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ACT2025 - Cours 20

MATHÉMATIQUESFINANCIÈRES I

Vingtième cours

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Rappel:

• Solde restant d’un prêt: rétrospectivement etprospectivement

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Rappel:

• Solde restant d’un prêt: rétrospectivement etprospectivement

• Portion de principal remboursé du ke paiement

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Rappel:

• Solde restant d’un prêt: rétrospectivement etprospectivement

• Portion de principal remboursé du ke paiement• Portion d’intérêt du ke paiement

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Rappel:

• Solde restant d’un prêt: rétrospectivement etprospectivement

• Portion de principal remboursé du ke paiement• Portion d’intérêt du ke paiement• Amortissement dans le cas d’un prêt dont le

remboursement consiste en des paiements égaux

ACT2025 - Cours 20

Rappel:

• Solde restant d’un prêt: rétrospectivement etprospectivement

• Portion de principal remboursé du ke paiement• Portion d’intérêt du ke paiement• Amortissement dans le cas d’un prêt dont le

remboursement consiste en des paiements égaux• Amortissement négatif

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ACT2025 - Cours 20

RétrospectivementBk est la valeur accumulée par le montant prêté L au temps tkmoins la somme des valeurs accumulées au temps tk des kpremiers paiements: P1, P2, ... , Pk

Rappel: Solde restant d’un prêt

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RétrospectivementBk est la valeur accumulée par le montant prêté L au temps tkmoins la somme des valeurs accumulées au temps tk des kpremiers paiements: P1, P2, ... , Pk

Rappel: Solde restant d’un prêt

ProspectivementBk est la somme des valeurs actuelles au temps tk des (n - k)derniers paiements: Pk+1 , Pk+2 , ... , Pn

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La portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk est

Bk-1 - Bk .ou encore

Rappel: Portion de principal remboursé

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La portion d’intérêt du ke paiement Pk est

Pk - (Bk-1 - Bk) .ou encore

Rappel: Portion d’intérêt

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Pour un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de1$ à la fin de chaque période. Le montant emprunté est alors

La table d’amortissement est alors

Rappel:

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Rappel:

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Dans ce dernier cas, la portion de principal des paiementsforment une suite en progression géométrique de raison(1 + i).

Conséquemment si nous connaissons la portion de principald’un paiement, nous pouvons alors calculer tous les autresportions de principal en escomptant ou accumulant selon lecas.

Rappel:

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Il est possible qu’il y ait de l’amortissement négatif,c’est-à-dire plutôt que le solde restant du prêt diminue avecun paiement, il augmente.

Rappel:

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Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé parn paiements égaux pour lequel les périodes de capitalisation

de l’intérêt et de paiement ne coïncident pas. Il suffit derevenir au principe de base. Deux options s’offrent à nous,soit de convertir le taux d’intérêt à un dont la période de

capitalisation est la période de paiement, soit de développer lathéorie.

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ACT2025 - Cours 20

Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé parn paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaquepériode de paiement. Supposons qu’il y a k périodes decapitalisation dans une période de paiement. Notons par i: letaux d’intérêt du prêt par période de capitalisation et par n: ladurée du prêt en période de capitalisation. Le montantemprunté L est alors

La table d’amortissement est alors

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Un prêt de 25 000$ est remboursé par 5 versements égaux à lafin de chaque trimestre au montant de R dollars. Le tauxd’intérêt est le taux nominal d’intérêt i(12) = 3% par annéecapitalisé mensuellement. Déterminer la tabled’amortissement, le solde restant immédiatement après le 2epaiement, les portions d’intérêt et de principal remboursé du3e paiement.

Exemple 1:

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ACT2025 - Cours 20

Première approche. Déterminons le taux nominal d’intérêt i(4)équivalent au taux i(12) = 3%. Ce taux est i(4) = 3.00750625%par année capitalisé à tous les trimestres, c’est-à-dire0.751876563% par trois mois. Nous obtenons donc l’équationde valeur suivante au moment du prêt.

Exemple 1: (suite)

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05 075.1838.165 113.34550 75.215 037.3176.035 113.344

10 112.524 999.71113.635 113.34315 112.234 962.40150.945 113.34220 074.634 925.37187.975 113.341

25 0000

Solderestant

Portion deprincipal

Portiond’intérêtPaiement

Période depaiement

Exemple 1: Table d’amortissement

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Le solde restant immédiatement après le 2e paiement est

La portion d’intérêt du 3e paiement est

15112.20 (0.00751876563) = 113.63$

et celle de principal remboursé du 3e paiement est

5113.34 - 113.63 = 4999.71$

Exemple 1: (suite)

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Deuxième approche: Le taux d’intérêt est 0.25% par mois etil y a k = 3 périodes de capitalisation dans une période depaiement. La durée du prêt en période de capitalisation est den = 15 mois. Nous obtenons donc comme équation de valeurau moment du prêt

Exemple 1: (suite)

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Nous obtenons la même table d’amortissement. Nous allonsmaintenant seulement expliquer comment obtenir le solderestant après le 2e paiement, les portions d’intérêt et deprincipal du 3e paiement. Le solde restant après le 2e paiementest

Exemple 1: (suite)

ACT2025 - Cours 20

La portion d’intérêt du 3e paiement estB2 [(1.0025)3 - 1] =113.63$

et celle de principal remboursé du 3e paiement est5113.34 - 113.63 = 4999.71$.

Exemple 1: (suite)

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ACT2025 - Cours 20

Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé pardes paiements égaux. Supposons qu’il y a m périodes depaiement dans une période de capitalisation. Notons par i: letaux d’intérêt du prêt par période de capitalisation et par n: ladurée du prêt en période de capitalisation. Les paiements duprêt sont de (1/m) dollars et il y a mn paiements. Le montantemprunté L est alors

La table d’amortissement est alors

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ACT2025 - Cours 20

Un prêt de 5 000$ est remboursé par 6 versements égaux à lafin de chaque mois au montant de R dollars. Le taux d’intérêtest le taux nominal d’intérêt i(4) = 4% par année capitalisé àtous les trimestres. Déterminer la table d’amortissement, lesolde restant immédiatement après le 3e paiement, lesportions d’intérêt et de principal remboursé du 4e paiement.

Exemple 2:

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Première approche. Déterminons le taux nominal d’intérêti(12) équivalent au taux i(4) = 4%. Ce taux est i(12) =3.986740251% par année capitalisé à tous les mois, c’est-à-dire 0.332228354% par mois. Nous obtenons donc l’équationde valeur suivante au moment du prêt.

Exemple 2: (suite)

La table d’amortissement est alors

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0840.262.79843.056

840.22837.485.57843.055

1677.70834.708.35843.054

2512.44831.9411.11843.053

3344.38829.1813.87843.052

4173.56826.4416.61843.051

50000

Solde restantPortion

deprincipal

Portiond’intérêtPaiement

Période depaiement

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Le solde restant immédiatement après le 3e paiement est

La portion d’intérêt du 4e paiement est

2512.44 (0.00332228354) = 8.35$

et la portion de principal remboursé est

843.05 - 8.35 = 834.70$.

Exemple 2: (suite)

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ACT2025 - Cours 20

Deuxième approche. Le taux d’intérêt est 1% par trimestre etil y a m = 3 périodes de paiement dans une période decapitalisation. La durée du prêt en période de capitalisationest de n = 2 trimestres. Nous obtenons donc comme équationde valeur au moment du prêt

Exemple 2: (suite)

ACT2025 - Cours 20

Nous obtenons la même table d’amortissement. Nous allonsmaintenant seulement expliquer comment obtenir le solderestant après le 3e paiement, les portions d’intérêt et deprincipal du 4e paiement. Le solde restant après le 3e paiementest

Exemple 2: (suite)

ACT2025 - Cours 20

La portion d’intérêt du 4e paiement estB3 [(1.01)(1/3) - 1] =8.35$

et celle de principal remboursé du 4e paiement est843.05 - 8.35 = 834.70$.

Exemple 2: (suite)

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Considérons un dernier exempled’amortissement dans une situation générale

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Exemple 3:

Albert emprunte 90 000$ au atux effectif d’intérêt de 8%par année. Il remboursera ce prêt en faisant des paiementstrimestriels pendant 12 ans, le premier paiement est fait 3mois après le prêt. Pour les deux premières années, lepaiement trimestriel est de R dollars. Ce montant est indexéde 3% à tous les 2 ans. Déterminons les portions d’intérêt etde principal remboursé du 17e paiement.

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Exemple 3: (suite)

Il nous faut calculer plusieurs taux d’intérêt équivalent autaux effectif d’intérêt i = 8%. Par exemple le taux nominald’intérêt i(4) par année capitalisé trimestriellement équivalentà i est i(4) = 7.770618763%. Donc le taux d’intérêt partrimestre équivalent à i est i’ = 1.942654691%.

Il nous faudra aussi le taux d’intérêt j capitalisé à tous les 2ans équivalent au taux effectif d’intérêt i. Ce taux est j =16.64%.

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Exemple 3: (suite)

Il nous faut regrouper les 8 paiements d’une période en unseul paiement à la fin de cette période pour déterminer R.L’équation de valeur à t = 0 est

et nous obtenons que R = 2 725.57$

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Exemple 3: (suite)

Le solde restant immédiatement après le 16e paiement est

c’est-à-dire B16 = 71166.47$

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Exemple 3: (suite)

La portion d’intérêt du 17e paiement est alors

B16 (0.01942654691) = 71166.47 (0 .01942654691) = 1382.52.

Le 17e paiement est de 2725.57 (1.03)2 = 2891.56 $ etconséquemment la portion de principal remboursé du 17epaiement est alors

2891.56 - 1382.52 = 1509.04$

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Nous allons maintenant étudier une autre situation, celle desfonds d’amortissement.

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Dans certains prêts, l’emprunteur verse à intervalles réguliersl’intérêt dû et remboursera complètement le principal L àl’échéance du prêt. Pour accumuler le montant du prêt à

l’échéance, l’emprunteur met en place un fonds dans lequel ildépose à intervalles réguliers des versements de façon telle

qu’il accumulera le principal L.Ce fonds est le fonds d’accumulation (« sinking fund » en

anglais)

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Le montant accumulé dans le fonds peut à tout moment servirà rembourser une partie du prêt. Conséquemment le montant

net du prêt est le principal prêté initialement auquel noussoustrayons la valeur accumulée dans le fonds.

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Considérons un prêt de 1$, qui sera remboursé par un paiementde 1$ après n périodes de capitalisation. Le taux d’intérêt est letaux i par période de capitalisation. L’intérêt est payé à la finde chaque période de capitalisation. Au même moment, un

dépôt est fait dans un fonds rémunéré au taux d’intérêt j. Cesdépôts sont tous égaux et la valeur accumulée est 1$ après n

périodes de capitalisation. La période de capitalisation del’intérêt du fonds est la même que celle du prêt.

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Si nous notons par R le montant déposé dans le fonds à la finde chaque période de capitalisation, alors nous avonsl’équation

Nous obtenons le tableau suivant.

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Un prêt de 5 000$ est remboursé par un versement de 5000$après cinq ans. Le taux d’intérêt est le taux effectif d’intérêt i =5% par année. Un fonds d’amortissement est mis en place pouraccumuler le 5000$ à la fin de la cinquième année. Des dépôtsde R dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 5 ans.Ce fonds est rémunéré au taux effectif d’intérêt j = 4% parannée. Déterminer la table pour ce fonds d’amortissement et lemontant net du prêt immédiatement après le 3e dépôt.

Exemple 4:

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Pour déterminer R, il faut noter que nous avons l’équation devaleur suivante à la fin de la cinquième année:

Le montant d’intérêt payé à chaque année est5000 (0.05) = 250$.

Exemple 4: (suite)

ACT2025 - Cours 20

05000.02156.80923.142505

1079.923920.08115.27923.142504

2118.332881.6775.33923.142503

3116.791883.2136.93923.142502

4076.86923.140923.142501

50000

Montant netdu prêt

Valeuraccumulée

dans lefonds

Intérêtgagnépar lefonds

Versementdans lefonds

IntérêtpayéPériode

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Le montant net du prêt immédiatement après le 3e dépôt estalors

Exemple 4: (suite)

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Un prêt de 75 000$ est remboursé par un versement de 75 000$après huit ans et des versements annuels d’intérêt faits à la finde chaque année pendant 8 ans. Le taux d’intérêt est le tauxeffectif d’intérêt i = 5% par année. Ainsi l’emprunteur paiera3750$ d’intérêt par année. Un fonds d’amortissement est misen place pour accumuler le 75 000$ à la fin de la huitièmeannée. Des dépôts de R dollars seront faits à la fin de chaqueannée pendant 8 ans. Ce fonds est rémunéré au taux effectifd’intérêt j = 3% par année. Déterminer R, ainsi que le montantnet d’intérêt payé à la fin de la 5e année et le montant net duprêt immédiatement après le 5e dépôt.

Exemple 5:

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Nous avons l’équation de valeur suivante:

Conséquemment l’emprunteur versera

3 750 + 8 434.23 = 12 184.23$

à chaque année.

Exemple 5: (suite)

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Le montant net d’intérêt payé à la fin de la 5e année est lemontant d’intérêt 3750, auquel nous soustrayons le montantd’intérêt gagné par le fonds d’amortissement pendant la 5eannée. Au début de la 5e année (c’est-à-dire après le 4e dépôt),le montant accumulée dans le fonds est

Le montant d’intérêt gagné par le fonds pendant le 5eannée est 35285.67(0.03) = 1058.57$. Donc le montant netd’intérêt payé à la fin de la 5e année est

3750 - 1058.57 = 2691.43$.

Exemple 5: (suite)

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Le montant net du prêt à la fin de la 5e année est le montantemprunté 75 000, auquel nous soustrayons le montantaccumulé dans le fonds d’amortissement après le 5e dépôt, àsavoir

Exemple 5: (suite)