26

Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

  • Upload
    others

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

�������������� ����������������� ������������ �!�#"$�%��&('*)+ ���,�,����-$��.0/$���� 1�2� + �435�6�7���98: 1�����;��<;������� ���;-

=:>?�@�ACB�DFEHG >?�E�@1I6DJELKMDJEFN�O!DJECPRQSP�TMDFUWVLXYP�TMPZ PYE�ELT Z![]\�^ B1?�_`PYXaDJEFN2PY@�bdc4E�Pa@�Xfe2DFgihkjlDJhib�DJE

m�nMoqpqr s�t�p�u�vxw�yFwqz|{%}l~���w�����w%�l�F��y����Lz|wqyS�L�x�������������J�L��~��L���J~��L��}l~����lwz|�J��~��Jwqza�L�JyFwq��}lwqw�z|wq��wq���4�J~�{���{,������wW�Jz|wqy��l�4~����lw%}l������� �lw����F�J{%�l~��L���L�L���Jw%z���1�4z|w%�1����� }l�J~��|}���}l~�����z|{,���|�lw%}lwqy�����~����lzM~����6�F������� }1yF�L�!�L~��Y�M ��Jw���w��l�J��yz¡����}|�lz��4~��l�¢�L�¢��}l�J~��|}�� }|���|}l~����J�L�J�����l~����¢�L�Y�l�Jw�yF����������~����lzq£F�L��y�~����C�����Cw%z}lw%¤��F~��J�!z|����w��L�W�l�Jw��|}l~��L�F����wqz��4~��l�;¥������J�L�F¦§ a��{��Jw%}�z|�J��~��lzq��¨�����w���yFyF~�¦�l~��������W�©�J�F{%�l~����x�L�L���Jw%z���}lwª}lw,«��J~�}lw,y;����z|wq��wq{%�lwqy�����~����lz�~��S�l�Jw�y����!��~��¬� ��JwW��w%�l�J��y�~�zM����{,���­£��4�J~�{���wq�Jz|��}lwqzY�l�J���a�l�Fw���}l��{qwqz|zM���J{%���Jz¡�|}l�F{%�l~��J�]�l�Jw® ���L}��L�F��w�~����lw%}l������������~�z�������~��Jw,� }�{q�����F��w�¯F~��§�°�4�J~���w��F}l� ��~�yF~��J�������l~��!����L}�y�w%}��L�J��}l�,¯F~��!� �l~��L�5���1z|�����L�l�¢�©�J�F{%�l~����Jzq�

±L²a³�´ µM¶�·�¸1¹�º�»�¶L¼§¸Yµ½�¾©¿�À�ÁÃÂSÄ�À ŪÆ�Ç4ÈaÆ�¾©ÁFÅqĪÉËÊ�ÌÎÍLÏ�ÐlÑ�ÒЩÓ�Ô ¾�ÁÕÅ�Ö×À5È×Ø�Â�Á×ÀFÙaÆFÚ×Û�Â�¾�Üݾ©ÁÞÅ%Ö×¾©Ä�ȬÂ�ÈYÀLÛ�¾�ÄÅ�Æ°È×Û%Æ�¿�¾©ß×ÀªÂ°à�Æ�Á¬Ä�Å�Û%Ú¬à,Å%¾�¿FÀªÜ5À�Å�Ö×Æ�ß;ÇáÆ�Û�Ä�Æ�Ø©¿�¾�Á¬â�Å%Ö×ÀªÇáÆ�Ø©Ø�Æ�ã�¾©Á×â°È×Û%Æ�ä×Ø©À�Üxåæ ·�¸¬ç�èké�êë²a³�ì�í©î�ï�ðRñkò%í�ð�î�óYô�õ�ð×ñkíáöCî÷Þøxù]úMö�û,ü°ûqü�ñªö�ý�þCüqò�ñkí§ÿ,ü û!í©î�ÿ�õiô�ï�ü û¢É��ð�û��1ð�ÿ ü�� öCý�� � û��Mõ�í©îaü ûxï�ü�¬îaü�ï`ö�î0÷Þø��ð�î�ïð�û,üCñ°öCý�ð�ï×ï�íiñkíáöCîað�õ���öCí©îMñ§ûÍLÏFÐ|Ñ� Ð©Ó Ò� Ô ûLô�ÿlú ñ§úYð�ñ�ý§öCò�üCþCü,ò��xÿlúaö�íkÿ ü�öCý]ñ§úaüªï�ð�ñið°Í�CÐ|Ñ��Ð�Ó�Ô ��ñkúaü,ò,ü�í©û�ð�ô�î¬í���ôJüû��Mõ�í©îaü������fûqð�ñkí�û�ý���í©î�ó

���kÏ�Ð��6Ì��CÐ�� ��Ì �!�#"$"#"%�'&(" �)��

* ü�ÿqð�õ©õ,+ Ê�Ì ÍLÏ Ð Ñ�ЩÓ�Ô ð�î1ï-�0ð/.�0�1324065�1!7�895#:�7!2<;�=?> 0:@8 =35A;B0!892�CD Ø�Å%Ö×Æ�Ú×âFÖ;à�Æ�Á¬Ä�Å�Û%Ú¬à,Å%¾�Á¬âFEWÂ�â�ÛqÂ�Á×âFÀ�¾�ÁJÅ�ÀLÛ�ÈaÆ�Ø�Â�Å%¾�ÆFÁHȬÂ�¾�ÛqÄ�Ä�Æ�Ú¬Á¬ß×Ä2Ä�¾©Ü°È×Ø�À�Â�Å

G¬ÛqÄlÅ�â�Ø�Â�Á¬à�À�ÙC¾�Å�¾�ÄW¾©Á!ÇkÂFà,Å�Â�à ÆFÜ°È×Ø�À$H�È×Û�ÆFä×Ø©À�ÜxÙ�ÀLÄ�ÈYÀ�à ¾�Â�Ø©ØJI�Ä�¾�ÁYà À6ã2À6ã�Â�ÁJÅ�Â�Ø©Æ�àLÂ�ØÂ�ÁYß�Ä�Å%Â�ä¬Ø�À�Ü5À�Å�Ö×Æ�ß�ã�Ö×¾©àqÖ¢Ö¬Â�Ä�Ø©¾�Á×À�Â�Û]à ÆFÜ°È×Ø�À$H�¾�Å�I�Â�ÁYß�È×Û%Æ�¿J¾�ß�À�ÄWÆFÈ�Å�¾©Ü�Â�ØJÆ�Ûqß�À�ÛÂ�ȬÈ×Û�Æ�H�¾©Ü�Â�Å�¾©Æ�ÁWåLK�ÆSÂFàqÖ×¾�ÀL¿�ÀªÅ%Ö×¾©ÄLÙMäYÆ�Å�Ö(� Â�Á¬ß(+ Ü�ÚYÄlÅ�äYÀ5à�Â�Û%À ÇáÚ¬Ø�Ø�I�àqÖ¬ÆFÄ�À�Á1å

MON@PRQRS@T<U�VOW SYX!ZRSV�[4\�]T�[^W P�U_MO`@`\^Z<a'W bcQ�[^W ZRS#dBe�QRS@NU<\�fW g [Oh�iRiRj kl W mRUonpU�QRbq[4]YQRSNsrBNYt'Q�u�vwU�NV<x y�z{`@`#xp|4}'hR~'xX�ZR`��'\^W �R��[?� �3h�iRiR��f)��npQRV^�'f%ZR\^Z��B\^U�V^V<z$��\^U�S)[9�!Z'Z)N#z$�6nqx� t��n�i��9��~Rh��R�R��h��Jh��9jMOg g$\^W �R�)[4V3Z���\^U�`\^Z)N]T�[4W ZRS�W S�QRS���� ZR\^b�\^U<V�U<\�P�U�N#x

Page 2: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

� ����������� ������������ ������� �����! ���"� �$# �&%�')( �* � "���� � ��+-, �/. ��021 3���14+5��6 Á�ȬÂ�Û�Å�¾�à Ú×Ø�Â�Û�ÙMÅ�ÆÞà�Æ�Á¬Ä�Å�Û%Ú¬à,Å¢÷Þø�ã2À5ã�¾©Ø©Ø4àqÖ×Æ�ÆFÄ�À5ÂFß×ß�¾�Å�¾©Æ�Á¬Â�Ø�¿FÀ�Û�Å�¾�à À�Ä�äaÀ$IFÆ�Á¬ßÉ�Ù�Â�Á¬ß°Å%Æ¢à ÆFÁ¬Ä�Å�Û%Ú¬à,Ås�`ã�À�ã�¾�Ø©ØaäYÀLâ�¾©ÁSã�¾�Å�ÖS¢à Ø�Â�Ä%Ä�¾�à�Â�ØYÄ�Ú×ÈYÀLÛ%Ä�È×Ø©¾�Á¬À�Ä�ȬÂ�à�À�Â�Á¬ßÀ�Á×ÇáÆ�Ûqà À�Â�ß×ß×¾�Å%¾�ÆFÁ¬Â�Ø1Ä�ÈYÀ�à ¾�Â�Ø1Ä�Ú×ÈaÀ�ÛqÄ�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×ÀLÄ%Ä�à ÆFÁ¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á¬ÄLåK�Ö×À5Â�Á¬Â�Ø�ÆFâ°Æ�Ç874Û%Æ�ä¬Ø�ÀLÜ ��ÇáÆFÛ � Ô Ä�È×Ø©¾�Á¬ÀLÄ�ÖYÂ�Ä�Û%ÀLà�À�ÁJÅ�Ø�I�äYÀLÀ�ÁÞÅ%Û�À�Â�Å�À�ßx¾�Á9 �!��:o�<;¬ÙJ�>=?:_�?@�ACB�Ä�ÀLÀ�Â�Ø�Ä�Æ!Å�Ö×À�Ä�Ú×Û%¿�À#I�ȬÂ�ÈYÀLÛ 9 ��D"A¬ÇáÆ�Û6ÇáÚ×Û�Å�Ö×ÀLÛ6Û%À ÇáÀ�Û%À�ÁYà ÀLÄLå 6 Á�Å�Ö×¾�Ä

ȬÂ�ÈYÀLÛLÙ�ã�À6È×Û�À�Ä�ÀLÁJÅWã�Ö¬Â�Å�ã�À]äaÀ�Ø©¾�ÀL¿�À4¾�Ä�Å%Ö×ÀsGYÛ%Ä�Å�� � Ü°À Å%Ö×Æ�ß�åFE�Ú×ÛWà ÆFÁ¬Ä�Å�Û%Ú¬à,Å%¾�ÆFÁÜ�ÂHGFÀLÄ�Ú¬Ä�ÀªÆ�Ç]Ä�È×Ø©¾©Á×ÀLÄ�Æ�Ç�ß�ÀLâ�Û%À�ÀªÄ�ÀL¿�ÀLÁ1Ù×Â�Á¬ß;¾�Ä�ä¬Â�Ä�ÀLß;Æ�Á;Å�Ö¬ÀªÇáÆ�Ø©Ø�Æ�ã�¾©Á×â�ÄlÅ%À�ȬÄLÊ���JI�Ö×Æ�ÆJÄ�À�¢Å�Û%¾©Â�Á×â�ڬةÂ�Å�¾©Æ�Áx÷Ýã�¾�Å%Öx¿�À�Û�Å�¾�à À�Ä�Â�Å�Å�Ö¬À�ÈYÆF¾�ÁJÅ%Ä�Æ�Ç�É�å� �LK�ÀLȬÂ�ÛqÂ�Å%À�÷ξ©ÁJÅ�Æ!ä¬Ø©ÂFà�G¢Â�ÁYߢã�Ö¬¾�Å%À�Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä4Ä�ÚYàqÖ¢Å%Ö¬Â�Å�ÀLÂ�àqÖ°Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ø©À�Ö¬Â�Ä

Â�Å�Ü5ÆJÄlÅ�ÆFÁ×ÀªÁ×À�¾©â�Ö�äaÆ�Û�Æ�Ç�Å�Ö×À!Ä%Â�Ü°À�à ÆFØ�ÆFÛLå;6�NM�À%G¬Á¬À]Å�Ö×À4Å�Û%¾©Â�Á×â�Ú×Ø�Â�Å%¾�ÆFÁ�÷Þø�ä6I�Ä�Ú¬äaß�¾©¿�¾©ß×¾�Á×â�Ä�ÆFÜ5À]Æ�ÇFÅ%Ö×À4ã�Ö×¾�Å�À4Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄ

¾©ÁJÅ�Æ�Ä�Ú¬ä�Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄLåDp�NM�À%G¬Á¬ÀSÅ%Ö×À�Ä�ȬÂFà ÀA� Â�Ä5 Ä�Ú¬ä¬Ä�ÈYÂ�à À;Æ�Ç�Å%Ö×À�à�Ø©ÂFÄ�Ä�¾�à�Â�Ø2Ä�Ú¬ÈYÀLÛ%Ä�È×Ø©¾�Á×À�Ä�ÈYÂ�à À� ��O PQ �i÷Þø%� �§Ä�ÀLÀ �)�!���)��äpI Û�À?RJÚ×¾�Û%¾©Á×â�à�À�Û�Å%Â�¾�Á�Â�ß×ß�¾�Å�¾©Æ�ÁYÂ�Ø]Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×À�Ä�Ä�à�Æ�ÁSß�¾�Å�¾©Æ�ÁYÄ�Â�Å�Å�Ö¬À�¾�Á¬Ä�À�Û�Å�À�ßS¿FÀ�Û�Å�¾�à À�Ä�Æ�Û�Â�à�Û�ÆJÄ�Ä�¾©Á¬Ä�ÀLÛ�Å%ÀLß�ÀLß×â�ÀLÄLå

=�� 6 Á¬Ä�À�Û�Å2ÂFß×ß�¾�Å�¾©Æ�Á¬Â�ج¾©ÁJÅ�À�Û%ÈaÆ�Ø�Â�Å�¾©Æ�ÁSÈYÆF¾�ÁJÅ%Ä�¾©ÁFÅ%Æ!Å%Ö×À�ä×Ø�Â�à�G¢Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä6Ä�Æ¢Â�Ä4Å�ÆÚ×Á¬¾TRJÚ×ÀLØJI�Â�Á¬ß;Ø�Æ�àLÂ�Ø©ØJISß×À%G¬Á×À!°Ä�È×Ø©¾�Á×ÀF�����:ÆFÁ;Å%Ö×À�ä×Ø�Â�à�G°Å%Û�¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�å

U �LK�Ö¬Æ�ã0Å%Ö¬Â�Å�Å�Ö¬À¢Ä�Ü5Æ�Æ�Å�Ö×Á×À�Ä�Ä�à ÆFÁ¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á¬Ä�Ú×Á×¾VRFÚ¬À�Ø�Ixß×À Å�ÀLÛ�Ü°¾©Á×À �¢ÆFÁÕÂ�Ø©ØWÆ�ÇÅ%Ö×À�Û%À%G¬Á¬ÀLß5Å�Û%¾�Â�Á×âFÚ×Ø©Â�Å�¾©Æ�Á;÷Þø�Ù 0 � � � ��¾©Ä�Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Ø�I¢À$HJÅ%À�Á¬ß×ÀLß°Å%Æ!Å�Ö¬À�ã�Ö×¾�Å�ÀÅ%Û�¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�åK�Ö×À;ȬÂ�ÈaÀ�Û�¾©Ä¢Æ�Û%âFÂ�Á×¾4WLÀLß�Â�Ä!ÇáÆ�Ø©Ø�Æ�ã�ÄLå 6 ÁXK�ÀLà Å�¾©Æ�Á � ã�ÀH¾©ÁJÅ�Û%Æ�ß�Ú¬à À;Ä�ÆFÜ5À

Á×Æ�Å%Â�Å%¾�ÆFÁ¢Â�Á¬ß¢ß×ÀLÄ%à Û%¾�äaÀ2Å�Ö×ÀZY2À�Û%Á¬Ä�Å�À�¾©ÁS[Y]\À�WL¾�ÀLÛ�Û%À�È×Û%ÀLÄ�À�ÁJÅqÂ�Å�¾©Æ�Á�Æ�ÇaÄ�È×Ø©¾�Á¬ÀLÄLÙ�ã�Ö×¾©Ø�À¾©Á^K�À�à,Å�¾©Æ�Á^;Õã2À�È×Û�À�Ä�ÀLÁJÅ5ÂÃÚ¬Ä�À�ÇáÚ×Ø�Û�À�Ä�Ú¬Ø�Å°Æ�Á¾�ÁJÅ�ÀLÛ�ÈaÆ�Ø�Â�Å%¾�ÆFÁRäpI ÈYÆFØJI�Á×ÆFÜ°¾©Â�ةľ©ÁXY2À�Û%Á¬ÄlÅ%À�¾©ÁS[Y]\À�W�¾©À�Û!ÇáÆ�Û%Ü�å_E�Ú×Û°à Æ�Ø©Æ�Û%¾©Á×â Â�Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö×Ü�¾�Ä�âF¾�¿FÀ�ÁR¾©Á`K�À�à,Å�¾©Æ�ÁXD¬Ùã�Ö×¾©Ø�Àx¾©ÁaK�ÀLà,Å%¾�ÆFÁa=Õã2À�ß�¾�Ä%à Ú¬Ä%Ä°ÂÃÁ�Ú×Ü¢äYÀLÛ°Æ�Ç�Å%Ö×Û%À�ÀxÂ�Á¬ßÇáÆ�Ú×Û!S|Ä�¾�ß�ÀLßÜ�Â�à Û%ÆHSÀ�Ø©À�Ü°ÀLÁFÅqÄ�Á×ÀLÀLß�À�ß�ÇáÆ�Û�Å�Ö×À�à�Æ�Á¬Ä�Å�Û%Ú¬à Å�¾©Æ�Á1å�K�À�à,Å�¾©Æ�ÁYÄ U Â�Á¬ßcb5à ÆFÁFÅqÂ�¾©ÁÞÆ�Ú×Û�Ü°Â�¾�ÁÛ%ÀLÄ�Ú×Ø�ÅqÄ�ÙMÁ¬Â�Ü°À�Ø�I;Å%Ö×À°à Æ�ÁYÄlÅ%Û�Ú¬à Å�¾©Æ�Á Æ�Ç4Å�Ö¬À E�Â�â�ÛqÂ�Á¬â�À�¾©ÁFÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Á×âSÈYÂ�¾©Û +L�)��ÙÂ�ÁYß À�Û%Û�ÆFÛ�äaÆ�Ú×ÁYß×Ä¢ÇáÆ�Û¢Å�Ö×À�¾�ÁJÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Á×âÕÄ�È×Ø�¾©Á×À�Ä�Ù4ã�Ö¬¾�Ø©ÀJK�À�à,Å%¾�ÆFÁ`@ ¾©Á¬à�Ø�Ú¬ß×ÀLÄÄ�À�¿�ÀLÛ%Â�ØMÛ�ÀLÜ°Â�Û!G�ÄLå

±�d1³ æ ·�éJ觼kêR¼§µ&e×·C¼§égf½�¾©¿�À�ÁxÂ5Å�Û%¾�Â�Á×âFÚ×Ø©Â�Å�¾©Æ�ÁÞ÷ Â�Á¬ß�¾©ÁJÅ�À�âFÀ�ÛqÄihkjXlnm^oYÙ×ã2À�ã�Û%¾�Å�À

�qpr �i÷ �2Ê�Ì ÍB���(�sp!��t ��ÊA�gu v �Jw r Ù¬Â�Ø©Ø�x � ÷ÞÑ

ÇáÆ�Û�Å%Ö×À�ÚYÄ�Ú¬Â�Ø�Ä�ȬÂFà À2Æ�ÇYÄ�È×Ø©¾�Á¬ÀLÄ�Æ�ÇYß×À�â�Û%À�ÀyoªÂ�Á¬ß¢Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×ÀLÄ%Ä/l�Ù�ã�Ö×À�Û%Àqw r ¾�Ä�Å�Ö×Àz r ��c{ ß�¾�Ü°ÀLÁ¬Ä�¾©Æ�ÁYÂ�جÄ�ȬÂ�à�À�Æ�Ç�ä×¾©¿�Â�Û%¾©Â�Å�À�ÈaÆ�Ø�IJÁ¬Æ�Ü°¾©Â�Ø©Ä�Æ�Ç1ß�À�âFÛ�ÀLÀioYåYK�Ö×Û%Æ�Ú×âFÖ×Æ�Ú�ÅÅ�Ö¬À!ȬÂ�ÈaÀ�Û�ã�À!Ä�Ö¬Â�Ø�Ø�Ü°Â"G�À�À$HJÅ%À�Á¬Ä�¾©¿�À�Ú¬Ä�À�Æ�Ç�Å�Ö¬À!ã�ÀLØ�Ø4SCGJÁ¬Æ�ã�Á}|c7!2<5>~�:�7B895<��|��7<�8 7�22^7�;�2^7�~'7�5:)0:@8 =35!Æ�Ç]Ä�È×Ø�¾©Á×À�Ä�åq�ÃÀ�Û%ÀLàLÂ�Ø©ØMÅ�Ö¬Â�Å�¾�Á�Å%Ö×¾©Ä�Û�ÀLÈ×Û%ÀLÄ�À�ÁJÅ%Â�Å�¾©Æ�ÁSÆ�Ç�Â�Ä�È×Ø©¾�Á¬À�Ù

Page 3: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

#�� '�� 1 # � �H � �����������[������H1 � � 0����$0�� ( � � % ��1 02� ��� ;ÇáÆ�Û�ÀLÂ�àqÖÃÅ�Û%¾�Â�Á×âFØ�Àkx Ì� ��FÔ���� � ��� P�� ¾�Á÷*ã�¾�Å�Ö ¿FÀ�Û�Å�¾�à À�Ä��FÔ���� � ��� P ÙWÅ%Ö×ÀHà ÆFÛ�Û%À�SÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×â°ÈYÆFØJI�Á×ÆFÜ5¾�Â�Ø�Ȭ¾�À�à ÀF�gu v�¾�Ä�ã�Û%¾�Å�Å�À�Áx¾©Á�Å�Ö×ÀªÇáÆFÛ�Ü

�gu v Ì �Ð ��' �� Ó r��

vÐ ����� rÐ ��� � � � �ã�Ö×ÀLÛ�À � rÐ ��� Â�Û%À�Å%Ö×Àk|c7�2�5?~):�7�895��B0>~8 ~ ;�=3> �65=� �8 06> ~6Æ�Ç�ß�ÀLâ�Û%À�À�o�ÂFÄ�Ä�Æ�à ¾�Â�Å%ÀLßHã�¾�Å�Öx!å D Ä�Ú¬Ä�Ú¬Â�ØiÙ�ã2ÀÞ¾�ß�À�ÁJÅ�¾�Ç�IRÅ%Ö×À�|c7!2<5>~�:�7B895<��|��7���8 7�2"!%=p7$#%!�8 7�5: ~SÍ

�vÐ ��� Ñ Ð &�' �� Ó rã�¾�Å�Ö;Å�Ö×ÀªÄ�À�Å2Æ�Ç('�=� 0!895 ;�=p895: ~*) v Ê�Ì Í,+ vÐ ��� Ê�Ì ���-�FÔ(.0/1� � .324� P �65Ho×ÑCÐ &�' �� Ó r å��À�ã�Û�¾�Å�À7) r O 8 ÇáÆ�Û�Å%Ö×ÀªÚ×Á×¾©Æ�ÁxÆ�Ç�Å�Ö×À!Ä�À ÅqÄ�Æ�Ç�ß×Æ�Ü�Â�¾©Á;ÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�ÂFÄ�Ä�Æ�à ¾�Â�Å%ÀLßHã�¾�Å�Ö

Å�Ö¬ÀªÅ�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄ2Æ�Ç6÷Ãå½�¾©¿�ÀLÁ x Ê�Ì9 �FÔ���� � ��� P,� Â�Á¬ß Â�ÁÕ¾�ÁJÅ�ÀLâ�ÀLÛ�hJj;: m oYÙMã�À¢Ä�À�Å7< v= ��FÔ$��Ê�Ì

Í�+ vÐ ��� Ê���Ì o?>@:ÕÑ6�1A v= �� Ô �2Ê�ÌËÍ,+ vÐ ��� Ê��CBao?>D:ÃÑFÙFÂ�Á¬ß�Â�Ä%Ä�Æ�à�¾©Â�Å�À�ߢã�¾�Å�ÖHÅ�Ö×ÀÀLß×â�ÀFE�Ê�ÌG �� � ��� PH� Ù�ã2À�Ø©À ÅJI v= �EB�2Ê�Ì Í�+ vÐ ��� Ê-�FjK:ÃÑFå ��À�Û%ÀLàLÂ�Ø©Ø×Å%Ö¬Â�Å2Å�Ö×À-2�8951=ML�2^0N'O8PO>~Q: 0�2^=�O65H'R�FÔ�¾�Ä2Å�Ö×À!Ä�À ÅS< = ��FÔ$��Ê�ÌUT�ÍH< v= ���FÔ#�2ÊkxdÖ¬ÂFÄ�Â5¿�À�Û�Å�À$HSÂ�Å�FÔ�ÑJÙ�Â�ÁYß�Å�Ö¬ÀQ'O8 ~WV =ML,240N'p8PO>~(: 0!2^=�O65H'7�FÔ4¾©Ä�Å�Ö¬À�Ä�À ÅXA = ��FÔ$�2Ê�ÌYT�ÍHA v= ���FÔ#��Ê�xÖ¬ÂFÄ� ¿FÀ�Û�Å�À$H�Â�ÅZ� Ô ÑJå K�Ö×À;Û�¾©Á×âFÄ¢Â�Á¬ßß�¾©Ä!G�Ä�Â�Û�ÆFÚ×Á¬ß3� � Â�Á¬ß3� P Â�Û%ÀSß�À$G¬Á×ÀLßÄ�¾�Ü°¾©Ø©Â�Û�Ø�I�å6 Ū¾©Ä�ã2À�Ø©Ø/G�Á×Æ�ã�ÁxÅ%Ö¬Â�Å�ÂSÄ�È×Ø©¾�Á¬À �¢¾©Á �C[r �i÷ ��¾©Ä�Ú×Á×¾VRJÚ×À�Ø�I ß�À Å%À�Û%Ü°¾�Á×À�ßÞäpI¾�Å%Ä�Ä�À ŪÍ

�W\Ñ\$]M^(_�` a

Æ�Ç � S|à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%ÄLå�K�Æ�ß�ÀLÄ%à Û%¾©äYÀªÖ×¾©â�Ö×ÀLÛ�Æ�Ûqß�À�Û�Ä�Ü°ÆJÆ�Å�Ö×Á¬ÀLÄ%Ä�Ùã2À�Û%ÀLà�Â�Ø�Ø�Ä�Æ�Ü°À�Á×Æ�Å%Â�Å�¾©Æ�Á ¾©ÁJÅ�Û%Æ�ß×Ú¬à À�ß ¾©Á 9 � A¡åsK�Ú¬È×ÈYÆJÄ�À¢Å�ÖYÂ�Åsx Ê�Ìc � Ô �6� � �6� P �Â�ÁYßedx Ê�Ìe ��Nf���� P ��� � � Â�Û%À!Ålã2Æ;ÂFßHglÆ�¾©Á×¾©Á×âHÅ%Û�¾�Â�Á¬â�Ø©ÀLÄ�ÇáÛ�ÆFÜ ÷ ã�Ö×¾�àqÖÃÄ�Ö¬Â�Û�À�Å�Ö×ÀÆ�Û%¾©À�ÁJÅ�À�ßSÀ�ß�â�ÀhE!Ê�Ìi � � �6� P�� Ù×Â�Á¬ß�Ø©À Å

��u v�Ê�Ì �Ð &�' �� Ó r��

Ð ��� � rÐ ��� ���u6jv Ê�Ì �

Ð &�' �� Ó r d�Ð ���Ck� rÐ ��� �

��;��

ã�Ö×ÀLÛ�À � rÐ ��� Â�ÁYß k� rÐ ��� Â�Û�À;Å�Ö×À Y2ÀLÛ�Á¬Ä�Å�ÀL¾�ÁÈYÆFØJI�Á×ÆFÜ°¾©Â�Ø©Ä5Æ�Ç�ß�ÀLâ�Û%À�À o�Æ�ÁÅ�Ö×ÀÅ�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�ÄZx Â�Á¬ß9dx�Ù¬Û%ÀLÄ�ÈaÀLà,Å%¾�¿FÀ�Ø�I�å�½�¾�¿FÀ�ÁÞ¾©ÁJÅ�À�âFÀ�ÛqÄZh]jml_jn/Lj o¬ÙaØ�À�Å"o Ò� O p äYÀÅ�Ö¬À�Ø�¾©Á×ÀLÂ�Û�ÇáÚ×Á¬à Å�¾©Æ�Á¬Â�ØWß�À%GYÁ×ÀLß�Æ�Á/�C[r �i÷ ��äpI

o Ò� O p ��Ê�Ì� Ò O r�q � O � q Ò

> �r �sB �t Ó Ò

d� r O sB &� q Ò O t# r�q � k�

Òr sMt ��� Ô �{" � D6�K�Ö×À�Ä�ÀSÂ�Û�À;à�Â�ةةÀLß_~$ �=p=�:vu657<~ ~�LwO65H!%:@8 =35B06> ~�=ML =p2�'!7!2Ql]å D Ä�ȬØ�¾©Á×À � � �C[r �i÷ �äaÀ�Ø©Æ�Á×âJÄ2Å�Æ�� p � t �2ÇáÆ�Û�Ä�Æ�Ü°Àslyx^h5¾�Ç4Â�ÁYßSÆFÁ×ØJIS¾�Ç

o Ò= O p ��Ì h?� l}jK: j`oq� hnjzl j`lB" � =!�Y2À�Ø©Æ�ãdã2À!Ä�Ö¬Â�Ø©Ø1Æ�Ç­Å%À�ÁÞÜ�ÂHGFÀªÚ¬Ä�À�Æ�Ç�Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Ä�à ÆFÁ¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á¬Ä�Å�ÆHà�Â�Ø©à�Ú×Ø�Â�Å�À

Æ�Á¬À;à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ¢Æ�Ç�ÂÕÄ�È×Ø�¾©Á×À�¾�ÁRÅ�À�Û%Ü�Ä5Æ�Ç�Æ�Å%Ö×À�ÛqÄLå_E�Á×À;ã2Â�IÃÅ�Æ�ß�ÆÕÅ�Ö×¾�Ä5¾©Ä�Å�ÆÄ�¾�Ü°È×Ø�I;ÚYÄ�À{o Ò� O p �!Ì h°Å%ÆSÄ�Æ�Ø©¿�ÀªÇáÆ�Û�Å�Ö×À5à Æ�ÀWbHà�¾�ÀLÁFÅ

� Ò O r�q � O � q Ò¾©ÁÞÅ�ÀLÛ�Ü�Ä�Æ�Ç]Å�Ö×À

à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Ä�¾�Á¢Å�Ö¬À�Ä�Ú×Üxå/�ÃÀ�Ä�Ö¬Â�Ø©Ø�Â�Ø�Ä�Æ�Ü�ÂHGFÀ�Ú¬Ä�À�Æ�Ç×Å%Ö×À�ÇáÆ�ةةÆ�ã�¾�Á×â�ã�ÀLØ�Ø4SCGJÁ¬Æ�ã�ÁØ©À�Ü°Ü�Â×å

Page 4: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

D ����������� ������������ ������� �����! ���"� �$# �&%�')( �* � "���� � ��+-, �/. ��021 3���14+5��� é�êRêXe d1³ 9 ��A��Mô�3��ö�ûqü x ð�î�ï dx ð�ò,üHð�û¢ð���öFþ�ü��ù]úaüqò üR�FÔ���� � ��� f ð�ò,ü°îaö�ñÿ,ö�õ�õ©í©îaü ð�òC��Mô#�3��ö�û,üªñ§úYð�ñ]ð�õ©õ�ÿ,ö�ü���ÿ�íáüqîMñiû

�Ð ��� ð�î�ï d

�Ð ��� ö�î ñkúMüªï�í�û�%A = ��� � ��ö�ý

ñkúMü�û��Mõ©í©îaü��!ð�ò ü��îaöFù]îÞü��Mÿ,ü��]ñ�ý§ö�ò

� r�� r O r�q = O = q r

� �°Ì� C.����$"$"#"%��p�d� r

Ê�Ì d� r O = q r O r�q =

� ��� C. �!�$"#"$"%� d�p�� U �

ý§öCò�û,ö��Sü� ��6: ���p� d��ù]í§ñ§ú-hkj��p� d�6��>��sj� sj��p� d�6�Fð�î1ï���. d�&>� �jz: jaoqC���úaüqîñkúMüªÿ öJü���ÿ�íáüqîMñ§û�������ð�ò,ü�ô�î×í<��ô�üqõ9�xï�üCñ¡ü,ò�°í©îaü�ï �$�Õñkúaü�û!�Sö�ö�ñ§ú×îaü û�û�ÿ,ö�î�ï�íiñkíáöCî¬û

o Ò= O p ��Ì h?� C. ��jzl}j"�S. d�F># �" �Cb��

D Ä!¾©Äªã2À�Ø©Ø$G�Á×Æ�ã�Á1Ù�EWÀ�Ü°Ü� � Ä�Ö×Æ�ڬةß�Á×Æ�ŪäaÀ�Ú¬Ä�ÀLßÃã�Ö×À�Á�Å%Ö×À�ÀLß�âFÀ�E�¾©Ä 5�7#0!2'�7$1!7!57!2^0:�7FÙ 0 � � � ÙYã�Ö×À�Á0�FÔB��� � ��� f Â�Û%À�Á×ÀLÂ�Û�Ø�ISà ÆFØ�Ø©¾©Á×ÀLÂ�ÛLåK�Ö×À�Ä�Ü°ÆJÆ�Å�Ö×Á¬ÀLÄ%Ä6ÇáÚ¬Á¬à,Å%¾�ÆFÁ¬Â�Ø�Ä2¾�Á � Dp��àLÂ�Á;äYÀªÚ¬Ä�ÀLßSÅ�Æ°ß�À%GYÁ×Àª¿�À�Û@I°â�ÀLÁ×À�ÛqÂ�Ø~WO6;�7�2V~%;6> 895�7�~$;�0N!$7�~

��$r �i÷ �2Ê�Ì ÍB���/� [r �i÷ �2ÊRo?��Ì h×Ù×Â�Ø�Ø o � %�Ñ

Â�Ä%Ä�Æ�à�¾©Â�Å�À�ß�ã�¾�Å�Ö¢Â�Á!Â�Û%ä×¾�Å�ÛqÂ�Û@I�Ä�À Å&%:Æ�Ç×Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×ÀLÄ%Ä�ÇáÚ¬Á¬à,Å%¾�ÆFÁ¬Â�Ø�Ä�å�K�Ö×ÀLÄ�À6Ä�ȬÂ�à�ÀLÄÀ�ÁYà Æ�ܰȬÂFÄ�Ä°Â�Ø�Ø�Å%Ö×À à Ø�Â�Ä%Ä�¾�à�Â�Ø�ä×¾�¿�Â�Û�¾�Â�Å%ÀxÄ�È×Ø©¾�Á¬ÀxÄ�ȬÂFà ÀLÄ�Â�Á¬ß`Ä�Ú×ÈaÀ�ÛqÄ�È×Ø�¾©Á×ÀÞÄ�Ú×äSÄ�ȬÂ�à�ÀLÄLå

' À�à�Â�Ø�ØYÅ�Ö¬Â�Å2Ây'!7$:�7�2� �895�895�1 ~'7%:]ÇáÆ�Û�Â!Ä�È×Ø©¾�Á×À�Ä�ÈYÂ�à À���( �C[r �i÷ �]¾©Ä2Â�Ä�Ú×ä¬Ä�À Å) Æ�Ç�Å�Ö×À¢Ä�À�Å�Æ�Ç]ß�Æ�Ü�Â�¾©ÁÞÈaÆ�¾©ÁFÅqÄ?) r O 8 Ä�Ú¬àqÖ�Å�Ö¬Â�Å�¾�Ç �F� �dÂ�Á¬ß

� \Ì h5ÇáÆFÛ�Â�Ø©Ø

+ ��)*Ù�Å�Ö¬À�Á� \

Ì hxÇáÆ�Û¢Â�Ø©Ø*+ �n) r O 8 Ù 0 � � � Ù �+* h×å K�Ö×ÀHÄ�À Å,) ¾�Ä!à�Â�Ø�Ø©ÀLß �895�8P 06>�'�7%:�7!2 �895�895�1]~)7$:�-.+/1032�ÇáÆ�Û �0¾�Ç4Å�Ö¬À�Û%À�¾�Ä�Á×ÆxÄ�Ü°Â�Ø�Ø©À�Û�ß�À Å%À�Û%Ü°¾�Á×¾©Á×âÄ�À ÅLå 6 Å2¾©Ä8GJÁ¬Æ�ã�Á¢Å%Ö¬Â�Å�) ¾©Ä2Â54 MsK°ÇáÆ�Ûs�¾�ÇWÂ�Á¬ß°Æ�Á¬ØJI5¾�Ç1ÀL¿�ÀLÛ'I5Ä�È×Ø©¾©Á×À �����¾�ÄÚ×Á×¾VRJÚ×À�Ø�I ß�À�Å�À�Û%Ü°¾�Á¬ÀLßÞäpIx¾�ÅqĪÄ�À�Å�Æ�Ç8Y8S|à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Ä�Í

�v\Ñ\W]76

å���À¢Û%ÀLàLÂ�Ø©ØWÅ%Ö¬Â�ÅÂ84 MsK9) ¾�Ä�Ä%Â�¾�ß�Å�Æ;äYÀ�> = !$06>�È×Û%Æ�¿J¾�ß�À�ß�Å�Ö×ÀLÛ�À¢¾©Ä�Â�Á ¾©ÁJÅ�À�âFÀ�Û �Ä�Ú¬àqÖÞÅ%Ö¬Â�Å�ÇáÆ�ÛÀ�¿FÀ�Û@IHÅ%Û�¾�Â�Á×âFØ�À�x ��÷ÃÙ×Å%Ö×À�à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Ä�Æ�Ç �¢ÂFÄ�Ä�Æ�à ¾�Â�Å%ÀLß�ã�¾�Å%Ö ß�Æ�Ü�Â�¾�ÁÞÈaÆ�¾©ÁJÅ%ľ©ÁLx ß�À�ÈaÀ�Á¬ß;Æ�Á¬ØJI�ÆFÁHÅ�Ö¬À�¿�Â�Ø�Ú×À�Ä2Æ�ÇWÅ%Ö×À�à Æ�ÀWbHà�¾�ÀLÁFÅqÄ�Â�Ä%Ä�Æ�à ¾�Â�Å%ÀLß�ã�¾�Å�Öxß�ÆFÜ°Â�¾�ÁÈaÆ�¾©ÁFÅqÄ�¾©Á:)<;�ÄlÅqÂ�Û>=�� x � Ù�ã�Ö×À�Û%ÀSÄ�Å%Â�Û6[6� x �°Ê�Ì x Â�Á¬ßÄlÅqÂ�Û Ð � x �ª¾©Ä�Å�Ö¬ÀSÚ×Á×¾©Æ�ÁÆ�Ç�Å%Ö×À;Ä�À Å5Æ�Ç�Â�Ø©Ø�Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄ�ã�Ö¬¾©àqÖ Å%Æ�Ú¬àqÖR Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©À�¾©ÁÄlÅqÂ�Û Ð q Ô � x �,å@?�¾©Á¬Â�Ø©Ø�I�Ùã2ÀSÛ%ÀLà�Â�Ø�Ø6Å�Ö¬Â�Å5Â#4 M�K:) ÇáÆ�Û°ÂÕÄ�È×Ø�¾©Á×À�Ä�ȬÂFà ÀA� Æ�Ç�ß�ÀLâ�Û%À�ÀNo�ß�À$G¬Á×ÀLßÆ�ÁRÂÅ�Û%¾�Â�Á×âFÚ×Ø©Â�Å�¾©Æ�Á÷ ¾�Ä¢Ä%Â�¾�ß Å%ÆÕäaÀL~):)0 ��> 7;È×Û%Æ�¿J¾�ß�À�ß�Å�Ö×ÀLÛ�À;À%H�¾�ÄlÅqÄ¢Â�à ÆFÁ¬ÄlÅqÂ�ÁJÅBAß�ÀLÈYÀLÁ¬ß�¾©Á×â�Æ�Á×Ø�IHÆFÁSÅ%Ö×À!Ä�Ü�Â�Ø�Ø©ÀLÄ�Å�Â�Á×âFØ�À�¾©Á ÷ Ä�ÚYàqÖSÅ%Ö¬Â�Å

ܰ�HC ]M^ _�` a

u� CujDAËÜ�ÂBH

\$]76u�v\u9" ��@��

Page 5: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

#�� '�� 1 # � �H � �����������[������H1 � � 0����$0�� ( � � % ��1 02� ��� =

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � �� �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � �� �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � �� � � � �� �� � � � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� �� � � � �� � � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��������������������������� ���������������������������������

����������������������������� �������������������������������

��������������������������� ��� ������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� �� � � � �� � � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � �� �� � � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������������������� � ������������������������������

����� u���u4 ��Fw�~����lw%}l���L�����l~�����z|w%�lz�� v Ô�� � v��� � � v�! � � vP�� � � vP! �±!"W³ æ ¸aè$#1µ�¸YêR¼�e×è4´ µM¶�éJ·&%�¸Yè�e�¶L¼§¸Yµ

?×ÆFÛ�Ø©Â�Å�ÀLÛ�Ú¬Ä�À�Ù�ã2À�Á×Æ�ã0Ä�Å%Â�Å�À!°ڬÄ�À ÇáÚ×ØWÈ×Û�ÆFÈYÀLÛ�Å�ISÆ�Ç�Å�Ö×À Y2À�Û%Á¬Ä�Å�ÀL¾�Á�ä¬Â�Ä�¾�Ä�ÈYÆFØJI�SÁ×ÆFÜ5¾�Â�Ø�Ä�Æ�Ç�ß�À�âFÛ�ÀLÀ�oHÂ�Ä%Ä�Æ�à�¾©Â�Å�ÀLßSã�¾�Å%ÖÞ¢âF¾�¿FÀ�Á;Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©Àsx0Ê�ÌG $'����_�)( � å*,+ é�¸¬·�é�ê�"1³.-�üCñ0/ ��ü�ð�î°ð�ò ��íiñkò,ð�ò)��û�ô ��ûqü�ñWöCýWñ§úaü�ûqü�ñ�) vÞö�ý1ï�ö �Hð�í©î���öCí©îMñ§ûð�û%û,ö�ÿ%í�ð×ñ¡üCïÕù]í§ñ§ú x���ð�î�ïxõ­ü�ñyhcj ocj bOC+��úaüqîÃý§öCò!ð�î��RÍ�� C Ñ C ]

1 ��ñkúaü,ò,ü!í©û�ðô�î×í<��ôJüL��öCõ9��îMö��°í�ð�õ�öCý�ñkúaü�ý§ö�ò�

2 Ê�Ì �\$]1 �v\ �

r\

ûLô�ÿlúÃñ§úYð�ñ2 �kÏ3�4Ì � C � Ï��3/A" �54��

æ ·�¸1¸7698 K�Ö×ÀÞÛ%ÀLÄ�Ú×Ø�Å�¾�Ä�ÀLÂFÄ)IRÅ�Æ�È×Û%Æ�¿�À;ÇáÆ�Û]o:Ì h3�$��� � Ù4ä×Ú�Å;Ä�Æ�ÇkÂ�Û�Û%À�Ü�Â�¾©Á¬ÄÂÕà�Æ�ÁNglÀ�à,Å%Ú×Û�ÀHÇáÆ�Û¢Â�Û�䬾�Å%Û%Â�Û'I�ß�À�âFÛ�ÀLÀNo¬Ù4Ä�À�À 9 � ��A¡å;:�Æ�ã2À�¿FÀ�Û�Ù�ã2ÀHÖ¬ÂC¿FÀH¿�ÀLÛ�¾JG¬À�ßÅ�Ö¬À5Û%ÀLÄ�Ú×Ø�ŪÇáÆ�Û!Â�Ø©Ø$o}j bSÂ�Á¬ß�Â�Ø©Ø�àqÖ¬Æ�¾�à ÀLÄ�Æ�Ç</ äpI À%H�È×Ø©¾©à�¾�Å%ØJIÃà Æ�Ü°È×Ú×Å�¾©Á×â�Å�Ö×Àß�À�Å�À�Û%Ü°¾�ÁYÂ�ÁJÅ%Ä;Æ�Ç�Å%Ö×ÀÃÜ�Â�Å�Û%¾©à�ÀLÄ>= 1 Ê�Ì 9 � r\

�áÏ3�[A\ O C ] 1

Ú¬Ä�¾©Á×âD4 Â�Å%Ö×À�Ü�Â�Å%¾©àLÂ×å? Æ�Å�ÀÃÅ�Ö¬Â�Å Ä�¾©Á¬à ÀÃÅ�Ö¬À�ÀLÁJÅ�Û%¾�À�Ä;ß�ÀLÈYÀLÁ¬ß0Æ�Á×Ø�I:Æ�Á0ä¬Â�Û@I�à À�ÁJÅ%Û�¾�àÕà�ÆJÆFÛ%ß×¾�Á¬Â�Å�À�ÄSÆ�Çß�ÆFÜ°Â�¾�ÁÕÈYÆF¾�ÁJÅ%Ä�¾©Á x!ÙaÅ�Ö¬ÀLÄ�À�Ü�Â�Å%Û�¾�à À�Ä�ß�Æ;Á×Æ�Å�ß�ÀLÈYÀLÁ¬ß ÆFÁÞÅ�Ö×À°Ä�¾4WLÀ�Ù�Ä�ÖYÂ�ÈaÀ�ÙMÆ�ÛÆ�Û%¾©À�ÁJÅ%Â�Å�¾©Æ�ÁSÆ�Ç�Å%Ö×ÀªÅ�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�x!å

Page 6: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

U ����������� ������������ ������� �����! ���"� �$# �&%�')( �* � "���� � ��+-, �/. ��021 3���14+5��K�Ö×À!ÇáÆ�Ø©Ø�Æ�ã�¾©Á×âHà�ÂFÄ�À�Ä�Æ�ÇYK�Ö×ÀLÆ�Û%À�Ü ;SÂ�Û%À�Æ�Ç]ȬÂ�Û�Å�¾�à ڬةÂ�Û�¾�ÁJÅ�ÀLÛ�À�ÄlÅ�Ö×À�Û%À��kÄ�À�À

D Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö¬Ü � � �,Ê/ v[ Ê�Ìz) v �/ v Ô Ê�Ìz) v��QA vP �$'c�{�/ v��� Ê�Ì / v Ô �QA vP ��p�%�/ v�! Ê�Ì / v�!� �QI v� � EB�{�/ vP�� Ê�Ì / v�!� �QA vP � ( �{�/ vP! Ê�Ì / vP!� �QI v� � EB�{�

���?h��

ã�Ö×ÀLÛ�ÀDE Ì '��6� � Â�Á¬ß_oRÌ b�å K�Ö¬ÀLÄ�À;à ÆFÁOG¬âFÚ×Û%Â�Å�¾©Æ�Á¬Ä�Â�Û%ÀSÄ�Ö¬Æ�ã�Á ¾�Á:?�¾©â¬å���Ùã�Ö×ÀLÛ�À�Å�Ö×À�ÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�¾©Á¢Å%Ö×À�Ä�À�Å%Ä�/ vÐ Â�Û�À2Ü�Â�Û)G�ÀLß�ã�¾�Å%Ö��¢ÙFÂ�Á¬ß¢ã�Ö×À�Û%À�Å�Ö×À�¿�ÀLÛ�Å%¾©à�ÀLÄÂ�Û%À�Ø�Â�äaÀ�Ø©Ø�À�ß�¾�ÁRà�Æ�Ú×ÁJÅ�ÀLÛ%à�Ø�Æ�à�G�ã�¾�Ä�À°Æ�Ûqß�ÀLÛ!ã�¾�Å%Ö 'Â�Å!Å�Ö×ÀHÅ�Æ�ÈWå���Ä�¾�Á×â94ÕÂ�Å�Ö¬À�SÜ�Â�Å%¾©àLÂ×Ù�ã2À�ÇáÆFÚ×Á¬ß;Å�Ö¬ÀªÇáÆ�Ø©Ø�Æ�ã�¾©Á×â°¿�Â�Ø©Ú×ÀLÄ2ÇáÆFÛ�� = q ÔÐ ��Ê�Ì�� = q Ô

1���Ê

� = q Ô[ � � = q ÔÔ � � = q Ô�!� � � = q Ô�! � � = q ÔP�� � � = q ÔP! �Dq� � å h � h ;5="h×å h�b"b � 45;×å b 4 � �?hHD¬å 4";?� @ U å h � D D U å 4"h �± �W³��¢¸aèk¸Y·C¼§µ��}e * ·�¼�e×µ��aº�è e�¶�¼k¸aµ

½�¾©¿�À�ÁÞ°È×Ø�Â�ÁYÂ�Û�Å�Û%¾�Â�Á×âFÚ×Ø©Â�Å�¾©Æ�Á ÷ Æ�Ç�Â�ß�ÆFÜ�Â�¾©Á t�Ù¬ã�À!Ä%Â�I�Å�ÖYÂ�Å�Ålã2Æ5Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLľ©Á ÷ÝÂ�Û%ÀF5�7�8 1�u���=p2V~�ȬÛ�Æ�¿�¾�ß�ÀLßSÅ�Ö×À#IHÖ¬ÂC¿FÀ�°à ÆFÜ°Ü5ÆFÁ;À�ß�â�ÀFå �ÃÀ!Ä%Â�I°Å�Ö¬Â�Å�Å�Ö×À#I:�=�ON!NuªÈ×Û%Æ�¿�¾©ß�À�ß°Å�Ö¬À$I°Ö¬ÂC¿�À�Â�Å�Ø�À�Â�Ä�Å�ÆFÁ×À�¿FÀ�Û�Å�À%H�¾©Á;à�Æ�Ü°Ü°Æ�Á1å ��À�Á×Æ�ã:ȬÛ�À�Ä�ÀLÁFÅÂ�ÁRÂ�Ø�âFÆ�Û%¾�Å%Ö×Ü ÇáÆ�Û¢à�Û�À�Â�Å%¾�Á×â  ä×Ø©ÂFà�G�� ã�Ö×¾�Å�À�à ÆFØ�ÆFÛ�¾©Á×âxÆ�Ç�÷Ãå(K�Ö×¾�Ä¢à�Æ�Ø©Æ�Û%¾�Á¬âã�¾©Ø�ØaäYÀ�Æ�Ç1¾©Ü°ÈYÆFÛ�ÅqÂ�Á¬à�À�Ø©Â�Å�ÀLÛ�Â�Ä�Â�Ü°ÀLÂ�Á¬Ä]ÇáÆFÛ6Æ�Û%âFÂ�Á×¾TW�¾©Á×âªÅ�Ö×À�Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄ6Æ�Ç�÷$Ä�ÆÅ�ÖYÂ�Å� EWÂ�â�ÛqÂ�Á×âFÀ�¾©ÁFÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Æ�Á�ȬÂ�¾©Û�à�Â�Á;äaÀ!à ÆFÁ¬Ä�Å�Û%Ú¬à,Å%ÀLß�å� è��Y¸Y·�¼á¶ + ê���³8�Mñið�òLñ�ù]íiñkú ð�î�� ��õ�ð�ÿ>�;ð�î�ïxù]ú×íiñ¡ü�ÿ öCõáöCò%í�î�óSöCý4÷ C������ü)��ü�ð�ñ�ô�îMñkí©õaü�þCüqò)�Hñkò%í�ð�î�óFõáü2öCýM÷ úYð�û]ð�ñ �Sö�ûLñWöCîaü6îaü,í�óJú ��ö�ò]ö�ýWñkúMü2û%ð �Hü

ÿ öCõáöCò��Â6����úMöJö�ûqü6ð�ñ§ò�í­ð�î�óJõ­ü$x:ù]í§ñ§ú5ð×ñYõáü ð�û�ñ�ñ|ù]ö�îaüqí�óFú ��öCòqû�öCý�ñ§úaü6û%ð �Hü�ÿ,ö�õ­ö�òCä_�+��ù]í§ñ�ÿlú�ñ§úaü�ÿ,ö�õ­ö�ò�öCý/xFC

� � �Mù]íiñlÿlú�ñkúMü�ÿ,öCõáöCò�öCý]üCþ�üqò)�Õù]ú×í§ñ|ü�ñkò%í�ð�î�óFõáü�úaðJþ�í©î�óHð;ù]ú×í§ñ|ü�îaüqí�óFú ��öCò�ð�î�ïñ|ù4ö°ü�ï�ó×ü,û�öCî�ñkúMüB��ö�ô�î�ïJð�ò��OC

� ¼ f�»�º/f<f�¼k¸aµ 8 6 Å°¾�Ä¢À�Â�Ä'IÕÅ%ÆÃÄ�À�ÀSÅ�Ö¬Â�Å¢Å%Ö×À;Á�Ú×Ü¢äYÀLÛ¢Æ�Ç�ÀLß×â�ÀLÄ¢Ä�ÖYÂ�Û%ÀLß äpI�Ålã�ÆÅ�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�ã�¾�Å%ÖªÅ�Ö×À�Ä�Â�Ü5À4à�Æ�Ø©Æ�ÛWß×ÀLà Û%ÀLÂFÄ�À�Ä�Â�Å1À�Â�àqÖ�ÄlÅ%À�È1å�K�Ö×À�Û%À6Â�Û�À�Ålã2Æ�ÈYÆJÄ�Ä�¾�ä¬Ø�Àà�ÂFÄ�À�Ä�Ù�ã�Ö¬À�Û%À�Å%Ö×¾�Ä�Á�Ú×Ü�äaÀ�Û�ß�À�à Û%ÀLÂFÄ�À�Ä�ÀL¾�Å%Ö×À�Û�äpIJ;¢ÆFÛ���Ê

Page 7: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

#�� '�� 1 # � �H � �����������[������H1 � � 0����$0�� ( � � % ��1 02� ��� b

����� u��¬u���|}l~��L�J�L�J�����l~��L��{q�����L}lwqy5�����6�����L}l~��l�F���F�6 Å]ÇáÆ�ةةÆ�ã�Ä�Å�Ö¬Â�Å]Å�Ö×À�À�Ä�Ä�À�ÁJÅ�¾�Â�Ø�ȬÂ�Û�Å4Æ�ǬÅ%Ö×À�Â�Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö×ÜxÙ�Ä�Å�ÀLÈ ��,Ù�Å�À�Û%Ü°¾�ÁYÂ�Å�À�Ä]Â�Ç­Å%À�ÛÂ�Å�Ü°ÆFÄ�Å"I��!Ä�Å�ÀLȬÄLÙ�ã�Ö×À�Û%À{I���¾�Ä2Å�Ö×À�Á�Ú×Ü¢äYÀLÛ�Æ�Ç�¾�ÁJÅ%À�Û%¾�ÆFÛ2À�ß�â�À�Ä�¾�ÁÕ÷Ãå

��À�Á×Æ�Å%À�Å�Ö¬Â�Å6Ä�¾©Á¬à�À�Å%Ö×À�ß�ÚYÂ�Ø�â�ÛqÂ�Ȭ֢Æ�ÇMÂ�Å�Û%¾�Â�Á×âFÚ×Ø©Â�Å�¾©Æ�Á5¾©Ä]ªȬةÂ�Á¬Â�Û�â�ÛqÂ�ȬÖÆ�Ç]Ü�ÂBH�¾©Ü�Â�Ø�ß×À�â�Û%À�ÀªÅ%Ö×Û%À�À�Ù¬Å�Ö×À5Â�äaÆ�¿�À�à ÆFØ�ÆFÛ�¾©Á×âHÂ�Ø�âFÆ�Û%¾�Å%Ö×Ü$àLÂ�ÁÞäaÀ�à ÆFÁ¬Ä�¾�ß�ÀLÛ�À�ßÂ�Ä�Â5¿�Â�Û%¾�Â�ÁJÅ2Æ�ÇWÅ%Ö×À!à ÆFØ�ÆFÛ�¾©Á×â5Ü5À�Å�Ö×Æ�ß;¾�Á 9 �<hHA�ÇáÆ�Û�äYÆFÚ×Á¬ß�À�ßxß�À�âFÛ�ÀLÀ�âFÛ%Â�È×Ö¬ÄLå 6 Áâ�ÛqÂ�ȬÖHà Æ�Ø©Æ�Û%¾©Á×âªÅ�Ö×ÀLÆ�Û@I�ÙJÄ�Ú¬àqÖ;à Æ�Ø©Æ�Û%¾©Á×âFÄ]ã�Ö¬À�Û%À�Á×À�¾©â�Ö�äaÆ�Û%¾�Á¬â�GJÁ¬Æ�Å%Ä2Â�Û%À�Â�ةةÆ�ã�À�ßÅ�Æ°Ö¬ÂC¿FÀ�Å�Ö×À!Ä%Â�Ü°À�à ÆFØ�ÆFÛ�Â�Û�À�àLÂ�Ø©Ø�À�ß 8P �;!2�=?;�7�21Æ�ÛS'�7WL�7,!{:@8 �7{!%=?> =p2�895�1"~LÙJÄ�À�À 9 D¬Ù U A¡å

?�¾©â¬å � Ä�Ö×Æ�ã�Ä�Â�ÁxÀ%H×Â�Ü°È×Ø©À!Æ�Ç]°Å%Û�¾�Â�Á×âFÚ×Ø�Â�Å�¾©Æ�Á;Å�ÖYÂ�Å�Ö¬ÂFÄ�äaÀ�ÀLÁ à Æ�Ø©Æ�Û%ÀLß;äpIÅ�Ö¬ÀSÂ�äaÆ�¿�ÀHÂ�Ø�âFÆ�Û%¾�Å%Ö×ÜxåN��ÀHÁ×Æ�Å%À�Å�ÖYÂ�Å!Å%Ö×ÀSÂ�Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö¬Ü ¾�Ä�ÇkÂ�Ä�ÅLÙ�Á¬Â�Ü5ÀLØJI�Ø©¾�Á×À�Â�Û¾©ÁÃÅ%Ö×À°Á�Ú×Ü�äaÀ�Û�Æ�Ç�Å%Û�¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�Ù�ã�Ö¬¾©àqÖ�ÇáÆ�ةةÆ�ã�Ä�ÇáÛ%Æ�Ü Å�Ö×ÀHÂ�äYÆ�¿FÀ5ß�¾�Ä%à Ú¬Ä%Ä�¾©Æ�Á�Â�Á¬ß Ú¬Ø�ÀLÛ�� Ä2ÇáÆ�Û%Ü�Ú×Ø�Â�À �kÄ�À�ÀFÙ�ÇáÆ�Û�¾©Á¬Ä�Å%Â�Á¬à À 9 ��DHA��,åD Ç­Å�À�Û4Â�È×È×Ø�I�¾�Á×â D Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö¬Ü D�Å�Æ�Â�Å�Û%¾©Â�Á×â�ڬةÂ�Å�¾©Æ�Á1ÙC¾�Å�¾�Ä�à Ø©ÀLÂ�ÛWÅ%Ö¬Â�Å4Â�Ø©Ø�ä×Ø�Â�à�G

Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä6Â�ȬÈYÀ�Â�Û�Ä�¾©Á×â�Ø�I°Æ�Û6¾©ÁHȬÂ�¾�ÛqÄ6Ä�Ö¬Â�Û�¾©Á×â�¢à Æ�Ü°Ü°Æ�Á�À�ß�â�ÀFå 4ÞÆ�Û%À�Æ�¿FÀ�Û�Ù�Â�ÁpIä×Ø�Â�à�G5Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�ÆFÛ�ÈYÂ�¾©Û�Æ�Ç1ä×Ø©ÂFà�G5Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄ�à�Â�ÁHÅ�Æ�ÚYàqÖSÆ�Å%Ö×À�Û2Ä�ÚYàqÖ;à Ø©Ú¬Ä�Å�ÀLÛ%Ä6Æ�Á×Ø�IÂ�Å!Â;¿�ÀLÛ�Å%À%H�å-K�Ö×À�Â�Á¬Â�Ø©Æ�âFÆ�Ú¬Ä�ÄlÅqÂ�Å%À�Ü°À�ÁJÅ�Ö×Æ�Ø�ß×Ä�ÇáÆFÛ�Å%Ö×À�ã�Ö×¾�Å�À5Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�å-�ÃÀÂ�Ø�Ä�Æ�Á×Æ�Å�À�Å�Ö¬Â�Å2Á×Æ5ã�Ö×¾�Å�À�Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�ã�¾�Å%ÖHÅlã2Æ¢À�ß�â�À�Ä6ÆFÁHÅ�Ö¬À�äaÆ�Ú×ÁYß×Â�Û@I°Æ�Ç t:Ö¬Â�ÄÂ5ã�Ö×¾�Å�À�Á×ÀL¾�âFÖJäaÆ�Û�å

±� �³�� e×»�·�¸��qéJè§é�êRé�µM¶<f6 ÁxÅ�Ö¬¾©Ä�Ä�À�à,Å�¾©Æ�Áxã2À�ß�À�Ä�à�Û�¾©äYÀ!Ä�À�¿FÀ�ÛqÂ�Ø�� � Ü�ÂFà Û%ÆHS¡À�Ø©À�Ü°À�ÁJÅ�Ü°À Å�Ö¬Æ�߬Ä�ã�Ö×¾�àqÖÞã�¾�Ø©ØäaÀÃÚ¬Ä�À ÇáÚ¬Ø�¾�Á Ä�ÆFØ�¿�¾©Á×â`76Û�ÆFä×Ø�ÀLÜ ��å 6 Á ȬÂ�Û�Å�¾�à Ú×Ø�Â�Û�Ù�âF¾�¿FÀ�ÁdÂä×Ø�Â�à�G � ã�Ö×¾�Å�Àà ÆFØ�ÆFÛ�¾©Á×â�ÂFÄWà�Æ�Á¬Ä�Å�Û%Ú¬à,Å%ÀLß�¾©Á!Å%Ö×À2È×Û�ÀL¿�¾�ÆFÚ¬ÄWÄ�ÀLà Å�¾©Æ�Á1Ù�Â�Á¬ß�â�¾©¿�ÀLÁ�Â�Ä�È×Ø©¾�Á¬À ��ß�À$G¬Á×ÀLßÆ�ÁÕÅ�Ö×À�ä¬Ø©ÂFà�GxÅ�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄLÙMã�À°ã�¾©Ø�Ø]Ú¬Ä�À¢Å�Ö×À°Ü�Â�à�Û�Æ"SiÀLØ�ÀLÜ5ÀLÁJÅ%Ä�ß�ÀLÄ%à Û%¾�äaÀLßÃÖ×ÀLÛ�À¢Å�ÆÀ%H�Å%À�Á¬ß �5Æ�ÁJÅ�ÆSÅ�Ö×À°ã�Ö×¾�Å�À5Å%Û�¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�¾©Á�Ä�Ú¬àqÖ�ÂSã�Â�IÞÂ�Ä�Å�ÆÞß�À$G¬Á×À°Â � � Ä�È×Ø�¾©Á×ÀÆ�Ç�ß�À�âFÛ�ÀLÀNb�å 6 Á�¿�¾©À�ã Æ�Ç6Å%Ö×À�Á¬Â�Å�Ú×Û%À°Æ�Ç6Å%Ö×ÀHà ÆFØ�ÆFÛ�¾©Á×âYÙaã2À°Ö¬ÂC¿�À¢Å�Æ ß×ÀLÂ�Ø]ã�¾�Å�ÖÀ%H�Å%À�Á¬Ä�¾�ÆFÁ¬Ä�Æ�ÁJÅ%Æ�ÀL¾�Å%Ö×À�Û�Â�Ä�¾©Á×â�Ø©À2Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©À�Æ�Û4ªȬÂ�¾�Û]Æ�ÇMÂFßHglÆ�¾©Á×¾©Á×âªÅ�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�å&�ÃÀà�Â�Á�Å%Ö×¾©Á G¢Æ�ÇYÜ�Â�à�Û�Æ"SiÀLØ�ÀLÜ°À�ÁJÅ%Ä�Â�Ä]Ä%àqÖ×ÀLÜ5À�Ä�ÇáÆ�ÛYGYØ�Ø©¾�Á¬â�Å%Ö×Û%À�À�Æ�Û�ÇáÆFÚ×Û!S¡Ä�¾©ß×ÀLߢÖ×Æ�Ø©ÀLľ©ÁÕÂ�Å%Û�¾�Â�Á×âFÚ×Ø�Â�Å�¾©Æ�ÁWå�?×ÆFÛ�Â;à Æ�ÁYÄlÅ%Û�Ú¬à Å�¾©Æ�Á Æ�Ç*l S¡Ä�¾�ß�ÀLß � p Ü�Â�à Û%ÆHÀLØ�ÀLÜ5ÀLÁJÅ%ÄLÙaÄ�À�À9 � h�A¡å

Page 8: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

@ ����������� ������������ ������� �����! ���"� �$# �&%�')( �* � "���� � ��+-, �/. ��021 3���14+5�� 1³k²a³ *,+ ·�é�é ��fL¼§¹�é�¹ ê�e×»�·�¸��qéJè§é�êRé�µM¶<fE1À�Ånx Ê�Ì � Ô �6� � �6� P � äYÀxÂÞÅ%Û�¾�Â�Á¬â�Ø©ÀH¾�Á`ÂÞÅ%Û�¾�Â�Á×âFÚ×Ø�Â�Å�¾©Æ�Á ÷ Æ�Ç�ÂÕß×Æ�Ü�Â�¾©Á`t�å��Àxà�Æ�Á¬Ä�¾�ß�À�Û¢Å�Ö×Û%À�Àxà�ÂFÄ�À�Ä¢ß×À�ÈaÀ�Á¬ß�¾©Á×â�Æ�ÁÖ×Æ�ã Ü�Â�ÁpI ÀLß×â�ÀLÄ¢Æ�Ç�x Ø�¾©ÀxÆ�ÁÅ�Ö×ÀäaÆ�Ú×Á¬ß¬Â�Û@I � t:Æ�ÇFt�å$��À!Ä�Ö¬Â�Ø�Ø�Ü�Â"G�ÀªÚ¬Ä�À�Æ�Ç�Å%Ö×À�~WO6;�7�2V~%;6> 895�7�~$;�0N!$7�~

� ��O PQ �i÷ �2Ê�Ì ÍB���/� �Q �i÷ ��Ê���� � P ��p� ÙYÂ�Ø©Ø�¿�ÀLÛ�Å%¾©à�ÀLÄQ�HÆ�Ç4÷ Ñ�" ������

D Ä2Ú¬Ä�Ú¬Â�اÙ3���(� P ���O�4Ü°ÀLÂ�Á¬Ä�Å�Ö¬Â�Å�Â�Ø�ØaÈaÆ�Ø�IJÁ¬Æ�Ü°¾©Â�ØYȬ¾�À�à ÀLÄ2Æ�Ç��ªÂ�Ä%Ä�Æ�à ¾�Â�Å%ÀLß�ã�¾�Å�ÖÅ�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�Ä�Ö¬Â�Û%¾©Á×âHÅ%Ö×À°¿�À�Û�Å�À$H �ÞÖ¬ÂC¿�À5à Æ�Ü°Ü°Æ�Á�ß�À�Û%¾©¿CÂ�Å�¾©¿�À�Ä�Ú×ÈÃÅ�Æ�Æ�Ûqß�ÀLÛ�;�Â�Å�aå

?�¾©Û%Ä�ÅLÙ�ã2ÀÃÂFÄ�Ä�Ú×Ü°ÀÞÅ%Ö¬Â�Å�Á×ÆÀ�ß�â�À�ÄHÆ�Ç xÝØ©¾©ÀÕÆ�Á � t�å 6 Á:Å�Ö¬¾©Ä�à�ÂFÄ�ÀFÙ�ã�Àà ÆFÁ¬Ä�¾©ß�ÀLÛ�Å�Ö×À��Y> =�O�1�u?���o=4!Mu7!2�~%;6> 8 :�÷Jv�Æ�Ç xËà Æ�ÁYÄ�¾�ÄlÅ%¾�Á¬â5Æ�Ç�Å%Ö×ÀªÅ�Ö¬Û�ÀLÀªÅ�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄx�Ð�Ê�ÌG ��Hv�����Ð'����Ð Ô � ÇáÆFÛ���Ì �!� � �);×Ù�ã�Ö¬À�Û%À�ã2À�¾�ß�À�ÁJÅ�¾�Ç�I%� f Ìm�FÔ�Ù�Â�Á¬ßHã�Ö×À�Û%ÀS�Hv¾�Ä�Å%Ö×À5ä¬Â�Û@I�à À�ÁJÅ%À�Û�Æ�ÇFx!Ù�Ä�ÀLÀ,?�¾©â¬å�;×å�K�Ö×À�ÇáÆ�Ø©Ø�Æ�ã�¾©Á×âSØ©À�Ü°Ü�Â;¾©Ä�Â;Ä�ÈaÀLà ¾�Â�Ø�à�ÂFÄ�ÀÆ�Ç�Û%ÀLÄ�Ú×Ø�ÅqÄ�¾�Á 9 ��A¡å� é�êRêXe 1³ -�üCñ�� v ��üªñ§úaü�ûLô���û��1ð�ÿ ü�ö�ý�ð�õ�õMû��Mõ�í©îaü û ��í�î�� ��O PQ �i÷ v �4ûqð�ñ§í©û�ý��×í�î�óñkúMü�ý§öCõ©õ­öFù]í©î�óSð�ï×ïFí§ñ§í­ö�îYð�õ1û�SöJö�ñkú×îMü,û%û�ÿ öCî�ïFí§ñ§í­ö�î¬û �Â6�/��� ���6���Hv��{�äq�@o�

� O� ����O � �� ��Ì h?"��úaü,îxß×¾�Ü � vÕÌ ; 4O�Yð�î1ï�ñ§úaü�ûqü�ñ1) ÿ öCîMñið�í�î×í©î�óÞñkúMü�ï�ö��Hð�í©îA��ö�í�îMñ§û���ÞÍHA v �P ��� Ð �qÑ PЩÓ�Ô �� �ÞÍ,+ v �Ô P)P �6+ v ��)P�� ��+ v ��%�)P Ñ PÐ�Ó�Ôí�û�ð°û�ñ¡ð3��õáü������;ý§ö�òL� v�CK�Ö×À�ÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä]Ø©¾�ÄlÅ%ÀLß5¾�Á ���WÆ�ÇoEWÀ�Ü°Ü�Â�=ªÂ�Û%À2Ü�Â�Û!GFÀLß!ã�¾�Å�Ö��f¾�Á ?�¾©â¬å";¬Ù�ã�Ö×¾©Ø�À

Å�Ö¬ÀHÈYÆF¾�ÁJÅqÄ�¾©Á � ��Â�Û�À�Ü�Â�Û!GFÀLß�ã�¾�Å%Ö��¢å(K�Ö×À�Å%¾�È Æ�Ç�Å�Ö×ÀSÄ�ÈaÀLà ¾�Â�Ø2Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×À�Ä�Äà ÆFÁ¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á o�

� O� � � O � � ¾©Ä�Ü�Â�Û!GFÀLßHã�¾�Å�ÖÞÂ�ÁxÂ�Û�Û%Æ�ã�Ö×À�Â�ß�å� é�ê�e×·��]³ZI�Ø�À�Â�Û%ØJIFÙ�¾�Ç���¾©Ä2Â!Ä�È×Ø�¾©Á×À�äYÀLØ�ÆFÁ×â�¾©Á×â�Å%Æ-� � � t �&x �,Ù�ã�Ö¬À�Û%À�x:¾©Ä2Â�Ä6¾�ÁE1ÀLÜ°Ü°Â]=×Ù�Å�Ö¬À�Á �¢à�Â�ÁxäaÀ!Ú×Á×¾VRJÚ×À�Ø�ISÀ$H�Å�À�ÁYß�ÀLß�Å%Æ;÷ v Å�Æ�È×Û%Æ�ß�Ú¬à À!Â�Ä�È×Ø©¾�Á¬À!¾�Á� � ��t ��Ú¬Ä�¾©Á×âHÆ�Á¬ØJI � � Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×À�Ä�Ä�Â�à Û%ÆFÄ%Ä�Å�Ö×À¢ÀLß�âFÀLÄ�Â�Á¬ß � P Ä�Ü°ÆJÆ�Å�Ö×Á¬ÀLÄ%Ä�Â�ÅÅ�Ö¬À�¿FÀ�Û�Å�¾�à À�Ä�å 6 ÁSȬÂ�Û�Å%¾©à�Ú×Ø�Â�Û�ÙJÛ%À ÇáÀLÛ�Û%¾©Á×â�Å�Æ ?�¾�âYå;×Ù�Å�Ö¬À�à�ÆJÀ$bHà ¾©À�ÁJÅ%Ä�à ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈaÆ�Á¬ßgS¾©Á×â�Å%Æ�ß�ÆFÜ°Â�¾�Á�ÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�Ü�Â�Û)G�ÀLߪã�¾�Å�Ö��`à�Â�Á�äaÀ�à Æ�Ü°È×Ú×Å�ÀLß�ÇáÛ�ÆFÜ � P Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×À�Ä�ÄÂ�Å6Å�Ö×À�¿FÀ�Û�Å�¾�à À�Ä�ÙFã�Ö×¾�Ø©À�Å%Ö×ÆFÄ�À�à ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈaÆ�Á¬ß�¾©Á×â�Å�Æ�ÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä6Ü°Â�Û!GFÀLß5ã�¾�Å�Ö��0à�Â�Á�äYÀà ÆFÜ°È×Ú�Å�À�ß;ÇáÛ�ÆFÜÎÅ�Ö×ÀF� � Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Ä�Â�à�Û�ÆJÄ�Ä�Å�Ö¬À�ÀLß�âFÀLÄLå

��À!Á×Æ�ã Â�Ä%Ä�Ú×Ü°ÀªÅ�Ö¬Â�Å�À%H×ÂFà,Å�Ø�ISÆFÁ×À!À�ß�â�À�Æ�Ç x Ê�Ì �FÔB�6� � ��� PH� Ø©¾�À�Ä�ÆFÁxÅ�Ö×ÀäaÆ�Ú×Á¬ß¬Â�Û@I � t:Æ�Ç$t�å$�ÃÀªÜ�Â�ISÄ�Ú×È×ÈaÆFÄ�À�Å�Ö¬Â�Å2Å%Ö×À�¿�ÀLÛ�Å%¾©à�ÀLÄ2Æ�Ç x0Â�Û�À�Á�Ú×Ü�äaÀ�Û%ÀLßÄ�Ú¬àqÖ Å�ÖYÂ�Å �� P ���FÔ � ¾�Ä!Å%Ö×À;À�ß�â�À;Æ�Á � t�å D Ä°Â�äaÆ�¿�ÀFÙ�Ø�À�Å�÷JvfäaÀ;Å�Ö×À���> =�O1�u<��o= !Nu�7�28~$;�> 8 :ªÆ�ÇixÎà ÆFÁ¬Ä�¾�Ä�Å�¾©Á×âÞÆ�Ç2Å�Ö×ÀHÅ�Ö×Û%À�À°Å%Û�¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�x�ЪÊ�Ì� ��Hv�����Ð'����Ð Ô � ÇáÆ�Û��Ì �!� � �!;¬Ù�ã�Ö×À�Û%À��Hv ¾©Ä2Å%Ö×À�ä¬Â�Û'I�à ÀLÁJÅ�À�Û�Æ�Ç/x!å

Page 9: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

#�� '�� 1 # � �H � �����������[������H1 � � 0����$0�� ( � � % ��1 02� ��� 4

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� �

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� �� � �� � � �� � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � �

��

� �

��

��

��

� �� � � � �� � � � �� � � � �

���

��� �

���

����� u� ×u4 ��Jw�z|�F��~����L�Jy�����¨��L� ® wq���!������ é�êRêXe��W³.-�ü�ñ�� v ��ü�ñkúaü�ûLô���û��1ð�ÿ ü�ö�ý�ð�õ©õ�û���õ�í©îaü,û ���/� ��O PQ �i÷ v �2ûqð�ñ§í©û�ý��×í�î�óñkúMü�ý§öCõ©õ­öFù]í©î�óSð�ï×ïFí§ñ§í­ö�îYð�õ1û�SöJö�ñkú×îMü,û%û�ÿ öCî�ïFí§ñ§í­ö�î¬û �Â6�/��� ���6��� v �{�äq�@o �� O� ����O � � ��Ì h5ý§öCòQ/¢Ì =3� U ��bOC��úaü,îxß×¾�Ü � vÕÌ ;gb6�Yð�î1ï�ñ§úaü�ûqü�ñ1) ÿ öCîMñið�í�î×í©î�óÞñkúMü�ï�ö��Hð�í©îA��ö�í�îMñ§û���ÞÍHA v �P ����Ð��qÑ PЩÓ�Ô �� �ÞÍ,+ v �Ô P)P �6+ v ��)P�� ��+ v ��%�)P Ñ �Ð�Ó�Ô �;6� + v �P)P Ô öCòJ+ v �P Ô P

í�û�ð°û�ñ¡ð3��õáü������;ý§ö�òL� v Cæ ·�¸1¸7698,?�¾©ÛqÄlÅ�ã2À!Ä�Ö¬Æ�ãdÅ%Ö¬Â�Å) ¾�Ä�Â�ß�À Å%À�Û%Ü°¾�Á×¾©Á×âHÄ�À Å�åiK�Ú¬È×ÈYÆJÄ�ÀªÅ%Ö¬Â�Å�ã�À!Ä�À ÅÅ�Ö¬Àªà�Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅ%Ä

�v\Æ�Ç������ v Å%Æ-WLÀ�Û%Æ!ÇáÆ�Û�Â�Ø�Ø�+ � )*åYK�Ö×ÀLÁSã2À�à�Ø©Â�¾�Ü Å%Ö¬Â�Å�Â�Ø©Ø

Æ�Å%Ö×À�Û�à Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅqÄ1Ü�ÚYÄlÅWäaÀ8WLÀ�Û%Ƭå Y I�Å�Ö×À � P Ä�Ú×ÈYÀLÛ%Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Ä1Â�ÅWÅ�Ö×À4¿FÀ�Û�Å�¾�à À�Ä�ÙÂ�Ø©Ø×à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Ä�à ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×â�Å�Æ�ß�Æ�Ü�Â�¾�Á¢ÈYÆF¾�ÁJÅ%Ä�¾©Á5Å�Ö×À�ß�¾�Ä!G�ÄXA P ����Ð��WÜ¢Ú¬Ä�Å4äYÀW�ÀLÛ�Æ°ÇáÆFÛ��6Ì ��� � �);×å ? Æ�ãËã2À!Ä�ÆFØ�¿FÀªÇáÆ�Û�Å%Ö×À�Ú¬Á¬Ä�À�Å�à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Ä�à�Æ�Û%Û�À�Ä�ÈaÆ�ÁYß�¾�Á¬âÅ�Æ�ß�ÆFÜ°Â�¾�ÁÈYÆF¾�ÁJÅqÄ¢ÆFÁRÅ%Ö×ÀxÛ�¾©Á×âFÄR<�Ð'�� � �!ÇáÆ�Û �5Ì D?�$"#"$"#��b�Ù6Ú¬Ä�¾©Á×â�à ÆFÁ¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á¬Ä� ��Â�ÁYß��%�,å Â�àqÖÞÄlÅ%À�ÈÞ¾©Á�¿�Æ�Ø©¿�À�Ä�Ä�Æ�Ø©¿J¾©Á×âH°Á×ÆFÁ¬Ä�¾�Á×âFÚ×Ø�Â�Û�Ö×ÆFÜ°Æ�â�ÀLÁ×À�ÆFÚ¬Ä�Ä'I�Ä�Å�ÀLÜÆ�Ç�À<RJÚ¬Â�Å%¾�ÆFÁ¬ÄLÙMÄ�À�À E1ÀLÜ5Ü� � å�K�Ö×À5Û�ÀLÜ�Â�¾©Á×¾�Á¬â;à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Ä�¾�Á x P Â�Û%À WLÀ�Û%ÆHäpIÅ�Ö¬À � � Ä�Ü°ÆJÆ�Å�Ö×Á¬ÀLÄ%ÄHÂ�ÅS¿FÀ�Û�Å�À$HK�Hv�å K�Ö¬¾©Ä;Ä�Ö×Æ�ã�Ä�Å�Ö¬Â�Å�Â�Ø©Ø�à�ÆJÀ$bHà ¾©À�ÁJÅ%ÄSÆ�ÇF�à ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈaÆ�Á¬ß�¾©Á×âªÅ%Æ¢ß�ÆFÜ°Â�¾�Á�ÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�¾�ÁLxWÔ�� x � � x P Ü�ÚYÄlÅ2äYÀ�W�À�Û%ƬÙJÂ�Á¬ß�Å�Ö�Ú¬Ä )¾�Ä�Â�ß�À Å%À�Û%Ü5¾©Á×¾©Á×â�Ä�À�ÅLåK�Æ Ä�Ö×Æ�ã Å�Ö¬Â�Å ) ¾©Ä�Â�Ü°¾�Á¬¾�Ü�Â�Ø�ß×À Å�ÀLÛ�Ü°¾©Á×¾©Á×â Ä�À�ÅLÙ6ã2ÀxÁ×Æ�ã Ä�Ö×Æ�ãÎÅ%Ö¬Â�Å

¾�Å%ÄSàLÂ�Ûqß�¾©Á¬Â�Ø©¾�Å�I¾©Ä;À<RJÚ¬Â�Ø�Å�ÆRÅ�Ö×À�ß�¾�Ü°ÀLÁ¬Ä�¾©Æ�Á:Æ�Ç�� v6å 6 ÅS¾�Ä;ÀLÂ�Ä'IRÅ%ÆÄ�À�ÀÞÅ%Ö¬Â�Å� ) ¾©Ä¢À<RJÚ¬Â�Ø6Å%Æ ;gb�Ù]Â�Á¬ßR¾�Å5¾©Ä-G�Á×Æ�ã�Á �kà Çlå 9 @HA4��Å�Ö¬Â�Å�Å�Ö¬À�ß�¾©Ü°À�Á¬Ä�¾©Æ�ÁRÆ�Ç�Å�Ö×ÀÄ�Ú×ÈYÀLÛ%Ä�È×Ø©¾�Á¬ÀSÄ�ÈYÂ�à À�� ��O PQ �i÷ � ; ������Hv��!¾©Ä D5h×å E�Ú¬Û�Ä�ÈYÂ�à À�� ¾©Ä!Å�Ö×À�Ä�Ú¬ä¬Ä�ÈYÂ�à ÀÆ�Ç�� ��O PQ �i÷Jv�� ;/������Hv��6Å%Ö¬Â�Å�Ä%Â�Å�¾�Ä)G¬ÀLÄ�Å�Ö¬Às;5Â�߬ß�¾�Å%¾�ÆFÁ¬Â�Ø�Ä�ÈYÀ�à ¾�Â�Ø�à ÆFÁ¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á¬Ä�ä_�,å

Page 10: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

�<h ����������� ������������ ������� �����! ���"� �$# �&%�')( �* � "���� � ��+-, �/. ��021 3���14+5��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� �

� � �� � � �� � � � �� � � � � �� � � � � � �

� � � � � � � �

����

��

��

��

��

� �� � � � �

� � � � �� � � � �

���

�� ��

� �

����� u��Yu4 ��Jw�z|�F��~����L�Jy�����¨��L� ® wq���!�����K�Ö�Ú¬ÄLÙ D�hh>�;Nj0ß�¾�Ü � j � ) Ì ;gb�ÙMÂ�Á¬ß ã�À�à�Æ�Á¬à�Ø�ÚYß�À!Å%Ö¬Â�Å�Å�Ö×À5ß�¾�Ü°ÀLÁ¬Ä�¾©Æ�ÁÆ�Ç��:¾©ÄZ;gb¢Â�Á¬ß+) ¾�Ä� 4 MsK;ÇáÆ�ÛL��åK�ÆÕÈ×Û%Æ�¿�ÀHÅ�Ö¬Â�Å ) ¾�Ä¢ÂÃÄlÅqÂ�ä×Ø©À 4cM�KMÙ�ã2ÀSÜ¢Ú¬ÄlÅ�àqÖ×À�à�G ��@�� å ?�¾©Û%Ä�ÅLÙ]¾�Å5¾�Ä

ã2À�Ø©Ø�G�Á×Æ�ã�ÁÅ%Ö¬Â�Å�Å%Ö×ÀÞÈ×Û%Æ�à ÀLÄ%Ä°Æ�Ç�à ÆFÜ°È×Ú�Å�¾©Á×â  à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ�ß×¾�Û%ÀLà Å�Ø�IRÇáÛ%Æ�Ü ÂÄ�Ü5Æ�Æ�Å�Ö×Á×À�Ä�Ä;à ÆFÁ¬ß�¾�Å�¾©Æ�Áf¾�Ä;Ä�Å%Â�ä×Ø©À�Ù 0 � � � Ù�¾�Ç!ã�À�Ä�ÆFØ�¿FÀ � Dp�°ÇáÆFÛ;ÂRà�ÆJÀ$bHà ¾©À�ÁJÅ;Æ�ÇÅ�Ö¬À�ÇáÆFÛ�Ü

� Ò O r�q � O � q ÒÙJ¾�Å%Ä2Â�äYÄ�ÆFØ�Ú�Å%À�¿�Â�Ø©Ú×À�¾©Ä�äYÆFÚ×Á¬ß�À�ßHäpI�Â�à�Æ�Á¬Ä�Å%Â�ÁFÅ6Å�¾©Ü5À�Ä�Å�Ö×À

Ü�ÂBH�¾©Ü�Ú×Ü Â�äYÄ�ÆFØ�Ú�Å%À4¿�Â�Ø©Ú×À6Æ�Ç�Å�Ö×À2à Æ�ÀWbHà�¾�ÀLÁFÅqÄ1Æ�Ç�Å�Ö×À6ÇáÆ�Û%Ü d� r O sB &� q Ò O t r�q �

��� .� .���ÌUl]ÙYã�Ö×À�Û%ÀªÅ�Ö×À5à ÆFÁ¬ÄlÅqÂ�ÁJÅ�ß�ÀLÈYÀLÁ¬ß×Ä�ÆFÁ×Ø�ISÆ�ÁxÅ%Ö×À�Ä�Ü�Â�Ø©Ø�À�ÄlÅ�Â�Á×â�Ø©À�¾©ÁxÅ�Ö×ÀÅlã2ÆxÅ�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄ�à�Æ�ÁJÅ%Â�¾�Á×¾©Á×âxÅ%Ö×ÀHÀLß×â�À EJå K�Ö¬ÀHà Æ�Ü°È×Ú×Å%Â�Å%¾�ÆFÁ Æ�Ç�à Æ�ÀWbHà�¾�ÀLÁFÅqÄ�äpIE1ÀLÜ°Ü°Â � ¾©ÄÞÂ�Ø©Ä�ÆÂ`ÄlÅqÂ�ä×Ø©À�È×Û�Æ�à�ÀLÄ%Ä;ÂFÄSÅ%Ö×À�Á×Æ�Û%Ü�ÄSÆ�Ç�Å%Ö×À�¾�Á�¿�ÀLÛ%Ä�ÀLÄSÆ�Ç¢Å�Ö×ÀÜ�Â�Å%Û�¾�à À�Ä�ã�Ö×¾©àqÖÞÂ�È×ÈYÀ�Â�Û�Â�Û�ÀªäaÆ�Ú×Á¬ß×ÀLßxäpISÂ�à ÆFÁ¬Ä�Å%Â�ÁJÅ�ß�ÀLÈYÀLÁ¬ß�¾©Á×â�Æ�Á×Ø�ISÆFÁ�Å�Ö×ÀÄ�Ü°Â�Ø�Ø©ÀLÄ�Å�Â�Á×âFØ�Àª¾©Á x!åK�Ö×ÀÞÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�Ø©¾�ÄlÅ%ÀLß`¾�Á ���5Æ�Ç�E1À�Ü°Ü� U Â�Û%ÀxÜ°Â�Û!GFÀLßã�¾�Å%Ö � ¾©Á ?�¾�âYå$D¬Ù

ã�Ö×¾©Ø�À5Å%Ö×ÆFÄ�À¢¾©Á � ��Â�Û%À¢Ü�Â�Û!GFÀLß ã�¾�Å�Ö �¢å-K�Ö¬À5ÈaÆ�¾©ÁJÅh+ v �P!P Ô ¾�Ä�Ü�Â�Û!GFÀLß ã�¾�Å�Ö��¢ÙÂ�ÁYßÞÅ�Ö¬À¢Å%¾�ÈYĪÆ�Ç4Å%Ö×À�Ä�ÈaÀLà�¾©Â�Ø�Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Īà Æ�ÁYß�¾�Å%¾�ÆFÁ¬Ä�¾�Á�äq��Â�Û%À�Ü�Â�Û!GFÀLß ã�¾�Å�ÖÂ�Û%Û%Æ�ã�Ö×ÀLÂFß×Ä�å�K�Ö×À�Û�À�Â�Ä�Æ�Á�ÇáÆ�Û4Â�ةةÆ�ã�¾�Á×â�Â�àqÖ×ÆF¾©à�À�¾�Á ;���¾�Ä�Å%Æ�È×Û�Æ�¿�¾�ß�À�Â�ß×ß×¾�Å%¾�ÆFÁ¬Â�Ø�¬À$H�¾©ä×¾©Ø�¾�Å�IS¾©Á�Å�Ö×À�ÚYÄ�ÀªÆ�Ç�Å�Ö¬À�À�Ø©À�Ü°À�ÁJÅLå� é�ê�e×·��]³ 6 Ç �¢¾©Ä�ÂSÄ�È×Ø©¾�Á×À5¾©Á � � � t �ix � ÙMã�Ö×À�Û%À x ¾�Ä�ÂFÄ�¾©Á EWÀ�Ü°Ü� U ÙYÅ%Ö×À�Á�¢à�Â�ÁÞäaÀ!Ú×Á¬¾TRJÚ×ÀLØJI�À%H�Å�ÀLÁ¬ß�À�ßxÅ�Æ�÷ v Å%ÆHÈ×Û%Æ�ß�Ú¬à À!ÂSÄ�È×Ø©¾©Á×À!¾©Á � � � t �,å 6 ÁÞȬÂ�Û SÅ�¾�à ڬةÂ�ÛLÙ�ã�ÀSÚ¬Ä�À°Å%Ö×À � P Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×ÀLÄ%Ä!Â�Å!Å�Ö×ÀD� Ð Å�ÆÃà Æ�Ü°È×Ú×Å�À�Å%Ö×ÀSà Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Äà ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈaÆ�Á¬ß�¾©Á×âÕÅ�Æ ß�Æ�Ü�Â�¾�Á`ÈYÆF¾�ÁJÅqÄ¢Ü�Â�Û!GFÀLßRã�¾�Å�Ö �ݾ�Á�?�¾�âYå$D¬åX��ÀÞÚ¬Ä�À�Å�Ö×À� � Ä�Ü°ÆJÆ�Å�Ö×Á¬ÀLÄ%Ä�Â�à�Û�ÆJÄ�Ä�À�ß�â�À�Ä�Å�ÆHà�Æ�Ü°È×Ú�Å%À�Å�Ö×À¢à Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅqÄ�à ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×â5Å�ÆÈaÆ�¾©ÁFÅqĪÜ�Â�Û)G�ÀLß ã�¾�Å%Ö �¢å 6 ÇQ+ v �P)P Ô �:)*Ù�ã2À�à�Â�Á�à ÆFÜ5ȬÚ�Å�À5Å�Ö¬À°à�Æ�Û%Û�À�Ä�ÈaÆ�ÁYß�¾�Á¬âà Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ �áÜ�Â�Û!GFÀLß°ã�¾�Å�Ö��0¾©Á�Å�Ö¬À G¬âFÚ×Û�À��]äpI5Û�À?RFÚ¬¾�Û%¾�Á¬â{o Pf O� ���)O ��� � ��Ì h¬å$K�¾�ÜnS¾©Ø©Â�Û�Ø�I�Ù4¾�ÇF+ v �P Ô P � )*Ù6ã2À�àLÂ�Á à Æ�Ü°È×Ú×Å�À;Å�Ö×ÀÞà ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈaÆ�Á¬ß�¾©Á×â�à Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅ5ÇáÛ�ÆFÜo P� O� ����O ��� � ��Ì h×å

?¬Æ�Û!à ÆFÜ°È×Ø�À�Å�ÀLÁ×ÀLÄ%Ä�ÙWã�À°à ÆFÁ¬Ä�¾�ß�ÀLÛªÅ�Ö×À�à�ÂFÄ�À°ã�Ö×ÀLÛ�À¢Ålã2Æ�À�ß�â�À�Ä�Æ�Çix Ø©¾�À°Æ�Á� t�åsE1À�Å�÷Jv�Ê�Ìax�å�K�Ö¬À�È×Û�Æ�Æ�Ç�Æ�Ç�Å�Ö×ÀªÇáÆFØ�Ø©Æ�ã�¾©Á×â°Ø�ÀLÜ5Ü�Â5¾�Ä�À�¿�¾�ß�À�ÁJÅLå

Page 11: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

#�� '�� 1 # � �H � �����������[������H1 � � 0����$0�� ( � � % ��1 02� ��� �!�

� é�êRêXe��1³.-�ü�ñs� vÌ w Q C ��úaü,îÕß�¾©Ü � vÌ ; U ð�î�ïÕñ§úaü!û,üCñ ) Ìi) vRí�û�ðûLñið3��õ­ü���� ��ý§öCòL� v�C� é�ê�e×·��]³�K�Ö×¾©Ä4Ü°ÂFà Û%ÆHS¡À�Ø©À�Ü°À�ÁJÅ]à�Â�Á¢äaÀ�Ú¬Ä�ÀLߢÅ�ƪÀ$HJÅ%À�Á¬ß°Â�Ä�È×Ø©¾�Á×À�¾©ÁJÅ�Æ�Â�Å�Û%¾�Â�ÁSâ�Ø©ÀyxäpI�Ú¬Ä�¾�Á×â�� Q à ÆFÁFÅ%¾�Á�Ú×¾�Å�I!Â�à�Û�ÆJÄ�ÄWÅ�Ö¬À�Ä�Ö¬Â�Û�À�ß�ÀLß�âFÀ7 � � �6� P � å D Ø�Å%À�Û%Á¬Â�Å%¾�¿FÀ�Ø�I�ÙÂ�Ø©Ø�à Æ�ÀWbHà�¾�ÀLÁFÅqÄ6À$H×à À�È×Å2ÇáÆFÛ

� Q [�[à�Â�ÁSäYÀ�à ÆFÜ°È×Ú�Å�À�ß�ÇáÛ%Æ�Ü ���ªà ÆFÁJÅ�¾©ÁJÚ¬¾�Å�I�Â�à�Û�ÆJÄ�Ä

�� � ��� P � Ù¬Â�Á¬ß � Q [6[àLÂ�Á�äYÀ!àqÖ×ÆJÄ�ÀLÁ;À?RJÚ¬Â�ØMÅ%Æ¢Å%Ö×ÀªÇáÚ×Á¬à Å�¾©Æ�Áx¿�Â�Ø©Ú×À��

� �Â�Å?� Ô å

1³Vd1³���¸Yº�· �)f�¼k¹�éJ¹ ê�e¬»�·�¸��qé�èké�êRé�µM¶<fE1À�Å�� Ê�Ì x �edx�Ù�ã�Ö×ÀLÛ�À x$Ê�Ì� �� Ô ��� � �6�Nf � Â�Á¬ß dx$Ê�Ì � � �6� P �6�Nf � Â�Û�À�ÂxȬÂ�¾�ÛÆ�Ç�Â�ßHg�ÂFà ÀLÁFÅ2Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�åYK�Ö×ÀLÛ�ÀªÂ�Û%À�ÇáÆFÚ×Û�à�ÂFÄ�À�Ä�ß�À�ÈaÀ�Á¬ß×¾�Á×â°ÆFÁ;Ö×Æ�ãdÜ°Â�ÁpIHÀLß�âFÀLÄÆ�Ç�� Ø©¾�ÀSÆ�Á � t�å E�Ú¬Û�G¬ÛqÄlÅ�Û%ÀLÄ�Ú×Ø�Å¢à ÆFÁ¬à ÀLÛ�ÁYĪÅ�Ö×À;à�Â�Ä�À�ã�Ö×ÀLÛ�ÀHÁ¬ÆÞÀLß�âFÀLÄ�Æ�Ç��Ø©¾�À;Æ�Á � t�å E1À Å ( Ô Â�Á¬ß ( � äaÀ;Å�Ö×À;ä¬Â�Û@I�à À�ÁJÅ%À�ÛqÄ�Æ�Ç x Â�Á¬ß�dx�Ù4Â�Á¬ß Ø©À ÅS÷�äaÀ°Å�Ö×ÀSÄ�Ú×ä�Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ú×Ø�Â�Å%¾�ÆFÁÃà ÆFÁ¬Ä�¾©Ä�Å�¾©Á×âxÆ�Ç2Å�Ö×ÀHÄ�¾JHÕÅ�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Äsx1ÔHÊ�Ì $(�Ô����FÔB��� �H� Ùx � Ê�Ìc $( � �6� � �6� P�� Ù�x P Ê�Ì9 $( � ��� P ��� f � Ù x f Ê�Ìc $(�ÔB�6� f �6�FÔ � Ù�x � Ê�Ì9 $(�Ô���� � ��� f � ÙÂ�ÁYßNx � Ê�Ì ( � ��� f ��� �H� å� é�êRêXeW³.-�üCñ�� � ��ü!ñkúaü�ûLô���û��1ð�ÿ ü�öCý�ð�õ©õMû��Mõ©í�îMü,ûL��� � ��O PQ �i÷ � �6ûqð�ñ§í©û�ý��×í�î�óñkúMü�ý§öCõ©õ­öFù]í©î�óSð�ï×ïFí§ñ§í­ö�îYð�õ1û�SöJö�ñkú×îMü,û%û�ÿ öCî�ïFí§ñ§í­ö�î¬û �Â6�/��� ���6�$(�Ð��2ý§öCò ��Ì �!� � �äq�@o �� O� ����O � � � ��Ì h¢ý§ö�òC/¢Ì =O� U ��bp�à#�@o�

� O� ����O � � � ��Ì h?C��úaü,îxß×¾�Ü � vÕÌ =";O�Yð�î1ï�ñ§úaü�ûqü�ñ1) ÿ öCîMñið�í�î×í©î�óÞñkúMü�ï�ö��Hð�í©îA��ö�í�îMñ§û���ÞÍHA v �P ����Ð��qÑ f ЩÓ�Ô �� �ÞÍ,+ v �Ô P)P � + v ��!P%� ��+ v ��%�!P Ñ f ЩÓ�Ô �;6� + v �P)P Ô öCòJ+ v �P Ô P

í�û�ð°û�ñ¡ð3��õáü������;ý§ö�òL� � Cæ ·�¸1¸7698 ?�¾©Û%Ä�Å�ã�ÀÞÄ�Ö×Æ�ãÎÅ%Ö¬Â�Å8) ¾�Ä�Â�ß�À Å%À�Û%Ü5¾©Á×¾©Á×â Ä�À�ÅLå K�Ú×È×ÈaÆFÄ�À�Å�Ö¬Â�Å�ã�ÀÄ�À Å!Å%Ö×À;à�ÆJÀ$bHà ¾©À�ÁJÅ%Ä

�v\Æ�Ç�� � ��� Å�ÆcWLÀ�Û%ÆxÇáÆ�Û�Â�Ø�Ø + � )*å K�Ö¬À�Á ã2ÀSà Ø�Â�¾©Ü

Å�ÖYÂ�Å�Â�Ø�Ø�Æ�Å%Ö×À�Û�à Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅqÄHÜ�ÚYÄlÅ�äYÀ W�À�Û%Ƭå ?�¾©Û%Ä�ÅSã2ÀÕÆFä¬Ä�ÀLÛ�¿FÀ�Å�Ö¬Â�Å;äpI`Å�Ö×À� P Ä�Ú¬ÈYÀLÛ%Ä�Ü°ÆJÆ�Å�Ö×Á¬ÀLÄ%Ä5Â�Å¢Å%Ö×Àx¿�ÀLÛ�Å%¾©à�ÀLÄy� Ð Ù2Â�Ø©Ø�à�Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅ%Ä�à�Æ�Û%Û�À�Ä�ÈaÆ�ÁYß�¾�Á¬âÞÅ�Æß�ÆFÜ°Â�¾�ÁÈYÆF¾�ÁJÅ%Ä¢¾©ÁRÅ�Ö¬À�ß�¾�Ä!G�ÄRA P �� Ð ��Ü�Ú¬Ä�Å¢äaÀJW�À�Û%ÆÞÇáÆFÛ5Â�Ø�Ø �¢Ì �!�#"$"#"%� DYå 6 ÅÅ�Ö¬À�ÁÞÇáÆFØ�Ø©Æ�ã�Ä�ÂFÄ�¾©ÁÞÅ�Ö×À¢È×Û%ÆJÆ�Ç]Æ�Ç E1ÀLÜ°Ü°Â U Å�ÖYÂ�Å�Â�Ø�Ø�Æ�Ç�Å%Ö×À�Ú×ÁYÄ�À�Å�à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%ľ©Á}x Ü�Ú¬Ä�Å�äYÀ WLÀ�Û%Ƭå ? Æ�ã ä6I Å�Ö×À�� � Ä�Ü5Æ�Æ�Å�Ö×Á×À�Ä�Ä�ÂFà Û%ÆFÄ%Ä�Å%Ö×À�ÀLß×â�À0 �� � ��� f � Ùã2À�Ä�À�À�Å�Ö¬Â�Å2Å%Ö×Àªà Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅqÄ�à�Æ�Û%Û�À�Ä�ÈaÆ�Á¬ß×¾�Á×â�Å�Æ5ß�Æ�Ü�Â�¾©ÁSÈaÆ�¾©ÁJÅ%ÄQ+ v��Ô P!P ��+ v���!P%� �6+ v ����)PÂ�Û%À¢Â�Ø©Ä�ÆJW�À�Û%Ƭå D ŪÅ%Ö×¾©ÄªÈaÆ�¾©ÁJÅ�ã2À5Ö¬ÂC¿�À5Ä�Ö×Æ�ã�ÁÕÅ�Ö¬Â�Å!Â�Ø©Ø�Æ�Ç4Å�Ö¬À°à�Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅ%Ä�Æ�Ç�gu�jv à�Æ�Û%Û�À�Ä�ÈaÆ�ÁYß�¾�Á¬âHÅ�ÆxÅ%Ö×À�Ü°¾�Á¬¾�Ü�Â�Ø�ß�À Å%À�Û%Ü5¾©Á×¾©Á×âÞÄ�À�Å!Æ�ÇLE1À�Ü°Ü� =xÂ�Û%À-WLÀ�Û%ƬÙÂ�ÁYßHÅ%ÖJÚYÄ�Â�Ø©Ø1à Æ�ÀWbHà�¾�ÀLÁFÅqÄ�Æ�ÇY�gu�jv Â�Û�ÀsW�ÀLÛ�ÆYåK�ÆSÄ�Ö×Æ�ã Å�Ö¬Â�Å�) ¾�Ä�ÂHÜ°¾©Á×¾©Ü°Â�Ø�ß×À Å�ÀLÛ�Ü°¾©Á×¾©Á×âSÄ�À ÅLÙaã2À�Á×Æ�ã ß�ÀLÜ5ÆFÁ¬Ä�Å�ÛqÂ�Å�À

Å�ÖYÂ�Å�¾�Å%Ä�àLÂ�Ûqß�¾�ÁYÂ�Ø©¾�Å�I�¾�Ä�À<RJÚ¬Â�ØMÅ�Æ°Å%Ö×À!ß�¾©Ü5ÀLÁ¬Ä�¾�ÆFÁ�Æ�Ç�� � å 6 Å�¾©Ä�À�Â�Ä'I�Å�Æ�Ä�À�ÀªÅ%Ö¬Â�Å

Page 12: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

� � ����������� ������������ ������� �����! ���"� �$# �&%�')( �* � "���� � ��+-, �/. ��021 3���14+5��

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� �� � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

� � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� �� � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������

�������

����

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

���

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

����

��

��

��

��

��

���

���

��

���

���

����� u��×u4 ��Jw�z|�F��~����L�Jy�����¨��L� ® wq���!������ ) ¾©Ä¢À<RJÚ¬Â�Ø6Å%Æ =H;¬å EWÀ Å�÷ÞÔ°äYÀ;Å�Ö×ÀSÅ�Û%¾©Â�Á×â�ڬةÂ�Å�¾©Æ�Á Æ�ä×Å%Â�¾©Á×À�ß äpI�Â�È×È×Ø�I�¾�Á×âÅ�Ö¬À I�Ø�ÆFÚ×â�ÖSRK�Æ�àqÖ¬À�Û�Ä�ȬØ�¾�Å�Å�Æ�Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À x!å�K�Ö×ÀLÁ �§à,Çlå 9 @HA4��Å�Ö¬ÀÕß�¾©Ü5ÀLÁ¬Ä�¾�ÆFÁÆ�ÇÅ�Ö¬À5Ä�Ú×ÈaÀ�ÛqÄ�È×Ø©¾©Á×À5Ä�ȬÂFà À-� ��O PQ �i÷ Ô ��; ���6�$( Ô ��¾�Ä�D5h×Ù�Â�Á¬ß ¾�ŪÇáÆ�Ø©Ø�Æ�ã�Ä�ÀLÂFÄ�¾©ØJI�Å%Ö¬Â�ÅÅ�Ö¬À!ß�¾�Ü°ÀLÁ¬Ä�¾©Æ�Á�Æ�Ç�� ��O PQ �¡÷�s� ;/� � �$( Ô � ;/� � �$( � �6¾�Ä�=5b�å8E�Ú×Û�Ä�ÈYÂ�à À ��� ¾�Ä2Å�Ö×ÀÄ�Ú×ä¬Ä�ȬÂ�à�À�Å�Ö¬Â�Å�Ä%Â�Å%¾©Ä)G¬ÀLÄ�Å�Ö×À°Â�߬ß�¾�Å%¾�ÆFÁ¬Â�Ø&DSÄ�Ü5Æ�Æ�Å�Ö×Á×À�Ä�Ä�à ÆFÁ¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á¬Ä�äq��Â�Á¬ß à�,åK�Ö�Ú¬ÄLÙ�=5b >nDkj ß�¾©Ü � j � ) Ì =H;×ÙFÂ�Á¬ß5ã2À�à�Æ�Á¬à�Ø�ÚYß�À�Å�Ö¬Â�Å4Å�Ö¬À�ß�¾�Ü°ÀLÁ¬Ä�¾©Æ�Á°Æ�Ç� ¾©ÄF=";�Â�Á¬ßB) ¾�Ä] 4 M�K�å!K�Ö×À2ÇkÂ�à Å�Å%Ö¬Â�Å ) ¾©Ä]Ä�Å%Â�ä×Ø©À�ÇáÆFØ�Ø©Æ�ã�Ä�Â�Ä�¾©Á EWÀ�Ü°Ü� U åK�Ö×ÀÞÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�Ø©¾�ÄlÅ%ÀLß`¾�Á ���5Æ�Ç�E1À�Ü°Ü�Â_@�Â�Û%ÀxÜ°Â�Û!GFÀLßã�¾�Å%Ö � ¾©Á ?�¾�âYå8=�Ù

ã�Ö×¾©Ø�À5Å%Ö×ÆFÄ�À¢¾©Á � ��Â�Û%À¢Ü�Â�Û!GFÀLß ã�¾�Å�Ö �¢å-K�Ö¬À5ÈaÆ�¾©ÁJÅh+ v �P!P Ô ¾�Ä�Ü�Â�Û!GFÀLß ã�¾�Å�Ö��¢ÙÂ�ÁYß!Å%Ö×À�Å�¾©È¬Ä�Æ�ÇYÅ�Ö×À�Ä�ÈaÀLà ¾�Â�Ø×Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Ä]à ÆFÁ¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á¬Ä�¾©Á5ä_� :�à��Â�Û%À�Ü�Â�Û)G�À�ß�ã�¾�Å�ÖÂ�Û%Û%Æ�ã�Ö×ÀLÂFß×Ä�å�K�Ö×À�Û�À�Â�Ä�Æ�Á�ÇáÆ�Û4Â�ةةÆ�ã�¾�Á×â�Â�àqÖ×ÆF¾©à�À�¾�Á ;���¾�Ä�Å%Æ�È×Û�Æ�¿�¾�ß�À�Â�ß×ß×¾�Å%¾�ÆFÁ¬Â�Ø�¬À$H�¾©ä×¾©Ø�¾�Å�IS¾©Á�Å�Ö×À�ÚYÄ�ÀªÆ�Ç�Å�Ö¬À�À�Ø©À�Ü°À�ÁJÅLå� é�ê�e×·��]³ 6 Çc�2¾©Ä�Â�Ä�È×Ø©¾©Á×À�¾©Á � � ��t � ���Wã�¾�Å%Ö �:ÂFÄ�¾�Á E1À�Ü°Ü�Â�@×ÙCÅ�Ö¬À�Á ��àLÂ�Á¢äYÀÚ×Á×¾VRJÚ×À�Ø�ISÀ$H�Å�À�ÁYß�ÀLßSÅ�ÆS÷�Å�Æ°È×Û%Æ�ß×Ú¬à À�°Ä�ȬØ�¾©Á×À�¾©Á(� � ��t � å 6 Á;ÈYÂ�Û�Å�¾�à Ú×Ø�Â�Û�Ù�ã�ÀÚ¬Ä�À�� P Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Ä�Â�Å�Å�Ö¬À7��Ð�Å%Æ�à Æ�Ü°È×Ú×Å�À�Å�Ö×À!à�Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅ%Ä�à�Æ�Û%Û�À�Ä�ÈaÆ�Á¬ß×¾�Á×â�Å�Æß�ÆFÜ°Â�¾�ÁxÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�Ü�Â�Û)G�À�ßSã�¾�Å�Ö � ¾�Á9?�¾©â¬å =�ÙYÂ�Á¬ß(� � Ä�Ü°ÆJÆ�Å�Ö×Á¬ÀLÄ%Ä�Â�à Û%ÆFÄ%Ä2ÀLß�âFÀLÄÅ�Æ�à�Æ�Ü°È×Ú�Å%À6Å%Ö×ÆFÄ�À�à Æ�Û%Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×â�Å�ƪÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�Ü�Â�Û)G�ÀLß�ã�¾�Å%Ö �¢å 6 Ç&+ v �P!P Ô � )*Ù�ã�Àà�Â�Á!à ÆFÜ5ȬÚ�Å�À]Å%Ö×À6à�Æ�Û%Û�À�Ä�ÈaÆ�Á¬ß×¾�Á×â�à�ÆJÀ$bHà ¾©À�ÁJÅ��áÜ�Â�Û!GFÀLß�ã�¾�Å%Ö �R¾�ÁªÅ%Ö×ÀsG¬âFÚ×Û%À�aäpIÄ�À Å�Å%¾�Á¬âSÅ%Ö×À5ÂFß×ß�¾�Å�¾©Æ�Á¬Â�Ø�Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Ä�à�Æ�Á¬ß×¾�Å%¾�ÆFÁ o Pf O� � � O ��� � �5Ì h¬å 6 ÇC+ v �P Ô P � )*Ùã2ÀxàLÂ�Á à ÆFÜ5ȬÚ�Å�À�Å�Ö¬À à Æ�Û%Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×âÃà�ÆJÀ$bHà ¾©À�ÁJÅHäpIÄ�À�Å�Å%¾�Á×â�Å%Ö×À Â�ß×ß×¾�Å%¾�ÆFÁ¬Â�ØÄ�Ü5Æ�Æ�Å�Ö×Á×À�Ä�Ä�à�Æ�Á¬ß×¾�Å%¾�ÆFÁ@o P� O� ����O � � � ��Ì h×å

E�Ú×ÛªÁ×À$H�ŪةÀ�Ü°Ü�Â�à Æ�ÁYà À�Û%Á¬Ä�Å�Ö×À�àLÂ�Ä�À¢ã�Ö×ÀLÛ�À5Æ�Á¬À¢À�ß�â�À5Æ�Ç � Ø©¾�À�Ä�ÆFÁ � t�åE1À�Å�÷� äaÀHÅ%Ö×ÀxÄ�È×Ø©¾�Å¢Æ�Ç �ÝÚ¬Ä�À�ß ¾©Á E1ÀLÜ°Ü°Â @×Ù]Â�ÁYßRÂ�Ä%Ä�Ú¬Ü5ÀSÅ�Ö¬Â�Å�Å%Ö×À;À�ß�â�À �� P ���Nf � Ø�¾©ÀLÄ�Æ�Á � t�å� é�êRêXe��W³.-�üCñ�� � ��ü!ñkúaü�ûLô���û��1ð�ÿ ü�öCý�ð�õ©õMû��Mõ©í�îMü,ûL��� � ��O PQ �i÷ � �6ûqð�ñ§í©û�ý��×í�î�óñkúMü�ý§öCõ©õ­öFù]í©î�óSð�ï×ïFí§ñ§í­ö�îYð�õ1û�SöJö�ñkú×îMü,û%û�ÿ öCî�ïFí§ñ§í­ö�î¬û �Â6�/��� ���6�$(�Ð��2ý§öCò ��Ì �!� � �

Page 13: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

#�� '�� 1 # � �H � �����������[������H1 � � 0����$0�� ( � � % ��1 02� ��� �<;

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� �� � � � � �� � � � � � � � � �� � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

� � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� �� � � � � �� � � � � � � � � �� � �� � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������

����������������������

����

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

���

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

����

��

��

��

���

���

��

���

���

����� u��×u4 ��Jw�z|�F��~����L�Jy�����¨��L� ® wq���!�����äq�@o �� O� � � O � � � ��Ì h¢ý§ö�òC/¢Ì =O� U ��bp�à#�@o Pf O� � � O � � � ��Ì hO�ß?�@o �� O� ����O � � � ��Ì h¢ý§ö�òC/¢Ì =O� U ��b3C��úaü,îxß×¾�Ü �Ì =Hh3�Yð�î�ïxñkúMü�ûqü�ñ1) ÿ,ö�îMñið�í©î×í©î�óÞñkúaü�ï�ö��Hð�í©î ��öCí©îMñ§û���DA v �P ���Ð��{�?��Ì �!�#"$"$"$� D3�� �ÞÍ,+ v �Ô P)P �6+ v ��)P�� ��+ v ��%�)P Ñ Ð�Ó�Ô O ��O f� � + v �P)P Ô öCòJ+ v �P Ô P

í�û�ð°û�ñ¡ð3��õáü������;ý§ö�òL� � Cæ ·�¸1¸7698 K�Ö×À;È×Û%ÆJÆ�Ç�¾©Ä¢Ä�¾©Ü°¾�Ø�Â�Û�Å%Æ Å%Ö×ÀHÈ×Û%Æ�Æ�Ç�Æ�Ç E1ÀLÜ°Ü°Âc@×Ù]Â�Á¬ß�¾�Ä¢ä¬Â�Ä�ÀLß�Æ�ÁG¬ÛqÄlÅ�à ÆFÜ°È×Ú�Å�¾©Á×â�à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Ä�à ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×â!Å%Æ5ß×Æ�Ü�Â�¾©Á;ÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä2¾©ÁSÅ%Û�¾�Â�Á×âFØ�À�x!ÙÅ�Ö¬À�ÁHÇáÆFÛ6Å%Ö×ÆFÄ�À�¾©ÁHÅ%Û�¾�Â�Á¬â�Ø©À dxfÚ¬Ä�¾�Á¬â-E1ÀLÜ°Ü°Â U å�?×ÆFÛ2Â�Ü5ÆFÛ�À�ß�À ÅqÂ�¾©Ø�À�ßHÂ�ÁYÂ�Ø�I�Ä�¾�Ä�ÙÄ�À�À 9 � h�A¡åK�Ö×ÀÞÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�Ø©¾�ÄlÅ%ÀLß`¾�Á ���5Æ�Ç�E1À�Ü°Ü� 4�Â�Û%ÀxÜ°Â�Û!GFÀLßã�¾�Å%Ö � ¾©Á ?�¾�âYå U Ù

ã�Ö×¾©Ø�À5Å%Ö×ÆFÄ�À¢¾©Á � ��Â�Û%À¢Ü�Â�Û!GFÀLß ã�¾�Å�Ö �¢å-K�Ö¬À5ÈaÆ�¾©ÁJÅh+ v �P!P Ô ¾�Ä�Ü�Â�Û!GFÀLß ã�¾�Å�Ö��¢ÙÂ�ÁYß�Å�Ö¬À�Å%¾�ÈYÄ�Æ�Ç×Å%Ö×À�Ä�ÈaÀLà�¾©Â�Ø�Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Ä�à Æ�ÁYß�¾�Å%¾�ÆFÁ¬Ä�¾�Á5äq�C:�ß?��Â�Û%À6Ü�Â�Û!GFÀLß!ã�¾�Å�ÖÂ�Û%Û%Æ�ã�Ö×ÀLÂFß×Ä�å�K�Ö×À�Û�À�Â�Ä�Æ�Á�ÇáÆ�Û4Â�ةةÆ�ã�¾�Á×â�Â�àqÖ×ÆF¾©à�À�¾�Á ;���¾�Ä�Å%Æ�È×Û�Æ�¿�¾�ß�À�Â�ß×ß×¾�Å%¾�ÆFÁ¬Â�Ø�¬À$H�¾©ä×¾©Ø�¾�Å�IS¾©Á�Å�Ö×À�ÚYÄ�ÀªÆ�Ç�Å�Ö¬À�À�Ø©À�Ü°À�ÁJÅLå� é�ê�e×·��]³ 6 Çc�2¾©Ä�Â�Ä�È×Ø©¾©Á×À�¾©Á � � ��t � ���Wã�¾�Å%Ö �:ÂFÄ�¾�Á E1À�Ü°Ü� 4×ÙCÅ�Ö¬À�Á ��àLÂ�Á¢äYÀÚ×Á×¾VRJÚ×À�Ø�ISÀ$H�Å�À�ÁYß�ÀLßSÅ�ÆS÷ � Å�Æ°È×Û%Æ�ß×Ú¬à À�°Ä�ȬØ�¾©Á×À�¾©Á(� � ��t � å 6 Á;ÈYÂ�Û�Å�¾�à Ú×Ø�Â�Û�Ù�ã�ÀÚ¬Ä�À�� P Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Ä�Â�Å�Å�Ö¬À7��Ð�Å%Æ�à Æ�Ü°È×Ú×Å�À�Å�Ö×À!à�Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅ%Ä�à�Æ�Û%Û�À�Ä�ÈaÆ�Á¬ß×¾�Á×â�Å�Æß�ÆFÜ°Â�¾�ÁxÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�Ü�Â�Û)G�À�ßSã�¾�Å�Ö � ¾�Á9?�¾©â¬å U ÙYÂ�Á¬ß(� � Ä�Ü°ÆJÆ�Å�Ö×Á¬ÀLÄ%Ä�Â�à Û%ÆFÄ%Ä2ÀLß�âFÀLÄ ��FÔ���� �,� ÙC � � �6� P,� ÙWÂ�ÁYßK � f ���FÔ � Å�ÆÞà ÆFÜ°È×Ú�Å�À¢Å�Ö¬ÆFÄ�À°à�Æ�Û%Û�À�Ä�ÈaÆ�ÁYß�¾�Á¬âHÅ�Æxß�ÆFÜ°Â�¾�ÁÈaÆ�¾©ÁFÅqÄ°Ü�Â�Û)G�ÀLßã�¾�Å%Ö �¢å 6 Ç�+ v �P!P Ô � )*Ù�ã�ÀÞà�Â�Áà�Æ�Ü°È×Ú�Å%ÀxÅ�Ö×ÀÞà ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈaÆ�Á¬ßgS¾©Á×âà Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ �áÜ�Â�Û)G�À�ß`ã�¾�Å%Ö � ¾©Á Å�Ö¬À(G¬â�Ú¬Û�À��°äpIÄ�À Å�Å%¾�Á¬â Å�Ö×À�Â�ß×ß×¾�Å%¾�ÆFÁ¬Â�Ø

Page 14: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

��D ����������� ������������ ������� �����! ���"� �$# �&%�')( �* � "���� � ��+-, �/. ��021 3���14+5��Ä�Ü5Æ�Æ�Å�Ö×Á×À�Ä�Ä�à Æ�ÁYß�¾�Å%¾�ÆFÁ3o Pf O� � � O ��� � ��Ì h¬å 6 ÇJ+ v �P Ô P ��)*Ù�ã�ÀHàLÂ�Á à ÆFÜ°È×Ú�Å�ÀHÅ�Ö×Àà ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈaÆ�Á¬ß�¾©Á×âxà Æ�ÀWbHà�¾�ÀLÁFÅ�äpIÃÄ�À Å�Å�¾©Á×â�Å�Ö×ÀHÂFß×ß�¾�Å�¾©Æ�Á¬Â�Ø4Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×À�Ä�Ä�à�Æ�Á¬ß�¾�Å�¾©Æ�Áo P� O� � � O � � � ��Ì h×å

E�Ú×Û°Á×À$H�Å°Ø©À�Ü°Ü�Â�à Æ�ÁYà À�Û%Á¬Ä¢Å�Ö¬ÀxàLÂ�Ä�À;ã�Ö¬À�Û%ÀSÅlã2Æ�ÂFßHg�Â�à�À�ÁJÅ°ÀLß�âFÀLÄ5Æ�Ç��Ø©¾�À;Æ�Á � t�å_K�Ú×È×ÈaÆFÄ�À� �FÔB�6� ��� Â�Á¬ß; � � �6� P�� Ø�¾©ÀSÆFÁ Å�Ö¬ÀSäaÆ�Ú×Á¬ß¬Â�Û@I�Æ�Ç�t�å EWÀ Å( Ì �� � .K� P .K� f ��5�;SÂ�Á¬ßÞØ©À Å�÷ � äYÀ¢Å�Ö¬À!Å�Û%¾�Â�Á×âFÚ×Ø©Â�Å�¾©Æ�ÁÞÆ�Ç �Îà ÆFÁ¬Ä�¾©Ä�Å�¾©Á×âHÆ�ÇÅ�Ö¬À�ÇáÆ�Ú×Û4Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄ$xWÔ�Ê�Ìi �FÔB�6� � �6� f � Ù�x � Ê�Ì $(��6� � ��� P�� Ù5x P Ê�Ì (���� P ��� f � ÙJÂ�Á¬ßx f Ê�ÌG $(F��� f ��� ��� å� é�êRêXeS²��1³.-�üCñq���"��ü�ñ§úaü�û�ô ��û��Wð�ÿ,ü�öCýYð�õ�õ�û��Mõ©í�îaü ûY���/� ��O PQ �i÷�s��ûqð�ñ§í©û�ý��×í�î�óñkúMü�ý§öCõ©õ­öFù]í©î�óSð�ï×ïFí§ñ§í­ö�îYð�õ1û�SöJö�ñkú×îMü,û%û�ÿ öCî�ïFí§ñ§í­ö�î¬û �Â6�/��� ���6�$( �{�äq�@o �� O� � � O � � �!Ê�Ì h5ý§öCòC/5Ì =3� U ��b6�à#�@o P� O� � � O � � � ��Ê�Ì h3���úaü,îxß×¾�Ü � � ÌaD 43�Yð�î�ïxñkúMü�ûqü�ñ1) ÿ,ö�îMñið�í©î×í©î�óÞñkúaü�ï�ö��Hð�í©î ��öCí©îMñ§û����) v �Q �� �DA v �P ��� P ��;6�ÞÍ,+ v �Ô P)P �6+ v ��)P�� ��+ v ��%�)P Ñ

í�û�ð°û�ñ¡ð3��õáü������;ý§ö�òL� � Cæ ·�¸1¸7698,?�¾©ÛqÄlÅ�ã2À!Ä�Ö¬Æ�ãdÅ%Ö¬Â�Å) ¾�Ä�Â�ß�À Å%À�Û%Ü°¾�Á×¾©Á×âHÄ�À Å�åiK�Ú¬È×ÈYÆJÄ�ÀªÅ%Ö¬Â�Å�ã�À!Ä�À ÅÅ�Ö¬À°à�Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅ%Ä

� \Æ�ÇL��� � � Å�ÆJW�ÀLÛ�Æ;ÇáÆ�Û�Â�Ø�Ø + ��)*å-K�Ö×ÀLÁÃÂ�Ø�Ø]à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Ä

à ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈaÆ�Á¬ß�¾©Á×â�Å%Æ�ß�Æ�Ü�Â�¾�Á�ÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä1¾©Á xWÔ�Â�Û�ÀFWLÀ�Û%Ƭå ��À6Á¬Æ�ã�à�Ø©Â�¾�Ü Å�ÖYÂ�Å�Â�Ø�ØJÆ�Å%Ö×À�Ûà Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Ä1Ü¢Ú¬Ä�ÅWäYÀ8W�À�Û%Ƭå&?�¾©ÛqÄlÅWã2À4ÆFä¬Ä�ÀLÛ�¿FÀ�Å�Ö¬Â�ÅWäpI�Å%Ö×À�� P Ä�Ú×ÈaÀ�ÛqÄ�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×À�Ä�ÄÂ�Å]Å%Ö×À�¿FÀ�Û�Å�¾�à ÀLÄLÙFÂ�Ø�ØYà Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅqÄ4à ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×â�Å�Æ!ß�ÆFÜ�Â�¾©Á5ÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä6¾�Á°Å%Ö×À�ß�¾�Ä G�ÄA P ���Ð��6Ü�Ú¬Ä�Å�äYÀ�W�ÀLÛ�Æ�ÇáÆFÛL��Ì � �!;?� D¬å/Y I°Å�Ö×À�� � Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Ä�ÂFà Û%ÆFÄ%Ä]Å%Ö×À�À�ß�â�À �� f ��� �,� ¾�Å�ÇáÆ�Ø©Ø�Æ�ã�Ä�Å�Ö¬Â�Å�Å�Ö×À�à�Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅ%Ä�à Æ�Û%Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×â5Å�Æ�+ v �Ô P!P ��+ v ��!P%� �6+ v ��%�!P Â�Û�ÀW�ÀLÛ�ÆYå I�ÆFÁ¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á�à#��¾©Ü°È×Ø�¾©ÀLÄ�Å%Ö¬Â�Å]Å%Ö×À�à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ6à Æ�Û%Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×â�Å%Æ�+ v �P Ô P ¾�Ä]Â�Ø�Ä�ÆW�ÀLÛ�ÆYå(K�Ö×À�ÁRÂ�Ø�Ø2à Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅqÄ!Æ�Ç��gu�jv ã�¾�Å�Ö dx Ì �� � ��� P ���Nf � à ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×â�Å�ÆÅ�Ö¬À�ÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�¾�Á�Å%Ö×À�Ü5¾©Á×¾©Ü�Â�Ø�ß�À Å%À�Û%Ü°¾�Á×¾©Á×â5Ä�À�Å2ß�À�Ä�à�Û�¾©äYÀ�ß�¾©Á/E1ÀLÜ°Ü°Â U Â�Û�À�WLÀ�Û%Ƭå6 Å�ÇáÆFØ�Ø©Æ�ã�Ä�Å�ÖYÂ�Å�Â�Ø©Ø�à�Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅ%Ä�Æ�Çs��à�Æ�Û%Û�À�Ä�ÈaÆ�Á¬ß×¾�Á×â5Å%ÆHß�Æ�Ü�Â�¾©ÁxÈYÆF¾�ÁJÅqÄ�¾©ÁÃ÷�Ü�ÚYÄlÅ�äaÀ�W�ÀLÛ�ÆYÙ�Â�Á¬ß;Å�Ö�Ú¬Ä ) ¾©Ä�°ß�À�Å�ÀLÛ�Ü°¾©Á×¾�Á¬âHÄ�À�ÅLåK�ÆSÄ�Ö×Æ�ã Å�Ö¬Â�Å�) ¾�Ä�ÂHÜ°¾©Á×¾©Ü°Â�Ø�ß×À Å�ÀLÛ�Ü°¾©Á×¾©Á×âSÄ�À ÅLÙaã2À�Á×Æ�ã ß�ÀLÜ5ÆFÁ¬Ä�Å�ÛqÂ�Å�À

Å�ÖYÂ�Å�¾�Å%Ä�àLÂ�Ûqß�¾�ÁYÂ�Ø©¾�Å�I�¾�Ä�À<RJÚ¬Â�ØMÅ�Æ°Å%Ö×À!ß�¾©Ü5ÀLÁ¬Ä�¾�ÆFÁ�Æ�Ç�����å 6 Å�¾©Ä�À�Â�Ä'I�Å�Æ�Ä�À�ÀªÅ%Ö¬Â�Å� ) ¾©Ä¢À<RJÚ¬Â�Ø6Å%Æ D 4¬å EWÀ Å�÷ � äYÀ;Å�Ö×ÀSÅ�Û%¾©Â�Á×â�ڬةÂ�Å�¾©Æ�Á Æ�ä×Å%Â�¾©Á×À�ß äpI�Â�È×È×Ø�I�¾�Á×âÅ�Ö¬À I�Ø©Æ�Ú¬â�ÖSRKWÆ�àqÖ×ÀLÛ2Ä�È×Ø©¾�Å2Å�Æ5Å%Û�¾�Â�Á×âFØ�Àmdx�åYK�Ö×À�Á �kà Çlå 9 @HA4�6Å%Ö×À�ß�¾�Ü°ÀLÁ¬Ä�¾©Æ�Á;Æ�Ç�Å�Ö×ÀÄ�Ú×ÈYÀLÛ%Ä�È×Ø©¾�Á¬ÀSÄ�ÈYÂ�à À � ��O PQ �i÷ � � ; ���6�$( �!¾©Ä D5h×Ù�Â�ÁYß�¾�Å!ÇáÆFØ�Ø©Æ�ã�Ä�À�Â�Ä�¾�Ø�I Å%Ö¬Â�Å¢Å�Ö×Àß�¾©Ü°À�Á¬Ä�¾�ÆFÁÆ�Ç � ��O PQ �¡÷ � � ; ���6�$( �5¾�Ä =H;¬å K�ÂHG�¾�Á¬âÃÂ�àLà ÆFÚ×ÁJÅ5Æ�Ç�Å�Ö¬ÀJD�Ä�ÈYÀ�à ¾�Â�Øà ÆFÁ¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á¬Ä�äq� :�à#� Ùaã2À!Ö¬ÂC¿FÀ-=H;{>}DJj0ß×¾�Ü � j � ) Ì D 4¬ÙYÂ�Á¬ßÞã2À�à ÆFÁ¬à Ø©Ú¬ß�ÀÅ�ÖYÂ�Å!Å%Ö×À;ß�¾©Ü°À�Á¬Ä�¾©Æ�Á Æ�ÇL� ¾�Ä D 4ÞÂ�Á¬ß:) ¾�Ģ 4cM�KMå 6 Å%Ä5Ä�Å%Â�䬾�Ø©¾�Å�IÃÇáÆ�ةةÆ�ã�Ä!Â�ÄäaÀ ÇáÆ�Û%À�å

Page 15: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

#�� '�� 1 # � �H � �����������[������H1 � � 0����$0�� ( � � % ��1 02� ��� �?=

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������

����

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

��

����

��

��

��

��

��

��

��

� �

���

����� u��×u] ��Jw�z|�J��~����L�Jy�����¨¢��� ® w%���!� k�� �K�Ö×ÀªÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�Ø©¾©Ä�Å�À�ßS¾©Á ��� : � �6Æ�Ç�EWÀ�Ü°Ü�Â/�?h¢Â�Û�À�Ü�Â�Û)G�ÀLßSã�¾�Å%Ö � ¾�Á ?�¾�âYå b�Ù

ã�Ö×¾©Ø�À!Å�Ö×ÆJÄ�À!¾©Ác;6��Â�Û%À�Ü�Â�Û)G�ÀLß�ã�¾�Å�Ö �¢å K�Ö×À!Å�¾©È¬Ä�Æ�Ç�Å%Ö×À¢Ä�ÈaÀLà ¾�Â�Ø�Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×À�Ä�Äà ÆFÁ¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á¬Ä�¾©Áxäq� :�à#��Â�Û�À�Ü�Â�Û)G�ÀLß;ã�¾�Å�ÖÞÂ�Û%Û�Æ�ã�Ö¬ÀLÂ�߬Ä�å� é�ê�e×·��]³ 6 Ç���¾©Ä�¢Ä�È×Ø©¾©Á×À�äaÀ�Ø©Æ�Á¬â�¾©Á×â!Å%Æ � � ��t�� ���4ã�¾�Å%Ö� Â�Ä�¾�Á E1À�Ü°Ü�Â��?h×ÙÅ�Ö¬À�Á��Þà�Â�ÁäaÀ�Ú¬Á×¾TRJÚ×ÀLØJIÀ%H�Å�ÀLÁ¬ß�ÀLßÅ�Æ÷ � Å�Æ�È×Û�Æ�ß�ÚYà ÀÞÂÃÄ�È×Ø©¾�Á¬À�¾©Á�� � ��t � å6 ÁxȬÂ�Û�Å�¾�à ڬةÂ�ÛLÙ�ã2ÀªÚ¬Ä�ÀF� P Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Ä�Â�Å�Å%Ö×À�¿�ÀLÛ�Å%À%HD� P Â�Á¬ß � Q Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×À�Ä�ÄÂ�à�Û�ÆJÄ�ÄaÅ%Ö×À4À�ß�â�À" � f �6�FÔ � Å%Æ�à ÆFÜ°È×Ú�Å�À4Å�Ö×À6à�Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅ%ÄWÜ�Â�Û)G�ÀLß�ã�¾�Å�Ö �R¾�Á,?�¾©â¬å>b�å��À�Ú¬Ä�À � � Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Ä4Â�à�Û�ÆJÄ�Ä]Å�Ö×À�À�ß�â�Ày �� P ��� f � Å�Æ�à�Æ�Ü°È×Ú�Å%À�Å%Ö×À�à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%ÄÜ�Â�Û)G�À�ßHã�¾�Å�Ö �¢å

E�Ú×Û G¬ÁYÂ�Ø1Ø©À�Ü°Ü�Â5¾�Á;Å�Ö×¾�Ä�Ä�ÀLà,Å%¾�ÆFÁ�ß×ÀLÂ�Ø�Ä�ã�¾�Å�Ö;Å�Ö×À!àLÂ�Ä�À�ã�Ö×ÀLÁ�Ålã�Æ5Á×Æ�ÁYÂ�ßgSg�Â�à�À�ÁJÅ�ÀLß�âFÀLÄ�Æ�Ç � Ø�¾©ÀªÆ�Á � t�åYE1À�Åh � � �6� P � Â�Á¬ß� ��Nf6��� Ô � äaÀ�Å�Ö×À�ÀLß×â�ÀLÄ�Æ�Ç �ËÆ�Á� t�åsE1À�Å�÷�äaÀªÅ�Ö×À!Ä�È×Ø©¾�Å�Æ�Ç � Ú¬Ä�ÀLß�¾�Á E1ÀLÜ°Ü°Â �?h×å� é�êRêXeH²a²Y³.-�ü�ñ3� � ��ü�ñkúaü6ûLô���û��1ð�ÿ ü4öCý¬ð�õ�õ�û���õ�í©îaü,û��2í©î�� ��O PQ �¡÷ � �Wûqð�ñ§í©û�ý��×í�î�óñkúMü�ý§öCõ©õ­öFù]í©î�óSð�ï×ïFí§ñ§í­ö�îYð�õ1û�SöJö�ñkú×îMü,û%û�ÿ öCî�ïFí§ñ§í­ö�î¬û �Â6�/��� ���6�$( �{�äq�@o �� O� � � O � � �!Ê�Ì h5ý§öCòC/5Ì =3� U ��b6�à#�@o P� O� � � O � � � ��Ê�Ì h3���úaü,îxß×¾�Ü ���ÌaD 43�Yð�î�ïxñkúMü�ûqü�ñ1) ÿ,ö�îMñið�í©î×í©î�óÞñkúaü�ï�ö��Hð�í©î ��öCí©îMñ§û���ÞÍHA v �P ����ÐR�qÑ f Ð�Ó P �� �DI vP �� �FÔB�6� �,� ��;6�ÞÍ,+ v �P Ô P �6+ v �P%��� ��+ v ��%�)P Ñ

í�û�ð°û�ñ¡ð3��õáü������,Cæ ·�¸1¸7698 K�Ö×À°È×Û%Æ�Æ�Ç6¾�Ä�Ä�¾©Ü°¾�Ø�Â�Û�Å%ÆSÅ%Ö×À°È×Û�Æ�Æ�Ç6Æ�ÇLE1À�Ü°Ü� �<h×Ù1Â�Á¬ßþ©Ä�ä¬ÂFÄ�À�ß Æ�ÁG¬ÛqÄlÅ�à ÆFÜ°È×Ú�Å�¾©Á×â�à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Ä�à ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×â!Å%Æ5ß×Æ�Ü�Â�¾©Á;ÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä2¾©ÁSÅ%Û�¾�Â�Á×âFØ�À�x!Ù

Page 16: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

� U ����������� ������������ ������� �����! ���"� �$# �&%�')( �* � "���� � ��+-, �/. ��021 3���14+5��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������

����

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

��

����

��

��

��

����

��

��

��

��

��

��

��

� �

� �

����� u��¬u] ��Jw�z|�J��~����L�Jy�����¨¢��� ® w%���!� k#k �Å�Ö¬À�Áx¾�Á�Å%Û�¾�Â�Á×âFØ�À dx Ú¬Ä�¾�Á×â�EWÀ�Ü°Ü� U å1?×ÆFÛ�Â5Ü°Æ�Û%Àªß×À Å%Â�¾�Ø©ÀLßxÂ�Á¬Â�Ø�I�Ä�¾�Ä�Ù�Ä�À�À 9 � hHAiåK�Ö×ÀªÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�Ø©¾©Ä�Å�À�ßS¾©Á ��� : � �6Æ�Ç�EWÀ�Ü°Ü�Â/����Â�Û�À�Ü�Â�Û)G�ÀLßSã�¾�Å%Ö � ¾�Á ?�¾�âYå@×Ù

ã�Ö×¾©Ø�À!Å�Ö×ÆJÄ�À!¾©Ác;6��Â�Û%À�Ü�Â�Û)G�ÀLß�ã�¾�Å�Ö �¢å K�Ö×À!Å�¾©È¬Ä�Æ�Ç�Å%Ö×À¢Ä�ÈaÀLà ¾�Â�Ø�Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×À�Ä�Äà ÆFÁ¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á¬Ä�¾©Áxäq� :�à#��Â�Û�À�Ü�Â�Û)G�ÀLß;ã�¾�Å�ÖÞÂ�Û%Û�Æ�ã�Ö¬ÀLÂ�߬Ä�å� é�ê�e×·��]³ 6 Ç���¾©Ä�¢Ä�È×Ø©¾©Á×À�äaÀ�Ø©Æ�Á¬â�¾©Á×â!Å%Æ � � ��t�� ���4ã�¾�Å%Ö� Â�Ä�¾�Á E1À�Ü°Ü�Â�����ÙÅ�Ö¬À�Á��Þà�Â�ÁäaÀ�Ú¬Á×¾TRJÚ×ÀLØJIÀ%H�Å�ÀLÁ¬ß�ÀLßÅ�Æ÷ � Å�Æ�È×Û�Æ�ß�ÚYà ÀÞÂÃÄ�È×Ø©¾�Á¬À�¾©Á�� � ��t � å6 ÁÈYÂ�Û�Å�¾�à Ú×Ø�Â�Û�Ù�ã�À;Ú¬Ä�À � P Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Ä¢Â�Å�Å%Ö×À;¿FÀ�Û�Å�¾�à À�ÄZ� P Â�Á¬ß � f Ù4Â�Á¬ß � PÄ�Ü5Æ�Æ�Å�Ö×Á×À�Ä�Ä°ÂFà Û%ÆFÄ%Ä!Å%Ö×ÀÞÀLß�âFÀ �FÔB�6� �,� Å%Æ�à�Æ�Ü°È×Ú�Å%À�Å�Ö×À à�ÆJÀ$bHà ¾©À�ÁJÅ%Ä5Ü�Â�Û)G�À�ßã�¾�Å�Ö��R¾�Á ?�¾©â¬å�@¬å ��À]Ú¬Ä�À � � Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×À�Ä�Ä�ÂFà Û%ÆFÄ%ÄaÅ�Ö×À4À�ß�â�ÀS � P �6� f � Å%Æ�à ÆFÜ5ȬÚ�Å�ÀÅ�Ö¬À!à Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅqÄ�Ü°Â�Û!GFÀLß;ã�¾�Å%Ö �¢å

±��1³��¢¸aµ&fL¶�·�º�»�¶L¼§¸Yµ ¸76�e � e �Y·�e×µ��aéÕ´�µM¶LéJ· %6¸Yè�e�¶L¼§¸Yµ æ e×¼á·6 ÁÅ�Ö×¾�ÄHÄ�ÀLà,Å%¾�ÆFÁã2ÀÞß�ÀLÄ%à Û%¾�äaÀÞÂ�Á Â�Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö×Ü*ÇáÆFÛ�Ä�ÆFØ�¿�¾©Á×â}76Û�ÆFä×Ø©À�Ü ��å:½�¾©¿�À�ÁÂ�Á�Â�Û%ä×¾�Å�ÛqÂ�Û@I¢Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ú×Ø�Â�Å%¾�ÆFÁx÷ Â�ÁYß;¢ä×Ø�Â�à�G � ã�Ö×¾�Å�À!à�Æ�Ø©Æ�Û%¾�Á¬â�Æ�Ç�¾�ÅqÄ2Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄÆ�ä×Å%Â�¾©Á×À�ßÕÇáÛ%Æ�Ü D Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö×Ü D¬Ù�Å�Ö×ÀLÛ�ÀHÂ�Û�À5Ålã2ÆÞä¬Â�Ä�¾�à�ÄlÅ%À�ȬÄLå 6 Á�Å%Ö×ÀAG¬ÛqÄlÅ�Ä�Å�ÀLÈ1Ùã2À5à�Æ�Á¬Ä�Å�Û%Ú¬à,Å�Å�Ö×À°Ä�À Å�+°Ù�ã�Ö×¾�Ø©À5¾�ÁÕÅ�Ö×À°Ä�À�à ÆFÁ¬ßÕÄ�Å�ÀLÈÕã2À¢à ÆFÁ¬Ä�Å�Û%Ú¬à,Å�Å�Ö×À°Ä�È×Ø�¾©Á×ÀÄ�ȬÂ�à�À ��å� è��Y¸Y·�¼á¶ + ê ² d1³ -�üCñS÷ ��üÃðdñkò%í­ð�î�óaô�õ�ð×ñkíáöCî ù]ú¬íkÿlú úYð�û ��ü�üqî ÿ,ö�õ­ö�ò,üCï �$�� õ�ó�ö�ò�íiñkú����3C-�üCñ + ��ü ñ§úaü û,üCñHöCý ��ö�í�îMñ§ûÞö �×ñið�í©îaüCïý­ò ö�� ñkúaü ý§öCõ©õáöFù]í�î�óûLñ¡ü��1û �������ü�×îMüªð�õ©õ1��õ�ð�ÿ>� ñkò%í­ð�î�óJõ­ü ûªñ¡ö ��ü¢ô�î3�Hð�ò���ü�ï_C� ����ü)��ü�ð�ñªô�îMñkí©õ]îaöSõáöCî�ó×üqò ��ö�û�û�í ��õ­ü �!ÿlúaö�ö�ûqü¢ð�îô�î3�Hð�ò���üCï ��õ­ð�ÿ>� ñ§ò�í­ð�î�óJõ­üx ñkúYð×ñ�ï�öJü û2îaö�ñ�ñ¡ö�ô�ÿlú�ð�î�� ��ð�ò��ü�ï�ñkò%í�ð�î�óFõáüBC���ô×ñ�/ v[ Ê�Ì ) vÃí©î + ð�î�ï�Hð�ò��]xFC

;6����ü)��ü�ð�ñªô�îMñkí©õ]îaöSõáöCî�ó×üqò ��ö�û�û�í ��õ­ü �!ÿlúaö�ö�ûqü¢ð�îô�î3�Hð�ò���üCï ��õ­ð�ÿ>� ñ§ò�í­ð�î�óJõ­üx ñkúYð×ñ�ñ¡ö�ô�ÿlúaü,û�û,ö��Sü��Hð�ò���üCï;ñ§ò�í­ð�î�óJõ­ü�ð×ñ�öCî×õ9�ÞöCîMü¢þCüqò�ñ¡ü�� 'Þí©îJx-C���ô×ñ/ v Ô Ê�Ìm)�v �QA vP � 'o�2í©î(+ ð�î�ïB�Hð�ò�]x-C

Page 17: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

#�� '�� 1 # � �H � �����������[������H1 � � 0����$0�� ( � � % ��1 02� ��� �>bDp����ü)��ü�ð�ñ]ô�îMñ§í�õ×îMö�õ­ö�î�ó�ü,òc��ö�û%û�í ��õáü �4ÿlúaö�ö�û,ü2ð�î�ô�î3�Hð�ò���üCï ��õ­ð�ÿ>�Sñkò%í�ð�î�óFõáü8x

ñ§úYð�ñ�ñ|ö�ô�ÿlúMü,û��Hð�ò���üCï�ñ§ò�í­ð�î�óJõ­ü û�ð�ñ�ñ|ù4öSþCüqò�ñkí§ÿ,ü û '����;öCý xFC��|ý x í©û�îaö�ñ6ðîaü,í�óJú ��ö�ò�ö�ýWð �Hð�ò���üCïHñkò%í�ð�î�óFõáü�MñkúMüqîA��ô×ñ�/ v��� Ìm) v � 9 A vP � 'o� �%A vP ��p�[Aí©î�+AC���ñkúaü,òLù]í�û,ü����ô×ñ�/ v�� Ê�Ì ) v � 9 A vP �$'c� �yA vP ���O� �ZI v� �6 $'���� � �CA�í©î�+AC�|î ��ö�ñkú�ÿ,ð�û,ü,û$� �Hð�ò�]x-C

=�����ü)��ü�ð�ñ]ô�îMñ§í�õ×îMö�õ­ö�î�ó�ü,òc��ö�û%û�í ��õáü �4ÿlúaö�ö�û,ü2ð�î�ô�î3�Hð�ò���üCï ��õ­ð�ÿ>�Sñkò%í�ð�î�óFõáü8xñ§úYð�ñ4ñ|ö�ô�ÿlúMü,û1�Hð�ò��ü�ï�ñkò%í�ð�î�óFõáü,û�ð�ñ�ð�õ�õ1ñ§ú×ò ü�ü�þ�üqò�ñkí§ÿ,ü,û�'��6�q�9( öCý xFC��|ý�x`í�ûîaö�ñ6ð5îaüqí�óFú ��öCò�öCý]ðB�Hð�ò���üCï�ñ§ò�í­ð�î�óJõ­ü��1ñkúaü,î���ô×ñ / vP!� Ê�Ì ) v�� 9 A vP � 'o���A vP ���O� ��A vP �$( �CAMí�îA+AC��|ý x:û�úYð�ò ü,û6ö�îaü�ü�ï�ó×ü��û%ð$� �q�9( � �aù]íiñkúHð��Hð�ò���üCïîaü,í�óJú ��ö�ò$�!��ô×ñ�/ vP� Ê�Ìm)�v�� 9 A vP � 'o���@A vP ��p� �@A vP �$( � �DI v� �� ��_�)( � �[AWí�î+AC��|î ��ö�ñkú�ÿ,ð�û,ü,û$� �Hð�ò�]x-C

U ���|î�ÿ%õ§ô×ï�üªð�õ©õ]þCü,òLñ§íkÿ ü,û�öCý]÷*ù]ú×í§ÿlúÞð�ò ü�îMö�ñ4ð�õ©ò,ü�ð�ïB��í�î +AC6 Å2¾©Ä6ÀLÂ�Ä'I!Å%Æ¢Ä�À�À�Å%Ö¬Â�Å6Å�Ö×À�Ä�À�Å�+ È×Û�Æ�ß�ÚYà ÀLßHä6I D Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö¬Ü � � à Æ�ÁJÅqÂ�¾©Á¬Ä4Â�Ø©Ø

Æ�ÇWÅ�Ö×À�¿�À�Û�Å�¾�à À�Ä6Æ�Ç�÷Ãå$I�Ø©ÀLÂ�Û�Ø�I�Ù�Â�Ø©ØM¿�ÀLÛ�Å%¾©à�ÀLÄ4Æ�ÇWä×Ø�Â�à�G¢Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄ2Â�Û%À�ÂFß×ß�ÀLßHÅ�Æ +¾©Á�Å�Ö×À�à ÆFÚ×Û%Ä�À�Æ�ÇWà�Â�Û%Û@IJ¾©Á×â�ÆFÚ�Å2Ä�Å�ÀLȬÄ����/:k=��,å ��À�à�Â�Ø�ØYÅ�Ö¬ÀLÄ�À�ä×Ø�Â�à�G5¿�ÀLÛ�Å%¾©à�ÀLÄLå D¿�ÀLÛ�Å%À%H ��¾�Ä�Â�ß×ß�À�ßS¾©ÁxÄlÅ%À�È U �6¾�Ç�Â�Á¬ß;Æ�Á×Ø�I�¾�Ç�¾�Å�¾�Ä�¢¿�À�Û�Å�À$HHÆ�Ç�Â�ã�Ö×¾�Å�À�Å%Û�¾�Â�Á×âFØ�Àx!Ù�ä×Ú×Å�¾©Ä�Á×Æ�Å�°¿FÀ�Û�Å�À%H;Æ�Ç]Â�ÁpIHä×Ø�Â�à�GSÅ�Û%¾©Â�Á×â�Ø©À�å$��À�à�Â�Ø�ØMÅ%Ö×ÀLÄ�À!ã�Ö×¾�Å�À�¿FÀ�Û�Å�¾�à À�Ä�åK�Ö×ÀLÛ�À�Â�Û%À�Á×Æ�ã�Ö¬¾�Å%À�¿FÀ�Û�Å�¾�à ÀLÄ�¾©Á�Å�Ö×À�Å�Û%¾�Â�Á×âFÚ×Ø©Â�Å�¾©Æ�Á�Æ�Ç&?�¾�âYå � ÙJä¬Ú�Å2¾�Å�¾�Ä2ÀLÂFÄ)I¢Å�Æà Û%ÀLÂ�Å�ÀªÀ%H×Â�Ü5ȬØ�À�Ä�ã�Ö×À�Û%À�Å�Ö×À#IHÆ�à�à Ú¬ÛLåD Ø�âFÆ�Û%¾�Å%Ö×Ü � � È×Û%Æ�¿J¾�ß�À�Ä�Â�Á;ÆFÛ%ß�ÀLÛ�¾©Á×â-x Ô �$"#"$"%�!x Ò�� ÇáÆ�Û2Å�Ö¬À�ä¬Ø©ÂFà�G°Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄ

Æ�Ç�÷Ãå ?×ÆFÛ¢À�Â�àqÖRä¬Ø©ÂFà�GÕÅ%Û�¾�Â�Á×âFØ�À;ã�À�àqÖ×Æ�ÆFÄ�ÀHÆ�Á¬À;Æ�Ç�Å�Ö×À�ÈYÆF¾�ÁJÅ�Ä�À�Å%Ä¢Ø�¾�Ä�Å�ÀLß¾�Á���?h�� å ?¬Æ�Û�Ø�Â�Å%À�Û�Ú¬Ä�À�ÙYã�À!ß×À�Á×Æ�Å�À�Å%Ö×À�Ä�À Å�Æ�Ç�ä×Ø�Â�à�GSÅ�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄ�àqÖ×ÆFÄ�À�Á�¾�Á Ä�Å�ÀLÈ � �Æ�Ç D Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö×Ü � � ä6I#% [ å]K�¾©Ü5¾©Ø�Â�Û%ØJIFÙ�ã�À°ã�Û%¾�Å%À %¬ÔB�% � �% P ÇáÆ�ÛªÅ%Ö×ÆFÄ�À�àqÖ×ÆFÄ�À�Áþ�ÁÄ�Å�À�ÈYÄZ;�� : =!� åK�Ö×À6Æ�Ûqß�À�Û1¾©Á!ã�Ö×¾�àqÖªÅ�Ö¬À6ÈaÆ�¾©ÁFÅ�à Æ�ÁYÄlÅ%À�ةةÂ�Å�¾©Æ�Á¬Ä�Â�Û%À4àqÖ×ÆFÄ�À�Áª¾©Á D Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö×Ü � �

¾�Ä!¾©Ü5ÈaÆ�Û�Å%Â�ÁJÅ�Å�Æ ÀLÁ¬Ä�Ú¬Û�À°Å%Ö¬Â�Å�ÆFÚ×ÛFE�Â�â�ÛqÂ�Á¬â�À°¾�ÁJÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Æ�Á�Ü°À Å�Ö¬Æ�ß�¾�Ä!Ø©Æ�à�Â�اå6 Á�Å�Ö×¾�Ä�à�Æ�Á×Á×À�à,Å%¾�ÆFÁ;ã2ÀªÖ¬ÂC¿�À�Å�Ö×ÀªÇáÆFØ�Ø©Æ�ã�¾©Á×â°Ø�ÀLÜ5Ü�¬å� é�êRêXe ² "1³8�Mô#�?��ö�ûqü@%�ÐHð�ò ü ñ§úaüRÿ�õ­ð�û%ûqü ûxö�ýSñ§ò�í­ð�î�óJõ­ü ûÃÿ�ò ü ð�ñ|ü�ï �%� � õ�ó×öò%í§ñ§ú3���� 3C ��úaüqî�����ªöHñ|ù4öSñkò%í�ð�î�óFõáü,û�í©î�ñkúaü�ÿ%õ�ð�û�û�% [ ÿ,ð�î�ñ¡ö�ô�ÿlúÞü�ð�ÿlú ö�ñ§úaüqò�C� ���|ý�ñ|ù4öxñ§ò�í­ð�î×óFõáü,û�í�îRñ§úaü�û%ð �Hü�ÿ�õ­ð�û%û% Ð �s�kj ��j ;3�]ñ¡ö�ô×ÿlú�ü ð�ÿlú�ö�ñ§úaüqò�ð�ñ

ð;þCü,òLñ|ü��D�q��ñ§úaüqî�ñ§úaü'� �Sô�ûLñ6ð�õ�ûqöSñ|ö�ô�ÿlúÞð�ñkò%í�ð�î�óFõáü�í�îÕö�îaüªöCý2ñkúaü�ÿ%õ�ð�û�û,ü,û% [ �$"#"$"%��% Ð q Ô ð�ñ�ñkúMü�û%ð �Hü�þ�üqò�ñ¡ü��,C

æ ·�¸1¸7698 K�Ö¬À�GYÛ%Ä�Å�ÂFÄ�Ä�À�Û�Å�¾©Æ�Á�¾©Ä�Æ�ä�¿�¾©Æ�Ú¬ÄLå/K�Ú¬È×ÈYÆJÄ�ÀyxWÔ�Â�Á¬ß x � Â�Û%À�Ålã�Æ�Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLľ©ÁÕà Ø�Â�Ä%Ä%�Ð6ã�¾�Å%Ö �kj �Zj ;°Å%Ö¬Â�Å�Å�Æ�ÚYàqÖÕÂ�Å�ÂH¿�À�Û�Å�À$H �aÙ�Â�Á¬ßÞÄ�Ú×È×ÈaÆFÄ�À�Å%Ö×À$IÞß�ÆÁ×Æ�Å!Å�ÆFÚ¬àqÖRÂ�ÁpI Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ø©À�¾�Á�% � ã�¾�Å�Ö /Xm �ªÂ�Å�Å%Ö×À;Ä%Â�Ü°À�¿�ÀLÛ�Å%À%H �Yå K�Ú×ȬÈYÆJÄ�ÀxWÔ�¾�Ä�Ü�Â�Û)G�À�ßSäaÀ ÇáÆFÛ�À x � ¾©Á D Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö¬Ü � � åLK�Ö×À�ÁÞäaÀ ÇáÆFÛ�À�xWÔ�ã�Â�Ä�Ü�Â�Û!GFÀLß�Ù x �Ü�ÚYÄlÅ�Ö¬ÂC¿FÀ�ÖYÂ�ßLDh> ��¿�À�Û�Å�¾�à À�Ä�Å�Ö¬Â�Å�ã�ÀLÛ�ÀªÁ×Æ�Å�Ä�Ö¬Â�Û�À�ßSã�¾�Å�ÖxÜ�Â�Û)G�À�ß�Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�åY2Ú�Å�Å�Ö¬À�Á x � ã�ÆFÚ×Ø©ßÃÖ¬ÂC¿FÀ5äaÀ�ÀLÁ àqÖ×ÆFÄ�À�ÁÃÅ�ÆÞäaÀ�¾�Á %�Ð q Ô�å�K�Ö×¾�Ä!à ÆFÜ5ȬØ�À�Å�ÀLÄ�Å�Ö×ÀÈ×Û%Æ�Æ�Ç�Æ�Ç � �,å

Page 18: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

�<@ ����������� ������������ ������� �����! ���"� �$# �&%�')( �* � "���� � ��+-, �/. ��021 3���14+5��

����� u��¬u �6�¢~����lw%}l���L��� �l~�����z|w%���`����}��l�Fw�z|�J��~��Jw�z|�J�L{qw����D Ä�¾�Ü°È×Ø©À!à ÆFÚ×ÁJÅ�Ä�Ö×Æ�ã�Ä2Å%Ö¬Â�Å

� +ËÌ �<h����.���9. U & Ô . 4 & � � ��� � �ã�Ö×ÀLÛ�À ���Â�Á¬ß���� Â�Û�À�Å%Ö×À�ÁJÚ¬Ü�äaÀ�ÛqÄ6Æ�Ç1ä×Ø©ÂFà�G5Â�Á¬ß�ã�Ö×¾�Å�À�¿�ÀLÛ�Å%¾©à�ÀLÄ4¾©Á;É�Ùp& Ô ¾�ÄÅ�Ö¬À�ÁJÚ¬Ü�äaÀ�Û�Æ�Ç�ä×Ø�Â�à�GHÅ�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄ2ã�Ö×¾�àqÖÞÂ�È×ÈaÀLÂ�Û�Ä�¾©Á×â�Ø�I�ÙYÂ�Á¬ß & � ¾�Ä�Å�Ö¬À�ÁJÚ¬Ü�äaÀ�ÛÆ�Ç�ȬÂ�¾�ÛqÄ2Æ�Ç�ä×Ø©ÂFà�G�Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�å��� e×ê %�èkéH² ��³ EWÀ Å6÷ äYÀ2Å%Ö×À6Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ú×Ø�Â�Å%¾�ÆFÁ!Æ�Ç Dq�6Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ø©ÀLÄ�ã�¾�Å%Ö!Å�Ö¬À�à�Æ�Ø©Æ�Û%¾�Á¬âÄ�Ö×Æ�ã�Á;¾©Á ?�¾�âYå 4×å� ¼ f�»�º/f<f�¼k¸aµ 8 :�À�Û%À�� � Ì ;"h¬Ù�� � Ì h×Ù6&5Ô�Ì �<;�Â�ÁYß & � ÌaDYÙFÂ�ÁYß5Ä�Æ�äpI���� � �Å�Ö¬À¢à�Â�Û%ß×¾�Á¬Â�Ø�¾�Å�ISÆ�Çs+ ¾�Ä�Dq��DYå D Ø�âFÆ�Û%¾�Å%Ö×Ü � � àqÖ×Æ�ÆFÄ�ÀLÄ�Å�Ö×À!ÈaÆ�¾©ÁJÅ�à�Æ�Á¬Ä�Å�ÀLØ�Ø�Â�Å%¾�ÆFÁ) v Ä�¾JHÞÅ�¾©Ü5À�Ä�Ù0/ v Ô ÇáÆFÚ×Û�Å�¾©Ü5À�Ä�Ù0/ v��� Å%Ö×Û%À�À¢Å�¾©Ü5À�Ä�Ù0/ v�� ÆFÁ¬à ÀFÙ / vP�� ÇáÆFÚ×Û�Å�¾©Ü°ÀLÄÂ�ÁYß3/ vP� Å�Ö¬Û�ÀLÀ�Å�¾©Ü°ÀLÄLå K�Ö×¾©Ä�â�¾©¿�À�Ä�°Å�Æ�Å%Â�ØWÆ�Ç$Dq��D�ÈaÆ�¾©ÁFÅqÄ�¾©Á +°å K�Ö×ÀLÄ�À!ÈaÆ�¾©ÁJÅ%ÄÂ�Û%À�Ä�Ö¬Æ�ã�Á;Â�Ä�ß×Æ�Å%Ä�¾�Á�Å�Ö¬À�G¬â�Ú×Û%À�åD Ä�Â�G¬ÛqÄ�Å�Ä�Å�ÀLÈSÅ%Æ�ã2Â�Û%ß×Ä2ß�À$G¬Á×¾©Á×â¢ÆFÚ×Û�Ä�ȬØ�¾©Á×À�Ä�ÈYÂ�à À ��Ù�ã2ÀªÁ×À�À�ß�Å�Æ�ß�À$G¬Á×À

Â�Á¢Â�È×È×Û%Æ�ȬÛ�¾�Â�Å%À]Å�Û%¾©Â�Á×â�ڬةÂ�Å�¾©Æ�Á¢÷ÞøCå&�ÃÀ�ß�Æ�Å�Ö×¾�ÄWäpI�Ä�È×Ø�¾�Å�Å%¾�Á¬â�Ä�Æ�Ü°À6Æ�Ç�Å�Ö×À2ã�Ö×¾�Å�ÀÅ�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�Æ�Ç4÷Ãå� è��Y¸Y·�¼á¶ + ê ²� 1³���íiþCü,î ðñkò%í­ð�î�óaô�õ�ð×ñkíáöCî:÷ öCýstÝù]ú×í§ÿlúúað�û ��üLüqî0ÿ,ö�õ­ö�ò,üCï�$� � õ�ó�ö�ò�íiñkú3� �p��õ­ü�ñ�÷ ø ��üHñ§úaüHñkò%í�ð�î�óYô�õ­ð�ñ§í­ö�î�ö �×ñið�í©îaüCï �$� ��ü,ò�ý§ö�ò�°í©î�ó�ñkúaüý§öCõ©õáöFù]í�î�óHûLñ¡ü)��û ����SìMöCò�ü�ð�ÿlúÞû�í©î�óJõ­ü¢ù]ú×íiñ¡ü°ñkò%í�ð�î�óFõáü x��að$�?�Mõw�ÕöCîaü�ö�ý�ñkúaüªû��Mõ©í§ñiû�ï�ü û ÿ%ò�í ��ü�ï�í�î-�ü�� �Hð�û������%�Mï�ü)��ü,î�ï�í©î�ó�öCî�ñkúMü�îaô7� ��üqò�öCý4ü�ï�ó�ü,û�ö�ý&x öCî � t�C

� �SìMöCò�ü ð�ÿlú �1ð�í�ò �ËöCýMð�ï��,ð�ÿ,ü,îañ�ù]ú×íiñ¡ü�ñ§ò�í­ð�î×óFõáü,û$�Fð$�3�Mõ9��ö�îaü�öCýWñ§úaü2û��Mõ�íiñ§û2ï�ü û�ÿ�ò%í ��ü�ï!í©î -�ü�� ��ð�û �!� � ���×ï�ü)��ü,î�ï�í©î�ó°öCîÞñ§úaü2îMô �+��ü,ò2ð�î1ï�ÿ,öCî?��óYô�ò,ð�ñ§í­ö�îö�ý]üCï�ó�ü û�ö�ý � öCî � t�C

Page 19: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

#�� '�� 1 # � �H � �����������[������H1 � � 0����$0�� ( � � % ��1 02� ��� � 4

?¬Æ�Û�Å%Ö×À]Å�Û%¾�Â�Á×âFÚ×Ø©Â�Å�¾©Æ�Á�¾�Á H×Â�Ü°È×Ø©À �<D¬Ù D Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö×Ü �?=2Â�ȬÈ×Ø�¾©ÀLÄ�Å�Ö×ÀyI�Ø©Æ�Ú¬â�ÖSK�Æ�àqÖ¬À�Û]Ä�ȬØ�¾�Å]Å�Æ�Â�Ø©Ø � h�ã�Ö×¾�Å�À�Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ø©ÀLÄLå�K�Ö×ÀLÄ�À�Ä�ȬØ�¾�Å%Ä4Â�Û�À�Ä�Ö×Æ�ã�Á¢¾©Á ?�¾©â¬å 4�ã�¾�Å�Öß�Æ�Å�Å�À�ß�Ø�¾©Á×ÀLÄLå� é���µ�¼á¶L¼§¸Yµ ² �W³ -�üCñ�� ��üÃñkúaüÞûqü�ñ¢öCý�ð�õ©õ�û��Mõ©í©îaü,û�� � � ��O PQ �i÷Þø$��ù]í§ñ§ú ñkúaüý§öCõ©õáöFù]í�î�óSð�ï×ï�íiñkíáöCîYð�õ?�Mò,ö$��ü,òLñ§í­ü û ����SìMöCòxü�ð�ÿlú:û�í�î�óJõ­ü�ù]ú×í§ñ|ü�ñkò%í­ð�î�óJõ­üLxÝí©î0÷ ����u v ûqð�ñ§í©û'�aü ûÞñkúaüÕð�ï×ïFí§ñ§í­ö�îYð�õ

û�SöJö�ñkú×îMü,û%û�ÿ,öCî1ï�í§ñ§í­ö�î¬û�ï�ü û ÿ%ò�í ��üCï5í©î3-�ü��B�Hð�û���� �C� �SìMöCòSü ð�ÿlú �1ð�í�ò �*öCý�ð�ï��,ð�ÿ üqîMñ5ù]ú×í§ñ|üÕñkò%í�ð�î�óFõáü,û5í©î:÷ � �gu � û%ð×ñkí�û)�aü û�ñkúaü

ð�ï×ï�íiñkíáöCîYð�õ1û!�Sö�ö�ñ§ú×îaü,û%û�ÿ,ö�î�ï�íiñkíáöCî¬û�ï�ü,û�ÿ�ò%í ��ü�ï°í�î3-�ü�� �Hð�û�� � � ��C;6�SìMöCò5ü�ð�ÿlú û�í©î�óJõ­ü;ù]ú×íiñ¡üxñkò%í�ð�î�óFõáü¢í�î÷ ù]ú×í§ÿlú�úYð�û�ñ|ù4ö ��õ­ð�ÿ>�Ãîaüqí�óFú ��öCòqû%�o Pf O p ��Ì hO��ù]úaüqò üFE�Ì � Ô �6� � � í©î�ñkúaü�îaö�ñið×ñkíáöCî öCý�-�ü�� �Hð ��C

Dp�SìMöCò�ü ð�ÿlú¢û�í�î×óFõáü�ù]ú×íiñ¡ü�ñ§ò�í­ð�î×óFõáü]í©î�÷ ù]ú×íkÿlú°úYð�û4ü��¬ð�ÿ�ñkõ9��öCîaü��õ­ð�ÿ>�!îMüqí�óFú ��öCò#��o Ò= O p �;Ì hxý§öCò{l j : j bxð�î�ï hcj l j U ��ù]úMüqò üZESí©ûHñkúaüHüCï�ó�üû�úYð�ò ü�ïxù]íiñkú�ñkúaüB��õ�ð�ÿ>�Hîaüqí�óFú ��öCò�C

=��SìMöCò�ü ð�ÿlú �Wð�í©ò�öCý2ù]ú×í§ñ|ü¢ñkò%í�ð�î�óFõáü,ûyx ð�î�ï dx í�îÕ÷*ù]ú¬íkÿlú�úYðJþCü�ý§ö�ô�ò ��õ­ð�ÿ>�îaü,í�óJú ��ö�ò%û$� o Pf O p ��Ì hO�1ù]úaü,ò,üFE�Ì ��Nf6��� Ô � í�î�ñkúMü�îaö�ñ¡ð�ñkíáöCî öCý�-�ü�� ��ð��3C

U �SìMöCòHü ð�ÿlú �1ð�í©ò�ö�ý!ù]ú×íiñ¡ü ñkò%í�ð�î�óFõáü,û x$ð�î1ï dx í©î ÷ ù]ú×í§ÿlúRúYðJþ�üSü��¬ð�ÿLñkõ9�ñ§ú×ò,üLü ��õ�ð�ÿ>�5îMüqí�óFú ��ö�ò%û$�4o Pf O p ��Ì hO��ù]úaüqò üJEªÌi �Nf��6� Ô � í�îÃñkúaü�îaö�ñið×ñkíáöCî�ö�ý-�ü�� �Hð��pC

b!�SìMöCò�ü ð�ÿlú �1ð�í©ò�ö�ý]ù]ú×íiñ¡ü!ñkò%í�ð�î�óFõáü,û8x0ð�î�ï dxfí�îÞ÷ ù]í§ñ§úxü��¬ð�ÿLñkõ9� ñ|ù]ö8��õ­ð�ÿ>�îaü,í�óJú ��ö�ò%û�ñkúað�ñ�ñ¡ö�ô�ÿlúc��o Ò= O p ��Ì h5ý§öCòJl}jn: j b5ð�î1ïkhnjzl j U �1ù]úaü,ò,üEªÌi �� f ���FÔ � í©îÃñ§úaü�îaö�ñ¡ð�ñ§í­ö�îÞö�ý -�ü�� �Hð ���6C

@6�SìMöCò�ü ð�ÿlú �1ð�í©ò�ö�ý]ù]ú×íiñ¡ü!ñkò%í�ð�î�óFõáü,û8x0ð�î�ï dxfí�îÞ÷ ù]í§ñ§úxü��¬ð�ÿLñkõ9� ñ|ù]ö8��õ­ð�ÿ>�îaü,í�óJú ��ö�ò%û�ñ§úYð�ñ�ï�ö�îMö�ñ6ñ|ö�ô�ÿlú,� o Ò= O p ��Ì h�ý§ö�ò l}jn: j b�ð�î�ï-hnjzl j^;O�ù]úaü,ò,üFEªÌi ��FÔ���� �H� í©îÃñ§úaü�îaö�ñ¡ð�ñ§í­ö�î ö�ý -�ü�� �Hð ���!C��ÀÕÂ�Û%ÀxÁ×Æ�ã Û%ÀLÂFßOI Å%Æ È×Û�Æ�¿FÀSÅ%Ö×À Ü�Â�¾©Á Û�À�Ä�Ú¬Ø�ÅHÆ�Ç�Å%Ö×¾©ÄHȬÂ�ÈaÀ�Û�Ù�ÁYÂ�Ü°À�Ø�I

Å�ÖYÂ�Å�Å�Ö¬À Ä�À�Å�+ Æ�ǪÈaÆ�¾©ÁFÅqÄHà ÆFÁ¬Ä�Å�Û%Ú¬à,Å%ÀLß¾�Á D Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö¬Ü � � Â�ÁYßRÅ%Ö×ÀÕÄ�ȬÂ�à�À��Æ�Ç8M�À%GYÁ×¾�Å%¾�ÆFÁ � U ÇáÆ�Û%Ü Â/EWÂ�â�ÛqÂ�Á×âFÀ�¾©ÁJÅ�ÀLÛ�ÈaÆ�Ø�Â�Å%¾�Á×âSȬÂ�¾©Û�ã�¾�Å�Ö�ß�¾�Ü �dÌ � +ÎÂ�Äâ�¾©¿�ÀLÁ;äpI �)� � �,å*,+ é�¸¬·�é�ê(² ��³.-�üCñ + ð�î�ï � ��ü°ð�û�ð3��öFþCü�C ��úaüqî�ý§öCò�ð�î��ÕóFíiþCü,îÍ�� C Ñ C ] �

�ñkúMüqò ü5í©û¢ð�ô�î×í<��ôJü°û��Mõ�í©îaüA� � � û�ô×ÿlú`ñ§úYð�ñ ���kÏ3��Ì � C �]ý§öCò5ð�õ©õ6Ï � +AC ��úaüí©îañ|üqòR��ö�õ�ð×ñkíáöCî/��ò,ö×ÿ,ü û�û�í�û�> = !$06>×í©î`ñkúaü�ûqü,î¬û,ü°ñkúað�ñ2ý§öCò!üCþCü,ò��Rñ§ò�í­ð�î�óJõ­ü�x �÷Þøð�î1ï�üCþ�üqò)�`ï�ö �Hð�í©î ��ö�í�îMñF+ � ) vs��ñ§úaüqò üSü���í©ûLñ§û°ð û,üCñ��

\ + ; Ä�Å%Â�Û � � x �

ûLô�ÿlú ñkúað�ñ6ñ§úaü��lÿ,ö�ü���ÿ%í­ü,îañ�v\

ö�ý��!ï�ü���üqî�ïFû�öCî¬õw��öCîÞñ§úaü!þ,ð�õ§ô�ü,û2ö�ý�Í� C Ñ C ] �� C

�Ãö�ò,üLöFþCüqò#�Yñ§úaü�í�îMñ¡ü,ò���öCõ­ð�ñ§í­ö�î �Mò ö×ÿ,ü û�û�í©ûy~):)0 ��> 7�í�î�ñkúaü�û,üqî¬û,ü�ñ§úYð�ñ2ñkúMüqò ü�ü���í�ûLñ§ûðSÿ,ö�î¬û�ñ¡ð�îMñs�Îï�ü���üqî�ï�í©î�ó�ö�î×õw� öCî�ñkúaü�û�Hð�õ©õ­ü û�ñ6ð�î�óFõáü�í©îÕ÷ÝûLô�ÿlú�ñkúYð×ñ

u�v\ugj��ÕÜ�Â�H

C ] �� u � C u9� ð�õ©õ +-�@) v " ���?;��

Page 20: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

� h ����������� ������������ ������� �����! ���"� �$# �&%�')( �* � "���� � ��+-, �/. ��021 3���14+5��æ ·�¸1¸7698k��À5Ä�Ö×Æ�ãËÖ×Æ�ã Å�Æ�à ÆFÜ5ȬÚ�Å�À�Å�Ö×ÀkYqS¡à�ÆJÀ$bHà ¾©À�ÁJÅ%Ä�Æ�Ç��FÙMÆ�Á×À�Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ø©À�Â�ÅÂÕÅ�¾©Ü5ÀFå�?�¾©ÛqÄlÅ°ã�ÀÞß�À�Â�Ø�ã�¾�Å�Ö`Å�Ö×Àxä×Ø�Â�à�G�Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ø©ÀLÄ5¾�ÁÅ�Ö¬À�ÆFÛ%ß×À�ÛkxWÔ�$"#"$"$�!x Ò �Â�Ä%Ä�¾�âFÁ×ÀLß;äpI D Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö×Ü � � åsE1À Å% [ �$"#"$"%��% P äaÀªÅ�Ö×À�à�Ø©ÂFÄ�Ä�ÀLÄ2Æ�Ç�ä×Ø�Â�à�GHÅ�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄà Û%ÀLÂ�Å�À�ß°ä6I¢Å�Ö¬À�Â�Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö×Üxå/�ÃÀ�Ä�Â�I�Å�Ö¬Â�Å2Â�¿FÀ�Û�Å�À$H¢Æ�Ç�÷ ¾�Ä6Â�:���;�7��6V �7�2�:�7���¾�Ç1¾�ž�Ä�°¿�ÀLÛ�Å%À%HSÆ�Ç�Â5Å%Û�¾�Â�Á×âFØ�Àª¾©Á % � Ù¬ä×Ú×Å�Á×Æ�Å�°¿FÀ�Û�Å�À%H;Æ�Ç]Â�ÁpIHÅ%Û�¾�Â�Á×âFØ�Àª¾©Á % � ã�¾�Å�Öhkj /]mm2�å

��ÀxäYÀLâ�¾©Áã�¾�Å�ÖRÅ%Ö×À�Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀNx Ê�Ì x Ô ã�Ö×¾�àqÖØ©¾©ÀLÄ5¾�ÁD% [ å`I�Ø©ÀLÂ�Û�Ø�I�Ù4Å�Ö×Àà Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Ä�Í

�v\Ñ\W]M^

Â�Û�À�Ú×Á×¾VRJÚ×À�Ø�I�ß�À%G¬Á¬ÀLßSÂFÄ4Å%Ö×ÀªÄ�ÆFØ�Ú�Å%¾�ÆFÁHÆ�Ç�Å%Ö×ÀªÄ)I�Ä�Å�À�Ü Æ�Ç; U À?RFÚYÂ�Å�¾©Æ�ÁYÄ]à Æ�Û%Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×â�Å%Æ�¾�ÁJÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Æ�Á�Â�Å]Å%Ö×À�ÈYÆF¾�ÁJÅqÄ�/ v[ Ê�Ìz) v�å�K�Ö×¾�ÄÄ'I�Ä�Å�ÀLÜÝà Æ�Û%Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß×Ä�Å%ÆHÅ�Ö¬À¢Ü�Â�Å%Û�¾JH;= [ ¾©ÁJÅ�Û%Æ�ß�Ú¬à À�ßÞ¾©Á K�ÀLà ÅLå�;×å 6 ÁÞÅ�Ö¬¾©Äªà�ÂFÄ�À�

\ÌU) vRÌ Ä�Å%Â�Û [ � x �,å�4ÞÆ�Û%À�Æ�¿FÀ�Û�Ù����?;���Ö×ÆFة߬Ä�ã�¾�Å�Ö � [ Ê�Ì � = q Ô[ �ªÌ D?� � " h � åK�¾©Á¬à À�äpI E1ÀLÜ°Ü°Â �<;¬Ù�Å%Û�¾�Â�Á×âFØ�À�ÄS¾©Á % [ ß×ÆÁ×Æ�Å;Å%Æ�Ú¬àqÖ0ÀLÂFàqÖdÆ�Å%Ö×À�Û�Ù�ã2À�à�Â�Á

Ú×Á×¾VRJÚ×À�Ø�I¢à�Æ�Ü°È×Ú�Å%À�Å�Ö¬À�à Æ�ÀWbHà�¾�ÀLÁFÅqÄ]Æ�Ç,�gu vÞÇáÆ�Û6Â�Ø�Ø×Û%À�Ü�Â�¾�Á×¾©Á×â�Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�¾�ÁHà�Ø©ÂFÄ�Ä% [ ¾©Á�Å�Ö×À�Ä%Â�Ü°Àªã�Â�I�åqE�Á¬à�ÀªÅ�Ö×¾�Ä�¾�Ä�ß�ÆFÁ×À�Ùq�!¾©Ä�Ú×Á×¾VRFÚ¬À�Ø�I;ß�À�Å�À�Û%Ü°¾�Á¬ÀLß�Æ�ÁÞÂ�Ø©Ø1Æ�ÇÅ�Ö¬À�Å%Û�¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�Æ�Ç�à Ø�Â�Ä%Ä% [ å ? Æ�ãËÇáÆ�Û�ÀLÂFàqÖÞÅ�I�ÈYÀ�SChH¿�À�Û�Å�À$H3'ÃÆ�Ç�÷ÃÙYã2À¢àLÂ�Á ÚYÄ�ÀÅ�Ö¬À°Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Ä�à ÆFÁ¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á � � � P �$'c��Å�ÆÞß�À�Å�À�Û%Ü°¾�Á¬À¢Å%Ö×À YqS¡à�ÆJÀ$bHà ¾©À�ÁJÅ%Ä�Æ�Ç �à ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈaÆ�Á¬ß�¾©Á×â�Å�Æ°ß�Æ�Ü�Â�¾©Á�ÈYÆF¾�ÁJÅ%ÄQ+¢¾�Á�ÀLÂFàqÖSÆ�Ç�Å�Ö×À�Ä�À ÅqÄQA vP � 'o� Ù�ã�Ö×À�Û%À�x0¾©Ä�ÂÅ�Û%¾�Â�Á×âFØ�ÀªÄ�ÖYÂ�Û%¾�Á×â¢Å�Ö¬À�¿FÀ�Û�Å�À$H '�å ?¬Æ�Û2Å�Ö×À�Ä�Àh+�Ù�ã2ÀªÖ¬ÂC¿�À �

\ ÄlÅqÂ�Û� x ��Â�Á¬ß ���?;��

Ö×ÆFØ©ß×Ä�ã�¾�Å�ÖÞÂ�à�Æ�Á¬Ä�Å%Â�ÁFÅzd� [ ß�ÀLÈYÀLÁ¬ß�¾©Á×â�Æ�Á(� [ Â�Á¬ß;Å�Ö¬À!Ä�Ü�Â�ةةÀLÄ�Å�Â�Á×â�Ø©Àª¾�Á ÷Ãå? Æ�ã Ø�À�Å/x Ê�Ì x�Ð��+%¬Ô�å&Y I�Å�Ö¬À2ß�À$G¬Á×¾�Å�¾©Æ�Á¢Æ�Ç�%¬Ô6à Æ�Ú¬È×Ø�À�ß!ã�¾�Å�Ö E1À�Ü°Ü�Â��?;×Ùx Ü¢Ú¬Ä�Å�Ä�Ö¬Â�Û�À5À%H×Â�à Å�Ø�IÞÆ�Á×À°¿FÀ�Û�Å�À%H�Ù1Ä%Â�I '�Ù1ã�¾�Å�Ö�Â�Å�Ø©ÀLÂFÄlÅ�Æ�Á¬À�Å%Û�¾�Â�Á×âFØ�Ànx��x¾�Á

Í<xWÔ�#"$"#"$� x�Ð q ÔCÑ ;+% [ å K�Ö×¾�Ä�Ü°ÀLÂ�Á¬Ä�Å%Ö¬Â�Å 'þ©Ä�Â5Å�I�ÈYÀ�SCh�¿FÀ�Û�Å�À$HMÙYÂ�Á¬ßxÖ×ÀLÁ¬à À!Å�Ö×ÀYqS¡à�Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅ%Ä�Æ�ÇY�gu v�à ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈaÆ�Á¬ß�¾©Á×â�Å%ÆRA vP � 'o��Â�Û%À�Â�Ø�Û%ÀLÂFßOInGJÁ¬Æ�ã�Á1å$Y�I�K�Ö¬À�SÆ�Û%À�Ü ;SÅ%Ö×À�Û%À�Ü�Â�¾©Á×¾©Á×â�à�Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅ%ĪÆ�Ç �gu v:Â�Û%À¢Ú¬Á×¾TRJÚ×ÀLØJI�ß�À Å%À�Û%Ü°¾�Á×À�ßÕäpIÕÅ�Ö×À¾©ÁFÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Æ�Ádà�Æ�Á¬ß×¾�Å%¾�ÆFÁ¬ÄSà�Æ�Û%Û�À�Ä�ÈaÆ�Á¬ß×¾�Á×âRÅ�ÆRÅ%Ö×À �HU ÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�¾�Á / v Ô å K�Ö×À�Ä�Àà Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Ä àLÂ�Á äYÀà�Æ�Ü°È×Ú�Å%ÀLß äpI0Ä�Æ�Ø©¿�¾�Á×âÅ�Ö¬ÀÄ)I�Ä�Å�ÀLÜ =Ô��ÝÌ��MÙ�ã�Ö×ÀLÛ�À=Ôþ�ÄxÅ�Ö¬À Ü°Â�Å�Û%¾9H0¾�ÁJÅ�Û%Æ�ß�Ú¬à�ÀLß ¾�Á K�À�à,Å�å�;×Ù�� ¾�Ä�Å�Ö¬ÀR¿�À�à,Å�ÆFÛxã�¾�Å%Ö à Æ�Ü°ÈaÆHSÁ×ÀLÁFÅqÄ;Í

� CÑ C ]

1 �¾©ÁØ©À%H�¾�à ÆFâ�ÛqÂ�È×Ö×¾�à�Â�Ø6ÆFÛ%ß�ÀLÛLÙ]Â�Á¬ß��¾�Ä�Å%Ö×À�¿�ÀLà Å�ÆFÛ�ã�¾�Å�Ö à Æ�ÜnS

ÈaÆ�Á×ÀLÁFÅqÄ�Í� C >� \W] ���� ��� � \ �

Q\�kÏO�,Ñ C ]

1 �¾�ÁSÅ�Ö×À�Ä%Â�Ü°À�ÆFÛ%ß×À�Û�å 6 Å2ÇáÆ�Ø©Ø�Æ�ã�Ä�Å%Ö¬Â�Å

\ x���x�� Ä�Å%Â�Û Ô � x � Ù�Â�Á¬ß/���?;���Ö×Æ�Ø�ß×Ä�ã�¾�Å�ÖA��Ô�Ê�Ì�� = q ÔÔ ���)��. d� [ � = q Ô[ �#�,å

? Æ�ã0ÇáÆ�Û�ÀLÂ�àqÖ�Å�I�ÈaÀ�S��¿�À�Û�Å�À$H>' Æ�Ç�÷ÃÙ�ã�À�àLÂ�ÁxÚ¬Ä�ÀªÅ�Ö×À¢Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×ÀLÄ%Ä�à�Æ�Á¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á�(��� P �$'c��Å�ÆÕß�À�Å�ÀLÛ�Ü°¾©Á×À°Å�Ö×ÀLY8S|à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Ä�Æ�Ç �;à ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×â;Å�Æ ß�ÆFÜ°Â�¾�ÁÈaÆ�¾©ÁFÅqÄX+�¾�Á°ÀLÂFàqÖ�Æ�ÇYÅ%Ö×À�Ä�À�Å%Ä*A vP �$'c�,ÙFã�Ö×À�Û%Àix¾�Ä4Â�Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�Ö¬Â�Û%¾�Á¬â�Å%Ö×À�¿�ÀLÛ�Å%À%H'�å ?×ÆFÛ�Å�Ö×À�Ä�ÀZ+�Ù×ã�À�ÖYÂC¿�À �

\ Ä�Å%Â�Û � � x ��Â�ÁYß �)�<;6�2Ö×Æ�Ø�ß×Ä�ã�¾�Å�Ö Â�à�Æ�Á¬Ä�Å%Â�ÁFÅmd� Ô

ß�ÀLÈYÀLÁ¬ß�¾©Á×â�Æ�Á(� Ô Â�Á¬ßSÅ�Ö¬À!Ä�Ü�Â�ةةÀLÄ�Å�Â�Á×â�Ø©Àª¾�ÁÕ÷Ãå? À%H�ÅLÙ�Ø©À Åix0Ê�Ì x Ð � % � å$Y IHß�À$G¬Á×¾�Å�¾©Æ�ÁHÆ�Ç&% � ÙgxfÜ¢Ú¬ÄlÅ�Ä�Ö¬Â�Û%À�À%H×ÂFà,Å�Ø�I5Ålã�Æ

¿�ÀLÛ�Å%¾©à�ÀLÄLÙJÄ%Â�I '��6�YÙ�ã�¾�Å�Ö;Æ�Á×À�Æ�Û2Ü°Æ�Û%À�Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ø©ÀLÄ�¾�ÁÕÍ<xWÔ�$"#"$"#� x�Ð q Ô�Ñ ;(� % [ � %¬Ô#�,åE1ÀLÜ°Ü°Â �?;ª¾�Ü°È×Ø©¾©ÀLÄ]Å%Ö¬Â�Å 'SÂ�Á¬ß%�5Â�Û%À�äYÆ�Å�Ö�¿�ÀLÛ�Å%¾©à�ÀLÄ]Æ�ÇMÅ�IJÈaÀ�h�ÆFÛ ��Ù�Â�Á¬ß5Ö×ÀLÁ¬à ÀÅ�Ö¬À]Y8S|à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%ĪÆ�Ç �gu v:à�Æ�Û%Û�À�Ä�ÈaÆ�Á¬ß×¾�Á×âSÅ�Æ A vP �$'c�ªÂ�Á¬ß A vP ���O�ªÂ�Û%À�Â�Ø©Û�À�Â�ßOIG�Á×Æ�ã�Á1å 6 Ç x ¾©Ä;Á×Æ�ÅÞÂÁ×À�¾©â�Ö�äaÆ�Û�Æ�Ç�Â�ÁpI:Æ�Ç!Å�Ö×ÀÃÅ�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä Í?x1Ô��$"$"#"%� x�Ð q ÔCÑFÙÅ�Ö¬À�Á0Å�Ö×À�Û%À�Ü�Â�¾©Á×¾©Á×â`à�Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅ%ÄxÆ�Ç �gu vÎÂ�Û�ÀÃÚ×Á×¾VRJÚ×À�Ø�Idß�À�Å�À�Û%Ü°¾�Á¬ÀLß0ä6IfÅ�Ö×À¾©ÁFÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Æ�Áfà�Æ�Á¬ß�¾�Å�¾©Æ�ÁYÄSà ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈaÆ�Á¬ß�¾©Á×â�Å�ÆÅ�Ö×À � U ÈaÆ�¾©ÁJÅ%ÄS¾�Á:Å%Ö×ÀÃÄ�À Å / v���ß�À$G¬Á×ÀLßR¾�Á �)�<h6�,å K�Ö×À�Ä�À;à Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅqÄ�à�Â�ÁRäaÀ;à ÆFÜ°È×Ú�Å�À�ß äpI�Ä�Æ�Ø©¿�¾�Á¬âÕÂÞØ©¾�Á×À�Â�Û

Page 21: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

#�� '�� 1 # � �H � �����������[������H1 � � 0����$0�� ( � � % ��1 02� ��� � �Ä'I�Ä�Å�ÀLÜ$ã�¾�Å�Ö Å�Ö×À¢Ü°Â�Å�Û%¾9H3= �!� ¾©ÁJÅ�Û%Æ�ß�Ú¬à À�ßx¾�Á}K�ÀLà ÅLå ;×å 6 Å�ÇáÆFØ�Ø©Æ�ã�Ä�Å�ÖYÂ�Å�ÇáÆFÛ�Â�Ø©Ø+���) v4Ù �

\ Ä�Å%Â�Û � � x � ÙaÂ�Á¬ß ���?;���Ö×Æ�Ø�ß×Ä�ã�¾�Å�Ö�ÂHà ÆFÁ¬Ä�Å%Â�ÁJÅ � � ß�À�ÈaÀ�ÁYß�¾�Á¬âSÆ�Á

d� Ô Â�Á¬ß � = q Ô��� ��å 6 Ç8x Ä�Ö¬Â�Û%ÀLÄ�Å�Ö×À¢ÀLß�âFÀyE�Ê�Ì9 '��6� � ã�¾�Å%ÖÃÄ�Æ�Ü°À�Å%Û�¾�Â�Á×âFØ�ÀYdx ¾�ÁÍ<x Ô �#"$"#"$� x Ð q Ô ÑFÙLÅ�Ö×ÀLÁ�Å�Ö×ÀyYqS¡à�ÆJÀ$bHà ¾©À�ÁJÅ%Ä�Æ�Ç?��u v ¾©Á�Å%Ö×À6Ä�À Å%Ä�I v= �EB�{��: Ì h?�$��� � ÙÂ�Û%À�Ú¬Á×¾TRJÚ×ÀLØJI;ß�À Å%À�Û%Ü5¾©Á×À�ßHäpI°Å�Ö×À�� � Ä�Ü5Æ�Æ�Å�Ö×Á×À�Ä�Ä�à�Æ�Á¬ß�¾�Å�¾©Æ�ÁYÄ�ÂFà Û%ÆFÄ%Ä EJåYK�Ö×À�ÁÅ�Ö¬À5Û%À�Ü�Â�¾�Á×¾©Á×â�à Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅqÄ�àLÂ�Á�Â�âJÂ�¾©Á äYÀ°Ú×Á¬¾TRJÚ×ÀLØJI à�Æ�Ü°È×Ú�Å%ÀLßÃä6IÞ¾©ÁJÅ�ÀLÛ�ÈaÆ�Ø�Â�SÅ�¾©Æ�ÁÞÂ�Å�Å�Ö×À�ÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä�Æ�Ç�/ v�! Ù¬ã�Ö×¾�àqÖ;¾©ÁxÅ�Ö¬¾©Ä�àLÂ�Ä�À�à Æ�ÁJÅqÂ�¾©Á¬Ä2Å�Ö×ÀA�?;5ÈYÆF¾�ÁJÅ%Ä�Æ�Ç�Å�Ö×ÀÄ�À Å / �! ß�À%G¬Á¬ÀLßx¾©Á ���?h��,ÙaÄ�ÀLÀ�Â�Ø�Ä�Æ8?�¾©â¬å���å D âJÂ�¾©Áxã�À!âFÀ Å �

\ Ä�Å%Â�Û � � x �,ÙaÂ�Á¬ß

���?;���Ö×ÆFة߬Ä4ã�¾�Å�ÖHÂ�à ÆFÁ¬Ä�Å%Â�ÁJÅ�� � ß�ÀLÈYÀLÁ¬ß�¾©Á×â!ÆFÁ d��Ô�Â�Á¬ß � = q Ô�� ��å ? Æ�ãÇáÆFÛ4ÀLÂFàqÖÅ�I�ÈYÀ�S � ¿�À�Û�Å�À$H 'ÃÆ�Ç2÷ÃÙYã�À�àLÂ�ÁÞÚ¬Ä�À!Å%Ö×À¢Ä�Ü°Æ�Æ�Å�Ö¬Á×ÀLÄ%Ä�à�Æ�Á¬ß�¾�Å�¾©Æ�Á �A� � P � 'o��Å�Æß�À�Å�À�Û%Ü°¾�Á¬À�Å�Ö×À�Y8S|à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%Ä�Æ�Ç���à Æ�Û%Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×â�Å�Æ�ß�ÆFÜ�Â�¾©Á5ÈaÆ�¾©ÁJÅ%ÄX+ª¾©Á�ÀLÂFàqÖÆ�Ç�Å%Ö×ÀªÄ�À�Å%ÄQA vP � 'o� Ù�ã�Ö×À�Û%À�xf¾�Ä�Â!Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©À�Ä�Ö¬Â�Û�¾©Á×â�Å%Ö×À�¿FÀ�Û�Å�À%H.'�å ?×Æ�Û6Å�Ö×À�Ä�À7+�Ùã2À¢Ö¬ÂC¿FÀ �

\ ÄlÅqÂ�Û P � x ��Â�Á¬ß ���<;6��Ö¬Æ�Ø�ß×Ä�ã�¾�Å%Ö�Â�à ÆFÁ¬Ä�Å%Â�ÁJÅYd� � ß×À�ÈaÀ�Á¬ß�¾©Á×âxÆ�Á

� � Â�Á¬ß;Å%Ö×À!Ä�Ü�Â�Ø�Ø©ÀLÄ�Å�Â�Á×âFØ�Àª¾©ÁÞ÷ÃåK�Ö×À�Á×À$HJÅ�Ä�Å�ÀLÈS¾�Ä6Å%Æ5à�Æ�Á¬Ä�¾�ß�À�Ûyx0Ê�Ì xMÐWÌG $'����_�)( � � % P å ? Æ�ã xdÅ�Æ�ÚYàqÖ×ÀLÄ

Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�¾©ÁÃÍ<xWÔ�$"#"$"%�!x�Ð q Ô�Ñ!Â�Å�Â�Ø©ØMÅ�Ö×Û%À�Àª¿FÀ�Û�Å�¾�à ÀLÄLÙJã�Ö×¾©àqÖ�äpI�E1ÀLÜ°Ü°Â/�<;¢Ü�ÚYÄlÅäaÀ Æ�ǪÅ�I�ÈYÀ}h×Ù��ÞÆ�Û � Ù�¾§å À�å�¾�Á % [ � %¬Ô�� % � å K�Ö�Ú¬Ä�Ù�Å%Ö×ÀÕà�ÆJÀ$bHà ¾©À�ÁJÅ%ÄSÆ�ÇF�gu và ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈaÆ�Á¬ß�¾©Á×â�Å�Æ A vP � 'o� Ù?A vP ��p� Ù�Â�Á¬ß A vP �$( �SÂ�Û%À Â�Ø©Û�À�Â�ßOIXGJÁ¬Æ�ã�Á1å ? Æ�ãß�ÀLÈYÀLÁ¬ß�¾©Á×â°Æ�ÁSã�Ö¬À Å�Ö¬À�ÛixdÄ�Ö¬Â�Û%ÀLÄ2Â�Á;ÀLß�âFÀ�ã�¾�Å�ÖxÂ!Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ø©À�¾©ÁÕÍ?x Ô �$"$"#"%� x Ð q Ô ÑFÙã2À2àLÂ�Á5Ú×Á×¾VRFÚ¬À�Ø�I�à ÆFÜ5ȬÚ�Å�À�Å�Ö×À�Û%À�Ü�Â�¾�Á×¾©Á×â�à Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅqÄ�Æ�Ç_�gu v äpI!¾©ÁJÅ�ÀLÛ�ÈaÆ�Ø�Â�Å%¾�ÆFÁÂ�Å;Å�Ö×À U ÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä;¾�Á / P!� Æ�ÛSÅ�Ö×À ;RÈaÆ�¾©ÁJÅ%Ä;¾�Á / P� å 6 ÁdÀL¾�Å%Ö×À�Ûxà�ÂFÄ�À ã2ÀÕâFÀ Å�

\ ÄlÅqÂ�Û P � x �,Ù�Â�Á¬ß(�)�<;��]Ö×Æ�Ø�ß×Ä�ã�¾�Å%ÖSÂ!à ÆFÁ¬Ä�Å%Â�ÁJÅ�� P ß×À�ÈaÀ�Á¬ß�¾©Á×â¢Æ�Á d� � ÙJÀ�¾�Å�Ö¬À�Û� = q ÔP�� ��Æ�Û�� = q ÔP� ��Ù¬Â�Á¬ßSÅ�Ö¬À!Ä�Ü�Â�ةةÀLÄ�Å�Â�Á×â�Ø©Àª¾�ÁÕ÷Ãå6 Å�Û%À�Ü�Â�¾�Á¬Ä�Å�ÆHß�¾�Ä�à�Ú¬Ä%Ä�Å�Ö×À�ã�Ö×¾�Å%À�Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�¾�ÁÃ÷Þø�åZI�Æ�ÀWbHà�¾�ÀLÁFÅqÄ�¾©ÁxÅ�Ö×À�Ä�À

Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä¢Â�Û�À�à Æ�Ü°È×Ú×Å�ÀLßÀ�¾�Å�Ö×ÀLÛ°ä6I Ä�Ü°ÆJÆ�Å�Ö×Á¬ÀLÄ%Ä5à�Æ�Á¬ß×¾�Å%¾�ÆFÁ¬Ä¢ÂFà Û%ÆFÄ%Ä!À�ß�â�À�Ä�Æ�ÇÁ×ÀL¾�âFÖJäaÆ�Û%¾©Á×â�Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄ�ÆFÛHäpI EWÀ�Ü°Ü� � å K�Ö�Ú¬Ä�Ù�¾�Çh+�¾�ÄSÂ�ÈaÆ�¾©ÁJÅS¾©ÁfÄ�Ú¬àqÖ:ÂÅ�Û%¾�Â�Á×âFØ�À x!Ù�Å%Ö×À�Á �

\ Ä�Å%Â�Û �!� x �,Ù�Â�Á¬ß ���?;���Â�âFÂ�¾�Á Ö×ÆFØ©ß×ÄSã�¾�Å%ÖdÂRà�Æ�Á¬Ä�Å%Â�ÁFÅ

ß�ÀLÈYÀLÁ¬ß�¾©Á×â�Æ�Á×Ø�IHÆFÁSÅ%Ö×À!Ä�Ü�Â�Ø�Ø©ÀLÄ�Å�Â�Á×âFØ�À�¾©Á ÷Ãå?�¾©â¬å��?h�Ä�Ö¬Æ�ã�Ä�Â�ÁÞÀ%H×Â�Ü5ȬØ�À�Æ�Ç]Â5Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ú×Ø�Â�Å%¾�ÆFÁÞ÷ ã�Ö×À�Û%ÀªÅ�Ö¬À!ã�ÆFÛ%Ä�Å�à�ÂFÄ�À

Æ�ÇoK�Ö×À�ÆFÛ�ÀLÜ �>b�Æ�à�à Ú¬Û%ÄLÙ 0 � � � ÙFÅ�Ö¬À�Û%À2¾�Ä�Â�Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©Àqx`Â�Á¬ß5Â�ÈYÆF¾�ÁJÅX+ �Lx �áÜ�Â�Û)G�À�ßã�¾�Å�Ö �˾©Á�Å�Ö×À�G¬âFÚ×Û%À��ã�¾�Å%Ö �

\ÌfÄ�Å%Â�Û ��� x � åF7�Æ�¾©ÁFÅqÄ2¾�Á + Â�Û�ÀªÄ�Ö×Æ�ã�Á�ÂFÄ�ä×Ø�Â�à�G

ß�Æ�Å%Ä�¾©Á;Å%Ö×¾�ÄLG¬â�Ú¬Û�ÀFÙJã�Ö¬¾�Ø©À!ß�Æ�Ü�Â�¾�Á�ÈYÆF¾�ÁJÅqÄ�ã�Ö×À�Û%À�à Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅqÄ�Â�Û%Àªß×À Å�ÀLÛ�Ü°¾©Á×ÀLßÇáÛ%Æ�Ü Ä�Ü°Æ�Æ�Å%Ö×Á×ÀLÄ%Ä�à�Æ�Á¬ß�¾�Å�¾©Æ�ÁYÄ�Â�Û%À�Ü�Â�Û)G�ÀLß�ã�¾�Å�Ö Â���å 6 ÁÞÈYÂ�Û�Å�¾�à Ú×Ø�Â�Û�Ù×¾�Ç4ã�À!Ä�À Å� C Ì h�ÇáÆFÛ�Â�Ø�Ø�Ï � + À$H�à�À�È�Å�ÇáÆ�Û�Å�Ö¬À ��à ÆFÛ�Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×â°Å�Æ;Å�Ö¬À¢ÈaÆ�¾©ÁJÅ�Ü�Â�Û)G�À�ßã�¾�Å�Ö Â �¢ÙW¾�Å!¾�ĪÀLÂFÄ)IxÅ%ÆxÄ�À�À¢Å�ÖYÂ�Å�Å�Ö¬À°à�Æ�ÀWbHà ¾©À�ÁJÅ

� \à�Â�Á�äaÀ5Á¬Æ�Á WLÀ�Û%ÆSÇáÆFÛªÅ�Ö×À

ÈaÆ�¾©ÁFÅF+5Ü�Â�Û!GFÀLß�ã�¾�Å%Ö �¢å ? Æ�Å%À�Å�ÖYÂ�Å�ÂFÄ�Ä�Ö×Æ�ã�Áx¾�ÁxÅ%Ö×À!È×Û%Æ�Æ�Ç]Æ�ÇsK�Ö×ÀLÆ�Û%À�Ü ��b�ÙÇáÆ�Û�Ü°ÆJÄlÅJ+¢Å�Ö×À!Ä�À Å �

\¾�Ä�Ä�Ü°Â�Ø�Ø©À�Û�Å%Ö¬Â�ÁÞÄ�Å%Â�Û �!� x �,å

*,+ é�¸¬·�é�ê ² W³ -�üCñc+ ��ü�ñkúMü6û,üCñWö�ý1ï�ö ��ð�í�î���ö�í�îMñiû2ï�ü�×îMü�ïªí�î � õ�ó�ö�ò�íiñkú3� �� p�ð�î1ï�õáüCñL� ��ü;ñkúaü5û��Mõ©í�îaü¢û��1ð�ÿ ü�í�î ��ü�×î×íiñkíáöCî �7��C ��úaüqî + í�û!ðxûLñið3��õ­ü�õáö�ÿ,ð�õ�°í�î¬í �Hð�õ4ï�üCñ|üqò��5í©î×í©î�óHûqü�ñ]ý§öCòL� Cæ ·�¸1¸7698 6 Å�¾�Ä�ÀLÂFÄ)ISÅ�ÆSÄ�À�ÀªÅ%Ö¬Â�Å�+ ¾�Ä�Â�ß�À�Å�ÀLÛ�Ü°¾©Á×¾�Á¬âSÄ�À�ÅLåZK�¾©Á¬à À � + Ì0ß�¾©Ü ��Ù¾�Å�ÇáÆ�ةةÆ�ã�Ä�Å�Ö¬Â�Å�¾�Å�¾�Ä�Â�Ü°¾©Á×¾©Ü°Â�Ø�ß×À Å�ÀLÛ�Ü°¾©Á×¾©Á×âSÄ�À ÅLå K�Ö¬À�È×Û%Æ�Æ�Ç�Å�Ö¬Â�Å + ¾©Ä�Ø©Æ�àLÂ�Ø

Page 22: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

�"� ����������� ������������ ������� �����! ���"� �$# �&%�')( �* � "���� � ��+-, �/. ��021 3���14+5��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � ��� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���� ������������

������

�������

��������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���� ������������

������

�������

��������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � �� � � �

� � � � �

� � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � �� � � �

� � � � �

� � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � �� � � �

� � � � �

� � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��������������������� � ������ � �������� � ���������������������� � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������������������������������������� ����������������������

�� � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � �� � � �

� � � � �

� � � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � �����������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����� u ���Yu ����w%¯F�L���F��w2�4�Jw%}lw\� z¡����} ���� �� ~��5 ��Jwq��}lwq� k�� �

Â�ÁYß;Ä�Å%Â�ä×Ø�ÀªÇáÆFØ�Ø©Æ�ã�Ä�Â�Ø©Æ�Á×â5Å%Ö×À�Ø�¾©Á×À�Ä�Æ�Ç�Å�Ö×À�È×Û%Æ�Æ�Ç�Æ�Ç�K�Ö¬À�Æ�Û%À�Ü �>b�å± �1³��5¸Yº�µ�¹&f°¸aµ ¶ + é � ·C·�¸Y·S¸ 6�´ µM¶LéJ· %6¸aè e�¶�¼k¸aµ

K�Ú×ȬÈYÆJÄ�À�+L�)� ¾�Ä�Å�Ö¬À�EWÂ�â�ÛqÂ�Á×âFÀ¢¾©ÁJÅ�À�Û%ÈaÆ�Ø�Â�Å�¾©Æ�Á�ȬÂ�¾�Û¢Æ�Ç2Å�Ö×À;È×Û%À�¿�¾�ÆFÚ¬Ä�Ä�ÀLà,Å%¾�ÆFÁ1Ùã�Ö×ÀLÛ�À-�0¾�Īß�À%G¬Á¬ÀLßÃÆ�¿�À�Û�ÂHÅ%Û�¾�Â�Á¬â�Ú×Ø�Â�Å%¾�ÆFÁ�÷Þø�Æ�Ç�Â;È×Ø©Â�Á¬Â�Ûªß�ÆFÜ°Â�¾�Á}t�åFK�Ö×À�ÁÇáÆ�Û�ÀL¿�ÀLÛ'I�� � � ��t �,Ù�Å�Ö¬À�Û%À5¾�Ä�Â�Ú×Á×¾VRJÚ×ÀHÄ�ȬØ�¾©Á×À��HÌ���� � � ã�Ö×¾©àqÖ�Ä%Â�Å�¾�Ä)G¬ÀLÄ�6�áÏ3�HÌ������áÏ3�HÌ����kÏ3�,Ù4ÇáÆFÛ�Â�Ø©Ø2Ï � +°å K�Ö×¾©Ä°ß�À$G¬Á×À�Ä5ÂÃØ©¾�Á×À�Â�Û°È×Û%ÆMglÀ�à,Å�ÆFÛ��Ü�Â�È×Ȭ¾�Á×â � � t ��Æ�ÁJÅ�Æ ��å ��À�Á×Æ�ã âF¾�¿FÀ°Â�ÁÃÀLÛ�Û%Æ�Û�äaÆ�Ú×Á¬ßÃÇáÆFÛ��0>����Â�Á¬ßþ�Å%Äß�ÀLÛ�¾©¿�Â�Å�¾©¿�À�Ä2¾�Á�Å�Ö¬À�¾�ÁOGYÁ×¾�Å�I;Á×Æ�Û%Üxå8K�¾©Ü5¾©Ø�Â�Û�Û%ÀLÄ�Ú×Ø�ÅqÄ�Ö×Æ�Ø�ßSÇáÆ�Û�â�ÀLÁ×À�ÛqÂ�Ø 2 SiÁ¬Æ�Û%Ü°ÄLå*,+ é�¸¬·�é�ê ²��W³8�Mô#�3��ö�û,ü��õ�íáü,û¢í©î:ñkúaü �¬ö ��öCõáüCþxû��Wð�ÿ,ü�� = Ô� ��t �!ý§öCò5ûqö �Hühkjn: j b3C���úMüqî

�$A! " A$#%��&�D>'���c� ��(}j"A^u ÷ u = Ô q q # u �$u = Ô O ( ���<D6�ý§öCòsh j�) .+* jU: C-,�ü,ò,üLu�. u = Ô O ( í©û5ñ§úaüSô�û�ôJð�õ �¬ö ��öCõáüCþ�û,ü��°í kîaö�ò� �Wð�î�ïu ÷ u�í©û�ñkúaü �Hü û�ú û�í0/Cü!ö�ý4÷ C ��úaü¢ÿ öCî¬ûLñið�îMñ A ï�ü���üqî1ïFûªö�î×õ9� öCî ñ§úaüªû�Hð�õ©õ­ü û�ñð�î×óFõáü�í©îÕ÷ Cæ ·�¸1¸76985?�¾JHLhnjK: j b�Ù�Â�Á¬ßSØ©À Å1� �2� = Ô� ��t � åsE1À�Åix äaÀªÄ�Æ�Ü°À�Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�¾�Á÷ÞøCÙMÂ�ÁYßxØ�À�ÅstivÊ�ÌËÄ�Å%Â�Û ��� x � å K�Ö×À�ÁÞ¾�Å�¾�Ä�ã2À�Ø©Ø G�Á×Æ�ã�Á �§à,ÇlåoE1À�Ü°Ü� DYå U ¾©Á 9 b?AÆ�Û E1ÀLÜ5Ü� DYå ;¬å @°¾©Á 9 ;�A��2Å�ÖYÂ�Å�Å%Ö×À�Û%À�À$H�¾©Ä�Å%Ä�Â�ÈYÆFØJI�Á×ÆFÜ°¾©Â�Ø&��Ê�Ì �43/�cw = Ä�Ú¬àqÖÅ�ÖYÂ�Å

�WA " A #% �5�@> ��� � ( jDA [ u t v u = Ô q q # u �$u = Ô O ( � ���>=!�ÇáÆ�ÛFhnj6)F.�*}jK:ÃÙFã�Ö×À�Û%À�A [ ¾©Ä]Â�Á5Â�ä¬Ä�ÆFØ�Ú×Å�À�à ÆFÁ¬ÄlÅqÂ�ÁJÅLå K�¾©Á¬à À u t v ugj �!��u ÷ u�Ù¾�Å�ÇáÆ�Ø©Ø�Æ�ã�Ä2Å%Ö¬Â�Å

�WA " A #%��5�D> ��� ��( j�A;Ônu ÷ u = Ô q q # u �$u = Ô O ( � ��� U �ã�¾�Å�Ö A;Ô�Ê�Ì �)�!�� = Ô A [ å8K�¾�ÁYà À�1��Ì ��Ù

�WA " A #% �5�@>7���c� ��v j �WA " A #% �5�D> ��� ��v . �$A " A #% ���5�D> ��� ��vs"

Page 23: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

#�� '�� 1 # � �H � �����������[������H1 � � 0����$0�� ( � � % ��1 02� ��� � ;Y I�Å�Ö¬À 4 Â�Û)G�Æ�¿�¾©Á×À<RJÚ¬Â�Ø�¾�Å�I 9 � ;HAiÙ

�WA " A #% � �5�@> ��� � v jDA � u ÷ u q � # � � � �&� > ��� � v � ����b��ÇáÆ�ÛHÄ�Æ�Ü°À A � ß�ÀLÈYÀLÁ¬ß�¾©Á×â Æ�ÁÅ�Ö×À Ä�Ü�Â�Ø©Ø�À�ÄlÅHÂ�Á×â�Ø©Àx¾�Áax!å�E1À�Å � �5�3>����<u v Ì\W]M^ �v\ �

Q\å�K�Ö×À�ÁWÙCÄ�¾©Á¬à À]Å%Ö×ÀqY2ÀLÛ�Á¬Ä�Å�ÀL¾�Á�äYÂ�Ä�¾©Ä�ÈaÆ�Ø�I�Á×Æ�Ü°¾�Â�Ø�Ä�ÇáÆFÛ�ÜËÂ�ȬÂ�Û�Å%¾�Å%¾�ÆFÁ

Æ�Ç�Ú×Á×¾�Å�I�Ù�ã2À�Ö¬ÂC¿FÀ� � �&� > ��� ��v j Ü�ÂBH

\$]M^ u� \uw"

Y2Ú�Å�äpI�K�Ö×ÀLÆ�Û%À�Ü ��b�Ùu�v\uj � Ü°Â�H

C ] � �(u9�&�@> ���$�áÏ3��u j ��� �D> � � (

� + �@) v "

I�Æ�Ü¢ä×¾©Á×¾�Á¬â¢Å%Ö×À!Â�äaÆ�¿�À�¾©Á×À<RJÚ¬Â�Ø�¾�Å�¾©ÀLÄ�Ø©ÀLÂFß×Ä�¾©Ü5Ü°À�ß�¾©Â�Å�ÀLØJI�Å%Æ ���<D6�,å

± W³ � éJêXe�· � f� é�ê�e×·��²Y³ K�Ö¬À�È×Û%Æ�ä×Ø©À�Ü Æ�ÇMà�Æ�Á¬Ä�Å�Û%Ú¬à Å�¾©Á×â�EWÂ�â�ÛqÂ�Á×âFÀ6¾©ÁFÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Æ�Á5ȬÂ�¾©ÛqÄ�ÇáÆ�Û� Ô Ä�È×Ø©¾�Á×À�Ä�Ö¬ÂFÄ�äaÀ�À�ÁÞ¾©Á�¿�À�ÄlÅ%¾�âJÂ�Å�À�ßS¾©Á 9 �!��:o�<;¬ÙJ�>=?:_�?@�AaÚ¬Ä�¾©Á×âHÄ�È×Ø©¾�Á×À�Ä�Æ�Ç�¿�Â�Û%¾©Æ�Ú¬Äß�ÀLâ�Û%À�ÀLÄ�ÆFÁxÀ�¾�Å�Ö×ÀLÛ�Å�Û%¾©Â�Á×â�ڬةÂ�Å�¾©Æ�Á¬Ä�ÆFÛ�Å�Û%¾©Â�Á×â�ڬةÂ�Å�ÀLßJRJÚ¬Â�ß×Û%Â�Á×â�Ú×Ø�Â�Å%¾�ÆFÁ¬ÄLå D à ÆFØ SÆ�Û%¾©Á×âHÆ�Ç�Å%Ö×À�Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ú×Ø�Â�Å%¾�ÆFÁ¬Ä�Æ�Û�RJÚ¬Â�ß�ÛqÂ�Á¬â�Ú×Ø�Â�Å%¾�ÆFÁ¬Ä�È×Ø�Â�I�ÀLßÞÂ�Á ¾©Ü5ÈaÆ�Û�Å%Â�ÁJÅ�Û�ÆFØ�À¾©Á;Â�Ø©ØaÆ�Ç1Å%Ö×À�à�Æ�Á¬Ä�Å�Û%Ú¬à Å�¾©Æ�Á¬ÄLå&�:Ö¬¾�Ø©À�ÆFÚ×Û2Ü5À�Å�Ö×Æ�ß;Ö×À�Û%À�Â�Ø©Ä�Æ!Ú¬Ä�ÀLÄ�à�Æ�Ø©Æ�Û%¾�Á×âYÙ�¾�Å2¾�Äß�¾��aÀLÛ�ÀLÁJÅ�ÇáÛ%Æ�Ü Å�Ö¬À�� Ô Ü°À Å�Ö¬Æ�߬Ä6¾©ÁHÅ%Ö¬Â�Å�ã�À�G¬ÛqÄlÅ�àqÖ×Æ�ÆFÄ�À�¾©ÁFÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Æ�Á�ÈaÆ�¾©ÁJÅ%ÄÇáÆ�Û6Å�Ö×À�ä×Ø©ÂFà�G�Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ø©ÀLÄLÙFÂ�ÁYß5Å�Ö×ÀLÁHÚ¬Ä�À�à ÀLÛ�ÅqÂ�¾©Á�Ü°ÂFà Û%ÆHS¡À�Ø©À�Ü°À�ÁJÅqÄ�Å�Æ!À$HJÅ%À�Á¬ß�Å�Ö×ÀÄ�È×Ø�¾©Á×ÀªÅ%Æ¢Å%Ö×À�ã�Ö×¾�Å�ÀªÅ%Û�¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�å� é�ê�e×·�� d�³ :�ÀLÛ�À!ã2À�Ö¬ÂC¿FÀ�ÀLÄ�Å%Â�ä¬Ø�¾�Ä�Ö¬ÀLßxÀ�Û%Û%Æ�Û�äYÆFÚ×Á¬ß×Ä�ÇáÆ�Û�Æ�Ú×Û�¾©ÁJÅ�ÀLÛ�ÈaÆ�Ø�Â�Å%¾�ÆFÁÜ°À Å%Ö×Æ�ß�ß×¾�Û%ÀLà Å�Ø�I�åAK�Ö×ÀLÄ�À°Û�À�Ä�Ú¬Ø�ÅqÄ�à Æ�ڬةß�Â�Ø�Ä�Æ�äaÀ�ÀLÄ�Å%Â�ä¬Ø�¾�Ä�Ö¬ÀLßÃÚ¬Ä�¾©Á×â�Å�Ö¬À�ã�À�ÂHG¾©ÁFÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Æ�Á;Å�À�àqÖ×Á×¾VRFÚ¬ÀLÄ�ß�ÀL¿�À�Ø©Æ�ÈaÀLß;¾©Á 9 =�Ù��<@HAiå� é�ê�e×·�� "1³9?¬Æ�Ø©Ø�Æ�ã�¾©Á×â�Å�Ö¬ÀHÂ�È×È×Û%ÆFÂFàqÖÕÆ�Ç�Å%Ö×¾©Ä�ȬÂ�ÈaÀ�Û�ÙW¾�Å!¾�Ä!Â�Ø�Ä�ÆxÈaÆFÄ%Ä�¾©ä×Ø©À°Å�Æà Û%ÀLÂ�Å�À(EWÂ�â�ÛqÂ�Á×âFÀ;¾©ÁJÅ�ÀLÛ�ÈaÆ�Ø�Â�Å%¾�ÆFÁȬÂ�¾�ÛqÄ°Ú¬Ä�¾�Á¬â � � Ä�È×Ø©¾©Á×ÀLÄ�Æ�Ǫß×À�â�Û%À�À G¬¿FÀ�å 6 ÁȬÂ�Û�Å%¾©à�Ú×Ø©Â�ÛLÙ¬ã�À�àLÂ�ÁxÛ%À�È×Ø�Â�à�ÀªÅ�Ö×À¢Ü°ÂFà Û%ÆHS¡À�Ø©À�Ü°À�ÁJÅqÄ�¾�ÁcK�À�à,Å�å�=°ã�Ö×¾�àqÖ Â�Û%À�ä¬ÂFÄ�À�ßÆ�ÁaI�Ø�ÆFÚ×â�ÖSRK�Æ�àqÖ¬À�Û�Ä�È×Ø©¾�ÅqÄ�äpI�Â�Ø�Å�À�Û%Á¬Â�Å�¾©¿�ÀHÜ�Â�à�Û�Æ"SiÀLØ�ÀLÜ°À�ÁJÅ%Ä�äYÂ�Ä�ÀLß ÆFÁRß�Æ�Ú×ä¬Ø�ÀI�Ø©Æ�Ú×âFÖS�K�Æ�àqÖ×À�Û�Ä�È×Ø�¾�Å%ÄLå ?×ÆFÛ�À$H×Â�Ü°È×Ø©À�Ù�Å%Ö×À�Ü�Â�à Û%ÆHS¡À�Ø©À�Ü°ÀLÁFÅ�¾�ÁAEWÀ�Ü°Ü�Âs=�àLÂ�Á5äYÀÛ%À�È×Ø�Â�à�ÀLßHäpI�Å%Ö×ÀªÜ�Â�à Û%ÆHS¡À�Ø©À�Ü°ÀLÁFÅ2¾�Á K�Ö×ÀLÆ�Û%À�Ü 4×å���Æ�Ç 9 � A¡åsK�Ö×ÀªÜ�Â�à�Û�Æ"SiÀLØ�ÀLÜ5ÀLÁJž©Á�E1À�Ü°Ü� U à�Â�Á5äaÀ�Û%À�È×Ø�Â�à�ÀLߢã�¾�Å%ÖHÂ�Ä�¾©Ü°¾�Ø�Â�Û]ÀLØ�ÀLÜ°À�ÁJÅ6ã�Ö×ÀLÛ�À�Å%Ö×Û�ÀLÀ�Â�ß×ß×¾�Å%¾�ÆFÁ¬Â�ØÄ�Ü5Æ�Æ�Å�Ö×Á×À�Ä�Īà�Æ�Á¬ß�¾�Å�¾©Æ�ÁYÄ�Â�Û�À5Û%À<RJÚ×¾©Û�À�ß�Ù�Ä�ÀLÀ 9 � 4HAiå ��Ä�¾�Á×â;Å�Ö¬ÀLÄ�À¢Ålã2Æ;Å�Û%¾©Â�Á×â�Ú×Ø�Â�ÛÀ�Ø©À�Ü°ÀLÁFÅqÄ�Ù¬ã�À!àLÂ�Á;Å�Ö×ÀLÁÞä×Ú×¾©Ø©ß�ÇáÆFÚ×Û S|Ä�¾©ß�À�ßSÀLØ�ÀLÜ°À�ÁJÅ%Ä�¾©Á�Å�Ö×À¢Ä�Â�Ü5Àªã�Â�ISÂ�Ä�ß×Æ�Á×ÀÖ×ÀLÛ�ÀFå D Ø�Å%À�Û%Á¬Â�Å%¾�¿FÀ�Ø�I�Ù�ã2À�Â�Ø�Ä�ƪڬÄ�À�� � Ä�È×Ø�¾©Á×À�Ä]Æ�Ç�ß�À�âFÛ�ÀLÀ G¬¿�À�ä¬ÂFÄ�À�ߢÆFÁ�Å%Ö×À�Ä�È×Ø©¾�ž©Á 9 �"� AiÙ�ÆFÛ�Å�Ö×À�à�Ø©ÂFÄ�Ä�¾©àLÂ�Ø3� � Ü�Â�à�Û�Æ"SiÀLØ�ÀLÜ5ÀLÁJÅ%Ä�ã�Ö×¾©àqÖ°Â�Û%À2ä¬Â�Ä�ÀLߢÆ�Á5ÈYÆFØJI�Á×ÆFÜ°¾©Â�Ø©ÄÆ�Ç]ß�ÀLâ�Û%À�À�Á×¾�Á¬À!Â�Á¬ß�ß�Æ�Á×Æ�Å�Û%À<RJÚ×¾©Û%ÀªÂ�ÁpISÄ�ȬØ�¾�Å%ÄLå

Page 24: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

� D ����������� ������������ ������� �����! ���"� �$# �&%�')( �* � "���� � ��+-, �/. ��021 3���14+5��� é�ê�e×·����W³ 6 Á°Å�Û%ÀLÂ�Å�¾©Á×âªÅ�Ö×À�ä×Ø©ÂFà�G!Å%Û�¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�ÙF¾�Å�¾©Ä6ÈYÆJÄ�Ä�¾�ä¬Ø�À�Å%Æ!Ú¬Ä�À�ÈYÆFØJI�Á×ÆFÜ°¾ SÂ�Ø�Ä4Æ�ÇWß�À�âFÛ�ÀLÀ�Ø©ÀLÄ%Ä]Å�ÖYÂ�ÁSÄ�À�¿FÀ�Á1Ù�Â�Á¬ß�Å�Ö×ÀLÁSß�À�âFÛ�ÀLÀ�S¡Û%Â�¾©Ä�À2Å�Ö×ÀLÜÎäYÀ�ÇáÆ�Û%À�À%H�Å%À�Á¬ß�¾©Á×⾩ÁFÅ%Æ�Å�Ö×À°ã�Ö×¾�Å�À5Å�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�åB?×Æ�ÛªÀ$H�Â�Ü°È×Ø�ÀFÙ1Æ�ÁÃÅ�Û%¾�Â�Á×âFØ�À�Ä�Æ�Ç2à Ø�Â�Ä%Ä % [ ÙWã�À°à ÆFÚ×Ø©ßÀ�¿FÀ�Á�Ú¬Ä�À�Ø�¾©Á×ÀLÂ�Û�ÈYÆFØJI�Á×ÆFÜ°¾©Â�Ø©ÄA�kã�Ö×¾©àqÖ ã2Æ�ڬةßÃÛ�À?RJÚ×¾�Û%À°Á×ÆÞÂ�ß×ß×¾�Å%¾�ÆFÁ¬Â�Ø4¾©ÁJÅ�ÀLÛ�ÈaÆHSØ�Â�Å�¾©Æ�ÁÃÈYÆF¾�ÁJÅqÄ�Â�ŪÂ�Ø�Ø�¾©ÁÕÅ%Ö×À5Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©ÀLÄ�Æ�Ç2à Ø�Â�Ä%Ä�% [ �,åFK�Ö¬À5Û%ÀLÄ�Ú×Ø�Å�¾©Á×â;Â�Ø�âFÆ�Û%¾�Å%Ö×Üã2Æ�Ú×Ø�ß äaÀ;Ä�¾�Ü°È×Ø©À�Û�Ù�ä×Ú�Å°Æ�Ç�à ÆFÚ×ÛqÄ�À�Å%Ö×À�Û%ÀHã2Æ�Ú×Ø�ß äaÀ;ÂÃà Æ�Û%Û%ÀLÄ�ÈYÆFÁ¬ß�¾©Á×âÞØ�ÆJÄ�Ä�¾�ÁÂ�ȬÈ×Û�Æ�H�¾©Ü�Â�Å�¾©Æ�Á;Æ�Ûqß�À�Û�å� é�ê�e×·�� �³ E1Æ�à�Â�ØqE�Â�â�ÛqÂ�Á¬â�À�¾�ÁJÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Æ�Á�Ü°À Å%Ö×Æ�ß×Ä�Â�Û�À�ÚYÄ�À�ÇáÚ×جÇáÆFÛ4Å%Ö×À�à�Æ�ÁSÄ�Å�Û%Ú¬à,Å%¾�ÆFÁ�Â�Á¬ßÕÛ%ÀLà�Æ�Á¬Ä�Å�Û%Ú¬à Å�¾©Æ�ÁÕÆ�Ç�Ä�Ú×Û�ÇkÂ�à�ÀLĪÂ�Á¬ß�Ä%à�Â�Å�Å�ÀLÛ�À�ßÃß×Â�Å%Â/G×Å�Å�¾©Á×âÞÈ×Û%Æ�äSØ©À�Ü�Ä�Ù�ÀLÄ�ÈYÀ�à ¾�Â�Ø©ØJI�Ä�¾©Á¬à�À°Å�Ö×À#IÃß�ÆÞÁ×Æ�Å!Û�À?RJÚ×¾�Û%À�Â�ÁpIÕß�ÀLÛ�¾©¿�Â�Å%¾�¿FÀLÄLå8?×Æ�Û�À$H×Â�Ü°È×Ø©À�ÙÅ�Ö¬À¢Ü°À Å%Ö×Æ�ß Ö×ÀLÛ�À5à ÆFÚ×Ø©ß äYÀ5Ú¬Ä�ÀLßÞ¾©ÁÃÂHÅlã�Æ"S¡Ä�Å%Â�â�À�È×Û%Æ�à ÀLÄ%ÄLÙYã�Ö×ÀLÛ�À¢¾�ÁÕÅ�Ö×ÀFG¬ÛqÄlÅÄ�Å%Â�âFÀªÆ�Á×À�à ÆFÁ¬Ä�Å�Û%Ú¬à,ÅqÄ�ÂA� [ Ø�¾©Á×À�Â�Û�Ä�È×Ø�¾©Á×À�ä¬ÂFÄ�À�ßSÆFÁÞ¢¿FÀ�Û@IAG¬Á×ÀªÅ%Û�¾�Â�Á¬â�Ú×Ø�Â�Å%¾�ÆFÁã�Ö×¾�àqÖ¢¾©Á¢Å�Ú×Û%Á¢¾�Ä�¾©ÁFÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�À�ß�äpI!ÆFÚ×Ûs� � Ü5À�Å�Ö×Æ�ߢÆ�Á°Âªà ÆFÂ�Û%Ä�À�ÛWÅ�Û%¾©Â�Á×â�ڬةÂ�Å�¾©Æ�Á1åK�ÀLÀ 9 � � Ù�� U Ù��<@HAYÇáÆFÛ�À%H×Â�Ü°È×Ø©ÀLÄ�Æ�Ç�Ä�Ú¬àqÖ;Ålã�Æ"S¡Ä�Å%Â�â�À�Ü5À�Å�Ö×Æ�ß×ÄLå� é�ê�e×·����1³ 6 Á!Å�Ö×¾�ÄWÈYÂ�ÈaÀ�Û�Ù�ã2À4Ö¬ÂC¿FÀ4Ü�Â�ß�À6Ö×ÀLÂC¿pI�Ú¬Ä�À6Æ�Ç�Å�Ö¬ÀqY2À�Û%Á¬Ä�Å�À�¾©ÁS[Y]\À�WL¾�ÀLÛÛ%À�È×Û%ÀLÄ�À�ÁJÅ%Â�Å�¾©Æ�Á�Æ�Ç�Ä�ȬØ�¾©Á×ÀLÄ�Â�Ä!Â�Å%Ö×À�ÆFÛ�À�Å�¾�à�Â�Ø�Å%Æ�Æ�ØiåLY2Ú�Å!Å%Ö×ÀNY2À�Û%Á¬Ä�Å�À�¾©ÁS[Y]\À�WL¾�ÀLÛÛ%À�È×Û%ÀLÄ�À�ÁJÅ%Â�Å�¾©Æ�Á¢¾©Ä]Â�Ø©Ä�Æ�Æ�ÇYÈ×ÛqÂ�à Å�¾�à�Â�Ø�¾�Ü°ÈaÆ�Û�Å%Â�ÁYà À�Ä�¾©Á¬à À�Â�Ø�Ø�Æ�ǬÅ%Ö×À�à ÆFÜ5ȬÚ�Å%Â�Å�¾©Æ�Á¬ÄÁ×ÀLÀLß�À�ß Å�Æ`à Æ�ÁYÄlÅ%Û�Ú¬à Å�ÂÄ�È×Ø©¾©Á×ÀÃàLÂ�ÁfäaÀ�ß×Æ�Á×À�ß�¾�Û%ÀLà Å�Ø�I ã�¾�Å%Ö:Å�Ö×À Y2À�Û%Á¬Ä�Å�À�¾©ÁSY]\À�WL¾�ÀLÛ S|à Æ�À$b�à�¾�ÀLÁJÅ%ÄLå 6 ÁSÈYÂ�Û�Å�¾�à Ú×Ø�Â�Û�Ù�Å%Ö×À�Û%À�¾©Ä2Á×Æ¢Á×À�À�ß�Å�Æ°à ÆFÁ¬Ä�Å�Û%Ú¬à,Å�ä¬Â�Ä�¾�Ä4ÇáÚ×ÁYà�SÅ�¾©Æ�ÁYÄ2ÇáÆ�Û�Â�ÁpIHÆ�Ç�Å%Ö×À!Ä�ȬÂ�à�ÀLÄ2Ú¬Ä�ÀLß�Ö×À�Û%À�å� é�ê�e×·�� �1³ D ÄSÁ×Æ�Å�À�ßdÂ�äaÆ�¿�ÀFÙ2Å�Ö×À�Ü�Â�Å�Û%¾�à ÀLÄSã�Ö×¾�àqÖdÂ�Û%¾©Ä�À ¾©ÁfÅ%Ö×ÀÕ¿�Â�Û%¾©Æ�Ú¬ÄØ©¾�Á×À�Â�Û5Ä)I�Ä�Å�À�Ü�Ä!Â�Û�¾�Ä�¾�Á×âÞ¾©Á Å%Ö×À;à�Æ�Ü°È×Ú�ÅqÂ�Å�¾©Æ�Á Æ�Ç�Æ�Ú×Û!¾©ÁJÅ�ÀLÛ�ÈaÆ�Ø�Â�Å%¾�Á×âÃÄ�È×Ø©¾©Á×ÀSß�ÆÁ×Æ�Å5ß�ÀLÈYÀLÁ¬ßRÆFÁ Å�Ö×ÀxÄ�¾4WLÀSÆ�Û5Ä�ÖYÂ�ÈaÀSÆ�Ç�Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ø©ÀLÄ!¾©ÁRÅ%Ö×ÀHÅ%Û�¾�Â�Á¬â�Ú×Ø�Â�Å%¾�ÆFÁ1å K�Ö×¾�ÄÜ°ÀLÂ�Á¬Ä2Å�Ö¬Â�Å�Å�Ö×ÀLÛ�À�Â�Û�ÀªÆ�Á¬ØJIS°Ä�Ü�Â�Ø©Ø�ÁJÚ¬Ü�äaÀ�Û�Æ�Ç�G3H�ÀLß;Ü�Â�Å%Û�¾�à À�Ä�ã�Ö×¾©àqÖÞàLÂ�Á�äYÀÈ×Û%ÀLà�Æ�Ü°È×Ú�Å%ÀLß�Â�Á¬ß�¾©ÁJ¿FÀ�Û�Å�À�ßSÆFÁ¬à À�Â�ÁYßHÇáÆFÛ�Â�ةاå� é�ê�e×·�� 1³�½�¾©¿�À�ÁÞÂAE�Â�â�ÛqÂ�Á¬â�À�¾©ÁJÅ�ÀLÛ�ÈaÆ�Ø�Â�Å%¾�ÆFÁ;ȬÂ�¾�Û +L�)��Ù¬¾�Å�¾�Ä�à Ø©ÀLÂ�Û2Å�Ö¬Â�Å�ÇáÆ�ÛÀLÂFàqÖ@+ � +°Ù�Å�Ö×ÀLÛ�ÀªÀ$H�¾�Ä�Å%Ä�Â5Ú×Á×¾VRJÚ×À!Ä�È×Ø�¾©Á×À��

\Ä�Ú¬àqÖ;Å�Ö¬Â�Å

\�kÏ3�6Ì��

\ O C� ��(+L"

K�Ö×À�Ä�ÀÞÂ�Û%À�Å�Ö×À0LwO65N'�0 �7!5#:)06> ~%;6> 895�7�~°Æ�Û�!$0!2�'p895B06>&~$;�> 895�7�~�Â�Ä%Ä�Æ�à�¾©Â�Å�À�ßã�¾�Å�Ö�+°å?×ÆFØ�Ø©Æ�ã�¾©Á×â°Å�Ö×À5Â�Û%â�Ú×Ü°ÀLÁFÅqÄ�¾©ÁxÅ�Ö×À¢È×Û�Æ�Æ�Ç�Æ�Ç K�Ö×À�ÆFÛ�ÀLÜ �>b�Ù¬¾�Å�à�Â�ÁÞäYÀ5Ä�ÀLÀ�ÁxÅ%Ö¬Â�ÅÇáÆ�Û�Â�Ø�Ø + � +D;Lx!Ù�Å%Ö×À!Ä�Ú×È×ÈaÆ�Û�Å�Æ�Ç��

\¾�Ä�à�Æ�ÁJÅ%Â�¾�Á×À�ßS¾©ÁÞÄlÅqÂ�Û � � x �,Ù×Ä�À�À5?�¾�âYå,�<h¬å

� é�ê�e×·�� �W³ 6 ÁAK�Ö×ÀLÆ�Û%À�Ü �?@×Ù�ã2À�Ä�Ö¬Æ�ã�À�ß!Å%Ö¬Â�Å]Å%Ö×À�Ä�À�Å4Æ�ÇMß�Æ�Ü�Â�¾©Á°ÈYÆF¾�ÁJÅqÄY+dÆ�ÇD Ø©â�ÆFÛ�¾�Å�Ö¬Ü � � ¾�Ä6ªةÆ�à�Â�ØYÄ�Å%Â�ä¬Ø�À 4 MsK5ÇáÆFÛ]Å�Ö×À�Ä�È×Ø©¾©Á×À�Ä�ȬÂ�à�ÀL�Æ�Ç�M�À$G¬Á×¾�Å�¾©Æ�Á � U å6 Å�ÇáÆFØ�Ø©Æ�ã�Ä�Å%Ö¬Â�Å�ÇáÆFÛ�ÀLÂFàqÖÞÈYÆF¾�ÁJÅ"+�� +°Ù×Å%Ö×À�Û%À!À%H�¾�ÄlÅqÄ�°Ú×Á¬¾TRJÚ×À5Ä�È×Ø©¾©Á×À � \

Ä�Ú¬àqÖÅ�ÖYÂ�Å

� \Ì ��Â�Á¬ß

� CÌ h�ÇáÆFÛ6Â�Ø©Ø�Ï � +���+�å�K�Ö×À�Ä�À�ä¬ÂFÄ�¾�Ä�ÇáÚ×Á¬à Å�¾©Æ�Á¬Ä�Â�Û%À�ß�¾ �MÀ�Û%À�ÁJÅ

ÇáÛ%Æ�Ü0Å�Ö×À4äYÂ�Ä�¾©ÄMÇáÚ¬Á¬à,Å%¾�ÆFÁ¬Ä1¾©Á ' À�Ü�Â�Û!G�@×Ù�Â�Á¬ß�¾©Á�â�ÀLÁ×À�ÛqÂ�Ø�ÖYÂC¿�À4Ä�Ü°Â�Ø�Ø©À�Û1Ä�Ú×È×ÈaÆ�Û�Å%ÄLå

� »��1µ�¸���èké�¹��aêRé�µM¶<fF³3E4åBE6å�K×àqÖJڬܰÂ"G�ÀLÛ�ã�Â�Ä�Ä�Ú¬È×ÈYÆFÛ�Å%ÀLß�¾�Á¢È¬Â�Û�Å�äpIªÅ%Ö×À D Û%ÜFI' À�Ä�À�Â�ÛqàqÖ E"bHà ÀªÚ×Á¬ß×À�Û�âFÛ%Â�ÁFÅZM D D M S@�&4"h � �<h5h5= 4¬å

Page 25: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

#�� '�� 1 # � �H � �����������[������H1 � � 0����$0�� ( � � % ��1 02� ��� � =� é 6¡éJ·�éJµ�»�égf

��å D Ø�ÇáÀLØ©ß�Ùy7�å6Â�ÁYß E6å E4åqK×àqÖJڬܰÂ"G�ÀLÛLÙ8K�Ü°Æ�Æ�Å%Ö�4 Â�à�Û�Æ"SiÀLØ�ÀLÜ5ÀLÁJÅ%Ä5ä¬Â�Ä�ÀLßÆ�ÁI�Ø©Æ�Ú×âFÖSRKWÆ�àqÖ×ÀLÛ�Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ø©À�Ä�È×Ø©¾�ÅqÄ�Ù ? Ú×Ü°À�Û�å�4 Â�Å�Ö1å�� � � � h"h � �,Ù = 4�b<: U � U å� å D Ø�ÇáÀLØ©ß�Ù 7�åMÂ�ÁYß E4åcE6å K�àqÖ�Ú×Ü�Â"G�À�Û�Ù ��È×ÈaÀ�Û�Â�ÁYßÞØ�Æ�ã2À�Û�äaÆ�Ú×Á¬ß¬Ä�ÆFÁ Å�Ö¬À5ß�¾4S

Ü°À�ÁYÄ�¾©Æ�Á�Æ�Ç]Ä�Ú¬ÈYÀLÛ%Ä�È×Ø©¾�Á×À�Ä�ȬÂ�à�ÀLÄLÙ I�Æ�Á¬Ä�Å�Û�å D ȬÈ×Û�Æ�H�å�² � � � h"h";6�,Ùo��Dg=?:o� U �Få;×åZY2Û%À�Á×Á×ÀLÛLÙ KMå I�å�Â�Á¬ß E6å ' å�K×à Æ�Å�ÅLÙ ��úaü �Õð�ñ§úaü��Hð�ñ§íkÿ,ð�õ ��úaü�ö�ò��ÃöCý4ì�í©î×íiñ¡ü

� õ­ü��Hü,îMñ ��üCñkúMö�ïJû%��K�È×Û�¾©Á×âFÀ�Û!S��]ÀLÛ�Ø�Â�âYÙ ? À�ã��4Æ�Û)GaÙc�&4 4"D¬åD¬å I�Æ�ã2À�Á1Ù3E6å �Yå©Ù� åa½�Æ�ß×ß×Â�Û%ß�Ù×Â�Á¬ß I�å å��FÀLÄ�Ú×Û%Ú×ÜxÙ I�Æ�Ø©Æ�Û%¾�Á¬â¢ã�¾�Å�ÖÞß�À�ÇáÀLà,Å�Ù

¾©Á1Ê �4ò ö�ÿ ü�üCï�í�î×óJû6öCý]ñ§úaü���ñkú � î×îMôFð�õ � � � ���3����ö�û�íiô � öCîxï�í�û�ÿ�ò üCñ¡ü�ð�õ�ó�öò%í§ñ§ú3��û�Ù�K 6 D 4 Ù�� 4 4gb�Ù =�D�@�S ="=�b�å

=�åZM�ÂC¿pI�ß×Æ�¿aÙ E¢å�Ù�½5å ?��Ú×Û�Á�äaÀ�Û%â�ÀLÛLÙWÂ�Á¬ß�?2åaÀ�¾©Ø�ÇáÀLØ©ß×À�Û�Ù&Y2¾�¿�Â�Û�¾�Â�Å%ÀHÄ�È×Ø©¾©Á×ÀS¾©ÁSÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Æ�Áã�¾�Å�Ö ÆFÈ�Å�¾©Ü�Â�Ø�Â�È×ȬÛ�Æ�H�¾©Ü°Â�Å�¾©Æ�ÁÆ�Ûqß�À�Û�Ù$I�ÆFÁ¬Ä�Å�Û�å D È×È×Û%Æ�H�å�² �� � h"h?�� Ù_�?@3��: � h5@×å

U å��FÀ�Á¬Ä�À�ÁWÙ Kªå ' å6Â�Á¬ß^Y�å�KWÆ�Ç­ÅLÙ���ò,ð$�Mú �4ö�õ­ö�ò�í©î�ó �4ò ö ��õáü���û$�F�:¾�Ø©À$IFÙ ? ÀLã�4ÆFÛ!GMÙc� 4 45=×å

b�å E�Â�¾iÙ 4 å S��¬åaÂ�Á¬ß E6å_E6å K×àqÖJڬܰÂ"G�ÀLÛLÙ�E�Á Å�Ö×À5Â�È×È×Û%Æ�H�¾�Ü�Â�Å�¾©Æ�ÁxÈYÆ�ã2À�Û�Æ�Ç4ä×¾4S¿�Â�Û%¾�Â�Å�À�Ä�È×Ø©¾�Á×À�Ä�Ù D ß�¿�Â�Á¬à�ÀLÄ�¾©ÁcI�Æ�Ü°È1å34 Â�Å�Ö1å � ��� 4 4"@6�,Ù � =3��: � b 4¬å

@×å E�Â�¾iÙ 4 å S��¬å�Â�ÁYß�E4åOE4åK�àqÖ�Ú×Ü�ÂHGFÀ�Û�Ù 4 ÂFà Û%ÆHS¡À�Ø©À�Ü°À�ÁJÅqÄ6Â�ÁYßSÄ�Å%Â�ä¬Ø�À�ä¬Â�Ä�ÀLÄ6ÇáÆ�ÛÄ�È×Ø©¾�Á×À�Ä�Æ�Á I�Ø©Æ�Ú×âFÖS�K�Æ�àqÖ×À�Û5Å%Û�¾�Â�Á×âFÚ×Ø�Â�Å�¾©Æ�ÁYÄ�Ù ? Ú×Ü°À�Û�å 4 Â�Å%Ö1å � � h"h3���,Ù�?h5=?:o�!�&4×å

4×å E�Â�¾iÙ 4 å S��Yå�Â�Á¬ß-E4å!E6å"K�àqÖ�Ú×Ü�ÂHG�ÀLÛLÙ� �Ú¬ÂFß�Û�¾©Ø�Â�Å�ÀLÛ%Â�ØFÜ�ÂFà Û%ÆHS¡À�Ø©À�Ü°À�ÁJÅ%ÄLÙHK 6 D 4�Yå ? Ú×Ü°ÀLÛLå D Á¬Â�Øiå " � � � h"h � �,Ùo�>bH; � :_�>b�D5@¬å

�<h×å EWÆ�¿y\ÂFÄ WFÙ_E6å�Ù&E�Á�ß�À�à Æ�Ü°ÈaÆFÄ�¾�Å%¾�ÆFÁÕÆ�Ç�â�ÛqÂ�Ȭ֬Ä�Ù KJÅ%Ú¬ß�¾� K�à ¾iå 4 Â�Å%Ö1å0:�Ú¬Á×âFÂ�ÛLå² �)� 4 U5U � Ù � ;�b?: � ;"@×å

�!��å ?��Ú×Û�Á�äaÀ�Û%â�ÀLÛLÙ�½5å�ÙcE6åoE6å K�àqÖ�Ú×Ü�ÂHG�ÀLÛLÙaÂ�Á¬ß#?2å�aÀ�¾©Ø�ÇáÀLØ©ß×À�Û�Ù_EWÆ�àLÂ�ØYEWÂ�â�ÛqÂ�Á×âFÀ¾©ÁJÅ�À�Û%ÈaÆ�Ø�Â�Å�¾©Æ�Á5äpI!ä×¾©¿�Â�Û%¾©Â�Å�À�� Ô à Ú¬ä×¾©à�Ä�È×Ø©¾�Á¬ÀLÄLÙ�¾�Á �Õð×ñkúaü��Hð�ñkí§ÿqð�õ�ÃüCñ§úaö×ïFûý§ö�ò �2ô�ò�þCü û�ð�î�ï �Mô�ò�ýkð�ÿ,ü,û�� � �� ��û�õáö6� �����!��KªåE�I�àqÖ¬À�Â�ÁYßFE4å�E4åHK�àqÖ�Ú×Ü�Â"G�À�Û�kÀLß×Ä�,Ù��4Â�Á¬ß�ÀLÛ�ä×¾©Ø�Å ��Á×¾©¿�ÀLÛ%Ä�¾�Å�IL74Û%ÀLÄ%Ä�Ù ? ÂFÄ�Ö¬¿J¾©Ø©Ø�ÀFÙ � h"h?��Ù; 45;>:gD5hHDYå

� � å ?��Ú×Û�Á�äaÀ�Û%â�ÀLÛLÙ�½5å�ÙBE6å�E6åHK�àqÖ�Ú×Ü�ÂHG�ÀLÛLÙCÂ�ÁYß�?2å�aÀ�¾©Ø�ÇáÀLØ©ß×À�Û�Ù�E�Â�âFÛ%Â�Á×â�À4¾©ÁJÅ�ÀLÛ�ÈaÆHSØ�Â�Å%¾�ÆFÁ�äpI � Ô à Ú×䬾©à!Ä�È×Ø©¾�Á¬ÀLÄ�ÆFÁ;Å%Û�¾�Â�Á¬â�Ú×Ø�Â�Å%¾�ÆFÁ¬Ä�Æ�Ç]Ä�ÀLȬÂ�ÛqÂ�ä¬Ø�À�RJÚ¬Â�ß×Û%Â�Á×â�ÚSØ�Â�Å%¾�ÆFÁ¬Ä�ÙJ¾©Á � �?�Mò,ö���í �Hð�ñkíáöCî@��úMü�öCò)��� � ���Mõ©í�îMü,û$� * ðJþCü,õ­ü�ñ§û$��ð�î�ï � �3�Mõ©íkÿ,ð ñ§í­ö�î¬û%� I�å��°å I�ÖJÚ¬¾§ÙOE4åOE6åK×àqÖJڬܰÂ"G�ÀLÛLÙJÂ�Á¬ß��Yå KJÅ �ÆJà�G�Ø�ÀLÛ �kÀLß×Ä�,Ù��4Â�ÁYß�À�Û%ä×¾©Ø�Å��Á×¾�¿FÀ�ÛqÄ�¾�Å�IN76Û�À�Ä�ÄLÙ ? Â�Ä�Ö׿�¾©Ø�Ø©À�Ù � h"h � ÙgD5h5=>:�D � D¬å

�<;×å ?��Ú×Û�Á�äaÀ�Û%â�ÀLÛLÙ�½5å�ÙcE6åoE6å K�àqÖ�Ú×Ü�ÂHG�ÀLÛLÙMÂ�ÁYß@?2å�aÀ�¾©Ø�ÇáÀLØ©ß×À�Û�ÙoE�Â�âFÛ%Â�Á×â�À!¾©ÁJÅ�ÀLÛ SÈaÆ�Ø�Â�Å%¾�ÆFÁÃäpI � Ô à�Ú×ä×¾�à5Ä�È×Ø©¾�Á¬ÀLĪÆ�ÁÃÅ�Û%¾�Â�Á×âFÚ×Ø©Â�Å�À�ß RJÚ¬ÂFß�Û%Â�Á×â�ڬةÂ�Å�¾©Æ�Á¬ÄLÙ D ßgS¿�Â�ÁYà ÀLÄ�¾©ÁcI�Æ�Ü°È1å34 Â�Å�Ö1Ù×Å�ÆHÂ�ȬÈYÀ�Â�Û�å

��D¬å ?��Ú×Û�Á�äaÀ�Û%â�ÀLÛLÙ4½5å6Â�Á¬ß"?2å�MÀ�¾©Ø�ÇáÀLØ©ß�ÀLÛLÙFM�À�¿FÀ�Ø©Æ�È×Ü°ÀLÁFÅqÄ°¾�Á ä×¾©¿�Â�Û%¾©Â�Å�ÀÞÄ�È×Ø�¾©Á×À¾©ÁJÅ�À�Û%ÈaÆ�Ø�Â�Å�¾©Æ�ÁWÙ��¬å I�ÆFÜ5ȬÚ�ÅLå D È×È×Øiå�4 Â�Å�Ö1å1² d1² � � h5h"h6�,Ùo� � =?:_�>= � å

�?=�å ?��Ú×Û�Á�äaÀ�Û%â�ÀLÛLÙ�½5å2Â�Á¬ß�?2å�aÀ�¾©Ø�ÇáÀ�Ø�ß�À�Û�Ù�EWÆ�àLÂ�Ø�E�Â�âFÛ%Â�Á×â�Àx¾©ÁFÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Æ�Á äpIà�Ú×ä×¾�à�Ä�ȬØ�¾©Á×ÀLÄ6Æ�ÁHÂ�à�Ø©ÂFÄ�Ä]Æ�ÇMÅ�Û%¾©Â�Á×â�Ú×Ø�Â�Å%¾�ÆFÁ¬ÄLÙ�¾�Á#�¬ò üqî�ïFû4í�î � �3�Mò ö���í �Hð�ñ§í­ö�î

Page 26: Math Department | Vanderbilt University · acb Ä ÀlÀ Â Ø Ä Æ!Å Ö×À Ä Ú×Û%¿ À #i Ȭ ÈyÀlÛ d"a ¬ÇáÆ Û6ÇáÚ×Û Å Ö×ÀlÛ6Û%À ÇáÀ Û%À Áyà ÀlÄlå

�HU ����������� ������������ ������� �����! ���"� �$# �&%�')( �* � "���� � ��+-, �/. ��021 3���14+5����úaüLöCò)�1Ù �°å �ªÆFÈYÆ�Å�Ú×Á1Ù Kªå�E�I�àqÖ¬À�Ù6Â�Á¬ß�4 å ? ÀLÂ�Ü!Å�Ú �kÀLß×Ä�,Ù��4Â�ÁYß�À�Û%ä×¾©Ø�Å��Á×¾�¿FÀ�ÛqÄ�¾�Å�IN76Û�À�Ä�ÄLÙ ? Â�Ä�Ö�¿�¾�Ø©Ø�ÀFÙ � h5h3��Ù;"D?��S[;5="h×å

� U å ?��Ú×Û�Á�äaÀ�Û%â�ÀLÛLÙ�½5å2Â�Á¬ß�?2å�aÀ�¾©Ø�ÇáÀ�Ø�ß�À�Û�Ù�EWÆ�àLÂ�Ø�E�Â�âFÛ%Â�Á×â�Àx¾©ÁFÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Æ�Á Æ�Á7�Æ�ã2À�Ø©Ø S K�Â�ä×¾�Á�Å%Û�¾�Â�Á×âFÚ×Ø�Â�Å�¾©Æ�ÁYÄ�Â�Á¬ßªÅ�ÀLÛ�ÛqÂ�¾©Á!Ü°Æ�ß�À�ةة¾�Á×âYÙL¾©Á ��ü�ÿ,ü,îMñ �6ò,öCóFò ü,û%ûí©î � ô�õ§ñ§í§þ ð�ò%í­ð�ñ¡ü � �3�Mò ö���í �Hð×ñkíáöCî1Ùy� å<:�Â�Ú��FÜ�Â�Á×Á1Ù �°å ��À�Å�Å�ÀLÛLÙ�Â�ÁYß 4 å' ÀL¾�Ü°ÀLÛ��áÀL߬Ä�å �,Ù�Y�¾©Û)GJÖ �Â�Ú¬Ä�À�Û 6 K ? 4 �?;�b�Ù Y�ÂFÄ�ÀLا٠� h"h3�FÙ �5� b?: � D5D¬å

�>b�å ?��Ú×Û�Á�äaÀ�Û%â�ÀLÛLÙ6½5å6Â�Á¬ß�?2å aÀL¾�Ø�ÇáÀ�Ø�ß�À�Û�Ù1?×Ú¬Á¬ß×Â�Ü°ÀLÁFÅqÂ�Ø�Ä�È×Ø©¾�Á¬ÀLÄ�ÆFÁÅ%Û�¾�Â�Á¬â�ÚSØ�Â�Å%¾�ÆFÁ¬Ä�Ù6¾�Á �6ò,ö×ÿ�C �4öCî×ý§ü,ò,ü,î�ÿ,ü ö�î � ô�õiñkíiþ,ð�ò�í­ð�ñ|ü � �?�Mò,ö���í �Hð�ñkíáöCî,� ��� p�� å :�Â�Ú��FÜ°Â�Á×Á1Ù��°å���À�Å�Å�ÀLÛ�Â�Á¬ß �¬å KJÅ �ÆFà�G�Ø�ÀLÛLÙo�áÀ�ß×ÄLå � Ù�:¾�Ø©À$I�S ��I<:!ÙY2À�Û%Ø�¾©Á1Ù� �?=?: � ;5;×å

�<@×å ?��Ú×Û�Á�äaÀ�Û%â�ÀLÛLÙF½5å�Â�ÁYß ?�å�aÀ�¾©Ø�ÇáÀ�Ø�ß�À�Û�Ù�E�Â�â�ÛqÂ�Á¬â�À�¾�ÁJÅ%À�Û%ÈYÆFØ©Â�Å�¾©Æ�Á�äpI¢ä¬¾�¿�Â�Û%¾�Â�Å�À� Ô Ä�ȬØ�¾©Á×ÀLÄ;ã�¾�Å�ÖfÆFÈ�Å�¾©Ü�Â�تÂ�È×È×Û%Æ�H�¾�Ü�Â�Å�¾©Æ�Á Æ�Ûqß�À�Û�Ù D ß�¿�Â�Á¬à�ÀLÄ;¾�Á I�Æ�Ü°È1å4 Â�Å�Ö1Ù×Å�Æ�Â�È×ÈaÀLÂ�ÛLå

� 4×å ' Â�IFÀ�¿�Ä!GCÂ�IJÂ×Ù �¢å�ÙYEWÂ�â�ÛqÂ�Á×âFÀ 6 ÁJÅ�À�Û%ÈaÆ�Ø�Â�Å�¾©Æ�ÁÂ�Á¬ß l S|Ä�¾©ß�À�ß Ü�Â�à�Û�Æ"SiÀLØ�ÀLÜ5ÀLÁJÅÄ�ȬÂ�à�ÀLÄ2ÇáÆFÛ�Ä�È×Ø©¾©Á×ÀLÄ�ÆFÁSÅ%Û�¾�Â�Á×âFÚ×Ø�Â�Å�¾©Æ�ÁYÄ�Ù×ß�¾�Ä%Ä�ÀLÛ�ÅqÂ�Å�¾©Æ�ÁWÙ �4Â�Á¬ß�ÀLÛ�ä×¾©Ø�ÅLÙ � h"h";¬å

� h×å ' Â�IFÀ�¿�Ä!GCÂ�IJÂ×Ù��¢å!Â�Á¬ß E4å�E6å K�àqÖ�Ú×Ü�ÂHG�ÀLÛLÙ 4ÞÚ×Ø�Å�¾4S|Ä�¾�ß�ÀLß Ü�Â�à�Û�Æ"SiÀLØ�ÀLÜ5ÀLÁJÅÄ�ȬÂ�à�ÀLÄ�ä¬ÂFÄ�À�ßSÆFÁ I�Ø©Æ�Ú¬â�ÖSRKWÆ�àqÖ×ÀLÛ2Å�Û%¾©Â�Á×â�Ø©À�Ä�È×Ø©¾�ÅqÄ�ÙYÄ�Ú×ä¬Ü5¾�Å�Å%ÀLß�å

� ��å�K�àqÖ�Ú×Ü�Â"G�À�Û�Ù�E6å�E6å�Ù D à�Æ�ÁNglÀ�à,Å%Ú×Û�ÀSÆ�Áß�À�Å�ÀLÛ�Ü°¾©Á¬Â�ÁJÅ%Ä�Æ�Ç Y2À�Û%Á¬Ä�Å�ÀL¾�ÁS[Y�Â�Ä�¾©ÄÈaÆ�Ø�I�Á×Æ�Ü°¾�Â�Ø�Ä�Ù�È×Û%¾©¿CÂ�Å�À�à ÆFÜ°Ü�Ú×Á×¾�à�Â�Å�¾©Æ�Á1Ù � h"h5;×å

�"� åi��Â�Á×âYÙ6Kªå©Ù D � � SCRJÚ×¾©ÁJÅ�¾�à�Ä�È×Ø�¾©Á×À�¾�ÁJÅ�ÀLÛ�ÈaÆ�Ø�Â�Å%¾�ÆFÁSÄ%àqÖ×À�Ü°À�ÆFÁ�Å�Û%¾©Â�Á×â�ڬةÂ�Å�¾©Æ�Á1ÙI�ÆFÜ5ȬÚ�ÅLå D ¾©ß×ÀLßÞ½�À�ÆFÜ�å M�À�Ä�¾©â�Á � ���&4 4 � �,Ù ;gb 4>:;"@ U å� ;×åi�:¾©Ø�Ö¬À�Ø©Ü°Ä�À�ÁWÙyM¢å ' å�Ù D 4ÕÂ�Û)G�Æ�¿R¾©Á×À<RJÚ¬Â�Ø�¾�Å�I`¾�ÁdÄ�À�¿FÀ�ÛqÂ�Ø�ß×¾�Ü°À�ÁYÄ�¾©Æ�Á¬ÄLÙ �YåD È×È×Û%Æ�HMå3K�Ö¬À�Æ�Û@IÞ²a² ��� 4gb>Dp�,Ù � � U : �"� h¬å½ �Ú×ÁJÅ%Ö×À�Û ?��Ú×Û%ÁJäaÀ�Û%â�ÀLÛ�Â�Á¬ß+?×ÛqÂ�Á G aÀ�¾©Ø�ÇáÀLØ©ß×À�Û6 Á¬Ä�Å�¾�Å�Ú×Å�Ç �Ú×Û 4 Â�Å�Ö×ÀLÜ°Â�Å�¾TGMÙ ��Á×¾©¿�ÀLÛ%Ä�¾�Å �Â�Å 4 Â�Á×Á×Ö×ÀL¾�ÜxÙM S U �<@?�<;3��4 Â�Á¬Á×Ö×À�¾©ÜxÙY½ ' 4 D ? ������������� ��������������������������� �!���������"�#�$���% �&����' � �� ���� �����(���)� ������*�����!�+������������,�-�.� �

�]ÀLÛ% ' Â�IFÀ�¿�Ä G�Â�IJÂM�À�ȬÂ�Û�Å%Ü°À�ÁJÅ�Æ�Ç�4 Â�Å%Ö×À�Ü�Â�Å%¾©àLÄ��Á×¾�¿FÀ�ÛqÄ�¾�Å�IHÆ�Ç ? ÆFÛ�Å%Ö×À�Û%Á 6 Æ�ã2ÂI�À�ß×Â�Û ?YÂ�ةةÄLÙ 6 D =Hh U ��D"SCh�=Hh U���/���0�1������� ���������� �2�.���

E�Â�Û%Û'I�E6å K�àqÖ�Ú×Ü�ÂHGFÀ�ÛI�ÀLÁFÅ%À�Û�ÇáÆFÛ�I�Æ�Á¬Ä�Å�Û%Ú¬à,Å%¾�¿FÀ D È×È×Û%Æ�H�¾�Ü�Â�Å�¾©Æ�ÁM�À�ȬÂ�Û�Å%Ü°À�ÁJÅ�Æ�Ç�4 Â�Å%Ö×À�Ü�Â�Å%¾©àLÄ�4Â�Á¬ß�À�Û%ä×¾©Ø�Å ��Á×¾©¿�À�ÛqÄ�¾�Å�IFÙ ? Â�Ä�Ö�¿�¾�Ø©Ø�ÀFÙ3K ? ;�b � D5h1�(� ����13�54���13�$0���� � ����6 �!���7�8�����