Vadovėlis gimnazijų II klasei

PIRMOJI KNYGA

MatematikaMat

emat

ika10

Vado

vėlis

gim

nazi

jų II

kla

sei

PIRM

OJI

KN

YGA

Matematikos vadovėlio mokomąjį komplektą gimnazijų II klasei sudaro:

VadovėlisPirmoji knygaAntroji knyga

Mokytojo knyga

Uždavinynas

Savarankiški ir kontroliniai darbai

10ISBN 978-5-430-05439-7

�

Turinys

4. Tiesės ir plokštumos erdvėje 644.1. Stereometrijos pirminės sąvokos. Tiesių tarpusavio padėtys 644.2. Tiesių ir plokštumų lygiagretumas 724.3. Kampai erdvėje. Tiesės ir plokštumos statmenumas 774.4. Kampai tarp plokštumų. Statmenosios plokštumos 844.5. Kūnų kirtimas plokštuma 88Santrauka 94Pasitikrinkite 96

3. Trigonometriniai sąryšiai stačiajame trikampyje 403.1. Kampų matavimas 403.2. Smailiojo kampo sinusas ir kosinusas 433.3. Smailiojo kampo tangentas 483.4. To paties argumento trigonometrinių funkcijų tapatybės 513.5. Stačiojo trikampio sprendimas 53Santrauka 60Pasitikrinkite 61

2. Kvadratinės ir racionaliosios nelygybės 202.1. Nelygybė. Nelygybės sprendiniai. Ekvivalentieji pertvarkiai 202.2. Kvadratinės nelygybės 222.3. Racionaliųjų nelygybių sprendimas intervalų metodu 292.4. Trupmeninių racionaliųjų nelygybių sprendimas 32Santrauka 36Pasitikrinkite 37

1. Skaičiai ir skaičiavimai 51.1. Paprasčiausi kvadratinių šaknų pertvarkiai 51.2. Kubinės šaknys 81.3. Realiųjų skaičių palyginimas. Tikslios ir apytikslės reikšmės 12Santrauka 18Pasitikrinkite 19

5. Lygčių sistemos 985.1. Lygčių sistemų sprendimas grafiniu būdu 985.2. Lygčių sistemų sprendimas keitimo būdu 1045.3. Uždavinių sprendimas sudarant lygčių sistemas 107Santrauka 112Pasitikrinkite 113

Atsakymai 114 Dalykinė rodyklė 124 Priedai 126

�

Turinys

7. V–X klasės matematikos kurso kartojimas 467.1. Skaičiai ir skaičiavimai 467.2. Kombinatorika, tikimybių teorija ir statistika 607.3. Algebriniai reiškiniai 807.4. Lygtys, nelygybės, lygčių sistemos, nelygybių sistemos 867.5. Funkcijos 907.6. Planimetrija 997.7. Stereometrija 1247.8. Trigonometrija 129

6. Kombinatorika ir tikimybės 56.1. Kombinatorinės sudėties taisyklės 56.2. Kombinatorinės daugybos taisyklės 96.3. Kombinatorika be formulių 156.4. Elementarieji įvykiai. Įvykių reiškimas elementariaisiais įvykiais 226.5. Įvykio tikimybė 276.6. Kombinatorikos taikymas apskaičiuojant įvykių tikimybes 326.7. Įvykio tikimybės apskaičiavimas, kai bandymas nėra klasikinis 36Santrauka 42Pasitikrinkite 43

Atsakymai 132 Pagrindiniai žymenys 153 Dalykinė rodyklė 155 Naudota literatūra 159

Mieli gimnazistai! 4

40

3.1. Kampų matavimas

ŠIAME SKYRELYJE

Pakartosite apskritimo lanko ilgio formulę. Prisiminsite centrinius kampus, kampo didu­mo apskaičiavimo formules.

Trigonometriniai sąryšiai

stačiajame trikampyje3

Prisiminkime, ką žinome apie apskritimo lanką, centrinį kampą ir jų matavimą iš žemesniųjų klasių matematikos kurso.

3.1 pav.

3.2 pav.

•Apskritimo lañko ilgisl= πR 180° · α° (3.1 pav.);

•kampo didùmas matuojamas láipsniais ir radiãnais;

• 1° – tai centrinis kampas, atitinkantis apskritimo lanką, kurio ilgis lygus 360

1 apskritimo ilgio;

• 1 radianas – tai centrinis kampas, atitinkantis apskritimo lanką, kurio ilgis lygus to apskritimo spindulio ilgiui (3.2 pav.);

• α° kampo radianinis matas yra α = π 180° · α°rad;

• 1 rad kampas turi 180π laipsnių, t. y.

1 rad = 180°π ≈ 57,3�;�;;

• 1� kampas turi� kampas turi kampas turi π 180 radianų, t. y.

1° =° == π 180 rad ≈ 0,0175 rad.

41

Į apskritimo, kurio spindulio ilgis 30 cm, lanką remiasi 36° didumo centrinis kampas. Apskaičiuokime to lanko ilgį.

Taikome formulę l = πR 180° · α°:

l = π 30 180° · 36° = 6π (cm).

Kampą α = 72° išreikškime radianais. α = π

180° · 72° = 52π = 0,4π.

Kampą α = 125 π išreikškime laipsniais.

α = 180°π · 12

5 π = 180° · 512 = 75°.°..

Kampą α = 47°15´ išreikškime radianais.Pirmiausia minutes paverskime laipsnio dalimis: 1° – 60 minučių, x° – 15 minučių; x = 15 : 60 = 0,25°.Tuomet α = 47°15´ = 47,25°.α = π

180° · 47,25° = π 180 · 47 4

1 = π 180 · 4

189 = 8021π.

Koordinačių plokštumoje pavaizduokime šiuos centrinius kampus:45°; 110°; 180°.

1

2

3

4

5

3.3 pav.

Darbas grupėmis Remdamiesi lentelės duomenimis, įsitikinkite kai kurių dažnai pasitaikančių

kampų laipsninio ir radianinio mato sąryšiu:

0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

0 π 2π π 6

π 4

π 3

π 2

3π 2

3 Trigonometriniai sąryšiai stačiajame trikampyje

42

3.1 Išreikškite šių kampų didumus radianais: 12�; 12�30´; 27�; 120�; 140�.

3.2 Išreikškite šių kampų didumus laipsniais: π

18; 7π 20 ; π

9 ; 3π 4 .

3.3 Koordinačių plokštumoje nubrėžkite apskritimą, kurio spindulys r = 2 cm, ir pažymėkite šiuos centrinius kampus: 30�, 120�. Apskaičiuokite juos atitinkančių apskritimo lankų ilgį (0,1 cm tikslumu).

3.4 Apskaičiuokite kampų didumus (radianais), kurie šiuos smailiuosius kampus papildo iki stačiojo kampo:

7π 20 ; π

12.

3.5 Apskaičiuokite kampų didumus (laipsniais), kurie yra gretutiniai šiems kam­pams:

2π 5 ; 11π

20 ; 7π 9 .

3.6 Apskritimo, kurio spindulio ilgis 13 cm, lanką atitinkantis centrinio kampo didumas 130�. Apskaičiuokite to lanko ilgį (π ≈ 3,14).

3.7 Apskritimo lanką atitinka 100� centrinis kampas, o jo ilgis – 10 cm. Apskaičiuo­kite to apskritimo spindulio ilgį (π ≈ 3,14).

3.8 Koordinačių plokštumoje pavaizduokite šiuos centrinius kampus: 10�; π

8 ; 6π 3 .

3.9 Apskaičiuokite kampo didumą (laipsniais), kurį valandinė laikrodžio rodyklė nubrėžia per:

a) 1 h; b) 2,5 h; c)3h; d) 4 h; e) 12 h; f) 24 h.

3.10 Apskaičiuokite kampo didumą (radianais), kurį minutinė laikrodžio rodyklė nubrėžia per: a) 1 h; b) 2,5 h; c) 3 h; d) 4 h; e) 12 h; f) 24 h.

3.11 Sūpuoklės, įtvirtintos taške C, svyruoja tarp taškų AirB 7 metrų ilgio lanku (3.4 pav.). Žinoma, kad AC = 6 m. Apskaičiuokite kampo ACB didumą (laipsnio tikslumu). 3.4 pav.

43

3.2. smailiojo Kampo sinusas ir Kosinusas

ŠIAME SKYRELYJE

Susipažinsite su trigonometrinėmis funkcijomis sinusu ir kosinusu. Išmoksite apskaičiuo­ti smailiojo kampo sinusą ir kosinusą. Iš trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės ir skaičiuotuvu rasite laipsniais išreikšto kampo sinuso ir kosinuso reikšmes nurodytu tiks­lumu. Apskaičiuosite tikslias 30°, 45° ir 60° kampų sinuso ir kosinuso reikšmes.

Koordinačių plokštumoje nubrėžkime apskritimą taip, kad jo centras sutaptų su koordinačių pradžia, o spindu­lys būtų lygus 1. Toks apskritimas vadinamas vie­ne­tiniù apskritimù.

Pasukus apskritimo spindulį OM0 apie tašką O bet kokiu kampu α (išreikštu laipsniais 0� ≤ α� ≤ 90�), taš­kas M0 pereina į tašką Mα (3.5 pav.). Taško M0 koordi­natės yra (1; 0), o taško Mα koordinates pažymėkime xα=|OA|iryα =|OB|. Kiekvieną kampą iš nurodyto intervalo laipsniais [0�; 90�] atitinka vienintelė taško Mαpadėtis ant apskritimo. Iš brėžinio matome, kad, kai kampo didumas α = 90�, taško Mαkoordinatės yra (0; 1). Taigi, kampo didumui kintant nuo 0� iki 90�, taško Mα abscisė kinta nuo 1 iki 0, o ordinatė – nuo 0 iki 1.

3.5 pav.

Sinusas ir kosinusas vadinami trigonomètrinėmis fùnkcijomis (gr. trigo-non – trikampis, metreō – matuoju).

* Sinusas kilęs iš lotynų kalbos žodžio sinus, reiškiančio išlinkimą.** Kosinusas kilęs iš lotynų kalbos žodžių co – su, kartu ir sinus – išlinkimas.

APIBRĖŽTIS. Taško Mα ordinatė yα vadinama kampo α sinusu* ir žymima yα = sin α, o abscisė xα – kampo α kòsinusu** ir žymima xα = cos α.

Lygybė yα = sin α skaitoma taip: ygrek alfa lygu sinus alfa, o lygybė xα = cos α skaitoma taip: iks alfa lygu kosinus α.

Kadangi sinuso ir kosinuso reikšmė priklauso nuo kampo didumo, tai sinuso ir kosinuso apibrėžtis mums nusako funkcinę priklausomybę tarp kampo didumo ir to kampo sinuso ar kosinuso reikšmės.

3 Trigonometriniai sąryšiai stačiajame trikampyje

44

Daugiau apie trigonometrines funkcijas sužinosite XI ir XII klasėse.

X klasėje nagrinėsime tik tokias trigonometrines funkcijas, kurių argumento reikšmės kinta nuo 0� iki 90� (apibrėžimo sritis), o jų reikšmių aibė yra [0; 1] (reikšmių sritis).

Atkreipkite dėmesį į tai, kad kampo sinuso reikšmės didėja nuo 0 iki 1, kai kampo didumas kinta nuo 0� iki 90�, o kosinuso reikšmės mažėja, kai kampo didumas kinta nuo 0� iki 90�.

Apskaičiuokime sin 30�, sin 45� ir sin 60�. 3.6 pav.

Koordinačių plokštumoje nubrėžkime vienetinį apskritimą, kurio centras – koor­dinačių pradžios taškas O. Pradinį apskritimo spindulį pasukę prieš laikrodžio rody­klę 30�, 45� ir 60� kampu, gausime spindulius OA2,OA3irOA4 (3.6 pav.). Jų galų A2,A3irA4 ordinatės bus lygios atitinkamų spindulių bei teigiamosios x ašies dalies sudaromų kampų sinusui, o abscisės – kosinusui.

Nagrinėsime tris stačiuosius trikampius OA2E2,OA3E3irOA4E4, kurių kiekvieno įžambinė lygi 1, o smailieji kampai yra tokie:

ÂA2OE2 =30°°

Trikampio OA2E2 statinis, esantis prieš 30� kampą,� kampą, kampą, yra lygus pusei įžambinės, todėl A2E2=2

1 OA2=21 ˛

˛ 1 =21 . Vadinasi, taško

A2 ordinatė lygi 21 ir

sin30° =° == 21 .

ÂA3OE3 = 45°

Trikampis OA3E3 yra statusis lygiašonis, todėl pagal Pitagoro teoremą apskaičiuojame, kad jo

statinių ilgiai yra 22 .

Vadinasi, taško A3

ordinatė lygi 22 ir

sin 45� =° == 22 .

ÂA4OE4=60°

Trikampio OA4E4 stati­nisOE4 yra prieš 30�°kampą, todėl OE4= 2

1 . Kitą statinį A4E4 ran­dame pagal Pitagoro teoremą:

A4E4=21–1

232

2

=b l

Vadinasi, taško A4ordinatė lygi 2

3 ir

sin60°= 23 .

Užduotis. Apskaičiuokite sin 0°irsin90°.

Į S I M I n K I T E!

α 0° 30° 45° 60° 90°

sin α 0 1

Darbas grupėmis. Apskaičiuokite cos 0°, cos 30°, cos 45°, cos 60° ir cos 90°.

1 2

¿22

¿32

.

45

Į S I M I n K I T E!

α 0° 30° 45° 60° 90°

cos α 1 0

Žinant kampo didumą, galima rasti to kampo sinusą (arba kosinusą) ir atvirkščiai, žinant kampo sinusą (arba kosinusą), galima rasti to kampo didumą.

¿32

¿22

1 2

a) Apskaičiuokime sin 50� reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).Skaičiuotuvu sin 50� reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padė­tis – DEG):

Gauname ≈0,766.Pastaba. Užrašas DEG rodo, kad įvedamo kampo didumas matuojamas laipsniais.Vadovėlio gale esančioje trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje, sinusų stul­pelyje, randame, kad sin 50� ≈ 0,766.

b) Apskaičiuokime cos 50� reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).Skaičiuotuvu cos 50� apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis DEG):

Gauname ≈0,643.Vadovėlio gale esančioje trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje, kosinusų stulpelyje, randame, kad cos 50� ≈ 0,643.

a) Apskaičiuokime sin 75�32´ reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).Skaičiuotuvu sin 75�32´ reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo pa­dėtis – DEG): .

Gauname ≈0,968. Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės sinusų stulpelyje randame, kad sin 75�32´ reikšmė yra tarp sin 75� reikšmės 0,966 ir sin 76� reikšmės 0,970. Taigi 1� kampo pokytį atitinka sinuso pokytis, lygus 0,970 – 0,966 = 0,004. Vadi­nasi, kai kampas padidėja 32´, jo sinusas padidėja 0,004 · 60

32 = 0,002.Taigi sin 75�32´ ≈ 0,966 + 0,002 ≈ 0,968.

1

2

3 Trigonometriniai sąryšiai stačiajame trikampyje

46

b) Apskaičiuokime cos 85°22´ reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).Skaičiuotuvu cos 85�22´ apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis DEG):

Gauname ≈0,081.Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės kosinusų stulpelyje randame, kad cos 85�22´ reikšmė yra tarp cos 85� reikšmės 0,087 ir cos 86� reikšmės 0,070. Taigi 1� kampo pokytį atitinka kosinuso pokytis, lygus 0,070 – 0,087 = –0,017. Vadinasi, kai kampas padidėja 22´, jo kosinusas sumažėja – 0,017 · 60

22 ≈ –0,006.Gauname: cos 85�22´ ≈ 0,087 – 0,006 ≈ 0,081.

a) Apskaičiuokime sin 2π 5 reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).

Skaičiuotuvu sin 2π 5 reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padė­

tis – RAD):

Gauname ≈0,951.Pastaba. Užrašas RAD rodo, kad įvedamo kampo didumas matuojamas radianais.

Mygtuku įjungiame komandą, nurodytą virš mygtuko, todėl pirmiau rei­

kia paspausti jį, o paskui – norimą mygtuką.

b) Apskaičiuokime cos 2π 5

reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).

Skaičiuotuvu cos 2π 5 reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis

RAD):

Gauname ≈0,309.

a) Apskaičiuokime kampo A didumą, kai sin A = 0,755 (atsakymą užrašykime 1� tikslumu).Skaičiuotuvu kampo A reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padė­tis – DEG):

Gauname ≈49�. Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės sinusų stulpelyje ieškome skaičiaus 0,755. Jį atitinka 49� kampas. Taigi ÂA ≈ 49�.

b) Apskaičiuokime kampo A didumą, kai cos A = 0,755 (atsakymą užrašykime 1� tikslumu).

3

4

47

Skaičiuotuvu kampo A reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis DEG):

Gauname ≈41°. Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje, kosinusų stulpelyje, ieškome skai­čiaus 0,755. Jį atitinka 41� kampas. Taigi ÂA ≈ 41�.

3.12 Naudodamiesi trigonometrinių funkcijų reikšmių lentele, raskite: a)sin10°; b) sin 17° 23´; c) sin 55°; d)sin88° 34´. Atsakymą užrašykite 0,001 tikslumu ir patikrinkite skaičiuotuvu.

3.13 Naudodamiesi trigonometrinių funkcijų reikšmių lentele, raskite: a) cos 2°; b) cos 17° 30´; c) cos 30°; d) cos 88°. Atsakymą užrašykite 0,001 tikslumu ir patikrinkite skaičiuotuvu.

3.14 Naudodamiesi trigonometrinių funkcijų reikšmių lentele, raskite smailiojo kampo didumą (1° tikslumu), jeigu jo sinusas lygus:

a) 0,681; b) 0,707; c) 0,920; d) 115 .

Atsakymą patikrinkite skaičiuotuvu.

3.15 Naudodamiesi trigonometrinių funkcijų reikšmių lentele, raskite smailiojo kampo didumą (1° tikslumu), jeigu jo kosinusas lygus:

a) 0,891; b) 0,777; c) 0,422; d) 113 .

Atsakymą patikrinkite skaičiuotuvu.

3.16 Apskaičiuokite skaičiuotuvu (atsakymą užrašykite 0,001 tikslumu): a)sinπ9 ; b)sinπ6 ; c)sin2π

15; d)sin3π 11.

3.17 Apskaičiuokite skaičiuotuvu (atsakymą užrašykite 0,001 tikslumu): a) cos π9; b) cos π3; c) cos 2π

15; d) cos 3π 11 .

3.18 Ar yra toks kampas, kurio sinusas lygus: a) π

4 ; b) 3 ; c) π 7 ; d)0,910?

3.19 Apskaičiuokite reiškinio reikšmę: a) 2 sin 30° + 3 ·sin60°; b)sin2 π

4 + sin2 π3 .

3.20 Kas daugiau: a) sin 25° ar sin 40°; b) cos 35° ar cos 55°; c) sin 70° ar cos 70°; d) sin 20° ar cos 20°; e) sin 29° ar 2

1 ; f) cos 59° ar 21 ?

3 Trigonometriniai sąryšiai stačiajame trikampyje

48

3.21 Apskaičiuokite reiškinio reikšmę: a) 3 cos 0° – 4 cos 90° + 2 cos 30°; b) cos π 2 – 2 cos π4.

3.22 Apskaičiuokite reiškinio sin α + sin 2 α + sin 3 α reikšmę, kai α = 30°.

3.23 Patikrinkite, ar teisinga nelygybė: a) cos 60° + cos 45° > 1; b)sin30° + cos 60° > 1.

3.3. smailiojo Kampo tangentas

ŠIAME SKYRELYJE

Susipažinsite su trigonometrine funkcija tangentu. Išmoksite apskaičiuoti smailiojo kampo tangentą. Iš trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės, taip pat skaičiuotuvu rasite laipsniais išreikšto kampo tangento reikšmes nurodytu tikslumu. Apskaičiuosite tikslias 30°, 45° ir 60° kampų tangento reikšmes.* Susipažinsite su trigonometrine funkcija kotangentu.

Stačiakampėje koordinačių sistemoje xOy nubrėžki­me vienetinį apskritimą. Per vienetinio apskritimo taš­ką A0, esantį x ašyje, nubrėžkime to apskritimo liestinę l (3.7 pav.). Apskritimo pradinį spindulį OA0 pasukime prieš laikrodžio rodyklę laisvai pasirinkto didumo kampu α. Apskritimo spindulį pratęskime, kol jis susikirs su lies­tine. Sakykime, taškas A – spindulio ir liestinės sankirtos taškas. Kuo labiau kampas artės prie stačiojo kampo, tuo aukščiau apskritimo spindulys kirs liestinę, o kai kampas bus lygus 90�, tas spindulys pasidarys lygiagretus su lies­tine, ir jos nekirs. Grafiškai pavaizduotos priklausomybės argumentą – kampą α, atitinka funkcijos reikšmė, t. y. liestinės atkarpos ilgis, kurį pažymėsime raide y. 3.7 pav.

Apibūdinome funkciją, kuri vadinama kampo α tánge­ntu** ir žymima y = tg α. Skaitoma taip: ygrek lygu tangentas alfa.Įrodykime, kad jei taškas M(a; b) yra vienetinio apskritimo spindulio OM galas ir

spindulys OM su teigiamąja x ašies kryptimi sudaro kampą α, tai to kampo tangentas lygus taško M ordinatės bei abscisės santykiui: tg α= a

b .

Įrodymas. Pažymėkime: A0A = tg α, OA0=1,MN=b,ON=a.

* Ši tema skiriama labiau matematika besidomintiems mokiniams.** Žodis tangentas kilęs iš lotynų kalbos žodžio tangens – liečiantis.

49

Statieji trikampiai AOA0irMON yra panašūs, todėl

MNA A0 = ON

OA0 ; iš čia OAA A

0

0 = ONMN , arba 1

tg = ab . Taigi tg α = a

b , arba (žr. 3.2 skyrelį)

tg α = cossin . Tai ir reikėjo įrodyti.

Trigonometrinės funkcijos y = tg α apibrėžimo sritis D (tg α) = [0�; 90�), jos reikšmių sritis E (tg α) = [0�; + ∞). Kampo didumui kintant nuo 0� iki 90�, tangento reikšmės didėja nuo 0 iki + ∞.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime tg 60�, pirma išreiškę jį sinuso ir kosinuso santykiu:

tg 60� = cos 60sin 60

cc =

2123

= 3 .

Užduotis. Apskaičiuokite: tg 0�, tg 45�, tg 30�, tg 90�.

Į S I M I n K I T E!

α 0° 30° 45° 60° 90°

tg α 0 1 –

* Be sinuso, kosinuso ir tangento, yra daugiau trigonometrinių funkcijų. Dažnai naudojama trigonometrinė funkcija – kotánge­ntas. Žymima ctg α, skai­

toma: kotangentas alfa.Ši trigonometrinė funkcija apibrėžiama taip: ctg α = sin

cos .

Užduotis. Apskaičiuokite: ctg 0�, ctg 30�, ctg 45�, ctg 60�, ctg 90�.Kai žinomas kampas, galima rasti to kampo tangentą ir atvirkščiai, žinant kampo

tangentą, galima rasti to kampo didumą.

¿33

¿3

Apskaičiuokime tg 50� reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).Skaičiuotuvu tg 50� apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis DEG):

Gauname ≈1,192.Vadovėlio gale esančioje trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje, tangentų stulpelyje, randame, kad tg 50� ≈ 1,192.

1

α

αα

αα

3 Trigonometriniai sąryšiai stačiajame trikampyje

50

Apskaičiuokime tg 35� 28´ reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).Skaičiuotuvu tg 35� 28´ apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis DEG):

Gauname ≈0,712.Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės tangentų stulpelyje randame, kad tg 35�28´ reikšmė yra tarp tg 35� reikšmės 0,700 ir tg 36� reikšmės 0,727. Taigi 1� kampo pokytį atitinka tangento pokytis, lygus 0,727 – 0,700 = 0,027. Vadinasi, kai kampas padidėja 28´, jo tangentas padidėja 0,027 · 60

28 = 0,012.Gauname tg 35�28´ ≈ 0,700 + 0,012 ≈ 0,712 .

Apskaičiuokime tg 2π 5 reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).

Skaičiuotuvu tg 2π 5 reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis

RAD):

Gauname ≈3,078.

Apskaičiuokime kampo A didumą, kai tg A = 0,754 (atsakymą užrašykime 1� tiks­lumu).Skaičiuotuvu kampo A reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis DEG):

Gauname ≈37�. Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės tangentų stulpelyje ieškome skaičiaus 0,754. Jį atitinka 37� kampas. Taigi ÂA ≈ 37�.

* Norint skaičiuotuvu apskaičiuoti kampo kotangentą, iš pradžių reikia apskai­čiuoti to kampo tangento reikšmę, paskui – jam atvirkštinį skaičių. Tam paspaudžia­mi šie skaičiuotuvo klavišai:

ir

2

3

4

* Užduotys, kuriose apskaičiuojama kotangento reikšmė, skiriamos labiau matematika besidomin­tiems mokiniams.

51

3.24 Naudodamiesi trigonometrinių funkcijų reikšmių lentele, raskite: a) tg 15°; b) tg 27° 34´; c) tg 72°; d) tg 80° 30´. Atsakymą užrašykite 0,001 tikslumu ir patikrinkite skaičiuotuvu.

3.25 Naudodamiesi trigonometrinių funkcijų reikšmių lentele, raskite smailiojo kam­po didumą (1° tikslumu), jeigu jo tangentas lygus:

a) 0,577; b) 5,670; c) 20,011; d) 112 .

Atsakymą patikrinkite skaičiuotuvu.

3.26 Naudodamiesi skaičiuotuvu, apskaičiuokite (atsakymą užrašykite 0,001 tiks­lumu):

a) tg π9; b) ctg π6 ; c) tg 2π 15; d) ctg 2π

15.

3.27 Apskaičiuokite reiškinio reikšmę : a) 3 tg 60° · tg 45°; b) 7 tg 30° · ctg 30°;

c) 5 – sin2 π4 + 2 cos2 π

4 – 5 tg2 π4 ; d) 2 sin 60° · ctg 60°;

e)3 sin 90 4 cos 60 4 tg 45

4 2 tg 45 tg 30–

–3 2 2

2 4

c c c

c c+

+ ; f)5 cos90 2 sin30 2 cos 45

2 cos60 tg 45 3 sin 0a a – b

a – b ab3 2

2 2 2

c c c

c c c

++

]

] ^ ]

g

g h g .

3.28 Apskaičiuokite reiškinio reikšmę: a) tg2 + tg 3 , kai α = 90°; b) sin 2α + ctg α – 2 ctg 2α, kai α = 45°.

3.4. to paties argumento trigonometrinių funKcijų tapatybės

ŠIAME SKYRELYJE

Sužinosite, kaip to paties argumento trigonometrinių funkcijų reikšmės siejamos ta­

patybėmis. Išmoksite taikyti trigonometrines tapatybes: sin2 α + cos2 α = 1, tg α = sin α cos α,

ctg α= cos α sin α .

α α

Žinome, kad vienetinio apskritimo bet ku­rio taško M koordinatės, išreikštos kampu α, yra cos α ir sin α; čia α – vienetinio apskritimo spin­dulio OM ir teigiamosios x ašies krypties sudaro­mas kampas. Taigi tašką M galime nurodyti taip: M(cos α; sin α). Trikampis ODM yra statusis.

Kadangi spindulio ilgis lygus vienetui, tai pagal Pitagoro teoremą gauname x2 + y2 = 1. 3.8 pav.

3 Trigonometriniai sąryšiai stačiajame trikampyje

52

Įrašę į ją taško M koordinates cos α ir sin α, gauname tapatybę, siejančią to paties argumento sinusą ir kosinusą:

sin2 α + cos2 α = 1.Iš čia: sin2 α = 1 – cos2 α ir cos2 α = 1 – sin2 α.To paties argumento tangento, sinuso ir kosinuso bei kotangento, sinuso ir kosi­

nuso sąryšius jau nustatėme (žr. 3.3 skyrelį):

tg α = sin αcos α, ctg α = cos α

sin α.

Darbas grupėmis Įrodykite, kad:1) tg α · ctg α = 1;2) 1 + tg2 α = 1

cos2α ;

3) 1 + ctg2 α = 1sin2α .

Išsiaiškinkime, ar yra toks kampas α, kuris tenkina sąlygassin α = 2

1 , cos α = 32 .

Patikriname, ar sin2 α + cos2 α = 1:

21 2

b l + 32 2

b l = 41 + 9

4 =3625 ≠ 1.

Atsakymas: tokio kampo nėra.

Pertvarkykime reiškinius:a) cos α – cos α ∙ sin² α = cos α (1 – sin2 α) = cos α · cos2 α = cos3 α;b) cos2 α – 1 = – 1 – cos2

sin2

] g1 2 344 44 =–sin2 α;

c) (sin α + cos α)2 – 2 sin α · cos α = sin2 α + 2 sin α · cos α + cos2 α – – 2 sin α · cos α = sin2 α + cos2 α = 1;d) 1 cos

1+ + 1 cos

1– =

1 cos 1 cos1 cos 1 cos

––+

+ +] ]g g

=1 cos

2– 2 =

sin2

2 ;

e) 1 sincos+ + tg α = 1 sin

cos+ + cos

sin =1 sin cos

cos sin 1 sin2

++ +

]

]

g

g=1 sin cos

cos sin sin2 2

++ +

=] g

=1 sin cos

1 sin+

+] g

= cos1 .

1

2

αα

α α α ααα

α α

αα α α α α

ααααααα

αα α

3.29 Ar yra toks kampas α, kuris tenkina sąlygas: a)sin α = 41

9 ; cos α = 4140 ; b)tg α = 9

5 ; ctg α = 1,8?

3.30 Patikrinkite, ar: a) sin2 30° + cos2 30° = 1; b)sin2 60° + cos2 60° = 1; c) tg45° · ctg45° = 1; d) tg60° · ctg60° = 1.

ααα

α

53

3.31 Apskaičiuokite reiškinio reikšmę: a)sin30° · sin 45° + cos 30° · cos 45°; b)sin60° · cos 45° · tg 30°; c)sin90°·sin30° – cos 30° · cos 90°; d)sin290° + cos260° + tg2 45°.

3.32 Suprastinkite reiškinius: a) (cos α – sin α)2 + (cos α + sin α)2; b)

1 sin1 cos

––

2

2

;

c)sin2 α – sin4 α + cos4 α; d)2 sin cos2 sin cos– –

2 2

2 2

+ + ;

e) cos4 α + 2 sin2 α · cos2 α + sin4 α; f)1 cossin–

2

– cos α.

3.33 Apskaičiuokite sin α · cos α, kai sin α + cos α = 0,5.

3.34 Įrodykite tapatybes: a) sin2 α + cos2 α + tg2 α =

cos1

2 ; b) 1 tg

tg2

2

+ · ctg1 ctg

2

2+ – tg2 α = 0;

c) ctg α + 1 cossin+ = sin

1 ; d) (tg α + ctg α)2 – (tg α – ctg α)2 = 4.

3.35 Smailiojo kampo: a) sinusas lygus 0,6; apskaičiuokite šio kampo kosinusą; b) kosinusas lygus 0,25; apskaičiuokite šio kampo sinusą; c) tangentas lygus 3; apskaičiuokite šio kampo kosinusą.

3.5. stačiųjų triKampių sprendimas

ŠIAME SKYRELYJE

Išmoksite apskaičiuoti stačiojo trikampio elementus (kraštinių ilgius ir kampų didumus), kai žinomi du jo elementai. Spręsdami praktinius uždavinius, mokysitės taikyti įgytas žinias.

Uždaviniai, kuriuos sprendžiant reikia rasti nežinomus trikampio elementus, kai ži­nomas pakankamas kiekis duotųjų elementų skaitinių reikšmių, vadinami trikampio spre­ndimo uždaviniais.

ααα α

αα

αα

α

αα

α ααα

3.9 pav.

Koordinačių plokštumoje nubrėžkime statųjį trikampį ABC taip, kad jo statinis AC būtų x ašyje, o smailiojo kampo vir­šūnė A sutaptų su koordinačių pradžios tašku. Tada toje pačioje koordinačių plokš­tumoje nubrėžkime vienetinį apskritimą, kurio centras – taškas A (3.9 pav.). Šis aps­kritimas kirs trikampio ABC įžambinę ABtaške M, o statinį AC – taške D.

α

3 Trigonometriniai sąryšiai stačiajame trikampyje

54

Pažymėkime: BC=a,AC=b,AB=c,AD = 1. Iš taško M nuleiskime statmenį į x ašį. Gausime statųjį trikampį AME. Taško M koordinatės yra cos α ir sin α, t. y. M(cos α; sin α), taigi AE = cos α, ME = sin α.

Trikampiai AMEirABC yra panašūs, todėl

BCME = AB

AM , ACAE = AB

AM , BCME = AC

AE , ACAE = BC

ME ,

arba sin

a =1c , cos

b =1c , sin

a = cosb , cos

b = sina .

Iš čia sin α = c

a , cos α = cb , tg α = b

a , ctg α = ab .

Į S I M I n K I T E !

sin α = Prieš kampą α esantis statinis Įžambinė = c

a ,

cos α = Prie kampo α esantis statinis Įžambinė = c

b ,

tg α = Prieš kampą α esantis statinis Prie kampo α esantis statinis = b

a ,

ctg α = Prie kampo α esantis statinis Prieš kampą α esantis statinis = a

b .

α α α α α α

Pagrindiniai stačiųjų trikampių sprendimo uždaviniai

1 uždavinys. Žinoma stačiojo trikampio įžambinė ir vienas smai­lusis kampas. Reikia apskaičiuoti kitus trikampio elementus.

Sprendimas. Sakysime, kad žinoma įžambinė c ir smailusis kam­pas A (3.10 pav.).

Kadangi  A +  B = 90�, tai  B=90°– A. Ieškome statinių ilgių.

Iš lygybės sin A= ca gauname a=c·sinA,

o iš lygybės cos A= cb gauname b=c · cos A.

Pastaba. Radus vieno statinio ilgį, kito statinio ilgį galima ap­skaičiuoti ir remiantis Pitagoro teorema.3.10 pav.

Žinoma: c=90mm, A = 65�. Reikia rasti: a,b, B. Sprendimas.  B = 90� – 65� = 25�. Iš lygybės sin A= c

a gauname a=c·sinA = 90 · sin 65� ≈ 90 · 0,906 ≈ 82 (mm).

Iš lygybės cos A= cb gauname b=c · cos A = 90 · cos 65� ≈ 90 · 0,423 ≈ 38 (mm).

Atsakymas:a ≈ 82 mm, b ≈ 38 mm, Â B = 25�.

1

55

2 uždavinys. Žinomas stačiojo trikampio statinis ir vienas smai­lusis kampas. Reikia apskaičiuoti kitus trikampio elementus.Sprendimas. Sakysime, kad žinomas statinis a ir smailusis kam­pas A (3.11 pav.). Kadangi  A +  B = 90�, tai  B=90°– A. Ieškome statinių ilgių.Iš lygybės tg B= a

b gauname b=a · tg B, o iš lygybės sin A= ca

gauname c= sin Aa .

Pastaba. Radus statinio b ilgį, įžambinės ilgį galima apskaičiuo­ti ir remiantis Pitagoro teorema. 3.11 pav.

Žinoma: a = 6 cm,  A = 15�. Reikia rasti: b,c, B. Sprendimas.  B = 90� – 15� = 75�. Iš lygybės tg B= a

b gauname b=a · tg B = 6 · tg 75� ≈ 6 · 3,732 ≈ 22 (cm), o iš

lygybės sin A= ca gauname c= sin A

a = sin156

c ≈ ,0 259

6 ≈ 23 (cm).

Atsakymas:b ≈ 22 cm, c ≈ 23 cm, Â B = 75�.

3 uždavinys. Žinomas stačiojo trikampio statinis ir įžambinė. Reikia apskaičiuoti kitus trikampio elementus. Sprendimas. Sakysime, kad žinomas statinis a ir įžambinė c, be to, a<c (3.12 pav.). Iš lygybės sin A= c

a randame kampo A didumą, tada – kampo B didumą: Â B=90°–Â A.

Statinio b ilgio ieškome remdamiesi Pitagoro teorema arba gali­

me apskaičiuoti taip: iš lygybės cos A= cb gauname

b=c · cos A arba iš lygybės sin B= cb gauname b=c·sinB. 3.12 pav.

Žinoma: a = 528 mm, c = 697 mm. Reikia rasti: b, A, B. Sprendimas. Iš lygybės sin A= c

a gauname sinA=697528 ≈ 0,758. Iš trigonometri­

nių funkcijų reikšmių lentelės randame, kad  A ≈ 49�. B=90°– A = 90� – 49� ≈ 41�.Iš lygybės cos A= c

b gauname b=c · cos A = 697 · cos 49� ≈ 697 · 0,653 ≈ ≈ 457 (mm).Atsakymas:b ≈ 457 mm, Â A ≈ 49�, Â B ≈ 41�.

4 uždavinys. Žinomi stačiojo trikampio statiniai (3.13 pav.). Reikia apskaičiuoti kitus trikampio elementus.Sprendimas. Sakysime, kad žinomi statiniai airb.

2

3

3 Trigonometriniai sąryšiai stačiajame trikampyje

56

Iš lygybės tg A=ba randame kampo A didumą, tada – kampo B

didumą: Â B=90°–Â A.Įžambinės c ilgio ieškome remdamiesi Pitagoro teorema arba jį

galime apskaičiuoti taip:iš lygybės sin A= c

a gauname c= sin Aa ,

arba iš lygybės sin B= cb gauname c= sin B

b ,

arba iš lygybės cos B= ca gauname c= cos B

a .3.13 pav.

Žinoma: a = 12 cm, b = 7 cm. Reikia rasti: c, A, B. Sprendimas. Iš lygybės tg A= b

a gauname tg A= 712 ≈ 1,714. Iš trigonometrinių

funkcijų lentelės sužinome, kad  A ≈ 60�. B=90°– A = 90� – 60� ≈ 30�.Iš lygybės sin A= c

a gauname c= sin Aa = sin 60

12c ≈ ,0 866

12 ≈ 14 (cm).

Atsakymas:c ≈ 14 cm , Â A ≈ 60�, Â B ≈ 30�.

Pagal šiuos kelio ženklus apskaičiuokime nuokalnės ir įkalnės kampus.

a)b)

3. 14 pav.

Nurodytus kelio ženklus galima pakeisti tokiais geometriniais brėžiniais:

a) b)

3.15 pav.

a) 12 % nuokalnė (3.15 pav., a). Remdamiesi brėžinio duomenimis, gauname: tg α = 100

12 = 0,12; iš čia α ≈ 6,84�;b) 8 % įkalnė (3.15 pav., b).Remdamiesi brėžinio duomenimis, gauname: tg α = 100

8 = 0,08; iš čia α ≈ 4,57�.

4

5

57

Saulės spindulys krinta į žemę, sudarydamas 35� kam­pą su horizontu (3.16 pav.).Apskaičiuokime (1 cm tikslumu), kokio ilgio šešėlį meta 2 m aukščio stiebas.Sprendimas. Žinome stačiojo trikampio ABC stati­nio AB ilgį ir smailųjį kampą α, todėl, apskaičiavę to kampo tangentą, galime sužinoti kito statinio ilgį:

tg α = ACAB , arba tg α = 2

x ,x= tg352

c ≈ ,0 7002

2 ≈ 2,86.

Atsakymas: 2 m aukščio stiebas meta 2,86 m ilgio šešėlį.

3.16 pav.

Darbas grupėmis1. Nubraižykite kampą α, kai:a) sin α = 5

3 ; b) cos α = 32 ; c) tg α = 2

1 ;

d) ctg α = 34 ; e) sin α = 0,2; f) cos α = 0,2.

2. Apskaičiuokite šių stačiųjų trikampių smailiojo kampo α reikšmę 0,01� tikslumu:

a) b) c)

3.17 pav.

3. Raskite nežinomus stačiojo trikampio elementus:a)c=4, A = 50�; b)b)b=0,3, B = 25�; c)c)a=6, A = 14�;d)c=113,b = 15; e)e)a = 261, b = 380; f)f)c = 17, b = 8.

4. *Jei AirB yra stačiojo trikampio smailieji kampai, tai sinA = cos B; sin B = cos A, t. y. cos (90� – A) = sin A; sin(90� – A) = cos A.Įrodykite.

d) e) f)

6

3 Trigonometriniai sąryšiai stačiajame trikampyje

58

3.36 Iš švyturio, kurio aukštis virš jūros lygio H = 150 m, plaukiantis pro šalį laivas tam tikru momentu buvo matomas kampu α ≈ 9° (3.18 pav.). Apskaičiuokite atstumą nuo švyturio iki laivo.

3.18 pav.

3.37 Aukštyje H = 950 m virš jūros lygio skrendančio lėktuvo pilotas, pastebėjęs po lėktuvu jūroje žuvų būrį, radiograma pranešė apie jį netoliese plaukiojančio laivo žvejams (3.19 pav.). Apskaičiuokite laivo atstumą iki žuvų būrio, žino­dami, kad radiogramos siuntimo momentu laivas iš lėktuvo buvo matomas kampu α = 26°30´.

3.19 pav.

3.38 Matuojant upės plotį, viename jos krante, prie pat vandens, buvo įrengta a ilgio bazė AB ir iš jos stebimas kitame krante prie pat vandens augantis medis C (3.20 pav.). Iš bazės galo A tas medis buvo matomas stačiuoju kampu, o iš galo B – kampu β. Apskaičiuokite upės plotį, kai a = 45 m, o β = 25°.

3.20 pav.

59

3.39 Geležinkelio linija, einanti per kalnus, kas 30 m pakyla 0,8 m. Raskite gele­žinkelio pakylos kampą.

3.40 Pagal 3.21 paveikslo duomenis apskaičiuokite, į kokį aukštį pakilo berniukas.

3.21 pav.

3.41 Šaltkalviui reikia pagaminti plokščią lygiašonio trikampio ABC formos detalę. Pagal techninius reikalavimus viršūnės C kampo didumas turi būti 41°, o detalės plotas lygus 12,43 cm². Kokio ilgio turi būti šio trikampio šoninė kraštinė, kad detalė atitiktų minėtus reikalavimus? Atsakymą pateikite 0,01 cm tikslumu.

3.42 Stačiakampio įstrižainė, kurios ilgis 6 cm, dalija to stačiakampio kampą santykiu 3 : 7. Apskaičiuokite stačiakampio kraštinių ilgius. Atsakymą pateikite 0,1 cm tikslumu.

3.43 Lygiašonės trapecijos pagrindų ilgiai 3 cm ir 6 cm, o šoninės kraštinės ilgis 5 cm. Apskaičiuokite trapecijos kampų didumus (1° tikslumu).

3.44 Skritulio spindulio ilgis 3,35 cm. Iš taško, nutolusio nuo skritulio centro atstumu d = 8,32 cm, nubrėžtos dvi liestinės. Apskaičiuokite kampo tarp jų didumą.

3.45 Lygiašonio trikampio aukštinės ilgis 8 cm, o kampas prieš aukštinę – 30°. Ap­skaičiuokite trikampio plotą.

3.46 Lygiagretainio aukštinių ilgiai 8 cm ir 12 cm, o kampo tarp lygiagretainio kraštinių didumas 60°. Apskaičiuokite lygiagretainio kraštinių ilgius ir jo plotą.

3.47 Rombo kraštinės ilgis 6 dm, o vieno kampo didumas 150°. Apskaičiuokite rombo plotą (vienetų tikslumu).