Matematika pwr Biznes 1 - kolegjiglobus.com I/03... · Permbajtja •Bazat e Thyesave •Mbledhja edhe Zbritja e Thyesave •Mbledhja dhe Zbritja e Numrave Miks •Shumezimi dhe Pjesetimi

Matematika për Biznes 1

MA Peonare Caka

11/12/2014 Kolegji i Menaxhmentit Internacional 1

KAPITULLI II

THYESAT

(Faqet 39-54 nga Libri i Obligueshem)


Permbajtja

• Bazat e Thyesave

• Mbledhja edhe Zbritja e Thyesave

• Mbledhja dhe Zbritja e Numrave Miks

• Shumezimi dhe Pjesetimi i Thyesave

• Konvertimi i Numrave Dhjetore ne Thyesa dhe i Thyesave ne Numra Dhjetore


Bazat e Thyesave

1. Njohja e llojeve te thyesave

2. Konvertimi I numrave miks ne thyesa jo te pershtatshme

3. Konvertimi I thyesave te papershtatshme ne numra miks

4. Shkrimi I nje thyese ne tema me te vogla

5. Perdorimi I rregullave per pjestueshmerine


Bazet e Thyesave

• Nje thyese perfaqeson nje pjese te te teres. Thyesat shkruhen ne formen e nje numri mbi numrin tjeter, kur nje vije I ndan te dy numrat.

•5 −𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑢𝑒𝑠𝑖 (𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑜𝑟)

8 −𝑒𝑚𝑒𝑟𝑢𝑒𝑠𝑖 (𝑑𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑜𝑟)− 𝑣𝑖𝑗𝑎 𝑡ℎ𝑦𝑠𝑜𝑟𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑏𝑎𝑟

• Ne thyesen 2

3; 2 eshte numeruesi dhe 3 eshte emeruesi.

– Emeruesi tregon numrin e pjeseve te barabarta ne te cilat ndahet dicka.

– Numeruesi tregon se nga keto pjese te ndara sa prej tyre nevojiten.

• Ne menyre vizuele:


Njohja me Tipet e Thyesave

• Ka tre tipe thyesash: – Nese numeruesi i nje thyese eshte me i vogel se

emeruesi i saj atehere thyesa quhet “e pershtatshme”. Shembuj:

2

3,

3

4,

1

8.

– Nese numeruesi i nje thyese eshte me i madh ose e barabarte me emeruesin e saj atehere thyesa quhet “e papershtatshme”. Shembuj:

19

12,

5

5.

– Thyese “komplekse” quhet ajo thyese ne te cilen numeruesi eshte thyese, emeruesi eshte thyese ose te

dy jane thyesa. Shembuj: 6

17

14;

152

3

; 1

23

4


Njohja me Tipet e Thyesave

• Pra, nje thyese e pershtatshme ka vlere me te vogel se 1, ndersa nje thyese e papershtatshme ka nje vlere me te madhe ose te barabarte me 1.

• Dy thyesa 𝑎

𝑏 dhe

𝑐

𝑑 jane te barabarta nese 𝑎 x 𝑑 = 𝑐 x 𝑏.

Produktet 𝑎 x 𝑑 dhe 𝑐 x 𝑏 quhet “produkte te kryqezuara”.

• Dy thyesa quhen te barabarta nese produkete e tyre te kryqezuara jane te barabarta.

• Per te shkruar nje numer te plote si thyese, vendosni numrin e

plote mbi 1. Shembull: 7 = 7

1 .

• Shuma e nje thyese me numer te plote eshte “numer miks”.

Shembull: 52

3 (nje menyre e shkurter per 5 +

2

3).


Konvertimi I Numrave Miks ne Thyesa te Papershtatshme

• Per te konvertuar numrin miks 45

8 ne nje thyese te

papershtatshme, ne fillim shumezoni emeruesin e thyeses (ne kete rast 8) me pjesen e plote te saj (ne kete rast 4).

• Keshtu 4 x 8 = 32.

• Me pas vleres se gjetur (ne kete rast 32) I shtoni numeruesin (ne kete rast 5).

• Rezulton 32+5 = 37.

• Kjo shume eshte numeruesi I thyeses se te papershtatshme, nderkohe qe emeruesi qendron po ai. Keshtu perfundimisht

themi se: 45

8 =

37

8.


Shembull

• Konvertoni:

– 253

4

– 161

2


Konvertimi I thyesave te papershtatshme ne numra miks

• Per te konvertuar nje thyese te papershtatshme ne nje numer miks: – Pjesetoni numeruesin e thyeses se papershtatshme

me emeruesin.

– Heresi I plote do te jete pjesa e plote e numrit miks; nderkohe qe mbetja e pjesetimit do te sherbeje si numeruesi I pjeses se thyeses se numrit miks.

– Emeruesi ne kete rast qendron I njejte.

• Shembull:

– Konvertoni: a) 17

5; b)

42

6


Shkrimi I nje thyese ne terma me te uleta (Thjeshtimi I thyesave)

• Nese numeruesi dhe emeruesi i nje thyese nuk mund te pjesetohen me asnje numer tjeter (pervec numrit 1), ku mbetja e pjestimit te tyre te jete 0; atehere thuhet se thyesa eshte e thjeshtuar.

• Per shembull, ne thyesen 2

3 numrat 2 dhe 3 nuk mund

te pjesetohen (secili me vete) me asnje numer tjeter (te njejte per te dy) (pervec numrit 1), ne menyre qe mbetja e pjesetimit te secilit me ate numer te jete 0.

• Ne keto kushte thuhet se thyesa eshte e thjeshtuar ne

termat me te ulet. Shembuj: 2

3,

4

11,

12

17 etj.


Shkrimi I nje thyese ne terma me te uleta (Thjeshtimi I thyesave)

• Kur te dy, emeruesi dhe numeruesi mund te pjesetohen pa mbetje nga nje numer (pervec numrit 1), thuhet se thyesa nuk eshte ne termat me te uleta. Psh. 15 dhe 25 mund te pjestohen me 5 (secili) dhe mbetja te jete 0 (per secilin), ndaj thuhet se thyesa 15

25 nuk eshte ne termat me te ulet.

• Keshtu thjeshtimi I thyeses do te rezultonte ne: 15

25=

15:5

25:5=

3

5.


Shembull

• Thjeshtoni thyesat:

–15

40=

–33

39=


Perdorimi I rregullave per plotepjestim

• Shpesh eshte e veshtire te gjendet cili numer e pjeston pa mbetje nje numer tjeter. Rregullat e meposhtme ndihmojne ne shumicen e rasteve:

• Rregullat per plotepjestim • Nje numer mund te pjestohet pa mbetje (dmth. te plotepjestohet)

nga nje numer tjeter nese: – Shifra e fundit eshte nje numer cift si: 0, 2, 4, 6 ose 8 – Shuma e shifrave eshte e pjestueshme me 3, – Dy shifrat e fundit jane te pjestueshme me 4, – Shifrat e fundit eshte 0 ose 5, – Numri eshte cift dhe shuma e shifrave eshte e pjestueshme me 3, – Tre shifrat e fundit jane te pjestueshme me 8, – Shuma e te gjitha shifrave eshte e pjestueshme me 9, – Shifra e fundit eshte 0


Perdorimi I rregullave per plotepjestim

• Numri me I madh qe pjeston pa mbetje (plotepjeston) numeruesin dhe emeruesin quhet “pjestuesi me I madh I perbashket – PMB”.

• Shpesh PMB gjendet me sy te lire, ne raste te tjera gjendet duket perdorur faktorizimin primar.

• Cka eshte “primar”? Numrat primar (prime numbers) jane ata numra qe plotepjestohen vetem me numrin 1 dhe me vetveten. Per shembull: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etj. Numri I vetem primar qe eshte cift eshte numri 2, te gjithe numrat e tjeter primar jane tek.

• Faktorizimi primar I nje numri do te thote ta zberthesh numrin ne produkte te numrave primare, psh. 60 = 2 x 2 x 3 x 5, realizohet ne formen e paraqitur ne tabele.

• Per te gjetur PMB-ne e nje thyese (qe do te thote ta thjeshtosh thyesen ne termat me te ulta te mundshme), beni faktorizimin primar te numeruesit dhe emeruesit njekohesisht. PMB eshte produkti i numrave primar qe faktorizojne njekohesisht emeruesin dhe numeruesin.


Shembull

1. Thjeshtoni ne termat me te uleta thyesat:

a)96

180=

b)75

210=

2. Gjeni thyesen me emerues 48 qe eshte e barabarte (ekuivalente) me thyesen

5

6.

3. Nje kompani ka 120 punonjes te thjeshte dhe 15 menaxhere ne personel. Totali i pagave per punonjesit e thjeshte te kompanise eshte 2,250,000 Euro dhe 750,000 Euro per stafin menaxherial. Gjeni perkundrejt 1: a) Raportin e numrit te stafit menaxherioal perkundrejt punonjesve te

thjeshte b) Raportin e fondit te pages se punonjesve te thjeshte perkundrejt fondit

te pages se stafit menaxherial


Mbledhja dhe Zbritja e Thyesave

• Mbledhja dhe Zbritja e Thyesave te Ngjajshme

• Gjetja e emeruesit te me te vogel te perbashket

• Mbledhja dhe Zbritja e thyesave jo te ngjajshme

• Rishkrimi I thyesave me emerues te perbashket


Mbledhja dhe Zbritja e thyesave te ngjashme

• Thyesat me te njejtin emerues quhen “thyesa te ngjashme”. Shembull: ¾, 5/4, etj.

• Thyesat me emerues te ndryshem quhen “thyesa jo te ngjashme”. Shembull: 4/7, 9/11, etj.

• Mbledhja ose zbritja e thyesave te ngjashme behet duke mbledhur ose zbritur numeruesit, pastaj vendoset rezultati mbi emeruesin e perbashket.

• Shembull: 3

4+

1

4+

5

4=

3+1+5

4=

9

4 dhe

11

15−

4

15=

7

15

• Per te realizuar mbledhjen dhe zbritjen e thyesave jo te ngjashme, gjendet ne fillim “plotepjestuesi me i vogel i perbashket – PVB” e emeruesve te thyesave perkatese.


Gjetja e plotpjestuesit me te vogel te perbashket dhe Mbledhja e Zbritja e Thyesave jo te Ngjashme

• Plotepjestuesi me i vogel i perbashket (PVB) per te dy apo me shume numra eshte numri me I vogel I plote qe mund te pjestoje pa mbetje keta numra.

• Keshtu ne rastin kur duam te mbledhim ose zbresim thyesa jo te ngjashme, gjendet PVB per emeruesat dhe kjo PVB do te quhet “emeruesi me i vogel i perbashket – EVP”

• Shembull: EVP i thyesave ¾, 5/6 dhe ½ eshte 12, derisa 12 eshte numri me i vogel qe mund te pjestohet me 4, 6 dhe 2 dhe eshte pa mbetje.

• Ka dy menyra per gjetjen e EVP-se: – Inspektimi: Me emeruesit e vegjel, mund te gjendet EVP duke inspektuar. Psh. EVP per

1/3 dhe 1/5 eshte 15, numri me I vogel qe mund te pjestoje pa mbetje 3 dhe 5.

– Metoda e Numrave Primare: Nese EVP nuk mund te gjendet me ane te inspektimit, perdorni metoden e numrave primare. Realizoni faktorizimin primar per cdo emerues dhe me pas krijoni kolonat perkatese si me lart. EVP eshte produkti i numrave primare perfaqesues te cdo kolone: qe do te thote per kolonat ku numri shfaqet ne te dy emeruesat, ne produkt do te perfshihet vetem nje here.


Shembull

• Gjeni:

a)7

30+

5

36=

b)14

35−

7

50=

Mbledhja dhe zbritja e thyesave jo te ngjashme behet duke ndjekur hapat si me poshte:

• Hapi 1: Gjeni EVP

• Hapi 2: Rishkruani thyesat jo te ngjashme si thyesa te ngjashme, duke perdorur EVP

• Hapi 3: Mblishni ose zbrisni numeruesit, vendosni rezultatin mbi EVP dhe thjeshtoni me pas thyesen ne terma sa me te uleta.


Shembull

• Gjeni:

a)5

12+

7

18+

11

20=


Mbledhja dhe Zbritja e Numrave Miks

• Mbledhja e Numrave Miks

• Mbledhja me mbartje

• Zbritja e numrave miks

• Zbritja me “borxh”


Mbledhja e Numrave Miks

• Per te mbledhur numrat miks, ne fillim mblidhni thyesat. Pastaj mblidhni numrat e plote dhe kombinoni me pas pergjigjet.

• Shembull: Mblidhni 161

8+ 5

5

8

• Zgjidhje: 161

8+ 5

5

8= (16 + 5)

1+5

8= 21

6

8= 21

3

4

• Duke thjeshtuar pjesen e thyeses se numrit miks 6/8 ne ¾ (pasi kemi pjestuar me 2 emeruesin dhe numeruesin)

• Per te mbledhur numrat miks, ndryshoni numrat miks, nese eshte e nevojshme, ne menyre te tille qe pjesa e thyeses e numrave miks qe mblidhen te kene te njejtin emerues.


Mbledhja me mbartje

• Nese shuma e pjeses se thyesave te numrave miks eshte me e madhe se 1, pjesen e tejkaluar te thyeses mbarteni (ose kalojeni) tek pjesa e plote e numrit.

• Kur mblidhni numrat miks, ne fillim mblidhni pjesen e thyesave. Me pas mblidhni pjesen e plote te numrave. Ne fund kombinoni dy pergjigjet.


Shembull

• Gjeni:

– 92

3+ 6

1

4=

– 341

2+ 23

3

4+ 34

1

2+ 23

3

4=


Zbritja e Numrave Miks dhe Zbritja me “Borxh”

• Per te zbritur dy numra miks, ndryshoni numrat miks, nese ka mundesi ne menyre qe pjeset e thyesave te kene emerues te perbashket. Pastaj zbrisni ne menyre te vecante pjeset e plota me njera tjetren dhe pjeset e thyesave me njera tjetren, ne fund kombinoni pergjigjet.

• Zbritja me “Borxh”: Per te mos rezultat ne vlere negative, marrim borxh nga numri i plote i numrit miks.

• Shembull: 61

5 eshte e njejte si :

6 +1

5= 5 + 1 +

1

5= 5 +

5

5+

1

5= 5 +

4

5= 5

4

5


Shembull

• Gjeni:

– 85

3+ 3

1

12=

– Zbrisni 63

4 𝑑ℎ𝑒 10

1

8

– Zbrisni 157

12 𝑛𝑔𝑎 𝑛𝑢𝑚𝑟𝑖 41.


Shumezimi dhe Pjestimi i Thyesave

• Shumezimi i thyesave te pershtatshme

• Perdorunu u anullimit

• Shumezimi i numrave miks

• Pjestimi i thyesave

• Pjestimi i numrave miks

• Shumezimi ose pjestimi nga numrat e plote


Shumezimi i thyesave te pershtatshme

• Per te shumezuar dy thyesa, ne fillim shumezoni emeruesit per te formuar nje emerues te ri, dhe me pas shumezoni numeruesit per te formuar nje numerues te ri. Shkruani pergjigjen ne terma te shkurtuara, nese ka mundesi per thjeshtim.

• Shembull: Shumezoni 2

3 x

5

8=

2𝑥5

3𝑥8=

10

24=

5

12, pasi thjeshtohet me 2

emeruesi dhe numeruesi.

• Perdorimi i anulimit: Ky problem mund te zgjidhet edhe ne kete forme:

•2

3x

5

8 mund te shkruhet si:

1

3 x

5

4 =

5

12

• Kur behet anullimi, sigurohuni qe te dy: edhe emeruesi edhe numeruesi, te pjestohen me te njejtin numer.


Shumezimi i Numrave Miks

• Per te shumezuar numrat miks, ktheni numrat miks ne thyesa te papershtatshme, perdorni anullimin dhe me pas i shumezoni ato.

• Shembull: Shumezoni 61

4 dhe 2

2

3 si me poshte

shkruhet:

• 61

4 x 2

2

3 =

25

4 x

8

3 =

25

1 x

2

3 =

50

3= 16

2

3

• Numrat miks gjithmone kthehen ne thyesa te papershtatshme para se te behet shumezimi me to. Kur behet shumezimi me numra miks, nuk shumezohen numrat e plote me numrat e plote dhe thyesat me thyesat.


Pjestimi i thyesave

• Per te pjestuar dy thyesa, ktheni thyesen e dyte (pjesetuesin) ne te anasjellten e saj (“kthejeni permbys”) (pjestuesin) dhe me pas shumezoni thyesen e pare me te anasjellten e thyeses se dyte. (E anasjellta e nje theyse behet duke kembyer vendet e numeruesit me emeruesit).

• Shembull: Pjestoni 3

8 me

7

12

•3

8 ÷

7

12 =

3

8 x

12

7 =

3

2 x

3

7 =

3𝑥3

2𝑥7 =

9

14

• Perdotet e anasjellta vetem per thyesen e dyte. Anullimi behet pasi eshte gjetur thyesa e anasjellte.


Pjestimi i numrave miks

• Per te pjestuar numrat miks ne fillim ktheni te gjithe numrat miks ne thyesat e papershtatshme, gjeni te anasjellten e thyeses se dyte, beni anullimin dhe me pas shumezoni.

• Shembull: Pjestoni 35

9 me 2

2

5

• 35

9 ÷ 2

2

5 =

32

9 ÷

12

5 =

8

9 x

5

3 =

8𝑥5

9𝑥3 =

40

27= 1

13

27


Shumezimi ose Pjestimi me numrat e plote

• Per te shumezuar ose pjestuar nje thyese me nje numer te plote, shkruani numrin e plote si thyese, ku numri I plote vendoset ne numerues dhe rolin e emeruesit e luan numri 1, pastaj procedoni si ne shembujt me lart

• Shumezoni:

• 33

4 x 16 =3

3

4 x

16

1 =

15

4 x

16

1 = 15 x 4 = 60

• Pjestoni:

• 33

5 ÷ 3 =

12

5 ÷

3

1 =

12

5 x

1

3 =

4𝑥1

5𝑥1 =

4

5


Konvertimi Thyesa Numra Dhjetore

• Konvertimi I numrave dhjetore ne thyesa

• Konvertimi I thyesave ne numra dhjetore

• Ekuivalenti dhjetor


Konvertimi i numrave dhjetor ne thyesa dhe e kunderta

• Nje metode e zakonshme e konvertimit te nje numri dhjetor ne thyese eshte duke numeruar vlerat e numrit thjetor pas pikes dhjetore dhe duke i regjistruar si 10she, 100she e keshtu me rradhe. Kjo do te sherbeje si emeruesi i thyeses.

• Shembull: 0.47 = 47

100

• Konvertimi I nje thyese ne numer dhjetor behet duke pjestuar numeruesin e thyeses me emeruesin.


Shembull

• Konvertoni ne numra dhjetore:

a)1

8

b)2

3

• Konvertoni ne thyesa:

a) 0.125

b) 1.375


PYETJE?


Documents

Matematika pwr Biznes 1 - kolegjiglobus.com I/03... · Permbajtja •Bazat e Thyesave •Mbledhja edhe Zbritja e Thyesave •Mbledhja dhe Zbritja e Numrave Miks •Shumezimi dhe Pjesetimi