I MATEMATIKA U DOBA RENESANSE

Posle perioda srednjeg veka, u doba renesanse dolazi do oživljavanja kulturnih i naučnih aktivnosti. Tako u 15. i 16. veku, dobrim delom i zahvaljujući otkriću štamparske mašine, raste nivo obrazovanosti i intenziviraju se naučni kontakti. Pre pojave štamparske mašine, mnogi naučni tekstovi su postojali samo u nekoliko ili čak jednoj jedinoj kopiji, a zbog toga je naučna delatnost uglavnom bila vezana za određeno mesto.

Glavna matematička otkrića u doba renesanse su rešenja jednačina trećeg i četvrtog stepena, pa otkriće logaritama. Uz to, bitno se razvio način matematičkog označavanja i veza matematike sa fizikom, astronomijom i umetnošću. Od matematičkih disciplina, najviše su razvijene i razrađene algebra i trigonometrija.

1

II RAZVOJ MATEMATIČKIH OZNAKA

Johann Muller Regiomontanus (1436-1476) rođen je u Konigsbergu, po čemu je i nazvan Regiomontanus. Od 1461. radi kao profesor u Beču, a od 1468. je dvorski astronom kralja Matijasa Korvina. Njegovi najznačajniji doprinosi su u trigonometriji i astronomiji: na osnovu arapskih izvora postavio je temelje moderne trigonometrije (u svom De triangulis omnimodis je bez citiranja prepisao delove iz ibn Aflahova Islah al-Majisti bez da ga navede kao autora). U delu De triangulis omnimodis (napisano 1464., objavljeno 1533.) sistematično obrađuje ravansku i sfernu trigonometriju. Godine 1472. je zabeležio pojavu kometa, a njegovi tačni zapisi omogućili su da se ta kometa 210 godina kasnije identifikuje kao Halleyeva. Kopiju Regiomontanusovih astronomskih tablica (efemerida) na svoje četvrto putovanje poneo je Kolumbo i koristio predviđanje pomračenja meseca za 29.2.1504. kako bi zaplašio neprijateljski nastrojeno pleme jamajkanskih Indijanaca. Regiomontanus je pisao i o reformi kalendara pa ga je papa Siksto IV godine 1475. pozvao u Rim da bi reformisao isti. Papa ga imenuje i za biskupa Regensburga, ali Regiomontanus umire pre nego što je preuzeo dužnost (prema nekim izvorima otrovali su ga sinovi konkurentskog naučnika, a prema drugima je umro od kuge). Kao i mnogi savremenici, nepoznatu označava pomoću reči res, a kvadrat nepoznate sa census.

U renesansi se kao simboli za sabiranje i oduzimanje pojavljuju i ustaljuju u upotrebi današnji simboli + i -. Moguće je da se znak + pojavio već kod Oresmea jer se pojavljuje u jednoj kopiji jednog njegovog dela, ali moguće je i da je prepisivač, a ne Oresme, koristio taj simbol. Prvi put su se u štampanju znakovi + i – pojavili 1489. u knjizi o aritmetici za trgovce Behende und hupsche Rechenung auff allen Kauffmanschft češkog Nemca Johannesa Widmanna (1462-1500), ali samo kao oznake viška ili manjka u poslovnim problemima. Widmann je poznat kao osoba koja je (1486) održala prvo predavanje iz algebre u Nemačkoj, na univerzitetu u Leipzigu. Na slici se vidi stranica iz Widmannove knjige sa korišćenjem znakova + i -.

2

U nemačkom manuskriptu iz 1456., za sabiranje se koristi et, koji se piše nalik na + te je verovatno, da se znak + razvio iz brzog pisanja reči et. Verovatno prva osoba koja je znakove + i - koristila u algebarskim izrazima je Giel Vander Hoecke u knjizi objavljenoj u Antwerpenu 1514. Sigurno je da se početkom 16. veka ti simboli počinju upotrebljavati u današnjem značenju. U Englesku ih je u upotrebu uveo Robert Recorde (1510-1558), koji je i prva osoba koja koristi znak = (do oko 1700. česte su i oznake k, ae i oe).

Znak · za množenje u upotrebu će ući tek kasnije, iako ga krajem renesanse koristi engleski matematičar i astronom Thomas Harriot (1560-1621). U službi ser Williama Raleigha putovao je na istraživačka putovanja u Ameriku. Harriot je prvi koji koristi znakove < i >: "Signum majoritatis ut a > b significet a majorem quam b", "Signum minoritatis ut a < b significet a minorem quam b." U algebri koristi oznake a, aa, aaa, ... za a, a2, a3 i uočio je da ako su a, b, c koreni kubne jednačine, onda je tu jednačinu moguće zapisati u obliku

Važni su i Harriotovi doprinosi kartografiji, a 1603. je izračunao površinu sfernog trougla.

Michael Stifel (1487-1567) je bio nemački vojnik, jedan od ranih Lutherovih sledbenika. Neko vreme je čak živeo kod Luthera, koji mu je našao mesto pastora koje je Stifel izgubio posle netačnog predskazanja kraja sveta za 18.10.1533.

U matematici se bavio aritmetikom i algebrom; tako kod njega susrećemo spominjanje iracionalnosti kod brojeva, iako mu se razmatranje temelji na desetoj knjizi Euklidovih elemenata. Stifel kaže da iracionalni broj ne može biti racionalan, ali može biti izmedu dva racionalna. Posmatra samo pozitivne brojeve, a negativne smatra apsurdnim (ali ih ipak proglašava manjima od nule, kaže da je nula između pozitivnih i negativnih brojeva). Množenje označava dopisivanjem, a deljenje pomoću desne zagrade; npr. 24 : 8 piše 8)24. Taj način označavanja množenja i deljenja Stifel koristi u svom glavnom delu Arithmetica integra (1544.). U tom se delu po prvi put u Evropi pojavljuje i Pascalov trougao, a koriste se i znakovi +,−, . Stifel koristi i simboličke oznake za nepoznate i stepene, naše A piše 1A, naše A2 piše 1AA, naše A3 piše 1AAA, ...

Zapis eksponenta kao superskripta prvi koristi Francuz Nicolas Chuquet (1445-1500), po njemu 123 znači 12x3 . Chuquet je i prvi matematičar koji koristi nulu kao eksponent. Chuquet je za život zaradjivao kao prepisivač, a njegova Triparty en la science des nombres je prva francuska knjiga o algebri (1484.) i u tom su delu korišćene spomenute oznake. Ipak, ta knjiga je imala mali uticaj, jer je štampana tek 1880. godine. Za koren koristi R, za + koristi ~p, a umesto zagrada podvlačenje.

Kod Chuqueta susrećemo i izraze milion, bilion i trilion. Racionalne eksponente je koristio još Oresme, a u renesansi ih izričito koristi Simon Stevin (1548 -1620). U renesansi se takođe pojavljuje znak za kvadratni koren. Godine 1525. u Die Coss poljski Nemac Christoff Rudolff (1499-1545) koristi znak za kvadratni koren, a za više korene ne koristi indekse, nego menjanje izgleda.

3

Die Coss je prva nemačka knjiga o algebri (ime joj potiče od latinskog cosa tj. stvar, što je tada uobičajen izraz za nepoznatu). Po toj knjizi se nemački algebristi 16. veka zovu kosisti. Rudolff je računao sa racionalnim i iracionalnim eksponentima.

Nemačka deca još i danas uče aritmetiku "po Adamu Riese-u". Adam Riese (1492-1559) je bio Rechenmeister i Hofarithmeticus (dvorski aritmetičar), zatim inspektor rudnika i štošta drugo u nizu gradova. Njegovi su aritmetički udžbenici pisani za svakog i opisuju četiri osnovne operacije (značajno je da u to doba znanje deljenja nije uobičajeno - predavalo se samo na jednom univerzitetu). Riese opisuje metode pomoću abakusa i novu metodu na temelju indijske. Nakon njega se znakovi + i - definitivno ustaljuju u upotrebi.

U Italiji fra Luca Pacioli (1445-1517) godine 1494. objavljuje delo Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, poznato jednostavno kao Summa, koje sadrži svu tada poznatu matematiku. Iako bez originalnih doprinosa, ovo će delo biti važna osnova daljeg napretka matematike. Pacioli koristi rescensus terminologiju i ima vrlo pregledan način označavanja: za + koristi p, za - koristi m, za koren koristi R. Luca Pacioli svoje je znanje matematike usavršio u službi bogatog venecijanskog trgovca, a 1470-ih godina studirao je teologiju i postao franjevac. Mnogo je putovao i

predavao matematiku na raznim univerzitetima, među onim i u Zadru koji je u to doba bio deo Mletačke republike. Početkom 16. veka daje bitan doprinos primeni matematike na umetnost.

Veliki doprinos razvoju matematičke notacije daje i znameniti Francois Viete (1540- 1603). On predlaže korišćenje slova za konstante i promenljive (suglasnike za konstante, samoglasnike za promenljive). Za oznake sabiranja koristi znakove + i -, deljenje označava razlomačkom crtom, a za oznaku množenja koristi riječ in. Jednakost dva algebarska izraza označava latinskom reči aequibitur.

4

Rafael Bombelli (1526-1572) takođe ima razvijenu notaciju, s tim da zavisno o tome radi li se o rukopisu ili pisanom izdanju postoje dva oblika njegove notacije.

5

III RAZVOJ ALGEBRE U RENESANSI

Još od vavilonskog doba bilo je poznato kako naći (pozitivna) rešenja linearne i kvadratne jednačine aritmetičkim i geometrijskim putem. Omar Khayyam je dalje razvio metode za geometrijsko rešavanje kubnih jednačina, a Fibonacci je aproksimativno rešio jednu kubnu jednačinu. Podsetimo se i da su srednjevekovni Kinezi aproksimativno rešavali kubne jednačine. Nasuprot tim aproksimativnim rešenjima kubne jednačine, rešenja linearne i kvadratne jednačine poznata od davnina, bila su potpuna i ekvivalentna današnjim formulama. Kao što znamo, ta se rešenja mogu dobiti iz koeficijenata jednačine pomoću četiri osnovne računske operacije i korenovanja. Takva rešenja zovemo rešenja u radikalima. Početkom renesanse poznata su dakle samo rešenja algebarskih jednačina prvog i drugog stepena u radikalima. Renesansa će doneti takva rešenja i za jednačine trećeg i četvrtog stepena (bikvadratne jednačine). Nemogućnost rešenja opšte jednačine stepena većeg od 4 u radikalima biće dokazana tek u 19. veku (N. H. Abel i E.Galois).

Fra Luca Pacioli u svojoj Summi, između ostalog opisuje i rešenje jednačina oblika x4 = a + bx2 pomoću supstitucije, dok za x4 + ax2 = b i x4 + a = bx2 ne daje rešenja. Uočimo da su iz renesansne perspektive spomenute tri jednačine koje bismo danas zvali jednim tipom zapravo tri tipa jednačina: kako još uvek nije uobičajena upotreba negativnih brojeva, bitno je koji članovi se nalaze sa koje strane jednakosti.

Prvi bitan napredak na pitanju rešenja jednačina trećeg stepena ostvaruje Scipione del Ferro (1465-1526) iz Bologne. Predavao je aritmetiku i geometriju na univerzitetu u Bologni. Del Ferro je imao kontakt s Paciolijem koji je 1501./2. podučavao u Bologni. On je prva osoba koja, oko 1515., daje (gotovo) potpunu metodu za rešenje jednačina tipa

x3 + ax = b

Zapravo, to je jedini tip kubne jednačine koji je potrebno znati rešiti: matematičari renesanse znaju da je kvadratni član uvek moguće ukloniti iz kubne jednačine pomoću supstitucije, pa razlikuju dva tipa kubnih jednačina(x3 + ax = b i x3 = ax + b), zbog već navedenih razloga (zahtev a, b > 0).

Kako se uklanja kvadratni član iz kubne jednačine?

Ako je data jednačina x3 + ax2 + bx + c = 0, supstitucija x=y+k daje

y3 + (3k + a)y2 + (3k2 + 2ak + b)y + (k3 + ak2 + bk + c) = 0 , dakle za dobijamo

, da je kubna jednačina bez kvadratnog člana. Zato je

dovoljno naći metodu za rešenje takve jednačine.

6

Nije opstalo ni jedno del Ferrovo delo, jer je svoje rezultate čuvao u tajnosti i otkrio ih je samo nekim bliskim prijateljima. Pred smrt je svoju metodu otkrio Antoniu del Fioru, imao ju je zapisanu i u beležnici koju će kasnije videti Ferrari. Ubrzo posle del Ferrove smrti pročulo se da je nadjeno rešenje kubne jednačine, a Niccolo Tartaglia (1500-1557) izjavljuje (1530) da zna rešiti drugi tip kubne jednačine, x3 + ax2 = b. Tartaglia je bio samouki matematičar iz Brescie. Osim po rešenju kubne jednačine, poznat je i po doprinosima balistici (uočio je da projektil ima najveći domet ako se ispali pod uglom od 45º) i knjizi o teoriji brojeva koja je sadržala zadatke iz zabavne matematike kao što je:

Zadatak: Tri para žele preći reku u čamcu koji može prevesti dve osobe. Ni jedna žena ne sme biti sama s muškarcem koji joj nije muž. Kako će parovi preći reku?

Na Tartagliainu izjavu o poznavanju rešenja drugog tipa kubne jednačine, Fior ga izaziva na takmičenje u kome bi svaki zadao drugom po trideset zadataka, a pobednik je onaj, koji u datom roku reši više zadataka. Tartaglia je pretpostavio da će Fior, koji je bio samo osrednji matematičar, zadati zadatke tipa x3 + ax = b pa je brzo razvio vlastitu metodu za taj tip. Tartagliaina pretpostavka je bila tačna pa je on u nekoliko sati rešio sve Fiorove zadatke, dok Fior nije uspeo rešiti Tartagliaine zadatke drugog tipa. Tom pobedom Tartaglia stiče slavu.

Za tu pobedu je čuo milanski matematičar Girolamo Cardano (1501-1576), koji se upravo spremao da objavi svoje delo Practica arithmeticae. Cardano poziva Tartagliau sebi u Milano, da pokuša da ga nagovori da mu oda svoju metodu. Tartaglia i početku odbija, ali kad Cardano spomene da je o Tartagliai govorio sa zapovednikom vojske u Milanu, Tartaglia želeći da promeni loše plaćeni posao dolazi u Milano. Cardano ugošćuje Tartagliau, spomenuti zapovednik je odsutan iz Milana, a Tartaglia pristaje odati metodu, uz zavet da se Cardano zakune da je neće objaviti pre nego je sam Tartaglia objavi. Cardano daje traženu zakletvu, ali će je prekršiti objavom svog dela Ars Magna (1545), u kojem doduše navodi Tartagliau kao autora metode, a uz nju objavljuje i svoje proširenje metode i rezultate svog studenta Ferrarija o rešenju jednačine četvrtog stepena. U Cardanovu odbranu može se reći da je Tartaglia dugo izbegavao da objavi svoju metodu, a da je njeno modifikovanje do konačnog rešenja kubne jednačine Cardanov rezultat. Za Tartagliau je ovo objavljivanje bila katastrofa, jer je njime izgubio prednost na takmičenjima (koja su uvek osiguravala određenu finansijsku dobit) pa je optužio Cardana za krađu i izazvao ga na takmičenje. Na to takmičenje Cardano šalje Ferrarija koji pobeduje Tartagliau i Tartaglia je bio prisiljen otići sa takmičenja, pa Tartaglia gubi i prestiž i dohodak.

7

Cardano je u matematičku istoriju ušao prvim objavljivanjem potpunih rezultata o rešenju jednačina trećeg i četvrtog stepena. Uz to je objavio i knjižicu Liber de luda aleae o kockanju (objavljena tek 1663.) koja daje praktična uputstva za kockanje i osnove teorije verovatnoće.

U Ars Magni opisana je modifikovana Tartagliina metoda za rešenje kubne jednačine, i Ferrarijeva metoda za rešenje jednačine četvrtog stepena.

Uz to, u njoj se nalazi i prva pojava kompleksnih brojeva: kad je svoju metodu primenio na jednačinu x3 = 15x + 4, za koju je znao da ima rešenje x = 4, u postupku mu se pojavio . Kako je bio siguran u metodu i kako

je ona davala dobar rezultat, prihvata taj za njega besmisleni broj kao međukorak u rešenju.

8

IV OTKRIĆE LOGARITAMA

Logaritme su izmislili John Napier i Joost Bürgi.John Napier (Neper, 1550-1617) bio je škotski aristokrata, fanatični protestant, glavni interes bila mu je teologija i održavanje svojih imanja, a matematika hobi. Njegov najpoznatiji, ali ne i jedini matematički rezultat je tablica logaritama. Njegov rad, Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614) sadrzao je 57 stranica objasnjenja i 90 stranica brojevnih tablica sličnih prirodnim logaritmima. Knjiga ima takodje, odličnu diskusiju o teoremama u sfernoj trigonometriji, uglavnom poznatu kao Napierova pravila o kružnim delovima. Njegov izum logaritama je brzo prenešen na Gresham koledžu, i engleski matematičar Henry Briggs posećuje Napiera 1615. U medjuostalom, diskutovali su o usavršavanju Napierovih logaritama, uz prisustvo matematicke konstante e (tačnije, celobrojni deo broja e puta veliki stepen broja 10), što je bilo teško izvodljivo. Napier je predao proračun prepravljene tablice. Napredni proračun dostupan sa logaritmima, inverz stepena broja ili exponencijalna notacija je ucinila ručno računanje mnogo bržim.

Jost Bürgi (1552-1632) je smatran za najinovativnijeg i jednog od najstručnijih mehaničara njegovog vremena. Takodje, bilo je predloženo da bude ubrajan medju vodeće astronome njegovog vremena. Nedostajalo mu je formalno obrazovanje i nije znao latinski jezik, tada jedini izdavački jezik. Izmislio je logaritme nezavisno od John Napiera, i njegov metod je drugačiji od Napierovog. Napier je objavio svoj rad 1614. Postoje dokazi da je Bürgi došao do svog otkrića rane 1588., 6 godina pre nego što je Napier počeo da radi na toj ideji. Odlaganjem objave svog rada do 1620., Bürgi gubi pravo prioriteta u istorijskom otkriću.

9

V PRIMENE MATEMATIKE U FIZICI I ASTRONOMIJI

U 16. veku astronomija još se temelji na Ptolomejevom Almagestu s geocentričnim sistemom. Prvi koji predlaže sistem planetarnih orbita i heliocentrični sistem je Poljak Nikola Kopernik (1473-1543). Kopernik (na slici desno) je verovatno samo hteo poboljšati Ptolomejev sistem, ali njegova ideja će postati revolucionarna. Prve ideje heliocentričnog sistema imao je oko 1510. godine i u to doba Vatikan podržava objavljivanje tih ideja (Kopernikova knjiga na "crnu listu" dospeva tek u doba protivreformacije oko 1600. godine). Kopernik tek 1543. objavljuje De revolutionibus orbium coelestium u kojoj se nalazi potpun pregled njegove nove teorije da se Zemlja i druge planete kreću oko Sunca. Kao što je poznato, kopernikanska teorija nailazi na jak otpor, a jedan od razloga bio je i u tome, što su merenja bolje odgovarala ptolomejskom nego kopernikanskom sistemu. Razlog tome bila je pogrešna Kopernikova pretpostavka da su orbite planeta kružne.

Pristalica kopernikanske teorije bio je Galileo Galilej (1564-1642) koji je studirao medicinu, ali je studije prekinuo kako bi se posvetio fizici i matematici. Poznat je niz anegdota iz Galileovog života, poput one da je otkrio nezavisnost perioda oscilacije o amplitudi posmatrajući lampu na plafonu za vreme mise. Takođe prema anegdoti, bacanjem predmeta s tornja u Pizi otkrio je nezavisnost akceleracije padajućeg tela od njegove mase. Galileo je ipak najpoznatiji kao astronom. Prvi je koji koristi teleskop za proučavanje nebeskih pojava i tako otkriva Jupiterove mesece, čime dokazuje mogućnost kretanja planeta oko Sunca i potvrdjuje kopernikansku teoriju. Galileo je bio vrlo znamenit i slavljen naučnik, popularan jer je pisao na

italijanskom (a ne za nauku uobičajenom latinskom) jeziku. Radio je za poznatu porodicu de Medici. Kako je bio osoba kojoj je bilo jako stalo do priznanja okoline, prvo se 1616. izjašnjava protiv Kopernika, a onda, nakon promene mišljenja u naučnim krugovima,

10

1632. podržava kopernikansku teoriju. U to doba jezuiti podržavaju heliocentrični sistem, ali službena crkva ga napada, pa se 1633. Galileo pred inkvizicijom odriče kopernikanskog stava.

Treći veliki renesansni astronom, bio je Johannes Kepler (1571-1630). Iako su njegova dela kombinacija astrologije i astronomije, ostvario je izuzetan naučni doprinos. Studirao je u Tubingenu, a zatim radio kao profesor u austrijskom Gratzu. Već rano saznaje za kopernikansku teoriju i pokušava unutar nje naći objašnjenje različitih udaljenosti planeta do Sunca. Prva njegova ideja koristi pravilne poligone: zamislimo li da su putanje planeta kružnice u čijem središtu je Sunce, Kopernik pretpostavlja da se može upisati pravilni trougao između putanja Jupitera i Saturna i dobija dosta tačnu meru njihovih udaljenosti od Sunca. U sledećem koraku pretpostavlja mogućnost upisivanja kvadrata izmedu putanja Jupitera i Marsa, ali uočava da dobijeni rezultati bitno odstupaju od merenja. Zato, pokušava sa modifikovanom idejom u kojoj su putanje planeta na sferama, a izmedu po dve susedne sfere upisuju se Platonova tela.

Kako je tada poznato šest planeta, potrebno je pet tela - tačno koliko ima Platonovih tela. Kepler je bio sklon mistici i smatra to argumentom za svoju teoriju. Koristeći Ptolomejeve podatke i uz lagano prilagođavanje, ovaj model uspeva prilagoditi poznatim merenjima pa ga objavljuje 1596. (Kosmičke misterije). To delo je, iako bitno obeleženo pitagorejskom mistikom brojeva i astrologijom, prva javna podrška kopernikanskog sistema. Kopiju dela šalje i Galileju, koji glumi prijateljstvo, ali odbija da mu pošalje svoje knjige i pozajmi teleskop.Kepler je ipak svestan da bi svoju teoriju trebao proveriti na novijim merenjima. Danski astronom Tycho Brahe (1546-1601) tada je jedini koji ima vrlo egzaktne nove rezultate merenja, ali nije bio spreman da ih da drugima na uvid, jer na temelju njih želeo je da izradi svoju modifikaciju ptolomejskog sistema. Brahe je zagovornik

geocentričkog sistema, a argument mu je da ako bi Zemlja rotirala oko Sunca, relativni položaji zvezda morali bi se menjati gledano s raznih pozicija na Zemlji, a za to nije imao dokaza. Brahe u to doba biva pozvan da bude carski mathematicus u Pragu, glavnom gradu Svetog rimskog carstva. Tu Kepler 1599. uspeva da mu postane asistent. Brahe mu daje posao proučavanja orbite Marsa, koja je bila najočitije različita od kružnice. Kad Brahe 1601. umire, Kepler ga nasledjuje na dužnosti, koja je uključivala i izrade

11

horoskopa za cara. Iako zagovornik astrologije, Kepler je isticao da astronom ne može živeti od svoga posla ako ne podstiče ljude u verovanju da svoju sudbinu mogu saznati iz zvezda. Koristeći Braheove podatke, Kepler formuliše svoja tri poznata zakona kretanja planeta:

1. Planete se oko Sunca kreću po elipsama, u čijem jednom fokusu je Sunce.2. Radijusi (razdaljine planeta sa Suncem) u jednakim vremenskim razmacima

prelaze jednake dužine.3. Kvadrat godine (vremena obilaska) planeta je proporcionalan kubu velike ose

pripadne orbite.

Prva dva zakona objavio je u Astronomia nova (1609), a treći u Harmoniae mundi 1619. godine. Prvi je zakon bio slabo prihvaćen i smatralo se da zahteva dodatne provere. Drugi je dobio grubom metodom integrisanja, a u javnosti je bio ignorisan gotovo osamdeset godina. Zanimljivo je da je treći zakon uglavnom odmah prihvaćen. Kasnije će ta tri zakona potvrditi Newtonovu teoriju univerzalne gravitacije. Usled političkih događaja dolazi do nedostatka novca u carskoj blagajni te Kepler gubi posao. Nakon toga se izdržavao izradom horoskopa. Poznata je priča kako ih je koristio i za sebe: kad je trebao izabrati drugu ženu, između kandidatkinja izabrao ju je na osnovu horoskopa. Kepler se bavio i poliedrima. Razvio je grubu metodu integracije, netačniju od antičke ekshaustije, ali koja je ipak bitna kao prethodnik otkrića integralnog računa. Njome je izračunao zapremine niza rotacionih tela.

Holandski inženjer Simon Stevin (1548 -1620) objavio je nekoliko značajnih dela iz fizike. Posebno je važna njegova Statika i hidrostatika iz 1586. u kojoj se bavi trouglom sila (što možemo smatrati početkom vektorskog računa), pitanjima ravnoteže i vazduhom. Stevin tim delom ostvaruje prvi napredak na tom području posle Arhimeda. Za matematiku je posebno značajno delo De Thiende (Desetina) iz 1585. u kojem daje prvo izlaganje teorije decimalnih razlomaka i decimalnog mernog sistema. Ranije je uočio da decimalni razlomci daju beskonačni algoritam za aproksimaciju realnih brojeva. Imao je i intuitivnu koncepciju kontinuuma realnih brojeva, a dao je i opšte pravilo za numeričko tj. aproksimativno rešavanje jednačina.

12

VI MATEMATIKA I LIKOVNA UMETNOST

Još u antičko doba umetnici su pokušavali dvodimenzionalno, ali realistično, prikazati trodimenzionalne objekte. Tako iz doba helenizma postoji niz slika sa više ili manje korektno prikazanom perspektivom. Do renesanse ne postoji dokaz da je iko od ranijih umetnika razumeo ili razradio matematičke zakone pravilnog perspektivnog crtanja i slikanja.

U 13. veku Giotto koristi određena pravila pri izradi slika: linije iznad horizonta (u perspektivi se pod horizontom podrazumeva pravac u visini očiju, a koji se na vertikalnoj slici nalazi paralelno sa tlom) na slici idu prema dole, a one ispod horizonta prema gore, one levo ili desno od tačke pogleda (tačka na horizontu koja je tačno nasuprot oka posmatrača) idu prema tački pogleda. Iako nije razvio matematički precizan pristup, Giotto je prvi koji je razradio pravila linearne perspektive. Prvi koji precizno formuliše zakone linearne perspektive je arhitekta Filippo Brunelleschi (1377 -1446). Oko 1420. ili nešto ranije on postavlja glavno svojstvo linearne perspektive: jedinstvena tačka prema kojoj "konvergiraju" svi međusobno paralelni pravci koji su u istoj ravni (što je ustvari početak projekcione geometrije). Brunelleschi je razvio i precizna pravila za određivanje veličine objekta na slici zavisno od njegove udaljenosti od slike. Ipak, Brunelleschi nikad nije zapisao objašnjenje pravila linearne perspektive; to će prvi učiniti Leone Alberti (1404 -1472) u svoja dva dela De pictura (na latinskom, 1435) i Della pittura (na italijanskom, 1436). Ne radi se o istom delu na dva jezika, već o dva dela o istoj temi upućena različitoj publici: latinsko je bilo više tehničko i usmereno obrazovanijoj publici, dok je italijansko bilo popularnije pisano. Najpoznatiji primer iz Albertijevog dela je prikaz poda prekrivenog kvadratnim pločicama:

Alberti objašnjava i kako pomoću gornje mreže konstruisati pravilne perspektivne slike drugih objekata, npr. kruga.

Među svim delima o perspektivi napisanih u doba renesanse u Italiji, najposvećenije matematici je Trattato d'abaco (ca. 1450) Pierra della Francesce (1412-1492). Della Francesca je bio ne samo umetnik, nego i matematičar, a u spomenuto delo

13

je uključio i delove o aritmetici i algebri i dugi deo o geometriji, i to ne samo prikaz poznatih rezultata, već i svoje originalne doprinose. U detaljnom prikazu Arhimedovih tela uključuje i njihove pravilne perspektivne slike.Matematičke principe perspektive Pierro della Francesca daje u delu De prospectiva pingendi (ca. 1470). U prvom delu iznosi geometrijske teoreme euklidskog stila, ali sa numeričkim primerima, te teoreme o perspektivi ravanskih likova. U drugom delu objašnjava perspektivni

prikaz prizmi, a u trećem komplikovanijih objekata za koje koristi komplikovanu metodu koja zahteva mnogo računa, ali se u suštini svodi na korišćenje koordinatnog sistema.

Jedan od najznačajnijih matematičara italijanske renesanse, fra Luca Pacioli (1445-1517) na osnovu della Francescinih dela piše svoj prikaz pravila perspektive Trattato della pittura. Za umetnost je zanimljivo još jedno njegovo delo: Divina proportione (1509). Pacioli je oko 1496. na poziv milanskog vojvode Ludovica Sforze došao podučavati matematiku na njegovom dvoru i tu je upoznao Leonarda da Vincija (1452 -1519) i sa njime se sprijateljio. U spomenutoj Divina proportione, Pacioli se bavi zlatnim presekom, preko Euklidovih teorema, Platonovih i Arhimedovih tela do važnosti zlatnog preseka, koji je u doba renesanse proglašen idealnim merilom, za umetnost. Knjigu je ilustrovao da Vinci.

Da Vinči je i sam imao mnogo interesa za geometriju i dao vlastite prikaze i objašnjenja perspektivnih pravila i konstrukcija, a bavio se i inverznim problemom perspektive: kako za zadatu sliku odrediti gde se nalazi oko posmatrača ako je prikaz perspektivno korektan.

Pored italijanske renesanse, najvažniji doprinos perspektivi i time matematičkoj pozadini slikarstva dao je Albrecht Durer (1471 -1528). Durer je bio Nemac mađarskog porekla, a već sa trinaest godina istakao se kao slikar. Na putu u Italiju 1494. saznaje za Paciolijeva

14

dela i važnost matematike u slikarstvu pa po povratku u Nurnberg počinje proučavati matematička dela. Od oko 1500. se u Durerovim delima može otkriti matematički uticaj. Naročito su poznati njegovi bakrorezi koji prikazuju vezu slike i originala po perspektivnim pravilima.

Kako bi produbio znanje matematike, 1505 -1507 ponovo putuje po Italiji pa po povratku skuplja materijal za pisanje dela o primeni matematike u umetnosti. To delo nikad nije završio. Najpoznatija Durerova "matematička" slika Melanholija (1514) donosi prvi magični kvadrat viđen u Evropi, na kojem je godina nastanka unešena kao brojevi 15 i 14 u donjem redu.

Posle matematički vrlo zahtevne Rasprave o proporciji (1523), Durer 1525. objavljuje svoje znamenito delo Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit (Pravila u merenju šestarom i lenjirom). Taj tekst je detaljan prikaz teorije senki i perspektive, a ujedno se radi o prvoj matematičkoj knjizi na nemačkom jeziku (osim jedne ranije knjige o aritmetici za trgovce). U ovom delu Durer se bavi krivama (između ostalog Arhimedovom spiralom, konhoidom i po njemu nazvanim Durerovim krivama), egzaktnim i aproksi-mativnim konstrukcijama pravilnih poligona, geometrijskim telima, astronomskim instru-mentima, i naravno perspektivom, uključivši i

15

mehanička pomagala za perspektivne ko-nstrukcije. Pred samu smrt, Durer je završavao Raspravu o proporciji u kojoj se mogu naći počeci nacrtne geometrije.

Literatura:

1. http://www.mathos.hr/~bruckler

2. Wikipedia

3. Matematika kroz kulture i epohe,Vladimir Devide,Zagreb 1979.

4. Stvaranje matematike (Naslov originala “Mathematics in the Making”), Lanselot Hogben,Zagreb 1972.

16