Embed Size (px)
Citation preview
MATEMATICKO MODELIRANJEU BIOLOGIJI
1 / 68
Uvod
prof.dr.sc. Miljenko Marušic
WWW: https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/mmub/
Predavanja:
ponedjeljak 8-10 (A101)utorak: 12-14 (P003)
Predavanja i vježbe nisu odvojeni.
Konzultacije:
utorak: 10-12
2 / 68
Uvod Sadržaj kolegija
Sadržaj kolegija.
Matematicki modeli
Eksponencijalni modelLogisticki modelModeli rasta tumora (von Bertalanffy, Gompertz,...)Rast s ogranicenjemModel bioreaktora (’chemostat’ model)Lotka-Volterrin model (model grabežljivac-plijen)Kompartmentalni modeliEpidemiološki modeli (SIS, SIR, criss-cross...)
3 / 68
Uvod Sadržaj kolegija
Matematicki sadržaj
Preduvjet: derivacija, integralDiferencijalne jednadžbeRješavanje diferencijalnih jednadžbiNumericko rješavanje diferencijalnih jednadžbiMetoda najmanjh kvadrata (odredivanje parametara modela)EkvilibrijStabilnost ekvilibrijaParcijalne derivacijeSvojstvene vrijednosti linearnog operatora
Programiranje: programski paket ’Mathematica’
4 / 68
Uvod Ocjenjivanje
Ocjenjivanje
1. kolokvij 50 b2. kolokvij 50 bDomace zadace (po 5 b)Zadaju se jednom tjedno.Predaju se sljedeci ponedjeljak u 8:15.Seminarski rad (do 20 bodova) - samo za studente koji imajupreko 40 bodovaPopravni kolokvij (najveca ocjena je 2)
5 / 68
Uvod Osnovni pojmovi
Osnovni pojmovi
matematika
model
biologija
6 / 68
MODELI RASTA
7 / 68
Eksponencijalni model Eksponencijalna funkcija
1.1. EKSPONENCIJALNI MODEL
1.1.1. Eksponencijalna funkcija
Eksponencijalna funkcija:
exp : R→ R,
(Opca) eksponencijalna funkcija:
expa : R→ R,
a - baza eksponencijalne funkcije, a > 0 i a 6= 1.
Oznaka:expa(x) = ax
8 / 68
Eksponencijalni model Eksponencijalna funkcija
Graf eksponencijalne funkcije.
1 2 3 4
10
20
30
40
50
1 2 3 4
2
5
10
20
50
9 / 68
Eksponencijalni model Eksponencijalna funkcija
Definicija eksponencijalne funkcije.
exp(x) = ex .
NE!
Red potencija:
exp x =∞∑
k=0
xk
k !
ilif ′(x) = f (x), f (0) = 1,
iliexp x = lim
n→∞
(1 +
xn
)n
Svojstvo:ex+y = ex ey
10 / 68
Eksponencijalni model Eksponencijalna funkcija
Motivacija za eksponencijalnu funkciju.
Za n ∈ N:an = a · a · . . . · a
Želimo svojstvo f (x + y) = f (x)f (y) proširiti na N0:
an = an+0 = ana0 ⇒ a0 = 1.
Isto svojstvo proširimo na Z:
1 = a0 = an−n = ana−n ⇒ a−n =1an ,
te na Q:
a = a1 = an 1n = a
1n+
1n+...+
1n =
(a
1n
)n⇒ a
1n = n√
a.
11 / 68
Eksponencijalni model Eksponencijalna funkcija
Svojstvof (x + y) = f (x)f (y)
jednoznacno definira eksponencijalnu funkciju na Q.Možemo li to svojstvo proširiti na R?
Teorem (1)Za dani a ∈ R, a ≥ 0, postoji jedinstvena neprekidna funkcija f : R→ Rkoja zadovoljava f (x + y) = f (x)f (y) za sve x , y ∈ R i f (1) = a.
Teorem (2)Za dani a ∈ R, a ≥ 0, postoji jedinstvena monotona funkcija f : R→ Rkoja zadovoljava f (x + y) = f (x)f (y) za sve x , y ∈ R i f (1) = a.
Definicija
Funkciju iz Teorema 1 (2) za a = f (1) > 0 i a 6= 1 nazivamoeksponencijalna funkcija. Broj a nazivamo bazom eksponencijalnefunkcije.
12 / 68
Eksponencijalni model Eksponencijalna funkcija
1. Domaca zadaca
Dokažite teoreme 1. i 2.
Za one koji žele više: Pokažite da je neprekidnost nužan uvjet zajedinstvenost, tj. konstruirajte funkciju koja zadovoljavaf (x + y) = f (x)f (y) za sve x , y ∈ R a nije neprekidna.
13 / 68
Eksponencijalni model Diskretni eksponencijalni model
1.1.2. Diskretni eksponencijalni model
Promatramo stanice od kojih se svaka dijeli tocno nakon vremena Td .Pocnemo s jednom stanicom
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0 Td 2Td 3Td
14 / 68
Eksponencijalni model Diskretni eksponencijalni model
Nakon vremena Td ona ce se podijeliti i imat cemo dvije stanice
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0 Td 2Td 3Td
15 / 68
Eksponencijalni model Diskretni eksponencijalni model
Nakon vremena 2Td svaka od njih ce se podijeliti i imat cemo 4 stanice
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0 Td 2Td 3Td
16 / 68
Eksponencijalni model Diskretni eksponencijalni model
Nakon vremena 3Td imat cemo 8 stanica
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0 Td 2Td 3Td
17 / 68
Eksponencijalni model Diskretni eksponencijalni model
itd.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0 Td 2Td 3Td
18 / 68
Eksponencijalni model Diskretni eksponencijalni model
Broj stanica utrenutku ti = i · Td je: 1,2,4,8,16, . . ..
(Geomterijski rast. )
N - velicina populacije,Ni := N(ti) = 2i .
Eksponencijalna funkcija.Eksponencijalni rast.
Drugaciji zapis:
Ni - velicina populacije u trenutku tiNakon proteka vremena Td populacija ce se udvostruciti:
Ni+1 = 2Ni .
Diferencijska jednadžba.19 / 68
Eksponencijalni model Diskretni eksponencijalni model
Rješenje diferencijske jednadžbe:
Ni = 2Ni−1 = 22Ni−2 = . . . = N02i .
Rješenje jednadžbe nije jedinstveno.Uz zadanu pocetnu vrijednost N0 u trenutku t0 rješenje ce bitijedinstveno.
20 / 68
Eksponencijalni model Diskretni eksponencijalni model
Thomas Robert Malthus (1766-1834)
- Engleski ekonomist i demograf
- Prvi upotrijebio eksponencijalnu funkciju kao opis za rast populacije.
- Malthusijev rast
- ”An Essay on the Principle of Population” (1798)
21 / 68
Eksponencijalni model Izvod eksponencijalnog modela
1.1.3. Izvod eksponencijalnog modela
- Pretpostavka da se sve stanice dijele u istom trenutku je nerealana.
- Realisticnije: stanice su izmiješane i dijele se u razlicitim vremenima.
- Vrijeme nakon kojeg se stanice podijele ( Td ) nije isto za sve stanice.
- Vrijeme udvostrucenja (karakteristicno za svaku vrstu stanica) jeprosjecno vrijeme nakon kojeg se stanice podijele.
Pretpostavka
Sve stanice se dijele tocno nakon vremena Td .
- Vrijeme udvostrucenja (prosjecno vrijeme nakon kojeg se stanicedijele) ne treba biti nepromijenjivo u odnosu na vrijeme.
- Npr. ovisi odostupnost hranjivih sastojaka.
22 / 68
Eksponencijalni model Izvod eksponencijalnog modela
Funkcija prirasta
G(N(t),h) = N(t + h)− N(t).
G ne ovisi direktno o vremenu t .
U bilo kojem trenutku t pocnemo promatrati prirast populacije velicineN, nakon proteka vremena h prirast je isti.
- Promatramo sustav na koji ne utjecu vanjski faktori.
Pojednostavljeni zapis: N = N(t).
Prvo promatramo ovsnost funkcije prirasta G o velicini populacije.
Za fiksirani h definiramo funkciju
gh(N) = G(N,h).
23 / 68
Eksponencijalni model Izvod eksponencijalnog modela
Populaciju podijelimo na dvije populacije velicine M i N.
Svaka od njih nastavi rasti pod istim uvjetima:
G(N(t),h) = N(t + h)− N(t) i G(M(t),h) = M(t + h)−M(t).
S druge strane, možemo ove dvije populacije promatrati kao jednu:
G(N(t) + M(t),h) = N(t + h) + M(t + h)− N(t)−M(t)) == G(N(t),h) + G(M(t),h),
odnosnogh(N + M) = gh(N) + gh(M).
Analogno, podijelom populacije velicine m N na m jednakih dijelovadobivamo da je
gh(mN) = m gh(N).
24 / 68
Eksponencijalni model Izvod eksponencijalnog modela
Odavdje slijedi
gh(N) = gh
(n
1n
N)
= ngh
(1n
N).
⇒ gh
(1n
N)
=1n
gh (N) .
Ovime smo pokazali da za svaki r ∈ Q, r = mn , vrijedi
gh (rN) = rgh (N) .
gh linearna funkcija, ali samo nad Q.
Uocimo: funkcija G je monotona (rastuca) s obzirom na N i h.
Veca populaciju→ veci prirast
⇒ G monotona po varijabli N a gh je monotona (rastuca) funkcija. 25 / 68
Eksponencijalni model Izvod eksponencijalnog modela
Monotonost po varijabli h:
veci protek vremena→ veci i prirast.
Neka je sada a ∈ R proizvoljan.
Q je gust u skupu R ⇒za proizvoljni δ > 0 postoje r1, r2 ∈ Q takvi da je r1 < a < r2,|a− r1| < δ i |a− r2| < δ.
gh monotona ⇒
gh(ay)−aGh(y) ≤ gh(r2y)−agh(y) = r2gh(y)−agh(y) = (r1−a)gh(y).
Slicno,
gh(ay)−agh(y) ≥ gh(r1y)−agh(y) = r1gh(y)−agh(y) = (r1−a)gh(y).
26 / 68
Eksponencijalni model Izvod eksponencijalnog modela
Dakle,
|gh(ay)− agh(y)| ≤ max{|r1 − a|, |r2 − a|}|gh(y)| ≤≤ δ|gh(y)|
za svaki δ > 0.⇒ gh(ay)− agh(y) = 0,
odnosno⇒ gh(ay) = agh(y)
za proizvoljni a ∈ R. .
gh je linearna funkcija → G je linearna u varijabli N:
gh(N) = aN = a(h)N.
Uocimo: gh ovisi o h te a mora ovisiti o h.
27 / 68
Eksponencijalni model Izvod eksponencijalnog modela
Funkcija prirasta:
N(t + h)− N(t) = G(N(t),h) = a(h)N(t).
⇒
N(t + h) = a(h)N(t) + N(t) = (1 + a(h))N(t) = b(h)N(t).
Prirast populacije nakon proteka vremena h1 + h2:
N(t + h1 + h2) = b(h1 + h2)N(t).
S druge strane,
N(t + h1 + h2) = b(h2)N(t + h1) = b(h1)b(h2)N(t).
Izjednacimo desne strane:
b(h1 + h2) = b(h1)b(h2).
G monotona funkcija u varijabli h ⇒ b monotona funkcija.28 / 68
Eksponencijalni model Izvod eksponencijalnog modela
b je eksponencijalna funkcija:
b(h) = eαh
iN(t + h) = eαh N(t).
Posebno, ukoliko stavimo t = 0 i h = t , dobivamo izraz za N:
N(t) = N(0) eαt .
- eksponencijalni model
- model-funkcija
- N(0) i α parametri modela
29 / 68
Eksponencijalni model Izvod eksponencijalnog modela
Umjesto: stanice se dijele tocno nakon vremena Td
Može: sve stanice imaju istu vjerojatnost diobe i ta vjerojatnost se nemijenja s vremenom.
⇒ U populaciji s relativno velikim brojem stanica prosjecno vrijemediobe ce biti konstantno.
Izvod eksponencijalnog modela iz ove pretpostavke u poptpunosti jeisti kao i prethodni izvod. (Uocimo da ukoliko populaciju podijelimo nadvije skupine, u obje skupine vrijedi ista pretpostavka o jednakojvjerojatnosti diobe.)
30 / 68
Eksponencijalni model Taylorov razvoj funkcije prirasta
1.1.4. Taylorov razvoj funkcije prirasta
Taylorov teorem srednje vrijednosti:
f (x + h) = f (x) + f ′(x)h +12
f ′′(x)h2 + . . .+1k !
f (k)(x)hk +
+1
(k + 1)!f (k+1)(ζ)hk+1.
Za k = 2:
f (x + h) = f (x) + f ′(x)h +12
f ′′(x)h2 +O(h3).
Funkciju f smo aproksimirali polinomom:
f (x + h) = a + bh + ch2 +O(h3) = P2(h) +O(h3).
31 / 68
Eksponencijalni model Taylorov razvoj funkcije prirasta
Funkcija prirasta
G(N(t),h) = N(t + h)− N(t)
ovisi o dvije varijable: N i h.
G(N,h) = P2(N,h) +O.
(O sadrži trece potencije i više)
’Zanemarimo’ O:
G(N,h) = a + bh + cN + dh2 + ehN + fN2.
32 / 68
Eksponencijalni model Taylorov razvoj funkcije prirasta
1. Za N = 0 (nema populacije) prirast je 0 G(0,h) = 0, ∀h ⇒
0 = G(0,h) = a + bh + dh2, ∀h
⇒ a = b = d = 0
Sada jeG(N,h) = cN + ehN + fN2.
2. Za h = 0 (nema proteka vremena) prirast je 0 G(N,0) = 0, ∀N⇒
0 = G(N,0) = cN + fN2, ∀N
⇒ c = f = 0
Sada jeG(N,h) = ehN =: αhN.
33 / 68
Eksponencijalni model Taylorov razvoj funkcije prirasta
G(N,h) = αhN.
N(t + h)− N(t) = αhN(t).
N(t + h)− N(t)h
= αN(t). / limh→0
N ′(t) = αN(t).
Diferencijalna jednadžba
Funkcija N0 eαt zadovoljava jednadžbu.
Je li to jedino rješenje?
34 / 68
Eksponencijalni model Primjena eksponencijalnog modela
1.1.5. Primjena eksponencijalnog modela
Implicitna pretpostavka: neograniceni pristup hrani
Primjenjljivo u pocetnoj fazi rasta.
Eksponencijalna funkcija je neogranicena!
35 / 68
Eksponencijalni model Primjena eksponencijalnog modela
PrimjerRast tumorskih stanica (prikazan je volumen).
10 20 30 40 50 60 70
5000
10 000
15 000
20 000
10 20 30 40 50 60 70
10
100
1000
104
36 / 68
Eksponencijalni model Primjena eksponencijalnog modela
Izaberemo prvih 5 podataka:
5 6 7 8
10.0
5.0
2.0
20.0
3.0
1.5
15.0
7.0
Podaci se poklapaju s eksponencijalnom krivuljom!
37 / 68
Eksponencijalni model Primjena eksponencijalnog modela
Vrijeme udvostrucenja
Funkcija:N(t) = N0 eαt
Td - vrijeme udvostrucenja
N(t + Td) = 2N(t)
N0 eα(t+Td ) = 2N0 eαt
eαt eαTd = 2 eαt
eαTd = 2
α =ln 2Td
38 / 68
Eksponencijalni model Primjena eksponencijalnog modela
ZadatakInicijalni rast populacije stanica je opisan modelom:
N(t) = 15.2 e1.1t .
Odredite vrijeme udvostrucenja stanica.
Rješenje.
Td =ln 2α
=ln 21.1
= 0.63
39 / 68
Eksponencijalni model Primjena eksponencijalnog modela
ZadatakU modeliranju radioaktivnog raspada, iz pretpostavke da svaki atomima istu vjerojatnost raspada, jednostavo se dobije eksponencijalnimodel. U ovom slucaju, umjesto vremena udvostrucenja govorimo ovremenu poluraspada.Nakon 500 godina, uzorak radija-226 se smanjio na 80.4% njegoveoriginalne mase. Odredite vrijeme poluraspada za radij-226.
Rješenje.N(t) = N0 e−αt
N(t) = N0 e−αt = 0.804N0 ⇒
α = − ln 0.804t
= − ln 0.804500
= 0.000436312019606341
T1/2 =ln 2α
=ln 2
0.000436312019606341= 1588,65020767782
40 / 68
Diferencijalne jednadžbe Definicija i primjeri
1.2. Diferencijalne jednadžbe1.2.1. Definicija i primjeri
Eksponencijalni model:y(t) = N0 eαt
iliy ′(t) = αy(t), N(0) = N0, ∀t
Model opisan diferencijalnom jednadžbom!
Interpretacija derivacije:
- tangenta (Leibniz)
- brzina (Newton)
41 / 68
Diferencijalne jednadžbe Definicija i primjeri
Definicija
Neka je zadana funkcija f : [a,b]× R→ R. tada jednadžbu oblika
y ′(t) = f (t , y(t)) ∀t ∈ [a,b]
nazivamo obicna diferencijalna jednadžba (ODJ).Funkciju y : [a,b]→ R koja zadovoljava ovu jednadžbu nazivamorješenjem (obicne) diferencijalne jednadžbe.
- Koristit cemo kraci naziv: diferencijalna jednadžba
- Uobicajeno je ispustiti argument t kod zapisa funkcije y
- ∀t ∈ [a,b] se takoder ispušta (podrazumijeva se maksimalnadomena):
y ′ = f (t , y)
42 / 68
Diferencijalne jednadžbe Definicija i primjeri
Primjeri.
Primjer 1.y ′(t) = αy(t)
⇒ f (t , y(t)) = αy(t) ⇒ f (t , y) = αy
Krace:y ′ = αy
Primjer 2. Je li funkcija y(x) = ex rješenje jednadžbe
y ′ = y?
y(x) = ex ⇒ y ′(x) = ex
y ′ = y ⇔ ex = ex
Vrijedi ∀x(∈ R).
Funkcija y(x) = ex je rješenje dane diferencijalne jednadžbe.43 / 68
Diferencijalne jednadžbe Definicija i primjeri
Funkcija y(x) = 2 ex je takoder rješenje diferencijalne jednadžbey ′ = y :
y(x) = 2 ex ⇒ y ′(x) = 2 ex
y ′ = y ⇔ 2 ex = 2 ex .
Rješenje nije jedinstveno!
Štoviše, i y(x) = c ex je takoder rješenje za svaki c ∈ R!
y(x) = c ex ⇒ y ′(x) = c ex
y ′ = y ⇔ c ex = c ex .
44 / 68
Diferencijalne jednadžbe Definicija i primjeri
Primjer 3. Je li funkcija y(x) = e2x rješenje jednadžbe
y ′ = y?
y(x) = e2x ⇒ y ′(x) = 2 e2x
y ′ = y ⇔ e2x = 2 e2x
Ne vrijedi ∀x(∈ R).
Funkcija y(x) = e2x nije rješenje dane diferencijalne jednadžbe.
45 / 68
Diferencijalne jednadžbe Definicija i primjeri
Diferencijalna jednadžba y ′ = f (t , y)ne treba imati rješenje
ako ima rješenje, rješenje ne treba biti jedinstveno
Može se dodati dodatni uvjet (jednadžba) oblika
- y(a) = y0 - pocetni (inicijalni) uvjet→ inicijalni (Cauchyjev)problem za ODJ.
- uvjet koji obuhvaca ponašanje u rubovima intervala, npr.y(a) + αy(b) = β → rubni uvjet→ rubni problem za ODJ.
Analogno se definiraju diferencijalne jednadžbe višeg reda (sderivacijama višeg reda):
y (k) = f(
t , y , y ′, . . . , y (k−1))
46 / 68
Diferencijalne jednadžbe Definicija i primjeri
Primjer 4. Odredimo rješenje inicijalnog problema za ODJ
y ′ = y , y(1) = 1.
Jedno rješenje jednadžbe y ′ = y je oblika
y(x) = c ex .
Konstantu c odredimo tako da je zadovoljen pocetni uvjet
y(1) = 1.
⇒ 1 = y(1) = c e1 = c e
⇒ c = e−1
⇒ y(x) = e−1 ex = ex−1
47 / 68
Diferencijalne jednadžbe Definicija i primjeri
Primjer 5. primjeri diferencijalnih jednadžbi
y ′ = 2y − 1y ′ = ty + sin ty ′ = sin(xy)
y ′ =t − yt2 + 1
y ′ = t ey , y(0) = 1y ′ = ay − ty ′′ = 2y + 3xy ′ − 4x2.
48 / 68
Diferencijalne jednadžbe Definicija i primjeri
ZadatakProvjerite jesu li funkcije
y = t2
y = t et
y = sin trješenja diferencijalnih jednadžbi
y ′ = 2√
yy ′ = tyy ′ = y
49 / 68
Diferencijalne jednadžbe Definicija i primjeri
Rješenje.
1. Funkcija y = t2 ⇒ y ′ = 2ty ′ = 2
√y ⇔ 2t = 2
√t2 = 2|t |
t = |t | za t ≥ 0⇒ y = t2 je rješenje ODJ za t ≥ 0.
y ′ = ty ⇔ 2t = t t2 = t3
(ne vrijedi ∀t ∈ R, niti na nekom intervalu) ⇒ y nije rješenje.
y ′ = y ⇔ 2t = t2
(ne vrijedi ∀t ∈ R, niti na nekom intervalu) ⇒ y nije rješenje.
50 / 68
Diferencijalne jednadžbe Definicija i primjeri
2. Funkcija y = t et ⇒ y ′ = et +t et
y ′ = 2√
y ⇔ et +t et = 2√
t et ⇒ y nije rješenje.
y ′ = ty ⇔ et +t et = t t et = t2 et ⇔ 1 + t = t2
⇒ y nije rješenje.
y ′ = y ⇔ et +t et = t et ⇔ et = 0
⇒ y nije rješenje.
3. Funkcija y = sin t ⇒ y ′ = cos t
y ′ = 2√
y ⇔ cos t = 2√
sin t ⇒ y nije rješenje.
y ′ = ty ⇔ cos t = t sin t ⇒ y nije rješenje.
y ′ = y ⇔ cos t = sin t ⇒ y nije rješenje.
51 / 68
Diferencijalne jednadžbe Rješavanje diferencijalnih jednadžbi
1.2.2. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi
Promatramo diferencijalnu jednadžbu
y ′ = f (t , y).
Ukoliko se funkcija f može rastaviti na produkt oblika
f (t , y) = g(t)h(y)
jednadžba glasiy ′ = g(t)h(y)
odnosnoy ′
h(y)= g(t).
Funkcije s lijeve i desne strane su jednake⇒ neodredeni integrali(skupovi primitivnih funkcija) su jednaki:∫
y ′
h(y)dt =
∫g(t)dt .
52 / 68
Diferencijalne jednadžbe Rješavanje diferencijalnih jednadžbi∫y ′
h(y)dt =
∫g(t)dt .
Teorem o supstituciji: y ′dt = dy∫dy
h(y)=
∫g(t)dt .
Oznacimo primitivne funkcije s H i G:
H ′(y) =1
h(y)i G′(t) = g(t).
Sada jeH(y) = G(t) + C
C-neodredena konstanta.
Ako je H bijekcija, tada
y = H−1 (G(t) + C) .
53 / 68
Diferencijalne jednadžbe Rješavanje diferencijalnih jednadžbi
Rješavanje diferencijalne jednadžbe⇔ racunanje neodredenogintegrala
- Metoda separacije varijabli
ZadatakProvjerite da je
y(t) = H−1 (G(t) + C) .
rješenje diferencijalne jednadžbe
y ′ = f (x , y).
54 / 68
Diferencijalne jednadžbe Rješavanje diferencijalnih jednadžbi
Rješenje.
Derivacija inverzne funkcije:(f−1(y)
)′=
1f ′(f−1(y))
Derivacija kompozicije funkcija:
(f (g(x)))′ = f ′(g(x))g′(x).
y ′(t) =(
H−1 (G(t) + C))′
=G′(t)
H ′(H−1 (G(t) + C)
) =
=G′(t)
H ′(y(t))=
g(t)1
h(y(t))
= g(t)h(y(t)) = f (t , y(t)).
55 / 68
Diferencijalne jednadžbe Rješavanje diferencijalnih jednadžbi
Primjer 6.Riješite diferencijalnu jednadžbu
y ′ = αy .
Rješenje.
Separacija varijabli:
y ′ = αy = g(t)h(y) ⇒ g(t) = α, h(y) = y
y ′
y= α ⇒
∫y ′
ydt =
∫αdt ⇒
∫dyy
dt = αt + C
⇒ ln |y | = αt + C ⇒ |y | = eαt+C = C1eαt , C1 > 0
⇒ y = C2eαt , C2 ∈ R
56 / 68
Diferencijalne jednadžbe Rješavanje diferencijalnih jednadžbi
ZadatakRiješite diferencijalne jednadžbe
1 y ′ = y + 12 y ′ = y2 et , y(0) = 13 y ′ = y2t
Rješenje.
1.
y ′ = y + 1 ⇔ y ′
y + 1= 1 ⇔
∫dy
y + 1=
∫dt ⇔
ln(y + 1) = t + C ⇔ y + 1 = et+C ⇔ y = Cet − 1
57 / 68
Diferencijalne jednadžbe Rješavanje diferencijalnih jednadžbi
2.y ′ = y2 et ⇔ y ′
y2 = et ⇔∫
dyy2 =
∫et dt ⇔
−1y= et +C ⇔ y =
−1et +C
Pocetni uvjet
y(0) = 1 ⇒ 1 =−1
e0 +C=−1
1 + C⇒ C = −2
y =−1
et −2=
12− et
3.
y ′ = y2t ⇔ y ′
y2 = t ⇔∫
dyy2 =
∫tdt ⇔
−1y=
t2
2+ C ⇔ y =
−1t2
2 + C=−2
t2 + C=
2C − t2
58 / 68
Diferencijalne jednadžbe Rješavanje diferencijalnih jednadžbi
Kod modela rasta diferencijalna jednadžba ne ovisi eksplicitno ovremenu t .
Argument je isti kao kod funkcije prirasta:
- Ukoliko eksperimente zapocnemo s populacijom iste velicine urazlicitim vremenima, rast treba biti isti.
Modeli rasta:y ′ = f (y)
- Autonomna diferencijalna jednadžba
59 / 68
Diferencijalne jednadžbe Rješavanje diferencijalnih jednadžbi
Napomena. Eksponencijalni model y ′ = αy smo mogli dobiti polazeciod pretpostavke da je rast opisan diferencijalnom jednadžbomy ′ = f (t , y).
Istim argumentom kao i za funkciju prirasta pokažemo da f ne ovisieksplicitno o t : f (t , y) ≡ f (y).
Takoder, podjelom populacije na više dijelova pokažemo da je flinearna funkcija, tj. f (y) = αy .
60 / 68
Diferencijalne jednadžbe Numericko rješavanje diferencijalnih jednadžbi
Numericko rješavanje diferencijalnih jednadžbiI ako diferencijalna jednadžba ima rješenje, to rješenje cesto nemožemo eksplicitno izraziti.
Metoda separacija varijabli je samo jedna od mnogih metoda.
Primitivnu funkciju cesto ne možemo opisati pomocu’jednostavnih’ funkcija.
Ako i odredimo primitivnu funkciju kod metode separacije varijabli,to ne znaci da cemo moci odrediti njezin inverz.
Novi pristup: racunati numericko (približno) rješenje ODJ umjestoegzaktnog.
61 / 68
Diferencijalne jednadžbe Numericko rješavanje diferencijalnih jednadžbi
Promatramao inicijalni problem
y ′ = f (t , y), y(0) = y0.
Osnovna ideja - Taylorov polinom:
y(t + h) = y(t) + y ′(t)h +y ′′(ζ)
2h2.
Zanemarimo kvadratni clan:
y(t + h) ≈ y(t) + y ′(t)h.
Ako je y rješenje diferencijalne jednadžbe y ′ = f (t , y), tada je
y(t + h) ≈ y(t) + h · f (t , y(t)).
62 / 68
Diferencijalne jednadžbe Numericko rješavanje diferencijalnih jednadžbi
Inicijalni problem:y ′ = f (t , y), y(0) = y0.
Tražimo rješenje na intervalu [0,a].
n - zadan
Interval [0,a] podijelimo na n jednakih djelova:
h =an, ti = i · h, i = 0,1,2, . . . ,n.
Poznati su t0 i y0 (pocetni uvjet).Racunamo aproksimaciju rješenja u x1:
y1 = y0 + h · f (t0, y0)
Sljedeci korak:y2 = y1 + h · f (t1, y1)
itd.63 / 68
Diferencijalne jednadžbe Numericko rješavanje diferencijalnih jednadžbi
Metoda:yi+1 = yi + h · f (ti , yi), i = 0,1, . . .
- Eulerova metoda
PrimjerEulerovom metodom aproksimirajte rješenje inicijalnog problema
y ′ = y , y(0) = 1,
u tocki x = 1 koristeci podjelu na 5 intervala.
64 / 68
Diferencijalne jednadžbe Numericko rješavanje diferencijalnih jednadžbi
Rješenje.Interval [0,1].
n = 5 ⇒ h = 0.2
i ti yi f (ti , yi) yi+1
0 0.0 1.000 1.000 1.2001 0.2 1.200 1.200 1.4402 0.4 1.440 1.440 1.7283 0.6 1.728 1.728 2.0744 0.8 2.074 2.074 2.4885 1.0 2.488
65 / 68
Diferencijalne jednadžbe Numericko rješavanje diferencijalnih jednadžbi
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.5
2.0
2.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.5
2.0
2.5
66 / 68
Diferencijalne jednadžbe Numericko rješavanje diferencijalnih jednadžbi
y(t + h) smo aproksimirali s linearnim clanom Taylorovog reda
Najjednostavnija metoda
Bolje aproksimacije → bolje metode
Najpoznatije:Runge-Kuttine metodelinearne višekoracne metode
67 / 68
Diferencijalne jednadžbe Numericko rješavanje diferencijalnih jednadžbi
2. Domaca zadaca
Eulerovom metodom riješite inicijalni problem
y ′ = 2y − y2, y(0) = 0.1
na intervalu [0,5].Usporedite dobivenu aproksimaciju s egzaktnim rješenjem.Nacrtajte aproksimaciju i egzaktno rješenje.
Dodatak. Kako se ponaša pogreška s povecanjem broja podintervala?
68 / 68
