hhx132-MAT/B-16082013

Matematik BHøjere handelseksamen

Fredag den 16. august 2013kl. 9.00 - 13.00

121968.indd 1 02/07/13 12.41

Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres kl. 10.

Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6 til 11 med i alt 13 spørgsmål. De 18 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med hver 5 point. Af opgaverne 11A, 11B og 11C må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.

I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes. I prøvens sidste 3 timer er alle hjælpemidler tilladt. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. Ved brug af grafer og illustrationer skal der være en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Til eksamenssættet hører følgende tre datafiler: ost kvittering pris-afsætning

121968.indd 2 02/07/13 12.41

Side 1 af 8 sider

2 4 6 8 10

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

år

værdi i kr.

Side 1 af 8 sider

Delprøven uden hjælpemidler

Kl. 9.00 – 10.00

Opgave 1

Værdien af en bil aftager eksponentielt og er illustreret grafisk herunder og i bilag 1.

a) Bestem halveringstiden for bilens værdi.

Bilag 1 kan benyttes.

Opgave 2 En funktion f har forskriften 28)( 2

21 +−= xxxf .

a) Bestem )(' xf og undersøg, om f har ekstremum i 4=x .

Opgave 3

a) Tegn grafen for en funktion f , der opfylder følgende: • definitionsmængden er ]7;8[)( −=fDm • funktionen har nulpunkt i 2−=x • funktionen har en vandret tangent i 3=x

Bilag 2 kan benyttes.

2 4 6 8 10

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

år

værdi i kr.

121968.indd 3 02/07/13 12.41

Side 2 af 8 sider

Side 2 af 8 sider

Opgave 4 a) Undersøg, om 4=x er løsning til ligningen xxx ++⋅= )3(22 .

Opgave 5

I en produktionsvirksomhed kan den marginale omsætning mR (i mio. kr.) og de marginale

omkostninger mC (i mio. kr.) ved produktion af en vare beskrives ved funktionerne med forskrifterne

000350,350100

1)( <<+−= xxxRm

000350,100)( <<= xxCm

hvor x er produktionsstørrelsen. Den optimale produktionsstørrelse er den x-værdi, hvor den marginale omsætning er lig de marginale omkostninger. a) Bestem den optimale produktionsstørrelse.

Besvarelsen afleveres kl. 10.00

10000 20000 30000 40000

100

200

300

400

prod.størrelse

mio. kr

mR

mC

10000 20000 30000 40000

100

200

300

400

prod.størrelse

mio. kr

mR

mC

121968.indd 4 02/07/13 12.41

Side 3 af 8 sider

Side 3 af 8 sider

Delprøven med hjælpemidler

Kl. 9.00 – 13.00

Opgave 6

a) Løs ligningen 0)800( 25,05275,0 =−⋅− mm eventuelt ved hjælp af et CAS-værktøj.

b) Ligningen 02,0

102,140000010 −⋅=

n

er løst nedenfor.

Forklaring til følgende linjer skal gives. Bilag 3 kan benyttes.

02,0102,140000010 −

⋅=n

Ligningen er skrevet op.

102,102,0400

00010−=⋅ n

_______________________________________________

5,102,1 =n _______________________________________________

)5,1ln()02,1ln( =⋅n _______________________________________________

48,20=n _______________________________________________

121968.indd 5 02/07/13 12.41

Side 4 af 8 sider

Side 4 af 8 sider

Opgave 7 En virksomhed producerer og sælger en vare. Omsætningen R (i 1000 kr.) og omkostningerne C (i 1000 kr.) kan bestemmes ved funktionerne med forskrifterne

300,30)( 2 ≤≤+−= xxxxR

300,50202,104,0)( 23 ≤≤++−= xxxxxC hvor x angiver afsætningen i tons.

Overskuddet kan bestemmes ved

overskud = omsætning - omkostninger a) Gør rede for, at overskuddet P (i 1000 kr.) kan beskrives ved funktionen med forskriften

300,50102,004,0)( 23 ≤≤−++−= xxxxxP

og bestem, i hvilket interval overskuddet er positivt.

b) Bestem den afsætning, der giver maksimalt overskud og bestem dette overskud.

10 20 30

100

200

300

afsætning

1000 kr.

C

R

P

10 20 30

100

200

300

afsætning

1000 kr.

C

R

P

121968.indd 6 02/07/13 12.41

Side 5 af 8 sider

Side 5 af 8 sider Opgave 8

I koordinatsystemet er grafen for en funktion f og for den afledede funktion 'f vist. a) Gør rede for, hvilken af de to grafer A eller B, der viser grafen for funktionen f .

Opgave 9 Et mejeri producerer en bestemt ost, der sælges i 800 grams indpakninger. I en stikprøve registreres vægten af 150 tilfældigt udvalgte oste. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen ost.

Vægt 798 792 809

:

a) Lav en grafisk præsentation af fordelingen af ostenes vægte.

b) Bestem følgende 3 statistiske deskriptorer for fordelingen af ostenes vægte:

gennemsnit, median og 25%-fraktilen.

Antag, at ostenes vægte er normalfordelt med middelværdi 800=μ gram og spredning 12=σ gram dvs. )12,800(~ NX . c) Bestem sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt ost vejer mindre end 780 gram.

d) Skriv en kort sammenfatning til mejeriets kontrolchef, hvor du præsenterer resultatet af dine svar

til spørgsmålene a), b) og c).

x

y

AB

16 2210

x

y

AB

16 2210

121968.indd 7 02/07/13 12.41

Side 6 af 8 sider

Opgave 10 En dagligvarebutik påstår, at hvorvidt der er fejl på en kvittering eller ej er uafhængigt af, om varen er en udsalgsvare eller ikke en udsalgsvare. Dagligvarebutikken udtager derfor en stikprøve på 564 kvitteringer. Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen kvittering.

a) Konstruér et skema som nedenstående, der indeholder data fra stikprøven.

Ikke udsalg Udsalg Total

Fejl Ikke fejl

Total 564 b) Undersøg med et signifikansniveau på 5%, om dagligvarebutikkens påstand er sand.

Varer Fejlstatus Ikke udsalg Ikke fejl Ikke udsalg Ikke fejl Ikke udsalg Fejl

Udsalg Fejl : :

121968.indd 8 02/07/13 12.41

Side 7 af 8 sider Side 7 af 8 sider

Af opgaverne 11A, 11B og 11C må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.

Opgave 11A En virksomhed har observeret en sammenhæng mellem pris og afsætning på et af deres produkter.

Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen pris-afsætning.

a) Lav et xy-plot af sammenhængen mellem afsætning i stk. x og pris i kr. y, og opstil en lineær regressionsmodel baxxp +=)( , der beskriver denne sammenhæng.

b) Benyt p til at bestemme afsætningen ved en pris på 150 kr.

Opgave 11B

Sofie ønsker at låne 00060 kr. Banken tilbyder Sofie et lån, der skal tilbagebetales over 5 år med en fast månedlig ydelse og en månedlig rente på %7,0 . a) Bestem den månedlige ydelse på lånetilbuddet. Imidlertid viser det sig, at Sofie kun har råd til en fast månedlig ydelse på 1000 kr., hvilket indebærer, at banken så kræver %8,0 i månedlig rente. b) Bestem antal ydelser på lånet under de nye vilkår.

Afsætning i stk. Pris i kr. 00012 125 50011 140 00010 155 : :

121968.indd 9 02/07/13 12.41

Side 8 af 8 sider Side 8 af 8 sider Opgave 11C En virksomhed producerer og afsætter to typer etuier til en bestemt type mobiltelefon: RUBBER og SKINLOOK. Lad x angive antal producerede og afsatte RUBBER og lad y angive antal producerede og afsatte SKINLOOK. Produktionen er underlagt følgende kapacitetsbegrænsninger:

400200

160040604802010

≤≤≤≤

≤+≤+

yx

yxyx

Dækningsbidraget på RUBBER er 10 kr. pr. stk. og dækningsbidraget på SKINLOOK er 15 kr. pr stk. Funktionen byaxyxf +=),( angiver det samlede dækningsbidrag pr. dag. a) Bestem forskriften for funktionen f og tegn polygonområdet defineret ved ovenstående

kapacitetsbegrænsninger.

b) Bestem det antal producerede og afsatte RUBBER pr. dag og det antal producerede og afsatte SKINLOOK pr. dag, der giver virksomheden det største samlede dækningsbidrag pr. dag.

121968.indd 10 02/07/13 12.41

121968.indd 11 02/07/13 12.41

Op

gave

n er

pro

duc

eret

med

anv

end

else

af k

valit

etss

tyrin

gssy

stem

et IS

O 9

001

og m

iljøl

edel

sess

yste

met

ISO

140

01

121968.indd 12 02/07/13 12.41

2 4 6 8 10

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

år

værdi i kr.

Bilag 1 til opgave 1.

Skole:

Hold:

Eksamensnr. Navn:

2 4 6 8 10

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

år

værdi i kr.

121968.indd 13 02/07/13 12.41

121968.indd 14 02/07/13 12.41

Bilag 2 til opgave 3.

Skole:

Hold:

Eksamensnr. Navn:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

121968.indd 15 02/07/13 12.41

121968.indd 16 02/07/13 12.41

Bilag 3 til opgave 6.

Skole:

Hold:

Eksamensnr. Navn:

02,0102,140000010 −

⋅=n

Ligningen er skrevet op.

102,102,0400

00010−=⋅ n

_______________________________________________

5,102,1 =n _______________________________________________

)5,1ln()02,1ln( =⋅n _______________________________________________

48,20=n _______________________________________________

121968.indd 17 02/07/13 12.41