruo!,r ..

VarijantalDELJENJE U SKUPU N. KVADARI KOCKA.1. Kakva veza postoji izmedu radun-

skih operacija deljenja i mnoZenja?

2. Iz tadne jednakosti 328.'13:2t944izradunaj, ne vr5eii deljenje, koli-ko je: a) 23944:73; b) 23994:328.

3. Kako se nekim brojem moZe po-deliti: a) zbir viSe brojeva; b) raz-lika dva broja i pod kojim uslovi-ma?

4. Izradunaj: a1(22+ ll+44):11;b) (22+ 13 +.42):ll; c) (19-ls):2;d\ (444-222):2.

5. Kako zavisi kolidnik od deijenikai delioca?

6. Na osnovu tadne jednakosti 770:35:22, izraianaj: a) 1540:35;b) 770:70; c) 770:7; d) 70:35.

?. Sta je povrS kocke?

8. Sta je svaka strana kocke i Cimeje ogranidena?9. Koliko kocka ima strana, koliko

temena?10. Kako se zove duZ po kojoj se

sastaju dve ravne povr5i kvadra?11. Ima li na kvadru paralelnih ivica

koje se seku?12. Postavi kvadar tako da jedna nje-

gova strana pripada horizontalnojpcvr5i stola. Odgot'ori na pitanja:a) Koliko horizontalnih stranaima kvadar? b) Koliko vertikal-nih strana ima kvadar? c) Kolikohorizontalnih ivica moie5 da uo-CiS na kvadru? Izbroj sve verti-kalne ivice. d) Jesu li sve ivicekoje pripadaju verrikalnoj srranikvadra vertikalne?

13. Seku li se svake dve strane kvadra?

Varijanta IIMNOZENJEU SKUPU N. VEKTOR.TRANSLACIJA. PRUGAI. Kako glasi zakon zamjene mjesta

faktora? NapiSi ga simbolima.2. Kako glasi zakon zdruZivanja fak-

tora? Napi5i ga simbolima.3. Kako glasi zakon o mnoZenju:

a) zbroja; b) raziike dvaju brojevanekim brojem? Napi5i simbolima.

4. PomnoZi i zamjenom mjesta fak-tora provjeri todnost: a) 19.78;b) 34.53.97.

5. Izradunaj a) (3+2+9+1).2865;b) (47+ 3-50).1267.

6. Kako ovisi rezultat o faktorimapri mnoZenju?

7. Na osnovu todne jednakosti:36.184:6624, izradunaj: a) 6.184;b) 72.184; c) 36.92.

8. Kada se umnoZak ne mijenja?9. Iz todne jednakosti 128.54:6912

izradunaj: a) 64.108; b) 256.27.10. Nacrtaj pravokutnik EFGH i dva

vektora 7i i -c6, pa translatirajovaj pravougaonik najprije za vek-

tor 7i, a zatim za vektor d.ll. Nacrraj kvadrat ABCD i vektor

EF, pa izvrSi translaciju tog kva-

drata za vektor fi NapiSi paro-ve pridruienih vrhova kvadrata iparove pridru2enih sukladnih du-Zina.

12. Nacrtaj dvije pruge tako da nji-hov presjek bude pravokutnik.13. Nacrtaj dvije pruge iste Sirine ko-

je se sijeku.

lr,

I

I

4. flpernoprarr{ Aarfiaub.5, flperaopuru Aara

t24

. ,Zbog razlika u nastavnim planovima i programima nasih republika i pokrajina od navcdenihuad.ataka ne odgovaraju svi svima udenicjma nasih skota; ali me<tu ilima svalii ue.iii moz" nadi onckoji mu odgovaraju.

125



,

IZBOR PITANJA I Z,ADATAKAZA PROVERAVANJE STECEI\OG ZNANJA IZ MATEMATIKE

V RAZR,EI)

IZBOR PITANJA I ZADATAKAZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VI RAZRED

Varijanta IDELIENJE U SKUPU Z. JEDNA.CINE I NEJEDNACINE. CENT.RALNA ROTACIJA

1. Kaii kako se odretluje kolidnikdva cela broja? Zapi5i to simbolima.

2. Izradunaj kolidnik kad je apso-lutna vrednost deljenika 480, aapsolutna vrednost delioca 96' Ukbjim sludajevima je taj kolidnikpozitivan, a u kojim negativan?

3. Kako se zovll brojevi diji je koli-dnik -l?

4. Odredi kolidnik 0:6, ako jc D€{0,l, 3).

5. Reli jednadinu: a) 3'(5-2 x)-3::24:' b) (25-x):(-5)-3 : - 13.

6. ReSi nejednadinu: a) r:(-18)>--3; b) 105.x-10<200.

7. Cime je odredena c€Nrtralna rota-cija?

8. Dat je trougao ABC i entar rola-cije O. Da li je na ovaj naCin Pot-puno odreitena jedna rotacija kojaL ABC preslikava u novi trougao?

9. U koju se figuru rotacijom okodatog cenfia za dati orijentisaniugao preslikava duZ?

10. Preslikaj jednakostranidni trougaoItC rotacijom oko centra O zaugao od 50' u pozitivnom smeru.Sta zna5 o ovim trouglovima?

12.Nacrtaj kvadrat EFGH,

PaPre-

slikaj ovaj kvadrat rotacijom okotadke F u negativnom smeru zaza \Eao od 90". Imaju Ii Prvi idrugi kvadrat zajednidko teme ilizajednidku stranicu?

13. U koju se figuru odrealenom ro-tacijom preslikava Pravougaonik?

126

Varijanta IIMJERENJE.l. Sta znadi izmjeriti neku velidinu?

Staje jedinica

mjere?2. Koje jedinice za mjerenje duline

poznajeS?3. Duljinu 10,523 m izrazi u:

a) dm; b) cm.4. Duljinu 3 cm 2mm izrazi u: a) mm;

b) dm.5. Koje jedinice za mjerenje povr5ine

posnajeS? Objasni Sta jc I m2.

6. lzrazi povr5inu '1,24 m2 u: a) dmt;b) cm2.

7. Koje jedilice za mjerenje tijelapoznaje5? Sta je I cmr?

E. Voltrmen od 39 545 mm3 izrazi u:a) cm3; b) mr.

9. Volumen od 12,6 mr izrazi u:a) dmr; b) cm3.

10. Koje jedinice za mjerenje tekuii-ne poznaje3? Izrazi jednakostimanjihove odnose.

ll. lzrazi3,256hl u: a) dl; b) l; c) cl.l2.lzrazi 1924 ml u: a) dl: b) l; c) cl.13. Koie jedinice za mjerenje mase

poinaJ';Sf Sta je masa nekog tijela?14. Masu od 324 g izrazi u: a) kg;

b) dt.15. Koliko dt ima masa od l4t 25 dt?

16. Koje jedinice za mjerenje vremenapoznajeS? Izrazi njihov odnos Po-mo6u jednakosti.

17. Koji je izraz pravilno napisan -Raketa je Poletela u: a) 19 h 30min. 5 s; b) 19 h 30 mn 5 sek.;c) 19 h 3O' 5"; d) 19 h 30 min5 sek?

18. Koia ie osnovna jedinica za mje'renle i<uta? eimC se mjeri kut?

Vari janta IDELJENJE U SKUPU O. JEDNA-CrNe. povRSrNA pARALELoc-RAMA.I TROUGLA

1. Iskaii redime kako se razlomakdeli razlomkom. Napi5i to simbo-lima.

2, Koji broj je reciprodan datom bro-ju a? Zaito?

3. Kojem broju se ne moZe odreditireciprodan broj? Za5to?

4. Odredi reciprodan broj broju:I

a) =; b) -1; c) -O,2; d) r: e) 6.)5. Izradunaj:

9c) 6:r;e) 3,2:(-0,16).

lt6. ReSi: a) 5.(x-0,2): U ; b) ,x+

I t ll\ 3 I+ -: -2. c) .x:l --l +-:2--.8 \tzl 4 3

7. KonstruiSi pravougli trougao sakatetama 3cm i 2cm i izradunajnjegovu povr5inu. Sta biva sa ovompovrSinom, ako se jedna katetapovedava2,3i4puta?

8. Ako su poznate duiina jedne .stra-nice paralelograma i duZina dvejunjegovih visina, Sta sve moZeS daizradunaS?

9. Poznate su duZine stranica 6 i ctrougla ABC i dulina visine kojaodgovara stranici c. Sta sve moZe5da izraduna5?

10. Konstrui3i trougao (c-4cm, b:3 cm, e:45") i konstrui5i parale-' logram dija je povrSina dva putave6a. od povr5ine ovog trougla.Na koliko nadina to moZei dauradiS? $ta moZe da bude dobi.jeni paralelogram?)

Vari janta IIAPSOLUTNO I RELATIVNO UPO-REDIVANJE. GUSTOEA SKUPA q.SVOJSTVA I KONSTRUKCIJA EE-

TVEROKUTA1. Sta se odrettuje kod apsolutnoguporeclivanja dvaju velidina?

2. Sta se odreduje kod relativnog upo-reelivanja dvaju veliiina?

3. Izvr5i apsolutno i relativno upo-redivanje podataka u sljededem slu-Caju: Od 125 kom. alatki izradenihu jednom preduzeiu ispravno jeI 12 kom., od 96 kom. alatki izra-tlenih u drugom preduzeiu isprar-no je 9 komada.

4. Objasni Sta znadi kada se kaLe daje skup Q svuda gust.

a+b5. DokaZi da je a< _ <6, ako su-2

a, beQ i a>b.6. Naspramni kutovi trapeza su od

72" i93'. Koliki su ostala dva kuta?7. Jedan kut jednakokradnog trap€za

je 52'. Koliki su mu ostali kutovi?8. Nasuprotni kutovi detverokuta su

sukladni. Koji je to detverokut?9. U paralelogramu jedan kut je 58'.

Koliki su mu ostali kutovi?10. ToCka u kojoj se sijeku dijago-

gonale detverokuta je poloviStedijagonala. Koji je to detverokut?

11. Konstruiraj trapez ABCD ako jezadano: AB, AD, kut kod vrha Ai cD.

12. Konstruiraj jednakokradni trapezABCD (AB i CD osnovice) akoje zadano: kut kod vrha A, ADi AC.

13. Konstruiraj romb ABCD ako muje zadana stranica i jedna od dija-gonala.

53 5 I

") Zrn; b) q:3 , ;

d) o,r,(-+).

t27



IZBOR PITANJA. T ZADATAKAZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VII RAZRED

IZBOR PITANJA I ZADATAKAZA PROVERAVANJE SIECENOG ZI\ANJA IZ MATEMATIXE

VIu RAZREDVarijanta IJEDNAEINE I NEJEDNACINE.PRIZMA. PIRAMIDA1. Ka2i i simbolima napi5i uslov pod

kojim je proizvod dva racionalnabroja nula.2. KaLi i simbolima napi5i uslov pod

kojim je proizvod dva racionalnabroja pozitivan.

3. KaZi i simbolima napi5i usrov podkojim je proizvod dva racionalnabroja manji od nule.

4. ReSi jednadinu: a) (x- 3) (.r + 9) : 0;b) (.v-4)(r+0, 1):0.

5. Re5i nejednadinu i prikaZi re5enje na

brojevnoj pravoj: a1(2+x) ("- ;-)<0; 6) (x+ 3) (x- 1,5)>0.

6. Nacrtaj mreZu prave prizme dijaje osnova. romb- Izmeri njen.uosl'lovnu rvicu, vlslnu osnove I vl-sinu, pa izradunaj P i V ove prizme.

7. Nacrtaj mreZu prizme dija je os-nova pravougaonik, a visina jedna-ka dijagonali osnove. Izmeri os-novne ivice i visinu, pa izraCunaj Pi Y ove prizme.

8. Koliko strana ima pravilna deve-tostrana piramida? Koje su figurenjene strane?

9. Koji najmanji broj strana moieimati piramida?

10. Koja pirarnida ima 14 strana?Sta je njena osnova?

11. Osnova piranride je pravilan de-setougio. Iz iega se sastoji njenomotae?

12, Postoji li piramida dije su stranejedan dvanaestougao i osam tro-uglova?

Varijanta IlPOLINOM. KRUG I KRUZNICAt. Sta je polinom? Objasni pomoiu

rijedi ,,funkcija". Sto je oblast, a

5to protuoblast te funkcije?2. Sta znadi rastaviti neki polinom

na faktore?3. Rastavi na faktore polinome:

a) 64-l2ly'?; b) 3 x--9.t:-i- l2.rr.4. Faktori jednog polinoma su: 3,

a-r2 i a2+2a+4. Koji je to po-Iinon'r?

5. Koji jezajednidki faktor polinoma:x2+4x+4, x2-16 i x2+2x?

6. Kako se zove pravac koji s kruZ-nicom: a) ima samo jeonu zajed-nidku todku; b) irna dvije zajed-nidkc todke?

7. U kakvom medusobnom odnosumogu biti dvije kruZnice?

E. Nacrtaj kruZnicu K(S, r) i pravac/. Konstruiraj tangentu kruZnicek (,S, t) koja ie usfroredna s prav-cem /.

9. Nacrtaj kruZnicu & (,S, r) i nacrtajtri tetive koje su sukladne sa za-danom duiinom MN.

I0. Konstruiraj proizvoljan trokut, patom trokutu opi5i i upiSi kruZnicu.U kakvom su medusobnom po-loZaju.te kruZnice?

11. Nacrtaj kruZnicu k (O, r) i uzmitoiku M koja joj pripada. Kon-struiraj tangentu u todki M.

12. Odredi skup svih sredi5ta kruZni-ca koje dotidu dva ukrStena prav-capiq.

13. Na datom pravcu p odredi sredi-5te kruZnice koja dotide dva us-poredna ptavca min.

Vari janta ILINEARNA FUNKCIJA. SLICNOSTTROUGLOVA. SLICNOST POLI-GONA

1. Napisi opsti oblik lin€arne funkcije.2. Sta je graf linearne funkcije, akoje domen: a) N; b) Z; c) R2

3. Sta je koeficijent pravca funkcijei Sta on uslovljava?

4. Sta 3e nula funkcije?5. Utvrdi, pre nego Sto nacrta5 graf,

da li je funkcija y--3x rastuiaili opadaju6a i u kojoj tarlki seder-osu,aukojoj/-osu.

6. Nacrtaj graf funkcije y :2 x- 7. Zakoje vrednosti x-a ova funkcijaima pozitivne vrednosti, a za kojenegativne vrednosti?

7. Nacrtaj trougao ABC i odaberitadku M na stranici AC. Kroz ta-dku

Ifpovuci pravu m Paralelnu

sa AB i obeleZi sa N Presek Prave,n i stranice ^BC. Sta se moZe rediza trouglove MNC i ABC?

8. Nacrtaj dve prave koje se seku utaCki C, pa na jednoj od njih od-redi tadke A i E tako da je AC:2cm, CE:6 cm i na drugoj taikiB i D tako da je BC : 4cm i CD :: 12 cm. Sta se moZe redi za tro-uglove ABC i CDn

9. Dva jednakokraka trougla imajupodudarne uglove u vrhu. Jesu lito slidni trouglovi?

10. Nacrtaj pravougli trotgao ABC(ugao kod temena ,4 je Prav) iizaberi na stranicama AB i BCtadke D i .E tako da je DE,1 AC.Sta znaS o trougloiima ),ac iDBE?

11. Ako su poznate duZine stranicaiednog trougla i duiinajedne stra-nice slidnog trougla, moZeS li daizraduna5 duZine drugih dveju sta-nica slidnog trougla?

Varijanta lIPOSLOVANJE SA NOVCEM. PRA.VCI I RAVNINE. PRIZMA I PIRA.MIDA

1. Sta je Ziro radun i demu on sluZi?Z. Sta je virman i demu on sluZi?

3. Sta je mjenica i demu ona sluZi?

4. Koja je razlika izmedu mjenice iobveznice?

5. Da li novac uloien u oveznicedonosi kamatu? Sta znadi da suobveznice amortizovane?

6. Na Ziro radun nekog preduzeia sti-gle su sledece uplate: 2 800 000 din.putem virmana, 36 000 000 din. i40 000 000 din. putem Ceka. Kolikoje novca uplaceno?

7. Da li su tvrdnje istinite:a) Za svaka dva mimoilazna pra-

vca postoje paralelne ravnine koji-ma pravci pripadaju.b) Pravac je paralelan s ravninomako je paralelan sa svim pravcimate ravnine,c) Svaki ptavac m koji je parale-lan s pravcem r koji je okomit naravninu I i sam je okomit na ra-vninu 8.

9. Koliko je oplo5je kocke, ako jeduljina njezine dijagonale rn?

10. Izradunaj oplo5je i volumen usp-ravne prizme, ako je njezina os-novka jednakokradan pravokutnitrokut s katetom duljine 6, i akoje.dulijna njezine visine jednaka hi-

potenuzi osnovke.11. Koji najmanji broj strana, brido-va i vrhova moZe imati piramida?

12. Odredi opolo5je i volumen pravil-ne Sesterostrane Piramide ako suduljine boCnih bridova m, aduljine bridova osnovke su c'.

t28 129



illIL

t\

1l

3. llrparynars 3a[peMuny npaBunne rpocrpaue rupaMtrAe yuje cy 6orxe licrpaxe rrpaBoyrnn TpoyrnoBr{, a ujepun 6poj x 6orne usuqe je pjeuerre jea- i

I 6x+mHaqnHe: _(6m+ x):-.

)5

4. Craxaenu cyg, o6.nnxa KoqKe HBr.rqe a:l2cm, HaJra3E ce na crpuojparun urju je yrao narn6a 30o. Konuxa je uajreha Korfiqrta revuocrN rojaMoxe raAa crarn y cyA, aKo cy qerfiprl rrBrqe Korrre oKpeHyre gyx narn6acrpue parnu?

5. flyx ce xpehe no paorroM crony Korrcranrnou bparuolr u nocnnjecBaK[x 15 *runyra orpexe ce sa 90o, a y urrrepBanlrnaa urnaefy oKperarba (pe-he ce npaaorrnujcru. .(oxararu Aa ce Moxe Bparnr[ y lo{erHy rar{(y carMolocnaje rlujenor 6poja vacona.

li

Pjeruena 3a.uaraKa

vrl PA3PEA

1. ,{arlr u3pa3 Mo)I(g ce Harrucarlr y o6nuxy:

(4xy - 6x z -2x') + (-6y' + 9y z + 3 xy) + (2y z -3 z2 - xz) + 5 :: 2x(2y - 3 z - x) - 3 y (2y'3 2 - x) + zQy - 3 z - x) + 5 : 2x . 0 - 3 y . O + z. O + 5 : 5.

Bia4NvoAa

je Bp[jeAtocr u3pa3a xoxcraHTHa,AaKne

Be 3aBucytoA x,

y,z.

2. a) Aujarcxane pouba cy y3a-jarvrxo uopr'laJrHe tl noroBe ce. 3aajyhr.rTo, rrpoAyxaBarseM trpaBrx AS u BSnpexo .S, Ao6neal'ro rjeruena: C (1, 5),D (-3, 2), cl. 7,

6) Tjeuera $rrype roja je cnr"re-Tpr{qua pou6y ABCD y o.qHocy Ha ocyOy cy: At (-1, -l), Bt (-5, 2),c,(-1, 5), Dt (3,2>.

@nrypa clrMerpr{qra pou6y ABCDy o,qHocy Ha xoopArrHarEu [oqerax uMarjeuena: A2 (-1, l), 82 (-5, -2),r(-l, -5), D, (3, -2).

3. Pjemene ,qare jeAnaqnue je x: 5, na je BC - 5 cm. 3navo Aa je re-

xr{rrrna tuuuja CM jeaaaxa uotoBr{Hrr xunoreHy3e, "rj. CM:AM (cl. 2)..{axne, rpoyrao ACM je jeanaxoxpaKrr, ra je 4CAM:30". 36or rora je4ABC:60". Bu4nvo ga je rpoyrao BCM jerytanocrpailrqau, na je CM:5cm,a AB: lOcm. Brcuxa hc rpoyrra ABC yjeauo je r aucuna rpoyrna BCM, ta

st/t t 2s ,-je h"--^-. Ilorpuuna rpoyrna ABC je:, P:;AB.h":-V3 cm2.2 - 2 - 2'

MATEMATUqKA TAKM}IqEIf,A*ffis,*H?m'"ptr&."OCHOBHIfr IuKO.

CP IIPHE TOPE S{}-l

VII PA3PEA

I. .{orararn". .u"o"l-J.q-;' ;, :i":'i:"il:T{1; ?, *, * u yz -7 x z -2x2 - 6y2_ 3 22 + 5

'""'U l;ffT:'i ;triy:;o:,;H-tj* ?"f"ff "",.'&':rjaro'ara

- 6) onpeazrr.r rllloa""ut"npeocrana a"a rleve'a oorou.pov6y i ,ffG;;; WffT",ffffff *m;;i?if]:,"*f,r'e AaroM

3. Texumra nt

ryfiir;xTtr#iii,?"hH":##""f?#1iit'"$jx^""ri#

-:?

5-'. 4. Oro rjeuera

lxgar$"e.#;xxk[?$r"#1":rg.tfjfii,,Hx.ffi:;Tl$:

i" o"offi '$ffiffiB; g:fffffi?'"??;"ffi ilTT"*li"o?J,l ml

t,..uII PA3PEA

",j".'yi"f#,:Hil"rx:ry:&!ii,iftr#_Tftr.nr,[1;;rupzuaAanpaaoj

*"rjii":Sircarr

jes'ar"tv opui"

";;;ro;;*y oAnocy

Ha ocy oy no6u-6) Vzparynaru p s v +r,i--^ _-^,n* "7ri'Ei"tii#I^t"ok!r;3#";o5;craje poraqrjon oxo oce ox rpo-

l;iJi##J0""';J,ffi #:ToTj:"i",uf"?"";#*.x,1'""; jTfr l;i.,*"f*",

130

ilI

131



C,r 3

4. ffpoAyxurr,ro -qyKoBe ca rleHrpulra B u C go npecjexa 7,, xao urroje npuxarauo ua cn.3. Tpoyrao BTT,'je jeArraxocrparrHi{au, y ulra ce naxorr{oxeNro yejepr.rru. flonpurrrrra jc;rrror lrrcrl Hauje pyxc jcaHafia je nonpnrnHuP, ogcjcrra HaA Terunolrt 7"7n,. Kaxo je:

- I _._- __"/i z all alTP::-BT2I-BT' +, a BT:- 2::

3

6Nhe: p : 3 p :,( !( !7)'" - (*)' 4) :, (* -'#) :l(2" - t v r)' \6\ 3

O6ur'r rponucxe pyxe cagpxll rpu nyl(a ronrto""nr*u 41-, xojnr,raogronapajy qeuTpanHr.r yrnoifi ol 60", r{ Tplr Ayxr{ xoje cy jeguare tyxv MNna cn. 3. 36r.rp oaa rpn Jryxa je noloursa o6aua xpyxurqe Ircror uotynpeq-

nr.,ra. Kaxo ie MN:2(Br-uo):r(+-+):*(+-+).ro je o6uru @ra-

"VType: O:-n +2a1 3 -ia.5. Hera je 10a+b Aaoq;rQpeuu 6poj ca r1n$par'ra a u b.[o6tjer{}trpo-

uq0peHr{ 6poj je 7O0a+b. Kao ruro je peveuo: l00a+b:9(10a+b). O.qaraer.r3rra3rr ,qa je 10a:8b. 6poj 10c ce 3aBprrraBa qu$pou 0, ua creAu Aa jeb:5. Calauv ruv. je a:4, a Aarr{ 6poj je'45.

C.r. 2

VIII PA3PEA

l. V 4aroj jeAHa.rlrHLI cNteHIIMo: x:4 s. y: -3 v.{o6qhevo: (nz-2'}.4--(m-l)(-3)+(2m-31):0, a oso je jeAua'{}rua lro Henolxaroj z. Ibeno pje-ruerre je rn:5. Bpahajyhu nt y Aary jr-;1uaruny, Ao6ahervro je4uauuny npaue:

J3x-4y-24 : O,. o,quoelo: y :

Tx-6.

132

a) flpala xoja je ca AaroM npaBoM cnMerpnqua y oAnocy Ha y ocy,3

cnjeve y ocy y ucroj TaqKr Kao u na'ra upaua. ILexa jeArraynHa je f : -7x-6(cn. 4).

336) flpaae y:-x-6 u !: --x-6 oApeDyjy ca ocoM O.r jeguaxoxparr44rpoyrao AA'B (cn.4). ISerona Buculrra je 08:6, a xpax je AB: /Ori-tr:tO.Poraqr.rjorvr rpoyrta AA'B oxo oce Ox aobrja ce ABocrpyKa xyna, nonyrpeq-usxa OB. H BHcsHe 2.0A:16, cnuerptvHa y oAlrocy rra obe xooplluuarxeoce. I6exa rroBprrr{Ha je: P-2'OB.ABI:1202. 3anperuuua luje:ra je

IV:2.-OB2n'OA:192n.3

Cr. 5

-ilf'{\

2. Tpaxexn.qsoqu$perr 6pojesn cy 60+x u 60+y, xcl0 lr y<10,x, y € N. flpena ycaorny je: (60+x)(60+y):(l0r+6)(lOy+6). Cpelnaaneuone jeaHarocru aobujauo: 3600+60x+6Oy + xy : l00rl+ 60x+60y+ 36, oano-cuo: 99xX:99'36. .{arne: xy:36. Kaxo cy .r Ir y pa3nueure qnQpe, H3rra3r{Aa je x:4, l:9,.uta o6puyro. V csaror'r cny*ajy, Tpaxefir 6pojestl cy 6,1 n 69.

3. Pjemerue Aare jeAna'rfiue je x:m. Eovae crpaHe cy jeauaxorpaunpaBoyrrq rpoyrnoBr{. Xunorenyre oBrrx TpoyrnoBa cy ocaoaHe nBuqe rrt,tpa-rylune: a:xVT:m/T. Bucuny I/ nupanuge uopavyuaheuo u3 npaBoi,rnor rpo-

1n'.na so,4 (ctr.5): H2:x'*(+4', rre ie hBncrxa 6ase. oapearno najnpe rl:

. at/T mt',6 r; H':m'_(y.9_\, :Y, ,i. n:\vr.:_:_l_,rraonAi \ 3 I g rI a,VT | 2mry'T m .- mt3anpevuxa rspaMuAe ie: Y--=;.":;.-'i" .;/T:;

133



4. lIr upenygor. cyAa ncnnje ce rorrurrnua Te{COCTn jennar-a 3anpeMgslrrpocrpane trpu3Me, xojoj je 6ala uparoyrnn rpoyrao MNP (ctt' 6). 3arpeuuua

toBe trspaMsAe je: V,:=MN'NP'a, Y rpoysry MNP omtpu yrnoBl{ cy 30" s

z

60", na je MN-NP/i rj. t2-NP;/1 onaxre je tw:l:rzlT:ayf " .

lT3l.-

.(arre:Y, :

T.12. 4/T . l2 :285V1-

V xarryrov qay ra4a ocraje:rrETapa Te{HocrI{.

C.n. 6

cml.

V : at -YL: I72S-288VT e 1330 cm3 - 1,33

Cr.

5. 36or xolrcraxTxe 6puxe xperalla' nyx he cBaxr{ rryr' xguelry araoxp€Taba, npehr je,unaxe ,uyxuxe nyra. flornro crperari€ yser 6nsa.3a trpaByrio, garriy.iyjerrad,qa he nyrara nyxa 6nrr y[praHa Ha rBaAparuoj lrpexr,inu.fio on6j-ia u.7. ga 6n ce nyx Bparxo y trona3Hx noloxai, Mopa Ea-gpaDuTl/. jeAxar 6poj xferalLa yAecHo (,uebra lnnnja xa clnrln) l.yneBo.Axo ce rpene y.qecso- k nyra, osAa yneBo n yAecHo rpehe ce yrynro 2k tyra'MeSyrnr,l, csaiolr xpeTarry yneBo I{nH yAecuo cnnjeln (unrr trpeTxoAtt) cxpe'ru*i to* rnn".qoni. ynruix 6poj rpeia*a rope r none je, gaxne,raxotle?*'

IIyx je yrymo vopao upehn 4k Aeonnqa nparolnnnjcxor- -rpeTarLa rr

xa csa*oj ce gaipxao no i5 rururyra. Ilrjelo tryroBa6€ rpajanoje: 4k.l1wav. -:60&DrnE. =& cacoBa.

134135

ODABRANI ZADACI.Ovi zadaci lrcba da vam sluZc za vctbu i priprcnrnjc zr

matcmaticka takni{cnja, kao i za rad ! mtcmatidkoj sckciri. Odabruizadaci nisu tclki i moZa da ib rcSi svaki utcnik Loji rcdovno pratinastavu matcmatilc u skoli. Zsdrtkc lrcba samostalno da rcsitc, anavcdcni rczultaii i upotstva ncka van slulc za kontrolu. Za uicnikckoji 5alju tclcniz Konkurnih zdaraka prcporualjivo jc da prcthodnotele Odabrane zadstkc, icr su oni lak5i od konkursnih. pa ovaj radprcdstavljs lorisno uvczbavujc.

A) Za uienike IV i Y razreda

1765. Kada je traktorista uzorao 12 ari jedne njive, do polovine mu je3

ostalo da uzore jo3 1- njive. Koliko ari je imala njiva?8

1766. Zbroj tri broja je 484. Prvi od njih je dva puta manji od drugog,a sedam puta veci od treceg. Odredi te brojeve.

1767. Ne izradunavajudi produkt (proizvod), odredi znamenku (cifru) jed-inica produkta svih jednoznamekastih (jednocifrenih) prirodnih brojeva.

l76E Da bi ogradio svoje dvori5te, jcdan seljak je postavio pc l0 stu-pova (stubova) ograde uz kraie stranice, a po 15 stupova uz dulje (duie) stra-nice. Koliko je ukupno stupova upotrebio?

l169.Drfiina (dui) AB: lScm podijeljena je todkama C i D na trinejednaka dijela. Ako je rastojanje poloviSta (sredi5ta) krajnjih dijelova l5cm,odredi rastojanje izmetlu toCaka (tadaka) C i D.

B) Za uEenike Y i YI razreda

l770. Dati su izrazi A:(a+b)-c i B:a+(b:c) koji su jednaki za svakuvrijednost promenljivih a, b i c. U kojoj relaciji de biti. vrijednosti tih izrazaako se c weta za 2, D umanji za 3 i c umanji za 5?

lTIl. Bazen moZe da se napuni iz cijevi A za 4O sati. Cijev I je vedegotvora, pa se pod istim uslovima taj bazen moie napuniti za Cetiri puta kradcvrijeme. Za koliko de sc sati napuniti taj bazen ako .sc istovremeDo otvore obcijevi?

\TZL Stranica /tC istostraniCnog trokuta (trougla) ,{.BC produljena (pro-duiena) je preko tjemena C do toCke (taCke) D i spojena sa tjemenom .8. Du-ljina ldutina) opsega (obima) trokuta ABD je 67 crn, a duljina opse8a trukutaBCD je 52 cm. Kolika , je duljina opsega trokuta ABC!

C) Za uCenike VI i Yil3

razlomku 7 tako

ln4. V jcdnakokrakom trouglu (trokutu) simcFala kuta na osnovici ivisina koja odgovara osnovici obrazuju kut 50'. IzraCunati kutove tog trokuta.

1773. Odrediti razlomak jcdnak

imenioca i brojioca iznosi 2E.

da razlika njcgovog



1773. Kada sc od jednog broja oduzmu fi tof Urol", zatim sc od ostatka

2oduzmu :- tog ostatka, dobija sc 96. Koji je to broj?

I

D) Za utenike YII t YIil1776. Podijeliti broj 78 na tri dijeta tako da'seodnosc f"o 1,1,1.1777. bratunati plostinu upisanog kruga u romb dije ,u oiju?oo3"t"atZ"rni 16 cm.

t?t. Ako se stranica kvadrata poveia za l0 procenta, za koliko sc pro-cclta poveCa njegova povrlina?

KOHKyPCHIT 3AAArIr.rOpg :a,qaqu cy flarrcbeHf, npBeBcrBcEo 3a caMocranHt

paa oHf,x ycexura xoju ce y rchoj vcpu xurepecyjy 3a Marc-varnxy. Peuenc cB:tKor 3alarxa 6uhe o6jawxo ca nornscoMoxor peuaBaoqa xojx 6yae trocnao cacanM Tacso r Hajbosco6pa3noxeno peuebc y roxy nprnx 20 aaxa uo ssacxy nuca,

HMeHa oHtrx pauaranaua-xojx nouany 6ap l0 npa-arnHHx lrcucEa xoHrypcnnx 3a,qarara 6uhc o6jarnexa yxxtrouro ce o.q bf,x npuMc no !ftyEHo l0 TarBHx peucna. Ceurora llc y nocJlcab€M 6pojy rncra 3a oBy uKoncKy ro,[f,Hy6xrx nocebxo o6jaencna nvexa xaj6onnx peuuanaua, iaroje cy npeaaxllcxc H xoa{aac Harpare.

Pcuaaajrc nocraudc 3aaarKc x uaDHTc f,x y urorelteu 6pojy Mafueuodwxov aucaJ.Pcuare,ouH Mory nosa-Tf, pe.qaxqHjf, pcucba caMo of,Bx 3rlarara xoju cy apcqsubeHu30 bux6 pos4g u 3a JnewKe cac paJpego. 3a,qarxc peuaraj-Te caMcrdHor xc rpaxchn nouoh ug on xora. Clxre upraj-Tc trpcqx3no, a pcucsg ruuxrc o6pasnox€f,o s cxrxo, Hajc.unov lgcrnhy nanupa rpc6a Hanucarx ca Hcrc crpanc: pe-auu 6poj, Tcrcr f, xoMn:rcrHo pucbc caMo tro jcanor sa-Aaraa r caaxo pcucEc rpc6a trortrscarH utruM uvc\ou u ilpe-tuucnot, waogEhu pspeg ! ooterew, uxoty, Mecao u xyhny ogpecy' Henornyna ItGucBa, xao lrpcuera 6cr o6pauorena, oaHoqo 6er nyxc a.apocc nouH6aoqa, uehc cc ysxMarf, y o63rp.

Caa pcuc*a roja uarmc rcroBpcMcHo crrBxrc y jctras roscpar H nouaDllrc Hx Ea aa-pccy pcaarurjc ca Ha3saxoM ,,KoHrypcHu 3iuautr". Ha ,orehuuu xdepno sacegufre ccoJe uue'uxont u lqtpeg. Pcrrlcrla 3aaarara u3 oror 6poja rrcra rpc.6a nocaarr sajxacBujc no t. V 1983, r.

A) 3a yueaurce IY u Y pacpega

tfi). Kana je rryrnnx npenao tronoBltlry nyra u jom 8 km, ocrano MyIjc aa npeDe jou^

rryra. Konnra je .uyxuxa (.uyruxa) nyra?5

t0l. Hero je xyuxo xpaBy, oBtly, ro3y rr cBllby r{ 3a cBe nnarrro 132000trrHapa. 3a ro:y, oBrly II cBnrby rrtarl{o je 42500 AnEapa. 3a rpary, cBrlILy IroBqy 122500 auHapa. Kory n cBxrly trnarso je 27 500 Aurapa. Koarroje naa-TIiO 3a CBary O.[ OBI|X XITBOTITILa?

t02. Tpe6a [apxernparrr troA [pocropxje oEnnra npasoyraoflnra (npa-BoKyrrrrrra) AuMemuja 4 x 4 m ca [noqlrlaMa raMeJr rlapxera AyxI{He (nyEu-ne) lOcm, umprrtre 4cm u ae6l6true 2cm. PacnonaxeMo ca jeAnnrrl 6aaaauorrlo6n[ra loa,qpa rJDKtrHe 4m, unpnxe 40cm n ae6Jbnue 20cm. Aa nrr ce oAr6€ra Moxe rrcrpyraTl{ AoBoJbaH 6poj aauen lr'Ioqxqa Aa @ napx€Trpa rajnoA, noA ycrroBoM Aa crpyraEe raro n3Bpu[Mo, Aa ce ao6Eje HajBehtr MoryhE6poj nno,rrrqa, c ruM luro ce oxo ruro oAra3II y ortrarxe cMarpa 3a 3arr€'MapJETBO?

B) 3a yuenuxe Y u VI PagPega

803. nporsroA (upoayrr) 5 pasanrnrux qenxx 6pojeBa lrgnocx 12. OA'p€Arr re 6pojerc,

804. Konuro ce HajBnrue raqaKa (rorara) Moxc pacuopeAsrn Bo rpyr-Hnqu nonytrpeqEtrra (nonwjepa) I dm, Taxo Aa pacroiaE€ cDaxc A.Dc cyc€AEerasre 6yA€ je.qgaxo I dm?

E) Za udenike VIII razreda

lTl9. Za koje vrijednosti promenljive r iz skupa2R izraz (l-r).(3:x)

ima negativne vrijednosti?

1780. Zbroj (zbir) znamenki (cifara) dvoznamekasta broja je 9. Ako izme-du cifara upilemo nulu, dobidemo Sest puta vedi troznamekasti broj. Koji jcto dvoznamekasti, a koji troznamekasti broj?

l?81. Ako polovista susjednih strana kocke spojimo duiinama, dobit de-

mo oktaedar. Izradunati oplo5je okatedra ako je rub kocke 6 cm.

F) Za utenikc svih razrcda

1782. U magacinu se nalazi roba za prodaju. Svakog dana je prodavanodvostruko vi5s nego dan prije. Za l0 dana sva roba je bila prodata. Za kolikoje dana prodata polovina robe?

17t3. Sima ima dva puta vi5e godina nego Sto ie imati Pera kada Ivobude imao onoliko godina koliko ima sada Sima. Poredaj ih po starosti.

17M. Dasku duljine (duZine) 3 m treba presjedi na dva dijela, tako dabroj cijelih metara u duljini veceg dijela bude jednak broju decimetra u duljinimanjeg dijela.

Releuir odrbranih zadrtahe 1765- t780

1765. 96 ari. 1766. 22, t54,308. 1767. 0. 1768. 46. 1169. 12 crn. 1770.A-8. t77t.8sati. l??2.. 45cm. 1773.17:r,.+. W4.800,200. 1775. r90.

491n6.36,24, 18. l7Tl. r:4"8 €m, P:2B, 04ncm2. 1178.21y- 1779. x<-3i x>1. l?to. 18, 108. 17t1. elT. tlsz.9. 17t3. Sima,rvo,Pera. 1?t4.2,8mi 2dm.

136 137



C) 3a y*eaure VI u VII pacpega

t05. 36np (r6poj) rpr 6poja je 900. Ilpau je

OApeaurn re 6pojeae.

2tt apyror a -- rpeher.

7Ut. UEenik ide ivicom igralidta koje ima oblik pravokunika (pravougao-nika) duljine (duiine) I20m i iirine 45 m. Koliko koraka natini uienik kad jed-nom obide igraliite, ako je duljina njegovog koraka 6 dm?

Obim tog igraliSta je 330m, odnosno 3300dm. Usled roga udenik ie,dok jednom obiile igraiiSte, nadiniti 550 koraka.

Danijela Sarit, u{. IV r. OS ,,C. Milosavljevid", Pecka

7t9, Duljine (duiine) stranica trokuta (trougla) ABC su tri uzastopnaprirodna broja. Iz poloviita (srediita) D najdulje stranice AB povuiena je duiina(dui) do suprotnog temena C tija je duljina takode prirodan broj, predhodnikduljini najkraie strailice trokuta ABC. Obujam (obim) dobijenog trokuta ADC je15 cm, a obujam trokuta DBC je 16 cm. Kolike su duljine stanica tokuta ABC?

Ako duZinu najkra€e stranice obeleiimo sa n, tada de duiine stranicatrougla ABC biti:. n, n+1, n+2, a duiina duZi DC je n-1. Obim trougla,4DC

n+2 n+2je: n+ I *---;-in- l: l16, a obim trougla DBC jc: n*lt--1-in-l :16, Ako2-2ova dva obima saberemo, dobijamo jednadinu: 5n+l:31, odakle je a-6.Znadi, duilne stranica Fougla ABC su: 6 cm, 7 cm i 8 cm.

Dejan Orolit, uC. IV r. OS ,,V. KaradZii", Krufuvac

B) Za uienike Y i VI razreda

790. U tri korpe bila su 24 jaja. U prvoj korpi je bilo upola manje negou treioj, a u treioj je za I jaje viie nego u drugoj. Koliko je jaja u svakoj korpi?

Ako sa x oznadimo broj jaja u prvoj koipi, tada je u treioj bilo 2x

jaja, a u drugoj 2r--l jaja. Prema tome, bilo je x+2x-l+2x:24=x:5.Tako je u prvoj korpi bilo 5 jaja, u drugoj 9 jaja, a u trecoj l0 jaja.lovan Koh, ud. V r. OS ,,Njego5", Kotor

791. Neka su a, b celi brojevi. Odredi kada ie diferencija (razlika) ovihbrojeva bi,i veia od njihovog zbroja (zbira).

Nejednakost a-b>a+b bicc todna (tadna) ako je 6<0.Zora Mili1evit, uC. V r. OS ,,UZiaka republika", Beograd

C) Za utenike VI i nI razreda

792. Produkt (proizvod) prvih 12 prirodnih brojeva je 479001.... Koje uposlednje tri znamenke (cifre) ovog produkta? Odgovor obrazloiiti.

Dati proizvod sadr2i i Einioce: 2.5.10:100, pa su zbog toga poslednjedve cifre: 00. Jedan od dinilaca je i broj 9, pa je proizvod, a samlm tim i zbircifara proizvoda, deljiv sa 9. To je moguce jedino ako je cifra stoiina 6. Dakle,produkt prvih 12 prirodnih brojeva je 479 00f 600.' Vladica Mrdakovid, ud. VI, r. OS ,J. Karadi6", Priboj na L,

793. Dale su tri nekolinearne toCke (tri todke koje ne pripadaju jednompravca (pravoj)): A, B, C, Konstruirati sve pravce koje su je&ukc udaljene oddatih ttiju totaka.

- 806" Koxcrpytcarn rrpaBoyraoaltr (nparoryrnax) axo je Aara crpa{r{qac:4cm, a :6rp grjarouale u lpyre crpanuue gcm.

D) 3a yuexuxe VII u ylil paspega

E07. Katere npaBoy-rror rpoyrna (rporyra) cy gcm r 6cm. Tauxa M yroM rpoyrny yaa&€Ha je 2cm oa cBaxe Karere. Konuxo je yganera racxa IuIoq xunoreuyre?

808. lubparl'narrr noBpl[rxy rpoyrna rojy o6pa:yje ca roopAxrrarnuMocaMa npaBa 3x+4y-12:A n oApe,qnrr{ petry yAaJbeuocr oA r(oopAnrrarrrornogeTKa,

E) 3a yveauxe VIII patpega

E09..y rpoyrry (rpoxyry) ocuoBuqe. 30cm a Brcrrge 45cm ynncan jexaaApa-r_lurJa ABa reMeua uprnaAajy ocrroBurln a Apyra ABa crpaunqaMa rpo.yua. llrpayyxaru crpaxrirly xBaApara.

tl0. Ha raxMrqerry rr3 MareMarr{Ke Aaro je l0 sagarara. 3a raxno ypa_leu ragarax r(aHAHAar ao6sja 5 [oexa, a ga iaaxr

""ypuberraaarax ("irrr

rrera{ro ypa[ex) oay3uMa My oe AEa soesa. Koraxo je giiaiara ypaAEo xaE-AuAar axo je ocaojuo 36 uoesa?

F) 3a yteauxe caw pa?pega

- -811. Xohy aa [ocaAr{M 9 _caArxqa y l0 pe,aora raro Aa y cBar(oM p€,qy6yay 3 caalluqe. Karo ro uocruhu? Ilpnxaxx rlprexoM,

t12. Ko.nnro c€ rrpaBoyraorllra fnpaBoKyTnura) uoxe yottHTE xa Era-xoacroj ra6na (aro u cBarf, rceaApar cMarpaMo nparoyraoxuxov;?

RESEMA KONKURSNIH ZADATAKA 7ffl_79 IZ ML XVII, 4

A) Za uienike IV i Y razreda

7t7. RaEunska rnaiina obavi u jednoj sekundi 600 operacija. Aovek obavijednu raiunsku operaciju za dve sekunde, Koliko bi dana ,idto touik, radeti dnev-no po 8 tasova, da bi obavio posao koji rolunska maiina uradi za 15 minuta?

Za 15 minuta radunska maiina obavi 15.60.600:540 000 operacija. eo-veku treba 540000.2 sekunde d1 obavi isti broj operacija. Ako s-e ovij brojsekundi izrazi radnim danima, bieq 37 dana i 4 Casa.

Duiko MaCki6, ud. Vr. OS ,J. Jovanovid-.7naiii., Sremska Kamenica.

138 139



U ravni uougla ,4BC postoje tri traiene prave, To su prave koje sadrZesrednje linije ovog trougla. Sem toga, prava koja sadrZi centar opisane kruinicetrougla ABC i normalna je na tavan ABC takode je jednako udaljena odA,BiC.

Ljubica Cesarov, ud. V, r. OS ,,D JakSii", Curug

D) Za uienike VII i VIII razreda

3 2 t 2 3\794. Od

"nekos itapa odsieiene su

niegoveT (r/.T * Z).Preostali

dio itopa dug je 55 cm. Kolika je bila duliina cijelog itapa?

Ako je duZina Stapa x cm, tada je oo l" odseden komad duZine + +r, 4 34Preostali deo stapa, a to je lrr-+-:-|t, itou duZinu 55cm. Ceoitap

puta duii, tj. bio jc dug 220cm.

Brafislav Nikolit, ud. VII, r. OS ,,S. Markovii Toza", N. Sad

Itj. 2*.bio je 4

795. Dat je pravilan osmerokut (osnougao) ABCDEFGH, stranice 5 cm.

Pravci (prave) BC, DE, FG i AF sieku se u toikama I{, N, P, Q. Izraiunatiploirinu tetverokutnika (povriinu iervorougla) Iv{NPQ. (Uzeti da j" ,'i: t,q.

pTadka Q je teme .F osmougla. detvorougao -!-

MNPF je pravougli trapez, (sl. l). Krak Iv[F trapeza F ,( \paralelan je sa CD i CII, pa je 4FMN-45.. Tro-uglovi ABtuI, CDN i EI"P su jednakokraki pravougli,

v,pa je CN= DN:CD::-:EP:PF i MB=ABY, Da-

kte: MB: sV\ cw - nx:ro: ro:tv: . zbog tosa2-5/Tje: MN:MB+BC+CN:51'2 +5+ , :

sVT stiz svtFP:-' iNP:: +5+ :51,'2+5.222NP st/T +5

Povr5ina detvorougla MNP F ie: P - (MN + FP)' V : OoV z + 5)' -- :25--.(5 +3\!21: ll5 cm?.2

Milivojc Jovurovii, ud' VII, r. OS ,,t7'oktobar", Svetozarevo

r40

1sy'2 + lo,

E) Za uienike VIII razreda

796. Ako dva bilo koja prirodna broja nisu dieljiva sa tri' tada je diferen'cija (razlika) kvadrata ovih brojeva djeliiva sa tri. Dokazati'

Ako dva broja nisu deljiva sa 3, onda se oni mogu predstaviti kao:3/c+l i 3t+2,ili3m+l i 3n+1, ili 3p+2i3q+2.2a svaki odovihslucajevarazlika kvadrata je:

(3k + l'z - (3 t + 2)2 : 9 k2 + 6k + | -9 l'? - l2l - 4 : 3(3 k2 - 3 12 . -2k - 4l - l):i3m + l)2 -13n -t- l)2 :97712 * 6n + 1-9nz -6n-l :3(3m2 -3n2 -r 2ln-?n)ii3 p + 2)'z - (3 q + 2)2 : 9 p2 +- 12p + 4 -9 qz - 12q - 4 - 3(3 p' - 3q' + 4p - 4q1.

Dakle, uvek je razlika kvadrata deljiva sa 3.Ilarina Jovanoyit, ui. VItt r' OS ,,S. Jovii'', t)uboka

797. Pravilna tetrerostrana piranida i kocka imaiu zaiednitku ha:u i no'Iaze se sa i.ste strane ravnine (ravni) u koioi lele baze, Dijagonaia:krt<Ae innduljinu (duiinu) D: l0!/iim, a visina pobot'ne struile piraniile jt 13 crtt. lzra'turati rlolumen (zapreminu) zaiedrtiikog dijela ova dva tielrt.

Kako je o: af {, to ie ivica kockea: l0cm. Visinu 11 piramide izradunaiemo izpravouglog trougla SOM (sl. 2):

I r ax'H =\l h'- tl) : l.'r3'z-s'?- rrcm.

Zrrrrrcntina zajcdniikog deia kocke i pi-r:rnritlc jc razlika zapremine piranricle i delr

tcpir:rmidc,

kojijc

vankocke

-to jc takocle

pravilrra dctvorostrana piramicla, sl.iina datoj.Trouglovi SOIt i SO,,lf, st-t slidni i: SO:SO'-

.OM:O,1v1,. Kako je: SO:l{:12cm, Oitl:Q. -.=5cm, SO,:H-a:2cm, biie: 12:2:

5-= 5:Orll'l' odakle je Or|l[r::- cn1. Osncvna Sl' 2

5ivica a, manje piramide bice: a, -20Jr{t:T.*. Ako sa Z ozrtalinro traienu

zapreminu, sa Iz, zapreminu date i sa V, zapreminu male pilanride, bile: V:tl50

- V r-Vr: 7 a' H - -' aiSO r: 400- ; : 398,15 cmr.

Nenad Stoiit, ud. VllI, r. OS ,,B. Radidevii', Bujanovac

F) Za utenike svih razreda

795. Od kute do ikole uienik prelazi svakog dana 30km. Pieiice prelazi5 puta kraii put nego autobuson. Koliko dugo putujc od Skttle do kute,ako pie-iice prelazi 4km na sat, a aulobus vozi prosjetno Sokm na sat?

sl. 2

l4l



Udenikpredepe5ice5kmiautobusom25km.Znadi,-pesiceidesati15 minuta i 30 rninui 5s vozi autobusom. od kuie do Skole ide ukupno I sati 45 minuta'

Dubravka Matanovit, ud. vI, r. os ,,A. santi6", vajska

799. Kocka brida (ivice) 4dm obojenaje sa svih strana uvenom bojom, a zatim je rc'zanjem podijeliena na kocke volumena (zqPre.'miieS [dmt. Koliko je manjih kocki kod koiihsu obojene dve strane? Koliko ima neobojenih

kocki? Na sl. 3 su osendene manje kocke kojesu obojene sa dve slrane - to su sve ividnekocke, izuzev 8 kocki sa rogljeva. Prema to-me, sa dve strane je obojeno ukupno 24 ma'nje kocke.-

Neobojene su kocke koje su u unutras-njosti date kocke. Njih ima 8'

Slavica Milovanovit, ud. VI, r. OS ,,D. Jak5i6", Cuprija

SPISAK RESAVALACA KONKURSNIH ZADATAKAIZ MATEMATIEKOG LISTA XVII'1-3

lV rured. Jovanlevi6 Jelena, OS >V. Karadtii(' Cadal,76l,79?t7!?t772-176' 785' ?96;Sclni6 R;doM. bS >8. Radiaevii<, Beosrad 761, 762, 763' 772-776' 785, 786'

V razred. Batzar lvan, 03 >t. Gundulid<, Bogra<t 761--:|65,713-718,78--5,786: BogdanovidJovm. 05;;.'i;;;;.;;N.}lJ7or_zes, T?-178,-7s5.786: rlorin i\lariia, oS )J._Popo\-ic(, N.il-i'6ii#; iii.-toi.'iti:iis, zes' zs'6; Curi6 Du!an'. oS >J' Popovic"' N' sad 761' 162' 76J';e; ;'i5d- id j. zeO: CruUisid i.i.n"d, OS'"O. P. RadiSii<, vrsac 750, '152, 75e, 760, 761 . 't65, 't'11,

ii'. ite. ;;;,' i;i: p*ul"."r.i-i"tu"a. QS >1. Gundulii( ' geos rad ' 7^s0' 7s l'-1-22'J-:.e ' 760 ' ib2' 764 'izi:hd. Zej. ie6': Di-iiiiie"i6-t"an. bS "v. Kudzid<, Cupiija 7lg. 75_1.. 7s2_. ?l?-.765:Dordctii

i.i*o'.'ciS'"ii. s-,iLt"'li.ilvt"rje ze r, zo:, 7u, 165' 772-116' 778' 785: Erdelianin lvtaia' oS;i:-i;.;.;i!:jia, zor. zol,'?Zs'iz-:1iei'tds,.;so; Hea:ie it;ia. oS''L' Popo'ii(' N' sad 761'tizi iii, ii-,tte, z'8s, z8o; uotomsri Miriana. oS->8. Palkovljevii,-P:l\i:)f' rvilrovica 7,6r ' 763'1.r4 16s i72.7i4.i75,ZlO.ii. ?78;llidliatko,OSrJ.Popovid(.N.Sad761"162,765,'11_2-71E,ii;i iilr;ie'i;tin. oS 'io'r'ri.'visovic<, eaeak ?:le, 7so,75t,'1s9'160.' 774-=778.:.xostid.sneiana'b"s','6ru:'M;s,;;ic.,, E"a;[ lie-tsz. 76oJ63' ?7]; Niacurorid Tania' oS >V' Peric-Valter<'Fr*t;.p"ii"-iOi-i65, i7;-778, ZSS, Za6; Maksimovi6 Liiliana,_ OS DV. Karadiii(, KruSevac 76t , 767,i'ai.\ii-tt+. 776-i78. Uee; Niidie Nikola, OS >r. popovit"- Novi Sad 16t-163,772-77a.785.786:ffilx'""ie *;J;"i;: oSlt. p.ip.iii", x'L"i's"o tii-Jtt, i1z-i'ry,785,186; Ntrvos Miriana. oS;6:-i;l;;;-R";'i:ii.,;;',;; 750-152:1ss-'t62,76a,77J. l!, NrumovskrBiliana' os 'M' Zivoiino-

"ii,.'rr,iiia"."'ii' rdr-ies, ttt, iii,'itt, zz3, 't t3; Xitlotie Milutin, OS >F. Filipovii<, Ca.ak 761-;il''t;i:;i.';ttJtd.iie.7d5; Nikoti6 sto|odan. os Dv. Karadric(. Krusevac 761. 713-777,t8;: t#i ir""i*iio,ie'21.i"",'OS "O.

petrov-Radisiii, vrsac 150-752, 7s9-762,713, !74, 176,_778-i

i#c'iii.it*,'tiB }vr.-ii*buui", Sabac 748-7sl-. -7s2]9s' 172' 77-3; Stupar Sianisla-va'-os DJ'

iJiJ,"ic:;,'li. b16 76t-76i, toS, tiz-ne,785, 786:_Taka!.Erika, OS >s. Markovii<. B. Gradiireii6, |li, iis_tzi,'zet, i*, iit, t1+, tii-t-i ?85; ',rati6- Daniieta, os >>r. Gund_ulic<,_Beosrad

;-46:i;i. iAO, li+, j76-:178,78i; Veseli3ovi6 lieian, OS.>rS. Markovid<,Lapovo 761-:163, 765'

i;i-;;a: iiel iBSt Zotsimorsri peian, OS Do. Perrot-Ibdisii(, vriac 7so,7st,756,759-762,7&,773, 774, 776-778.

VI rezred. Anid Damian' OS >Kara<tordc<, Topola 751,760,7!L 76t-' 71?t T]-'771-J8O'785, 736; BezbrJice Nrta5a, Oi i's*eu R!rutr<, Be;grad 7^51-,753.754'759'191-197'771'7-77-780'iii! iiriir.'"ie smia. oS us. rlioiedic,,' Beogrid z5l , 75e,160,764-]97' 171'?]-8--799' 785; cve-;r:;f ii;;;"; o'5','o. i;;';;Rioiiico, v'iu" 7st,753,75e,760,764-767, 772' 773' 778' 780i

t42

SI

Dekid Bilians, OS >R. Mirrovid<, CaEzk]64-767, 772,77i,777-1 O, 78S; Dobrorevlievi6 Alek-qa1da1_, p5_,"Q. N{,it9-sa-vllevi:(:L Pgcka 153, 759,76a, 164-767, i72. 77j, tti_tao; *rii"ie ruiroi,OS "Celc Kurr<, Nii 765-7b,1, 713.'l t'7-73O,_785. 786: Dordevid Vesna, OS rJ. popovid<. N, Sad'161-.1t,7, j.12, 177-780,7R1; Gajid Zorica, OS DC. Milosavtjelia<, pecka 15t, ],53,'160, j6,1_,.(1'712,773.718,'186i Jereb Tatjanr, OS -'rSpomenik NOB<<, Cirkno 751-753, 764-76j,' j77_78O,780. ?E5,-786: Josioorjd,Milan,.OS ,P. Vra_qoli*, Ljuboviia 75_l-753^,^76:,^767,7?r?!3,776-jjT:Xaranac Jelica, OS >R. Mitrovic<. Caiak i64-:767,772,71J,717-780.789; Kmtid Liiljane. O< rR.Pavlovii-Ciiko(i, Prokupije 764-767,772,773, tZt, ,.'tA,780, ?85; Lekid Siojarki. CjSIO] pet.o"-Radiiii<, Vrlac 751, ,153,759,1q,764-767, 773, 778, 780; I!ari6 Nikotinr, OS ',8. patkovljevicPinki(, S. Mitrovica 151.753,754,759,760,1'17-J\A,7E5; Mrrinkoli6 Branke, OS,rKaradoide<,'Ii)Fola 764-767,772,773,717-780,785, 786; Midunorid NataSa, OS >J. popovii<. N. Sad 764_.1h't.7'12,711.771-180,7ti-s,.786.:_Mihajlorid-Zorica. OS DDr D. Misovii(. Catal:'?5i,75j, T60,764-"167,77J,771-78Ot Miliko'id Gorica, OS aS. Vetjkovic-Zele<, Bojnik 75f _253, 159,760,-t6S_767,711,71'1,118.785, 786; Pjtkor_Aleksandar,-OS >O. petrov-RadiSii<, VrSac 75j, j53,7S;g,:,60,

7&-167,773,778,780, 785: Petrovid Marko, OS DB. Radicevii<<, Beograd 7St-75J,759,760, ,.77_llisrid Laz.ar. OS )J. Jovaoovii Zmaj<. SmedercvoT6/.-767,7j2,77i,777:779,'7gO,ZgS, ZgO; Spaiidl\tilica, OS rB. Radiacvic<. Beograd ?51, '152,759,76A, 164-767, 773, :,77-1BO: 78-i; S*tankovie/.nrica. OS >S. Veljkovic-Zele<, Boinik?51-753,?59,760,765-j67,779,7-gS,ZSO;Srefaniviefiot"t..()S 'D. Obradovi!(, Kru5eyac '165-167,713, 173,778-?80, ?85, ?86; Ziykovid Gordeae, OS DD:()lrradovii<, Kruievac'l 65-7 67. 7 7 2, 7 7 1, 77 4-7 80, 7 85.

VII razred. Avrcmovid Sv€tozar. OS- )S. Kovaaevii<(, Beograd 754-760, i66-75g, ,.,.27-13,779-782,785, 786; Bankovi6 Yesna. OS >S. Kovadevii<, Beogiad 753-756,.160,766-,.6i,772,771, '179-781, 785, 786; Barad.Ivana, OS )S.J(ovade0ii.,, Beograd 753. ],S4,156,7BO',766_765,772,'71J, 179-'781.786; Bulaiid Alekeandra, 9g r,S. Kovaievii(, B€ograd 7si-1s6,7s9, i60,766-769',771,771.779-781,735, 786: Cadgi Jure. OS >Spomenik NOB(; Cerkno 753_756,'j59, Z60, Zdl_7ll:r. 78,r, 786: Celebid Mirlana,-OS "S. Kovaievii", Iteograd 754, lSA,tSg,-iAO,iSk-iii,l',7i2,.n2,l1!-tt |, ]ti, ]!9, Qolii _.fasmina. OS '>S. Kovalevic<. -Beograd 753. 74s. 7se.- 761i. 766-i6s: j:'Z,1rr, 7?e-11{ | , ?85. 786: Cirid.Vsica. OS "1._L. Ribarv, Babuinica 751, 756. 759. ?60, i6i. i69. ii2:11\,'17q, 780, 785; Damianorii Vladimir. OS DB. -Radiaevii<, Beograd 753. iS4. 7Sg, i6O, 766_'t1:,'171. ?79, 7ll(1, 785, 786: Damnianovid- Jena, OS DJ. !. Zmaj<, Smederevo i6;6-765, 7i2" 773,7?r.7r:0'..-7ii2. ?85, ?t{6; Datic Vladan. OS rS. Kovaievii<(, Beograd j66-jg, 772. ij3. "l7g_7ril. 7115, 786; Daridovid Milenko, OS >S. KovaCevii<, Beograd j66-j69, 7'12,713,7?9-78t, 285.7ri(,: l)infi( Olivcr. OS >S. Kovaeevii(, Beoprad 766-769,712, j7j,779-7t|l, igS. fte; Dobriteninllrrnko..()S rS- Kov.ievii<<, Beograd 754. 760.166-179,772,'t73,7i9-78t,785, ?8b; Oofie .le-lrrc, ()S nS- K(\vri'cvrc(, Beograd 766-169,112,173,7i9-7\l ,785, 786; Orois i"ii. OS rEpomenik

\r)ll-.^(-'rrln(). 7!l-rJg: 760, 76b-76S. 'tj2,7j3,780-782. ?86: Dokid Zorica. OS >F. Fijiporic",(rLrk ?51. ?5{. ?('o.767.76A,'16'r.jjz.77j.779-781.785: Dordevic Zoren, OS >S. Kovaievic.Ilc<rgrrd 75J-75(r, 759, 760, '166-768, 7.a7,'773,779-781,785: Dori6 Mihaito. OS >S. Kovaievidn,llcograd 766-768.772,773,7'19-J8r,785. 786: Dukanovii Zoran. os rs. Kovadevic<, Bcograd754-75(r. 759, 760. 766-768, 772,'L11,77e-781. ?85, 786; Durkovid Zqu, OS-r3.-k'ouateiiin,lrcrrgrad 754, ,156. 759. 760. 766-?63, 772, 773. i79-i81, ?85, 786; DZodid beien. OS DS. Kova-!cvic(., Beosrad 766-768, 772,1?9-?81,785. 786: Erakovid Veliko, O(- >S. KovaCevic<, Bcograd?51, 754, 129, 1!9,77(*768,772,773,779-781.786: Evtovski Dcian, OS >S. Kovadlvii<<, Bco;rad754. 756. '159, 760, 766-i(8, 772, 773. 7j9-78t, 785. 786: Fitipovid Gordana, OS ,S. Kovacei,ic<<,llcograd 754. 756, ?59. 760,766,761,768,712,773,779-781,876: Fiiid Ateksendra. OS >S. Ko-r:cvrc<<, Beograd ltrt', 768, 712, 773, 779-781 ,785, 786: Grbovid Marko, os Ds. Kovaeevic<, Bcograd?51. 754. 759. ]160. 766-769.772,7j3, 7jg-79l, ?85. 786: I Isakorid Liubomir. os >s. Kovaaevid<.Ilcograd 766-76E.7'12,773,779-781,785. 785i Jrkulid sania, oS Ds.-Kovaeevic<. Beograd 766-7|Jl, 772.713,779-781.785, 786; Jankovid Gregor, OS >S. Ko'aievii<, Beograd i6;765, 772,77r, 779-781, 785. 786; Jankovid NeboiSa, OS >S. Kovad.erii<, Beograd 754, iSa, lSS, i@,166_7,',1.711.71):72:-19!,785, 786; Jeremid Ateksudar. OS >S. Kovalevic<, s.oeiio zsi_zjo, zlgi160, 166 -'169. l1?, 173, 779, 781, 785, 786; Jovendevii Ateksandar, OZ ,V. fariaile<, eaeak i56*1(9,772' 773' 772,780' 781, 783. 785i Jovanovid Branko, oS >S.- Kovaieric<<, Bei,oeiad 766-769,712' 7'13' 779-781 ' 785, 786; Jovanovi6 Daniiera, os >s. Kovadevic<, Beograd'25J, 1sg, lao, loo-ltlx, 11?,711,779-181 ,785, 786; Katevid Srden, eS >S. Kovaddr.i<<, Beo-grad 7S;3',759,7@,766_163,7'12,713,779-781,785, 786; J9vi6 Srilan. OS >S. Kovaeevic<..Beolrad 766_i6i, 772, 77i,719--1ql, l!1, lq6l Kesi6 Drasan, OS >S. Kovaievii<, Beosrad ?54, 756,7:t,7@,:66_76b,|ji,j73,7'19-181,785, 786; Koai6 Natasz, OS Ds.,Kovaeevic<, Bmgrad 75i,754, iSg, tA,766_768, iiZ:7'tl" 779-78t,785, ?86; Kozi6 Radiee, o-S >M. Tomii<, sialai 753, 755: 756" 759" 760, 767: 765:7!3,179,780,-785; Maksimovi6 Srdan. OS >S. Kovaievii<, Beograd 766_768:7j2: 7j3: 779_:.lt,785,786-i Nlarink-ovi6Ane, OS DS. Kovaeevii(, Beograd 76'6_761 ,itZ, llt,-lzS_ill,-'ZSS, zAOjMersenid Slaroliub. OS DS. Kovadevid(, Beograd 766-768. 772, ij3, jjg_181, 7gS,' 786;' MrriaAlcksandra, OS l>S._Ko-vacevic(, B€ograd 754, i 56, 759, '160, i66-i6\, i?2,773',779-781 , 7S5, 786;Mavra Boris, OS >S. Kovaddvii<, Beograd i54, 756, i,g,760,76-769, ii2, i13. 779-782, 785',786; lueieon Velenrine, oS >Spomenili NOB<, 'Cerkno 7*, 754, 756, i66, rci-zAs, i|Z,1BO_752,

t43



Documents

Matematicki list 1983 XVII 5