Matematika

Linearna funkcija

Šta je funkcija

U matematici nailazimo na mnoge primere poput ovog: automobil se po autoputu kreće brzinom od 100km/h. Za vreme t preći će rastojanje od 100t kilometara. Ovaj odnos možemo prikazati jednačinom s=100t. Mnoge relacije na koje nailazimo, uključujući i ovu, imaju specijalno ime. Zovu se FUNKCIJE.Funkcija je odnos između dve veličine, ulazne i izlazne , u kome postoji samo jedan izlaz za svaki ulaz. U gornjm primeru ulazna veličina je vreme provedeno na autoputu, a izlaz je pređeni put. Pošto može biti samo jedan pređeni put za bilo koje vreme, ova relacija je funkcija.

X=2 f(x)=11

Kada razmišljamo o funkciji možemo da zamislimo mašinu koja uzima jedan ulaz

( broj, reč ili nešti drugo-zavisi o kojoj funkciji je reč) i proizvodi jedan izlaz. Na primer,

Funkcije možemo prikazati i pomoću algebarske jednačine. Na primer, svaka od ovih

jednačina prikazuje istu funkciju.

y=5x+1 f(x)=5x+1 g(t)=5t+1Slova f i g se često koriste kao ime funkcije.

U drugom zapisu promenljiva x predstavlja ulaz, f je ime funkcije, a f(x) predstavlja izlaz. Simbol f(x) čita se kao “f od x” i znači

“primeni pravilo f na vrednost x”A sada ćemo se upoznati sa linearnom funkcijom.

Linearni odnosi se nalaze svuda oko nas . Ovde vidimo sliku da Vinčijevog “ Vitruvijanskog čoveka”. Jedan od najpoznatijih umetnika renesanse, da Vinči, verovao je da na savršenom telu, delovi moraju da budu u određenim odnosima. Na primer, dužina ruke bi trebalo da bude 3 puta dužina šake, a dužina stopala 6 puta dužina palca na nozi. Ove odnose bi mogli da izrazimo linearnim jednačinama : r=3s, gde je r dužina ruke, a s dužina šake i n=6p, gde je n dužina stopala, a p dužina palca.

Krenimo redom....

Kifla košta 12 dinara. Koliko bi koštale 3, 4, 10, m kifli. Popuni tabelu

Ulaz-broj kifli

Izlaz-cena

3

4

10

m

Kifla košta 12 dinara. Koliko bi koštale 3, 4, 10, m kifli. Popuni tabelu

Ulaz-broj kifli

Izlaz-cena

3 12·3=36

4 12 ·4=48

10 12 ·10=120

m 12 ·m

Litar goriva košta 3 evra. Za svaku kupovinu kupac ostavi 1 evro u humanitarne svrhe.koliko će platiti 5, 15, 30, x litara goriva zajedno sa prilogom? Popuni tabelu

Ulaz-

Količina goriva

Izlaz-

cena

5

15

30

x

Litar goriva košta 3 evra. Za svaku kupovinu kupac ostavi 1 evro u humanitarne svrhe.koliko će platiti 5, 15, 30, x litara goriva zajedno sa prilogom? Popuni tabelu

Ulaz-

Količina goriva

Izlaz-

cena

5 3·5+1

15 3·15+1

30 3·30+1

x 3·x+1

Videli smo da za jedan ulaz, po zadanom pravilu, dobijamo samo jedan izlaz. Takođe , videli smo da ovu funkciju možemo da predstavimo tablicom.

Sada ćemo istražiti grafike, tablice i jednačine linearnih funkcija.

Idemo u šetnju po koordinatnom sistemu...

• Neka se izabrana grupa od 9 učenika poređa duž x ose, tako da prvi učenik stane na -4, drugi na -3 i tako dalje do 4. KLIKNI

• Zadajemo pravilo:” broj na kojem stojiš pomnozi sa 2”

• Na znak “kreni” učenici idu napred i nazad do vrednosti y koja je jednaka dobijenom rezultatu.KLIKNI

• Prodiskutujmo...

• Dok prva grupa ostaje na svojim mestima, neka druga izabrana grupa od 9 učenika zauzmu isti početni položaj.

• Drugi tim postupa po sledećem pravilu:” broj na kojem stojiš pomnozi sa 2 i dodaj mu 1”

• Na znak učenici idu napred i nazad do vrednosti y koja je jednaka dobijenom rezultatu. klikni

• Porazgovarajmo i o rezultatu ove šetnje

• U radnim listovima popunite tabelu i u koordinatnom sistemu ucrtajte tačke u kojima ste stajali.

• Da li su oba grafika prave?• Da li neki grafik prolazi kroz

koordinatni početak? Koji?• Zašto se ova dva grafika neće seći?• Klikni

Pravilo tj, FUNKCIJU možemo prikazati tablicom i crtežom-grafikom u koordinatnom sistemu. Primenom pravila f na ulaz x dobijamo tačno jedan izlaz y. Par (x,y) nazivamo UREĐENI PAR (x,y), i svaki takav par predstavlja položaj jedne tačke u koordinatnom sistemu.

Skup svih tačaka dobijenih primenom jedne linearne funkcije predstavlja pravu u koordinatnom sisitemu.

U mnogim situacijama ljudi se susreću sa pojmom nagiba. Inženjerima je potreban nagib brda za projektovanje puteva .... Arhitektama je potreban nagib krova ili stepenica...

Razmislimo o nagibu krovova prikazanih na sledećoj slici

• Da li nagib krova možemo da izmerimo tako što ćemo meriti dužinu od vrha krova do jedne ivice? Objasni!

• Proučimo uobičajeni način da se izmeri nagib..

• Merdevine su naslonjene na zid. Vrh merdevina je postavljen 100mm uza zid, a osnova je 40mm udaljena od podnožja zida ( 10mm na crtežu predstavlja 1m u prirodi)

• Zapazi da je vertikalno rastojanje ( nazovimo ga rast) između tačke F na zemlji i tačke A na merdevinama 20mm, i da je horizontalno rastojanje (nazovimo ga pravac) između ove dve tačke 8mm.

• Koliko je vertikalno rastojanje tj. rast na crtežu od F do E?

• Koliko je horizontalno rastojanje tj. pravacna crtežu od F do E?

• U datoj tabeli upiši horizontalna i vertikalnarastojanja između datih tačaka i izračunaj količnik rast/pravac

Tačke A-B A-C B-C A-D B-D D-E F-ERast

Pravac

Rast________________

pravac

• Koliko je vertikalno rastojanje tj. rast na crtežu od F do E?

• Koliko je horizontalno rastojanje tj. pravacna crtežu od F do E?

• U datoj tabeli upiši horizontalna i vertikalna rastojanja između datih tačaka i izračunaj količnik rast/pravac

Tačke A-B A-C B-C A-D B-D D-E F-ERast 20 40 20 60 40 20 100Pravac 8 16 8 24 16 8 40Rast________________

pravac

2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5

• Nagib merdevina , ili bilo koje prave između dve tačke , može biti opisan pomoću razlomka

rast/pravac

• Na crtežu broj 2 prikazane su druge merdevine nameštene na 8m uz zid i 4m od podnožja zida.

• Odredi odgovarajući količnik rasta i pravca(tj. nagib) za tačke E i F sa slike

• Šta uočavaš?• Uporedi količnike iz

oba primera. Koje su merdevine strmije?

• Zamislite sada treće merdevine nameštene više, 11m uza zid i 4m udaljene od podnožja zida.

• Kakav je količnik trećih merdevina u odnosu na prva dva količnika?

• Znači, što je količnik (nagib) veći merdevine su strmije.

• Korišćenje količnika rast/pravac je dobar način da opišemo nagib merdevina.

• Vrednost ovog količnika biće ista bez obzira koje dve tačke da izaberemo.

• Pročitaj kordinate tačaka R i S

• Nađi nagib ove prave

Rast od tačke R do tačke S je razlika y-koordinata za ove tačke, a pravac je razlika x-koordinata.

Važno! Vodite računa o redosledu tačaka

U koordinatnom sistemu nacrtajte prave kroz date parove tačaka i izračunajte njihove nagibe

• A(-3,4) i B(-7,2)• C(2,4) i D(3,3)• E(3,5) i F(4,5)• A(-3,4) i G(-4,6)

Dve od ovih linija imaju negativan nagib . Koje?

• Kako se ove prave pružaju kroz koordinatni sistem?

• KLIKNI

• Ako je x1<x2 i y1 < y2 onda za funkciju kažemo da je rastuća

• Linearna funkcija je rastuća ako je nagib prave pozitivan

• Ako je x1<x2 i y1>y2 onda za funkciju kažemo da je opadajuća

• Linearna funkcija je opadajuća ako je nagib prave negativan

• Sada ćemo naučiti da nađemo jednačinu prave ako znamo 2 njene tačke ili ako znamo nagib prave i jedni njenu tačku

• Tabela prikazuje jednu linearnu funkciju

• Izaberi dva para tačaka (x,y) da nađeš nagib prave

• Nagib , obeležimo ga sa k , ima vrednost 2. k=2• Nacrtaj grafik Crtaj• Koja je vrednost y u kojoj grafik seče y-osu?

Klikni• Setimo se šetnje po koordinatnom sistemu! Klikni• Pokušajmo da zapišemo pravilo...• Y=2x+1

x -2 -1 0 1 2 3

y -3 -1 1 3 5 7

• Videli ste da linearna funkcija može biti

zapisana u obliku y=kx+n.

• Broj k koji množi promenljivu x naziva se koeficijent pravca i on predstavlja nagib

linije. Konstanta n predstavlja presek grafika sa y-osom.

• Odredi jednačinu ako nam je poznat nagib k i jedan par tačaka , na primer k=3 i tačka A (2,5)

• Započnimo sa činjenicom da je linearna funkcija oblika y=kx+n

• Pošto je k=3 onda je• y=3x+n• Pošto se tačka (2,5) nalazi na pravoj, zamenom

2 za x i 5 za y dobijamo• 5=3·2+n i odatle• 5=6+n i dalje• n=-1• Znači, presek sa y-osom je -1• Konačno, možemo da zapišemo pravilo• y=3x-1

• Kao što je presek sa y-osom vrednost y u kojoj grafik seče y-osu, tako je i presek sa x-osom

vrednost x u kojoj grafik seče x-osu.

• Za date funkcije y=x, y=3x-3 i y=-2x-2 popuni tabele

• Nacrtaj grafike ovih funkcija • Potraži parove (x,y) takve da je y=0• Pronađi na grafiku tačke u kojima grafik seče x

osu

x y=3x-3

-1

0

1

2

x y=x

-3

0

3

x y=-2x-2

-1

0

1

2

• Za date funkcije y=x, y=3x-3 i y=-2x-2 popuni tabele

• Traženi parovi su obojeni• Grafici seku x osu baš u označenim tačkama• Pogledajmo na sledećem grafiku

x y=3x-3

-1 -6

0 -3

1 0

2 3

x y=x

-3 -3

0 0

3 3

x y=-2x-2

-1 0

0 -2

1 -4

2 -6

• Tačku u kojoj grafik seče x osu nazivamo NULA FUNKCIJE.

• To je vrednost promenljive x za koju je y=0

• Nađi linearnu funkciju čiji grafik ima nagib k=2, a nula funkcije joj je u x=3

• Započnimo sa činje nicom da je linearna funkcija oblika y=kx+n

• Pošto je k=2 onda je• Y=2x+n• Pošto je nula funkcije za vrednost x=3, znači

da je x=3 i y=0 pa je• 0=2·3+n i dalje• 0=6+n• n=-6• Znači funkcija je oblika y=2x-6

Linearna funkcija je svaka funkcija oblika y=kx+nLinearnu funkciju možemo predstaviti tablicom i grafikom u koordinatnom sistemu. Skup uređenih parova (x,y) date linearne funkcije u koordinatnom sistemu predstavlja pravu. Znači , grafik linearne funkcije je prava

k nazivamo koeficijent pravca i predstavlja nagib prave. Ako je k pozitivno funkcija će biti rastuća, a ako je k negativno biće opadajuća

n predstavlja presek grafika sa y osomUređeni par (x,0) je nula funkcije i predstavlja

presek grafika sa x osom.

KRAJ

nazad

nazad

nazad

nazad

nazad

nazad

nazad

nazad

nazad

nazad

nazad