Menaksir rata-rata µ

Menaksir proporsi π

Menaksir simpangan baku σ

Simpangan baku σ diketahui, populasi berdistribusi normal

Simpangan baku σ tidak diketahui, populasi berdistribusi normal

Simpangan baku σ tidak diketahui, populasi tidak berdistribusi normal

MENAKSIR

RENCANA PERKULIAHAN 6

I. IDENTITASMATAKULIAH : BIOSTATISTIKWAKTU : 2 X 50 MENITA. KOMPETENSI :1. STANDAR : Mahasiswa dapat menaksir data yang ada2. DASAR : Mahasiswa dapat menentukan harga rata-rata µ

harga proporsi π, & harga simpangan baku σB. POKOK BAHASAN : TEORI MENAKSIRC. SUB POKOK BAHASAN: Menaksir rata-rata µ, menaksir proporsi π, dan

menaksir simpangan baku σ

II. PETA KONSEP

III. OBYEK / PERSOALAN BELAJAR

Bagaimana cara menaksir rata-rata µ? Apa yang diteliti dalam penelitian?

Dalam penelitian yang diteliti adalah populasi, tetapi yang diamati adalah sampel. Dengan

menggunakan ukuran yang diperoleh dari sampel, akan digunakan untuk menaksir harga

populasi atau parameter. Parameter populasi secara umum diberi lambang θ (baca theta), yang

dapat berupa µ, π, atau σ. Penaksirnya diberi lambing θ` (baca theta aksen), yang berupa X, s

atau p. Secara ideal harga taksiran yaitu θ` sama dengan harga parameter θ. Pada umumnya yang

terjadi adalah harga taksiran θ` lebih tinggi atau lebih rendah dari parameter yang ditaksir.

Beberapa batasan yang perlu dipahami dalam membuat taksiran adalah:

1. penaksir tidak bias

2. penaksir bervarians minimum

3. penaksir konsisten dan

4. penaksir terbaik.

Penaksir θ` dikatakan penaksir tak bias, bila rata-rata semua harga θ` yang mungkin sama dengan

harga θ. Penaksir bervarians minimum adalah dengan varians terkecil di antara penaksir untuk

parameter yang sama. Penaksir dikatakan konsisten bila ukuran sampelnya makin diperbesar

mendekati ukuran populasi dan harganya mendekati parameter. Penaksir terbaik adalah penaksir

yang tidak bias dan bervarians minimum.

Agar mempunyai derajat kepercayaan yang tinggi penaksir untuk suatu parameter

biasanya dinyatakan dalam bentuk rentangan, yaitu yang disebut interval penaksiran atau

daerah penaksiran. Dalam melakukan penaksiran biasanya digunakan derajat penaksiran

tertentu. Derajat penaksiran atau yang lazim disebut koefisien kepercayaan, biasanya

dinyatakan dengan lambang τ (baca gamma). Harga τ lebih besar dari nol dan lebih kecil dari

satu (0 < τ < 1). Dalam penelitian pada umumnya digunakan harga τ = 0,95 atau τ = 0,99.

Menaksir rata-rata µ

Untuk menaksir rata-rata µ digunakan penaksir rata-rata sampel (X). Cara menaksir harga µ

berbeda-beda tergantung pada diketahui atau tidaknya simpangan baku populasi (σ) dan keadaan

distribusinya.

Simpangan baku σ diketahui, populasi berdistribusi normal µ, π, atau σ

Harga µ dapat ditaksir dengan menggunakan harga z.

µ = X ± z ½ . σ √ n

Harga z ½ dapat dicari dalam tabel kurva normal. Untuk derajat kepercayaan τ = 0,95 harga z ½

= 1,98 atau τ = 0,99 harga z ½ = 2,58.

Contoh:

Pengamatan terhadap sampel yang diambil secara acak sebanyak 400 mempunyai rata-rata 50.

Diketahui simpangan baku populasi (σ) sebesar 18. Hitung harga µ dengan derajat kepercayaan τ

= 0,95 dan τ = 0,99.

Penyelesaian adalah sebagai berikut:

Diketahui: n = 400

X = 50

σ = 18

Ditanyakan: µ

Jawab: µ = X ± z ½ . σ √ n

Harga z ½ = 1,96 pada τ = 0,95 dan harga z ½ = 2,58 pada τ = 0,99.

Maka:

µ = 50 ± 1,96 x 18 √ 400

= 50 ± 1,96 x 18 20

= 50 ± 1,96 x 0,9

= 50 ± 1,764

Jadi daerah penaksiran µ adalah 48,236 – 51,764 pada τ = 0,95.

Maka:

µ = 50 ± 2,58 x 18 √ 400

= 50 ± 2,58 x 18 20

= 50 ± 2,58 x 0,9

= 50 ± 2,322

Jadi daerah penaksiran µ adalah 47,678 – 52,322 pada τ = 0,99.

Simpangan baku σ tidak diketahui, populasi berdistribusi normal

Kebanyakan parameter σ tidak diketahui, oleh karena itu untuk menaksir µ tidak dapat

menggunakan harga z. Ukuran simpangan baku yang paling mudah dicari adalah s, yaitu

simpangan baku sampel. Dengan menggunakan harga simpangan baku sampel (s) harga µ dapat

ditentukan dengan menggunakan tp. Harga tp dapat diperoleh dari table t dengan p = ½ (1- τ) dan

derajat kebebasan atau dk = n – 1.

µ = X ± tp . σ √ n

Contoh:

Dari hasil pengamatan terhadap sampel sebesar 25 yang diambil secara acak diperoleh rata-rata

105 dan simpangan baku sampel sebesar 10. Berapa harga µ dengan derajat kepercayaan τ =

0,95.

Penyelesaian adalah sebagai berikut:

Diketahui: n = 25

X = 105

s = 10

tp , τ = 0,95, dk = 24, adalah 2,797 Dilihat tabel t)tp , τ = 0,99, dk = 24, adalah 2,064 (Dilihat tabel t)

Ditanyakan: daerah penaksiran µ

Jawab: µ = X ± tp. s √ n

Daerah taksiran µ dengan τ = 0,99

µ = 105 ± 2,80 x 10 √ 25

= 105 ± 2,80 x 10 5 = 105 ± 2,80 x 2

= 105 ± 5,6

Jadi daerah taksiran µ dengan τ = 0,99 adalah 99,40 - 110,6.

Daerah taksiran µ dengan τ = 0,95

µ = 105 ± 2,06 x 2

= 105 ± 4,12

Jadi daerah taksiran µ dengan τ = 0,95 adalah 100,88 – 109,12.

Simpangan baku σ tidak diketahui, populasi tidak berdistribusi normal

Bila ukuran sampel n tidak terlalu kecil dapat digunakan dalil limit pusat, dan selanjutnya dapat

digunakan cara yang kedua.

Menaksir proporsi π

Bila dalam suatu sampel berukuran n terdapat suatu peristiwa sebanyak x, maka proporsi

peristiwa itu adalah p = x/n. Bila proporsi peristiwa itu digunakan sebagai penaksir, maka daerah

penaksiran parameter π nya adalah seperti rumus berikut ini.

π = p ± z ½ τ . p.q √ n

q = 1 – p

z ½ adalah harga z dalam tabel kurva normal untuk peluang ½ τ.

Contoh:

Akan dipelajari proporsi rumput teki diantara rerumputan di halaman. Untuk itu diambil

sampel secara acak 100 batang rerumputan. Dari 100 itu terdapat 15 batang rumput teki.

Berapa proporsi rumput teki di halaman?

Penyelesaian:

Diketahui: n = 100 X = 15 bt rumput teki Harga z untuk τ = 0,95 adalah 1,96.

Harga z untuk = 9,99

Ditanyakan: π

Hitungan: p = 15 /100 = 0,15

Maka q = 1 – p = 1 – 0,15

= 0,85

Sehingga π = p ± z ½ τ . p.q √ n

π = 0,15 ± 1,96 x 0,15 x 0,85 √ 100π = 0,15 ± 1,96 x 0,035707142 π = 0,15 ± 0,07

Jadi daerah taksiran π adalah 0,08 – 0,22.

CATATAN: Untuk harga:

χ2 ½ (1+ τ) = χ2 ½ (1+ 0,95) = χ2 ½ (1,95) lihat pada posisi tabel χ2 0,975 = 45,7χ2 ½ (1- τ) = χ2 ½ (1- 0,95) = χ2 ½ (0,05) lihat pada posisi tabel χ2 0,025 = 16,0

χ2 0,975 = 45,7 langsung diambil dari tabel χ2 pada dk = 30 – 1 = 29 danχ2 0,025 = 16,0 langsung diambil dari tabel χ2 pada dk = 30 – 1 = 29.

Menaksir simpangan baku σ

Taksiran simpangan baku σ didasarkan pada taksiran varians σ2. Sebagai penaksiran-nya adalah

s2 sampel. Daerah taksiran σ2 dapat ditentukan dengan rumus di bawah ini.

(n -1) s2 (n -1) s2

< σ2 < s2

½ (1+ τ) s2 ½ (1- τ)

Daerah taksiran simpangan baku σ didasarkan pada taksiran varians σ2.

Contoh :

Dari sebuah sampel acak berukuran 30 diperoleh harga variansi s2 = 7,8. Tentukan taksiran

simpangan baku σ nya.

Diketahui: n = 30 ; s2 = 7,8 ; dk = n -1 = 30 -1 = 29.

χ2 0,975 = 45,7 ; χ2 0,025 = 16,0

Ditanyakan : daerah taksiran σ.

Hitungan:

(n -1) s2 (n -1) s2

< σ2 < s2

½ (1+ τ) s2 ½ (1- τ)

29 x 7,8 29 x 7,8< σ2 <

45,7 16,0

226,2 226,2< σ2 <

45,7 16,0

4,95 < σ2 < 14,14

Taksiran simpangan baku σ adalah:

2,23 < σ < 3,75

IV. MEDIA / SUMBER BELAJAR

Scheffler, 1987. Statistika untuk Biologi, Farmasi, Kedokteran dan Ilmu yang bertautan. Bandung, Penerbit ITB.

Steel & Torrie, 1991. Prinsip dan Prosedur Statistika, suatu pendekatan Biometrik. Jakarta. Penerbit: PT Gramedia Pustaka Utama.

Sudjana, 1982. Metoda Statistika. Bandung: Penerbit Tarsito.

VII. EVALUASI / TUGAS RUMAH

1. Dari hasil pengamatan terhadap sampel sebanyak 64 yang diambil secara acak diperoleh

rata-rata sebesar 85 dan simpangan baku σ sebesar 12. Berapa harga µ dengan derajat

kepercayaan τ = 0,95?

2. Pengamatan terhadap sampel yang diambil secara acak sebanyak 900 mempunyai rata-

rata 40. Diketahui simpangan baku populasi (σ) sebesar 22. Hitung harga µ dengan

derajat kepercayaan τ = 0,95 dan τ = 0,99.