Matematika 1 - Zbirka Zadataka i Testova Za I Razred Gimnazija i Tehnickih Skola (Krug)

8/10/2019 Matematika 1 - Zbirka Zadataka i Testova Za I Razred Gimnazija i Tehnickih Skola (Krug)

http://slidepdf.com/reader/full/matematika-1-zbirka-zadataka-i-testova-za-i-razred-gimnazija-i-tehnickih 1/262

и в о р а д И в а н о в и ћ С р В а н О г њ а н о в и ћ

М А Т Е М А Т И К А

1

б к р к а з а д е т а к а и т е с т о в а

з а I р а з р е д

г и м н а з и ја и т е х н и ч к и х ш к о л а

п е т о п р е р а ђ е м о и з д а њ е

( н \ ”К Р У Г/ Б Е О Г Р А Д , 2



М А Т Е М А Т И К А 1

З б и р к а р е ш е н и х з а д а т а к а з а I р а з р е д г и м н а з и ј а и т е х к и ч к и х ш к о л а

ц е т о п р е р а ђ е н о и з д а њ е

И з д а в а ч : „К Р У Г ” , Б е о г р а д

З а и з д а в а ч а : а р и ја н а и л о ш е в и ћ

Р е ц е н з е н т : Ј а с н а Ф и л и п о в и Н , п р о ф е с о р IX г и м н а з и ј е у Б е о г р а д у

У р е д н и к : Ж и в п р а д И в а н о в и ћ

■ Д д ^-Т ^Х -о б р а д г . д р З о р а н О г њ а н о в и ћ , И в а н О г њ а н о в и ћ

К о р е к т у р а : а у т о р и

С л и к е : И в а С т о ја н о в и ћ

С 1Р - К а т а л о г и з а ц и ја у п у б л и к а ц и ји

Н а р о д н а б и б л и о т е к а С р б и је , Б е о г р а д

А у т о р и : Ж и в о р а д И в а н о в и ћ , п р о ф е с о р

р С р ђ а н ОгЂановић, п р о ф е с о р

37.016:51(075.3)(076)

И В А Н О В И Ћ , Ж и в о р а дМ а т е м а т и к а 1 : з б и р к а з а д а т а к а и т е с т о в а

з а I р а з р е д г и м н а з и ја и т е х н и ч к и х ш к о л а /и в о р а д И в а н о в и ћ , С р ђ а н О г њ а н о в и ћ ; [ц р т е ж к

И в а С т о ја н о в и ћ ]. - 5. п р е р а ђ е н о и з д .-Б е о г р а д : К р у г , 2003 (Б о р : Т р е ј д ).-256 с р т .: г р а ф . п р и к а з и ; 24 с т

Т и р а ж 3.000. - Б и б л и о г р а ф и ја : с т р . [256].

К В И 86-7136-097-01. О г њ а н о в и ћ , С р ђ а н

С О В 188.8К -Ш 107234572

Т и р а ж : 3000 п р и м е р а к а

Ш т а м п а : „Г р а ф о м е д -Т р е ј д ', Б о р



П р е д г о в о р

С а д р ж а ј о в е з б и р к е о б у х в а т а н о в е п р о г р а м е м а т е м а т и к е з а I р а з р е д

г и м н а з и ја и с т р у ч н и х ш к о л а у к о ји м а с е м а т е м а т и к а п р е д а ј е 3 и 4 ч а с а

н е д е љ н о и п р и м е њ у је с е о д п о ч е т к а ш к о л с к е 1990/91. г о д и н е . З б и р к ао б у х з а т а з а д а т к е и з с л е д е ћ и х т е м а :

С в а к а о д н а в е д е н и х т е м а о б р а ђ е н а је у п о с е б н о ј г л а в и , а с в а к а г л а в ај е п о д е љ е н а н а в е ћ и б р &ј о д е љ а к а . Н а п о ч е т к у с в а к о г о д е љ к а д а т е с у

д е ф и н и ц и ј е и т в р ђ е њ а ч и је ј е п о з н а в а њ е н е о п х о д н о з а р е ш а в а њ е з а д а т а к а .

Н а к р а ју с в а к е г л а в е , у о к в и р у о д е љ к а Д о д а т а к у з г л а в у , д а т и с у з а д а ц и

к о ји н а о д р е ђ е н н а ч и м п о в е з у ју и о б је д и њ а в а ју с а д р ж а ј т е г л а в е .

З а д а ц и у з б и р ц и с у р е ш е н и и п о р е ђ а н и п о ч е в о д н а јје д н о с т а в н и ји х , р а д и

р е п р о д у к ц и је н а у ч е н и х с а д р ж а ја , к а т е ж и м з а ч и је је р е ш а в а њ е п о т р е б н о

у л о ж и т и о д р е ђ е н с т е п е н к р е а т и в н о с т и .

С р д а ч н о з а х в а љ у је м о р е ц е н з е н т и м а М и р ј а н и В е љ к о в и ћ и М и л о р а д у Ј о -

к о в и ћ у к о ји с у п р о ч и т а л и р у к о п и с и д а л и н и з к о р и с н и х п р и м е д б и и с у -

г е с т и ја .С в е п р и м е д б е ч и ји б и ц и љ б и о п о б с љ ш а њ е к в а л и т е т а о в е з б и р к е п р и -

м и ћ е м о с а з а х в а л н о ш ћ у .

У Б е о г р а д у , а в г у с т а 1994. А у т о р тл

П р е д г о в о р п е т о м п р е р а ђ е н о м и з д а њ у

У ц и љ у у је д н а ч а в а њ а з а х т е в а к о ји с е п о с т а в љ а ју п р е д у ч е н и к е , у н а јн о -

в и ј е м и з д а њ у н а п р а в љ е н а ј е је д н а о р и је н т а ц и о н а п о д е л а з а д а т а к а и з

з б и р к е у т р и г р у п е -л а к ш и (н и в о о ц е н а 2 и 3-о б о је н и з е л е н о м б о ј о м ), т е ж и

(н и в о о ц е н а 4 и 5-ж у т о м ) и н а јт е ж и з а д а ц и (и з д о д а т к а у з г л а в у -о б о је н и

ц р в е н о м б о јо м ). П р и о в о м е ж е љ а н а м је б и л а д а п о м о г н е м о у ч е н и ц и м а

и њ и х о в и м н а с т а в н и ц и м а у с а в л а ђ и в а њ у п л а н и р а н о г г р а д и в а , а п р и т о м е

с м о с в е с н и д а ј е о в а к в а п о д е л а н а т р и г р у п е з а д а т а к а г р у б а и н е п р е ц и з н а ,

п а ћ е с е , м о ж д а , у к с к и м н а р е д н и м и з д а њ и м а п о ја в и т и н е к а п о б о љ ш а њ а

и к о р е к ц и је .

1. Л о г и к а и с к у п о в и

2. Р е а л н и б р о је в и

5. П о д у д а р н о с т

6 . Р а ц и о н а л н и а л г е б а р с к и и з р а з и

7. С л и ч н о с т

8 . Т р и г о н о м е т р и ја п р а в о у г л о г

3. П р о п о р п и о н а л н о с т

4. У в о д у г е о м е т р и ју

т р о у г л а



К а к о с е н а п р и је м н и м и с п и т и м а , а л и с в е в и ш е и у р е д о в н о ј н а с т а в и

к о р и с т е т е с т о в и к а о п о у з д а н и ј е д н о с т а в а н н а ч и н п р о в е р а в а њ а з н а њ а ,

п о ч е в ш и о д ч е т в р т о г и з д а њ а , о в а з б и р к а је д о п у њ е н а је д н о м г р у п о м

т е с т о в а н а к р а ј у к њ и г е , к о ји т р е б а д а п о с л у ж е к а о п р е д л о г и м о д е л к а к о

с а с т а в љ а т и н о в е т е с т о в е . П р и т о м е с е з а л а ж е м о з а р а з в и ја њ е м и с а о н о с т и ,

г а ч н о с т и , р а д о з н а л о с т и , к р е а т и в н о с т и , с т в а р а л а ш т в а и к о м б и н о в а њ ат е с т о в а с а д р у г и м н а ч и н и м а п р о в е р е з н а њ а , а н и к а к о с а м о з а к о р и ш ћ е њ е

п р и л о ж е н и х т е с т о в а .

С р д а ч н о з а х в а љ у је м о р е ц е н з е н т у Ј а с н и Ф и л и п о в и ћ , к о ј а је с в о ји м с у г е с -

т и ја м а у м н о г о м е у т и ц а л а н а к в а л и т е т и з б о р а и р е д о с л е д а з а д а т а к а

У В е о г р а д у , а в г у с т а 2003. А у т о р и

Г р ч к и а л ф а б е т

А а а л ф а

В /Ј б е т а

Г 7 г а м а

Д б д е л т а

I јо т а

К к к а п а

Л А л а м б д а

М џ м и

N V н и

5 ^ к с и

Р р р о

Е а с и г м а

Т т т а у

Т V и п с и л о н

Е 6 е п с и л о н

2 з е т а

Н г} е т а

0 в т е т а

О о о м и к р о н

П 7Г П И

Ф џ> ф и

X х х и

Ф ф п с и

П р и т о м е с л о в а А , В , Е , 2, Н , I, К , , Л Г , 0 , Т и X ч и т а м о к а о с л о в а

л а т и н и ц е . -



С А Д Р Ж А Ј 4 4 - 0

П р е д г о в о р | * , , * • ■/ т л 111

Г л а в а I Л О Г И К А И С К У П О В И .................. V 4 < * 9 * • > 1

1.1. О с н о в н е о п е р а ц и је с а и с к а з и м а ...................... . * , . . . 2

1.2. К в а н т и ф и к а т о р и (к в а н т о р и ) , , . . . . - * * * *• » » . 5 2

1.3. С к у п о в и и с к у п о в н е о п е р а ц и ј е * * * * & 1 « 1 ч . 7 4 4

1.4. Р е л а ц и је ............................................ .... * § 1 I « - 4 * •« 10 1

1.5. Ф у н к ц и је ............................................................ ■«. « 12 >14

1 1.6. Е л е м е н т и к о м б и н а т о р и к е , * . , » г Ч! ч •• * ■* 14 &

-Ј — 1.7, Д о д а т а к у з п р в у г л а в у ; к , * -. « - * « * • % <* 17

Г л а в а II Р Е А Л Н И Б Р О Ј Е В И •л ♦ * - * * . 21

2.1. П р и р о д н и и ц е л и б р о ј е в и ............................... * % « Ј * , Џ 21 г

2.2. Р а ц и о н а л н и и и р а ц и о н а л н и б р о је з и . , . Ч * * ' * * * 23 &2.3. У р е ђ е к о п о љ е р е а л н и х б р о је в а . . . . . . . * . • . * 24 &

ј 2.4. П р и б л и ж н е в р е д н о с т и р е а л н и х б р о је в а . . «' * • * * * 27 А А— 2.5. Д о д а т а к у з д р у г у г л а в у . . . . . , . * г * I * 28

Г л а в а III П Р О П О Р Ц И О Н А Л Н О С Т . . . , « « :* * џ. ■• 30

3.1. Р а з м е р е и п р о п о р ц и ј е ................................... , * « , *' г 30 5"3.2. Д и р е к т н а и о б р н у т а п р о п о р ц и о н а л н о с т , , С# * , . * 32

3.3. Р а ч у н п о д е л е ................................... • 1 * . . 34 2 . а

3.4. П р о ц е н т н и р а ч у н . . . . . . . . . . . . - 37 к Ч

3.5. К а м а т н и р а ч у н . , , * , » . . . , . , Е * * • • * * * « г 39

х Г л а в а IV У В О Д У Г Е О М Е Т Р И Ј У . . . . 'Ч * . . 41

4.1. А к с и о м е п р и п а д а њ а *. . * т , , г * * 41 к

4.2. П а р а л е л н о с т ........................................................ џ Ф * »■ * « 43

4,3. Д о д а т а к у з ч е т в р т у г л а в у *

•* *- 45

Г л а в а V Г Е О М Е Т Р И Ј А .................................... - ... * . *. 47

5.1. П о д у д а р н о с т д у ж и , у г л о в а и т р о у г л о в а , . , « * * * -V • . . 47

Ј _ 5.2. Н о р м а л н о с т п р а в и х и р а з н и .......................... • Л » ■ « . . . 51

5.3. В е к т о р и . ...................... ....................................... . < «,• . . . 52 4 $ ■

5.4. Т р о у г а о ............................................. . % Џ -т • | * , , 56 4 0

5.5. Ч е т в о р о у г а о , м н о г о у г а о $ * ( ? 59

5.6. К р у ж н а л и н и ја (к р у ж н и ц а , к р у г ) . . . . , - - » . 61 4 3

5.7. К о н с т р у к ц и је л е њ и р о м и ш е с т а р о м , , » 1 * * -. 64т

Ј _ 5.8. И з о м е т р и јс к е т р а н с ф о р м а ц и је . . . . . * * •- * 8 * 67 Н5.9. Д о д а т а к у з п е т у г л а в у „ * » -*• 1 * « , 71

А Л



Г л а в а VI Р А Ц И О Н А Л Н И А Л Г Е Б А Р С К И И З Р А З И . . „ . . 75

6.1. Т р а н с ф о р м а ц и је ц е л и х а л г е б а р с к и х р а ц и о н а л н и х и з р а з а 75 2 ј

6.2. П о л и н о м и је д н е п р о м е н љ и в е ........................... .......... . . . . # * . 80

6.3. Н З Л и Н З С п о л и н о м а ....................................... .......................... * . 83

6.4. О п е р а ц и је с а р а ц и о н а л н и м а л г е б а р с к и м и з р а з и м а . , , 84. \д

6.5. Д о д а т а к у з п о г л а в љ а 6.1 д о 6.4 . . . . . . . . . . . » . 92

6.6. Л и н е а р н е је д н а ч и н е ................. ..................................................... V. | 97 Л З -

6.7. С и с т е м и л и н е а р н и х је д н а ч и н а ............................... . 1 « 103 Ч

6.8. Л н е а р н е н е је д н а ч н е * . 108

6.9. В а ж н је н е је д н а к о с т . ........................... ... . . , 111 о

6.10. Л и н е а р н а ф у н к ц и ја . . ...................... .... * , 112 л >~

611. Л о д а т а к у з п о г л а в љ а 6.6 д о 6.10 , џ . , - - , . * * . 114

1'л а в а VII С Л И Ч Н О С Т . . . ................................................... * ■&. 122 ^ 1,

7.1. П р о п о р ц и о н а л н о с т д у ж и и Т а л е с о в а т е о р е м а . • 8 . 122 Т

' * *' . 124 3

7.3. С л и ч н о с т . С л и ч н о с т т р о у г л о в а ...................... * . . 125 41

7.4. П р и м е н а с л и ч н о с т и н а п р а в о у г л и т р о у г а о . , . . « . 129 Г

7.5. Л о д а т а к у з с е д м у г л а в у , * , * . 131

Г л а в а VIII Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ј А П Р А В О У Г л О Г Т Р О У Г Л А 133

8.1. Л е ф и н и ц и ја т р и г о н о м е т р и јс к и х ф у н к ц и ја о ш т р о г у г л а . * * , 133 —1"Г

8.2. Т р и г о н о м е т р и јс к е ф у н к ц и је к о м п л е м е н т а р н и х у г л о в а . , , * . 134 в

8.3. В р е д н о с т и н е к и х т р и г о н о м е т р и јс к и х ф у н к ц и ја . . . . . . 135 г~

8.4. О с н о в н е р е л а ц и је и з м е ђ у т р и г о н о м е т р и јс к и х ф у н к ц и ја _ . 136 У а

8.5. Р е ш а в а њ е п р а в о у г л о г т р о у г л а , , , , , , , 138 1

Р Е Ш Е Њ А З А Д А Т А К А .................. .................................................. . * 140

Г л а в а I Л о г и к а и с к у п о в и ......................................................... .... , 140

Г л а в а Н Р е а л н и б р о је в и . ...................... 4 , * , 150

Г л а в а III П р о п о р ц и о н а л н о с т ................................... .. * , . 154

Г л а в а IV У в о д у г е о м е т р и ју , . V * . 159

Г л а в а ^ Г е о м е т р и ја.

.......................................................................... I * . 162Г л а в а ^1 Р а ц о н а л н а л г е б а р с к з р а з , ...................... * . 192

Г л а в а ^ И С л ч н о с т ....................................... .... . 222

Г л а в а ^ Ш Т р и г о н о м е т р и ја п р а в о у г л о г т р о у г л а . . . . . . * . 232

Т Е С Т О В И . . ................................ .... > 239

Р Е Ш Е Њ А Т Е С Т О В А ......................................... .... . * , , . 255

Л к т е р а т у р а .............................................. .... . * » * * * 4 . 256



Г л а в а I

Л О Г И К А И С К У П О В И

О С Н О В Н И П О Ј М О В И М А Т Е М А Т И Ч К Е Л О Г И К Е

1° К о н с т а н т е . З н а ц и , к а о 1, 2, 7, -3, \/2, тг и с л . о ј и

с л у ж е з а о з н а ч а в а њ е о д р е ђ е н и х м а т е м а т и ч к и х п р е д м е т а н а з и в а ју

с е к о Н с т а н т е .

2° П р о м е н љ и в е . З н а ц и к а о х , у , г , А , В , С , ж х , у \, . . .

о б и ч н о с л у ж е к а о з а је д н и ч к е о з н а к е з а в и ш е о д р е ђ е н и х п р е д м е т а .

Т о с у т з в . п р о м е н љ и в е . П р о м е н љ и в е к о је с е ја в љ а ј у у је д н а ч и н и

з о в у с е к е п о з н а т е .

3° О п е р а ц и јс к и з н а ц и . З н а ц и к а о + , •, —, 1 , П , и д р у г и к о ј ио б и ч н о с л у ж е з а о з н а ч а в а њ е о п е р а ц и ја с у т з в . о п е р а ц и ј с к и з н а ц и .

4С Р е л а ц и јс к и з н а ц и . З н а ц и к а о = . = , < , > , < , >. ±, ||о б и ч н о

с л у ж е з а о з н а ч а в а њ е р е л а ц и ја ; т о с у т з в . р е л а ц и јс к и з н а ц и .

5° З н а ц и л о г и ч к и х о п е р а ц и ја . З н а ц и к а о =>, А , V, с у

з н а ц и о с н о в н и х л о г и ч к и х о п е р а ц и ја .

6° И з р а з и . З н а ц и к о н с т а н а т а и п р о м е н љ и в и х к а о и к о н с т а н т е и

п р о м е н љ и в е в е з а н е з н а ц и м а о п е р а ц и ја с у и з р а з и . Н а п р и м е р : (1)

х ј е и з р а з ; (2) 5 је и з р а з ; (3) х + 5 је и з р а з ; (4) у — 1 је и з р а з ; (5)

(х + 5 )( у - 5) ј е и з р а з . К о д и з р а з а з а г р а д е и м а ју п о м о ћ н у у л о г у .

7° Ф о р м у л е . М а т е м а т и ч к и м с и м б о л и м а з а п и с а н а р е ч е н и ц а(к о ја и м а с м и с л а ) н а з и в а с е ф о р м у л а .

8<' И с к а з . Р е ч е н и ц а к о ја и м а т а ч н о је д н у и с т и н и т о с н у в р е д -

н о с т : Т -т а ч н о и л и ±-н е т а ч н о , н а з и в а с е и с к а з . И с т и н и т о с н а

в р е д н о с т и с к а з а р о з н а ч а в а с е с а т (р ).

9° И с к а з н а ф о р м у л а . И с к а з н е к о н с т а н т е (Т , ± ) , и с к а з н а с л о в а

( 4, В , . . . , ,Р , <3, р , д , т . . . ) и с в и с л о ж е н и и с к а з и н а с т а л и п о м о ћ у

з н а к о в а л о г и ч к к х о п е р а ц и ја (V, А , =>, ->) н а з и в а ју с е и с к а з н е

ф о р м у л е .

10° Т а у т о л о г и је . И с к а з н е ф о р м у л е к о је с у т а ч н е з г , с в е

в р е д н о с т и и с к а з н и х с л о в а н а з и в а ју с е т а у т о л о г и ј а м а .



2 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а I.

11° У н и в е р з а л н и к в а н т и ф и к а т о р V. О б р н у т о с л о в о А к а о

п о ч е т н о с л о в о е н г л е с к е р е ч и а 11 = с в и , а з н а ч и „с в а к и ” , „м а к о ји

” , „б и л о к о ј и ” .

12° Е г з и с т е н ц и ја л н и к в а н т и ф и к а т о р 3. О б р н у т о с л о в о Е к а о

п о ч е т н о с л о в о е н г л е с к е р е ч и е х г в Г = п о с т о ји , а з н а ч и „н а јм а њ е

је д а н ” , „м а к а р је д а н ” , „н е к и ” , „п о с т о ји б а р је д а н ” .

1.1. О С Н О В Н Е О П Е Р А Ц И Ј Е С А И С К А З И М А

К о н ј у н к ц и ј а и с к а з а р и д је и с к а з р А д ч и ја је и с т и н и т о с н а

в р е д н о с т о д р е ђ е н а т а б л и ц о м 1.

Д и с ју н к ц и ја и с к а з а р и д је и с к а з р V <? ч и ја је и с т и н и т о с н а

в р е д н о с т о д р е ђ е н а т а б л и ц о м 2,

И м п л и к а ц и ја и с к а з а р и д је и с к а з р => д ч и ја је и с т и н и т о с н а


Е к в и в а л е н ц и ј а и с к а з а р и д је и с к а з р д ч и Ј а је и с т и н к ^о с н а


Н е г а ц и ја и с к а з а р је и с к а з ->р ч и ја је и с т и н и т о с н а в р е д н о с т

о д р &ђ е н а т а б л и ц о м 5.

р д р Л д

Т т Тт 1 1 Ј .1 т

1 1

Т а б л и ц а 1

Р <?

Т Т ТТ 1 Т

1 т : т

1 1 1


Р 9

т Т Тт 1 1

Т Т

1 1 Т

'а б л и ц а 3

Р о

т Т Т

т 1 1

1 Т 1

1 ТТ а б л и ц а 4

Р -пр

т Ј .

1 Т


1. И с п и т а т и т а ч н о с т ф о р м у л е (г е а ) :

а ) ( - х )2 = х 2; б ) х 4 х 2 = х н ; в ) З г3 - х 3 = 3; г ) 2ж 3 •1х 1 = 6х 8;

д ) 50х + 10х ■ 10 = б О О х ; ђ ) 6х 3 ■ З х 2 - 5х •х 4 = 13х 5;

е ) (10 —5а т) - ( 8 - 4 * ) = х ; ж ) 2ж 2 - х 2(1 - х ) + х 3 = х 2.

2. С д р е д и т и д а л и с у с л е д е ћ е р е ч е н и ц е и с к а з И и а к о је с у о д у е д и т и и м

и с т и н и т о с н у в р е д н о с т :



1.1. О с н о в п е о п е р а ц и је с а и с к а з и м а

а ) 5 = 2 + 3; б ) 6 < 5;

в ) с в а к и т р о у г а о и м а т р и у г л а ;

г ) п о с т о ји н а јв е ћ и п р и р о д а н б р о ј;

д ) р е ч е н и ц а : „ Д а л и ј е д а н а с п е т а к ?” је и с к а з ;

ђ ) е ј з в р л о м а л и б р о ј;

е ) је д н а ч и н а 1 —(1 —(2 —х )) = 5 н е м а р е ш е њ е .

3. О д р е д и т и и с т и н и т о с н у в р е д н о с т с л е д е ћ и х р е ч е н и ц а .

а ) 2 + 2 = 4 А 2 + 3 = 4; б ) 2 + 2 = 4 У 2 + 3 = 4;

в )2 + 2 = 4=>2 + 3 = 4; г ) 2 + 2 = 4 <=2 + 3 = 4;

д ) 2 + 2 = 4 0 - 2 + 3 = 4; ђ ) 1 > 2 => 3 > 4;

е ) 3 = 7 0 5 = 6; ж ) -.(2 = 1) => 2 = 1;з ) -1(2 = 1) <= 2 = 1; и ) -п (3 = 2) О - 5 > 6.

7 Г )Д а1а т и с у и с к а з и р и д и ф о р м у л а Р . Н а ћ и в р е д н о с т ф о р м у л е Р а к о је

^ Р : (1§ + 1ј> •(2 - 1 § ) = (б | - 2 ј ) : ј , д : (| + 3 : 1 = Ц , Р :

(р А -п д ) » р ;-.2 1 . _1 , 1 3 4 7 3 . 1 2

^ Р ' 5 2 7 ~ 6 20’ 9 1 5 ' 6 + 8 : 4 ^ ^ 14

( _ 3) _ б - : ( -6 - ^ ) , Р : (^р V д ) => (р А д ).

5. И з м е ђ у с л е д е ћ и х и с к а з а п о с т а в и т и о д г о в а р а ју ћ и с и м б о л =>, <=, и л и о -а ) о + 6 = а + р ■ ■ ■ 6 = с ; б ) о б = о с ■ ■ - 6 = с;

в ) о + 6 > о + с - -- б > с ; г ) о —6 > о —с ■ •■ 6 < с ;

д ) а + 6 = 0 •■ ■ а = ђ ) а •6 = 1 - ••о = 7 (& 0);• . о

е ) о > 0 ■ ■ •о 2 > 0; ж ) а < 0 ■ *■ о 2 > 0;

з ) о = 0 *■ ■ а 2 = 0; и ) п је п а р а н ■ - ■ п 2 је п а р а н ;

ј ) х = | |■ •■ х > 0; к ) х = ||■ •■ х > 0,

г д е с у а , 6, с , х , € К , п 6 N.

6 . У м е с т о . . . с т а в и т и р е ч и Н Е О П Х О Д Н О (П О Т Р Е Б Н О ) и л и Д О В О Љ -

Н О т а к о д а с е д о б и је т а ч н а р е ч е н и ц а

а ) Д а ј е ц е о б р о ј д е љ и в с а 10 . . . је д а је д е љ и в с а 5, а . . , ј е д а је

д е љ и в с а 100.

б ) Д а с е н а л а з и м о у Ј у г о с л а в и ји . . . је д а с е н а л а з и м о у Б е о г р а д у .

в ) Д а је п р и р о д а н б р о ј в е ћ и о д 100 . . . ј е д а је је д н а к 1000.

г ) Д а је ч е т в о р о у г а о к в а д р а т . . . је д а је р о м б .

7. О д р е д и т и с в е в р е д н о с т и п р о м е н љ и в е х и з с к у п а {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

т а к о д а с л е д е ћ е ф о р м у л е б у д у т а ч н е :а ) ж ^ 1 А а ; ^ 2= > а ; = 3; б ) ж = 1\/ х = 2\/а ; = 3;




в ) х = 1 О х = 2; г ) х € {1, 2} => х € {2, 3, 4};

д ) а ; > 2 Л а ; > 5 ; ђ ) х > 2 V х > 5 ;

е ) х > 2 =>•х > 5; ж ) х 6 {2, 3} Л х 6 {3, 4, 5};

з ) х 6 {2, 3} V х €{3, 4, 5}; и ) х 6 {2, 3 } О х 6 {3, 4, 5}.

8 . С а с т а в и т и т а б л и ц у и с т и н и т о с т и з а с л е д е ћ е ф о р м у л е ;

а) (Р => ч) А (д => р); б) -|(р Л д) О (^р V -|д);

в ) ((Р => ч ) => Р ) => Р ', г ) (Р => " Ч ) **(«.=>• 1 Р ) .

9. а ) П о з н а т о ј е д а ј е р => <7 т а ч н о , а л а ж н о . Ш т а с е м о ж е р е ћ и о

и с к а з у 9 => р ?

б ) П о з н а т о је д а јв -р О <7т а ч н о . Ш т а с е м о ж е р е ћ и о и с к а з и м а ->р О <7,

~<Р => Ч: Ч => Р?

^Ј Н Ј ) С а с т а в и т и т а б л и ц у и с т и н и т о с т и з а с л е д е ћ е ф о р м у л е и о д р е д и т и к о јео д њ и х с у т а у т о л о г и Ј е .

а ) (р Л <7) => г ; б ) (р А -т г ) =>•

в ) (Р =► ч ) V (д = р ); г ) (р V (/) Л (« V г ) Л (р V г ) ;

д) ((р =» ч) => (г => -'р )) => ( р ч * -1Г);

ђ ) (р= >ч )<* (^р V ч); е ) ( р « д ) « ( р ^ ? ) Л ( д = > р ) .

^Ј л Г Г )И с п и т а т и д а л и с у с л е д е ћ е ф о р м у л е т а у т о л о г и је ;

Х .јЧ ^ -а ) р л б ) р V —>р ;

в ) (р => (р Л -<р )) => ->р ; г ) [(р => ->д ) => (г Л ->р )]=> (р => д );Д) [[“ 'Р => (ч & г)] Л (г<= ->р) Л (5 => -1г)] =>■ —'Г;

ђ ) (р V (д Л г )) д ; е ) (р = ^ ^ )^ -[(р = ^ (с = ^ г ))=>(р =^г ) ].

12. Д о к а з а т и д а с у с л е д е ћ е ф о р м у л е т а у т о л о г и је -

а ) р V ->р (З а к о н и с к љ у ч е њ а т р е ћ е г );

б ) ->(р Л ->р ) (З а к о н н е п р о т и в р е ч н о с т и );

з ) -<(р Л 9) О ~>р V -*/

-|(р V д ) <=>->р Л -17

'}(Д е М о р г а н о в и з а к о н и );

г ) (р => д ) (->д => ->р ) (З а к о н к о н т р а п о з и ц и је );

д) рЛ-Ј^дЛр,]

р У д О д У р Ј

ђ ) (р Л д ) Л г & р Л (д Л г ),

(р V д ) V г О р V (9 V г )

(к о м у т а т и н н с с т о п е р а ц и ја Л , V);

(а с о ц и ј'а т и в н о с т о п е р а ц и ја Л , V);



е ) р V (д Л г ) О (р V д ) Л (р V г ) Д (д и с т р и б у т и в н о с т V п р е м а Л ,

р Л ( д У г ) О ( р Л д ) V ( р Л г ) Ј т ј. Л п р е м а V).

13) П о л а з е ђ и о д с у п р о т н е п р е т п о с т а в к е д а з а н е к е в р е д н о с т и и с к а з н и х

с л о в а ф о р м у л а и м а в р е д н о с т Ј . (с в о ђ е њ е м н а а п с у р д ) д о к а з а т и д а с у

с л е д е ћ е ф о р м у л е т а у т о л о г и је :

а ) ( р Л ( р « (->д Л г ))) =>( ?=> (*' V *));

б ) ((Р ^ п ) => т ) V ((в Л -|*) => (г Vр )) ;

в ) ( р о ( ? У г )) ((д Л в ) =>• (* V р ));

г ) ((“ 'Р Л -> 4 ) => (г V в )) V ((г Л ) О р ).

14. Д о к а з а т и д а је ф о р м у л а (->д => -,р ) =>(р => ) т а у т о л о г и ја и о р и с т е ћ и

о в о р а с у ђ и в а њ е д о к г 1 а т и : А к о ј е б р о ј о е о и а к о Ј в а 2 п а р а н , о н д а е и

п п а р а н б р о ј.

15. Д о к а з а т и и м п л и к а ц и ју : (х 4- у ф 5 => а : ф IV у ф 4 ).

16. а ) Д о к а з а т и д а ј е ф о р м у л а ~'(р Vд ) О - ->р Л ->д т а у т о л о г и ја и к о р и с т е ћ и

т в р ђ е њ е Х у = 0 <&х = 0 Ч у = 0 , д о к а з а т и т в р ђ е њ е : х у ф О ^ х ф О А у ф О .

б ) П р и м е н о м п р е т х о д н о г т в р ђ е њ а , р е ш и т и ф о р м у л у х ( х — 1) ф 0.

17. Д о к а з а т и д а ј е ф о р м у л а (р Л т => -1</) О (р Л д =»• г ) т а у т о л о г и ја и н а

о с н о в у т о г а с л з д е ћ е т в р ђ е њ е : А к о је б р о ј д е љ и в с а 2 и н и је д е љ и в с а 6 ,

о н д а о н н и је д е љ и в с а 3.

18. Д а т а је ф о р м у л а р V д . Н а ћ и њ о ј е к в и в а л е н т н у ф о р м у л у , к о ја с е

с а с т о ји с а м о о д с л о в а р , д и в е з н и к а =»•

19. Д а т а је т а б л и ц а :

1.2. К в а н т и ф и к а т о р и (к в а н т о р и ) 5 јј

а )

р ч

т т X

т X Т

X Т X

X X Т

б )

Р 9Т Т т

т X X

X Т т

X X X

Н а ћ и б а р је д н у ф о р м у л у а л г е б р е и с к а з а , к о ј а з а д о в о љ а в а о в у т а б л и ц у .

20 О п и с а т и с в е и с к а з н е ф о р м у л е х т а к в е д а је (р О - х ) О д , г д е с у р и д

д а т и и с к а з и . - ,_____ _

1.2. К В А Н Т И Ф И К А Т О Р И (К В А Н Т О Р И )

С и м б о л и V и 3 н а з и в а ју с е у н и в е р з а л н и , о д н р с н о е г з и е т п е н ц и -

ј »‘ Л н и к в а н т и ф и к а т о р и к о р и с т е с е к а о о з н а к е з а :

(У а г )а (а :) - „з а с в а к и х в а ж и а (а :)” ,

(З а :)а (а :) - „п о с т о ји х з а к о је в а ж и а (а ;)” .



6 Т е к с т о в и З а д а т а к а , - Г л а в ^ '.

Ч е с т о с у у у п о т р е С и и т з в . о г р а н и ч е н и (и л и у с л о в н и ) к в а н т и -

ф и к а т о р и :

(VI 6 А )а ( х ) —(У х )(х е А => а (х ))

(З а ; 6 А )а (х ) — (З ж )(а ; 6 А д а (х ))

П о н а ш а њ е к в а н т и ф и к а т о р а у о д н о с у н а н е г а ц и ју в и д и с е к з

с л е д е ћ и х у в е к т а ч н и х ф о р м у л а :

-1(У х ) а (х ) О (З а ;)-10:(а ;);

-|(З а ;)о :(а ;) О (У х )-<а (х ).

21. К о је о д с л е д е ћ и х р е ч е н и ц а с у т а ч н е у с к у п у п р и р о д н и х б р о је в а ?

а ) (З а ;)(а ; < 5); б ) (У а ;)(а ; >0 ) ; в ) (3а ;)(3а ; + 2 = 3);

г ) (З а ;)(а ; + 7 = 11); д ) (Ч х )(х ■ I = 1); ђ ) ->(3а ;)(а ; > 2);

е ) (З а ;)(а ; < 5 А х > 10); ж ) ->(У а ;)(а ; > 10 V х < 5).

22. И с п и т а т и т а ч н о с т ф о р м у л е у с к у п у п р и р о д н и х б р о је в а :

а ) (У х )(3у )(х < у )\ б ) (З х )(У у )(х < у )\ в ) (Ч х )(3у )(х > у )]

г ) (У х )(У у )(х + у = у + х )\

д ) (Ч х )(3 у )(х -у = х ).

23. И с п и т а т и к о је о д с л е д е ћ и х ф о р м у л а с у т а ч н е у с к у п у р е а л н и х

б р о је в а :

а ) (Ч х )(Ч у )(З г )(х 2 + у = 0); б ) (У х )(У у )(З г )(х г + у ф 0);

в ) (З х )(З у )(У г )(х г + у = 0); г ) (З х )(З у ) Х У г )(х г + у ф 0);

Д ) № ) № ) (3-г )(х (х г + у ) = 0); ђ ) ( а ;)(V у )(V * )(х + у = х + ).

24. Н а п и с а т и н е г а ц и је с л е д е ћ и х р е ч е н и ц а

а ) (У х )(х = 0); б ) (З а ;)(а ;2 < 0);

в ) (У х )(х -0 = 0); г ) (З а ;)(а ; је ц е о б р о ј А х + 5 > 0);

д ) (З а ;)(а ; је п р и р о д а н б р о ј х > 0);

ђ ) (Ч х )(х 6 N => х 6 2).

25. К о р и с т е ћ и л о г и ч к е о п е р а ц и је , з а п и с а т и с л е д е ћ е р е ч е н и ц е :

а ) г је н а јм а њ и з а је д н и ч к и с а д р ж а л а ц з а х и у\

б ) х ј е п о т п у н к в а д р а т ;

в ) п о с т о ји н а јв и ш е је д а н б р о ј ч и ји ј е к в а д р а т н у л а ;

г ) п о с т о ји т а ч н о је д а н б р о ј ч и ји Ј е к в а д р а т н у л а ; >

д ) п о с т о је н а јв и ш е д в а р а з л и ч и т а б р о ја , ч и ја је а п с о л у т н а в р е д н о с т

је д и а к а 3;

ђ ) н и је д а н п р о с т б р о ј н и је је д н а к 1;



1.3. С к у п о в и и с к у п о в н е о п е р а ц и је 7

е ) и з м е ђ у с в а к а д в а р а з л и ч и т а р а ц и о н а л н а б р о ја п о с т о ји р а ц и о н а л а н

б р о ј ;

ж ) п о с т о ји н а јм а њ и п р и р о д а н б р о ј;

з ) в а н с в а к е п р а в е п о с т о ји б а р је д н а т а ч к а ;

и ) д в е м и м о и л а з н е п р а в е н е п р и п а д а ј у и с т о ј р а в н и ;

ј ) з а с в а к о х п о с т о ји н а 'в и ш е је д н о у > 0 т а к о д а је 2 = у

1.3. С К У П О В И И С К У П О В Н Е О П Е Р А Ц И Ј Е

У о б и ч а је н о је д а с е к о р и с т е о з н а к е :

а 6 А -е л е м е н т а п р и п а д а с к у п у А ;

а $ А —е л е м е н т а н е п р и п а д а с к у п у А ;

А - {а |а (а )}— с к у п с в и х е л е м е н а т а з а к о ј е в а ж и а (а );

0-п р а з а н с к у п , т ј. с к у п б е з е л е м е н а т а ;

А = В - с к у п о в и А и В с у је д н а к и а к о и с а м о а к о с у с в и

е л е м е н т и је д н о г с к у п а е л е м е н т и и д р у г о г и

о б р н у т о , т ј: А = В а к к о (У ж )(ж 6 А о х 6 В );

А С В — с к у п А је п о д с к у п с к у п а В а к о и с а м о а к о(У ж )(ж 6 А => х 6 В ).

Н а јв а ж н и је с к у п о в н е о п е р а ц и је : п р е с е к , у н и ја , р а з л и к а и к о м -

п л е м е н т д е ф и н и ш у с е н а с л е д е ћ и н а ч и н :

П а р т и т и в н и с к у п Р (А ) с к у п а А је с к у п с в и х п о д с к у п о в а с к у п а А .

А к о с у е л е м е н т и д в о ч л а н о г с к у п а {а , 6} п о р е ђ а ј у у н и з , т ј .

о д р е д и с е к о ји ј е е л е м е н т п р в и , а к о ји д р у г и , д о б и ја с е у р е ђ е н и

п а р . У р е ђ е н и п а р ч и ји је п р в и е л е м е н т а , а д р у г и 6 о з н а ч а в а с е

'\Ј

(а , 6).

З а у р е ђ е н е п а р о в е в а ж и :

(01,61) = (а 2,&2) а к к о а г = а 2 А 61 = 62.



Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а I.

Д е к а р т о в п р о и з в о д с к у п о в а А и В је с к у п А х В = {(о , 6) |а е

А , б е В ) .

Н а с л и ч а н н а ч и н д е ф и н и ш у с е у р е ђ е н е т р о јк е , ч е т в о р к е , . . . ,

п -т о р к е е л е м е н а т а и Д е к а р т о в и п р о и з в о д и т р и , ч е т и р и , . . . , п

с к у п о в а .

Ј26. Д а т и с у с к у п о в и А = {а . ђ , с , с1} и В = {а , с , е } . О д р е д и т и с к у п о в е

А \ Ј В , А Г \ В и А \ В .

Ј 27. Д а т и с у с к у п о в и А = { т , п , р , д } , В = { т , п , г }, С = { т , р , д } .

О д р е д и т и с к у п о в е :

а ) ( А Џ В ) П С ; б ) ( А П С ) Џ В-, в ) ( А \ В ) \ С .

Ц а т и с у с к у п о в и А = {ж |ж 6 2 А х 2 < 4}, В = {ж |ж 6 ^ А г - 2 < 3 } , С =

а ф е 6 N А ж |12}, В = {ж |ж је п р о с т б р о ј А х < 8}, Е = {ж |а : 6 N А 1*1 < 3 },Р = {ж |ж 6 2 А |:| < 4}. О д р е д и т и с к у п о в е :

а ) ( А и В ) \ ( С И Б ) ; б ) ( А \ В ) Џ ( С \ Б ) ;

в ) ( А П В ) \ ( С П Б ) ; г ) ( А \ В ) П ( С \ Б ) - ,

д ) ( Е п С ) и ( Р п о у , ђ ) ( В \ С ) и ( Р \ А у

е ) ( Е П Р ) \ ( Б П В У ж ) ( Р \ 0 ) П ( В \ Е ) .

29. Д а т и с у с к у п о в и А = {а , 6, с , Л , е , /, д } и В = {&, с , е , / , <?}. О д р е д и т и

с к у п X к о ји з а д о в о љ а в а у с л о в е А п Х = { с , д , } и В и Х = {&, с , сI, е , / , д , ћ . *}.

30. Д а т ј е с к у п А = {1, 2, 3, 6, 7, 8}. О д р е д и т и о н а ј с к у п X з а к о ји в а ж и

А Џ X = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} и А П X = {3,6}.

О д р е д и т и с к у п о в е А и В а к о је А = {а : 6 К .|4ж — 1< 2 а : + 1} и Б =

; ■ К . |2а : < 4а : —6}, а з а т и м с к у п о в е А Л N и В П ^ п р и ч е м у ј е N с к у п

п р и р о д н и х , а К . с к у п р е а л н и х б р о ј е в а .

32. А к о с у [а , 6], [а , 6), (а , 5] и (а , б ) у о б и ч а је н е о з н а к е з а з а т в о р е н е ,

п о л у о т в о р е н е и о т в о р е п е и н т е р в а л е н а б р о јн о ј о с и , и з р а ч у н а т и :

^ а ) [0,3] П (1 ,7 ); б ) ( -5 ,2 ] Џ (2 ,4 );

в ) (—о о ,0) 1 (—2,3 ); г ) ( - о с , - 1 ) П ( - 2 , + о о );

д ) ( ( - с о , - 1) Џ (1, + о о )) Л ( - 2,2), ђ ) ( ј [-5 ,4] Џ (7,9]) П (0,10];е ) ((—Сд О , 3) Л [0, +о о )) 1 (—5,5]; (-2,0 ] Џ (2, +о о ;) Л [-1,3).

33. О д р е д и т и п а р Т и т и в н е с к у п о в е с л е д е ћ и х с к у п о в а :

а ) А = {а }; б ) В = { а , 6}; в ) С = { а , 6, с } .

34. Р е ш и т и ,је д н а ч и н у ” :

а ) х 6 а ; б ) х С а ,

п р и ч е м у ј е а = { 1, { 1} , { 1, { 1} }} .

35. 1О д р е д и т и с к у п о в е А = {ж |а : € 1 $ л 1 < х < 7}, В = {а :|а ; 6 2 А —5 <

З а : —1 < 2} и С = {а :|ж 6 2 А 2| :| + 5 ^ 9 } , а з а т и м с к у п о в е А Г \В , В \ С ,

В и С , ( В Л С ' ) 1 ( А \С ' ) .

II



1.3. С к у г т о в и и с к у п о в н е о п е р а ц и је 9

36. Д о к а з а т и д а в а ж и :

а ) А \Ј А = А \

в ) А У В = В и А ;

б ) А Г \А = А ;

г ) А Г \В = В Г \А \

д ) А \Ј {В \Ј С ) = ( Л 1 В ) 1 С .; ђ ) А Г \{В Г \С ) = ( А П В ) П С ;

е ) А У (В П С ) = ( А IIВ ) П ( А и С ); ж ) А П ( В 1 С ) * ( А П В ) Џ (А П С )\


а ) А Џ (А ' П В ) = А Џ В ;

б ) А Џ В = (А П В ) Џ (А ' П В ) Џ (А П В '),

в ) (А П В ) Џ (А П В ') = А ;

г ) ( А 1 В ') П (А ' Џ В ) = ( А П В ) и (А ' П В ');

гт^ (А II Н М п ( А ' II В ') = В '.

в ) Л \ ( В 11С ) = ( А \ В ) П ( А ^ С ) \ ( гђ А \ ( В п С ) = ( А \ Р ) и ( А \ С ) ;

д ) А \ Ј ( В \ С ) = ( А и В ) \ ( С \ А ) ; ® А П ( В \ С ) - ( А П В ) \ ( А П С ) ,

е ) ( А ! и а 2) \ ( в ! и в 2) с (А г \ в г) и ( А 2 \ в 2)\

ж ) ( А \ В ) \ С = А \ ( в и С ) \ $ ) А \ ( В \ С ) = ( А \ В ) и ( А п С ) .

39. Д а т и с у с к у п о в и А = {а , 6, с } и В = {х , у } О д р е д и ш с к у п о в е : А х В

В х А , А х А и В х В .

40. П р е д с т а в и т и г р а ф и ч к и с к у п X х У , а к о је

а ) * = { —1,0, 1,2}, У = {1,2} ;

б ) X = {а ; ј - 1 < х < 1}, У = {у |1 < у < 2}.

41. Д а т је с к у п А х В = { ( т , 0), ( т , 1), (п , 0), (п , 1), (р , 0), (р , 1)}. О д р е д и т и

с к у п о в е А и В .42. Д а т и с у с к у п о в и :

а ) е 1 = {(*. У )I*. У € Г Ч ,а : + 2у = 10}, Е 2 = { (х , у )\х , у € N , х + у = 3};

б ) е 1 = {(* . У )1*, У € И , З а : + 2у = 10}, Е 2= {(а ;, у )\х , у е Т $ ,х + 2у = 5}.

О д р е д и т и Е х П Е 2, Е ^ и Е 2, и Е х Е 2.


&) ( А и В ) х С = ( А х С ) и ( В х С)\

5) ( А П В ) х С = ( А х С ) П ( В х С) \

^ е ) ( А \ В ) х С = ( А х С ) \ ( В х С ) ;

г ) А х ( Р \ С ) = ( А х В ) \ ( А х С );

з ) А и ( А Г \ В ) = А ;

ј ) ( А и В ) ' = А 'Г \В '\

л ) А Г \А ' = $\

н ) А П 0 = 0;

и ) А Г \ ( А и В ) = А ;

к ) ( А П В ) ' = А ' и В ' :

м ) А 1 0 = А ;

њ ) А Г В С А и в .




д ) ( А х В ) П ( С х Д ) = ( А П С ) х ( В П Г >);

ђ ) (А х В ) Џ (С х Г >) С (А и С ) х { В \ Ј В ) .

44. У н и ја д в а с к у п а и м а 15 е л е м е н а т а , је д а н о д њ и х и м а 8 , а њ и х о в п р е с е к

5 е л е м е н а т а . К о л и к о е л е м е н а т а и м а д р у г и с к у п ?45. У п р е в о д и л а ч к о ј а г е н ц и ји р а д е 52 п р е в о д и о ц а . М е ђ у њ и м а 20 г о в о р и

р у с к и , 19 ф р а н ц у с к и , а 35 е н е г л е с к и . Д а љ е , п о з н а т о ј е д а р у с к и и е н г л е с к и

г о в о р и 11 п р е в о д и л а ц а , ф р р н ц у с к и и р у с к и 7, а ф р а н ц у с к и и е н г л е с к и њ и х

9.

а ) К о л и к о п р е в о д и л а ц а г о в о р и с в а т р и је з и к а ?

б ) К о л и к о њ и х г о в о р и с а м о р у с к и ?

46. С в а к и у ч е н и к је д н е ш к о л е у ч и б а р је д а н о д т р и с т р а н а је з и к а

(е н г л е с к и , р у с к и , ф р а н ц у с к и ) и т о : 280 у ч е н и к а у ч и е н г л е с к и је з и к , 230

ф р а н ц у с к и , 230 р у с к и , 120 е н г л е с к и и ф р а н ц у с к и , 110 е н г л е с к и и р у с к и ,80 у ч и ф р а н ц у с к и и р у с к и , а 50 у ч е н и к а у ч и с в а т р и је з и к а . К о л и к о у т о ј

ш к о л и и м а у ч е н и к а ?

1.4. Р Е Л А Ц И Ј Е

Б и н а р п а р е л а ц и ј а с к у п а А је с в а к и п о д с к у п р с к у п а А х А . А к о

је (а , 6) 6 р ( о в о с е п и ш е и а р ђ ) к а ж е м о д а с у е л е м е н т и а и 6 у

р е л а ц и ји р .Р е л а ц и ја с к у п а А је :

(Р ) р е ф л е к с и в н а , а к о је (У ж 6 А )(х р х ) ;

(С ) с и м е т р и ч н а , а к о је (У ж , у е А )(х р у =» у р х );

(А ) а н т и с и м е т р и ч н а , а к о ј е (\/ж , у 6 А )(х р у А р х =» х = у );

(Т ) т р а н з и т и в н а , а к о ј е (У х , у , г Е А )(х р у у р г =» р г ).

Р е л а ц и ју ~ к о ја је р е ф л е к с и в н а , с и м е т р и ч н а и т р а н з и т и и н а

н а з и в а м о р е л а ц и ја е к в и в а л е н ц и је . А к о ј е ~ р е л а ц и ја е к в и в а л е н ц и је

н а с к у п у А , т а д а с к у п С а = {ж |х € А , а ~ х } , г д е је а € А н а з и в а м о

к л а с о м е к в и в а л е н ц и ј е е л е м е н т а а . П р и т о м е в а ж и :

( 1) У а е А С а ф 0;

(2) а к о је а ~ 6, о н д а је С а = С &;

(3) а к о н и је а ~ 6, о н д а је С а П С ђ = 0

Р е л а ц и ју -< к о ја ј е р е ф л е к с и в н а , а н т и с и м е т р и ч н а и т р а н з и -

г и в н а н а з и в а м о р е л а ц и ј о м п о р е т к а .

47. Н а с к у п у {а , 6, с } д а т а ј е р е л а ц и ја р = {(а , а ), (а , 6), (6, 6), (с , с )}

Н а п р а в и т и т а б л и ц у и н а ц р т а т и г р а ф р е л а ц и ј е р .



1.4. Р е л а ц и је 11

48. Д а л и је р з л а ц и ја р о д р е ђ е н а т а б л и ц о м

р 1 2 3

1 ± Т т2 Т ±

3 Т т т

р е л а ц и ја е к в и в а л е н ц и ј е и л и п о р е т к а ?

49. У с к у п у {0, 1, 2, 3, 4, 5} у в е д е н а ј е р е л а ц и ја

х р у О - (х + у = 3 А х - у = 1)

Н а ц р т а т и т а б л и ц у о в е р е л а ц и ј е .

50 У с к у п у {0 ,1 ,2 ,3 ,4 } д е ф и н и с а н а ј е р е л а ц и ја

х р у -О - у = х — 1.

О д р е д и т и е л е м е н т е р е л а ц и ј е р , н а ц р т а т и њ е н г р а ф и т а б л и ц у . К о ја о д

З Ј с т а в а р е ф л е к с и в н о с т , с и м е т р и ја , т р а н з и т и в н о с т и м а р е л а ц и ја р ?

1 51 У с к у п у {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6,7 ,8 ,9 } у в е д е н е с у р е л а ц и је :

а ) х р у х + у = 8; б ) х р у х = З у

Н а ц р т а т и г р а ф р е л а ц и је и и с п и т а т и к о ја о д с в о јс т а в а р е ф л е к с и в н о с т ,

с и м е т р и ја , а н т и с и м е т р и ја , т р а н з и т и в н о с т и м а ју о в е р е л а ц и је .

52. И с п и т а т и к о ја о д с в о јс т а в а р е ф л е к с ч в н о с т и , с и м е т р и ч н о с т и , а н т и с и -

м е т р и ч н о с т и и т р а н з и т и в н о с т и и м а ју р е л а ц и ј е :

а ) х р у <Ф х 2 —х у + у 2 = 1; б ) х р у <=>х 2 < у 2

у с к у п у р е а л н и х б р о је в а .

53. Н а с к у п у А = {0 ,1 ,2 ,3 } д е ф и н и с а н а је р е л а ц и ја р :

а ) х р у <Ф х + у < 2; б ) х р у <Ф х + у > 3;

в ) х р у -О - х + у < 2; г ) х р у <Ф х + у > 3.

Н а п р а в и т и т а б л и ц у з а р е л а ц и ј у р и и с п и т а т и к о ја о д с в о ј с т а в а : р е ф л е к -

с ц в н о с т , с и м е т р и ја , а н т и с и м е т р и ја и т р а н з и т и в н о с т и м а р е л а ц и ја р .

(_ 54. Н а с к у п у А = {1 ,2 ,3 ,4 } д е ф и н и с а н а је р е л а ц и ја :

&) х р у & х > у + \\ б ) х р у & х < у - I

Н а п р а в и т и т а б л и ц у з а р е л а ц и ју р и и с п и т а т и к о ја о д с в о ј с т а в а : р е ф л е к -

с и в н о с т , с и м е т р и ја , а н т и с и м е т р и ја и т р а н з и т и в н о с т и м а р е л а ц и ја р .

55. У с к у п у је д н а ч и н а

Ј = + 2 = 0, х + 1 = 0, 2аг + 4= 0; ^ х 2 = 4, 2х + 2 = - 2 ј

у в е д е н а ј е р е л а ц и ја ј\ ~ Ј 2 <=> је д н а ч и н е ј\ и ј 2 с у е к в и в а л е н т н е .Д о к а з а т и д а ј е ~ р е л а ц и ја с к в и в а л е н ц и је и о д р е д и т и к л а с е .



12 Т е к с т о в и З г ~ц а т а к а - Г л а в а I.

56, У с к у п у { -5 , - 4, - 3 , -2 , - 1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5} д е ф и н и с а н а ј е р е л а ц и ја

х р у О |х 1=1 у |. Д о к а з а т и д а је о р е л а ц и ја е к в и в а л е н ц и је и о д р е д и т и

к л а с е .

1.5. Ф У Н К Ц И Ј Е

П р е с л и к а в а њ е (ф у н к ц и ја ) с к у п а А у с к у п В у о з н а ц и ј : А - * В

ј е р е л а ц и ја / С А х В к о ја и м а с в о јс т в о д а ј е с в а к и е л е м е н т с к у п а

А у р е л а ц и ј и / с а т а ч н о је д н и м е л е м е н т о м с к у п а В .

З а п р е с л и к а в а њ е ј . А —» В к а ж е м о д а је 1-1 а к о в а ж и

(У Ж 1,Ж 2 € Л )(Ж 1 ф х 2 = > Ц х \ ) ф 1 ( х 2)),

и л и , ш т о је е к в и в а л е н т н о

(У ж 1,ж 2 € А )(Ј (х \) = /( ж 2) ! = ж 2).

П р е с л и к а в а њ е ј : А - * В је Н А а к о

(V у € В )(3ж € А )(у = /(ж )).

А к о с у / : А -» В и д : В -» С п р е с л и к а в а њ а , т а д а ј е д о / : А -»

С п р о и з в о д (к о м п о з и ц и ја ) п р е с л и к а в а њ а / и 5 и д е ф и н и с а н је

у с л о в о м(У ж € Л )((з О /)(ж ) = з (/(ж ))).

Н е к а ј е / : А -» В 1-1 и Н А п р е с л и к а в а њ е . Т а д а п о с т о ји

и н в е р з н о п р е с л и ;;а в а %е / ~ х : В —» А , т а к о д а је

( / _1 о /)(ж ) = х .

57. Д а т је с к у п А = {о , 6, с , д .}.

а ) Д а л и с у с к у п о з ч

/ = {( а , 6), (6, а ), (с , 6,), (<г, с )} и

д = { (а , с ), (6, а ), (с , а ), Ц <*)}

п р е с л и к а в а њ а А у А 1

б ) О д р е д и т и / (/ (а ) ) , / ( / ( 6)), /(/(/(<*)))> з (/(з (а )))> У \9(с ))-

в ) Р е ш и т и је д н а ч и н у /(ж ) = д (ж ) .



58. Н е к а с у / , д ф у н к ц и је

ј (х ) = 2 + 3®, д (х ) = 2 + ж , х е N

а ) Н а ћ и / (1 ), /(2 ), з (1), 3(2), / ( / ( ! ) ) , д К /Р -»;

б ) Р е ш и т и ј е д н а ч и н е /(ж ) = 17, Ј (х ) = д (х ), д (д (х )) = 10;

в ) Н а ћ и /(2ж ), д (3х ), д ( ј ( х ) ) , Ј (д (%))-

56. Н е к а је Ј (х ) = 2 х - 1 . О д р е д и т и :

а ) / ( 0); ' б ) / (^ + ^ ); в ) / (| - ^ + ^ );

, г ) / ( 1 - 1 ); д ) / ( Н :(8 + 1 )); 5 ) / ( М ^ ) ;

^ е ) /(® + 1); ^ ж ) / ( * - 1); - з ) / ( 2®).

60. О д р е д и т и с в а п р е с л и к а в а њ а с к у п а {а , 6} у с к у п {1, 2, 3} и с в а

п р е с л и к а в а њ а с к у п а {1, 2, 3} у с к у п {а , 6}.

61. Н е к а је Л с к у п с в и х д у ж и у р а в н и , а В с к у п с в и х т а ч а к а т е р а в н и и

ј : А —) В д е ф и н и с а н о т а к о д а с е С Е а к о Ј д у ж и А В п р и д р у ж и с р е д и ш т е т е

д у ж и . Д а л и је / 1-1 и Н А ?

62. Н е к а је / : К - ) К , т а к о д е ф и н и с а н о д а је Ј (х ) з б и р ц и ф а р а б р о ј а х .

а ) О д р е д и т и : /( 5 ), /(1 2 ), /(2 53 ), /( /( 2 5 3 )) ;

б ) р е ш и т и је д н а ч и к у } ( х ) = 5;

в ) д а л и је / 1-1 и Н А ?

63. Н е к а је А = {1, 2, 3, 4} и / : А - ) 4 . о ј е о д с л е д е ћ л х ф у н к ц и ја с у 1-1,

а к о је Н А :

■> / - ( 12 з Ј ) ^ = 0 ? 5 >) ”) / = (з г * 0

г ) / =(1 Ј “ ‘ ) Д ) / - ( Ј 8 2 0 » / = ( з 3 3 з)

64. Д а т а с у п р е с л и к а в а њ а :, ( а 6 с <Л ( а Џ с Л \ , _ / а 1> с <1\

Ј = { 2 3 4 Ј 5 = (,2 4 1 З Ј 3 2 1^

. / 1 2 3 4.1 , А 2 3 4 \ м , ( 1 2 3 4\

3 ~ * : а <1 &Ј с <1 а ) ^ с I п Ј

О д о е д и т и и н в е р з н а п р е с л и к а в а њ а / “ , 3-1 , Л - 1 , Ј - 1 , 1 и / х .

- 6 5 . Н е к а је / : К - ) К . Д о к а з а т и д а је / 1-] и К А п р е с л и к а в а њ е и о д р е д и т и

и н в е р з н у ф у н к ц и ју / .5® —2

а ) /(® ) = 7® - 1* б ) /(® ) = 2® + 3; в ) / ( * ) = — ј — ;

г ) / ( ж ) = 5 ж - ^ ; д ) / ( ж ) = "з — ј ? ђ ) / (* ) = “ з - •

1.5. Ф у н к ц и је 13



66. И с п и т а т и д а л и с л е д е ћ е ф у н к ц и је / :К , —) К . и м а ј у с в о ј с т в а 1-1 и Н А .

а ) / ( х ) = х 2 + 2х + 1; б ) / (х ) = ф - 2 ;в ) / (* ) = ж 2 - 4 х + 5.

67, А к о је /( х ) = 2 х + 5, з (х ) = 5 х + 3, о д р е д и т и / о / , / о 0, д ° Ј и д о д .

№ . Н е к а ј е / ( * ) = 1 + 2х , д (* ) = 1 + х 2. Н а ћ и ј о д , д о ј , д о д , д 3 = ^ д о д о д ) ,

17 / °д3-

'69. Н е к а с у / , д : К -> К

а ) /( * ) = х - 1, д ( х ) =| х |; б ) / ( х ) = х + 1, д (х ) = х 2.

О д р е д и т и ( / о д >)(0), (д о / ) (1) , / о д , д о / , / о / , д о д .

/ 70. Н е к а је / ( х ) = 1 - х , <?(х ) = ------- , ћ ( х ) = , . х € К \ {1 }. Д о к а з а т и1 — X X ±

д а је

а ) д о ћ = / ; 1/ 6) ј ° ћ = д\

х —1в ) ( ( / о 0) о ћ )(х ) = х ; г ) ((з о / ) о ћ )(х ) = - - 1 ^ 0.

71, А к о је / ( х ) + 3 / = х 2 , х ф 0, и з р а ч у н а т и /(2 ).

" 72. Р е ш и т и „ф у н к ц и о н а л н е ” је д н а ч и н е н а д Н '

а ) з | ^ — ) = 2 х ; б ) / ( 1 - * ) = * + 1 ; в ) ћ ( х 2 ) = 1

73. О д р е д и т и / ( х ) а к о је :

а ) / ( | “ 3) - ж + 1’ 6) / ( | - 1Ј = х - 8;

в ) / ( 1 + 1) = * + 4; г ) / ( | - з ) = х - 1 9 ;


1.6. Е Л Е М Е Н Т И К О М Б И Н А Т О Р И К Е

Н б к а с у А \, А 2, .. . А п н е п р а з н и к о н а ч н и с к у п о в и . О з н а ч и м о с а

|А | б р о ј е л с м е н а т а с к у п а А .

П р а в и л о з б и р а . \к о је з а с в е г Ф ј А ( П А ј = 0, т а д а је

| у 1 А 2 1Ј •■ •0 А п \= 1 4.11+ \А 2\+ •-• + |А „|.

П р а в и л о п р о с з в о д а . Б р о ј е л е м е н а т а Д е к а р т о в о г п р о и з в о д а је

\А г ж А 2 х ■ ■ ■ х А „| = |А х| •\А 2\■ •■ |Л „|.

74. а ) К о л и к о с е т р о ц и ф р е н и х б р о јз в а з а в р ш а в а ц и ф р с м 3?



1.6. Е л е м е н т и к о м б и н а т о р и к е 15

б ) К о л и к о и м а т р о ц и ф р е н и х б р о је в а д е љ и в и х с а 5?

75. К о л и к о и м а ч е т в о р о ц и ф р е н и х б р о је в а , к о д к о ји х је з б и р ц и ф а р а 10, а

ц и ф р а д е с е т и ц а је д н а к а 5?

76. Н а п р а в о ј р д а т о је п е т р а з н и х т а ч а к а А , В , С , Б , Е . К о л и к о и м а и

к о је с у т о д у ж и ч и ји с у к р а је в и д а т е т а ч к е ?

77. Н е к а ј е А = {т , п , р } и В = {а , 6}. К о л и к о и м а р а з л и ч и т и х

п р е с л и к а в а њ а с к у п а А у с к у п В ?

78. У к у п е у је д н о г в о з а н а л а з е с е д в е к л у п е , о к р е н у т е је д н а п р е м а д р у г о ј

с а п о п е т м е с т а . О д д е с е т п у т н и к а , ч е т и р и ж е л и д а с е д и у с м е р у к р е т а њ а

в о з а , т р о је у с у п р о т н о м с м е р у , а п р е о с т а л и м а је с в е је д н о . Н а к о л и к о

н а ч и н а с е п у т н и ц и м о г у р а с п о р е д и т и н а м е с т а у к у п е у ?

79. Д а т је с к у п т а ч а к а м е ђ у к о ји м а н и к о је т р и т а ч к е н и с у к о л и н е а р н е .

К о л и к о т а ч а к а с а д р ж и т а ј с к у п а к о је б р о ј п р а в и х о д р е ђ е н и х т и м т а ч к а м ад в а п у т а в е ћ и о д б р о ја т а ч а к а ?

30. К о л и к о и м а д е с е т о ц и ф р е н и х б р о ј е в а д е љ и в и х с а 25, к о д к о ји х с е ц и ф р е

н е п о н а в љ а ју , н е п о ч и њ у ц и ф р о м 0 , а ц и ф р а с т о т и н а и м је :

а ) 0 и л и 5; б ) 2 и л и 3?

81. И з г р а д а А у г р а д В в о д и 6 п у т е в а , а и з г р а д а В у г р а д С т р и п у т а .

И з г р а д а А м о ж е с е с т и ћ и у С је д и н о а к о с е п р о л а з и к р о з В . Н а к о л и к о

р а з л и ч и т и х н а ч и н а м о ж е д а с е п у т у је и з г р а д а А у г р а д С ?

82. Д а б и с е с т и г л о и з м е с т а А д о м е с т а В м о ж е с е п р о ћ и к р о з м е с т о В

и л и к р о з м е с т о С . О д м е с т а А д о В в о д е т р и д и р е к т н а п у т а , о д А д о С- ч е т и р и , о д В д о С - т р и , о д В д о Б - д в а и о д С д о И - т р и д и р е к т н а

п у т а . К о л и к о и м а м о г у ћ и х п у т е в а о д А д о I)?

83. О д т р г а А д о т р г а В в о д е д в е је д н о с м е р н е у л и ц е п р е с е ч е н е с а 7

д в о с м е р н и х у л и ц а . Н а к о л и к о н а ч и н а в о з а ч м о ж е с т и ћ и с а т р г а А н а т р гВ ?

84. Н е к а с к у п А и м а п е л е м е н а т а , а с к у п В т е л е м е н а т а (ш , п € 2 ш , п >

0). К о л и к о е л е м е н а т а м о г у и м а т и с к у п о в и А и В ,А Г \ В , А \ В , В \А , А х В ?

85. Д а т а је т а б л и ц а : .

Т Р О У Г А ОР О У Г А О

О У Г А О

У Г А О

Г А О

/ О

О

Н а к о л и к о р а з н и х н а ч и н а с е м о ж е п р о ч и т а т и р е ч „т р о у г а о ” а к о с е ч и т а

п о је д н о с л о в о с л е в а н а д е с н о и л и о д о з г о н а д о л е ?

86. Н а к о л и к о н а ч и н а с е н а ш а х о в с к у т а б л у м о ж е п о с т а в и т и 8 р а з л и ч и т и х

т о п о в а т а к о д а с е н и к о ја д в а м е ђ у с о б н о н е т у к у (н и к о ја д в а с е н е н а л а з еу и с т о ј в р с т и и л и и с т о ј к о л о н и )?



16 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а з а I,

87. К о л и к о р а з л и ч и т и х д е л и л а д а и м а б р о ј 2400?

88. К о л и к о и м а п е т о ц и ф р е н и х б р о је в а к о ји с е з а в р ш а в а ју д в е м а и с т и м

ц и ф р а м а ?

89. К о л и к о и м а р а з л и ч и т и х а у т о м о б и л с к и х т а б л и ц а к о је с е с а с т о је и з д в ас л о в а а з б у к е ( о д 30 с л о в а ) и и з а њ и х ч е т в о р о ц и ф р е н о г б р о ј а (о д 0000 д о

9999)?

90. К о л и к о и м а п е т о ц и ф р е н и х б р о је в а д е љ и в и х с а 4, а у ч и ји м з а п и с и м а

н е у ч е с т в у ју ц и ф р е 0, 2, 4, 6?

91. У је д н о ј к о м и с и ји и м а с е д а м ч л а н о в а . Н а к о л и к о н а ч и н а с е м о г у

и з а б р а т и п р е д с е д н и к , с е к р е т а р и з а п и с н и ч а р т е к о м и с и је

92. Д а т и с у ч е т в о р о ч л а н и с к у п о в и А = { а , 6, с , (1} и = {1, 2, 3, 4}.

К о л и к о и м а 1-1 и Н А п р е с л и к а в а њ у / : А -»• ?

93. У р а в н и је д а т о 12 т а ч а к а о б и је н и х п л а в о м и 9 о б о је н и х ц р в е н о мб о јо м , о д к о ји х н и к о је т р и н е п р и п а д а ју је д н о ј п р а в о ј. К о л и к о и м а

т р о у г л о в а с а т е м е н и м а у д а т и м т а ч к а м а к о д к о ји х н и с у с в а т р и т е м е н а

и с т е б о је ?

94. Д а т е с у т р и п р а в е и н а с в а к о ј о д њ и х п о п е т т а ч а к а , К о л и к о н а јв и ш е

и м а т р о у г л о в а ч и ја с у т е м е н а д а т е т а ч к е ?

95. У р а в н и а с у д а т а д в а с к у п а п а р а л е л н и х п р а в и х : а х , а г , . . . ,«12 и

&1, 1 ) 2, . . . А - П р а в е п р в о г с к у п а с е к у п р а в е д р у г о г с к у п а . К о л и к о је

р а з л и ч и т и х п а р а л е л о г р а м а о д р е ђ е н о о в и м п р а в и м ?

96. К о л и к о н а ш а х о в с к о ј т а б л и (к в а д р а т н а м р е ж а 8 x 8) и м а п р а в о у г а о -н и к а ?

97. Н а к о л и к о н а ч и н а 8 у ч е н и к а м о ж е с е с т и н а :

а ) 6 р а з л и ч и т и х с т о л и ц а ; б ) 12 р а з л и ч и т и х с т о л и ц а ?

98. К о л и к о и м а ч е т в о р о ц и ф р е н и х п р и р о д н и х б р о је в а н а п и с а н и х п о м о ћ у

ц и ф а р а 0, 1, 3, 5, 7, 9 т а к в и х д а с е :

а ) ц и ф р е м о г у п о н а в љ а т и ; б ) ц и ф р е н е м о г у п о н а в љ а т и ;

в ) ц и ф р е м о г у п о н а в љ а т и и б р о ј је д е љ и в с а 5;

г ) ц и ф р е н е м о г у п о н а в љ а т и и б р о ј је д е љ и в с а 5?

99. К о л и к о и м а ш е с т о ц и ф р е н и х п р и р о д н и х б р о ј е в а к о д к о ји х је п р в а

ц и ф р а п а р а н , д р у г а н е п а р а н б р о ј, т р е ћ а ц и ф р а б р о ј д е љ и в с а т р и , ч е т в р т а

п р о с т , п е т а с л о ж е н б р о ј и п о с л е д њ а ц и ф р а б р о ј к о ји ј е д е љ и в с а 5?

(Н а п о м е н а . Б р о је в и 0 и 1 н и с у н и п р о с т и н и с л о ж е н и .)

100. К о л и к о и м а 100-ц и ф р е н и х п р и р о д н и х б р о ј е в а к о ји с е м о г у з а п и с а т и

п о м о ћ у ц и ф а р а 0, 2 и 3?

101. У је д н о ј д р ж а в и р е г и с т а р с к е т а б л и ц е н а а у т о м о б и л и м а с е с а с т о је о д

ш е с т о ц и ф р е н о г б р о ја (о д 000000 д о 999999) и је д н о г в е л и к о г г џ т а м п а н о г

с л о в а к о је с е и с т о п и ш е и ч и т а и ћ и р и л и ц о м и л а т и н и ц о м , о с и м с л о в а ” 0 ” .

К о л и к о р а з л и ч и т и х р е г и с т а р с к и х т а б л и ц а м о ж е п о с т о ја т и у т о ј д р ж а в и ?



1.7. Д о д а т а к у з п р в у г л а в у 17

102. К о л и к о и м а т р о ц и ф р е н и х б р о ј е в а к о д к о ји х је п р в а ц и ф р а п а р а н

б р о ј, а п о с л е д њ а ц и ф р а н е п а р а н б р о ј?

103. Н а п о л и ц и с е н а л а з и 15 к њ и г а , о д к о ји х с у 7 н а р у с к о м , 3 н а

е к г л е с к о м и 5 н а ф р а н ц у с к о м је з и к у . Н а к о л и к о р а з л и ч и т и х н а ч и н а с ем о г у р а с п о р е д и т и к њ и г е н а п о л и ц и , а к о с е к њ и г е н а и с т о м је з и к у м о р а ју

н а л а з и т и је д н а у з д р у г у ?

104. К о л и к о с е ш е с т о ц и ф р е н и х б р о је в а м о ж е с а с т а в и т и о д ц и ф а р а 0, 1,2,

3, 4. 5 у з у с л о в д а с е с в а к а ц и ф р а п о ја в љ у је т а ч н о је д и о м и д а с у п а р н е

ц и ф р е је д н а у з д р у г у . (Н а п о м е н а : 0 је п а р н а ц и ф р а .)

1.7. Д О Д А Т А К У П Р В У Г Л А В У

105. И с п и т у ју ћ и д а л и з а н е к е в р е д н о с т и с в о ји х и с к а з н и х с л о в а д а т аф о р м у л а м о ж е и м а т и и с т и н и т о с н у в р е д н о с т Ј _, д о к а з а т и д а је т а ф о р м у л а

т а у т о л о г и ја :

а ) ((р => Ч ) => г ) => ((г => р ) => (д => р ))-,

б ) (р => д ) =* ((д =*>г ) =*> (р =*■ г ) );

в ) (Р => Ч )=> ((Р А г ) => (д А г ) ) ;

г ) (р => ч ) => (( р V г ) =*> (д V г ));

Д ) (( р 1 => Р 2 ) А (Р 2 => Р з ) л •••А (Р п -1 => Р п )) (Р 1 => Р п ), П > 2, И 6 N 5

ђ ) ( р =* г )=> ((д => г ) =*> ((р V д ) => г )).

106. Д о к а з а т и д а с у с л е д е ћ е ф о р м у л е т а у т о л о г и је (п € IV):

а ) [р => (р 1 Ч р 2 V ••-р „)][(р => р х ) V (р => р 2) V •••(р => р п )];

б ) [р =» (р а А р з А ••-Р п )] О [(р р х ) А Г р => Р ” ) А - ••(р => р „)];

в ) [(р х V р 2 V ••-р п ) р ] [(р !=> р ) А (р -> => р ) А •••(р п => Р ) ];

г ) [(Р 1 А р г А ••- р „ ) =*р ] О [0?1=> р ) V (р 2 => Р ) V •■ •(р п = »р )] .

107. Д о к а з а т и д а је ф о р м у л а

(Р V </) А (</ V г ) А (г V р ) <=> (р А д ) V (</ А г ) V (г А р )

т а у т о л о г и ја и к о р и с т е ћ и је р е ш и т и с и с т е м је д н а ч и н а х у = 0, у г - 0,

108. О п е р а ц и ја „с и м е т р и ч ч а р а з л и к а ” с к у п о в а д е ф и н и ш е с е н а с л е д е ћ и

г х = 0.

н а ч и н :

А А В = ( А \ В ) ' Ј ( В \ А ) .

Д о к а з а т и д а з а о в у о п е р а ц и ју в а ж и :

а ) А А В = ( А \ Ј В )\ ( А П В ) ;

в ) А А А = 0;

Д ) А А ( А А В ) = В ;

5) А А В = В А А ;

г ) А А ( В А С ) = ( А А В ) А С ;

ђ ) А и В = ( А А В ) А ( А П В );

е ) А П ( В А С ) = (А П П )А (А П С );ж ) (А \ Џ А 2)Д (В 1 Џ В 2) С (А г А В х ) Џ (А 2 А В 2);



18 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а I,.

з ) (А \ П ј42)Д (5 х П Д г ) С (А 1Д В 1 ) 1 (у12Д .В 2).

109. Н а ћ и с в е с к у п о в е X з а к о је је А А Х = В , а к о је

а ) А = {а , 6, с , <!}, В = { 6, с , е } ; б ) А = {а , с , Л }, В = {&, с , д ,, е }.

110. О з н а ч и м о с а Р ( А ) п а р т и т и в н к с к у п с к у п а А - т ј . с к у п с в и хп о д с к у п о в а с к у п а А : Р ( А ) = {В \В С А }.

а ) О д р е д и т и Р ({1 , 2});

б ) О д р е д и т и Р (0), Р ({% }), -Р ( {0 ,{0 }} );

в ) Д о к а з а т и Р ( А Г \В ) = Р (А ) Л Р ( В ) ;

г ) Д о к а з а т и Р ( А ) 1 Р ( В ) С Р ( А 1 В ).

111. А к о и з 8 С А \Ј В с л е д и 8 С А , и л и 8 С В , д о к а з а т и д а је А С В , и л и

В с А .

112. Р е ш и т и „с к у п о в н е је д н а ч ш к ” ;а ) {1, 2} П X = {1, 2, 3} ; б ) {1, 2} Џ X = {1, 2, 3} ;

в ) {1, 2, 3 } Л 1 = { 1 ,2 }

113. О д р е д и т и с в е с к у п о в е X к о ји з а д о в о љ а в а ју у с л о в е :

а ) X \ {2} С {0 ,1} ; б ) {0} С { 0 ,1 , 2 } \ X и X С {0,1,2,3}.

114. Д а л и с у с л е д е ћ а т к р ђ е њ а т а ч н а з а с в е с к у п о в е А , В , С :

а ) А е В л В е С = > А е С ; б ) А с В Л В е С = > А е С ?

115. Д а л и п о с т о је т а к в и с к у п о р и А , В , С д а ј е А Л В ф 0, А Л С = 0 и

(А Л В ) \ С = 0?116. Н а ћ и с в е п о д с к у п о в е А и 3 с к у п а С т а к о д а з а с в а к и п о д с к у п X с С

в а ж и X Л А = X 1 В .

117. Н а је д н о м с к у п у , м е ђ у 20 у ч е с н и к а , 16 г о в о р и е н г л е с к и , 15-

ф р а н ц у с к и , а 17-н е м а ч к и је з и к . Д о к а з а т и д а б а р о с а м у ч е с н и к а г о в о р и

с в а т р и је з и к а .

118. У с к у п у 2 x 2 д е ф и н и с а н е с у р е л а ц и је

а ) (а , 6)р х (с , с ђ & а + <1 = 1 ) + с ;

б ) (а , 6)р г (с , <1 ) —ђ с , б ,6 ф 0.

Д о к а з а т и д а с у р \ и р е л а ц и је е к в и в а л е н ц и је и н а ћ и к л а с е .119. У с к у п у ц е л и х б р о је в а у в е д е н а је р е л а ц к ја а = 6 (т о <1 т ) т \ а —

6 О - а - ђ = т - к , г д е ј е т € N и к е 2 . Д о к а з а т и д а је к о н г р у е н ц и ја п о

м о д у п у т (= (т о б , т )) р е л а ц и ја е к в и в а л е н ц и је и н а ћ и к л а с е .^

120. Н е к а ј е р р е л а ц и ја н е к о г с к у п а А и н е к а ј е р -1 р е л а ц и ја и с т о г с к у п а

д е ф и н и с а н а н а с л е д е ћ и н а ч и н

Х Р '1!! & у р х , х , у е А .

а ) А к о је р р е л а ц и ја е к в и в а л е н ц и је , д о к а .’ а т и д а је и р -1 р е л а ц и ј ае к в и в а л е н ц и је .



1.7. Д о д а т а к у з п р в у г л а в у 19

б ) А к о ј е р р е л а ц и ја п о р е т к а , д о к а з а т и д а је и р ~г р е л а ц и ја п о р е т к а .

121. Д а т је н е к и с к у п А и ј е д н а њ е г о в а р е ф л е к с и в н а р е л а ц и ја р , з а к о ју

в а ж и :

(^х , -у, г 6 А ) (х р г А у р г =>• х р у ) .

Д о к а з а т и д а ј е т а д а

' а ) р - с и м е т р и ч н а ; б ) р - т р а н з и т и в н а .

122. Д а т а ј е ф у н к ц и ја / : К \ {0 } -*■ К . И с п и т а т и д а л и ј е / б и је к ц и ја (1-1

и Н А п р е с л и к а в а њ е ):

. /2а г —3\ 4х —9 _ . / З х N 2х - 1

б ) / и т т

. , / 5 - 2 х \ б ж + 25 . З х \ 1

г ) Ч х ^ ) = Г - _ 123. Д а т а ј е ф у н к ц и ја / : К - » К ,

^ ^ ( х 2 + 1 ,0 < х < 1 ’ | х - 1 , х < 0 4 х > 1 ’

Д о к а з а т и д а ј е / 1-1 и Н А п р е с л и к а в а њ е и о д р е д и т и / - 1(ж ).

124. Д а т е с у ф у н к ц и је :

Г 0, х < 0 Г 0, х

а , / ( * ) = и * > о - » (* ) = { - л .

^ Г ( \ I х 2’ х < ° , ч ( Х ’ Х

б)/ м = {о, «>о ' »м = {о.*

< 0

> 0 ’

х , х < 0

> 0

Н а ћ и / о / , ј о д , д о / и д о д .

125. Н е к а с у ј : В —> С и д : А —> В 1-1 и Н А п р е с л и к а в а њ а . Д о к а з а т и д а

ј е и ћ = / о д : А -> С т а к о ђ е 1-1 и Н А п р е с л и к а в а њ е .

126. Д о к а з а т и д а а к о ф у н к ц и ја /(ж ) з а д о в о љ а в а р е л а ц и ју

т а д а ј е / ( * ) = 0 з а с в е х ф 0 , х ф 1.

127. А к о је :

а)1 (Ш )+2/ (1 т )= наћит - б ) 1 (§г з ) + 3/ (1т т )= *’ н аћ и /<х )-




Ј 28. О д р е д м т и р &д и § о Ј , а к о в а ж и : ■ 3 1 з*| Ш '

= х + 1, з а I Ф 0;

б ) / з - ' + 0(2х + 1) = 2х , / , ^ ) - < > С 2* + 1) = х ., з а х ф 1.

12&. К о л и к о и м а ч е т в о р о ц и ф р с п и х б р о је в а к о ји с е з а п и е у ју с а н а јв и ш е

.х ш а з к а к а ?

130. К о л и к о и м а с е д м о ц к г ф р е н и х б р с је в а ч и ји ј е з б и р ц и ф а р а п а р а н ?

131. У је д н о м н а с е љ у г в а к а у л и ц а с е ч е с в а к у у л и ц у и н е п о с т о је т р и

у л и ц е к о ј е с е с е к у у , и с т о ј р а с к р с н и ц и . Б р о , р а с к р с н и ц а ј е 21.

а ) К о л и к о и м а у л и ц а у т о м н а с е љ у ? .

б ) К о л ш с о и м а с т а м б е н к х ч е т в р т и о г р а н и ч е в и х с а . с в и х с т р а н а у л и -

ц а м а ?132. К о л и к с и м а ц е л и х б р о је в а и з м е ђ у 10б и 10 000 к о д к о ји х с у г а ч а о

Т р и ц и ф р е је д н а к е ?



Н -

н Гс /

Г л а в а ]|

Р Е А Л Н И Б Р О Ј Е В И

2.1. П Р И Р О Д Н И И Ц Б Л И Б Р О Ј Е В И

С к у п п р и р о д н и х б р о је в а ј е N = {1, 2, 3, ... , п , . . . }. Н а с к у п у N

д е ф и н и с а н е с у о п е р а ц и је с а б и р а њ а и м н о ж е њ а . У о б и ч а ј е н а је

о з н а к а N0 = { 0, 1, 2 , 3 , . . . , п , . . . } .

С к у п ц е л и х б р о ј е в а ј е 2 = { . .. , —2, —1, 0, 1, 2,

О с и м о п е р а ц и ја с а б и р а њ а и м н о ж е њ а н а с к у п у 2 је д е ф и н и -

с а н а и о п е р а ц и ја о д у з и м а њ а .

З а д в а ц е л а (и л и п р и р о д н а ) б р о ј а т и п , п ф 0 с е к а ж е д а је

б р о ј т д е љ и в б р о је м п у о з н а ц и п \т а к о п о с т о ји ц е о б р о ј к т а к а в

д а ј е т = п ■ к .

П р и р о д а н б р о ј п ф 1 је п р о с т а к о с у је д и н и њ е г о в и п р и р о д н и

д е л и о ц и 1 и п . П р и р о д а н б р о ј п ф 1 је с л о ж е н а к о н и је п р о с т .

Б р о ј 1 (п о д е ф и н и ц и ји ) н и је н и п р о с т н и с л о ж е н .

Н а јм а њ и з а је д н и н к и с а д р ж а л а ц п р и р о д н и х б р о је в а т и п је

н а јм а њ и п р и р о д а н б р о ј д е љ и в и с а т и п . О з н а ч а з а с е с а

Н З С (ш , п ).

Н а ј в е ћ и з а је д н и ч к и д е л и л а ц п р и р о д н и х б р о је в а т и п је н а ј-в е ћ и п р и р о д а н б р о ј к о ји с е с а д р ж и и у т и п . О з н а ч а в а с е с а

Н З Д (ш , п ). А к о ј е Н З Д (ш ,п ) = 1 з а б р о је в а ш и п с е к а ж е д а с у

у з а ја м н о п р о с т и .

133. О д р е д и т и н а ј в е ћ и з а је д н и ч к и д е л и л а ц и к а јм а њ и з а је д н и ч к и с а -

д р ж а л а ц з а с л е д е ћ е б р о ј=в е :

а ) 180 и 2100; б ) 46, 69 и 92;

в ) 770, 1078 и 1452; г ) 165, 220, 234 и 1014.



22 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а II.

И з р а ч у н а т к :

а ) Н З Л (1080,1260,3150); 0 1 Н З С (24, Н З Л (90, 126));

в | Н З Л (Н З С (24, 90), Н З С (24, 126))

135 Н а ћ и н а јм а њ и п р и р о д а н б р о ј к о ји м т р е б а п о м н о ж и т и б р о ј 5880 д а

б и с е д о б и о : а ) к в а д р а т п р и р о д н о г б р о ја ; б ) к у б п р и р о д н о г б р о ја .

136. Л о к а з а т и д а је б р о ј т 3 — т д е љ и в с а 6 з а с в а к и е о р о ј т .

137. Л о к а з а т и д а је б р о ј т 5 — т д е љ и в с а :

а ) 5; б ) 30

з а с в а к и ц е о б р о ј т .

138. Л о к а з а т и д а је з а с в е п € N

а ) 6|2п 3 —З га2 + п ; б ) З |тг3 + З п 2 + 5тг + 3;

в ) 6|п 3 + 57; г ) 48|га 3 + 20га ( п -п а р а н б р о ј)

133. Л а л и п о с т с и п р и р о д а н б р о ј с а т а ч н о : а ) је д н и м ; б ) д в а ; в ) т р ип р и р о д н а д е л и о ц а '7

140. Н и је д а н п р и р о д а н б р о ј ч и ји је з б и р ц и ф а р а 1995 н е м о ж е б и т и

п о т п у н к в а д р а т . Л о к а з а т и .

141. О д р е д и т и п о с л е д њ у ц и ф р у б р о ј а а ) 7777; б ) 7777.

142 . Л о к а з а т и д а ј е б р о ј 944 + 4 " д е љ и в с а 5

143. Л о к а з а т и д а је з б и р б и л о к о 1 д в о ц и ф р е н о г п р и р о д н о г р о ја и б р о ја

н а л и с а н о г и с т и м ц и ф р а м а , а л и о б р н у т и м р е д о м , д е љ и в с а 11

144. а ) Н а ћ и н а јм а њ и п р и р о д а н б р о ј к о ји п р и д е љ е њ у с а 2,3,4,5 и 6 д а ј е

р е д о м о с т а т к е 1,2,3,4 и 5.

б ) О д р е д и н а јм а њ и п р и р о д а н б р о ј д е љ и в с а 7 к о ји п р и д е љ е њ у с а3,4,5 и 6 р е д о м д а је о с т а т к е 1,2,3,4.

145. К о л и к о и м а т р о ц и ф р е н и х б р о је в а д е љ и в и х б р о је м 11 к о д к о ји х је

з б и р ц и ф а р а је д н а к 14?

146. А к о ј е п р о и з в о д т р и ц е л а б р о ја н е п а р а н б р о ј, д о к а з а т и д а је њ и х о в

з б и р т а к о ђ е н е п а р а н .

а т ч • * • • З п +15147. Ј а к о Ј е ц е л е б р о ј е в е п Ј е и з р а з --------—- п р и р о д а н б р о Ј ?

п + 2



2.2. Р А Ц И О Н А Л Н И И И Р А Ц И О Н А Л Н И Б Р О Ј Е В И

2.2. Р а ц и о н а л н и и и р а ц и о н а л н и б р о је в и 23

С к у п с в и х б р о ј е в а о б л и к а —, р € 2 , д € N н а з и в а с е с к у п о м

р а ц и о н а л н ш б р о је в а и о з н а ч а в а с а С Ј . У с к у п у д е ф и н и с а н е с у

о п е р а ц и је с а б и р а њ а , о д у з и м а њ а , м н о ж е њ а и д е љ е њ а (п р и ч е м у је

д е л и л а ц р а з л и ч и т о д н у л е ).

ј 2Б р о ј к о ји с е м о ж е н а п и с а т и у о б л и к у п 0 + — 4- —■ - -1------- К —

(п 0 € {0, 1, 2, . . .} , 4к € {0, 1,. . . ,9}, п € М ) и л и њ е м у с у п р о т а н

б р о ј , н а з и в а с е д е ц и м а л н и б р о ј.

Д е ц и м а л н и з а п и с б р о ј а х ј е б е с к о н а ч а н н и з о б л и к а П с , ■

К а р а к т е р и с т и к а д е ц и м а л н о г з а п и с а р а ц и о н а л н о г б р о ј а ј е ут о м е ш т о с е п о с л е н е к е д е ц и м л л н е ц и ф р е , ц и ф р а и з а њ е , и л и

г р у п а ц и ф а р а п о н а в љ а Ј /. Б р о ј е в и к о д к о ји х т о н и је с л у ч а ј с у

1'р а ц и о н а л н и и о н и с е н е м о г у п р е д с т а в и т и у о б л и к у р а з л о м к а

9 _

148.) И з р а ч у н а т и в р е д н о с т и з р а з а :Ч 4 1 1

+ !>4 - 34 + 2 - 62 -

б )

*>Н )»■ (-I)’ -« Н 1 ± ј М

2(-!)“ О О ’ -’ 'в ,3:(-!) - (-1:2)+5о *• . { ( - ! ) ■ ( - ч - ( - § ) ;

0 , 4 - ( - 2 )

+ 3 - ( - 9 )

+ ( - 2) : ( - 1);

1»

- ш

149. Н г о л с а т к д е з е т р а ц и о н а л н и х б р о је в а к о ји с у в е ћ и о д , а м а њ и

1 -

° Д 3 ’ .

150. О д р е д м т и ч е т и р и р а з л о м к а а , 6, с , <1 с а је д н о ц и ф р е н и м и м е н и о ц и м а

7 8т а к о д а б у д е - < а < к < с < с 1 <

151. Н а п и с а т и у о б л и к у р а з л о м к а б р о је в е :

а ) 0,58: б ) 2,3; в ) -3,45; г ) -2,071.

. , 1 1 4 1

152. Н а п и с а т и б е с к о н а ч а н д е ц и м а л а н з а п и с з а б р о је в е 1 ,——,



24 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а II,

153. Н а п и с а т и у о б л и к у р а з л о м к а с л е д е ћ е б е с к о н а ч н е д е ц и м а л н е б р о ј е в е :

-=а ) 0,2(3); ,б ) 0,(2); в ) 4,9(6); г ) 0,(45);

д ) -2,2(31); = ђ ) 0,15(74); е ) 29,(119); ж ) 0,(142857).

(З а п и с , н а п р и м е р , 2,310(245) о з н а ч а в а д а с е р а д и о б е с к о н а ч н о м д е ц и -

м а л н о м б р о ј у к о д к о г а с е б л о к ц и ф а р а 245 п о с л е 0, н е о г р а н и ч е н о п о н а в -љ а .)

,1 5 4 .4 о с у о , ђ , с , Ј р а ц и о н а л н и б р о је в и , д о к а з а т и а и з о + 6\/2 = -\-Л у /2

Н г Ј е ж д а ј е а = с и ђ = Л .

■ 4 4155. (И з м е ђ у к о ја д в а у з а с т о п н а ц е л а б р о ј а с е н а л а з и б р о ј а = —= ------?

- Л - 1з г г 156. Д о к а з а т и д а с у : а ) \/2; б ) \/3; в ) у/Е ; г ) л /2 + \/3; д ) л /5 - л /2;

ђ ) (1 + л /2)2; е ) (ч /З - 2)2 и р а ц и о н а л н и б р о је в и .

157. А к о с у а , 6-и р а ц и о н а л н и , а г р а ц и о н а л а н б р о ј и а , ђ , г > 0 и с п и т а т и

п р и р о д у б р о је в а :

а ) а + ђ ; б ) а + г ; в ) у/а ; г ) у/г;

д ) а ђ ; ђ ) а г ; е ) 1/ 0 + Т , ж ) у '?’ + \/а

158. Д о к а з а т и д а а к о с у б р о је в и о , ђ , /а + л /ђ р а ц и о н а л н и , о н д а с у и

б р о је в и \/а и р а ц и о н а л н и .

159. А к о с у а и /3 и р а ц и о н а л н и б р о ј е в и , а + /3 р а ц и о и а л а н , о к а з а т и д а

с у б р о је в и а — /3 и а + 2/3 и р а ц и о н а л н и .

160. О д р е д и т и с в е р а ц и о н а л н е б р о је в е о и 6 т а к о д а в а ж и :

а ) ђ = (о + ч / 3 ) ( 4 - а - \ /3 ) ; б ) о = (6 - \/5)(3 + \/5 - ђ ).Н е к а ј е о р а ц и о н а л а н б р о ј р а з л и ч и т о д н у л е . Д о к а з а т и д а с у

а ) (З о + \/2)(о + т /2); б ) (2о —\/3)(о + \/3)

и р а ц и о н а л н и .

2.3. У Р Е Ђ Е Н О П О Ј Ђ Е Р Е А Л Н И Х Б Р О Ј Е В А

У р е ђ е н о п о љ е р е а л н и х б р о ј е в а је с т р у к т у р а (К , + , , 0, 1, <)у к о м е с у д е ф и н и с а н е о п е р а ц и је с а б и р а њ а и м н о ж е њ а и р е л а ц и ј а

м а њ е и л и је д н а к о т а к о д а в а ж и :

(Р 1 ) ( ж , у , г е К )( х + (у + г ) = ( х + у ) + г );

(Р 2) (У х , у е К )(а ; + у = у + х ) ;

(Р З ) (У х е К )(ж + 0 = х );

(Р 4) (У х е П ) (3( -х ) е К ) ( х + ( - х ) = о ) ;

(Р 5) (У ж , у , г е К )(ж •( у ■ г ) = ( х ■ у ) ■ г ) ;

( Р 6) (1 ф 0) А (У х е К )(х ■ 1 = х );



2.3. У р е ђ е н о п о љ е р е а л н и х б р о је в а 25

(Р 7) (V* 6 К \ {О Ј Х З а Г 1 6 К )(_ж а Г 1 = 1);

(Р 8) (У х , у е К )(ж -у = у х ) ;

(Р 9) (У ж , у , г е К )(х ■ (у + г ) = х ■ у + х ■ г );

(Р 1 0) (У х , у е К )(х < у V у < х );

(Р 1 1) (У х , у е К )(х < у Л у < х =* х = у );

(Р 1 2) (У х , у е К )(ж < у Л у < г =$ х < г );

(Р 1 3) (У х , у , г е К )(ж < у = > х + г < у + г );

(Р 1 4) (У х , у е К )(0 <а ; Д 0<2/ =^0<а ; -2/ );

(Р 15) С в а к и н е п р а з а н , о г р а н и ч е н о д о з г о с к у п 5 С К и м а

с у п р е м у м .

П р и т о м е је с к у п 5 С К о г р а н и ч е н о д о з г о а к о п о с т о ји б а р је д а н

р е а л а н б р о ј т (м а јо р а н т а и л и г о р њ а м е ђ а с к у п а 5) т а к а в д а з ао в а к и х е 5 в а ж и х < т , а с у п р е м у м с к у п а 5 је р е а л а н б р о ј з

т а к а в д а је о н н а јм а њ а м а ј о р а н т а с к у п а 5.

У с к у п у р е а л н и х б р о ј е в а д е ф и н и ш е с е а п с о л у т н а в р е д н о с т

б р о ја х (о з н а ч а в а с е |ж |) н а с л е д е ћ и н а ч и н :

162. К о ји о д с л е д е ћ и х с к у п о в а с у о г р а н и ч е н и о д о з г о :

а ) А - с к у п п р о с т и х б р о је в а ; ,

б ) В - с к у п т р о ц и ф р е н и х п р и р о д и и х б р о је в а ;

в ) С - с к у п н е г а т и в н и х р е а л н и х б р о ј е в а ;

г ) Б = { х е К |ж < 2 V х > 1};

У с л у ч а ј у д а је с к у п о г р а н и ч е н о д о з г о о д р е д и т и б а р ј е д н у м а јо р а н т у .

163. О д р е д и т и с у п р е м у м е с л е д е ћ и х с к у п о в а (а к о п о с т о је ):

х , а к о је х > 0,

| |= 0, а к о је х = 0,

—х , а к о је х < 0.

б ) М 2 = {0; ] ,2 , 3 , . . . , } ;

в ) М 3 = { 0, 1, - 1, 2, - 2, . , . } ;

е ) М 7 = { х е К |а г < 0}.

/

http://www.cvisiontech.com/




164. Н е к а је х р е а л а н б р о ј . И з р а ч у н а г и :

165. Н а ћ и с в е р е а л н е б р о ј е в е х т а к в е д а Ј е :

а ) М < 1 ; б ) ^ < И < } ; в ) ||> 2; г | \х - 2\ < 1

166. Н а ћ и с в е р е а л н е б р с .е з е х т а к в е д а в а ж и :

а ) |* -3 | = 5; б ) \2х + 1|= 4; в ) |3 - 5 т|= 2;

г ) |6 + 2х \ = 8; д ) |6 + 2х \ < 8; ђ ) |6 +2 *|>8 ;

е ) |3 —* | <5 ; ж ) \2х —11> 3; з ) || — ж | <

и ) | 3 * - | | > | ј ј) 1 И - 1 | < 2 ; к ) || 2х + 1| -5|> 2.

167. Д о к а з а т и д а је

а ) ^(|* - У \+ * + у ) = т а х ј г , у }\ б ) г ^{\х - » [ - ( * + »)) = т т { 1 , у ),

п р и ч е м у ј е т а х {х . у } о з н а к а з а в е ћ и , а Н 1ш {х , } о з Н а к а з а м а њ и о д

б р о ј е в а х , у .

168. К о р и с т е ћ и д е ф и н и ц и ју а п с о л у т н е в р е д н о с т и р е а л н о г б р о ј а д о к а з а т и :

а ) И = |а ||6|; 6) | Ј | = М 6 # 0

1б У . П р о в ђ р И Т и ј е д ^а к о с т и :

а ) |2 •(—7)1 = |2|•|—7|; б ) |- | — у в ) ^ 1 = р т } ;

*•) | (- 3 ) - (-1 )1 = 1 - 3 1 1 ^ 1 1 ; д) I - | 4! = | - ^ | | 4 | .

26 Т е в с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а II.



2.4. П Р И Б Ј 1И Ж Н Е В Р Е Д Н О С Т И Р Е А Ј 1Н И Х Б Р О Ј Е В А

'г

2.4. П р и б л и ж н е в р е д н о с т и р е а л н и х б р о ј е в а 27

З а о к р у г љ и в а њ е д е ц и м а л н и х б р о је в а н а п д е ц и м а л а в р ш и с еп о с л е д е ћ и м п р а в и л и м а :

(1) А к о је п +1-в а д е ц и м а л а м а њ а о д 5, о н д а п р в и х п д е ц и м а л а

о с т а ју н е п р о м е њ е н е .(2) А к о је п + 1-в а д е ц и м а л а в е ћ а о д 5, о н д а с е т а п -т а

д е ц и м а л а у в е ћ а в а з а је д а н , а п р в и х п — 1 д е ц и м а л а и л и о с т а ј у

н е п р о м е њ е н е (а к о ј е т а п -т а д е ц и м а л а б и л а м а њ а о д 9) и л и с е н а

о д г о в а р а ј у ћ и н а ч и к м е њ а ју (а к о је п -т а д е ц и м а л а б и л а је д н а к а

9).(3) А к о је п + 1-в а ц и ф р а је д н а к а 5 и б а р је д н а ц и ф р а п о с л е

њ е н и је је д н а к а н у л и , о н д а с е п - т а ц и ф р а у в е ћ а в а з а 1.(4) А к о је п + 1-в а ц и ф р а је д н а к а 5 и с в е ц и ф р е и з а њ е с у н у л е ,

о н д а с е т а п -т а ц и ф р а н е м е њ а а к о ј е п а р н а , а у в е ћ а в а з а је д а н ,

а к о је н е п а р н а .

Н е к г ј е х р е а л а н б р о ј и х ' п р и б л и ж н а в р е д н о с т т а ч н о г б р о ја

х .

А п с о л у ш н а г р е ш к а п р и б л и ж н о г б р о ј а х ' је б р о ј Д (х ') = \х —х '\.

Р е л а т и в н а г р е ш к а п р и б л и ж н о г б р о ј а х ' је б р о ј б (х ') =

х ф 0

Н е к а је \х —х '\ < е , о н д а с е б р о ј 'е н А з и в а г р а н и ц а а п с о л у т н кг р е ш к е , а б р о ј -р -г г р а н и ц а р е л а т и в н е З р е ш к е .

\ х \

А к о ј е х = х ' ± 61 ^ у — ј/ ± е 2 , т а Д а је

(1) |(г + у ) - (х ' + Ј/7)! < С 1 + е 2;

(2) |(лг — у ) - [ х ‘ -\/)\ < в ! + е 2;

(3) \х у — I V ! < \х'\&2 + + е 1е 2;

(4) |? - ^ | < И | + , 1/ # 0,с ,< | у | .к ' У 1Г И Ц у '! - е 2 |

170. З а о к р у г л И л И н а д в е д е Ц И ч а л е б р с ј.е з Ј е : , „

а )2,6543; б ) 0,6781; в ) 5,365:

г ) 8,155; д ) 29,16501

171. Д а т и б р о ј з а о к р у г л и т и н а Једну, д в е , т р и , ч е г и р и , п е т д е ц и м а л а .

а ) а = 2,71582034; б ) 6 = 2,645755;

в ) с = 1 414213562; г ) 4 = 1,732050807.

172. З а о к р у г л и т и б р о ј х = 3,480(561) н а 2, 3, 4, 5, 6, о д н о с н о 7 д е ц и м а л а .

А ( РI I у



28 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а II.

173. О д р е д и т и а п с о л у т н у и р е л а т и в н у г р е ш к у с д е д е ћ и х п р и б л и ж н и х

в р е д н о с т и :

а ) 1 ; б ) 1 - 0 , 3 3 , В ) 1 * 0.333; г ) ^ 0,11.

174. М е р е њ е м п р о и з в о д а х и у у с т а н о в љ е н а је њ и х о в а м а с а х = 35<±1( )к д , у = 72< ± 10к д . О д р е д и т и 'а п с о л у т н у и р е л а т и в н у г р е ш к у м е р е њ а т и х

п р о и з в о д а .

175. М е р е њ е м д в а п р е д м е т а у т в р ђ е н о је д а с у и м д у ж и н е х = 2, 34±0, 02т

и у = 1, 23 ± 0,01т . К о је ј е м е р е њ е т а ч н и је ?

176. Д а т и с у п р и б л и ж н и б р о ј е в и а = 1,16 ±0, 01 , 6 = 5, 24 ±0 . 02 и с =

3, 29±0 ,03. И з р а ч у н а т и п р и б л и ж н е в р е д н о с т и и г р а н и ц е а п с о л у т н е г р е ш к е

и з р а з а :

а ) а + 6; б ) 6 + с ; б ) & + 6 + с ;

г ) а - 26; д ) а - З с ; ђ ) а + 6 - с .177. Н е к а је а = 7, 23 ± 0, 01 и 6 = 3,49 ± 0,02. П р и б л и ж н о и з р а ч у н а т и

в р е д н о с т и и з р а з а и п р о ц е к и т и г р е ш к у :

а ) е ■ 6; 5) а 2 + 62; в ) - .

178. И з р а ч у н а т и х = а — 6 + с, а к о је а = 13,5 ± 0, 05, 6 = 5, 8 ± 0 ,1 и

7, 30 < с < 7,45 и п р о ц е п и т и а п с о л у т н у г р е ш к у .

179. П р и б л и ж н о и з р а ч у н а т и к о л и ч н и к —, а к о је а = 5, 8 ±0 , 1 и 6 = 2 4 ±0 , 1.

180. А к о је х = а = 4,378 ±0,002, 6 = 3,42 ±0,0 05 и с = 1,941 ±0,0 01

о? __

и з р а ч у н а т и х и п р о ц е н и т и а п с о л у т н у г р е ш к у .

181. С т р а н и ц е п р а в о у г а о н и к а с у а = 2 ,4 ± 0 ,1 с т и 6 = 3, 7 ± 0 , 1 с т .

О д р е д и т и п р и б л и ж н о о б и м О и п о в р ш и н у Р и п р о ц е н и т и г р е ш к у .

182. Н е к а је и = - 7— ^г , п р и ч е м у е х = 3,23 ± 0,03 Л у — 1, 775 ± 0,005У {х - у )

О д р е д и т и п р и б л и ж н у в р е д н о с т з а и и г р а н и ц у а п с о л у т н е г р е ш к е .

183. О д р е д и т и п р и б л и ж н у в р е д н о с т ф у н к ц и је у = х 3 з а х = \/2 а к о ј е

п р и б л и ж н а в р е д н о с т а р г у м е н т а х ' = 1,41 и о и е н и т и г р а н и ц у а п с о л с у т н е

г р е ш к е .

2.5. Д О Д А Т А К У З Д Р У Г У Г Л А В У

1»4 . а ) Н е к а с у р и 8р 2 + 1 п р о с т и б р о је в и . Н а ћ и р .

б ) Н е к а с у р , р + 10 и р + 14 п р о с т и б р о је в и . Н а ћ и р .

185. А к о с у р и 2р + 1 п р о с т и б р о је в и (р > 3), д о к а з а т и д а јг б р о ј 4р + 1

с л о ж е н .

136. а ) А к о ј е р п р о с т б р о ј о е ћ и о д 3, д о к а з а т и д а је ‘5р о ј р * - 1 д е љ и в

с а 24



2.5. Д о д а т а к у з д р у г у г л а в у 29

б ) А к о с у р и д п р о с т и б р о је в и в е ћ и о д 3, д о к а з а т и д а ј е б р о ј р 2 —д 2,

д е љ и в с а -24.

187. Н е к а ј е п п р и р о д а н б р о ј. Д о к а з а т и д а б р о ј:

а ) п 2 + п + 1 н и је д е љ и в с а 1994 н и з а је д н о п ;

б ) п 2 + п + 2 н и је д е љ и в с а 1995 н и з а је д н о п .

188. Д о к а з а т и д а б р о ј

а ) а = п (п + 2 )( п + 4) + 2” ; б ) 6 = (п — 4)п (п + 1) + 5”

н и је д е љ и в с а 1995 н и з а је д а н п р и р о д а н б р о ј п ,

189. а ) Д о к а з а т и д а б р о је в и о б л и к а З т + 2, т € 2 н е м о г у б и т и к в а д р а т и

ц е л и х б р о ј е в а .

б ) Д о к а з а т и д а је д н а ч и н а а —З у = 20 н е м а ц е л о б р о ј н и х р е ш е њ а .

190. а ) Д о к а з а т и д а б р о је в и о б л и к а 5т + 2, т Е 2 н е м о г у б и т и к в а д р а т и

ц е л и х б р о ј е в а .

б ) Д о к а з а т и д а је д н а ч и н а х 9, —5у = 22 н р м а п е л о б р о јн и х р е ш е њ а .

191. Н а ћ и ц е л о б р о јн а р е ш е њ г је д н а ч и н а1 1 ј

а ) — |— = —; б ) х у — З у + х а х 14>-х у 2

в ) х у = 5х + 5у ; г ) х 2 + 2х у — З у 2 = 1.

192. У с к у п у ц е л и х б р о је в а р е ш и т и је д н а ч и н е

а ) х 2 + у 2 = 2; б ) т 2 - 4х + у 2 + 2у + 4 = 0;

з ) х 2 + х у + у 2 = 1; г ) х 2 + у 2 + г 2 + у + у г + г х = €.193. А к о с у р х , Р 2 , . . . , р п м е ђ у с о б н о р а з л и ч и т и п р о с т и б р о је в и д с к а з а т к

* • 1 1 1 •• «д а с р о Ј а = ----- 1------- (-••■ -)------н и Ј е ц е с о р о Ј .Р 1 V 2 Г п

194. Д о к а з а т и д а и з м е ђ у с в а к а д в а р а з л и ч и т а р а д и о н а л н а б р о ја п о с т о ји

а ) б а р је д а н р а ц и о н а л а н б р о ј;

б ) б в с к о н а ч н о м в о г с р а ц и о н а л н к х б р о је в а ,

195. Д о к а з а т и д а н е п о с т о ји ј е д н а к о с т р а н 'ч н и т р о у г а о ч и ја с у г е м е н а у

ч в о р о в и м а ц е л о б р о јн е м р е ж е у к о о р д и н а т н о м с и с т е м у ,

196. О д р е д и т и с в е ц е л е б р о је в е а и 6 з а к о је је 1 + 3 р е ш е њ е је д н а ч и н е ж 3 + а х 2 + + 12 = 0 .

197. Д о к а з а т и д а с у с л е д е ћ и б р о ј е в и и р а ц и о н а л н и :

а ) у Д + >/17 - \/Г 9; б ) >Д - >Д З + л /П ;

в ) ч /2 —\/7 + л /5; г ) >/2 + \/3 - >/5.

. 1 1 1198. Д о к а з а т и д а Ј е б р о ј а = —=------= Л---- -------- т = + ' ’ 4-----т = ------

Ј ^ у /Г +,/1 \/3 + \/2 у ^ Ш + ^ бр а ц и о н а л а н .

199. Р е ш и т и је д н а ч и н у 5х 2 + 5у 2 + 8х у + 2у — 2х + 2 = 0 у с к у п у р е а л н и х

б р о је в а .



Г л а в а III

П Р О П О Р Ц И О Н А Л Н О С Т

3.1. Р А М Е Р Е И П Р О П О Р Ц И Ј Е

Р а з м е р а . К о л и ч н и к а : 6, о д н о с н о —, 6 ^ 0 , з о в е м о р а з м е р о мо

р е а л н и х б р о је в а а и 6.

О с н о в н о с в о јс т в о р а з м е р е . В р е д н о с т р а з м е р е с е н е м е њ а а к о

с е о б а њ е н а ч л а н а п о м н о ж е (п о д е л е ) б р о је м р а з л и ч и т и м о д н у л е .

Д а к л е , р а з м е р а а : 6 е к в и в а л е н т н а је р а з м е р и а к : 6к .

П р о п о р ц и ја (с р а з м е р а ) . Ј е д н а к о с т д в е ј у р а з м е р а а : 6 = с : 4

з о в е с е п р о п о р ц и ја . Ч л а н о в и а и 4 з о в у с е с п о љ а ш њ и , а 6 и с

у н у т р а ш њ и ч л а н о в и п р о п о р ц и је .

О с н о в н о с в о јс т в о п р о п о р ц и ј е . П р о и з в о д с п о љ а ш н и х ч л а н о в а

п р о п о р ц и ј е је д н а к ј е п р о и з в о д у у н у т р а ш њ и х ч л а н о в а . В а ж и

с л е д е ћ а е к в и в а л е н ц и ј а а : 6 = с : 4 & а 4 = 1с , (а 1с 4 ф 0)

П р о д у ж е н а п р о п о р ц и ја . Ј е д н а к о с т т р и и л и в и ш е р а з м е р а

н а з и в а с е п р о д у ж е н а п р о п о р ц и ја . Н а п р и м е р (а , 6, с , 4, т , п , р , д ф. . а 6 с 4

0) а : ш = о : п = с : р = а : д и л и — = - = - = —.т п р д

200. Д о к а з а т и д а је з а а , к , с , 4 ф 0 п р о п о р ц и Ј а а : к = с : 4 е к с и в а л е н г н а

с в а к о ј о д с л е д е ћ и х је д н а к о с т и :

1° а : с = 6 : 4\

2° 6 : а = 4 : с\

8° а к : к к = с : 4, з а к ф 0;

4° а к : 6 = с к : 4, з а А ф 0,

5° (а + 5) : ( с + 4) = : с , з а с + 4 ф 0;

6° (а —6) : (с —4) = : с , з а с —А ф 0.

201. Д о к а з а т и д а и з а : 6 = с : 4, (а , 6, с , 4 -ф . 0, и у , г , Г ф 0) с л е д и :



3.1. Р а з м е р е и п р о п о р ц и је 31

1° (а + 6) : (а —6) = (с + Л ) : (с — Л ), з а а ф 6

2° (а а г + е Ј /)

3° (а х + к у )

4° (а х + к у )

(к х + А у ) = а : 6, з а к х + А у ф 0;

(с х + <1у ) = а : с , з а с х + &у ф 0;

(а г + И ) = (с х + <1у) :( с г + ( 11 ), з а а г + \>1 ф 0.

202. О д р е д и т и х и з п р о п о р ц и ја :

. 5 1в ) —: х => —:

’ 6 3 ’

д ) 0 ,4 ?: 0,35 = 0,72: 0,07;

^ 7 1 12 3 = 6 ’

4 4

р ) 4 ј : . ј . = . ј : . 1ј Ј Г

ђ ) 0,78: 0,66 = 0,5®: 0,55.

203. К о р и с т е ћ и п р о п о р ц и ј е о д р е д и ^и х и у а к о је :

а ) х : у = 2 : 3, х + у = 10; б ) х : 5 = ј/ : 3, х - у = 6;

в ) х : у = 2а : 6, х + у = а + 6; г ) х : ј/ = 10,5 : 10,2х + З ј/ = 102;

204. И з д а т и х п р о п о р ц к ј а и з в е с т и п р о д у ж е н у п р о п о р ц и ј у с б л и к а

а : к : с -.(! = . . . :

а ) а : & = 3 : 4 , 6 : с = 6 :5 с : < * = 2: 3;

б ) а : 6 = 2 : 3 6 : с = 6 :7 , с : < /= 3 : 11;

*ј) а :6 = 3 :4 , с :6 = 5 : 6,(1: а = 7 : 6 ;

г ) « : * = 1 | : ф : с * г 1 : 31 , с : Ј = 7 1 : 4

205. А к о з а п о з и т и в н е б р о ј е в е а , 6, х в а ж и п р о п о р ц и ја а : х = : к , к а ж е

с е д а ј е х г е о м е т р и јс к а с р е д и н а б р о је в а а и 6; к о ј е ( а —х ) : ( х —6) = а : 6,

к а ж е с е д а ј е х х а р м о н и јс к а с р е д и н а б р о је в а а и 6,

Д о к а з а т и :

а ) А к о ј е х х а р м о н и јс к а с р е д и н а б р о ј е в а а и 6, о н д а ј е — а р и т м е т и ч к а

х. . 1 1 ,с р е д и н а б р о Ј е в а — и - .

а о

б ) Г е о м е т р и јс к а с р е д и н а б р о је в а а и 6 и с т о в р е м е н о ј е г е о м е т р и јс к а

с р е д и н а њ и х о в е а р и т м е т и ч к е и х а р м о н и јс к е с р е д и н е .

206. Д о к а з а т и о с о б и н у п р о д у ж е н е п р о п о р ц и је д а и з : а 2 : ■ ■ ■ : а п = :

1>2 1>п с л е д и (а ! + а 2 Н -------|-а „) : (61 + 62 Н -------\-1>п ) = «1 : 61, и л и р е ч и м а :

З б и р п р в и х ч л а н о в а п р о д у ж е н е п р о п о р ц и ј е п р е м а з б и р у д р у г и х ч л а н о в а

о д н о с и с е и с т о к а о и м а к о ја р а з м е р а о д г о в а р а ј у ћ и х ч л а н о в а .



32 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а з а III.

3.2. Д И Р Е К Т К А И О Б Р Н У Т А П Р О П О Р Ц И О Н А Л Н О С Т

Н е к а с у т и п д а т и б р о је в и (т п , п ф 0) и х и у н е п о з н а т и

б р о је в и . К а ж е м о д а с у х и у д и р е к т н о п р о п о р ц и о н а л н и у к о л и к о је

х : т = V ■ п , о д н о с н о у = — х . А а к о ј е х : т — п : у , о д н о с н о у — . т

о н д а с у х и у о б р н у т о п р о п о р ц и о н а л н и . А к о у в е д е м о о з н а к ех

к = — и а = т п , о н д а с е д и р е к т н а п р о п о р ц и о н а л н о с т п р о м е н љ и в и хт . ч

и з р а ж а в а с а у = /(ж ) = к х , а о б р н у т а п р о п о р ц и о н а л н о с т у —д \х ) — а

Г р а ф и ц и ф у н к ц и ја /( х ) и д ( х ) д а т и с у н а с л и к а м а 1 и 2 (т о

с у п р а в е л и н и је ), о д н о с н о н а с л и к а м а 3 и 4 (т е к р и в е с е з о в ух и п е р б о л е ).

х

У У

1 2

3 4

207. Н а к а р т и к о ја и м а р а з м е р у 1:250000 р а с т о ја њ е и з м е ђ у м е с т а А и

В је 2 с т . К о л и к о је р а с т о ја њ е : а ) у п р и р о д и , б ) н а к а р т и с а р а з м е р о м

1:80000?



3.2. Д и р е к т н а и о б р н у т а п р о п о р ц и о н а л н о с т 33

208. И з је д н о г б у р е т а н а п у њ е н о ј е 160 б о ц а у љ а о д - л и т р а . К о л и к о ћ е

с е б о ц а н а п у н и т и и з и с т о г б у р е т а , а к о о н е с а д р ж е 0,8 л и т а р а ?

209. О д 10к д п р е д и в а с е и з а т к а 1 8 т ш т о ф а . К о л и к о с е м е т а р а ш т о ф а

и з а т к а о д 35к д п е д и в а ?

210. К о л и к о ч а с о в а д н е в н о т р е б а д а р а д е ч е т и р и је д н а к а т р а к т о р а з а 35

д а н а д а б и п о о р а л и 3640/ш з е м љ и ш т а , а к о 3 т а к в а т р а к т о р а з а 25 д а н а

р а д е ћ и д н е в н о п о 14 ч а с о в а п о о р у 1820Љ а ?

211. К о л и к о ч а с о в а д н е в н о т р е б а д а р а д е 16 р а д н и к а д а б и з а 15 д а н а

и с к о п а л и 3600 т о н а у г љ а , а к о 24 р а д н и к а з а 12 д а н а р а д е ћ и д н е в н о 7

ч а с о в а и с к о п а ју 3780 т о н а ?

212. З а г р е д у д у ж и н е 6т , ш и р и н е 2<1т , д е б љ и н е 1,3*71 п л а ћ е н о је 260

д и н а р а . К о л и к а с е д у ж и н а г р е д е д о б и ^а з а 280 д и н а р а , а к о ј о ј ј е ш и р и н а

21с т , а д е б љ и н а 1 6 с т ?

213. О д 100^0 б р а ш н а и с п е ч е с е 4000 к о м а д а к и ф л и о д З О т . К о л и к о ћ е

с е к и ф л и о д 50д г д о б и т и о д 650к д б р а ш н а ?

214. М а ч к а ~ п о у х в а т и м и ш а и п о з а д а н и п о К о л и к о м и ш е в а у х в а т и

п е г м а ч а к а з а ш е с т д а н а ?

215. Ш е с т п р о д а в а ц а о б а в е и н в е н т а р и с а њ е је д н е п р о д а в н и ц е з а ч е т и р и

д а н а р а д е ћ и д н е в н о д е с е т ч а с о в а . К о л и к о п р о д а в а ц а т р е б а д а б и

и н в е н т а р и с а л и и с т у п р о д а в н и ц у з а п е т д а н а , а к о р а д е 12 ч а с о в а д н е в н о ?

216. Ј е д а н п о с а о с у з а п о ч е л а 33 р а д н и к а и п о п л а н у б и г а з а в р ш и л и з а80 д а н а . М е ђ у т и м , п о с л е 16 р а д н и х д а н а , 9 р а д н и к а ј е н а п у с т и л о п о с а о .

З а к о л и к о д а н а је п о с а о з а в р ш е н ?

.217. Ч е т и р и је д н а к а т р а к т о р а м о г у д а п о о р у н е к о з е м љ и ш т е з а 36 ч а с о в а .

П о с л е 12 ч а с о в а р а д а је д а н т р а к т о р с е п о к в а р и о . З а к о л и к о ч а с о в а ћ е

б и т и п о о р а н о с т а т а к з е м љ и ш т а ?

218. П е т н а е с т р а д н и к а з а в р ш е је д а н п о с а о з а 24 ч а с а . П о с л е 10 ч а с о в а

р а д а п о с а о н а п у с т е т р и р а д н и к а . К о л и к о јо ш т р е б а д а р а д е п р е о с т а л и

р а д н и ц и д а б и з а в р ш и л и о с т а т а к п о с л а ?

219. П о п л а н у З О п а л н и к а з Ј .е б а д а з а в р ш е п о с а о з а 42,д а н а ^а к о р а д еп о 8 ч а с о в а д н е в н о . П о с а о з а п о ч н у с в и р з д н и ц и и р а д е С ј2 д а н а ,Ј т а д а 6

р а д н и к а н а п у с т е п о с а о , а р а д н о в р е м е с е п о в е ћ а з а 2 ч а с а . П о с л е к о л и к о

д а н а је з а в р ш е н о с т а т а к п о с л а ?

220. К о л и к о ј е п о т р е б н о б р а ш н а з а 70к д х л е б а а к о с е о д 4 к д б р а ш н а

д о б и ја 5к д х л е б а ?

221. Ј с д а н п о с а о т р и р а д н и к а о б а в е з а 32 д а н а . З а к о л и к о д а н а б и и с т и

п о с а о о б а в и л а ч е т и р и р а д н и к а 0

222. З а је д н о к у п а т и л о п о т р е б н о ј е 600 к е р а м и ч и х п л о ч и ц а ч и је с у

д и м е н з и је 15с т х 15с т . К о л и к о је п о т р е б н о к е р а м и ч к и х п л о ч и ц а д е м е н з к је

10с т х 20с т з а и с т о к у п а т и л о ?



34 Т е к с т о в и З а д а т а к а —Г л а в а III.

223. О с а м л и т а р а м о т о р н о г у љ а п л а ћ е н о је 192 д и н а р а . К о л и к о ћ е с е

л и т а р а д о б и т и з а 240 д и н а р а ?

224. Ш е с т п р о д а в а ц а з а в р ш и и н в е н т а р и с а њ е н а к р а ј у т р о м е с е ч ја з а

ч е т и р и д а н а . З а к о л и к о б и д а н а 8 п р о д а в а ц а з а в р ш и л о т а ј п о с а о , а к ои м а ју и с т и р а д н и у ч и н а к ?

225. 120 з и д а р а з а в р ш е је д а н п о с а о з а 12 д а н а р а д е ћ и д н е в н о п о 8 с а т и .

К о л и к о б и т р е б а л о з и д а р а п а д а и с т и п о с а о з а в р ш е з а 10 д а н а р а д е ћ и

д н е в н о п о 6 с а т и ?

226. Ј е д н а п у м п а и з в л а ч и з а 6 м и н у т а 15ћ 1 в о д е и з д у б и н е о д 180т . З а

к о је в р е м е т а и с т а п у м п а м о ж е д а и з в у ч е 20ћ 1 в о д е и з д у б и н е о д 120т ?

227. О д 32к д п а м у к а д о б и ја с е 3 6 т с у к н а ш и р и н е 0, 8 т . К о л и к о

к о л о г р а м а п а м у к а је п о т р е б н о з а 2 5 т с у к н а ш и р и н е 1 , 8 т ?

228. Н а је д н о ј д е о н и ц и а у т о -п у т а р а д и л о је 46 р а д н и к а , 24 д а н а , п о 6ч а с о в а д н е в н о и и з г р а д и л и с у п у т д у ж и н е 27, 6к т и ш и р и н е 14т . К о л и к о

р а д н и к а т р е б а д а р а д е п о д и с т и м у с л о в и м а д а б и и з г р а д и л и п у т д у ж и н е

35к т , ш и р и н е 12т , а к о р а д е 30 д а н а п о 8 ч а с о в а д н е в н о ?

229. Ч е т и р и р а д н и к а д о г о в о р е с е д а о б е р у в и н о г р а д о д 10ћ а з а 8 д а н а .

М е ђ у т и м , п о с л е 5 д а н а р а д а п о 9 с а т и д н е в н о , о н и о б е р у с а м о 3ћ а .

З а т о о д л у ч е д а п о т р а ж е п о м о ћ . К о л и к о је јо ш р а д н и к а п о т р е б н о д а

р а д е з а је д н о с а њ и м а п р е о с т а л а 3 д а н а п о 10 с а т и д н е в н о д а б и б е р б а

в и н о г р а д а б и л а з а в р ш е н а н а в р е м е ?

230. С к и ц и р а т и г р а ф и к е ф у н к ц и ја :

П о д е л а б р о ј а N н а д в а д е л а х и у у д и р е к т н о ј р а з м е р и а : 6,г д е с у а и 6 р е а л н и б р о је в и , д о б и ја с е и з п р о п о р ц и је х : у = а : 6 и

у с л о в а д а ј е х + у = N .

1° П р и м е н о м п о з н а т е о с о б и н е п р о п о р ц и ,р и м а м о д а је :

а ) у = 1 х -

г ) у =х

б ) у =

Ч 2д ) У = —

X

в ) у = З а ;;

3.3. Р А Ч У Н П О Д Е Л Е И М Е Ш А Њ А

(а + у ) : (а + 6) = у : 6 =* у =



3.3. Р а ч у н п о д е л е и м е ш а њ а 35

о д н о с н о N N ,

■ а , у = ——- 6.а + 6 ' а + 6

* у д и р е к2° А к о с е б р о ј N д е л и н а т р и д е л а х , у , г у д и р е к т н о Ј р а з м е р и

а : к : с и с т и м п о с т у п к о м с г д о б и ј а .

N N , N • = — —т— -----а , у = - -6,2

а + 6 + с 1 а + 6 + а + 6 + с

3° А к о с е б р о ј д е л и у о б р н у т о ј р а з м е р и т а д а је :

" X /"*....... """ N . N

ж - Т 7 Т ' а ’ ' У ~ 1 1 ' У \

а 6 а 7»х ' .

__

_

о д н о с н о “ ,г N ,

х — -------- - о , у = — —г •аа + 6 а + 6

/

231. П о д е л и т и б р о ј н а д в а д е л а :

-----^ а ) 60 у р а з м е р и 7: 3; 95 у р а з м е р и 2: 3 ; в ) 35 у р а з м е р и - : - .

232. П о д е л и т и б р о ј 3840 н а д е л о в е к о ји с у о б р н у т о п р о п о р ц и о н а л н иб р о ј е в и м а 7 и 8

233. П о д е л и т и :

^ ^ ^ ^ а ) б р о ј 72 н а т р и д е л а у р а з м е р и 7 : 4 : 1 ;

5 3( д б р о ј 86 н а т р и д е л а у р а з м е р и - : - : 2.

* 0 4

234. Н а г р а д у о д 4530 д и н а р а п о д е л и т и н а т р и р а д н и к а у р а з м е р и с а

њ и х о в и м р а д н и м д а н и м а . П р в и р а д н и к је р а д и о н а з а је д н и ч к о м п о с л у 5

д а н а , д р у г и 4 д а н а , а т р е ћ и 3 д а н а .

235. З а п р е в о з У 1к д д е т е р џ е н т а , 23к д ш е ћ е р а и 45А;<7 б р а ш н а т р о ш к о в и

п р е в о з а и з н о с и л и с у 900 д и н а р а . И з р а ч у н а т и у к у п н е т р о ш к о в е п о в р с т а м а

р о б е у р а з м е р и с а м а с о м р о б е .

236. Р а д е ћ и з а је д н и ч к и је д а н п о с а о ч е т и р и р а д н и к а з а р а д е з а в и с н о о д

у ч и н к а п р в и 12000 д и н а р а , д р у г и 11500 д и н а р а , т р е ћ и 10500 и н а р а ,

ч е т в р т и 9000 д и н а р а . К а с н и ји м о б р а ч у н о м и с п о с т а в и л о с е д а з а т а ј п о с а о

т р е б а д а п р и м е ј о о 21452 д и н а р а . П о к о л и к о д и н а р а ћ е д о б и т и с в а к и о д

њ и х а к о с е п о д е л а и з р ш и с р а з м е р н о њ и х о в и м з а р а д а м а .

237. Ч е г и р и у ч е н и к а с у н а г р а ђ е н и н а г р а д о м о д 3600 д и н а р а . К о л и к о

д о б и ја с в а к и о д њ и х а к о с е н а г р а д а д е л и у р а з м е р и —: 2 : —: 3?



36 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а III.

238. С в о т у о д 42000 д и н а р а т р е б а п о д е л и т и н а ч е т и р и о с о б е т а к о д а с е

и з н о с и к о је д о б и ја ју п р в и и д р у г и о д н о с е к а о 2 : 3, д р у г и и т р е ћ и к а о

4 : 5, а т р е ћ и и ч е т в р т и к а о 6 : 7. К о л и к о ћ е с в а к о о д њ и х д о б и т и ?

239. И з н о с о д 1235 д и н а р а т р е б а п о д е л и т и и з м е ђ у о с о б а А , В , С и Б т а к о д а с е д е л о в и ш т о и х д о б и ја ј у С и А о д н о с е к а о 5 : 2, д е л о в и ш т о и х

д о б и ја ју В и И к а о 1 : 3, а д е л о в и к о је д о б и ја ју Л и В к а о 3 : 4 . К о л и к о

с в а к а о с о б а д о б и ја н о в ц а 9

240. Ф а б р и к а з а п р о и з в о д њ у в о ћ н и х с о к о в а р а с п о р е д и л а је 136200/г ^ в о ћ а

н а ч е т и р и п о г о н а , т а к о д а п р в и п о г о н д о б и је 15% м а њ е о д т р е ћ е г , ч е т в р т и

п о г о н д о б и је 10% в и ш е о д т р е ћ е г , а т р е ћ и 20% в и ш е о д д р у г о г . К о л и к о

ћ е к и л о г р а м а в о ћ а п р е р а д и т и с в а к и п о г о н 9

241. Т р о ш к о в и г р е ја њ а з а је д н у з г р а д у и з н о с е 9510 д и н а р а и т р е б а д а

и х и с п л а т и 5 п о т р о ш а ч а п р е м а б р о ј у р е б а р а р а д и ја т о р а у с в а к о м с т а н у .

У п р в о м с т а н у и м а 65 р е б а р а , у д р у г о м 50, у т р е ћ е м 72, у ч е т в р о м 80 иу п е т о м 50. К о л и к о ћ е д и н а р а п л а т и т и н а и м е т р о ш к о в а т р е ја њ а с в а к и

с т а н а р ?

242. У к о м о д н о с у т р е б а п о м е ш а т и в о д у т е м п е р а т у р е 40°С и о о д у

т е м п е р а т у р е 25° С д а б и с е д о б и л а в о д а т е м п е р а т у р е 30°С ?

243. К о л и к о т р е б а у з е т и с у м п о р н е к и с е л и н е ја ч и н е 44%, а к о л и к о

ј<и с е л и н е ја ч и н е 80% д а б и с е д о б и л о 18 л и т а р а к и с е л и н е ја ч и н е 64%?

]244!)?Л и т а р в и н а к о ш т а 14 д и н а р а , а л и т а р с о д е 4 д и н а р а . У к о јо ј р а з м е р и

т р е )а п о м е ш а т и в и н о и с о д у д а б и л и т а р ш п р и ц е р а к о ш т а о 10 д и н а р а ?

|245 ј К о л и к о т р е б а у з е т и л и т а р а 90%-о г а л к о х о л а и к о л И к о л и т а р а 60%-о гб л к о х о л а д гх б и с е д о б и л а с м е ш а о д 50/ 72%-о г а л к о х о л а ?

246^ О д 40-п р о ц е н т н о г и 65-п р о ц е н т н о г р а с т в о р а с и р ћ е т н е к и с е л и н е

Т р е б а д а с е п р и п р е м и 7, 5/ 55-п р о ц е н т н о г р а с т в о р а . П о к о л и к о л и т а р а

т р е б а д а с е у з м е о д с в а к о г р а с т в о р а ?

247. К о л и к о л и т а р а в о д е т е м п е р а т у р е 12° т р е б а п о м е ш а т и с а 5/ в о д е

т е м п е р а т у р е 70° д а б и с е д о б и л а м е ш а в и н а т е м п е р а т у р е 37°?

248. З а и з р а д у н а :«:т а к о р и с т и с е с р е б р о ф и н о ћ е 600%о и с р е б р о 900%о

д а б и с е д о б и л о с р е б р о ф и н о ћ е 800%с ■

а ) У к о м о д н о с у т р е б а п о м е ш а т и о в е д в е в р с т е с р е б р а ?б ) К о л и к о т р е б а г р а м а о д с в а к е в р с т е д а б и с е д о б и л о 60^г с р е б р а

ф и н о ћ е 800%о ?

249. З а и з р а д у х л е б а к о р и с т е с е д в е в р с т е б р а ш н а п о ц е н и о д 0,72 и 0,64

д и н а р а п о к и л о г р а м у . К о л и к о т р е б а у з е т и о д с в а к е в р с т е д а б и с е д о б и л а

м е ш а в и н а о д 1600к д п о ц е н и о д 0,70 д и н а р а п о к и л о г р а м у ?

250. К о л и к о л и т а р а р а к и је п о ц е н и о д 8,50 д и н а р а и 7,20 д и н а р а п о л и т р у

т р е б а п о м е ш а т и д а б и с е д о б и с 221 л и т а р р а к и је п о ц е н и о д 8 д и н а р а ?

251. У к о м о д н о с у т р е б а п о м е ш а т и ч е т и р и в р с т е к а ф е п о ц е н и о д 16, 20,

22 и 25 д и н а р а п о к и л о г р а м у д а б и с е д о б и л а к а ф а п о ц е к и о д 21 д и н а р

п о к и л о г р а м у ?



3.4. П р о ц е н т н и р а ч у н 37

252. К о л и к о с р е б р а ф и н о ћ е 900%о , 850%о , 700%о и 600%о т р е б а у з е т и д а

б и г ,е д о б и о п е х а р м а с е 18к д и ф и н о ћ е 750%о ?

253^) Ј е д а н з л а т а р л е г и р а .з л а т о ф и н о ћ е 900%о , 800%о , 750%о и 650%д

К ј л и о т р е б а д а у з м е о д с в а к е в р с т е д а б и д о б и о 21д г з л а т а ф и н о ћ е780%о ?

254. У је д н о ј ч а ш и н а п р а в љ е н је с о к о д в о д е и с и р у п а у р а з м е р и 2 : 1, а у

д р у г о ј у р а з м е р и 3 : 2. С о к и з о б е ч а ш е п р е с у т је у п р а з а н с у д п р и ч е м у

је д о б и је н а р а з м е р а в о д е и с и р у п а 27 : 17. К о л и к и је б и о о д н о с к о л и ч и н а

с о к а у ч а ш а м а ?

255. К о л и к о л и т а р а в о д е т р е б а с и п а т и у м е ш а в и н у 40/ 60-п р о ц е н т н о г

а л к о х о л а и 60/ 40-п р о ц е н т н о г а л к с х о л а д а б и с е д о б и о 25-п р о ц е н т н и

а л к о х о л ?

256. У и з в е с н у к о л и ч и н у 80%-о г а л к о х о л а д о д а т о је 12/ в о д е и д о б и је н ј е60%-н и а л к о х о л . К о л и к а је п р в с б и т н а к о л к ч и н а а л к о х о л а ?

3.4. П Р О Ц Е Н Т Н И Р А Ч У Н &

1° р -п р о ц е н а т (п р о ц е н 'ш а с т о п а ) је с т о т и д е о и е к е в е л и ч и н е ;

р - 1% а = т о = М 1«

2С С -г л а в н и ц а (о с н о в н а в р е д п о с т , г л а в н а в е л и ч и н а , г л а в н и

и з н о с ) п р е д с т а в љ а в е л и ч и н у о д к о је с е р а ч у н а ју п р о ц е н т и .

3° Р -п р о ц е н т н и и з н о с (п р о ц е н т н и п р и н о с ^ п р е д с т а в љ а д е о

г л а в н и ц е к о м е о д г о в а р а о д р е ђ е н и п р о ц е н а т .

И з о с н о в н е п р о п о р ц и је п р о ц е н т н о г р а ч у н а

С : 100 = Р : р и л и С : Р = 100 : р

и з р а ч у н а в а с е је д н а о д в е л и ч и н а а к о с у д р у г е д в е п о з н а т е

_ ^ 1 0 0 0 _ р Р ■ 100

р ' 100 ’ С '

4° П р о м и л п р е д с т а в љ а х и љ а д и т и д е о г л а в н и ц е , а с а в р а ч у н с а

п р о м и л и м а р а з л и к у је с е о д п р о ц е н т н о г р а ч у н а у т о м е ш т о у м е с т о

б р о ј а 100 к о р и с т и м о б р о ј 1000:

С : Р = 1000 : р

- 257. Ц е н а о д 12000 д и н а р а з а н е к и п р о и з в о д с н и ж е н а је з а 7%. К о л и к од и н а р а и з н о с и с н и ж е њ е 7



38 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а III.

258. Ф а к т у р а г л а с и н а 16850 д и н а р а . Н а т а ј и з н о с о д о б р е н о је 4,5%р а б а т а . К о л и к о д и н а р а и з н о с и р а б &т ?

- 259. Н е к а р о б а је к а л и р а л а 160^. К о л и к а је б и л а п р в о б и т н а т е ж и н а а к ок а л о у п р о ц е н т и м а и з н о с и 2, 5%?

260;) П л а н п р о м е т а је д н е т р г о в и н с к е о р г а н и з а ц и је , к о ји је и з н о с и о

7500000 д и н , п р е б а ч е н ј е з а 450000 д и н а р а . К о л и к о т а ј п р е б а ч а ј и з н о с иу п р о ц е н т и м а ?

261. У 83/ а л к о х о л н о г п и ћ а н а л а з и с е 67/ в о д е . К о л и к о у о в о м а л к о х о л н о мп и ћ у и м а п р о ц е н а т а а л к о х о л а ?

262. Ј е д н а у г о с т и т е љ с к а р а д њ а је п р е м а ш и л а с в о ј м е с е ч н и п л а н з а 8 , 5%

и т о п р е м а ш е њ е п л а н а и з н о с и 425000 д и н а р а . З а к о л и к о б и п р о ц е н а т а

б и о п р е м а ш е н п л а н д а ј е м е с е ч н и п р о м е т и з н о с и о 5750000 д и н а р а ?

263. Ц е н а је д н е к њ и г е је н а јп р е п о в е ћ а н а з а 50%, а з а т и м с н и ж е н а з а 50%.П е н а д р у г е к њ и г е је н а јп р е с н и ж е н а з а 50%, а з а т и м п о в е ћ а н а з а 50%. Н а

к Р а Ј У Ј е р а з л и к а њ и х о в и х ц е н а б и л а 6 д и н а р а . К о л и к а је б и л а п р в о б и т н ар а з л и к а у ц е н и ?

264 П е н а је д н о г п р о и з в о д а п о д и г н у т а је з а 10%, а з а т и м с н и ж е н а з а 10%.

З а к о л и к о п р о ц е н а т а с е п р о м е н и л а ц е н а у о д н о с у н а п р в о б и т н у ?

265. П е н а к о ш у љ е је 64 д и н а р а . П о с л е п о с к у п љ е њ а з а 20% д о ш л о је д о

п о је ф т и њ е њ а з а 20%. К о л и к а је н о в а ц е н а к о ш у љ е ?

266. П е н а Једног п р о и з в о д а с н и ж е н а Је з а 50%. З а к о л и к о п р о ц е н а т а

т р е б а н о в у ц е н у п о д и ћ и д а б и с е д о б и л а п р в о б и т н а ?

267. З а к о л и к о п р о ц е н а т а с е п р о м е н и п о в р ш и н а п р а в о у г а о н и к а а к о м у с е

д у ж к н а п о в е ћ а з а 10%, а ш и р и н а с м а њ и з а 10%?

268. З а к о л и к о п р о ц е н а т а с е с м а њ и в р е м е п у т о в а њ а н а и з в е с н о м п у т у а к ос е б р з и н а п о в е ћ а з а је д н у ч е т в р т и н у ?

269. Н а је д н о м г р а д и л и ш т у б р о ј р а д н и к а п о в е ћ а н је з а т р е ћ и н у . З а

к о л и к о п р о ц е н а т а о д п р е д в и ђ е н о г в р е м е н а ћ е с е п о с а о р а н и је з а в р ш и т и ?

270. С в е ж е п е ч у р к е с а д р ж е 90% в о д е , а с у в е 12% К о л и к о к и л о г р а м а

с у в и х п е ч у р к и с е м о ж е д о б и т и о д 22к д с в е ж и х ?

271. Н е к а је п о в е ћ а њ е м ц е н а н е к о г п р о и з в о д а з а х п р о ц е н а т а , п ас м а њ е њ е м н о в е ц е н е з а у п р о ц е н а т а д о б и је н а п о ч е т н а ц е н а т о г п р о и з в о д а .И з р а з и т и у у ф у н к ц и ји о д х .

272. Г р а д је у н и ш т и о 75%0 с а д н и ц а у је д н о м р а с а д н и к у и т о и з н о с и 120

с а д н и ц а . К о л и к о је с а д н и ц а б и л о у т о м р а с а д н и к у ?

273. П о о д б и т к у 5%0 п р о в и з и је б а н к а је и с п л а т и л а к л и је н т у 59700

д и н а р а . О д к о је с у м е је п р о в и з и ја р а ч у н а т а и к о л и к а је п р о в и з и ја уд и н а р и м а ?

274. К о л и к о к и л о г р а м а н е к е р у д е т р е б а у з е т и д а б г с е д о б и л о 57750к д

ч и с т о г м е т а л а , а к о н а ш љ а к у о т п а д а 835%0?



4 / 0 3 0

З .б . К а м а т н и р а ч у н 39

3.5. К А М А Т Н И Р А Ч У Н

Н а п о м е н а . С а д р ж а ј к о ји с е о д н о с и н а к а м а т н и р а ч у н (з а д а ц и 275-286)

н и је у п р о г р а м у р е д о в н е н а с т а в е .

„ С рФ о р м у л а з а п р о ц е н т н и и з к о е Р — к с р и с т и с е з а и з р а ч у -

н а в а њ е к а м а т е (п р о с т о г и н т е р е с а ) и к а п и т а л а ,

З а к а м а т н и р а ч у ц је Р = /-к а м а т а к л и и н т е р е с , С = К -

к а п и т а л и л и г ч а в н и ц а , р -п р о ц е н т н а с т с п а , <-в р е м е , п а је

К р

1 = 1 о о " ‘ '

И З Р А Ч У Н А В А Њ Е К А А Т Е (И Н Т Е Р Е С А )

К р10 I = ------ ■ а , в р е м ? д а т о у т о д и н д м а ;

100

К р2° 1 ~ ' 171 ’ в р е м е д а т о у м е с е ц к м а .;

\1^ ЈК •V

3- I = ---- — ■ А , в р е м е д а т о у д а н и м а .36500

И З Р А Ч У Н А В А Њ Е К А П И Т А Л А

„ „ 100 • I 4° К = --------- . в р е м е д а т о у г о д и н а м а ;Р •9

гп „ 1200 •/ 5 К — -----------, в р е м е д а т о у м е с е ц и м а ;

р ■ т

„ в 36500 / 6° К = ------------ , к р е м е д г .т о у д а н и м а .

р ■ А

7° И н т е р е с н а и н т е р е с р а ч у н а с е п о ф о р м у л и

^ = к ( 1 + » “ '

г д е ј е п 6р о ; г о д и н а ,

8° З а м е с е ч н о к _м а ћ е њ е ф с р м у л а је :

к ” = к (1+ш Г

275. К о л и к о и з н о с и и н т е р е с н а з а ј а м о д 15000 д и н а р а з а в р е м е о д 3

г о д и н е п о с т о п и 5%?



40 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а 111»

276. У л о ж е н а ј е с у м а о д 42800 д и н а р а з а в р е м е о д 8 м е с е ц и у б &н к у к о ја

п л а ћ а 4% и н т е р е с а . К о л и к о и з н о с и и н т е р е с ?

277. И з р а ч у н а т и 7 ,5% и н т е р е с а н а с у м у о д 62300 д и н а р а з а в р е м е о д 9

м е с е ц и .

278. К о л и к о је и н т е р е с а д о н е о к а п и т а л о д 100260 д к н а р а з а 60 д а н а п о

с т о п и 4%?

279. Н а к о ју је с у м у о б р а ч у н а т и н т е р е с о д 10260 д и н а р а з а в р е м е о д 5

г о д и н а п о с т о п и 6%?

280. Н а к о ји ј е к а п и т а л и з р а ч у н а т и н т е р е с о д 340,65 д и н а р а з а 6 м е с е ц и

п о с т о п и о д 4 ,5%?

281. П р е д у з е ћ е је п л а т и л о к а м а г у 17710 д и н а р а н а п о з а јм љ е н а с р е д с т в а

з а в р е м е о д 21. м а р т а д о 21. ју н а п о с т о п и 5,5%. К о л и к о и з н о с е

п о з а јм љ е н а с р е д с т в а ?

282. Н а к о л и к у с у м у н а р а с т е 200 д и н а р а с а 20% с .л о ж е н е к а м а т е п о с л е 5,10 и 15 г о д и н а ?

283. У б н н к у је у л о ж е н о 6000 д и н а р а с а к а м а т н о м с т о п о м

а ) 5%; б ) 10%; в ) 15%.

К о л и к о ћ е и з н о с и т и г л а в н и ц а п о с л е 3 г о д и н е ?

284. К о л и к а с е с у м а м о р а у л о ж и т и с а к а м а т к о м с т о п о м о д 25% д а б и

п о с л е 10 г о д и н а д о с т и г л а ч з н о с о д 5000 д и н а р а ?

285. Н а к о л и к и и з н о с н а р а с т е 1000 д к н а р а с а 3% с л о ж е н е м е с е ч н е к а г д а т е

п о с л е 4 6, 8 м е с е ц и ?

286. К о л и к о д и н а р а т р е б а у л о ж и т и д а б и с е п о с л е 10 м е с е ц и з а је д н о с ае л о ж е н о м к а м а т о м о д 8% п р и м и л о 51300 д и н а р а ?



Г л а в а IV

У В О Д У Г Е О М Е Т Р И Ј У

О с н о в н и о б је к т и у г е о м е т р и ји с у т а ч к е , п р а в е и р а в к и . У

ф о р м у л а ц и ја м а з а д а т а к а , и к а д а с е т о п о с е б н о н е н а г л а с и , т а ч к е

с е о з н а ч а в а ју в е л и к и м л а т и н и ч н и м с л о в о м : А , В , С , .. . , Р , <3, ■ ■ ■,

п р а в е м а л и м л а т и н и ч н и м с л о в о м : а , 6, е , . . . ,р , д , . . . , а р а в н и

г р ч к и м с л о в и м а : а , /3,7, . . . , тг, р , . ..

А к о т а ч к а А п р и п а д а п р а в о ј а , о д н о с н о р а в н и а , т о с е

о з н а ч а в а с а А 6 а , А Е а , а а к о п р а в а р п р к п а д а р а в н и п с а

р С т г. (З а п и с и А С а и р е т г с у п о г р е ш н и !). З а п р е с е к е п р а в и х и

р а в н и к о р е к т н е с у о з н а к е : а П 6 = { М } , р П тг = { Р } , а П /? = « (д о к

ј е п о г р е ш н о , н а п р и м е р , а П б = М и р П т г = Р ) .

О с н о в н е р е л а ц и је с у ” б и т и и з м е ђ у ” и ” б и т и п с д у д а р а н ” . З а

т а ч к е А В , С . Б : А —В —С о з н а ч а в а д а је т а ч к а В и з м е ђ у т а ч а к а

А и С , а { А , В } = {Г ;, Б } д а је п а р т а ч а к а { А , В } п о д у д а р а н п а р у

{ с , о } . '

.1. А К С И О М Е П Р И П А Д А Њ А

А к с и о м а 1. С в а к а п р а в а с а д р ж и н а јм а њ е д в е р а з л и ч и т е

т а ч к е . П о с т о је т р и н е к о л и н е а р н е т а ч к е .

А к с и о м а 2. С в а к е д в е р а з л и ч и т е т а ч к е о д р е ђ у ју је д н у п р а в у .

А к с и г -м а 3. С в а к е т р и н е к о л и н е а р н е т а ч к е о д р е ђ у ј у је д н у

р а в а н .

А к с и о м а 4. С в а к а р а в а н с а д р ж и н а јм а њ е т р и н е к о л и н е а р н е

т а ч к е П о с т о ј е ч е т и р и н е к о м п л а н а р н е т а ч к е .



42 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а I V.

А к с и о м а 5. С в а к а п р а в а , к о ја с а н е к о м р а в н и и м а з а је д н и ч к е

д в е р а з л и ч и т е т а ч к е , п р и п а д а т о ј р а в н и .

А к с и о м а 6. А к о д в е р а з л и ч и т е р а в н и и м а ју је д н у з а је д н и ч к у

т а ч к у , о н д а о н е и м а ју т а ч н о је д н у з а је д н и ч к у п р а в у .

З а д в е п р а в е с е к а ж е д а с е с е к у а к о и м а ју т а ч н о је д н у з а је д -

н и ч к у т а ч к у .

А к о з а је д н и ч к е т а ч к е д в е р а в н и п р и п а д а ј у т а ч н о је д н о ј п р а -

в о ј , к а ж е с е д а с е р а в н и с е к у .

З а р а в н и а и (3 к о је с е н е с е к у к а ж е с е д а с у п а р а л е л н е : а ||/?.

А к о п р а в а и р а в а н и м а ју т а ч н о је д н у з а је д н и ч к у т а ч к у , к а ж е

с е д а п р а в а п р о д и р е р а в а н . У п р о т и в н о м , з а п р а в у а и р а в а н а

к а ж е м о д а с у п а р а л е л н е : а ||а .

А к о с у Р 1у Р 2, •■ . , Р п н е к е р а з л и ч и т е ф и г у р е (н е п р а з н и с к у п о -

в и т а ч а к а ) и а к о п о с т о ји т а ч н о је д н а р а в а н а т а к о д а с у ф и г у р е

Р \, Р г 2 , ■ ■ ■ , Р п њ е н и п о д с к п о в и , к а ж е с е д а је р а в а н а о д р е ђ е н а

ф и г у р а м а Р 1г Р 2, . . . , Р %.

С л и ч н о с е м о ж е г о в о р и т и и о о д р е ђ е н о с т и п р а в е , и л и н е к е

д р у г е ф и г у р е .

Т а ч к е с у к о л и н е а р н е а к о п р и п а д а ју је д н о ј п р а в о ј, а к о м п л а -

н а р н е а к о п р и п а д а ју је д н о ј р а в н и .

287. а ) Д о к а з а т и д а п р а в .а а и т а ч к а А в а н њ е о д р е ђ у ју је д н у р а в а н .

б ) Д о к а з а т и д а д в е п р а в е к о је с е с е к у о д р е ђ у ју је д н у р а в а н .288. Н е к а с у а и 6 д в е р а з л и ч и т е п р а в е . Д о к а з а т и д а о н е и м а ју н а јв и ш е

је д н у з а је д н и ч к у т а ч к у .

289. Н е к а с у а и 6 п р а в е к о је п р и п а д а ју д в е м а р а з л и ч и т и м п а р а л е л н и м

р а в н и м а а и јЗ . Д о к а з а т и д а је а П 6 = 0

290. Д а т е с у р а в а н а и т а ч к а Р в а н р а в н и . Д о к а з а т и д а п р а в а р , к о ја

с а д р ж и т а ч к у Р , н е м о ж е и м а т и с а р а в н и а в и ш е о д је д н е з а је д н и ч к е

т а ч к е .

291. Д а т а је п р а в а р и в а н њ е т а ч к а А . Д о к а з а т и д а с в е п р а в е к о је с а д р ж е

т а ч к у А и с е к у п р а в у р п р и п а д а ју је д н о ј р а в н и .292. А к о з а т р и р а в н и а ,(3, • н е п о с т о ји з а је д н и ч к а п р а в а , т а д а т е т р и

р а в н и и м а ју н а јв и ш е је д н у з а је д н и ч к у т а ч к у . Д о к а з а т и .

293. Д а т е с у п р а в е а и 6 и т а ч к а в а н њ и х . А к о п о с т о ј с д в е р а з л и ч и т е

п р а в е т и п , к о је с а д р ж е т а ч к у и с е к у о б е п р а в е а и 6, т а д а п р а в е а и

6 п р и п а д а ју је д н о ј р а в н и . Д о к а з а т и .

294. А к о с у а и јЗ д в е п а р а л е л н е р а в н и , т а д а је с в а к а п р а в а а р а в н и а

п а р а л е л н а с а р а в н и јЗ . Д о к а з а т и .

295. Д о к а з а т и с л е д е ћ а т в р ђ е њ а :

а ) з а с в а к е д в е п р а в е а и 6 п о с т о ји п р а в а с к о ја и х о б е с е ч е ;



4.2. П а р а л е л н о с т 43

б ) з а с в а к е с в е р а в н и а и /3 п о с т о ји п р а в а с к о ја и х о б е с е ч е ;

в ) з а с в а к е д в е р а в н и а и /3 п о с т о ји р а в а н -у к о ја и х о б е с е ч е .

296. А к о с у а и 6 м и м о и л а з н е п р а в е и А \ и А 2 д в е р а з н е т а ч к е п р а в е а и

В 1 и В 2 д в е р а з н е т а ч к е п р а в е 6, д о к а з а т и д а с у п р а в е А \В \ и А 2В 2 т а к о ђ е

м и м о и л а з н е .

297. З а с в а к е д в е м и м о и л а з н е п р а в е п о с т о ји р а в а н к о ја с е ч е с в а к у о д

њ и х . Д о к а з а т и .

298. а ) У р а в н и је д а т о 6 т а ч а к а , о д к о ји х н и к о је т р и н и с у к о л и н е а р н е .

К о л и к о п р а в и х о д р е ђ у ју о в е т а ч к е ?

б ) К о л и к о р а в н и о д р е ђ у ј у п е т т а ч а к а о д к о ји х н и к о је ч е т и р и н и с у

к о м п л а н а р н е ?

299. У с к у п у о д с е д а м т а ч а к а п о с т о ји т а ч н о ш е с т т р о јк и к о л и н е а р н и х

т а ч а к а и н е п о с т о је ч е т и р и т а ч к е к о је с у к о л и н е а р н е . К о л и к о р а з л и ч и т и хп р а в и х о д р е ђ у ју т а ч к е о в о г с к у п а ?

300. У с к у п у о д 10 т а ч а к а п о с т о ји т а ч н о 6 ч е т в о р к и к о м п л а н а р н и х т а ч а к а ,

К о л и к о р а в н и о д р е ђ у ј е о в и х д е с е т т а ч а к а ?

301. Д а т о ј е с е д а м р а в н и т а к в и х д а с е с в а к е д в е о д њ и х с е к у , К о л и к о је

н а јв и ш е п р а в и х о д р е ђ е н о њ и х о в и м п р е с е ц и м а ?

302. Д а т ј е с к у п о д п т а ч а к а , м е ђ у к о ји м а н е п о с т о ји н и је д н а т р о јк а

к о л и н е а р н и х т а ч а к а . К о л и к о т а ч а к а с а д р ж и т а ј с к у п а к о је б р о ј п р а в и х

о д р е ђ е н и х т и м т а ч к а м а т р и п у т а в е ћ и о д б р о ја т а ч а к а ?

303. Д а т је с к у п о д п т а ч а к а , м е ђ у к о ји м а н е п о с т о је ч е т и р и к о м п л а н а р н ет а ч к е . К о л и к о т а ч а к а и м а о в а ј с к у п а к о ј е б р о ј с в и х р а в н и о д р е ђ е н и х

о в и м т а ч к а м а 12 п у т а в е ћ и о д н а јв е ћ е г б р о ја п р а в и х к о је м о г у б и т и

о д р е ђ е н е т и м т а ч к а м а ?

4.2. П А Р А Л Е Л Н О С Т

З а п р а в е р и д с е к а ж е д а с у п а р а л е л н е : р Ц д а к о ј е р = <7 и л и

п р а в е р и д п р и п а д а ју је д н о ј р а в н и и н е м а ју з а је д н и ч к и х т а ч а к а .

А к с и о м а п а р а л е л н о с т и . З а .с в а к у п р а в у а и с в а к у т а ч к у А

п о с т о ји т а ч н о је д н а п р а в а к о ја с а д р ж и т а ч к у А и п а р а л е л н а је

п р а в о ј а .

З а п р а в е р и д с е к а ж е д а с у м и м о и л а з н е а к о н е п о с т о ји р а в а н

к о јо ј п р и п а д а ју о б е т е п р а в е .

Т е о р е м а о п а р а л е л н о с т и п р а в е и р а в н и . П р а в а а је п а р а л е л н а

р а в н и а а к о и с а м о а к о у р а в н и а п о с т о ји п р а в а п а р а л е л н а п р а в о ј

а .

Р е л а ц и ја п а р а л е л н о с т и п р а в и х ј е р е л а ц и ј а е к в и в а л е н ц и је



44 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а IV.

304. Д о к а з а т и д а д в е р а з л и ч и т е п а р а л е л н е п р а в е а и 6 о д р е ђ у ју је д н у

р а в а н .

305. Н е к а с у а , 6 и с т р и п р а в е р а в н и 7 . А к о је а ||6 и п р а в а с с е ч е п р а в у

а , д о к а з а т и д а п р а в а с с е ч е и п р а в у 1>.306. Н е к а с у а и 6 п р а в е к о је с е с е к у и п р а в а с п р и п а д а р а в н и о д р е ђ е н о ј

п р а в о м а и п р а в о м 6. Д о к а з а т и д а п р а в а с с е ч е б а р је д н у о д п р а в и х а и 6

307. Д а л и с у и с т и н и т и с л е д е ћ и и с к а з и :

а ) П о с т о ји п р а в а с п а р а л е л н а с а д в е м и м о и л а з н е п р а в е а и 6?

б ) С в а к е д в е п р а в е к о ј е с у п а р а л е л н е ј е д н о ј р а в н и п а р а л е л н е с у и

м е ђ у с о б о м ? _

в ) С в а к е д в е р а в н и к о ј е с у п а р а л е л н е ј е д н о ј п р а в о ј п а р а л е л н е с у и

м е ђ у с о б о м ?

308. а ) К о л и к о н а јв и ш е р а в н и о д р е ђ у ј у м и м о и л а з н е п р а в е р и д и т а ч к е

А , В и С ?

б ) К о л и к о н а јв и ш е р а в н и о д р е ђ у ју п а р а л е л н е п р а в е р и д и т а ч к е А , В

и С ?

309. Н е к а с у а , 6, с , Ј ч е т и р и п а р а л е л н е п р а в е , м е ђ у к о ји м а н и к о је т р и н е

п р и п а д а ју је д н о ј р а в н и . К о л и к о р а в н и о д р е ђ у ј у о в е п р а в е ?

310. Н а м и м о и л а з н и м п р а в и м р и д д а т е с у т а ч к е А , В , С € р и Б , Е € <7-

К о л и к о р а в н и о д р е ђ у ју т а ч к е А , В , С , И , Е , Р а к о т а ч к а Р н е п р и п а д а н и

је д н о ј о д п р а в и х о д р е ђ е н и х т а ч к а м а А , В , С , Б , Е ?

311. А к о с у а и 6 м и м о и л а з н е п р а в е д о к а з а т и д а п о с т о ји р а в а н а к о ја

с а д р ж и п р а в у а и п а р а л е л н а је п р а в о ј 6.

312. Д а т е с у р а в н и а и јЗ к о је с е с е к у п о п р а в о ј р и п р а в е а и 6 т а к в е д а

а С а и 6 С јЗ . А к о је а П р = { А } , к П р = { В } и А ф В , Д о к а з а т и д а с у

п р а в е а и 6 м и м о и л а з н е .

313. А к о п р а в а а с е ч е р а в а н 1Г и а к о је 6 п р а в а п а р а л е л н а п р а в о ј а ,

д о к а з а т и д а и п р а в а 6 с е ч е р а в а н т т .

314. З а с в а к е д в е р а в н и а и /3 п о с т о ји у р а в н и а п р а в а с п а р а л е л н а р а в н и

(3. Д о к а з а т и .

315. Н е к а с у а и / Ј д в е п а р а л е л н е р а в н и и в е к а и х р а ^а н 7 с е ч е р е д о м п о

п р а в и м а и 6. Д о к а з а т и д а је а ||6

316. Д а т а је р а в а н а и њ о ј п а р а л е л н а п р а в а а . Д о к а з а т и д а п о с т о ји т а ч н о

је д н а р а в а н п к о ја с а д р ж и п р а в у а и п а р а л е л н а је р а в н и а .

317. Н е к а с у а и јЗ д в е р а з л и ч и т е р г о н и и у р а в н и (3 п о с т о је п р а в е и 5

к о је с е с е к у и п а р а л е л н е с у р а в н и а . Т а д а је и /?||а . Д о к а з а т и .

318. Н е к а с у а ,(3 и 7 т р и р а з л и ч и т е р а в н и . Д о к а з а т и д а с е а ,/3 и 7 л и

е е к у у је д н о ј т а ч к и , и л и с у п а р а л е л н е је д н о ј п р а в о ј.





46 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а IV.

334, У р а в н и с у д а т и (у о г а п т е м с л у ч а ју к о н к а в н и ) ч е т в о р о у г а о

п е т о у г а о и п р и ч е м у н и је д н о т е м е је д н о г н е п р и п а д а с т р а н и ц и д р у г о 1

м н о г о у г л а . К о ји ј е н а ј в е ћ и м о г у ћ и б р о ј п р е с е ч н и х т а ч а к а њ и х о в и

с т р а н и ц а г

335. У к о л и к о т а ч а к а н а јг а и ш е с а м а с е б е с е ч е з а т в о р е н а и з л о м љ е н а л и н и ја

о д : а ) 5 д е л о з а . б ) 7 д е л о в а ?.



Г л а в а V

Г Е О М Е Т Р И Ј А

.1. П О Д У Д А Р Н О С Т Д У Ж И , У Г Л О В А И Т Р О У Г Л О В А

1. Л в е д у ж и А в и С О с у је д н а к е ( и л и п о д у д а р н е ) а к о је

{А , В } = {С , ј0 } и т о о з н а ч а в а м о с а А В = С О .

2. Д в а у г л а , О р д и 0 \р ^1 , је д н а к и с у а к о и с м о а к о н а

к р а ц и м а 0р , 0д , 0х р \, 01 ^1 , п о с т о је р е д о м т а ч к е Р , (ј ,Р \, (ј\, т а к в е

д а ј е О Р = С х Р х О С Ј = 0\(Ј \ и Р <2 = Ј *1<91.

3. Н а п с р е д н ,; у г л о в и је д н а к и х у г л о в а с у је д н а к и м е ђ у с о б о м

4. У н а к р с н и у г л о в и с у је д н а к и м е ђ у с о б о м .

5. У г л о в и с а п а р а л е л н и м к р а ц и м а с у п о д у д а р н и и л и с у п л е -

м е п т н и .

6 У г л о в и с а н о р м а л н и м к р а ц и м а с у п о д у д а р н и и л и с у п л е -

м е н г н и .

7. Т р а н с в е р з а л н и у г л о в и с у у г л о в и к о ји с е д о б и ја ј у к а д а

је д н а п р а в а I (т р а н с в е р з а л а ) с е ч е д а т е п р а в е а и к .

8. С т а в о в и о п о д у д а р н о с т и т р о у г л о в а .

У о б и ч а ј е н о је д а с е с т р а н и ц е т р о у г л о в а о з н а ч а в а ју м а л и м

с л о в о м , к о је (А д г о в а р а т е м е н у н а с п р а м н о г у г л а . - н а с п р а м т е м е н а

А и у г л а а , је с т р а н и ц а а = В С .

С в а к и о д с л е д е ћ и х у с л о в а је п о т р е б а н и д о в о љ а н д а в а ж и

А А В С ^ А А Г В г С ! -.

10 чС = С \

а = е*1

6 = 61

2° а в а 1'|

I с т а з (С У С ) с = С 1

Р = @1

II с т а в (У С У )



48 Т е к с т о в к З а д а т а к а - Г л а в а V.

о “3° а = 01

6 = &!

С = С 1

III с т а в (С С С )

4 с = С ј

6 = &1

7 = 7!с > 6

IV с т а в ( С С У )

336. Л е1а п р а в о ј с у д а т е т а ч к е Д В , С , О т а к о д а је Л —5 —С — О .

а ) К о л и к о је д у ж и о д р е ђ е н о о в и м т а ч к а м а ?

б ) К о је о д о в и х д у ж и с у з б и р о в и н е к и х д р у г и х д у ж и ? К о је о д њ и х с ур а з л и к е д в е д р у г е д у ж и ?

в ) З а п и с а т и (н а д в а н а ч и н а ) д у ж В С у о б л и к у р а з л и к е , к о д к о је је

, 'у м ^њ е н и к д у ж А О .

337^ Ј е д н а д у ж је т р и п у т а д у ж а о д д р у г е , а њ и х о в а р а з л и к а ј е д у ж и н е

Ј с т . Н а ћ и д у ж и н е т и х д у ж и .

'38\ З б и р д в е д у ж и је д у ж и к е а , а р а з л и к а 6. П р е к о а и 6 и з р а з и т и

*н е т и х д у ж и .

\339.\Н а ћ и о д с т о ја њ е с р е д и ш т а д у ж и А В и В С , г д е с у А , В , С к о л и н е а р н е

<е , т а к в е д а ј е А —В —С , а к о је А С = 18с т .

^340Ј Л в е п о д у д а р н е д у ж и А В и С О п о к р и в а ју с е м е ђ у с о б о м је д н о м

т р е ћ и н с м с в о је д у ж и н е Н а ћ и д у ж и н у о в и х д у ж и , а к о ј е о д с т о ја њ е

њ и х о в и х с р е д и ш т а 20с т .

341. К о н с т р у и с а т и н е к е у г л о в е /3 и а , а з а т и м к о н с т р у и с а т и у г л о в е

2а , З а , 4а , 5а , а —/3,3/3 —2а .

342. Л а л и ј е м о г у ћ е д а р а з л и к а д в а у г л а б у д е је д н а к а п р а в о м у г л у , а к о

С У

а ) о б а у г л а о ш т р а ; б ) је д а н у г а о -о ш т а р , д р у г и - т у п ;

в ) у г л о в и с у п л е м е н т н и ; г ) о б а у г л а т у п а ?

А к о ј е о в о м о г у ћ е , к о л и к о т а к в и х п а р о в а у г л о в а и м а ?

1?343. А к о с у а и /3 д в а к о м п л е м е н т п а у г л а , 7 је с у п л е м е н т а н с а а , а б је

с у п л е м е н т а н с а /3, н а ћ и з б и р 7 + б .

Ј ј 344; Н е к а је 7 о ш т а р у г а о и а —7 = 90° и /3 + 7 = 90°, К а к а в ј е у г а о а и

к а к а в ј е у г а о /3 и к о ји ј е о д у г л о в а а и /3 в е ћ и ?

345. Р а з л и к а д в а н а п о р е д н а у г л а ј е п р а в у г а о . И з р а ч у н а т и о в е у г л о в е .

~ 346. А к о ј е је д а н о д ч е т и р и у г л а к о ј е о б р а з у ј у д в е п р а в е , к о је с е с е к у ,

је д н а к п о л о в и н и п р а в о г у г л а , к о л и к о с у о с т а л и у г л о в и ?

^ 3 4 7 . Ј е д а н о д о с а м у г л о в а , к о ји је н а с т а о , к а д а с у д в е п а р а л е л н е п р а в е3

п р е с е ч е н е т р е ћ о м је д н а к ј е - Н (Л -п р а в у г а о ). Н а ћ и о с т а л и х с е д а м

у г л о в а



—348. У к о м у г л у је с и м е т р а л а :

а ) о р т о г о н а л н а н а к р а к е у г л а ? б ) П о к л а п а с е с а к р а ц и м а ?

7^349. Н а ћ и у г а о и з м е ђ у с и м е т р а л а д в а н а п о р е д н а у г л а .

_ 350. Н а ћ и с в а к и о д д в а с у п л е м е н т н а у г л а , а к о је је д а н о д њ и х

а ) је д а н и п о п у т а в е ћ и о д д р у г о г ;

б ) је д н а к 30% д р у г о г ;2

в ) з а - Н м а њ и о д д р у г о г , г д е је К - п р а в у г а о .0

_ . . 2— 351. Д в а с у с е д н а у г л а с у т а к в а д а је је д а н о д њ и х з а - К в е ћ и о д п р а в о г

5

у г л а , а д р у г и з а - Н м а њ и о д п р а в о г у г л а (Л -п р а в у г а о ). Н а ћ и з б и р о в и х

у г л о в а .

352. Д а л и с у п а р а л е л н е д в е п р а в е п р е с е ч е н е т р е ћ о м , а к о је

а ) в е ћ и о д у г л о з а к о д је д н е п р а в е је д н а к 135°, а в е ћ и о д у г л о в а к о д3

д р у г е п р а в е - Н (В -т &в у г а о )?

б ) М а њ и о д у г л о в а к о д је д н е п р а в е је д н а к 30%Л , а м а њ и о д у г л о в а

к о д д р у г е п р а в е з а — Д м а њ и о д п р а в о г у г л а ?

в ) м а њ и о д у г л о в а к о д је д н е п р а в е је д н а к 50°, а в е ћ и о д у г л о в а к о д

д р у г е п р а в е з а 160% в е ћ и о д љ е г а ?

353. П р и м е н о м п о д у д а р н о с т т р о у г л о в а д о к а з а т и д а је

а ) с в а к а т а ч к а н а с и м е т р а л и д у ж и је д н а к о у д а љ е н а о д к р а је в а т ед у ж и ;

« б ) с в а к а т а ч к а н а с и м е т р а л и у г л а је д н а к о у д а љ е н а о д о б а к р а к а .

354. А к о с у у г л о в и с а п а р а л е л н и м к р а ц и м а о б а о ш т р а и л и о б а т у п а ,

д о к а з а т и д а с у њ и х о в е с и м е т р а л е п а р а л е л н е .

355. Т р о у г а о је је д н а к о к р а к и , а к о с у д в е њ е г о в е с т р а н и ц е (к р а ц и ) и с т е

д у ж и н е . Д о к а з а т и д а з а је д н а к о к р а к и т р о у г а о в а ж е с л е д е ћ а т в р ђ е њ а :

а ) с и м е т р а л а у г л а п р и в р х у је д н а к о к р а к о г т р о у г л а је њ е г о в а в и с и н а

и т е ж и ш н а д у ж .

б ) У г л о в и н а о с н о в и ц и т р о у г л а с у је д н а к и .в ) Д у ж и н е с и м е т р а л а у г л о в а н а о с н о в и ц и с у је д н а к е . .

г ) Т е ж и ш н е д у ж и , к о је о д г о в а р а ју к р а ц и м а с у је д н а к е д у ж и н е ,

д ) Д у ж и н е в и с и н а , к о је о д г о в а р а ј у к р а ц и м а , с у је д н а в е .

356. Д о к а з а т и д а Ј е к о д је д н а к о с т р а н и ч н о г т р о у г л а :

а ) с и м е т р а л е у г л о в а с е п о к л а п а ју с а о д г о в а р а ју ћ и м в и с и к м л а и

т е ж и ш н и м д у ж и м а ;

б ) с в и у г л о в и с у је д н а к и ;

в ) с и м е т р а л е с в и х у г л о в а с у је д н а к и х д у ж и н а ;

г ) с в е т е ж и ш н ђ д у ж и с у п о д у д а р н е ;д ) с в е в и с и н е с у п о д у д а р н е .

5.1. П о д у д а р н о с т д у ж и , у г л о в а и т р о у г л о в а 49



50 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а V.

357. Д о к а з а т и д а п р а в а , к о ј а је о р т о г о н а л н а н а с и м е т р а л и к о н в е к с н о г

н е о п р у ж е н о г у г л а А О В о д с е ц а н а к р а ц и м а т о г у г л а је д н а к о к р а к и т р о у г а о .

358. Д о к а з а т и д а је т р о у г а о је д н а к о к р а к и а к о с у у њ е м у

а ) д в а у г л а је д н а к а ;

б ) с и м е т р а л а у г л а п о к л а п а с а в и с и н о м и л и т е ж и ш н о м д у ж и и з и с т о г

т е м е н а ;

в ) д в е в и с и н е п о д у д а р н е .

359. Д а т је је д н а к о к р а к и А А В С и н а п р о д у ж е ц и м а о н о в и ц е А В о д р е ђ е н е

с у т а ч к е и N т а к о д а је —А — В — N и А = В И . Д о к а з а т и д а је и

А И С је д н а к о к р а к и .

360. Н е к а је А В С ј е д н а к о к р а к и т р о у г а о (А С = В С ) и Е и Р т а ч к е п р а в и х

В С , о д н о с н о А С т а к в е д а ј е Б —Е —С и С —А —Р и В Е = А Р . Д о к а з а т и

д а д у ж А В п о л о в и д у ж Е Р .

361. У ј е д н а к о к р а к о м т р о у г л у А В С о с н о в и ц а А В ј е је д н а к а п о л о в и н ик р а к а . Н е к а је с р е д и ш т е к р а к а В С а N п р е с е к п р а в е к р о з п а р а л е л н е

с а А В и к р а к а А С . Д о к а з а т и д а је п р а в а А с и м е т р а л а у г л а В И .

362. Н е к а с у А А \,В В \,С С \ т е ж и ш н е д у ж и и А А 2, В В 2, С С ч в и с и н е

т р о у г л а А В С , а А !А !х , В 'В \, С 'С [ т е ж и ш н е д у ж и и А 'А '2, В 'В '2, С ' С 2 в и с и н е

т р о у г л а А ' В ' С ' . Д о к а з а т и д а с у т р о у г л о в и А В С и А ' В ' С ' п о д у д а р н и а к о

је :

363. Д а л и с у д в а т р о у г л а п о д у д а р н а , а к о с у и м п о д у д а р н и с л е д е ћ и

о д г о в а р а ју ћ и е л е м е н т и :

а ) в и с и н а и о д с е ч ц и , к о је о н а о б р а з у је н а о д г о в а р а ју ћ о ј с т р а н и ц и ;

б ) в и с и н а и у г л о в и н а с п р а м њ е ;

в ) д в е с т р а н и ц е и в и с и н а , к о ја о д г о в а р а т р е ћ о ј;

г ) д в е с т р а н и ц е и в и с и н а , к о ја о д г о в а р а је д н с ј о д њ и х ;

д ) т е ж и ш н а д у ж и у г л о в и н а к о је о н а д е л и у г а о , и з ч и је г т е м е н а

п о л а з и ?

364. А к о с у т р о у г л о в и А В С и А 'В 'С ' п о д у д а р н и и Б , о д н о с н о О ' ,

у н у т р а ш њ е т а ч к е с т р а н и ц а А В , т ј . А !В ' , т а к о д а је <В С Б = <В ' С '0' ,

д о к а з а т и д а ј е А Б = А ' П ' .

365. Д о к а з а т и д а је м е д и ја н а (т е ж и ш н а д у ж ), к о н с т р у и с а н а и з је д н о г

т е м е н а т р о у г л а је д н а к о у д а љ е н а о д о с т а л а д в а т е м е н а .

• 366. У р о м б у А В С Б с а у г л о м 60° к о д т е м е н а А , н а с т р а н и ц а м а А В и В С

д а т е с у т а ч к е и N т а к в е д а је з б и р В + В И је д н а к с т р а н и ц и р о м б а .

и д а је т р о у г а о И Б ј е д н а к о с т р а н и ч н и .

х у г л о в а у т е м е н и м а В и С . О в е н о р м а л е с е к у п р а в у В С у

т а ч к а м а и N. Д о к а з а т и д а је И = А В + В С + С А .

а ) А В = А ' В ' , А С = А 'С ', В В \ = В 'В [-

б ) А В = А 'В ', <А = <А ', С С 2 = С 'С Ј ;

в ) В С = В 'С ', В В 2 = В 'В '2, С С 2 = С ' С 2;

г ) А В = А ' В ' , А С = А 'С ', А А \ = А 'А [.

т е м е н а А т р о у г л а А В С к о н с т р у и с а н е с у н о р м а л е н а с и м е т р а л е



5.2 Н О Р М А Л Н О С Т П Р А В И Х И Р А В Н И

5.2 Н о р м а л н о с т п р а в и х и р а в н и 51

К а ж е с е д а ј е п р а в а а н о р м с л н а (у п р а в н а ) н а р с в а н а ( а 1 а )

а к о п р а в а а и а и м а ј у з а ј е д н и ч к у т а ч к у А и п р а Е а а ј е н о р м а л н а

н а с в и м п р а в и м р а в н и а к о ј е с а д р ж е т а ч к у А .

К о ш и ј е в с т а в . А к о п р а в а а п р о д и р е р а в а н а у т а ч к и А и

а к о је п р и т о м е о н а у п р а в н а н а д в е м а р а з н и м п р а в и м 6 и с, коЈе

п р и п а д а ј у р а в н и а и с а д р ж е т а ч к у А , т а д а је а Ј . а .

Т е о р е м а о т р и н о р м а л е . Н е к а п р а в а а п р и п а д а р а в н и а . А к о

је п р а в а п н о р м а л н а н а р а в а н а у т а ч к и N, N ^ а , и а к о је т а ч к а

А п о д н о ж је н о р м а л е и з т а ч к е N н а п р а в у а , т а д а је с в а к а п р а в а ,

к о Ј а с а д р ж и т а ч к у А и с е ч е п р а в у п н о р м а л н а н а п р а в о ј а .Н е к а с у а и /? д в е р а в н и к о је с е с е к у . К а ж е с е д а с у т е р а в н и

м е ђ у с о б о м н о р м а л н е (у п р а в н е ) и п и ш е а Ј . /3 а к о је с в а к а п р а в а

је д н е р а в н и , к о ја јс н о р м а л ч а н а п р е с е ч н о ј п р а в о Ј , и с т о в р е м е н о

н о р м а л н а и н а д р у г о ј р а в н и .

Т е о р е м а о н о р м а л н и м р а в н и м а . А к о је п р а в а а н о р м а л н а н а

р а в н и /?, о н д а је и с в а к а р а в а н а , к о ја с а д р ж и п р а в у а , н о р м а л н а

н а р а в н и /?.

У г а о и з м е ђ у м и м о и л а з н и х п р а в и х . А к о с у а и 6 м и м о и л а з н е

п р а в е , &!116 и 61 с е ч е п р а в у а , т а д а у г а о и з м е ђ у п р а в и х а и (ц

н а з и в а м о у г л о м м и м о и л а ж е њ а п р а в и х а и 6. А к о је &1 Ј . а , к а ж з

с е д а с у м и м о и л а з н е п р а в е а и 6 н о р м а л п е .

368. а ) Н е к а је п р а ^а р н о р м а л н а н а л р а в с ј а р а в н и а . Д а л и је о б а в е з н о

и р 1 а ? \б ) А к о с у д в е п р а в е у п р о с т о р у н о р м а л н е н а т р е ћ о ј п р а в о ј, д а л ч с у

о н е о б а в е з н о м е ђ у с о б о м п а р а л е л н е ?в ) ш т а п р е д с т а в љ а с к у п т а ч а к а с в и х п р а в и х к о је с у н о р м а л н е н а је д н о ј

д а т о ј п р а в о ј у њ е н о ј д а т о ј т а ч к и ?369. У р а в н и 7 д а т је с к у п т а ч а к а , ч и ја с у о д с т о ја њ а о д д а т е т а ч к е Р

м е ђ у с о б о м је д н а к а . Д о к а з а т и д а т а ч к е т о г с к у п а п р и п а д а ј у к р у г у .

370. Т р и р а з н е п о л у п р а в е а , 6, с , р а в н и тт и м а ју з а је д н и ч к и п о ч е т а к О .

А к о п о л у п р а в а О р з а х в а т а с а с в а к о м о д п о л у п р а в и х а ,6,с је д к а к е у г л о в е ,

д о к а з а т и д а ј е О р Ј_ 7.

371. А к о с у п р а в е и п 2 п а р а л е л н е и г н н о р м а л н а н а р а в а н а , д о к а з а т и

д а ј е и П 2 Ј - а .

372. А к о је п р а в а а п а р а л е л н а р а в н и а , а п р а в а 6 у п р а в н а н а а , д о к а з а т и

д а с у п р а в е а и 6 м е ђ у с о б о м у п р а в н е .373. Н е к а с у п р а в а а и р а в а н а у п р а в н и н а п р а в о ј п . Д о к а з а т и д а је а ||а .



52 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а V .

374. Л о к а з а т и д а ј е н о р м а л н а д у ж , к о н с т р у и с а н а и з н е к е т а ч к е А н а н е к у

р а в а н а к р а ћ а о д с в а к е д р у г е д у ж и к о н с т р у и с а н е и з и с т е т а ч к е д о р а в н и

а .

375. У р а в н иа

д а т е с у д у ж иА В

иС О

т а к о д а је т а ч к аО

с р е д и ш т е о б ет е д у ж и . В а н р а в н и а д а т а ј е т а ч к а 5 т а к в а д а је А 5 = В 5 и С 5 = 0 5 .

Д о к а з а т и д а је п р а в а 5 0 у п р а в н а н а р а в н и с*.

376. Д а т а је п р а в а а и т а ч к а А ф а . Н а ћ и с к у п т а ч а к а п о д н о ж ја н о р м а л е

и з А н а р а в н и к о је п р о л а з е к р о з а .

377. С а и с т е с т р а н е р а в н и а д а т е с у т а ч к е А и В . О д р е д и т и у р а в н и а

т а ч к у С с а с в о ј с т в о м д а је А С + С В м и н и м а л н о .

378. Д а т е м и м о и л а з н е п р а в е р и ; с а з а је д н и ч к о м н о р м а л о м Р <3 ( Р 6 р ,

<3 6 д ) п р е с е ч е н е с у п р а в о м с т а к о д а ј е А Р = (р Л с = {Л },д П с = {5 }) .

Д о к а з а т и д а ј е <Р А В = <О В А .

379. Н е к а ј е р а в а н /3 н о р м а л н а н а р а в н и а и А 6 (3. А к о ј е к р о з т а ч к у

А к о н с т р у и с а н а п р а в а А В ± с* (В Е а ), т а д а о в а п р а в а п р и п а д а р а в н и јЗ .

Д о к а з а т и .

380. Н е к а је п д а т а п р а в а и р а в н и а и (3 т а к в е д а је јЗ \\п и а ± п . Д о к а з а т и

д а ј е а ± /3.

381. А к о ј е п р а в а п у п р а в н а н а р а в н и а , д о к а з а т и д а је п р а в а п у п р а в н а

н а с в е п р а в е р а в н и с*.

382. Н е к а с у а и 6 д в е п р а в е р с ,в н и а , к о је с е с е к у и р п р а в а т а к в а д а је

р 1 а и р 1 6. Д о к а з а т и д а је р ± а .

383. Н е к а с у А , В , С и И ч е т и р и н е к о м п л а н а р н е т а ч к е т а к в е д а је А В ±

С Б , А О ± В С и А С ± В Б . А к о ј е у г а о В А С п р а в , д о к а з а т и д а с у и

у г л о в и С А Б и В А Б п р а в ^.

384. У р а в н и а д а т је п р а в о у г а о н и к А В С О . Н е к а ј е 5 т а ч к а в а н т е р а в н и

т а к в а д а с у р а в н и /3 и ■у о д р е ђ е н е т а ч к а м а А , В и 5, о д н о с н о А , Б и 5

у п р а в н е н а а . Д о к а з а т и д а с у с в и с л е д е ћ и и т р о у г л о в и п р а в о у г л и : 5А В ,

5А Б , 5 В С , 5 0 С .

5.3. В Е К Г О Р И

В е к т о р ~с? је с к у п с в и х о р и је н т и е а н и х д у ж и и с т е д у ж и н е ,

и с т о г п р а в ц а и и с т о г с м е р а .

И н т е н з и т е т п ј | в е к т о р а "а^ је д у ж и н а о р и је н т и с а н е д у ж и А $

к о ја п р е д с т а в љ а в е к т о р "а .

Н у л а в е к т о р 1? = а А .

В е к т о р с у п р о т а н в е к т о р у "а^ = р } је — .





386. Д а т и с у у р а в н и -е к т о р и а *, 1?, ! ? . К о н с т р у и с а т и в е к т о р е : =:

~ # - ~ ? + -&-, «? = 2^ + 3 ^ - 4 ^ ^ = - ^ - 2“?

387. Л а т е с у у р а в н и п о л у п р а в е О х , О у , О г . П о л у п р а в а О ?/ ј е н о с а ч

в е к т о р а А $ . Р а з л о ж и т и в е к т о р н а к о м п о н е н т е п а р а л е л н е п о л у п а в а м аО х и О г .

388. Д а т ј е п а р а л е л о г р а м А В С Б . Т а ч к а О је п р е с е к њ е г о в и х д и ја г о н а *л а ,

а т а ч к а 8 ј е п р о и з в о љ н а у р а в н и п а р а л е л о г р а м а , И з р а з и т и в е к т о р з З

в е к т о р и м а &А = ~! , С ^) = , А 13 = ~с!,

389. Д а т ј е п р а в и л н и ш е с т о у г а о А В С Б Е Р . Н е к а је А $ = и = ~с?.

И з р а з и т и п о м о ћ у ~ј? и в е к т о р е в б , С ^ > , Ш , Е Р . *

390. Д а т ј е п р а в и л н и ш е с т о у г а о А В С Б Е Р . В е к т о р е к о ји с е п о к л а п а ју с а

с т р а н и ц а м а ш е с т о у г л а и з р а з и т и п о м о ћ у в е к т о р а А . ? = ~с? и Ш = 1 .

-391 . Н е к а ј е С с р е д и ш т е д у ж и А В и О п р о и з в о љ н а т а ч к а . Д о к а з а ,т и д а

ј е 0 ^ = Џ Ш + Ш ) .

392. Н е к а с у О , А , В , С ч е т и р и п р о и з в о љ н е т а ч к е р а в н и т а к в е д а је б ^ =

2 ^+ Ш ) . Д о к а з а т и д а ј е С с р е д и ш т е д у ж и А В .

393. С р е д њ а л и н и ја т р о у г л а п а р а л е л н а је с а т р е ћ о м с т р а н и ц о м и је д н а к а

њ е н о ј п о л о в и н и . Д о к а з а т и .

394. Т а ч к е С иО

д е л е д у жА В

н а т р и је д н а к а о д с е ч к а . Т а ч к аО

јеп р о и з о љ н а и з в а н п р а в е А В . А к о је о А = ~!' и О ^ = !> , и з р а з и т и в е к т о р е

0 (3 и О б п о м о ћ у ~а ! т л ~&.

395. Д а т е с у т р и т а ч к е А , В , С н а п р а в о ј I и т а ч к а М и з з а н т е п р а в е . А к о

Ј е А $ = 3.4'>, и з р а з и т и в е к т о р М (3 в е к т о р и м а м Х и $ .

396. Д а т ј е п р а в и л н и ш е с т о у г а о А 1А 2А 3А 4А 5А 6 . Д о к а з а т и и д е н т и ч н о с т :

А \А 2 + А 1А 3 + Л 1Л 4 + А 1А 5 + А \А в = З А 1А 4 .

397. А к о с у А , В , С т е м е н а т р о у г л а д о к а з а т и д а је А $ + в б + с Х = 1? .

398. Н е к а с у и N р е д о м с р е д и ш т а д у ж и А В и А С , Р с р е д и ш т е д у ж и

И и О п р о и з в о љ н а т а ч к а . Д о к а з а т и д а је 20/1 + + О С = 40 А

399. У ч е т в о р о у г л у М 1М 2М 3М 4 т а ч к е Р и ф с у с р е д и ш т а д и ја г о н а л а

1 3 и М 2М 4. И з р а з и т и Р $ п р е к о \ \ и М 2М 3.

400. Н е к а с у \, 2, ■ ■ ■ , ? р е д о м с р е д и ш т а с т р а н и ц а А В , В С , . .. , С А

с е д м о у г л а А В С Б Е Р С . Д о к а з а т и д а ј е В & = 2(М 2М 3 + М 4 М 5 + 5 \).

401. Н е к а с у А \, В \ и С \ р е д о м с р е д и ш т а с т р а н и ц а В С , С А и А В т р о у г л а

А В С .

а ) И з р а ч у н а т и А А \ + В В \ + С С \.

б ) А к о ј е Т т е ж и ш т е т р о у г л а А В С , и з р а ч у н а т и А ^ + + С ? .

54 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а V-

<



в ) Н е к а ј е О п р о и з в о љ н а т а ч к а и Т т е ж и ш т е т р о у г л а А В С . Д о к а з а т и

д а је о Ф = \ { о Х + о $ + 0(5), о

492. Н е к а с у и N с р е д и ш т а с т р а н и ц а А В и Б С ч е т в о р о у г л а А В ~ ~ .

Д о к а з а т и д а је ^ = -(А ј[3 + 5(3).

4413. Н е к а с у р е д о м с р е д и ш т а с т р а н и ц а В С , С А и Л 5 т р о у г л а

А В С . Д о к а з а т и д а с е о д д у ж и А А ].,551 и С С \ м о ж е к о н с т р у и с а т и

т р о у г а о .

__\ -г)-404. Н е к а с у "а л и 6 п р о и з в о љ н и в е к т о р и К а д а с у в е к т о р и а + 6 и

— 6 к о л и н е а р н и ?

405. Н е к а с у ^ и л и н е а р н о н е з а в и с н и в е к т о р и . О д р е л и т и р е а л а н б р о ј

а т п к о д а в е к т о р и и б у д у к о л и н е а р н и , а к о је :

а ) 1? = 2~г + ~ , = а~г - ~Ј ;

5) = ~г + а ~? , = — 2 г + 3 ј ;

в ) = а ■>'' + 5 ? , = 3 г' - ј .

406. Н е к а с у г и ј л и н е а р к о н е з а в и с н и в е к т о р и . И з р а з и т и а п р е к о 6

и ~с , а к о је :а ) ~а? = —3 ? , 6 = г’ + ј , "с^ = * — ј ;

6) ~ ? = "7* + 4"ј*, 6 = 2 г + ј , "с = г — 3 ј ;. —> —> V --► V _—

&) 7? = 7 ј , 6 = 3 г + 2 ј , ^ = 2г - ] .

407. О д р е д и т и в р е д н о с т р е а л н и х п а р а м е т а р а а и 6 т а к о д а в е к т о р и и

б у д у к о л и н е а р н и ( ”? , ј , к с у л и н е а р н о н е з а в и с н и в е к т о р и ):

а ) ^ = а ~^ + 3"ј* + 4 Аг "ј^ = 2 г' + 6 ј + 6 А г;

б) "Г = 3 ? + ~ ј * + ~ к , 1 ? = 1 ) г + 5 ј — Аг.

408. А к о с у в е к т о р и г , ј и & л и н е а р н о н е з а в и с н и , о к а з а т и д а с у

в е к т о р и и "5>’ к о м п л а н а р н и :

а ) = З "^ —4"^ V = 2 ј —'6 к , ~^ = 4к — 2 г ;

5) = 2~^ + 3"/ + 4 / , = - ~ г + 7 ? - 2 1 ? , ^ = 57* + 16 / + 10**-

409. Д а т а с у т р и в е к т о р а "а^ , 6 и о д к о и х н и је д а н н и је I /л а -в е к т о р

и с в а к а д в а с у н е к о л и н е а р н а . А к о Ј е + 6 к о л и н е а р а н с а с и 6 + с

к о л и н е а р а н с а ‘ о*’, н а ћ и з б и р + 6 +

5.3, В е к т о р и




5.4. Т Р О У Г А О

1. У г л о в и т р о у г л а .

1° З б и р у н у т р а ш њ и х у г л о в а т р о у г л а је д н а к је о п р у ж е н о му г л у ;

2° З б и р с п о л а л п ш х у г л о в а т р о у г л а је д н а к је п у н о м у г л у ;

3° С п о љ а ш њ и у г а о т р о у г л а је д н а к је з б и р у д в а н е с у с е д н а

у н у т р а ш њ а у г л а .

2. О д н о с с т р а н и ц а и у г л о в а у т р о у г л у .

1° М а к о ја с т р а н и ц а т р о у г л а м а њ а ј е о д з б и р а а в е ћ а о д

р а з л и к е о с т а л е д в е с т р а н и ц е ;

2° Н а с п р а м је д н а к и х с т р а н и ц а н а л а з е с е је д н а к и у г л о в и и

о б р н у т о ;3° Н а с п р а м в е ћ е с т р а н и ц е н а л а з и с е в е ћ и у г а о и о б р н у т о ;

4° Н а с п р а м м а њ е с т р а н и ц е т р о у г л а л е ж и о ш т а р у г а о т р о у г л а ;

5° Н а јд у ж а с т р а н и ц а т у п о у г л о г т р о у г л а је н а с п р а м т у п о г

у г л а .

3. З н а н а ј н е т а н к е т р о у г л а .

1° Ц е н т а р у п и с а н о г к р у г а у т р о у г л у је п р е с е ч н а т а ч к а с и м е -

т р а л а у н у т р а ш њ и х у г л о в а (б и с е к т р и с а ) т р о у г л а ;

2° Ц е н т а р о п и с а н о г к р у г а у т р о у г л у је п р е с е ч н а т а ч к а с и м е -

т р а л а с т р а н и ц а т р о у г л а ;

3° О р т о ц е н т а р т р о у г л а је п р е с е ч н а т а ч к а в и с и н а т р о у г л а ;4° Т е ж и ш т е т р о у г л а је п р е с е ч н а т а ч к а т г ж и ш н и х д у ж и (м е д и

ја н а ) у т р о у г л у (т е ж и ш н е д у ж и т р о у г л а с е к у с е у о д н о с у 2:1)

•\

410. И з р а ч у н а т и у г л о в е , к о је о б р а з у ју п о д в е с и м е т р а л е у г л о в а а , (3 и 7

у т р о у г л у А В С .

411. Б и с е к т р и с е д в а ју у н у т р а ш њ и х у г л о в а т р о у г л а с е к у с е п о д у г л с м

к о ји је је д н а к т р е ћ е м у н у т р а ш њ е м у г л у т о г т р о у г л а . О д р е д и т и т а ј т р е ћ и

у г а о .

У т р о у г л у А В С и з р а ч у н а гх и о ш т а р у г а о :

а ) и з м е ђ у с и м е т р а л а у г л о в а А и В , а к о је <А = 84° и < С = 43°;

и з м е ђ у с и м е т р а л а у г л о в а А и В , а к о ј е < С = 40°.

в ) и з м е ђ у с и м е т р а л е у г л а А , <А = 64° и в и с и н е и з т е м е н а В ;

г ) и з м е ђ у м е д и ја н е је д н а к о к р а к о г т р о у г л а , к о н с т р у и с а н е н а о с н о в и ц у

• с и м е т р а л е у г л а н а о с н о в и ц и , а к о ј е у г а о п р и в р х у 70°.

41-Ј ^ В и с и н а , к о Ј а с д г о в а р а к р а к у , о б р а з у ј е с а о с н о в и ц о м је д н а к о к р а к о г

т р о у г л а у г а о б . И з р а з и т и п р е к о б с в е с п о љ а ш њ е и с в е у н у т р а ш њ е у г л о в е

т р о у г л а .



5.4.*Т р о у г а о 5 7

414. Д о к а з а т и д а ј е к а т е т а п р а в о у г л о г т р о у г л а , п а с п р а м у г л а о д 30°

је д н а к а п о л о в и н и х и п о т е н у з е .

415. В и с и н а , к о ја о д г о в а р а к р а к у , о б р а з у ј е с а д р у г и м к р а к о м је д н а к о -

к р а к о г т р о у г л а у г а о < . П р е к о < и з р а з и т и с в е с п о љ а ш њ е и у н у т р а ш њ еу г л о в е т р о у г л а .

$ 416. У г а о п р и в р х у је д н а к о к р а к о г т р о у г л а је 7 . И з р а з и т и п р е к о 7 у г а о

к о ји о б р а з у је в и с и н а , к о ја о д г о в а р а к р а к у : а ) с а к р а к о м ;

б ) с а о с н о в и ц о м т р о у г л а .

417. А к о с у а = 52° и /? = 68° у н у т р а ш њ и у г л о в и н е к о г т р о у г л а

и з р а ч у н а т и у г л о в е к о је о б р а з у ј у с и м е т р а л е :

а ) у н у т р а ш њ и х у г л о в а у т р о у г л у ;

б ) с п о љ а ш њ и х у г л о в а т р о у г л а .

418') Н е к а је А А В С је д н а к о к р а к и с а о с н о в и ц о м А В и н е к а ј е А Б

с и м е т р а л а у г л а В А С . И з р а ч у н а т и у г л о в е у А А В С а к о је <А Б В = 75°

419. У т р о у г л у А В С у г л о в и :

а ) к о ји г р а д е в и с и н а и с и м е т р а л а у г л а к о д т е м е н а А ,

б ) к о ји г р а д е с и м е т р а л а с п о љ а ш њ е г у г л а к о д т е м е н а А и ^п р а в а

В С , о б а с у је д н а к и п о л у р а з л и ц и у г л о в а к о д т е м е н а В и С (<В > <С ).


420. С и м е т р а л а у г л а , к о г а о б р а з у ј у д в е н е је д н а к е с т р а ц и ц е т р о у г л а д е л и

н а с п р а м н у с т р а н и ц у н а д в е д у ж и , т а к о д а ј е в е ћ а о д њ и х б л и ж а в е ћ о ј

с т р а н и ц и . Д о к а з а т и .

421. Н е к а ј е п р о и з в о љ н а т а ч к а у А А В С . Д о к а з а т и д а ј е <А С Б <<А В .

422. Н е к а ј е А с и м е т р а л а у г л а у т р о у г л у А В С ( Е В С ) . Д о к а з а т и

д а ј е В < А В и С < А С . _ •** , _

423. Н е к а с у Р и <3 р е д о м т а ч к е н а к а т е т а м а А В и А С п р а в о у г л о г А А В С .

Д о к а з а т и д а је Р ф < В С .

424. Т р о у г а о А В С и м а у н у т р а ш њ е у г л о в е /? = 15° и 7 = 30°. П р а в а , к о ја

с а д р ж и т а ч к у А и н о р м а л н а је н а А В с е ч е д у ж В С у т а ч к и И . Д о к а з а т и

д а је 2А С = В Б .

425. Д о к а з а т и :а ) а к о је д у ж и н а м е д и ја н е т р о у г л а је д н а к а п о л о в и н и д у ж и н е о д г о в а -

р а ]у ћ е с т р а н и ц е , т а д а је т р о у г а о п р а в о у г л и ,

б ) У п р а в о у г л о м т р о у г л у д у ж и н а м е д и ја н е , к о ја о д г о в а р а х и м о т е н у з ч ,

је д н а к а је п о л о в и н и д у ж и н е х и п о т е н у з е .

*426. Д о к а з а т и д а ј е у п р а в о у г л о м т р о у г л у с и м е т р а л а п р а в о г у г л '- у

и с т о в р е м е и с и м е т р а л а у г л а ко ј"и о б р а з у ју в и с и н а и т е ж и ш н а д у ж н а д

х и п о т е н у з о м .

$ 4»: 7- А к о ј е у г а о к о ји г р а д е т е ж и ш н е д у ж и н а д к р а ц и м а је д н а к о к р а к о г. . 3

т р о у г л а п р а в , д о к а з а т и д а Је в и с и н а коЈа о д г о в а р а о с н о в и ц и Једнака -

основице.



58 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а V .

428. Д а 1 Је је д н а к о к р а к и т р о у г а о А В С (А С = З С ). Н а к р а к у А С

о д а б р а н е с у д в е т а ч к е и N т а к о д а је <А В = <С В И и И = В

п р и ч е м у је А — —N . К о л и к и је у г а о А В И ?

429. У т р о у г л у А В С д у ж В И је в и с и н а , а В ( Е А С ) је с и м е т р а л а

у г л а . У т р о у г л у В С д у ж К је в и с и н а . А к о је < В О = 20' а

< В К = 50°, о д р е д и т и у г л о в е т р о у г л а А В С .

430. У је д н а к о к р а к о м т р о у г л у А В С ( А С = В С ) с и м е т р а л а у г л а н а

о с н о в и ц и и с и м е т р а л а у г л а п р и в р х у с е к у с е у т а ч к и 5 т а к о д а је

< А 5С = 110°. О д р е д и т и у г л о в е т р о у г л а А В С .

431. У је д н а к о к р а к о м т р о у г л у А В С ( А С = В С ) п р а в а р с а д р ж и т е м е С и

с е ч е с т р а н и ц у А В у т а ч к и т а к о д а је А С = А и С = В . О д р е д и т иу г л о в е т р о у г л а А В С

432. У п р а в о у г л о м т р о у г л у у г а о и з м е ђ у в и с и н е и т е ж и ш н е д у ж и к о ја

о д г о в а р а х и п о т е н у з и је 10°. К о л и к и с у о ш т р и у г л о в и о в о г т р о у г л а ?

433. У т р о у г л у А В С ( В С > С А ) р а з л и к а у г л о в а <С А В и <А В С је 30°.

А к о ј е Б т а ч к а с т р а н и ц е В С т а к в а д а в а ж и С Б = С А , н а ћ и <В А Б .

434. Н е к а с уР ,С 2,К

р е д о м с р е д и ш т а с т р а н и ц аВ С , С А , А В

т р о у г л аА В С

и н е к а ј е п о д н о ж је в и с и н е и з т е м е н а А . Д о к а з а т и д а ј е М ф = Р К .

435. Д а т је А А В С . Д о к а з а т и д а с е с и м е т р а л а у г л а к о д т е м е н а А и

с и м е т р а л е с п о љ а ш њ и х у г л о в а к о д т е м е н а В и С с е к у у је д н о ј т а ч к и .

Д о к а з а т и д а п о с т о ји к р у г с а с р е д и ш т е м у т о ј т а ч к и к о ји д о д и р у је

с т р а н к ц у В С и п о д у ж е т к е с т р а н и ц а А В и А С .

436. Д о к а з а т и д а с в а к и о ш т р о у г л и т р о у г а о и м а д в а у г л а ч и ја је р а з л и к а

м а њ а о д 30°.

437. Т е ж и ш н а д у ж је м а њ а о д п о л у з б и р а с т р а н и ц а и з м е ђ у к о ји х с е н а л а з и

и в е ћ а о д р а з л и к е т о г п о л у з б и р а и п о л о в и н е т р е ћ е с т р а н и ц е . Д о к а з а т и .

438. Т а ч к а п р и п а д а с и м е т р а л и с п о љ а ш њ е г у г л а у т е м е н у А т р о у г л а

А В С . Д о к а з а т и д а ј е В + С > А В + А С .

439. У је д н а к о к р а к о м А А В С ( А С = В С ) у г а о к о д т е м е н а С је 108°.

Д о к а з а т и д а је д у ж и н а в и с и н е С О је д н а к а п о л о в и н и д у ж и н е с и м е т р а л е

А Е у н у т р а ш њ е г у г л а А .



5.5. Ч е т в о р о у г а о , м н о г о у г а о

5.5. Ч Е Т В О Р О У Г А О М Н О Г О У Г А О

59

1. Ч е т в о р о у г а о , м н о г о у г а о1° З б и р у н у т р а ш њ и х у г л о в а ч е т в о р о у г л а је д н а к је п у н о м

У г л у ,

2° З б и р с п о љ а ш њ и х у г л о в а ч е т в о р о у г л а је д н а к је п у н о м у г л у ;

3° Ч е т в о р о у г а о је п а р а л е л о г р а м а к о и с а м о а к о в а ж и б и л о

к о ји о д н а в е д е н и х у с л о в а :- у г л о в и н а с в а к о ј с т р а н и ц и с у с у п л е м е н т н и ;

- о б а п а р а н а с п р а м н и х у г л о в а с у п а р о в и м е ђ у с о б н о је д -

н а к и х у г л о в а ;

- о б а п а р а н а с п р а м н и х с т р а н и ц а с у п а р о в и м е ђ у с о б н о је д -

н а к и х с т р а н и ц а ;- д и ја г о н а л е с е у з а ја м н о п о л о в е .

2. н о г о у г а о (п о л и г о н ).

1° В р о ј с в и х д и ја г о н а л а и з је д н о г т е м е н а м н о г о у г л а о д п

с т р а н и ц а ј е Д п = п —3;

д . . _ т г (п - 3)2° Бр о Ј с в и х д и Ј а г о н а л а п - т о у г л а Ј е и п = ----------- ;

3° З б и р с в и х у н у т р а ш њ и х у г л о в а т г -т о у г л а је 5 п = (те —2) ■ 180°;

. 360°4 ° П е н т р а л н и у г а о п р а в и л н о г п - т о у г л а Ј е <р = ---------;

п

„ ■ (и —2) ■ 180°5 У н у т р а ш њ и у г а о п р а в и л н о г т г -т о у г л а Ј е а = --------------------;

п

360°6° С п о љ а ш њ и у г а о п р а в и л н о г п -т о у г л а је /? = -

^4^), И з р а ч у н а т и у г л о в е п а р а л е л о г р а м а а к о је је д а н в е ћ и о д д р у г о г з а

40°.

441. Д о к а з а т и :

а ) д а д и ја г о н а л е д е л е р о м б н а ч е т и р и п о д у д а р н а т р о у г л а ;

б ) д а с у д в а р о м б а п о д у д а р н а а к о с у и м д и ја г о н а л е је д н а к е .

442. а ) А к о с е у н е к и п а р а л е л о г р а м м о ж е у п и с а т и к р у г , д о к а з а т и д а . )’ е

т а ј п а р а л е л о г р а м р о м б .

б ) А к о с е о к о н е к о г п а р а л е л о г р а м а м о ж е о п и с а т и к р у г , д о к а з а т и д а

је т а ј п а р а џ е л о г р а м п р а в о у г а о н и к .

•>43) У п а р а л е л о г р а м у А В С Б т е м е А је с п о је н о с а с р е д и ш т е м јБ с т р а н и ц е

Б С , т е м е В с а с р е д и ш т е м с т ^а н и ц е С Б , т е м е С с а с р е д и ш т е м N

с т р а н и ц е В А и т е м е Б с а с р е д и ш т е м К с т р а н и ц е А В . Д о к а з а т и д а је

ч е т в о р с у г а о , к о ји с е д о б и ја у п р е с е к у к о н с т р у и с а н и х п р а в и х , п а р а л е л о г -р а м .




444. У п р а в о у г а о н и к у А В С Б с т р а н и ц а В С је д в а п у т а д у ж а о д Л В . И з

т а ч к е н а с т р а н и ц и В С д у ж и А В и А О в и д е с е п о д је д н а к и м у г л о в и м а .

И з р а ч у н а т и т е у г л о в е .

445. У п р а в о у г а о н и к у А В С Б н о р м а л а А Е к о н с т р у и с а н а и з т е м е н а А н а

д и ја г о н а л у В Б д е л и п р а в у г а о н а д е л о в е у о д н о с у 3:1. И з р а ч у н а т и у г а о

и з м е ђ у т е н о р м а л е и д р у г е д и ја г о н а л е .

446. А к о с у А 1 ) В х , С 1 , О х , р е д о м с р е д и ш т а с т р а н и ц а В С , С О , Б А , А В

п а р а л е л о г р а м а А В С Б и п р а в е О Б х и В В \ с е к у п р а в у А А \ у т а ч к а м а. 2

тл N, д о к а з а т и д а је И = —А А \.5

447. Н е к а с у и N с р е д и ш т а с т р а н и ц а В С и С И п а р а л е л о г р а м а А В С Б .

П р а в е А и А И с е к у д и ја г о н а л у В Б у т а ч к а м а К и Б . Д о к а з а т и д а је

= К В .

448. Н е к а је А В С Б п а р а л е л о г р а м и н а д и ј а г о н а л и А С о д р е ђ е н е т а ч к еЕ и К т а к в е д а је А Е = С К . Д о к а з а т и д а је и ч е т в о р о у г а о В Е И К

п а р а л е л о г р а м .

449. Н а с т р а н и ц а м а А В , В С , С Б и Б А , р е д о м , п а р а л е л о г р а м а А В С Б

о д р е ђ е н е с у т а ч к е И , К , I,, т а к в е д а је 5Л Г = В К = О = О Б . Д о к а з а т и

д а је п а р а л е л о г р а м .

450. Д а т је п а р а л е л о г р а м А В С О . Д и ја г о н а л а А С д е л и о ш т а р у г а о В А Б

н а д в а д е л а к о ји с е р а з л и к у ј у з а 20°. В и с и н а п а р а л е л о г р а м а и з т е м е н а

В , к о ја и м а п о д н о ж је Е н а с т р а н и ц и В С , с е ч е д и ја г о н а л у А С у т а ч к и Н

т а к о д а ј е < А Н Б = 50°. О д р е д и т и у г л о в е п а р а л е л о г р а м а .

4 5Ј.. А к о с у Р и <5 т а ч к е у к о ји м а с р е д њ а л и н и ја п а р а л е л н а о с н о в и ц а м а

с е ч е д и ја г о н а л е т р а п е з а , д о к а з а т и д а је д у ж Р <5 је д н а к а п о л у р а з л и ц и

о с н о в и ц а .

452. Д о к а з а т и д а је т р а п е з к о ји и м а је д н а к е д и ја г о н а л е је д н а к о к р а к .

453. Д о к а з а т и д а с у д в а т р а п е з а ч и је с у с в е о д г о в а р а ју ћ е с т р а н и ц е је д -

н а к е п о д у д а р н и .

454. Н е к а је р п р а в а у р а в н и т р о у г л а А В С к о ја н е с е ч е т р о у г а о и н е к а с у

К , I,, с р е д и ш т а с т р а н и ц а А А В С . Д о к а з а т и д а је з б и р р а с т о ја њ а т е м е н а

т р о у г л а А В С о д п р а в е р је д н а к з б и р у р а с т о ја њ а т е м е н а т р о у г л а К 1* о д

п р а в е р .

455. А к о с е у је д а к о к р а к и т р а п е з м о ж е у п и с а т и к р у г , д о к а з а т и д а је к р а к

т о г т р а п е з а је д н а к с р е д њ о ј л и н и ји ч а р а л е л н о ј о с н о в и ц а м а .

456. А к о с у д и ја г о н а л е н е к о г т р а п е з а н о р м а л н е . д о к а з а т и д а с у њ е г о в е

с р е д њ е л и н и је је д н а к е .

457. О д р е д и т и д у ж и н у м а њ е о с н о в и ц е је д н а к о к р а к о г т р а п е з а , а к о је о н а

је д н а к а б о ч н о ј с т р а н и ц и , о б и м т р а п е з а је 28, а с р е д њ а д у ж 9.

458. У т р а п е з у А В С И с р е д њ а д у ж је д у ж и н е 18. П р а в а , к р о з Б ,

п а р а л е л н а к р а к у В С , с е ч е о с н о в и ц у А В у т а ч к и Е . О д р е д и т и д у ж и н е

о с н о в и ц а т р а п е з а , а к о је А Е = 1.



459. С и м е т р а л е у н у т р а ш њ и х у г л о в а н а је д н о ј о д б о ч н и х с т р а н и ц а

т р а п е з а с е к у с е п о д п р а в и м у г л о м у т а ч к и к о ја п р и п а д а с р е д њ о ј д у ж и

т о г т р а п е з а . Д о к а з а т и .

460. Д а т ј е п а р а л е л о г р а м А В С О . Н а п р а в и м А В и В С о д р е ђ е н е с у ,р е д о м , т а ч к е Н и К т а к о д а с у т р о у г л о в и К А В и Н С В је д н а к о к р а к и

(К А = А В , Н С = С В ) . Д о к а з а т и д а ј е и т р о у г а о К И Н т а к о ђ е је д н а к о -

к р а к и .

461. Н е к а с у и N с р е д и ш т а о с н о в и ц а А В и С Б ( А В > С Б ) т р а п е з а .

А В С Б . А к о ј е д у ж М Л Г је д н а к а - ( А В — С Б ) , д о к а з а т и д а је з б и р

у н у т р а ш њ и х у г л о в а <А и <В т о г т р а п е з а п р а в у г а с и о б р н у т о .

462. Д о к а з а т и д а с у д у ж и к о је с п а ј а ј у с р е д и ш т а н а с п р а м н и х с т р а н и ц а

д е л т о и д а је д н а к е .

463. П о с т о ји л и ч е т в о р о у г а о к о ји и м а т р и у г л а м а њ а о д 1°?

464. П о с т о ји л и к о н в е к с а н м н о г о у г а о к о л к о г с у з б и р о в и у н у т р а ш њ и х и

с п о љ а ш њ и х у г л о в а у о д н ^с у 15:4?

465. А к о с е б р о ј с т р а н и ц а је д н о г м н о г о у г л а с м а њ и з а 1, б р о ј њ е г о в и х

д и ја г о н а л а с е с м а њ и з а 3. К о ји ј е т о м н о г о у г в о 7

466. А к о је а м е р н и б р о ј је д н о г у г л а у п р а в и л н о м м н о г о у г л у , п о к а з а т и

Д а ј е б р о ј к = ------------ у в е к п р и р о д а н б р о ј,180° —а

467. К о л и к о н а јв и ш е о ш т р и х у г л о в а м о ж е и м а т и к о н в е к с а н м н о г о у г а о ?

5 6. К Р У Ж Н А Л И Н И Ј А (К Р У Ж Н И Ц А , К Р У Г )

5.6, К р у ж н а л и н и ја 61

П е р и ф е р и јс к и у г а о . У г а о ч и је т е м е п р и п а д а к р у ж н о ј л и н и ји к ,

а к р а ц и с у т е т и в е т о г к р у г а , з о в е с е п е р и ф е р и јс к и у г а о к о у ж н е

л и н и је к .

Ц е н т р а л н и у г а о . У г а о ч и је ј е т е м е ц е н т а р к р у ж н е л и н и је з о в е

с е ц е н т р а л н и у г а о .

- Ц е н т р а л н и у г а о је д в а п у т а в е ћ и о д о д г о в а р а ј у ћ е г п е р и ф е -р и јс к о г у г л а ;

- С в и п е р и ф е р и ј с к и у г л о в и н а д и с т и м л у к о м н е к е к р у ж н е

л и н и је је д н а к и с у и л и с у п л е м е н т н и ;

- П е р и ф е р и јс к и у г а о н а д п р е ч н и к о м Ј е п р а в ;

- Т р о у г а о ч и ја је је д н а с т р а н и ц а п р е ч н и к о п и с а н о г к р у г а је

п р а в о у г л и .

Т а н г е н т н и у г а о . У г а о и з м е ђ у т е т и в е А В и т а н г е н т е < је д н а к

је п е р и ф е р и ј с к о м у г л у н а д т е т и в о м А В .

Т е т и в н и н е т в о р о у г а о је ч е т в о р о у г а о о к о к о је г с е м о ж е о п и с а -

т и к р у г .



62 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а V

- Н а с п р а м н и у г л о в и к о д т е т и в н о г ч е т в о р о у г л а с у с у п л е -

м е н т н и (а + у = Р + б = 180°).

Т а н г е н т н и н е т в о р о у г а о је ч е т в о т р о у г а о у к о ји с е м о ж е у п и с а -

т и к р у г .

- К о д т а н г е н т н о г ч е т в о р о у г л а А В С О з б и р н а с п р а м н и х

с т р а н и ц а је је д н а к (А В + С Б = А И + В С ) .

468. К р о з к р а ј е в е п р о ч н и к а А В к р у г а к о н с т р у и с а н е с у п а р а л е л н е т е т и в е

А и В И . Д о к а з а т и д а је А = В И .

469. Д в а к р у г а с е с п о љ а д о д и р у ј у у т а ч к и Р . Н е к а с у А и В д о д и р н е т а ч к е

о в и х к р у г о в а с а је д н о м њ и х о в о м з а је д н и ч к о м с п о љ а ш њ о м т а н г е н т о м .

Д о к а з а т и д а је <А Р В = 90°.

470. Н е к а с у к и к ' к о н ц е н т р и ч н и к р у г о в и и н е к а к ' и м а в е ћ и п о л у п р е ч н и к .

Д о к а з а т и д а с у с в е т а н г е н т н е д у ж и н а к р у г к п о в у ч е н е и з т а ч а к а к р у г а к '

је д н а к е .

471. Д а т а с у д в а п р е ч н и к а А В и С Б и с т о г к р у г а . Д о к а з а т и д а т а н г е н т е

н а т а ј к р у г у т а ч к а м а А , В , С , I) о б р а з у ју ч е т в о р о у г а о ч и је с у с в е с т р а н и ц е

Ј е д н а к е .

472. Т р о у г а о А В С је у п и с а н у к р у г к - З н а ју ћ и у г л о в е а ,ј З и 7 о в о г

т р о у г л а , и з р а ч у н а т и у г л о в е т р о у г л а к о ји о б р а з у ј у т а н т е н т е н а к р у г к ут а ч к а м а А , В , С .

(473.) И з р а ч у н а т и у г а о и з м е ђ у т а н г е н т е и т е т и в е а к о т е т и в а д е л и к р у г н а

д в а л у к а у р а з м е р и 3:7.

. . 1474. И з р а ч у н а т и п е р и ф е р и јс к и у г а о н а д к р у ж н и м л у к о м Ј е д н а к и м —

к р у г а .

|75. Т а ч к а м а А тл В к р у г је п о д е љ е н н а д в а к р у ж н а л у к а к о ји с т о је у

р а з м е р и 5:7. И з р а ч у н а т и п е р и ф е р и јс к е у г л о в е к о ји о д г о в а р а ј у к р у ж н и м

л у к о в и м а .

476. И з је д н е к р а јњ е т а ч к е п р е ч н и к а к р у г а к к о н с т р у и с а н е с у т а н г е н т а и

с е ч и ц а к о је о б р а з у ју у г а о а = 20°30'. И з р а ч у н а т и у с т е п е н и м а м а њ и л у к

ч и з м е ђ у т а н г е н т е и с г ч и ц е .

477. У т е т и в н о м ч е т в о р о у г л у д в а у н у т р а ш њ а у г л а н а је д н о Ј с т р а н и ц и

1з н )с е 152° и 134°. О д р е д и т и д р у г а д в а у г л а ч е т в о р о у г л а .

478. Н е к а с у К , Е , т а ч к е у к о ји м а у п и с а н и к р у г д о д и р у је с т р а н и ц е

В С , С А , А В т р о у г л а А В С . Д о к а з а т и д а је А = А Б = 8 — а , В = В К =

5 - 6, С К С Е = » —с (в - п о л у о б и м т р о у г л а , А В с , В С а ,С л 6)).

179\ У т а н г е н т н о м ч е т в о р о у г л у с т р а н и ц е и з н о с е 5с г ћ , 9с г г . и 15с г а .

И З р а ч у н а т и ч е т в р т у с т р а н и ц у ч е т в о р о у г л а .



5.6. К р у ж н а Д и н и ја 53

—„480. У к р у г у к (0 , г ) к о н с т р у и с а н а је т е т и в а А В . Н а п р а в о ј А В о д р е ђ е н а

је т а ч к а С т а к о д а је А —В —С и В С = г П р а в а С О с е ч е к р у г у т а ч к и Б

т а к о д а је С —О - Б . Д о к а з а т и д а је <А О Б = 3<А С Б .

481. И з т а ч к е В в а н к р у г а , с а ц е н т р о м у О , к о н с т р у и с а н е с у т а н г е н т н ед у ж и В А и В С н а к р у г . Н е к а је п р о и з в о љ н а т а ч к а к р у г а , а Б Е о д с е ч а к

т а н г е н т е к р у г а к о н с т р у и с а н е у М , и з м е ђ у к р а к о в а у г л а А В С . Д о к а з а т и

д а в е л и ч и н а у г л а Б О Е н е з а в и с и о д п о л о ж а ја т а ч к е М .

482. И з т а ч к е С в а н к р у г а к (0 , г ) к о н с т р у и с а н е с у т а н г е н т н е д у ж и С А и

С В н а к р у г к . П р а в а и з А , н о р м а л а н а В С , с е ч е О С у т а ч к и О . Д о к з з а т и

д а ј е А В = г

483. К р у г о в и к 1 и к 2 д о д и р у ј у с е с п о љ а у т а ч к и М . Н е к а с у А В и С Б

с е ч и ц е т и х к р у г о в а к о је с а д р ж е т а ч к у М ( А , С Е к х , В , 0 Е к ). Д о к а з а т и

д а с у п р а в е А С и В Х > п а р а л е л н е .= 484- У т е м е н у В к о н с т р у и с а н а је т а н г е н т а 2 к р у г а о п и с а н о г о к о т р о у г л а

А В С . А к о п р а в а р , п а р а л е л н а с а I, с е ч е с т р а н и ц е В А и В С у т а ч к а м а Б

и Е , д о к а з а т и д а је ч е т в о р о у г а о А С Е Б т е т и в н и .

485. И з т а ч к е А к о н с т р у и с а н е с у н а д а т и к р у г т а н г е н т н е д у ж и А и

А И . Н е к а је Р т а ч к а н а м а њ е м к р у ж н о м л у к у М 7У . К р о з Р к о н с т у и с а н а

је т р е ћ а т а н г е н т а к р у г а к о ј а с е ч е п р а в е А и А И у т а ч к а м а В и С .

Д о к а з а т и д а је о б и м т р о у г л а А В С к о н с т а н т а н и ј е д н а к 2А .

Д о к а з а т и д а је к о д п р а в о у г л о г т р о у г л а з б и р к а т е т а је д н а к з б и р у

п р е ч н и к а о п и с а н о г и у п и с а н о г к р у г а .487. Н е к а је у п р а в о у г л о м т р о у г л у с - д у ж и н а х и п о т е н у з е , с, и к - к а т е т а ,

а г -п о л у п р е ч н и к у п и с а н о г к р у г а . Д о к а з а т и д а је

(488. /О к о к р у г а с а ц е н т р о м О о п и с а н је ч е т в о р о у г а о А В С И . Д о к а з а т и д а

је <А О В + <С О И = 180°.

489. У р а в н и с у д а т а т р и к р у г а је д н а к и х п о л у п р е ч н и к а , к о ји с е с е к у у

т а ч к и К , к а о н а с л и ц и . Д о к а з а т и д а је з б и р о с е н ч е н и х л у к о в а К А , К В и

К С је д н а к п о л у к р у г у и с т о г п о л у п р е ч н и к а .

а ,) 2г + с > 2л /а 6; б ) а + 6 + с > 8г .

С л . у з з а д . 489



«4 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а V.

490. Н е к а је В п р о и з в о љ н а т а ч к а д у ж и А С . Н а д д у ж и н а А В , В С и

А С , к а о н а д п р е ч н и ц и м а , к о н с т у и с а н и с у к р у г о в и к \, к 2, &з- К р о з т а ч к у В

к о н с т р у и с а н а ј е п р и з в о љ н а п р а в а , к о ја с е ч е к р у г к% у т а ч к а м а Р и <5, а

к р у г о в е &1 и к 2 у Н и 3 (р е д о м ). Д о к а з а т и д а је Р К = <25.

491. К р у г у п и с а н у р о м б А Е С Б д о д и р у ј е с т р а н и ц е р о м б а А В , В С , С И

и Б А р е д о м у т а ч к а м а Е , Р , С и Н . Д о к а з а т и д а ј е ч е т в о р о у г а о Е Р С Н

п р а в о у г а о н и к .

492. Н е к а ј е 3 с р е д и ш т е у п и с а н о г к р у г а т р о у г л а А В С . П р а в а А З с е ч е

к р у г о п и с а н о к о А А В С , о с и м у А , јо ш и у т а ч к и О . Д о к а з а т и д а је

0 0 = 3 0 = В И .

493. Д о к а з а т и д а м н о г о у г а о м о р а б и т и п р а в и л а н а к о з а д о в о љ а в а је д а н

о д с л е д е ћ и х у с л о в а :

а ) т е т и в н и ј е и и м а је д н а к е с т р а н и ц е ;

б ) т а н г е н т н и је и и м а је д н а к е у г л о в е .494. Н е к а је А В С О к о н в е к с а н ч е т в о р о у г а о т а к а в д а с е к р у г о в и у п и с а н и у

т р о у г л о в е А В С и А С О д о д и р у ју . Д о к а з а т и д а је ч е т в о р о у г а о т а н г е н т н и .

495. Д а т и с у у г л о в и а , (3 < 180°. Д о к а з а т и д а п о с т о ји ч е т в о р о у г а о к о ји

ј е и т е т и в а н и и т г ,н г е н т н и и к о д к о г с у д в а с у с е д н а у г л а је д н а к а д а т и м

у г л о в и м а а , (3.

496. Д а т је п р о и з в о љ а н п р а в и л а н м н о г о у г а о А В С Б Е . . . с а ц е н т р о м у

т а ч к и О . Н а п р о д у ж е ц и м а њ е г о в и х с т р а н и ц а А В и В С д а т е с у т а ч к е и

N т а к о д а в а ж и В = С Л Г . Д о к а з а т и д а ј е ч е т в о р о у г а о О В N т е т и в а н .

497. Д о к а з а т и д а т а ч к е , у к о ји м а с е с е к у с и м е т р а л е у н у т р а ш њ и х у г л о в ак о н в е к с н о г ч е т в о р о у г л а , п р е д с т а в љ а ју т е м е н а т е т и в н о г ч е т в о р о у г л а (и л и

п р и п а д а ју је д н о ј п р а в о ј ).

/

5.7. К О Н С Т Р У К Д И Ј Е Л Е Њ И Р О М М Ш Е С Т А Р О М

5.7.1. У В О Д Н И А Д А П .И

498. 1° К о н с т р у и с а т и о р м а л у и з д а т е т а ч к е Р н а а т у п р а в у р а к о :

а ) Р € р ; б ) Р $ р .

2° К о н с т р у и с а т и п р а в у п а р а л е л н у д а т о ј п р а в о ј т к р о з д а т у т а ч к у ,

$ т .

499. К о н с т р у и с а т и т а н г е н т е и з д а т е т а ч к е Р н а д а т и к р у г к (0 , г ) а к о

а ) Р € к \ б ) Р $ к .

500. Д а т е с у т а ч к е А и В . О д р е д и т и т а ч к у С к о ја ј е је д н а к о у д а љ е н а о д

т а ч а к а А и В и п р и п а д а :

а ) д а т о ј п р а в о ј р ; б ) д а т о м к р у г у к (0,г \

501. К о н с т р у и с а т и т р о у г а о А В С а к о је д а т о :

а ) а , 6, с ; б ) а , /3. 7 ; в ) а , 6, 7 ;



г ) , Џ , ћ с ; д ) а , с , < С = 90°, ђ ) ћ с , /?, < С = 90°.

502. К о н с т р у и с а т и т а н г е н т у н а д а т и к р у г к с .ја је п а р а л е л н а с а д а т о м

п р а в о м .

5.7. К о н с т р у к ц и је л е њ и р о м и ш е с т а р о м 65

с у д а т и с л е д е ћ и њ е г о в и е л е м е н т и (з а д а ц и

5.7.2. Т Р О У Г А О

К о н с т р у и с а т и т р о у г а о А В С а к о

503-510):

503. а , а , ћ

504. а ) а , 6 + с , а ;

в ) ћ а , а , а + 6 + с;

505. а ) ћ а , /?, Д ;

506. а ) а , а , ћ а ;

507. а ) ћ а ,^ , с ,

в ) а , /?, , .

Д а , , <с ;

е ) а , <с , 7 ;

- О ^ а ) с , Л д ,

509. а ,1а ,К .

510. 6, с , /? —7 (/? > 7).

б ) а , 6 —с (6 > с ), а .

г ) В —с, ћ /,, а .

ћ а ) ј

б ) а , а ,

б ) 6, с , /га ; / г ) « з , 7 ;

ђ ) 6, с , ,

ж ) а —6, с , 7 .

б ) а , Л ћ ) •

(7 = 90°) а к о је д а т о :

в ) 6, а + с ;

а к о је

а к о је

511. К о н с т р у и с а т и п р а в о у г л и т р о у г а о

а ) <а ,<с ; б ) Д ,г ;

г ) /?, 6 - а ; д ) с, а + 6; ђ ) /?,_с - 6

512. К о н с т р у и с а т и је д н а к о к р а к и т р о у г а о Л 5 С с а о с н о в и ц п м А В

д а т о :

а ) ћ а и /г ,б ) к р а к 5 С и н а њ е м у п о д н о ж је Р в и с и н е и з т е м е н а А .

513. К о н с т р у и с а т и т р о у г а о А В С а к о с у д а т и :

а ) /? ,7, 6 + с ; б ) /?,7,в ; в ) 6, с , ћ к ;

г ) 6, /г а ,/г ћ ; д ) 6,а + с ,/г с ; ђ ) 6, с , /г ћ ;

е ) а , /г с ; ж ) /г а , Л *, /?; з ) с , /г а , 8а .

514. К о н с т р у и с а т и је д н а к о к р а к и т р о у г а о А В С ( 8 С -о с н о в и ц а ),

д а т о :

а ) а , 6 + /г д ; б ) /г а ; в ) с , / г а ;

г ) /?, 5/з ; д ) / г а ,*ћ ; ђ ) а , 6 —Л а



66 Т е к с т о в и З а д а т а к а —Г л а в а V .

515. К о н с т р у и с а т и т р о у г а о А В С а к о с у д а т и е л е м е н т и :

а ! а ,6 —с , г ; б ) а ,а ,г \ в ) /?,

г ) 8,а ћ а ; д ) ћ а ,8к ,Г , ђ ) 6, 5«, 0С ‘

516. К о н с т р у и с а т и т р о у г а о А В С а к о с у д а т е т р и т а ч к е - с р е д и ш т ау п и с а н о г , о п и с а н о г и с п о љ а у п и с а н о г к р у г а .

5.7.3. Ч Е Т В О Р О У Г А О

517. К о н с т р у и с а т и п р а в о у г а о н и к а к о је д а т о :

а ) д и ја г о н а л а и р а з л и к а с у с е д н и х с т р а н и ц а ;

б ) з б и р с у с е д н и х с т р а н и ц а и у г а о и з м е ђ у д и ја г о п а л а ;

в ) у г а о и з м е ђ у д и ја г о н а л а и р а з л и к а с у с е д н и х с т р а н и ц а ;

г ) с т р а н и ц а и р а з л и к а д и ја г о н а л е и д р у г е с т р а н и ц е .518. К о н с т р у и с а т и к в а д р а т а к о је д а т а р а з л и к а д и ја г о н а л е и с т р а н и ц е .

519. К о н с т р у и с а т и п а р а л е л о г р а м А В С И а к о с у п о з н а т и с л е д е ћ и е л е м е н -

т и :

а ) с т р а н и ц а А В и о б е в и с и н е ;

б ) с т р а н и ц а А В , у г а о к о д т е м е н а А и В С + А С \

в ) р а з л и к а с т р а н и ц а , је д н а д и ја г о н а л а и у г а о ;

г ) р а з л и к а с т р а н и ц а , је д н а д и ја г о н а л а и в и с и н а и з и с т о г т е м е н а к а о

т а д и ја г о н а л а ;д ) з б и р с т р а н и ц а , је д н а д и ја г о н а л а и в и с и н а к о ја н и је и з и с т о г т е м е н а

к а о т а д и ја г о н а л а ;ђ ) о б е д и ја г о н а л е и је д н а в и с и н а ;

е ) о б е д и ја г о н а л е и је д н а с т р а н и ц а .

520. К о н с т р у и с а т и т р а п е з а к о с у д а т и с л е д е ћ и е л е м е н т и :

а ) с в е ч е т и р и с т р а н и ц е ;б ) в е ћ а о с н о в и ц а , с р е д њ а л и н и ја и у г л о в и н а м а њ о ј о с н о в и ц и ;

в ) р а з л и к а о с н о в и ц а , к р а ц и и с р е д њ а л и н и ја ;

г ) о с н о в и ц е и д и ја г о н а л е ;

д ) о с н о в и ц е А В и С И , к р а к В С и у г а о к о д е м е н а А ;

ђ ) з б и р о с н о в и ц а , к р а ц и и је д а н у г а о н а у ж о ј о с н о в и ц и .

521. К о н с т р у и с а т и р о м б а к о је п о з н а т а д у ж и н а је д н е њ е г о в е д и ј а г о н а л е

и п о л у п р е ч н и к у п и с а н о г к р у г а .

522. К о н с т р у и с а т и ч е т в о р о у г а о А В С И а к о ј е д а т т р о у г а о К 1* т а к а в д а

с у т а ч к е К , Б , с р е д и ш т а т р и је д н а к е с т р а н и ц е ч е т в о р о у г л а А В С И .

5.7.4. К Р У Ж Н А Л И Н И Ј А (К Р У Ж Н И Ц А , К Р У Г )

523. К р о з д а т у т а ч к у А в а н д а т о г к р у г а к к о н с т р у и с а т и п р а в у р т а к о д а

т е т и в а к о ја с е д о б и ја у п р е с е к у о в е п р а в е с а к р у г о м и м а д а т у д у ж и н у Л .



5.8. И з о м е т р и јс к е т р а н с ф о р м а ц и је 67

524. Д а т е с у д в е т а ч к е и к р у г . К р о з д а т е т а ч к е к о н с т р у и с а т и д в е

п а р а л е л н е п р а в е т а к о д а о н е н а к р у г у о д с е ц а ј у је д н а к е т е т и в е .

525. К о н с т р у и с а т и з а је д н и ч к е т а н г е н т е д в а д а т а к р у г а .

526. К о н с т р у и с а т и к р у г к к о ји с а д р ж и д а т е т а ч к е А и В и с е ч е д а т и к р у г

I т а к о д а је д а т а п р а в а р п а р а л е л н а з а је д н и ч о ј т е т и в и к р у г о в а к и I.

527. К о н с т р у и с а т и к р у г д а т о г п о л у п р е ч н и к а к о ји д о д и р у је д а т у п р а в у и

д а т и к р у г .

528. К о н с т р у и с а т и к р у г к о ји с а д р ж и д а т у т а ч к у А и д о д и р у је д а т и к р у г

к у д а т о ј т а ч к и .

529. Д а т а ј е т а ч к а А и к р у г к с а ц е н т р о м 0 ф А . К о н с т р у и с а т и к р у г I с а

ц е н т р о м А т а к о д а з а је д н и ч к а с п о љ а ш њ а т а н г е н т а к р у г о в а к и I и м а д а т у

д у ж и н у т .

530. И з д а т е т а ч к е , к о ја с е н а л а з и в а н д р у г о г к р у г а , к о н с т р у и с а т ис е ч и ц у т а к о д а је њ е н с п о љ а ш њ и д е о је д н а к њ е н о м у н у т р а ш њ е м д е л у .

5.8. И О М Е Т Р И Ј С К Е Т Р А Н С Ф О Р М А Ц И Ј Е

5.8.1. Т Р А Н С Л А Ц И Ј А

З а с в а к и в е к т о р д е ф и н и с а н а је т р а н с л а ц и ја Т -# . Т о Ј е

п р е с л и к а в а њ е к о ј е п р о и з в о љ н у т а ч к у А с л и к а у т а ч к у А ' = Т -$ (А )т а к о д а в а ж и А А = ! ? . Т р а н с л а ц и јо м с е с з а к а п р а в а п р е с л и к а в а

у п а р а л е л н у п р а в у .

531. Д а т ј е т р о у г а о А В С . О д р е д и т и њ е г о в у с л и к у н а с т а л у т р а н с л а ц и ј о м

п р и к о јо ј с е : а ) т е м е А п р е с л и к а в а у В \ б ) т е м е В п р е с л и к а в а у С ; в ) т е м е

А п р е с л и к а в а у т е ж и ш т е т р о у г л а .

532. а ) Д а т и с у к р у г о в и к \ и к 2 и в е к т о р Т *. О д р е д и т и т а ч к е А Е к \ и

В € к 2 т а к о д а в а ж и А $ = г*.

б ) Д а т ј е к р у г к и в е к т о р К о н с т р у и с а т и т е т и в у N д а т о г к р у г а т а к о

д а ј е = Т *.

533. К о н с т р у и с а т и п а р а л е л о г р а м А В С Б а к о с у д а т а т е м е н а А и В , а

т е м е н а С и Б п р и п а д а ју д а т о м к р у г у к .

534. Н е к а ј е А А ' В ' С ' д о б и ј е н т р а н с л а ц и јо м т р о у г л а А В С . Н е к а ј е А В ' П

А 'В = { # } , В С ' П В ' С = { Р } и С А ' П С ' А = { $ }. Д о к а з а т и д а ј е Д Р ф #

п о д у д а р а н т р о у г л у ч и ја с у т е м е н а с р е д и ш т а с т р а н и ц а т р о у г л а А В С .

535. Д в а к р у г а п о л у п р е ч н и к а г д о д и р у ју с е у т а ч к и К . Н а је д н о м ј е д а т а

т а ч к а А , а н а д р у г о м т а ч к а В т а к с д а в а ж и и < А К В = 90°. Д о к а з а т и д ај е А В = 2г .



68 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Р л а в а V.

536. Н е к а с у А \,В \,С \ с р е д и ш т а с т р а н и ц а В С , С А , А В т р о у г л а А В С .

Н е к а с у 0\,02 ,0 з р е д о м ц е н т р и о п и с а н и х к р у г о в а з а т р о у г л о в е А В \С \,

А \В С \, А \В \С , а $ 1,$ 2,$з н е к а с у ц е н т р и њ и х о в и х у п и с а н и х к р у г о в а .

Д о к а з а т и д а је Д О 1О 2О 3 = Д б ^ б ^ з -537. К о н с т р у и с а т и ч е т в о р о у г а о а к о с у д а т е т р и њ е г о в е с т р а н и ц е и у г л о в и

н а ч е т в р т о ј с т р а н и ц и .

538. К о н с т р у и с а т и ч е т в о р о у г а о а к о с у д а т а т р и њ е г о в а у г л а и д в е н а с -

п р а м н е с т р а н и ц е .

5.8.2. Ц Е Н Т Р А Л Н А С И М Е Т Р И Ј А

Ц е н т р а л н а с и м е т р \ з у о д н о с у н а т а ч к у 8 је п р е с л и к а в а њ е 5^.к о је п р о и з в о љ н у т а ч к у А п р е с л и к а в а у т а ч к у А ' = 55(Л ) т а к в у д а

је 5 с р е д и ш т е д у ж и А А ' .

С в а к а п р а в а с е ц е н т р а л н о м с и м е т р и јо м п р е с л и к а в а у п а р а -

л е л н у п р а в у .

539. Д а т је к в а д р а т А В С И и т а ч к а О в а н к в а д р а т а у њ е г о в о ј р а в н и .

О д р е д и т и с л и к у к в а д р а т а н а с т а л у ц е н т р а л н о м с и м е т р и јо м с а ц е н т р о м у

т а ч к и : а ) А ; б ) 3 ; в ) О .540. а ) Д а т и с у к р у г о в и к \ и к ? к о ји с е с е к у у т а ч к и А . К о н с т р у и с а т и

п р а в у к о ја с а д р ж и т а ч к у А и с е ч е к р у г о в е п о п о д у д а р н и м т е т и в а м а .

б ) Д а т е с у п р а в е р и ; к о је с е с е к у и т а ч к а А в а н њ и х . К р о з т а ч к у А

к о н с т р у и с а т и п р а в у а т а к о д а в а ж и а П р = { Р } , а <1д = {<5} и Р А = А С Ј .

541. Д а т је к р у г к , п р а в а р и т а ч к а А . К о н с т р у и с а т и т а ч к е К < к и Р € р

т а к о д а А б у д е с р е д и ш т е д у ж и К Р .

542. Н е к а с у и N т а ч к е н а с т р а н и ц а м а А В и С И п а р а л е л о г р а м а

А В С Б т а к в е д а в а ж и А = С Т У . Д о к а з а т и д а д у ж И с а д р ж и ц е н т а р

п а р а л е л о г р а м а .

543. Д а т је у г а о х О у и т а ч к е А и С у њ е м у . К о н с т р у и с а т и п а р а л е л о г р а м

А В С Б т а к о д а т е м е н а В и Б п р и п а д а ју к р а ц и м а О х и О у .

544. М о ж е л и ф и г у р а к о ју ч и н е д в а к р у г а б и т и ц е н т р а л н о с и м е т р и ч н а ?

О п и с а т и с в е с л у ч а је в е к а д а с е т о д е ш а в а .

545. Н а с п р а м н е с т р а н и ц е н е к о г ш е с т о у г л а с у је д н а к е и п а р а л е л н е .

Д о к а з а т и д а је т а к а в ш е с т о у г а о ц е н т р а л н о с и м е т р и ч а н . М о р а л и б и т и

п р а в и л а н ?

546. К о н с т р у и с а т и к в а д р а т А В С Г ) а к о је д а т њ е г о в ц е н т а р О , је д н а т а ч к а

Р н а п р а в о ј А В и је д н а т а ч к а <5 н а п р а в о ј С П .



5.8. И з о м е т р и јс к е т р а н с ф о р м а ц и је 69

5.8.3. О С Н А С И М Е Т Р И Ј А

З а с в а к у п р а в у р д е ф и н и с а н а је о с н а с и м е т р и ја 5Р . Т о је

п р е с л и к а в а њ е к о је п р о и з в о љ н о ј т а ч к и А д о д е љ у је т а ч к у А —5Р (А ) т а к в у д а је р с и м е т р а л а д е ж и А А П р и о в о м п р е с л и к а в а њ у

с в а к а т а ч к а п р а в е р о с т а ј е н а м е с т у , д о к с е т а ч к е и з је д н е о д

д в е ју п о л у р а в н и о д р е ђ е н и х п р а в о м р п р е с л и к а в а ј у п о п у т о г л е д а л а

у т а ч к е д р у г е п о л у р а в н и .

547. К о л и к о о с а с и м е т р и је и м а ју с л е д е ћ е ф и г у р е :

а ) п а р п р а в и х к о је с е с е к у ; б )п а р п а р а л е л н и х п р а в и х ; в ) п а р т а ч а к а , г )

је д н а к о с т р а н и ч н и т р о у г а о ; д ) к в а д р а т ; ђ ) к р у г ; е ) к р у г и т а ч к а ; ж ) к р у г

и п р а в а ; з ) д в а к р у г а ?548. Д а т а је т а ч к а у к р у г у к и п р а в а р . К о н с т р у и с а т и је д а к о к р а к и

т р о у г а о у п и с а н у к т а к о д а м у о с н о в и ц а б у д е п а р а л е л е н а с а р , а д а

п р и п а д а је д н о м к р а к у .

549. Д а т а је п р а в а р , к р у г о в и к и I и д у ж (I . К о н с т р у и с а т и р о м б ч и ја

је д н а д и ја г о н а л а п р и п а д а п р а в о ј р и и м а д у ж и н у Л , а п р е о с т а л а д в а т е м е н а

п р и п а д а ју к р у г о в и м а к и I.

550. П р а в а р с е ч е д у ж А В , К о н с т р у и с а т и т а ч к у X 6 р т а к о д а р б у д е

с и м е т р а л а у г л а А Х В .

551. К о н с т р у и с а т и Д А В С а к о је д а т о т е м е А и п р а з е р и д к о је с ус и м е т р а л е у г л о в а т р о у г л а у т е м е н и м а В и С .

552. Д о к а з а т и д а м е ђ у с в и м т р о у г л о в и м а А В С с а и с т о м о с н о в и ц о м А В

и д а т о м д у ж и н о м в и с и н е ћ с је д н а к о к р а к и и м а н а јм а њ и о б и м .

553. Д о к а з а т и д а н е п о с т о ји т р о у г а о к о ји и м а т а ч н о д в е о с е с и м е т р и је .

5.8.4. Р О Т А Ц И Ј А

З а с в а к у т а ч к у О у р а в н и и с в а к и у г а о а д е ф и н и с а н а је

р о т а ц и ја Н о ,а ■ О н а п р о и з в о љ н у т а ч к у А р а в н и п р е с л и к а в а ут а ч к у А ' = К 0,а (А ) т а к о д а је О А = О А ' и <А О А ' = а . Р о т а ц и ја

с е п р и т о м е в р ш и у п о з и т и в н о м с м е р у , т ј . с у п р о т н о о д с м е р а

к р е т а њ а к а з а љ к и н а с а т у .Р о т а ц и ја о к о т а ч к е О з а у г а о а у н е г а т и в н о м с м е р у о з н а ч а в а

с е с а К 0 - а и и с т о је ш т о и р о т а ц и ја у п о з и т и в н о м с м е р у з а у г а о

360° - а ' : К о , - а = Л о ,з б о °-а - Н а п р и м е р , а к о је е д н а к с с т р а н и ч н и

т р о у г а о А В С п о з и т и в н о о р и је н т и с а н (т ј. а к о р е д о с л е д т е м е н а

А , В , С п р а т и к р е т а њ е у с м е р у с у п р о т н о м о д к р е т а њ а к а з а љ к и ),

т а д а је С = К А ,е о °(В ), а а к о је А А В С н е г а т и в н о о р и је н т и с а н ,

т а д а ј е С = К *А ._60( В ) , (в . с л )




554. Р о т и р а т и о к о д а т е т а ч к е з а д а т и у г а о :

а ) д а т и к р у г ; 6) д а т и т р о у г а о ; в ) д а т и к в а д р а т ; г ) д а т у п р а в у .

555. а ) Д а т е с у п р а в е а и 6 и т а ч к а 5 в а н њ и х . К о н с т р у и с а т и к р у г

с а ц е н т р о м 5 к о ји с е ч е д а т е п р а в е у т а ч к а м а А , о д н о с н о В , т а к о д а је<А 5 В = 60°.

б ) Д а т е с у п р а в е р и д и т а ч к а А в а н њ и х . К о н с т р у и с а т и ч в а д р а т А В С Б

т а к о д а В 6 р и Б 6 </.

в ) Д а т е с у п а р а л е л н е п р а в е р , </ и г и н а п р а в о ј р Т а Ч к а А . К о н с т р у и с а т и :

1° ј е д н а к о с т р а н и ч н и т р о у г а о А В С , т г к о д а В 6 д и С 6 г ;

2° к в а д р а т А В С Б т а к о д а В б ? , С б г .

556. Д а т е с у т а ч к е А тл В тл у г а о а . Д о к а з а т и д а п о с т о ји с а м о је д Н а т а ч к а0 т а к о д а в а ж и К о , а {А ) = В .

557. Н е к а с у 0 и А п р о и з в о љ н е р а з л и ч и т е т а ч к е и н е к а К о з н а ч а с а

р о т а ц и ју Л о ,120»- Д о к а з а т и д а с у т а ч к е А , Е ( А ) и Л (Д (А )) т е м е н а је д н а к о -с т р а н и ч н о г т р о у г л а .

558. Н а д с т р а н и ц а м а А В и А С п р о и з в о љ н о г т р о у г л а А В С к о н с т р у и с а н и

с у је д н 5,к о с т р а н и ч н и т р о у г л о в и А В и Л С У У . П р е т п о с т а в и м о д а с у

т р о у г л о в и А В С , А В , А С с в и п о з и т и в н о о р и је н т и с а н и . Д о к а з а +и д а јеМ У У = В С .

559. Д а т а ј е т а ч к а Е н а с т р а н и ц и к в а д р а т а А В С Б . К о н с т р у и с а т и т а ч к е

X и V к о је п р и п а д а ју с т р а н и ц а м а к в а д р а т а т а к о д а т р о у г а о Е Х У б у д еј е д н а к о с т р а н и ч н и .

560. Н е к а ј е А В С П Е Р п р а в и л н и ш е с т о у г а о . Н е к а с у К и с р е д и ш т а

д и ја г о н а л е В О и с т р а н и ц е Е Р . Д о к а з а т и д а је т р о у г а о А К је д н а к о -

с т р а н и ч н и .



5.9. Д о д а т а к у з п е т у г л а в у 71

561. Т а ч к а О је с р е д и ш т е д у ж и А В , а т а ч к а је п р о и з в љ н а т а ч к а д у ж и

_ . А - ВА В , и з м е ђ у О и В . Д о к а з а т и д а Ј е О = --------------- .

562. С т р а н и ц е т р о у г л а с е о д н о с е к а о 5:5:4, а р а з л и к а п о л у о б и м а и д у ж и н е

о с н о в е ј е 0, 6с т . О д р е д и т и д у ж и н е с т р а н и ц а т р о у г л а .

563. А к о с е с т р а н и ц е је д н а к о с т р а н и ч н о г т р о у г л а А В С п р о д у ж е п р е к о

т е м е н а з а је д н а к е д у ж и д о б и ја с е т р о у г а о А \В \С х - Д о к а з а т и д а је и о н

ј е д н а к о с т р а н и ч а н .

564. Н е к а ј е т а ч к а је д н а к о у д а љ е н а о д д в е ј у п а р а л е л н и х п р а в и х р и

</. А к о с е к р о з т а ч к у к о н с т р у и ш у п р а в е г и 5, к о је с е к у р и д , р е д о м , у

т а ч к а м а Н , С Е р и Е , Р Е 9 , д о к а з а т и д а ј е С Н = Е Р .

565. С и м е т р а л а у г л а <А т р о у г л а А В С с е ч е с т р а н и ц у В С у т а ч к и К , и з

к о је с у к о н с т р у и с а н е п р а в е К Е \\С А и К Н \\В А (т а ч к е Е и Н п р и п а д а ј у

с т р а н и ц а м а т р о у г л а ) . Д о к а з а т и д а је А Е = Е К = К Н = Н А .

566. К о н с т р у и с а н е с у с и м е т р а л е д в а н а п о р е д н а у г л а и и з н е к е т а ч к е А н а

з а је д н и ч к о м к р а к у к о н с т р у и с а н а п р а в а п а р а л е л н а с а о н а д в а д р у г а к р а к а

д о п р е с е к а В и С с а с и м е т р а л о м . Д о к а з а т и д а с у д у ж и А В и А С је д н а к е .

567. Н а д к а т е т а м а В С и А С п р а в о у г л о г т р о у г л а А В С к о н с т р у и с а н и с у

к в а д р а т и А С К Б и В С Е Н . Н е к а с у и Р п о д д н о ж ја н о р м а л а и з т а ч а к а

# и О н а п р а в у А В . Д о к а з а т и д а ј е Н + Б Р = А В .

568. Д а т ј е п р а в о у г а о н и к А В С И . С и м е т р и ч н о с а т е м е к о м В , у о д н о с у

н а д и ја г о н а л у А С , о д р е ђ е н а ј е т а ч к а В \. П р а в а А В \ с е ч е с т р а н и ц у С В у

т а ч к и Е . Д о к а з а т и д а с у т р о у г л о в и А Е Б и С В \Е п о д у д а р н и .

569. Д о к а з а т и д а је т е ж и ш н а д у ж м а њ а о д п о л у о б и м а т р о у г л а .

570. Д о к а з а т и д а је з б и р в и с и н а т р о у г л а м а њ и о д о б и м а т о г т р о у г л а .

571. С и м е т р а л а м а к о г у г л а у т р о у г л у д е л и н а с п р а м н у с т р а н и ц у н а д в е

д у ж и т а к о д а ј е с в а к а о д њ и х м а њ а о д с у с е д н е с т р а н и ц е . Д о к а з а т и .

572. И з р а ч у н а т и у г л о в е је д н а к о к р а к о г т р о у г л а , к о д к о г а с у с р е д и ш т а

о п и с а н о г и у п и с а н о г к р у г а с и м е т р и ч н а у о д н о с у н а о с н о в и ц у т р о у г л а .

573. У т р о у г л у А В С б и с е к т р и с а у г л а у т е м е н у А с е ч е с т р а н и ц у В С у

т а ч к и Б . К р о з т а ч к у О к о н с т р у и с а н а је п р а в а , к о ј а с е ч е А С у т а ч к и Е ,

т а к о д а је <С Б Е = <В А С = а . Д о к а з а т и д а је В Б = П Е

574. У п р а в о у г л о м т р о у г л у А В С (< С = 90°), С О ј е в и с и н а и з т е м е н а

С . А к о је N с р е д и ш т е д у ж и С В и с р е д и ш т е д у ж и В О , д о к а з а т и д а је

Л Л Г Ј -М С .

575. Н е к а ј е у је д н а к о к р а к о м т р о у г л у А В С ( А С = В С ) С Б в и с и н а , Б Е

н о р м а л а и з Б н а В С и Р с р е д и ш т е д у ж и О Е . Д о к а з а т и д а је С Р А . А Е .

576. А к о ј е О о р т о ц е н т а р т р о у г л а А В С , д о к а з а т и д а је <В О С + < В А С =

180° ’ ' "

5.9. Д О Д А Т А К У З П Е Т У Г Л А В У



72 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а V ,

5(7. Д о к а з а т и д а је з б и р т е ж и ш н и х д у ж и т р о у г л а в е ћ и о д - њ е г о в о г

о б и м а .

578. Д а т је ч е т в о р о у г а о А В С О и п р о и з в о љ н а т а ч к а О . А к о в а ж и О Л . +

б д = о $ + д д , ч е т в о р о у г а о А В С Б је п а р а л е л о г р а м . Д о к а з а т и .

579. В е к т о р е 2! Г — ~1> и 3"п * + 2~& и з р а з и т и в е к т о р и м а ~р ' и ~д>’, а к о је

"о * + 6* = У и - 2~$ А '*сј>

580. Д а т ј е шестоугао А В С О Е Р . А к о су \, 2 , - ■ ■ , § средишта

страница А В , В С , . .. , Р А , доказати д а с е тежишта троуглова М1М3М5 и

МгМ4Мб поклапаЈу.

581. Д а т ј е п р а в и л н и ш е с т о у г г о А В С Б Е Р . Т а ч к е , N и Р с у р е д о м

с р е д и ш т а д у ж и И Е , А и В С . Р а з л о ж и т и в е к т о р N & н а к о м п о н е н т е д у ж

в е к т о р а А ћ и А р .

582. Д а т ј е ј е д н а к о с т р а н и ч н и т р о у г а о А В С . А к о 'е О њ е г о в о р т о ц е н т а р

и = ~а ?, Ш = 1> , о д = и з р а з и т и в е к т о р 6 п о м о ћ у в е к т о р а ~а* и

~с .

583. Н а д с т р а н и ц а м а т р о у г л а А В С , с п о љ а , к о н с т р у и с а н и с у п р о и з в о л ,н и

п а р а л е л о г р а м и А В В 1А 2 , В С С \В 2, А С С 2А 1. М о ж е л и с е о д д у ж и А 1А 2 ,

В 1В 2 и С 1С 2 к о н с т р у и с а т и т р о у г а о ?

584. Н а д с т р а н и ц а м а т р о у г л а А В С , с а с п о љ а ш њ е с т р а н е к о н с т р у и с а н и с у

је д а к о с т р а н и ч н и т р о у г л о в и А В С \, В С А Х и С А В \. Д о к а з а т и д а је А А \ +

В В ^ + С С г = 1?.

585. Т а ч к е Е и Р с у с р е д и ш т а с т р а к и ц а А В и С В ч е т в о р о у г л а А В С О .

Д о к а з а т и д а с у т а ч к е 5, <3, Н , Р к о је с у с р е д и ш т а д у ж и А Р , В Р , С Е и О Е

т е м е н а п а р а л е л о г р а м а .

586. Н е к а с у К и I« т а ч к е н а с т р а н и ц и А О и д и ја г о н а л и А С п а р а л е л о г р а м а ,

А В С Б т а к в е д а је А К = - А Б и А Б = — С . Д о к а з а т и д а с у т а ч к е К , I и4 5

В к о л и н е а р н е и и з р а ч у н а т и К Е : Е В .

587. Н е к а с у Р , (ј и Н т а ч к е р е д о м н а с т р а н и ц а м а В С , С А и А В т р о у г л а

А А В С . Д о к а з а т и д а с е к р у ж н и ц е о п и с а н е о к о т р о у г л о в а А Н О , В Р Н и

С С ј Р с е к у у је д н о ј т а ч к и .588. Д а т ј е к о н в е к с а н ч е т в о р о у г а о А В С Б , к о д к о г а ј е <А В О = 50°,

<А О В = 80°, <А С В = 40° и <О В С = < В Б С + 30°. И з р а ч у н а т и < Е З С .

589. И з п р о и з в о љ н е т а ч к е Р и з в а н к р у г а к о н с т у р и с а н е с у т а н г е н т е Р В и

Р О : П р а в а , к о ја п р о л а з и к р о з Р и с е д и ш т е к р у г а , с е ч е к р у г у т а ч к а м а А

и С . Д о к а з а т и д а п р а в а В А п о л о в и <Р В Б

590. Н а к р у г у к (0 , г ) д а т а ј е т а ч к а М . О д р е д и т и г е о м е т р и јс к о м е с т о

с р е д и ш т а с в и х т е т и в а к р у г а , ч и ји ј е је д а н к р а ј у т а ч к и М .

591. К о н с т р у и с а т и А А В С а к о с у д а т е д у ж и Н а с т р а н и ц е а , в е л и ч и н а у г л а

с и д у ;:с и н а (I д у ж и С К , г д е је К т а ч к а н а В А т а к в а д а је В К : К А = 3 : 1 .

3



5.9. Д о д а т а к у з п е т у г л а в у 73

592. У п а р а л е л о г р а м у А В С Б , ч и је с у с т р а н и ц е А В = С Б = а , В С = А Б =

6, (а < 6) и у н у т р а ш њ и у г а о к о д т е м е н а А м а њ и о д 90° к о н с т р у и с а н е с у

с и м е т р а л е у н у т р а ш њ и х у г л о в а .

а ) И з р а ч у н а т и д у г к и н у д и ја г о н а л е п р а в о у г а о н и к а Р С Ј Н З , к о је г о б р а -з у ју о в е с и м е т р а л е .

б ) К о ји у с л о в т р е б а д а и с п у њ а в а ју а и 6 д а с е п р а в о у г а о н и к н а л а з и

у п а р а л е л о г р а м у ?

593. Д о к а з а т и д а с у с р е д и ш т а с т р а н и ц а и п о д н о ж је б и л о к о је в и с и н е у

р а з н о с т р а н и ч н о м г р о у г л у т е м е н а је д н а к о к р а к о г т р а п е з а .

594. Н е к а је А В С је д н а к о к р а к и т р о у г а о и О п р о и з в о љ н а т а ч к а н а

о с н о в и ц и А В . А к о с у К и Р п о д н о ж ја н о р м а л а и з О н а к р а к е А С и В С

д о к а з и т и д а ј е О К + О Р = А , г д е је п о д н о ж је в и с и н е и з А н а к р а к

В С .

595. Т е м е у г л а а је и з в а н д а т о г к р у г а . К р а ц и т о г у г л а о д р е ђ у ј у н а к р у г у

д в а л у к а к о ји с у у р а з м е р и 3:10. В е ћ и о д т и х л у к о в а о д г о в а р а ц е н г р а л н о м

у г л у о д 40°. К о л и к о с т е п е н и и м а у г а о а ?

596. И з р а ч у н а т и у г л о в е т р о у г л а А В С , а к о т е ж и ш н а д у ж с и м е т р а л а у г л а

и в и с и н а и з т е м е н а С д е л е у г а о А С В н а ч е т и р и је д н а к а д е л а .

597. Н е к а с у и N т а ч к е д о д и р а к р у г а у п и с а н о г у т р о у г л у А В С с а

с т р а н и ц а м а А В и А С , а Р т а ч к а п р е с е к а п р а в е N с& с и м е т р а п о м у г л а

А В С . Д о к а з а т и д а ј е у г а о В Р С п р а в .

598. Д у ж и н а с т р а н и ц а т р о у г л а с у 6, 7 и 9. И з т е м е н а т р о у г л а ^ к а ои з с р е д и ш т а к о н с т р у и с а н а с у т р и к р у г а , к о ји с е м е ђ у с о б н о д о д и р у ју ,

п р и ч е м у к р у г , ч и је је с р е д и ш т е у т е м е н у н а ј м а њ е г у г л а т р о у г л а , и м а

с а о с т а л и м к р у г о в и м а у н у т р а ш њ и д о д и р , а т а д в а п р е о с т а л а к р у г а с е

д о д и р у ј у с п о љ а . И з р а ч у н а т и д у ж и н е п о л у п р е ч н и к а с в а т р и к р у г а .

599. Н е к а с у А 1 , А 2, А 3 , А 4 п р о и з в о љ н е т а ч к е н а к р у г у и с р е д и ш т а л у к о в а

А \А 2, А 2А %, А 3А 4 , А 4А 1 - В 1 , В 2 , В 3 , В 4 с п о је н и с у д у ж и м г ^ Д о к а з а т и д а

м е ђ у о в и м д у ж и м а п о с т о је д в е м е ђ у с о б о м у п р а в н е .

600. У у г л у с а т е м е н о м А и з а б р а н а је т а ч к а . Н е к а с у Р и <5 п о д н о ж ја

н о р м а л а и з н а к р а к е у г л а , а К п о д н о ж је н о р м а л е и з А н а Р ( 5- Д о к а з а т и

д а је и < А Р = <(Ј А К

601. Д в а к р у г а д о д и р у ј у с е и з н у т р а у т а ч к и А . А к о је А В п р е ч н и к в е ћ е г

к р у г а и т е т и в а В К в е ћ е г к р у г а д о д и р у ј е м а њ и к р у г у т а ч к и С , д о к а з а т и

д а је А С с и м е т р а л а у г л а к о д А т р о у г л а А В К .

602. А к о је 5 т а ч к а у к о јо ј с е с е к у п р о д у ж е ц и к р а к о в а А Б и В С т р а п е з а

А В С Б , д о к а з а т и д а с е к р у г о в л о п и с а н и о к о А 8 А В и А 8 Б С д о д и р у ју у

т а ч к и 3.

603. Т а ч к е и N с у с и м е т р и ч н е т е м е н у С т р о у г л а А В С у о д н о с у н а

б и с е к т р и с е у г л о в а у т е м е н и м а А и В . Д о к а з а т и д а је т а ч к а Р , у к о јо ј

у п и с а н и к р у г д о д и р у је с т р а н и ц у А З , с р е д и ш т е д у ж и И .



74 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а К

804. Н е к а с у Р ,<3,Д , 5, р с д о м , с р е д ж и т а с т р а н и ц а А В , В С , С 1), О Л п а -

р а л е л о г р а м а А В С Б и X п р о и з в о љ н а т а ч к а . А к о с у Х 1 1.Х 2 1Х з 1.Х 4 1р е д о м ,

ц е н т р а л н о с и м е т р и ч н е т а ч к е т а ч к и X у о д н о с у н а Р , <2, К , 8, д о к а з а т и д а

ј е Х \Х г Х $Х ц п а р а л е л о г р а м .

605. П р а в а д с е ч е о б а к р а к а о ш т р о г у г л а х О у . К о н с т р у и с а т и п р а з у р |јд

т а к о д а о д с е ч а к и з м е ђ у к р а к о в а о в о г у г л а б у д е д а т е д у ж и н е 6.

606. Д а т ј е А А В С и п р а в а д . П р е с е ћ и т р о у г а о п р а в о м р || т а к о д а

о д с е ч а к о в е п р а в е и з м е ђ у с т р а н и ц г , т р о у г л а и л и п р а в и х о д р е ђ е н и х т и м

с т р а н и п а м а б у д е д а т е д у ж и н е А -



Г л а в а VI

Р А Ц И О Н А Л Н И А Л Г Е Б А Р С К И И Р А И

6.1. Т Р А Н С Ф О Р М А Ц И Ј Е Ц ®Л И Х А Л Г Е Б А Р С К И Х

Р А Ц И О Н А Л Н И Х И Р А А

З а Љ р а з е А , В , С , О в а ж и :

1° а ) А ( В ± С ) = А В ± А С - д и с т р и б у т и в н и з а к о н

б ) (А + В ) ( С + 0 ) = А С + А 0 + В С + В 0

2° А 2 —В 2 = (А —В ) (А + В ) - р а з л и к а к в а д р а т а

3° А 3 ± В 3 = (А ± В ) ( А 2 Т А В + В 2) - з б и р и р а з л и к а к у б о в а

4° (А ± В )2 = А 2 ± 2А В + В 2 - к в а д р а т б и н о м а

5° (А ± В )3 = А 3 ± 3А 2В + 3А В 2 ± В 3 - к у б б и н о м а

607) С р е д и т и п о л и н о м е п о о п а д а ју ћ и м с т е п е н и м а :

а ) 4 + З ж — 2х 2 + 5х + 6х 3 —2х 2 + 1;

б ) х 4 + З г 3 — х + 4 х 2 —2х 3 —3 — X2.

(608. С р е д и т и ц е л е р а ц и о н а л н е и з р а з е

а ) З г 3 — 2х 2 + 5х —а + 4х 2 —5х + 2а - З г 3;б ) 6х —7а 2 + З г 2 — З х + 5а 2 —х 2;

в ) 7 х 2у + З х у 2 + у 3 + 4 х у 2 —2х у + у 2 - у 3,

г ) 8х 2у 3 + ( - б х ^ у 3) + ( - 3 х 2у 3) - ^ х 3у 2;

д ) а х + 7х а — 9а х + 8а х —5х а ;

ђ ) З х а + 6а х —х а + (—5а х ) —2х а ; х , у , а 6 N

О с д о б о д и т и с е з а г р а д а у и з р а з и м а (з а д а ц и 609-610).

609Л а ) (г + 5 )( х 2 - 2х + 3) - 15;

б ) (2 + З г —х 2) ( х 2 + 5х — 1) + 5х 2( х 2 —2х + 3);



76 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а V I.

в ) х 3(2х — I )2 + (5ж + З )2 —х 2( х + I)2;

г ) 2 + ж (3 + ж (4 + ж (5 +ж )));

610, ^) (а + 6)(с + с?) + (а + с()(6 + с ) + (а + с )(6 + <1);

б ) (а + 6)(ж + у ) + (а - 6)(ж - у ) - (а ж + 6у );

в ) (ж - у )( ж 4 + х 3у + х 2у 2 + ж у 3 + г/4);

г ) а Ч 2У (а Ч У - 2а « - 3(>х ) , х , у € N.

( 611. 1а ћ и з б и р и р а з л и к у с л е д е ћ и х п о л и н о м а :

----- а ) Р (ж ) = ж 2 - 2ж + 1, <3(ж ) = (ж - 1)(ж + 1);

б ) Р (ж ) = ж 6 - 2ж 5 + ж 4 - х , <5(ж ) = ж 4- ж 3 + ж + 2;

в ) Р (ж ) = 4ж 5 - 2ж 2 + З ж - 2, <3(ж ) = —З ж 4 - 5ж 2 - 4ж + 5;

г ) Р ( х ) = а х 3 + 6ж 2 - 2а ж + 36, <3(ж ) = &®3 - 2а х 2 + 8а ;

д ) Р (ж , у ) = ж 3 + З ж 2у + З х у 2 + у 3, <5(ж , у ) = ж 3 - З х 2у + З ж у 2 - у 3;2 3 , 1- Ж Ј / - - Ж + У , У ( ж , г / ) = - ж у - - ;

612 П о м н о ж и т и п о л и н о м е :

а ) ж - 1 и ж 2 + ж + 1; б ) х + 3 и ж 2 - З ж + 9;

в ) З ж 2 —5ж + 6 и 2х — 7; г ) ж 4 + ж 3 + 2 и ж 2 - З ж + 4;

д ) З у 2 + 2ж 2 —6ж у и 2ж 2 + 4ж у —2у 3;

ђ ) ж —у , у — г и г — х

613. О д р е д и т и м о н о м е и д е н т и ч к и је д н а к е д а т и м и з р а з и м а (п , т 6 N 1

х , у , г ф О ) :

а ) 2х (—у )(—х у ); б ) х 2у ( - 2х 2)3( - ^ х у )2;

в ) 4 х 2у 3 х У ; г ) х п у п - х 2- п у п + 1;

д ) ( ж V ) : (ж у 2); ђ ) ( ж V *10) : (ж 3г 10),

е ) (х т у т ) : (х т - 1у т ~2); ж ) (а 465)т ■ (2а т 6т )4;

з ) (ж 2)5 : (ж 3)2; и ) (ж 5у 2)4 : (х 3у 3)2;

ј ) (ж т у 2 т )3 : (ж т у т )2; к ) ж " •( ( х 2у 3)п : (ж 3у )п ).

Р а с т а в и т и н а ч и н и о ц е и з в л а ч е њ е м з а је д н и ч о г ч и н и о ц а и с п р е д з а г р а д ес л е д е ћ е п о л и н о м е (з а д . 614-619):

614. а )5 а + 5ж ; б ) 2а —2; в ) 7а — 14; ) З а 2+ 9;

д ) З а + 66 + 9? ђ ) 6х + а х + 6ж ; е ) 9а 2 —6а + 12.

615. а ) а 2 - а 3; б ) З а 2 - 6а ; в ) х 3а 2 - ж 3; ,

г ) З а 3 + 2а 2 + а ; д ) 4х 2 - 2 х + х у ; ђ ) х 3у 3 - х 3у + х А у 3.

616. а ) х 3 3 - ж 2;/8; б ) 6х 2у 2 - 4ж у 3; в ) 5ж 3 - 15ж 2у 3 ;

(г ) 6ж 3у - 9ж 2у 2 + З ж З у 2; д ) ж 3 - ж 7 - 2ж 5.

617.^ а 362 + 2а 462 - 4а 65; С ~б } З а 363 - 9а 264 + 12а 564;



6.1 Т р а н с ф о р м а ц и је ц е л и х а л г е б а р с к и х р а ц и о н а л н и х и з р а з а 77

в ) 15х 3у — 10х 4у —5 4у а ; г ) 14х 4у 2 —35х 4у 3 + 21х 3у 4;

д ) 21 а 7610 - 12а ®67 + 15а 5612 - 18а 567;

ђ ) 14а 8ж 4 —21а 5г 8 —14ж 7а 3 —84ж 4а 3.

618. а ) а (т + п ) + 6(ш + т г); б ) т (а —6) + п (а —6);

в ) х ( т —п ) —у ( т —п ); г ) х (а —6) + 5(6 —а );

д ) 7д ( р - д ) + 2р (д - р ) ; ђ ) 2т (х - 3) - 5п (3 - х ) ;

е ) 2к (а —6) - (6 - а ) ; ж ) 3(х + у ) + (х + у )2;

з ) 2(а —6)2 —(а + 6)(а —6);

и ) 2а (ж + у — г ) —36(г + у — г ) + б г ( г —х — у ).

б ј б . а ) а 2п + а п ; б ) а 3х - а 2Ч х ; в ) 2х т +п + 6х п ;

г ) а 3х + 3а 2х + б а х ; д ) 6а 21 —9а 3х + З а 2х к х . т , п , х Е N .

'• V1 Г р у п и с а њ е м ч л а н о в а , р а с т а в и т и н а ч и н и о ц е с л е д е ћ е п о л и н о м е :

а ) 3771 —а п + 6т —6п ; б ) а т — а п —6т + 6п ; >.

в ) а б + а у —к х — х у ; г ) а п — а б —т п + т 1;

д ) 5а ж + 5а у - ж - у ; ђ ) 2ж 2 - 2х у - х + у ;

е ) 4у ш —А у п — т + п ; ж ) х 2 —х у — 2х + 2у ;

з ) 66у —156ж —4а у + 10а а ;; и ) а х 2 —6ж 2 —к х + а х —а + 6;

ј ) 5а ж 2 —10а ж —6ж + 2Ј з■—•): + 2;

к ) х у г + х 2у 2 + 3х 4у 5 —3х 3у 4 —х у —г ;л ) т 2х 4 —т п х 3 + 2т х 2 — 2п х + п —т х

П р и м е н о м ф о р м у л е з а р а з л и к у к в а д р о т а р а с т а в и т и н а ч и н и о п е с л е д е ћ е

п о л и н о м е (з а д . 621-623):

а ) х 2 — 49; б ) а 2 - 36

в ) 16ж 2 —9; г ) 9ж 2 —49;

\ 2 1 к \ х 2 4

49’ ~4 9

9х 2 4у 2 . 49ж 2 2е ) ---------------; ж ) — ----- 9у ;4 9 ; 25 У

з ) х 2 — 0,36; и ) ж 2 - 0,0009;

ј) 0,04ж 2 —0,25; к ) 0 ,01ж 2 - 0 ,04у 2;

л ) а :4у 2 —0,01 л >) 0 , 25х 2у 2 — 0.0001

( б 2 2 ^ ђ (*■ - З )2 - 4; б ) (а + 5) 2 - 9;

в ) У 2 —(х —у )2; г ) х 2 —(х + у )2;

д ) (с + 2)2 — 4ж 2; ђ ) 9ж 2 — (х — I)2.

62 3у а ) (х - у )2 - 16(ж + у ) 2; б ) (х + 2у )2 - 9(ж - 2у ) 2;в ) 4(х —у )2 —25(ж + у )2; г ) 36(ж —2)2 — 2§{х + I)2;



д ) (*4- У ~ г )2 — (г — у + г )2; ђ ) (х + у - З )2 - (* + 2 )2.

624. П р и м е н о м ф о р м у л е з а р а з л и к у к в а д р а т а и з р а ч у н а т и п р о и з в о д е :

а ) 98 102; 6 )9 9 101; в ) 83 •77;

г ) 79 •81; д ) 18 •22; ђ ) 201 ■ 199;е ) 1,05-0,95.

625. Н а ћ и к в а д р а т и к у б и з р а з а :

а ) ж - 2 ; б ) ж + З у ; в ) г + ж 2;

г ) а 3 —2а ; д ) х 2у - х у Ј ; ђ ) ж + г /+ г ;

е ) х - јг-+ г ; ) а + Ј _ 1 ; 3ј а _ ј _ ј

626. П р и м е н о м ф о р м у л а з а к в а д р а т и к у б з б и р а и р а з л и к е , и з р а ч у н а т и :

а ) П 2, 212, 992, 1012; б ) II3, 1013, 993, 1023.

627. 'К о р и с т е ћ и ф о р м у л е з а з б и р и р а з л и к у к у б о в а р а с т а в и т и н а ч и н и о ц ес л е д е ћ е п о л и н о м е :

а ) а 3 —8; б )64 а 3 + 1;

в ) 8ж 3 - 27у 3; г ) х 3 - Ш 3у 3;

д ) 8х 3а 3 + у 6; ђ ) (а + 6)3 - 63;

е ) (г ~ У )3 ~ ж ) (ж - З ) 3 - 27ж 3;

з ) (а - 6)3 - (а + 6)3; и ) 0.064 - х 3;

ј) 0,008 + 0, 001ж 3; к ) 0 ,027ж 3 + (х - I)3;

0 , 1 :

64

78 Т е к с т о в и З и д а т а к а - Г л а в а VI.

л ) 0 ,125ж 3 —(ж + I )3 ; љ ) А -

м ^ ^ + у 3; н ) (а + 6)3 - 2 7 ( а - 6 ) 3;

= љ ) (а - 2)3 + (а - I )3; (?) (2® + З у )3 - (З ж - 2ј/)3;

п ) (3* - 2у )3 - (2* + З ј/ )3 ; р ) (2« - З у )3 + (З ж - 2у )3 .

Е Ј28. К о р и с т е ћ и ф о р м у л е з а к с а д р а т и к у б б и н о м а р а с т а в и т и н а ч и н и о ц е

с л е ^е ћ е п о л и н о м е :

а ) а 2 —6а + 9; б ) 9 а 2 + 6 а + 1 ;

в ) 25ж 2 + 40х у + 1 6 ј / 2 ; г ) 4х 4 + 8х 2у + 4у 2;д ј а 7 - 2 а Ч + а Ч 2; ф 9х 5 + 6х 3у + х у 2;

е ) 1 а 2 + а + 1; ж ) ^

з ) (® + у )2 + 4(ш + у ) + 4; и ) 9х 2 - 6х { у - г ) + (у - г )2;

ј) а 3 + 6а 26 + 12а 62 + 863; @ ) 125а 3 - 75а 26 + 15а 62 - 63;

л ) 8х 3 + 36х 2у + 54х у 2 + 27у 3; # ) 27а 3 - 135а 26 + 225а 62 - 12563.

629. Р а с т а в и т и н а ч и н к о ц е к в а д р а т н е т р и н о м е к о ји н и с у к в а д р а т иб и н о м а :

-• а ) х 6; ^ б ) х 2 + 6ж + 8;



> ,

6.1. Т р а н с ф о р м а ц и је ц е л и х а л г е б а р с к и х р а ц и о н а л н и х и з р а з а 79

в ) х 2 + 12х + 35; г ) а:2 —З ат —4;

д ) х 2 —7х —30; , 0 6 2 - 2 6 -6 3 ;

е ) 62 + 56 —50; а 2 + З а б —2862;

[ з ) 2а т2 + 5х у - З у 2\ и ) у 2 - х (2а + 1) ј / + а (а + 1);

I ј) а 6 —5а 4 + 4а 2; к ) п 3 + З п 2 + 2п ;

ј л ) З ж 2 + 5х —8; љ ) 5ж 2 + 12ж —44;

( м ) 2х 3 + 5ж 2 —З х ; н ) 12ж 3 + 4ж 2 —х

К о р и с т е ћ и р а з н е м е т о д е р а с т а в и т и н а ч и н и о ц е с л е д е ћ е л о л ц н о м е (з а д .

630-633);

^ 630 / а ) х 2 + у 2 —г 2 + 2х у ; б ) х 2 + у 2 — г 2 — 2х у ;

Ј в ) х 2 + у 2 — 9 — 2х у ; г ) 2г 2 + 2у 2 —2 + 4х у ;

^д ) а 3 —4а 36 + 4а 62 - а ; ђ ) 4а 262 —4а 63 + 64 —462

631. а ) а 26 —а б 2; б ) 2х 2 —2у 2;

в ) а 3 —а ; г ) а 4 —а 2;

д ) 5а т3 —20а ?у 2; ђ ) х 2у г 2 —у г 2 ;

е ^ х 2 - у 2 + х - у ; Г ж ј> х 2 - у 2 - х - у -

Џ х 2 ~ У 2 - х + у ;

ј) а 56 —а б 5; х 3 - у 3 + х 2 - у 2;

^ х 3 - у 3 - х 2 + у 2; а-3 + у 3 - х 2 + у 2.

632. а ) а 562 —а 265; б ) 8®7*/3 + ж 4у 6;

/в ј) ж 6 —а 6; г ) а 6 + 27;

^ ж 6 + а 12; ђ ) х 12 —а 12;

~ е ) ж 15 —8 ј/3 ; ж ) 7х 10 + 56 7ј/6 ;

з ) а 3 —63 —27(а —6); I и | а 6 - а 462 + а 363 —а б 5;

ј) 2ж 4 + 5ж 3 —2ж —5; . к ) 1+ 2х 3 —х — 2;

л ) р 3х 2 —д 3х 2 —р 3 + 93; љ ) ж 5 —ж 3 + 27ж 2 —27;м ) ж 3ј/3 - ж 3 - у 3 + 1; н ) а 362 - а 3 + 862 - б .

633. а ) 16ј /4 + 27у 3а + 108ј /2а 2 + 54а 3у ; б ) 81 4 + 162х 3у + 108ж 2ј/2 + 24ж ј/3 ;

в ) 24ж 4 —108ж 3а + 162ж 2а 2 —81ж а 3; г ) 54у 4 —108ј / 3о + 72у 2с 2 —16у а 3 .

634. У п р о с т и т и и з р а з е :

а ) (2ж — I)2 + (ж —2)3 —(2ж —1)(х —2);

б ) (ж 2 - х + 1)( + 1) - ( 2 - I) 2 - (ж 2 + ®+ 1)( - 1);

в ) (а - I )2 —4а (а + I )2 - 6(а + 1)(а - 1);

г ) (а —6 + с )2 + (а + 6)2 —(а + с )2.



6.2. П О Л И Н О М И Ј Е Д Н Е П Р О М Е Н Љ И В Е

80 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а VI.

1° К а н о н с к и о б л и к п о л и н о м а

Р (ж ) = а п х п + а „_ 1 п _1 -|-------1- а х х + а 0, г д е је х п р о м е н љ и в а , аа о , 01, ■ ••, а „ с у д а т е к о н с т а н т е и п п р и р о д а н б р о ј и л и н у л а .

2° Л в а п о л и н о м а , Р и ф , с у је д н а к и а к о и м а ју и д е н т и ч н е

к а н о н с к е о б л и к е , т ј. а к о и м а ју је д н а к е с т е п е н е и с в е о д г о в а р а ју ћ е

к о е ф и ц и је н т е је д н а к е м е ђ у с о б о м :

Р ( х ) = а „ х п + •■ ■ + а ^х + а 0, <3(ж ) = 6„ж " + ------ 1- к х + 60

и

а п = 1> , ‘ , а 1 = &1, п { = 6о

3° Н у л а - п о л и н о м Р ( х ) 0

4° Б е з у о в а т е о р е м а . О с т а т а к д е љ е њ а п о л и н о м а Р ( х ) с а х —а ,

г д е је а к о н с т а н т а , и з н о с и Р (а ).

П о с л е д и ц а : А к о је Р (а ) = 0, п о л и н о м Р ( х ) је д е љ и в с а х —а .

5° Н е к а с у А и В п р о и з в о љ н и п о л и н о м и , п р и ч е м у је п о л и н о м

В р а з л и ч и т о д н у л т о г . Т а д а п о с т о је је д и н с т п е н о о д р е ђ е н и п о л и -

н о м и д (к о л и ч н и к ) и К (о с т а т а к ), т а к с д а в а ж и

А = В С ј + Н ,

п р и ч е м у је п о л и н о м К н у л т и и л и и м а м а њ и с т е п е н о д п о л и -

н о м а В . ^

035. О д р е д и т и к о л и ч н и к п о л и н о м а :

а ) ( х 2 - у 2) : ( х - у ) , х ф у ,

б ) (25 - с 2) ■ (5 + с ) , с ф -5 ;

в ) (а 3 —3а 26 + 3а б 2 —63) : (а —6), а ф 6;

г ) (8а 3 —1) : (4а 2 + 2а + 1);

д ) (27 + 8а 3) : [3 + 2 а ) , а ф ~ .

636. О д р е д и т и в р е д н о с т п о л и н о м а Р ( х ) у т а ч к и а а к о је

а ) Р ( х ) = х 4 —2ж 3 + З х 2 —5ж + 6, а = 2;

б ) Р ( х ) = х 3 —2х 2 + З х — 5, а = 1 —\ 2.

637. П о д е л и т и п о л и н о м е -

а ) 2ж 5 —5х 4 —2ж 3 + 12х 2 —9ж + 2 с а х 2 —З х + 2;

б ) х 3 —5ж 2 + З ж —2 с а х 2 —х + 1;



6.2. П о л и н о м и је д н е п р о м е н љ и в е 81

в ) ж 5 + х 2 + х + 2 с а ж 3 —ж + 1;

г ) х 5 —х 3 —х 2 + х + 1 с а х 3 + х 2 -- 1;

^д )јг 4 —2ж 3 —А х 2 + 24ж —31 с а х 2 + х —5.

638. Н а ћ и о с т а т а к п р и д е љ е њ у п о л и н о м а р ( х ) с а х — 1: *

а ) р (х ) = х 4 — З ж 3 + 4ж 2 —9х + 8;

б ) р ( х ) = х 5 — 2х 3 + З ж 2 —2ж ;

в ) р ( х ) = ж 5 + ж 4 —ж 3 + ж 2 —ж + 1.

639. Н а ћ и к о л и ч к г а к и о с т а т а к п р и д е љ е њ у п о л и н о м а А (х ) п о л и н о м о м

В (х ) :

а ) А ( х ) = х 2 —2ж + 2, В (х ) = х — 1;

б ) А (х ) = 6ж 2 —13ж , В (х ) = 2ж —3;в ) А (х ) = х 3 + 2ж 2, В (х ) = х 2 + х + 1;

г ) А ( х ) = х 3 + 2ж 2, В ( х ) = х + 1;

д ) А (х ) = х 3 + 4ж 2 + 8ж + 5, В (х ) = х + 1;

ђ ) А ( х ) = х 2 + 2х —7, В ( х ) = %2 —2х + 7;

е ) А ( х ) = х + 3, В ( х ) = х 2 — ® + 11;

ж ) А ( х ) = х 2 + В (х ) = х + - ;

( з ђ А ( х ) = 8ж 4 - 10ж 3 + 15ж 2 + 13* - 2, В (х ) = 2х 2 - З ж + 5.

640. О д р е д и т и к о е ф и ц и је н т е а и 6 т а к о д а п о л и н о м и р ( х ) и <?(*) б у д у

и д е н т и ч к и је д н а к и :

а ) р (х ) = З ж 3 —а х 2 + 2ж + 5, д (х ) = к х 3 — 4ж 2 + (6 — 1)ж + 5;

б ) р (х ) = а х 3 —4х + 1, д (х ) = к х + 1;

в ) р (х ) = 4ж 2 + З ж 2 + а , д (х ) = 6*3 + З ж 2 + 5.

*’ 41. \О д р е д и т и р е а л н е б р о је в е а , 6 и с т а к о д а с л е д е ћ и п о л и н о м И б у д у

и д е т и ч к и је д н а к и :

а ) А (х ) = х 3 - 2х 2 + 3 и В (х ) = (ж + 1)(а ж 2+ 6ж + с );

б ) А ( х ) = 2х 3 - 9х 2 + 13ж - 6 и В (х ) = (х - 2)(а х 2 + к х + с );

в ) А (х ) = 12ж 3 - 40ж 2 + 27ж - 5 и В (х ) = (З ж - 1)(а ж 2 + 6ж + с );

г ) А ( х ) = 6ж 3 - 23ж 2 + 29ж - 12 и В (х ) = (х - 1)(а ж 2 + к х + с );

д ) А (х ) = ж + 5 и В (х ] = а (ж —2)(ж -3) + 6(ж —1)(ж —3) + с (ж —1)(ж —2);

ђ ) А ( х ) = (ж + 1)(ж + 2) + (ж + 1)(ж + 3) + (ж + 2)(ж +3) и В ( х ) = а ж 2 + 6ж + с ,

642. Д а т је п о л и н о м р (х ) = 2х 3 —4т х 2 + т х —2т

а ) О д р е д и т и п а р а м е т а р т т а к о д а п о л и н о м р ( х ) б у д е д е љ и в с а ж —2.

б ) О д р е д и т и п а р а м е т а р т т а к о д а о с т а т а к п р и д е љ е њ у р ( х ) с а ж —1б у д е је д н а к 7.



> д а с -


643. К о р и с т е ћ и Б е з у о в у т е о р е м у , о з а с т а в и т и н а ч и н и о ц ^ п о л и н о м е :

\р .) р (х ) = х 3 + 9х 2 + 23х + 15;

N5) р (х ) = х л —2х 3 — З х 2 + 4.х + 4; ?>

в ) р (х ) = х 4 + 10г 3 + 35х 2 + 50ж + 24;

^Ј ) р ( х ) = х 4 —2х 3 — 13х 2 + 14г + 24

д ) р (х ) = х 4 — 10г 3 + 35х 2 — 50ж + 24;

ђ ) р ( х ) = х 5 + З х 4 —11х 3 —27х 2 + 10ж + 24.

I

644. а ) Р а с т а в и т и н а ч и н и о ц е п о л и н о м р (г ) = х 3 —6х 2 + \\х — 6 г к о с е з н а

д а је р (1) = 0;

б ) Р а с т а в и т и н а ч и н и о ц е п о л и н о м р (х ) = З?4 —х 3 + 2х 2 + х — 3.

645. Д а т ј е п о л и н о м р (г ) = а х 3 + З а х 2 + З х . О д р е д и т и в р е д н о с т п а р а м е т р а

а т а к о д а п о л и н о м б у д е ц е љ и в с а х + 2.

/^ 6 4 6 . Н е и з в о д е ћ и д е љ е њ е д о к а з а т и д а ј е п о л и н о м р (ж ) = (х 3 — 8)5 + ( г 2 —4)3

'ч ^ д е љ и в с а х —2.

647 П о л и н о м р ( х ) = х 2 —к х + 1, к ,1 (Е В . д а ј е п р и д е љ е њ у с а х - 3 з а 6в е ћ и о с т а т а к н е г о п р и д е љ е њ у с а х — 1 и д а је п р и д е љ е њ у с а х + 1 д в а

п у т а в е ћ и о с т а т а к н е г о п р и д е љ е њ у с а х — 1. О д р е д и т и к и I.

1148, ' ''д р е д и т и б р о је в е к и I т а к о д а п о л и н о м р (х ) = х 3 + 2к х 2 —1 х + 5 д н је

је д н а г к е о с т а т к е п р и д е љ е њ у с а ж + 1, х — 1 тл х —4.

649. л ) З б и р о с т а т а к а п р и д е љ е њ у п о л и н о м а р (х ) = х 3 + 2т х 2 —т х — 5;

—-т п е а , с а х + 2 и с а х — 2 и з н о с и 6. Н а ћ и ш .

б ) Р а з л и к а о с т а т а к а п р и д е љ е њ у п о л и н о м а р ( х ) = х 4 + к х 2 + 21х — 3, к ,1 е К .,с а г - 1 и с а I + 1 и з н о с и 8, а з б и р т и х о с т а т а к а је 2. Н а ћ и к т л I

/ х .- \ 650. О д р е д и т и к о е ф и ц и је н т е а и 6 т а к о д а п о л и н о м х 3 + а х + ђ х + 3 б у д е

д е љ и :/ с а (х — 1)(ж + 3).

651, О д р е д и т и к о е ф и ц и је н т е т т л п т а к о д а п о л и н о м х 3 + т х 2 + 3х + п б у д е

д е љ и в с а х — 1 и д а п р и д е љ е њ у с а х — 3 д а је о с т а т а к 8.

552' О с т а т а к п р и д е љ е њ у п о л и н о м а р ( х ) с а х 2 —5х — 14 је 2х + 4. К о ји с у

с с т а ц и п р и д е љ е њ у п о л и к о м а р ( х ) с а х —7, о д н о с н о х + 2?



6.3. Н З Л и Н З С п а л и н о м а 83

6.3. Н А Ј В Е Ћ И А Ј Е Д Н И Ч К И Д Е Л И Л А Ц И Н А Ј М А Њ И

А Ј Е Д Н И Ч К И С А Д Р Ж А Л А Ц П О Л И Н О М А

Д е ф и н и ц и ј а . Н е к а с у А и В п о л и н о м и , р а з л и ч и т и о д н у л т о г .

1° Н а јв е ћ и з а је д н и ч к и д е л и л а ц (Н З Д ) п о л и н о м а А и В је

п о л и н о м О к о ји и м а н а јв и ш и с т е п е н м е ђ у п о л и н о м и м а к о ји с у

д е л и о ц и и п о л и н о м а А и п о л и н о м а В .

2° Н а јм а њ и з а је д н и ч и с а д р ж а л а ц (Н З С ) п о л и н о м а А и В је

п о л и н о м 5 к о ји и м а н а јн и ж и с т е п е н м е ђ у п о л и н о м и м а к о ји с у

д е љ и в и и п о л и н о м о м А и п о л и н о м о м В .

3° П о л и н о м и с у у з а ја м н о п р о с т и а к о је н а јв е ћ и з а је д н и ч и

д г л и л а ц з а д в а (и л и в и г п е ) п о л и н о м а је д к а к к о н с т а н т и .

653. О д р е д и т и н а јв е ћ и з а је д н и ч и д е л и л а ц (Н З Д ) п о л и н о м а .

а ) А (а ;) = х 3 + х2 — 4х - 4 , В ( х ) = х 2 + 4х + 3;

б ) А ( х ) = х 2 —1, В (х ) = х 2 —З х + 2, С (ж ) = х 2 + х — 2;

в ) Л (ж ) = ( х —2)3(ж + 1)(ж 2 + х + 1), В ( х ) = (х — 2) 2( х2 + х + I)3;

г ) а 2 —62, а 2 — 2а 6+ 62, а 2 —З а 6 + 262;

д ) а 5 + а 362 + а 2Ј3 + 65, а 5 - н 362 + а 263 ~ 65;

ђ ) З г 2 -■ 4х + 1, 4 х 4 — 5х 3 + а г ;

е ) 2 х 4 —З х 3 —8х 2 + 12х , 6х3— 15ж 2 + 6х ;

ж ) х 3 — З х 2 + 2 х , х 3 + З х 2 + 2 х , х 3 — х.

О д р е д и т и н а ј м а њ и з а јр д н и ч к и с а д р ж а л а ц (Н З С ) п о л и н о м а (з а д а ц и 654-

657):

654. а ) 2а 2, 5а 3 ; б ) б а б , 9а 62;

в ) 15а , 9 ^ , 20а 3; г ) 7а 26, 21а 6?, 42а 65;

д ) 2а б с , З а с , 4а 6; ђ ) 2а 26с , 5а 6с 2, 6а 62с.

655. а ) х <—у х + У\ б ) а + 6, а —6, а 2 —62;

в ) х -+. 1. х — 1, х; г ) а —6, а + 2, 3;

д ) 2а - 26, а + 6; ђ ) 2а + 26, З а —36, а 2 —

е у а —6, '6 —а , а + 6; ж ) З а —9, 2а + 6, п .

656. а ).(а ; - у )2, ( » + у ) 2 б ) ж 2 - V2 , ( Х ~ У ) 2 \

в ) (а - 6)2, (а + 6)2, а 2' - 6 2,

г ) а 2 —62, а 2 + 62, (а 2 -- 62)2;

д ) а - 6, а 2 + а б + 62; ђ ) (а + 6), а — а б + 62;

е ) а + 3, а 2 —З а + 9; ж ) а —5, а 2 + 5а + 25

657. а ) х3 — х у2 , х 2у - х у 2, ж ј /2;



84 Т е к с т о в и З а д а т а к а -- Г л а в а VI.

б ) ж 4 — х 2, х 3 + 2ж 2 + х , х 2 —1;

в ) х 2 - у 2, х 3 - у 3, ж 3 + у 3 ;

г ) 4ж 4 —8ж 3 + А х 2, З ж 3 + 6х 2 + З х ;

д ) 9х 2 —12х у + 4 у 2, З ж 3 —2х 2у , 9х 2 —4у 2;

ђ ) 4ж 3 —8х 2 + З х —6, 12ж 3 + 4х 2 + 9х + 3.

6.4. О П Е Р А Ц И Ј Е С А Р А Ц И О Н А Л Н И М А Л Г Е Б А Р С К И М

И З Р А З И М А

С р е д и т и р а ц и о н а л н и а л г е б а р с к и и з р а з з к а ч и д о в е с т и г а н аР .

о б л и к — , г д е с у п о л и н о м и Р и (Ј у з а Ј а м н о п р о с т и . П р и т о м е

Ус е ,и з м е ђ у о с т а л о г , к о р и с т е п р а в и л а (А , В , С , О с у а л г е б а р с к и

и з р а з и ):А А С

10 В = В С ' з а 5 ^ п , С ф О ;

2° — ±С А Б + В С

3°

В о

А С

В Бз а В ф 0, Б ф 0;

4° —

В

А С

А С— , з а В ф 0, 0;

Ђ § = Ш ’ з а В ф 0’ с ф 0’ в ф 0-

658, О д р е д и т и у с л о в е п о д к о ји м а с у д е ф и н и с а н и р а з л о м ц и

а)

г )

е)

1

* - 7

З х — 5

2 х + 1 ’

■с + у

х 2 —5х у + 6у 2 ’

б )

д )

ж )

х - у

(х —5)(ж + 2)

(х - у )(х - 3у )

З а 2 —6а + 3

в )

ђ )

Р - Ч .

р + ч ’

1

х 2 + 2 х — 1 ’

а 2 —1

С к р а т и т и р а з л о м к е и з а п и с а т и у с л о в е п о д к о ји м а д о б и је н е је д н а к о с т ив а ж е (з а д а ц и 659-663):

^2''3 . 6с 2<12 , 2а 3с 2б )659. а )

0

3 )

660. а )

с 262 ’

х 2 — у 2

а 2

С 26(*

ђ )62

1+16

(а + 6)2 ’

ж 3 ј/2 ( ж 2 • 25)

6(а 2 —4а ) ’

а Ј 62(а + 6)

а 262(а 2 —о 2) 1

3)

ј )

4а 2с 3 ’

а 2 —2а

( ^ 2)2 ’

Ж3 Ј/ + Х 2 у 2

Г )

ж )

2/

у - х

(а + З )2

а б + 36 ’

х * у ( х + 5) г х л у (х —у )

/С л °6 "I" 0(5® а 6 —2а 5 ’



6.4. О п е р а ц и је с а р а ц и о н а л н и м а л г е б а р с к и м и з р а з и м а

в)

д )е )

з )

а 364 + 2а 264

а 63(а 2 + 4а + 4) ’

(а 2 —а 6)(а 6 + 62)

(а б —62)(а 2 + а б )36(46а 2 —2а 3)

а 2(3а 6 —662) ’

а 2 + а б + а + 6

а 2 + 2а 6 + 62 ’

х 2 ( х у - 2 у 2 + у)

у ( х 3 + 4 х 2у) '

*)

661. а )

€>

д )

е )

3)

662. ф

в)

д )

е )

з )

ј )

л )

663. а )

4ж 2а 4 —36а 2У

ђ а 3х 2 + 30а 2х у + 45а у 2 '

а 2 —36 -+ а (3 —6)

а б + 36 ’

а 3 - а 5

а 3(а —6)(1 —а 2) ’

5а 5 —15а 4

5а 2(а 3 + 2а 2) ’

(2а 26 —2а 6)(а 3 + а 2 + а )

(а — 1)(а 26 + а б + 6) ’

у 2(5ж —5)(ж 2 —х )

х 2 — 2х + 1 ’ *

а 2 —а х + а —ж

а 2 —а ж —а + х ’

а с + 6с —а с / —

к с —к А —а с + а З ,'

ж 4 —З ж 2 + 1

(З ж 2 + З ж —З )2 ’

х 4 + 4

а ( х 2 + 2) —2а ж — (х —I) 2 — 11

а 6 + а 4 —а 2 —1

а 8 —а 6 + а 2 —1 ’

с 3 + 8

с 2(с —4) + 8(с —1)'

( х у + I)2 - ( х + у ) 2

( Х 2 — 1 ) (ј /2 — 1)

а п + 2 2а " •а ’

ђ )

ж )

Ф

к )

л .)

б )

г)

ђ )

ж )

и )

б )

г )

ђ )

ж )

и )

К )

л .)

б )

а 2(а —2)(а 2 + 2а )

6 (а 4 —4а 2) ’

(8а 2 —12а 6)62

2а (2а 62 - 363) ’а 365 - а 464

а 364 —а 365 ’

а 2 —З а + 2

а 2 + 2а —3 ’

а б + а с —с 2 —6

6с + с 2 + 2а 6 + 2а с ’

а ж 3 + 6ж 2 + 2ак2х + 263

а ж 3 —6ж 2 + 2а 62ж —263

а 2 + а б

а 2 + З а б + 262 ’

а 2(а 3 —а 2 + а + 1)

а 2(3а 3 —З а 2) + 3(а 2 + а 3) '

(а 2 —2а )(а 26 + 2а 6 + 46)

б (а 4 —8а )

463(а 4 —а 3)(а 2 + 1)

а (а —1)(а 3 + а ) ’

ж (ж —у )(ж 2 -ж )

2(ж 3 —ж :2) ■

1 —а ,2

1 с +

(а + ж )2 ’

а 2 —62 + с 2 + 2а с

а 2 —62 —с 2 + 26с ’

ж 4 + а 2ж 2 + а 4

ж 3 + а 33;

а (62 + 1) + 6(а 2 + 1)а 262 -- 1 ’

(ж 2 + х у ) 2 -- (Х У + У 2)2

(ж 2 —ж у )2 -сс

I 1

ж 10 —1

ж 6 —ж 5 + ж - 1 ’

а 3(а —26) + 63(2а —6)

(а —6)3(а + 6)

З п +2 _ ј_ З п + 1

б 2б 3п



86 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а VI

а 2 * + 3 + а 2 п +2 _ а 2п + 1

а 2п + 2 _|_ а 2п + 1

а п +4 + 2а п

а)

а "65 —3а " ’

ж )

Ј 4 п - 3 _|_ Ј З г ј - З _|_ 4 Ј З п - 2

г ) Ј З п - З _ 2 & З П - 2 ;

а 2г —а 2у

ђ )

3)

а п +362 + З а 3&2а Ц п + 2 _ 2 а з 62 ’

а 5х + а 4 х б х + а 3х к 2х

е)

, 2а: + 1

З а: __ п 2х 1

; п , х , у е N.а 2х + а х а У ’ 7 а 3* —63*

У з а д а ц и м а 664-670, и з в р ш и т и н а з н а ч е н а с а б и р а њ а и о д у з и м а љ а р а з л о -м а к а :

л 5 , 2 3 , 3.664« з ,) —~~—{- — —— ——■’ З а З о 2а 6 ’

. 5а —3 З а —4в ) — -------1-

665. а )

2 а

3

З а

а + 1

4 а ’

х —у х + у 1 2 3

в ) - —6 а + 6 6(а + 6) ’

_ 2 _______ 3 1 _

х + у х — у х ’

б )

г)

б )

г )

1 2_ _ 2

х 2 у ж З ј/ ’

36 + 1 26 - 3 6 - 1

56

2

66+

106

3 2

а + 6 а —6 а ’а + 26 а —26

а —6 а + 6 ’

д )

6 6 6 у

1+

1

ђ ) у . + 1 - х + у X у X — у

(љ п + 1 п —1 4

а 2 —62 а 2 —2а 6 + 62 ’

а

а —х

х

+2а ж

— 1

У

п + 1 п 2 — 1 ’

‘ж х + у

х+

2 —х у ' х у —у 2 х у

1

' ^2 —9ј / 2 х + З ј / ’

2—х - 6 х —1

16х - ж 2 + 3 + 2 х 2 - З х

X 2 — 4

4

667.'

х “

1

2 —х+

2 —х

1

х + 2

2

+

о х —10 6 —З х

х 3

х — 2

Iа + 3 (а + З )2 ’

_2

Г х - З )2

х

З х

+ ^ Т + 2 ;

У

х - у

1+

10 х ј /

1 4+

4х *

10х ј/ —25у 2

1 0 а - 18

2а 2 - 27 ~ 2а + 3 ' 18а - 27

Ј) 2 в - 3

а + а 2 —8а + 16 ' 16 - а 2

8х 2 + 18ј/2 З ј/ + 2х 2х —3

9у 2 — 4х 2 З ј/ —2х 2х + :

( х - ј /)2

(л . + 6)3 а + 6 ' (а + 6)2

5« — - ' 5а—а " а 2 - б а + 9

, л

4х 2 —10ж ј / ’ ^ ’

25ј /



6.4. О п е р а ц и је с а р а ц и о н а л н и м а л г е б а р с к и м и з р а з и м а

х 2 + х у 4(3а ?2 + 3 у + 0,75у 2)

2аг 2х + у

4х 2 —8х у 2х 4 —8х 3у + 8х 2у 2 _ 1 —х

х + х 4 —2х 3у 2

х + 1 2 + о _ '^Д ^-669. а ) -------- ------ ------ - — т ; ф ^

а х —2х —З а + 6 а 2 —4 __ , . ({№ *'»

1 + З ж 2х —1б ) 2аг2 + З аг - 2 З ж 2 + 7а ; + 2 ’

1 2 х + к

х + у + 2а + 2к а х + а у + к х + к у ’

а 2 —\> 36 —а а + 2х

а 2 —а к + к х —а х 2(а —6) З а —З ж ’

З ш + 1 3 (3 т 2 + I) З ш —I

З ш — I 9 т 2 —I + З т + I ’

а 2 + 62 а 2 6

а б 6(а + 6) а (а + 6) ’

2т 2 т I

т 2 —б т + 9 2 —9 т + 3

( а - 3) 2 5а __ 16а - 63 _

Ж а 2 — — 12 + а 2 —9 (а — 4)^а —3)(а + 3)

©I 2аг + I За;2 + 5а; — I

------- Т ^— 2— 1----------- 1 з ’а; — 1 а;2 — I 1 — х "

4а 2 12а

Ј 8а 3— 1 + 2 ^ 1 " 4а 2 + 2а + 1 ’

^ а 2 2 4а 262+ ------г + 0 . 1 -9 +а + 6 а —6 а 2 + 62 а 4 —64 ’

6 —а а —26 1

а 26 —а б 2 + 63 + а 3 + 63 а б + 62 ’

гл (» + 2 )2 __ 2 ______ 1 ___ _________ 1■ V „3 о ™2 /I -г. _ 9а;2 —4 х —2 (а ;2 —4)(а ;2 + 2а : + 4) ’

8(а + 1) 2а+

а

I3 а 2 + 2а + 4 а —2

С р е д и т и д а т е и з р а з е (з а д а ц и 671-689):

„ 7 , ' ( ° У )2 “ "*•■ ' а б 4 (а 264)3 ’ \ З а 463 у 64а 10’

а 26 а с 2 . а 263

с3 1653 ’ Г сЛ4 ’ <Ра 2’

д )-а 368 (ж 3ј,-2) 2 (З а 364) 2 4 (З а 364) 3 9 (а 4б )

(2с 4с?5)2 х 3у 4 ' 4с 5 (с?2х 3у )2 ’ (б а ^с3)2 ‘ 25(а 465)3



Т е к е т о в и З а д а т а к а - Г л а в а V I.

672. а )т 2 п —1

2п + 2 . б ) а п 62п,2п + 1

п 2 п

в ) К * ) 2: п г ;

(2а п 62) 6п с п _1

„П + 1 п п 2\? ’4 (а ^с 2)

15 ( °3>"* г>г . е к )Т о "65 ' 210"#” - 1 ' '

а б

‘ б

, ( 1 Л а б

° 73- а ) ( а - б ј

в) 0 - ?-)

* ( - ^ ) ( ’ +^ >

3 ) 1 - + -; 1 З у 2ж 4г /

674. а )

в)

д )

е )

ж )

675. а )

15ж ж 2 - 2 5

2ж - 10 25ж

ж 2 - у 2 у 2 - х

2х - у ' 4ж — 2у

а х + а у х — 3

х 2 — З х х + у ’

х + у а х + а у

)

ђ )

б )

Г)

ђ )

2а 6

(а + 6)

12х у г \

1

а 2 + 62’

6ж —3 / 2ж + 1

4ж \2ж —1

б у 3 З г /2

4 —ж 2 2 —ж ’

ж —а ж 2 2а ж —4

а ж —2 а 2ж 2 —1

а ж + а у х - у

к х —к у ' х + у ’

х —у 6ж —6г/ ’

а б + 62 —а с —6с а 2 + а б —а с — 6са 2 —а о + а с —6 а б —62 —а с + 6с

/ 15ж 3 5х 5\ /З ж 2

V У 4

5х 5\ / '

у 2 + ж ј ‘ V гл 5

+ 6 +а + 6 а —6

- ~ + У-

У х 2

а 2 + 2а 6 + 62б ) а

. / 1 1 4а 2 \ ' а

В \ 2а 2 + 2а 2 — 1 4а 4 — 1 ) ' 2а 2 -

г ) ( 2' “ 1+ з ) : ( 1 " 3 + Г ^ б ) ;

62

2а 2 + Т ;

д )

ђ )

+6 —а \ / 1

10а 26 у ' \10а 26 _

/ а —6

\ 5а 62 ' 10а 26

З х 3 9 ^ , 9 « / , З ј/:

У 3

1

+ — + — +(( ^ + 3М 1 + ;г = У ;

* )

9х 2^

5а 62

< - + 4 + 2

т +

г3 /3 ( т —п )у /4 ( г —в ) г 2 —б2 \\

п \ 7 ( г + « ) V 21ж 2у 2 4 ( т 2 —п 2) , .



Ш Ј (ј Ш Б

676. а )а —2 / 4

6,4. О п е р а ц и је с а р а ц и о н а л н и м а л г е б а р с к и м и з р а з и м а 89

а4-

а+

а

4 6 —3а а + 2

б )

3 (а + 2) 2 а 2

4а 2 - 4

а —2 + а 2

- З а " ( ч е ^ ;

Ј ) ( 1 + П ;( а + ч г + ( 1 + > ; ( „ + , 3;

) \ 3\У

3 3•+

1 х 2у 2

х у * х *у 2 —2х у + 2

д )З ж — 2у З ж + 2у

2х — 3у 2х + 3у

. . / З а + 46 З а —46

ђ ) ( ^------

77 + 7 ^ -^ 7 +

2 9

у 2 ~ 2 х 2

48а 6

• н

ж ) (

677. Л )

бУ \

в ) (

г ) (2

д ) з

ђ ) (

678. а ) (

б)

679. а ) (

(

\3а - 46 З а + 46 9а 2 - 1662

2У 3 +

+ 3у З ж + у

х —3у ж —у ) \ х —у

1 2 1 \ а 362 а 263

I ____ )•З а + 41Ј '

4 у

х + у

1 2 1

62 а б ^ а 2 Ј (а —6)3 (а + 6)3 \^2 “ 2

(а + 6)3

З а б

2х

— (а + 6)

4у

1 +Г а - 6);

+ж 2 + 2ж у т ж 2 —4у 2 х у —2у 2 _

6 у + 3 \ 4у 2 - 4

2у 2 - 2 ~ 2у + 2 ) ' 3 ’

ж 2 - 4у 2 - 2

ж 2 —4у 2

+

1

2а 26 + 2а 62

1 —х

1

- 1 1 -

1 —2ж 2

1 —х

1 \ а 363

62 З а 2 —362 5

2 _ 3

а 6

а 6т Н —6 а

27 1

462 - 9а 2 ' 26 + З а

а 6 \ 2 / 1 1

б + а + 2 ј + ^ б : ( а + 6

Х - у Х + у

\х + у Х - у

X у

1+

2х у

X2 —у 2 X + у у - X

х 2 + 4х + 4 / ж 2 + 2х + 4

х 2 + у 2

2х у

х + у

X 2 + у 2

х у

4 х у

х

З х

х + 2

х + У

х + 2

З х —6




,'2а —3х ‘ 2х — З а б а ж — 5ж 2680. а ) ( ----- ;------(---------------+

б )

+ х

1 1- +

—х

'1

2а х

в )

а 6 + с

а 2 + а х

1

2 ж (а ? —ж 2)

+ 6 26

а 6 + с

(а + ж )2 _ ј '

4а ж

6 —а

1+62 + с 2 - а 2

2б с

■ + / а 2 + 1 а

6 8 1 . 0

б )

2 + а

6 —а У а 2 + 62 V2а —1 2 У 1 —2а

4а 2 — 1

а 2 —2а + 1 1 —а 2 а + 1/ а 3 —а 2 —а + 1

а + 1 + (а —1)а а

2(а 2 - 1)

а 2 + 12(а + 1) Ј

а а + 1

) 1 +

2а 2 —4а + 2 (а - I) 2 а 2 - 2 а + 1 .

62 + с 2 -

26

_а Л Г А ! V /1 1 V

) \а 6 + с / \а + 6 + с /

682. а )

в )

д )

683. а )

б )

в)

0

684. а )

в )

1 + а (а + х )2 —(1 + а х )2

с + 6 —а

а б с

х 3 + у х 2 х ‘ — 2х у + у 2

1— х 2 а 2 —а

9 —З ж ж 3 - 27

х 2 —6х + 9 2ж 2 + 6ж + 18 ’а 2 —5а + 6 а 2 —4а + 4

а 2 + 7 а + 12 а 2 + З а)

62 —(а —2) 2 а —6 —2

I2 - (6 + 2) 2 а + 6 —2

( З а . а + 6

б )

г )

х - у

а 2 - с б а 2 —2а 6 + 62

а 4 —64.3 а —6„2

» ( 7 +0 =( ? - ; +0-4 —(а —6)2

(а + 6)2 —4 ’

2а + 6

а 3 —63 а 2 + а б + 62- - Ц : -

6 —а / а

У а + 6 2с \ 1 1 1_ 2 4с 2 N

\ а б а б I а + 6 + 2с ч д 2 + 62 + а б а 262

2 + 2а 6 + 62

_2_

а б

а + 6

(ж + у )2 - 4ж у ^ ж - у ч

ж у —ж 2

2х ^у 3 — 2 х 3у ^ З х

м х 2У2 ~ Ј /4

4ж 2у 2 (ж - у ) 2

х 2 —х у з. 1 + х у ‘

х л + х у х у

б )

г )

1 а 3 —6а

а + 3 а 2 + а ’

а 2 —62 /З а —36

д ) О *2 - У 2) : - ж у + у 2 ’

2а + 26 а ? — 2а 6 + 62 ’

ж + 3 ж 3 + 27

ж 2 —9 ж 2 —З ж + 9 ’



6.4. О п е р а ц и је с а р а ц и о н а л н и м а л г е б а р с к и м и з р а з и м а 91

е )а 2 а 2 + 4а -ј- 4

а —2 ж )

+ 2 2

г/3

1

+

х 3 + х 2 + х

х + у

З х —З х 2

6х + 6

у X2 + х у + у 2

б )( З х 2 + З х + 3 х 4 —х

\ 1 —х 2

В ) (

х 3 + 1 1 х —х *

3 х 2 + х у + у 2 х 3 —г р \ х 2 + 2х у + у 2 х + у

х —у + х + у З х ) 9(2х + у ) 3 ’

№ ( = 4д ) р . _______1\4а ; + 2 8х

+х 2 + 2х + 4 х 3 х 2 + 4х + 4

2 ' х + 2 3х Ј 2ж + 2

—х 1 —2х \ 2х — 1

ђ )

. 2х е ) ------г +

8ж 3 + 1 4ж 2 — 2х + 1 / 4х + 2 4ж 2 — 4х . + 1 ’

2 2 2 + 2а + 2 а 4 —а а —а ‘

а 2 — 1 а 3 + 1Ј 2

х + 1 З х 2 + 2х + 1

а —1

ж )

686. а )

в )

д )

ђ )

х — 1 х 2 + х + 1

а —а х —х г

х 3 —1

1■ +

х + а

х 2 + а х + а 2

а + 6 —с а 2 + 62 —2 а б —с 2

а —6 + с а 2 + 2а 6 + о 2 —с 2 ’

а 2 + а ж 5а 3 —5ж 3

. а 3 + 27 а 2 + З а + 9

) ^ Г Т 7 ' а 2 - З а + 9 ’

Г ) “ 2-------х А —а у5а 2 —5х 2 а 2 —а х ’

а + 6 —с 4 ! —с 2 —а 2 + 2а с

ж + ј / —г х 2 + у 2 —г 2 + 2х у ’

(а 3 + 63 + а 26 + а 62)(а 3 — 63) (а + 6}2 —а б

а 5 + 65 + а 263 + а 362 (а — I)2 + а б

а 1

б ) ^

6

3 “ 1.?> Н г

- + та и

10х 9х + 3

688. а )2х —6 2х —6

х 2 Ј /2

X - У х - у

а + 2 а — 2

\ а —2 а + 2 .

0 + 2 _ Д - 2 'а —2 а + 2

I

2а а 4а

б ч х и ! д .д а----2с + 5

4

+[(а + 2)2 (а —‘. *ј




689. а )

ж + у _ X - у

X - у X + у X - у X + у ' б)

х + у X - у

I - 2 - -6_________ р .

а 31 ’т Н-------- 46 а

1 1+

\ \ —х 1 + жв > 1 1

1 —х 1 + х

6.5. Д О Д А Т А К У З П О Г Л А В Љ А 6.1 Д О 6.4

Р а с т а в и т и н а ч и н и о ц е и з р а з е (з а д з ц и 690-695).

690. а

в

Д

691. ав

692. а

в

д

693. а

б

в

гД

ђ

694. а

б

з

г

д

ђе

ж

з

и

П 95. а

в

Д

е

ж 4 + у А ; б ) ж 4 + г 2Г + р

ж 4 - ж 2ј/2 4 у 4, р ) ж 6 - + ж -1+ ж 2у 2 + у 4;

(ж + у )4 + ж 4 + у 4 ; ђ ) (» + У ? ~ * 5 - У 5

х 4 + 4 / б ) г 8 + х ч + 1;г 5 + ж 4 + ж 3 + ж 2 +ж + 1; г ) ж 10+ ' + 1.

2ж 4 + х 3 + 4ж 2 + х + 2; б ) ' х 2 + 5ж )(ж 2 + 5ж + 10) + 24.

(,т 2 + ж )2 + 3(ж 2 + ж ) - 10; г ) (ж 2 + х )2 - 2 ( х2 + г ) - 24;

( х2 + х + 1)(ж 2 + ж ) —42; ђ ) (х2 + х + 1)(ж 2 + х) —6.

а (6 + с )2 + 6(с + а )2 + с (а + 6)2 - 4а 6с ;

а 6(а —6) —а с (а + с) + 6с (2а + с —5);

6с (а + ^)(6 —с ) —а с (6 + ^)(а —с) + а 6(б‘ + 3 ) ( а -- 6);

а 3 + 63 - с 3 + З а б с ;(а + 6 + с )3 - а 3 —63 —с 3;

а 3 + 63 + с 3 —З а б с .

у 3(г - х) - х 3 ( г - у) + г 3(ж - у)\

2 х2у2 + 2г 2ж 2 + 2у 2г 2 - ж 4 - у 4 - г 4;

а (6 + с )" + 6(с + а )2 + с (а + 6)2 - 4а 6с;

ж (г - у )2 - у (г + х ) 2 + г(х - гј)2 + 4ж у г ;

62с 2(6 - с ) + а 2с 2(с —а ) + а 262(а —6);

ж 2г 2(.г - ж ) + х2у2 (х + у) - у2г2(у Ј- г );

ж у (ж - у) - х г ( х + г) + уг( 2ж + г - у) ]

ак(а + 6) + а с (а + с ) + 6с (2а + с + 6) ;

х 3( у - г) + у 3 ( г - х ) + г3 ( х - у );

а 3(ж - у ) - х3 (а - у) + у3(а - х) .

а 3 + З а 26 —28а 62; б ) а 3 + 8а 26 - 33а б 2;

14п 3 + 51т г2ж + 7т г ж 2, г ) б т т г 2 + 5т т г ж - 4 т ж : ;

б а 36ж 2 + 11п 262ж - 10а 63; ђ ) 10а 26ж 3 + 9а 62ж 2у - 963ж у ~;

6ж 3у + 13ж 2ј/2 + б ж у 3; ж ) б ж 3у - 26ж 2у 2 -1- о ж ј/3



Л о к а з а т и и д е н т и т е т е (з а д а ц и 696-697):

696. а ) а 2 — 62 —с 2 + Л 2 —2а а — 26с - (а —6 —с —</)(а + 6 + с —</);

б ) а 3 + 8а 2 + 19а + 12 — (а + 1)(а + 3)(а + 4);

в ) а 2 + а с — 6с —62 = (а —6)(а + 6 + с );

г ) а 3 + 9а 2 + 26а + 24 = (а + 2)(а + 3)(а + 4);

д ) 62с + 6с 2 + а с 2 —а 2с —а 26 —а б 2 = (а + 6)(6 + с )(с —а );

ђ ) а 3 + а 2с + а б с + 62с —63 = (а —6 + с )(а 2 + а б + 62):

е ) а ^ —6а 2 —а + 30 = (а —3)(а —5)(а + 2)

697. а ) а с ( а + с ) —6с (6 + с ) + а 6(а —6) = (а + с )(6 + с )(а —6);

б ) х у ( х - у ) - х г ( х - г ) + у г ( у - г ) = (х - у )(х - г ) (у - г ).

698. О д р е д и т и к о н с т а н т е А и В т а к о д а б у д е :

16 — 2х А В

7 х - 2А В

6.5. Д о д а т а к у з п о г л а в л >а 6.1. д о 6.4 93

х — 5 ж +1 х 2 —х —2 х 1 х —2'

4х + 2 Л В , 3 1 + 1 1 А В

х 2 + 4 х — 5 х — Т х + 5 1 х 2+5з ; + 6 х + 2 х + 3


. 2п 2 + п — 1 З п 2 — 2п — 1 4п

2п 2 —З п + 1 З п 2 + 4п + 1 п “ —.

4х З х 2 + 2х —1 2х 2 —х — 1б) т — Л +1 —х 2 З х 2 —4х + 1 2х 2 + З х + 1 ’

З а 2 + 5а —2 З а 2 —4а —4 6а + 16а 2 + а —1 6а 2 + а —2 4а 2 —1 ’

6у + 1 4у 2 + 7у - 2 4ј/ —7у — 2

Г / 1 Л . . 7 '

В)

д )

1 - 4у 2 8у 2 + 2 у - \ 8у 2 —2у —1 ’

1 —х х 3 + х —2 \ ( 1 + х 1 —х + х

X' + х 3 — х ^ х 5 —х 3 —2х 2 —х Ј \ х 3 + х ^ + х

. , 3(х + 2) , 2х 2 —х —10V) I 0 ^ - 3 I _ 2 I _ , 1 \ +2(х 3 + х 2 + х + 1) 2(х 3 —х 2 + х —1)

\ а 6 + с Л , 1>2 + с 2 ~ а 2 \ а —6 —,

в) 1 г (1+

2 0

х —I х 2 + 1 х + 1

— I- ,а о + с

х 1 х 1

у 3 + 4 ј /2 8 ј /3 4 јј2 1 1_________ а У ____________ *_______ ,) _ 2 I О ____ I О . .9 Г 1_____, П . .9 I п . . 7 \ 'х 2 + 2х у + 2ј/2 х 2 —2х ј/ + 2ј/2 4ј/2(х 2 + 2ј/2)4ј/2(х 2 —2ј/2) ’

А х у х у 2 х у

„ 4 „ 4 „ 3 I « . . 2 ( ® - — : ( :ч X —) X + Х Ј / _____ X + у_ ______ х + у у —X X2 —у 2‘

х 2 + 2х у + у 2 х + у х




ј )

8ж 3 + 27

8х 2 - 12г + 18 ’ [( +2ж + 9 \ 4х 2 + \2х + 9

2х + 3 2х —3 4х 2 —9

3•+

, ( х 2 + 8+

л )

8 х 2 + 2х + 4

1 + а 2 1 - а 2

1 —а 2 1 + а 2 .1 + а 1 —а ’

1 —а 1 а

4х <х + у - ~ ~

___________ -+

х 3 + 1 х 2 —х + 1

х

' х

2х —Iх —

х + 1

2 _ ) ( ј о !_______ —2 ) \ж 2 - 4 2 — х / ’

а 3 + 63 а 2 + 62

љ ) -

8

( х 2 + х + 1);

а 3 —63 а 2 —62

а 3 —63 а 2 + а б + 62

х + У У - х

2х у х 2 —у 2

у X4 — Ј /4 ж 3 + у 2ж

х х 2 + 2х у ■+ у 2 х + ун )

њ )

о )

2ж "

ч ж 2 + 1 ж 3 —ж 2 + ж

1

:

а 2 6

' 1 1 2 /1. I V

•4 + а 2 + а - ђ 2Л а б 2/

2а 62 - а 2 - 61

а б 2

1 :

6 2а 6

4 ------- -■ +

Д Ј /3 у \Ј /2 у X

а + 6 а —6 а 2 —62у

(ж - Ј /)2 + 4ж у

1 + — X

. , ж 4 —2ж 3 + ж 2 —16 ж ’ + ж 3 + 4ж 2 + ж + 3п ) ж 2 : ( -------- ---------- ;------ + ------- — — -— — ---------+

ж 2 —ж —4

-1- 2ж 3 + 5ж 2 + 4ж + 4

ж 2 + ж + 2

ж 2 - 2ж + 3

- х - 7 ) ;

Р )

(ж2 + 4 ) 2 -1 4 ( ж + - ! + 77т \ _____ Х± ___________ ж ______

> (ж 4 —7ж 2 + I)2 '

700. С р е д и т и и з р а з е :

, 1 2а )

2 - '5ж + 5 Л 5ж ,

\2 2ж + 2 2ж + 1+ ------------------------+ 1

X X

2 + 1X 2

' х 2 —

'ж 6 + 2ж 5

* + 1) :

■\- х 3 —2х 2 — 2) : (х 3 + 2х 2 -

(ж2 + 1 ) 2+ 2 (ж + 1 ) 2 - 3х г X

~2)

5

(ж —2)(ж —3) (ж —1)(ж —3) (ж —1)(ж —2 ) ’



6.5. Д о д а т а к у з - п о г л а в љ а 6.1. д о 6.4 95

а (а — 6)(а —с) 6(с —6)(6 —а ) с ( с —а )(с —6)


х \ - 3 \ + х 2 —9 1 | - 1 г 2 - |г|а ) >~3 > ) 2 12г 3 —З ж 2 —9х ' х 2 —1 х 2 — 2|г| + 1 ’

_-Ј _ | х - 2 | - 4 . х + \х\+ \х —2\~3 | 0™2 с . сх 3 Ч - 2х 2 —5х — 6 З х 2 —8х 4- 4 ’

/ х 212 —х | 2х |х —1|\ ,

Л Ч - + 2 ‘ ” 4 = ~1 / * _

702. Н е к а с у а ,6 и с м е ђ у с о б н о р а з л и ч и т и б р с ;з и к о ји н и с у је д н а к и 0, а

х у и г п р о и з в о љ н и р е а л н и б р о је в и . А к о в а ж и а (у + г ) = 6(г + х ) = с (х + у ),. ј/ —г г —х х —у

д о к а з а т и д а |е ----------- = ;------------ = ------------ .

Ј в (6 - с ) 6(с —а ) с (а —6)703. А к о ј е а 2 + 62 = (а + 6 —с )2 ф 0, 6 ф с , д о к а з а т и д а ј е

а 2 + (а —с )2 _ а —с

62 + (6 —с )2 6 —с

704. А к о је - ( - - + - = : --------1— - и а б с ^ 0, а + 6 + с ^ О , д о к а з а т и д а је :а 6 с а + 6+ с

а ) а + 6 = 0 и л и 6 + с = 0 и л и + а = 0,

б ) ^ + б ^ + & = а " + 6" + с - З а К ° Ј е н е п а Р н о "■

705. А к о ј е х + у + г = 0 и х 2 + у 2 + г 2 = 1, и з р а ч у н а т и х 4 + у 4 + г 4.

706. А к о је х + у + г = 1, х 2 + у 2 + г 2 = 1 и г 3 + у 3 + г 3 = 1, д о к а з а *и д а је

х у г = 0.

707. А к с ј е х + г 2 = а 2 , у 2 + г 2 = 62, д о к а з а т и д а ј е

62х 4 —а *у 4 + (а 2 — 62)г 4 = а 262(с ' —6 ).

708. а ) Н е к а ј е Л ^ х ) = 2 5 { х 3 — 1, х + 1, х 2 —х + 1}, М 2(х ) = 2 8 { х 2 —

1,8х 3 —8, х 2 —2х + 1}, Г )г (®) = 2 Б { х 2 — 1, 8х 3 —8, х 2 —2х + 1}. У п р о с т и т и

2(х ) ■ 0 2(х ) х 5 + х 3 + х (6х 2ј/2 —15х 2 : 5х )(16х у 2 + 8)“ Р а 3 Е { Х ) = ~ Т 7 ) - ' ■ + : --------------12д 3у 4 - З х ------- '

/^ 4 + 2х 3 —2х —1 ,б ) У п р о с т и т и и з р а з ( --------- -------------- + х + х ) : (х + 1), а к о Ј е М (х ) =

( х )

N 2 8 ^ 1 + 1, х 2 —1,х 2 + 2х + 1}.

в ) У п р о с т и т и и з р а з

( х , у )

6х 2у 2 - З х 3у - З х у 3 + (х - у )(х 3 - у 3) ’

(У ~ х ) ( у 2 + г 2 - 2х у )

а к о је М (х , у ) = ^ .7 5 {х 2 —х у ,х 2 —2х у + у 2}




709. Н е к а ј е Р ( х ) = а п х п + а „ _ 1г " _1 + --- |-а !Х + а 0 п о л и н о м с а ц е л о б р о јн и м

к о е ф и ц и је т и м а (а ,- Е 2 з а г Е 0 , 1, . . . , п ) . Д о к а з а т и :

а ) А к о ј е з а ц е о б р о ј а и с п у њ е н о Р ( а ) = 0, о н д а о |а о ;

б ) А к о је з а р Е 2,</ Е N и Н З Д (р , д ) = 1 и с п у њ е н о Р (р /д ) = 0, о н д а

р |а с и 9|а „-

Т 10. К о р и с т е ћ и Б е з у с з у т е о р е м у р а с т а в и т и н а ч и н и о ц е п о л и н о м е .

а ) х 3 —19х + 30; 0) х 3 - 7х - 6;

в ) х л + 9ж 2 + 11ж - 24, г ) х 3 + 5ж 2 + З ж - 9;

д ) 27ж 3 - 45ж 2 +24ж - 4 ; ђ ) ж 3 + 2у ^ - 3х у 2 .

711. а ) А к о п о л и н о м р ( х ) п р и д е љ е њ у с а х — 1 д а ј е о с т а т а к 3, а п р и д е љ е њ у

с а х + 1 о с т а т а к 1, н а ћ и о с т а т а к п р И д е љ е њ у п о л и н о м р ( х ) с а з - 1.

б ) к о р ( х ) п р и д е љ е њ у с а х — 1 д а ј е о с т а т а к 3, а п р и д е љ е њ у с а х~—2о с т а т а к 4 , н а ћ и о с т а т а к п р и д е љ е њ у р ( х ) с а (х — 1)(ж — 2).

712. Р а с т а в и т и н а ч и н и о ц е и о л и н о м е :

а ) 2ж 4 —11ж 3 + 16ж 2 —ж —6; б ) З ж 4 + 26ж 3 -I- 24ж 2 - 74ж + 21;

в ) 2х л - 11ж 3 - 8ж 2 + 59ж + 30; г ) З ж 4 + 26ж 3 + 60ж 2 + 22х - 15;

д ) 6ж 4 - 19ж 3 + 14ж 2 + х - 2; ђ ) х 5 - 5х 4 + 7х 3 - 7х 2 + 16ж - 12;

е ) х 5 + 8ж 4 + З ж 3 « 23ж 2 + 32ж - 21.

713. П р о в е р и т и д а л и је п о л и к е м Р (ж ) = (ж 2 + х —1) + (ж 2 —х + Ј .) —2

д е љ и в с а х —х (п Е Л Г )

714. З а к о је в р е д н о с т и р и </ је п о л и н о м Р (%) = 2~ -ж 3 + х +р х Ч -|1 д е љ и в

п о л и н о м о м <5(х ) = х 2 — З ж + 2?

* • У 2 1715. Н е к а с у а , 6 , с , х , у , г б р о је в и р а з л и ч и т И о д н у л е . А к о Ј е ~ + Ј + “ = 1

и —4-1- - = 6 д о к а з а Е И д а је — + 7=- + -= —^х у г а * о л с *

X Х Ј 2

716 а ) А к о ј е х + у + г = 0, а + Н с = 0 и - + ^ + - = 0 ( а , 6, с ф 0), д о к а з а г и д а

в а ж и х а 2 + у к 2 + г <? ==С .

б ) А к о ј е - = ~ = - (а ,1>,1еф 0 ), а - + 62 + е 2 = 1 и а + 6+ с = 1, д о Л .з а т иа 6 с

д а в а ж и х у + у г + г х = 0

717. О д р е д и т и в р е д н о с т и х , у т а к о д а и з р а з Е (х , у ) и м к н а јм а њ у в р е д н с с т :

а ) Е ( х , у ) = 2ж 2 + 2х у + у 2 - 2ж + 2у + 2;

б ) Е ( х , у ) = х 2 + 2у 2 - 2х у + 2х - 4у + 1.



6.6. Л и н е а р н е је д н а ч и н е 97

6.6. Л И Н Е А Р Н Е Ј Е Д Н А Ч И Н Е

Л и н е а р н а је д н а ч и н а п о ж је с в а к а је д н а ч и н а с а н е п о з н а т о мх к о ја с е е к в и в а л е н т н и м т р а н с ф о р м а ц и ја м а с в о д и н а је д н а ч и н у

/б б л и к а

а х

г д е с у а и 6 р е а л н и б р о је в и .

1° А к о је а ф 0, о н д а је д н а ч и н а и м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е х \ =6

а2° А к о је а = 0 и 6 ф 0, о н д а је д н а ч и н а н е м а р е ш е њ а (је д н а ч и н а

је н е м о г у ћ а ) .

3° А к о је а = 6 = 3, о н д а је д н а ч и н а и м а б е с к о н а ч н о м н о г о

р е ш е њ а (с в а к о х Е К . је р е ш е њ е ).

Ј е д н а ч и н е А ( х ) = 0 и В ( Х ) = 0 с у е к в и в а л е н т н е а к о је

с в а к о р е ш е њ е п р в е је д н а ч и н е у је д н о р е ш е њ е и д р у г е је д н а ч и н е

и о б р н у т о (т ј. а к о је т а ч н а ф о р м у л а А ( х ) = 0 В (х ) = 0).

Р е ш и т и е д н а ч и н е (з а д а ц и 7 18-720):

7 18 . а ) 3(ж + 2) - 2(1 - х) = 4 х + 5;' б ) 5 (2* — 1) — 3(4 х - 5 ) = —З х + 11;

в ) З ж — (15 + 2ж — (5ж + 11)) = 2ж — 8;

г ) 8(2ж - (З ж + 2 )) + 18 = 7ж - (З ж - 5(2ж - 4)) 4 22.

719. а ) | = ; б ) = - § + 2 . ;

, ж — 1 6 - 5 ж . 5 — ж 7ж + 2

■ ) — = 0 . 5 - — ; г ) — = 1 — 12” ’

, 2 ж — 1 4 — ж , ж — 3

д ) --

2 = г +1 + ^ ;

5 ) 7 - 2 * - Ц 2 1 = 2 - ^ 1 .

7 20 . а ) 5ж + (ж — I ) 2 = (ж + 2)(ж - 2) + З ж + 5;

6) (ж + I ) 2 + (ж + 2)2 + (ж + 3)" + (ж + 4) 2 = (2ж + 5)2 ;

з ) (ж + 2)(ж + 5) = 3(4ж —3) + (5 - ж ’,

г ) (ж — 2 )2 — (ж — 3)(ж + 3) = 13 — 4ж ;

д ) (З ж —I)2 — ( х —1)2 = 5(2ж + 1)2 —(6ж —3)(2ж + 1);

ђ ) (ж + 2 )3 - (ж - 2)3 = 12(ж 2 - ж ) - 8;е ) (2ж — I ) 3 + 2ж = 4ж (2ж 2 — З ж ) + 15л




721. П р и м е н о м ф о р м у л е А ■ В = 0 (А = 0 V В = 0) р е п ш т и је д н а ч и н е :

а ) (х — 1)(ж —2) = 0; б )(х + 1)(3ж - 2) = 0;

в ) 5(3ж + 1)(ж - 2) = 0; г )(х - 1)(ж + 2) (х - 3) = 0 ;

' д ) (ж + 2 ) ( З ж - 2 ) ~ (ж + 2)(2ж + 1) = 0;ђ ) (х + 3)(2ж - 5) = (ж + 3)(ж - 1);

е ) (ж —2)(3ж + 1) = (2 —ж )(ж + 5);

ж ) (2х - 1)(ж - 3) = (З ж - 1)(1 - 2х ).

Р е ш и т и ;е д н а ч и н е (з а д а ц и о д 722-725);'

“ •% г ^т =* ® т ^ = * I ј ^ л = 0;

1 2 _ 2 * + 1 = о ; « / : г . „ = о ; 1 б - +4^ = о .х — 1 ’ ,д ,Г ® х 2 - 6 х + 9 ’ ^ х + 2

723.Ш 15« + И _ 3 = 3 ( 4 , - 1 ) 6*

5ж + 24 10х + 4 5ж + 24 ’

„ 9 ж 2х 3 - - ----- - + ----- ------------------------ = 5

2ж —5 З ж — 2 2ж —5 ’

6ж 2 + 9 3 _ 3

З ж 2 —х х З ж — 1 ’

20ж + 9 24ж 2 + 5 40+ 4;

2х + 1 4ж 2 — 1 10ж —5

х 5 10ж 2

х + 2 ж + З ж ‘2 + 5ж + 6 х + 2 ж + 3

724 . % ? ^ - ^ _ - * = 0 ;о х А —5 х 1 — 1 1 —х

2х + 1 2 * - 1 4ж 2 —З ж + 3

З ж —2 3 - 2х т 6ж 2 - 13Г + 6 ~ ~ ’

4ж 2 —2 3 + 2ж 5 + 2ж _

7 + 16ж + 4ж 2 + 1 + 2х 7 + 2ж ’

х + 6 х —5 2ж 2 + 23ж + 61

х —5 + х + 6 х 2 + х — 30 ’

х + 1 2( х + 1) 1

х — 1 З ж —3 3

___ 1 4 5725. В ; \ „---- ------------ -|---------------------

х 2 + 2х + 1 х + 2ж 2 + х3 2х + 2ж 2 ’

1 3 4 /

3 - 2у ) 2 “ 9 —4у 2 “ (3 + 2у )2 ’

7 8 3 7 - 9 *

г 2 —1 г 2 —2г + 1 3 - г 2 - г + 1 '

6и + 5 З и —7 _ 12и 2 + 30« - 21

4и + 3 + 3 —4м 16«2 —9 ’



д ) 1 4-1

6.6. Л и н е а р н е је д н а ч и н е

(е — 3)(и 4- 2) у + 2'

_ _ 1 _________ х ___ ____5_

Ј Р 2х — 18 х 2 — 81 4ж 4 36'

. х —4 1 4 5 2х (х 4 5)ж ) — г~7 4 - 1

ж 4 4 х — 5 х 2 — х — 20

. _ 1 ________ х —2 _ 2

° 3 ж 4 2 х 2 — 2х 4 4 ж 3 4 &

1 2

х 4 5 с —5 _ 2

_ Ј _ + _ Ј _ " 3'ж —5 х 4 5

726. Д о к а з а т и д а с л е д е ћ е 'е д н а ч и н е н е м а Ј -;’ р е ш е њ а :

ч З ж 4 2 , 2ж 4 3 п 1 , 2 1а ) —— - 4 -ј------- = 0 ; б ) - 4

х —1 1 — х ’ х х ( х — 1) х (х — 1) ’

. г 4 1 х —1 4 ж 41 , ж — 1 1 х — 12 1■ ■ __ - -------- . Ј->ј _______ ј _______ — _______ ј _

х —1 л 4 1 х 2 — 1 ’ а ;4 1 х — 1 х х

л )2 л 4 1 1 1

4х 4 4 2ж 3 4 4х 2 8 —х 3 2х 2 — ж 3 х 2

727. Д а л и с у е к в и в а л е н т н е с л е д е ћ е је д н а ч и н е :

а ) х = 1 и 2х —3 = —1;

б ) 0 - ж = 1 и а г 4 1 = а г;

в ) (ж —2)(ж т 1) = 2( х — 1) и х —2 = 2;

г ) ж 2 = ж и ж = 1,

д ) ж 4 1 = 0 и ж 4 1 4 \/® = \/*;

ђ ) -------- = 2 и 1 4 1 = 2;х — 1

х 2 - 1е ) ------------— = 3 и ж 4 1 = 3;

х —1

ж ) х - 3 4 1 , = 5 4 1 _ И х - 3 = 5;х - 2 х —2

з ) х —3 4 ^ = 5 Н - —- и х — 3 = 5?х —8 а? —8

2 —х х 5 у728. Д а т е е у је д н а ч и н е : — - ------^ 2 = 3 И 2 + ! / _ а =

а ) Р е ш и т и је д н а ч и н е п о х и у .

б ) О д р е д и т и а т а к о д а је х = у и н а ћ и т о з а је ц н и ч к о р е ш е њ е

— 729. Р е ш и т и је д н а ч и н е (ш 6 К .):а ) т х 4 5 = З х — 15ш ; б ) г п х 4 2 = 4х — т ;




в ) (т п + 6)х —5 = 0; г ) т х —т + т 2 = 0;

д ) (т + 5)х —т 2 + 25 = 0, ђ ) т 2х + 3 = 9а г + т ;

е ) ( т + 5 ) ( т —3)х = т + 5; ж ) ( т 2 —З т + 2) х т — 1;

з ) т ?х + 1 = т (х + 1 ) ; и ) т Џ (1 —т х ) = 4(1 + 2а г);

ј ) т 2[т х — 1) = 8х —4; к ) т х — + З т = 7,

л ) ( т — 1 )(т —2 ) ( т 2 —9)х т 3 —? т + 6.

Р е ш и т и је д н а ч и н е (а ,к ,с 6 К ) (з а д а ц и 730-733):

730. а ) (а 2 — 4а + 3)х = а 2 —а —6;

б ) (62 + 6 —2)ж = *2 —46 + 3;

в ) (а 2 + 2а — 3)ж = а 2 —5а + 4.

731. а ) (х + а )2 = (х + 6)2;б ) (З а —х )( а —к ) + 2а х = 46(а + х );

в ) (а + х — 6)(а —6 —х ) = (а 2 —х )(к 2 + х ) —а 262;

ч (З с 2 —562)а а г 2а а г 5а В х

■ •>»’ ■-----------П Г ^ = — +

. 2аг —36 З а; —4а З а а ;+12а 6 + 56

Д З а + 6 6 —3 а 9а 2 —62 ’

. аа г —3 а х + 3 2а а г® ђ ) -------;г +

е )

а —2 а + 2 а + 2

х —6 а; + 6 26

а 2 + а б а 2 —а б а 2 —62

. г . п . а “I- х 6 “I- х732. а ) а 6 -------;— а б ----------- ;

6 а

а ; + а х + а х + 6 2( х —6)

а —б "*"а + 6 а + б "*" а —6 ’

^ а ( а ;- а ) , 6(х - 6 ) __-в / I 1 >6 а

г ) (а б + 2)х + 6 = 2а + (а + 26)х .

. а 1 4а 2 —4а + 2733. а ) --------------—------1----------------------- ј----------- г— =

х — х + а а * —х *

, _1______6 _ _ 362 — 46 + 3

X + 6 —6 62 —X2 ’ ^

ч 1 , 1 _ *В ) 1------1 ~ —2------2 ’х —а х + а х * —а *

х —2а х —а

х + 2а х + 7 '

. 2 3 5аД ) —Т ----------------- 1--- ------ ^х + а х —а х г —а *

*







102 Т о к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а VI.

744. И в а н с а д а и м а ч е т и р и п у т а в и ш е г о д и н а н е г о ш т о је М а р н о и м а о

к а д а је б и о д в а п у т а м л а ђ и о д И в а н а . К о л и к о г о д и н а с а д а и м а М а р к о

а к о ћ е к р о з п е т н а е с т г о д и н а з а је д н о и м а т и 100 г о д и н а ?3

745. У р а з р е д у с у - у ч е н и к а - д е в о јч и ц е А к о б и д о ш л е јо ш ч е т и р ид е в о јч и ц е , т а д а б и у р а з р е д у б и л о је д н а к б р о ј д е в о јч и ц а и д е ч а к а .

О д р е д и т и к о л и к о је у ч е н и к а у р а з р е д у б и л о .

746. У к у т и ји с е н а л а з е ја б у к е . П р в о с е и з к у т и је з м е о л о в и н а с в и х

ја б у к а и јо ш п о л о в и н а је д н е ја б у к е , з а т и м с е о д о с т а т к а у з м е п о л о в и н а и

јо ш п о л а ја б у к е , и н а јз а д , о д п о с л е д њ е г о с т а т к а , у з м е с е п о л о в и н а и јо ш

п о л а ја б у к е . П о с л е о в о г а у к у т и ј и ј е о с т а л а јо ш 31. ја б у к а . К о л и к о ј е|а б у к а б и л о у к у т и ји ?

747. А н т и к в а р н и ц а је о т к у п и л а д в а п р е д м е т а з а 2250 д и н а р а и п р о д а л а и х

с а з а р а д о м о д 40%. К о л и к о је а н т и к в а р н и ц а п л а т и л а с в а к и о д п р е д м е т а ,а к о је н а п р в о м з а р а д и л а 25%, а н а д р у г о м 50%?

748. У ч е н и ц и је д н е ш к о л е и д у н а е к с к у р з и ју . К а д а б и с в а к и у ч е н и к

у п л а т и о п о 75 д и н а р а н е д о с т а ја л о б и 440 д и н а р а , а а к о с в а к и у ч е н и к

у п л а т и п о 80 д и н а р а п р е о с т а ћ е 440 д и н а р а . К о л и к о у ч е н и к а и д е н ае к с к у р з и ју ?

749. Н а ћ и б р з и н у и д у ж и н у в о з а , з н а ју ћ и д а о н п р о л а з и с т а л н о м б р з и н о м

п о р е д н е п о к р е т н о г п о с м а т р а ч а з а 7 с е к у н д и и д а п о р е д п л а т ф о р м е д у ж и н е

378 т п р о л а з и и с т о м б р з и н о м з а 25 с е к у н д и .

750. У л а з н и ц а з а з о о л о ш к и в р т к о ш т а 150 д и н а р а . о с л е с н и ж е њ ац е н е , б р о ј п о с е т и л а ц а с е п о в е ћ а о з а п о л о в и н у , а п р и х о д и с у п о р а с л и з а

ч е т в р т и н у . К о л и к о је с н и ж е њ е ц е н а ?

751. Ч о в е к , р о ђ е н у XX в е к у , п у н и 1995. г о д и н е о н о л и к с г о д и н а к о л и к и

је з б и р ц и ф а р а њ е г о в е г о д и н е р о ђ е њ а . К о је је г о д и н е р о ђ е н ?

752. О д р е д и т и в р е м е к а д а ћ е с е и п р в и п у т п о с л е 12 Н п о к л о п и г и в е л и к а

и м а л а с а т н а к а з а љ к а .

753. П у т н и к је , и д у ћ и н а ж е л е з н и ч к у с т а н и ц у , п р е ш а о 3 к т з а ч а с х о д а

и у т в р д и о , д а ћ е , а к о б у д е и ш а о и с т о м б р з и н о м , з а к а с н и т и н а в о з 20

м и н у т а . З а т о је к р е н у о б р ж е и п р е л а з и о је 0,5 к т н а ч а с в и ш е и с т и г а оЈ е н а с т а н и ц у 40 м и н у т а п р е п о л а с к а в о з а . К о л и к и је п у т п р е ш а о п у т н и к

и к о л и к о је и м а о в р е м е н а н а р а с п о л а г а њ у ?

754. Ј е д н о м у ч е н и к у н е д о с т а ј е с е д а м д и н а р а , а д р у г о м д в а д и н а р а д а б и

с в а к и о д њ и х м о г а о д а к у п и к у т и ју б о ји ц а . З а т о с у р е ш и л и д а з а н о в ^ц ,

к о ји п о с е д у ју , з а је д н и ч к и к у п е је д н у к у т и ју , а л и и м и т а д а н е д о с т а Ј е је д а н

д и н а р . К о л и к о к о ш т а је д н а к у т и ј а б о ји ц а ?

755. Ч е т и р и д р у г а з а је д н и ч к и с у к у п и л и ф у д б а л с к у л о п т у . П р в и је д а о

п о л о в и н у н о в ц а , д р у г и је д а о т р е ћ и н у с у м е к о ју с у д а л а о с т а л а т р о ји ц а ,

т р е ћ и ј е д а о ч е т в р т и н у с у м е , к о ју с у д а л а о с т а л а т р о ји ц а , а ч е т в р т и ј е

д а о 50 п а р а . К о л и к а је ц е н а л о п т е ?



6.7, С И С Т Е М И Л И Н Е л Р Н И Х Ј Е Д Н А Ч И Н А

6.7. С и с т е м и л и н е а р н и х ј е д н а ч и н а 103

С и с т е м о д д в е л и н е а р н е је д н а ч и н е с а д в е н е п о з н а т е х , у Ј е

к о н ју к ц и ја је д н а ч и н а

' 01® + !>1У = С ц

П 2Х + 02У = С 2 ,(*)

г д е с у « 1, &1, С 1, 02, 62, с 2 д а т и р е а л н и б р о је в и .

Р е ш е њ а је д н а ч и н а о д р е ђ е н а с у ф о р м у л а м а ;

С 1&1 —С 2&2 _ Д јС 2 —д . :1

1 — а 1&2 — Д 2&1 ' ^ Д 1&1 — 0261’

г д е ј е Д = Д 162 - 0261 ф 0 (д е т е р м и н а н т а с и с т е м а ) .

1° З а 21 ф _1 (Д ф 0) с и с т е м (*) и м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е .а 2 62

Д 161 _ С 1

а 2 6 2 с 2

р е ш е њ а (н е о д р е ђ е н ј е ) .

01 61 . С 1

2° З а . — = — = — (Д . = 0) с и с т е м (*) и м а б е с к о н а ч н с м н о г оа 2 62 с 2

3» З а = 11 ф — (Д = 0) с и с т е м (*) н е м а р е п к з њ а .а 2 62 с 2

Р а з л и ч и т и м м е т о д а м а р е ш и т и с л е д е ћ е с и с т е м е је д н а ч и н а (з а д а ц И 756

760):

756. а ){

5ж —3 = 17,

2х + З у = 11;

х - 2 у = 6,

Г 2х + З у = 23,

б ) { х —2у = 1;

Г ) { - 2 х + 4# = - 12; м ; \ * + 2у = 8;)

{с\/5 - 5ј / \/5,

х — у у / 5 5.

{

4 г - у = 5, ( х - 3 у = - 1,

17ж + у = 15;

4ж + 5ј/ х — З у

757. а ) <

3 2 " + 4,

З х + ;/ ? г + 7Ј ,- 1 ;

г 5а; + 2у 1х — 5у

4 3 ’

7ж - 2у 5х + 2у + 1;




»)3 2 6 ’

3х + у + ^ _ 7х —4у + ^

2х у , 0 _ 5х + 2у 7

г )

3(х + 2 у ) + 2 _ 3(х - у) + 1

2 “ 4

4(х - 2у) + 9 _ 5(х - Зу) + 3

+ 6,

+ 4.

{

- 2 ) ( 2 у + 3 ) = ( 6 х - 1 ) ( у + 3 ) - 2 7 ,

+ 1)(3у + 2) = (2х + 5)(6у —4);

б 4(х + I )2 + 9( Џ - 2 )2 = (2х - З )2 + (3у - 5)2 - 20,

} ' (х + 2)2 — (у + 3) = (х + I)2 —(у —2)2 —14.

759. а )

’ 2х + 3 4х + 1

760. а )

в )

З у + 2 6у — 1 ’

7х —3 14х + 1

„ У + 3 2 у + 13

I X + 2 5У

4 + З х 5у + 4 ’

1—2х З х + 2

<5-4 у 6у — 2 ’

х —6 10

у - 41

У2 - 16

5+

2

^)

б )

х + 6

10

' З х —1 З х - 4

5у + 1 5У - 2 ’

х + 3 х — 4

. У + 3 У - 4

у + 3 У + 5

х + 2 х + 3х —1 Ј / -5 8

X У х у ’

х + 2 х + 5 _ 3

У р З У + 1 ( у + 1)(з / —3) ’

2х + у 4т - у

15 —8х —4у 5 — 16х + 4у

761. У в о ђ е њ е м н о в и х н е п о з н а т и х р е .и и т и с и с т е м е је д н а ч и н а :

х + у х - у - 0. 1;



27 32+

5

в г Т Ч С јјс т е м и л и н е а р н и х ј е д н а ч и н а 105

д )

V

2х —у х + 2>

45 48

е ј)

2х —у х + З у

...1 8 "11+

2х —3у З ж —2у

27 2

. З х —2у 2х —З ј/

= 7,

= —1*

= 13,

= 1;

+

ђ )

ж )

2х + у 2х — 3у

15________ 2

2х + у 2х — 3у

1 1

= 5,

= 1;

+х —у + 2 1 —х —у

1 1

х —у + 2 х + у — 1

= 0,1,

= 0,3.

Ј ' З х —4у = 5,

б )

1 N 2 I I 1 — ‘

. ) {1 5х —2у = 3; к З х —6у = 3;

( 5х - 2у = 7,

\ 2х - 5у = 1;д ) <

|'2х + 3у = 4.

[ 2х - З у = 4; ' ђ {

762. И с п и т а т и д а л и д а т и с и с т е м и (н е р е ш а в п ју ћ и и х ) и м а ју је д и н с т в е н о

р е ш е њ е , н е м а ју р е ш е њ а , и л и и м а ју б е с к о н а ч н о м н о г с р е ш е њ а :

2х —у = 2,

- А х + 2у = 3;

- 6 х + 4у = 5,

З х —2у = 5.

763. Н а ћ и у с л о в п р и к о је м с и с т е м : 2х + т у = 3 А х — З у = 4п и м г^

б е с к о н а ч н о м н о г о р е ш е њ а п о х и у .

764. У з а в и с н о с т и о д р е а л н о г п а р а м е т р а а , и с п и т а т и у с л о в е п о д к о Ј и м и

с и с т е м : а х - 6у = 7 А 2х + З у = 4 н е ћ е и м а т и р е ш е њ е .

765. Р е ш и т и с и с т е м је д н а ч и н а п о х , у (а , 6 с у п а р а м е т р и ).

( а х + 4у = 3,

\ 5х — 2у = 6.

Р е ш и т и с и с т е м е је д н а ч и н а (з а д а ц и 76^-767) г д е с у а и 6 р е а л н и п а р а м е т -

р и

766.

#а ) IX + у = 1,

х + а у = 1;

2х + З у = 1,

—2х + а у = 0;

2х + З у = а ,

2х + 6 = а ;

767.

а х + у = 1,

х + а у = а 2;

б )

ж )

6)

а х + а у = 1,

х + у = -1 ;

а х —у = 6,

6 + у = а ;

х —а у = а ,

х + 6 = 6;

а х + 4у = 2,

9х + а у = 3;

ђ )

а х + у = 2,

х + у = 2а ;

( а у —6х = 0,

\ у —х = 6 —а .




13х + 2?/ = 0, ( а х + у = 1,

5х + а у = 0; \х + а у = а .

Р е ш и т к с и с т е м е је д н а ч и н а (з а д а ц и 768-769) а ,6 Е К :

\ ј" —31/|= 1, ( х — 2\у\ = — ,

768 ‘ а ) ј |*| + 2у = 4ј } | 2|ж | —З у = —1,

, / 1 ^ - 1 | - Г = 2 , Г ј / - 2 | х |+ 3 = 0,

' а ) ] х - | 4 - у | = - 1 ; } |?/|+ ж - 3 = 0;

. I®+ У \ = х —у + 4, Г | + у \ = » - у + а ,

' \х —у\ = х + у - 2; Г 1 |х - у| = X + у + 6, а , 6 € К ;

д)| * -2 | + | у -3 | = 1, |х + 1|+ |у —3| = 1,

| —2| —у = —3; \ * + 2 у = 6;

2 | ж - 1| - у = 6, , С \х \+ |у + 1| = 3,

е ) 1 О ! _ * )

{л : 4 |у + 3| = 4; | \х - у| = 2.

Р е ш и т и с л е д е ћ е с и с т е м е је д н а ч и н а :

{а г + у + г = 6, | т — 6у + 8г = 0,

2х \-у +З г = 13. * б ) Ј 2ж + 4 у - 3 * = 26,

—х + 5у — 2г = 3; л [ З х —4у + 5г = 18;

{: + 3у + 2г = 11,

2х + 5у + 4г = 20, г )

З х + 8у + 9г = 37;

х + у = 3,

У + г = 4, г + х = 5;

д )

’ 2х + З у + г = 4, ( 4х —у + 4 г = 0,

4ж + 6 у + 2 г = 5, а јјђ ) ! х + б у —2г = 3,

х —у + г = 5; 1 -ж + 8 у - 2 г = 1 ;

2х — З у + г = 2, 5ж —6у + г = 4,

е ) < З ж —5 у + 5 г = 3, ^ ж ) < З ж —5 у —2г = 3,

5ж —8у + 6г = 5; 2ж —у + З г = 5.



6.7. С и с т е м и л и н е а р н и х је д н а ч и н а 107

771. У д а љ е н о с т г р а д о в а и N је 600 к и л о м е т а р а . Д в а в о з а к р е ћ у

и с т о в р е м е н о и з о в и х г р а д о в а у с у р е т је д а ^ д р у г о м . П р в и с т и ж е т р и ч а с а

р а н и је о д д р у г о г а и п р е ђ е 250 к т , д о к д р у г и в о з з а и с т о в р е м е п р е ђ е

200 к т . Н а ћ и б р з и н е о в а д в а в о з а .

772. Р а с т о ја њ е м е с т а X и У н а р е ц и је 20 к и л о м е т а р а . В е с л а ч је у ч а м ц у

п р е ш а о п у т и з X у У и о б р а т н о з а 10 ч а с о в а . Н а ћ и б р з и н у р е к е , а к о

ј е д в а к и л о м е т р а у з в о д н о п р е в е с л а о з а и с т о в р е м е к а о и т р и к и л о м е т р а

н и з в о д н о .

773. И в а н и м а д в а п у т а в и ш е г о д и н а н е г о ш т о је М а р к о и м а о к а д а

је И в а н у б и л о т о л и к о г о д и н а к о л и к о је с а д а М а р к у . З а је д н о и м а ју 35

г о д и н а . К о л и к о је с т а р с в а к о о д њ и х ?

774. С в е т л а н а и Н а д а и м а ју з а је д н о 63 г о д и н е . К а д а је С в е т л а н а и м а л а

о н о л и к о г о д и н а к о л и к о Н а д а и м а с а д а , Н а д а је и м а л а д в а п у т а м а њ е , н е г оС в е т л а н а с а д а . К о л и к О с а д а њ и х д в е и м а ју г о д и н а ?

775. Т а к м и ч е с е т р и б р и г а д е д р в о с е ч а . П р в а и т р е ћ а б р и г а д а о б о р и л е

с у д в а п у т а в и ш е д р в а , н е г о д р у г а , а д р у г а и т р е ћ а , т р и п у т а в и ш е , н е г о

п р в а . К о ја је б р и г а д а п о б е д и л а у о в о м т а к м и ч е њ у ?

776. П е т р а д н и к а о б а в љ а ју је д а н п о с а о . П р в и , д р у г и и т р е ћ и , р а д е ћ и

з а је д н о , з а в р ш и л и б и ч и т а в п о с а о з а 7,5 ћ , п р в и , т р е ћ и и п е т и з а 5 ћ ,

п р в и , т р е ћ и и ч е т в р т и з а 6 ћ , а д р у г и , ч е т в р т и и п е т и з а 4 ћ , З а к о је

в р е м е б и п о с а о з а в р ш и л о с в и х п е т р а д н и к а , р а д е ћ и з а је д н о ?

777. Д в а р а д н и к а , р а д е п и з а је д н о з а в р ш и ћ е је д а н п о с а о з а 5 д а н а . А к о б ип р в и р а д и о д в а п у т а б р ж е , а д р у г и д в а п у т а с п о р и је , п о с а о б и з а в р ш и л и

з а 4 д а н а . З а к о л и к о д а н а б и з а в р ш и о п о с а о п р в и р а д н и к , р а д е ћ и с а м ?

778. С т у д е н т м е д и ц и н е је у т о к у п е т о г о д и ш њ и х с т у д и ја п о л о ж и о у к у п н о

31 и с п и т . С в а к е с л е д е ћ е г о д и н е с т у д и ја д а о је в и ш е и с п и т а н е г о п р е т х о д -

н е . Н а п е т о ј г о д и н и д а о је т р и п у т а в и ш е и с п и т а н е г о н а п р в о ј. К о л и к о

је и с п и т а п о л о ж и о с т у д е н т н а ч е т в р т о ј г о д и н и ?

779. Д в а с у д а , з а п р е м и н е 144 I и 70 /, с а д р ж е и з в е с н е к о л и ч и н е в о д е . А к о

с е в е ћ и с у д д о п у н и и з м а њ е г , у м а њ е м ћ е о с т а т и 1 I в о д е . А к о с е , п а к ,

м а њ и с у д д о п у н и и з в е ћ е г , т а д а у в е ћ е м о с т а је — п р в о б и т н е к о л и ч и н е

в о д е . К о л и к о в о д е и м а у с в а к о м с у д у ?

780. У д в а б у р е т а н а л а з и с е у љ е - у п р в о м д в а п у т а в и ш е н е г о у д р у г о м .

К а д а с е и з п р в о г о д л и је 30 л и т а р а , а и з д р у г о г 20 л и т а р а , т а д а у п р в о м

о с т а је т р и п у т а в и ш е у љ а н е г о у д р у г о м . К о л и к о је у љ а б и л о у с в а к о м

б у р е т у п р е о д л и в а њ а ?

781. У д а љ е н о с т г р а д о в а А и В је 650 к и л о м е т а р а . Д в а в о з а и з о в и х

г р а д о в а к р е н у и с т о в р е м е н о је д а н д р у г о м у с у с т р е т и м и м о и ђ у с е п о с л е

10 ч а с о в а . А к о б и в о з и з г р а д а А к р е н у о 4 ћ 20 т г п р а н и је , с у с р е л и б и с е

8 ч а с о в а п о с л е п о л а с к а в о з а и з г р а д а В . О д р е д и т и п р о с е ч н е б р з и н е о в и хв о з о в а .



10 8 Т е к с т о в и З а д а т а к а —Г л а в а VI.

782. П у т о д м е с т а А д о м е с т а В је у к у п н е д у ж и н е 11,5 к т и и д е п р в о

у з б р д о , з а т и м ј е р а в а н , а п о т о м н и з б р д о . П е ш а к је и д у ћ и о д А д о В

п р е ш а о ч и т а в п у т з а 2 Н 54 т г п , а у о б р н у т о м с м е р у з а 3 Н 6 т г п . З н а ј^ћ и

д а је б р з и н а п е ш а к а 3 к т /Н у з б р д о , 4 к т /Н н а р а в н о м п у т у и 5 к т /Н

н и з б р д о , н а ћ и д у ж и н у р а в н о г д е л а п у т а .

783. И з м е с т а А ј е у 12 Н п о ш а о в о з . У 14 Н је у и с т о м с м е р у п о ш а о

д р у г и в о з и с т и г а о је п р в и у 20 Н . Н а ћ и с р е д њ е б р з и н е в о з о в а , а к о је

з б и р њ и х о в и х с р е д њ и х б р з и н а 70 к т /Н .

784. П о к р у ж н о ј л и н и ји ,, д у ж и н е 1,2 т к р е ћ у с е д в е т а ч к е с т а л н и м

б р з и н а м а . А к о с е к р е ћ у у с у п р о т н и м с м е р о в и м а , с р е ш ћ е с е к р о з 15 в е с , а

а к о с е к р е ћ у у и с т о м с м е р у , је д н а т с ч к а ћ е с т и ћ и д р у г у з а 60 в е с . Н а ћ и

б р з и н е т а ч а к а .

6.8. Л И Н Е А Р Н Е Н Е Ј Е Д Н А Ч И Н Е

О с н о в н е л и н е а р н е н е је д н а ч и н е с у

(1) а г + 6 > 0. (2) а х + 6> 0,

(3) а х + 6 < 0, (4) а х + 6 < 0,

г д е с у а и 6 д а т и р е а л н и б р о је в и . Н а о в е н е је д н а ч и н е с е с в о д е

и р а з н е д р у г е и д е н т и ч н и м т р а н с ф о р м а ц и ј а м а и з р а з а у з п р и м е н у

а к с и о м а у р е ђ е н о с т и с к у п а р е а л н и х б р о је в а .

Н е је д н а ч и н а а х + 6 > 0:

1° з а а > 0 и м а з а р е ш е њ е с в а к и р е а л н и б р о ј х з а к о ји ј е

6х > — ;

а

2° з а а < 0 и м а з а р е ш е њ е с в а к и р е а л а н б р о ј х з а к о ји ј е

6х < ---- ;

а

3° з а а = 0 и 6 > 0 и м а Ј а р е ш е њ е с в а к и б р о ј х Е К ;

4 ° з а а = 0 и 6 < 0 н е м а р е ш е њ а .С л и ч н о с е р а з м а т р а ј у н е је д н а ч и н е о б л и к а а х +6 < С а х +6 < 0,

о д н о с н о а х + 6 > 0.

/

785. Н а ћ и с в е р е а л н е бројеве х који задовољавају неЈедначину:

а ) —х + 2 > 0; б ) - З х + 1 < 0 ;



в ) —1х — 1 > 0;

д ) - 6 х > -8ж ;

Г\

6.8, Л и н е а р н е н е је д н а ч и н е 109

г ) —4х > —2х + 3;

ђ ) (х - I )2 + 7 > (х + 4)2;

Ч .0 (х + 1)(х + 2) + 3(1 - х ) < ( х - I)2;

ж ) (х + I)3 + (1 - х )3 < (х + 1)(1 —х ) + х 2.

786. Р е ш и т и н е је д н а ч и н е :

а ) 5(4 - 2х ) - > 2(5г - 1) - 3 * ]

ф 10(г - 1) - - Х < 5(г + 2) - - - х 2. 0 .

^ 787. Р е ш и т и с и с т е м н е је д н а ч и н а : ‘

I а | 2(3х - 1) < 3(4х + 1) + 16, 4(2 + х ) < о х 1 8;

х З г 5 г г —3 2 + З хб ) 5 + т > 1 5 + т , — + — > 5 ;

в ) з - Џ > 5 - 2 »(2* - б ) - 27 < (2* + ч 1; I о 0

г ) (а? —1)(2а г + 3) < ( 2 х - 5) (х + 4), (4* + 2)(а г - 1) > (2х - 5)(2х + 1);

1 2д ) 4 - х < 0, 5х - 3 > 1 + х , - - З х < - х - 5.

Р е ш и т и н е је д н а ч и н е (з а д а ц и 788-794):

7 8 8 ^ (а? —1)(а г + 3) > 0;

•И јЦ ) (х + 1)(х + 4) > 0;

^ д ) х 2 + 2х > 0;

'е 2х 2 + 5х — 7 > 0;

х —2с=^789.

2х + 1

х + 3

< 0 ;

< 0;! —4 ~

^ 7 9 0 . 0 < 1;х —4 ~

х 2 —1

- 0 — 2) < °;

— $ х ( х —3) < 0;

—:ђ ) х 2 —5ж + 6 < 0;

ж ) 2ж 2 + х — 10 < 0.

4ж + 5 —

^ < 3 -х + 1 ’

2х —5

х + 3 —

792. (ж — 1)(ж —2)< 2;



7 9 3 . 0 (х + 1)(х - 2)( х + 3) < 0; & - ~ ~ < 0;

(« - 1 ) 0 - » ) ( . - V > 0 ;

д ) 7(5 —13ж )(1±г - 3) > 0; @ х + 2 > х + 1 ’

" ч х - 3 х - 5 т (х + 3)2(ж + 1)(ж - 5)

3 x ^ 1 > а Г ^З ’ ® - ( « - 4 ) » ( « - 2 )

З ж 2 —х - 20 „ З х 2 —22х +


794.

б ,

795. А к о је а > 6 > 0, н а ћ и с к у п р е ш е њ а н е је д н а ч и н е а х + - < а + 6.

796. Д а т и с у и з р а з и А = х 3 + 1, В = ж 2 + х , г д е ј е х р е а л а н б р о ј. З а к о је

X ј с

а ) А > В - б ) А = В \ в ) А < В .

Г " ч .737, Р е ш и т и н е Ј е д н а ч и н е :

0 | 5 - 2 х | < 1 ; б ) |З х - 5,5|>2; 0 2|х + 1ј > * + 4;

г ) | 2 * - 4 | < г - 1 ; д ) |* —2| < |* + 4|; ђ ) |* + 2) - |х - 1| < х -

е ) \х + 1|+ |х - 4| > 7; ж ) |1 - *| - |2* - З ј - 4* + 5 > -3 .

798/)Г р а ф и ч к и р е ш и т и н е је д н а ч и н е :

/С л ) Iх ^ I 1а ) | + 2| > | |; ( З х Т Т

Р е ш и т и н е је д н а ч и н е (з а д а ц и 799-802):2 1 0 2

799. а ) -----ј- : - -р -ј— г < 0; ^б ) ) м Т о _ П П — Т > ° ’у 1 + || |х| —1 -----'\х\ + 1 |*|- 1 ,

Г \ 1 2 2 1 '

в ј 1x1 —2 “ ш т т ^ г > 1*1 + 3 N - 1

х\

801. Р е ш и т и н е је д н а ч и н е :

1 * -31 - <н > _ ! * + Ц _ < -,. | г ~ 11

•

1 2 + 4 Х 3 3 - 1; Д ) .^ + З х - Т 0 - 1;

802. а ) -\/4х 2 —4х + 1 < 3 - х ; б ) < 2;

/х 2+-4а?;+ 4 г , У ^~~ 6х + х 2

В ) V 9 “ 6*" + ’2х —3- '

1 0 | * 5



6.9. В а ж н и је н е је д н а к о с т и

6.9. В А Н И Ј Е Н Е Ј Е Д Н А К О С Т И

11 1

1. О с н о в и е с р е д и н еН е к а с у д а т и п р о и з в о љ н и б р о је в и х > 0 и у > 0> Т а д а ј с

10 л Х + У *1 А , == —- аритметичка средина ороЈева х и у ;

2° С , = у / х у . г е о м е т р и јс к а с р е д и н а б р о је в а х и у ;

2х у3° Н , = --------, х а р м о н и јс к а с р е д и н а б ^о је в а х и у ;

х + у

/а ;2 + 24° А ', = ^ к в а д р а т н а с р е д и н а б р о је в а х и у ;

. 2. Н е је д н а к о с т и и з м е ђ у с р е д и н а

< ! + ! < , / ? рх + у - 4' 4' - 2 - V 2Ј е д н а к о с т и в а ж е а к о и с а м о а к о је х — ј / .

803. Д о к а з а т и н е је д н а к о с т и :

а1 1 1 1

) 1 7 ‘4 > 3 1 ” б ) 5 Т + 52+ " + т > 2'в . 2 4 6 1 2 0 Ј _ 1 3 5 99 1

3 ' 5 ’ 7 ' *' 121 > 11 * ^ 2 ' 4 ' 6' '' 100 < 10'

804. Д о к а з а т и д а з а п о з и т и в н е б р о је в е а ,6 и с в а ж е н е је д н а к о с т и :

а ) —Н — > 2 ; б ) -\— > 2 ; в ) а 2 + 1 > 2а ;0 а — а — —

г ) а 2 + 62 + с 2 > а б + 6с + а с ;

д ) а 2 + 62 + с 2 + 3 > 2(а + 6 + с ).

У з а д а ц и м а 805-809 д о к а з а т и д а в а ж е н а в е д е н е н е је д н а к о с т и . У з а д а ц и м а

к о д к о ји х н и с у д а т и д о п у н с к и у с л о в и т р е б а п о д р а з у м е в а т и д а п р о м е н љ и в е

м о г у у з и м а т и п р о и з в о љ н е р е а л н е в р е д н о с т и :

805. а ) ^ А < \ б ) 1 + 2ж 4 >2х 3 + х 2; в ) 2( х 2 + 2) > ( х + у )2;1 I- X 2

г ) 2 + г 2 > 2 ј /2 а к о је х : у = у : г ;

1 1д ) — I— < -г + Д - к о је х > 0 и у > 0.

х у ~ у х л

806. а ) а 2 + 2а + 3 > 0; б ) а 2 + 4л + 5 > 0; в ) а 2 + а + 1 > 0:

г ) а 2 —а + 1 > 0; д ) а 2 + а б + 62 > 0.




807. а

б

в

г

308. а

б

в

809. а

б

а 6(а + 6) + 6с (6 + с ) + с а (с + а ) > б а З с а , 6, с > 0;

а 3 + 63 > а 26 + а б 2 з а а + 6 > 0;

а + 6 а 6 , , ,< т - — + -----г з а а > 1, 0 > 1;

1 + а + 6 1 + а 1 + 6а4 + 64 > а36 + аб3 .

> \/а 6 з а а , 6 > 0;

а + 6 + с + I_> а б с с?, (а , 6, с , о? > 0)

> а б с , (а , 6, с > 0)

а + 6 + с > \/а 6 + \/б с + -у /а с з а а , 6, с > 0;

а 3 + 63 / а + 6 ' 3> з а а , 6 > 0;

2 - V 2

/ /б 2< у у + у — Л а > 0,6 > 0);

а + 3

/ а 2~+~2> 2.

610. Л И Н Е А Р Н А Ф У Н К Ц И Ј А

Л и н е а р н а ф у н к ц и ја д е ф и н и с а н а н а с к у п у р е а л н и х б р о је в а је

ф у н к ц и ја у = /(ж ) о д р е ђ е н а с а

у = к х + п , з а &, п (: К . -

1° &је коефициЈент правца праве

- з а & > 0 п р а в а г р а д и с а п о з и т и в н и м д е л о м О х о с е о ш т а р

у г а о и т а д а је ф у н к ц и ја р а с т у ћ а ;

- з а к < 0 п р а в а г р а д и с а п о з и т и в н и м д е л с з м О х о с е т у п у г а о ;

ф у н к ц и ја је о п а д а ј у ћ а ;

з а к = 0 п р а в а је п а р а л е л н а с а О х о с о м ;71

2° Р е ш е њ е је д н а ч и н е к х + п = 0, т ј. х ц = —— (к ф 0) н а з и в а с е

н у л а л и н е а р н е ф у н к ц и је :

3° п је о д с е ч а к н а О у о с и - з а п = 0 п р а в а л р о л а з и к р о з

к о о р д и н а т н и п о ч е т а к ;

4° з а п = к = 0 п р а в а с е п с к л а п а с а о с о м О х ; с з а к а т а ч к а

х Е В - је н у л а ф у н к т -Ј е .



6.10. Л и н е а р н а ф у н к ц и ја 113

С к и ц и р а т и г р а ф и к е ф у н к ц и ја (з а д а ц и 810-811)

1 л- х ; в ) ј / = у - 3

1

2

8 1 0 . ф у = 2х ; 6 ) у = \х \ в ) у = - х ; © у = ~ х .

1811. а ) у = 2 х + 1; б ) у = - - * - 1; в ) у = З г - 4;

г ) 2/ = —З ат + 4; ) г / = “ * + 1; ђ ) Ј / = | * - 1 .

812, О д р е д и т и в р е д н о с т а з а к о ју ф у н к ц и ја ј / = а *—- , и м а н у л у з а * = —2

813. О д р е д и т и в р е д н о с т и 6 а к о је х = —- н у л а ф у н к ц и је у = 2х + 6.

814Л У ф у н к ц и ји у = а х + 6 о д р е д и т и р е а л н е п а р а м е т р е а и I т а к о д а

№ с н о м г р а ф и к у п р и п а д а ју т а ч к е >1(3, —4) и В (— 2,1).

815. У ф у н к ц и ји у = ( т - 4)х - З т + 10 о д р е д и т и п а р а м е г а р т е К , т а к о

д а т а ч к а >1(1,2) п р и п а д а г р а ф и к у ф у н к ц и је .

816. Д а т е с у п р а в е :

а ) (6 + 2) х + (6 —3)ј/ + 62 —26 + 1 = 0;

б ) (6 — 1)* + (6 + 2) у + + 26 + 1 = 0.

О д р е д и т и с в е в р е д н о с т и 6 з а к о је је п р а в а : 1° п а р а л е л н а О х о с и ; 2°

п а р а л е л н а О у о с и ; 3° п р о л а з и к р о з к о о р д и н а т н и п о ч е т а к . У с в а к о м о д

с л у ч з је в а н а п и с а т и је д н а ч и н у п р а в е .

I 8 1 7 /Н е к а с у д а т е ф у н к ц и је : / ( * ) = 2 + З х , д (х ) = 2 + х , х € N . Н а ћ и /(1 ),ч ф ) , <7(1), <7(2). ‘

818. У ф у н к ц и ји у = (а —1)х — (а + 2) о д р е д и т и п а р а м е т а р а т а к о д а г р а ф и к

ф у н к ц и је с е ч е О х о с у у т а ч к и ч и ја је а п с ц и с а * = 5.

819. О д р е д и т и с в е в р е д н о с т и р е а л н с г п а р а м е т р а к т а к о д аЗ к + 5

а ) ф у н к ц и ја у = — х + 4 — к 2 б у д е р а с т у ћ а и д а њ е н г р р .ф и к с е ч з4 гС

О у о с у у т а ч к и с а п о з и т и в н о м о р д и н а т о м ; 2к —1

б ) ф у н к ц и ја у = - - —- х + к 2- 1 б у д е о п а д а ју ћ а и д а њ е н г р а ф и к с е ч е

О у о с у у т а ч к и с а н е г а т и в н о м о р д и н а т о м .820. У ф у н к ц и ји / ( * ) = (а - 3) х + 2а + 5 о д р е д и т и п а р а м е т а р а д а г р а ф и к

ф у н к ц и је : '

а ) с а д р ж и т а ч к у В ( 3 , - 1 ) ;

б ) с е ч е О у у т а ч к и ч и ја је о р д а н а т а у = 5

821. У ф у н к ц и ја м а у = (а — 3)* + (а —2) и у = (2а + 1)* —( а —1) о д р е д а т и

п а р а м е т а р а д а г р а ф и ц и б у д у п а р а л е л н и .

822. У ф у н к ц и ји у = (2т — 3)х + т — 1 о д р е д а т и п а р а м е т а р т т а к о д а

г р а ф и к ф у н к ц и је с а О х о с о м г р а д а

а ) о ш т а р у г а о , б ) т у п у г а о , в ) н у л а /г а о .



114 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в е . VI

893. О д р е д и т и п а р а м е т а р к т а к о д а с л с д е ћ е ф у н к ц и је б у д у р а с т у ћ е :

Ч 3 * - 1 01 , “ * + 1 , ,

а ) У = Т ^ 2 Х + ' ) 2 / = 2 Г ^ Ј х ~

Н а ц р т а т и г р а ф и к е ф у н к ц и ја (з а д а ц и 824-825)

824. а ) у = ||- 3; © у = |2х + 4|- 2; в ) у = х + |х|; г )ј /=|х -1|.

825. а ) у = 1х + 1|- | - 2); б ) у = | + 1|+ |1- х |;

В ) = ]х |; г ) ј / = х + М ;

д ) у = ||- |3- х| +| + 2|; ђ ) у = \2х - Ц + \х - Ц - \х + 2\\

е ) у = ||2х +-5|—2|; ж ) у = |3- | - 2||.

0.11. Д О Д А Т А К У П О Г Л А В Љ А 6.6 Д О 6.10

Р е ш и т и је д н а ч и н а (з а д а ц и 826-829) г д е с у а , 6, т И т р е а л н и п а р а м е т р и .

. 4х 2- З с 4х *526. а ) — — — — - = _ - +

6х + 6 —4х —4 6 —4 + 1 ’

х + а х —6 2(а + 6)б ) ~

х —а х + 6 х 2 —а х + б х —а б ’

ч П Х о х ,б ) — |------ ј-------- 7 = а + 6.

х + а х —о

(а •+=6)(х — 3) —2с _ 26

(а - 6)(х + 3) + 86 ” 8а ’

ч 1 & 26 106Д ) о !---- Г + ? !---- Г = “ +З а — х 36 —х З а 2 —а х З а б —а х '

а 36— ]----- 'ђ

ђ ') х ----- а _ Е .96 а а

х + 6

. . . , 4а 2 З а + З 2а 2 4827’ а ) + 3 — 7 - ^ +

528. а )

З х + 3 х 2 —1 З х 2 —3 х — 1 ’

2ш —5 3 _ З х + 4_(ш —1) (х + 2) х + 1 х 2 + З х + 2 ’

. 9а 2 - 8 4 - З а 2 _ а (4 + З а х )

В 2(х + 2) х - 2 х 2 - 4 ’

. 1 1 сг) - Н--------т = —х ------■

х х — 1х Ј —х

х + ш х + ш + п _ 2ш 2 + п 2 — т п

X —ш х + т х 2 —т



6.11. Ј к о д а т а к у з п о г л а в љ а 6.6 д о 6.10 115

х 2 1 —х 2 —З хв ) — -т т — 2 т 2 — 2т '

т х —2 х —2ш _ 2т + х

( ш - 2 ) ( ш + 2) т - 2 ш + 2 ’ч 1 1 1 1

д ) п х —п 2 т п —т х т п —п х т х —т 2

х 1 1а н -------- Г „ј _Ј , п г ------ 1 ж ------------I /ч I 1. Ш 1 Л ““ 1|

а —6 _ а + 0. _____х_ _ ± ______ т л _|__

а —6 ’ ■ . 1 . 1 г л ха “ — Т ш + - х Н-----

а + о х т

Р е ш к т и је д н а ч и н у (з а д а ц и 830-832):

___ . 2х а х —1 _ „ .830. а ) -------------- г------------- = — . с Е К . Д а л и з а с в а к о а д а т а Ј е д н а ч и н а

' а 3 - 8 а 2 + 2а + 4 а - 2и м а р е ш е њ е ?

б ) З а к о !е а је р е ш е њ е п о з и т и в а н б р о ј?

в ) Н а ћ и а т а к о д а ј е х = 0 р е ш е њ ? Ј е д н а ч и н е .

. . . З а б +1 З а б а ? (2а + 1)х831. — ; ---------- - -.— —= = — - - г - — , а ,6 6 К ,, а ф 0, а ф -1 ,

а а + 1 (а + 1)3 а 3 + 2а 2 + а ’

а + 36(а + I)2 ф 0.

а ) Д о к а з а т и д а р е ш е њ е н е з а в и с и о д 6.

б ) О д р е д и т и а т а к о д а д о б и је н а в р е д н о с т з а х б у д е п о з и т и в н а , з а т и м

. и в е ћ а о д 1.

_ \ а 6 х 6 с х с “ а _832. а ) ------------ 4 -------------- + ------ т------= 3;

х - а х —6 х —с „ / 1 1 1\б —— + ------- + — — = 2 - + г + -

о с а с а о \а о с Ј

833. З а к о је в р е д н о с т и п а р а м е т р а а је д н а ч и н а х - а = 2\2у/х 7 —а *| и м а

м а к с и м а л а н б р о ј р е ш е њ а ?

834. Р е ш и т и је д н а ч и н е :

а ) 2\/х 2 —4х + 4 = х ,

б ) \/х ? - 4х + 4 - л Ј Л х2 12х + 9 = -1

835. Р е ш и т и је д н а ч и н е :а ) х + 3 —2\/х + 2 + \/х + 27 - Т О т /Ј + 2 = 4;

б ) \ /х —2 - у /2х —5 V \/х + 2 —3\/2а : - 5 = \/2;

в ) У х —1 + \/х + 24 —10\/х - 1 = 5;

г ) ’„/х —2\Л : —1 + \ х + 3 — 4\/х — 1 = 1;

д ) \/2х - 2\/2х —1 + \/2х г 3 - 4\/2х —1 = 3.

836. Р е ш и т и је д н а ч и н е п о х и р е ш е њ а п р и к а .^а т и г р а ф и ч к и :

а ) |х — 1|+ |х —2| = 1;

б ) јх — 2| + |х —3| + |2х —8| = 5;

в ) |х — 1|—2|х —2| + 3|х - 3| = 4;г ) |2—|1 —||||= 1.




1 1 —х . .2 —х .837. Р е ш и т и Ј е д н а ч и н у : — + ------- + -----

х х х

4

'3Н 38. У з а в и с н о с т и о д р е а л н о г - п а р а м е т р а а р е ш и т и је д н а ч и н е :

а Ј | | + \х — 1|+ |х + 2| = а ; б ) јх + с| + х = 2;

в ) | | = х + а .

838. Р е ш и т и је д н а ч и н е :

а ) |х - 21 + \х 4 1| = а + 2х , а 6 Н .; б ‘) \х —1ј + \х + 2| = 6 —2ж , 6 6 К ;

в ) |х - 1|+ \х + 1| = 2х + а , а 6 К ; г ) (|х - 2| + + 2|) = 6х , 6 6 К .

Р е ш и т и с и с т е м е је д н а ч и н а (з а д а ц и 340-841) г д е с у а , 6, т и п р е а л н и

п а р а м е т р и :

340. а ) ( х + а у -■ \ а х —З а у =

х + а у —- 1,2а + 3;

б )

(а + 6)х + (а - 6)у = 0,

х + у = 1;

д )

1

х + 1т

+ т (у — 2) = 1,

х + 1

+ у - 1 = 2гм ;;

(а - 1)х 4 (а + 1)у = 2 (а 2 - I),(а 2 - 1)х + (а 2 + 1 )у = 2(а :' - 1);

г ) \ д 4* 6 а —6

х - у = 4а 6;

ђ )

а х + 6у = а 4 ћ к ,

6х + п у 5? а Л + 6.

841. а ) .

м ) { ( .

(а - 1)х + 6у = -6 ,

а х + 26у = —а ' ;

д )

а х —6у = 6,

+ 1)х - 26ј / = 36 —а б ;

х + ( а - 1)у = 6 + 1,

б )

г ) ■

| (1 - а ј х + (1 - 6)у = а - 6,

а х + 2({ - 1)у = а б —2а ;

(а - 1)х + (6 + 1)у = а + 6,

IX + 2(6 + 1)у = 2а + а б ;

(6 + 2 )г + а у = а 2 -' 6 + 2,

(6 - 1)х + 3(а - \)у = 62 - 6 + 3;ђ )

х + З а у = З а 2 + I,

842. Н а ц р т а т и у р а в н и х О у с к у п с з и х т а ^а к а з а ч и је " о о р д и н а г е в &ж и :

а ) 1 14 || = 2; б ) 1 ј 4 р * = 2 ;

в ) х + || = у 4|у |; г ) х 4 || + у + ||= 4.

843. З а к о ј е ц е л о б р о ј н е в р е д н о с т и п а р а м е т р а п с и с т е м ’ °д н а ч и н а г

( п х —2у = 3,

\ З х 4 п у = 4



6.11. Д о д а т а к у з п о г л а в љ а 6.6 д о 6.10 117

и м а р е ш е њ а (х , у ) з а к о ја в а ж и х > 0, у < 0?

844. Е р о је в и а , 6 и с с у т а к з и д а с и с т е м је л н а ч и р а

ј' а х — = 2а —6,

I (с -ј- \)х + с у = 10 - а + 36

и м а б е с к о н а ч н о м н с г о р ш п е њ а , п р и ч е м у је (1, 3) је д н о о д т и х р е ш е њ а .

Н а ћ и а ,, 6, с .

845. Д а т је с и с т е м јс д н а ч и н а

{* + У = г 2,

10х + у = з»“,

п Е N . О д р е д и т и з а к о .је в р е д н о с т и п д а т и с и с т е м и м ?, р е ш е њ а у с к у п у

^Т р и р о д н и х б р о је в а .

846. а ) Р е ш и т и с и с т е м је д н а ч и н ћ :

Г ||+ ј у - 1 |= 1 ,

\ х + 2у = 3.

б ) П р и к а з а т и р е ш е њ е г р а ф и ч к и у р г в н и п р а в о у г л о г к о и р л и н а н т н о г с и с -

т е м а х О у .847. Р е ш и т и с и с т е м и д а т и г р а ф и ч к у и н т е р п р е т а ц и ју .

а ) (х + 1|+ || = 1.

\х + у| - 2;б )

| х - 7/1 = 2,

И + \у - 1| = 1.

848, Р е ш и т и с и с т е м е је л н а ч и к а :\

<3 4

а ) ’

+ = 4,х + 2у + г 5х - у + 2г З г + 2у + г

3 8 5----------------- и , ---------------ј -----------,— — 4х + 2у + г' ' 5х — у + 2г З х + 2у + г

9 12 10----------------- .Ј - , ___________________________ — 4'х + 2 у + г 5х —у + У ,г З х + 2 у + г

2 3 4

б ) ■

+1

З х + ј< - З г 1б а ; + З Ј / + 4г 5х —у —3г V.,

3_____________4 5 19

З ж + у — З г 1б х + З у + 4г + 5х —у —З г 24

4 __5______________ 6 _ _ 1З х + у —З г 1 б х + З у + 4г 5х — у —З г 2




849. Р е ш и т и с и с т е м е је д н а ч и н а (а , 6, с ф 0):

а )

( *

X у- | + 2 = 0,

+ - - 1 = 0 ,с

X 2 „- + - = 0;а с

б )

2 х — 36 + с г =. 0,

З а х —б б у + 5с г = 2а 6с ,5а х —46у + 2с г = З а б с ;

в )

46с ж + а с у — 2а 6г = 0,

56сж + З а с у - 4а 6г + а б с = 0,

З б с ж + 2а с у — а б г —4а 6с = 0.

850. Н а ћ и р е ш е њ а с и с т е м а је д н а ч и н а :

2х + 7у + З г + и = 6,

а ) ^ З ж + 5у + 2г + 2и = 4,

9х + 4у + г + 7и = 3;

б )

З х - 2у — 5г + и = 3,2х - З у + г + 5и = --3,

а; + 2у - 4и = - 3 ,

х - у - 4* + 9и = 22;

в ) г )

2х - 5у + З г + <= 5,

3* —7у + 3* —* = -1 ,

5ж - 9у + 6г + 4< = 7

4х - 6у + З г + г = 8.

4ж —6у + г + 5и —7 = 0,

х - 2у - 2г - З и - 3 = 0,

З ж - у + 2г + 1 = 0,

2х + З у + 2г - 1и + 7 = 0;

851. Р е ш и т и с и с т е м је д н а ч и н а :

' [х + у )(х + у + г ) = 72,

[ у + г ) ( х + у + г ) = 120.

(г + ж )(х + г / + г ) = 96

В 52. Ч е т и р и ц е в и н а п у н е б а з е н з а 4 ч а с а . П р в а , д р у г а и ч е т в р т а ц е в

н а п у н е б а з е н з а ш е с т ч а с о в а , а д р у г а , т р е ћ а и ч е т в р т а з а 5 ч а с о в а . З а

к о је в р е м е б и б а з е н н а п у н и л е п р в а и т р е ћ а ?

:53. У ч е н и к с л а ж е с в е с в о је м а р к е у о в и а л б у м . А к о н а в а к у С т р а н у

с т а в и п о 20 м а р а к а , а л б у м м у н е ћ е б и т и д о в о љ а н , а к о т а в и п о 23 м а р к е ,

а р је д н а с т р а н а ћ е о с т а т и п р а з н а . А а к о б и у ч е н и к у н е к о п о к л о н и о и с т и

т а к а в а л б у м с а п о 21 м а р к о м н а с в а к о ј с т р а н и , о н б и и м а о у к у п н о 500м а р а к а . К о л и к о и м а с т р а н а у а л б у м у ?

854. Р е ш и т и с и с т е м е је д н а ч и н а (а € К ):

' (4 - а )х = а + 2,

а ) р Х + у = а ,

х - у = —а ;

б )

' (4 - а 2) х = а - 2,

х - у = —а ,

а х + у = а



X ' 2855. Д а т је с и с т е м је д н а ш и н а -------= 2, --------- = 3, х > 0, у > 0, * > С .

х + у у - хШ т а Ј е в е ћ е : х и л и г ?

856. Р е ш и т и с и с т е м /е д н а ч и н а :х у 12 у г _ 18 г х _ 36

а ) х + у ~ 5 ’ у + г 5 ’ г + х 13

х у _ 0 г г _ _ , у г _ 0

б ј Г Т + З у ’ 2г + 2,х 8 2у + З г '

857. е т р д е с е т к р а в н « п о п а с е је д н у л и в а д у з а 50 д а н а . И с т у л и в а д у

п о п а с е 60 р а в а з а 30 д а н а . К о л и к о ћ е д а н а д а т у л м з а д у п а с т и 20 к р а в а ?

К о л и к о к р а т н а м о ж е д а п а с е н а л и в а д и 75 д а н а ?

858. з ш и т и с л е д е ћ е н е је д н &ч и н е п о н е п о з н а т о ј х ,(а , 6, т , п 6 К ,):

а ) 5х —а > а х —4; б ) х —2 > т —п х ;

, , а: 6 2х 6в ) а х + № > к х + а , г ) — I- — > ---------- , >

' а а^ а а *

х _ 1 х + 1 2х хд ) з + — > — п " а х '> ђ ) — - 5 > - + а - 4 ;

а + 1 а + 1 а а

е ) (а 2 —З а + 2) х < а 2 —4а + 4.

859. Р е ш и т и с и с т е м н е је д н а ч и н а (т б К ):

6.11. Д о д а т а к у з п о г л а з љ а 6.6 д о 6.10 119

{

(т + I)# < т —2,

4х < 1,

Р е ш и т и с и с т е м е н е је д н а ч и н а (з а д а ц и 560-861):

850. а ) л х — а 2 < х — 1, (а —3)х + 8 < х + 2а , а Е К ;

б ) 2а < а х + а 2, 6 —(а + 2) х < х —2а , а Е К ;

в ) х + 4с < с х + с 2 + 3; 4 —с г < 2(х —с ), с € К ;

г ) с х —с 2 < 4с —лз + 3, с г + 4 < 2(с + :г ), с Е К .

861. а ) (а - 2)(1 - *) > - х , 3(а - 1)(2 - х ) > 3(а - 2)(2 - *) + 5 а € К ;

б ) 3(2 - т )(х - 2) > 3(1 - т ) ( * - 2) + 5, х - 4 < (1 - ) ( г - 3), т 6 К .

862. Р е ш и т и с и с т е м н е је д н а ч и н а и д а т и г е о м е т р и јс к у и н т е р п р е т а ц и ју :

ј а + З у + 2 > 0, . 2г - у + 1 > 0, Г г - у + 7 > 0 ,

а [ - х - у + 1 > 0; б ) \ а : + V - 2 > 0; В ) \ * - З у - 2 > 0.

863. Р е ш и т и п о х је д н а ч и н е :

а ) а 2(х — 1) + 2х = а (3г —5) + 6:

б ) а 2(х —1) —4а = х + 3, а Е И ;и з а т и м о д р е д и т и а т а к о д а б у д е



120 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л ш в а VI.

864. Р е ш и т и је д н а ч и н е (а 6 К .):

а ) 5х —а = а х — 4; б ) х —2 = а —а х ;

ч х — 1 х + 1 2х х .в ) х Н -----Г Т = — Г Т ~ г ) ------5 = - + а - 4.а + 1 а + 1 а а

и о д р е д и т и в р е д н о с т и п а р а м е т р а а т а к о д а б у д е :

1 ° * > 0 ; 2° х = 0; 3° х < 0.

865. Р е ш и т и је д н а ч и н у ----- --------- 1 - = * - — 1 и о д р е д и т ис ј-4 + а а + 1 а 2 + 2 а + 1 (а + I) 3

з н а к р е ш е њ а , а е К .. .

8 6 6 . О д р с д и т и т т а к о д а б у д е х > 0 и у < 0, а к о ј е

I* х = 0, 2° X > 0, 3° * < 0.

(( т —9) х + (3 —т )у = 3,

( 2 —3 ) х + т у = —5.

867. Н а ћ и с в е в р е д н о с т и к з а к о је с и с т е м х - 2у = к , З х + у = 8 и м а

р е ш е њ е , к о ј е з а д о в о љ а в а у с л о в х > —1 , у > 0 .

8 6 8 . Р е ш и т и с и с т е м ј е д н а ч и н а :

(

х + у = 1 ,

42 - 1

/

и у с л у ч а ј у к а д а и м а ј е д и н с т в е н о р е ш е њ е о д р е д и т и с в е в р е д н о с т и А т а к о д а б у д е 2у - х < 0 .

869. Д а т је с и с т е м је д н а ч и н а : х + у = 1 , — + (р —1)у = р —2, р 6 К .

а ) Р е ш и т и с и с т е м .

б ) О д р е д и т и с в е в р е д н о с г а р т а к с д а з а р е ш е њ а с и с т е м а в о ж и х + 2у > 0.

870. Д а т је с и с т е м је д н п ч и н а : (к + 2)х — у = —Ц -, (6 - 1)х + (6 - 1 ) у = 6 + 2,

6 б К . “

■ а ) Р е п ш т и С и с т е м .б ) О д р е д и т и с в е в р е д н о с т и 6 т а к о д а з а р е ш е њ з с и с т е м а в а ж и х > у .

■ 171. Д а т ј е с и с т е м је д н а ч и н а :

{

а х —к у = 6,

(а + 1)а г —26у = 36 —а б , а , 6 6 К .

а ) Р е п ш т и и д и с к у т о в а т и с и с т е м .

б ) У с л у ч а ј у к а д а с и с т е м и м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е ( х о , у о ) , о д р е д и т и с в е

в р е д н о с т и з а 6 т а к о д а в а ж и : ^2х 0 - —— —^ : ^(26 —3 )(х 0 — — -) < 1 .



6.11. Д о д а т а к у з п о г л а в љ а 6.6 д о 6.10 121

872. Д а т је с и с т е м је д н а ч и н а х + р у = 3,р х + 4у = 6.

а ) Р е ш и т и с и с т е м .

б ) У с л у ч а ју к а д а п о с т о ји је д и н с т в е н о р е ш е њ е , о д р е д и т и с в е в р е д н о с т и

п а р а м е т р а р т а к о д а б у д е \х —у\ > 1.873. О д р е д и т и к т а к о д а с и с т е м је д н а ч и н а :

а ) х + к у = 2к — 1, х + (2А : —1 )у = к

и м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е и д а в а ж и \х + 2у\ < х + 1;

б ) к х + у = 2к — 2, (2к — 2)х + у = к и м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е и д а в а г к и

\х + у\ < у + 2.

874. О д р е д и т и т т а к о д а с и с т е м је д н а ч и н а : х + т 2у = т (2 —т ),х + у = 1 X

и м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е и д а в а ж и у с л о в — < 0.' У

875. Д о к а з а т и н е је д н а к о с т и : а ) а 2с + 1>2а + с 26 > 3а к с , а , В , с > 0;

б ) (1 + 0 > 1 + х , х >

в ) — + — + ^ > о + 6 + с , а , 6, с > 0;с а о

г ) (а + Н с ) ^ ј ј > 9 а , 6, с > 0;

д) ТТ~ + т ■+ а 6'с>0’ + с с + а а + о а + о + с

ђ ) ? + - + - > 3 , а 6 , с > 0 .о с а

876. Д о к Е и а т и и м п л и к а ц и је :

а ) х 2 + у 2 < 2 =)► \ х + у \ <2- ,

б ) х 2 + у 2 > 2 => \х + у \> л /2;

в ) а + 6 = 2 а 4 + 64 > 2;

г ) | | < 1 А |6|< 1 => |а + 6|< |1+а 6|;

д ) а > 0 д 6 > 0 л д + 6 = 1 = ^ ^1 + ^ ^1 + > 9;

х 2 + у 2 /—ђ ) х у = 1 Л х > у ^ -- - > 2\/2;

х —у

N 1 1 2 2 ^ 4е ) - х + - ; = е. =>• 2+ у 2 >х * у * — а

877. а ) А к о ј е а + 6 + с = 6, д о к а з а т и д а ј е а 2 + 12 + с 2 > 12;

б ) А к о ј е х + у + г = 1, д о к а з а т и д а је х 2 + у 2 + г 2 > - .. О

878. Д в а а у т о м о б и л а п о л а з е и с т о в р е м е н о и з м е с т а А п р е м а м е с т у В .

П р в и и д е п о л о в и н у в р е м е н а б р з и н о м и , а д р у г у п о л о в и н у в р е м е н а б р з и н о м

у ; д р у г и и д е п о л о в и н у п у т а б р з и к о м и , а д р у г у п с л о в и к у б р з и н о м V. К о ји

ћ е а у т о м о б и л п р е с т и ћ и н а ц и л >?



1'л а в а VII

с л и ч н о с т

7.1. П Р О П О Р Ц И О Н А Л Н О С Т Д У И И Т А Л Е С О В А Т Е О Р Е М А

А к о с у д а т е д у ж и а , 6, к г д е је к је д и н и ч н а и а к о је а =

т к , 6 = п к , т а д а к о л и ч н и к т : п , о д н о с н о — , к а з и в а м о р а з м е р о м

, . а тд у ж и а и о , ш т о о з н а ч а в а м о с а а : о = т : п , о д н о с н о т- = — .

о пТ а л е с о в а т п е о р е м а . А и о с у п а р а л е л н е п р а в е а и 6 т р а н с з е р з а л е

п р а в и х р и д и а к о је : р П «/ = {5 } , а П р = {Л } , а П д = { ^ 1}, 6П р = { В } ,

6П $ = {-В 1}, т а д а ј е

4.41 8А _ 5 А г _

В В х ~ 8 В ~ 5В \ ~

г д е је к к о е ф г г д и је н т с л и ч н о с т и т р о у г л о в а Б А А х и 8В В \ (в .с л .)

879. Д а т а је д у ж А В . О д р е д и т и н а т о ј д у ж и т а ч к у т а к о д а је А р

В = 2 : 1 .



7.1. П р о п о р ц и о н а л н о с т д у ж и и т а л е с о в а т е о р е м а 123

880. Д а т а је д у ж А В . Н а ћ и т а ч к е С и Б , к о је о в у д у ж д е л е у н у т р а ш њ о м

и с п о љ а ш њ о м п о д е л о м у о д н о с у т : п .

881. Д а т е с у д у ж а , 6, с . К о н с т р у и с а т и д у ж х т а к о д а је а : 6 = с : х .

882. А к о с у а и 6 д а т е д у ж и , к о н с т р у и с а т и д у ж :

а ) х = а &; б ) х = в ) ж = — .

883. П о д е л и т и д а т у д у ж н а

а ) т р и је д н а к а д е л а ; б ) п е т је д н а к и х д е л о в а .

884. У т р с у г л у А В С (в . с л .) д у ж Б Е је п а р а л е л н а с а А В . Н а ћ и :

а ) С Е , а к о е А С = 12, С О = 4, В С = 24; В

б ) В Е , а к о е А С = 15, А П = 3,В С = 25;

в ) В С , а к о е А О = 6 , С О = 14, С Е = 7;

г ) С Е , а к о е С О = 8, А С = 20, В Е = 6;

д ) А С , а к о је А Б = С Е , С Б = 4,В Е = 9.5 1 А

А С 2885. Н а д у ж и А В д у ж и н е 92 д а т е с у т а ч к е С и О , т а к в е д а в а ж и —— = -

О ±Ј оС О 5

и = - . О д р е д и т и д у ж и н е д у ж А С , С О иА /л 7

886. С и м е т р а л а у н у т р а ш њ е г у г л а т р о у г л а А В С к о д т е м е н а А д е л и

н а с п р а м н у с т р а н и ц у В С н а о д с е ч к ^ п р о п о р ц и о н а л н е о с т а л и м д в е м а с т р а -

н и ц а м а , т ј. А В : А С . Д о к а з а т и .887. А к о п о л у п р а в а и з т е м е н а С д а т о г т р о у г л а А В С д е л и н а с п р а м н о

с т р а н и ц у н а о д с е ч к е п р о п о р ц и о н а л н е с т р а н и ц а м а А С и В С , т а д а је т а

п о л у п р а в а с и м е т р а л а <гС

888. К р о з с р е д и ш т е с т р а н и ц е А В т р о у г л а А В С к о н с т р у и с а н а је п р а в а

п а р а л е л н а с и м е т р а л и С И у г л а А С В . Т а п р а в а с е ч е с т р а н и ц у В С у Д а

п р а в у А С у Е . Д о к а з а т и д а је В Б = А Е .

889. Д о к а з а т и д а с и м е т р а л а с п о љ а ш њ е г у г л а к о д т е м е н а А т р о у г л а А В С

д е л и с т р а н и ц у В С у о д н о с у А В : А С (А В ф В С ).

890. Д а т је т р а п е з А В С Б с а о с н о в и ц а м а А В = а и С Б = 6. О д р е д и т ид у ж и н у о д с е ч к а к о ји д и ја г о н а л е т р а п е з а о л с е ц г ,у н а с р е д њ с Ј л и н и ји

т р а п е з а .

891. П р а в а к о ја с а д р ж и п р е с е к д и ја г о н а л а т р а п е з а А В С Б и п а р а л е л н а

је с а о с н о в и ц а м а а и 6, с е ч е к р а к е А Б и В С р е д о м у т а ч к а м а и N.

О д р е д и т и д у ж и н у N.

892. Н е к а т а ч к е С и В д е л е т е т и в у А В к р у г а н а т р и је д н а к а д е л а .

Д о к а з а т и д а је о д т р и д о б и ј е н а ц е н т р а л н а у г л а <А О С , <С О И , <Б О В

с р е д њ и н а јв е ћ и .

893. Н е к а је с р е д и ш т е о с н о в и ц е А В т р а п е з а А В С Б , Р п р о и з в о љ н ат а ч к а п р а в е В С , т а ч к а <5 п р е с е к п р а в и х Р и А С , X п р е с е к п р а в и х / Х ? и



124 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а VII,

А В и У п р е с е к п р а в и х О Р и А В . Д о к а з а т и д а је т а ч к а с р е д и ш т е д у ж и

X V .

894. Д а т је т р о у г а о А В С . П р а в а р к о ја је п а р а л е л н а с т р а н и ц и В С с е ч е

д у ж и А В и А С р е д о м у т а ч к а м а О и Е . П р а в а к о ја с а д р ж и т а ч к у С

и п а р а л е л н а је п р а в о ј В Е с е ч е п р а в у А В у т а ч к и Р . Д о к а з а т и д а је

А В 2 = А И - А Р .

895. Д а т је т р о у г а о А В С и т а ч к а О н а с т р а н и ц и В С . П р а в а к о ја с а д р ж и

т а ч к у О и п а р а л е л н а је с т р а н и ц и А С с е ч е с т р а н и ц у А В у т а ч к и Е , а

п р а в а к о ја с а д р ж и т а ч к у О и п а р а л е л н а је с т р а н и ц и А В с е ч е с т р а н и ц уА Е А Р

А С у т а ч к и Р . Д о к а з а т и д а ј е —— + —— = 1.Л Н А С

7.2. Х О М О Т Е Т И Ј А

Н е к а је 0 д а т а т а ч к а и к д а т и б р о Ј р а з л и ч и т о д н у л е .

П р е с л и к а в а њ е 'Н о ф и Г у р е Т \, п р и к о је м с в а к о ј т а ч к и 6 Т

о д г о в а р а т а ч к а \ 6 Т \, т а к в а д а .је 0 \ = к О А ^, н а з и в а с е

х о м о т е т и јо м с а ц е н т р о м 0 и к о е ф и ц и је н т о м к . П и ш е м о Н о { Т ) —

Т \.

Т а Ч к а О н а з и в а с е ц е н т р о м х о м о т е т и је , а к ј в к о е ф и ц и је н т

х о м о т е т и је .

896. Д а т а је т а ч к а 0 и т р о у г а о А В С , к р у г I, п р а в а р и у г а о а .

К о н с т р у и с а т и х о м о т е т и ч н у с л и к у с а ц е н т р о м О и к о е ф и ц и је н т о м к :

а ) т р о у г л а А В С , а к о је к = 2; б ) к р у г а I, а к о је Лг == , ;

в ) р а в е р , а к о ј е к = — г ) у г л а а , а к о ј е к = —2

897. Д а т је к в а д р а т А В С Б . К о н с т р у и с а т и х о м о т е т и ч н у с л и к у к в а д р а т ас а к о е ф и ц и је н т о м х о м о т е т и је к :

ч . . „ , за ) а к о Ј е ц е н т а р х о м о т е т и Ј е т а ч к а V и к = — ;

2

б ) а к о је ц е н т а р х о м о т е т и је п р е с е к д и ја г о н а л а к в а д р а т а и Аг = - ;- 0

2в ) а к о је ц е н т а р х о м о т е т и је с р е д и ш т е с т р а н ч ц е А В и к = —

3

898. Д а т је т р о у г а о А В С и т а ч к а О у р а в н и т о г т р о у г л а . К о н с т р у и с а т и

т р о у г л о в е х о м о т е т и ч н е д а т о м п р и х о м о т е т и ја м а :

®) ^ 0 ,2 ; б ) Ћ о , -\ ‘ , В .) 'Н о , - 1 / 2 -



7.3. С л и ч н о с т . С л и ч н о с т т р о у г л о в а 125

899. У р а в н и к в а д р а т а А В С Б д а т а је т а ч к а 0 . Л о к а з а т и д а с у т а ч к е

с и м е т р и ч н е т а ч к и 0 у о д н о с у н а с р е д и ш т е с т р а н и ц а д а т о г к в а д р а т а

т а к о ђ е т е м е н а к в а д р а т а .

900. Д а т је о ш т р о у г л и т р о у г а о А В С . К о н с т р у и с а т и к в а д р а т ч и ја д в ат е м е н а п р и п а д а ј у с т р а н и ц и В С , а п о '?д н о т е м е с т р а н и ц а м а А В и А С .

901. У д а т и п о л у к р у г у п и с а т и к в а д р а т т а к о д а м у д в а т е м е н а п р и п а д а ј у

п р е ч н и к у , а д в а л у к у п о л у к р у г а .

902. А к о к р у г о в и к \ и к 2 и м а ју р а з л и ч и т е п о л у п р е ч н и к е и н и с у к о н ц е н -

т р и ч н и , д о к а з а т и д а п о с т о је д в е х о м о т е т и је к о је к р у г к 1 п р е с л и к а в а ју у

к р у г к 2.

903. З а к р у г о в е је д н а к и х п о л у п р е ч н и к а п о с т о ји је д н а х о м о т е т и Ј а к о ја

је д а н к р у г п р е с л и к а в а у д р у г и . Д о к а з а т и .

904. Д а т и с у к р у г о и и к \ и к 2 и у к р у г &1 у п и с а н т р о у г а о А \В \С \.

К о н с т р у и с а т и т р о у г а о А 2В 2С 2 у п и с а н у к р у г к 2 и т а к а в д а с у м у у г л о в и

је д н а к и о д г о в а р а ј у ћ и м у г л о в и м а т р о у г л а А \В \С \.

905. Д а т а ј е ф и г у р а Р \. Н е к а ј е Р 2 ф и г у р а х о м о т е т и ч н а д а т о ј п р и

х о м о т е т и ј и Ћ о ,к • Н е к а с е ф и г у р а .Р 3 д о б и ја т р а н с л а ц и јо м ф и г у р е Р 2 з а

в е к т о р . Д о к а з а т и д а ј е ф и г у р а Р з х о м о т е т и ч н а ф и г у р и Р \ и о д р е д и т и

ц е н т а р и к о е ф и ц и је н т т е х о м о т е т и ј е .

906. Д о к а з а т и д а је ф и г у р а х о м о т е т и ч н а п р а в о ј - п р а в а .

907. Д о к а з а т и д а ф и г у р а х о м о т е т и ч н а к р у г у - к р у г .

7.3. С Л И Ч Н О С Т . С Л И Ч Н О С Т Т Р О У Г Л О В А

1. П р е с л и к а в а њ е Р * р а в н и а н а с а м у с е б е , к о .,5 с в а к г д в е т а ч к е

А , В п р е в о д и у т а ч к е А \В \ = к А В , г д е ј е к д а т и п о з и т и в а н б р о ј,

н а з и в а с е т р а н ф о р м а ц и ј о м с л и ч ч о с т и (и л и к р а т к о с л и ч н о ш ћ у ) с а

к о е ф и ц и је н т о м к .

2. С т а в о в и с л и ч н о с т и т р о у г л о в а . Н е к а с у Д 5Л Л х и А 5В В \

д в а т р о у г л а . С в а к и о д н а р е д н и х у с л о в а ј е п о т р е б а н и д о в о љ а н д з

в а ж и Д 5Л Л 1 ~ А 5 В В \ .

10 А А Х _ 5 А _ 5А \

В В \ 5В 5В \ ’

2° <А = <В и <А \ = <В \

А А \ 5А . п3 т г т г = <А = <В .

В В 1 5В



126 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а VII.

3. П р и м е н а с л и ч н о с т и н а п о с е б н е с л у ч а је в е .

1° С в а к а д в а је д н а к о с т р а н и ч н а т р о у г л а с у с л и ч н а ;2° Д в а је д н а к о к р а к а т р о у г л а с у с л и ч н а а к о и м а ју је д п а к е

у г л о в е и н а о с н о в и ц а м а ;

3° Д в а је д н а к о к р а к а т р о у г л а с у с л и ч н а а к о и м а ју је д н а к е

у г л о в е н а с п р а м о с н о в и ц а ;

4° Д в а је д н а к о к р а к а т р о у г л а с у с л и ч н а а к о и м је р а з м е р а

о с н о в и ц и је д н а к и р а з м е р и к р а к о в а ;

5° С в а к а д в а је д н а к о к р а к а п р а в о у г л а т р о у г л а с у с л и ч н а ;

6° Д в а п р а в о у г л а т р о у г л г , с у с л и ч н а а к о с у и м к а т е т е п р о п о р -

ц и о н а л н е ;

7° Д в а п р а в о у г л а т р о у г л а с у с л и ч н а а к о и м је р а з м е р ах и п о т е н у з а је д н а к а р а з м е р и је л н о т п а р а к а т е т а .

908. У к о ји м о д н а в е д е н и х с л у ч а је в а (в . с л .) је В В ' п а р а л е л н о с а С С '1

а ) А С = 12 В С = 3 А С ' = 8, А В ' = б ;

б ) А С = 14, А В = 6, А С ' = 7, А В ' = 3;

в ) А В = 6, В С = 15, А В ' = 9 ,В 'С ' = 8.

909. У је д н а к о к р а к о м т р о у г л у в и с и н е 18с т у п и с а н Ј е к в а д р а т с т р а н и ц е

9с т , т а к о д а д в а т е м е н а п р и п а д а ју о с н о в и ц и а д р у г а д в а к р а ц и м а т р о у г л а .

О д р е д и т и о с н о в и ц у т р о у г л а .

910. О с н о в и ц а је д н о г т р о у г л а је а , в и с и н а ћ , а о с н о в и ц а с л и ч н о г т р о у г л а

а '. И з р а з и т и п о м о ћ у њ и х в и с и н у ћ ' 'д р у г о г т р о у г л а . (Б р о јн и п р и м е р :

а = 30с т , ћ = 24с т , а ' = 2 0с т ).

911. Д а л и је т р о у г а о с а с т р а н и ц а м а 36, 48, 64 с л и ч а н т р о у г л у с а

с т р а н и ц а м а 36, 48, 27?

912. Д а т је т р о у г а о с а с т р а н и ц а м а 0,8, 1,2 и 1,4. О д р е д и т и с т р а н и ц ес .ч и ч н о г т р о у г л а о б и м а 136.

Г

А " "1

С л . у з з а д . 908

С

С л . у з з а д . 916



7.3. С л и ч н о о т . С л и ч н о с т т р о у г л о в а 127

913. Т р о у г а о А В С ч и је с у с т р а н и ц е 26 с т , 38 с ш , и 46 с т с л и ч а н је

с а т р о у г л о м А \В \С \ ч и ја је н а јм а њ а с т р а н и ц а 13с т . О д р е д и т и о с т а л е

с т р а н и ц е т р о у г л а А 1В 1С 1.

914. С т р а н и ц е т р о у г л а А В С с у а = 18с т , 6 = 15с т и с = 12с ш . О д р е д и т и

о б и м с л и ч н о г т р о у г л а а к о је к о е ф и ц и је н т с л и ч н о с т и 5:3.

915. О б и м је д н а к о к р а к о г т р о у г л а је 32 с т , а к р а к је з а 4с ш д у ж и о д

о с н о в и ц е . И з р а ч у н а т и о б и м с л и ч н о г т р о у г л а а к о је њ е г о в а о с н о в и ц а 6с т .

916. Д о к а з а т и д а с у с л и ч н и т р о у г л о в и А В З и С Б 5 (в . с л .) г д е је 5

п р о и з Е П љ н а т а ч к а у н у т р а ш њ о с т и к р у г а .

917. С т р а н и ц е ч е т в о р о у г л а о д н о с е с е к а о 0,5 : 0,6 : 0,9 : 1. У њ е м у

с л и ч н о м ч е т в о р о у г л у з б и р н а јм а њ е и н а јв е ћ е с т р а н и ц е је д н а к ј е 30 с т .

О д р е д и т и с т р а н и ц е д р у г о г ч е т в о р о у г л а .

918. П о в р ш и н е д в а ју с л и ч н и х м н о г о у г л о в а с у 75с т 2 и 48с т 2. А к с је

о б и м в е ћ е г м н о г о у г л а 28 с т , о д р е д и т и с б и м м а њ е г .

919. С е н к а је д н о г п р е д м с т а д у г а је а м е т а р а , а с е н к а у с п р а в н о г ш т а п а ,

в и с о к о г ћ м е т а р а д у г а је <1 м е т а р а . И з р а ч у н а т и п о м о ћ у а , ћ , 6, н е п о з н а т у

в и с и н у п р е д м е т а , (Б р о јн и п р и м е р :а = 18т , ћ = 2 т , <1= 2 ,4 т )

920. Р а с т о ја њ е т р и т а ч к е А , В , С у п о љ у с у : А В = 250 т , А С =

450 т , В С = 320 т . К о л и к а с у т а р а с т о ја њ а н а м а п и ч и ја је р а з м е р а

1 :10000?

921. О с н о в и ц а т р о у г л а је а и в и с и н а ћ . Н а к о м р а с т о ја њ у о д о с н о в и ц е

т р е б а к о н с т р у и с а т и п р а в у п а р а л е л н у с а о с н о в и ц о м д а б и њ е н о д с е ч а ки з м е ђ у с т р а н и ц а т р о у г л а б и о т ? (Б р о јн и п р и м е р : а = 12 с т , ћ =

8 с т , т = 3 с т ) . .

922. Д а т је т р а п е з А В С О к о д к о г а је А В \\С О . Н е к а је О п р е с е к

д и ја г о н а л а А С и В У Д о к а з а т и д а с у т р о у г л о в и О А В и О С О с л и ч н и .

923. А к о је у т р а п е з у А В С Б у г а о С Б А је д н а к у г л у В С А и п а р а л е л н е

с т р а н и ц е А В = 16с т и С Б = 4с т , о д р е д и т и д у ж и н у д и ја г о н а л е А С .

924. Д а т је је д н а к о к р а к и т р о у г а о А В С к о д к о г а је А В = А С . П р а в а /

к о ја с а д р ж и т а ч к у А с е ч е п р а в у В С у т а ч к и Б , а о п и с а н и :<р у г у т а ч к и

Е . Д о к а з а т и д а је А В 2 = А О •А Е .925. Д у ж и н е с т р а н и ц а п р а в о у г а о н и к а с у а = 5 и 6 = 2 О д р е д и т и

с т р а н и ц е с л и ч н о г п р а в о у г а о н и к а ч и ји о б и м и п о в р ш и н а и м а у је д н а к е

м е р н е б р о је в е .

926. З а к о л и к о т р е б а п р о д у ж и т и к р а к е је д н а к о к р а к о г т р а п е з а д а б и с е

о н и п р е с е к л и а к о је д у ж а о с н о в и ц а т р а п е з а 10 с т , к р а к 6 с т и у г а о н а

о с н о в и ц и 60°?

927. Н а ј д у ж а с т р а н и ц а п е т о у г л а је 14 с т , а њ е г о в о б и м је 46 с т .

И з р а ч у н а т и о б и м с л и ч н о г п е т о у г л а а к о је њ е г о в а н а јд у ж а с т р а н и ц а 21 с т .

928. С и м е т р а л а у г л а А т р о у г л а А В С с е ч е с т р а н и ц у В С у т а ч к и Д ао п и с а н и к р у г у т а ч к и Е . Л о к а з а т и д а је В Е 2 = А Е •О Е .



12 8 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а VII.

929. Д а т је п а р а л е л о г р а м А В С О . П р а в а к о ја с а д р ж к т а ч к у А с е ч е

диЈагоналу В О и п р а в е В С и С О р е д о м у т а ч к а м а Е , Р и О . Д о к а з а т и

је д н а к о с т А Е 2 = Е Р ■ Е С .

930. П р а в а к о ја с а д р ж и т е м е С р о м б а А Б С Б с е ч <з п р о д у ж е т а к с т р а н и ц е

А В у т а ч к и Е , а п р о д у ж е т а к с т р а н и ц е А П у т а ч к и Р . А к о је В Е = 9с ш и

О Р = 4с г о . о д р е д и т и д у ж и н у с т р а н и ц е р о м б а .

931. П р а в а к о ј а с а д р ж и т е м е А р о м б а А В С Б с е ч е с т р а н и ц у С И у т а ч к и

Е , а п р о д у ж е т а к с т р а н и ц е В С у т а ч к и Р . А к о је Е С = 7с т и Р С = 9с ш ,

о д р е д и т и д у ж и н у с т р а н и ш . р о м б а .

932. П р а в а с а д р ж и с р е д и ш т е в и с и н е н а о с н о в и ц у је д н а к о к р а к о г т р о у г л а

и п а р а л е л н а је је д н о м к р а к у . И з р а ч у н а т и д у ж и н у о д с е ч к а т е п р а в е у

т р о у г л у , а к о је д у ж и н а к р а к а 6.

933. У &А В С је <А В С > <В С А . А к о је И т а ч к а н а А С т а к в а д а је

<А В И = <В С А и а , 6, с , р е д о м , д у ж и н е с т р а н и ц а В С , С А и Л В т р о у г л а

Л В С , и з р а ч у н а т и д у ж и н у д у ж и јЕШ.

934. Н а ћ и с т р з н и ц у ж к в а д р а т а у п и с а н о г у је д н а к о с г р а н и ч н и т р о у г а о

с т р а н и ц е а .

935. Д у ж к о ја с п а ја с р е д и ш т а о с н о в а т р а п е з а је д н а к а је њ и х о в о ј п о л у -

р а з л и ц и . Н а ћ и з б и р у г л о в а н а в е ћ о ј о с н о в и т р а п е з а .

936. У ј е д н а к о к р а к о м т р о у г л у А В С (А С = В С ) к о н с т р у и с а н а је в и с и н аА И . Д о к а з а т и д а је В Б ■ В С = ■

937. Н е к а с у А А \ и В В \ в и с и н е т р о у г л а А В С и О о р т о ц е н т а р . Д о к а з а т и

д а ј е А О ■ О А \ = В О ■ О В \.

938. А к о је к к р у г о п и с а н о к о А А В С , I т а н г е н т а к и у г а к у т а ч к и А и Б

т а ч к а у к о јо ј п р а в а к р о з В у п о р е д н а с а I с е ч е А С , д о к а з а т и д а је д у ж А В

г е о м е т р и јс к а с р е д и н а з а д у ж и А С и А Б .



7.4. П Р И М Е Н А С Л И Ч Н О С Т И Н А П Р А В О У Г Л И Т Р О У Г А О

7.4. П р и м е н а с л и ч н о с т ј ! н а п р а в о у г л и т р о у г а о 129

П р а в о у г л и т р о у г л о в и А И С и В С И (в . с л .), с л и ч н и с ум е ђ у с о б о м и с л и ч н и с а д а т и м т р о у г л о м А В С (< А С О = <С В О =

/?), п а в а ж е п р о п о р ц и је (Е у к л и д о в и с т а в о в и ).

1° р : ћ с = ћ с : д , т ј. ћ \ = р д , о д н о с н о ћ с = ^/р д ;

2° 6 : р = с : 6, т ј, 62 = р с , о д н с н о 6 = ^ с ;

3° а : д = с : а , т ј. а 2 = д с , о д н о с н о а = ^/а с ;

4° П и т л г о р и н а т е о р е м а : а 2 + 62 = с 2.

С

939. Д о к а з а т и Е у к л и д о в е с т а в о в е :

1° К а т е т а ј е г е о м е т р и јс к а с р е д и н а х и п о т е н у з е и с в о ј е (о р т о г о н а л н е )

п р о је к ц и је н а х и п о т е н у з и .

2° В и с и н а к о је о д г о в а р х и п о г е н у з и ј е г е о м е т р и јс к а с р е д и н а н р о Ј е к -

ц и ја к а т е т а н а х и п о т е н у з у .

940. П р и м е н о м Е у к л и д о в и х с т а в о в а д о к а ^а т и П и т а г о р и н у т е о р е м у .

941. А к о ј е к о д је д н а к о к р а к о г т р о у г л а к р а к г е о м е т р и јс к а с р е д и н а о с н о -

в и ц е и в и с и ћ е к о ја о д г о в а р а о с н о в и ц и , о с н о в и ц а је д в а п у т в е ћ а о д в и с и н е .


942. Д о к а з а т и д а је у п р а в о у г л о м т р о у г л у о д н о с к в а д р а т а к а т е т а је д н а ко д н о с у њ и х о в и х п р о је к ц и . а н а х и п о т е н у з у .

943. Н е к а ј е А И в и с и н а п р а в о у г л о г т р о у г л а А В С (<Л = 90°) и Е , Р иА В А С О А

С т а ч к е д у ж и А В , А С и Б А т а к в е д а је А Е - , А Р - , Б С = — .

Д о к а з а т и д а с у т р о у г л о в и Е Р С и А В С с л и ч к и .

944. Н е к а је Б т а ч к а к а т е т е В С п р а в о у г л о г т р о у г л а А В С (< С = 90°)

т а к в а д а је <А Б С = 90° - <А В С . А к о ј е А С — 6, В С = 12 н а ћ и д у ж С Б .

945. Н е к а ј е Е т а ч к а к а т е т е А С п р а в о у г л о г т р о у г л а А В С (< С = 90°) т а к в а

д а ј е Б Е \\В С , п р и ч е м у ј е С О в и с и н а т р о у г л а . Н а ћ и о д н о с А Е : Е С , а к о

ј е А С : С В = 4 : 5 .




946. К о н с т р у и с а т и д у ж х , а к о је :

а ) х 2 = а 2 + б с : б ) х 2 = с : ■— 6с ;

г) ж2 = а2 + аб; д) ж2 = аб ± сс ;

в ) х 2 = а 2 — а б ;

г д е с у а , 6, с , (I д а т е д у ж и .

947. К о н с т р у и с а т и д у ж : а ) ж = \/8;

в ) х = У Т 8; г ) д Д С ;

б ) х = л /Г б ;

д ) 723

945. У п р а в о у г л о м т р а п е з у А В С О , к о д к о г а с е д и ја г о н а л е А С и В Б

с е к у у т а ч к и 5 п о д п р а в и м у г л о м , в и с и н а С В је г е о м е т р и јс к а с р е д и н а з а

о с н о в и ц е . Д о к а з а т и .

949. Д у ж и н е т е ж и ш н и х д у ж и у п р а в о у г л о м т р о у г л у с у 1а = 7 и = 4.

Н а ћ и д у ж и н у х и п о т е н у з е с .950. П о л у п р е ч н и к к р у г а ј е г = 13с ш . Т а ч к а 5 је о д с р е д и ш т а к р у г а

у д а љ е н а 5с ш . К о л и к а је д у ж и н а т е т и в е т о г к р у г а ч и је ј е с р е д и ш т е т а ч к а

951. К р у г је п р е с е ч е н д в е м а п а р а л е л н и м п р а в и м к о је с у н а м е ђ у с о б н о м

о д с т о ја њ у З с г а и н а л а з е с е с а и с т е с т р а н е с р е д и ш т а к р у г а . Т е п р а в е

о д р е ђ у ј у т е т и в е д у ж и н е 18с г а и 24с г а . И з р а ч у н а т и д у ж и н у г п о л у п р е ч н и к ак р у г а .

952. Н а д д у ж о м к а т е т о м п р а в о у г л о г т р о у г л а , к а о н а д п р е ч н и к о м о п и с а н

је к р у г . И з р а ч у н а т и д у ж и н у т е к а т е т е , а к о ј е к р а ћ а к а т е т а З О с г а , а т е т и в ак о ја с п а ј а т е м е п р а в о г у г л а и т а ч к у п р е с е к а х и п о т е н у з е с а к р у г о м ј е 24с г а .

953. У т е т и в н о м ч е т в о р о у г л у А В С Б д и ја г о н а л а В Б је у п р а в н а н а

с т р а н и ц у В С , < А В С = < В А Б = 120° и И А = 1 с г а . И з р а ч у н а т и д у ж и н уд и ја г о н а л е В О и с т р а н и ц е С Б .

954. И з р а ч у н а т и о д н о с к а т е т а у п р а в о у г л о м т р о у г л у а к о с е в и с и н а и

т е ж и ш в о , д у ж к о је о д г о в а р а ју х и п о т е н у з и о д н о с е к а о 40 : 41.

955. Н е к а с у а и 6 о с н о в и ц е је д н а к о к р а к о г т р а п е з а у к о ји ј е у п и с а н к р у г .

И з р а з и т и п о л у п р е ч н и к г т о г к р у г а у ф у н к ц и ји а и 6.

956. Н е к а је О с р е д и ш т е к р у г а у п и с а н о г у п р а в о у г л и т р а п е з А В С О (В С је д у ж и к р а к ).

а ) Д о к а з а т и д а је <В О С = 90°.

б ) А к о ј е О С = 2с г а и О В = А с т н а ћ и п о л у п р е ч н и к у п и с а н о г к р у г а .

957. У је д н а к о к р а к о м т у п о у г л о м т р о у г л у А В С о с н о в и ц а А С ј е 32с г а , а

к р а к је 20с г а . У т е м е н у В је к о н с т р у и с а н а н о р м а л а н а к р а к А В д о п р е с е к а

Б с а о с н о в и ц о м . Н а ћ и д у ж и А Б и јО С .

958. Ј е д н а с т р а н и ц а т р о у г л а је 13с г а , н а с п р а м н и у г а о 60°, а з б и р д р у г и х

д в е ј у с т р а н и ц а 22с г а . Н а ћ и т е д в е с т р а н и ц е .



7.5. Д о д а т а к у з с е д м у г л а в у 131

959. Д а т ј е т р о у г а о А В С и т а ч к е А \ и В \, р е д о м , н а с т р а н и ц а м а В С и

л в в л А С т а к в е д а в а ж и = п , —— = /?. А к о ј е 5 п р е с е к д у ж и А А \ и В В \,В \С А \С

А 5 ■ о д р с д и т и о д н о с ———.

5А \

960. К о р и с т е ћ и п р е т х о д н и з а д а т а к д о к а з а т и д а с е т е ж и ш н е д у ж и т р о у г л а

с е к у у је д н о ј т а ч к и и д а т а г а ч к а д е л и т е ж и ш н е д у ж и у о д н о с у 2 : 1 .

961. Д а т а ј е ф и г у р а Р \. Н е к а је Р ф и г у р а х о м о т е т и ч н а ф и г у р и Р \ у

о д н о с у н а ц е н т а р 5 2 с а к о е ф и ц и је н т о м к \ 2 , а ф и г у р а и Р $ х о м о т е т и о ч н а

ф и г у р и Р у о д н о с у н а и ц е н т а р 5г з с а к о е ф и ц и је н т о м к з-

а ) Д о к а з а т и д а је ф и г у р а Р з х о м о т е т и ч н а ф и г у р и Р \ и о д р е д и т и

ц е н т а р и к о е ф и ц и ј е н т к \з т е х о м о т е т и је .

б ) Д о к а з а т и д а с у т а ч к е 512, 5г з и 5^3 к о л и н е а р н е .

962. Д о к а з а т и д а , а к о з а д у ж и н е с т р а н и ц а а , 6, с т р о у г л а в а ж и р е л а ц и ја

а 2 = 62 + 6с , т а д а з а о д г о в а р а ју ћ е у г л о в е и а ж и д а је а = 2/?.

983. У т р о у г л у А В С у г а о к о д т е м е н а А је д в а п у т а в е ћ и о д у г л а к о д В

А к о с у д а т е д у ж и н е с т р а н и ц а 6 и с н а ћ и а .

964. А к о с у а , 6, с д у ж и н е с т р а н и ц а А А В С , г д у ж и н а п о л у п р е ч н и к а

о п и с а н о г к р у г а т о г т р о у г л а и ћ а д у ж и н а в и с и н е , к о ја о д г о в а р а с т р а н и ц и

а , д о к а з а т и д а је 6с = 2г Н а .

965. Д о к а з а т и д а с е у с в а к о м т р о у г л у с и м е т р а л а у н у т р а ш њ е г у г л а н а л а з и

и з м е ђ у в и с и н е и т е ж и ш н е д у ж и и к о н с т р у и с а н и х и з и с т о г т е м е н а .

966. А к о с у А , В , С т р и т а ч к е н е к е п р а в е р и А !, В ' С ' т р и т а ч к е н е к е

д р у г е п р а в е р ' т а к в е д а ј е А В '\\В А ' и А С Г\\С А ', д о к а з а т и д а је и В С '\\С В '

(П а п а с о в а т е о р е м а ).

9671 А к о с у А , В , С т а ч к е је д н е п р а в е , а А ', В ' , С ' , т а ч к е и з в а н т е п р а з е

т а к в е д а је А В '\\В А ', А С '\\С А ' и В С '\\С В ', д о к а з а т и д а с у т п ч к е А ' , В ' , С '

к о л и н е а р н е . (о б р а т П а п а с о в е т е о р е м е ).

968. У д а т и т р о у г а о А В С у п и с а т и је д н а к о с т р а н и ч н и т р о у г а о Д Л 1.В 1С 1

т а к о д а њ е г о в а т е м е н а п р и п а д а ју с т р а н и ц а м а д а т о г т р о у г л а и д а је д н а

њ е г о в а с т р а н и ц а г р а д и с а п р а в о м А С у г а о о д 45°.

969. У з а д а т и ч е т в о р о у г а о А В С Б ш с а т и р о м б , к о м е с у с т р а н и ц е

п а р а л е л н е д и ја г о н а л а м а ч е т в о р у г л а .

970. Д а т ј е т р о у г а о А В С . К о н с т р у и с а т и д в а п о д у д а р н а к р у г а , к о ји с е

м е ђ у с р б о м д о д и р у ју и п р и т о м е 1 д а н к р у г д о д и р у ј е с т р а н и ц е А В и А С ,

а д р у г и с т р а н и ц е А В и В С .

971. И з д а т о г т р о у г л а и с е ћ и д в а к р у г а н а јв е ћ е г п о л у п р е ч н и к а .

972. Н а с т р а н и ц а м а А В и В С т р о у г л а А В С к о н с т р у и с а т и , р е д о м , т а ч к еП и Е , т а к о д а је А Б —О Е = Е С .

7.5. Л О Л А Т А К У З С Е Л М У Г Л А В У




973. К а т е т е п р а з о у г л о г т р о у г л а с у д у ж и н е 6 и с . Н а ћ и д у ж и н у с и м е т р а л е

п р а в о г у г л а .

974. Д о к а з а т и д а је п о л у п р е ч к и к к р у г а , к о ј Л п о л о в и с т р а н и ц е т р о у г л а

д в а п у т а м а њ и о д п о л у п р е ч н и к а к р у г а о п и с а н о г о к о т о г т р о у г л а .

975. Д а т је к р у г к и н а њ е м у т е ч к е А и В к о је н и с у д и ја м е т р а л н ос у п р о т н е . Н а м а њ е м о д л у к о в а А В д а т а је т а ч к а С . Н е к а с у п , Е и Р

п о д н о ж ја н о р м а л а и з т а ч к е С н а т е т и в у А В и т а н г е н т е к р у г а к у т а ч к а м а

А и В . Д о к а з а т и д а је С И 2 = С Е ■ С Р .

976. О с н о в и ц е т р а п е з а А В С п с у А В = а и С И = 6. О д р е д и т и у к о м

о д н о с у д и ја г о н а л а А С д е л и д и ја г о н а л у В О .

977. Д а т је т р а п е з А В С И , к о д к о г а је А В \\С О и т а ч к а Е н а д у ж и А Б ,А Е т п .

т а к в а д а в а ж и = Н е к а п р а в а к о Ј а с а д р ж и т а ч к у Е и п а р а л е л н а је

л п п /-. тт ■ т п -С О + п А В

с а А В с е ч е д у ж В С у т а ч к и Р . Д о к а з а т и д а Ј е Е Р = ------- -----.т + п978. К р у г о в и к \ и к 2 д о д и р у ју с е у т а ч к и 8. П р а в е а и 6 к о је с а д р ж и т а ч к у

5 с е к у к р у г о в е к \ и к 2 у т а ч к а м а А \ и А 2, о д н о с н о В \ и В 2. Д о к а з а т и д а

с у т р о у г л о в и 5А \В \ и 8 А 2В 2 с л и ч н и .

979. В и с и н е д в а т р о у г л а с у п р о п о р ц и о н а л н е . Д о к а з а т и д а с у т и

т р о у г л о в и с л и ч н и .

980. Н е к а с у А А \ и В В \ в и с и н е т р о у г л а А В С . Д о к а з а т и д а с у т р о у г л с в и

А \В \С и А В С с л и ч н и .

981. Н е к а с у А А \, В В \, С С \ в и с и н е т р о у г л а А В С . Д о к а з а т и д а је А \В \ ■

А \С \ = А \ В А \С .982. Н а х и п о т е н у з и А В п р а в о у г л о г т р о у г л а А В С и з а б р а н а је т а ч к а

и у њ о ј к о н с т р у и с а н а н о р м а л а н а х и п о т е н у з у . Т а н о р м а л а с е ч е п р а в е

В С и А С у т а ч к а м а Р и ф , а к р у г о п и с а н о к о т р о у г л а А В С у т а ч к и Е

(Р —К —ф ). Д о к а з а т и д а је К 2 = Р ■ ( ј.

983. Н а с т р а н и ц и А С т р о у г л а А В С д а т а је т а ч к а Б . П р а в а к о ја с а д р ж и

т а ч к у Б и п а р а л е л н а је т е ж и ш н о ј д у ж и А А \ с е ч е с т р а н и ц у В С у т а ч к и

Е , а п р а в а к о ја с а д р ж и т а ч к у О и п а р а л е л н а је т е ж и ш н о ј д у ж и С С \ с е ч е

с т р а н и ц у А В у т а ч к и Р . Д о к а з а т и д а п р а в е А А \ и С С \ д е л е д у ж Е Р Н а

т р и је д н а к а д е л а .

984. Н е к а с у п и г 2 п о л у п р е ч н и ц и к р у г о в а &1 и к 2 к о ји с е д о д и р у ј у и

Т \ и Т 2 д о д и р н е т а ч к е је д н е њ и х о в е з а је д н и ч к е с п о љ а ш њ е т а н г е н т е . а )

Д о к а з а т и д а ј е Т \Т 2 = 2у /г\г2. б ) У "к р и в о л и н и јс к и ” т р о у г а о у п и с а н је

к р у г к (к о ји д о д и р у је д у ж Т \Т 2 и к р у г о в е к \ и к 2). И з р а ч у н а т и њ е г о в

п о л у п р е ч н и к х .

985. Д о к а з а т и д а ј е з б и р к в а д р а т а д и ја г о н а л а т р а п е з а А В С Б је д н а к

з б и р у к в а д р а .т а б о ч н и х с т р а н и ц а и д в о с т р у к о г п р о и з в о д а о с н о в и ц а .

986. Д о к а з а т и д а је у п р а в о у г л о м т р о у г л у ч е т в о р о с т р у к и з б и р к в а д р а т а

т е ж и ш н и х д у ж и к о н с т р у и с а н и х и з т е м е н а о ш т р и х у г л о в а је д н а к п е т о -

с т р у к о м к в а д р а т у х и п о т е н у з е .



Г л а в а VIII

Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ј А П Р А В О У Г Л О Г Т Р О У Г Л А

8.1. Д Е Ф И Н И Ц И Ј А Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ј С К И Х Ф У Н К Ц И Ј А

О Ш Т Р О Г У Г Л А

987. А к о ј е а = 10с ш , о с н о в и ц а и 6 = 13с ш к р а к је д н а к о к р а к о г т р о у г л а

А В С , о д р е д и т и в р е д н о с т и с в и х т р и г о н о м е т р и јс к и х ф у н к ц и ја у н у т р а ш њ е гу г л а н а о с н о в и ц и т о г т р о у г л а .

988. С т р а н и ц е п р а в о у г а о н и к а с у : 6 = б с ш , и а = 8с т . О д р е д и т и в р е д н о с -

т и т р и г о н о м е т р и јс к и х ф у н к ц и ја о ш т р о г у г л а к о ји о б р а з у је д и ја г о н а л а :

а ) с а в е ћ о м с т р а н и ц о м п р а в о у г а о н и к а ,

б ) с а м а њ о м с т р а н и ц о м п р а в о у г а о н и к а .

989. Л и ја г с н а л е р о м б а с у с?1 = 16с ш и с?2 = 12с ш . О д р е д и т и в р е д н о с т и

т р и г о н о м е т р и јс к и х ф у н к ц и ја у г л о в а к о ј е о б р а з у ј у с т р а н и ц а и д и ја г о н а л е

р о м б а .

990. К а т е т а п р а в о у г л о г т р о у г л а је а = 16с ш , а с и н у с њ о ј н а с п р а м н о г

у г л а је 8П 1а = —. О д р е д и т к с т р а н и ц е т о г т р о у г л а .



134 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а VIII.

991. И з р а ч у н а т и в р е д н о с т и т р и г о н о м е т р и јс к и х ф у н к ц и ја о ш т р и х у г л о в а

п р а в о у г л о г т р о у г л а ч и ја је х и п о т е н у з а х и ј е д н а к а т е т а у / х ( х > 1).

992. И з р а ч у н а т и в р е д н о с т и т р и г о н о м е т р и јс к и х ф у н к ц и ја н а г и б н о г у г л ад и ја г о н а л е к о ц к е п р е м а о с н о в и .

993. Л а т ј е п р а в и л а н т е т р е а е д а р . И з р а ч у н а т и в р е д н о с т и т р и г о н о м е т р и ј-с к и х ф у н к ц и ја у г л а к о ји з а к л а п а ју :

а ) с т р а н е А В С и А С Б \ б ) с т р а н а А В С и и в и ц а А О .

8 .2 . Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ј С К Е Ф У Н К Ц И Ј Е К О М П Л Е М Е Н Т А Р Н И Х У Г Л О В А

с °8' ——х ) = 8ГП X И Л И С О в (90° —ж ) = 81П X

8Ш ( — - X) = 008 X И Л И 81П (90” —х ) = С 08 X

7Г

*8(-; —х ) = и л и 1е (90° - х ) = с ^ г

7с ^ 2 ~ х ) = и Л и с 1§(90° —х ) =

994. Л а т е т р и г о н о м е т р и јс к е ф у н к ц и је и з р а з и т и о д г о в а р а ј у ћ и м ф у н к ц и ја -м а к о м п л е м е н т н о г у г л а :

а ) 8ш 28°; б ) с о 8 49°; а ) 1862°;

г ) с 1863°; д ) с о 8(40° - а ) ; ђ ) 8 т (3 0° - а ) ;

е ) 1 8( 4 5 °+ а ) ; ж ) с 18 (30° + а ); з ) 1 8 ( 8 0 ° - » )

9У 5, П р о в е р и т и т а ч н о с т је д н а к о с т и -

а ) 81п 47°30' = с о 8 42о 30'; б ) с о 8(30°-& ) = 8т (60° + а ) , а < 30°;

в ) Ц (2 а + 16°) = с ! 8 (74° - 2 а ), а < 37°.

996. Т р и г о н о м е т р и јс к е ф у н к ц и је :

а ) 81п Ј ^ б ) с о 8 ^ ; в ) г ) с Ц ^ ;

7н а п и с а т и к а о ф у н к ц и је у г л о в а в е ћ и х о д —.

6997. А к о је а + /3 = 90°, о д р е д и т и в р е д н о с т и з р а з а :

а с ° 5Р . ^ 8ш а + о 8 а

С % / 3 ’ В) 8 Ш /3 + С 0 8 /3

. 7

998. А к о ј е а + (3 = — о д р е д и т и в р е д н о с т и з р а з а :





13 6 Т е к с т о в и З а д а т а к а - Г л а в а VIII.

л . о 7 л о ?Г «7Г1 4 51П — 3 ^ 2 , с ^ 2

в ) -------------- 2- г'| ____ §_______ 1Л , Л 1 Ћ ’ ' ' • 2 , г 9 7 Г '1 + 4 С О б^ — Ч 1 ——С 08 —

о 3 4

8.4. О С Н О В Н Е Р Е Л А Ц И Ј Е И М Е Ђ У Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ј С К И Х Ф У Н К Ц И Ј А

А к о ј е 0° < а < 90°, о н д а је :

1. 81п 2 а + с о 82 а = 1, о , , 8Ј П «2. 1§а = ------- ,с о з а

с о з а3. с ! ,д а = —----- ,81П а

4. 1,§а •с !§а = 1,

5 Ч 1 П ~с ______ 1

1/1 + 1,§2а * + 1,§2а

1007. И з р а ч у н а т и т р и г о н о м е т и и јс к е ф у н к ц и је о ш т р о г у г л а а а к о је :

\ 40 60 о 7 .

а ) з ш а = — ; б ) с о з а = — ; в ) *8а = — ; г ) с ^ а = ш ;

. 7 4 .1008. А к о ј е 0 < а < — и с 1§а = и з р а ч у н а т и з 1п а и с о » а .

А о

к1009. А к о ј е з ш а = — и 0 < к < п , о д р е д и т и в р е д н о с т и о с т а л и х

, пт и г о н о м е т р и јс к и х ф у н к ц и ја о ш т р о г у г л а .

1010. И з р а ч у н а т и в р е д н о с т и з р а з а ж о ј е з јп а = ^ и 0 < а < —.1 - <;§а 5 2

1011. О д р е д и т и з т 15° а к о је с о з 15° = \ \ 2 + л /З .

1012. И з р а ч у н а т и с о з 22о 30' а к о ј е 8т 22°30' = ^\/2 —у /2.

1 71013. Д а т о ј е 1,§а = - и 0 < а < —. О д р е д и т и з т 3 а + со .=3 а .

О д р е д и в р е д н о с т и з р а з а (з а д а ц и 1014-1015):

, « , .. \ 8Ш3 х + С083 X .. 81П3 X - 2 С083 X + 3 С08 X 1014. а ) - - — — — ; б ) ------------:------------------------

81П X —С083 X 3 8111 X + 2 СОЗ X а к о је = 2.

ч 811 а? + 81П х соз х + 2 . „1015. А = — ------------ ------ ------- - а к о ј е = 3.

3 81П X С08 X + С08 X — 4



8.4. О с н о в н е р е л а ц и је и з м е ђ у т р и г о н о м е т р и јс к и х ф у н к ц и ј а 137

1016. И з р а ч у н а т и :

. 81П 2 X — 3 С О б 2 X . „

а ) А - о — — г ’ а к о Ј е = 3; 2 8111 X + С О В -' X

. 3 81П 2 X + 2 С О б 2 X — 1 . .б ) А = - ,-------- :------------ —, а к о Ј е = 1

81П X — 8111 X С О З X + 2

1017. О д р е д и т и в р е д н о с т и з р а з а а к о ј е = 2 :

а ) 81п 4 х + с о з 4 х ; 6) 81п б х + с о 8б х ; в ) —81114 X — С О З 4 X

8Ш С X - С 0 86 X

- г, л • 3 81п а —с о з а ,1018. А .к о Ј е —— - ----------= 1, и з р а ч у н а т и 1;§а .

81п а + 2 с о з а

1019. А к о ј е <;§а + с !^а = р , о д р е д и т и з б и р <;§2а + с 4§2а .

1020. А к о је 81п х + с о з г = в и 81п х с о в х = р п о к а з а т и д а в а ж и р = ^(в 2 —1).

1021. П о к а з а т и д а в р е д н о с т и з р а з а : А = с о з 4 ж (3 —2с о з 2 ж ) —р ш 4 а (2в 1п 'ж —

3) н е з а в и с и о д х .

1022. К а к а в ј е т р о у г а о з а ч и је о ш т р е у г л о в е в а ж и је д н а к о с т ;

в ж ' * + в т 2/ ? =1 ?

У п р о с т и и з р а з е (з а д а ц и 1023 - 1027):

2 с о з е с ^ о :1023. — ---------- - - совес2а + 1 . 1024. ( 1 + в!п а )( 1; ^а + с 1 ;§ а )( 1 — з т а ) .

01 ј| 008 (У.

1025. (--------- |-1;Е а )(---------- К а ). 1026. -------; ----- 1-1<е а .с о в а с о в а 1 + в т а

в т 3 х + с о в 3 х в 1г 3 х —сов^ х в т 4 х —со з^ х1027. —:----—-------------у - --------------------1- — о---------- •

в т х + с о в х в т х — с о в х в т х —со в ^ х

Д о к а з а т и и д е н т и т е т е (з а д а ц и 1028-1046):

в т а 1 + с о в а1028.

1 —с о в а в т а

_ „ „ „ 81 а 1 + с о в а 2 _ „ „ „ 1 - 2 о в -

1029.-------------

1- — :---------

= —---- . 1 0 3 0 .----------------

= 1;§а —с Ћ в а .1 + с о в а в т а в т а в т а с о в а ‘

1031. 3 (в т 4 а + с о в 4 а ) —2 (в т б а + с о в 6 а ) = 1.

1032. в т 3 а (1 + с !^а ) + с о з 3а (1 + 1;§а ) = в т а + с о в а .

____ 2 81п а с о в а „ 91033. ------------:-------------= 2<;§ а .

с т ;§а —81п а с о в а

, . 81П2 X СО В 2ж(в1П X + С О В ж) .1034. —----------------------------- ц----------- ------- = 8Ш 1 + с о в х

в т х — с о в х в т х — с о в 2 х

- ___ , 1 1 в т а1035. <;§а + — 5------------------ — = — .

с о б а з е с а — с у а с о в - а1036. 1 + в т а + соз а + Ц а = (1 + с о к а )( 1 + <;§а).





8.5. Р е ш а в а њ е п р а в о у г л о г т р о у г л а 139

1054. И з р а ч у н а т и с т р а н и ц у и в и с и н у р о м б а а к о је д а т а п о в р ш и н а Р и

о ш т а р у г а о а .

1055. О с н о в и ц е је д н а к о к р а к о г т р а п е з а с у 10с т и 6с т , а к р а к је н а г н у т

п р е м а о с н о в и ц и п о д у г л о м а = 60°. И з р а ч у н а т и к р а к , в и с и н у и п о в р ш и н ут р а п е з а .

1056. У к р у г п о л у п р е ч н и к а К у п и с а н је п р а в и л а н п -у г а о . О д р е д и т и

њ е г о в у с т р а н и ц у и п о в р ш и н у .

1057. О к о к р у г а п о л у п р е ч к и к а г о п и с а н ј е п р а в и л а п п -у г а о . О д р е д и т и

с т р а н и ц у а и п о в р ш и н у Р п р а в и л н о г п - у г л а .

1058. Д а т а је с т р а н и ц а а п р а в и л н о г п -у г л а . У ф у н к ц и јт -т с т р а н и ц е

а (и з р а з и т и ) о д р е д и т и п о в р ш и н у Р , п о л у п р с ч н и к К о п и с а н о г к р у г а и

п о л у п р е ч н и к г у п и с а н о г к р у г а .

1059. С т р а н и ц а п р а в и л н о г о с м о у г л а је а — 1, 5. О д р е д и т и ц е н т р а л н и у г а оа , п о л у п р е ч н и к к р у г а /?, о п и с а н о г о к о о с м о у г л а , п о л у п р е ч н и к г у п и с а н о г

к р у г а и п о в р ш и н у о с м о у г л а .

1060. П р а в и л н и п е т н а е с т о у г а о у п и с а н је у к р у г п о л у п р е ч н и к а К = 2.

И з р а ч у н а т и ц е н т р а л н и у г а о , с т р а н и ц у , п о л у п р е ч н и к у п и с а н о г к р у г а и

п о в р ш и н у п е т н а е с т о у г л а .



140 Р е ш е њ а за д а т а к а

Р Е Ш Е Њ А А Д А Т А К А

Г л а в а I —Л о г и к а и с к у п о в и

1 . Т а ч н е с у ф о р м у л е : а ) , г ) , ђ ).

2 . а ), б ), в ), г ) , д ) и е ) с у и с к а з и , о д к о ји х с у а ) и в ) т а ч н и ; ђ ) - н и је и с к а з .

3. а ) X; б ) Т ; в ) X; г ) Т ; д ) X; ђ ) Т ; е ) Т ; ж ) X; з ) Т ; и ) X.

4 . а ) т (р ) = X, т (д ) = Т , г (^ ) = Т ; б ) т (р ) = Т , т (д ) = X, г (^ ) = Т ;

5. а ) •»; б ) <=; в ) •»; г ) •»; д ) •»; ђ ) •»; е ) =»; ж ) =»; з) •»; и ) •»; ј) <=; к ) •».

6 . а ) н е о п х о д н о , д о в о љ н о ; б ) д о в о љ н о ; в ) д о в о љ н о ; г ) н е о п х о д н о .

7. ) * € {1 , 2, 3}; б ) * € {1, 2, 3}; в ) х € {3, 4, г ) х € {2, 3, ...,9}; д ) * € {5, 6, 7, 8 , 9};

ђ ) х € {2, 3,...,9}; е ) х € {1, 5, 6 , 7, 8 , 9 }; ж ) х = 3; ) х € {2, 3, 4, 5}; и ) х € {1 ,3 ,6 ,7,8,9}.

8 . а )

р р = » ? Ч = > Р ( р =» ? )л ( ? = »р )

т т т т т

т X X т X

X т т X X

X X т т т

б ) , в ) с у т а у т о л о г и је

г )

р -' Р (р => -'?) (? => - 'р ) •»

т т X X X X т

т X X т т т т

X т т X т т т

X X т т т т т

9.

р р => ? ? =>р р •» ? •» Ј -'Р => ?т т т т т X т

т X X т X т т X т т X X т т

X X т т т X X

а ) А к о је р =>•д т а ч н о , а л а ж н о , т а д а р м о р а б и т и X , а д -Т , п а ј е ј => р - л а ж н о .

б ) И з т а б л и ц е с е в и д и д а а к о ј е р ј т а ч н о , т а д а ј е ч р О ј - л а ж н о , 7Ј => Р - т а ч н о ,

д о к ->р =>•ј м о ж е б и т и т а ч н о и л и л а ж н о .

10. Т а у т о л о г и је с у ф о р м у л е : в ) , ђ ) и е ).

1 1 . Т а у т о л о г и је с у ф о р м у л е : б ) , в ), г ) , и е ) .

13. а ) Ф о р м у л а и м а в р е д н о с т X с а м о а к о ј е т (р Л ( р <$ (->? Л г ))) = Т и т (д => ( ј У ()) = X,

о д а к л е је т (д ) = Т , т (з ) = г (() = X, т (р ) = Т , т (р (->} Л г )) = Т . О в о је н е м о г у ћ е је р и з

т ( ч ) = Т , т ( р ) = Т , с л е д и т (р •» (->? Л г )) = X. Л а к л е , ф о р м у л а ј е т а у т о л о г и ја .



Г л а в а I - Л о г и к а и с к у п о в и 141

14. Д а је д а т а ф о р м у л а т а у т о л о г и ја л а к о с е д о к а з у је п р и м е н о м т а б л и ц е . О з н а ч и м о ,

с а д а , с а р и с к а з : ” а 2 је п а р а н б р о ј ” и с а ј и с к а з : "а је п а р а н б р о ј” . О ч и г л е д н о је д а

=> -у р (а к о ј е а н е п а р а н б р о ј , о н д а је и а 2 н е п а р а н б р о ј). Н а о с н о в у т а у т о л о г и је ћ е ,

д а к л е , б и т и т а ч н о р => д .

15. У п у т с т в о : п р и м е н и т и т а у т о л о г и ју (р => ј ) (->? => ->р ), п р и ч е м у је р : " х + у ф 5” ,а ј : " х ф 1 V х ^ 4” . Т а д а ћ е ->ј б и т и и с к а з ->(х # 1 У х 54 4 ) # г = 1 Л г = 4. (П р и м е н а

т а у т о л о г и је ->(р V ?) о -■ р Л ->ј).

16. б ) х ( х —1 ) ^ 0 4 > х ^ 0 Л х — 1 ^ 0 4 > х # 0 Л х ^ 1

18. Т а к в а ј е , н а п р и м е р ф о р м у л а (р =>?)=> ?•

19. а ) Н а п р и м е р (р Л ->ј ) V (->р Л ->ј ) и л и с а м о -> .

б ) Н а п р и м е р ->[(р л ->ј ) V (->р Л ->?)] и л и (->р V ј ) Л (р V ј ) и л и с а м о ј .

20. С в е т а к в е ф о р м у л е х с у е к в и в а л е н т н е ф о р м у л и р 4» ? је р је (р 4» (р 4» ј )) 4» ?.

21. а ) Т а ч н о ; б ) т а ч н о ; в ) н е т а ч н о ; г ) т а ч н о ; д ) н е т а ч н о ; ђ ) н е т а ч н о ; е ) н е т а ч н о ; ж )

т а ч н о .

22. а ) Ф о р м у л а и м а з н а ч е њ е : о д с в а к о г п р и р о д н о г б р о ја о с т о ји в е ћ и и а ч н а је ; б )

т а ч н о ; в ) н е т а ч н о ; г ) т а ч н о ; д ) т а ч н о .

23. а ) Н е т а ч н о - н а п р и м е р з а х = 0 , у ф 0; б ) н е т а ч н о - н а п р и м е р з а х = у = 0; в ) ,г ) ,д )

с у т а ч н е ф о р м у л е ; ђ ) је н е т а ч н а ф о р м у л а .

24. а ) (З х )(х ф 0); б ) (У х )(х 2 > 0); в ) (З х )( х - 0 ф 0); г ) ->(3х )(х € 2 Л х + 5 > 0 ) 4 > (У х )->(х €

2 Л г + 5 > 0) О (У х )(х ^ 2 У г + 5 < 0) О (У х )(х € 2 => х + 5 < 0); д ) ( У х ) ( х € N => х < 0);

ђ ) (З х )(х € N Л х $ 2).

25. а ) х \г Л у \г Л (У и )(х |и Л у |и => г |и ); б ) (З у )(у € 2 Л х = у 2);

в ) ->(3х ) (3у ) (х 2 = 0 Л у 2 = 0 Л х Ф у ), и л и (У х )(У у )(х 2 = 0 Л у 2 = 0 => х = у );

г ) (З х )(х 2 = 0 Л ( У у )(у 2 = 0 =»• х = у );

е ) (V* € С Ј )( у € Р ) (3 г € С Ј )(* Ф у =*■ ( х < г < у V у < г < х )).

26. А 1 В = (а , 6, с , 4, е }, А П В = (а , с } , А \ В = ( 6, А) .

27. а ) ( т , р , ?}; б ) ( т , п , р , ј , г } , в ) 0.

28. А = ( - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 } , В = (1 ,2 ,3 ,4 } , С = {1,2,3 ,4,6,12 }, >= {2 ,3 ,5 ,7 }. а ) { - 2 , - 1, 0};

б ) { -2 , -1 ,0 ,1 ,4 ,6 ,12 } ; в ) { 1 }; г ) 0; д ) {1 ,2,3 }; ђ { -4 , -3 ,3 ,4 } ; е ) { 1 }; ж ) { 4} .

29. П о ш т о е л е м е н т и А, ћ и г п р и п а д а ју с к у п у В П X , а н е п р и п а д а ј у с к у п у В , т о о н и

м о р а ј у п р и п а д а т и с к у п у X . Е л е м е н т и с и 4 п р и п а д а ју с к у п у А и Х , п а м о р а ј у п р и п а д а т и

с к у п у X . Д а к л е , X = { с , 4, Н , «'}. О ч и г л е д н о је д а , о с и м о в и х л е м е н а т а с к у п X н е

с а д р ж и н и је д а н д р у г и е л е м е н т .

30. X = {3, 4, 6}.

31. А = ( —о о , 1), В = [3, +о о ) , А П N = 0, В П N = {3, 4, 5,...}.

32. а ) (1,3]; б ) (-5 ,4 ) ; в ) ( - о о , 3 ) ; г ) ( -2 , -1 ) ; д ) ( - 2 , - 1 ) Џ (1 ,2 ); ђ ) ( 0,4] и (7,9]; е ) ( -5 ,5 ];

ж ) [—1,0] 1 (2,3).33. а ) Р ( А ) = {0 ,А } ; б ) Р ( В ) = {0, { а } , { 6} , В } ;

в ) Р ( С ) = {0 , { а } , { 6} , { с } , {а , 6} , { 6, с }, {а , с }, С } .

34. а ) х = 1, и л и х = {1 }, и л и х = {1, {1}};

б ) х = 0 , и л и х = { 1}, и л и х = { { 1} } , и л и х = { { 1, { 1} }} , и л и х = { 1, { 1} } , и л и х =

0> 0> {!}}}> и л и х = {{!}> {!>{!}}}> и л и х = а .35 . А = { 1, 2 ,3 , 4 , 5, 6} , В = { - 1, 0, 1}, С = { - 2, - 1, 0 , 1, 2} , А п В = { 1} , В \ С = 0, В и С = С ,

( В П С ) и ( А \ С ) = { - 1, 0 ,1 ,3 ,4 ,5 ,6}.

36. а ) х € А ( Ј А 4 > х € А У х € А 4 > х € А - к о р и с т и л и с м о т а у т о л о г и ј у р V р 4> р .

е ) г € А и ( В п С ) » г € А У 1 € ( В п С ) 4> 1 € А У ( 1 € В Л 1 € С ) 4Ј ( 1 € А У 1 € В ) Л ( 1 е

А V х € С ) 4> х € (ј4 1 В ) Л х € ( А 1 С ) 4> х € (ј4 1 В ) П ( А (Ј С ) - к о р и с т и л и с м о а у т о л о г и ју

р V ( ј Л г ) 4» (р V ј) Л (р V г ), п р и ч е м у ј е р - х € А , д - х € В и г - х € С . л ) I € А п А ' О ј : € А Л 1 € А ' 4> х € А Л -> ( х € А ) 4> ± 4> х € 0;



1 4 2 Р е ш е њ а з а д а т а к а

њ ) х Е А С \ В <$ х € А Л х € В х € А У х € В х € А и В .

37. а ) Н а јп р е т р е б а д о к а з а т и т а у т о л о г и ју р V (~<р Л ?) р V <7, п а ћ е н а о с н о в у њ е б и т и

х € А и ( А ' Г \ В ) х € А (->(г е А ) Л х е В ) < $ х € А У х е В < $ х € А и В .

38.

в ) Д о к а з а т и т а у т о л о г и ју р Л ->(ј V г ) (р Л -ч ?) Л (р Л ->г );е ) Д о к а з а т и т а у т о л о г и ју (рг V р2) Л -> (ј ! V <72) => (Р 1 Л ->?1) V (р2 ->?2)-

39. А х В = { (а , г ) ,( а , у ), (6, г ) , ( 6, у ) ,( с , г ) ,( с , у ) },

В х А = { ( г , а ), ( г , 6), ( г , с ) , ( у , а ), (у , 6), ( у , с ) } ,

А х А = {(а , а ),(а , 6), (а , с ), (6, а ), (6, 6), (6, с ) ,( с , а ) ,( с , 6), (с , )},

В х В = { ( г , г ) , ( г , у ), (у , г ) , (у , у ) }.

• 2'

' ' ■ ■• I '1

-1 0 1 2 • х -1 0 1 2 х

40. В и д и с л и к у . у 3 З а д . 40

41- А = { т , п , р }, В = {0, 1}.

42. а ) Е \ П Е 2 = { (г , у ) |г , у 6 Р Ј , х + 2 у = 1 0 Л х + у = 3 } = { (г , у ) |г , Ј б М , г = —4Л у = 7} = 0,

Е 1 и Е 2 = { ( г , у ) | г , у € N , 1 + 2« = 1 0 У г + у = 3 } = { (2 , 4 ), (4 , 3 ) , (6 , 2 ), (8 , 1), (1, 2), (2, 1 )},

Е х * Е 2 = { ( 2 , 4, 1 , 2 ), ( 2 , 4, 2 , 1), (4, 3, 1 , 2 ), (4, 3, 2 , 1), (6 , 2 , 1 , 2 ), (6 , 2 , 2 , 1),(8, 1 , 1 , 2 ),

(8 , 1, 2 , 1)} ;

б ) Е 1 = {(2, 2)}, Е 2 = {(1, 2), (3, 1)} и т д .

43. а ) ( х , у ) е ( А и в ) х с & х е А и в л у е с ■ & ( х е А ч х е в ) л у е с ■ & ( х е А л у е

С ) V ( х е В Л у е С ) •» (г , у ) е А х С V ( х , у ) е в х С . О в д е с м о к о р и с т и л и т а у т о л о г и ју

(р V ј) Л г •» (р Л г ) V (ј Л г ). С л и ч н о с е д о к а з у ј у и т в р ђ е њ а б )-ђ ).

44. О з н а ч и м о с а р б р о ј е л е м е н а т а п р в о г с к у п а , к о ји н е п р и п а д а ју д р у г о м , с а <7 б р о ј

е л е м е н а т а у п р е с е к у и с а г б р о ј е л е м е н а т а д р у г о г с к у п а , к о ји н е п р и п а д а ју п р в о м . Т а д а

је (в . с л .) р + <7+ г = 15 и р + <7 = 8 , о д а к л е је г = 7, а б р о ј е л е м е н а т а д р у г о г с к у п а је

г + д = 12. ~ -

45. А к о о з н а ч и м о с а а б р о ј п р е в о д и л а ц а , к о ји г о в о р е с а м о р у с к и , с - с а м о ф р а н ц у с к и , е

- с а м о е н г л е с к и , 6 - р у с к и и ф р а н ц у с к и , / - р у с к и и е н г л е с к и , 4 - е н г л е с к и и ф р а н ц у с к и

и д - с в а т р и је з и к а , и м а ћ е м о (в . с л .) а + 1>+ с + <1 + е + ј + д = 52, а + 1> + д + / = 20,

1>+ с + д + ( 1 = 19, Ј + д + (1 + е = 35, Ј + д = 11, д + (>= 7, д + 4 = 9, о д а к л е с е н а л а з и

а ) д = 5; б ) а = 7.

46 . 480.



Г л а в а I - Л о г и к а и с к у п о в и

р а 6 с

а Т т

6 т

с т

143

47.

48. Н и је , је р н и је р е ф л е к с и в н а .

49. К а к о је х р у » 1 = 2 Л у = 1 н а о д г о в а р а ју ћ е м м е с т у у т а б л и ц и ј е Т , а н а с в и мо с т а л и м м е с т и м а

50. р = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)}. О в а р е л а ц и ја н и је н и р е ф л е к с и в н а , н и с и м е т р и ч н а , н ит р а н з и т и в н а .

51. а ) с и м е т р и ч н о с т ; б ) а н т и с и м е т р и ч н о с т .

52. а ) с и м е т р и ч н о с т ; б ) р е ф л е к с и в н о с т , т р а н з и т и в н о с т .

53. а )

Т

Т

т

Р е л а ц и ја р н и је р е ф л е к с и в н а , је с т е с и м е т р и ч н а , н и ј е а н т и с и м е т р и ч н а (н а п р . 1р 0 л 0р 1 л

0 ф 1)) и н и је т р а н з и т и в н а (н а п р . 1р 0 Л 0р 1 Л —<(1 р 1)). б ), в ), г ) р е л а ц и је с у с и м е т р и ч н е ,

н и с у н и р е ф л е к с и в н е , н и а н т и с и м е т р и ч н е , н и т р а н з и т и в н е .

54. а ) , б ) р ј е а н т и с и м е т р и ч н а и т р а н з и т и в н а , н и је н и р е ф л е к с и в н а , н и с и м е т р и ч н а .

55. К л а с е е к в и в а л е н ц и је с у : С х + 2= о = { о : + 2 = 0, 2 х + 4 = 0, 2 х + 2 = - 2}, С 1+1=0 =

{* + 1 = 0, | = - ^ } , С х , =4 = { х 2 = 4 },

56. К л а с е е к в и в а л е н ц и је с у С 0 = { 0}, С , = { 1, - 1}, С 2 = { 2, - 2}, С 3 = { 3 , - 3}, С 4 =

{4, -4 } , С 5 = {5 , -5 } .

, 57. а ) ј е с у ;

б ) Ј ( Ј ( а ) ) = / ( 6) = а , / ( / ( 6)) = Ј ( а ) = 6, /( /( /(< /))) = Ј ( Ј ( с ) ) = Ј ( 4) = с , ( Ј ( д ( а ) ) ) =

5 ( / (с ) ) = д ( 4) = 4, д ( д ( с ) ) = д ( а ) = с ;в ) х = 6.

58. а ) / ( 1) = 5, /(2) = 8 , д ( 1) = 3, д ( 2) = 4, Ј ( д ( 1)) = /(3 ) = 11, д ( Ј ( 1)) = д ( 5) = 7;

в ) / (2* ) = 2 + 6*, д ( 3 х ) = 2 + 3*, д ( Ј ( х ) ) = 2 + 2 + 3* = 4 + 3 *,7 (5(*))= 2 + 3(2 + * ) = 8 + 3*.

59. а ) - 1 ; б ) / ф = |; в ) / ( 2 ) = 3; г ) / ( 1 ) = - I ; д ) / ф = * ђ ) / ( _ 1 } = _ 2. е )

/ (х + 1) = 2(* + 1) — 1 = 2* + 1; ж ) 2* — 3; з ) 4* — 1.

60. П р е с л и к а в а њ а с к у п а {а , 6} у с к у п { 1, 2, 3} с у : / , : ^) ’ - 3 : ( 1 з ) ’

/ . . ( ■ ! ) , / . . ( ; ; ) , / . : ( ; Ј ) , Л : ( ; ! ) , / . : ( з " * ) , / , : ( ; * ) .

П р е с л и к а в а љ а с к у п а { 1, 2, 3} у с к у п {а , 6} и м а 8 .

61. / ј е Н А , а л и н и је 1- 1.

62. а ) /(5 ) = 5, /(12) = 3, /(253) = 10, /(/(2 5 3) ) = 1;

б ) р е ш е њ а и м а б е с к о н а ч н о м н о г о , т о с у с в и п р и р о д н и б р о је в и , ч и ји ј е з б и р ц и ф а р а 5 ,

н а п р и м е р : 5 , 104, 4001, 1002200, 32 и т д ...

в ) / је Н А , а л и н и је 1- 1.

63. а ) Ј е с т е и 1-1 и Н А ; б ) н и је н и 1- 1 , н и Н А ; в ) је с т е и 1-1 и А ; г ) н и је н и 1- 1, н и ,

Н А ; д ) је с т е и 1-1 и Н А ; ђ ) и је н и 1- 1, н и Н А .

2 3 4 '64. 1_Л 2 3 4\ _ /1 2 3 4\ ,_

/1 2 3 4\\а 4 с 4 Ј ' 9 \ с а 4 6 ) ’ \ 4 с 1> ) '



_ ( а I с 4 \ 1.-1 _ ( а & с , -1 _ ( а I с Ј \

3 V 2 4 1 З Ј ' ~ ^4 1 2 3 ) ’ “ ^4 3 2 1 ) '

65. а ) Л о к а ж и м о н а јп р е д а је / 1-1 п р е с л и к а в а њ е . И з Ј ( х \ ) = /( а г2), т ј . 7 ц - 1 = 7 х 2 - 1

п о с л е д о д а в а њ а је д и н и ц е и д е љ е њ а д в е с т р а н е је д н а к о с т и с а 7, с л е д и з г ј = х 2. Н е к а је

с а д а у п р о и з в о љ а н р е а л н и б р о ј. И з у = 7 х — 1 с л е д и х = — , п а ј е т а ч н а ф о р м у л а(У у )(3а г )(у = Ј ( х ) ) . П о ш т о ј е / 1-1 и Н А , т о п о с т о ји и н в е р з н а ф у н к ц и ја / -1 . Д а б и с м о

ј е о д р е д и л и у о ч и м о д а т р е б а д а б у д е / - 1(/(а г )) = х , т ј. / - 1(7 х - 1) = а г. А к о о з н а ч и м о

7 х — 1 = 4, д о б и ја м о х = —-— , о д н о с н о / -1 (<) = — —• Д а к л е , и н в е р з н а ф у н к ц и ја ф у н к ц и је

/ м о ж е с е д е ф и н и с а т и с а / _ 1(а г ) = — —;

б ) / " V ) = ^ -Г ^ ; в ) / - 1(а г) = 4Д ~1~2; г ) / - 1(ж ) = | д ) / - 1(а г ) = З а г + ј ; ђ ) / _ 1(а г) = I 5 5 10 4

З х - 2.

66 . а ) Ј ( х ) = (а г + I)2. К а к о ј е Ј ( х ) > 0 т о ф у н к ц и ја н и је Н А , а к а к о ј е н а п р и м е р

/ ( - 2) = / ( 0) = 1, т о ф у н к ц и ја н и је н и 1- 1. б ) н и је Н А , а л и је с т е 1- 1; в ) н и је н и Н А , н и

1- 1 .

67. ( / о /)(а г ) = Ј ( Ј ( х ) ) = Ј ( 2 х + 5) = 2(2а г + 5) + 5 = 4а г + 15, ( / о д ) (х ) = 10а г + 11,

(? ° Ј ) (х ) = 10аг + 28, ( д о д ) ( х ) = 25а г + 18.

68* ( / ° $)(*) = 3 + 2аг2, ( д о /)(а г ) = 2 + 4аг + 4аг2, (ј о д ) ( х ) = 2 + 2а г2 + аг4, д 3 ( х ) = 5 + 8а г2 +

8аг4 + 4аг6 + а г8, ( / о 53 )(а г ) = 11 + 16а г2 + 16а г4 + 8аг6 + 2а г8.

69 . а ) ( / о 5 )(0) = - 1, ( д о / ) ( 1) = 0 , ( Ј ° д ) ( х ) =| аг |- 1, ( д ° Ј ) ( х ) = | х - 1 |, ( Ј ° Ј ) ( х ) = аг —2,

( д ° д ) ( х ) = ||г||=|а г |.

71. З а а г = 2 д о б и ја м о /(2 ) + 3 /(^ ) = 4, а з а а г = ^, д о б и ја м о / (^ ) + 3/(2 ) = А к о д р у г у

13је д н а ч и н у п о м н о ж и м о с а 3 и о д у з м е м о о д п р в е , д о б и ћ е м о / ( 2) = —

З д. _ I ј 2 272. а ) Н е к а ј е --------- = 4, о д а к л е је а г = - — 4 ф 3, п а ј е д ( 1) = - — -, т ј. д ( х ) = ------ X б — I о — 1. 3 — X

х Ф 3; б ) Ј ( х ) = 2 - а г; в ) Л (а г ) = ~ , х > 0.\Ј х

73. а ) У в е д и м о с м е н у 4 = ^ - 3 . Т а д а ј е х = 21 + 6 , п а ј е / (4 ) = 24 + 6 + 1 = 24 + 7. Д а к л е ,

Ј ( х ) = 2 х + 7. б ) Ј ( х ) = З а г - 5; в ) Ј ( х ) = 5* —1; г ) Ј ( х ) = 7 х + 2;

74. а ) И с п р е д т р о ј к е м о ж е с е н а л а з и т и б и л о к о ји д в о ц и ф р е н и б р о ј , а н >и х и м а д е в е д е с е т .

б ) 180.

75. 15.

76. Д е с е т : А В , А С , А Б , А Е , В С , В Б , В Е , С Б , С Е и Б Е .

77. О с а м .

78. П р в и х ч е т и р и п у т н и к а м о г у с е р а с п о р е д и т и н а 5 •4 •3 •2 = 120 н а ч и н а , с л е д е ћ и х

т р о ј е н а 5* 4 *3 = 60 н а ч и н а , а п р е о с т а л и х т р о ј е н а 3 •2 = 6 н а ч и н а . П р е м а т о м е , б р о ј

м о г у ћ и х р а с п о р е д а је д н а к ј е 120 •60 •6 = 43200. Н а п о м е н а . О в а ј к а о и јо ш н е к и з а д а ц и ,

м о г у с е у р а д и т и п р и м е н о м ф о р м у л е з а б р о ј в а р и ј а ц и ја б е з п о н а в љ а њ а к-те к л а с е о д п

е л е м е н а т а : = п (п —1)(п —2) ••-(п —Л + 1). Т а к о ј е б р о ј р а с п о р е д а п р в а ч е т и р и п у т н и к а

1 4 = 120, с л е д е ћ и х т р о ј е К р = 60 и п р е о с т а л и х V * = 6 .

79. О з н а ч и м о с а п б р о ј т а ч а к а . П о д о в и м у с л о в и м а о н е о д р е ђ у ј у —— п р а в и х , п а ј е

^ — - = 2 п , о д а к л е н а л а з и м о д а ј е п = 0 и л и п = 5. Н а п о м е н а . У о в о м з а д а т к у , к а о и у

н е к и м с л и ч н и м , м о ж е с е п р и м е н и т и ф о р м у л а з а б р о ј к о м б и н а ц и ја (б е з п о н а в љ а њ а ) к-те

144 Р е ш е њ а з а д а т а к а



к л а с е о д п е л е м е н а т а : С * = (Ј ) =

Г л а в а I - Л о г и к а и с к у п о в и

—1 )•••( п —к )

1 4 5

п т а ч а к а је д н а к С јј = (2) =п ( п —1)

к \. О в д е је б р о ј п р а в и х к о је о д р е ђ у ј у

280. а ) Д в о ц и ф р е н и з а в р ш е ц и м о г у б и т и 25 и л и 75 је р с е ц и ф р е н е м о г у п о н а в љ а т и ,

п а т р о ц и ф р е н и з а в р ш е ц и м о г у б и т и с а м о 025 и л и 075. У с в а к о ј о д о в и х м о г у ћ н о с т и

"и с к о р и ш ћ е н е ” с у п о т р и ц и ф р е - п р е о с т а ју јо ш с е д а м ц и ф а р а к о је с е м о г у р а с п о р е д и т и

н а 7! н а ч и н а . Р е з у л т а т : 2 •7! _

ШЈШЈШЈ

' С Ш П П П П П Р ' -

пппппп

С л . у з з а д . 83

82. М р е ж а п у т е в а о д А д о Б и з г л е д а к а о н а с л и ц и . А к о с е и д е п у т е м А — В — Б т а д и м а

6 п у т е в а , п у т е м А — С — Б и м а 12 п у т е в а , а к о с е и д е п у т е м А — В — С — Б и м а 3 •3 •3 = 27,

а А — С — В — И 4 - 3 - 2 = 24 п у т а . У к у п а н б р о ј п у т е в а је 6 + 12 + 27 + 24 = 69.

83. П о ч е в ш и о д т р г а А (в . с л .) и с в а к и п у т к а д а је д н о с м е р н о м у л и ц о м с т и г н е н а

р а с к р с н и ц у , в о з а ч м о ж е д а б и р а д в а п у т а . У к у п а н б р о ј м о г у ћ н о с т и је 28 = 256.

84. О з н а ч и м о с а |С |б р о ј е л е м е н а т а с к у п а С . Т а д а је т а х (| А |, |В |) < \ А и В \< т + п ,

0 <| А П В |< т т ( | А | ,| В | ), 0 < | А \ В | < п ; 0 < | В \ А | < т , |А х В |= т п .

85. 26 н а ч и н а .

86 . П р в и т о п с е м о ж е п о с т а в и т и н а п р о и з в о љ н о п о љ е н а 82 = 64 н а ч и н а . Д р у г и т о п с ем о ж е п о с т а в и т и н а 72 = 49 н а ч и н а ( н а б и л о к о је п о љ е к о је н и је у и с т о ј в р с т и и л и к о л о н и

у к о јо ј је п р в и т о п ). Т р е ћ и т о п с е м о ж е п о с т а в и т и н а 62 = 36 н а ч и н а и т д . Т р а ж е н и б р о ј

н а ч и н а ј е 82 •72 •62 •52 •42 •З 2 •22 •I2.

87. К а к о ј е 2400 = 25 - 3 •52, с в а к и д е л и л а ц б р о ја 2400 је о б л и к а 2Х 3 У 5*, г д е је 0 < х < 5,

П о ш т о п о с т о ји 6 м о г у ћ н о с т и з а х , 2 з а у и 3 з а г , т о п о с т о ји

6 •2 •3 = 36 р а з л и ч и т и х д е л и л а ц а б р о ја 2400.

8 8 . 9 •103 = 9000. 89. 302 •10000 = 9 •106 . 90. 63 = 216. 91. 7 •6 •5 = 210. 92 . 24.~ 12-11

93. О д 12 п л а в и х т а ч а к а м о ж е с е к о н с т р у и с а т и — -— = 66 д у ж и и с в а к а о д њ и х с е

м о ж е к о м б и н о в а т и с а 9 ц р в е н и х т а ч а к а , т а к о д а д о б и ја м о 66-9 = 594 т р о у г л а ч и ја с у д в а9 -8 .

т е м е н а п л а в а и је д н о ц р в е н о . С л и ч н о и м а м о —— ■ 12 = 432 т р о у г л а ч и ја с у д в а т е м е н а

ц р в е н а , а је д н о п л а в о . Д а к л е , у к у п а н б р о ј т р о у г л о в а к о д к о ји х т е м е н а н и с у и с т е б о ј е је

594 + 432 = 1026.

94. Н а јв и ш е т р о у г л о в а и м а а к о с у с в а к е т р и т а ч к е с а р а з н и х п р а в и х н е к о л и н е а р н е . Т а д а

с е т р о у г л о в и д о б и ја у т а к о д а и м је о с н о в и ц а н а је д н о ј п р а в о ј, а в р х н е к а о д п р е о с т а л и х5 -4 ,

д е с е т т а ч а к а (т а к в и х т р о у г л о в а и м а 3 • —— ■ 10 = 300) и л и т а к о д а с у и м т е м е н а н а

р а з л и ч и т и м п р а в и м (т а к в и х т р о у г л о в а и м а 5 •5 •5 = 125). Д а к л е , н а ј в е ћ и м о г у ћ и б р о ј

т р о у г л о в а ј е 125 + 300 = 425.

12 - 11 5 -4 „ „ „95. -------------------- = 660.

2 296. К в а д р а т н у м р е ж у 8 x 8 о б р а з у је 9 х о р и з о н т а л н и х и 9 в е р т и к а л н и х л и н и ја . Д в е

х о р и з о н т а л н е и д в е в е р т и к а л н е л и н и је о д р е ђ у ј у п р а в о у г а о н и к . Д а к л е , п р а в о у г а о н и к а

^• 8 9 -8и м а ------

-------= 1296.2 2




97. а ) С т о л и ц е " б и р а ју ” ђ а к е н а 8 - 7 - 6 - 5 - 4 ’ 3 = 20160 н а ч и н а ; б ) ђ а ц и б и р а ју с т о л и ц е

н а 12 •11 •10 •9 •8 •7 •6 •5 = 19958400 н а ч и н а .

98. а ) 5 •63 = 1080; б ) 5 •5 •4 •3 = 300; в ) 5 •6 •6 •2 = 360; г ) А к о ј е н у л а н а о с л е д њ е м

м е с т у т а к в и х б р о је в а и м а 5 - 4 - 3 , а а к о је н а п о с л е д њ е м м е с т у п е т и ц а 4 - 4 - 3 . У к у п н о ,

5 - 4 - 3 + 4- 4- 3 = 108. Н а п о м е н а . У п р и м е р у а ) м о ж е с е п р и м е н и т и ф о р м у л а з а б р о ј

в а р и ј а ц и ја с а п о н а в љ а њ е м к -т е к л а с е о д п е л е м е н а т а У „ = п к . С в и х ч е т в о р о ц и ф р е н и х. . —4 ..

б р о је в а ( у к љ у ч у ј у ћ и и о н е к о ји п о ч и њ у н у л о м ) и м а К 6 = 6 , а о д т о г б р о ј а т р е б а о д у з е т и

о н е к о ји п о ч и њ у н у л о м - њ и х и м а = 63. Т р а ж е н и б р о ј ј е К 6 — К 6 = 64 —63 = 1080.

С л и ч н о с е м о ж е р е з о н о в а т и и у з а д а т к у 100, к а о и н е к и м д р у г и м з а д а ц и м а .

99. К а н д и д а т и з а п р в у ц и ф р у с у 2 , 4, 6 и 8 , з а д р у г у 1 , 3, 5, 7 и 9, з а т р е ћ у 0, 3, 6 и 9,

з а ч е т в р т у 2 , 3, 5 и 7, з а п е т у 4, 6 , 8 и 9 и з а ш е с т у 0 и 5. П р е м а т о м е , о в а к в и х б р о је в а

и м а 4 ’ 5 - 4 - 4 - 4 - 2 = 2560.

100. 2-3".

101. Д о л а з и у о б з и р 6 с л о в а : А , Е , Ј , К , М и Т . В р о ј м о г у ћ н о с т и з а т а б л и ц е је

6•1000000 = 6000000.

102. П р в а ц и ф р а с е м о ж е и з а б р а т и н а ч е т и р и н а ч и н а ( 2 , 4, 6 и л и 8 ), д р у г а н а д е с е т , а

т р е ћ а н а п е т н а ч и н а , п а о в а к в и х б р о ј е в а и м а 4 •10 •5 = 200.

103. К њ и г е н а р у с к о м с е м о г у р а с п о р е д и т и н а 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 = 5040 н а ч и н а , н а

е н г л е с к о м н а 3- 2 •1 = 6 и н а ф р а н ц у с к о м н а 5- 4-3-2• 1 = 120 н а ч и н а . К а к о и м а 6 м о г у ћ и х

р а с п о р е д а п о је з и ц и м а (Р Е Ф , Р Ф Е , Е Р Ф , Е Ф Р , Ф Р Е , Ф Е Р ), у к у п а н б р о ј р а с п о р е д а је

5040 - 6 ■ 120 -6 = 21772800.

104. К а д а с е р а с п о р е д е п а р н е ц и ф р е , т р и п р е о с т а л е н е п а р н е ц и ф р е с е м о г у р а с п о р е д и т и

н а 3! = 6 н а ч и н а . П о с т о ји 2 -2-1 = 4 м о г у ћ н о с т и д а с е р а с п о р е д е п а р н е ц и ф р е н а п р в а т р и

м е с т а (н у л а н е м о ж е б и т и н а п р в о м м е с т у ), а п о 3-2-1 = 6 м о г у ћ н о с т и д а с е р а с п о р е д е о д

д р у г о г д о ч е т в р т о г , т р е ћ е г д о п е т о г , и л и ч е т в р т о г д о ш е с т о г м е с т а . С т о г а је т р а ж е н и

б р о ј 6(4 + 6 + 6 + 6) = 132.

105. а ) А к о ф о р м у л а н е б и б и л а т а у т о л о г и ја , т а д а б и з а н е к е в р е д н о с т и и с к а с н и х с л о в а

р , ?, г м о р а л а и м а т и и с т и н и т о с н у в р е д н о с т 1 , а т о је м о г у ћ е с а м о а к о је г ( ( р =» д ) =»

г ) = Т (1) и г ((г = >р ) => ( д = >р ) ) = 1 (2).

- И з ( 2) с л е д и д а ј е г ( г => р ) = Т (3) и г ( д => р ) = 1 (4),

а и з (4) д а је г ( р ) = 1 и г ( ј ) = Т .

К а к о је г (р ) = 1 и з (3) с л е д и д а ј е г (г ) = 1, п а је

г ( ( р =>} )=> г ) = г ( (1 => Т ) => 1 ) = г ( Т = > ! ) = ! ,

ш т о је у с у п р о т н о с т и с а ( 1). Д а к л е , н е п о с т о је в р е д н о с т и з а к о је б и о в а ф о р м у л а б и л а

н е т а ч н а , п а је о н а т а у т о л о г и ја .

ђ ) А к о п р е т п о с т а в и м о д а ф о р м у л а н и је т а у т о л о г и ј а м о р а л о б и б и т и г (р ј => р ? ) = т (р 2 =>р з ) = ••т (р „_ Ј =* р „ ) = Т (1) и г ( р ! =* р „ ) = 1 (2). И з (2) с л е д и д а је г ( р х ) = Т и

г ( р „ ) = 1 , а з б о г т о г а и з (1) и м а м о д а м о р а б и т и г ( р 2 ) = г ( р з ) = •••= г ( р п ) = Т . П о ш т о

је н е м о г у ћ е д а р п у и с т о в р е м е и м а и в р е д н о с т Т и 1 , п р е т п о с т а в к а д а ф о р м у л а н и је

т а у т о л о г и ј а ј е п о г р е ш н а .

106. а ) А к о је г ( р ) = Т ф о р м у л а ј е е к в и в а л е н т н а ф о р м у л и ( р ! У р 2 У . . . р „ ) ( р 1У р 2 У . ■ . р „ ),

а а к о је г ( р ) = 1 л е в а и д е с н а с т р а н а ф о р м у л е с у т а ч н е .

в ) А к о ј е г (р ) = Т л е в а и д е с н а с т р а н а ф о р м у л е у т а ч н е , а а к о је г ( р ) = 1 д о б и ја м о

т а у т о л о г и ју ->(р ј V р 2 V . . . р „ ) ■ & ~<р ј Л ->р 2 Л . . . ~ ’р „ .

107. Р е ш е њ е је ( х = 0 и у = 0), и л и ( у = 0 и г = 0), и л и ( г = 0 и х = 0), о д н о с н о д а с у

б а р д в е о д п р о м е н љ и в и х х , у , г је д н а к е н у л и .



108. к о у в д е д е м о о п е р а ц и ју У - "е к с к л у з и в н а д и с ју н к ц и ја ” , к о ј а је о д р е ђ е н а т а б л и ц о м :


р д р ) ј д

Т Т Ј .

Т ± Т

± Т Т

± ± Ј .

м о ж е с е д о к а з а т и д а је х € А А В О х € А У х € В , п а с е о с о б и н е а ) - з ) м о г у д о к а з и в а т и

т а к о ш т о с е п р е с в е г а д о к а ж у о д г о в а р а ју ћ е т а у т о л о г и ј е , н а п р и м е р з а :

а ) ^ ? О (р V ј ) Л ->(р Л ј ); г ) (р У ј ) У г р У ( ј У г );

ж ) (Р1 V 2) )!. (?1 V ј 2) =► (Р1 У л ) V (р2 У ?г).

109. а ) Л ’ = {а , 4, е}; б ) X = {а , 6, е }.

110. а ) {0,{1}, {2},{1, 2}};б ) Р (0) = {0 } , Р ( {0 } ) = {0, {0 } } , Р ( {0 , {0 } } ) = {0 , {0 }, { {0 } } , {0, {0 } } } ;

в ) х € Р ( А П В ) » 1 С Л П В 0 1 С Л Л г С В » 1 € Р ( А ) Л х € Р (В ) «• х € Р (А ) П Р (В );г ) х € Р (А ) Џ Р ( В ) «• х € Р (А ) V х € Р ( В ) О х С А У х С В ^ х С А џ В о х б Р ( А Џ В ).Д а н е в а ж и о б р н у т а и м п л и к а ц и ја , в и д и с е н а с л е д е ћ е м п р и м е р у :

Т а д а је X С А 1 В , а л и н и ј е н и X С А , н и X С В .

111. П р е т п о с т а в и м о с у п р о т н о , т ј. д а н и је А С В , н и В С А . Т а д а п о с т о ји х € А и х В

и п о с т о ји у € В и у $ ј4. З а с к у п 5 = {х , у } в а ж и д а је 5 С А и В , а л и н и је н и 5 С А , н и

5 С В , ш т о је к о н т р а д и к ц и ј а !

112 . а ) Н е м а р е ш е њ а ; б ) Х г = {3}, Х 2 = { 1, 3}, Х 3 = { 2, 3}, Л 4 = { 1, 2, 3};

в ) р е ш е њ е је б и л о к о ји с к у п X к о ји с а д р ж и е л е м е н т е 1 и 2 , а н е с а д р ж и е л е м е н т 3.

113. а ) X је б и л о к о ји п о д с к у п с к у п а { 0 ,1 ,2 } - у к у п н о и м а 8 о в а к в и х с к у п о в а . б ) X је

б и л о к о ји п о д с к у п с к у п а { 1 ,2 ,3 } - у к у п н о и м а 8 о в а к в и х с к у п о в а .

114. а ) Н и је , н а п р и м е р А = 0, В = {0 }, С = { { 0 }} .

б ) Н и је , н а п р и м е р А = { 1}, В = {1 ,2 }, С = { { 1, 2}}.

115. Н е п о с т о ј е . Н е к а х € А П В ; т а д а х $ С . Н а т а ј н а ч и н х € ( А П В ) \ С .

116. К а к о о в а р е л а ц и ја в а ж и з а с в е п о д с к у п о в е X С С , в а ж и ћ е и к а д а је X = 0 и к а д а

ј е Л = С . У т и м с л у ч а је в и м а , д о б и ја м о : 0 П А = 0 и В и С П А = С 1 В , т ј , А = С и В = 0.

117. У з о з н а к е к а о н а с л и ц и и м а м о :

А к о п р в у је д н а ч и н у п о м н о ж и м о с а -2 и с а б е р е м о с а о с т а л е т р и д о б и ја м о а — (е + Ј + д + 2 к ) =

8 , о д а к л е је а > 8, је р је е > 0, / > 0, д > 0 и Н > 0.

118. а ) (а , 1>)р \(с, 4 ) О а — 6 = с — 4. С в а к о м ц е л о м б р о ју о д г о в а р а је д н а к л а с ае к в и в а л е н ц и ј е .

А = {1, 2, 3},В = {3, 4, 5 } , Х = {2, 3, 4}.

а + 1 + с + 4 + е + Ј + д + Н = 20 ,

а + 1>+ 4 + е = 16,а + 6 + с + / = 15,

а + с + 4 + д = 17.





( х , х < 0

(5° 5)(* ) = \ о , * > о ;

. (/ ° /)(*) = ( ј ° /)(*) = п -

125. Н е к а с у , н а јп р е , / и д 1-1 п р е с л и к а в а њ а . Т а д а је з а х \ ф х 2 , х \ , х 2 € А 5(^1) =У \ ф д ( х 2 ) = у з , а Ј ( у \ ) ф Ј ( у 2 ), п а је ( / о ( ц ) ф ( Ј о д ) ( х 2 ) ш т о з н а ч и д а је / о д 1-1

п р е с л и к а в а њ е . Н е к а с у , с а д а , / и д Н А п р е с л и к а в а њ а . Т а д а з а с в а к о г € С п о с т о ји у € В

т а к о д а ј е Ј ( у ) = г , а з а т о у € В п о с т о ји х € А т а к о д а је д ( х ) = у , п а је з а д а т о г € С

( / ° д ) ( х ) = г , т ј . / о д је с т е Н А п р е с л и к а в а њ е .

х # — 1 1 1 \126. О з н а ч и м о л и ------- с а < и ------- с а —, и м а ћ е м о /(* ) — 2 / ( - ) = 0 ( 1). А к о у (1)

х — 1 X I *

з а м е н и м о 4 с а у д о б и ћ е м о / ( у ) - 2 /(< ) = 0 (2). О в о је м о г у ћ е је р р е л а ц и ја (1) в а ж и з а

с в а к о < Ф 0, 4 ф 1. А к о (2) п о м н о ж и м о с а 2 и з а т и м с а б е р е м о с а ( 1), д о б и ја м о -3 /(< ) = 0,

о с и м з а <= 0, <= 1, о д н о с н о Ј ( х ) = 0, о с и м м о ж д а з а х = 0, х = 1.

х — 2 г + 2 х + 1 1 т т

127. а ) О з н а ч и м о ------- = г . Т а д а ћ е б и т и х =-

------ ,------

-

= - . Н р е м а т о м е в а ж и' а : + 1 1 —2 х — 2 г

_ _1_2 / ( - ) + 2Ј ( г ) = г + 2 (1). У (1) з а м е н и м о г с а - . И м а ћ е м о Ј ( г ) + 2 / ( - ) = - — =- = ------ —

2 - 1 —2 2 2 1 —_ 2 — 1

2

Ч”5(2). И з (1) и ( 2 ), д о б и ја с е Ј ( х ) = ^ о с и м , м о ж д а з а х = 0, х = 1. Н р о в е р о м с е

у т в р ђ у је д а о в а ј у с л о в в а ж и з а х = 0!5- у _1_ Ј

б ) - (з :) = 8(Г ^У ’ х ^ 2’ 1 х ^ -1‘

128. а ) /( о :) = 5 (0:) = 1, ( / о 5)(о :) = 1,(50 / )( о : ) = 1;

б ) / ( ...— ) = — , д ( 2 х + 1) = —. С м е н о м —— г = и 2а : + 1 = ? д о б и ја с е х = — и х — 1 2 2 1 р 1

г = п а је Ј ( р ) = ^ и д ( Ч ) = О д а т л е је ( Ј ° д ) ( х ) = (5 ° / ) (* ) =

о: + 2


8(о : - 1) '

129. И м а д е в е т ч е т в о р о ц и ф р е н и х б р о ј е в а к о ји с е з а п и с у ју је д н о м ц и ф р о м . И с п и т а јм о

с а д а к о л и к о и м а ч е т в о р о ц и ф р е н и х б р о је в а к о ји с е з а п и с у ју п о м о ћ у д в е ц и ф р е . Н р в а

ц и ф р а у т а к в о м б р о ј у м о ж е б и т и је д н а о д ц и ф а р а 1, 2, 3, . . . ,9. О д п р е о с т а л и х д е в е т

ц и ф а р а т р е б а и з а б р а т и је д н у и у п и с а т и је је д н о м , д в а и л и т р и п у т а . Т о с е м о ж е у р а д и т и

н а с е д а м н а ч и н а . Д а к л е , т р а ж е н и х б р о ј е в а и м а 9 + 9 •9 •7 = 576.

130. С е д м о ц и ф р е н и х б р о је в а и м а 9 •10®. Н о л о в и н а о д њ и х и м а п а р а н , а п о л о в и н а

н е п а р а н з б и р ц и ф а р а . Д а к л е , с е д м о ц и ф р е н и х б р о је в а ч и ји је з б и р ц и ф а р а п а р а н и м а

- •9 - 10® = 45 •105.2

131. а ) А к о је б р о ј у л и ц а у н а с е љ у је д н а к п , о н д а и з у с л о в а д а с е с в а к е д в е у л и ц е с е к у

. п ( п —1) . _д о б и Ј а м о ----------- = 21, о д а к л е с л е д и д а Ј е п = 7.

б ) Н р е т п о с т а в и м о д а с е у л и ц е у н а с е љ у и з г р а ђ у ју је д н а з а д р у г о м . И з г р а д њ о м с в а к е

н о в е у л и ц е (п о с л е п р в е ) б р о ј с т а м б е н и х ч е т в р т и , с а с в и х с т р а н а о г р а н и ч е н и х у л и ц а м а ,

п о в е ћ а в а с е з а б р о ј к о ји ј е з а је д а н м а њ и о д б р о ја н о в о д о б и је н и х р а с к р с н и ц а . З а т о је

т р а ж е н и б р о ј 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

132. А к о с е т р и п у т а п о ја в љ у је н у л а , о н а је н а м е с т у је д и н и ц а , д е с е т и ц а и л и с т о т и н а .

Н а м е с т у х и љ а д а м о ж е б и т и б и л о к о ја о д ц и ф а р а 1, 2 , . . . ,9, п а т а к в и х б р о је в а и м а 9.

А к о с е т р и п у т а п о ја в љ у је ц и ф р а к , к ф 0 о н д а ч е т в р т а ц и ф р а м о ж е б и т и н у л а ( а к о је н ап р в о м м е с т у д о б и ја ј у с е т р о ц и ф р е н и б р о је в и ) и л и ц и ф р а I, I ф 0, I ф к . Б р о ј с в и х т а к в и х




б р о је в а ј е 9 •9 •4 = 324, је р ч е т в р т а ц и ф р а (р а з л и ч и т а о д п р е т х о д н и х ) м о ж е с т а ја т и н а

н е к о м о д ч е т и р и м е с т а . П р е м а т о м е с а н а в е д е н и м с в о јс т в о м и м а 324 + 9 = 333 б р о ја .

Г л а в а II —Р е а л н и б р о ј е в и

133. а ) 180 = 22 •З 2 •5, 2100 = 2 •3 •52 •7, п а ј е Н З Д (180, 2100) = 60, Н З С (180, 2100) = 6300.

б ) 23 и 276; в ) 154 и 355740; г ) 1 и 128700.

134. а ) 90 ; б ) Н З С (24 ,18) = 72; в ) Н З Д (360,504) = 72.

135. 5880 = 23 •3 •5 •72. Н а јм а њ и т р а ж е н и б р о је в и с у : а ) 2 •3 •5 = 30; б ) З 2 •52 •7 = 1575.

136. К а к о је ш 3 - т = (ш - 1 ) т ( т + 1), а п р о и з в о д т р и у з а с т о п н а ц е л а б р о ј а ј е д е љ и в и

с а 2 и с а 3, т о ј е и т 3 —т д е љ и в о с а 6 .

137. У п у т с т в о : т 5 - т = т ( т 4 - 1) = т ( т 2 + 1) ( т - 1) (т + 1).

138. а ) 2п 3 —З п 2 + п = п (2п 2 — 2 п — п + 1) = п ( п — 1)(2п — 1). О д б р о је в а п , п — 1 ј е д а н је

д е љ и в с а 2. А к о б р о је в и п и п - 1 н и с у д е љ и в и с а 3, о н д а је б р о ј п + 1 д е љ и в с а 3, п а је

и б р о ј 2п —1 = 2 ( п + 1) - 3 д е љ и в с а 3. б ) п 3 + З п 2 + 5п + 3 = п ( п + 1)(п + 2) + 3(п + 1).

139. а ) 1; б ) б и л о к о ји п р о с т б р о ј ; в ) б и л о к о ј и к в а д р а т п р о с т о г б р о ј а .

140. У п у т с т в о : Б р о ј 1995 је д е љ и в с а т р и , а н и је д е љ и в с а 9 .

141. П р и м е т и м о д а је 71 = 7 ,72 = 49,73 = 343,74 = 2401, п о с л е д њ а ц и ф р а б р о ј а 75 је 7,

б р о ја 76 је 9, б р о ја 77 ј е 3, 78 је 1 и т д . В и д и м о д а с е п о с л е д њ а ц и ф р а б р о ја 7 ",п е Nп е р и о д и ч н о , с а п е р и о д о м 4, п о н а в љ а .

а ) К а к о ј е б р о ј 77 о б л и к а 4Д : + 1, т о је п о с л е д њ а ц и ф р а б р о ја 777 - ц и ф р а 7. И с т о м ц и ф р о мс е м о р а з а в р ш а в а т и и б р о ј 7777; б ) 7.

142. П о с л е д њ а ц и ф р а б р о ј а 9" је 1 , а к о је п п а р а н п р и р о д а н б р о ј, а п о с л е д њ а ц и ф р а

б р о ј а 4т је 4, а к о је т н е п а р а н п р и р о д а н б р о ј . З б о г о в о г а с е б р о ј 944 + 499 з а в р ш а в ац и ф р о м 5.

144. а ) Н е к а је п т р а ж е н и б р о ј. Н е п о с р е д н о с е у с т а н о в љ а в а д а је б р о ј п + 1 д е љ и в с а 2и с а 3 и с а 4 и с а 5 и с а 6 , а п о ш т о је N 2 5 ( 2 , 3 , 4,5,6) = 60, т о ј е п + 1 = 60 и п = 59; б )238.

145. П р е д с т а в и м о је д а н т а к а в б р о ј у о б л и к у х у г . Т а д а је х + у + г = 14, а п о ш т о с у

х , у , г ц и ф р е , м о ж е б и т и —7 < х — у + г < 18, о д н о с н о х — у + г = 11 и л и х — у + г = 0.

У п р в о м с л у ч а ју б и б и л о 2 ( х + г ) = 25, ш т о је н е м о г у ћ е , а у д р у г о м с е д о б и ја у = 7 и

х + г = 7. С в и т р а ж е н и б р о је в и с у : 176, 275, 374, 473, 572, 671 и 770 и и м а и х с е д а м .

147. п € { - 1 1 , - 1 , 1 , 7 } .

148. а ) - 61; б ) 2^; в ) р г ) 1 3 6 ^ .

, . а „ . 1 3 30 1 4 40149. и о ш т о Ј е - = — = и - = — = — , м о г у с е у з е т и , н а п р и м е р , б р о је в и :

_32_ 33 3912 0’ 1Г 0’ 120’ - " ’ Т Г 0 ', _ „ 7 4 5 6 7 8

9 5 6 7 8 9. . . , 58 29 23 , 345 69, 2071151. а ) -----= — •б ) — ; в ) ---------= ------- : г ) ----------.

' 100 50 10 100 20 ’ ' 1000

152. 1 = 1 ,000. . . ; - | = -0 ,1 66 6. . . ; ј = 0 ,5000. .. ; | = 0 ,111. . . ; ј = 0,142857142857...

15'3. а ) Н е к а је х = 0, 2(3). Т а д а ј е 10* = 2, (3), п а ј е 10х - х = 2, 1, х = — = — = — •0 ,40 9 90 30’1 ч149 ч , . лк с

б > о ; в ) г ) е к а Ј е = °> (45)- Т а д а ј е 1001 = 45>(45)> п а је 99* = 45 и х = — = — ;. 2209_ 1559 29090 , 1 9911

990 ’ ^ 9900'’ 999 ’ 7'



154. П р е т п о с т а в и м о д а је 6 Ф Л . Т а д а б и б и л о а — с = у / 2(б , — 6), п а ј е \/2 = _ ^ € С },

ш т о је н е т а ч н о . Д а к л е 6 = Л . И з д а т е је д н а к о с т и с а д а н е п о с р е д н о с л е д и д а ј е и а = с .

155. а = ------+ 1) = ^/5 + 1. П о ш т о ј е 2 < \/5 < 3, т о ј е 3 < а < 4.

\/5 -1 \/5 + 1 4156. а ) П р е т п о с т а в и м о с у п р о т н о , д а п о с т о ји р а ц и о н а л а н б р о ј т а к а в д а је ( ~ ) 2 = 2 и д а

С У Р и Ч у з а ја м н о п р о с т и п р и р о д н и б р о је в и . Т а д а је р 2 = 2<Д п а ј е р 2 н а р а н б р о ј , о д а к л е

п р о и з и л а з и и д а ј е р п а р а н б р о ј , р = 2к , к € N. С а д а и з р 2 = 2д 2 с л е д и д 2 = 2к 2 , з н а ч и

д а је и н а р а н б р о ј , п а р и </ н и с у у з а ја м н о п р о с т и . г ) Н е к а ј е \/2 + \/3 = г € С }. Т а д а. 2_ Ј

ј е \/3 = г - \/2, п а ј е 3 = т 2 - 2г \/2 + 2, т ј. 2г\/2 = г 2 - 1, о д н о с н о \/2 = ■ — — € С Ј , ш т о ј е

н е м о г у ћ е ; ђ ) (1 + \/2) 2 = 3 + 2у /2 . П р е т п о с т а в и м о с у п р о т н о , д а је 3 + 2\/2 = г € С Ј . Т а д аг — 3

б и б и л о \/2 = —-— € С }, ш т о је н е т а ч н о .

157. а ) а + 6 м о ж е б и т и р а ц и о н а л а н , н а п р и м е р у /2 + (2 — у /2 ) = 2 и л и и р а ц и о н а л а н , н а

п р и м е р \/2 + \/3 $ ф . б ) Б р о ј а + г ј е и р а ц и о н а л а н , је р б и у п р о т и в н о м б и л о а + г = г 2 € С Ј ,п а ј е а = г 2 - г € С }. в ) И р а ц и о н а л а н . г ) Р а ц и о н а л а н и л и и р а ц и о н а л а н . д ) Р а ц и о н а л а н

и л и и р а ц и о н а л а н . ђ ) З а г ф 0 и р а ц и о н а л а н , з а г = 0 а ■ 0 = 0 € <3- е ) И р а ц и о н а л а н .

ж )И р а ц и о н а л а н .

158. У п у т с т в о : а — 6 = ( у / а + л /к )(у / а — \/б ).

160. а ) К а к о је 6 = 4а - а 2 - 3 + \/3(4 - 2а ) м о р а б и т и 4 - 2а = 0, т ј. = 2. Т а д а је 6 = 1;

11 к 3) а = - т , 6 = - .

161. а ) ( З а + \/2)(а + \/2) = З а 2 + 2 + 4а \/2. К а к о је а ф 0, б р о ј 4а у /2 је и р а ц и о н а л а н , а

з б и р р а ц и о н а л н о г б р о ја З а 2 + 2 и и р а ц и о н а л н о г је и р а ц и о н а л а н .

162. О г р а н и ч е н и с у с к у п о в и В и С . Ј е д н а м а јо р а н т а с к у п а В ј е 6 = 1000, а с к у п а С б р о ј

с = 0 .

163. з и р х = в и р М 4 = 1, а и р М 5 = - , з и р М 6 = 1, з и р М 7 = 0. С к у п о в и М 2 и М 3 н и с у

о г р а н и ч е н и о д о з г о и н е м а ју с у п р е м у м .

164., х + |х| ( х , х > 0 х - И _ Г ° , х > 0 Г 1> 1 > 0

2 ~ \ 0 , х < 0 ’ 2 \ х , х < 0 ’ х \ - 1 , х < 0 '

165. а ) - 1 < х < 1; б ) - 3 < х < — и л и ^ < х < 3; в ) —о о < х < —2, и л и 2 < х < +о о ; г )

1 < х < 3.5 3

166. а ) |х — 3| = 5 < ^ х — 3 = —5 У х —3 = 5 < ^ х = —2 У х = 8 ; б ) х = —- V х = - ; в )

х = ^ V х = 1; г ) 6 + 2 х = 8 V 6 + 2 х = —8 <=> х = 1 V х = —7; д ) —8 < 6 + 2 х < 8 <=> —14 <

2х < 2 О - 7 < х < 1; ђ ) 6 + 2х > 8 V 6 + 2 х < - 8 О х ^ 1 V х < - 7 ; е ) - 2 < х < 8 ; ж )

х < - 1 V х > 2; з ) 1 < х < и ) х < - | V х > ј ) - 2 < |х| - 1 < 2, т ј . - 1 < |х| < 3,

|х | < 3 , - 3 < х < 3 ; к ) х < —4 V —2 < х < 1 V х > 3 .

167. а ) Н е к а је х > у . Т а д а је \ х - у \ = х - у , п а је -(|х - у \ + х + ) = - ( х - у + х + у ) = х .

С л и ч н о с е д о б и ја и у с л у ч а ју х < у . '

168. а ) 1° А к о с у а и 6 п о з и т и в н и б р о ј е в и , о н д а е ||= а , |6|= 6 и |а •6|= а •6. О д а в д е

је : |а •6|= а •6 = ||•|6| => |а6|= |||6|.

2° А к о с у а и 6 н е г а т и в н и б р о ј е в и о н д а је || = —а , |6|= —6 и |а •6|= а •6, је р је п р о и з в о д

н е г а т и в н и х б р о је в а п о з и т и в а н б р о ј . С а д а је : |а •6|= а •6 = ( - а ) •( - 6) = ||•|6|.

3° А к о је а > 0 и 6 < 0, о н д а ј е || = а , |6|= - 6 и |а •6|= -а б , је р је п р о и з в о д п о з и т и в н о ги н е г а т и в н о г б р о ј а н е г а т и в а н б р о ј . С а д а је : |а •6|= - а б = а | - 6|= |||6|.

Г л а в а II - Р е а л н и б р о је в и 151



4° А к о је а < 0 , 6 > 0 , о н д а ј е |а •6|= |ба | = |6||| = ||||.

5° А к о је б а р је д а н о д б р о је в а а , 6 је д н а к н у л и , о н д а ј е њ и х о в п р о и з в о д н у л а , а ј е е в а

и д е с н а с т р а н а је д н а к а н у л и .

б ) П р и м е н о м д о к а з а п о д а ) и м а м о |6|•|-| = 1, је р је 6 •- = 1. А к а к о је | | = д а љ е јео о 6 |6|

.а

. . 1 . 1 ||1 |-|“ ' ђ I - 1“ 1' јб [ = ]б ['

169. а ) |2 •(-7)| = |- 14| = 14; |2| = 2, |- 7| = 7, п а је |2|| - 7| = 2 •7 = 14 = |2 •(—7)|; б )

1_2_. _ |_ 2 , _ 2. 121 _ 2 . |2| _ 2 _ , 2

—7 ' 7 7 ’ |—7| 7 ’ п а Ј е |— 7| 7 —7 1'

170. а ) 2,65; б ) 0,68; в ) 5,36; г ) 8,16; д ) 29,17.

171. а ) 2,7; 2,72; 2,716; 2,7158; 2,71582; б ) 2,6; 2,65; 2,646; 2,6458; 2,64576.

172. 3,48; 3,481; 3,4806; 3,48056; 3,480562; 3,4805616.

173. а ) Д ( х ' ) = 0,01 , б ( х ' ) = 0,04166.

174. Д ( х ' ) = 10, А ( у ' ) = 10 , б ( х ' ) = = 0,0002857, б ( у ' ) = ^ = 0,0001388.

175. Р е л а т и в н а г р е ш к а п р в о г м е р е њ а ј е б ( х ' ) = = 0,0085, а д р у г о г б ( у ' ) = =. 2,34 1,23 ,

0,0081, п а Ј е д р у г о м е р е њ е т а ч н и је .

176. а ) 6,40 ±0 ,03 ; б ) 8 ,53 ±0,05 ; в ) 9,69 ±0,06 ; г ) -9 ,32 ±0,05 ; д ) -8 ,71 ±0, 1 ; ђ )

3,11 ±0,05 .

177. а ) П р и б л и ж н а в р е д н о с т ј е 25,23, а г р е ш к а је м а њ а о д 0 ,2 .

б ) П р и б л и ж н а в р е д н о с т је 64,45, а г р е ш к а је м а њ а о д 0,03.

в ) П р и б л и ж н а в р е д н о с т ј е 2,07, а г р е ш к а је м а њ а о д 0,02.

178. М о ж е с е у з е т и д а је с = 7,375 ± 0,075, п а ј е Д (х ') = Д (а ') + Д (6') + Д ^с7) = 0,05 +

0,1 + 0,075 < 0,5 и к а к о ј е 13,5 —5,8 + 7,375 = 15,075, т о је х = 15,075 ± 0,5.

179. х = 7,0, Д ( х ' ) < 0,05 = ^ •0,1.

180. К а к о ј е 2,3 < а < 2,5 и 3,6 < 6 < 3 ,8 , т о ј е 5,9 < а + 6 < 6 ,3, а к а к о је О = 2 (а + 6),11 8 12 6

т о ј е 11,8 < О < 12,6. П р и б л и ж н а в р е д н о с т з а о б и м је — -— ----- — = 12,2, а г р а н и ц а

12 6 — 11 8а п с о л у т н е г р е ш к е — '■— - ----— = 0,4. С л и ч н о д о б и ја м о з а Р = а •6 : 8,28 < а •6 < 9,50.

П р и б л и ж н а в р е д н о с т з а п о в р ш и н у ј е 8,89, а г р а н и ц а а п с о л у т н е г р е ш к е је 0,61.

181. К а к о је 5,7 < а < 5 ,9 и 2,3 < 6 < 2 ,5 , т о ј е < ^ < т ј . 2 ,28 < ^ < 2,57. А к о2,5 6 2,3 6

. о>Ј е - « 2,425, о н д а г р е ш к а н и је в е ћ а о д 0,145.

182. О з н а ч и м о с а д ( а ) и 0 ( а ) н а ј м а њ у , о д н о с н о н а ј в е ћ у в р е д н о с т в е л и ч и н е а . М о ж е с е

ф о р м и р а т и т а б л и ц а :


9 О

X 3,20 3,26

У 1,77 1,78

3 5,31 5,34

х + 3 8,51 8,60

х - у 1,42 1,49

У ( х - У ) 2,5134 2,6522

и 3,2086 3,4217

З а п р и б л и ж н у в р е д н о с т з а и п р и р о д н о је у з е т и а р и т м е т и ч к у с р е д и н у б р о ј е в а д ( и ) и

0 ( и ) , т ј . 3,3152, а Д (и ') = 0,1065. У о ч и м о д а ј е , н а п р и м е р , д ( х + у ) = д ( х ) + д ( у ) ,

0 ( х - у ) = 0 ( х ) - д ( у ) ж с п .



183. Тачна вредност аргумента је х = л/2, приближна х ' = 1,41. Тачна вредностфункције је у(\/2) = (ч/2)3, а приближна вредност функције у ( х ' ) = 1,413. Апсолутна

грешка аргумента је у/2 — 1,41, а функције %/Г3 — 1,413. Граница апсолутне грешке

за аргумент је 0,0043 < - • 10~2, а за функцију 2\/2 —1,413 = 2,828427... - 2,803221 =

0,025206 < ^ •10-1 .

184. а) Ако је р прост број различит од 3, онда је р облика Зк ± \ , к € N. Тада је8р2 + 1 = 8{3к ± I)2 + 1 = 72к 2 ± 48 к + 9 - број дељив са 3, па је једино могуће да је р = 3.Тада је 8р2 + 1 = 73 - такође прост број. б) р = 3.

186. а) Како је р2 — 1 = (р - 1)(р + 1) и р прост број већи од 3, то су бројеви р - 1 и р + 1 два узастопна парна броја и један од њих је дељив са 4, па је призвод (р —1)(р + 1)дељив са 8 . Од бројева р — 1 , р + 1 један је дељив са 3 јер су р — 1 ,р , р + 1 три узастопнаприродна броја, а р није дељиво са 3. Дакле, производ (р —1)(р + 1) је дељив са 3, па иса 24. б) р2 - д2 = р2 - 1 - (д2 - 1). Применити резултат а).

187. а) Број п 2 + п + 1 = п ( п + 1) + 1 је непаран, па не може бити дељив парним бројем

1994.б) Ако је п облика Зк или Зк — 1, к € N 1 онда је п ( п + 1) дељиво бројем 3, а бројп 2 + п + 2 = п (п + 1) + 2 није дељив са 3, па ни са 1995. Ако је п = ЗА + 1, онда јег ? + п + 2 = (Зк + 1)(3& + 2) + 2 = 3т + 1, т € ^ па ни тада број није дељив са 3, дакле,ни са 1995.

188. а) Од бројева п ,п + 2,п + 4 тачно један је дељив са 3,па, како 2” није дељиво са3,то ни број а није дељив са 3, па ниса 1995, јер је 1995 дељиво са 3.

189. а) Нека је а цео број. Тада је а = 3&, а = 3&+1 или а = З к + 2 , к € 2. У првом случају је а2 = 9к2 , у другом а2 = (ЗАг+1)2 = 3(Зк2 + 2 к ) + 1 , а у трећем а2 = (3&+2)2 = 3(Зк2 + 4 к + 1 ) .

Дакле, ни у једном случају а2 не даје остатак 2 при дељењу са 3.б) ог2 = 20 + Зу = 3(у + 6 ) + 2 . Ово је немогуће, на основу а).

190. Упутство - погледати решење претходног задатка.19 1. а) Једначина је еквивалентна једначини 2 (х + у ) = х у , односно (х - 2 )( у — 2) =4. Пошто се број 4 може написати као производ целих бројева само на следећеначине: 1- 4, 2- 2, 4- 1 , (-1) • (-4), (-2) • (-2) и (-4) • (-1 ) решења су: ( х , у ) €{(3,6),(4,4),(6,3),(1,-2),(-2,1)}.б) Једначина се може написати у облику (х — 3)(у +1) = 11 . Решења су: ( х , у) €{(14,0), (4,10), (2,-12), ( - 8 ,-2)}.в) Једначина се може написати у облику (х — 5)(у —5) = 25. Решења су: (х,у) €{(30,6), (10,10), (6,30), (-20,4), (0, 0), (4, -20)}.г) Пошто је х2 + 2ху —Зу 2 = (х —у)(х + Зу), решења су (х, у) € {1,0), (—1,0)}.

192. а) Збир два ненегативна цела броја једнак је 2 ако и само ако су ти бројеви једнаки

1 и 1 или 2 и 0 . Пошто су х2 и у 2 потпуни квадрати, долази у обзир само први случај,па су решења: ( х , у ) € {(- 1, - 1), (1, 1), ( - 1, 1), (1, - 1)}.б) Једначина се може написати у облику (х — 2)2 + (у + I)2 = 1. Решења су ( х , у ) €{(2,0),(2,-2),(1,-1),(3,-1)}.

в) Једначина се може написати у облику х 2 + (х + у ) 2 + у 2 = 2. Решења су: (^,у) €{(0, 1), (0 , - 1), (1, 0), ( - 1, 0), (1, - 1), ( - 1, 1)}.г) Једначина је еквивалентна једначини ( х + у ) 2 + ( у + г )2 + (г + х ) 2 = 12 . Решења су

(*,!,,*) 6 {(1, 1, 1),( —1, —1, —1)}.

I/ • Р2РЗ ••'Рп + Р\РЗ ••'Р п + ------1- Р 1 Р 2 ••'Рп-1 , . . .193. Како је а = -------------- — ---------------------------------види се да број а није цео, јер

Р 1 Р 2 ■■■Рпбројилац броја а није дељив са р 1 (први сабирак у том бројиоцу није дељив са р\, а свиостали јесу).

194. а) Нека је а, 6 € СЈ, а < 6. Тада је а < — ј — < &и ^

Г л а в а II - Р е а л н и б р о је в и 153




б) Претпоставимо да је а, \> 6 Сј и а < \> и да између а и 1 постоји само коначан бројрационалних бројева: а < ој < а2 < •••< а„ < \>. То је немогуће, јер на основу а) измеђурационалних бројева а и ах мора постојати рационалан број итд.

С л . уз зад. 194

195. Претпоставимо да такав троугао постоји (в. _сл.). Тада су а, 6, с, с?, е и / цели

а\> + сА + еЈ ”2>бројеви. Површина троугла је а Ј - з2/ 3. Међутим за страницу з троугла

1 1 , 1 ■ р ; 2(2а Ј - а\> - с А - е ј ) ..важи з* = аг + 6 , па Ј е \/3 = —— 2(а2 + \>2)---- ШТ° Ј<3 немогУ"е-

196. Ако заменимо број 1 + л /з у једначини добијамо (4а + 6 + 42) + (2а + 6 + 18)\/3 = 0 памора бити 4а + 6 + 42 = 0 и 2а + 6 + 18 = 0, јер је л/З ирационалан број. Из овог система

једначина налазимо да мора бити а = —12,6 = 6 .

197. а) Претпоставимо супротно, да је \/2+\/Т 7— \/19 = г 6 С ј. Тада је у /2+\/17 = г+\/19.

После квадрирања добијамо 2\/34 = г2 + 2г\/19, одакле, после још једног квадрирања,

у — 136 - г 4 - 76г2 _ . - - / 7 7 7 « •имамо \/19 = ----------------- 6 Ч, што је нетачно јер је V 19 ирационалан број.

\Д -\Д \Д -\Д \Л б О -\/99 г— г г „198. а =

-

-----— + + ■ ■■ + = л/100 - \ П = 9.2 - 1 3 - 2 100-99

199. Дата једначина еквивалентна је једначини 4 ( х + у ) 2 + ( х — I)2 + (у + I)2 = 0, па сенепосредно закључује да је ( х , у ) = (1, —1) њено једино решење.

Г л а в а III - П р о п о р ц и о н а л н о с т

» ,, а 4 с 4,,2 0 0 . 1° а : 6 = с : <* < » - . - = -■- О а : с =6 : <*;

о а а а

У свакој пропорцији могу мењати места:

а) унутрашњи чланови,б) спољашњи чланови,в) спољашњи и унутрашњи,г) спољашњи са унутрашњим и унутрашњи са спољашњим.

3° а :\> = с : 4 т ’ т ^ ак •. \>к = с •. 4\о к

5° (а + \>) : (с + <Ј) = а : с (а + \>) : а= (с + <1) : с

•» 1 + - = 1 + - •» \> : а = 4 : с •» а:\> = с : 4.а с

201. 1° Следи из 5° и 6° из претходног задатка.



2° И з т = § = к с л е д и а = к к и с = к Ј \ М н о ж е њ е м п р в е о д т и х р е л а ц и ј а с а х , а д р у г е с а

\ •у и с а б и р а њ е м д о б и ја м о а х + с у = к ( к х + Ј у ) , т ј.

а х + с у _ _ а

к х + Ј у 6

7 5202 . а ) х = 6; б ) х = в ) х =

203. а ) П р и м е н о м р е л а ц и је (а + 6) : (с + 4 ) = а : с и м а м о ( х + у ) : (2 + 3)= :

х + у = 10, т о је 10 : 5 = 2 => :г = 4, у = 6 ;

б ) * = 15,у = 9; в ) * = г ) * = 21,у = 20.

204. а ) Д а т е р е л а ц и је с е м о г у д о в е с т и н а о б л и к

а _ 9 6 _ 12 с _ 1 0

6 “ 12’ с ~ 10’ 4 ~ 15’

п а ј е а : 6 : с : 4 = 9 : 12 : 10 : 15. б ) 12 : 18 : 21 : 77; в ) 18 : 24 :20 : 21; )32:132

205. а ) Р е л а ц и ја (а - х ) : ( х - 6) = а : 6 е к в и в а л е н т н а ј е с а

I I2а 6 2 ^ а 6

х = — — = т:-г , о д н о с н о - = —— .а + о _ _ 1_ „

а 6

ч . . Д а ^ •б ) А к о ј е у г е о м е т р и јс к а с р е д и н а а р и т м е т и ч к е с р е д и н е А = — -— и х а р м о н и Ј С к е с р е д и н е

Д = 2а ^ б р о ј е в а а и 6, о н д а је у 2 = А •Н = а б , т ј. у је г е о м е т р и јс к а с р е д и н а б р о ј е в а а а + 6

206. а ! : 61 = а 2 : 62 = а з : 63 = “4 ' &4 = к . К а к о ј е : а г = к к ^, а 2 = к />2, 3 = к />з , а 4 = ^64

с а б и р а њ е м д о б и ја м о а ^ + а г + а з + а 4 = ^(61 + 62 + 63 + 64) о д а к л е је (а ^ + а 2 + а з + а 4) :

(6ј + 62 + 63 + 64) = к = а 1 : 6ј = а ^ : 62 = а з : 63 = а 4 : 64.

207. а ) И з 1 : 250000 = 2 : х д о б и је м о д а ј е х = 500000с т = 5к т п .

б ) И з 2 : 80000 = х : 250000 и м а м о д а ј е х = 6,25с т п .

208. У о в о м з а д а т к у в е л и ч и н е - б р о ј б о ц а и њ и х о в а з а п р е м и н а с у о б р н у т о п р о п о р ц и о н -

а л н е , п а је с м е р с т р е л и ц а у т а б е л и с у п р о т а н :

100 боса * 0.751 |

х боса I 0.81 Т

Д о б и ја м о п р о п о р ц и ју х : 160 = 0,75 : 0, 8, о д а к л е је х = 150 б о ц а .

209. У о в о м з а д а т к у р а д и с е о д и р е к т н о с р а з м е р н и м в е л и ч и н а м а . Ш е м у з а р е ш а в а њ е

п р а в и м о у с л е д е ћ е м о б л и к у :

■ 10к§ А 18ш

Г л а в а III - П р о п о р ц и о н а л н о с т 155

1 18ш 1

35к§ Т х Т "

. . 18-35Р е д о с л е д ч л а н о в а п р о п о р ц и је о д р е ђ е н ј е с м е р о м с т р е л и ц а : х : 18 —35 : 10, т ј. х — — ,

п а ј е х = 63т .

210. П о с м а т р а ј м о т а б л и ц у :

3640 ћа

1820 ћа1 х

* 4 1гак1ога 1 35 с1апа 1

Т 14ћ 13 1гак1ога Т 25 с1апа Т







(С м е р о в и с т р е л и ц а с е о д р е ђ у ју у в е к у п о р е ђ е њ у с а т р а ж е н о м в е л и ч и н о м . С т р е л и ц а м а

у и с т о м с м е р у о з н а ч а в а ју с е д и р е к т н о , а у с у п р о т н о м с м е р у - о б р н у т о п р о п о р ц и о н а л н е

в е л и ч и н е .) Р е з у л т а т с е д о б и ја и з п р о п о р ц и је х : 14 = (3 •25 •3640) : (4 •35 •1820), о д а к л е

јех

= 15/г.211. П о с м а т р а ј м о т а б л и ц у :

' 3600 I

14Л 3 т р а к т о р а 25 д а н а 1820Л а

1 | 16гасЈпЈка | 15 с!апа 1

Т7ћ Т24 гас!тка Т12 с!апа т

1 6ш I 20сш 1 13сш *

Т х Т 21 сш Т 16сш Т

О д а в д е је х : 7 = (24 •12 •3600) : (16 •15 •3780>), п а је х = 8Л .

212. И з т а б л и ц е :

260сПпага

280сНпага

д о б и ј а м о х : 6 = (20 •13 •280) : (260 •21 •16), о д а к л е је х = 5т .

213. 15.600 к и ф л и . 214. Д в а д е с е т м и ш е в а . 215. Ч е т и р и .216. П р е о с т а л и х 24 р а д н и к а ћ е з а х д а н а з а в р ш и т и п о с а о , к о ји б и 33 р а д н и к а р а д и л а

80 — 16 = 64 д а н а . Д а к л е , и м а м о т а б л и ц у

1 33-9 I х

I 33 Т 80-16

И з х : 64 = З ^ : 24 је х = 88 д а н а . З н а ч и д а ћ е п о с а о б и т и з а в р ш е н з а 16 + 88 = 104 д а н а .

217. П о с м а т р а јм о т а б л и ц у

4 1гак1ога 1 (36-12)ћ

Г(4-1)1гак1ога Тх

Б и ћ е х : (36 —12) = 4 : (4 —1), т ј. х = 4 •24, п а ј е х = 32Л .

218. 17 -Л . 219. 30 д а н а . 220. х = 56к д . 221. х = 9 д а н а .

222. Ј е д н а п л о ч и ц а д и м е н з и ј е 15с ш х 15с т и м а п о в р ш и н у 2 25с т 2, а п л о ч и ц а д и м е н з и ј е

10с т х 20 с т и м а п о в р ш и н у 200с т 2. П р е м а т о м е о в о је б р н у т а р о п о р ц и о н а л н о с т , п а је

х : 600 = 225 : 200, о д а к л е ј е х = 675 п л о ч и ц а .

223. х = 10/. 224. х = 3 д а н а . 225. 192 з и д а р а .

226. 8 м и н у т а и 20 с е к у н д и . 227. 50к д .

228. 30 р а д н и к а . 229. П о т р е б н о ј е јо ш 10 р а д н и к а .

60 бо з 5

231' а ) Г = 7 + 3 ' 7 = 42, У = 7 + 3 ' 3 = 18; б ) Г = 38,У =5?; В ) Г = 2 + 5 ' 5 = 25-35

у = --------- 2 = 10.9 2 + 5

232. П р в и н а ч и н .

3840 1 „ 3840 1

Л р у г и н а ч и н .

г = -ј----- ј- •- = 2048, у = -ј----- ј- •- = 1792.

7 + 8 7 + 8

3840 3840 „ „х =-

------- 8 = 2048, у =-

------- 7 = 1792.7 + 8 7 + 8



233. а ) х = — ^ ---------7 = 42, у = — — ------ 4 = 24, г = — — ---------1 = 6;7 + 4 + 1 ' * 7 + 4 + 1 ’ 7 + 4 + 1 ’

86 5 86 3 86 „) х ~ 5 3 ' 6 " ’ У ~ 5 3 ' 4 " 18’ г ~ 5 3 ' 2 - 48.

6 + 4 + 2 6 + 4 + 2 6 + 4 + 2

234. х = 1887, 50 д и н , у = 1510 д и н , г = 1132,50 д и н .

235. Д е т е р џ е н т = —— --------32 = 288 д и н а р а ; ш е ћ е р = 207 д и н а р а ; б р а ш н о = 405 д и н а р а .32 + 23 + 45

21452236. П р в и р а д н и к = --------------------------------------------- 12000 = 5986,60 д и н а р а , д р у г и р а д н и к =

г г 12000 + 11500 + 10500 + 9000 ’5737,16 д и н а р а , т р е ћ и р а д н и к = 5238,28 д и н а р а , ч е т в р т и р а д н и к = 4489,95 д и н а р а .

237. У ч е н и ц и р е д о м д о б и ја ју 600, 800, 1000 и 1200 д и н а р а .

238. Д о б и ћ е , р е д о м , 6.400, 9.600, 12.000 и 14.000 д и н а р а .

239. А - 234 д и н а р а , В - 104 д и н а р а , С - 585 д и н а р а , I) - 312 д и н а р а .

240. П о г о н и с у д о б и л и р е д о м : 30600, 30000, 36000 и 39600 к и л о г р а м а в о ћ а .

241. 1950, 1500, 2160, 2400 и 1500.

242. П о с м а т р а јм о о п ш т и ји з а д а т а к - т р е б а п о м е ш а т и в о д у т е м п е р а т у р е а ° С и в о д у

т е м п е р а т у р е 6'С д а б и с е д о б и л а в о д а т е м п е р а т у р е с ° С (6 < с < а ) . Т р е б а у з е т и х л и т а р а

п р в е и у л и т а р а д р у г е в о д е - д о б и ћ е м о х + у м е ш а в и н е . Д а к л е , в а ж и а х + 1>у = с ( х + у ) .

О д а в д е је (а - с ) х = ( с - 1>)у , т ј . х : у = (с - 6) : (а - с ) . О в о с е м о ж е п р и к а з а т и и п о м о ћ уш е м е

х 1ос! ћ°С

Г л а в а III - П р о п о р д и о н а л н о с т 157

1 '■ У — [ с — V) : ( а - с )

х 1 о с ! ћ*С ~

П р и о в о м е , с т р е л и ц е у к а з у ју н а в е л и ч и н е к о је с е о д у з и м а ју . У к о н к р е т н о м п р и м е р у је

х : у = 5 : 10 = 1 : 2. З н а ч и , т р е б а п о м е ш а т и је д а н д е о в о д е т е м п е р а т у р е 40° С и д в а д е л ав о д е т е м п е р а т у р е 25° С .

243. К о р и с т и м о с е ш е м о м к а о у п р е т х о д н о м з а д а т к у :

х 1 о с ! 44%. 16

64%

у 1о с ј 80% , ^ 20

Д а к л е х : у = 16 : 20 = 4 : 5. З н а ч и , т р е б а у з е т и 4 д е л а п р в е и 5 д е л о в а д р у г е к и с е л и н е .

Н е к а је х = 44, у = 54. И з х + у = 91 = 18/ с л е д и I = 2/, п а ј е х = 8/ и у = 10/. \ , \ '

244. 3 : 2. 245 . 20/ и 30/.

246. 3/ 40-п р о ц . и 4 ,5/ 65-п р о ц . р а с т в о р а .

3247. 6 -/ в о д е . 248. а ) 1 : 2; б )205г и 40^г.

5

249. 1200*0 и 400*5. 250. 136/ и 85/.




251. Р е ш е њ е н и је је д и н с т в е н о - м о г у с е м е ш а т и к а ф е о д 16 и 25, а з а т и м 20 и 22 д и н а р а

и л и о д 16 и 22, п а з а т и м о д 20 и 25 д и н а р а . У п р в о м с л у ч а ј у д о б и ја м о :

— а 16' 4

ћ

21

с - ~~~— — 1

■<) га ^ " ^ 5

Д а к л е , к а ф е с е м о г у м е ш а т и у о д н о с у а : 6 : с : с ( = 4 : 1 : 1 : 5 .

252. Ј е д н о р е ш е њ е је : 6 к д , 2 к д , 4к д и б к д . 253. Ј е д н о р е ш е њ е ј е : 9, 1 ј; 2, 1ј; 1, 4 ј; 8, 4 ј.

254. 9 : 35. 255. 92/ в о д е . 256. 36/.

257. О = 12000,р = 7%, Р = д И н а р а100

258. Р = 16850_ 5 = 758,25 д и н а р а . 259. Р = 160,р = 2,5%, С = 16° ' Ј 00 = 6400*0.100

260. О = 7500000, Р = 450000, р ■

. 16 •100261. А л к о х о л а и м а 83 - 67 = 161. У п р о ц е н т и м а т о ј е р = — —— = 19.:

2,5

450000-100

7500000: 6%.

425000 •100

8,5

83

5000,000 д и н а р а , а к а к о је м е с е ч н и п р о м е т262. П л а н п р о м е т а је С

5750000 д и н а р а , о н д а п р е м а ш е њ е и з н о с и 750000 д и н а р а ш т о је у п р о ц е н т и м а р

750000-100 ~— — = 15%.

5000000 .263. Н е к а је п р в о б и т н а ц е н а п р в е к њ и г е а , а д р у г е 6 д и н а р а . П о с л е п о в е ћ а њ а ц е н а п р в е

. 1 3 . 1 3 3 т тк њ и г а је а + - а = - а , а п о с л е с н и ж е њ а је - •- а = - а . Л е н а д р у г е к њ и г е п о с л е с н и ж е њ а

1 1 ч 1 1 3 3 3 3

ј е 6 - -6 = -6 , а п о с л е п о в е ћ а њ а ј е -6 + -6 = -6 . И з - а - -6 = 6, т ј. - ( а - 6) = 6 с л е д ид а је а - 6 = 8 д и н а р а . - '

264. Н о в а ц е н а је з а 1% н и ж а о д с т а р е . 265. 61,44 д и н а р а .

266. З а 100%. 267. П о в р ш и н а с е с м а њ и з а 1%.

5 5 4268. И з 111(1 = </ 2*2 и 1/2 = - 1/1 н а л а з и м о д а ј е (1 = -< 2, т ј. (2 = јг <1 = 80%<1. З н а ч и д а с е

в р е м е п у т о в а њ а с м а њ у је з а 20%.

269. З а 25%.

270. К а к о с в е ж е п е ч у р к е с а д р ж е 10% с у в е м а т е р и је , т о с е у 22к д н а л а з и 2,2 к д с у в е

м а т е р и је , ш т о п р е д с т а в љ а 88% м а с е с у в и х п е ч у р к и . И з п р о п о р ц и је 2,2 : х = 88 : 100

н а л а з и м о д а с е и з 22к д с в е ж и х п е ч у р к и д о б и ја х = 2,5 к д с у в и х .

271. О з н а ч и м о .с а а ц е н у п р о и з в о д а . Т а д а је а + а — Ј о д ( а ј о о = а • О д а в д е , п о с л е

_ 100*с к р а п и в а њ а с а а н а л а з и м о у = ------ -■.

* г + 100

272. Б р о ј с а д н и ц а с е н а л а з и и з п р о п о р ц и је х : 120 = 1000 : 75 и и з н о с и х = 1600.

273. П р о в и з и ја је р а ч у н а т а о д 60000 д и н а р а и и з н о с и 300 д и н а р а .

274. 350000*0.

^ 15000'3-5275. К = 15000, ( = 3 г о д , р = 5%, I = ------— ------= 2250д н а р а .

276. К = 42800 д н , I = 8 м е с е ц , р = 4%, I = 8 = 1141,33д н .1200

277. I = 3505,50 д и н а р а .



Г л а в а IV - У в о д у г е о м е т р и ју 159

279. I = 10260 д и н , ( = 5 г о д и н а , р = 6%, ј

278. К = 100260, ( = 60 д а н а , р = 4%, I =

= 15140д и н .

= 1277500д и н а р а .

. 20 .282. И м а м о д а је = 200(1 + = 200 •2,48832 = 497,664 д и н а р а . С л и ч н о с е д о б и ја

*1о = 1238,34 и *15 = 3081,40 д и н а р а .

287. а ) Т р е б а д о к а з а т и д а п о с т о ји р а в а н а т а к в а д а с у јо ј а и { Л } п о д с к у п о в и , а з а т и м

д а ј е т а к в а р а в а н је д и н с т в е н а .

(1) Н а о с н о в у а к с и о м е 1, н а п р а в о ј а п о с т о је д в е р а з л и ч и т е т а ч к е В и С . Т а ч к е А , В , С

с у т р и н е к о л и н е а р н е т а ч к е и о н е п о а к с и о м и 3 о д р е ђ у ј у р а в а н а . П о ш т о т а ч к е В и С

п р а в е а п р и п а д а ј у р а в н и а , т о п о а к с и о м и 5 а С а . К а к о је и { Л } С а , п о с т о ја њ е р а в н и

ч и ји с у а и {ј4 } п о д с к у п о в и је д о к а з а н о .

(2) П р е т п о с т а в и м о д а р а в а н а н и је је д и н с т в е н а . Т а д а б и п о с т о ја л а р а в а н /3 т а к в а д а

а С В и {ј4} С В , п а б и п о а к с и о м и 3 м о р а л о б и т и а = јЗ .

б ) Н е к а с е п р а в е а и 6 с е к у у т а ч к и 5. Н а п р а в о ј а , п о с т о ји п о а к с и о м и 1 и т а ч к а А ф 5 .

С а д а п о с м а т р а м о п р а в у 6 и т а ч к у А и р е з о н у је м о к а о у д е л у з а д а т к а а ).

288. П р е т п о с т а в и м о с у п р о т н о д а а и 6 и м а ју д в е р а з л и ч и т е з а је д н и ч к е т а ч к е А и В .

М е ђ у т и м , о н д а б и , п о а к с и о м и 1, б и л о а = 6, ш т о је с у п р о т н о у с л о в у з а д а т к а .

289. П р е т п о с т а в и м о с у п р о т н о д а је а П 6 = {5 } . Т а д а б и б и л о 5 € а С < * и 5 € б С / ? , п а

б и б и л о 5 € а и 5 € /?, ш т о б и з н а ч и л о , п о а к с и о м и 6 , д а р а з л и ч и т е р а в н и а и /Ј и м а ју

з а је д н и ч к у п р а в у , о д н о с н о д а н и с у п а р а л е л н е .

290. П р е т п о с т а в и м о д а п р а в а р и м а с а р а в н и а д в е з а је д н и ч к е т а ч к е А и В . Т а д а п о

а к с и о м и 5 п р а в а р п р и п а д а р а в н и а , п а и Р € а , ш т о је с у п р о т н о п р е т п о с т а в ц и з а д а т к а .

291. У п у т с т в о : Д о к а з а т и д а с в е о в е п р а в е п р и п а д а ј у р а в н и о д р е ђ е н о ј т а ч к о м А и п р а в о мР ■292. У п у т с т в о : Д о к а з а т и д а а к о је а Г \ јЗ = р , т а д а р и 7 м о г у и м а т и н а јв и ш е је д н у

з а је д н и ч к у т а ч к у .

293. П о ш т о с е п р а в е т и п с е к у , о н е о д р е ђ у ј у је д н у р а в а н . С а д а јо ш т р е б а д о к а з а т и ,

п р и м е н о м а к с и о м е 5, д а п р а в е а и 6 п р и п а д а ју т о ј р а в н и .

294. А к о је а = (3, т а д а а С (3, п а ј е а||/?. А к о ј е а П /Ј = 0, т а д а з б о г а С о , в а ж и д а је

а П /Ј = 0 , п а ј е а \\јЗ .

295. У п у т с т в о : А н а л и з и р а т и с л у ч а је в е :

б ) а = ј З и а ф ј З .

296. У п у т с т в о : п р е т п о с т а в и м о с у п р о т н о д а п р а в е А \ В \ и А 2В 2 п р и п а д а ј у и с т о ј р а в н и .

297. У п у т с т в о : н а с в а к о ј о д о в и х п р а в и х и з а б р а т и п о је д н у т а ч к у , т а к о д а т е т р и т а ч к е

н е б у д у к о л и н е а р н е , и т д ...

283. а ) *3 = 6000 •(1 + ^ ) 3 = 6945,75; б ) 7986; в ) 9125,25 д и н а р а .

284. 537 д и н а р а .

285. И м а м о к $ = 1000(1 + ^ )4 = 1010, к & = 1015, к ђ = 1020,17 д и н а р а .

286. 48000 д и н а р а .

Г л а в а IV - У в о д у г е о м е т р и ју




6*5 5*4*3298. а ) ----- = 15; б ) ---------- = 10. Н а п о м е н а . У з а д а т к у с е р а д и о к о м б и н а ц и ј а м а б е з

2 3*2п о н а в љ а њ а : а ) С | = (®) = 15; б ) С | = (3) = 10. Н а с л и ч а н н а ч и н м о г у с е р е ш а в а т и и

з а д а ц и 299 - 303, к а о и 316 - 319.

299. Т р и н е к о л и н е а р н е т а ч к е о д р е ђ у ј у т р и п р а в е , а т р и к о л и н е а р н е - с а м о је д н у . Д а к л е ,

7 •6т а ч к а м а д а т о г с к у п а о д р е ђ е н о је у к у п н о — ----- 6 - 2 = 9 п р а в и х .

300. 10 ' 9 — - 6 •3 = 102. 301. = 21.3 -2 2

п(п — 1)302. И з — - = 3п н а л а з и м о п = 7.

_ т , п ( п — 1)(п —2) п ( п — 1) в . „303. И з —---------—--------- = 12 *—--------- д о б в д а м о п = 38.

3*2 2304. П о д е ф и н и ц и ј и п а р а л е л н о с т и п р а в и х с л е д и д а п р а в е а и 6 п р и п а д а ју н е к о ј р а в н и а .

Д о к а ж и м о с а д а д а је т а р а в а н је д и н с т в е н а . П о а к с и о м и 1 и з 4.1. н а п р а в о ј а п о с т о је д в е

р а з л и ч и т е т а ч к е А и В и н а п р а в о ј 6 п о с т о ји т а ч к а . Т а ч к е А , В и с у н е к о л и н е а р н е

п а (п о а к с и о м и 3 и з 4.1.) о д р е ђ у ју је д н у р а в а н /3. Р а в а н /3 с а д р ж и п р а в у а (п о а к с и о м и

5 и з 4.1.) и п р а в у 6 п о а к с и о м и п а р а л е л н о с т и п а је /3 о д р е ђ е н а п р а в и м а и 6. М е ђ у т и м

/3 с а д р ж и и т а ч к е А , В и , п а ј е /3 = а .

305. П р е т п о с т а в и м о с у п р о т н о , д а с н е с е ч е 6. П о ш т о с у т о п р а в е је д н е р а в н и , з н а ч и д а

је с||6. Н е к а је с П а = { } . С а д а п о с т о је д в е п р а в е а и с к о је с а д р ж е т а ч к у и о б е с у

п а р а л е л н е п р а в о ј 6. О в о је с у п р о т н о а к с и о м и п а р а л е л н о с т и . Д а к л е , м о р а п р а в а с с е ћ и

и п р а в у 6.

306. В и д е т и п р е т х о д н и з а д а т а к .

307. а ) А к о б и б и л о с ||а и с||6, з б о г т р а н з и т и в н о с т и р е л а ц и је ||м о р а л о б и д а б у д е и а ||6.

б ) Н е . в ) Н е .

4 ■ 3308. а ) 7; б ) 8. 309. — = 6.

310. П е т р а в н и је о д р е ђ е н о је д н о м о д п р а в и х р , ? и је д н о м о д т а ч а к а с а р у г е а в н и .

Д в е р а в н и о д р е ђ у ју о в е п р а в е с а т а ч к о м Р , а ш е с т р а в н и о д р е ђ у је т а ч к а Р с а п о ј е д н о м

т а ч к о м п р а в и х р и ј . Д а к л е , у к у п н о ј е о д р е ђ е н о 13 р а в н и .

311. Н е к а је А е а , А е с и с||6. П р а в е а и с о д р е ђ у ј у р а в а н а . З б о г с ||6 б и ћ е и 6||а .

312. П р е т п о с т а в и м о н а ј п р е д а с е п р а в е а и 6 с е к у у н е к о ј т а ч к и . Т а д а е а , а С а ,

п а и е а . С а д а д в е р а з л и ч и т е т а ч к е В и п р а в е 6 п р и п а д а ју р а в н и а , п а с л е д и д а и

6 С а , ш т о је н е м о г у ћ е . Н е м о г у ћ е је и д а б у д е 6|| , је р к р о з т а ч к у В п о с т о ји с а м о је д н а

п р а в а п а р а л е л н а п р а в о ј а и т а је у р а в н и а . Д а к л е , м о р а ју п р а в е а и 6 б и т и м и м о и л а з н е .

313. У п у т с т в о - п р е т п о с т а в и т и с у п р о т н о д а ј е 6||г.

315. А к о је а = /3, о н д а је и а = 6, д а к л е а||6. А к о је а ф /3, н д а ј е а П 6 = 0, а а к о а и 6

п р и п а д а ју р а в н и 7 , т о ј е а||6.316. А к о је а С а , т а д а ј е т г = а . А к о је а П а = 0 т а д а м о ж е м о о д р е д и т и п р а в у 6 р а в н и

а и т а ч к у А п р а в е а , а з а т и м п р а в у р т а к в у д а је р ||6 и А € р . Р а в а н о д р е ђ е н а п р а в о м а

и п р а в о м р б и ћ е т р а ж е н а р а в а н тг.

317. П р е т п о с т а в и м о , с у п р о т н о т в р ђ е њ у з а д а т к а , д а с е р а в н и а и /3 с е к у п о н е к о ј п р а в о ј г .

П о ш т о с е п р а в е р и } с е к у , н а о с н о в у а к с и о м е п а р а л е л н о с т и б а р је д н а о д њ и х м о р а с е ћ и

п р а в у г , ш т о з н а ч и д а б а р је д н а о д њ и х п р о д и р е р а в а н а , ш т о п р о т и в р е ч и п р е т п о с т а в ц и

д а је р \\а и ?||а . Д а к л е , р а в н и а и /3 с у п а р а л е л н е .

318. Р а з м а т р и м о д в а с л у ч а ј а .

( 1) Ј е д н а о д д а т и х р а в н и с е ч е д р у г е д в е - н а п р и м е р а П /3 = с , о П 7 = 6. А к о је 6||, т а д а

је п р а в а с п а р а л е л н а с а с в а к о м о д р а в н и а , ј .3 ,у . А к о је с П б = {Л }, т а д а ј е а П /З П 7 = {Л }.

(2) С в а к а о д д а т и х р а в н и ј е п а р а л е л н а с а н е к о м о д п р е о с т а л е д в е . У о в о м с л у ч а ју с у с в ет р и р а в н и п а р а л е л н е , п а је с в а к а п р а в а је д н е о д њ и х п а р а л е л н а с в и м т р и м а р а в н и м а .



Г л а в а IV - У в о д у г е о м е т р и ју 161

3 1 9 ,1 п ( п - 1 ) р ( р - 1) п (п - 1)(п - 2) т ( т - 1 ) ( т - 2)

' ’ 2 2 ’ 3 -2 3 -2320. Т а ч к е А , В и С п р и п а д а ју п р а в о ј р = а П /?.

321. С а м о с и м е т р и ч н о с т .

322. Н е к а с у а и /? р а в н и о д р е ђ е н е т а ч к о м Л и п р а в о м р , о д н о с н о ј . Н о ш т о А € а иА € Р , т о с е р а в н и о и јЈ с е к у п о н е к о ј п р а в о ј з . Н е к а је г п р а в а к о ја с а д р ж и т а ч к у Л

и н е п р и п а д а н и р а в н и а н и р а в н и /?. Н р а в а г је м и м о и л а з н а с а р , је р б и , з б о г А € г и

А € а , а к о б и р и г б и л и у и с т о ј р а в н и т а д а б и б и л о и г С а . Н а и с т и н а ч и н с е д о к а з у је

д а с у п р а в е г и ј м и м о и л а з н е .

323. Н е к а ј е А т а ч к а т а к в а д а Л ^ а и Л ^ б и н и је д н а о д р а в н и о д р е ђ е н и х т а ч к о м А и

п р а в о м а , о д н о с н о 6 н и је п а р а л е л н а о н о ј д р у г о ј п р а в о ј. Т а д а п о с т о је п р а в е а ' и 6' т а к в е

д а А € а ' , А € V , а '\\а и 6'||6. Н р а в е а ' и 6' с е с е к у , п а о д р е ђ у ј у р а в а н а . Т а д а ј е а ||а је р

ј е а||а ' и а ' С а . И с т о т а к о и 6||а.

324. У р а в н и м а а и /? п о с т о је п р а в е а , о д н о с н о 6, т а к в е д а је с\\а и с||6. З б о г

т р а н з и т и в н о с т и р е л а ц и је п а р а л е л н о с т и п р а в и х б и ћ е и а||6. С а д а је а ||/?, п а м о р а б и т и

а П р = 0. М е ђ у т и м , п р а в е а и р п р и п а д а ју р а в н и а и о н е , д а к л е , м о р а ј у б и т и п а р а л е л н е .Н о ш т о је с\\а и а |[р , т о ј е и с\\р .

325. У п у т с т в о : Н е к а је А € а и А € 61 т а к о д а је 611|6, В € 6, В € а ^ и а Ц а . Н е к а је а

р а в а н о д р е ђ е н а п р а в и м а и 6ј, а /? р а в а н о д р е ђ е н а п р а в и м 6 и а \.

326. Н р а в е а и 6 н е м о г у б и т и п а р а л е л н е , је р б и т а д а и з б о г а С тг, б и л о 6||г.

Н р е т п о с т а в и м о с а д а д а с е п р а в е а и 6 с е к у у н е к о ј т а ч к и . Т а д а је ^ В , а к а к о

€ а , т о и € п , п а б и (п о а к с и о м и 5 и з 4.1.) и п р а в а 6 п р и п а д а л а р а в н и т г, ш т о ј е у

с у п р о т н о с т и с а п р е т п о с т а в к о м з а д а т к а . Д а к л е , п р а в е а и 6 м о р а ју б и т и м и м о и л а з н е .

327. А к о је а С /?, т а д а п о с т о је д в е м о г у ћ н о с т и :

( 1) а П / ? = а , ( 2) а = / ?.

У п р в о м о д т и х с л у ч а је в а (а П /?)||а , а у д р у г о м је а \\($. А к о је а П /? = 0 , о н д а је и л и

а П /? = 0 , п а ј е а \\јЗ , и л и ј е а П /3 = а ' , (в . с л .). У о в о м д р у г о м с л у ч а ј у с в е з а је д н и ч к е

т а ч к е р а в н и а и јЗ п р и п а д а ју п р а в о ј а ' , п а п о ш т о је а П /? = 0 , т о с е п р а в е а и а ' н е с е к у .

О б е п р а в е а и а ' п р и п а д а ју је д н о ј р а в н и а , п а ј е а||а '.328. Н е к а ј е а р а в а н о д р е ђ е н а п р а в о м а и т а ч к о м С , а /3 р а в а н о д р е ђ е н а п р а в о м 6 и

т а ч к о м С . Т а д а с е р а в н и а ж ј З с е к у - н е к а је а П /3 = р . А к о је р ||а и л и р ||6 т а д а н е п о с т о ји

н и је д н а о в а к в а п р а в а , а а к о р с е ч е и а и 6 т а д а ј е т о је д и н а о в а к в а п р а в а .

329. Н е к а ј е .7 П а = а и 7 П /? = 0. Т а д а п о с т о ј е д в е р а в н и а и 7 о б е п а р а л е л н е р а в н и

/? и т а к в е д а с а д р ж е п р а в у а . Д о к а з а ћ е м о д а је о в о н е м о г у ћ е . Н е к а је А € а , 6 € /3, и

н е к а н и је 6||. Н о ш т о А $ 6 т о 6 и А о д р е ђ у ју р а в а н ж . Р а в а н т г с е ч е р а в н и а и 7 р е д о м

п о п р а в и м р и ј . О б е т е п р а в е с у п а р а л е л н е п р а в о ј 6, а р а з л и ч и т е , ш т о је н е м о г у ћ е п о

а к с и о м и п а р а л е л н о с т и .

330. У п у т с т в о . Н о с м а т р а т и н е к у р а в а н јг к о ја с а д р ж и д а т у п р а в у .

331. Н е к а је 81 з а је д н и ч к а т а ч к а д у ж и а 2 и а з , 52 з а је д н и ч к а т а ч к а д у ж и а 3 и а ^ и 53

з а је д н и ч к а т а ч к а д у ж и а \ и а 2. Т а ч к е 51, 52, 53 п р и п а д а ју је д н о ј п р а в о ј. А к о с у б а р д в ео д њ и х и с т о в е т н е , т о је з а је д н и ч к а т а ч к а с в е т р и д у ж и . У п р о т и в н о м , м о р а је д н а о д о в е




т р и т а ч к е б и т и и з м е ђ у о с т а л е д в е - н а п р и м е р : 5 ј —82 —83. К а к о 5 ј 6 а г и 5з 6 а г , т а д а

и 82 е а г , п а т а ч к а 82 п р и п а д а с в а к о ј о д д у ж и 01, 02, 03.

332. а ) 0; б ) 1; в ) 2.

333. а ) Н е к а т а ч к е ж N п р и п а д а ју А П В . Т а д а , И е А и , N Е В , п а к а к о с у

с к у п о в и А и В к о н в е к с н и и с в е т а ч к е С т а к в е д а ј е А — С —В п р и п а д а ју с к у п о в и м а А и

В , п а и њ и х о в о м п р е с е к у . Д а к л е , А П В је к о н в е к с а н с к у п .б ), в ) , г ) С к у п о в и А и В и А \ В , а н и п о д с к у п к о н в е к с н о г с к у п а н е м о р а ју б и т и к о н в е к с н и ,

ш т о с е в и д и и з п р и м е р а н а с л и ц и .д ) Н е к а с е с к у п А с а с т о ји с а м о и з је д н е т а ч к е . Т а д а је и м п л и к а ц и ја , N е А =>•

(V ) ( - С - N =» С е А ) т а ч н а , је р је з а ф N и с к а з , И е А н е т а ч а н . Д а к л е , А је

к о н в е к с а н с к у п . ^ /1

С л . у з з а д . 333 С л . у з з а д . 334

334. Н и је д н а ц р а в а н е м о ж е с е ћ и с т р а н и ц е м н о г о у г л а у н е п а р н о м б р о ју т а ч а к а (у

с у п р о т н о м - п р и к р е т а њ у п о п р а в о ј у о д р е ђ е н о м с м е р у , у ш а в ш и п о с л е д њ и п у т у н у т а р

м н о г о у г л а , н е б и с м о м о г л и н а п у с т и т и њ е г о в у у н у т р а њ о с т ). З б о г о в о г а с в а к а с т р а н и ц а

ч е т в о р о у г л а м о ж е и м а т и н а јв и ш е ч е т и р и т а ч к е п р е с е к а с а к о н т у р о м п е т о у г л а . О д а в д е

с л е д и д а у к у п а н б р о ј п р е с е ч н и х т а ч а к а н е м о ж е б и т и в е ћ и о д 4 •4 = 16. Д а м о ж е б и т и

16, в и д и с е н а с л и ц и .

335. а ) ^ •5 •(5 —3) = 5;

б ) Н а с в а к о м д е л у н е м о ж е б и т и в и ш е о д ч е т и р и с а м о п р е с е к а , је р д у ж н е м о ж е с е ћ ис е б е и д в е с у с е д н е д у ж и . М а к с и м а л а н б р о ј с а м о п р е с е к а је - •7 •(7 —3) = 14. П р и м е р д а

с е о в а ј б р о ј м о ж е д о с т и ћ и ј е с е д м о с т р а н и ч н а ” з в е з д а ” , (в . с л .).

Г л а в а V - Г е о м е т р и ја

336. а ) Ш е с т д у ж и : А В , В С , С О , А С , В О , А О . б ) С в а к у о д т р и п о с л е д њ е д у ж и м о ж е м о

н а п и с а т и к а о з б и р , а с в а к у о д п р в и х п е т д у ж и у о б л и к у р а з л и к е н е к е д в е д у ж и и з о в о г

с к у п а . в ) В С = А И — ( А В + С О ) , В С = А И —А В —С Б .

337. 8стп и 24стп. 338. и 339. 9стп.

. . 2 .340. Р а с т о ја њ е с р е д и ш т а је у о в о м с л у ч а ј у је д н а к а —д у ж и н е с в а к е о д о в и х д у ж и , п а Ј е

т а д у ж и н а З О с т .



Г л а в а V - Г е о м е т р и ја 163

342. а ) н е ; б ) д а ; в ) д а ; г ) н е . У с л у ч а ју б ) п о с т о ј и б е с к о н а ч н о м н о г о т а к в и х п а р о в а , а

у с л у ч а ју в ) с а м о је д а н п а р .

343. К а к о ј е а + (3 = 90°, а + 7 = 180°, јЗ + б = 180°, б и ћ е (и з д р у г е и т р е ћ е је д н а к о с т и )

а + јЗ + 7 + 1? = 360°, п а ј е 7 + б = 270°.

344. а је т у п , а /? о ш т а р у г а о , п а је а > (3. 345. 135° и 45°.

З Л Н З Н . „346. и — , г д е је Л -п р а в у г а о .

7 3347. Ч е т и р и о д п р е о с т а л и х у г л о в а с у - Н , а т р и - Н .

5 5

. О! в348. а ) о п р у ж е н у г а о ; б ) у г а о о д 0°. 349. К а к о ј е а + (3 = 180°, т р ј е — + — = 90°.

350. а ) - Н и - Н ; б ) — и — ; в ) - Н и - Н .' 5 5 ’ ' 1313’ ' 5 5

351. Н + - Н + Н - - Н = — .

5 3 15352. У с в и м с л у ч а је в и м а п р а в е с у п а р а л е л н е , а к о и с а м о а к о с у п о м е н у т и у г л о в и

о д г о в а р а ј у ћ и (н а п р . с а г л а с н и ), о д н о с н о н и с у п а р а л е л н е у с у п р т н о м с л у ч а ју (в . с л .).

С л . у з з а д . 352 С л . у з з а д . 354

354. У г л о в и а \ и а ^ с у је д н а к и к а о п о л о в и н е је д н а к и х у г л о в а (в . с л .), у г л о в и а 2 и а 3 с у

је д н а к и (с а г л а с н и т р а н с в е р з а л н и у г л о в и ), п а с у и у г л о в и а \ и а з је д н а к и , о д а к л е с л е д и

д а с у п р а в е р и ј - с и м е т р а л е д а т и х у г л о в а п а р а л е л н е .

355. а ) А А С Б 9! А В С Б (в . с л .) п а је < А Б С = < С И В , а к а к о с у о н и с у п л е м е н т и , о б а

с у п р а в а , п а је С Б ± А В . И з А О = Б В с л е д и д а је С Б - т е ж и ш н а д у ж .

б ) И с к о р и с т и т и п о д у д а р н о с т т р о у г л о в а А С Б и В С Б , к а о к о д а ) .

в ) Н е к а с у А Б и В С с и м е т р а л е у г л о в а <А и < В (в . с л .). Б и ћ е А А В Б 9! А А В Е је р је

А В з а је д н и ч а с т р а н и ц а , < В = <Х и < Б А В = < Е В А . Д а к л е А Б = В Е .

С С

С л . у з з а д . 355а С л . у з з а д . 355в




С л . у з з а д . 358в

356. П р и м е н и т и р е з у л т а т е п р е т х о д н о г з а д а т к а .

357. И з п о д у д а р н о с т и т р о у г л о в а А С О и В С О (в . с л .) с л е д и д а је А О = О В .

358. в ) П о д у д а р н и с у т р о у г л о в и А В Б и А С Е (в . с л .), п а је А В = А С .

359. Т р о у г л о в и А С и В С (в . с л .) с у п о д у д а р н и , п а је С = С Л .

360. Н е к а је т а ч к а д у ж и А В т а к в а д а је Е О Ц А С . Т а д а је т р о у г а о В Е И је д н а к о к р а к и ,

п а ј е Е И = Е В = А Е . С а д а д о б и ј а м о А А Е 2 А Б Е , п р и ч е м у је п р е с е ч н а т а ч к а

д у ж и А В и Е Е .

361. Т р о у г а о А В је је д н а к о к р а к и , п а је < А В = < В А . С д р у г е с т р а н е < В А =

< А (т р а н с в е р з а л н и у г л о в и ).

362. в ) Т р о у г л о в и В С С 2 и В ' С ' С ' 2 с у п о д у д а р н и , п а је < С В С з = < С ' В ' С ' 2 и п р е м а т о м е

< В = < В ' . И с т о т а к о , т р о у г л о в и В В 2С к В ' В '2С ' с у п о д у д а р н и , о д а к л е је < С = < С ' .

г ) А к о с у В и С ' т а ч к е с и м е т р и ч н е т а ч к а м а А и А ' у о д н о с у н а А ^ , о д н о с н о А [ , б и ћ е

А А С Б “ А А ' С ' 0 ' , п а је < А ^ А С = < А \ А ' С ' . С а д а је А А А ^ С “ А А ' А \ С ' , п а је А Х С = А ^ С '

и , п р е м а т о м е , В С = В ' С ' .

С л . у з з а д . 359 С л . у з з а д . З б З д

363. Т р о у г л о в и у п р и м е р и м а а ), б ) и д ) с у п о д у д а р н и , а у п р и м е р и м а в ) и г ) н е м о р а ју

б и т и п о д у д а р н и . д ) Н е к а ј е А И = А ' Б ' т е ж и ш н а д у ж и < В А В = < В ' А ' В ' , < С А И =

< С ' А ' В ' к о д т р о у г л о в а А В С и А ' В ' С ' . Н е к а с у , д а љ е , Е и Е ' т а ч к е с и м е т р и ч н е с а А ,

о д н о с н о с а А , о д н о с н о А ' , у о д н о с у н а Б , т ј . V . Б и ћ е А А В Б “ А Е С Б и А А ' В ' В ' 2

А Е ' С О ' , п а је < В А Б = < Б Е С и < В ' А ' 0 ' = < 0 ' Е ' С ' . О д а в д е је А А Е С “ А А ' Е ' С ' , п а је

А С = А ' С ' и С Е = С ' Е ' , а к а к о је С Е = А В и С ' Е ' = А ' В ' , б и ћ е и А В = А ' В ' .

364. Т р о у г л о в и В С И и В ' С О ' с у п о д у д а р н и , п а је И В = 0 ' В ' , а о д а т л е А В — И В =

А ' В — 0 ' В ' , т ј . А 0 = А ' 0 ' .

366. Н е к а с у И ' и ' т а ч к е н а и Б А т а к в е д а с у т р о у г л о в и Л С Л ' и А '

је д н а к о с т р а н и ч н и . К а к о ј е (в . с л .) В + В И = В С = Б А , т о је В = И И ' = Б ' ,

о д а к л е с л е д и д а с у т р о у г л о в и Б ' , В и .О Л Г Л Г ' п о д у д а р н и , п а ј е Б = М Т У = N 0 .

367. Т р о у г л о в и А 8 С и N 5 С с у п о д у д а р н и , п а је А С = С Л ^ (в . с л .). Н а и с т и н а ч и н

А В = В .

368. а ) Н е . б ) Н е . в ) Р а в а н .



С


С л . у з з а д . 367

С л . у з з а д . 369 С л . у з з а д . 373 С л . у з з а д . 374

369. Н е к а је О п р о је к ц и ја т а ч к е Р у р а в н и т г и и N д в е т а ч к е п о м е н у т о г с к у п а (в .

с л .) З б о г А О Р = Д О Л Г Р , б и ћ е О = О Л , п а је т р а ж е н и с к у п - к р у г с а с р е д и ш т е м у

т а ч к и О .

370. Н е к а с у А € а , В € 6, С € с т р и т а ч к е т а к в е д а .је О А = О В = О С и Р ф О т а ч к а

п о л у п р а в е О р . И з п о д у д а р н о с т и т р о у г л о в а А О Р , В О Р и С О Р с л е д и Р А = Р В = Р С , п а

п о п р е т х о д н о м з а д а т к у т а ч к е А , В , С п р и п а д а ју к р у г у с а с р е д и ш т е м у п о д н о ж ју н о р м а л е

и з Р н а а . М е ђ у т и м , к р у г и м а с а м о је д н о с р е д и ш т е - О , п а је Р О ± а .

371. Н е к а с у А \ и А г п р о д о р н е т а ч к е п р а в и х и п 2 у а и а \, 61, а 2, 62 С а т а к о

д а А \ € а \,61 и А 2 € 02,62 и а ^Ц а г ,61Ц 62 (в . с л .). Т а д а је а \ ± « 1,61 Ј . « 1, п а ј е и

<(а 2, п 2) = <(62,^ 2) = <(а х , г г х ) = <( а 2, п 2), д а к л е п 2 ± а 2 и п 2 ± 62, т ј. п 2 ± а .

С л . у з з а д . 371

372. Н е к а ј е 6 П а = { В } (в . с л .), а '\\а , а ' С а , а \ С а ' , а \\\а ' , В € а \ . И з а || 1, 6 Ј . а ^ с л е д и

д а ј е 6 ± а .

373. Н е к а је п П а = { А } (в . с л .). Т а ч к а А и п р а в а а о д р е ђ у ју р а в а н /?, к о ја с е ч е а

п о п р а в о ј а ' ( А € а ' ) . П р а в е а ' и а с у п а р а л е л н е је р п р и п а д а ј у и с т о ј р а в н и 0 , а а к о б и

с е с е к л е и з т е п р е с е ч н е т а ч к е б и п о с т а ја л е д в е н о р м а л е н а п ш т о ј е н е м о г у ћ е . И з а ||а '

с л е д и а ||а .

374. Н е к а је А В ± а и С € а , С Ф В (в . с л .). Т а д а је у п р а в о у г л о м А А В С х и п о т е н у з а

А С д у ж а о д к а т е т е А В .




375. И з д а т и х у с л о в а с л е д и д а с у т р о у г л о в и А В 8 и С 1>5 је д н а к о к р а к и п а је 8 0 1 А В и

8 0 X С И . П о ш т о је п р а в а 8 0 н о р м а л н а н а д в е р а з л и ч и т е п р а в е р а в н и а , т о ј е 8 0 X а .

376. К р у г у р а в н и , к о ј а с а д р ж и а , ч и ји ј е п р е ч н и к је д н а к о д с т о ја њ у т а ч к е А о д п р а в е а .

377. Н е к а је В ' т а ч к а с и м е т р и ч н а т а ч к и В у о д н о с у н а а . С је т а ч к а у к о ј о ј п р а в а А В '

п р о д и р е р а в а н а .378. И з п о д у д а р н о с т и т р о у г л о в а Р А д и ф В Р с л е д и д а је А С } = В Р - з а т и м , п о д у д а р н и

с у т р о у г л о в и А В Р и В Л <3, п а ј е < В А Р = < Л В д .

379. Н е к а ј е р = а П / ? и С € р т а к о д а је А С X р . А к о А В н е п р и п а д а /3, т а д а б и и з т а ч к еА п о с т о ја л е д в е н о р м а л е - А В и А С н а р а в а н а .

380. А к о п С /3, о ч и г л е д н о је д а ј е /3 X а . П р е т п о с т а в и м о д а п р а в а п н е п р и п а д а р а в н и

/3. Т а д а п о с т о ји п р а в а т , т а к в а д а ј е т \\п и т С /3. П о ш т о је п X а и т \\п , т о ј е т X а ,

п а р а в а н /3 с а д р ж и п р а в у н о р м а л н у н а р а в а н а , т е ј е и /3 X а .

381. Н е к а је п П а = {Л } (в . с л .) и р п р о и з в о љ н а п р а в а р а в н и а . О з н а ч и м о с а р ' п р а в у

р а в н и а к о ја с а д р ж и т а ч к у А и п а р а л е л н а ј е п р а в о ј р . П о ш т о је п X а , т о ј е п X р ' , аз б о г р \\р ' , б и ћ е и п ± р . ’

382. К а к о ј е р Х а и р Х б т о п о с т о је у р а в н и а п р а в е а ' и V т а к в е д а А € а ' , А € V

({Л } = р П а ) и а '||а , 6'||6 (в . с л .). П о ш т о је р X а , т о је р X а ' , а т а к о ђ е и з р X 6 с л е д и

р X 6 . С а д а ј е п р а в а р у п р а в н а н а д в е п р а в е р а в н и к о је с а д р ж е њ е н у п р о д о р н у т а ч к у ,п а ј е р X а . ’

383. И з С А X В А и С А X В Б с л е д и д а ј е п р а в а С А н о р м а л н а н а р а в а н а о д р е ђ е н а

т а ч к а м а А , В и Б , п а и н а п р а в у Г М т е р а в н и . С л и ч н о с е д о к а з у је и д а је А В X Б А .

384. К а к о је /3 X а и 7 X а , т о је и А 8 = /3 П 7 X а , п а је и 5Л X А В ж 8 А ± А Б , т ј .

т р о у г л о в и 8 А В и 8 А Б с у п р а в о у г л и . П о ш т о је 8 А X а и А В X В С , т о је (т е о р е м а о

т р и м а н о р м а л а м а ) и 8 В X В С . Т а к о ђ е ж з 8 А ± а ж А И ± И С с л е д и 8 Б X Г С .

387. К р о з т а ч к е А и В п о в у ћ и п р а в е п а р а л е л н е п о л у п р а в и м О х и О г , п а с е д о б и ја

п а р а л е л о г р а м А С В Б . К о м п о н е н т е с у А ( 3 и А & .

388. И з т р о у г л а А С Б с л е д и А & = а З + Ц (5 и л и а $ = 1 > - 7 , а и з т р о у г л а А 8 0

8$ = 5 ^ + 1 б (в . с л .). К а к о је Ј б = \ а 6 = ^(7*' - 1*) т о ј е 8$ = + 1 (7 *' - 1 *) .

389. Н а ц р т а т и с л и к у . Ћ ћ = р *; с В = в ђ = е Р = - ~ ј ? - .

390. Н а ц р т а т и с л и к у . Ђ ђ = ^•(' ' + Т ) ; с З = - ( ! ? - ^ ) \ Ђ р = - - & ■ Е р = + !?)•

п = \ ( ^ - Г ) . 2 2 ’

391. И з т р о у г л а О С А је б б = б ! + а 6 , а и з т р о у г л а О С В је о ђ = Ш + Ђ ђ (в . с л .).

С а б и р а њ е м н а в е д е н и х је д н а к о с т и д о б и ја м о 0 ( 3 = ~ ( 0 + О / } ) , је р је з б и р с у п р о т н и х

в е к т о р а А б ж Ђ ђ је д н а к н у л и .




С л . у з з а д . 388 С л . у з з а д . 391

392. И з н а в е д е н е је д н а к о с т и 0(3 = ^(0/1 + б & ) с л е д и ј е д н а к о с т о $ - о Х = о $ - о ђ ,

о д н о с н о ж = С /3, о д а к л е з а к љ у ч у је м о д а с у т а ч к е А , В и С к о л и н е а р н е и д у ж и Л С и

В С је д н а к е .

393. Н е к а с у А \ и В \ с р е д и ш т а с т р а н и ц а В С и С А т р о у г л а А В С . И з т р о у г л а В \ А \ С ј е

В \Л \ = в ^ 5 +с а * \, а и з ч е т в о р о у г л а А В А \ В \ ј е В \ А \ = А $ + В А \ . С а б и р а њ е м н а в е д е н и х

је д н а к о с т и д о б и ја м о В \ Л [ = - л ! ? , је р с у з б и р о в и с у п р о т н и х в е к т о р а С а \ и В а \ и В \(3

и је д н а к и н у л и .

394. (В . с л .) б З = + 0 1 3) и 0 /3 = - ( 6 + 0(3), п а ј е 0(3 —-0 1$ = о д н о с н о

0 /3 — ^О ^ = ^ 6 , о д а к л е је 0 ( 5 — - "а * + - 6 и 0 /3 = - 6 + -"а ^.2 2 Ј 3 3 3 3

395. О д р е д и т и с р е д и ш т е В о д с е ч к а С В и п о в у ћ и В . а љ е р е ш а в а т и а о п р е т х о д н и

з а д а т а к . Д о б и ја с е (3 = ~ м Х- 3 3

396. К о н с т р у и с а т и п р а в и л н и ш е с т о у г а о А ^ А ^ А з А з А ^ А ^ А ^ и п о в у ћ и д и а г о н а л е А \ А ^ ,

А 2А 4 , А \ А $ , А \ А &, А 4А 6 . Т а д а и з п а р а л е л о г р а м а ^ А ј А ^ А ^ А с л е д и А \ А 2 + А 1А 5 = А \ А ј ,

а и з %п а р а л е л о г р а м а А \ А 3А 4А 6 д а ј е А \ А 3 + А \ А е = А \ А 4 , п а је з а и с т а А \ А 2 + А \ А $ +

А \ А $ + А \ А $ + А \ А $ = З А \ А 4.

397. К а к о ј е А Г + В ( 3 = 1 < 3 , т о ј е А $ + В <$ + С % = А $ + С % = 1 ? .

398. 4 б ? = 2 ( + ) = 2 - ° ^ +2 ° ^ + 2 - ° ^ + ° ^ = 2 б 1 + 0 $ + б б .

399. Р ђ = \ { \ \ - М 2л 4 ).

400. в Х = В ~]5 + I ) + р Х = 2 2 г + 2М 4М 5 + 2 ^ ^ .

401. а ) А А \ = Л + В А \ , В В \ = В (3 + С В \ и С С \ = С ^ . + А С \ , п а је А А \ + В В \ + С С ј =

^ { А § + Ћ д + С % ) = "б\

б ) Н о ш т о је А ^ = - А А ^ , ? = - В В \ и С ? = ^С С Ј , т о ј е (н а о с н о в у а )): А $ + В '1' + С ? =3 3 з

1 { А А \ + В В \ + С С [ ) = ~$.

в ) Н о ш т о је 0 ? = б % + А $ , 0 ? = 0 $ + Ш , б % = б ђ + С ^ , т о је 3 0 ? = б Х + б $ + б <5 +

А ^ + В '1' + С ? , о д а к л е с е , н а о с н о в у б ) , д о б и ја : О ? = ј ( 0 ^ + б % + 0(3).

402. И з ч е т в о р о у г л а Л М Л /Г ) је 1 $ = м Х + А 1 3 + 151$, а и з ч е т в о р о у г л а В С И је

1т $ = Т + в д + с З (в . с л .). С а б и р а њ е м н а в е д е н и х је д н а к о с т и д о б и ја м о д а је 2 1 $ =

+ в д , је р с у з б и р о в и с у п р о т н и х в е к т о р а и С К , о д н о с н о А и ш ј е д н а к и х

н у л и .




С л . у з з а д . 394 С л . у з з а д . 402

403. П р е м а з а д а т к у 391 је А л \ = + А $ ) , В В \ = С С \ = "*" С & ) -

С а б и р а њ е м н а в е д е н и х је д н а к о с т и д о б и ј а м о А А \ + В \ + С С \ = 0 , је р с у Л /} и вХ , л б

и С % , в б и с Ћ п а р о в и с у п р о т н и х в е к т о р а ч и ј и с у з б и р о в и је д н а к и н у л и .

В А

С л . у з з а д . 404а С л . у з з а д . 4046

404. В е к т о р и 1 ^ + 6 и "а*' - 6 с ^ к о л и н е а р н и а к о с у к о л и н е а р н и в е к т о р и а и Д , и л и

а к о је је д а н о д њ и х н у л а в е к т о р (в . с л .). Н а с л . а ) п р и к а з а н и с у в е к т о ^и "<? и 6 и с т о

у с м е р е н и а н а с л . б ) с у п р о т н о у с м е р е н и ( о А = "<?, в Х = 6 , 0 $ = ! ? + 6 , = ! ? — 6 ).

405. П о ш т о с у ^ и "ј? к о л и н е а р н и , т о п о с т о ј и р е а л а н б р о ј * т а к а в д а је = *"ј^. Т о

з н а ч и д а је 2~г + ~} = а /к !* - к ј , т ј . (2 - а *) г + (1 + к ) ј = 0 . П о ш т о с у в е к т о р и :

и ~] л и н е а р н о н е з а в и с н и , т о је 2 — а к = 0 и 1 + к = 0. Р е ш е њ е о в о г с и с т е м а је к = —1,

а = - 2 .3

б ) а = - - ; в ) а = -15.

406 . а ) Н е к а ј е "<? = к \ 1? + к 2~^ = к \(~Т + ј ) + к 2 ( г — ј ) = (к \ + к 2 ) ј + ( к \ — к 2 ) ј .

Т р е б а д а б у д е к \ + к 2 = 1,к \ — к ^ = -3 . Р е ш а в а њ е м о в о г с и с т е м а је д н а ч и н а с е н а л а з и д а

је к \ = - 1 , к 2 = 2, п а ј е "а^ = —6 + 2"с*.

б ) а> = Т - ~?\ в ) а> = 2 7 - 3"^.

407. а ) Т р е б а д а б у д е = к ~ $ . Д о б и ја с е а = 1,6 = 8. б ) а = —- , 6 = 15.

408. О д р е д и м о р е а л н е б р о је в е к \ и к

2 т а к о д а ј е = к \И ? + к

2"ј^. Р е л а ц и ја 4 к — 2 =

*1(3 I —4 ј ) + *г (2 ј - 3 I ), м о ж е с е н а п и с а т и у о б л и к у : ( -2 - 3*1) ј + (4*1 - 2*г ) ј +— —у 2 4 . к 2 у 4 ^

(4 + 3^2) к = 0 , о д а к л е с е н а л а з и = - - и к2 = п а Ј е У = - - г - - у и в е к т о р и3 о о о

! * , "јД "г * с у к о м п л а н а р н и .

б ) "5 = З ^ + "ј .

409 . П о ш т о је + "б* = А "с* и 6 + "с* = "а * (^ , Џ € Н ) , т о је 6 = А "с* —"а* и 6 =

џ с [ — п а је А "с * — = џ ~а Г — "с *, о д а к л е ј е (А + 1)"с * = ( џ + 1)"<?, а к а к о с у ~а* "с*

н е к о л и н е а р н и в е к т о р и м о р а б и т и А = џ = —1. И з п р в е је д н а к о с т и је о н д а "а ^ + 6 = ,

т ј . ^ + 6 + "с* = 0 .

410. 90° + 90° + ј , 90° +

411. 60°. 412. а ) 68°30'; б ) 70°; в ) 58°; д ) 62°30'.




414. Н е к а је А \ т а ч к а с и м е р и ч н а т а ч к и А у о д н о с у н а т е м е С п р а в о г у г л а т р о у г л а

А В С и < А В С = 30° Т а д а ј е < А В А г = 60° и т р о у г а о А В А \ је је д н а к о с т р а н и ч а н , п а је

А С = ] - А А ^ = \ а В .2 2

416. а ) 90» - 7 ; б ) 417. а ) 116», 124°, 120°.

С

418. Н е к а је а у г а о н а о с н о в и ц и Д А В С . И з А А И В д о б и ја м о д а је а + — + 75° — 180°,

п а ј е а = 70°. С л е д и д а ј е < А С В = 40°.

419. Н е к а с у К , , р е д о м п о д н о ж је в и с и н е и п р е с е ц и с и м е т р а л а у н у т а ш њ е г и

с п о љ а ш њ е г у г л а с а п р а в о м В С (в . с л .). Н р е т п о с т а в и м о д а К € В (ш т а а к о К ^ В 1 ) .

а ) < К А = < В А - < В А К = | - (90° - 0 ) =

б ) 0 = <В А + < В А И = <В И А + 90° -

420. Н е к а је С .0 с и м е т р а л а у г л а к о д т е м е н а С Д А В С у к о м е је А С < В С , т ј . а > 0 (в .

с л .) и Л ј т а ч к а с и м е т р и ч н а т а ч к и А у о д н о с у н а С О . У г а о О А \ В т р о у г л а В О А \ ј е д н а кје 180° —а и в е ћ и ј е о д у г л а 0 (у п р о т и в н о м б и б и л о а + 0 > 180°) п а ј е В И > И А \ = А И .

421. Н р о д у ж и м о С д о п р е с е к а И с а с т р а н и ц о м А В (в . с л .). Ч и њ е н и ц а д а ј е с п о љ а ш њ и

у г а о т р о у г л а в е ћ и о д н е с у с е д н о г у н у т р а ш њ е г д а је н а м <А И > <А С И . С л и ч н о с е

д о к а з у ј е д а ј е < В И > < В С Б .

С л . у з з а д . 421 С л . у з з а д . 424

422. У т р о у г л у А В у г а о н а с п р а м с т р а н и ц е В је —, а у г а о н а с п р а м с т р а н и ц е А В је

. „ а а180° - / ? - - г = Г + 7 > Г -

2 2 2

423. У г а о к о д т е м е н а Р у Д Р В С је т у п , п а с л е д и Р С < В С . С л и ч н о , у г а о к о д ф у

Д (?Р С је т у п , п а је Р <2 < Р С .

424. Н е к а је Е с р е д и ш т е д у ж и В Б (в . с л .). Т а д а је А Е = Б Е = Е В , < А Е О = 30° ,

А А Е С је д н а к о к р а к и и А Е = А С .

425. а ) Н е к а је у т р о у г л у А В С А Б = Б С = В Б (в . с л .) Н о ш т о с у т р о у г л о в и А Б С и

В С Б је д н а к о к р а к и , т о је < С А Б = < А С Б = а и < Б С В = <1)В С = 0 . З б и р у г л о в а ут р о у г л у А В С ј е а + а + 0 + 0 = 2( а + 0 ) = 180°, п а ј е а + /3 = 90° и т р о у г а о ј е п р а в о у г л и .




б ) Н е к а је у т р о у г л у А В С < С = 90° и А Б = Б В . Н е к а је Е т а ч к а т а к в а д а је С — Б — Е

и Б Е = С Г >. Т а д а је А А Б Е 2 А В Б С ( п о д в е је д н а к е с т р а н и ц е и у г а о и з м е ђ у њ и х ).

О д а в д е је < Б С В = < Б Е А , п а је А Е \\С В , п а к а к о је В С Ј . А С , т о ј е и Е А ± А С . П р а в о у г л и

т р о у г л о в и А В С и Е С А с у , с а д а , п о д у д а р н и , п а с у њ и х о в е х и п о т е н у з е А В и С Е је д н а к и х

д у ж и н а . О д а т л е с л е д и д а је С 1> = ^ А В .

С

А д

С л . у з з а д . 425 С л . у з з а д . 426

426. У з о з н а к е к а о н а с л и ц и и м а м о д а је А А С Е је д н а к о к р а к и (з а ш т о ?), п а је < Е С А =

< С А Е = 90° — < А В С = < В С О . С л е д и д а у г л о в и А С В и Е С И и м а ју з а је д н и ч к у

с и м е т р а л у .

427. И м а м о (в . с л .) д а је А А В Т је д н а к о к р а к и и п р а в о у г л и , п а је С О = 3Т Г > = 3А И =

428. Т р о у г а о В је је д н а к о к р а к и , п а је < И В = < В И = х . У г а о А И В је с п о љ а ш њ и

у г а о т р о у г л а В И С , п а је је д н а к з б и р у д в а н е с у с е д н а у н у т р а ш њ а у г л а , п а је < А С В =

х — а , г д е је а = < А В = < С В И . К а к о с у у г л о в и н а о с н о в и ц и А В је д н а к и , т о је

< В А С = 2а + х . И з 2 ( 2 а + х ) + х —а = 180° н а л а з и м о З а +З г = 180°, п а је = а + х = 60°.

429. К а к о је < В С = 40°, т о ј е < В = 80°. И з т р о у г л а В С н а л а з и м о < С = 70°. Н а

к р а ј у < А = 30°. (У з а в и с н о с т и о д р а с п о р е д а т а ч а к а А , Б , , С м о ж е б и т и и о б р н у т о :

< А = 70°, <С = 30°.)

430. \ < А + 70° = 90° н а л з и м о < А = < В = 40°, т а к о д а ј е < С = 100°.

431. 36°, 36° и 108°. 432. 40° и 50°. 433. 15°

434. И м а м о (је р је т р о у г а о А С п р а в о у г л и ) и Р Е = (с р е д њ а л и н и ја ).

С л . у з з а д . 435

435. О з н а ч и м о с а з а и з'а с и м е т р а л е у н у т р а ш њ е г и с п о љ а ш њ е г у г л а к о д т е м е н а А и

а н а л о г н о з а о с т а л е у г л о в е т р о у г л а . С в а к а т а ч к а н а з'к је п о д је д н а к о у д а љ е н а о д п р а в и х

А В и В С \ т а к о ђ е , с в а к а т а ч к а н а з с је п о д је д н а к о у д а љ е н а о д п р а в и х В С и А С . Н е к а

ја Р п р е с е ч н а т а ч к а п р а в и х 5 , и з 'с . С л е д и д а је Р п о д је д н а к о у д а љ е н а о д п р а в и х А В и






447. Т а ч к е I , и К с у т е ж и ш т а т р о у г л о в а А С Б и А В С , п а је Б 1 , = 1 , К = К В .

448. Н е к а је 0 п р е с е к д и ја г о н а л а п а р а л е л о г р а м а А В С Б . Т а д а је Е О = А О - А Е =

С О - С К = О К , а к а к о је и В О = С Ш , д и ја г о н а л е ч е т в о р о у г л а В Е И К с е п о л о в е , п а је

о н п а р а л е л о г р а м .

449. И з п о д у д а р н о с т и т р о у г л о в а И В К и Е В с л е д и М Х = N К , а и з п о д у д а р н о с т и

т р о у г л о в а А 'С Х и N А с л е д и А Х = И .

450. О з н а ч и м о < В А С = џ > и < С А Б = V + 20°. К а к о је О Е ± В С , т о је и А Б 1 Б Н , п а и з

п р а в о у г л о г т р о у г л а А О Н и з џ> + 20° + 50° + 90° = 180° н а л а з и м о џ> = 20°. С л е д и д а с у

у г л о в и п а р а л е л о г р а м а 60° и 120°.

451. У з о з н а к е к а о н а с л и ц и и м а м о д а с у Р и М <3 с р е д њ е л и н и ј е з а А С О А и А А В Б ,

п а је Р ф = М ф - Р = Л В ~ С Ч ..

0 С 0 С

С л . у з з а д . 451 С л . у з з а д . 452

452. О з н а ч и м о т е м е н а т р а п е з а и п р е с е к д и ја г о н а л а к а о н а с л и ц и . Н е к а је Е т а ч к а н а

п р о д у ж е т к у с т р а н и ц е А В т а к в а д а је В Е = С Г ). К а к о је В Е \ \ С И , с л е д и д а ј е В Е С Б

п а р а л е л о г р а м . З а к љ у ч у је м о д а је А А С Е је д н а к о к р а к и , а п о т о м и д а с у А А В 8 и Д С Г )5

је д н а к о к р а к и . С а д и з 8 А = 8 В и 5 С = 5.0 с л е д и Д Л 5Г ) — А В 8 С .

0 N С

А Е

С л . у з з а д . 453 С л . у з з а д . 456

453. А к о с у А В С И и А 'В 'С '0 ' д а т и т р а п е з и , н е к а с у Е и Е ' т а ч к е н а А В и Л 'В ' т а к в е

д а је Е В = С Г > и Е 'В ' = С 'Д '. Д о к а з а т и д а је Д Л Е О е Д Л 'Е '1>', (в . с л .).

454. А к о је К с р е д и ш т е с т р а н и ц е А В и К ' , А ' , В ' п р о је к ц и је о в и х т а ч а к а н а р , т а д а је

К К ' с р е д њ а л и н и ја т р а п е з а А А ' В ' В .

455. И з је д н а к о с т и т а н г е н т н и х д у ж и п о в у ч е н и х и з т е м е н а т р а п е з а н а у п и с а н и к р у г

и з в е с т и д а је к р а к је д н а к п о л у з б и р у о с н о в и ц а .

456. И з п р а в о у г л и х т р о у г л о в а С 5Г ) и А В 8 (в . с л .) и м а м о < N 0 8 = < 0 8 N и < В 8 =

< 8 В , а к а к о је < N 0 8 = < В 8 т о ј е и <1)5Д Г = < 8 В , ш т о з н а ч и д а т а ч к а 5 п р и п а д а

д у ж и М Д Г , п а је = 8 + 5Д Г = А + С А ^ = —— -------- .

457. 5. 458. 18.5 и 17.5.



459. Д а ј е < Х = 90° (в . с л .) с л е д и н е п о с р е д н о и з ч и њ е н и ц е д а с у у г л о в и < А = а

и < Б = б с у п л е м е н т н и , п а је < Х = 180° - ( ј + - ) = 90°. Н е к а је с р е д и ш т е д у ж и

А В . Т е ж и ш н а д у ж Х п р а в о у г л о г т р о у г л а А Х В је д н а к а ј е п о л о в и н и х и п о т е н у з е , п а је

Х = А = Б , д а к л е А А Х ј е је д н а к о к р а к и и < А Х = < Х А , о д а к л е с л е д и д а јеХ \ \ А В , т ј . т а ч к а X п р и п а д а с р е д њ о ј д у ж и т р а п е з а .


0 _ С

С л . у з з а д . 459 С л . у з з а д . 460

460. К а к о ј е < А В К = < С В Н , к а о у н а к р с н и , т о је д н а к о к р а к и т р о у г л о в и А А В К и А В С Н

и м а ју с в е о д г о в а р а ју ћ е у г л о в е је д н а к е , п а је и < К А В = < В С Н (в . с л .). О д а в д е с л е д и

д а ј е Д С 7 Ш 2 А А К Б , п а ј е и К Б = Б Н .

461. Н е к а с у Б \ и С \ т а ч к е н а А В т а к в е д а ј е В Б \\\ \\С С \. Т р о у г л о в и А Б В \ и С С \ В

с у је д н а к о к р а к и ( А Б \ = , С С \ = В С \ ) , п а је < А = —< В Б \ С \ , < В = —< С С \ 0 \ , а

о д а в д е < А + < В = 90°. З а д о к а з у о б р н у т о м с м е р у п о с м а т р а т и А А В Е , г д е је Е п р е с е к

п р а в и х А Б и В С . Т а д а је < А Е В = 90°.

462. Д о к а з а т и д а је ч е т в о р о у г а о о б р а з о в а н с р е д и ш т и м а с т р а н и ц а д е л т о и д а п р а в о у г а -

о н и к .

С

С л . у з з а д . 463

463. Н е к а ј е а < 1°. Н е к а с у В и В т а ч к е с а и с т е с т р а н е п р а в е А С т а к в е д а с у т р о у г л о в и

А С В и А С Б је д н а к о к р а к и , п р и ч е м у ј е у г а о н а о с н о в и ц и А С је д н а к 90° - — у п р в о м , а

90° - ^ у д р у г о м т р о у г л у , (в . с л .). О н д а ч е т в о р о у г а о А В С И и м а т р и у г л а је д н а к а а .

464. И з (п - 2)180° : 360° = 15 : 4 д о б и ј а м о п = 19/2-а п с у р д .

. . п ( п - 3) ( п —1)(п —4) .465. п с е д о б и ја и з је д н а к о с т и ----------- = ---------- ---------- + о ; ( п —




466. Е л и м и н и с а т и а и з је д н а к о с т и а = ^ (п — ?) и .2 а

п 180о _ а . Л о б и ј а м о * = п - 2.

467. З б и р с п о љ а ш њ и х у г л о в а к о н в е к с н о г м н о г о у г л а је 360°, п а т а к а в м н о г о у г а о м о ж е

и м а т и н а јв и ш е 3 т у п а с п о љ а ш њ а у г л а и п р е м а т о м е н а јв и ш е 3 о ш т р а у н у т р а ш њ а у г л а .

О ш т р о у г л и т р о у г л о в и с у , н а п р и м е р , к о н в е к с н и м н о г о у г л о в и с а т р и о ш т р а у н у т р а ш њ а

у г л а .

468. И м а м о < О А = < О В И (н а и з м е н и ч н и ) , п а с л е д и д а с у је д н а к о к р а к и т р о у г л о в иО А и О В N п о д у д а р н и (в . с л .).

469. Н е к а је 5 п р е с е ч н а т а ч к а т а н г е н т е А В и з а је д н и ч к е т а н г е н т е у т а ч к и Р (в . с л .). И з

је д н а к о с т и т а н г е н т н и х д у ж и З А = 8 Р и З Р = 8 В с л е д и д а т а ч к а Р п р и п а д а к р у г у н а д

А В к а о п р е ч н и к о м .

470. Н е к а је О ц е н т а р к р у г о в а , А , В € к ' и н е к а с у А Р и В ф т а н г е н т н е д у ж и (Р , ф € к ) .

П р а в о у г л и т р о у г л о в и О А Р и О В С ? с у п о д у д а р н и је р и м а ју је д н а к е х и п о т е н у з е и п о је д н ук а т е т у .

471. Н а с п р а м н е с т р а н и ц е д о б и је н о г ч е т в о р о у г л а Р (Ј Л 5 с у п а р а л е л н е је р с у н о р м а л н е н а

и с т и п р е ч н и к (в . с л .). О т у д а је и < А Р С = < В Е Б . И з А О А С “ А О В Б с л е д и А С = В Б . С а д м о ж е м о з а к љ у ч и т и д а с у је д н а к о к р а к и т р о у г л о в и А С Р и В С ф п о д у д а р н и , п а је

А Р = Р С = В Н = Д О . Н а и с т и н а ч и н д о б и ј а м о и С ф = ф В = Б 8 = З А .

С л . у з з а д . 471

К

С л . у з з а д . 472

472. О з н а ч и м о д о б и је н и т р о у г а о с а Р С Ј Л (в . с л .). К а к о је < А В Н = < В А Н = 7 (т е о р е м а

о т а н г е н т н о м у г л у ) , и м а м о < ^ Л Р = 180° - 2 . А н а л о г н о , < Л Р ^ = 180° - 2а , < Р ( Ј Н =180° - 2/3.

473. а = 54°. 474. а = 15°. 475. а = 75°,/3 = 105.

476. /3 = 41°. 477 . 28° и 46°.

478. И з је д н а к о с т и а н г е н т н и х д у ж и , А = Л 1, = х , В = В К = у , С К = С Х = г , (в .

с л .). Р е ш е њ е д о б и ја м о и з с и с т е м а је д н а ч и н а х + у = с , у + г = а , г + х = 1>.

479. 11 с т и л и 19с т .




С

А х М

С л . у з з а д . 478

У вС л . у з з а д . 480

480. О з н а ч и м о < В О С = < В С О = џ (в и д и с л и к у ). Т а д а ј е с п о љ а ш њ и у г а о < А В О

је д н а к о к р а к о г т р о у г л а В С О је д н а к 2џ >, п а је и < О А В = 2џ >, а у А О А С с п о љ а ш њ и у г а о

< Б О А = < О А В + < О С А = 3 .

482. <А Б О = <А В С - у г л о в и с а н о р м а л н и м к р а ц и м а ; <А О Б = <А В С , п а је т р о у г а о

А Б О је д н а к о к р а к и .

483. К о н с т р у и с а т и з а је д н и ч к у т а н г е н т у к р у г о в а у т а ч к и .

484. И с к о р и с т и т и т е о р е м у о у г л у и з м е ђ у т е т и в е и т а н г е н т е к р у г а .

485. В Р = В Л /,С Р = С М (в . с л .). А С + С В + В С = А С + С + В + А В = 2А .

486. И с к о р и с т и т и је д н а к о с т т а н г е н т н и х д у ж и С В \ = С А \, В А \ = В С \, А В \ = А С \ (в .

с л .), ч и њ е н и ц а д а ј е О А \С В \ к в а д р а т и ч и њ е н и ц у д а је к о д п р а в о у г л о г т р о у г л а п р е ч н и к

о п и с а н о г к р у г а је д н а к х и п о т е н у з и .

487. а ) П о п р е т х о д н о м з а д а т к у ј е с + 2г = а + 6, а к а к о је — ј — > \/а б , б и ћ е с + 2г > 2^/а б .

Ј е д н а к о с т в а ж и а к о и с а м о а к о је т р о у г а о је д н а к о к р а к о п р а в о у г л и .

б ) О ч и г л е д н о в а ж и 2г < а , 2г < 6,2г < Н с <

488. А к о и з т а ч к е О к о н с т р у и ш е м о н о р м а л е н а с т р а н и ц е ч е т в о р о у г л а (в . с л .), д о б и ћ е м о

ч е т и р и п а р а п о д у д а р н и х т р о у г л о в а , п р и ч е м у је <1 = <2, <3 = <4, <5 = <6 и <7 = <8.

К а к о ј е <1 + <2 + <3 + <4 + <5 + <6 + <7 + <8 = 360°, а <А О В + <С О Б = 360° - (<1 + <3 +

<6 + <7) = <2 + <4 + <5 + <8, б и ћ е <А О В + <С О Б = \ ■ 360° = 180°.

489. П е р и ф е р и јс к и у г л о в и н а д и с т и м л у к о м с у је д н а к и , п а је <А С К + <С В К + <В А К =

<К В А + <К А С + <К С В . З б и р с в и х ш е с т о в и х у г л о в а је 180°, к а о з б и р у г л о в а А А В С ,

п а је <А С К + <С В К + <В А К = 90°, ш т о је д о в о љ а н у с л о в д а б и з б и р л у к о в а К А ,К В иК С б и о је д н а к п о л у к р у г у .

481. К а к о ј е д а т и к р у г у п и с а н у А В Б Е , б и ћ е (в . с л .) < Б О Е = 180° —

180° - < О В Е

< В И Е + < В Е Б

2

180°------------- ------------= 90° + — -— , ч и м е је т в р ђ е њ е д о к а з а н о .

А

Е

С л . у з з а д . 481 С л . у з з а д . 485




С л . у з з а д . 488

490. О з н а ч и м о п о л у п р е ч н и к е к р у г о в а с а т \,Г 2 и г з . К а к о је 0 \ К = О 3О 2 = п .О ^О з =

025 = г 2 и < 0 30 \ К = < 0 30 25 (је р ј е 01Л ||025 ), б и ћ е Д О 1Л О 3 “ Д 0 25 0з (в . с л .).

О д а в д е с л е д и д а је О 3Л = О 38 . А к о је Н п о д н о ж је н о р м а л е и з О 3 н а т е т и в у Р <3, б и ћ е

К Н = 8 Н ж Р Н = С ј Н , д а к л е Р К = Р Н - К Н = С ј Н - 8 Н = Ц 5.

492. Ј е д н а к и м к р у ж н и м л у к о в и м а о д г о в а р ју је д н а к и п е р и ф е р и јс к и у г л о в и , п а је ( в . с л .):

Л а љ е и м а м о < 0 8 0 = 180

< Б С В = < Б А В = ~ { В В ) ,

< А Б С = < А В С = Р ( С А ) ,

7 +

< Б В С = < Б А С = ~ ( С О ) ,

< В Б А = < В С А = - у ( А В ) .

- (, + 1±И ) = „ +0 + , - („ + 1±2) , 1±Н = <В С 1, „

је С Г > = 5Г ). Т а к о ђ е је је д н а к о к р а к и т р о у г а о С Б В , п а ј е О О = В О .

493. а ) П о д е л и м о д а т и м н о г о у г а о н а т р о у г л о в е т а к о — ш т о с п о ји м о с в а њ е г о в а т е м е н а

с а ц е н т р о м к р у г а у к о ји је м н о г о у г а о у п и с а н . С в и д о б и ј е н и т р о у г л о в и с у п о д у д а р н и и

је д н а к о к р а к и , А к о је а у г а о н а о с н о в и ц а м а о в и х т р о у г л о в а , с л е д и д а је с в а к и у г а о д а т о г

м н о г о у г л а је д н а к 2а .

б ) П о д е л и м о о п е т м н о г о у г а о т а к о ш т о с п о ји м о с в а т е м е н а с а ц е н т р о м к р у г а у п и с а н о г ум н о г о у г а о . С в а к а о д у в е д е н и х д у ж и је с и м е т р а л а је д н о г у г л а м н о г о у г л а . С л е д и д с с у

с в и д о б и ј е н и т р о у г л о в и ј е д н а к о к р а к и . К а к о с в и о н и и м а ју је д н а к е в и с и н е н а д о с н о в и ц о м

(п о л у п р е ч н и ц и к р у г а ), с л е д и д а с у с в и п о д у д а р н и и с т о г а с у с в е њ и х о в е о с н о в и ц е (т ј.

с т р а н и ц е м н о г о у г л а ) је д н а к е .

494. О з н а ч и м о д о д и р н е т а ч к е с а Р , ( Ј , К , 8 (в . с л .). И з је д н а к о с т и т а н г е н т н и х д у ж и

А < 2 = А Р = А Т , В С ј = В К , С К = С Р = С 8 , 0 5 = О Т с л е д и А В + С Б = А С + В О .

495. Н е к а с у Р , < д , К , 8 т а ч к е н а п р о и з в о љ н о м к р у г у с а ц е н т р о м О т а к в е д а в а ж и

<Р О С ? = а , <С ?О Л = /3, < К 0 8 = 180° — а , < 8 0 Р = 180° —/3. Т а д а т а н г е н т е у т а ч к а м а

Р , ф ,Д , 5 о б р а з у ју ч е т в о р о у г а о с а т р а ж е н и м о с о б и н а м а . З а и с т а , а к о т е м е н а д о б и је н о г

ч е т в о р о у г л а о з н а ч и м о с а А , В , С , О к а о н а с л и ц и , т а д а с у у с в а к о м о д ч е т в о р о у г л о в а

А К 0 8 , В 8 0 Р , С Р О С Ј , О С ?О Л д в а у г л а п р а в а , п а с л е д и д а с у у г л о в и у ч е т в о р о у г л у А В С Б

р е д о м је д н а к и а , /3, 180° - а , 180° - /3.




С л . у з з а д . 496 С л . у з з а д . 497

496. Ј е д н о к р а к и т р о у г л о в и О А В , О В С , О С О , . . . с у с в и н о д у д а р н и ; о з н а ч и м о с а а њ и х о в

у г а о н а о с н о в и ц и , (в . с л .). И з п о д у д а р н о с т и А О В 9! ДОСЛГ д о б и ј а м о <В О = <СОЛГ

и о т у д а < О И = <В О С = 180° - 2а . К а к о је ДМОЛГ је д н а к о к р а к и , с л е д и <ОМЛГ = а .

К о р и с т е ћ и јо ш ч и њ е н и ц у д а је а с п о љ а ш њ и у г а о к о д т е м е н а В у А О В , д о б и ј а м о

к о н а ч н о <ВОЛГ + <ВМЛГ = <В О + <МОЛГ+ <В О + <ОМЛГ = а + (180° - 2а ) + а = 180°.

497. О з н а ч и м о с а а , а + '?, 7 , б у г л о в е к о н в е к с н о г ч е т в о р о у г л а А В С О (в . с л .). Т а д а је

и < Б 8 С = 180°б + 7

, п а је <А Ц В + < Б 8 С = 360°а + /7 + 7 + б

<Л <2В = 180°С с е.

180°.

502. Н е к а с у к и р д а т и к р у г и п р а в а . Н е к а је I т р а ж е н а т а н г е н т а и Т њ е н а д о д и р н а

т а ч к а , (в . с л .). П р а в а п о д р е ђ е н а ц е н т р о м 0 к р у г а и т а ч к о м Т ј е н о р м а л н а н а Г . П р а в у

п м о ж е м о к о н с т р у и с а т и (н о р м а л а и з 0 н а р ) , а о н д а Т , п а I. П о с т о је у в е к д в а р е ш е њ а ,

је р п с е ч е к р у г у д в е м а т а ч к а м а .

С л . у з з а д . 503

503. А н а л и з а . П р е т п о с т а в и м о д а је т р а ж е н и т р о у г а о А В С к о н с т р у и с а н и о з н а ч и м о

с а И п о д н о ж је в и с и н е т р о у г л а и з т е м е н а В . Т а д а је п р а в о у г л и т р о у г а о А В В м о ж е

к о н с т р у и с а т и , п а с е з а д а т а к с в о д и н а о д р е ђ и в а њ е т а ч к е С к о ја п р и п а д а п р а в о ј А В и

н а л а з и с е н а о д с т о ја њ у а о д т а ч к е В . К о н с т р у к ц и ј а . К о н с т р у и ш е м о п р в о у г а о х А у

је д н а к д а т о м у г л у а . К о н с т р у и ш е м о з а т и м п р а в у р п а р а л е л н у с а к р а к о м А у т а к о д а је




р а с т о ја њ е и з м е ђ у р и А у је д н а к о ћ \, и д а р с е ч е к р а к А х . У п р е с е к у р и Л ј д о б и ја м о

т а ч к у В . К о н с т р у и ш и м о с а д к р у г к п о л у п р е ч н и к а а с а ц е н т р о м В и т а ч к у С д о б и ј а м о у

п р е с е к у о в о г к р у г а с а к р а к о м А у , (в . с л .).

Д о к а з . П р е м а к о н с т р у к ц и ј и , < В А С = а . В и с и н а В В је о д с е ч а к з а је д н и ч к е н о р м а л е

п а р а л и л н и х п р а в и х А у и р , п а је њ е н а д у ж и н а је д н а к а Л ј. К о н а ч н о В С = а , је р В € к .

Д и с к у с и ј а . Б р о ј р е ш е њ а з а в и с и о д т о г а к о л и к о к р у г к и п о л у п р а в а А у и м а ју з а је д н и ч к и хт а ч а к а . Д а к л е , б р о ј р е ш е њ а је 0, 1 и л и 2. З а д е т а љ н и ју д и с к у с и ју р а з м о т р и м о п р в о

с л у ч а ј к а д је а о ш т а р у г а о . А к о је а < Л ј, т а д а н е м а р е ш е њ а . А к о је а = Л ј, и м а је д н о

р е ш е њ е . А к о је ћ к < а < А В , и м а д в а р е ш е њ а . А к о је а > А В , о п е т и м а је д н о р е ш е њ е .

У с л у ч а ју к а д је а т у п у г а о и м а м о је д н о и л и н и ј е д н о р е ш е њ е , з а в и с н о о д т о г а д а л и је

а > А В и л и је а < А В .


504. а ) Н е к а је Б т а ч к а н а п р о д у ж е т к у с т р а н и ц е С А т а к в а д а је А Б = с , (в . с л .) .

Т р о у г а о В С И м о ж е м о к о н с т р у и с а т и је р з н а м о д в е с т р а н и ц е ( В С и С Б ) и у г а о к о д т е м е н а

Б ( = а ј 2). Т р о у г а о А В Б је је д н а к о к р а к и а т е м е А д о б и ј а м о у п р е с е к у с и м е т р а л е д у ж и

В Б с а с т р а н и ц о м С Г >. З а д а т а к и м а 0, 1 и л и 2 р е ш е њ а (к а к о к о н с т р у и ш е м о А В С т ) .

б ) Н е к а је 4 т а ч к а н а с т р а н и ц и А С т а к в а д а в а ж и А Б = А В , (в . с л .). Т а д а је А А В О

је д н а к о к р а к и . П р в о к о н с т р у и ч е м о А В С Б је р з н а м о д в е њ е г о в е с т р а н и ц е и у г а о к о д

т е м е н а И к о ј и је је д н а к 90° + — , п а т е м е А н а ђ е м о у п р е с е к у п р а в е С И и с и м е т р а л е д у ж и

В И . О п е т и м а 0, 1 и л и 2 р е ш е њ а .

505. а ) Н е к а је в и с и н а , (в . с л .). К о н с т р у и ш е м о п р в о А А В О је р з н а м о с т р а н и ц у

А Б = Л (, и с в е њ е г о в е у г л о в е . П е н т а р О о п и с а н о г к р у г а м о р а п р и п а д а т и с и м е т р а л и

с т р а н и ц е А В и м о р а б и т и А О = Е , ш т о је д о в о љ н о д а г а к о н с т р у и ш е м о . И м а 0, 1 и л и 2. А В

р е ш е њ а , з а в и с н о о д т о г а д а л и ј е К м а њ е , је д н а к о и л и в е ћ е о д .

б ) Н е к а с у А Б и А Е в и с и н а и т е ж и ш н а д у ж , (в . с л .). П р в о к о н с т р у и ш е м о А А Б Е . И м а м о

О Е 1 Б Е и О А = К , ш т о је д о в о љ н о д а с е к о н с т р у и ш е О и о н д а о п и с а н и к р у г . Т е м е н а В

и С с у п р е с е ч н е т а ч к е о п и с а н о г к р у г а с а п р а в о м Б Е . Б р о ј р е ш е њ а је 0 и л и 1; у с в а к о м

о д т р и о п и с а н а к о р а к а к о н с т р у к ц и ја с е и л и н е м о ж е и з в е с т и и л и с е и з в о д и је д н о з н а ч н о .




Г л а в а V - Г е о м е т р и ј а 179

506. а ) Н а н е к о ј п р а в о ј р к о н с т р у и ш е м о д у ж В С , а з а т и м у је д н о ј о д п о л у р а в н и

о д р е ђ е н о ј п р а в о м р к о н с т р у и ш е м о п р а в у ? н а р а с т о ја њ у ћ а о д р и л у к I к о ји је

г е о м е т р и јс к о м е с т о т а ч а к а и з к о ји х с е д у ж А В в и д и п о д у г л о м а , (в . с л .). Т е м е А

д о б и ја м о у п р е с е к у у и п а з а д а т а к и м а 0,1 и л и 2 п е ш е њ а .

б ) К о н с т р у и ш е м о г е о м е т р и јс к о м е с т о т а ч а к а и з к о ји х с е т е т и в а В С д у ж и н е а в и д и п о ду г л о м а . З а т и м к о н с т р у и ш е м о к р у г I п о л у п р е ч н и к а 1 с а ц е н т р о м у с р е д и ш т у В д у ж и

В С , (в . с л .). Т е м е А је п р е с е ч е н а т а ч к а д в а к о н с т р у и с а н а к р у г а , п а з а д а т а к и м а 0, 1

и л и 2 р е ш е њ а .


507. а ) А н а л и з а . У о ч и м о А В Т С , г д е је Т т е ж и ш т е т р о у г л а А В С , (в . с л .). Н о з н а т е с у. . 2 . .

н а м њ е г о в е с т р а н и ц е Т В и Т С - с в а к а о д њ и х Ј е д н а к а Ј е - т е ж и ш н е д у ж и к о јо ј п р и п а д а ._ О

П о з н а т а н а м је и в и с и н а и з т е м е н а Т - о н а ј е т р е ћ и н а в и с и н е Н а .

К о н с т р у к ц и ј а . К о н с т р у и ш е м о п а р а л е л н е п р а в е р и < н а р а с т о ја њ у - ћ а . С а ц е н т р о м уО

2п р о и з в о љ н о ј т а ч к и Т 6 1 к о н с т р у и ш е м о к р у г о в е к \ и к 2 , п р в и с а п о л у п р е ч н и к о м -<ј,

а д р у г и с а п о л у п р е ч н и к о м 1 . Т а ч к е В и С д о б и ја м о у п р е с е к у о в и х к р у г о в а с а р .

К о н с т р у и ш е м о с а д с р е д и ш т е Б д у ж и В С и н а п о л у п р а в о ј О Т к о н с т р у и ш е м о т р е ћ е т е м е

А т а к о д а је Т А = 2Т О .

Д о к а з . Д у ж А И је п о к о н с т р у к ц и ји т е ж и ш н а л и н и ја у А А В С . К а к о је А Т : Т О = 2 : 1 ,

с л е д и д а је Т т е ж и ш т е А А В С . Т а ч к а Т д е л и о н д а и п р е о с т а л е д в е т е ж и ш н е д у ж и у2 2 .

о д н о с у 2:1, п а к а к о је В Т = - Ц и С Т = - 1 С , с л е д и д а с у т е ж и ш н е д у ж и Ј е д н а к е Ц и 1С .3 3

Н е к а с у с а д Е и Р п о д н о ж ја н о р м а л а и з А и Т н а р . И з Т а л е с о в е т е о р е м е (и л и н а н е к и

д р у г и н а ч и н ) д о б и ја м о А Е = 3Т Р = 3 •- ћ а = Н а .О

Д и с к у с и ј а . Б р о ј р е ш е њ а з а в и с и о д б р о ј а п р е с е ч н и х т а ч а к а к р у г о в а к \ и к 2 с а р . А к о

је 2<6 > ћ а и 2<с > Н а д о б и ја м о ч е т и р и т р о у г л а , т а ч н и је д в а п а р а п о д у д а р н и х т р о у г л о в а .

А к о је 2 > ћ а и 21 = ћ а и л и а к о је 2Ц = ћ а и 2<с > ћ а , т а д д о б и ј а м о д в а п о д у д а р н ат р о у г л а . К о н а ч н о , а к о је 2Ц < ћ а и л и 11 < ћ а и л и 21\, = Н а = И с , т а д н е м а р е ш е њ а .

С л . у з з а д . 507а С л . у з з а д . 508а




508. а ) Н е к а је А Б в и с и н а и В Е т е ж и ш н а д у ж у т р а ж е н о м А А В С , (в . с л .). М о ж е м о

к о н с т р у и с а т и п р а в о у г л и А А В И је р м у з н а м о д в е с т р а н и ц е . З а т и м Е д о б и ја м о у п р е с е к у

с и м е т р а л е д у ж и А Б и к р у г а с а ц е н т р о м В и п о л у п р е ч н и к о м (ј. З а д а т а к и м а д в а р е ш е њ а

а к о је с > ћ а и 2(ј > ћ а . Ј е д н о р е ш е њ е п о с т о ји а к о је т а ч н а је д н а о д о в и х н е је д н а к о с т и ,

а у п р е о с т а л о ј в а ж и је д н а к о с т . У о с т а л и м с л у ч а је в и м а н е м а р е ш е њ а .

509. А н а л и з а . П р е т п о с т в и м о д а је т р а ж е н и А А В С к о н с т р у и с а н . Њ е г о в а т е м е н а В и С с у

к р а је в и д а т е д у ж и В С = а . Л а к л е , з а д а т а к с е с в о д и н а о д р е ђ и в а њ е т е м е н а А . П р и т о м е

А т р е б а д а з а д о в о љ и д в а у с л о в а : 1° м о р а п р и п а д а т и к р у г у п о л у п р е ч н и к а Н о п и с а н о м

о к о А А В С и 2° н а л а з и с е н а о д с т о ја њ у I о д с р е д и ш т а д у ж и В С . О п и с к о н с т р у к ц и ј е .

К о н с т р у и ш и м о д у ж В С = а и је д н а к о к р а к и А В О С ( В О = О С = Н , В С = а ) , а з а т и м к р у г

к ( 0 , Н ) . З а т и м к о н с т р у и ш е м о к р у г к г ( В , 1 ) , г д е је Б с р е д и ш т е д у ж и В С (в . с л .) П р е с е к

к р у г а к и к г д а ј е т р а ж е н о т е м е А .

Д о к а з . П о к о н с т р у к ц и ји је В С = а . Т е м е А п р и п а д а и к р у г у к и к р у г у к 1, п а ?з д о в о љ а в а

о б а п о м е н у т а у с л о в а и з а н а л и з е : О А = Н и А И = Г а .

Д и с к у с и ј а . К о н с т р у к ц и ја с е с а с т о ји и з д в а д е л а - к о н с т р у к ц и је А В О С и п р е с е к а к р у г о в а

к и &1. Д а б и е А В О С м о г а о к о н с т р у и с а т и н е о п х о д н о је д а ј е Н > - а . А к о је Н < - а

1 2 2з а д а т а к н е м а р е ш е њ а . А к о је Н = - а = 1 з а д а т а к и м а б е с к о н а ч н о м н о г о р е ш е њ а , а а к о

ј е Н = - а ф 1 н е м а р е ш е њ а . А к о је Н > \ а з а д а т а к и м а д в а с и м е т р и ч н а , је д н о и л и

н и је д н о р е ш е њ е у з а в и с н о с т и о д б р о ј а п р е с е ч н и х т а ч а к а к р у г о в а к и к ^. С п е ц и ја л н о ,

а к о је 1а = - а т р о у г а о А В С с е д е ф о р м и ш е у д у ж В С .

510. Н е к а је т а ч к а н а п р а в о ј В С т а к в а д а в а ж и А И = А В , (в . л .). К о н с т р у и с а т и

п р в о п о м о ћ н и т р о у г а о А Б С . П о с т о ји у в е к је д н о р е ш е њ е .

С л . у з з а д . 510

511. а ) Н е к а с у и С Е т е ж и ш н е д у ж и , (в . с л .). У А Т А Е п о з н а т е с у н а м с в е с т р а н и ц е .

б ) Н е к а је 8 ц е н т а р у п и с а н о г к р у г а . И м а м о А В = 2 Н и < А 8 В = 135° (з а ш т о ?), п а м о ж е м о

д а к о н с т р у и ш е м о А А 8 В .в ) П р о д у ж и т и к а т е т у А В з а д у ж и н у х и п о т е н у з е ;

г ) к о н с т р у и с а т и т р о у г а о а к о је д а т а је д н а с т р а н и ц а и д в а у г л а н а њ о ј о д к о ји х је је д а н

135°;

д ) к о н с т р у и с а т и т р о у г а о А В А О , г д е је А Б = С А + С И = А С + В С и < В Б С = 45°.

512. а ) Н е к а ј е С Б в и с и н а и Е п о д н о ж је н о р м а л е и з н а В С , (в . с л .). И м а м о С И = ћ с

и И Е = -Л „, п а с е п р а в о у г л и А С Б Е м о ж е к о н с т р у и с а т и . б ) Т р е ћ е т е м е А је у п р е с е к у

н о р м а л е и з Р н а В С и к р у г а с а ц е н т р о м С и п о л у п р е ч н и к о м В С .

513. а ) н е к а је И т а ч к а п р а в е А В т а к о д а ј е В - А - и А Б = А С = 6. Б и ћ е < А Б С =

0 + 190 °--------— . б ) Н е к а с у и Е т а ч к е п р а в е В С т а к в е д а ј е Б — В — С — Е и В И = В А ,

С Е = Е А . Т р о у г л о в и А В Б и А С Е с у је д н а к о к р а к и , п а је и < А О В = | и < А Е С =




С

С

,Е

А Е В А Б В

С л . у з з а д . 511а С л . у з з а д . 512а

в ) М о ж е с е к о н с т р у и с а т и п р а в о у г л и А В Б А , г д е је В п о д н о ж је в и с и н е и з В . г ) Н а јп р е

к о н с т р у и с а т и т р о у г а о А 1 ) О , г д е је О п о д н о ж је в и с и н е и з А и з а т и м н а о д с т о ја њ у Н н п р а в е

п а р а л е л н е п р в о ј А С . д ) К о н с т у и с а т и п р в о п р а в о у г л и Д А С ' 1) ( I ) ј е п о д н о ж је в и с и н е и з

С ) а з а т и м о д р е д и т и н а А Б т а ч к у Е т а к о д а је А — И — Е и А Е = с + а .

514. а ) Н е к а је Б с р е д и ш т е с т р а н и ц е В С и Е т а ч к а п р а в е А Б , т а к в а д а је И — А — Е и

Б Е = 6 + ћ а . С и м е т р а л а д у ж и В Е с е ч е Б Е у т а ч к и А .

б ) Н е к а је О с е д и ш т е с р а н и ц е В С и Е т а ч к а п р а в е В С т а к в а д а ј е Е — В — И и О Е = з .

Т р о у г а о А И Е с е м о ж е к о н с т р у и с а т и .г ) Н е к а је О т а ч к а п р а в е А С т а к в а д а ј е В Т ) с и м е т р а л а < В . Т р о у г а о А В О с е м о ж е

к о н с т р у и с а т и .д ) К о н с т р у и с а т и п р а в о у г л и Д В О Т , г д е је О с р е д и ш т е В С , а Т т е ж и ш т е т р о у г л а .

ђ ) К о н с т р у и с а т и п р а в о у г л и Д С I ) Р ■ г д е ј е I ) с е д и ш т е д у ж и В С и Р т а ч к а п р а в е А I )

т а к в а д а ј е А — В —Р и Б Р = 6 —ћ а .

515. а ) Н е к а је Е д о д и р н а т а ч к а у п и с а н о г к р у г а и с т р а н и ц е В С и О т а ч к а н а п р а в о ј В С

т а к в а д а ј е Е О = 6 — с . Т а д а је с р е д и ш т е д у ж и Е О у и с т о в р е м е и с р е д и ш т е с т р а н и ц е

б ) У у г л у < А = а к о н с т р у и ш е с е к р у г п о л у п р е ч н и к а г т а к о д а д о д и р у је к р а к е у г л а ут а ч к а м а В и Р ; з а т и м н а к р а ц и м а у г л а о д р е д и т и т а ч к е Р и (Ј т а к в е д а ј е А — И - Р и

А - Р - <3 и Б Р = Р С Ј = а . Т а д а је п р а в а В С з а је д н и ч к а т а н г е н т а к р у г а п о л у п р е ч н и к а г

и к р у г а , к о ји д о д и р у ј е к р а к е у г л а у т а ч к а м а Р и <Ј .в ) Н а јп р е с е к о н с т р у и ш е п р а в о у г л и т р о у г а о А В И , г д е је Б п о д н о ж је в и с и н е и з А , а

з а т и м п р а в о у г л и А А В Е , г д е је Е п о д н о ж је в и с и н е и з В .

г ) Д о к а з а т и н а јп р е д а а к о с у и N т а ч к е у к о ји м а с п о љ а о п и с а н и к р у г д о д и р у ј у

п р о д у ж е т к е с т р а н и ц а А В и А С , т а д а је А = А = з .

д ) А к о с у Н и Б т а ч к е п р а в е В С т а к в е д а ј е А Н в и с и н а и А Б с и м е т р а л а < А , м о ж е с е

к о н с т р у и с а т и т р о у г а о А Н 1 ) . З а т и м с е о д р е д и с р е д и ш т е О у п и с а н о г к р у г а и к о н с т р у и ш е

к р у г к ( 0 , г ) . ^

ђ ) К о н с т р у и с а т и н а јп р е т р о у г а о А С О ( А Б = з а , А С = 6, < С А Б = —).

516. Н е к а с у О и О г с р е д и ш т а у п и с а н о г и с п о љ а у п и с а н о г к р у г а . Д о к а з а т и , н а јп р е , д а

т а ч к е В и С п р и п а д а ј у к р у г у к н а д п р е ч н и к о м 0 0 \ и д а с р е д и ш т е С ј т о г к р у г а п р и п а д а

к р у г у о п и с а н о м о к о А А В С . Н р е с е к к р у г а к и к р у г а с а с р е д и ш т о м у 0 2 и п о л у п р е ч н и к а

О г ф (О г -с р е д и ш т е о п и с а н о г к р у г а / \ А В С ) д а је т а ч к е В и С . А к о је т а ч к а 0 2 в а н к р у г а

п о л у п р е ч н и к а -О О ^ с а ц е н т р о м у <? т а д а п о с т о ји ј е д и н с т в е н о р е ш е њ е . У п р о т и в н о м ,

н е м а р е ш е њ а .

517. а ) Н е к а је А В С Б т р а ж е н и п р а в о у г а о н и к и Е т а ч к а п р а в е А В т а к в а д а је А - Е - В

и А Е = а — 6. Т а д а с е м о ж е к о н с т р у и с а т и А А Е С је р је < А Е С = 135°.

г ) Н е к а с у у п р а в о у г а о н и к у А В С О д а т и с т р а н и ц а А В = а и р а з л и к а А С — В С = 4 — 6.

У о ч и т и т а ч к у Е н а п р а в о ј С В т а к в у д а ј е С — В — Е и В Е = 4 — 1). Т р о у г а о А В Е с е м о ж е

к о н с т р у и с а т и . Т а ч к а С п р и п а д а с и м е т р а л и д у ж и А Е .

518. Н е к а је А В С И т р а ж е н и к в а д р а т и Е т а ч к а п р а в е А С т а к в а д а је А — Е — С иА Е = 4 - а . Т р о у г а о А В Е с е м о ж е к о н с т р у и с а т и н а с л е д е ћ и н а ч и н . Н а с и м е т р а л и

вс.



Р е ш е њ а з а д а т а к а

п р а в о г у г л а < В Л В о д р е д и с е т а ч к а Е т а к в а д а ј е А Е = 4 - а . З а т и м с е и з п р о и з в о љ н е

т а ч к е Р т е с и м е т р а л е к о н с т р у и ш е п о л у п р а в а Р ф п о д у г л о м о д 45° п р е м а с и м е т р а л и А Р

и н а к р а ц и м а у г л а А Р С ? о д р е д е т а ч к е и N т а к в е д а је Р = Р Д Г . Н а ј з а д , к р о з т а ч к у

Е с е к о н с т р у и ш е п р а в а п а р а л е л н а д у ж и И . О н а с е ч е к р а к А В у г л а <В Л В у т е м е н уВ т р а ж е н о г к в а д р а т а .

519. а ) Н е к а с у Н \ и Л 2 д а т а р а с т о ја њ а м е ђ у с т р а н и ц а м а А В и С О , о д н о с н о В С и А О .

К о н с т р у и ш и м о п р в о п а р а л е л н е п р а в е р и ? н а р а с т о ја њ у Л 2, (в . с л .). О н д а к о н с т р у и ш и м о

к р у г с а ц е н т р о м у п р о и з в о љ н о ј т а ч к и А 6 р и п о л у п р е ч н и к о м А В \ њ е г о в п р е с е к с а д а је

н а м т а ч к у В . П р е о с т а л а д в а т е м е н а д о б и ја м о у п р е с е к у п р а в и х р и с а п р а в о м г к о ја је

п а р а л е л н а с а А В и н а р а с т о ја њ у Л ^ о д Л В . Н е м а р е ш е њ а а к о је А В < Л 2; у с у п р о т н о м ,п о с т о ји (д о н а п о д у д а р н о с т ) је д и н с т в е н о р е ш е њ е . ’

б ) Н е к а је Е т а ч к а н а п р о д у ж е т к у с т р а н и ц е В С т а к в а д а в а ж и С Е = А С , (в . с л .) .

У А А В Е з н а м о с т р а н и ц е А В и В Е у у г а о А В Е . К о н с т р у и ш е м о о в а ј т р о у г а о , а о н д а

д о б и ја м о С у п р е с е к у В Е с а с и м е т р а л н о м д у ж и А Е ( А А С Е је је д н а к о к р а к и ). О в а ј

п р е с е к п о с т о ји к а д је А В < В Е (у с у п р о т н о м , с и м е т р а л а д у ж и А Е с е ч е с т р а н и ц у А В ан е В Е ). ’

Р / \ / С

/ \ / г

А 7 \ ђ

р ч /


520. а ) Н е к а с у д а т е о с н о в и ц е а , к (а > 6) и к р а ц и с , 4 . Н е к а је Е т а ч к а н а в е ћ о ј о с н о в и ц иА В т а к в а д а ј е А Е — 6, (в . с л .). П р в о к о н с т р у и ш е м о А Е В С (с в е с т р а н и ц е п о з н а т е ) ,

а п о т о м и п р е о с т а л а д в а т е м е н а . П о с т о ји (је д и н с т в е н о ) р е ш е њ е а к о је с в а к а о д д у ж иа — 6, с , 4 м а њ а о д з б и р а о с т а л е д в е .

б ) Н е к а је д а т а о с н о в и ц а А В = а и с р е д њ а л и н и ја Е Р = т . Н е к а је О т а ч к а н а А В т а к в а

д а в а ж и А О = т , (в . с л .). М о ж е м о к о н с т р у и с а т и А О В Р је р з н а м о с т р а н и ц у О В = а - т

и н а л е г л е у г л о в е (с у п л е м е н т н и д а т и м у г л о в и м а н а м а њ о ј о с н о в и ц и т р а п е з а ). П о с т о ји

је д и н с т в е н о р е ш е њ е а к о ј е а > т и а к о је з б и р д а т и х у г л о в а м а њ и о д 180°.

521. Н е к а с у д а т и п о д а ц и 4 и г . Л и ја г о н а л е д е л е р о м б н а ч е т и р и п о д у д а р н а п р а в о у г л а

т р о у г л а , (в . с л .). Њ и х м о ж е м о к о н с т р у и с а т и је р з н а м о је д н у к а т е т у (4/2) и в и с и н у и з

т е м е н а п р а в о г у г л а (г ). П о с т о ји је д и н с т в е н о р е ш е њ е к а д а је 4 > 2г.

522. Н е к а је 5 с р е д и ш т е А Х , аТ

т а ч к а н а п р а в о ј А Х т а к о д а је Т 1, = 1,5. К р о з Тк о н с т р у и ш е м о п р а в у п а р а л е л н у с и м е т р а л и с т р а н и ц е К Е . О в а п р а в а с е ч е с и м е т р а л у





с т р а н и ц е М Х у је д н о м о д т е м е н а т р а ж е н о г ч е т в о р о у г л а . О с т а л а т е м е н а с е н а л а з е н а

о с н о в у у с л о в а д а с у т а ч к е К , 1 ј, М с р е д и ш т а с т р а н и ц а ч е т в о р о у г л а А В С П .

С л . у з з а д . 521 С л . у з з а д . 523

523. С в е т е т и в е д а т е д у ж и н е <1 п о д је д н а к о с у у д а љ е н е о д ц е н т р а к р у г а , п а з а т о п о с т о ји

к р у г I к о н ц е н т р и ч а н с а к к о ји с в е о в е т а н г е н т е д о д и р у ј у . К р у г I м о ж е м о к о н с т р у и с а т и

(п о л у п р е ч н и к ј е д н а к о д с е ч к у н о р м а л е и з ц е н т р а О н а п р о и з в о љ н у т е т и в у М Л Г д у ж и н е <1 , в и д и с л и к у ). П р а в а р је т а н г е н т а и з А н а I. П о с т о ји 0, 1 и л и 2 р е ш е њ а , з а в и с н о о д т о г а

д а л и је 4 в е ћ е , је д н а к о и л и м а њ е о д п р е ч н и к а к р у г а к .

524. Т р а ж е н е п р а в е а и 6 ( А 6 а , В 6 6) с у п о д је д н а к о у д а љ е н е о д ц е н т р а О к р у г а (в .

с л .). А к о је с р е д и ш т е д у ж и А В , с л е д и д а је а ||М О ||6 (з а ш т о ?). П о с т о ј и је д н о и л и

н и је д н о р е ш е њ е .

I'

С л . у з з а д . 524

525. Н е к а с у к и / д а т и к р у г о в и , О и 5 њ и х о в и ц е н т р и , а Л и г ( Л > г ) њ и х о в и

п о л у п р е ч н и ц и , (в . с л .). Н е к а с у к и I д о д и р н е т а ч к е з а је д н и ч к е т а н г е н т е Г . Н е к а је

4* п р а в а п а р а л е л н а с а I к о ја с а д ж и 5 и н е к а је К ' њ е н а п р е с е ч н а т а ч к а с а п р а в о м О К .

З б о г < О К ' 5 = 90° и м а м о д а ј е т а н г е н т а и з 5 н а к р у г к ' с а ц е н т р о м О и п о л у п р е ч н и к о м

О К ' . О в а ј п о л у п р е ч н и к О К ' је д н а к је Н . + г а к о је Г з а је д н и ч к а с п о љ а ш њ а т а н г е н т а , а

је д н а к је В —г а к о ј е I у н у т р а ш њ а т а н г е н т а . У о б а с л у ч а ја м о ж е м о к о н с т р у и с а т и к р у г

к ' , а п о т о м и <. Б р о ј р е ш е њ а је и з м е ђ у 0 и 4, з а в и с н о о д п о л о ж а ј а к р у г о в а .




С л . у з з а д . 526

526. Н е к а је 5 с и м е т р а л а д у ж и А В , а п н о р м а л а и з ц е н т р а 5 к р у г а I н а п р а в у р , (в . с л .).

П р е с е ч н а т а ч к а О п р а в и х 5 и п је ц е н т а р т р а ж е н о г к р у г а . А к о је з = п , и м а б е с к о н а ч н о

м н о г о р е ш е њ а . А к о ј е л ||п и з ^ п , н е м а р е ш е њ а . К о н а ч н о к а д а с е з и п с е к у , п о с т о ј и

је д и н о р е ш е њ е у к о л и к о је з б и р п о л у п р е ч н и к а к р у г а I и О А м а њ и о д 0 8 , а о п е т н е м а

р е ш е њ а а к о ј е о в а ј з б и р је д н а к и л и в е ћ и о д 0 8 .

527. Н е к а с у Е и г п о л у п р е ч н и ц и т р а ж е н о г и д а т о г к р у г а . П е н т а р О т р а ж е н о г к р у г аЈ е н а р а с т о ја њ у К о д д а т е п р а в е р , а г е о м е т р и јс к о м е с т о т а ч а к а к о је с у н а р а с т о ја њ у

Е о д р с у д в е п р а в е п а р а л е л н е с а р . С а д р у г е с т р а н е , р а с т о ја њ е м е ђ у ц е н т р и м а О и

5 т р а ж е н о г и д а т о г к р у г а је д н а к о је Е + г и л и |Л - г| (з а ш т о ?), п а О м о р а п р и п а д а т и

је д н о м о д к р у г о в а с а ц е н т р о м 5 и п о л у п р е ч н и к о м Е + г и л и |Л - г|. З а д а т а к м о ж е и м а т и

о д 0 д о 8 р е ш е њ а . С л и к а п р и к а з у је с л у ч а ј с а м а к ц и м а л н и м б р о је м р е ш е њ а .

528. А к о је О ц е н т а р к р у г а к , ц е н т а р т р а ж е н о г к р у г а д о б и ј а м о у п р е с е к у п р а в е О ис и м е т р а л е д у ж и А .

Р 0

529. А н а л и з а . Н е к а у Е и г п о л у п р е ч н и ц и к р у г о в а к и I, (в . с л .). Н е к а с у О Р и Л <3

п о л у п р е ч н и ц и н о р м а л н и н а з а је д н и ч к у т а н г е н т у . П р е т п о с т а в и м о д а је Е > г и н е к а ј е X

п о д н о ж је н о р м а л е и з А н а О Р . И м а м о А Х = т и < А О Х = 90°. С и т у а ц и је је с л и ч н а у

п р е о с т а л о м с л у ч а ју Е < г .

К о н с т р у к ц и ј а . К о н с т р у и ш е м о п о л у к р у г к ' н а д п р е ч н и к о м О А , а з а т и м к р у г о в е и к 2 с а

ц е н т р и м а А и О , о б а с п о л у п р е ч н и к о м т . Н е к а с у X и V п р е с е ч н е т а ч к е к р у г о в а & и

к 2 с а к ' . К р у г о в и 1\ и /2 с а ц е н т р о м А и п о л у п р е ч н и ц и м а Е — О Х и Е + А У с у р е ш е њ аз а д а т к а , (в . с л .)

Д о к а з . Н е к а је О Р п о л у п р е ч н и к к р у г а к к о ји с а д р ж и т а ч к у X и н е к а ј е I т а н г е н т а н а

к у т а ч к и Р . Н е к а је (Ј п о д н о ж је н о р м а л е и з А н а I. Л а к о с е д о к а з у је д а је Х А С Ј Р

п р а в о у г а о н и к , п а с л е д и д а је Л <3 = Х Р . К а к о је Х Р је д н а к о п о л у п р е ч н и к у к р у г а

с л е д и д а (Ј 6 /1 и д а је ( т а н г е н т а н а / ј. Т а н г е н т а д у ж Р (Ј је д н а к а је А Х = т . С а с в и мс л и ч н о с е д о к а з у ј е и д а је 12 р е ш е њ е .

Д и с к у с и ј а . Н е м а р е ш е њ а а к о ј е т > О А (н е д о б и ја ју с е т а ч к е X и У ) . А к о је т < О А ,

и м а м о д в е м о г у ћ н о с т и , з а в и с н о о д т о г а д а л и је Е > О Х и л и је Е < О Х . У п р в о мс л у ч а ју п о с т о ји ј е д н о р е ш е њ е (к р у г 1 2 ) , а у д р у г о м с л у ч а ј у и м а м о д в а р е ш е њ а .



Г л а в а V - Г е о м е т р и ј а 185

530. О д р е д и м о т а ч к у С (в . с л .) т а к о д а је О С = 2В и С — Н . Т а ч к а В , к о ја је у

п р е с е к у О С и д а т о г к р у г а п р и п а д а т р а ж е н о ј с е ч и ц и . З а д а т а к и м а д в а р е ш е њ а а к о је

О < 3В , је д н о р е ш е њ е а к о је О = 3В и н е м а р е ш е њ а , а к о је О > 3В .

С л . у з з а д . 530 С л . у з з а д . 534

532. а ) Н е к а је к [ к р у г д о б и је н т р а н с л а ц и јо м к р у г а к ^ з а в е к т о р Т * ■ Т а д а је к [ П к г = В .

Б р о ј р е ш е њ а : б е с к о н а ч н о (а к о је к [ = &г)> д в а , је д н о и л и н и је д н о .

б ) Н е к а је к ' к р у г д о б и је н т р а н с л а ц и јо м к р у г а к з а в е к т о р "г* и N = к ' П к . р о ј р е ш е њ а

је д н а к је б р о ју п р е с е ч н и х т а ч а к а к р у г о в а к и к ' .

533. У п а р а л е л о г р а м у је А § = Ђ $ , п а т а ч к у С д о б и ја м о у п р е с е к у к р у г а к и к р у г а

д о б и је н о г т р а н с л а ц и јо м к з а в е к т о р ж

534. З б о г л б = А ' с \ ч е т в о р о у г а о А А ' С ' С је п а р а л е л о г р а м . Т а ч к а 0 је њ е г о в п р е с е к

д и ја г о н а л а , п а с л е д и д а је 0 с р е д и ш т е д у ж и А ' С , (в . с л .). А н а л о г н о је В с р е д и ш т е з аВ С А В

А ' В . С л е д и д а је ф Л с р е д њ а л и н и ја у А А ' В С , п а је ф Л = А н а л о г н о је Р 0 =

и В Р =С А

535. Н е к а с у к и / д а т и к р у г о в и , а 5" и О њ и х о в и ц е н т р и , (в . с л .). А к о ј е € к т а ч к а

д и ја м е т р а л н о с у п р о т н а с а К , а р и у п р а в е о д р е ђ е н е с а , А и А , В и м а м о р ||ј, је р с у о б е

п р а в е н о р м а л н е н а А К . Т р а н с л а ц и ја з а в е к т о р 5(3 п р е с л и к а в а у К , п а с л е д и д а о н а

п р е с л и к а в а п р а в у р у п р а в у ц . И с т а т р а н с л а ц и ј а п р е с л и к а в а к у I, п а к а к о је {ј4} = к П р

и { В } = 1 П д , с л е д и д а ј е И = 5 (5 .

С л . у з з а д . 535 С л . у з з а д . 536

536. Т р о у г а о С х А х В д о б и ја с е о д А А В 1С 1 т р а н с л а ц и јо м з а в е к т о р ^Х ћ , (в . с л .), п а к а к о

с е т р а н с л а ц и јо м (к а о и с в а к о м д р у г о м и з о м е т р и јо м ) ц е н т а р о п и с а н о г (у п и с а н о г )к р у г а

п р е с л и к а в а у ц е н т а р о п и с а н о г (у п и с а н о г ) к р у г а , с л е д и д а је О 1О 2 = 5 г ( = —А $ ) . Н а

и с т и н а ч и н д о б и ј а м о и 0 20 з = 8283 , О ^ О з = 8\8з . Д а к л е , Д О 1О 2О 3 и Д 51]^2 з и м а ју с в ес т р а н и ц е је д н а к е .




537. Н е к а с у д а т е с т р а н и ц е А В , В С , С Б и у г л о в и 7 и 6 к о д т е м е н а С и В . Н е к а је т а ч к а

Е д о б и је н а т р а н с л а ц и јо м т а ч к е А з а в е к т о р Ђ $ , (в . с л .). У Д С Е В з н а м о с т р а н и ц е С Е

и С В , а < Е С В је д н а к је 7 + 6 — 180°.

С

С л . у з з а д . 537 С л . у з з а д . 538

538. Н е к а с у д а т и у г л о в и к о д т е м е н аА , В , С

и с т р а н и ц еВ С

иА И .

А к о ј е т а ч к аЕ д о б и је н а т р а н с л а ц и јо м т а ч к е А з а в е к т о р Ђ & , (в . с л .), у т р о у г л у В С Е з н а м о д в ес т р а н и ц е ( В С и В Е ) и з а х в а ћ е н и у г а о .

540. а ) Н е к а је к [ = 8л ( к ! ) и к [ П к % = { А , В } . Т р а ж е н а п р а в а је п р а в а А В .

б ) Н е к а је р ' = б А ( р ) , р ' П <7= {ф }. Т р а ж е н а п р а в а је п р а в а С Ј Л .

541. К о н с т р у и ш и м о р ' = 8а(ј>), ( в . с л .) . Т а ч к у К д о б и ја м о у п р е с е к у р ' и к . И м а 0 , 1

и л и 2 р е ш е њ а .

С л . у з з а д . 541 С л . у з з а д . 543

542. Н е к а је О ц е н т а р п а р а л е л о г р а м а . И м а м о С = 50(Л ) и 1> = 80( В ) , п а с л е д и С И =

80( А В ) и з а т о N = 80( ) .

543. С р е д и ш т е 5 д у ж и А С је ц е н т а р п а р а л е л о г р а м а ; д а к л е , 8 , ( В ) = Г >, п а д о б и ја м о

у п р е с е к у п о л у п р а в и х О у и 8 , ( О х ) , (в . с л .).

544. Ф и г у р а ј е ц е н т р а л н о с и м е т р и ч н а а к о к р у г о в и и м а ју је д н а к е п о л у п р е ч н и к е и л и а к ос у к о н ц е н т р и ч н и .

Ч р ’ Б С




545. Н е к а је А В С Б Е Р д а т и ш е с т о у г а о . Д у ж и А Б и В Е с у д и ја г о н а л е п а р а л е л о г р а м а

А В С Б Е , а д у ж и А Б и С Р с у д и ја г о н а л е п а р а л е л о г р а м а А С Б Р . С л е д и д а д у ж и А И , В Е

и С Р и м а ју з а је д н и ч к о с р е д и ш т е , к о је је о н д а ц е н т а р с и м е т р и је ш е с т о у г л а . Ш е с т о у г а о

н е м о р а б и т и п р а в и л а н , (в и д и с л и к у ).

546. Т а ч к а Р ' = 5 џ { Р ) п р и п а д а п р а в о ј С И , (в . с л .). А к о је Р ' ф <5, п р а в а Р '<5 (к о јум о ж е м о к о н с т р у и с а т и ) је п р а в а С В . Р а с т о ја њ е т е п р а в е д о т а ч к е О је д н а к а је п о л о в и н и

с т р а н и ц е к в а д р а т а , п а с е к о н с т р у к ц и ја је д н о с т а в н о з а в р ш а в а . А к о је Р ' = ф , з а д а т а к

и м а б е с к о н а ч н о м н о г о р е ш е њ а , а а к о у с л у ч а ј у Р ' Ф ф т а ч к а О п р и п а д а п р а в о ј Р 'ф , т а д а

н е м а р е ш е њ а .

547. а ) Д в е ; б ) б е с к о н а ч н о м н о г о ; в ) д в е ; г ) т р и ; д ) ч е т и р и ; ђ ) б е с к о н а ч н о м н о г о ; е )

је д н у и л и б е с к о н а ч н о м н о г о ; ж ) је д н у и л и д в е ; з ) је д н у , д в е и л и б е с к о н а ч н о м н о г о .

548. Н е к а је А А В С т р а ж е н и и А В \\р . О с а с и м е т р и ј е т р о у г л а м о р а с а д р ж а т и ц е н т а р О

о п и с а н о г к р у г а и м о р а б и т и н о р м а л н а н а А В . Т а с е п р а в а м о ж е к о н с т р у и с а т и - н о р м а л а

п и з О н а р , ( в . с л .). Т е м е С с е д о б и ја у п р е с е к у п и к ; т е м е н а н а о с н о в и ц и с е п о т о м

л а к о к о н с т р у и ш у . А к о је О 1 р , т а д а з а д а т а к н е м а р е ш е њ а ; у с у п р о т н о м , п о с т о је д в а

р е ш е њ а .

549. Т е м е н а н а к р у г о в и м а с у с и м е т р и ч н а у о д н о с у н а р ; њ и х п р в о к о н с т р у и ш е м о . Т и м е

је д о б и је н а је д н а д и ја г о н а л а р о м б а , а њ е н п р е с е к с а р је ц е н т а р р о м б а . П р е о с т а л а д в а

т е м е н а с у т а ч к е н а р н а р а с т о ја њ у Ј /2 о д к о н с т р у и с а н о г ц е н т р а .

550. Н е к а је В ' = 5 Р ( В ) . Т р а ж е н а т а ч к а је п р е с е к п р а в и х р и А В ' . Н е м а р е ш е њ а а к о р

с а д р ж и с р е д и ш т е д у ж и А В , а н и је н о р м а л н а н а А В ; а к о је р 1 А В и р с а д р ж и с р е д и ш т е

д у ж и А В и м а б е с к о н а ч н о м н о г о р е ш е њ а . У о с т а л и м с л у ч а је в и м а з а д а т а к и м а је д н о

р е ш е њ е .

С л . у з з а д . 548 С л . у з з а д . 551

551. Т а ч к е Р = 5Р (Л ) и <5 = 5 Ч ( А ) п р и п а д а ју п р а в о ј В С , (в . л .). о н с т р у и ш е м о п р в о

њ и х , а о н д а т е м е н а В и С у п р е с е к у п р а в и х р и <? с а п р а в о м Р ф . а д а т а к н е м а е ш е њ а

к а д ј е р||<? (т а д а А € В С ) и к а д је д у ж к о ја с п а ја А с а п р е с е ч н о м т а ч к о м п р а в и х р и ;

н о р м а л н а н а р и л и <? (т а д је Р <?|[р и л и Р <3||?). У п р е о с т а л и м с л у ч а је в и м а п о с т о ј и је д н о

р е ш е њ е .552. Н е к а је р п р а в а п а р а л е л н а с а А В н а р а с т о ја њ у ћ с и н е к а је В ' = 5Р (В ) . Н е к а је

С о п р е с е к д у ж и А В с а р , (в . с л .). Т а д а је А А В С о је д н а к о к р а к и и з а с в а к у т а ч к у С € р

( С Ф С о ) и м а м о А С + С В = А С + С В ' > А С о + С о В ' = А С о + С о В , п а је о б и м А А В С в е ћ и

о д о б и м а А А В С о -

553. О с а с и м е т р и је т р о у г л а м о р а с а д р ж а т и је д н о т е м е т р о у г л а и т а д с у с т р а н и ц е к о ји м а

ј е т о т е м е з а је д н и ч к о је д н а к е . С л е д и д а а к о т р о у г а о и м а д в е о с е с и м е т р и је , т а д а с в е

т р и њ е г о в е с т р а н и ц е м о р а ју б и т и је д н а к е . Н о , т а д а о н и м а и т р е ћ у о с у с и м е т р и је .

555. а ) К а к о је Д з .б о Ч Л ) = В , т о В € Д з ,б о о (а ) = <4, п а ј е а ^ П 6 = { В } и А = К з - в о °(В ).

б ) Н е к а је Л л ,90° (р ) = р '■ Т а д а је р ' П <? = { О } .

в ) 1° Л л , б 0° (?) = ? ' , ? ' П г = { С }; 2° с л и ч н о к а о п о д 1°.

556. А к о ј е 0° < а < 180°, т р о у г а о О А В је је д н а к о к р а к и с а о с н о в и ц о м А В и у г л о м а к о дт е м е н а С и у з т о је п о з и т и в н о о р и је н т и с а н , п а је т а ч к а А је д н о з н а ч н о о д р е ђ е н а . А к о је




С л . у з з а д . 552

-180° < а < 0, т р о у г а о О А В ј е је д н а к о к р а к и с а о с н о в и ц о м А В и у г л о м |а| к о д т е м е н а

С и у з т о је н е г а т и в н о о р и је н т и с а н , п а је о п е т је д н о з н а ч н о о д р е ђ е н . К о н а ч н о , а к о је

а = 180°, т а д ј е О с р е д и ш т е д у ж и А В . С л и к а и л у с т у је с л у ч а ј е в е а = ±120°.

557. Л у ж и к о је с п а ја ју О с а т р и м а н а в е д е н и м т а ч к а м а с у је д н а к е и г р а д е т р и у г л а о д

120°, (в . с л .).

А

С л . у з з а д . 556 С л . у з з а д . 557

558. Р о т а ц и ја з а 60° о к о т а ч к е А п р е в о д и В у , а С у N . Л у ж В С с е т а к о п р е с л и к а в ау М Д Г , п а т е д у ж и м о р а ју б и т и је д н а к е , (в и д и с л и к у ).

N

Р

С л . у з з а д . 558 С л . у з з а д . 560

559. Р о т и р а т и д а т и к в а д р а т з а 60°.

560. Н е к а је О ц е н т а р ш е с т о у г л а , (в . с л .). Р о т а ц и ја з а 60° о к о т а ч к е А п р е с л и к а в а О у

Р , а С у Е . К а к о је К с р е д и ш т е д у ж и О С (з а ш т о ?), с л е д и д а н а ш а р о т а ц и ја п р е с л и к а в а

К у . Т о в е ћ з н а ч и д а је А А К је д н а к о с т р а н и ч н и .

562. 1с ш , 1с ш , 0 ,8с ш .

563. К а к о ј е А \ С = В С \ = В \ А , С В \ = А \ В = А С \ , <1А \ В С \ = <1В \ А С \ = <1А \ С В \ = 120°,

т о с у т р о у г л о в и А \ С В \ и В \ А С \ п о д у д а р н и , о д а к л е с л е д и д а је А \ В \ = А \ С \ = В \ С \ .

564. Т р о у г л о в и Е Р и Ј М с у п о д у д а р н и , о д а к л е с л е д и д а је Е Р = Ј . (С а Р и (Ј

с у о з н а ч е н а п о д н о ж ја н о р м а л е и з н а ј и р , и з п о д у д а р н о с т и т р о у г л а Р Р и О С Ј

с л е д и Р Р = (?<?, п а ј е О Н = Е Р .




565. У г л о в и А К Е и А К Н с у је д н а к и је р с у о б а ј е д н а к а п о л о в и н и < А . О д а в д е с л е д и д а

с у т р о у г л о в и А К Н и А К Е п о д у д а р н и и је д н а к о к р а к и .

566. Н е к а О т е м е д а т и х у г л о в а . Д о к а з а т и д а с у т р о у г л о в и А О В и А О С је д н а к о к р а к и .

567. А к о је / / п о д н о ж је в и с и н е и з т е м е н а С , б и ћ е т р о у г л о в и А С ^ и В А Р п о д у д а р н и , п а

је = В Р . С л и ч н о п о д у д а р н и с у т р о у г л о в и С В Е и В Н , п а ј е Н = В Ј ^.

568. < С А В = <О С А , к а о т р а н с в е р з а л н и . < С А В \ = < С А В , з б о г с и м е т р и ч н о с т и т а ч а к а

В и В \ , п а је < С А В \ = < Б С А и А А Е С ј е је д н а к о к р а к и ( А Е = Е С ) . К а к о је И А =

С В = С В и а < О Е А = < С Е В \ , к а о у н а к р с н и , б и ћ е п р а в о у г л и т р о у г л о в и А И Е и С В \ Е

п о д у д а р н и .

571. Д о к а з а т и д а је с в а к и о д у г л о в а , к о је с и м е т р а л а г р а д и с а н а с п р а м н о м с т р а н и ц о м

в е ћ и о д п о л о в и н е у г л а , к о ји т а с и м е т р а л а п о л о в и .

572. 36°,36°, 108°.

573. Н е к а је К т а ч к а н а А В т а к о д а је А К = А Е . Т р о у г л о в и А Б Е и А И К с у п о д у д а р н и .

О з н а ч и м о < Е О А = < А О К = ф . С а д а је с п о љ а ш њ и у г а о А А Б К < Б К В = у + ф . Т а к о ђ е

ј е : < Б Е С = ^ + ф . И з А Е С Б с л е д и у = 180° - — - ф , г д е је -у = <С , а и з А А В С :* 2

/3 = 180» —ог —7 = 180» - о г - (180° - у - ф ) = ^ + ф , г д е ј е /3 = < В . Д а к л е , < И # В = <#В 1>,

п а ј е А В Б К је д н а к о к р а к : Б В = Б К . З б о г Б К = Б Е , б и ћ е и В Б = И Е .

574. К а к о је М Л Г с р е д њ а д у ж т р о у г л а В С И , т о је М Л Г Ц В С , т ј. ± С А . У т р о у г л у

.А С М С Б ± А , М Л Г ±С А , п а је т а ч к а Л Г о р т о ц е н т а р , з н а ч и А Л Г је т р е ћ а в и с и н а т р о у г л а ,т ј. А И ± С .

575. Н е к а је М с р е д и ш т е д у ж и В Е . Т а д а је Р \ \ Б В , п а је Р ± С Б , а к а к о је и

И Е ± С , т о ј е Р о р т о ц е н т а р т р о у г л а Л М С , д а к л е С Р ± Б . К а к о је А Е \ \ Б , т о је иС Р ± А Е .

576. П р е и н а ч и н :

О з н а ч и м о а \ = < В О А \ , а 2 = < С О А 1,а з = < О В А \ , а ^ = О С А \ , г д е је А \ п о д н о ж је в и с и н еи з А , з а т и м < А В С — {3, < В С А = 7 и < В А С — а . И з п р а в о у г л и х т р о у г л о в а с е д о б и ја

“ 1 + “ з = 9 0»,а 2 + а 4 = 90»,/? - а з = 90» —а , 7 - а 4 = 90» —а . И з п р в е д в е р е л а ц и ј е је

“ 1 + 012 = 180» - (а 3 + а 4), а и з д р у г е д в е /? + 7 - (а 3 + а 4) = 180» - 2а , т ј . а = а 3 + а 4, п ај е а \ + а 2 = 180» - а .

Д р у г и н а ч и н :

< В О С и < В А С с у у г л о в и с а н о р м а л н и м к р а ц и м а у с у п р о т н о м с м е р у , п а с у с у п л е м е н т н и .

577. А к о с у 1 , % , 1 д у ж и н е т е ж и н и х д у ж и , а Т - т е ж и ш т е т р о у г л а А В С , б и ћ е и з т р о у г л а2 2 3 3 3

А Т В : з ^ + з ^ > с, т ј. 1 + Ц > - с . Н а и с т и н а ч и н је < + < > -6 и % + 1 > - а . С а б и р а њ е м

о в и х је д н а к о с т и д о б и ја м о < + + < > ^(а + 6 + с ).

578. А к о ј е О /1 + 0(3 = 01? + О З , т а д а је и 0 1 3 —5 Ј = 0(3 —О ^}. Д а к л е , н а с п р а м н ес т р а н и ц е А О и В С ч е т в о р о у г л а А В С И с у п а р а л е л н е и је д н а к е , п а је ч е т в о р о у г а о А В С И

п а р а л е л о г р а м .

579. 2 ^ - V = З ^ + 2 ^ = 1 ( 8 / + ^ ) .

580. У п у т с т в о . А к о с у Т \ и Т 2 т е ж и ш т а т р о у г л о в а М 1М 3М 5 и 2 * в т а д а (п о з а д а т к у

4016) в а ж и О Т х ~ —[ О \ + О М 3 + О М 5 ) и = — [ О 2-\-О ^ -\ -О ^\ г д е је О п р о и з в о љ н ао 3

т а ч к а . К о р и ш ћ е њ е м о в о г а и ч и њ е н и ц е д а је О м \ = - (С у Х + О ^ ) ,. . . , О 6 = + б З ) ,

д о к а з а т и д а је о з ^ = о з | , о д а к л е с л е д и д а је Т \ = Т г .

581. И з п е т о у г л а И Р С Б је Ј ч Р = /У л ) + м б + 1)<? + с А И з ч е т в о р о у г л а Л Г Р В А је

= Л Л /1 + + ?. С а б и р а њ е м н а в е д е н и х је д н а к о с т и д о б и ја м о = - А ^ - - А ^ , је р




■ 1* Ђ б = Р % , Ш = \ А ћ , а в е к т о р и и Ш , о д н о с н о с Р в Р с у с у п р о т н и в е к т о р и .

582. О д р е д и м о т а ч к у И н а п р а в о ј О В т а к о д а је О Б = О В и В - О - Б и н е к а ј е

О Б П А С = {5 }. К а к о је В О : О С = 2 : 1, т о ј е 05 = О И , а к а к о је 8 А = З С , т о је

ч е т в о р о у г а о А О С Б п а р а л е л о г р а м , п а је С и = Ђ % и ~А $) = В О . С а д а је о З = 0 % + О С ,

т ј. - 6 = ! ? + "с *, о д а к л е ј е _с >= — 6 — ! ? = —( ! ? + 6 ).

583. И з м н о г о у г л а Л 1Л 2 ?1-520*1 С 2 ј е А 1А 2+ А 2В 1+ В 1В 2 + В ? С \ + С 1С 2+ С 1С 2+ С 2А 1 = 0 .

К а к о је А 2В 1 = А & , В 2С 1 = В (3, С ? А \ = сХ и А В + В ( 5 + С л = 1?, т о је и Л 1Л 2 + В \ В 2+

С Г С 2 = ■?.

584. Л Л х + В В 1 + О О 1 = ( А & + с Ћ + в Х ) + (А В \ + О Л 1 + В С \ ) . З б и р у п р в о ј з а г р а д и је

0 , а с в а к и в е к т о р у д р у г о ј з а г р а д и д о б и ја с е р о т а ц и јо м о д г о в а р а ј у ћ е г в е к т о р а и з п р в е

з а г р а д е з а 60°, п а је и з б и р у д р у г о ј з а г р а д и је д н а к 0 .

585. К а к о је з Ћ = Ж Х + р + Ж ћ . и з Ћ = р + Р ђ + Ш , о ј е 2 5^ = А р + р ђ . Н а с л и ч а н

н а ч и н с е о к а з у ј е д а је 2 ђ = Ђ Р + Е $ , п а је з ћ = ђ , а т о је е о п х о д а н и д о в о љ а н

у с л о в д а ч е т в о р о у г а о Р ^ Е 8 б у д е п а р а л е л о г р а м .

586. К а к о је А ^ = ~ Р + В & , т о је 5а Е = а Р + а З , о д н о с н о 5а Е = а Р + 4А $ и4 — * 1 4

+ - А К . К а к о је - + - = 1, т о с у т а ч к е К , I , и В к о л и н е а р н е и К 1 ј : Б В = 1 : 4 .5 5 5

Б С '

А В

С л . у з з а д . 586

587. Н е к а је 5 п р е с е ч н а т а ч к а к р у г о в а о п и с а н и х о к о т р о у г л о в а Л Л ф и В Р Е . Т в р ђ е њ е

ћ е б и т и д о к а з а н о а к о д о к а ж е м о д а ј е и <С ?5Р = 180° —7 . П р е т п о с т а в и м о с а је 5 у

у н у т р а ш њ о с т и т р о у г л а А В С (о с т а л и с л у ч а је в и с е с л и ч н о д о к а з у ју ) . Т а д а је <ф 5Д =

180° - а , < Р 8 Е = 180° - /3 и <С )8Е = 360° - ( «2 5 Л + <Р 8 Е ) = 180° - 7 .

588. И з А А В С и м а м о < В А О = 180° —80° —50° = 50°, п а је А Б = В Б . А к о к о н с т р у и ш е м о

к р у г с а с р е д и ш т е м Б и п о л у п р е ч н и к о м О А п о ш т о с у у г л о в и А И В и А С В с а и с т е

с т р а н е т е т и в е А В и п о ш т о је < А Б В = 80° = 2< А С В , т о и т а ч к а О п р и п а д а п о м е н у т о м

к р у г у (о д н о с ц е н т р а л н о г и п е р и ф е р и јс к о г у г л а ) . С т о г а је В Б = С И , т р о у г а о Б В С је д н а к о к р а к и и < В О С + 2< Б В С = 180°. К а к о је < И В С = < В И С + 30°, д о б и ја с е д а ј е

< О В С = 70°.

589. < Р В А = < В В А , к а о у г а о и з м е ђ у т е т и в е и т а н г е н т е и п е р и ф е р и ј с к и у г а о н а д т о м

т е т и в о м ; < А В Б = < В О А је р је А А В О је д н а к о к р а к и , п а је < О В А = < А В Р .

590. Н е к а је Т с р е д и ш т е т е т и в е N . К а к о је О Т ±1 \ Т , т о с е д у ж О в и д и и з т а ч к е

Т п о д п р а в и м у г л о м , п а је т р а ж е н о г е о м е т р и јс к о м е с т о к р у г к о н с т р у и с а н н а д д у ж и О

к а о п р е ч н и к о м .

591. И с к о р и с т и т и ч и њ е н и ц у д а с е с в е о в а к в е т а ч к е К н а л а з е н а к р у г у к о н с т р у и с а н о м

н а д д у ж и В к а о п р е ч н и к о м , г д е је с р е д и ш т е д у ж и , к о ја с п а ј а В и ц е н т а р о п и с а н о г

к р у г а А А В С .

592. а ) <1 = 6 — а ; б ) а < 6 < 2а .

Ж = \ ћ5




593. М Л Г Ц Р ф , п а је М Л Г С Ј Р т р а п е з . Л Г ф је т е ж и ш н а д у ж п р а в о у г л о г т р о у г л а А С Ј С , п а АС 1

је Л Г <5 = — . Т а к о ђ е је и М Р = ^ А С , п а је Л Г <5 = М Р .

594. Н е к а је А В С \ т р о у г а о с и м е т р и ч а н д а т о м у о д н о с у н а п р а в у А В и К \ = 8а в ( К ) .

Т а д а је <А О К = <Р О В (је р ј е <А = <В ) и <К \О А = <А О К , п а је и <Р О В = < К г О А , о д н о с н о т а ч к е К г , 0 и Р с у к о л и н е а р н е . П о ш т о је А Х В С и К \ Р Х В С , б и ћ е А \\К \Р .

О с и м т о г а о в и о д с е ч ц и с е н а л а з е и з м е ђ у п а р а л е л н и х п р а в и х С \А и В С , п а ј е А =

К \ Р = К О + О Р .

595. Н е к а ј е /? ц е н т р а л н и у г а о , к о ји о д г о в а р а м а њ е м л у к у В С (в . с л .). Т а д а ј е /? : 40 =

3 : 10, о д а к л е ј е /? = 12°, а < В Е А = ј = 6°, к а о п е р и ф е р и јс к и у г а о н а д В С . Н а и с т и

н а ч и н < О В Е = 20°. З б о г т о г а је < А В Е = 160°, п а ј е а = 180° —(160° + 6°) = 14°.

С л . у з з а д . 595

С

С л . у з з а д . 596

596. Н е к а с и м е т р а л а у г л а С с е ч е о п и с а н и к р у г у т а ч к и О (в и д и с л и к у ). К а к о је < А С О =

< О С В = 2ф , т о је А О = О В , п а ј е Р О с и м е т р а л а с т р а н и ц е А В . П о ш т о је и С Б \ \ Р О , т о је

< Б С Е = < Е О Р = ф , п а је т р о у г а о С О Р је д н а к о к р а к и и с и м е т р а л а о с н о в и ц е С О п р о л а з и

к о р о з т е м е Р . П р е м а т о м е , Р је п р е с е к с и м е т р а л е д в е т е т и в е С О и А В , т ј . је с р е д и ш т ео п и с а н о г к р у г а . С л е д и д а ј е А В п р е ч н и к , п а је < А С В = 90°. О д а в д е а л а з и м о д а је

ф = 22°30', а < С А Б = 90° - ф = 67°30' и < А В С = 90° - 3ф = 22°30'.

597. .И м а м о д а је (в . с л .

< Р 8 С = = 90°

< Р И С = 180° - <А Л Г <? = 180° - (90° - ј ) = 90° + ј ( * ) ,

2 ^ (**)> п а Ј е < Р С + < Р 8 С = 180° (и з ( *) и (** )) и ч е т в о р о у г а о

Р Л Г С 5 је т е т и в а н . О д а в д е с л е д и д а с у и п е р и ф е р и ј с к и у г л о в и н а д т е т и в о м 5С је д н а к и :

< 5 Р С = <5Л Г С = 90°, п а ј е и < В Р С = 90°. Д о к а з је с л и ч а н а к о с е т а ч к а Р н а л а з и в а н

т р о у г л а А В С .

А г

С л . у з з а д . 599

598. Н е к а А В = 6 , А С = 7 и В С = 9 и Л а ,Л б ,Л с д у ж и н е п о л у п р е ч н и к а к р у г о в а с а

с р е д и ш т и м а у А , В , С . Т а д а је К „ + = 6, К с - К а = 7 и К с - = 9, о д а к л е с е л а к он а л а з и К „ = 4, К \, = 2 , К С = 11.




59 9 . Н е к а је <*; ц е н т р а л н и у г а о , к о ји о д г о в а р а л у к у («' = 1, 2,3 ,4 ) и ф у г а о и з м е ђ у

д у ж и В 1В 3 и В 2В 4 (в . с л .). Т а д а је

<*1 + <*2 + “ з + “ 4? = ---------- ј---------- ,

а к а к о ј е 2с ц + 2а г + 2<*з + 2а 4 = 360°, т о ј е џ> = 90°.

600. Ч е т в о р о у г а о А С Ј Р је т е т и в а н , је р је < А Р + < А < З = 180°. К а к о с у п е р и ф е р и јс к и

у г л о в и н а д т е т и в о м Р , < Р А и < Р ( ^ је д н а к и , а < Р ( ^ = < К А ( Ј , к а о у г л о в и с а

н о р м а л н и м к р а ц и м а , б и ћ е и < Р А = < К А ( ј .

601. Н е к а је О с р е д и ш т е м а њ е г к р у г а (в . с л .). З б о г А К \\ О С и О А = О С , б и ћ е < К А С =

< А С О = < С А О .

602. Н е к а је Р 8 т а н г е н т а м а њ е г , а С Ј 5 в е ћ е г к р у г а . Т а д а ј е < Р 8Б — < З С Б и <С ?5С —

<5В Г > (в . с л .), п а је < Р З Б = <С ?5Г », Р 8 = ( } 5 и к р у г о в и с е м е ђ у с о б н о д о д и р у ј у .

603. Н е к а с у (Ј и Л т а ч к е у к о ји м а у п и с а н и к р у г д о д и р у ј е с т р а н и ц е В С и А С . К а к о је

3 . . ( С В ) = Р и 5 ,к (С Ц ) = Д Г Р и С Л “ С Ц , т о је и М Д Г “ Р Д Г .

605. Т р а н с л и р а т и к р а к О х у с м е р у о с е д з а д у ж и н у Ј .606. И с т о к а о у п р е т х о д н о м з а д а т к у .

Г л а в а VI - Р а ц и о н а л н и а л г е б а р с к и и з р а з и

607. а ) 6х 3 - 4 х 2 + 8х + 5 ; б ) х 4 + х 3 + З х 2 - х - 3.

608. а ) 2 х 2 + а ; б ) 2 х 2 + 3 х - 2а 2 ; в ) 7 х 2у + 7 х у 2 - 2 х у + у 2 ; г ) - \ х 3у ; д ) 2х °; ђ ) а х .

609. а ) х 3 + З х 2 - 7х ; б ) 4х 4 - 12х 3 + З З х 2 + 7х - 2; в ) 4 х 5 - 5х 4 - х 3 + 24х 2 + З О х + 9; г )

х 4 + 5 х 3 + 4 х 2 + З х + 2.

610. а ) 2а 6 + 2 а с + 2а с( + 26с + 2\>4 + 2с Н ; б ) а х + 1>у ; в ) х 5 - у 5 ; г ) а 2*(>3у - 2а 1+'1(>2'1- З а х 1> + 2') .

611. а ) Р ( х ) + <?(х ) = 2 х 2 - 2х , <?(х ) - Р ( х ) = 2х - 2;

б ) Р (х ) + Ц (х ) = х 8 - 2х 5 + 2х 4 - х 3 + 2, Р ( х ) - <?(х ) = х 8 - 2х 5 + х 3 - 2х - 2;

в ) Р (х ) + С ?(х ) = 4х 5 - З х 4 - 7х 2 - х + 3, С ?(х ) - Р (х ) = - 4 х 5 - З х 4 - З х 2 - 7х + 7;

г ) Р ( х ) + С ?(х ) = (а + 6)х 3 + (6 —2а )х 2 —2а х + 36 + 8а ,

Р (х ) - Ж х ) = (а - 6)х 3 + (6 + 2 а )х 2 - 2а х + 36 - 8а ;

д ) Р ( х , у ) + Р ( х , у ) = 2х 3 + б х у 2 , Р ( х , у ) - <?(х , у ) = 2у 3 + 6х 2у ;

ђ ) Р ( х , у ) + С } ( х , у ) = —^х у - 2х , Р ( х , у ) - Ж х , у ) = - х у —х + 2у .

612. а ) х 3 - 1; б ) х 3 + 27; в ) 6х 3 - 31х 2 + 47х - 42; г ) х 8 - 2х 5 + х 4 + 4х 3 + 2х 2 - 6х + 8; д )

4х 4 - 4х 3у - 4х 2у 3 - 18х 2у 2 + 12х у 4 + 12х у 3 - 6у 5 ; ђ ) х у 2 - х 2у - х г 2 + х 2г + у г 7 - у 2г .

613. а ) 2 х 2у 2 ; б ) —2х 10у 3; в ) 4х в у 10; г ) х 2у 2"+1; д ) х у ; ђ ) х 2 7 ; е ) х у 2 ; ж ) 16а ; 'п 69 т ; з ) х 4;

и ) х и у 2; ј) х ’"!/4’"; к ) у 2 п .



Г л а в а VI - Р а ц и о н а л н и а л г е б а р с к и и з р а з и 193

614. а ) 5(а + х ) ; б ) 2(а - 1); в ) 7(а - 2); г ) 3(а 2 + 3); д ) 3(а + 26 + 3); ђ ) х (6 + а + 6); е )

3(3а 2 —2а + 4).

615. а ) а 2(1 —а ); б ) З а (а -2 ); в ) 1 3(а 2 -1 ) ; г ) а (З а 2+ 2а + 1); д ) х ( 4 х - 2 + у ) ; ђ ) х3у(у2-1+ху2).

616. а ) х2у3(х - у 5); б ) 2ху2(3х-2у); в ) 5х2(х-Зу3); г ) 3х2у(2х-3у + ху); д ) х 3( 1 - х 4 -2х2).617. а ) а 62(а 2 + 2а 3 —463); б ) 3а 263(а -36 + 4а 36); в ) 5х 3у (3 -2 х -х 1 /2); г ) 7х3у2(2х-5ху + 3у2);

д ) З а 567(7а 263 - 4а 3 + 565 7д т а Т 2 ? - З а 2з :4 - 2х3 - 12).

618. а ) ( т + г г ) (а + 6); б ) ( а - 6 ) ( т + г г ); в ) ( т - п ) ( х - у ) ; г ) ( а - 6 )( х - 5 ); д ) ( р - ?) (7 ? -2 р ) ; ђ )

(х —3)(2т +5г г ) ; е ) ( а -6 ) (2* + 1); ж ) (х+у)(3+х+у); з ) (а - 6 )( а - 3 6 ); и ) (х+у-г)(2а-31>-5г).

619. а ) а " (а " + 1); б ) а 2х (а * - 6*); в ) 2 х " (х т + 3); г ) а х (а 2* + З а 1 + 5; д ) З а 2х (2 - З а 1 + 61).

620. а ) (а + 6 )( т - г г ) ; б ) ( а - 6 ) (т - г г ) ; в ) ( а - х ) (1 > + у ) ; г ) (а — т ) ( п — 6); д ) (х + у ) (5 а - 1); ђ )

( х - у ) (2 х - 1); е ) ( т - г г )(4у - 1); ж ) ( х - у ) ( х - 2 ) ; з )Д 36 - 2а )(2у - 5 х ) ; и ) (а - 6)(х 2 + 1 - 1);

ј ) ( х - 2)(5 а х - 6 - 1); к ) ( х у — 1)(З х 3у 4 + х у + г ) ; л ) ( т х - п ) ( т х 3 + 2 х — 1).

621. а ) (х + 7)(х-7); б ) ( а - 6 ) (а + 6 ) ; в ) ( 4х - 3)( 4х + 3); г ) ( З х -7 )( 31 + 7); д ) ( х - - ) ( х + ~ ) ;

ђ ) (1 - 1)(I + 1); е) (Т “ Т )(Т + Т ); ж ) (Т - 3у )(Т + у); з) (1 - °’6)(1 + °’6);и ) ( х - 0,03)(х + 0,03); ј) (0, 2х —0,5)(0, 2х + 0,5); к ) (0 ,1х - 0 ,2 у ) (0 ,1х + 0 ,2у ); л ) (х2у -

0,1)( х 2у + 0,1) ; љ ) (0, 5ху - 0, 01)(0,5х у + 0,01).

622. а ) (х - 5)(х - 1); б ) (а + 2)(а + 8); в ) х (2у - х ); г ) - у ( 2 х + у ); д ) ( 2 - а :)(3х + 2); ђ )

(2х + 1)(4х —1).

623. а ) —( З х + 5 у ) ( 5 х + З у ) ; б ) 8( х - 4у )(у - х ); в ) - ( З х + 7 у ) (7 х + 3у ) ; г ) ( х - 17)(11х - 7);

д ) 4х (у - г) ; ђ ) (у - 5)(2х + у - 1).

624. а ) 98 ■ 102 = (100 - 2)(100 + 2) = 1002 - 22 = 10000 - 4 = 9996;

625. а ) х2 - 4х + 4, I 3 - 6х 2 + 12х - 8;

б ) х2 + бху + 9у 2, I 3 + 9х2у + 27ху2 + 27у3;

в ) х 2 + 2х 3 + х 4, х3 + Зх4 + Зх5 + х6;г ) а 6 —4а 4 + 4а 2, а 9 —6а 7 + 12а 5 - 8а 3;

д ) Х4у2 - 2х3у4 + х2ув, хву3 - 5хвув + Зх4у7 - х 3у 9;

ђ ) ( (* + у ) + 2)2 = х2 + у2 + г2 + 2ху + 2хг + 2уг, ((х + у) + г )3= I 3 + у 3+ г3 + Зх2у + Зху2 +

Зх2г + Зхг2 + Зу2г + З уг 2 + бхуг;

е ) ((х - у ) + г )3 = х 2 + у 2 + г 2 - 2х у + 2х г - 2у г , ((х - у ) + г ) 3 = х 3 - у 3 + г 3 - З х 2у + Зху2 +

Зх2г + Зхг2 + Зу2г — Зуг2 —6 хуг.

626. а ) II 2 = (10 + I)2 = 100 + 20 + 1 = 121

б ) 993 = (100 - I)3 = 1003 - 3 ■ 1002 •1 + 3 ■ 100 •I2 - I3 = 1000000 - 30000 + 300- 1= 970299.

627.’ а ) (а — 2)(а 2 + 2а + 4); б ) (4а + 1)(16а 2 - 4а + 1); в ) (2 х - у ) ( 4 х 2+ б х у + 9 у 2 ); г )

( х — 4а у ) ( х 2 + 4а х у + 16а 2у 2); д ) (2а х + у 2 ) (4 а 2х 2 - 2 а х у 2 + у 4 ); ђ ) а (а 2 + З а б + 362); е )

- у ( 3 х 2 - З х у + у 2 ) ; ж ) -(2 1 + 3)(13х 2 -15 1 + 9); з ) —26(3а 2 + 62); и ) (0 ,4 -х )( 0 ,16 + 0,4х + 12);ј) (0, 2 + 0 ,1х )(0, 0 4 -0 , 02х + 0,01х 2); к ) (1, З х - 1)(0,79х 2 - 1,7 х + 1); л ) - (0 , 5 х + 1)(1, 75х 2 +

2 ,5 х + 1); - |) (1 + Х- + ^ ) ; м ) (| + у ) ( ^ - |у + у 2); н ) 2(26 - а )(13а 2 - 16а 6 + 762);

њ ) (2а - З Ј а 2 - З а + 3); о ) (5у - х )(19х 2 + 5 х у + 7 у 2 ); п ) ( х - 5у )(19х 2 + 5 х у + 7 у 2 ); р )

5(х - у ) (7 х 2 - 11х у + 7 у 2 ).

628. а ) (а - З )2 ; б ) (З а + I )2 ; в ) (5х + 4у)2; г ) 4(х 2 + у )2; д ) а 3(а 2 - 6)2; ђ ) х(3х2 + у) 2; е )

(|а + 1)2; ж ) ( х - ^ )2; з ) (х + у + 2)2; и ) ( З х - у + г ) 2; ј ) ( а + 26)3; к ) (5а — 6)3; л ) (2х + З у )3 ;

љ ) (З а —56)3.

629. а ) Преи н а и и и : х 2 —(3—2) х +3(—2) = х 2—З х +2х +3(—2) = х(х—3)+2(х—3) = (х—3)(х+2);

Други начин:



б ) ( х +2 )( х +4 ); в ) ( х +7 )( х +5 ) ; г ) ( х - 4 )( х +1 ) ; д ) ( х - 10 ) (х +3 ) ; ђ ) ( 6-9) (6+7 ); е ) (6 -5 )(6+10);

ж ) (а —46)(а + 76); з ) (2х - у ) ( х + З у ); и ) (у - а ) ( у - а - 1); ј ) а 2(а - 1)(а + 1)(а + 2)(а - 2); к )

п ( п + 1)(п + 2); л ) (х —1)(3х + 8); љ ) (х —2)(5х + 22); м ) х (2х —1)( х + 3); н ) х (6х —1)(2х + 1).

630. а ) (х + у —г ) (х + ] /+ г ) ; б ) ( х - у - г ) ( х - у + г ) \ в ) ( х - у - 3 ) ( х - у + 3 ) - , т ) 2 (х + у —1 )(х + у + 1);

д ) а (а - 26 - 1)(а - 26 + 1); ђ ) 62(2а - 6 - 2)(2а - 6 + 2 ) .

631. а ) а 6(а —6); б ) 2 ( х - у ) ( х + у )\ в ) а ( а - 1 )( а + 1); г ) а 2(а + 1)(а - 1); д ) 5 х ( х - 2 у ) ( х + 2у )\

ђ ) у г 2( х - 1)(х + 1); е ) (х - у ) ( х + у + 1); ж ) ( х + у ) ( х - у - 1); з ) (х - у ) ( х + у - 1);

и ) х ( х 2 + 1)(х - 1)( х + 1); ј ) а 6(а 2 + 62)(а - 6)(а + 6); к ) ( х - у ) ( х 2 + х у + у 2 + х + у )\ л )

(х - у )(х 2 + х у + у 2 —х —у ); љ ) (х + у ) ( х 2 - х у + у 2 - х + у ) .

632. а ) а 262(а —6)(а 2 + а 6+62); б ) х 4у 3(2х +у ) (4 х 2 —2х у +у 2); в ) (х —а )(х + а ) (х 2+а х + а 2) (х 2 —

а х + а 2); г ) (а 2 + 3)(а 4 - З а 2 + 9 ); д ) (х 2 + а 4)(х 4 - а 4х 2 + а 8); ђ ) (х - а )(х + а )(х 2 + а х + а 2)(х 2 -

а х + а 2) (х 2 + а 2) (х 4 —а 2х 2 + а 4); е ) ( х 5 -2 у 3) (х 10 + 2х 5у 3 + 4у в ); ж ) 7х 7(х + 2у 2 )( х 2 -2 х 1 /2+4!/4);

з ) (а - 6)(а 2 + а б + 62 - 27); и ) а (а - 6)(а + 6)2( а 2 - а б + 62); ј ) (2х + 5)( х - 1)( х 2 + х + 1); к )

(х + 2)(х —1)(х 2 + х + 1); л ) ( х - 1 ) (х + 1 ) ( р - ? )( р 2 + р ? + ?2); љ ) ( х - 1 )(х + 1 )(х + 3 )(х 2 - З х + 9);

м ) (х - 1)(у - 1)( х 2 + х + 1)( у 2 + у + 1); н ) (а + 2)(6 - 1)(6 + 1)(а 2 - 2а + 4).

633. а ) 2 у ( 2 у + З а )3; б ) 3х (3х + 2у )3 ; в ) З х (2х - З а )3; д ) 2у (3у - 2а )3. ■

634. а ) х 3 - 4х 2 + 13х - 9; б ) - х 4 + 2х 2 + 1; в ) -4 а 3 - 13а 2 - 6а + 7; г ) 2 + 62 - 26с .

635. а ) х + у ; б ) с — 5; в ) (а - 6)2; г ) 2а —1; д ) 9 - 6а + 4а 2.

636. а ) Р ( 2 ) = 8; б ) Р ( 1 - у Д ) = -1 - 4^/2.

637. а )

(2х 5 -* 5х 4 - 2х 3 + 12х 2 - 9х + 2) : ( х 2 - З х + 2) = 2х 3 + х 2 - З х + 1

2х 5 —6х 4 + 4х 3

х 4 - 6 х 3 + 12х 2 —9х + 2

х 4 - З х 3 + 2х 2

-З х 3 + 10х 2 —9х + 2

-З х 3 + 9х 2 - 6х

х 2 - З х + 2

х 2 - З х + 2

194 ■ Р е ш е њ а з а д а т а к а

0

б )( х 3 - 5х 2 + З х - 2) : (х 2 - х + 1) = х - 4

3

—4х 2 + 2х —2

—4х 2 + 4х —4

—2х + 2

в ) х 2 + 1 и о с т а т а к 2х + 1; г ) х 2 - х и о с т а т а к 1; д ) х 2 - З х + 5 и о с т а т а к х —1.

638. О с т а т а к п р и д е љ е њ у п о л и н о м а р ( х ) с а х — 1 је п о Б е з у о в о ј т е о р е м и је д н а к р (1).

Р е з у л т а т и : а ) 1; б ) 0; в ) 2.

639.

а ) ф (х ) = х —1, Л (х ) = 1; б ) <?(х ) = З х - 2, Л (х ) = - 6 ;

в ) С ?(х ) = х + 1, Л (х ) = - 2 х - 1; г ) С ?(х ) = х 2 + х - 1, Л (х ) = 1;

д ) Ж х ) = х 2 + З х + 5, Н ( х ) = 0; ђ ) Ц (х ) = 1,' П ( х ) = 4х - 14;



е ) <2 (х ) = 0, Н ( х ) = х + 3; ж ) <3(х ) = х - |, Н ( х ) = р

з ) <3(х ) = 4х 2 + х - 1, Н ( х ) = 5 х + 3.

640. а ) П о л и н о м и с у и д е н т и ч к и ј е д н а к и а к о с у и м је д н а к и к о е ф и ц и ј е н т и у з о д г о в а р а ју ћ е

с т е п е н е . Д а к л е , т р е б а д а б у д е 3 = 6, — = -4 , 2 = 6 - 1 и 5 = 5, т ј. а = 4, 6 = 3. б )

а = 0, 6 = - 4 ; в ) а = 5, 6 = 4.

641. а ) Д а б и б и л о I 3 - 2 х 2 + 3 = ( х + 1)(а х 2 + к х + с ) = а х 3 + (а + 6)х 2 + (6 + с ) х + с , м о р а

б и т и а = 1, а + 6 = - 2 , с = 3 и (6 + с ) = 0, о д а к л е с е д о б и ја а = 1, 6 = -3 , с = 3.

б ) а = 2, 6 = - 5 , с = 3; в ) а = 4, 6 = - 12 , с = 5; г ) а = 6, 6 = -1 7, с = 12;

д ) и з 1 + 5 = (а + 6+с ) х 2 —(5а + 46+ 3с )х + (6а +36+2с ) , м о р а б и т и а + 6+ с = 0, 5а +46+3с = - 1

и 6а + 36 + 2с = 5, о д а к л е с е д о б и ја а = 3, 6 = - 7 и с = 4. ђ ) а = 3, 6 = 12, с = 11.

642. а ) К а к о је р ( 2) је д н а к о 16 — 16т , т о ј е п о л и н о м д е љ и в с а х —2 а к о ј е т п = 1.

б ) П о ш т о ј е р (1) = 2 - 5т , т о ј е о с т а т а к је д н а к 7 а к о је т = -1 .

643. а ) П р и м е т и м о д а ј е р ( — 1) = 0. О д а в д е з а к љ у ч у је м о д а је п о л и н о м р д е љ и в с а

1 + 1. К а д а и з в р ш и м о т о д е љ е њ е д о б и ја м о к о л и ч н и к х 2 + 8х + 15 т ј . д о б и ја м о д а ј е

р ( х ) = ( х + 1)(х 2 + 8х + 15) = ( х + 1)(х + 3)(х + 5).б ) р ( 2) = 0 ;р (х ) = ( х - 2 )(х 3 - З х - 2) = ( х - 2)2(х + I)2. в ) ( х + 1)(х + 2 ) ( х + 3)(х + 4). г )

(х + 1)(х - 2 ) ( х + 3 )(х - 4). д ) ( х - 1)(х - 2 ) ( х - 3 )(х - 4). ђ ) (х - 1)( х + 1)(х + 2 ) ( х - 3)(х + 4).

644. а ) С о б з и р о м д а је р (1) = 0 з а к љ у ч у ј е м о д а је п о л и н о м р ( х ) д е љ и в с а х - 1 (Б е з у о в а

т е о р е м а ). К а д а и з в р ш и м о т о д е љ е њ е , д о б и ј а м о к о л и ч н и к х 2 — 5 х + 6, т ј . д о б и ја м о д а је

р ( х ) = (х - 1)(х 2 - 5 х - 6) = (х - 1)(х - 2 ) ( х - 3 ) .б ) З б о г р (1) = 0 д е л и м о р ( х ) с а х - 1 и д о б и ј а м о к о л и ч н и к ц ( х ) = х + 2 х + 3 . З б о г ? (-1 ) - 0,

д е л и м о д ( х ) с а 1 + 1 и д о б и ја м о ?(х ) = (х + 1)(^2 — х + 3) , т ј . р ( х ) = ( х — 1)(х + 1)(^2 —х + З ).

. 3645. П о Б е з у о в о м с т а в у ј е р ( — 2 ) = 0, о д н о с н о —8а + 12а —6 —0, т ј . а — —.

646. У о ч и м о д а је р ( 2) = 0 и п р и м е н и м о п о с л е д и ц у Б е з у о в е т е о р е м е .

647. И з р ( 3 ) = р ( 1) + 6 л р ( —1) = 2р (1) н а л а з и м о к = 1 , I = 2.

648. И з р ( —1) = р (1) = р (4 ) н а л а з и м о к = - 2 , I = 1.

649. а ) р ( 2) + р ( —2) = 6, т = 1; б ) р (1) - р ( -1 ) = 8, р (1) + р ( -1 ) = 2, п а ј е р (1) = 5,

р ( — 1) = -3 , о д а к л е н а л а з и м о к = 3, / = 2.

650. а = 1, 6 = -5 . 651. т = -3 , п = -1 .

652. А к о у р ( х ) = ( х 2 - 5х - 1 4 ) д ( х ) + 2х + 4 з а м е н и м о х = 7 и х = - 2 д о б и ја м о р (7) = 18,

р ( - 2) = 0.

653. а ) А ( х ) = ( х + 1)(х - 2 ) ( х + 2), В ( х ) = ( х + 1)(х + 3), Н З Д (А (х ), В ( х ) ) = 1 + 1 ;

б ) А ( х ) = ( х - 1 ) ( х + 1 ), В ( х ) = ( х - 1 ) ( х - 2 ) , С ( х ) = ( х - 1)(х + 2), Н З Д (А (х ), В ( х ) , С (х )) =

1 —1;

в ) Н З Д (ј4(х ), В ( х ) ) = ( х - 2 )2( х 2 + 1 + 1);

г ) Д а т и п о л и н о м и м о г у с е н а п и с а т и к а о (а —6)(а + 6), (а —6)2, (а —6)(а —26). Њ и х о в Н З Д

ј е а —6;

д ) (а + 6)(а 2 - а б + 62); ђ ) х - 1; е ) х ( х - 2); ж ) х .

654. а ) 10а 3; б ) 18а 62; в ) 180а 3; г ) 42а 265; д ) 12а 6с; ђ ) 30а 262с 2.

655. а ) х 2 — у 2 \ б ) а 2 — 62; в ) х ( х 2 — 1); г ) 3(а —6)(а + 2); д ) 2(а 2 —62); ђ ) 6(а 2 —62); е )

- ( а 2 - 62); ж ) 6а (а 2 - 9). ^

656. а ) ( х 2 - у 2 )2 \ б ) (1 + у ) (х 2 - у 2); в ) ( а 2 - 6 2)2; г ) ( а 2+ 62)(а 2 - 62)2; д ) а 3 - 6 3; ђ ) а 3 + 63;

е ) а 3 +27; ж ) а 3 - 125.

657. а ) х у 2( х 2 — у 2); б ) х 2( х - 1)(х + I)2;' в ) (х 3 - у 3)( х 3 + у 3) = ~ У 6 \ г ) 1212(х 2 - I)2; )

х 2( 3 х — 2 у )2( 3х + 2 у )\ ђ ) (4х 2 + 3 ) ( х - 2 ) ( 3 х + 1).

658. а ) х ф 7; б ) х Ф у \ в ) р Ф - ? ; г ) х ф - ^ ; д ) х ф у х ф З у \ ђ ) - 1 ; ) Ф 2у -а

х ф З у ; ж ) а ф ±1.




659. а ) с а 6с ф 0;6 ) 4 з а к с 4 ф 0; в ) з а а с ф 0; г ) - 1 з а х ф у ; д ) ------ з а х ф ±у \ ђ )иС 2 1У

- — - з а а ф - 6; е ) —-— з а а ф 2 ; ж ) ° + 3 з а 6 ф 0 и а ф -3 ; з ) ° 4 з а а б ф 0 и а ф ± 2;а + о а —2 о а о

и ) — — з а х у ф 0 и г ф —5; ј ) •. У . з а г у ^ 0 и х ф у .х х ( х - у )

660. а ) — т , з а а ,6 ф 0 и а ^ ± 6; 6 ) ^ т г , з а а ф 0 и а ^ 2 ; в ) з а а , 6 ^ 0 и а ф - 2 ;а —6 а —2 а + ^ д

г ) 7 , з а а ,6 ^ 0 и || ф 2 ; д ) 1, з а а ,6 / 0 и а / ± 6; ђ ) 2, з а а , 6 ^ 0 и а ^ - 6; е ) - 2, з а

2а ^ 0,6 ^ 0 и а 26; ж ) — з а ,6 / 0 и 6 / 1; з ) — - г , з а а ф - 6; и ) — — , з а а ф 1 и

1 — о а + о а - г о

, .. г —2у + 1 . . . а - с , , ч 4 а (а г —З у )

п Ф “ 3; Ј ) + 4 у ’ З а Г ,!/ * ° И Г * ~ А У ' К ) 2 ^ Т ? З а 6 Ф ~ С ' С * “ 2а ; Л ) а г + З у Г ’, . а г + 6 ' ,

з а а г + З у 0 , а ^ 0 ; љ ) --------- з а а г ф о.а г — о

661. а ) з а 6 ф

0 иа ф

- 3 ; 6 ) — ^ -7 , з аа ф

- 6 иа ф

-26 ; в ) —1— , з аа ф

0 ,аф I

ио а + 2 о а — о

||^ 1; г ) 1 , з а а ф 0 и а ф - 1; д ) з а а ф 0 и а ф - 2; ђ ) 1, з а а , 6 ф 0 и а ф 2 ; е ) 2а 2,

з а а ф 1, 6 ф 0; ж ) 4а 63, з а а ф 0 и || ф 1; з )5 х у 2 , з а х ф 1; и ) — з а х ф 0 и х ф 1.

662. а ) , з а а ф х и а ф 1; 6 ) ~ 2 > з а а ф ±1 и х ф ± 1; в ) з а 4 ф с ,6 ф а \ г )

^ , з а а + 6 - с * 0 и а - 6 + с * - 0; д ) з а , 2 + , - 1 ^ 0; ђ )

, , г 2 + 2г + 2 а + 6 \ а 2 + 1 \з а х ф —а \ е ) ---------- ------ , з а а ф 1; ж ) - 7— -, з а а б ф ± 1; з ) ------ ј — , з а а ф ± 1; и )

„ а — 1 а о —1 а ^ — а * -+- 1

+ з а х 2 - у 2 ф 0; ј ) з а с ф 2; к ) х 4 + х 3 + х 2 + х + 1, з а х ф 1; л ) 1, з а |г| ф 1,( х - у )2 с — 2|| ф 1; љ ) 1, з а а ф ± 6.

663. а ) з а а ф 0 ; 6 ) з а 6 ф 0; в ) °+_ 1 , з а а ^ О . а ^ - 1; ) 6 ^ ^ ’ з а

к ф 0 и 6 / 1 ; д ) ^ - ± | , з а ^ 0, 65 ^ З ; ђ ) з а 0 , 6 ^ 0, а б " / 2; е )- ^ - р з а а ф 0,

а ф ± 1; ж ) п а Х п , з а а ф 0, х + а 11 ф 0 ; з ) , з а а х ф 6*.

, 22а +6 . , _ -ч 7г + 6у , „ ч 39а - 37 ч 116 + 18

664> а) за а ’6# 0; 6) __^ г за х 'у ф °' в ) ~ т ~ 3&а ф 0’ г) “15Г ~ за 6 ^ 0;

665- а ) Ј п ^ - 3* * ^ 6) “2 (а 2-~1>2Т ’ 3&а ф °’ а ф ±,>' в )2 ^ Т ^ Г ’ 3 а 6 # 0 ’ а # _ 6 ;

г ) ^ Г Г ј Г - з а а * ±6 = д ) д 5( у а - р ) - з а д ^ 0’ д / ± у : ђ ) ^ г у ( Г - у ) У ’ з а ^ У -

666> а ) ( а - б Р ( а + 6) ’ З а “ 54 ±6 ; 6) ° ’ З а " Ф ±1; В ) П Т ^ “ Ф ± Х ' Г ) ^ 7 ^ ) ’ ^3 1 —23

г * « * °; д ) 2 - 9у 2 ’ з а * ± 3 « ' 5) 7 Т Г ’ З а ,г| ф 2; е ) ° ’ З а || Ф 2; ж )15(г —2) ’ З а

х ф 2.

ч 2а + 3 , З у - 2 х . . 3 ( 2 х 2 - 7 х + 6 ) .

667, а ) (^Т з )1’ за а * _3; 6) ( Г ^ Р ’ з а г * у ' в )( г - з р — ’ з а г * 3; г )

а + 6 - 2а 6 - 62 . г 2 - 2г у - у 2 , 2а 2 + 25а - 3 ,( . + »)» ■ “ ■ * -*■ * ' (» + , ) ( , - , ?■ “ 1 # ±к ђ ) ( .-3 )> (. + 3)’ “ “ #




> 1 5 - 5 а , „,, , 3 ч 8 -668. а )1, з а а :, у ^ 0 и 2* - 5у 5* 0; б ) З а (4а 2 _ 9) ' з а “ * 0 и || Ф ~1 ) ^ + 4^ а _ > з а

, , , 2(3;/ — 2 х ) ^ 3 . 13ог + 7у , „ „ . ^ ^ х у + З х - 8ј/

|| ф 4; г ) ^ х + З у ’ З а 1 Ф 2 У ' д ) ----- 2----- ’ Х 2о : ’

г ^ 0, г —2у ^ 0.

4 . 5 х . 1 1 „ ч

669< а ) (а - 2 ) ( г - 3 ) ’ З а |а ' * 2 И Х Ф 31 б ) ( 2 * - 1 ) ( 3 * - П ) ’ ^ # ? ~ 3 ’ _2; В )

------ ------------ г , з а а ^ - 6 , г ^ - у \ г ) I , з а а ф к ,а ф х \ д ) 1, з а т ф ± - ; ђ ) 1, з а(а + 6)(о : + у ) 6 л

а ф 0, 6 ф 0, а + 6 ф 0; е ) ' з а т * ±3 ; ж ) *’ З а “ Ф 4’ “ Ф ±3 '

*> “ М " ■ > “ * " ? " - ‘ # ±,; г)

2 , з а 6 ф 0, а ф -6 ; д ) 0, з а х ф ±2; ђ ) 1, з а а ф 2.


6 (а + 6)

___ 1 о л А -Л П - -------(а 6):

х 9у 2 . . . . _ З а 9625

671. а ) ^ з а а , 6 0; б ) ^ ^ з а а , 6 0; в ) — :— з а а , к , с , Ј ф 0 ; г ) ^ з а а , 6, с , <1ф 0; д )

з а а , 6, с , 4 , х , у ф 0; ђ ) — т — з а а , к , с ф 0.9а 3с 3 ( Р с 6

ј п + 4 5 б 3 п _ 6

672. а ) а п +3 з а а ^ 0; б ) а 3п +1 з а 6 ф 0; в ) 6"+2 з а а ,6 ф 0; г ) з а а , с ф 0; д ) д2г|_ 8-

з а а , 6 ф 0.

673. а ) -1 з а а ф 6 ф 0 ф а \ б ) г ( 4 х 2 + 6у 2 - З х г ) з а х , у ф 0; в ) з а у ^ О и Ј ^ - у ; г )

( ^ ј ј Г з а 0 Ф -6 и а 2 + 62 # 0; д ) З а а # ±6; ђ ) з а * # 0 и |*| ф - .

674 . а ) З Д (3: + 5) з а х ф 0 и х ф 5; б ) ~ ~ з а у ф 0 и \х\ ф 2; в ) 33/ у ф 0> х ф у

10 х 2, У ^

и х ф 2у \ г ) — -јјј- з а а х ф 2 и | ог | ф 1; д ) —, з а х ф 0, х Ф 3, х ф —у ; ђ ) , з а

6 ф 0, х ф ±у \ е ) - , з а 6 ф 0, а ф 0, х ф ±у \ ж ) ^ , з а а ф ±6, а ф ±с , 6 ф с .а а — с

675. а ) — , з а х , у ф 0; б ) --------^ + ° \ &----- — , а ^ ±6; в ) , з а а ф 0 и а 2 ф г )У (а + 6) * а *

3 ( ^ 2 _ ј_ ^ 2 —

2, з а х ф 3; д ) 6 - а , з а а ф 0, 6 ф 0, 6 ф 2а \ ђ ) ----- — ---------, з а ф 0, у ф 0; е ) ^ , з а

у - ф 0, х ф З у \ ж ) 16 з а т ± п ф 0, г ± з ф 0, х ф 0, у ф 0.

676< а) 3(Г = 1)’ “ * 4 И Н * 21 б) а # 0, а ^ 3 и |а| # в) ^ ^ 2 - за а ,» # 0 и

а ф —6; г ) —— —, з а х ф 0, у ф 0, х ф у \ д ) — , з а х ф 0, у ф 0, 2 х ф ±3 у \ ђ )2, а З а ^ ±46;х у х у

а 2 + 62е ) 6, з а х ф З у , х ф ^у , х ф ±у \ ж ) 2 Т д , з а а ^ 0, 6 0, а ^ ±6

3 ■*^ ; а 2 - 62

677. а ) ^ р - , а б ф 0; б ) * ~ 2у , х , у ф 0 и х ф ± 2у . в ) у , у ^ ±1; г ) х + 2 , х ф 0, * ф 1,

Х Ф д ) Т ’ а6 ° ’ а ф ±(>’ ђ ) а 1’ а 6 Ф °’ а ^ З 6'

678. а ) 1 з а а , 6 ф 0, а ф - 6 ; б ) з а 1 , у ^ 0 и ! ^ ± у .х у

679. а ) З Д !/' з , г ^ ±У ; б ) 9, х ф 0, |гј ф 2.(у ~ *)3



68° ' а ) Т ^ ’ п Ф ° ’ 1 ф ± а ' б ) ( к + Т - а )2 ’ а Ј с ф ° И Х ф ±а ; В ) 1 ^ ’ а * °> х * 0 и

х ^ ±а ; Г ) ~ Ч Г ' (’ ^°>а ^ Ј >а ^ - 2> а ^ -

6 8 1 ' а ) Г Г Г Т ’ 1 1 ^ а ^ ±|-; б ) - 1 - р |а |ф 1 ; в ) а (6 + 2 ~ а ) > а*сфО,}>ф-с,1 + сф± а.

6 82 . а ) ^ - + 1 ) , а а ф 0,а ф 1 и |х| ^ 1; б ) - ^ Ј - ј , х ^ ± у ; в ) х ф 3 ; г )

• а ( а - 6) а ( а - З ) г 4 . „

( Г + б ^Н а + б ) ’ “ * ±Ј ; Д ) (а ~+ 4 )(а — 2 ) ’ “ * ° ’ “ * 2 ’ “ * _ 4 и а ф - 3 ; ђ ) Х- ± ± , у ^ О . V л у у

68 3- а ) а _ Ј + 2 ’ з а 1 + Ј 1^ 2: б ) Ј Т Г ј ’ з а а ^ ± 6 , 2а + 6 ф 0 ; в ) б з а а, 6 ф 0 , а + 6 ф ± 2с ;

г ) ^ГГ^-’ 3* * Ф ±У Ф 0 Ф х- х + у

6 8 4 ' а ) 2 (у - х) ’ х ф у ^ ° * х : б ) ^ Г Г ' а ^ , « ^ - 1 и а ^ - 3 ; в ) х - у , х , у ф 0 ж х ф -у;

г ) - , а Ф ± 6 ; д ) х у, х Ф -у ; ђ ) |х| ф 3; е ) 1, |а| ф 2; ж ) 2, х ф 0 и х ф - 3 .

6 85 ' а ) З а Х ’ У ^ 0 И х ^ у ’ б ) ~ ^ Т ’ з а х ^ 0 и |х| 1 ; в ) — !— , х ^ ± у , х ^ 0 , х ф - ^ ;х — 1 X — у 2

г ) 9 , х ^ ± 2 , х ^ - 1, х ^ 0 ; д ) 0 , х ^ ± 1 ; ђ ) - 1, а ^ 0 , а ^ ± 1; е ) 2 , х ф 1 ; ж ) ^ ± 4 , х ^ а .

6 8 6 - а ) Ј г Т Т Г ? з а а + Ј - с ^ О и а - 6 + с ^ О ; б ) ^ ± | , з а а ф 3; в ) ^ . з а а ^ О« т о -г е а —3 а — #

и а ^ ± х ; г ) з а а , х ^ 0 ; д ) | + ^ + * > з а 6 + с - а ф 0 и х + у - г ф 0 ; ђ ) а - 6 , а ф - 6 .

6 8 Г ' а ) а + 2 6’ Ј ^ ° > а + 26 ^ 0 ; б ) ~ 6 ф 0,а ф 26; в ) ~ -+ | , 6 ф 0 , а 6 + 1 ф 0 ; г )

З а б — 1 , ,

з П Т ’ а ^ п -3а + п '

688' а ) ц Г ^ ј ’ х * * ’ х * ± у <б ) з (Г Т 5)-а * ~5; в ) 'а ' * 2'

689' а ) х ^ 2’ х ±у ; б ) 7 ^ 1 ’ а ’ 6^ °-а Ф к’ а * ЗЈ; в ) I- 11^ 1и х ^ о-

6 9 0 . а ) X 4 + 2х У + у4 - 2х2у2 = (х2 + у2)2 - (у Д ху)2 = (х2 - ч / Г х у + у2) ■(х2 + ч / Г х у + у2);

б ) х 4 + 2х2у2 + у4 - х2у2 = (х2 + ху + у2)(х2 - ху + у2);

в ) ( х 2 - \Дху + у2)(х2 + ч / З х у + у2);

г ) (х 3) 2 - (у3)2 + ( х 4 + 2х2у2 + у4) - х2у2 = ( х 2 + ху + у2)(х 2 - ху + у2) ■( х 2 - у2 + 1);

д ) 2( х + ху + у2)2;ђ ) 5ху(х + у )(х 2 + ху + у2).

6 9 1. а ) х 4 + 4 = х 4 + 4 х 2 + 4 - 4 х 2 = ( х 2 + 2)2 - 4 х 2 = ( х 2 - 2 х 2 + 2) •(х 2 - 2х + 2);

б ) ( х 4 + 1)2 —( х 2) 2 = ( х 4 + х 2 + 1) ( х 4 —х 2 + 1) = ( х 2 + х + 1) ( х 2 - х + 1) ( х 2 + х ч / 3 + 1) ( х 2 - х ч / 3 + 1 ) ;

в ) А х + 1) + х2(х + 1) + ( х + 1) = ( х + 1) ( х 4 + х 2 + 1) = (х + 1) ( ( х 2 + I )2 - х 2) = ( х + 1) ( х 2 +х + 1) ( х 2 — х + 1);

г ) П о ђ и м о о д х 15 — 1 и м а м о д а ј е х 15 - 1 = ( х 5) 3 - 1, = ( х 5 - 1) ( х 10 + х 5 + 1) = ( х - 1 ) ( х 4 + х 3 +

х 2 + х + 1) ( х 10 + х 5 + 1), а с а д р у г е с т р а н е х 15- 1 = ( х 3) 5 - 1 = ( х 3 - 1) ( х 12 + х 9 + х в + х 3 + 1), п а

. 10 , „ 5 , , _ (х2 + х + 1) ( х 12 + х 9 + х 8 + х 3 + 1) , , , 7 . „ , ■ ,Ј + х + 1 _ ~4 + х3 + х2 + х + Ј-------------- = ( х + * + !) (* - 1 7 + х 5 - х 4 + х 3 - х + 1 ) .

692 . а ) 2 (х 2 + I ) 2 + х 3 + х = ( х 2 + 1 ) (2 х 2 + х + 2 );

б ) У з е т и с м е н у : х 2+ 5х = I. Р е з у л т а т : ( х + 1 ) ( х + 2 ) ( х + 3 ) ( х + 4 ) ; в ) У в е д и м о с м е н у х 2+ х = I.

Т а д а в а ж и ( х 2 + х ) 2 + 3 (х 2 + х ) - 10 = 1? + 34 - 10 = ( ( + 5 )( ( - 2) = ( х 2 + х + 5 ) ( х 2 + х - 2 ) =




(I 2 + х + 5)(х + 2 ) ( х - 1). г ) [ х 2 + х + 4)(х + 3)(х - 2); д ) ( х 2 + х + 7 ){ х + 3 )(х - 2); ђ )

( х 2 + х + 3)(х —1)(х + 2).

693. а ) а 62 + 2а 6с + а с 2 + 6с2 + 2а 6с + 6а 2 + с а 2 + 2а 6с + с 62-4а 6с = а 62 + 6а 2 + а с 2 + 6с2 + с (а + 6)2 =

а 6(а + 6) + с 2(а + 6) + с (а + 6)2 = (а + 6)(с 2 + с а + с б + а б ) = (а + 6)(6 + с ) (с + а );

б ) а 26 —а б 2 —а 2с —а с 2 + 2а 6с + 6с2 —62с = а 6(а —6) —с 2(а —6) —с (а —6)2 = (а —6)(а 6 —с —с а + с б ) =(а - 6)(6(а + с ) —с (а + с ) ) = (а —6)(а + с ) (6 — с );

в ) 4(\> — с )(а - с ) (а - 6);

г ) (а + 6 - с )(а 2 + 62 + с2 - а б + 6с + с а );

д ) 3(а + 6)(6 + с ) (с + а );ђ ) а 3 + З а 26 + З а б 2 + 63 + с 3 - З а 26 - З а б 2 - З а б с = (а + 6)3 + с 3 - З а 6(а + 6 + с ) = (а + 6 +

с ) [(а + 6 )2 - (а + 6) •с + с 2 - З а б ] = (а + 6 + с ) (а 2 + 62 + с 2 - а б - 6с - с а ).

694. а ) г 3( х - у ) - г ( х 3 - у 3) + х у ( х 2 - у 2 ) = ( х - у ) [ г 3 - г ( х 2 + х у + у 2 ) + х у ( х + у )] =

(у - х ) ( г - у ) ( х - г ) ( х + у + г )\

б ) (у + * - х ) ( г + х - у ) ( х + - г ) ( х + у + г )\ в ) (а + 6)((6 + с )(с + а );

г ) ( х — у ) ( г + х ) ( г — у ) \ д ) ( а —6)(6 —с)(а —с )(а 6 + 6с + с а ),

ђ ) ( х + у ) ( у + г ) ( г - х ) ( х г - г - у )\ е ) ( х - у ) ( х + г ) ( у - г )\

ж ) (6 + с ) (а + 6)(а + с ) ; з ) (у - г ) ( г - х ) ( у - г ) ( х + у + г )\

и ) ( а - х ) ( х —у ) (а —у )(а + 1 + у ) .

695. а ) а (а + 76)(а —46); б ) а (а - 36)(а + 116); в ) п (7 п + х ) ( 2 п + 7 х )\ г ) т ( 2 п - х ) ( 3 п + А х )\ д )

а 6(3а х —26)(2а х + 5б ) ; ђ ) б !(5 а 1 -3 6у )(2 а 1 + 3б у ); е ) 1 у (2х + 3у )(31 + 2у ); ж ) 1 у ( х - 5 у ) (5 1 - у ) .

696. а ) а 2 - 62 - с 2 + 42 - 2а <1 - 26с = ( а 2 - 2 а Л + 4 2) - (62 + 26с + с 2) = (а - 4 )2 - (6 + с )2 =

(а — 6 - с - 4 ) ( а + 6 + с — 4)\

б ) а 3 + 8 а 2 + 19а + 12 = а 3 + 4а 2 + 4а 2 + 16а + З а + 12 = а 2(а + 4) + 4а (а + 4) + 3(а + 4) =

(а + 4 ) (а 2 + 4а + 3) = (а + 4)( а 2 + а + З а + 3) = (а + 4)( а ( а + 3) + а + 3) = (а + 4)(а + 3)(а + 1);

в ) а 2 + а с - 6с - 62 = а 2 + а с + а б - а б - 6с - 62 = а (а + с + 6) - 6(а + с + 6) = (а + 6 + с )(а - 6);

е ) а 3-6 а 2 + 1 2а -8 -1 2а + 8 + 30 -а = ( а -2 )3- ( а - 2 ) -1 2 ( а - 3 ) = ( а - 2 )( а - 3 )( а - 1 )- 1 2 (а - 3 ) =(а —3)(а - 5)(а + 2).

697. а ) а 2с +а с 2 —62с —6с2 + а 6(а —6) = с ( а 2 -6 2) + с2( а -6 )+а 6( а -6 ) = ( а -6 )( с ( а + с ) + 6(а + с )) =

(а + с ) (а - 6)(6 + с ).

698. а ) И з А ( х + * В Х 5) = 16 2Х - д о б и ј а м о ( А + В ) х + А - 5 В = - 2х + 16, т ј.' ( х + 1)(х —5) I 2 —4х —5

А + В = - 2 , А - 5 В = 16. О д а в д е је А = 1, В = -3 ; б ) А = 3, В = 4; в ) А = 1, В = 3; г )

А = 5, В = —2.

___ . (2п - 1)(п + 1) (З п + 1)(п - 1) 4п , , , 1 , _ 1.

' а ( 2п — 1)(п —1) (З п + 1)(п + 1) (п - 1)(п + 1) ’ ’ 2 ’ 3 ’

^ , ( 3 * -1 ) ( * + 1) (2* + 1 ) ( * - 1 ) _ п . , ^ +1 _ Ј _

б ) (1 - *)(1 + *) + (3* - 1)(* -~Т ) ~ (2* + 1)(* + 1) ~ °' 1 * ^ 2’ В ) 1 - 4а 2 ’

° * 4 а * а ф ~1 ' г ) т ^ ' » ф ±12’ у * 4 ; д ) *2- * - г з а х ф ° ’ 12 * 1;

ђ ) - Х + 2 , з а х ф ±1, * ф ±2; е ) ------ -----— , а б с ф 0, 6 + с ф 0, а - 6 - с ф 0; ж ) ^ _ 16у8 .

х у ф 0; з ) 0, * ф 0, * ф ±у ; и ) 1, * ф ± - \ } ) х 3 - 1 , х ф 1 ^ ±2‘ л ) а 2 + 1 ’

|| ф 1; љ ) — а Ф Ф Ф п ; м ) * —у , * ф +у ; н ) 1,* ф ±1»* ф 0,у + * ф 0;

њ ) _ ^ ± | 1а , 6 ф 0,а ф 62,а 2 ф 62; о ) — , х , у ф 0 , х + у ф 0. п ) Д е љ е њ е м п о л и н о м а с еа о х у

д о б и ја д а је д а т и и з р а з је д н а к з а х Ф 0 ,ж 2 —х — 4 Ф 0 и з р а з у З х 2 : \( х 2 — 2 + 4) + (# + ^ +

1) + (*2 + * + 2) - * - 7] = З *2 : З *2 = 1; р ) Р е з у л т а т д е љ е њ а ( *6 + 2*5 + *3 - 2*2 - 2) и

(* 3 + 2*2 + 2) је * 3 - 1, п а је д а т и и з р а з з а * ф 1,* ф 0,* ф —- и * 3 + 2*2 + 2 ^ 0 је д н а к




и з р а з у - х2 + х + јЈ с ) И з р а з у с р е д њ о ј з а г р а д и је је д н а к и з р а з у (х 2+ - ^ + 1)2. е з у л т а т

( з а х ^ ° ) ' (х 2 + х + 1)2( х 2 —х + 1) ’ Т ) >х ^ 0, х 4 —7х 2 + 1^0 .

700‘ а ) ( ^ 1)(х Д : ; ; (х - 3 )Р Ч ______ Ј________________ . 1 _ 6с ( с - 6) - а с ( с - а ) + а 6(6 - а )

а (а —4)(а —с) 6(с - 6)(6 - а ) с (с - а ) (с - 6) а 6с( а —6)(* —с )(с —а ) ~(а —б )(б —с) (с —а ) 1

а к с (а - 6)(6 - с ) (с - а ) = Л ~с ™ М С * 'С * °'

701. а ) З а х > 3 и м а м о х (х 3) + Д ~ 9 = - , а з а х < 3 ,х / 0 ,х / Х (д ~ 3)+ У 2 ~ 9 _х (2х 2 —З х —9) х 2 х (2 х + 3 )( х —3)

3(х - 3)______ 3 х 2 + 1 1 1

х (2х + 3 )(х - 3 ) ~ х (2х + 3) ’ б ) Т ^ х * ' З а Х ф ±1; В ) Г + Т ’ З а Х < 2 , Х ^ _ 1 ’ Х ^ - 3 ’ ^Т јГ з ’

З а Х > 2; Г ) з а х < 0, ^ _Х + (2 _ 2) з а 0 < х < 2 и х ф |, - 1 ^ з а х > 2; д ) х - 2

х 2 ~{~4

з а х < 1, ---------

з а 1 < I < 2, ј + 2 з а х > 2. X—I

200 • Р е ш е њ а з а д а т а к а

702. О з н а ч и м о а (у + г ) = 6(г + х ) = с (х + у ) = 4. Р е ш а в а њ е м с и с т е м а је д н а ч и н а у + г = —,

г + х = 7 , х + !/ = - д о б и ја м о х = ^ Г Т - + - ~ - V Ј' = 1 С “ + ~ _ г У г = -" с 2^ 6 с а / 2 \с а 6 / ’ 2 1а I с / . У ~ г г - х х - у 1

о д а к л е Ј е — ------- - = —---------= ---------— — ---- .а ( б - с ) 6(с —а ) с ( а - 6) а б с ’

703. И з д а т о г у с л о в а д о б и ја м о 62 = ( а + 6 - с )2 - а 2 = (2а + 6 - с ) ( 6 -с ) , а 2 = ( а + 6 - с ) 2- 6 2 =

(а +26 —с ) (а —с ), о д а к л е ј е - ' + (а ~ С ? = (а + 26 ~ с )(а - с ) + (а - с )2 = 2(а - с )(а + > - с )

а _ с 62 + ( 6 - с )2 (2а + 6 —с)(6 —с) + (6 —с )2 2(6 - с ) (а + 6 - с )

6 —с

704. а ) И з д а т е је д н а к о с т и д о б и ја м о 6с (а + 6 + с ) + а с (а + 6 + с ) + а 6(а + 6 + с ) - а б с = 0, а

о д а т л е (а + 6)(6 + с )(с + а ) = 0, т ј: а + 6 = 0 и л и 6 + с = 0 и л и с + а = 0.б ) С л е д и н е п о с р е д н о и з а ) .

705. И з х + ј / + 2 = 0 и х 2 + ј / 2 + 2 2 = 1 с л е д и 1 = х 2 + у 2 + г 2 = (х + у + г ) 2 - 2(х у + у г + г х ) =

-2( х у + у г + г х ), т ј. х у + у г + г х = ——. К в а д р и р а њ е м д о б и ја м о ^ = х 2у 2 + у 2г 2 + г 2х 2 +

2( х у 2г + у г 2х + г х 2у ) = х 2у 2 + у 2г 2 + г 2х 2 + 2х у г (х + у + г ) = х 2у 2 + у 2г 2 + г 2х 2. Н а јз а д

х 4 + у 4 + г 4 = ( х 2 + у 2 + г 2)2 - 2(х 2у 2 + у 2г 2 + г 2х 2) = I2 - 2 •^ = ^.

706. С л и ч н о к а о у п р е д х о д н о м з а д а т к у , и з х + у + г = 1 и х 2+ у 2+ г 2 = 1 с л е д и х у + у г + г х = 0.

707. 62х 4 —а У + ( а 2—б2)*4 = 62(х 4- г 4)+ а 2(г 4- Ј / 4) = 62(х 2- х 2)( х 2+ г 2)+ а 2(г 2- ! / 2) (г 2+ у 2) =62(а 2 - 2г 2)а 2 + а 2(2*2 - 62)62 = а 262(а 2 - 62).

708. а ) \ (х ) = х 8 — 1 ,М г (х ) = 8(х — 1)2(х + 1)(х 2 + х + 1),Г >2(х ) = х — 1, п а у з у с л о в е

х Ф 0 ,х Ф ±1, х 2у ф ± - в а ж и Е ( х ) = ( х - I )2. б ) х + 1,х Ф ±1; ( х ) = х 3 + х 2 - х - 1. в )

х ( у - х ) , х ф у ; ( х , у ) = х ( х - у ) 2 .

709. а ) А к о је Р ( а ) = 0, о н д а ј е а п а п + а „_1а г* -1Ч ------ |-а !а + а „ = 0, п а ј е а 0 = - а ( а " а " -1 +

а п - 1а "~2 + ----- 1- а г ), т о ј е б р о ј а 0 д е љ и в с а а .Р П ^ - ^ ГЈ

б ) И з ^*(~) = п д о б и ја м о а п ~ + а „_Ј ^„_ ј + ••• + о ј —+ а 0 = 0. О д а т л е , н а ј п р е , с л е д и

а о ?" = -р ( а „ р " -1 + а „_Ј р г,-2<7+ ----- 1- о ј ј " -1 ). Д е с н а с т р а п а о в е је д н а к о с т и ј е д е љ и в а с а

р , п а је т а к в а и л е в а ; к а к о с у р и у з а ја м н о п р о с т и , д о б и ја м о р \а 0. С л и ч н о с е д о к а з у је

д а ?|а „.



710. а ) ( х + 2 ) { х + 3 ) ( х - 5); б ) ( х + 1)(х + 2 ) ( х - 3); в ) ( х - 1 )( х + 3)(х + 7); г ) ( х - 1)(х + З )2;

д ) ( З х - 1)(3х —2)2;

ђ ) А к о јеР ( х )

=х

3 — З х у

2+

2у 3 ,

о н д а јеР ( у )

= у 3 —З у 3 + 2у 3 = 0, п а ј е п о л и н о мР ( х )

д е љ и вс а х — у . И з в р ш и в ш и о в о д е љ е њ е , д о б и ј а м о Р ( х ) = ( х — у ) ( х 2+ х у — 2у 2 ) = ( х — у ) 2( х + 2у ) .

711. а ) И м а м о д а ј е

р ( х ) = ч ( х ) ( х — 1)(х + 1) + а х + 6 (*)

П о Б е з у о в о ј т е о р е м и ј е р ( 1) = 3, р ( — 1) = 1. А к о в р е д н о с т и х = 1 и х = —1 з а м е н и м о у

(*), д о б и ја м о

3 =р (1) = а + 6,

1 = р ( -1 ) = —а + 6.

И з п о с л е д њ и х р е л а ц и ја с е н а л а з и 6 = 2, а = 1. Д а к л е , о с т а т а к п р и д е љ е њ у п о л и н о м а

р ( х ) с а х 2 —1 је х + 2. б ) х + 2.

712. а ) Н а ј п р е у о ч и м о д а в а ж и р (1) = р ( 2) = 0 и 2х 4 —1113 + 1б 12 —I —6 = ( х — 1 ) ( х — 2 ) ( 2 х

2 —

5 х -3 ) = ( х — 1)(х —2)(х —3)(2х + 1); б ) ( х - 1 )( х +3 )( х + 7 ) (3 х -1); в ) ( г + 2 ) ( х -3 ) ( х -5 ) (2 х + 1);

г ) ( х + 1 )(х + 3)(х + 5)(3х —1); д ) ( х - 1)(х - 2 ) (2 х - 1)(3х + 1); ђ ) ( х - 1 ) (х - 2 )( х -3 ) (х 2 + 1 + 2);

е ) (х - 1)(х + 3)( х + 7 )( х 2 — х + 1).

713. Д а , је р ј е Р (0 ) = ( - I ) 2" + 1 - 2 = 0 и Р ( 1) = 1 + 1 - 2 = 0.

714. Д а б и п о л и н о м Р ( х ) б и о д е љ и в п о л и н о м о м <3(х ) = ( х —1)(х — 2), н е о п х о д н о је и

д о в о љ н о д а б у д е д е љ и в с а * - 1 и * - 2 . И з Р ( 1) = 2 + р + Ј = 0, Р ( 2 ) = 28 + 2 + д = 0

с л е д и р = -26 ,? = 24.

715. И з п р в е о д д а т и х је д н а к о с т и д о б и ја м о х б с + у а с + г а б = б с (1), а и з д р у г е а у г +

В х г + с х у = 0 (2). А к о к в а д р и р а м о л е в е и д е с н е с т р а н е р е л а ц и је (1), д о б и ја м о : а 262с 2 =

(х б с + у а с + г а \>)2 = х 262с 2 + у 2а 2с 2 + г 2а 262 + 2а 6с (а у г + б х г + с х у ) = х 262с 2 + у 2а 2с 2 + г 2а 262,

х 2 у 2 г 2

и м а ју ћ и у в и д у (2). Д е љ е њ е м с а а 262с 2 д о б и ја м о : 1 = + т т- +а * о * с г

716. а ) У п у т с т в о : п о с м а т р а т и п р о и з в о д ( х + у + г ) ( а 2 + 62 + с 2). б ) У п у т с т в о : н а јп р е

д о к а з а т и д а в а ж и а б + 6с + с а = 0.

717. а ) Е ( х , у ) = ( х + у + I)2 + ( х — 2 )2 —3 и м а н а јм а њ у в р е д н о с т -3, а к о ј е х + у + 1 = 0 и

х — 2 = 0, т ј. х = 2,у = —3.

б ) Е ( х , у ) = ( х — у + I)2 + (у —I)2 — 1 и м а н а јм а њ у в р е д н о с т -1, к о е х = 0, у = 1.

718. а ) XI = 1; б ) х ^ = 1; в ) х ^ = —1; г ) х ^ = 0.

719. а ) XI = 2; б ) х ^ = —6; в ) Х ј = 0; г ) х ^ = 0; ) н е м а р е ш е њ а ; ) = 5.

720. а ) Р е ш е њ е је с в а к и р е а л а н б р о ј ; б ) н е м а р е ш е њ а ; в ) х ^ = - ; г ) с в а к о х € Л ; д )^ 5

х = —- ; ђ ) х = - 2 ; е ) х = 2.2 1

721. а ) х = 1 V х = —2; б ) х = —1 V х = - ; в ) х = —- V х = 2; г ) х = -2 V х = 1 V х = 3; д )3 3

3 1х = - 2 \ / х = 3 ; ђ ) х = - 3 \ / х = 4 ; е ) х = - - \ / х = 2 ; ж ) х = 1 \ / х = - .

■ д722. Р е ш е њ а је д н а ч и н е о б л и к а — = 0 т р а ж е с е п р и м е н о м ф о р м у л е

** ,

4 = о ^ ( А = о л в # о ) .в

а ) XI = 2; б ) XI = —- ; в ),г ) ,д ),ђ ) - н е м а р е ш е њ а .

2 24 1723. а ) Ј е д н а ч и н а ј е д е ф и н и с а н а з а . х ф — и х ф — — . Р е ш е њ е је х г = 0; б ) х ^ = — ; в )

5 5 4 XI = 3; г ) ц = - 1 ; д ) х ^ = - 1 .





724. а ) У з п р е т п о с т а в к у д а је х ф ±1 м о г у с е л е в е и д е с н е с т р а н е д а т е је д н а ч и н е

п о м н о ж и т и с а 5(х 2 — 1). Д о б и ја с е е к в и в а л е н т н а ј е д н а ч и н а 2х + 19 —85 + 15(х + 1) = 0,

ч и је је р е ш е њ е ц = 3. Б р о ј 3 је р е ш е њ е и п о л а з н е је д н а ч и н е .

б ) У о ч и т и д а ј е (З х - 2)(3 - 2х ) = - (6 х 2 - 13х + 6). Р е ш е њ е је х \ = 2; в ) ц = - ; г ) х \ = 0;8

д ) н е м а р е ш е њ а .725. а ) Ј е д н а ч и н а је е к в и в а л е н т н а је д н а ч и н и

1 4 5 п+ ^ „ ГГ~.---- Г — п ,

(х + 1)2 х (1 + х )2 2х (1 + х

. 2х + 8 —5(1+ х ) 3 —З х .Т Ј - -----г - т г - — Г о-----= 0, о д н о с н о — т— — = 0, п а је р е ш е њ е ц = 1;

2х (1 + х ) г 2х (1 + х ) г

б ) у х = 0,9; в ) = 1,5; г ) и \ = 3; д ) 4] = 2; ђ ) н е м а р е ш е њ а . е ) н е м а р е ш е њ а ; ж ) х \ = 4;

з ) X] = 3; и ) н е м а р е ш е њ а .

726. а ) З а х ф 1 је д н а ч и н а ј е е к в и в а л е н т н а ј е д н а ч и н и З х + 2 —(2х + 3) = 0, ч и је је р е ш е њ е

XI = 1. М е ђ у т и м , к а к о је д н а ч и н а н и је д е ф и н и с а н а з а х = 1, д а т а је д н а ч и н а н е м а р е ш е њ а .

727. а ) д а ; б ) д а ; в ) н е ; г ) н е ; д ) н е ; ђ ) н е ; е ) д а ; ) д а ; з ) н е .

2 + 2 ч728. а ) х = 10 —4а , у = --------- ; б ) о = 2 х = у = 2.

3729. а ) Д а т а је д н а ч и н а е к в и в а л е н т н а је с а је д н а ч и н о м и ( т — 3 )х = —5(3 т + 1), о д а к л е

• о / о • —5(3 т + 1)с е з а к љ у ч у је д а з а т = 3 н е м а р е ш е њ а , а з а т ф 3 р е ш е њ е Ј е XI = ----------------- ;

т —3\ -» / . т + 2

б ) З а т = 4 - н е м а р е ш е њ а , з а т ? 4 р е ш е њ е је XI = -------- ;4 —т

5в ) З а т = —6 - н е м а р е ш е њ а , з а т ф —6 р е ш е њ е ј е XI = -------- ;

т + 6г ) З а т = 0 - р е ш е њ е је с в а к и р е а л а н б р о ј х , з а т ф 0 - XI = 1 - т ;

д ) З а т = —5 - р е ш е њ е је с в а к и р е а л а н б р о ј х , з а т ф —5 - XI = т —5;

ђ ) З а т = 3 - р е ш е њ е је с в а к и р е а л а н б р о ј х , з а т = —3 н е м а р е ш е њ а , з а т ф ±3 -. 1

р е ш е њ е је XI = -------т + 3

е ) З а т = —5 - р е ш е њ е ј е с в а к и р е а л а н б р о ј х , з а т = 3 н е м а р е ш е њ а , з а т ^ { —5,3}. 1

р е ш е њ е је XI = --------- ;771 3

ж ) Ј е д н а ч и н а с е м о ж е п р е д с т а в и т и у о б л и к у ( т — 1) ( т —2)х = т — 1. З а т = 1 р е ш е њ е

је с в а к и р е а л а н б р о ј х , з а т = 2 - н е м а р е ш е њ а , з а т ^ { 1, 2} р е ш е њ е је XI = -------- ;т —2

з ) З а т = 0 н е м а р е ш е њ а ; з а т = 1 р е ш е њ е је с в а к и р е а л а н б р о ј х , з а т ^ {0 ,1 } р е ш е њ е. 1ј е XI = — ;

т 2и ) Ј е д н а ч и н а с е м о ж е н а п и с а т и у о б л и к у (8 + т 3)х = т —4, з а т = —2 р е ш е њ е је с в а к и

. , . т —2р е а л а н б р о ј х , з а т Ф —2 р е ш е њ е је XI = —5----------------;

т ‘ — 2 + 4•% • • / т + 2ј ) З а т = 2 р е ш е њ е је с в а к и р е а л а н б р о ј х , з а т ф 2 — х \ = —Г Т јГ ^— +"4 ’

. . 7 —З тк ) З а т = 4 н е м а р е ш е њ а , з а т ф 4 р е ш е њ е је XI = --------—;

т —4л ) З а т 6 { —3, 1, 2} р е ш е њ е је с в а к и р е а л а н б р о ј, з а т = 3 н е м а р е ш е њ а , а з а т ^

{ -3 , 1, 2, 3} р е ш е њ е ј е Х ј = -------- .т —3

730. а ) Ј е д н а ч и н а ј е е к в и в а л е н т н а је д н а ч и н и ( а - 1)(а —3)х = (а —3)(а + 2). З а а ф 1, а ф 3• а + 2 . .

р е ш е њ е је XI = ------- , з а а = 3 р е ш е њ е је с в а к и р е а л а н б р О Ј , а з а а = 1 - н е м а р е ш е њ а ;а —1

б_

3 ‘ б ) З а 6 ф 1, 6 ф — 2 -XI = ----- , з а 6 = —2 - н е м а р е ш е њ а , а з а 6 = 1 р е ш е љ е је с в а к о х 6 К ;о+ 2



а —4 .в ) З а а ф 1, а ф —3 р е ш е њ е је х \ = ------- . З а а = 1 р е ш е њ а с у с в и р е а л н и б р о је в и , а з а

а + 3а = —3 - н е м а р е ш е њ а .

731. а ) Ј е д н а ч и н а ј е е к в и в а л е н т н а је д н а ч и н и 2 х ( а —6) = 62 — а 2 . З а а ф 6 р е ш е њ е је

а + 6 . .х \ = ----- -— , а з а а = о р е ш е њ е је с в а к и р е а л н и о р о Ј х \

б ) З а а Ф 36 р е ш е њ е је х \ = А к о ј е а = 6 = 0 - р е ш е њ е је х € Н , а а к о је а = 36,а —36

6 ф 0 - н е м а р е ш е њ а ;

в ) З а 1| ф 161 р е ш е њ е је х г = - — -■ А к о ј е а = 6 - р е ш е њ е ј е х € Н , а а к о ј е а = - 6 ф 0 -а + о

н е м а р е ш е њ а ;

г ) У з у с л о в е 6 ^0 , с ф 0 је д н а ч и н а је е к в и в а л е н т н а је д н а ч и н и а с 2х (3 + 26) = 62с3(3 + 26).

3 62сА к о ј е а ф 0, 6 ф 0, с ф 0, 6 ф — р е ш е њ е је х \ = — . З а 6 = 0 и л и с = 0 - н е м а р е ш е њ а .

3 ^ 3З а 6 = —- , с ^ 0 - р е ш е њ е ј е х € Н . А к о ј е а = 0,6 с ^ 0 - н е м а р е ш е њ а .

д ) З а 6 ф ±3 а је д н а ч и н а је е к в и в а л е н т н а је д н а ч и н и (12а + 6):г = 25а 6 + 262 + 12а 2. Т а к о з а

25а 6 + 2б 2 + 12а 2 (12а + 6)(а + 26)6 ф ±3а и 12а + 6 ^ 0 је д н а ч и н а и м а р е ш е њ е х \ = ------—------ ;-------- = ------- — т— ј--------- =

12а + 0 12а + 0

6 6 .а + 26. А к о је а = ± — н е м а р е и е њ а . А к о је 12а + к = 0 , а ф 0 и а ф ± - р е ш е њ е ј е с в а к и

3 3р е а л а н б р о ј х .

3ђ ) З а а ф 0, а ф ±2 х г = - , з а а = 0, а = 2 и л и а = - 2 - н е м а р е ш е њ а .

ае ) З а а ф 0 , 6^0, а ф ± к х \ = —2а , з з . а ф 0, 6 = 0 1 б Н , а з а а = 0 и л и а = 6 и л и а = —6

- н е м а р е ш е њ а .

732. а ) Ј е д н а ч и н а ј е з а а ф 0, 6 ф 0 е к в и в а л е н т н а је д н а ч и н и (6 —а ) х = (6 —а )(а 262 —а —6),

п а ј е з а а ф 6 (и а , 6 ф 0) р е ш е њ е х \ = а 262 —а —6. З з . а = к ф 0 р е ш е њ е ј е с в а к и р е а л а н

б р о ј , а з а а = 0 и л и 6 = 0 н е м а р е ш е њ а ;

ч . . 2а 2 + а б + З б2б ) З а а = ±6 н е м а р е ш е њ а . А к о је а ф ±6 р е ш е њ е Ј е х \ = -------------ј------- ;а + о

в ) З а а = 0 и л и 6 = 0 н е м а р е ш е њ а . А к о је а ^ 0 и 6 0 је д н а ч и н а је е к в и в а л е н т н а

је д н а ч и н и ( а 2 —а б + 62):г = а 3 + 63, п а је т а д а њ е н о р е ш е њ е х \ = а + 6;

г ) З а а ф 2, 6 ф 1 р е ш е њ е је х \ = (— ^2)(>— Г ) ’ з а “ = ^ = 4 и л и а = ^ и ^ = 1 р е ш е њ а

. 1 ■с у с в и р е а л н и б р о је в и ; з а а = 2, 6 ф 4, о д н о с н о а Ф — и 6 = 1 н е м а р е ш е њ а .

733. а ) 3 а г ^ а , 1 ^ - а је д н а ч и н а ј е е к в и в а л е н т н а је д н а ч и н и 4а 2-4 а + 2 + х —а — а х — а 2 = 0,

т ј. је д н а ч и н и х ( а —1) = (З а —2)(а —1). З а а ф 1 и м а м о х = З а —2 у з у с л о в е З а —2 ф а , т ј.

а ф 1 и З а — 2 ф —а , т ј. а ф З а а = 1 р е ш е њ е ј е с в а к о х р а з л и ч и т о о д ±1. П р е м а т о м е :

з а а = 1 - х € Н \ {±1 }; з а а = ^ - н е м а р е ш е њ а , а а ф 1, ф — - х \ = а —2; ‘

б ) З а 6 = 1 - х € Н \ {±1 }; з а 6 = 3 - н е м а р е ш е њ а , а з а 6 ф 1, 6 ф 3 - х \ = 26 - 3;

в ) х \ = —з а 6 ф ±2а - и н а ч е н е м а р е ш е њ а ;

г ) З а а ф 0 х \ = З а , з а а = 0 х € Н \ {0}.

д ) З а а ф 0 = 0, з а а = 0 н е м а р е ш е њ а .

ђ ) З а а ф 0 = 9а , з а а = 0 Н \ {0} .

е ) З а а ф 0 р е ш е њ е ј е х ^ = а ; з а а = 0 р е ш е њ е ј е с в а к о х € Н \ {0 }.

734. а ) П о ш т о је :( х + 2, х > - 2 ,

1* + 21= { _ о ;_ 2 , х < -2,

1° з а х < - 2 и м а м о је д н а ч и н у — — 2 = 2(3 — х ) . Њ е н о р е ш е њ е ј е = 8, м е ђ у т и м о н о н е

з а д о в о љ а в а у с л о в х < —2.





2° З а х > —2 д о б и ја с е је д н а ч и н а х + 2 = 2(3 —х ). Њ е н о р е ш е њ е ј е х = Т о је ,

и с т о в р е м е н о , и је д и н о р е ш е њ е д а т е је д н а ч и н е . Г е о м е т р и јс к а и н т е р п р е т а ц и ја д а т а ј е н а

с л и ц и .

б ) х 1 = 1 ,Х 2 = 5; в ) х \ = 0.

735. а ) П о с м а т р а јм о д в а с л у ч а ја : (1) х > —2 - т а д а ј е х + 2 —3 = 2 х — 6, п а је х ^ = 5 и

(2) х < —2 - т а д а ј е —х — 2 - 3 = 2 х - 6, о д а к л е ј е х = - - ш т о н и је р е ш е њ е , о б з и р о м д а

н е з а д о в о љ а в а у с л о в х < —2. Д а к л е , је д и н о р е ш е њ е је д н а ч и н е је б р о ј 5.

б ) XI = —5, Х 2 = в ) XI = 1 , х 2 = 3; г ) ^ = - 2 , х 2 = 2; д ) х ^ = 1 , х 2 = 7; ) ц = - 7 , х 2 =

-1 , г 3 = 7; е ) х \ = 0; ж ) х е [6 ,+ о о ); з ) \ = - 7 , х 2 = 7; и ) х ^ = - 1 , х 2 = 1; ј ) х г = - 2 ; к )5 11

х \ = - ; л ) х х = —4, х 2 = 8; љ ) х ^ = 1 , х 2 = м ) х > 2.

3 + х 2736. И з ------- = - н а л а з и с е х = 5.

7 + х 3

737. Н е к а т о б у д е к р о з х г о д и н а . Т а д а је 27 + г = 4(3 + г ), т ј. 27 + г = 12 + 4х , — З х = — 15,

о д а к л е је х = 5. Д а к л е , м а јк а ћ е б и т и с т а р и ја о д ћ е р к е ч е т и р и п у т а к р о з 5 г о д и н а .. . Г Г Г . ,

738. Н е к а је Г т р а ж е н о в р е м е . Т а д а је — + — + — = 1, п а ј е < = 6 п и 40 м и н у т а .

739. и з 0 ,75г = 0, 51(г + 12) д о б и ј а с е х = 25.5 I.

740. 3 0 к д ,2 4 к д и 10, 2А : .

741. Н е к а је 5 п у т о д Б е о г р а д а д о П а н ч е в а , I у к у п н о в р е м е в о ж њ е у о д л а с к у и п о в р а т к у. 5 5

и I)], и г и 1),г б р з и н е а у т о б у с а у о д л а с к у и п о в р а т к у и с р е д њ а б р з и н а . Т а д а ј е -----1-----= <1)1 1)2

25 25 2 „ 2 1 2 1 1 .

и = т = Т 7 Т = = Т - Г н а л а зи се ^ = 5? - 30 = п а Је5 5

1)11 1

— + —1)1 «2

Ј _ _1_

30 1)2

42’

1)2 = 42 к т /Н .

742. Т а ј б р о ј ј е 765.

743. П о у с л о в у з а д а т к а је 5 •с&сАе7 = 7аксЈе. А к о б р о ј аксАе о з н а ч и м о с а х , т а д а је

5(10г + 7) = 700000 + х , о д а к л е је х = 14285. Т р а ж е н и ш е с т о ц и ф р е н и б р о ј ј е 142857.

744. П о с м а т р а ј м о т а б е л у :

И в а н М а р к о

п р е

с а д а

к р о з 15 г о д и н а

2х

А х

4х + 15

X

х + 2х

З х + 15

П р е м а т о м е , б и ћ е А х + 15 + З х + 15 = 100, т ј. х = 10. Д а к л е , М а р к о с а д а и м а 30 г о д и н а .

745. И з - х + 4 = —-— с е д о б и ја х = 28.



• 85 - 2у л . .о д а к л е је х = — —— . О б з и р о м д а је 0 < х , у < 9, р е ш е њ е ј е х = 7, у = 4, п а ј е т а ј ч о в е к

746. Б и л о ј е 255.

747. Н е к а је г и з н о с к о ји ј е а н т и к в а р н и ц а п л а т и л а з а п р в и п р е д м е т . Т а д а је 1 - х +

1 41 —(2250 —х ) = 3150, о д а к л е ј е х = 900, а 2250 —х = 1350 д и н а р а .

748. 176 у ч е н и к а .

749. А к о је х д у ж и н а в о з а , б и ћ е ј = о д а к л е ј е х = 147т , а б р з и н а 7 5 ,6 к т / ћ .

750. А к о је х и з н о с с н и ж е њ а и а б р о ј п о с е т и л а ц а п р е п о с к у п љ е њ а б и ћ е :

а •150 = -а (150 — х ) • —, о д а к л е с е д о б и ја х = 25 д и н а р а .2 5

751. Н е к а ј е т а ј ч о в е к р о ђ е н 19а г у г о д и н е . Т а д а ј е 1995 — (1900 + 10:г + у ) = 1 + 9 + ог + у ,. 85 - 2у

о д а к л е је х = — ——

р о ђ е н 1974. г о д и н е .

752. Б р з и н а в е л и к е к а з а љ к е ј е 1 к р у г /ч а с , а б р з и н а м а л е ^ к р у г / ч а с . К а з а љ к е ћ е с е

4 12 1п о к л о п и т и а к о Ј е I — 1 = — , т ј. I = — ћ , т ј у 13— .

12 11 ’ Ј 1 11 *2

753. 24 к т , 6— ћ . 754. О с а м д и н а р а . 755. 10 д и н а р а .

756. а ) (4, 1); б ) (7, 3); в ) н е м а р е ш е њ а ; г ) (6 + 24, <),< € К ; д )(2, 3); ђ ) (2, 1); е ) н е м а

р е ш е њ а .

757. а ) (1, 1); б ) (2, 1); в ) (1, 1); г ) (2,1).

758. а ) (2, 2); б ) (- 1 , 1).759. ) (1, 1); б ) (-1 , -1 ).

760. а ) (1, 2); б ) (3, 7); в ) ( - , - ) ; г )(4,10).

761. а ) У в о ђ е њ е м с м е н а — = и и —= V, д о б и ја м о с и с т е м : X у

( З и + 5и = 16

\ 5и —З и = 4

ч и ја с у р е ш е њ а : и = 2, V = 2, п а је х = у =

б ) (2, 5); в ) (2, 3); г ) (7, 3); д ) (5, 1); ђ ) (2, 1); е )(5,3) ; ) (7, 4).

762. а ) С и с т е м и м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е ; б ) б е с к о н а ч н о м н о г о р е ш е њ а ; в ) н е м а р е ш е њ а2 —1 2

је р ј е — = — ф - ; г ) н е м а р е ш е њ а ; д ) и м а р е ш е њ а ; ђ ) н е м а р е ш е њ а .

763. С и с т е м д в е л и н е а р н е је д н а ч и н е с а д в е н е п о з н а т е и м а б е с к о н а ч н о м н о г о р е ш е њ а а к о. 01 &1 с \ . . „ т 3 . 3Ј е — = — = — , т ј. у д а т о м з а д а т к у а к о Ј е 2 = ——= — , о д а к л е Ј е т = - 6 и п = - , п а

02 02 сг -3 4п 8

с е с и с т е м с в о д и н а је д н у је д н а ч и н у у = - х — - , (х -п р о и з в о љ н о ). Д а к л е , р е ш е њ е с и с т е м аО С

с е с в о д и н а о б л и к (^, - х -----), х € К .3 2 '

764. Н а о с н о в у у с л о в а ф — с и с т е м н е ћ е и м а т и р е ш е њ е , т ј. з а д а т и з а д а т а к а к о02 02 С2

. а — 6 7 —6 . 7 . т х а — 6Ј е - = — Џ т - Д р у г и у с л о в — ф - је и с п у њ е н . И з - = — с л е д и а = - 4 . а к л е , а =

с о 4 о 4 2 о—4 д а т и с и с т е м н е ћ е и м а т и р е ш е њ е . Ј е д н а ч и н е с и с т е м а г л а с е : —4х —6у = 7 Л 2х + 3у = 4.

765. К о р и ш ћ е њ е м је д н о г о д м е т о д а з а р е ш а в а њ е с и с т е м а је д н а ч и н а д о б и ја м о д а је :26 + 3 1 5 - о б ,

* “ о + 10’ У ~ 2(о + 10)’ а # _ 1 °-




1° Н а о с н о в у у с л о в а — ф ф — с и с т е м и м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е . И з - Ф — — с л е д иа 2 }>2 с 2 5 2

4 3 3

а # —10, а и з —- ф - д о б и ја м о 6 ф ——.

з2° З а а = —10, 6 = - с и с т е м и м а б е с к о н а ч н о м н о г о р е ш е њ а п р и ч е м у с у о н а о б л и к а

, 10г + 3(*, —

з3° С и с т е м н е м а р е ш е њ а а к о је : а = —10, 6 = ф —.

766. а ) З а а = —1 н е м а р е ш е њ а ; з а а = 1 р е ш е њ а с у п а р о в и б л и к а ( х , 1 —х ) , г .6 Н; з а

а ф ±1 р е ш е њ е је ( ------- , ------- ).Ј 'а + 1 ’ а + Г

б ) А к о је а ф —1, с и с т е м н е м а р е ш е њ а . А к о је а = — 1 р е ш е њ а с у ( х , —1 — х ) , х 6 Н.

в ) А к о је а ф 1, с и с т е м и м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е х = -2 , у = 2(1 + а ) . А к о је а = 1, с и с т е м

и м а б е с к о н а ч н о м н о г о р е ш е њ а , п р и ч е м у с у о н а о б л и к а ( х , 2 —х ) , х 6 Н.

г ) З а а = —3 н е м а р е ш е њ а . З а а ф — 3 р е ш е њ е ј е (° — г , —-— ).2(а + 3) а + 3

д ) А к о је а + 6 ф 0, с и с т е м и м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е (1, а — 6). А к о ј е а + 6 = 0, р е ш е њ а с ус в и п а р о в и о б л и к а ( х , а ( х + 1)), х 6 Н.

ђ ) (а , 6) з а а ф 6; (г , х ) , х € Н, з а а = 6;а д — 2х

е ) ( ј >0) з а 6 # 3; (г , — -— ), х 6 Н, з а 6 = 3.

ж ) З а а + 6 = 0, а ф 0 н е м а р е ш е њ а ; з а а = 6 = 0 р е ш е њ а с у (0, у ) , у 6 Н; з а а + 6 ф 0. 2а 6 6 —а .

р е ш е њ е је (——г , — — ).а + о а + о , \

767. а ) З а а = 1 и м а б е с к о н а ч н о м н о г о р е ш е њ а о б л и к а ( а , 1 — а ) , а € Н. З а а = — 1

с и с т е м је н е м о г у ћ (н е м а р е ш е њ а ), а з а а ф ±1 р е ш е њ е је ( -~ ~ ^ ј ~ ) -

б ) З а а ф ±6 р е ш е њ е је ( —2__, 3 ); з а а = 6 р е ш е њ а с у («, 1 „ 3<), I € Н, д о к з , а = - 6а + 6 а + 6 2н е м а р е ш е њ а .

в ) З а а ф — р е ш е њ е је (0, 0) н з а а = р е ш е њ а с у ((, — —0, <€ Н.1 о 1 3 2

г ) З а а ф ±1 р е ш е њ е је (0, 1), з а а = ±1 р е ш е њ а с у ((, 1 ± (), < € Н.

768. а ) (2, 1) б ) (1, 1) и л и ( ~ , ^).

769. а ) (8, 13) и л и (2, 1); б ) (2, 1) и л и (0, -3 ) и л и (—6, 9); в ) у в е с т и с м е н у х + у = и , — у =

V. Д о б и је с е и = 3, 1/ = - 1 ; г = 1 , ј / = 2;

1 - ^ М а . , 6 а , ~ I I а 6г ) З а а = —6, х > — , у = - , з а а > |&| х = у = - , з а 6 > || х = - - , у = - - , З а

а = 6 > 0, х = —— —— < у < —•~ 2 2 “ “ 2

д ) (? ’ ? ) ’ ( ^ ) ; ђ ) (о ,з )’ (~5 ’ т ) ; е ) (з ,_2)’ (1," б )’ (_5,б ); ж ) (2,о )’ (~1' - з )- (“■“ +2), а б [- 3,0 ].

770. а ) А к о п р в у је д н а ч и н у п о м н о ж и м о с а -2 и д о д а м о д р у г о ј, а з а т и м п р в у је д н а ч и н у

д о д а м о т р е ћ о ј, д о б и ћ е м о е к в и в а л е н т а н с и с т е м :


А к о с а д а д р у г у је д н а ч и н у д о д а м о т р е ћ о ј, д о б и ја м о е в и в а л е н т а н с и с т е м "д и ја г о н а л н о г ”

о б л и к а :




И з т р е ћ е је д н а ч и н е с а д а с е н е п о с р е д н о н а л а з и д а је у = 5, п о т о м и з д р у г е г — 3 и , н а

к р а ју , и з п р в е 1 = 1. Д а к л е , р е ш е њ е је (1, 2, 3);

б ) (8, 4, 2); в ) (1, 2, 2); г ) (2, 1, 3); д ) н е м а р е ш е њ а ; ђ ) (1, 0,-1 ) ;е ) С и с т е м је " н е о д р е ђ е н ” , је р је т р е ћ а је д н а ч и н а з б и р п р в е д в е . Р е ш е њ а с у (104+1, 74, I) ,

4 € К .

ж ) Н е м а р е ш е њ а .

__ т х 600 „ 600 250 200 . . , ,, . . . ,,771. И з -----+ 3 = ------ и -----= ------ , н а л а з и м о х = 50 к т / п , у = 40 к т / п .

х у х у

• ^ . 20 20 „772. Н е к а је х б р з и н а р е к е , а у б р з и н а ч а м ц а у и р н о Ј о д и . Г а д а Ј е ——----1-----—— = 10

у -г х у X

2 3 10 5и --------= --------- . Н а л а з и м о д а је у + х = 5, у — х = — , п а ј е х = - к т / ћ .

у — х у + х 3 о773. Н е к а И в а н и м а - х , а М а р к о - у г о д и н а . Т а д а је х = 2(2у —х ) и х + у = 35. Р е ш е њ е

ј е : х = 20, и у = 15.

774. 36 и 27.

775. И з х + г = 2у , у + г = З х , д о б и ја с е х : у : г = 3 : 4 : 5. Д а к л е , п о б е д и л а ј е т р е ћ а

б р и г а д а .

776. О з н а ч и м о с а х , у , г , и , V у ч и н к е п р в о г , д р у г о г , т р е ћ е г , ч е т в р т о г и п е т о г р а д н и к а ,

р е д о м . И з у с л о в а з а д а т к а с е д о б и ја1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 , 1 1 т т •— -|----1-_ = — —-|-----1- —= - —-|-----1- — = - н -----1-- = - . Н о м н о ж и м о п о с л е д њ у је д н а к о с тх у г 15 х г V 5 х г и 6 у и V 4

с а 2 и д о д а ј м о јо ј п р в е т р и . Т а д а ј е З Ј —+ —+ —+ —+ —Ј = 1 т ј. с в и р а д н и ц и , р а д е ћ и\х у х и V Ј

з а је д н о , у р а д и л и б и п о с а о з а т р и ч а с а .

777. 10 д а н а . 778. О с а м .

779. 100 I у п р в о м , 45 / у д р у г о м с у д у . 780. 60 и 30 л и т а р а .

781. 30 к т / ћ и 35 к т / ћ . 782 .4 к т .

783. И з У 1 + У 2 = 70, 2 1 = 6(у г —14) н а л а з и м о 111 = 30 т / ћ , ч г = 40 к т / ћ .

784. И з 60^1 - 60у ј = 1,2, 15 1 + 15у 2 = 1,2 с е д о б и ј а = 0,03 т / з е с , и 2 = 0,05 / з е с .

1 1 3785. а ) х € ( - о о , 2]; б ) х € ( - , + о о ); в ) х € ( - о о , - - ] ; г ) х € ( - о о ,- - ] ; д ) € [0, + о о ); ђ )

4 *х € ( - о о , - - ) ; е ) х € ( -о о , -2 ]; ж ) х € 0-

5 10 23786. ) х € (—о о , — ]; б ) х € (—о о , — ].

787. а ) - 7 - < х < 0; б ) х > 36; в ) х €^ -о о , 2 -0 П [ - 2 , +о о ), ј. € г )

х € у , + о о ј ; д ) х € (4, + о о ) П (1, + о о ) П + о о ј , т ј. € (4, + о о ).

788. а ) П р в и н а н и н : К о р и с т и м о ’ е к в и в а л е н ц и ју А В > 0 & ( А > 0 Л В > 0 ) У ( А < 0 Л В <

0). Н о м о ћ у њ е и м а м о ( х — 1)(г + 3 ) > 0 & ( х — 1 > 0 Л х + 3 > 0) V ( х — 1 < 0 Л г + 3 <

0) «• (х > 1 Л х > - 3) V (х < 1 Л 1 < - 3 ) » ( ј > 1 V х < -3 ).

Д р у г и н а н и н : Д а т а н е је д н а ч и н а с е м о ж е р е ш а в а т и г р а ф и ч к и (в . с л . )

Н а п р в о ј б р о ј н о ј о с и п р е д с т а в љ е н ј е з н а к ф у н к ц и је х — 1, н а д р у г о ј ф у н к ц и ја х + 3, а н а

т р е ћ о ј з н а к п р о и з в о д а . Н р е м а с л и ц и о ч и г л е д н н о је д а с е р е ш е њ а с в и б о је в и м а њ и о д -3,к а о и б р о је в и в е ћ и о д 2.






(х+2)(х-4)

(х-1)(х+4)

(х+2)(х-4)

(х-1)(х+4)+ + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + +

+ + + +-----------:-------- к -----------------

+ + + +„ 1 -------- К --------------------

+ + +

Г " Г " -------

С л . у з з а д . 794

о д н о с н о

б ) х € ( - 0 0 , 2) Џ (3, 4) Џ (7, +о о ).

795. Д а т а н е је д н а ч и н а ј е е к в и в а л е н т н а н е је д н а ч и н а а ( х — 1) + 6 — 1^ < 0 ,

( х - 1) ( а - < 0, т ј. —— — — < 0. С к у п р е ш е њ а је ( - о о , 0) Џ 1^.

796. А — В = ( х + 1)(г —I)2, п а ј е а ) х > —1 А х ф 1; б ) х = 1 V х = —1; в ) х < —1.

5 5797. а ) З а х < - и м а м о 5 — 2 х < 1 , т ј . х > 2, а з а х > - д о б и ја м о 2 х — 5 < 1 , т ј . х < 3. У

2 2• Л 5\ [5 \

п р в о м с л у ч а ј у р е ш е њ а н е је д н а ч и н е с у б р о Ј е в и и з и н т е р в а л а 12, - ), а у д р у г о м 3 1,

п а ^ 4 Ј ___ ____ _. _ 4 . ’ ’

1 3т ' _ V/ ' т ^ • п ^ ' г У __ О V/ т N 0 '

а у д р у г о м

, с у р е ш е њ а н е је д н а ч и н е с в и р е а л н и б р о ј е в и х з а к о је в а ж и х € (2, 3).1 3 5 9

б ) х < - V х > в ) х < —2 V х > 2; г ) - < х < 3; д ) х > - 1 ; ђ ) х > - ; е ) х < —2 V х > 5;6 2 3 I

ж ) х < 2.3

798. а ) Р е ш е њ а с у : х > —1, (в .с л .); б ) Р е ш е њ а с у : х > х ф -1 , (в .с л .).

799. а ) Д а т а н е је д н а ч и н а е к в и в а л е н т н а је н е је д н а ч и н и :М -3

< 0. Р е ш е њ е с е( И - 1 ) ( И + 1 )

м о г у о д р е д и т и и з т а б л и ц е н а с л и ц и . Д а к л е , р е ш е њ а н е је д н а ч и н е с у с в и р е а л н и б р о је в и

х з а к о је в а ж и х € (—3, —1) 1Ј (1,3).

б ) х € (—о о , —7) 1Ј (—1, 1) 1Ј (7, + о о ); в ) х € (—о о , —5) 1Ј (—2, 2) 1Ј (5, + о о ); г ) х € ( —о о , —5) 1Ј

( -1 , 1) и (5, + о о ) .

800. а ) З а х ф 1, х ф 4 д а т а н е је д н а ч и н а е к в и в а л е н т н а ј е н е је д н а ч и н и |х — 11< 2\х —4|.

З а х < 1 д о б и ја м о 1 —х < —2 х + 8, т ј . х < 7 . З а 1 < х < 4 и м а м о х —1 < 2(4 —г ) , о д н о с н о

1 < 3 и з а 1 > 4 и м а м о о :-1 < 2(а :-4 ), о д а к л е с е д о б и ја х > 7. У з и м а ј у ћ и у о б з и р у с л о в е ,

д о б и ја м о д а је с к у п р е ш е њ а (—о о , 1) 1Ј (1, 4) 1Ј (7, +о о ). "Г р а ф и ч к о ” р е ш е њ е н е је д н а ч и н е

|г — 1| < 2\х —4| п р и к а з а н о ј е н а с л и ц и .

б ) х € (—0 0 , 3) 1Ј (3 , 5) 1Ј (9, +о о ) .




|х |-3

|х|-1

+ + + +

+ + + + + + + + + + + +

, + + +

+ + +

|х|+1

И 1-3

(| |-1)(|х |+1)

+ + + +

+ + + +

+ + + + + + + + + + + +

+ + + +

,+ + +

+ + +

С л . у з з а д . 799

801. а ) х е [|, 2); б ) х е (- о о , 0] II (1, 2) II [4, +о о ); в ) х е [ - у , - 5 ) ; г ) х е ( - о о , -3 ) Џ

(—3, —1) Џ [0, +о о ); д ) х е [ - 6 ,-5 ) ; ђ ) г 6 ( -5, 0) II (1,5) .

802. а ) Д а т а н е је д н а ч и н а е к в и в а л е н т н а ј е н е је д н а ч и н и л /(2х — I)2 < 3 — х , т ј . \2х — 1| <

3 — х . И м а м о д в а с л у ч а ја :1 . . 1 4

1° З а — < х н е је д н а ч и н а п о с т а ј е 2 х —1 < 3 —х , о д а к л е ј е —< х < - .

2° З а х < ј н е је д н а ч и н а је — 2 х + 1 < 3 — х , о д а к л е ј е —2 < х < Д а к л е , р е ш е њ е

4н е је д н а ч и н е је - 2 < х < (в .с л .);

д

б ) х < ---- и л и х > 1;7

+ 2|в ) Н е је д н а ч и н а је е к в и в а л е н т н а н е је д н а ч и н и ј--------1 < 2, т ј . \х + 2| < 2|3 — х \, з а х ф 3.

I3 —х \

Р е ш е њ а : х е ( —о о , Џ (8, + о о );

Л 3 , 9г ) - < X < - .

2 — 5

803. а ) 1714 > 1614 = (24) ' 4 = 24'14 = 24'14 = 258, 3111 < 3211 = (25) " = 25'11 = 255. О д а в д е

је 1714 > 3111. .. 1 1 1 1 1 1 _ _ 1 1 1 49

б ) К а к о 1е — > -----, — > ----- , •••, — > ----- , д о б и ћ е м о ----- 1- — Ч -------1----- > ------ , н а о с н о в у' 51 100’ 52 100’ ’ 99 100’ 51 52 99 100’ *

1 1 1 1 1 1ч е г а и м а м о — + — + -------1- — + ---> 50 ------ = - .

51 52 99 100 100 2, т т . 2 4 6 120 1 3 5 119 т , . 2 1 4 3 6 5 120 119

в ) Н е к а |е г = - — -------------- , у = -----------------------. К а к о Ј е - > - , - > - , - > - , • • • , ------ > ------- ,3 5 7 121 2 4 6 120 3 2 5 4 7 6 121 120

1 2 3 119 120 1 . , 1 1

и м а м о х •у = -

---------- --------= ------ , п а Ј е х >2 3 4 120 121 121 121



г ) К о р и с т и т и д о к а з п о д в ).

804. а ) К а к о је а 6 > 0, т о м н о ж е њ е м д а т е н е је д н а к о с т и с а а к д о б и ја с е е к в и в а л е н т н а

н е је д н а к о с т : а 2 + 62 > 2а 6, и л и (а —6)2 > 0, ш т о је у в е к т а ч н о . Ј е д н а к о с т в а ж и а к о и с а м о

а к о је а = 6.

б ) , в ) Д о к а з и д е н т и ч а н к а о п о д а ).

г ) с а б и р а њ е м н е је д н а к о с т и а 2 + 62 > 2а 6,62 + с 2 > 2б с , а 2 + с 2 > 2а с д о б и ја м о : 2(а 2 +62 + с 2) >

2(а 6 + 6с + а с ), о д н о с н о а 2 + 62 + с 2 > а б + б с + а с . Ј е д н а к о с т в а ж и а к о и с а м о а к о је а = 6 = с .

д ) С а б р а т и н е је д н а к о с т и а 2 + 1 >2а ,62 + 1 > 26,с 2 + 1 > 2с .

1 х 2 1-I- — (1 —х ' )805. а ) з а с в е р е а л н е б р о је в е х в а ж и — ------ ј = —-т --ј т— = —г ------------- ј г > 0- Ј е д н а к о с т

2 1 + х 2(1 “I” х ) 2(1 х )

в а ж и а к о и с а м о а к о је || = 1;

б ) (1 + 2х 4) - (2х 3 + х 2) = ( х 4 - 2х 3 + х 2) + (х 4 - 2х 2 + 1) = (х 2 - х ) 2 + (х 2 - I )2 > 0. Ј е д н а к о с т

в а ж и а к о и с а м о а к о је х = 1;

в ) П р и м е н и т и в е з у и з м е ђ у а р и т м е т и ч к е и к в а д р а т н е с р е д и н е ;

г ) И с к о р и с т и т и д а ј е х 2 + г 2 > 2х г и 62 = х г ;

„Ч 1 + 1 _ Л _ А = {х + у )(х ~ у )2 < п

’ х у у 2 х 2 х 2 у 2 -

(1^2 ^ ^\2 ^

а + - Ј + - > 0 ; д ) ( а + - ј + -6 2 > 0. Ј е д н а к о с т в а ж и а к о

и с а м о а к о је а = 6 = 0.

807. а ) П р в и н а ч и н . А к о н а в е д е н у н е је д н а к о с т п о д е л и м о с а а б с , д о б и ја м о ("- + - ' ) +\ с а /

(6 с \ / а 6 \ . а с 6 с „ а 6 „ . ." + 7 + Т + - > 6 1 а к а к о Ј е - + - > 2 , - + - > 2, г + - > 2 , з а к љ у ч у Ј е м о д а Ј е

с о Ј \ о а Ј ~ с а ~ с 6 ~ 6 а ~

н е је н а к о с т т а ч н а .

Д р у г и н а ч и н . а 6(а + 6) + 6с(6 + с ) + с а (с + а ) —б а б с = а 26 + а б 2 + 62с + 6с2 + с 2а + с а 2 —2а 6с —

2а 6с —2а 6с = а (6 —с ) 2 + 6(с —а )2 + с (а —6)2 > 0. Ј е д н а к о с т в а ж и а к о и с а м о а к о ј е а = 6 = си л и а к о с у б а р д в а о д б р о је в а а ,6 и с је д н а к а 0.

б ) И з (а —6)2 > 0 с л е д и а 2 —а б + 62 > а б . А к о п о м н о ж и м о т у е је д н а к о с т с а а + 6 > 0

д о б и ја м о а 3 + 63 > а 26 + а б 2. Ј е д н а к о с т а ж и а к о и с а м о а к о е а = 6., а + 6 _ , 6 , а , 6

1 + а + 6 _ (1 + а ) + 6 + (1 + 6) + а ^ 1 + а + 1 + 6 '

г ) а 4 + 64 - а 36 — а б 3 = (а —6)2(а 2 + а б + 62) > 0.

808. а ) И з ( \/а — \ Д \ > 0 д о б и ја м о а — 2\/а Е + 6 > 0, д н о с н о ° + ^ > \/а Е .

а + 6 , с + 4 _ 1

=4 1/ , - 4 2 + 2 а + б + с + Ј ^ ■ У а б + ч / с З „ .б ) К о р и с т е п и а ) и м а м о — -------------— = -------- —-------- > ------- -------- . И о с л е д њ и и з р а з је

а р и т м е т и ч к а с р е д и н а б р о је в а \/а Е и \/с З , п а је — ---------- ' Ј '/а 1> ■ ' Ј с Л = •У а Л с З , о д н о с н о

п + 1, + С + Л ></а Т .4

в ) К а д а у н е ј е д н а к о с т и б ) с т а в и м о д а је 4 = ----- ------ д о б и ј а м о

, а + 6 + са + 6 + с + ----- -------


41~. + 6 + с . а + 6 + с 4ј ~ ау а к с ------------ --, т ј . -------- - ---------> у а б с •—

+ 6 + с

т т = • • / а + 6 + с ^ 4 а + 6 + сЧ е т в р т и с т е п е н о б е с т р а н е п о с л е д њ е н е Ј е д н а к о с т и Ј е Ј -------------I > а о с ----------------, и а к о

а + к + с , . . а + 6 + с з / го о е с т р а н е п о д е л и м о с а -------

------ ф 0 д о б И Ј а м о т р а ж е н у н е Ј е д н а к о с т -------

------ > у а о с .

Ј е д н а к о с т в а ж и з а а = 6 = с .




809 . а ) С а б и р а њ е м н е ј е д н а к о с т и а + 6 > 2^/а б , &+ с > 2\/б с , а + с > 2у/ас д о б и ј а м о д а т у

н е ј е д н а к о с т ;

а 3 + 63 / а + 6\ з , 3 2б ) Д а т а н е ј е д н а к о с т ј е е в и в а л е н т н а н е ј е д н а к о с т и м а : — --------- I — — I > 0 , а + & - а & -

а б 2 > 0, (а + &)(а - 6)2 > 0. Ј е д н а к о с т в а ж и з а а = &;в ) Д о к а з с л е д и н е н о с р е д н о и з с л е д е ћ е г н и з а е к в и в а л е н т н и х н е ј е д н а к о с т и : у/а + у /Е К

л + ж , ^ < < V ? - V 6 V а _ \/а6

^/а б + ч /б 5 , о д а к л е ј е (х /а ~ > А ) > °- Ј е д н а к о с т в а ж и з а а = 6.

г ) П р и м е т и м о д а ј е а 2 + 3 = (а 2 + 2) + 1 = \ /(а 2 + 2)2 + 1. Д а љ е ј е у/(а2 + 2)2 + 1 > 2\/а 2 + 2,

о д н о с н о (л /а 2 + 2 + 1) > 0 .

8 1 2 . а =4

8 1 3 . 6 = - . 8 1 4 . а = 6 = - 1 . 815 . т = 2.

2 =- I816. а ) 1° 6 = -2 ,;/ = 2° 6 = 3,х = 3° 62- 26 +1 = 0, т ј. ( 6 -1 )2 = 0, т ј. 6 = 1, » = - х .

5 ^ 5 сб ) 1° 6 = 1, у = - | ; 2° 6 = - 2 , * = - ; 3 ° В = - 1 , у = 2 х .

817. /(1 ) = 2 + 3 •1 = 5, /(2 ) = 8, 3(1) = 3, д ( 2) = 4.. 7

818. З а х = 5, у = 0 с л е д и 0 = (а —1) ■ 5 —(а + 2) о д а к л е Ј е а — - .

5

'3819 . а ) Т р е б а д а б у д е , ' > 0 и 4 — к2 > 0, т ј . — - < & < 4 и 2 < к < 2, д а к л е

4 - 4

* е ( -| , 2 ) ; б ) * е ( - 1, |).

з820. а ) а = - ; б ) а = 0.

5821. И з а —3 = 2а + 1 с л е д и а = -4 .

822. а ) Д а б и у г а о б и о о ш т а р , т ј. д а б и ф у н к ц и ја б и л а р а с т у ћ а , м о р а б и т и к > 0,3

о д а к л е с л е д и 2т - 3 > 0, о д н о с н о т > - .

3 зб ) к < 0, т < - ; в ) к = 0, т = - .

823. а ) Т р е б а д а б у д е > 0, т ј . к < - и л и к > 2; б ) 1 < к < - .

824.

С х —3,

а ) М - 3 = { _ * _ з ,

( 2х + 2,б ) |2* + 4| —2 = | _ 2 1 _ 6ј

з а х > 0

з а х < 0

з а х > — 2 з а г < —2




825.

С л . у з з а д . 824г

в ) х + ||

б ) |х + 1|'+|1-х | =

г)х+М=1

Г 2х ; з а х > 0

1 о , з а х < 0

х — 1, з а х > 1

- х + 1 , з а х < 1.

■ 3, з а х > 2

2х —1, з а - 1 < х < 2

. -з >з а х < -1

С 21, з а х > 1

2’з а —1 < х < 1

1 - 2 * , з а х < —1

1 + 1, з а х > 0

1 —1, з а х < 0;

-1

С л . у з з а д . 825в



826. а ) З а к ф 4, х ф -1 је д н а ч и н а је е к в и в а л е н т н а је д н а ч и н и 4 х 2 - 3 а = 4 г (г + 1) + г ( Ј - 4 ),

т ј . к х = — а . З а б ф 0 р е ш е њ е је х г = ф -1 , м о р а д а б у д е а ф Д а к л е , р е ш е њ а

п о л а з н е је д н а ч и н е с у : з а б ф 4, б ф 0, а ф — - х \ = — з а б = 0, а = 0 - р е ш е њ е је с в а к ио 0

р е а л а н б р о ј р а з л и ч и т о д -1 ; з а 6 = 4 н е м а р е ш е њ а ; з а 6 ф 0, а = - - н е м а р е ш е њ а ; з а6 = 0, а ф 0 - н е м а р е ш е њ а .

б ) З а а ф 1, 6 ф —1, а + 6 ф 0 - р е ш е њ е је х \ = 1; з а а + 6 = 0 р е ш е њ е је с в а к и р е а л а н б р о јх ф а и х ф — 6; з а а = 1 и л и 6 = —1, а а + 6 0 н е м а р е ш е њ а .

в ) З а а ф ±6, а ^ 0, б ф 0 р е ш е њ е је х \ — ------- - ; з а а = 6ф 0 - н е м а е ш е њ а ; з а а = —6. а —о

р е ш е њ е је с в а к о х ф — а ; з а а ^ 6 = 0 и а = 0 ^ 6 н е м а р е ш е њ а .

г ) З а а ф 0 х \ — 5, з а а = 0 - н е м а р е ш е њ а .

д ) а Ф а ф 6, а ф 26 х х = ~— , з а а ф 0, а = 26 х Е В Д {З а , 36}, а = 0 л ин е м а р е ш е њ а .

ђ ) З а а ф +36, а ^ 0 , 6 ^ 0 г 1 = а + 36, з а а — 36, а ф —36 х € Н . \ {0 }, а з а а = 0 и л и 6 = 0и л и а = —36 н е м а р е ш е њ а .

827. а ) З а а ф ± ~ , а ф 3, а ф р е ш е њ е је х у = - ■■■- ■ - . З а а = а = 3, а = - - - н е м а* 5 2а + 3 2 5

р е ш е њ а , а з а а = - р е ш е њ а с у с в и р е а л н и б р о је в и х р а з л и ч и т и о д ±1.

б ) З а т ф 1, х ф - 2 , х ф - 1 л е в а и д е с н а с т р а н а је д н а ч и н е м о г у с е п о м н о ж и т и с а

(т - 1)(г + 2) ( х + 1). Д о б и ја м о е к в и в а л е н т н у је д н а ч и н у (2т - 5)( х + 1) - 3( т - 1)(х + 2) =

(З г + 4 ) ( т - 1), о д н о с н о г ( 1 -4 т ) = 8 т - 5 . П о с л е д њ а је д н а ч и н а з а т = - н е м а р е ш е њ а , а

, 1 8 —5 ..з а т Г - и м а р е ш е њ е х ^ = _ ^ • Д а б и о в а ј б р о ј б и о р е ш е њ е п о л а з н е је д н а ч и н е т р е б а

8 ш ~ 5 , , . 1 8п )__кд а б у д е — ^ { -1 , - 2 } , т ј . т ф 1. Д а к л е , з а т ^ 1 и т ^ - р е ш е њ е је х \ = ---------- а

I 4 т 4 1 _ 4т

з а т = 1 и л и т = —- н е м а р е ш е њ а .в ) З а х ф ±2 је д н а ч и н а је е к в и в а л е н т н а је д н а ч и н и (3а - 4)(3а + 4) г = 2а (3а + 4), т ј . з а

, ,4 2а 2аа Ф ±д х = З а _ М е ђ у т и м м о р а д а б у д е •■ ф ±2, о д а к л е с е д о б и је а ф 1 и а ф 2.

Д а к л е , з а а ф ± ^ , а ф 1, а ф 2 р е ш е њ е је х г = — — ■ , а а к о је а = 1 и л и а = 2 и л и а = -3 З а —4 3

- н е м а р е ш е њ а . А к о је а = —— р е ш е њ е је с в а к о х р а з л и ч и т о о д ±2.

г ) З а Ја| ф 1 р е ш е њ е је х = ■■+ , з а || = 1 - н е м а р е ш е њ а .

828. а ) З а х ф ± т д а т а је д н а ч и н а е к в и в а л е н т н а ј е је д н а ч и н и г ( 2 т - п ) = -п (2 т - п ).

Р е ш е њ а с у : з а т = 2п - х 6 Н \ {± т } ; з а т ф ± п , т ф 2п х = —п \ з а 0 ф т ф ± п н е м ар е ш е њ а ;

б ) з а а ф ±б ; д а т а је д н а ч и н а т р а н с ф о р м и ш е с е у о б л и к х ( а + б ) = 3Ј (а + к ). Д а к л е , з а

а ф ±б р е ш е њ е је Г ] = 34, д о к з а а = 6, и л и а = —б , н е м а р е ш е њ а ;

в ) з а т ф 0, т ф 2 је д н а ч и н а је е к в и в а л е н т н а је д н а ч и н и х ( т + 3) = 6 — т . З а т ф -3 , т ф

п о • 6 — ти , т р е ш е њ е Ј е х \ = --------- , а з а т = —3, и л и т = 0, и л и т = 2 - н е м а р е ш е њ а

т + 3г ) з а т ф ±2 д о б и ја м о е к в и в а л е н т н у је д н а ч и н у т х = 8т — 2. Р е ш е њ а : з а т Ф 0 т Ф ±2

8 т - 2х \ — — —— ; з а т = 0, и л и т = 2, и л и т = —2 - н е м а р е ш е њ а ;

д ) з а т ф ±п , т ф 0 , п ф 0 р е ш е њ е је х = ~ ~ ~ \ з а т = - п ф 0 р е ш е њ а у 6 Н \ {т , п }\

з а т = 0 и л и п = 0 и л и т = п - н е м а р е ш е њ а .

829. а ) х = а к з а а ф 0 и а ф ±б ; б ) Ј е д н а ч и н а е м а е ш е њ е з а т ф —1. З а т = -1

р е ш е њ а с у с в и х 6 В .\{0,1}.





830. а ) З а а ф 2, х = , — ; б ) а > —1; в ) а = —1.' (а + I)2 + 1

831. а ) Р е ш е њ е је х \ = —-—; б ) х > 0 з а а < —1 и л и а > 0, 1 > 1 з а о < —1.а + 1

. х — ( а + 6 + с )832. а ) П р в и с а б и р а к н а п и с а т и у о б л и к у ---------------------+ 1, а з а т и м с л и ч н о и о с т а л а

д в а . С а б и р а њ е м д о б и ја м о [* —(а + 6 + сЧ 1/1 1 1\ „ . 1 1 1 ,)Ј - + - + - = 0, п а Ј е з а - + - + - ф 0 е ш е

\ с а о Ј - I - 6 с

х = а + 1>+ с , а у к о л и к о ј е - - + 7 + - = 0 р е ш е њ е је с в а к о х , у з у с л о в д а је <а , 6, с ф 0.а о с

б ) З а а , 6 , с ф 0 и а + 6 + с ^ 0, х = а + 6 + с . З а а , 6 , с ф 0 и а + 6 + с = 0 р е ш е њ е је с в а к о х ,

а н е м а р е ш е њ а а к о ј е а = 0, и л и 6 = 0 и л и с = 0.

833. П о с м а т р а ј м о г р а ф и к е ф у н к ц и ја у \ = — -— и 3/2 = |2|*| — а 2| . В и д и с е д а ј е

е . . . . а 2 а 2м а к с и м а л а н б р о ј р е ш е њ а о в е је д н а ч и н е је д н а к ч е т и р и и т о к а д а је < —— ——< а .

П о ш т о је , о ч и г л е д н о , а < 0, т о с е и з п о с л е д њ и х н е је д н а к о с т и д о б и ја —2 < а < —

834. а ) И з 2 /( :г —2)2 = х д о б и ј а м о 2\х — 2\ = х .

1° З а х > 2 ј е 2 х — 4 = т ј . х ^ = 4;4

2° З а х < 2 ј е 4 — 2 х = х , т ј. х 2 = -•

б ) Ј е д н а ч и н а с е м о ж е п р е д с т а в и т и у о б л и к у |* —2| — \2х + 3| = —1. Р е ш е њ а с у х \ = —6 и

х 2 = 0.

835. а ) К а к о ј е х + 3 — 2\/х + 2 = (\/х + 2 —I)2 и 1 + 2 7 - \0\/х + 2 = (\/х + 2 —5)2, т о је

д а т а је д н а ч и н а е к в и в а л е н т н а ј е д н а ч и н и \у / х ~+2 — 1| + \\/х + 2 — 5| = 4. Д о б и ја м о д а је

1 < \/х + 2 < 5, о д а к л е с л е д и д а с у р е ш е њ а с в и р е а л н и б р о је в и з а к о ји в а ж и —1 < х < 23.

б ) 3 < х < 7; в ) 1 < х < 26; г ) 2 < х < 5; д ) х \ = , х 2 = 5.

836. а ) 1 < х < 2, с л .; б ) х = 1 и л и х = у , с л .; в ) 1 < х < 2 и л и х = 5, с л .; г ) х = ±4 и л и

х = ±2 и л и х = 0, с л .

1 4 .837. А к о у в е д е м о с м е н у — = I, д о б и ја м о је д н а ч и н у |<| + |< —1| + |2< — 1| = - , ч и ја с у

х 31 2 . 3

р е ш е њ а <1 = - , (2 = - , п а Ј е х г = 3 ,х 2 =

838. а ) З а а < 3 - н е м а р е ш е њ а ; з а 3 < а < 4 - р е ш е њ а с у = 3 — а , х 2 = а — 3; з аа — 1 а + 1 а — 1

4 < а < 5 - р е ш е њ а с у х \ = 3 — а , х 2 = —-— , з а а > 5 - р е ш е њ а с у = -----— , х 2 = —-—.

б ) З а а < — 2 - н е м а р е ш е њ а ; з а а = —2 - р е ш е њ а с у ^ < 2; з а а > —2 - р е ш е њ е ј е х \ = 1 - - \

в ) З а а < 0 - н е м а р е ш е њ а ; з а а = 0 - р е ш е њ а с у х > 0; з а а > 0 - р е ш е њ е је х ^ > - - .




839. а ) П о с м а т р а ј м о г р а ф и к ф у н к ц и ј е у = \х —2|+ \х + 1| и г р а ф и к ф у н к ц и је у = а + 2 х ,

а 6 К (с л .) В и д и с е д а з а а < —1 - н е м а р е ш е њ а , з а а = —1 р е ш е њ а с у х > 2, з а —1 < а < 5. 3 — а . 1 — а

р е ш е њ е је х \ = —-— , з а а > 5 р е ш е њ е је х ^ = —-— .

б ) З а 6 < —1 н е м а р е ш е њ а , з а 6 = —1 р е ш е њ а с у х 6 (—о о , —2], з а —1 < 6 < 5 р е ш е њ е ј е

4 - 3 , ^ „ 6 - 1х \ = ------- , а з а о > 5 - х \ = --------.2 ~ 4

в ) З а а < 0 - н е м а р е ш е њ а , з а а = 0 р е ш е њ а с у х > 1, за 0 < а < 4 р е ш е њ е је х ^ = —-— и

, —аз а а > 4 — х \ = — .

^ ' 2г ) З а 6 = 1 - х > 2, з а —1 < 6 < 1 - н е м а р е ш е њ а , з а 6 = —1 - х < —2, з а |6| > 1 - х ^ =

о

840. а ) (2, ——) з а а ф 0, а ф —3; н е м а р е ш е њ а з а а = 0; (З у + 1, у ) , у 6 К , з а а = —3.а

б ) ( а + 1, а —1) з а а ф 0, а ф 1; ( х , х — 2), х 6 К , з а а = 0; (х , 0), х 6 К , з а а = 1.

в ) А к о је а = 6 = 0, р е ш е њ а с у (х , 1 —х ) , х 6 К ; а к о је 6 = 0, а ф 0, н е м а р е ш е њ а ; а 6 ф 0. .6 - а а + 6,

р е ш е њ е је ( ~ ^ ~ ,

г ) ((а + 6)2, (а —6)2) за а ф 0, а ф ±6; (х , х ) , х 6 К , з а а = 0, 6 ф 0; н е м а р е ш е њ а з а а = ±6., , —т 2 т + 1. , 1 г о

д ) ( ---------- , -----------) з а т ф ±1, т ф — ; н е м а р е ш е њ а з а ш = —1 и л и ш = — ; (х , 3 —2т +1 ш +1 2 2

—г т ) , 1 е К \ { -1 } , з а ш = 1.х + 1ђ ) (1, ћ ) з а а ф ±6; ( х , 1 + ћ — х ) з а а = 6 ф 0; ( х , х — 1 + ћ ) з а а = 6 ф 0; с в и п а р о в и ( х , у ) ,

х , у 6 К , з а а = 6 = 0.

841. а ) З а 6 ф 0, а ф 2 р е ш е њ е је (6, —а ), з а 6 = 0 р е ш е њ а с у (0, /3), / З б К , а з а = 2 -

р е ш е њ а с у ( —6 —6а , а ) , а 6 К .

б ) З а 6 ф 1, а ф 2 р е ш е њ е је ( —6, а ) , а 6= 1 р е ш е њ а с у ( —1, /3), /? 6 К , а з а а = 2 -

р е ш е њ а с у (6 — 2 + (1 —6)а , а ) , а б К .

в ) з а 6 ф 0, а ф 1 р е ш е њ е је (6, — 1), з а 6 = 0 е ш е њ а с у (0, /3), /3 6 К , а з а а = 1 - е ш е њ а

с у (6 + 6а , а ) , а 6 К .г ) з а 6 ф —1, а ф 2 р е ш е њ е је (—6, а ), з а а = 2 е ш е њ а с у (6 + 2 — (6 + 1 )/3, /3), /3 6 К , а з а

6 = —1 - р е ш е њ а с у о б л и к а (1, а ) , 6 К .

д ) з а а ф 1, 6 ф 4 р е ш е њ е је (6, — —- ). З а а = 1,6 ф 4 - н е м а е ш е њ а , з а 6 = 4, а ф 1а — 1

р е ш е њ а с у (5 — (а — 1 )/3, /3), / З б К и з а а = 1,6 = 4 р е ш е њ а с у (5, а ) , а 6 К .5 5

ђ ) з а а ф 0, 6 ф — р е ш е њ е је (1, а ), з а а = 0 р е ш е њ а с у (1, /3), /3 6 К , а з а 6 = —- р е ш е њ а3 3

с у (З а 2 + 1 —З а а , а ) , а 6 К . ч

842. а ) - г ) : в и д е т и с л и к е .

С л . у з з а д . 8426

_ . / З г г + 8 4 г г - 9 \843. Р е ш е њ е с и с т е м а 1е |—=— :— - . З о о г

\ + 6 п г + 6 Ј

т ј. п 6 { - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 } .

8 9х > 0 , у < 0 т р е б а д а б у д е - - < п < - ,

«5 4




844. а = 0,6 = 0, с = и л и а = 2,6 = —1, с = 1.

845. И з 9х = п 2 ( п - 1), к а к о с у п 2 и п - 1 у з а ја м н о п р о с т и с л е д и п = 3к и л и п = 9к + 1

( к € И ). У п р в о м с л у ч а ј у с е д о б и ја х = к 2 ( 3 к - 1 ) , у = к 2 ( 1 0 - 3 к ) , п а је х , у € N а к о и с а м о

а к о је п = 3 , п = 6 и л и п = 9. У д р у г о м с л у ч а ју с е п о к а ж е д а н е м о ж е б и т и и с т о в р е м е н о

х € N и у € N.1 5

846. Р е ш е њ а с у (1, 1) и л и (—- , - ) , (в .с л .).

847. а ) Р е ш е њ а с у о б л и к а ( а , —2 —а ) , а € [—2, -1], (в .с л .);

б ) Р е ш е њ а с у о б л и к а ( а , а + 2), а € [—1, 0], (в .с л .).

848. а ) О з н а ч и м о :: с . С а д а ј е 2а + 6 + с =

х + 2 у + г п ’ 5 х - у + 2 г ’ З х + 2 у + г

4, а + 26 + с = 4, З а + 36 - 2с = 4. Р е ш е њ е о в о г с и с т е м а ј е (а , 6, с ) = (1, 1, 1Ј . И з

* ’+ 2у + г = 3, 5 х - у + 2 г = 4, З г + 2у + г = 5 д о б и ја с е д а је р е д а е њ е д а т о г и с т е м а

(*| У . *) = (!> °)-б ) (1, 0, -1).

849. а ) У в е с т и с м е н е : — = х ' , 7- = у ' , - = *'• Р е ш е њ е је (— , 6, с ).а о с




б ) (6с, а с , а б ).

в ) С в а к у о д је д н а ч и н а п о д е л и т и с а а б с и у в е с т и с м е н е : — = х ' , у = у ' - = г ' . Р е ш е њ е. / , > а о сЈ е (а , 26, 3с).

N, а - 9 6 - 2 - 5 а + 9 6 + 10 ,, , _850. а ) ( ------—------ , --------- —--------- , а , 6) а , 6 6 К ;

б ) ( - 1 , 3 , -2 , 2): в ) (2 ,1 ,-3 ,1 ); г ) н е м а р е ш е њ а ; д ) (1, 2 , 3 , 4 , - 4 , - 3 , - 2 , -1 ) .

851. К а д а с а б е р е м о је д н а ч и н е , д о б и је м о 2 ( х + у + г ) 2 = 288, о д а к л е ј е г + ]/ + г = ±12, ш т о

м о ж е м о з а м е н и т и у д а т е је д н а ч и н е . Д о б и ја ј у с е д в а с и с т е м а , ч и ја с у р е ш е њ а (2,4,6) и

( - 2 , - 4 , - 6).

852. О з н а ч и м о с а х , у , г , и је д н о ч а с о в н и у ч и н а к п р в е , д р у г е , т р е ћ е и ч е т в р т е ц е в и . Т а д а

је1

х + у + г + и = -

1г + ]/ + и = -

1_ у + г + и = - .

т л ■ 1 к 1 . 2И з п р в е и д р у г е Ј е д н а ч и н е с л е д и г = — , а и з п р в е и т р е ћ е х = — , п а 1е г + х = —

_ 12 20 Ј 15о д н о с н о п р в а и т р е ћ а ц е в н а п у н е б а з е н з а 7,5 ч а с о в а .

853. Н е к а је т б р о ј с т р а н а и п б р о ј у ч е н и к о в и х м а р а к а . Т а д а је 20ш < п , 2 3(ш -1 ) > п и

21 + п = 500. З а м е н о м п и з је д н а ч и н е д о б и ј а м о 20ш < 5 00 -2 1 т и 23( ш - 1) > 500-21 т .

К а к о је т ц е о б р о ј и з п р в е н е је д н а ч и н е с л е д и т < 12, а и з д р у г е т > 12, п а ј е т = 12.

854. а ) З а а = - 2 р е ш е њ е ј е (0, - 2), з а а = - 1 р е ш е њ е ј е ( 1 , З а а ф - 1, а ф - 2 -

н е м а р е ш е њ а ;

б ) З а а = 2 р е ш е њ е је (0, 2), з а а = -1 р е ш е њ е је ( -1 , -2 ). З а а ф - 1 , а ф 2 - н е м а р е ш е њ а .

855. Е л и м и н а ц и јо м у и з д а т и х ј е д н а ч и н а д о б и ја м о г = 12х , к а к о је 2 > 0 и I > 0 б и ћ е

г > х .

856. а ) Л а т и с и с т е м с е м о ж е н а п и с а т и у о б л и к у :

1 + 1 = — 1 + 1 - А I 1 - Нх у 12 у г 18 г х 36 ’

П о с л е п р и м е н е с м е н е : —= а , —= 6, 1- = с, н а л а з и м о х = 4,у = 6,2 = 9 ; б ) ( — , - 210, — ^ .х у г \ 4 9 /

857. О з н а ч и м о с а х п о ч е т н у к о л и ч и н у т р а в е и с а у д н е в н и п р и р а с т т р а в е ( у к о л и ч и н а м а

д н е в н и х п о р ц и ја ) , т а д а је х + 50у = 40-50, х + 3 0у = 60-30, о д а к л е ј е = 1500, у = 10. И з

1500 + 1 0 - г = г - 20 н а л а з и м о д а 20 к р а в а м о р а п а с т и г = 150 д а н а , и з 1500 +10 -75 = и -75,

н а л а з и д а 75 д а н а н а л и в а д и м о ж е п а с т и и = 30 к р а в а .

д _ 4 о 4858. а ) х > ------- , з а а < 5, х < -------- , з а а > 5, а = 5 - н е м а р е ш е њ а ;5 — а 5 — а

, т + 2 т + 2о ) х > — — , з а п > - 1; х < ---- - , з а п < - 1; с в а к о х з а п = - 1 и т < —2; н е м а р е ш е њ а

п + 1 п + 1 > гз а п = —1, т > —2;

в ) г > а + 6 з а а > 6; 1 < а + 6 з а а < 6; а = 6 - н е м а р е ш е њ а ;, 26 26

г ) х < — з а а > 0, х > — , з а а < 0;а а

д ) г > (^Т Т р з а а > _1’ г < (^Т Т р з а а < " 1;ђ ) х > а ( а + 1) з а а > 0, х < а ( а + 1) з а а < 0;, ^ а - 2 а - 2

е ) х < ------- з а а < 1 и л и а > 2, х > ------- з а 1 < а < 2, г 6 Е з а а = 1 и л и а = 2.а —1 — а —1



859. Р е ш е њ а п р в е н е је д н а ч и н е с и с т е м а с у : з а т < —1 - х > —— з а т > —1 х < —— - ;т + 1 т + 1

з а т = —1 о н а с е с в о д и н а 0 •х < —3 и о н а н е м а р е ш е њ а . Р е ш е ш а д р у г е н е је д н а ч и н е1 . . , . т — 2 1

с у х < —. С а д а т р е б а у т в р д и т и к а д а је (з а т ф —1) и с п у њ е н о -------- > - , о д н о с н о4 т + 1 4

т — 2 1 „ . . т . . т ~ 2 1-------- < - . Н е к а 1е , н а ш р е т > -1 . Г а д а ј е н е је д н а ч и н а -------- > - е к в и в а л е н т н ат + 4 4 т + 1 ~ 4

н е је д н а ч и н и 4 (т — 2) > т + 1, т ј. т > 3, д о к ј е з а —1 < т < 3 -------- < - . А к о јет + 1 4

т — 2 _ 1


т < — 1, н е је д н а ч и н а > - е к в и в а л е н т н а је н е је д н а ч и н и 4 ( т - 2) < т + 1, т ј. т < 3.т + 1 4

О в а ј у с л о в је с а г л а с а н у с л о в у т < —1, ш т о з н а ч и д а је з а с в е т < — 1 и с п у њ е н у с л о в

-------- > - . Р е з и м и р а ј м о з а к љ у ч к е д о к о ји х с м о д о ш л и :т + 1 4. т — 2 1

1° т < - 1, 1 > — — , х < - , т + 1 4

„ т —2 12 - 1 < т < 3, х < -------- , х < - ,

т + 1 4

1/4 т - 2т + 1

т - 2

т + 11/4

„ т — 2 13 т > 3, х < — !— , х < - .

т + 1 4

1/4 т - 2

т + 1

771 — 2а ) т < -1 - н е м а р е ш е њ а ; б ) т = —1 - н е м а р е ш е њ а ; в ) —1 < т < 3 - х < --------- ; г ) т > 3

т + 1

860. а ) Н р в а н е је д н а ч и н а с и с т е м а е к в и в а л е н т н а ј е н е је д н а ч и н и х ( а — 1) < а 2 — 1, а њ е н а

р е ш е њ а с у : (1) з а а < 1 х > а + 1, (2) з а а = 1 - н е м а р е ш е њ а , (3) з а а > 1 : ј < о + 1.

Д р у г а н е је д н а ч и н а с и с т е м а е к в и в а л е н т н а је н е је д н а ч и н и ( а — 4)* < 2(а — 4), п а с у њ е н а

р е ш е њ а : (1) з а а < 4 : х < 2, (2) з а а = 4 - н е м а р е ш е њ а , (3) з а а > 4 : х > 2.

К а к о је а + 1 > 2, з а а > 1, т о с у р е ш е њ а д а т о г с и с т е м а н е је д н а ч и н а : 1° з а а < 1 : х > 2;2° з а а = 1 : н е м а р е ш е њ а ; 3 ° з а 1 < а < 4 : 2 < : г < а + 1 ; 40 з а а = 4: н е м а р е ш е њ а ; 5° з а

а > 4 : х < 2.

б ) З а а < — 3 : х < 2; з а а = —3 и а = 0 - н е м а р е ш е њ а ; з а —3 < а < 0 : 2 < ^ < 2 —а и з а

а > 0 : х > 2.

в ) З а с < —2 : х < 2; з а с = - 2 и с = 1 - н е м а р е ш е њ а ; з а —2 < с < 1 : 2 < 1 < 3 —с и з а

с > 1 : х > 2;

г ) з а с < —1 : х > 2; з а с = —1 и с = 2 - н е м а р е ш е њ а ; з а —1 < с < 2 : 2 < х < с + 3; з а

с > 2 : х < 2.

861. а ) Р е ш е њ а п р в е н е је д н а ч и н а с у : з а а > 3 : х < ------- , з а а = 3 : I Е К , з а а < 3 : I >3 —а

2 —а 1 т . . 2 —а 1 . 3-------, а р е ш е њ а д р у г е н е Ј е д н а ч и н е с у х < - . К а к о Ј е ------- > - а к о Ј е а < - и л и а > 3,

3 — а 3 3 а 3 2т о с у р е ш е њ а д а т о г с и с т е м а :



3 , . 3 / 2 —а 1\( 1) з а а < - - н е м а р е ш е њ а ; ( 2) з а - < а < 3 - х € 1 3 _ ' 3 ) '


11 3 /11 З т + 1\ . 3б ) з а т < 0 - х > — , з а 0 < т < - - х € — , ---------- I и з а т > - - н е м а р е ш е њ а .

3 2 \ О 771 Ј &

862. (а ) —3 —2 у < х < 1 —у А у > Г е о м е т р и јс к а и н т е р п р е т а ц и ја д а т а ј е н а с л и ц и . б )

2 —х < у < 2 х + 1 Л х > 1; в ) х > т а х { у —7, З у + 2}.

-3/2 ^ ------

С л . у з з а д . 862

863. а ) Ј е д н а ч и н а с е м о ж е н а п и с а т и у о б л и к у (а —1)(а —2)х = (а —2)(а —3). а 2, а ф 1

а — 3 . .х = ------- , з а а = 2 р е ш е њ е ј е с в а к о х , а з а а = 1 н е м а р е ш е њ а .

а — 11° а = 3, 2° а < 1 и л и а > 3, 3° 1 < а < 3, а ф 2;

б ) з а а ф ±1 х = ° - , з а а = —1 р е ш е њ е је в а к о , з а а = 1 н е м а р е ш е њ а .1° = —3,а — 1

2° а < -3 и л и а > 1, 3° -3 < а < 1, а # -1 .

а —4864. а ) З а а ф 5 - х^ = ------- 1° Х \ > 0 је и с п у њ е н о з а 4 < а < 5, 2° а = 4, 3° а < 4 V а > 5;

5 —а

б ) з а а ^ —1 - XI = ------- 1° а < —2 V а > —1; 2° а = —2; 3° —2 < а < —1.а + 1

2 , ,в ) з а а -1 - XI = -.------ -г=-, п а Ј е Х \ > 0 з а с в е а ф - 1 .

(а + 1)г ) з а а ф 0 - = а (а + 1), п а је : 1° а < —1 V а > 0, 2° а = —1; 3° —1 < а < 0.

865. З а а ф 0, а ф —1 - је д н а ч и н а је е к в и в а л е н т н а је д н а ч и н и х ( а + 1)2 - а (а + I)2 =

х а (а + 1) - а , т ј. х (а + 1) = а 2(а + 2), о д а к л е ј е , п о ш т о је а ф -1 х \ = ° • З н а к

р е ш е њ а ј е и с т и к а о з н а к и з р а з а ~ п а је х ^ > 0 з а а < —2 V —1 < а < 0 V а > 0, а

XI = 0 з а а = —2 и х \ < 0 з а —2 < а < —1.

15 - 2 т 3(13 - 2 т ) „^ . . _ ^^_866. З а т ф 3 х = -------- -г , у = -------- - г 1 ; х > 0 и у < 0 ј е з а 6, 5 < т < 7, 5.

2( т —3) 2( т —3)„ . / * + 16 8 - 3 * \

867. Р е ш е њ е је I — - — , — - — I . с л о в је и с п у њ е н з а к € 1 -2 3 , - I .

. 1 к о868. З а к = —1 н е м а р е ш е њ а ; з а к ф — 1 ј е х = ^ - , у — ^ + ” и т а д а ј е х > 2 у а к о и с а м о

а к о је —1 < к <

1869. а ) З а р = 0 н е м а р е ш е њ а ; з а р ф 0 р е ш е њ е је ( - , ------ ); б ) р < 0, и л и р >

Р Р *

870. а ) З а 6 ф 1, 6 ф - 3 р е ш е њ е ј е ( ј - Ц - , з а 6 = 1 н е м а р е ш е њ а ; з а 6 = - 3 р е ш е њ а

с у ((, 1 - ( ) , < € Н ; б ) 6 € [0,1).



871. а ) З а 6 ф 0,а ф 1 р е ш е њ е је (6,а - 1); з а 6 = 0 р е ш е њ а с у о б л и к а (0, 4), * € Н ; з а

а = 1 р е ш е њ а с у о б л и к а (64+ &,<),< € Н . б ) А к о у д а т у н е је д н а ч и н у з а м е н и м о х 0 = 6,у 0 =• 26 —3 .

а —1, д о б и ја м о п о с л е с р е ђ и в а њ а е к в и в а л е н т н у н е је д н а ч и н у _ < 1, ч и Ј а с у р е ш е њ а

4 € [-1 ,4 ), (6 # 0,6 # ^).

6 3872. З а р ф ±2 р е ш е њ е је ( ------- , ------- ) , з а р = 2 р е ш е њ а с у (3-2<,<),< € Н , д о к з а р = - 2

р + 2 р + 2н е м а р е ш е њ а . б ) —5 < р < —2, л —2 < р < 1.

873. а ) С с т е м м а је д н с т в е н о р е ш е њ е з а к ф 1: (3& — 1 ,- 1 ) . У с л о в в а ж з а к €

1б ) С с т е м м а је д н с т в е н о р е ш е њ е з , к ф 2: (—1 ,3 к — 2). У с л о в в а ж з а к € ( - , 2)1Ј (2, +о о ).

, 2 1 —т .874. С с т е м м а је д н с т в е н о р е ш е њ е з а т ф ±1: (— — , — ----- )• У с л о в в а ж и з а т €

1 + т 1 + т

(- о о , —1) (Ј (—1,0] 1 (1, +о о ).

875. а ) П о с м а т р а т и а р и т м е т и ч к у и г е о м е т р и јс к у с р е д и н у б р о ј е в а а 2с , 62а и с 26.

б ) А р и т м е т и ч к а с р е д и н а з а б р о је в е 1 + 1,1 и 1 н и је м а њ а о д г е о м е т р и јс к е , а е

( х + 1) + 1 + _1 ^ ^ 1 . 1 . (х + 1) и л и —+ 1 > ^1 + х . Ј е д н а к о с т в а ж и а к о и с а м о а к о је3 3

2 = 0. _____

ч а б 6с ^ л / а б 6с л ? т т б с а 6с с ав ) ----\- — > 2 \ --= 26. Н а и с т и н а ч и н с е п о к а ж е -------\- — > 2 а , -----\- — > 2с , а з а т и м

с а — V с а с о а о

с е л е в е и д е с н е с т р а н е о в и х н е је д н а к о с т и с а б е р у .

г ) А р и т м е т и ч к а с р е д и н а б р о је в а а ,6,с н и је м а ш а о д х а р м о н и јс к е ., . 6 + с 6 + а а + с . . .

д ) А р и т м е т и ч к а с р е д и н а б р о је в а —-—, —-— , —-— је в е п а и л и је д н а к а о д х а р м о н и Ј с к е .

ђ ) - + - + - > 3 \ 1 - ■ - ■ - = 3. О в а , к а о и м н о г е д р у г е о д п о м е н у т и х , н е је д н а к о с т и м о ж е6 с а ~ V 6 с а

. “1 °2 а „с е у о п ш и т и - т а к о з а в е п о з и т и в н е р о је в е 01, 02, . . . , а „ в а ж и — + — + ••• + — > п .

п 2 а з а 1

876. а ) |х + у| = у / {х + у )2 = \ Ј х 2 + 2 х у + у 2 < \Ј 2 + 2 х у = \Д = 2, је р з б о г х 2 + у 2 < 2 и з

0 < ( х - у )2 = х 2 + у 2 — 2 х у < 2 - 2 х у , с л е д и 2 х у < 2.

в ) Н е к а ј е а = 1 + и 6 = 1 —к . Т а д а је а 4 + 64 = (1 + ^)4 + (1 —^)4 = 2(^4 + 6 * + 1) > 2,

је р ј е к 4 + 6к 2 > 0.

ђ ) К а к о је ( х — у - Д ) 2 = (х - ) 2 - 2\/2(х - у ) +2 = 2 + у 2 - 2\/ 2( х - у ) > 0, б и ћ е

х 2 + у 2------- — > 2\/2. К о р и ш т е н и с у у с л о в и х — у > 0 и х у = 1.

1 = г 2 + 2 _ А х 2У 2 = (*2- У 2)2а х 2 + у 2 х 2 + у 2

877. У п у т с т в о : п р и м е н и т и о д н о с к в а д р а т н е и а р и т м е т и ч к е с р е д и н е .

878. Н е к а је I в р е м е з а к о је п р в и а у т о м о б и л с т и ж е у В . У к у п а н њ е г о в п у т ћ е б и т иА В

А В = и + и . I . А к о ј е Т в р е м е з а к о је д р у г и а у т о м о б и л с т и ж е н а ц и љ , б и ћ е Т = — — I-

А В

~Т ~ А В , 1 1 , . „ ^ 2и и _ и + V _ 2 ш .= -----( - + - ) , о д а к л е ј е А В = Т ■ --------. С а д а и м а м о —— ■ I = Т ■ — ■— , т ј .

V 2 V и + и 2 и + у

— = (ц + > 1^је р ј е ( и + и )2 > 4и у з б о г ( и - у )2 > 0. Д а к л е < < Т , г д е је д н а к о с т в а ж и1 .

а к о и с а м о а к о ј е и = V.


\ 0 , 0 “ 2 , 2 У \ & / ^ пе ) х + у -----= х г + у г -т - — т = — т -— ј — > 0.у - г 2 4 - и *




Г л а в а VII —С л и ч н о с т

879. Н е к а с у Р и (Ј т а ч к е т а к в е д а је А Р = 2, В (Ј = 1 и А Р Ц В ф (в . с л .). Т а д а је

п р е с е к д у ж и А В и Р (Ј .

880. р \\д , А = т , В Д Г , = В Д Г 2 = п , = - (в -с л 0-г ј О п г п

х=а ћ х =а /ћ х = с ? / 1 )


882. Ј е д н а к о с т и н а п и с а т и у о б л и к у п р о п о р ц и је : а ) х : а = 6 : 1; б ) х : 1 = а : 6; в )

х : а = а : 6 (в .с л .).

883. Н е к а је А В д а т а д у ж , I п р о и з в о љ н а п р а в а к о ја с а д р ж и т а ч к у А и А 1 , А 2 , А з т а ч к е

т а к в е д а в а ж и А А ^ = А 1А 2 = А ^ А ^ , ( в . с л ). Н е к а п р а в е к о је с а д р ж е т а ч к е А | и А г и

п а р а л е л н е с у с а п р а в о м А 3В с е к у д у ж А В у т а ч к а м а С ж И . Т а д а т а ч к е С и Д д е л е д у ж

А В н а т р и ј е д н а к а д е л а .

884. Н а о с н о в у Т а л е с о в е т е о р е м е , п р е м а д а т о ј с л и ц и , и м а м о р а з м е р е А С : С Б = В С :

С Е = А В : В Е . О д а в д е ћ е м о и з а р а ч у н а т и т р а ж е н е д у ж и н е .

а ) И з А С : С Б = В С : С Е д о б и ја м о С Е = С Г > ' В С = = 8;

' Ј А С 12 ’б ) И з А С : С В = В С : С Е , н а о с н о в у о с о б и н а п р о п о р ц и ј а , д о б и ја м о ( А С — С И ) : ( В С :

С Е ) = А С : В С , о д н о с н о А Б : В Е = А С : В С . О д а в д е је В Е = - В ' В С = = 5.А С 15

• А И •С Ев ) С л и ч н о , к а о п о д б ) : В Е = — ——— = 3, п а ј е В С = С Е + В Е = 10.

О Ј Ј6 в

г ) А Б = А С - С И = 12, п а ј е С Е = — = 4; д ) А С = С Б + Б А = 10.

885. И з у с л о в а з а д а т к а с л е д и А С : С Б : Б В = 10 : 15 : 21 и А С + С 1> + Б В = 92. А к о

о з н а ч и м о А С = 104, С Б = 154 и Г Ш = 214, о н д а д о б и ја м о 4 = 2, п а с л е д и А С = 20 , С В =

30 , И В = 42.

886. Н е к а ј е п р е с е к с и м е т р а л е у г л а А и с т р а н и ц е В С и Е п р е с е к п р а в е к о ја с а д р ж и

т а ч к у С , а п а р а л е л н а ј е п р а в о ј А О , с а п р а в о м А В , (в . с л .). Т а д а с у у г л о в и к о д т е м е н а С и

Е т р о у г л а А С Е је д н а к и п о л о в и н и у г л а А т р о у г л а А В С , т ј. т а ј т р о у г а о је је д н а к о к р а к и .



Г л а в а VII - С л и ч н о с тС

223

С л . у з з а д . 883 С л . у з з а д . 886

В Т )З а т о је А С = А Е . Д а љ е , з б о г А Б \\ С Е , н а о с н о в у Т а л е с о в е т е о р е м е д о б и ја м о =

А В А В

А Е ~ А С '

А С А И887. Н е к а је —~=г = , г д е је С Б д а т а п о л у п р а в а , а С И \ с и м е т р а л а у г л а С ( в .с л .)*

С В Г )Вт ^ А О х А С с с А В Ђ Х ВТ а д а је з б о г о с о б и н е с и м е т р а л е = 7777, п а б и б и л о -=-=г = _ . (Ј д а т л е с л е д и д а

и & о 1 ј ј н ј ј хје н е о п х о д н о д а б у д е Б = О г .

С

А Е

С л . у з з а д . 889

888. И з

а е = в б :

А СА Е

А 1 V А С

А И В С

А 1 V В С

В # И В Б

В И А Сс л е д и —

В А Е

А С В С

В С ' В Б

А С

В И 'п а ј е

889. Н е к а ј е Б п р е с е к с и м е т р а л е с п о љ а ш њ е г у г л а к о д т е м е н а А т р о у г л а А В С с а п р а в о м

В С и Е п р е с е к п а р а л е л е с а А Б , к о ја с а д р ж и т а ч к у С , с а п р а в о м А В , (в .с л ). Т а д а с у

у г л о в и к о д т е м е н а С и Е т р о у г л а А С Е је д н а к и п о л о в и н и с п о љ а ш њ е г у г л а к о д т е м е н а А

В Б А В А Вт р о у г л а А В С , п а с л е д и А Е = А С . Д а љ е , з б о г А О \\ С Е , с л е д и = ~д]јј =

С л . у з з а д . 890 С л . у з з а д . 891

890. Н е к а с у А В = а и С О = 6 о с н о в и ц е т р а п е з а А В С О , Е и Р с р е д и ш т а с т р а н и ц а А Б

и В С , р е д о м , и н е к а с у X и У п р е с е ц и д и ја г о н а л а А С и В И с а п р а в о м Е Р (в .с л .). Н а„ . Б Е Е У А Е Е Х 1 . _ 1

о с н о в у Т а л е с о в е т е о р е м е д о б и ја м о — — = ——, -т т г = 77771 °Д а к л е с л е д и Е У = - А а = - а1 ) А А п А и и С 2 2

и Е Х = 1 с Г > = 1 = 6, п а је Х У = Е У - Е Х = (а - 6)/2.




891. Н е к а ј е О п р е с е к д и ј а г о н а л а д а т о г т р а п е з а . Т а д а н а о с н о в у Т а л е с о в е т е о р е м е О Б О А в - . О О

д о б и ја м о = — и = — р , о д а к л е с а б и р а њ е м д о б и ј а м о -

Б + А

А Б

М Д Г =

А В

1, п а о д а т л е с л е д и О =

2а 6

а + 6

а б

а + 6А н а л о г н о ј е О Д Г =

а б

а + 6, п а д о б и ја м о

892. О з н а ч и м о с а Е п о д н о ж је н о р м а л е и з 0 н а А В (в .с л .). Т а д а ј е О Е в и с и н а , а О С

м е д и ја н а у т р о у г л у А О О . К а к о је б и с е к т р и с а у г л а А О О и з м е ђ у м е д и ја н е и в и с и н е , т о

је < А О С < < С О И , д о к ј е < А О С = < О О В .

С л . у з з а д . 893 С л . у з з а д . 894

893. Н е к а ј е \ п р е с е к п р а в и х Р и С Б (в . с л .). К о р и с т е ћ и ч и њ е н и ц е А В \\ С Б и А =

У Р У Р В В Х „ В д о б и ја м о ■ ■ = 7-7 - = 7777 = , ■■■—= п - П р е м а т о м е , Х — У , т ј . т а ч к а

" л л . п р п \ С ш \ и \Б Р Б је с р е д и ш т е д у ж и Х У .

894. И з В С \ \ Е Б д о б и ј а м о ^ а и з Р С \ \ В Е д о б и ја м о (в .с л .). П р е м а

т о м е , о д а к л е с л е д и А В 2 = А И ■ А Р .А О А В

а е а р _ _ ^ о _ 2 Л . - в с ~ ]

895' А В + А С ~ В С + В С ~ В С ~ '

898. Т р о у г а о А В С с е х о м о т е т и ј а м а Ћ о ,2, И о , - 1 и ^ о , - 1/2 с л и к а р е д о м у т р о у г л о в е

А \В \С \, А 2В 2С 2 , А 3В 3С 3 , (в .с л ).



Г л а в а VII - С л и ч н о с т 225

899. С р е д и ш т а с т р а н и ц а к в а д р а т а с у т е м е н а н о в о г к в а д р а т а . Т а ч к е с и м е т р и ч н е т а ч к и

О у о д н о с у н а с р е д и ш т а с т р а н и ц а д а т о г к в а д р а т а с у х о м о т е т и ч н е т и м с р е д и ш т и м а п р и

х о м о т е т и ј и Ћ о , 2 ■

900. Н е к а је М Л ^Р ф п р о и з в о љ а н к в а д р а т т а к а в д а , N € В С и <2 € А В , (в .с л .). Н е к а

• Н Р је Р \ п р е с е к п р а в е В Р и п р а в е А С . Х о м о т е т и ја с а ц е н т р о м В и к о е ф и ц и ј е н т о м

п р е с л и к а в а к в а д р а т М Л Г Р (2 у т р а ж е н и к в а д р а т у И ^ Р у С ј у .В Р

902. А к о с у к р у г о в и д и с ју н к т н и , ц е н т р и х о м о т е т и ј а с у п р е с е к з а је д н и ч к и х с п о љ а ш њ и х и

п р е с е к з а је д н и ч к и х у н у т р а ш њ и х т а н т г е н т и , (в . с л .). Р а з м о т р и т е с л у ч а ј к а д а с е к р у г о в ис е к у .

903. Ц е н т а р х о м о т е т и је је с р е д и ш т е д у ж и о д р е ђ е н е ц е н т р и м а к р у г о в а , а к о е ф и ц и ј е н т т ех о м о т е т и је је д н а к је -1.

904. У п у т с т в о . О д р е д и т и ц е н т а р х о м о т е т и ј е з а к р у г о в е к х и к 2, а з а т и м т о м х о м о т е т и ј о м

п р е с л и к а т и т р о у г а о А \ В \ С \ у т р о у г а о А 2В 2С 2 .

905. Н е к а је Х \ п р о и з в о љ н а т а ч к а ф и г у р е Р \ , Х 2 с к л и к а т а ч к е Х \ п р и х о м о т е т и ји Ћ о к ,

Х з т а ч к а о д р е ђ е њ е с а Х 2 Х з = и 5 т а ч к а о д р е ђ е н а у с л о в о м 0 § =

8Х з О Х 2Т а д а с у т а ч к е С , Х \ и Х з к о л и н е а р н е , (в .с л .), и в а ж и = ——-

ф и г у р а Р 3 је х о м о т е т и ч н а ф и г у р и Р \ п р и х о м о т е т и ји Ћ ,, к -5 Х \ О Х \

Х \ Х 2

к . П р е м а т о м е ,

С л . у з з а д . 905

906. Н е к а је О ц е н т а р х о м о т е т и ј е Ћ о ,к и н е к а с у X и У п р о и з в о љ н е т а ч к е п р а в е р , а Х \

и У \ с л и к е т и х т а ч а к а п р и х о м о т е т и ји Ћ о ,к - Т а д а в а ж и Х 1У 1 = Х \ д + О у [ = к Х $ + к ( У ? =

Ц х д + О ? ) = к Х ] ? . П р е м а т о м е , т а ч к е Х \ и У \ п р и п а д а ј у п р а в о ј р \, к о ја је п а р а л е л н а

с а п р а в о м р . Л а к о с е д о к а з у ј е д а је с в а к а т а ч к а п р а в е р \ с л и к а н е к е т а ч к е п р а в е р . Н е к а

је \ п р о и з в о љ н а т а ч к а п р а в е р 1: и н е к а је т а ч к а о д р е ђ е н а у с л о в о м О л 1 = јО М * .

Т а д а ј е О \ = к О Л \ и ~Х \Ш \ = к Х А ^ . П р е м а т о м е , т а ч к а п р и п а д а п р а в о ј р , а њ е н а

с л и к а п р и д а т о ј х о м о т е т и ји је т а ч к а \.




907. Н е к а ј е Ћ о ,к х о м о т е т и ја и н е к а ј е К к р у г с а е н т р о м 5 и п о л у п р е ч н и к о м Н , X

п р о и з в о љ н а т а ч к а т о г к р у г а и 5^ и X 1 л и к е т а ч а к а 5 и X р и д а т о ј о м о т е т и ји . К а о

у п р е т х о д н о м з а д а т к у д о б и ј а м о 8\Х \ = к 8 $ . П р е м а т о м е , т а ч к а X 1 п р и п а д а к р у г у К \

с а ц е н т р о м 5ј и п о л у п р е ч н и к о м к Н . Л а к о с е д о к а з у је д а је с в а к а т а ч к а к р у г а К \ с л и к а

т а ч к е к р у г а К .

908. а ) И з 12 : 9 = 8 : 6, о д н о с н о 6 •12 = 9 - 8, с л е д и А С : В С = А С ' : А В ' . О д г о в а р а ју ћ и

о д с е ч ц и с у п р о п о р ц и о н а л н и , п а је В В '\\ С С ' ;

б ) В В '\\ С С ' ; в ) И з 21 : 6 # 17 : 9, о д н о с н о 21 -9 ф 6 •17, с л е д и А С : А В Ф А С ' : А В ' . В В '

н и је п а р а л е л н о с а С С ' .

909. а = 18с т . 910. А '= — •А = 16.а

„ . 27 36 48 3911. Л а , Ј е р в а ж и - = - = - =

912. 32, 48, 56. 913. 1 9 с т и 23 с т .

914. 01 = 30, к \ = 25, ^ = 20, 0\ = 75. 915. 0\ = 24 с т .

916. К а к о је < А 8 В = < С 8 Б (к а о н а к р с н и ) и < А В Б = < А С Б ( к а о у г л о в и н а д л у к о м), с л е д и д а с у т о р у г л о в и А В 8 и С Б 8 с л и ч н и .

917. о = 10, 6 = 12, с = 18, 4 = 20.

Р \ 75 " ч 2

918> Р 2 ~ 48. О д а в д е и м а м о д а је ^ - = —, п а к а к о је 0\ — 28, б и ћ е 0 2 — -ј г " с т .

919. х = ^ - ћ = 15т . 920. х : 250 = у : 320 = г : 450 = 1 : 10000, х = 2, 5, и т д .а

921. х = —(а — т ) = б с т .а

922. С л и ч н о с т т р о у г л о в а О А В и О С Г ) с л е д и и з је д н а к о с т и и < О А В = < О С И , < О В А =

< О Б С .

‘ А С 4 .923. И з с л и ч н о с т и т р о у г л о в а А В С и С И А и м а м о о д а к л е је А С = 8с т .

924. П р и м е т и м о д а ј е < А Е В = < А С В (п е р и ф е р и ј с к и у г л о в и н а д и с т и м л у к о м ), в .с л .

З а т о је и < А В О = < А Е В . О с и м т о г а < В А Е = < Б А В . З а т о в а ж и А А В Е ~ Д Л Г В ,

А В А Б . јј2 ј п » ро д а к л е с л е д и — = —— и к о н а ч н о А В ‘ = А и ■ А ћ , .

А Е А В

С л . у з з а д . 924 С л . у з з а д . 928г !/

925. А к о д у ж и н а с т р а н и ц а с л и ч н о г п р а в о у г а о н и к а о з н а ч и м о с а х у , б и ћ е - — - — к ,

т ј . X = 5к , у = 2к . И з је д н а к о с т и м е р н и х б р о је в а о б и м а и п о в р ш и н е т о г р а в о у г а о н и к а7 . _ 14

д о б и ј а м о : 2(5*: + 2&) = 5Ј : • 2к \ т ј . к = - , о д а к л е Ј е х = 7 и у = — .

926. х = 4 с т . 927. 01 = 6 9 с т .

928. Т р о у г л о в и А В Е и В П Е и м а ју з а је д н и ч к и у г а о к о д т е м е н а Е . О с и м т о г а < Е В В =

В Е I ) Е .< Е В С = < Е А С = < Е А В , (в .с л .). З а т о ј е А А В Е ~ А В Б Е , о д а к л е с л е д и — = — , т ј.

В Е 2 = А Е ■ Б Е .




929. Л а к о с е д о к а з у ј е д а в а ж е с л е д е ћ е р е л а ц и је (в .с л .). А Е О Б ~ А Е А В , А Е А Б ~

А Е , л П А Д О П Т Х _ . Е О О И А И А ЕА Е г о , Д С г П А ~ А А В Р . И з о в и х с л и ч н о с т и д о б и ја м о -т -= = —— = — - = 77= , о д а к л е

А Е А В г В Е Рс л е д и А Е 2 = Е Р ■ Е О .

В

С л . у з з а д . 933

Р

С л . у з з а д . 929

930. И з с л и ч н о с т и т р о у г л о в а В Е С и Б С Р и м а м о - = - , о д а к л е ј е а = 6с т .4 а

931. а = 31,5 с т . У п у т с т в о . И с к о р и с т и т и с л и ч н о с т т р о у г л о в а А Е О и Р Е С .

932. - 6.4

933. А А В С ~ А А Б В , п а је = 7^ , о д а к л е је Б В =

934. И м а м о д а ј е — = — ■—х п — х

а у/З, г д е ј е ћ = —— . О д а в д е је х = а (2\/3 - 3).

С л . у з з а д . 934 С л . у з з а д . 935

935. П р о д у ж и м о б о ч н е с т р а н е А В и В С т р а п е з а А В С В д о њ и х о в о г п р е с е к а 5 (в . с л .).

А П О », Г А , С А • А 8 . А И - Б И . вА и 5 ~ Д Л 5У V, п а је — — = ——, о д а к л е ј е --------------——-= —— , а ј е б о г М Л Г = -

В М 5 М С М 5 МБ , и = 5 м и А З Ђ је д н а к о к р а к и . И с т о в а ж и и з а А 5 С . К а к о је < 5 С = 2 < А ,

< 5 Б = 2<В . т о ј е < А + < В = 90°.

936. А А В Б ~ А С С \ В , г д е је С \ п о д н о ж је в и с и н е и С . О д а в д е ј е = 5§'-

937. Д р а и к а ч и к : Д А О В 1 ~ А В О А х . Д р у г и н а н и н : Ч е т в о р о у г а о А В А \ В \ је т е т и в н и , п а

је п о т е н ц и ја т а ч к е 0 : А О ■ О А 1 = О В ■ О В \ .

А Л А С938. < Е А В = < А В Б = < В С А ( в .с л .), п а је А А В Б ~ А А С В и ^ т ј. А В 2 =. _ , _ А Ј Ј А Ј ј

А С ■ А Б .

939. 1° К а к о ј е т р о у г а о к о д т е м е н а А з а је д н и ч к и з а т р о у г л о в е А В С и А С Б , т о ј е т р о у г а о

А В С с л и ч а н т р о у г л у И А С , о д а к л е ј е с : 6 = 6 : р , о д н о с н о 6 = *Ј с р . Н а и с т и н а ч и н с ед о к а з у ј е д а ј е а = ^/Ц .




2° К а к о је у г а о 6 је д н а к у г л у к о д т е м е н а В к а о у г л о в и с а н о р м а л н и м к р а ц и м а т о је

А А Б С ~ А В Б С , п а и м а м о п р о п о р ц и ј у ћ с : р = д : ћ с , о д н о с н о ћ с = у /р ц .

940. И з 6 : р = с : 6, т ј. 62 = р с , и а : Ј = с : а , т ј. а 2 = ј с с л е д и д а ј е а 2 + 62 = ј с + р с =

(р + } )с = с •с = с2 (в .с л .).а 2

941. А к о је а о с н о в и ц а ,ћ в и с и н а и 6 к р а к т р о у г л а , и з 62 =

ћ 2 + — и 6 =

\/а ћ и м а м о4

а — 2ћ = 0, т ј . а = 2ћ .

944. С Б = 3. 945. 16 : 25.

946. а ) С т а в и т и у 2 = 6с , к о н с т р у и с а т и у , п а п р и м е н и т и П и т а г о р и н у т е о р м у .

С В С 171947. С т а в и т и : а ) х 2 = 4 •2; б ) г 2 = 5 - 3. 948. А А В С ~ А В С И , п а ј е —— = ——.

А В С В

949. И з ^ = + 62 и <? = а 2 + с а б и р а њ е м н а л а з и м о ^ + <? = ^(а 2 + 62), п а је

с 2 = + (?) и с = 2ч /13.5

950. 24с ш .

951. Н е к а је х о д с т о ја њ е ц е н т р а к р у г а о д д у ж е т е т и в е . П о П и т а г о р и н о ј т е о р е м и је :

г 2 = х 2 + 122 и г 2 = ( х + 3)2 + 9 2, о д а к л е је х 2 + 144 = х 2 + 6г + 90, п а ј е х = 9с ш и г = 15с т .

952. 40 с т .

953. К а к о је < Б В С п р а в , т о ј е С И п р е ч н и к к р у г а . К а к о је < А В С = < В А О = 120°, т о ј е

< В С Б = < С Б А = 60°. Ч е т в о р о у г а о А В С И ј е је д н а к о к р а к и т р а п е з , п а је = В С = 1с т

и Г Ш = \/3с т , С Г ) = 2 с т .

954. Н е к а с у В Г ) = 404 и В Е = 414 в и с и н а , о д н о с н о т е ж и ш н а д у ж к о је о д г о в а р а ј у

х и п о т е н у з и А С п р а в о у г л о г т р о у г л а А В С ( А В < В С ) . Т а д а ј е и А Е = С Е = 414, а к а к о ј е

ј е и з т р о у г л а В Б Е : Б Е = \ / В Е 2 — В И 2 = 94, т о ј е А Б = А Е — О Е = 324. И з с л и ч н о с т иА В А И

т р о у г л о в а А В Б и В Б С с а д а н а л а з и м од С В О

955. Н е о п х о д н о ј е д а к р а к с б у д е с = Л о б и ја с е г =

956. б ) В С = \ /2 0с т , г = -^ = с т .л /5

957. Л Г ) = 25с т , = 7 с т .

324

404

958. 1 5с т и 7 с т .

959. Н е к а п р а в а к о ја с а д р ж и т а ч к у А \ , а п а р а л е л н а ј е с а В В \ с е ч е с т р а н и ц у А С у

п I \ ' г ■ В \ В 2 В А \ А В \ А В \т а ч к и В 2 , (в .с л ). Т а д а Ј е — = — = /?, п а с л е д и а = — = ^ =

Л В 1 /3 А В \

В \В 2 + — \В 2

А 5 8А \

К о р и с т е ћ и о в у је д н а к о с т и Т а л е с о в у т е о р е м у д о б и ја м о :

А 8 _ А В \ _ а (/3 + 1)В \В 2



229

960. П р и м е н и т и п р е т х о д н и з а д а т а к .

961. а ) Н е к а с у Х \ и У ] п р о и з в о љ н е т а ч к е ф и г у р е Р \, Х о и У 2 њ и х о в е с л и к е у Р г

п р и х о м о т е т и ји Ћ з 13 ,к 13- Т а д а в а ж и Х 2 2 = к ^ Х ^ У г и Х 3У 3 = к 23Х 2У 1 , о д а к л е с л е д и

= * ,2*23^ 1 1. П р е м а т о м е , ф и г у р а Р 3 х о м о т е т и ч н а је ф и г у р и Р х с а к о е ф и ц и ј е н т о м

х о м о т е т и је к г 2к 23. . .б ) Т а ч к а 5г з с е п р и х о м о т е т и ји Ћ з 23, к ,3 п р е с л и к а в а у с е б е . Н е к а је 5 т а ч к а к о ја с е п р и

х о м о т е т и ј и 'Н з 1, , к „ п р е с л и к а в а у 523- Т а д а с у к о л и н е а р н е т а ч к е 5 12, 5, 523 и 531, 523, 5,

п а с л е д и д а т а ч к е 512, 523 и 531 п р и п а д а ју је д н о ј п р а в о ј , (в .с л .).

962. Н а п р о д у ж е т к у с т р а н и ц е А С о д р е д и м о т а ч к у И т а к о д а А О = с (в .с л .).И з а — 6 +6с

с л е д и - = п а је А В А С ~ А В С Б и <В А С = <С В А + <1)В А .6 а

С л . у з з а д . 962 С л . у з з а д . 964

963. Н е к а ј е А Б с и м е т р а л а у г л а к о д т е м е н а А И з с л и ч н о с т и т р о у г л о в а А А С Б и А А В С

А С В С /Г 2 _1_ к гс л е д и г = -Ј р 7 , о д а в д е а = + &.

С / Х у Л О964. Н е к а је П п о д н о ж је в и с и н е и з А и А Е п р е ч н и к о п и с а н о г к р у г а (в .с л .). Т а д а је

А А В И ~ А А С Е и о д а в д е А В : А О = А Е : Е С , т ј . с б = 2 г ћ а .

965. Н е к а с у В Б , В Е и В Р , р е д о м , в и с и н а , с и м е т р а л а и м е д и ја н а (в . с л .) у А А В С .

П р е т п о с т а в и м о д а ј е А В < В С . Т а д а је < А > < С , < С В О > < А В Б , о д а к л е је < С В Б >

~ ( < А В Б + < С В Б ) = ^ < В , т ј. < С В О > < С В Е . Д а к л е , т а ч к а Е је и з м е ђ у Б и С . Д а љ е

и м а м о — = ^ < 1 , А Е < Е С , о д а к л е је А Е < \ ( А Е + Е С ) = ] - А С , п а је А Е < А Р и РЕ С В С 1 1

је и з м е ђ у Е и С . Д а к л е , в а ж и и - п - г .

96 6. 1° А к о је р \\р ’ и з А В ’ \\В А ' с л е д и А В = В ' А ' и н а и с т и н а ч и н А С = С ' А ' . О д а к л е

о д у з и м а њ е м (и л и с а б и р а њ е м ) д о б и ја м о С В = В ' С ' и о д а в д е В С '\\ С В .

. 5 . 8 В

2° А к о с е п р а в е р и р ' с е к у у т а ч к и 5 (в .с л .), и з В ||В ј4 с л е д и = -^ 7 и с л и ч н о

Ч С З А ' . ■ 5 С З В ' п т н п т н-----= ------- . М н о ж е њ е м о в и х р е л а ц и ј а д о б и ј а м о -г р ј ? — „ П 1, о д а к л е в О Ц О о .С А 5С '968. К о н с т р у и ш и м о н а јп р е је д н а к о с т р а н и ч н и т р о у г а о А \ В [ С [ т а к а в д а С ^ 6 А В , В х 6 А С

и <(С Ј В Ј А ) = 45° . Т а д а је п р е с е к п р а в и х А А [ и В С , А В ^Ц А јВ Ј и В ^С ^Ц В Ј С Ј . ( в .с л .)




С л . у з з а д . 968 С л . у з з а д . 969

969. Н е к а ј е Е ' Р ' 0 ' Н ' р о м б ч и је с у с т р а н и ц е п а р а л е л н е д и ј а г о н а л а м а д а т о г ч е т в о р о у г -

л а , а т е м е н а Е ' и Н ' с у н а с т р а н и ц а м а А В , о д н о с н о А Б ( в .с л .). А Р ' с е ч е В С у Р , а А О '

с е ч е С О у О . Е Р О Н ј е т р а ж е н и р о м б .

970. С р е д и ш т е 0 \ м о р а с е н а л а з и т и н а с и м е т р а л и < А , а с р е д и ш т е 0 2 н а с и м е т р а л и

< В . (в .с л .) А к о с а В о з н а ч и м о д у ж и н е п о л у п р е ч н и к а к р у г о в а с , б и ћ е 0 г 0 2 = 2В .

К о н с т р у и ш е м о п р а в о у г а о н и к М Л Г Р С ? т а к о д а њ е г о в а с т р а н и ц а М Л Г п р и п а д а о с н о в и ц иА В т р о у г л а А В С и д а ј е И = 2М С Ј , г д е С Ј п р и п а д а с и м е т р а л и < А . П р а в а А Р с е ч е

с и м е т р а л у < В у 'г а ч к и 0 2 , а т а ч к у 0 \ н а л а з и м о н а с и м е т р а л и < А т а к о д а ј е 0 \ 0 2 \\А В .

972. Н е к а ј е Р -п р о и з в о љ н а т а ч к а н а А В , а К т а ч к а н а С В т а к о д а је С К = А Р и О

т а ч к а т а к о д а је Р О = Р А и К О \\А С . Ч е т в о р о у г а о А Р О Н г д е је О Н \ \ К С и Н Е А С је

х о м о т е т и ч а н т р а ж е н о м ч е т в о р о у г л у с а ц е н т р о м х о м о т е т и је у т а ч к и А , п а ј е Е п р е с е к

п р а в и х А О и В С . З а д а т а к у в е к и м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е .

974. К р у г к о ји п о л о в и с т р а н и ц е т р о у г л а т р е б а л о б и д а п р о л а з и к р о з т а ч к е А \ , В \

и С \- с р е д и ш т а с т р а н и ц а т р о у г л а А В С (в . с л .). К а к о с у о в и т р о у г л о в и с л и ч н и с а

к о е ф и ц и ј е н т о м с л и ч н о с т и —т о с у њ и х о в и п о л у п р е ч н и ц и о п и с а н и х к р у г о в а у о д н о с у 1 : 2.




С л . у з з а д . 970

С

С л . у з з а д . 974

И н а ч е , у с л о в з а д а т к е је м о г у ћ е о с т в а р и т и н а д в а н а ч и н а (в .с л . ).

975. Т а ч к е И и Е п р и п а д а ју к р у г у н а д п р е ч н и к о м А С , а т а ч к е О и /•’ п р и п а д а ј у к р у г у н а д

п р е ч н и к о м В С . П р е м а т о м е , ч е т в о р о у г л о в и А В С Е и В О Р С с у т е т и в н и , (в .с л .). И м а ј у ћ и

т о у в и д у и к о р и с т е ћ и ј е д н а к о с т у г л а и з м е ђ у т а н г е н т е и т е т и в е и п е р и ф е р и јс к о г у г л ан а д т е т и в о м , д о б и ја м о < Е О С = < Е А С = < А В С = < И Р С , т ј . < Е И С = < И Р С . А н а л о г н о

д о к а з у је м о < Р Б С = < О Е С . И з је д н а к о с т и о в и х у г л о в а с л е д и д а је А Е И С ~ А Б Р С , п аС Т ) С . Р

д а љ е д о б и ја м о — = — , т ј. С В 2 = С Е ■ С Р .

С л . у з з а д . 977

976. Н е к а ј е О п р е с е к д и ја г о н а л а т р а п е з а . И з с л и ч н о с т и т р о у г л о в а О А В и О С И

. О В А В ад о б и Ј а м о - = — = - .

, . Е 8 А Е т п 8 Р С 8977. Н е к а је 5 п р е с е к д у ж и А С и Е Р , ( в .с л .). Т а д а је

Б Е п _ . „ „ „ „ т _____ п

~А б

—— = ---------, о д а к л е д о б и ја м о Е Р = Е 8 + 8 Р = -С О +

т + п ’ А В А С д д _ т С Б + п А В

т + п ' ' ' ' т + п 771 + п 771 + 71

978. Н е к а је О г ц е н т а р к р у г а к г , а О г ц е н т а р к р у г а к 2 . Т р о у г а о 8 А 2В 2 х о м о т е т и ч а н је




т р о у г л у 8 А 1В 1 у о д н о с у н а ц е н т а р х о м о т е т и ј е 5 и с а к о е ф и ц и је н т о м ------- З а т о в а ж и

А З А В ~ Д 5А 2В 2.

979. Н е к а с у ћ , и , V в и с и н е к о је р е д о м о д г о в а р а ј у с т р а н и ц а м а а , 6, с је д н о г т р о у г л а , а

ћ \, и 1, VI в и с и н е к о је о д г о в а р а ј у с т р а н и ц а м а (ц , 61, с^ д р у г о г т р о у г л а , п р и ч е м у в а ж и

Т ~ = — = — = к . К а к о је а ћ = (>и = с и и = 61^1 = С 11/1 т о д о б и ја м о — = - ^ - =“ ! "1 0! *! 61и 1

с,' _ а Ј. _ 6 Ј . _ с . . т л . с . а 6 с— — — — —— * ——к. И з п о с л е д њ е Ј е д н а к о с т и д о б и Ј а м о — = — = — , а о д а т л е с л е д иС 11/1 и ! (?1 С \ а \ 01 С 1д а с у д а т и т р о у г л о в и с л и ч н и . 1 1

980. Ч е т в о р о у г а о А В А ^ В ^ је т е т и в а н , је р т а ч к е х и х п р и п а д а ј у к р у г у а д п р е ч н и к о м

А В . З а т о је и < В А А \ = ^ В В ^ А ^ , (в . с л .). Д а љ е д о б и ја м о < А В С = 90° — < В А А х =

90° - < В В Х А Х = ^ А ^ В ^ С , а к а к о т р о у г л о в и А В С и А ^ В ^ С и м а ју з а је д н и ч к и у г а о к о дт е м е н а С , т о с у т и т р о у г л о в и с л и ч н и .

А С

981. И з п р е т х о д н о г з а д а т к а д о б и ја м о и А А В С ~ А А Х В Х С и А А В С ~ А А ^ В С ^ . П р е м а

т о м е А А ^ В ^ С ~ А А ^ В С ^ , а о д а т л е с л е д и , т ј . А Х В Х ■ А х С г = А Х В ■ А Х С .

А \982. И с к о р и с т и т и р е л а ц и ју В 2 = А ■ В и с л и ч н о с т т р о у г л о в а А С } и В Р , и зк о је с е д о б и ја А ■ В = Р ■ С } . ’

983. Н е к а је Т т е ж и ш т е т р о у г л а А В С , X п р е с е к п р а в и х А А Х и Б Р , У п р е с е к п р а в и х С С Х

и Б Е , а О и Н п р е с е ц и д у ж и Е Р с а т е ж и ш н и м д у ж и м а С С Х и А А г , р е д о м , (в .с л .). Т а д аЕ С г Е \^ А Т 1 1 1

в а ж и (з а ш т о ?) —— = —— = 1 = П р е м а т о м е , О = - Е Р и н а л о г н о Р Н = - Е Р .Г ј Г И ј 1Ј А А \ 3 3 3

984. а ) е к а је г ( > г г и М о д н о ж је о р м а л е и з т а ч к е О г н а д у ж О Т ^. Т а -

д а је ч е т в о р о у г а о 0 2 Т 2 Т х п р а в о у г а о н и к , п а је Т { Т 2 = 0 2 = \/ О х О \ - О х 2 =

\Ј (т \ + г 2)2 — ( г 1 — г 2)2 = 2-у г ^г г . б ) Н е к а је Т д о д и р н а т а ч к а к р у г а к и п р а в е Т г Т 2 . Н а

о с н о в у р е з у л т а т а п о д а ) је Т г Т = 2 ^ / п х , Т 2Т = 2 - Ј г ^х и Т { Т 2 = И з 2 ^ х + 2 ^ х =

2л /Г !Г 2 с л е д и д а ј е х = ■■■___

_(\/п + %/ ?Г )2985. Н е к а с у Е и Р п о д н о ж ја н о р м а л а и з т е м е н а В и С н а о с н о в и ц у А В . П о П и т а г о р и н о ј

т е о р е м и ј е А С 2 - А Р 2 = С В 2 - Р В 2 и О В 2 - Е В 2 = А Б 2 - А Е 2. С а б и р а њ е м л е в и х и д е с н и х

с т р а н а о в и х р е л а ц и ј а д о б и ј а м о А С 2 + В О 2 = А Б 2 + С В 2 + А Р 2 - Р В 2 + Е В 2 - А Е 2 =

А Б 2 + С В 2 + А В ( А Р - Р В + Е В - А Е ) = А Б 2 + С В 2 + А В ■ 2 Е Р = А И 2 + С В 2 + А В ■ 2 С Б .

Г л а в а VIII —Т р и г о н о м е т р и ја п р а в о у г л о г т р о у г л а

987. К а к о је А Б = - = 5 и ћ 2 = 1>2 - , о д н о с н о ћ = 12, б и ћ е (в .с л .) в т а = — ;

_ 5 .!2 5 13 6 .13 13с о з а — с к §а = — ; в е с а = — с о з е с а = —, т ј. с о з е с а = — .А** 5 12 5 п 12



Г л а в а VIII - Т р и г о н о м е т р и ј а п р а в о у г л о г т р о у г л а

С

233

С л . у з з а д . 987 С л . у з з а д . 988

988. а ) А = 1 0 с т ,8 т а = - ,с о 8 а = 7,16«* = -,с 1%а = — (в .с л .);5 5 ^ 4 3

б ) 81П 0= - ,0 0 8 /? = 16/? =

989. з т а = , с о 8а = |; 1%а = |,с 18“ = | з т /Ј = ,с о б /Ј = |>‘ б ^ = | ’ с16^ =

990. И з в т а г = —, о д н о с н о —= — с л е д и д а ј е с = 3 2с т , а и з 62= 322 —162,6 = 16\/3с т .с 2 ■ с

ТТ . / - 5 ------- . \/^ у/ х —I !---------991. Д р у г а к а т е т а ј е у / х * — х . з ш а = ---- , = ---------— »с Ц а = у /х —1.

х х — 1

г~ ј ~ ч . . а а </ 992. К а к о ј е с/ = <х\Ј2 и Б = а >/3(в .с л .) с л е д и д а је : а ш а = — = — 7= = — ,с о 8 а = ~ =

а у З 3 А /

а л /2 \/б а а \/2 Ј а \/2 >-_ = _ 1 б а = _ = _ = _ , 1б а = - = — = л/2.

993. К а к о ј е ћ = ј\ /3 и Н = I т о је в .с л . :

а ) у п а1 а~ 1 јН ” ч

л /2, С 08а = = - , 1%а = — = 2л /2, с ^ а = — =72

б ) в ш /} = | = У |,с о 8/? = ^ - = ^ ,1 6/? = -^- = л /2,с ^ =ђ ј - = Џ -

994. а ) с о в 62°; б ) 8 т 41° ; в) 1628°; г)1^27°;

д ) с о в (40° —а ) = со в (90° —(50° + а )) = 8 т (50° + а )\

ђ ) 81п (30° —а ) = н т (90° —(60° + а )) = с о в (60° + а );

е ) 1 (45° + а ) = 1^(90° —(45° —<*)) = с 1§(45° —а ) , а < 45°;ж ) с 1§(30° + а ) = с 1§(90° —(60° —а )) = 1(5(60° —а ), а < 60°;




995. а ) з т 47°30' = в т (90° - 42°30') = с о в 42°30';

б ) с о з (30° —а ) = со з (90° —(60° + а ) = з т 60° + а ).

. . тг , ( 7 57Г \ 57Г 7 / тг 57Г \.57Г

996. а ) з т - = з т ( д - - Ј = с о з - ; б ) с о з - = с о з - - Ј = з т - ;

. 5 / 7 2 ј г \ 25Г . 25Г / 5 117 \ 117

в ) *61о = *Н 2 ■ Т ) = С*6Т ; г) С‘6Т ? = с16 (, 2 - 1г Ј = 6-з о "'

, „ . с о з /3 с о з (90° —а ) . з ј п а997. а ) К а к о Ј е в = 90 —а , т а д а ј е -------= -------- :---------- м п а = -------= 1;

а з т а з т а

б ) = 1-04 /3 04 (90° — а ) (^ а ’

. з т а + с о з а _ з1п а + с о з а _ 31п а + с о з а _

з т /З + с о з /З з т (90° —а ) + с о з (90° —а ) с о з а + з т а

з ) 04(5(10° + а ), а < 80°.

7 1 —31п а 1 + с о з /3 _ 1— т * с о 8 ( 2 ° ) _

998. а ) К а к о ј е /3 = — — а , т о ј е : ---------- — + — :---------- — ------- -р %-------- г - +2 с о з /3 з ш а

1 —з т а 1 + з т а 2 _--- :--------1- --- :------ —------1б ) -2.

з т а з т а з т а

999. а ) К а к о ј е з т 4 2 ° = з т (9 0° —48°) = с о з 48°, т о ј е :

2 с о з 48° + з т 42° _ 2 с о з 48° + с о з 48° _

3 с о з 48° 3 с о з 48° ’

б ) 2.

1000

. З Т Г 7 7 7З . , _ _ , _ з т — + 3 с о з — с о з —+ 3 с о з —

, „ . . З тг . /7Г 7Г \ 7 .. а ) К а к о ј е т — = з т I ———I = с о з —, т о Ј е :

8 V2 8 / 8

б ) 1.

Ћ З Т Г г5 с о в — + з т — 5 с о в — + с о в —

8 8 8 87

4с о з —8 _ 2

„ 7 о 16 С О З — Л

8

. . а + в . / г 7 \ 71001. а ) з т — — = з т - - Ј = с о з - .

1002 . а ) 3 ; б ) 2\/3 . 1003 . а ) 0 ; б ) 0 . 1004 . а ) 1; б ) 0 .

1 0 0 5 . а ) - \ / 3 ; б ) 1 0 0 6. а ) 3 ; б ) в ) 0 ; г ) 8 .3 3 о

. 9 40 9 . . 221 221 601 00 7. а ) с о з а = ^ -> ‘ в <* = у > с ‘ 8 “ = б ) 8 т “ = = 'Н о ’ ’ 016" = 22 1’

7 24 24 . . \Л п 2 + 1 т \/т 2 + 1 1

в ) з 1п “ = 25 ’ С °8 ° = 25 ’ С *6“ = Т ' )8 т “ = 1 ^ + Г ’ С 08“ = т 2 + 1 ’ *6“ = т '

. с о з а с о з а 4 _ . 2 16 . 21 008 . К а к о Ј е с 4 г а = -------- , и з —------ = - д о б и Ј а с е с о з ^ а = — з т а (1 ) . И з (1 ) у

з т а з т а 3 93 3

з т 2 а + с о з 2 а = 1 б и ћ е з т а = - и л и з т а = - - . Н о , к а к о ј е а о ш т а р у г а о т о ј е з т а =5 5

4и с о в а = - .

5

\/п 2 —к 2 к \ /п 2 — к 2 п \/ п 2 — к 21 0 09 . с о в а — --------------- , = ------ ------------ , с 1 г а = . 0----- р г г ■

п п к(пг - кг)

1010. 7 .

I



1 01 1. И з 51п 2 15° = 1 — с о в 2 15° д о б и ј а м о д а ј е в т 1 5 ° = —\ /2 — л /3 •

1 / ----------- 91 01 2. с о в 22°30 ' = - у 2 + у / 2 . 1013. —

2 5>/5

. в т 3 х + с о в 3 Гд3х + 1 23 + 1 9 , 21

1 0 1 4 ‘ а ) 81П 3 X — С 0 3 3 Х = # 7 = Т = 2 ^ Г = 7 ; б ) ^ -

. 8 1 п 2 X + 81П X С 0 8 X + 2 ( з 1 П 2 X + С О З 2 х ) 3 81П 2 X + 81П X С О В X + 2 С О З 2 X

1015. А = — -------------------------------------------

Г л а в а VIII - Т р и г о н о м е т р и ја п р а в о у г л о г т р о у г л а 235

З в т г г с о в г г + с о в 2 х —4 (в т 2 х + с о в 2 :г ) 3 в т х с о в х —4 81п х —3 с о в 2 х

31%2х + 1%х + 2 _ 3 •З 2 + 3 + 2 _ 16

31%х - 41$2х - 3 _ 3 •3 - 4 ■ З 2 - 3 ~ _ 15'

1016. а ) А ; б )

1017. а ) И з = 2 и в т 2 г + с о в 2 г = 1 д о б и ја с е : в т 2 г = \ и с о в 2 г = С л е д и д а јес о в г 5 5

. 4 , 4 17 13 25

в т г + с о в г = — . б ) в ) - .

. 316а —1 .1018. К а д а с е б р о ји л а ц и и м е н и л а ц п о д е л е с а с о в а ф 0 д о б и ја с е ------------ = 1, о д а к л е је

+ 23

‘ 6 « = ^ '

1019. А к о с е је д н а к о с т 1§а + с 1§а = р к в а д р и р а , д о б и ја с е 1§2а с 1§а + 21;§а с 1;§а = р 2 , о д а к л е

ј е 1§2а + с1§2а = р 2 — 2.

1020. А к о с е т х + с о в гт = з к в а д р и р а , о н д а ј е в т 2х + с о в 2х + 2 в т х с о в х = з 2 (1). П о с л е

з а м е н е в т х с о в х = р у (1) д о б и ја с е 1 + 2р = з 2, о д н о с н о р = - ( з 2 —1).

1021. А = З с о в 4 х — 2с о в в х — (1 — с о в 2 х ) 2(2 — 2 с о в 2 :г —3) = З с о в 4 :г — 2с о в ® х — (1 — 2 с о в 2 х +

с о в 4 х ) (—1 — 2 с о в 2 ^ ) = 3 с о в 4 х — 2с о в в х + 1 + 2 с о в 2 х — 2 с о в 2 х — 4 с о в 4 :г + с о з * х + 2 с о в в х = 1.

1022. И з д а т е је д н а к о с т и б т 2 а + в т 2/? = 1 с л е д и в т 2 а = 1 —в т 2/?, о д н о с н о в т 2 а = с о в 2 /?.

К а к о је з г п а > 0 и с о в /? > 0, т о ј е в т а = с о в /?. Д а љ е је в т а = в т (90° — ј З ). Д а к л е

а + јЗ = 90°, т ј . т р о у г а о је п р а в о у г л и .

_ 2 —со в е с 2а , 1 - (с о в е с2а —1) . , . 1 —с1г2а ,1023. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------со в е с а + 1 = -Ц ---------- - ( с о в

16а - 1 _1____ј ; 1 ~ с46 а 6

с 1§а с 1§а

с 46а ( 1 - с 4 6а )(1 + с 4 6а ) _ ^ = + 2а _ 1 2а = с4

1 —с16а

1024. К о р и с т е ћ и о с н о в н е и д е н т и т е т е , д а т и и з р а з м о ж е с е н а п и с а т и к а о :

. . , . / в ш а с о з а \ , в т 2 а + с о в 2 а(1 —в т а ) | -------+ —------) = с о в а ------;----------------= с16а .\ с о в а в т а ) в т а с о в а

(1 в т а \ ( 1 в т а \ 1 + в т а 1 —в т а 1 —В 1 2 а с о в 2 а ,

------- 1-----------------------------= ---------------------------= -------о---- = --- 2~ = х ' а ^с о в а с о в а Ј \ с о в а с о в а ј с о в а с о в а с о в ^ а с о в ^ а

Ћ

. _ с о в а В 1 а с о в 2 а + з јп а + в т 2 а 1 + в т а 1 , тг1026. -------:-------1--------- = --------------:-----;------------ = 7---------:-----г--------= -------- = в е с а з а а ^

1 + в т а с о в а (1 + в т а ) с о в а (1 + в т а ) с о 8 а с о в а 2

Ћ1027. В р е д н о с т и з р а з а је је д н а к а 3, о с и м з а х = —.

1028. П р в и н а ч и н :

в т а в т а 1 + с о в а в т а (1 + с о в а ) _ 1 + с о в а1 —с о в а 1 —с о в а 1 + с о в а В 1 2 а в т а

Д р у г и н а ч и н :




1 + с о з а 1 —со з а 1 —с о з 2 а з т 2 а в т а

в т а 1 —с о з о : з т а •(1 —с о з а ) в т а ( 1 —с о з а ) 1 —с о з а

Т р е ћ и к а ч и к :о , п / V 1 - 4 - пгла / V _ _ „ о . о о

■ О в т а = (1 —с о з а )(1 + с о 8о :) з т а = 1 -с о б а з 1 а = з т а .1 —с о з а з т а

1029 ( 8* а 1 С °8 а — ^ ^ / в в о + 1 + 2 с о з а + с о з а _ 2 \\ 1 + с о з а 5Ш а в т а ) \ (1 + с о в а ) а п а з т а )

( 1 + 1 + 2 с о з а _ 2 2 ( 1 + с о з а ) _ 2 2 _ 2 \

\(1 + с о з а ) 8 т а з ш а ( 1 + с о з а ) 8 т о : з т а в т а 81п а /

„ „ 1 — 2 с о в 2 а з т 2 а + с о з 2 а — 2 с о з “ 81П 2 а — с о з 2 а1030. ----------------= ------------ :----------------------= ------;----------------= 18“ - с18“ -

8ш а •с о з а з т а с о з р з т а с о з а

10 31 . 3 ( з т 4 а + с о з 4 а ) — 2 ( з т в а + о в 6 а )= 3 ( з т 4 а + с о з 4 а ) — 2 ( з т 2 а + с о з 2 а ) ( з т 4 а —

8 т 2 а с о з 2 а + с о з 4 а ) = 3 з т 4 а + З с о з 4 а — 2 з т 4 а + 2 з т 2 а с о з 2 а — 2 с о з 4 а = з т 4 а +

2 81п 2 а с о з 2 а + с о з 4 а = ( з т 2 а + с о з 2 а ) 2 = 1.

1032. 8т 3 а (1 + с 1г а ) + о з 3 а (1 + 1еа) = т 3 а ( 1 + 1+ с °з 3 а ( 1 + 51П <* ) =Ч з т а / \ с о з а /

. з з т а + с о з а , с о з а + 81п а . 2 , ■ \ 2 / • \ , ■з т а -------:---------- с о з а ------------------- = з т а ( з т а + с о б а ) + с о 8 а ( з т а + с о з а ) = ( з т а +

з т а с о з ас о з а ) ( з т а + с о з 2 а ) = з т а + с о з а .

1033 (8* а "*"008 а )2 _ 1 — 2 з т а с о з а _ 2 з т а с о з а _ 2 з т а _ 2 з т 2 а _

с С в а - з т а с о в а 5 2 ^ _ 3јп а С 03а с о з а Г _1 _ _ 8јп а ) 1 - в т 2 а с о з 2 а

в т “ з т а з јп а2 16 2а .

1034. А к о с е д р у г и с а б и р а к и д е н т и т е т а н а л е в о ј с т р а н и т р а н с ф о р м и ш е д о б и ја с е :

С 0 8 2 1 (В 1 П 1 + с о з г ) С 0 8 2 X _ . 8 1П 2 X С О З 2 X 8 1П 2 X — С 0 8 2 X

----- —2----------- ----------------------------- • -П а љ е Ј е : ----------------------- :---------------- = — ----------------- =31П X — С О б ^ X 31П X — С 0 8 X 81П X — С О З X 81П X — С 0 8 X 81П X — С О В X

8 1 П Г + С О З X .

1035. П р в и н а ч и н :1 1 81п а 1 1

16а + ---- --------------- ---- = -------+ ■с о з Ј а з е с а —16а с о з а с о з Ј а

с о з а с о з аз т а 1 с о з а 1 + з т а з т а 1 с о з а (1 + з т а )

■ + —т — ----- — -----= -------+ ■ ' 'с о з а с о 83 а 1 + 81п а 1 + з т а с о з а с о з 3 а с о з 2 а

8 т а с о з 2 а + 1 — с о з 2 а (1 + 81П а ) с о з 2 а (81п а — 1 —з т а ) + 1 _ 1 —с о з 2 а _ з т 2 а

с о з 3 а с о з 3 а с о з 3 а с о з 3 аД р у г и н а н и н :

. 1 31П 2 а 1А к о с е и д е н т и т е т н а п и ш е у о б л и к у 1г а Н -------;------- ;— = ---------------------- и и з в р ш и т р а н с -

с о8 а с о8 а в е с а — 1г а■ 2 . п . 2

. „ . 1 31П а 81п а с о з а + 1 —з т а

ф о р м а ц и ја л е в е с т р а н е , д о б и ја с е : 1г а Ч ------- ; ;— = -------------------; ---------------- =с о з а с о з Ј а с о з Ј а31п а с о з 2 а + с о з 2 а с о з 2 а (з 1 а + 1) _ 1 + з т а

с о з 3 а . с о 83 а с о в аП о с л е т р а н с ф о р м а ц и је д е с н е с т р а н е , д о б и ја с е :

1 _ 1 _ с о з а 1 + з т а _ с о з а (1 + 8 т а ) _ 1 + в т а 7

8е с а — 16а 1 _ з т а 1 —81п а 1 + з т а с о з 2 а с о з а ’ 2

с о з а с о з а . .К а к о с е п о с л е т р а н с ф о р м а ц и ја л е в е и д е с н е с т р а н е д о б и ја и с т а в р е д н о с т , и д е н т и т е т је

д о к а з а н .

1036. Т р а н с ф о р м и ш е м о л е в у с т р а н у :

, . з т а '1 + 8 т а + с о з а Ч --------= ----------------------------------- •---------------

с о з с о з

с о з а + з т а + с о з а (с о з а + з т а ) ( з т а + з т а )(1 + с о з а )



Г л а в а VIII - Т р и г о н о м е т р и ја п р а в о у г л о г т р о у г л а 237

Т р а н с ф о р м и ш е м о д е с н у с т р а н у :

,, , ч ,, , I \ , Л , в т а ^ ,, , ч с о а а + в т а (1 + с о з а )(с о з а + а п а )(1+с 08 0!) (1+ 1е п !) = (1+с о 8 а ) 1 + -------- = (1+ с о б а )------------------ = ----------------- -------------------- .

\ с о в а ) с о в а с о в а

Д а т а и д е н т и ч н о с т је т а ч н а , је р с у л е в а и д е с н а с т р а н а је д н а к е .

1047. а ) а = с в т а = 327-0,485 и 158, б с т и 6 = С 8т 61° = 327-0,875 и 286. јЗ = 90° - а = 61°.б ) а = 39 ,33с т , 6 = 59,72с т , /3 = 56°38'.

1048. И з п р а в о у г л о г т р о у г л а А Б С (в . с л . ) д о б и ја м о : ^ = т п а , о д н о с н о 6 = г —— =о 8т а

5,4 5,4

в т 27° 36' 0,463

1049. с = 254,7с т .

11,66с т . Д а љ е је а = 6 , 1 с т ,с = 13,16с т и (3 = 62°24'.

1050. И з А А В Б (в .с л .): — = 90° - а , а = — -— , Л с = - 1% а . П о в р ш и н а А А В С је Р =2 2 с о з а 2

с •Л , с 31$ а. К а д а с е з а м е н е д а т е в р е д н о с т и , д о б и ја с е : 7 = 110°, а = 56 ,16с т , ћ с =

2 4 ,32,2с т и Р = 1481, 2с т *.

1051. с = 2 3,9 7с т , Л с = 1 2 , 3 4 с т , Л а = 1 7,1 9с т , 7 = 8 9с т . Р = 147,8 6 с т 2. (в .с л .).

1052. а = 3000,27с т , Н а = 1869,1с т , ћ с = 2832,29с т , а = 70°44' и Р = 2803967,1с т *

(в .с л .).

1053. Н е к а је А С = Л \ , В Б = = Н (в . с л .). И з п р а в о у г л о г т р о у г л а А О Б с л е д и :а а ,

(1\ = 2 а с о 8 — и с /ј = 2 а 8т — ( 1). И з п р а в о у г л о г т р о у г л а А Е И је Л = а 8т а ( 2). З а м е н о м

д а т и х в р е д н о с т и з а а и а у ( 1) и (2) д о б и ја с е : с /1 = 24 •с о в 19° « 24 •0,9456 « 22,69, Л 2 =

24 -811119° и 24-0,32557 и 7,81 и Л = 128т 38° и 12-0,61566 и 7,39.

С л . у з з а д . 1055

1054. И з Р = а Л с л е д и Л = —. И з ш п а = — д о б и ј а с е а = Ј ■.- " V 8 т а

1055. К а к о је х = —— ( в .с л .) , и з с =

2 с о в аа + 6

( А А Е И ) д о б и ја с е д а је с = 4с т . Д а љ е је

Л = С 8 т а = 2\ /3 с т и Р = -------- Л = 16\/3 с т 2.




1056. С в а к и п р а в и л а н п -у г а о м о ж е с е п о д е л и т и н а п п о д у д а р н и х је д н а к о к р а к и х360° . . -Ж .

т р о у г л о в а с а у г л о м а = ------ н а в р х у (в .с л .Ј . И з п р а в о у г л о г т р о у г л а В О и г д е јео п о

— = ------ , х и п о т е н у з а Н = О В и к а т е т е г = О И , — = В Б с л е д и : 2. — Д 8;п ------- , и л и2 п 2 2 п

. 180° т т . а , „ 2 . 180° 180°а = 2Л 81П -. И о в р ш и н а т р о у г л а ј е Р д = - ■ п = Н з т ----------------------------------------------------- с о б-

, а п о в р ш и н а

„ „ „ Н 2 . 180° 180°м н о г о у г л а о д п с т р а н и ц а б и ћ е Р = п - — •2 з т ------ с о з ------- .

2 п п

■ а 180° 180°1057 . З а е л е м е н т е п р а в о у г л о г т р о у г л а А В О (в . с л .) в а ж и : - = П д -------, и л и а = 2г 1(5------- ,

О ^П о в р ш и н а т р о у г л а А В О ј е Р д = ј •г = г 21§-------, а п о в р ш и н а ц е л о г м н о г о у г л а о д п

п , 180°с т р а н и ц а Р = п ■ г 1е -------.

п

1058 . И з А В О Б (в .с л .) с л е д и д а ј е г = Ј С к в -^ -. П о в р ш и н а т р о у г л а Р д = ј •г =

180° т т . „ а2 180° т т , ч . <*— с 1 §-------. Н о в р ш и н а ц е л о г м н о г о у г л а је Р = п — с 1§-------- . И з А В О и ( в .с л .) ј е з т — =4 п 4 п 2

^ .о д н о с н о Д = а 180О .

2 8111------------

П

1059. а = 45°, Н = 1 ,9 6с ш , г = 1 ,81 с ш , Р = 1 0,86 с ш 2 .

1060. а = 24°, а = 0,81 с т , г = 1,91 с т , Р = 12, 2 с т 2 .

С л . у з з а д . 1056, 1057, 1058



Т Е С Т О В И

У о в о м д е л у З б и р к е д а т о је д е в е т т е с т о в а к о ји с а д р ж и н о м о д г о в а р а ју

о д р е ђ е н и м п о г л а в љ и м а и з г р а д и в а п р в о г р а з р е д а . П р е д в и ђ е н о је д а с ез а с в а к и т а ч н о у р а ђ е н и з а д а т а к д о б и ја 10 п о е н а , т а к о д а је д а н т е с т м а к -

с и м а л н о д о н о с и 100 п о е н а . П о г р е ш н о у р а ђ е н з а д а т а к д о н о с и —1 (м и н у с

је д а н ) п о е н . В р е м е з а и з р а д у је д н о г т е с т а је 90 м и н у т а . О д л и ч н и м с е

м о г у с м а т р а т и м р е з у л т а т и 80 - 100 п о е н а , в р л о д о б р и м 65 - 80, д о б р и м

50 - 65 и д о в о љ н и м 35 - 50 п о е н а .

К а д а с е п р о ф е с о р и о д л у ч е з а с а с т а в љ а њ е д р у г а ч и је в а р и ја н т е т е с т о в а ,

у к о ји м а б и з а д а ц и б и л и р а з л и ч и т е т е ж и н е , м о г у ћ е је б р о ј б о д о в а п о

з а д а т к у о д р е д и т и п о н е к о ј д р у г о ј ш е м и —н а п р и м е р к а о ш т о је т о р а ђ е н о

з а н е к е т е с т о в е у М а т е м а т и ч к о ј г и м н а з и ји : 1. и 2. з а д а т а к п о 6 п о е н а ,

3—5. з а д а т а к п о 8 п о е н а , 6—8. з а д а т а к п о 12 п о е н а и 9. и 10. з а д а т а кп о 14 п о е н а (з б и р је 100 п о е н а ), с т и м ш т о је о в д е з а п о г р е ш н о р е ш е њ е

о д у з и м а н о п о 25% п о е н а п о з а д а т к у .

Т е с т 1. Л О Г И К А , С К У П О В И , К О М Б И Н А Т О Р И К А

Т е с т с е с а с т о ји и з 10 з а д а т а к а . У с в а к о м з а д а т к у п о н у ђ е н о је п е т

о д г о в о р а (А , В , С , Б , Е ) о д к о ји х је с а м о је д а н т а ч а н . У с л у ч а ј у

д а у ч е н и к н е у м е д а р е ш и з а д а т а к т р е б а д а з а о к р у ж и с л о в о N.

1. К о ја о д с л е д е ћ и х т а б л и ц а о д г о в а р а ф о р м у л и Р = р => -к ??

А )

р ч Р

т т Т

т А.

А. Т тА. А. т

В )

р ч Р

т т Т

т А. т

А. Т А.А. Т

С)

Р Ч Р

т т А.

т А. Т

А. Т Т А. А. Т



240 Т е с т о в и

О )

Р ч р

Т т Ј -

Т Ј - Ј .

_1_ т т

_1_ Ј - т

Е )

р ч р

т т Ј .

т Ј . т

Ј . т Ј .

Ј . Ј . т

^ ) .

2. У с к у п у п р и р о д н и х б р о ј е в а п о с м а т р а ју с е р е ч е н и ц е :

(: ) (^ ) (3 у ) (г + у = 10),

(И ) (У *)(3у ){х < у ),

(III) (Ч х )(Ч у )(х ■ у = у ■ х ).

Т а ч н е с у :

А ) с в е ; В ) с а м о I; С ) с а м о III; О ) с а м о II и III; Е ) с а м о I и III; Г 1!).

3. И с к а з р Л Л г и м а в р е д н о с т Т у с л у ч а ј у :

А ) т (р ) = Т , т (д ) = Т , т (г ) = Т ; В ) т (р ) = Т , т (д ) = Т , т (г ) = ±;

С ) т (р ) = Т , т (д ) = ± , т (г ) = Т ; Б ) т (р ) = Т , т (9) = т (г ) = _|_;

Е ) т (р ) = ± , т (д ) = Т , т (г ) = ± ; Г *).

4. К о ја о д с в о јс т а в а р е ф л е к с и в н о с т , с и м е т р и ја , а н т и с и м е т р и ја , т р а н з и -

т и в н о с т и м а р е л а ц и ја ± (н о р м а л н о с т п р а в и х у р а в н и )?

A ) н и је д н о ; В ) с а м о с и м е т р и ју ;

С ) с а м о с и м е т р и ју и т р а н з и т и в н о с т ;

B ) с а м о р е ф л е к с и в н о с т и с и м е т р и ју ;Е ) с а м о р е ф л е к с и в н о с т и а н т и с и м е т р и ју ; Г 1!).

. х5. А к о је Ј (х ) = ——1, т а д а ј е /( З г + 1) је д н а к о :

о

А ) г + ^ ; В ) г - | ; С ) г - 1 ; Б ) З г + 1; Е ) х ; ]Ч ).

6. Д а т и с у с к у п о в и А = {г |г 6 2 Л - 4 < г < 5 } и 5 = {г |г € N ^ 2 < г < 7}.

К о л и к о е л е м е н а т а и м а с к у п А П В ?

А ) 0; В ) 1; С ) 2; Б ) 3; Е ) в и ш е о д 3; 14).

7. Д а т е с у р е ч е н и ц е :

(I) Д а б и б р о ј б и о в е ћ и о д 5, д о в о љ н о је д а б у д е в е ћ и о д 10.

(II) Д а б и б р о ј б и о м а њ и о д 3, н е о п х о д н о је д а б у д е м а њ и о д 1.

(III) Д а б и б р о ј б и о в е ћ и о д 100, н е о п х о д н о је и д о в о љ н о

д а б у д е в е ћ и о д 90.

Т а ч н е с у :

А ) с в е ; В ) н и је д н а ; С ) с а м о I; В ) с а м о II; Е ) с а м о I и III; Г 1!).

8. А к о ј е /( х ) = х - 1 и д ( х ) = - (г ф 0) т а д а ј е ( / о )(г ) је д н а к о :х



А ) — ; В ) — Ц -; С ) *; Б ) -■ Е ) — ; М ).х х — 1 х х

9. К о л и к о и м а р а з л и ч и т и х т р о ц и ф р е н и х б р о је в а о д ц и ф а р а 0, 2, 4, 6, 8?

А ) 125; В ) 90; С ) 120; Б ) 14; Е ) 100; 14).

о 100! 99! . .10. Ј В р е д н о с т и з р а з а — — Ј е д н а к а Ј е :

А ) 100; В ) 99; С ) 9900; Б ) 98; Е ) 1; ]Ч ).

Т е с т 2. Л о г и к а , с к у п о в и , к о м б и н а т о р и к а 241

Т е с т 2. Л О Г И К А , С К У П О В И , К О М Б И Н А Т О Р И К А

1. И с к а з р V -|<7V т и м а в р е д н о с т Ј_ у с л у ч а ју (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д

т а ч н о г о д г о в о р а ) :

А ) т (р ) = Т , г (д ) = Т , т (г ) = Т ; В ) т (р ) = Ј _, г (д ) = Т , г ( г ) = Т ;

С ) т (р ) = Ј _, г (д ) = Т , г (г ) = Ј _; Б ) т (р ) = _1_, г (д ) = _1_, г (г ) = Т ;

Е ) т (р ) = Ј _, т (д ) = _ 1 _, г ( г ) = Ј_; ^ ).

2. К о ја о д с л е д е ћ и х р е ч е н и ц а и м а з н а ч е њ е : ” С в и п р и р о д н и б р о је в и с у

п о з и т и в н и ” (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ):

А ) (У ж )(ж (У ж )(а ; > 0); В ) (З ж )(ж е N А х > 0);

С ) (У ж )(ж Е N1 А (З ж )(а ; > 0); Б ) —>(33;)(а г Е N А х > 0);

Е ) (У а ;)(а ; Е N =$ х > 0).

3. Д а т и с у с к у п о в и А = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 , б , 8} и В = {2 ,4 ,5 ,6 ,8 }. К о л и к о е л е -

м е н а т а и м а с к у п 5 т а к а в д а је А П 5 = { 3,4 } и В и 5 = {2,3,4,5, б , 7,8,9}

(з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ):

А ) 2; В ) 3; С ) 4; Б ) 5; Е ) б .

4. У с к у п у {0 ,1 ,2 ,3 ,4 } д е ф и н и с а н а је р е л а ц и ја х р у -О х + у = 4. К о -

ја о д с в о јс т а в а р е ф л е к с и в н о с т , с и м е т р и ч н о с т , а н т и с и м е т р и ч н о с т , т р а н з и -

т и в н о с т и м а р е л а ц и ја р н а о в о м с к у п у (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г

о д г о в о р а ) :

А ) н и је д н о ; В ) с а м о с и м е т р и ч н о с т ;

С ) с а м о а н т и с и м е т р и ч н о с т ; О ) р е ф л е к с и в н о с т и с и м е т р и ч н о с т ;

Е ) с в а ч е т и р и с в о јс т в а .

5. А к о је /(2ж — 1) = (а ; — I)2, т а д а је / (3 ) је д н а к о (з а о к р у ж и т и с л о в о

и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ) :

А ) 1; В ) 3; С ) 4; Б ) 9; Е ) 0.

6. А к о је Ј (х ) = 5х — 1, т а д а ј е и н в е р з н а ф у н к ц и ја ф у н к ц и је / (з а о к р у ж и т и

с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ) :

А ) / “ Н = 5 ^ Г В ) / - М = 1 * - 1 ; С ) / - ( . ) = § 4 ;




Б ) /-Ч ж ) = - + Е ) н и је д а н о д о д г о в о р а А ), В ), С ) , Б ).5 5

7. Н е к а с у р и д и с к а з и . К о је о д д а т и х ф о р м у л а с у т а у т о л о г и је

(з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д с в а к е т а к в е ф о р м у л е ):

1) ~'Р А Р ; 2) ->р V р ; 3 ) р Л д < * д Л р - ,

4) -■ (? V д ) ->р V -<д ; 5) -.(р А ?) -<р V -<д .

8. К о је о д с л е д е ћ и х р е ч е н и ц а с у т а ч н е , а к о је н е т а ч н е (и з а т а ч н е р е ч е н и ц е

н а п и с а т и з н а к Т , а и з а н е т а ч н е з н а к Ј .):

(1) Д а б и б р о ј б и о д е љ и в с а 2 д о в о љ н о је д а б у д е д е љ и в с а 4 .........

(2) Д а б и б р о ј б и о д е љ и в с а 4 д о в о љ н о је д а б у д е д е љ и в с а 2 .........

(3) Д а б и б р о ј б и о д е љ и в с а 2 н е о п х о д н о је д а б у д е д е љ и в с а 4 .........

(4) Д а б и б р о ј б и о д е љ и в с а 4 н е о п х о д н о је д а б у д е д е љ и в с а 2 .........

(5) Д а б и б р о ј б и о д е љ и в с а 2 н е о п х о д н о је и д о в о љ н о д а б у д е д е љ и в

с а 4 .........

9. С в е т л а н а с е м а ф о р у м о г у б и т и : ц р в е н о , ж у т о и л и з е л е н о . А к о у

је д н о ј у л и ц и и м а 7 с е м а ф о р а , н а к о л и к о р а з н и х н а ч и н а у с в а к о м т р е н у т к у

м о г у б и т и р а с п о р е ђ е н а с в е т л а н а с е м а ф о р и м а (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д

т а ч н о г о д г о в о р а ):

А ) 21; В ) 10; С ) З 7; Б ) 73; Е ) 3 ■ 73.

10. К о л и к о и м а ч е т в о р о ц и ф р е н и х п р и р о д н и х б р о је в а к о д к о ји х је п р о и з -

в о д ц и ф а р а је д н а к 6 (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а )?

А ) 16; В ) 12; С ) 4; Б ) 10; Е ) 18.

Т е с т 3. Р А З М Е Р Е , П Р О П О Р Ц И Ј Е , П Р О Ц Е Н Т И

х 1

Т е с т с е с а с т о ји и з 10 з а д а т а к а . У с в а к о м з а д а т к у п о н у ђ е н о је п е т

о д г о в о р а (А , В , С , О , Е ) о д к о ји х је с а м о је д а н т а ч а н . У с л у ч а ј уд а у ч е н и к н е у м е д а р е ш и з а д а т а к т р е б а д а з а о к р у ж и с л о в о N.

1. И з н о с о д 180 д и н а р а т р е б а п о д е л и т и н а т р и д е л а у о д н о с у 4 : 5 : 9 .

Н а јм а њ и о д д о б и је н и х д е л о в а је (у д и н а р и м а ):

А ) 30; В ) 36; С ) 40; Б ) 45; Е ) 50; Ј Ч ).

2. С е д а м ц е в и н а п у н е б а з е н з а 35 ч а с о в а . З а к о је ћ е в р е м е п е т ц е в и

н а п у н и т и б а з е н (п р е т п о с т а в љ а с е д а ц е в и је д н а к о м б р з и н о м п у н е б а з е н )?

А ) 25; В ) 49; С ) 54; Б ) 35; Е ) 50; Ј Ч ).



Т е с т 4. В е к т о р и , т р о у г а о , ч е т в о р о у г а о , м н о г о у г а о , к р у г 24 3

3. Н а п л а н у и з р а ђ е н о м у р а з м е р и 1 : 1000 њ и в а ј е п р е с т а в љ е н а п р а в о у -

г а о н и к о м д у ж и н е 13,25с т и ш и р и н е 4с т . П о в р ш и н а њ и в е (у х е к т а р и м а )је :

А ) 0,53; В ) 5,3; С ) 53; Б ) 0,053; Е ) 530; Г *).

4. А к о 5 у ч е н и к а з а 5 м и н у т а п о је д е 5 с л а д о л е д а , к о л и к о ћ е с л а д о л е д а

п о је с т и 25 у ч е н и к а з а 25 м и н у т а ?

А ) 25; В ) 75; С ) 5; Б ) 100; Е ) 125; Г *).

5. У је д н о ј п р о д а в н и ц и 8 ја б у к а с е п р о д а је з а 10 д и н а р а , а у д р у г о ј 10

ја б у к а з а 15 д и н а р а . З а к о л и к о п р о ц е н а т а ј е ц е н а у д р у г о ј п р о д а в н и ц ив и ш а н е г о у п р в о ј?

А ) 2^%; В ) 5%; С ) 12%; Б ) 20%; Е ) 25%; Г *).

6. А к о п р о д а в а ч и ц а с л а д о л е д а с в а к о г с а т а п р о д а 20 с л а д о л е д а и н а

с в а к о м с л а д о л е д у з а р а д и 40 п а р а , к о л и к о ч а с о в а т р е б а д а р а д и д а б из а р а д и л а 80 д и н а р а ?

А ) 160; В ) 64; С ) 100; Б ) 10; Е ) 16; Г *).

7. К о л и к о л и т а р а в о д е т р е б а д о д а т и у 12 л и т а р а 25%-н о г р а с т в о р а а м о н и -

ја к а д а б и с е п р о ц е н а т а м о н и ја к а у р а с т в о р у с м а њ и о н а 20%?

А ) 3/; В ) 2,5/; С ) 2,25/; Б ) 21- Е ) 1,51; И ) .

8. Н а к о л и к у с у м у н а р а с т е у л о г о д 100 д и н а р а с а 20% г о д и ш њ е к а м а т еп о с л е д в е г о д и н е ?

А ) 112'д и н .; В ) 160 д и н .; С ) 172 д и н .; Б ) 144 д и н .; Е ) 120 д и н .; Г Ч ).

9. Н а с к л а д и ш т у и м а к а ф е п о ц е н и о д 120 д и н а р а п о к и л о г р а м у и о д 92

д и н а р а п о к и л о г р а м у . Т р е б а н а п р а в и т и м е ш а в и н у к о ја ћ е с е п р о д а в а т и

п о 112 д и н а р а п о к и л о г р а м у . О в е д в е в р с т е т р е б а п о м е ш а т и у о д н о с у :

А ) 5 : 4; В ) 3 : 2; С ) 5 : 2; Б ) 4 : 3; Е ) 5 : 3; Г *).

10. Ј е д а н п о с а о 12 р а д н и к а б и з а в р ш и л о з а 8 д а н а . З а к о л и к о д а н а ћ еб и т и з а в р ш е н о с т а т а к п о с л е а к о н а к о н 2 д а н а р а д а 3 р а д н и к а н а п у с т еп о с а о ?

А ) 7 д а н а ; В ) 8 д а н а ; С ) 9 д а н а ; Б ) 9*5 д а н а ; Е ) 10,5 д а н а ; Г Ч ).

Т е с т 4. В Е К Т О Р И , Т Р О У Г А О , Ч Е Т В О Р О У Г А О , М Н О Г О У Г А О ,К Р У Г

1. Т а ч к а О је с р е д и ш т е д у ж и В С (н а с л и ц и ). К о је м о д н а в е д е н и х в е к т о р аје ј е д н а к з б и р А 13 + с Ћ (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ) ?




А

С л . у з з а д . 1, Т е с т 4.

А ) Ш ; В ) С ) а Р ; Б ) с Х ; Е ) Ш ;

2. Ц е н т а р о п и с а н о г к р у г а т р о у г л а је (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о го д г о в о р а ):

А ) п р е с е к в и с и н а т р о у г л а ; В ) п р е с е к т е ж и ш н и х д у ж и ;

С ) п р е с е к с и м е т р а л а у г л о в а ; О ) п р е с е к с и м е т р а л а с т р а н и ц а ;

Е ) с р е д и ш т е н а јд у ж е с т р а н и ц е т р о у г л а .

3. Ј е д а н у н у т р а ш њ и у г а о т р о у г л а је а . Т у п у г а о т р о у г л а п о д к о ји м с е

с е к у с и м е т р а л е д р у г а д в а у н у т р а ш њ а у г л а т о г т р о у г л а је (з а о к р у ж и т и

с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ):

А ) 9 0 ° - | ; В ) 90 ° + |; С ) 2а ; Б ) 90 ° + а ; Е ) 180° - а .

4. У н у т р а ш њ и у г а о је д н о г п р а в и л н о г м н о г о у г л а ј е 150°. К о л и к о д и ја г о -

н а л а и м а т а ј м н о г о у г а о ? (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ) ?

А ) 54; В ) 44; С ) 60; Б ) 65; Е ) 77.

5. Н е к а с у , Р , <2, Е р е д о м с р е д и ш т а с т р а н и ц а А В , В С , С Б и Б А

т р а п е з а А В С И (А В \\С Б ). Д а т и с у и с к а з и :

(I) Ш = 1- { а Р + Ш ) ;

(II) К Р = Џ а Р + Ђ ^);

(III) А Р = А $ + (Т Р ;

(IV) А р = А Р + р ђ .

Т а ч н и с у (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ):

А ) с а м о I и III; В ) с а м о II и IV; С ) с а м о I и IV;

Е >) с а м о II и III; Е ) с а м о IV.

6. Т а ч к а О ј е ц е н т а р к р у г а н а с л и ц и . А к о је <В С О = ц>, т а д а је <В А С

је д н а к (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ):



Т е с т 4 . В е к т о р и , т р о у г а о , ч е т в о р о у г а о , м н о г о у г а о , к р у г

С

А ) 90° + <р; В ) 9 0 ° + 2<р; С ) 9 0 ° - 2 <р; Б ) 180° —2-јс; Е ) 90° - <.

7. Н а с л и ц и с у п р а в е р и д п а р а л е л н е . Т а д а је у г а о а је д н а к (з а о к р у ж и т ис л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ):

А ) 180° —7; Ђ ) 0 - г , С ) 180° - /?; Б ) 9 0 ° + / 3 - 7 ; Е ) /3 + 7 - 1 8 0 ° .

8. Н а с л и ц и је у г а о к о д т е м е н а А п р а в . Т а д а ј е з б и р у г л о в а /3 и 7 је д н а к


А В

С л . у з з а д . 8 , Т е с т 4.

А ) 2а ; В ) 90° + а ; С ) 180° - а ; Б ) 180° - 2а ; Е ) 9 0 ° - а .




9. О к о к р у г а ј е о п и с а н је д н а к о к р а к и т р а п е з ч и ји ј е о ш т а р у г а о 30°. А к о је

д у ж и н а с р е д њ е л и н и је т р а п е з а 4с т , д у ж и н а п о л у п р е ч н и к а у п и с а н о г к р у г а

т р а п е з а ј е (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ) :

А ) 1 с т ; В ) 2 с т ; С ) 1,5с т ; Б ) ^ с т ; )\/З с т .

10. У г а о п р и в р х у је д н а к о к р а к о г т р о у г л а А В С (А В = А С ) је 40°. Д у ж

А В је п р е ч н и к к р у г а к с а ц е н т р о м О . К р у г к с е ч е с т р а н и ц у В С у т а ч к и

0 . а с т р а н и ц у А С у т а ч к и Е . В е л и ч и н а у г л а Т )О Е је (з а о к р у ж и т и с л о в ои с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ) :

А ) 35°; В ) 20°; С ) 30°; Б ) 40°; Е ) 45°.

Т е с т 5. И З О М Е Т Р И Ј С К Е Т Р А Н С Ф О Р М А Ц И Ј Е

1. П р а в е р и д с е к у с е у т а ч к и О . Д а т и с у и с к а з и : ,

(I) П о с т о ји о с н а с и м е т р и ја к о ја п р а в у р п р е с л к к а в а у п р а в у д .

(II) П о с т о ји т р а н с л а ц и ја к о ја п р а в у д п р е с л и к а в а у п р а в у р .

(III) П о с т о ј и р о т а ц и ја к о ја п р а в у р п р е с л и к а в а у п р а в у д .

Т а ч н и с у (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ):

А ) с а м о III; В ) с в и и с к а з и ; С ) с а м о I и III; Б ) н и је д а н ; Е ) с а м о II и III.

2. Д а т и у г *а о а О к п р е с л и к а т и о с н о м с и м е т р и јо м у о д н о с у н а д а т у п р а в у

С л . у з з а д . 2, Т е с т 5.

3. И з в р ш и т и р о т а ц и ју д а т о г т р о у г л а А В С о к о т а ч к е А з а 60°.

4. Д а т и к в а д р а т А В С Б п р е с л и к а т и ц е н т р а л н о м с и м е т р и јо м у о д н о с у н ад а т у т а ч к у 5 .

5. К о ји о д с л е д е ћ и х ч е т в о р о у г л о в а и м а т а ч н о је д н у о с у с и м е т р и је


А ) т р а п е з ; В ) к в а д р а т ; С ) п р а в о у г а о н и к ; р ) р о м б ; Е ) д е л т о и д .



Т е с т 5. И з о м е т р и јс к е т р а н с ф о р м а ц и је 247

С

С л . у з з а д . 3, Т е с т 5.

Б С

5 . ♦

А В

С л . у з з а д . 4, Т е с т 5.

6. Д а т и с у ч е т в о р о у г л о в и : к в а д р а т , р о м б , п р а в о у г а о н и к , је д н а к о к р а -к и т р а п е з и д е л т о и д . К о л и к о о д о в и х п е т ч е т в о р у г л о в а с у ц е н т р а л н о

с и м е т р и ч н и (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ):

А ) 1 ; В ) 2 ; С ) 3 ; Б ) 4 ; Е ) 5 ;

7. Т р а н с л а ц и јо м з а д а т и в е к т о р "7* п р е с л и к а т и д а т и у г а о р О д .

С л . у з з а д . 7, Т е с т 5.

8. Н е к а с у а и 6 д в е р а з л и ч и т е п р а в е . П о с м а т р а м о и с к а з е :

(I) П е н т р а л н а с и м е т р и ја к о ја п р е с л и к а в а п р а в у а у п р а в у 6 п о с т о јиа к о с у п р а в е п а р а л е л н е .




(II) Ц е н т р а л н а с и м е т р и ја к о ја п р е с л и к а в а п р а в у а у п р а в у 6 п о с т о ји

а к о с е п р а в е с е к у .

(III) Ц е н т р а л н а с и м е т р и ја к о ја п р е с л и к а в а п р а в у а у п р а в у 6 п о с т о ји

а к о с у п р а в е м и м о и л а з н е .

Т а ч н и с у и с к а з и (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ):

А ) с а м о I; В ) с а м о I и II; С ) с а м о I и III; О ) с в и ; Е ) н и је д а н .

9. И н в е р з н а и з о м е т р и јс к а т р а н с ф о р м а ц и ја т р а н с л а ц и ји Т -$ ј е .........

10. Л а т е с у т а ч к е X , Р , ф . У ц р т а т и т а ч к е Х ^, Х 2 и Х 3 т а к в е д а ј е Х у

с и м е т р и ч н а т а ч к и X у о д н о с у н а Р <3, Х 2 с е д о б и ја т р а н с л а ц и јо м т а ч к е X

з а Р $ и Х 3 с е д о б и ја р о т а ц и јо м т а ч к е X о к о т а ч к е Р з а у г а о Х Р С Ј .

Р .

С л . у з з а д . 10, Т е с т 5.

Т е с т 6. П О Л И Н О М И . Т Р А Н С Ф О Р М А Ц И Ј А Р А Ц И О Н А Л Н И Х И Р А А

Т е с т с е с а с т о ји и з 10 з а д а т а к а . У с в а к о м з а д а т к у п о н у ђ е н о ј е п е т

о д г о в о р а (А , В , С , О , Е ) о д к о ји х ј е с а м о је д а н т а ч а н . У с л у ч а ј у


Ј _ Ј _3 13

1. А к о ј е а б ф 0 и а 2 ф 62, и з р а з ------у - је д н а к ј е и з р а з у :

а 2 62

А Ч а 2 - а 6 + 62 „ ч 1 , 1 ^ а 2 + а б + 62 а 2 + 62 а 2 - а б + 62

} а 6(а —6) ’ а 6 ’ а 6(6 - а ) ; П ) а б ! } ' а 6(6 - а ) ;

6 с2. Н е к а ј е а = - + - и с = 62 ( 6 ^ 0 ) . Т а д а је в р е д н о с т и з р а з а а је д н а к а :



А ) 6+ 62; В ) * + *; С ) 1 + 6; Б ) 6 2 + 1; Е )1 + А ; М ).

3. А к о ј е а б ф 0 и а ф 6, и з р а з

Т е с т 6. П о л и н о м и . Т р а н с ф о р м а ц и је р а ц и о н а л н и х и з р а з а 249

(а + 6)2

а б

а 3 —63

а б

ј е д н а к ј е и з р а з у :

А ) ? ! ± 4 + ^ ; В ) 1 С ) а - 6 ; Б )а —6

Е )п 6

а б *М ) .

а б ’ 7 а б ’ У ’ ' а к ’

4. О с т а т а к д е љ е њ а п о л и н о м а З а :5 —2ж 4 + 12х 3 —12х + 55 б и н о м о м х + 1 је :

А ) 56; В ) 50; С ) 55; Б ) 54; Е ) 60; Г *).

Л (° + 1>)2\/ Г <> а \ а 3 + 13 3 , 6 .5. В р е д н о с т и з р а з а ( З - — Ј ^Ј : з а а = - , 6 = - Ј е :

25

в ) Т '

6. З а с в е х 6 К р а з л о м а к\+ X2 + х А .

С ) _ 10 ’ Е ) ш - м ) '

1 + х + х

л

Ј е д н а к Ј е :

А ) \ + х х 2; В ) 1; С ) ^ ; Б ) 1 + х + аг2; Е ) 1 - х + аг2; Г *).1 + х

7. Н а јм а њ и з а је д н и ч к и с а д р ж а л а ц (Н З С ) п о л и н о м а (ж + ј/)2, х —у и х 2 —у 2

је :

A ) (х + у ) 2( х - у ) ( х 2 - у 2); В ) (х + у )2(х —у )2; С ) (х + у )(х - у );

B ) (х + у ) (х —у ) 2( х 2 - у 2)2; Е ) (х + у )2( х - у ) 2(х 2 - у 2); 14).

2 + 2х х 2 — 18. И з р а з " ' ^ (х ф ±2, х ф ±1) је ј е д н а к и з р а з у :

6 —З ж 4 — х г

А ) В ) (, - ш Д 1)’ ^ М М ); и > 3(1Т Т ); *■ ' 3(^Г )5'

9. З а к о л и к о ј е к в а д р а т р а з л и к е и з р а з а х и у м а њ и о д з б и р а к в а д р а т а

т и х и с т и х и з р а з а :

А ) -2 х у ; В ) 2х у ; С ) 4х у ; Б ) -4 х у ; Е )0;

т т А а + М \ 2 ( а ~ | | \ 2 • •

10. И з р а з I — 2 ^ ) + I — 2 ~ ) Ј е д н а к Ј е и з р а з у :

А ) 2а 2; В ) у ; С ) а 2 + |а|2; V ) а 2; Е ) ^ ± ћ ! ! :

М ).

М ).




Т е с т 7. Ј Е Д Н А Ч И Н Е , Н Е Ј Е Д Н А Ч И Н Е , С И С Т Е М И Ј Е Д Н А Ч И -

Н А


о д г о в о р а (А , В , С , И , Е ) о д к о ји х ј е с а м о је д а н т а ч а н . У с л у ч а ј у


1. С к у п р е ш е њ а н е је д н а ч и н е 3(ж + 2) > 3(ж + 1) + 2 је :

А ) 0; В ) [0, + о о ) ; С ) К ; О ) (0,1);

Е ) Н и је д а н о д о д г о в о р а А , В , С , Б , н и је т а ч а н ; Г »Ј ).

„ т ж + а ж + 6 2(а ж + 62) , .2. е д н а ч и н а — — Н ---------- г = — ^ ^ + 1, а ,б е п , \а \ф 6 :а + о а —о а г —о г

A ) И м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е к о је н е з а в и с и о д а .

B) И м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е к о је н е з а в и с и о д 6.

C) Н е м а р е ш е њ а .

О ) И м а б е с к о н а ч н о м н о г о р е ш е њ а .

. 63Е ) И м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е ж ј = 3 . М ).

^ з3. А к о је 4 —а < —-— , к о ј а о д с л е д е ћ и х р е ч е н и ц а м о р а б и т и т а ч н а ?

А ) а > 26; В ) а > 4(6 + 3); С ) а < Б ) а < Е ) а > ^ ; Г *).

4. А к о је 5ж + 2у = 25 и 42 —А х = 6у , т а д а ј е З ј/ + 2х је д н а к о :

А ) 16; В ) 18; С ) 21; Б ) 24; Е ) 28; IV).

5. А к о је (ж , у , г ) р е ш е њ е с и с т е м а је д н а ч и н а х + у + = 0, 2х + у + 2>г = —5,

—х + 2у —г = 6, т а д а је х — у + г је д н а к о :

А ) -2; В ) -4; С ) 0; Б ) 4; Е ) 5; Г Ч ).

6. Д а т а је је д н а ч и н а (к 2 —1)ж + к — 1 = 0 (& 6 В .) и и с к а з и :

(I) З а к = 1 д а т а је д н а ч и н а и м а б е с к о н а ч н о м н о г о р е ш е њ а .

(II) З а к = — 1 д а т а је д н а ч и н а и м а в и ш е о д је д н о г р е ш е њ а .

(III) З а к { —1,1} д а т а је д н а ч и н а и м а је д и н с т в е н о р е ш е њ е .

Т а ч н и с у

А ) с а м о I и III; В ) с а м о I и II; С ) с в и и с к а з и ; Е ) с а м о II; Е ) с а м о I. М ).

_ . х (х — 1)(ж —2)(ж —3)(ж —4)7. Производ свих решења Једначине ---------------------- :------ ------------- = 0 Је:

х —2 + \х —2\

А ) 24; В ) 2; С ) 6; Б ) 12; Е ) 0; IV).



^ • 1 2 .8. С к у п р е ш е њ а н е Ј е д н а ч и н е ------- < - Ј е :

х + 1 о

А ) ( - о о , - 1 ) Џ (^ ,+ о о ); В ) (0 ,+ о о );

С ) ( - о о , - 1 ) П (^ ,+ о о ) ; Б ) (^ ,+ о о );

Е ) Н и је д а н о д о д г о в о р а А , , С , Б , н и је т а ч а н ; IV).

9. Д а т ј е с и с т е м је д н а ч и н а с х + у = 1, х + с у = с , (с € В ). З а к о л и к о

р а з л и ч и т и х в р е д н о с т и р е а л н о г п а р а м е т р а с д а т и с и с т е м ј е н е о д р е ђ е н (и м а

б е с к о н а ч н о м н о г о р е ш е њ а )?

А ) 0; В ) 1; С ) 2; Б ) 3; Е ) 4; ]\Г ).

. , х - 1 110. К о л и к о различити х реалних решења има Једначина 1 Н -------- Н — =х + I х

З х + 2 ^

х ( х + 2)

А ) 0; В ) 1; С ) 2; Б ) 3; Е ) в и ш е о д 3; IV).

Т е с т 8. Х о м о т е т и ја , с л и ч н о с т 251

Т е с т 8. Х О М О Т Е Т И Ј А , С Л И Ч Н О С Т

1. У т р о у г л у О А В н а с л и ц и ј е С п \\А В . А к о је С Ш = 4с ш , П В = 6с т ,

С И = 8с т и С А = 12с ш , и з р а ч у н а т и д у ж и н е д у ж и О С и А В .

О д г о в о р : О С = ......... с ш , А В = ......... с т .

В

С л ч у з з а д . 1, Т е с т 8.

2. О б и м је д н о г т р о у г л а је д н а к је 32с ш , а д у ж и н е њ е г о в и х с т р а н и ц а с е

о д н о с е к а о 5 : 5 : 6 . П о в р ш и н а о в о г т р о у г л а је (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д


А ) 48с ш 2; В ) 50с ш 2; С ) 34^/2с ш 2; Б ) 45с ш 2; Е ) 28\/3с ш 2.

3. К о је о д с л е д е ћ и х р е ч е н и ц а с у т а ч н е , а к о је н е т а ч н е (и з а т а ч н е р е ч е н и ц е

н а п и с а т и з н а к Т , а и з а н е т а ч н е з н а к Ј _):

(1) С в а к а д в а је д н а к о с т р а н и ч н а т р о у г л а с у с л и ч н и ..........




(2) С в а к а д в а је д н а к о к р а к а т р о у г л а с у с л и ч н а а к о ј е је д а н у г а о

је д н о г т р о у г л а је д н а к н е к о м у г л у д р у г о г т р о у г л а ---- --

(3) С в а к а д в а је д н а к о к р а к о -п р а в о у г л а т р о у г л а с у с л и ч н и .........

(4) П о в р ш и н е с л и ч н и х т р о у г л о в а о д н о с е с е к а о њ и х о в и о б и м и .........

(5) Д в а п р а в о у Г л а т р о у г л а с у с л и ч н и а к о с у и м к а т е т е

п р о п о р ц и о н а л н е .........

4. К а т е т е п р а в о у г л о г т р о у г л а с у д у ж и н е 15с т и 20с г п . Д у ж и н а в и с и н е

к о ја о д г о в а р а х и п о т е н у з и у т о м т р о у г л у је : (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д


А ) 10\/2с т ; В ) 17,5с ш ; С ) 12с т ; Н ) 5л /5с т ; Е ) 10с т .

5. Н е к а с у А А \ и В В \ в и с и н е т р о у г л а А В С и Н о р т о ц е н т а р т о г т р о у г л а .

А к о ј е Н А \ = З с ш , Н В \ - 2с т и Н В = 5с ш , д у ж и н а А Н је д н а к а је(з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ) :

А ) В ) 7, 5 с т ; С ) 1 , 2 с т ; О ) 5 с т ; Е ) 4 с т .о

6. Т е т и в е И и Р ф к р у г а к с е к у с е у т а ч к и 8. А к о ј е N 8 = 4 с т ,

8 = 6с т и С ј8 = З с т , д у ж и н а Р 8 ј е (з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г

о д г о в о р а ):о

А ) 8 т ; В ) - с ш ; С ) 2 т ; В ) 10с т ; )4 с т .

7. И з р а ч у н а т и д у ж и н у д у ж и В Б н а с л и ц и , а к о ј е А С = 5с т и С Б = З с т .

О д г о в о р : В Б = ......... с т .

С

С л . у з з а д . 7, Т е с т 8.

8. Д а т ј е к в а д р а т А В С Б с т р а н и ц е 8 с т . К р у г к с а д р ж и т е м е н а Л и Ј ) и

д о д и р у је с т р а н и ц у В С . П о л у п р е ч н и к к р у г а к и м а д у ж и н у (з а о к р у ж и т и

с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ):

А ) 5с т ; В ) 4л /2с т ; С ) 4с т ; О ) 5\/2с т ; Е ) 6с т .

9. У у н у т р а ш њ о с т и у г л а х О у д а т а ј е т а ч к а к о ја ј е н а о д с т о ја њ у 2 с т

о д к р а к а О х и З с т о д к р а к а О у . А к о је <х О у = 60°, д у ж и н а д у ж и О је

(з а о к р у ж и т и с л о в о и с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ) :



Т е с т 9. Т р и г о н о м е т р и ја 253

бА ) 3,5с ш ; В ) 4с ш ; С ) ^ д с т \ п ) 2л /2с ш ; Е ) 5с ш .

10. У п р а в о у г л и т р а п е з ч и је с у п а р а л е л н е с т р а н и ц е д у ж и н е б с ш и 2с ш

у п и с а н је к р у г . Д у ж и н а п о л у п р е ч н и к а т о г к р у г а ј е (з а о к р у ж и т и с л о в ои с п р е д т а ч н о г о д г о в о р а ):

А ) З с ш ; В ) л /2с ш ; С ) \/3с ш ; Б ) 1, 5с ш ; )2 ш .

Т е с т 9. Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ј А


о д г о в о р а (А , В , С , Б , Е ) о д к о ји х ј е с а м о је д а н т а ч а н . У с л у ч а ј у


1. К а т е т е је д н о г п р а в о у г л о г т р о у г л а и м а ју д у ж и н е б с ш и 8с ш . А к о је а

је д а н о ш т а р у г а о т о г т р о у г л а , з б и р с о з а + з т а и м а в р е д н о с т :

А ) 1; В ) р С ) I ; Б ) Е ) ^ ).

3 81П 2 х — 2 с о з 2х .2. А к о е 1:е ат = 4 (0° < х < 90°), в р е д н о с т и з р а з а ---------— -------- — Ј е

2 8111 X + 3 С 08 X

А ) 12; В ) С ) 0; О ) 4; Е ) Џ ; М ).

3. р е д н о с т и з р а з а З с ^б О 0 —<;§60° је :

А ) 3 ч / 3 - ^ ; В ) 2; С ) П ) 0; Е ) 1; ^ ).

. 9 ■ 4 ■4. А к о а н е к и о ш т а р у г а о а в а ж и з т а = — , а д а Ј е 1§а Ј е д н а к о :

А ) « ; В ) | ; С )1; О ) * ; В ) М ).

/ , Л Ч 81П 3 X -ј- С 083 X . .5. Н е к а је х о ш т а р у г а о ( х ф 45 ). И з р а з — је Ј е д н а к и з р а з у :

81П х — С 08 х

л х 1 — 81П X С 08 X 1 + 81П X С 08 X 1 - 81П X С 08 X

А ) —:-----------------: В ) —: ;\•.>8111X —С О З X 8111X + С 08X 8111X + С 08X

1 + 8 1 1 1 0 : ^ 0 8 0: _____ 1-------- . ^

81П X —С О З X ’ 8111X С 08X

6. О с н о в и ц а р о м б а и м а д у ж и н у а , а о ш т а р у г а о т о г р о м б а је а . В и с и н а

о в о г р о м б а и м а д у ж и н у :

А ) ^с <;§а ; В ) а с о з а ; С ) а <;§а ; Б ) а з ш а ; Е ) а с <;§а ;

7 . А к о је а = 8 ш 3 2 ° и 6 = с о з б б 0, т а д а је :



А ) а = 6; В ) а 2 + 62 = 1; С ) а + 6 = 1 ; Б ) а 2 - 6 2 = 1; Е ) а - 6 = 1 ; IV).

8. У је д н а к о к р а к о м т р о у г л у к р а к је д в а п у т а д у ж и о д о с н о в и ц е . А к о је а

у г а о и з м е ђ у к р а к о в а , о н д а је з т — је д н а к о :

Л , 1 ; В , I ; 0 , 2 * ; О , Е ,

_ т _ с о з а 1 + 8Ш а . .9. И з р а з — — —:---- г- + —--------- (0° < а < 90°) Ј е д н а к Ј е и з р а з у :

2(1 + з т а ) 2с о в а '

А ) , В ) — ; С ) ^ ; Б ) Е ) 4§а ; IV).зша соба зша сскза 710. А к о је = 2 (0° < а < 90°), в р е д н о с т с с к з а је д н а к а је :

А >т ; в > с >Т ' в >I Е ) X ’ м >




Р Е Ш Е Њ А Т Е С Т О В А

Т е с т 1

1. С . 2. Б . 3. С . 4 . В . 5. В . 6. Б . 7. С . 8. А . 9. Е . 10. Е .

.

С Т е с т 2

Р е ш е њ а т е с т о в а 255

1. В . 2. Е . 3. С . 4. В . 5. А . 6. Б . 7. 2, 3, 5. 8. Т , Ј _, Ј _, Т , Ј _. 9. С .

10. А .

Т е с т 31. С . 2. В . 3. А . 4. Е . 5. Б . 6. Ђ . 7. А . 8. Б . 9. С . 10. В .

Т е с т 4

1. С . 2. Б . 3. В . 4. А . 5. В . 6. Е . 7. Е . 8. В . 9. А . 10. Б .

^ Т е с т 5

) 1. С . 5. Е . 6. С . 8. А . 9. Т _ ^ .I

- ' ■I , Т е с т 6) .. .

! 1. Е . 2. С . 3. Б . 4 . В . 5. А . 6. Е . 7. С . 8. А . 9. В . 10. Б .

>-* Т е с т 7

; 1. С . 2. Б . 3. Е . 4. С . 5. В . 6. А . 7. Б . 8. А . 9. С . 10. В .

- ■Т е с т 8

1. О С = 8ст п , А В = 1 2с т . 2. А . 3. Т , ± , Т , Ј ., Т . 4. С . 5. А .

V 6. А . 7. В Г > = 2,2 5 с т . 8. А . 9. В . 10. Б .

•

■* Т е с т 9

: 1. С . 2. В . 3. Б . 4. Е . 5. А . 6. Б . 7. А . 8. А . 9. В . 10. С .

. I



Documents

Matematika 1 - Zbirka Zadataka i Testova Za I Razred Gimnazija i Tehnickih Skola (Krug)